直线与平面垂直的判定教学反思
焉耆一中数学组李新华
本节是高一《必修2》第二章第三节第一课时的内容。本节课所要达到的知识目标是：（1）掌握线面垂直的定义;（2）掌握线面垂直的判定定理，并能利用判定定理证明一些简单的线面垂直问题。所要达到的知识目标很明确，但学生的实际情况是空间想象能力较弱。所以本节课我先是以生活实例让学生比较直观的认识线面垂直，同时让学生自己动手比划找出线面垂直的条件，鼓励学生自己给出线面垂直的定义。然后，引导学生探索发现线面垂直的判定定理。最后，利用判定定理证明一些简单线面垂直问题。
本节课我最满意的地方是线面垂直定义、定理的引入。最大亮点是我依次给出了三个设问，大胆鼓励让学生自己动手比划，再结合生活实例，得出结论。设问：（1）如果一条直线和平面内的一条直线垂直，那么这条直线一定能和这个平面垂直吗？（2）如果一条直线和平面内的无数条直线都垂直，那这条直线一定与这个平面垂直吗？（3）如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直，那这条直线一定和这个平面垂直吗？完全放开让学生自己动手比划，让学生在动手的过程中发现问题，最后由他们自己总结出定义。这个过程使学生很有成就感，而且极大的调动了学生学习兴趣和积极性。好些学生说:“立体几何太有兴趣了，根本没有想象的难嘛！”之后，我又给出设问：如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那这条直线一定与这个平面垂直吗？然后还是由学生动手比划得出结论。为了使他们的结论更具有说服力，我又举了生活中的实例，比如教室的墙拐角所体现的线面垂直等。最后得出本节课的重点知识线面垂直的判定定理。这部分之所以感到满意，是因为所有的内容基本都是让学生亲自动手比划得出的，这使他们对定义的理解更到位，更深刻。以至于在后面的实践证明中原本很愁人的地方反而比较顺手，学生也一直比较兴奋，课堂气氛很活跃。之后的作业反馈，大部分学生都能证明出一些简单的线面垂直问题，这也说明我的这堂课的确是比较成功的一堂课。
一、教材分析
面面垂直是《普通高中课程标准实验教科书必修2》 (苏教版) 第一章第§1.2.4中的内容.根据学生的学习特点和学习基础, 本段内容拟用两课时进行教学, 本节课属于第一课时, 教学内容为二面角的概念与度量及平面与平面垂直的判定定理.在立体几何的空间位置关系中, 垂直是研究的重点之一 (另一个是平行) .《普通高中数学课程标准 (实验) 》中明确提出, 认识和探索几何图形及其性质的主要方法是:直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算.实际教学时拟从这几个方面引导学生感知并理解“面面垂直”.
二、学情分析
垂直关系, 学生之前已经研究过“直线与平面的垂直”, 已能初步运用垂直证明的基本方法解决问题, 在知识上已有所储备.作为美术专业学生, 他们在空间上的感知能力相对比较强, 但是数学领悟力不是很到位, 因此教学设计时尝试以实例引入, 强化基本概念的辨识与训练, 通过直观感知、操作确认的方式让学生掌握定理、概念, 培养和发展学生的空间想象能力.
设计意图:学生的学习基础是每节课授课的起点, 而教学目标则是教学的终点, 研究起点和终点的落差及达成措施便成为教学思考的重点.
三、设计理念
与以往的立体几何教学要求相比, 本模块在几何推理证明方面的教学要求大大降低了, 削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明, 减少了定理的数量, 删去了大量的几何证明题, 淡化了几何证明的技巧.因此教学中注重突出直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等探索研究几何的过程.涉及的数学思想主要有: (1) 数形结合思想; (2) 符号化与形式化的思想; (3) 化归思想等.涉及的一般科学方法主要有:观察、实验、归纳、类比、分析、综合、抽象等.
设计意图:学生数学学习过程是活动的过程, 需要创设情境让学生理解、认识数学实现意义建构.
四、教学目标
1.理解和掌握二面角及二面角的平面角;
2.理解和掌握直二面角的概念;
3.会求二面角的大小;
4.理解和掌握面面垂直的判定定理.
五、教学重点与难点
教学重点:二面角及二面角的平面角的概念及求法.面面垂直的判定和性质定理.
教学难点:如何度量二面角的大小;理解面面垂直的判定定理
六、教学过程设计
(一) 创设情景, 提出问题
借助对图片 (人造卫星的运行轨道与地球黄道平面的交角) 、实例 (汽车上坡时坡度不同的影响) 的观察思考, 抽象概括出二面角的定义.提出问题“如何度量二面角的大小”?
设计意图:不是简单抛出概念, 而是通过提供资源给学生观察, 抛出问题让学生思考.
(二) 师生互动, 建构数学
1. 学生分小组讨论之后自由发言, 通过回忆 (异面直线所成的角, 直线和平面所成的角) , 思考、类比, 得出二面角的度量方法———构造二面角的平面角, 用平面角的大小表示二面角的大小.
