高考数学换元法

高考数学换元法（精选8篇）

高考数学换元法篇1

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先变形为设2 ＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin α，α∈[0, ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x ＋y ＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。

均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0, ]。

例：

1.y＝sinx?cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.设f(x ＋1)＝log(4－x)（a>1），则f(x)的值域是_______________。

3.已知数列{a }中，a ＝－1，a ?a ＝a －a，则数列通项a ＝___________。

4.设实数x、y满足x ＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。

5.方程＝3的解是_______________。

6.不等式log(2 －1)?log(2 －2)〈2的解集是_______________。

【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－ , ]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y ＝＋；

2小题：设x ＋1＝t(t≥1)，则f(t)＝log [-(t-1)＋4]，所以值域为(－∞,log 4]； 3小题：已知变形为－＝－1,设b ＝，则b ＝－1,b ＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a ＝－；

4小题：设x＋y＝k，则x －2kx＋1＝0, △＝4k －4≥0,所以k≥1或k≤－1；

5小题：设3 ＝y，则3y ＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；

高考数学换元法篇2

一、三角代换

有些量采用三角函数代换后, 可充分应用三角函数之间的特有关系, 把一个较难的问题简单化或一般化, 使问题到解决.

例1求函数 (m, n>0, pn

解:注意到函数本身的特点, 可作如下三角代换:

当sinθ=0或1时, y有最小值,

二、常量代换

根据需要, 有时把常量用一个字母或函数式表示, 暂且把常量看成变量, 通过研究变动的、一般的状态来考查不变的、特殊的情形, 这种代换称“常量代换”.

例2解方程:

解:设, 则x3+2yx2+y2x+y-1=0.

解关于y的二次方程, 得

换元法有着极其重要的作用, 灵活巧妙地运用换元法解题, 可化繁为简、化难为易, 达到事半功倍的效果.因此, 在学习数学时, 特别是在解数学题时, 有意识地训练掌握换元法的技能, 能有效提高解题的应变能力与思维能力, 扩大视野, 培养学生学习数学的兴趣.

摘要：我们在求解数学问题时, 有时直接解原问题有困难或不易下手, 或由原问题条件难以得出结论, 如果引进一个或几个新“元”代换问题中原来的“元”, 再求解时就比较容易.这种换元法在因式分解、解方程 (组) 、根式化简、求函数值域等问题的求解中经常用到.

高考数学换元法篇3

关键词:换元法数学思想

数学知识、数学思想与数学方法三者是密不可分的,人们在解决问题的过程中都要经历问题——思考——总结的过程,而剖析这一过程正是我们数学教学的重要任务。这个过程的实质就是发现数学和运用数学,是比数学本身更为重要、更为宝贵的数学思想。如果我们教学只是结论式教学、就题论题式教学,那么就会把数学中的精华——数学思想给遗失了。这样学到的只是一些没有数学思想支撑的枯燥的知识。

“换元法”是初中数学中一个重要的方法。它体现了初中数学的一些基本思想,如符号化思想、变元思想、转化思想等。下面就“换元法”的教学为例,谈一下初中数学思想方法的培养。

高考数学换元法篇4

2a2 b22ab a2 b1(ab)2

22 2ab整式形

式 ab2 22ab ab2  a bab2 根式形式22 ba2(ab) b a分式形2(a,b同号） ab1 0a2aa 倒数形式1 a0a2a

1.比较法、分析法、换元法

一.比较法（作差比较或作商比较）

1）作差比较法：要证不等式abab，只需证ab0ab0即可。其步骤为：作差、变形、判断符号（正或负）、得出结论。

2）作商比较法：若b0，要证不等式ab，只需证

作商、变形、判断与1的大小、得出结论。

222222例1.设abc，求证：bccaabbccaab aa1，欲证ab，需证1。其步骤为：bb

22例2（1）证明不等式ababab

1abba（2）若a>b>0，求证：abab

ba

2abb（3）若a>b>0，求证：a

二.分析法

a3b3ab3()22例2已知a>0，b>0，求证：

2222证法二由(ab)0，得a2abb0，aabbab，2

∵a>0，b>0∴a+b>0，∴(ab)(aabb)ab(ab)，33223322∴ababab，3a3b3ab3ab 22

∴4a4ba3ab3abb(ab)，333223

3a3b3(ab)3

28∴，a3b3ab3()22∴。

2ab练习．1.已知ab0，求证：8aab abab28b2

2.求证

a2b2aa

均值不等式

例3已知a、b、cR，且a+b+c=1。

111(1)(1)(1)8bc求证：（1）a

（2）abc

例4设a、b、c、dR，令sabcdadbbcacdbdac，求证：1

114例5已知a>b>c，求证：abbcac

2.均值换元法：

使用均值换元法能达到减元的目的，使证明更加简捷直观有效。例2.已知a，bR且ab1，求证：a2b2

2225 2

例3.设a，b，c为三角形三边，求证：

4.增量换元法： abc3 bcaacbabc

浅议定积分的换元法篇5

1.1关于代换函数x=φ (t)

