利用几何画板探究数学问题

利用几何画板探究数学问题（精选11篇）

利用几何画板探究数学问题 篇1

信息技术应用于课堂教学，不仅可以提高课堂教学效率，还可以发挥学生的积极性、主动性，激发学生学习兴趣.利用几何画板探究数学的相关问题，便于学生直观观察、分析、验证和归纳图象的特征，突破难点.在历年的中考中，二次函数都属于重头戏，所占的分值比例都很高，而且学习上也是学生学习的难点.便于学生直观观察、分析、验证和归数学作为一门独立的自然科学，有它自身的特点、体系和规律。从国外引进的教育软件几何画板以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。

（一）问题的提出

数学是研究空间形式和数量关系的科学，在传统的认识中，数学学习只不过是一支笔一张纸的纯理论性学习，既枯燥又乏味，从而使人们逐渐对其产生了厌恶的心理，尤其是在中学数学中，有相当一部分的知识是比较抽象难懂的，如不等式解的讨论、三角函数的图像和性质、圆锥曲线方程等等，于是在一些学校中产生了数学教师难教学生难学的现象。然而，近年来，随着计算机和网络技术的飞速发展，现代信息技术渐渐地走进了课堂，并越来越多地影响着教师的教学和学生的学习活动。根据数学这门学科的特点，几何画板也正在渐渐地被越来越多的人所认识和应用。

（二）可行性研究

1、对硬件配置要求比较低，即使是在老式的386机器上也可以运行，并且不需要其他软件的支持就可以独立运行。这样即使计算机配置不是很好的学校也可以正常地使用它来进行教学；

2、制作出来的课件非常形象直观，有利于数学课堂教学。而且修改也非常方便，甚至可以在课堂上直接地对课件进行制作与修改。

（三）几何画板的优点

1.体积小 一是软件本身的体积小，体积会更小，只用一张软盘就可以装下，而不必携带硬盘或刻录到光盘上，方便于共享、上传、下载、携带、演示和交流。

2.可以打包 几何画板虽然不像其他软件一样自带打包工具，所制作的课件一般情况下只能在安装有原程序的微机中才能运行,这样就可以在没有安装原程序的微机中使用，更加方便于教学和管理。

3.强大的动画功能 几何画板的运动按钮可以分为“动画”和“移动”两种。“动画”的运动方向可以分为向前、向后、双向、自由四种，速度又可以分为中速、慢速、快速和其他四种，并且在其他后面的输入框中可以输入任意一个合适的数值，自定教师认为合适的速度；“移动”中的速度也可以分为慢速、中速、快速和高速四种。经过巧妙组合后，所制作的点、线、面、体都可以在各自的路径上以不同的速度和方向进行动画或移动，可以产生良好、强大的动画效果，并且所度量的角度或线段的长度及其他的一些数值也可以随着点、线、面、体的运动而不断地发生变化，非常接近于实际，可以更好地实现数形结合，给学生一个直观的印象，起到良好的教学效果。

4.操作简单 几何画板一切操作都只靠工具栏和菜单实现，而无需编制任何程序。整个只有一个常用工具栏，一个工具箱、一个运动控制台和一个文本工具栏，并且工具箱、运动控制台和文本工具栏还可以利用显示菜单中的工具使它们处于隐藏状态，使整个画面尽可能地最大化。在常用工具栏的菜单中所涉及的制作工具都与数学内容紧密联系在一起，使用的都是数学中的名词和术语，只要熟悉数学知识，这些内容一看就懂，非常简单。用几何画板进行开发速度非常快，一般来说，如果有设计思路的话，操作较为熟练的老师开发一个难度适中的软件只需5～10分钟。

5.可以作为研发工具直接应用于课堂在教学过程中 教师可以随时根据学生的实际情况边授课边制作，或者由学生小组亲自动手，制作一些简单的数学内容，例如平面上的任意一点，线段上的任意一点，三角形的中线、角平分线、高，等等，可以使学生不仅明白“任意”的意思，更综合运用了平时所学的数学知识，方便地用动态方式表现对象之间的结构关系，实现直觉思维与逻辑思维相结合，并且学生还可以从中学会软件的一些使用方法，体会到信息技术的优势。