设计意图:学生活动在这段内容教学设计中得到了充分展示, 在观察比较中形成感知、归纳提炼中升华思维, 教师在学生充分讨论的基础上, 借助几何软件cabri 3D引导学生进行梳理、归纳、提炼, 让学生经历了真实的数学学习全过程, 而不是简单地应用现成的数学规则去操作数学.
2. 例1如图1, 正方体ABCD-A1B1C1D1 (1) 指出下列二面角的棱和面 (1) 二面角A1-AB-D; (2) 二面角D1-AD-B; (3) 二面角D1-AB-D; (4) 二面角C1-DB-C.
(设计意图:通过最简单的模型———正方体, 强化学生对二面角的认识, 充分理解定义)
(2) 求出以上 (1) (2) (3) 二面角的大小.
设计意图:数学应用环节在引导学生认识二面角的同时, 需要进一步引导学生进行规范表达.
3通过直观感知、操作确认, 归纳出两个平面垂直的定义“两个平面所成二面角是直角”, 得出证明两个平面垂直的第一种方法:计算二面角的大小.
例2如图1, 正方体ABCD-A1B1C1D1, 求证:平面A1ABB1⊥平面ABCD.
设计意图:体会判断两平面垂直的第一种方法:计算得出直二面角, 因不是本节课的重点, 故所有过程是通过电脑投影展示, 不需要学生写.
4. 由“瓦工师傅砌墙时用铅垂线确认墙体是否与地面垂直”的例子引导学生经历从现实的生活抽象空间图形的过程, 并以教室大门为例, 通过操作确认, 引导学生归纳、概括出两个平面垂直的判定定理.
(三) 巩固训练, 提升总结
例3如图2, 已知AB是平面的垂线, AC是平面的斜线, CDα, CD⊥AC, 求证:平面ABC⊥平面ACD.
设计意图:通过简单的应用, 强化对判定定理的掌握和运用, 要求学生上黑板班演过程, 通过讲解使学生充分理解定理的应用, 并关注细节.
七、教学反思
1.备课时的困惑在于二面角的内容和面面垂直的判定定理在课堂上的时间安排, 通过分析教材, 本人认为, 新教材现在淡化了二面角的相关内容, 所以应该更侧重在判定定理上, 但是备课下来觉得时间很难安排, 因为二面角三部分内容量相当大, 而且面面垂直的定义必须是由二面角引出的, 所以改动多次后还是把时间安排为二面角20分钟, 面面垂直的判定定理25分钟.但是实际上课下来, 二面角上用时为30分钟, 而判定定理用了10分钟.所以, 在这里还是存在困惑, 不知道究竟在讲这个内容的时候, 两部分应该怎么安排, 二面角是不是还应该讲得更少.
2.教学中利用信息技术可以充分弥补传统教学在直观感、立体感、动态感方面的不足, 有利于化解难点、突破重点.本节课根据授课内容, 我选用了cabri 3D软件, 演示空间三类角的构成和度量, 效果非常好.例题的例图展示用几何画板, 点线的增减方便直观, 为学生观察图形得出结论提供了方便.
【关键词】高中数学 引导探究 抽象概括 培养能力
【中图分类号】G633.63 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2014）8 -0231-02
一、教学内容分析
本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认（合情推理，不要求证明）归纳出直线与平面平行的判定定理。本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大。
二、学生学习情况分析
任教的学生在年段属中上程度，学生学习兴趣较高，但学习立几所具备的语言表达及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。
三、设计思想
遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定、理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。
四、教学目标
通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中學习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。
五、教学重点与难点
重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。
六、教学过程设计
（一）知识准备、新课引入
提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面有哪几种位置关系？
提问2：根据直线与平面平行的定义（没有公共点）来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。
（二）判定定理的探求过程
1、直观感知
提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗？
生1：例举日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。
生2：门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行（由学生到教室门前作演示），然后教师用多媒体动画演示。
[学情预设：此处的预设与生成应当是很自然的，但老师要预见到可能出现的情况如电线杆与墙面可能共面的情形及门要离开门框的位置等情形。]
2、动手实践
教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置给人以平行的感觉，而当把直角腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面给人的印象就不平行。又如老师直立讲台，则大家会感觉到老师（视为线）与四周墙面平行，如老师向前或后倾斜则感觉老师（视为线）与左、右墙面平行，如老师向左、右倾斜，则感觉老师（视为线）与前、后墙面平行（老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上作上述情形的演示）。