在高等数学教材中关于不定积分的换元法与定积分的换元法一般有下述定理[1]:

定理1设f (x) 连续, x=φ (t) 有连续的导数, 且φ′ (t) ≠0, 则在[a, b]上存在, 且

定理2若函数f (x) 在[a, b] (或[b, a]) 上连续, 函数x=φ (t) 满足下列条件:

(1) φ (α) =a, φ (β) =b;

(2) φ′ (t) 在[α, β] (或[β, α]) 上有连续导数, 且a≤φ (t) ≤b (α≤t≤β) .

则有

定理1的证明只须等式两端对x求导即可.

分析定理1的陈述, 可以看出关键的一条是φ′ (t) ≠0, 因为满足这个条件时, 保证了x=φ (t) 单调, 这时函数x=φ (t) 有反函数, 进而不定积分的换元法才能有效实施.因此不定积分的换元法的最后要求是代换函数x =φ (t) 必须有反函数t=φ-1 (x) . (当然, 如果对定理的条件进行专门的研究, 可以用其它的条件代替, 如φ′ (t) ≠0, 只要保证函数x=φ (t) 有反函数就行) .定理的条件中虽然没有明确指出这点, 但在例题中选择的代换都是单调的, 原因在于φ′ (t) ≠0就能保证这一点, 否则换元积分公式无效.

定理2的证明也很简单:由条件可知等号两端的被积函数均连续, 再由微积分基本公式可证之.

分析定理2的陈述, 可以看出条件中并没有包含φ′ (t) ≠0这个条件, 也就是没有要求代换函数x =φ (t) 必须有反函数t = φ-1 (x) (请注意:这一点与不定积分的换元法是不同的 ) , 因为我们是通过来计算的, 不需要把t换成x, 因而也就不需要x=φ (t) 有反函数.也就是说, 在用换元法求定积分时, 代换函数x=φ (t) 有无反函数均可, 只不过选择单调代换时, 计算起来比较方便.

1.2关于微分函数dx=φ′ (t) dt

求不定积分时, 由于其结果是函数, 所以可把dx =φ′ (t) dt看成一般的一个微分函数, 没有什么特别的意义.但在求定积分时, 由于其结果是一个数值, 所以dx =φ′ (t) dt就有一定的几何意义了, 他表示t轴上在t处给一个增量dt时, 经过变换x=φ (t) 后, 函数x就有一个增量dx, dx在数值上等于φ′ (t) dt (可正可负) , 即把dt经过变换x = φ (t) 后的放大 (缩小) 倍数是|φ′ (t) |.关于这一点, 在学习二重积分、三重积分的换元法时优为明显.

1.3定积分的换元法不是不定积分的换元法的自然顺延

如果认为把不定积分的换元法学好, 在计算定积分时只须把上、下限的值代入计算就可以了, 对定积分的换元法没有深入探究的必要, 我们认为这种观点是不正确的.虽然看起来只是一个简单的代换x =φ (t) , 但这个代换对定积分的计算是太需要了, 代换函数的选择至关重要.通过代换不但可以大大简化定积分的计算, 甚至不能求出原函数的定积分问题也能巧妙得到.

例1计算

解该定积分相应的不定积分是不能用初等函数来表达的, 因此微积分基本公式就无法利用, 但可利用代换x =tant, t从0变到π4时, x从0变到1, 可取

对最后一个式子中的第二个积分, 令π/4-t=u时, 有

所以, 通过换元第2个积分与第3个积分相互抵消, 故得

2对教材的处理

通过以上对换元积分法的认识, 我们针对工科专业学生的特点, 在具体教学时对教材做了相应的处理.

1) 从不定积分的换元法开始, 就强调代换x=φ (t) 的单调性.对数学专业学生, 为了培养他们思维的缜密性和逻辑的严密性, 可减弱条件, 把定理1条件叙述成:“若函数x= φ (t) 在[α, β]上可导, a≤φ (t) ≤b (α≤t≤β) 且φ′ (t) ≠0, 而f (x) 在[a, b]上有定义, 且f[φ (t) ]φ′ (t) 有原函数G (t) .”[2]对工科专业学生, 他们学习数学的目的主要是应用, 所以可加强条件, 将f (x) 在[a, b]上有定义加强为f (x) 在[a, b]上连续, 将φ′ (t) ≠0改为φ (t) 在[α, β]上单调.这样的处理, 既方便了学生学习不定积分的换元法, 同时有助于学习定积分的换元法, 对于进一步学习后续课程———积分变换也是大有益处的.因此学生在用换元法做不定积分时, 我们要求学生不但写出代换函数x =φ (t) , 还要写出x = φ (t) 的单调区间, 增的、减的都行, 但只要一个, 这不影响最后的结果 (虽然教材中的例题没这样做) .