利用几何画板探究数学问题 篇2

一、激发学生学习兴趣, 使被动学习变为主动学习探究

1. 通过创设直观、动态教学情境, 激发学生的学习兴趣, 使得被动学习变为主动学习

美国教育家布鲁纳说过:“学习的最好动力是对学习材料的兴趣”。学生只有对几何感兴趣, 才能够更好地学好几何。然而兴趣并不是与生俱来的, 借助几何画板的动态演示功能可以激发学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲, 使学生主动积极的参与学习。比如, 在北师大版九年级上册探索中点四边形的形状时, 要想让学生想象任意四边形的中点四边形非常困难。利用几何画板制作一个动态的四边形的中点四边形. 就可以建构一个图形情境, 拖动这个四边形的任意一个顶点可以改变四边形的形状, 引导学生在变化的过程中观察中点四边形的形状, 通过模拟演示, 学生很容易发现任意四边形的中点四边形总是平行四边形。通过创设直观、动态教学情境, 激发学生的学习兴趣, 使得被动学习变为主动学习, 同时提高学生对知识的主动建构能力。

2. 通过数学实验和验证得出数学结论, 尝试建立“数学实验室”, 使被动学习变为主动学习

物理、化学、生物需要实验, 几乎所有人都知道, 但很少有人了解数学也需要进行实验的。著名数学教育家G·波利亚指出: “数学有两个侧面, 一方面, 它是欧几里得式的严谨科学, 从这方面看, 数学像是一门系统的演绎科学;另一方面, 创造过程中的数学, 看起来却像试验性的归纳科学”。在数学研究的过程中, 数学家需要不断反复地实验才能发现其规律, 然后再进行严格的逻辑推理证明。在学习数学的过程中, 一个重要环节就是要获得数学经验。

例如, 在探究正比例函数y =kx ( x≠0) 的性质时, 由于初步接触函数, 学生对“k﹥0时, y随x的增大而增大;k <0时, y随x的增大而减小”不太容易理解。在这里可以利用几何画板制作如下演示 ( 如图1所示) : 拖动点A ( 或点P) 在直线上运动, 此时点A ( 或点P) 的横坐标x在x轴上从左向右运动, 点A ( 或点P) 的纵坐标y在y轴上从下到上运动 ( 或从上到下运动) , 同时度量的横坐标x和纵坐标y的数值也相应的发生变化并且对应的表示出来。学生观察得出:对于正比例函数y =kx ( x≠0) , k﹥0时, y随x的增大而增大;k <0时, y随x的增大而减小。通过这样的演示, 给学生创造一个探究的平台, 将抽象的函数性质和图形, 数据很好的结合起来, 从而帮助学生更好地理解函数性质, 同时在教学中也进一步渗透了数形结合的思想。

利用几何画板的画图, 度量等动态功能给学生创造一个猜想、验证的探索过程, 学生可以随意拖动图形、观察图形、并作出猜测及验证, 在观察、探究、发现的过程中增加对各种图形的感性认识, 获得丰富的几何经验, 有助于学生理解和证明, 有助于发挥学生的主体性和创造性, 充分体现了现代几何教学思想。使得这些知识的学习由被动学习变为主动探索, 激发学生的学习兴趣, 提高学生的数学学习能力。

二、在教学中渗透数形结合思想, 将一些抽象的、概括的问题转化为具体化、形象化的问题探究

形与数是几何研究对象的两个相互联系的侧面。数形结合是学习数学的重要思想方法, “数形结合就是使抽象思维和形象思维相互作用, 实现数量关系与图形性质的相互转化, 将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研究数学问题”。