[设计意图：设置这样动手实践的情境，是为了让学生更清楚地看到线面平行与否的关键因素是什么，使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中，学自己身边的数学，领悟空间观念与空间图形性质。]
3、探究思考
（1）上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同？关键是什么因素起了作用呢？通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素：①平面外一条线 ②平面内一条直线 ③这两条直线平行。
（2）如果平面外的直线a与平面内的一条直线b平行，那么直线a与平面平行吗？
4、归纳确认：（多媒体幻灯片演示）
直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。
简单概括：（内外）线线平行线面平行
作用：判定或证明线面平行。
关键：在平面内找（或作）出一条直线与面外的直线平行。
思想：空间问题转化为平面问题。
（三）定理运用，问题探究（多媒体幻灯片演示）
1、想一想：
（1）判断下列命题的真假？说明理由：
①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行（ ）
②过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行（ ）
③一直线上有二个点到平面的距离相等，则这条直线与平面平行（ ）
2、作一作：
设a、b是二异面直线，则过a、b外一点p且与a、b都平行的平面存在吗？若存在请画出平面，不存在说明理由？
先由学生讨论交流，教师提问，然后教师总结，并用准备好的羊毛针、铁线、泡沫板等演示平面的形成过程，最后借多媒体展示作图的动画过程。
[设计意图：这是一道动手操作的问题，不仅是为了拓展加深对定理的认识，更重要的是培养学生空间感与思维的严谨性。]
3、证一证：
例1（见课本60页例1）：已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，求证：EF || 平面BCD。
变式一：空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA中点，连结EF、FG、GH、HE、AC、BD请分别找出图中满足线面平行位置关系的所有情况。
变式二：在变式一的图中如作PQ EF，使P点在线段AE上、Q点在线段FC上，连结PH、QG，并继续探究图中所具有的线面平行位置关系？（在变式一的基础上增加了4组线面平行），并判断四边形EFGH、PQGH分别是怎样的四边形，说明理由。
[设计意图：设计二个变式训练，目的是通过问题探究、讨论，思辨，及时巩固定理，运用定理，培养学生的识图能力与逻辑推理能力。]
（四）总结
先由学生口头总结，然后教师归纳总结（由多媒体幻灯片展示）：
1、线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与这个平面平行。
2、定理的符号表示：简述：（内外）线线平行则线面平行
3、定理运用的关键是找（作）面内的线与面外的线平行，途径有：取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等。
七、教学反思
本节课的设计遵循“直观感知——操作确认——思辩论证”的认识过程，注重引导学生通过观察、操作交流、讨论、有条理的思考和推理等活动，从多角度认识直线和平面平行的判定方法，让学生通过自主探索、合作交流，进一步认识和掌握空间图形的性质，积累数学活动的经验，发展合情推理、发展空间观念与推理能力。
直线与平面的垂直关系是研究空间线线、面面垂直关系的桥梁，它们之间可互相转化。线线垂直概念及判定是中学数学立体几何中的核心概念。“普通高中数学课程标准”要求“几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言”、“在教学过程中恰当地使用现代信息技术展示空间图形，为理解和掌握图形几何性质（包括证明）的教学提供形象的支持，提高学生的几何直观能力”、“借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义”、“通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理”，由此看到，可以通过对数学学习对象进行多元表征，提高学生的几何直观能力，进而培养学生的逻辑推理能力及空间想象能力。本文根据数学多元表征学习教学设计理念以及优化数学多元表征的信息结构（教学内容）教学设计的原则，对直线与平面垂直的概念及判定的教学内容（或教学信息）进行打包优化设计，为教学实践提供参考。
一、优化数学多元表征学习的教学设计理念概说
1。优化数学多元表征学习教学设计的基本原则和基本任务
优化数学多元表征学习的教学设计的基本原则为“减负增效”：减少工作记忆承受的外在负荷和内在负荷，提高教学策略水平，增进学习者主动积极地参与深度意义的学习，生成足够的有效负荷，提高深层码和整合码的建构效果和效率。
数学多元表征学习的教学设计优化的基本任务：优化多元表征的信息结构和优化教学活动设计，提高或增强认知操作的教学策略水平。
2。优化数学多元表征信息结构（教学内容）教学设计的原则(1)学习材料的打包原则