例2 求

2) 在学习定积分的换元法时, 继续强调代换x=φ (t) 的单调性.在用换元法计算定积分时, 只要满足φ (α) =a, φ (β) =b, 代换x =φ (t) 可以不单调, 对定积分的计算不会产生任何影响.但为了与不定积分的换元法相呼应, 也是为了学生在学习数学时有良好的习惯, 在讲授定积分的换元法时, 我们可在定理2中加上一条:代换x=φ (t) 单调.

例3计算

比较解法1, 2, 可看出用换元法计算定积分时, 代换函数x=φ (t) 单调与否不影响最后的计算结果, 但选择一个单调区间显得方便.

3) 强调微分函数dx=φ′ (t) dt的几何意义.教材中只是选用代换计算定积分, 没有提到代换的几何意义, 我们觉得在此强调dx= φ′ (t) dt的几何意义, 不仅有助于学生学习定积分的换元法, 而且可为二重积分的极坐标变换、一般变换;三重积分的柱坐标变换、球坐标变换打下伏笔.

4) 让学生知道定积分的计算是一件比较麻烦的事情, 有时候甚至不能得到定积分的准确结果, 这时就有定积分的近似计算课题. 在此要明确强调:换元法是计算定积分的一种有效方法, 要唤起学生对它的重视, 计算时, 所作的变量代换函数和积分区间要选择恰当, 要巧用、妙用, 不能硬算.

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学 (上) [M].上海:同济大学出版社, 2006:230.

换元法在解方程中的巧用篇6

一、在整式方程中的巧用

例1 解方程144x2+6x-5=0.

分析:这个方程的系数较大, 如果利用公式法来解, 运算量太大, 利用换元法来解, 可以将题目系数转化得比较简单。

解:设6x=y, 则原方程变形为:4y2+y-5=0,

解得:undefined

则有6x=1或undefined

∴原方程的解为undefined

例2 解方程 (x2-1) 2-5 (x2-1) +4=0.

分析:利用换元法, 将x2-1视为一个整体, 用另一个未知数替代, 从而降次, 使题目简单化。

解:设x2-1=y, 则 (x2-1) 2=y2,

原方程变形为:y2-5y=0.

解之得:y1=1, y2=4.

当y=1时, x2-1=1, 解得undefined

当y=4时, x2-1=4, 解得undefined

∴原方程的解为:undefined

例3 解方程 (x2+5x+4) (x2+5x+6) -8=0.

分析:利用换元法, 可以使复杂的高次方程变成简单一元二次方程。

解:设x2+5x+4=y, 于是原方程变形为:

y (y+2) -8=0,

解之得:y1=-4, y2=2.

当y=-4时, x2+5x+4=-4, 此方程无解;

当y=2时, x2+5x+4=2.

解得:undefined

二、在分式方程中的巧用

例4 解方程undefined

分析:通过换元法, 把undefined看作一个整体, 将分式方程转化为整式方程。

解:设undefined, 则原方程变形为:y2+3y+2=0.

解之得:y1=-1, y2=-2.

当y=-1时, undefined, 解得:x=-1;

当y=-2时, undefined, 解得:undefined

经检验:原方程的解为undefined

例5 解方程undefined

解:设undefined, 则原方程可变形为:undefined

解之得:undefined;

当y=2时, undefined, 解得undefined;

当undefined时, undefined, 解得:x3=1, x4=-1.

经检验:原方程的解为:x1=-2, x3=1.