学生在学习数学的过程中, 对于一些太过抽象知识, 只记住生硬的文字、符号、公式, 而对文字背后蕴含的具体事实及事物的本质特征并没有完全的感知, 显然理性与感性之间脱节, 在几何教学中尤其明显。因此, 对于一些常见的几何图形的变形与识别, 我们可以通过相应的动画, 使学生得到充分感受。

例如, 在学习探索位似图形的性质时, 利用几何画板画出两个位似三角形 ( 如图2所示) , 当拖动三角形的任意一个顶点时, 两个三角形的形状都发生了变化, 但是两个三角形仍然保持位似的关系, 引导学生观察两个表格中的度量数据, 发现以下规律:两个三角形的边长发生了变化, 但是对应边的比却保持不变; 任意一对对应点与位似中心的距离的比等于相似比。

数形结合是数学解题中常用的思想方法, 数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化, 能够变抽象思维为形象思维, 有助于把握数学问题的本质; 另外, 由于使用了数形结合的方法, 很多问题便迎刃而解, 且解法简洁。利用几何画板的画图功能以及动态演示功能, 可以生动地将函数与图像、曲线与方程等的对应关系直观形象地展示出来, 使学生渗透数形结合的思想。

综上所述, 在初中数学教学中合理使用《几何画板》对提高学生的数学素养有很重要的意义。当然, 使用几何画板只是对教学的一种辅助方式, 既要恰当地使用几何画板的直观、动态等特点, 但是也不能很代替学生的抽象思维能力、想象能力。因此, 在教学中, 要精心设计教学过程, 在哪些问题中, 哪些环节中应用几何画板展示直观、动态的过程, 以及如何展示, 展示需要达到什么要的效果和目的等, 这些都学要我们去探索。我相信, 经过教师的努力和探索, 一定会让几何画板在初中数学教学中发挥更好的作用, 使得我们的初中数学教学更有意义, 更加有价值。

摘要：几何画板在初中数学教学中有很重要的作用, 不但能激发学生学习兴趣, 提高学生的空间想象和探究能力, 使学生由被动接受改为主动发现, 而且也能更好地体现数学中的“数”与“形”的思想结合, 使抽象的数学问题直观化、生动化, 变抽象思维为形象思维, 有助于把握数学问题的本质;几何画板在初中数学课堂的合理使用, 对提高学生的数学素养具有重要义。

关键词：几何画板,数形结合,“数学实验室”,学习兴趣

参考文献

[1]张杏林.几何画板多媒体CAI课件制作实例教程.清华大学出版社, 2002.

[2]颜有文.几何画板在初中数学教学中的应用.

利用几何画板探究数学问题 篇3

一、问题情境

我们知道二次函数y=ax2+bx+c图象关于直线x=-对称,那么一般的多项式函数f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(an≠0)的对称性究竟怎样呢?

二、探究准备

1. 知识准备

①若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)图象关于直线x=对称;

②若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=2c,则函数f(x)图象关于点(,c)对称.

2. 实验准备

请打开几何画板,在x轴上任取一点M,同时选取点M和x轴,菜单栏“构造”—“垂线”,作出一条直线l,在直线l上任取六点A,B,C,D,E,F,并度量出它们的纵坐标,利用工具栏中的“文字工具”,将刚才A,B,C,D,E,F的纵坐标的标签分别改为a,b,c,d,e,f,这些参数将作为多项式函数的系数,如图1.

3. 探究指导

我们要探究多项式函数f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(an≠0)的对称性,可以从特殊到一般的方法来探究. 可以先通过探究二次函数(已知)、三次函数、四次函数、五次函数这些比较特殊的函数的对称性,然后推广到一般的多项式函数. 在探究的过程中我们借助几何画板作图的简便性和图形、数据的动态性的优点,通过观察多项式函数的系数变化与图形变化之间的联系,猜想多项式函数的对称性,通过几何画板的再实验,检验刚才的猜想是否成立,如果成立,进行推理论证;如果不成立,再进行实验,提出新的猜想,······见图2.

三、探究过程

问题1:三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象的对称性怎样?