降低学习材料内在负荷的打包原则：①部分任务原则：把学习材料分为若干的子材料，然后对各子材料进行打包。②整体任务原则：把握整体，注重抽取学习任务本身包含的重要元素，将其压缩成组块或信息单元并加以打包。
增加学习有效负荷的打包原则：①任务变异原则：设计教学任务时，变换任务本身（如表层内容或深层结构的变异）和呈现方式（如变式）。②嵌入支架原则：设计任务时，嵌入一些脚手架（如提供问题、暗示、提示、反馈、过程工作单等），增进学习者投入与编码建构和自动化相关的认知活动，增加足够的有效负荷。(2)空间邻近原则
信息打包时，对同一数学对象的言语化表征和视觉化表征要在空间上邻近或组合，而不要远离或分离。
(3)时间临近原则
信息打包时，对同一数学对象的言语化表征和视觉化表征要在时间上同步或临近，而不要异步或间断呈现。(4)一致性原则
信息打包时，多元表征的信息结构与数学学习对象的结构成分必须保持一致，剔除与学习对象的结构成分不一致的、无关的信息，使多元表征结构保持精简。(5)双通道原则
信息打包时，“信息包”要包含有视觉表征和听觉表征。
二、“直线与平面垂直”概念教学内容的优化 1．教学信息的打包
(1)“直线与平面垂直”概念的现实原型：现实生活中，如桥的立柱与水面，公路上的电线杆与地平面等等，都是“直线与平面垂直”概念产生的现实原型，可以给出相应的图片表征如图l、图2。
(2)“直线与平面垂直”概念的文字语言表征：如果一条直线l与一个平面∏内的任一条直线垂直，那么直线Z与平面∏垂直，记作l⊥∏，直线l叫做平面∏的垂线，平面∏叫做直线l的垂面，它们的唯一的公共点叫做垂足。
(3)“直线与平面垂直”概念的数学符号表征：对学生来说来得有些突然，但却突出了其任意性）。
(4)“直线与平面垂直”概念的动态视觉图形表征：如图3。拖动点J或直线a，可以看到平面∏内直线a的变化，即直线a具有任意性。
(5)概念辨析1：如果一条直线Z垂直于一个平面∏。a是平面∏上的一条直线，那么直线l是否与直线a垂直？
(6)概念辨析2：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？
(7)概念辨析3：如果一条直线与平面内的一条直线不垂直，那么这条直线与这个平面不垂直吗？
(8)概念辨析4：如果一条直线垂直平面内的无数条直线，则这条直线与该平面垂直吗？如图4。
2。教学信息块的意义
数学对象的产生可以来自于现实世界，也可以来自数学学科本身，直线与平面垂直的概念也一样。通过信息块(1)，学生可以根据自己的生活经验直观地感知到直线与平面的垂直关系，进而概括抽象得出信息块(2)的几个概念的文字语言表征的数学定义，模块(3)和(4)，是根据优化多元表征的信息结构教学设计及时间邻近的原则、空间临近的原则，对直线与平面垂直概念作进一步的数学语言符号表征和动态的几何图形表征，同时，要注意贯彻双通道的原则和一致性的原则，这样，将减少学生认知的外在及内在负荷，增加认知的有效负荷，特别是两模块中强调平面内的直线a的任意性，可以使学生更好地掌握几何符号语言以及增强空间想象能力，对于模块(5)~(8)，尽管我们可以认为是很简单的命题，但是对于刚刚学习“直线与平面垂直”概念的学生来说，却是很容易混淆和不明确的，因而有必要在课堂上作强调加以明晰。(5)与(6)是线面垂直向线线垂直转化，(7)与(8)可以说是对线面垂直的否定以及如何判定的思考，不仅仅增强学生的思维活动，也起到思维导向和为线面垂直判定定理的学习作铺垫的作用。
三、“直线与平面垂直判定定理”教学内容的优化 1．教学信息的打包(1)实验探究：你能将一张三角形纸片ABC竖起放在桌面上吗？折痕与桌面垂直吗？如果要经过点A翻折，如何才能使得折痕与桌面垂直？
(2)必须在某一边上定一点，将纸片打折，使这边上的二点不共线后放在桌面。(3)用几何图形表示探究的各种情形。
(4)“直线与平面垂直判定定理”的文字语言表征：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
(5)“直线与平面垂直判定定理”的数学语言
(6)“直线与平面垂直判定定理”的几何图形表征：如图9所示。
(7)命题辨析1：判定定理中，平面∏内的直线只需两条，但必需是相交的，交点也不一定是l与∏的交点（垂足）。(8)命题辨析2：这个定理是需要证明的，在后续的学习中会给出证明。2．教学信息块的意义
信息模块(1)是学生在教师的组织下进行的实验探索，根据学习材料信息的打包的原则：为了增加学习有效负荷——嵌入支架设计策略，在学生操作过程中，教师可以适时地提出一些问题、暗示或提示等，如模块(2)，可以促进或增强学习者投入与编码建构和自动化相关的认知活动，增加足够的有效负荷，通过直观感知、操作，概括得到模块(3)中的各种几何图形（图5～图8），教师贯彻优化多元表征的信息结构教学设计的时间临近、空间邻近以及双通道的原则，呈现各模块，与学生共同分析、归纳，进而通过抽象概括确认得到判定定理及其图形表征，如图9。模块(4)～(6)则是判定定理的多元表征，结合教师的讲解，将使学生对命题的特征结构有更深刻的理解，从而，“直线与平面垂直的判定定理”数学模型已然建立。模块(7)与(8)是作为对模型的确认和进一步的强化。
参考文献：
教案设计（1.2.3直线与平面垂直的判定）
②观察实例：学生将书打开直立于桌面，观察书脊与桌面的位置关系。
③提出思考问题：如何定义一条直线与一个平面垂直？
（2）观察归纳—形成概念
①学生画图：将旗杆与地面的位置关系画出相应的几何图形。
②提出问题：能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直呢？（学生讨论并交流）
③动画演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化，重点让学生体会直线与平面内不过垂足的直线也垂直。