三、在无理方程中的巧用

例6 解方程undefined

分析:无理方程中根号内与根号对外应的二次项、一次项的系数成比例, 可以把二次根式看成一个整体进行换元, 化无理方程为有理方程。

解:将方程变形为:

undefined

令undefined, 那么 (x2-3x+2) 2=y2, 于是原方程变形为:

2y2+3y-5=0;

解之得:undefined

当y=1时, undefined, 即x2-3x+2=1,

解得undefined

经检验:方程undefined的解为:

undefined

当undefined时, undefined (舍去) 。

∴原方程的根是undefined

例7 解方程undefined

分析:方程中两个二次根式的被开方数互为倒数, 即两个根号内的式子乘积等于1时, 可令其中一个根式为y进行换元, 或分别令两个二次根式为m、n进行换元。

解法1:设当undefined时, 则原方程可变形为:

undefined, 解之得undefined;

当y=2时, undefined, 解得undefined

当undefined时, undefined, 解得undefined

整体换元法在解题中的应用篇7

1 变量直接代换型

这种类型只需引入一个或多个替代变量, 不作变量互换, 即可达到预期目的, 这是最简单的一类变换, 只要选取一个或多个合适的量作为替换变量, 用字母代入原式即可[2].

例1 求函数f (x) =4x-2x+1 (x∈[-2, 3]) 的值域.

评注用“配凑法”求函数解析式, 也属于这一类型, 如:

说明对于题型或方法与例题类似的问题, 笔者不再写出过程, 仅给出答案, 下同.

2 一元变量互换型

所谓一元变量互换型, 是指在应用整体换元时, 只需引进一个变量, 但这还不能达到预期目的, 还需要进行变量互换, 即不仅要设t=f (x) , 而且要从中求出x=g (t) , 然后将x=g (t) 或双双代入求解.

评注在题目中出现了sin x±cos x, sin xcos x三者中的两个或三个 (通常是两个) , 笔者称其为“正余弦三姊妹聚会”问题.本题是通过整体换元把三角函数化为代数函数求最值.求“正余弦三姊妹聚会”问题的最值, 整体换元是有效的方法, 通常令一次式sin x+cos x或sin x-cos x为t.值得指出的是令sin x+cos x=t后, 并不是用t表示出x, 而是用t表示出sin xcos x.

3 二元变量互换型

所谓二元变量互换型, 是指在应用整体换元时, 需引进两个变量, 并且需要进行变量互换, 即不仅要设s=f (x, y) , t=g (x, y) , 而且要从中求出x=h (s, t) , y=φ (s, t) , 然后将其代入求解.

例5 (2011年全国新课标理科卷第13题) 若变量x, y满足约束条件

评注本题也可以通过待定系数法或直接观察, 得出z=x+2y= (2x+y) - (x-y) , 这本质上也是整体换元的思想, 属于变量直接代换型.

变式2 (苏、锡、常、镇四市2011 届高三第2次调研考试第11题) 设等差数列{an}的前n项和为Sn, 若1≤a5≤4, 2≤a6≤3, 则S6的取值范围是_____.

答案[-12, 42].

评注例6、变式1、变式2均是对分母作整体换元, 但有条件与目标之分;变式3是对条件整体进行换元;变式4对条件进行“翻译”转化后再进行整体换元.

4 目标代换型

在处理最值问题时, 有时需要将要求的代数式自身看做一个未知变元, 作目标整体换元, 然后通过它建立关系式 (等或不等) , 并进行适当运算, 从而得出未知变元的值 (范围) .

例7 (2011年浙江理科卷第16题) 设x, y为实数, 若4x2+y2+xy=1, 则2x+y的最大值是_____.

点评这里的解法是将问题转化为熟悉的一元二次方程问题, 然后用判别式法加以解决.判别式法是解决二次问题的重要方法之一, 但要注意检验, 本题笔者曾给出多种解法, 有兴趣的读者可以查阅文献[3].

类题 (2010年重庆市高考数学理科试题改编) 已知x>0, y>0, x+2y+2xy=8, 则x+2y的最小值是_____.

答案4.

例8 (镇江市2010届高三第一学期期末调研测试第14题) 已知a, b∈R, 且a2+ab+b2=3, 设a2-ab+b2的最大值和最小值分别为M, m, 则M+m=_____.

评注本题是将t代入运算, 用t表示出a2+b2及ab, 然后通过基本不等式建立关于t的不等式组, 进而求出t的取值范围, 需要强调的是不等式a2+b2≥ -2ab不能遗漏.

至此, 笔者以4大类8个例题谈了整体换元法在解题中的应用, 部分例题虽是一些模拟试卷的填空压轴题, 但经过整体换元, 我们发现解题难度大大降低, 复杂的数学问题变得简单.但如何构造元和设元是难点, 这需要我们加强对题目的形式和结构特征的观察分析, 在解题的实践中经常有意识地归纳总结, 不断丰富自己的解题经验, 只有这样才能做到对整体换元思想的灵活运用, 做到化繁为简、化生为熟、化隐为显.

参考文献

[1]罗增儒.数学解题学引论[M].西安:陕西师范大学出版社, 2008.

[2]李明振.数学方法与解题研究[M].上海:上海科技教育出版社, 2002.