实验:利用菜单栏“绘图”—“新建函数图象”,作出的图象. 通过拖动点A,B,C,D来改变参数a,b,c,d的大小.

发现:在图象的不断变化中发现三次函数图象没有对称轴,有没有对称点不好判断. 为了进一步研究三次函数是否存在对称点,我们的探究可以采用从特殊推广到一般的研究思路开展.

(1) 三次函数y=ax3(a≠0)图象的对称性怎样?

操作:将参数b,c,d的值都变为0. 在几何画板中选取点B和点M,菜单栏中“编辑”,“操作类按钮”,“移动”,点击“移动”按钮,则点B移到点M位置,此时参数b的值变为0,同理操作点C,D,使得c和d的值变为0.

实验:通过移动点A的位置,观察函数y=ax3(a≠0)的图象,见图3,猜想其对称性?

猜想:函数的图象关于点(0,0)对称.

检验:在几何画板中再次通过拖动点A多次改变参数a的值,发现猜想正确.

证明:由于函数y=ax3(a≠0)是奇函数,故图象关于原点对称.

(2) 三次函数y=ax3+cx(a≠0)图象的对称性怎样?

实验:把点C从点M处移开,通过移动点A和点C的位置,观察函数y=ax3+cx(a≠0)的图象,猜想其对称性?

猜想:图象也关于点(0,0)对称.

检验:同(1)相同,略.

证明:同(1)相同,略.

(3) 三次函数y=ax3+bx2+cx+d图象的对称性怎样?

实验:再把点D从点M处移开,通过移动点A,C和D的位置,观察函数y=ax3+cx+d(a≠0)的图象,见图4,猜想其对称性?

猜想:函数y=ax3+cx+d(a≠0)的图象关于(0,d)点对称.

证明:函数y=ax3+cx+d(a≠0)的图象是y=ax3+cx(a≠0)的图象向上平移了d个单位,故图象关于(0,d)点对称.

(4) 三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象的对称性怎样?

实验:在前面的基础上,再把点B从点M处移开,通过移动点A,B,C和D的位置,观察函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象,见图5,猜想其对称性?

猜想:图象若有对称点,则图象上任意一点的对称点仍然在原图象上,图5中的两个峰谷点G和H应该关于该对称点对称,则点G,H的中点为对称点.

检验:连接点G和H线段,选取线段GH的中点I,在三次函数上任取一点J,作点J关于点I的对称点J',拖动点J,发现点J'一直在三次函数图象上,猜想成立.

求解:假设三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象关于点(m,n)对称,则有

f(m+x)+f(m-x)=2n恒成立.

即a(m+x)3+b(m+x)2+c(m+x)+d+a(m-x)3+b(m-x)2+c(m-x)+d=2n,

(3ma+b)x3+am3+bm2+cm+d=n恒成立.

?圯m=-,n=f(m)=f(-).

故三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象关于点(-,f(-))对称.

问题2:四次函数y=ax4+bx3+cx2+dx+e(a≠0)图象的对称性怎样?

(1) 四次函数y=ax4+cx2+e(a≠0)图象的对称性怎样?

操作:将参数b, d的值都变为0. 选取点B和点M,菜单栏中“编辑”,“操作类按钮”,“移动”,点击“移动”按钮,则点B移到点M位置,此时参数b的值变为0,同理操作点D,使得d的值也变为0.

实验:通过移动点A,C,E的位置,观察函数y=ax4+cx2+e(a≠0)的图象,猜想其对称性?

猜想:函数图象关于y轴对称.

证明:四次函数y=ax4+cx2+e(a≠0)为偶函数.

(2) 四次函数y=ax4+bx3+cx2+dx+e(a≠0)图象的对称性怎样?

实验:将点B和D从点M处移开,通过移动点A,B,C,D,E的位置,观察函数的图象变化.

发现:从实验操作可以看出,四次函数不一定有对称轴,如图6;但是也有可能有对称轴,如图7,那么在什么条件下,四次函数有对称轴呢?