④归纳直线与平面垂直的定义、介绍相关概念，并要求学生用符号语言表示。
（3）辨析讨论—深化概念
判断正误：
①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。②若a⊥α,bα，则a⊥b。（学生利用铁丝和三角板进行演示，讨论交流。）
这一环节是本节课的基础。线面垂直定义比较抽象，若直接给出，学生只能死记硬背，这样，不利于学生思维能力的发展。如何使学生从“线面垂直的直观感知”中抽象出“直线与平面内所有直线垂直”是本环节的关键，因此，在教学中，充分发挥学生的主观能动性，先安排学生课前收集大量图片，多感知，然后，通过学生动手画图、讨论交流和多媒体课件演示，使其经历从实际背景中抽象出几何概念的全过程，从而形成完整和正确的概念，最后，通过辨析讨论加深学生对概念的理解。这种立足于感性认识的归纳过程，即由特殊到一般，由具体到抽象，既有助于学生对概念本质的理解，又使学生的抽象思维得到发展，培养学生的几何直观能力。
2、直线与平面垂直的判定定理的探究
这个探究活动是本节课的关键所在，分三步进行：
（1）分析实例—猜想定理
问题①在长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱BB1与底面ABCD垂直，观察BB1与底面ABCD内直线AB、BC有怎样的位置关系？由此你认为保证BB1⊥底面ABCD的条件是什么？
问题②如何将一张长方形贺卡直立于桌面？
问题③由上述两个实例，你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？
学生提出猜想:
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
（2）动手实验—确认定理
折纸实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），进行观察并思考：
问题④折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
问题⑤由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系发生变化吗？（即AD⊥CD，AD⊥BD还成立吗？）由此你能得到什么结论？
学生折纸可能会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导这两类学生进行交流，分析“不垂直”的原因，从而发现垂直的条件—折痕AD是BC边上的高，进而引导学生观察动态演示模拟试验，根据“两条相交直线确定一个平面”的事实和实验中的感知进行合情推理，归纳出线面垂直的判定定理，并要求学生画图，用符号语言表示。
（3）质疑反思—深化定理
问题⑥如果一条直线与平面内的两条平行直线都垂直，那么该直线与此平面垂直吗？由于两条平行直线也确定一个平面，这个问题是学生会问到的。可以引导学生通过操作模型（三角板）来确认，消除学生心中的疑惑，进一步明确线面垂直的判定定理中的“两条”、“相交”缺一不可！
在本环节中，借助学生最熟悉的长方体模型和生活中最简单的经验，引导学生分析，将“与平面内所有直线垂直”逐步转化为“与平面内两条相交直线垂直”，并以此为基础,进行合情推理，提出猜想，使学生的思维顺畅，为进一步的探究做准备。
由于《课程标准》中不要求严格证明线面垂直的判定定理，只要求直观感知、操作确认，注重合情推理。因而，安排学生动手实验，讨论交流、为便于学生对实验现象进行观察和分析，自己发现结论，还增设了动态演示模拟试验，让学生更加清楚地看到“平面化”的过程。学生在已有数学知识的基础上，加之以公理的支撑，便可以确认定理。
教学中，让学生真正体会到知识产生的过程，有利于发展学生的合情推理能力和空间想象能力。与此同时，鼓励学生大胆尝试，不怕失败，教训有时比经验更深刻，使学生在自己的实践中感受数学探索的乐趣，获得成功的体验，增强学习数学的兴趣。在讨论交流中激发学生的积极性和创造性，为今后自主学习打下基础。
3、直线与平面垂直的判定定理的初步应用
考虑到学生处于初学阶段，补充利用练习（1）和练习（2）做铺垫。学生先尝试去做并板演，师生共同评析，帮助学生明确运用定理时的具体步骤，培养学生严谨的逻辑推理。练习（3）使学生对线面垂直认识由感性上升到理性；同时，展示了平行与垂直之间的联系，给出判断线面垂直的一种间接方法，为今后多角度研究问题提供思路。根据学生的实际情况，本题可机动处理。
4、布置作业—自主探究
1.l1与l2是两条不同的直线，下列正确命题的个数为（）①若l1//l2，则斜率相等； ②若斜率相等，则l1//l2； ③若l1//l2，则倾斜角相等； ④若倾斜角相等，则l1//l2。
A.0个B.1个C.2个D.3个 2.直线ax2y20与直线3xy20平行，则a()
A.－3B.－6C.32
2D.3
3.若直线axy10和直线2xby10垂直，则a,b满足()A.2ab0B.2ab0C.ab20D.ab20 4.直线l1的倾斜角为30°，直线l1l2，则直线l2的斜率为()A.3B.－3C.3D.－3
5.已知两点A(2,0),B(0,4)，则下列与直线AB垂直的直线为()A.2xym0B.2xym0C.x2ym0D.x2ym0 6.判断下列两条直线的位置关系
（1）l1的方程为y2x1，l2经过点A1,3，B4,9（2）l1的方程为y2x1，l2经过点A(1,2)，B(4,8)
（3）l1的倾斜角为45，l2的方程是xy1（4）l1经过点M(1,0),N(4,5)，l2过点R4,0，S-1,37.两直线x2yk0(kR)和5x10y70的位置关系是.8.求经过点(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程．