求解:假设四次函数y=ax4+bx3+cx2+dx+e(a≠0)的图象有对称轴x=m,则

f(x+m)=f(m-x)恒成立.

a(x+m)4+b(x+m)3+c(x+m)2+d(x+m)+e

=a(m-x)4+b(m-x)3+c(m-x)2+d(m-x)+e

(4ma+b)x3+(4m3a+3m2b+2mc+d)x=0恒成立

4ma+b=0,4m3+3m2+2mc+d=0?圯m=-,d=-(b2-4ac),

即当参数a,b,c,d,e满足d=-(b2-4ac)条件时,四次函数y=ax4+bx3+cx2+dx+e(a≠0)图象有对称轴x=-.

问题3:探究五次函数y=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f(a≠0)图象的对称性.

实验:移动点A,B,C,D,E的位置,观察五次函数的图象变化,探究其对称性.

发现:从图8和图9可以看出,五次函数图象没有对称轴,有可能有对称点,也有可能没有对称点.

求解:假设函数y=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f(a≠0)图象的对称点为(m,n),

则f(m+x)+f(m-x)=2n.

a(m+x)5+b(m+x)4+c(m+x)3+d(m+x)2+e(m+x)+f+a(m-x)5+b(m-x)4+c(m-x)3+d(m-x)2+e(m+x)+f=2n.

(5ma+b)x4+(10m3a+6bm2+3cm+d)x2+am5+bm4+cm3+dm2+em+f=n.

?圯m=-,n=f(m)=f(-),d=-(4b2-15ac),

当d=-(4b2-15ac)时,五次函数y=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f(a≠0)的对称点为(-,f(-)).

探究结论:二次函数图象有对称轴,三次函数图象有对称点;而四次函数、五次函数等图象不一定具有对称性,在它们的系数满足某种特定的条件下才有对称点或对称轴,且最高次数是奇数(大于1)的多项式函数图象若对称,则关于点(-,f(-))对称;最高次数是偶数的多项式函数图象若对称,则关于直线x=-对称.

四、活动体会

初中数学课件几何画板 篇4

课 题：几何画板简介

教学目标：1)通过几何画板课件演示展示其魅力激起兴趣

2)了解几何画板初步操作

教学重点：让学生了解几何画板的工作界面

教学难点：能用几何画板将三角形分成四等份，并用几何画板验证。 教学过程：

一、概述几何画板

几何画板是专门为数学学习与教学需要而设计的软件。有人说它是电子圆规，有人说它是绘图仪，有人说它是数学实验室。它号称二十一世纪的动态几何。它可帮助我们理解数学，动态地表达数量关系，并可设计出许多有用或有趣的作品。

二、几何画板作品展示

三、几何画板简介

1)启动

开始|程序|几何画板|几何画板。启动几何画板后将出现 菜单、工具、画板。工具(从上到下) 选择 、画点、画圆 、画线、文本 、对象信息、脚本工具目录。

2)操作初步

1、文件

新画板 打开一个新的空白画板。

新脚本 打开一个新的空白脚本窗口。用于录制画板的画图过程。 打开 打开一个已存在的画板文件(.gsp)或脚本文件(.gss)。

保存 [保存当前画板窗口画板文件或脚本窗口脚本文件]，路径+文件名，确认。

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2、选择 几何画板的操作都是先选定，后操作。

选工具(选择 画点 画圆 画线 文本 对象信息 脚本工具目录) 单击：工具选项。

选选择方式 移到选择按左键不放→平移/旋转/缩放;拖曳到平移/旋转/缩放;放→选定。

功能：移动选定的目标按平移/旋转/缩放 方式移动。

选一个目标 鼠标对准画板中的`目标(点、线、圆等)，指针变为横向箭头，单击。

选两个以上目标 法一 第二个及以后，Shift+单击。

选两个以上目标 法二 空白处拖曳→虚框;虚框中的目标被选。 选角 选三点：第一、第三点：角两边上的点;第二点：顶点。 不选 单击：空白处。

从多个选中的目标中不选一个 Shift+单击。

选目标的父母和子女 选定，编辑|选择父母/或选择子女。

选所有 编辑|选择所有。

选画点/画圆...，编辑|选择所有点/圆...。

3、删除

删除目标 选目标;Del键(注：同时删除子女目标)。

复原一步 Ctrl+Z = 编辑|复原。

画板变成空白画板 Shift+Ctrl+Z = Shift+编辑|复原。

4、显示

线类型 设置选定的线/轨迹 为 粗线/细线/虚线。应用 使对象更突出。 颜色 设置选定的图形的颜色。应用 使对象更突出。

字号/字型 设置选定的标注、符号、测算等文字的字号和字型。

字体 设置选定的标注、符号、测算等文字的字体。

显示/隐藏 显示/隐藏 选定的目标(Ctrl+H)。

显示所有隐藏 显示所有的隐藏目标。

显示符号 显示/隐藏 选定目标的符号。

符号选项 更改 符号/符号序列。

轨迹跟踪 设置/消除 选定目标为轨迹跟踪状态。

动画 根据选定的目标条件进行动画运动。

参数设置 角度、弧度、精确度等的设置。

5、对象信息 单击对象信息→?;单击对象→简单信息;双击对象→目标信息对话框。

6、快捷键 隐藏Ctrl+H显示符号Ctrl+K轨迹跟踪Ctrl+T当前目标可操作的内容右键。

(以上简略选讲1、2、3)

四、熟悉几何画板的界面，了解常用工具的用法，

五、把一个三角形分成四等份：

1)用画线工具画一个三形，

2)标注：选文本工具，单击画好的点，用文本工具双击显示的标签，可进行修改。

3)选择“构造”，---“画中点”

六、验证面积相等：

1)按住shift键，选取点。

2)“构造”---“多边形内部”。

3)“测算”---“面积”

七、等分线段：

1)画射线作辅助线。

2)选取一段做标记向量。

3)“变换”---“平移”。

4)“作图”---“平行线”。

用平行线的性质等分线段。

八、画基本图形

1、画点 选画点，单击画板上一点。(并显示标签)

2、画圆 画圆的两种方法及区别。 (设置不同显示方式)

3、选线段/射线/直线 选画线;按左键不放→线段/射线/直线

九、课后反思

利用几何画板探究数学问题 篇5

前言

数学是一门强调逻辑性的学科，并且也是一门强调专业性的学科。对于数学教师而言，在教学中除了要具备必备的专业知识以及教学能力之外，还需要具备和数学相近的计算、空间、归纳演绎以及推理方面的专业能力，并且可以通过这些专业能力，将数学知识更好地传授给学生。在信息技术和计算机技术快速发展的今天，传统的数学教学模式和手段已经难以说符合时代所需。同时在新课标的规定中，课堂教学也更加自由和开放，教学的不确定性大大增加。在此背景下怎样保障教学质量，甚至是提升教学质量，是每一位初中数学教师都必须思考的问题。

充分利用现代教学技术对提升教学质量有着十分明显的促进效果，并且已对目前诸多学科教学产生一定的影响。初中数学课程对学生整体发展而言具有极其重要的意义，同时，内容体系中的几何部分对培养学生的空间思维能力和逻辑能力具有一定的帮助作用。依托于现代信息技术而诞生的几何画板，其在几何教学中的充分使用，对帮助学生形象化、具体化地理解数学几何的相关知识点，有着十分明显的促进效果，因此值得每一位初中数学教师在教学中充分合理地使用。

几何画板具有作图精准、演示交互以及计算精准等诸多优点，在初中数学教学中的应用能够很好地提升教学质量。但是就实际情况而言，几何画板目前在初中数学教学中的使用并没有得到广泛的普及，同时很多教师对几何画板的教学意义还没有清晰的认识。为此通过调查问卷的形式，调查研究教师对几何画板的使用情况。调查结果显示，虽然很多教师对几何画板的制作能力和运用水平存在不足，但是使用几何画板的教师在教学质量上却有很大提升[1]。因此，需要展开对几何画板优化初中数学教学实践途径研究，让教师更加深刻地认识到几何画板对初中数学教学的价值所在。