9.判断四边形ABCD的形状，其中A(1,1)，B(2,3),C(1,0),D(2,2)．
C.垂直的两直线的斜率之积为-1D.只有斜率相等的两条直线才一定平行
2、若直线L1，L2的倾斜角分别为1,2且L1⊥ L2,则()
A、1－2=90°B、1+2 =90° C、1+2=180° D、12 90°
3、已知点A（-1，0），B（1，3），M（0，1），N（2，4），则直线AB与MN（）
A．垂直B.平行C.重合D.相交但不垂直
4、给定三点A（1，0）、B（－1，0）、C（1，2），则过A点且与直线BC垂直的直线经过点（）
A、（0，1）B、（0，0）C、（－1，0）D、（0，－1）
5、将直线沿轴负方向平移3个单位, 再沿轴正方向平移2个单位,与原直线重合,则直线的斜率为()
A.3
2B.3
2C.2
3D.2 3
o6、已知M(1,-3), N(1,2), P(5,y), 且NMP90,则log87y
7、直线l1,l2的斜率是方程x23x10的两根，则l1与l2的位置关系是
8、若过点A(2,2),B(5,0)的直线与过点P(2m,1),Q(1,m)的直线平行，则m9、已知ABC的顶点B(2,1),C(6,3)，其垂心为H(3,2)，求顶点A的坐标.10、已知三点A(m-1,2)、B(1,1)、C(3,m2-m-1),若AB⊥BC,求m的值.11、ABC的顶点A(5,1),B(1,1),C(2,m)，若ABC为直角三角形，求m的值.12、已知A(0,3)，B(-1,0)，C(3,0)，求D点的坐标,使四边形ABCD为直角梯形(A、B、C、D按逆时针方向排列)。
《高中数学课程标准(实验)》在《立体几何》部分有独特的要求：“通过直观感知、操作确认、思辩论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.”这是确定这部分教学理念、内容、方法和程序的重要指导原则.直线与平面垂直是人们在生活中司空见惯的事实，充分利用学生在生活中已有的经验和感悟，经过提炼、概括形成抽象化的数学语言，并准确运用这些语言进行逻辑推理或计算，以解决数学和现实中的问题，是这节课的主线.这部分内容中，既有严密的、理性化的思辩论证，又需要利用数学悟性实现直观判断、猜想，所以这部分内容是理性与悟性完美结合的交汇点，是培养学生数学素养，发展学生数学综合能力的大好时机.学生开始学习立体几何往往有各种障碍，尤其是空间想象能力，画图、识图、辩图能力，三种数学语言(自然语言、图形语言、符号语言)的运用转化能力的不理想，严重地阻碍着前进的脚步.而学习《直线与平面垂直》应该是扫除这些障碍，从根本上提高这些能力的转折点.从这个意义上说，科学地设计并合理地实施这节课的教学程序，是学生从此走向《立体几何》学习的阳光大道的关键.
教学目标：
1.知识目标：从熟知的生活事物中提炼、概括出直线与平面垂直的定义和判定定理，进而结合图形用抽象化的数学语言总结、表述出这些内容;
2.能力目标：培养学生的抽象概括、思辩论证的理性精神和迅速认识事物本质的直观能力;
3.情感目标：通过数学知识的形成与实际应用使学生认识到真理来源于实践，并应用于实践的`这一哲学理念;同时，培养学生的数学观念，能自觉地运用“数学的”思维方式观察世界、分析事物、解决问题，并在此过程中提高学习数学的兴趣.
教学目标是教师预期的，在教学过程中自然实现的内容.掩盖教育意图是实现教育意图最好的途径，也是科学加艺术的教育技艺的体现，所以我一向不采用在进行新课前将这些内容展示给学生的做法，而是在教学过程中于不知不觉间实现这些目标.
教学重点、难点
1.教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足
Ⅲ、拾级而上 归纳定理
讨论以下问题：
问题1：如果一条直线和平面的一条直线垂直，此直线是否一定和平面垂直?
问题2：如果一条直线和平面的两条直线垂直，此直线是否一定和平面垂直?
问题3：如果一条直线和平面的无数条直线垂直，此直线是否一定和平面垂直?
设计目的：问题链的设置，可以更好的揭示定义的内涵，加深对定义的理解，同时为判定定理的引入作铺垫。通过学生讨论问题、解决问题，培养学生勇于探索、合作交流的精神。
判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
若a⊥m，a⊥n，m∩n=A,m ∩n=A,m α, n α，则a⊥α
设计：得出判定定理后，由学生配合，在黑板上用数学符号把定理表示出来，并作出图形。
目的：通过自然语言到数学语言的过渡，培养学生用图形的语言进行表达和思考的习惯。更有利于学生空间概念的建立和对几何知识的把握。
讨论以下问题：(1)如果一条直线①与三角形的两边垂直;②与梯形两边垂直;那么直线是否与上述图形所在平面垂直?为什么?(2)体会定理中的思想方法。
设计思路：问题1强调了定理中相交的条件，让学生加深对定理的理解，更好的接受、确认定理。问题2让学生学会学习，学会思考，感受数学思想。
Ⅳ、技能演练 应用巩固
例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
方法一 线面垂直的定义
方法二 线面垂直的判定定理
设计目的:采用师生共同分析的方法，由学生口述证明方法，教师板书并规范证题格式，最后指出该结论可作为定理使用。通过学生回答关注学生表达， 通过教师板书体现示范功能。
例2 在正方体ABCD-A’B’C’D’中，求证：BD⊥平面ACC’A’ .
设计目的：例2源于课本，以本为本，由浅入深，体现梯度，使不同层次的学生都有发展。演-提供范例，规范解题格式;演-设置平台，促进讨论交流;演-指导学法，提升思维层次.