基于此，本文对调查结果进行了简单分析，继而提出教师在教学中合理使用几何画板的方法，希望为广大初中数学教师以启迪和参考。

调查问卷结果分析

本研究以针对某一中学的12位初中数学教师进行的一次问卷调查为依据，本次调查共发放调查问卷12份，收回12份，问卷有效率达到100%[2]，下面对调查结果进行简单的分析。

首先对12位教师的多媒体应用情况以及几何画板的制作能力进行调查。分析结果可知，很多数学教师在教学上对多媒体有所涉及，但是能够熟练制作几何画板的只有三人。这一方面说明了几何画板在该学校的使用率很低，另一方面也说明了教师在几何画板的认知上存在严重不足。

在简单地向教师演示了几何画板，并且指导他们在教学中使用一段时间的几何画板后，针对教师使用几何画板后的教学变化进行了调查。调查结果清晰地表明，近四分之三的教师认为使用几何画板能够改变以往陈旧的教学观念；有一半的教师认为，通过运用几何画板，自己的教学方式得到了很大的改善；有五分之四的教师认为，几何画板的使用对提升学生的学习兴趣有明显的效果；有三分之二的教师认为，几何画板的使用对教学难点的讲解有很大的帮助；同时，所有的教师都认为几何画板具有十分明显的教学效果[3]。

将几何画板应用于初中数学教学的途径

从上文的调查结果分析，可以清楚地知道教师都认为使用几何画板对提升教学质量、学生学习兴趣等诸多方面有着十分明显的效果，但是同时也存在很多教师不会使用几何画板的现象。为此，针对如何把几何画板应用于初中数学教学进行讨论。

对于初中的数学学科而言，其属于一门极其抽象的学科，使用传统的教学方式，对于一些空间思维能力以及逻辑能力不足的学生，在理解上难度很大，因此，教学的质量难以保障。

将几何画板应用于数学教学中，可以将一些极其抽象的数学知识变得形象化和具体化，将其实实在在地呈现出来，进而帮助学生更为直观地去理解，具有十分明显的增强教学效果的作用[4]。

有理数的认识 有理数的认识一课是有较大难度的初一基础知识点，教师在进行该课时的教学时就可以引进几何画板，进而让学生逐渐接受几何画板的教学方式。教师可以使用几何画板制作一个坐标系，具体而言是一个横坐标，通过在横坐标上标记数字，让学生更为直观地对横坐标上的数进行观察，就可以让学生把坐标和数进行联系，这也就能直接帮助学生理解和掌握有理数知识。

三角形中位线定义 三角形也是在初中数学中难度较大的知识点之一，同时是几何知识体系中极其重要的组成部分。但是就目前的大多数教材而言，在对问题进行研究的一开始，就将结论或者概念给出，这对学生而言十分突兀。此外，教师通过口头的阐述也难以对三角形的相关概念有一个清楚的描述，因此导致很多学生在三角形的相关概念的理解上存在诸多问题[5]。教师在三角形的相关概念的教学上可以充分使用几何画板，来消除这方面教学的弊端。如在三角形中位线一课的教学中，教师就可以使用几何画板的功能进行生动形象的描述教学，学生对知识理解很深刻，取得很好的教学效果。

从割线到切线 使用几何画板除了可以对单一的知识点进行描述之外，也可以对初中数学几何中一些相关联的知识点进行教学，进而可以帮助学生更为深刻和清晰地判别两个不同知识点之间的关联和区别。如目前在我国的初中数学教学体系中并没有对圆的割线和切线有一个十分清楚明白的区分，但是在考试中又会经常涉及两者之间关系的内容，而且到高中阶段，割线和切线又是重点教学内容。因此，在初中阶段将两者进行联合教学是有必要的[6]。在教学中可以使用几何画板中的移动功能，将切线和割线之间的差别进行形象化的描述[7]。通过几何画板的移动动画功能，学生可以清晰地对割线和切线有一个极其清晰的认知，对切