平面中，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
过平面α外一点A向平面α引垂线，则点A和垂足B之间的距离叫做点A到平面α的距离。
过平面α外一点A向平面α引垂线，则点A和垂足B之间的距离叫做点A到平面α的距离。
在空间，过一点有且只有一条直线和已知平面垂直。
在空间，过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。
Ⅳ、技能演练 应用巩固
练习：书P23练习1，2，3
设计目的：练习由学生板演，与例题呼应，练,提供了反馈素材,关注了学生表达,完善了认知结构。体现教与学的一致性。
Ⅴ、回顾反思 小结作业
小结 1、本节课学习的主要内容有哪些?
2、通过本节课的`学习，你有哪些收获?
设计思路：学生的回答不尽统一，但能体现出学生的个性发展，符合新课标以学生为主体，注重学生个性发展的思想。
作业
1、阅读课本，整理课堂笔记;2、书P28习题2.3 3、预习线面垂直的性质4、(探究题)证明：在空间，过一点有且只有一条直线和已知平面垂直。
设计理念：作业分多形式、多层次，体现作业的巩固性和发展性原则，并能满足不同层次学生的需要。
五. 说明和反思
(一)设计说明
在整个的设计过程中，始终体现以学生为中心的教育理念。在学生已有的认知基础上进行设问和引导，关注学生的认知过程，强调学生的品德、思维和心理等方面的发展。重视讨论、交流和合作，重视探究方法和习惯的培养和养成。同时，考虑不同学生的个性差异和发展层次，使不同的学生都有发展，体现因材施教的原则。
(二)过程反思
反思促使我们学习，学习促使我们进步。
在教学的设计过程中，考虑到学生的实际，有意地设计了一些铺垫和引导，既巩固旧知识，又为新知识提供了附着点，充分体现学生的主体地位。
本节课蕴涵着化归思想、类比思想，设计中注重对学生进行思想方法的训练，使学生学会思考、掌握方法，从注意教师的“教”，转向关注学生的“学”。
(三)设计理念
本节课的设计采用了传统教法与多媒体辅助教学的有机结合。
借助多媒体显示传统教学中难以显示的动态图形变换，分解了空间想象的难度，借此提高课堂教学效率。但是多媒体动画演示代替不了学生动手画图，能够让学生想象的，就不应通过动画变成直观，能够让学生动手实践的，就不应通过动画去演示，所以课件在本节辅助教学的同时传统教法也起着积极的作用。希望能把二者完美的结合起来。
一、教材分析：
直线与平面垂直问题是直线与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。
二、学情分析：
1.学生思维活跃，参与意识和自主探究能力较强，故采用启发、探究式教学方法；通过一系列的问题及层层递进的的教学活动，引导学生进行主动的思考、探究。帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过度，从而完成定义的建构和定理的发现。
2.学生抽象概括能力和空间想象能力有待提高，故采用多媒体辅助教学。让学生在认知过程中，着重掌握原认知过程，使学生把独立思考与多向交流相结合。
三、根据本课教材的特点,新大纲对本节课的教学要求,结合学生身心发展的合理需要,确定了以下教学目标:（1）知识与技能目标：
①让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理的正确认识； ②能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生空间观念.（2）过程与方法目标： ①了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系，掌握等价转化思想在解决问题中的运用.②通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生逻辑推理能力。
③发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新的精神.（3）情感、态度与价值观目标：
让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.四、教学重点与难点：
（1）教学重点：理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。（2）教学难点：运用性质定理解决实际问题。
五、教学设计思路：
1、复习导入：
（1）线面垂直判定定理：
如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.（2）面面垂直判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.2、探究发现：
（1）创设情境：已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质？试说明理由！设计说明：
感知在相邻的两个相互垂直的平面内，有哪些特殊的直线和平面关系，然后通过操作，确定两个平面垂直的性质定理的合理性，引导学生通过模型观察，讨论在两个平面相互垂直的情况下，能够推出一些什么样的结论。（2）探索新知：
已知：面α⊥面β，α∩β= a, AB α, AB⊥a于 B，求证：AB⊥β
(让学生思考怎样证明)
分析：要证明直线垂直于平面，须证明直线垂直于平面内两条相交直线，而题中条件已有一条，故可过该直线作辅助线.证明：在平面β内过B作BE⊥a，又∵AB⊥a，∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角，又∵α⊥β，∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE
又∵AB⊥a, BE∩a = B，∴AB⊥β
（3）面面垂直的性质定理：
两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.（用符号语言表述）若α⊥β，α∩β=a, AB α, AB⊥a于 B，则 AB⊥β
注：从面面垂直的性质定理可知，要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明，而前面
我们知道，面面垂直也可通过线面垂直来证明。这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。同学们在学习中要认真理解和体会。
3、学用结合：
（1）例1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.（教材第76页“思考”）
(2)例2．如图，已知平面α、β，α⊥β，α∩β =AB, 直线a⊥β, a α，试判断直线a与平面α的位置关系（求证：a ∥α）（教材第76页例题5）（分析：因为直线与平面有在平面内、相交、平行三种关系)解：在α内作垂直于α、β交线AB的直线b，∵ α⊥β ∴b⊥β
∵ a⊥β ∴ a ∥b , 又∵a α ∴ a ∥α
六、课堂练习：
教材第77页“练习”。
七、归纳总结：
（1）面面垂直判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.（2）面面垂直的性质定理：
两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.八、布置作业： 教材第77页习题2、3。
九、板书设计：
2.3.4平面与平面垂直的性质
1、面面垂直判定定理：、3、例1
5、作业
4、例2
2、面面垂直性质定理：
教材分析
两个平面垂直的判定定理及性质定理是平面与平面位置关系的重要内容．通过这节的学习可以发现：直线与直线垂直、直线与平面垂直及平面与平面垂直的判定和性质定理形成了一套完整的证明体系，而且可以实现利用低维位置关系推导高维位置关系，利用高维位置关系也能推导低维位置关系，充分体现了转化思想在立体几何中的重要地位．这节课的重点是判定定理及性质定理，难点是定理的发现及证明．
教学目标
1.掌握两平面垂直的有关概念，以及两个平面垂直的判定定理和性质定理，能运用概念和定理进行有关计算与证明．
2.培养学生的空间想象能力，逻辑思维能力，知识迁移能力，运用数学知识和数学方法观察、研究现实现象的能力，整理知识、解决问题的能力．
3.通过对实际问题的分析和探究，激发学生的学习兴趣，培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神．
任务分析
判定定理证明的难点是画辅助线．为了突破这一难点，可引导学生这样分析：在没有得到判定定理时，只有根据两平面互相垂直的定义来证明，那么，哪个平面与这两个平面都垂直呢？对性质定理的引入，不是采取平铺直叙，而是根据数学定理的教学是由发现与论证这两个过程组成的，所以应把“引出命题”和“猜想”作为本部分的重要活动内容．
教学设计
一、问题情境
1.建筑工人在砌墙时，常用一根铅垂的线吊在墙角上，这是为什么？（为了使墙面与地面垂直）
2.什么叫两个平面垂直？怎样判定两平面垂直，两平面垂直有哪些性质？
二、建立模型
如图19-1，两个平面α，β相交，交线为CD，在CD上任取一点B，过点B分别在α，β内作直线BA和BE，使BA⊥CD，BE⊥CD．于是，直线CD⊥平面ABE．
容易看到，∠ABE为直角时，给我们两平面垂直的印象，于是有定义：
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，并且这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．
平面α，β互相垂直，记作α⊥β． ［问 题］
1.建筑工人在砌墙时，铅垂线在墙面内，墙面与地面就垂直吗？
如图19-1，只要α经过β的垂线BA，则BA⊥β，∴BA⊥BE，∠ABE＝Rt∠．依定义，知α⊥β．于是，有判定定理：
定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．
2.如果交换判定定理中的条件“BA⊥β”和结论“α⊥β”．即是从平面与平面垂直出发，能否推出直线与平面垂直？，也就平面α内满足什么条件的直线才能垂直于平面β呢？让学生用教科书、桌面、笔摆模型．通过模型发现：当α⊥β时，只有在一个平面（如α）内，垂直于两平面交线的直线（如BA）才会垂直于另一个平面（如β）．
于是，有定理：
定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
（先分析命题的条件和结论，然后画出图形，再结合图形，写出已知，求证）已知：如图，α⊥β，α∩β＝CD，AB
α，AB⊥CD，求证：AB⊥β．
分析：要证AB⊥β，只需在β内再找一条直线与ＡＢ 垂直，但β内没有这样的直线，如何作出这条直线呢？因为α⊥β，所以可根据二面角的定义作出这个二面角的平面角．在平面β内过点B作BE⊥CD．因为AB⊥CD，所以∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，并且∠ABE＝90°，即AB⊥BE．又因为CD
三、解释应用 ［例 题］
1.已知：如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，求CD长．
β，BE
β，所以AB⊥β．
解：连接BC． 因为AC⊥AB，所以AC⊥β，AC⊥BD． 因为BD⊥AB，所以BD⊥α，BD⊥BC． 所以，△CBD是直角三角形．
在Rt△BAC中，BC＝＝5（cm），在Rt△CBD中，CD＝＝13（cm）． 2.已知：在Rt△ABC中，AB＝AC＝ａ，AD是斜边BC的高，以AD为折痕使∠BDC折成直角（如图19-4）．
求证：（1）平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC．（2）∠BAC＝60°．
证明：（1）如图19-4（2），因为AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC． 因为平面ABD和平面ACD都过AD，所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC．（2）如图19-4（1），在Rt△BAC中，因为AB＝AC＝ａ，所以BC＝ａ，BD＝DC＝．
如图19-4（2），△BDC是等腰直角三角形，所以BC＝BD＝2×＝ａ．
得AB＝AC＝BC．所以∠BAC＝60°． ［练习］
1.如图19-5，有一个正三棱锥体的零件，P是侧面ACD上一点．问：如何在面ACD上过点P画一条与棱AB垂直的线段？试说明理由．
2.已知：如图19-6，在空间四边形ABCD中，AC＝AD，BC＝BD，E是CD 的中点． 求证：（1）平面ABE⊥平面BCD．（2）平面ABE⊥平面ACD．
四、拓展延伸
能否将平面几何中的勾股定理推广到立体几何学中去？试写一篇研究性的小论文．
点 评
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