线以及割线的概念和本质也有了一个更为详细的认知，则为后面的教学乃至为学生高中阶段的学习打下一個良好的基础[8]。

结语

在现代教学技术不断发展以及新课改不断推进的今天，在数学教学中使用几何画板已经逐渐成为数学教学的必要措施。使用几何画板，可以最大化地将数学中的数与形之间的关系生动形象地表现出来，规避了传统数学教学中动态属性难以切实生动地描述以及变量关系难以深入浅出地介绍的薄弱点。面对初中数学教学中的重点和难点，几何画板均可以充分应用其中，起到相应的作用。同时，依托于几何画板的生动化、形象化的教学模式，也可以让学生从运动的角度对数学中的数量关系、几何关系有一个更为直观和清晰的认知，对于教师提升进课堂教学效率也有着十分明显的效果。

因此，每一位教师在数学教学中都应对几何画板的应用有一个十分清醒的认识，要结合数学科学的特点、不同知识点之间的特点以及学生的年龄特点，进行科学合理的几何画板应用，解决数学教学中的重难点，以提高教学效率，降低学生的学习难度，取得理想的教学效果。

参考文献

利用几何画板探究数学问题 篇6

摘要：几何画板作为信息技术与数学教学整合的主要工具，具有灵活的绘图功能，并能对图形的几何变换进行动态演示，增强了学习的直观效果，这些教学能效在传统的笔纸环境中是难以达到的。几何画板在辅助数学教学方面的独特优势开创了教与学的新方式，有助于教师成为学生学习的引导者，有助于学生成为主动获取知识的探索者。本文结合教学案例，从数形结合、实验探究、辅助变式三方面来论述几何画板在初中数学教学中的实践运用，旨在为广大数学教师优化课堂教学提供一些借鉴或启示。

关键词：几何画板；数学教学；整合；实践

《全日制义务教育数学课程标准》指出：现代信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及学与教的方式产生了重大的影响。把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。几何画板是信息技术与数学教学整合的主要工具之一，其快捷精准的绘图、智能的几何变换、直观的动态演示等功能，为学生创造了一个探索几何图形内在关系的环境，让学生在观察、探索、发现的过程中深化对各种图形的感性认识，形成丰富的几何认知经验，促进对数学问题的深入理解和思考。几何画板为学生探索知识增添了更多的途径，同时也为教师研究教学开辟了更广的空间。在初中数学课堂教学中如何充分发挥几何画板的功能优势，优化课堂教学，成为当前新课程改革中值得探索的一个问题。下面笔者结合案例，谈一谈几何画板在初中数学教学中的实践运用。

一、揭示数形关系，优化思维品质

数（数量关系）与形（空间形式）是数学教学中的两大基本内容。数形结合思想贯穿于整个中学数学教材体系之中，它是重要的数学思想方法之一。华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”，也就是说数与形之间相辅相成：以形助数，可以化抽象为直观；以数辅形，可以化直观为精确。在传统的数

学教学中，因受教学条件的限制，数与形很难真正地完美结合，特别是有些蕴藏在数量关系背后的几何意义很难直观地展现出来。而几何画板凭借其强大的功能优势弥补了这一不足，能化隐为显，化静为动，直观地反映数、形的同步变化，为学生提供一个探索和构建数学模型的平台，从而帮助学生优化思维品质，简化解题过程，提高学习效率。

【案例1】

有一张三角形纸片ABC，其中BC=6，∠C=90°，∠A=30°。

(1)如图1，若用这张纸片裁剪出一个矩形CDEF，使点D、E、F分别落在AC、AB、BC上，且使矩形CDEF的面积最大，则点E应选在何处？

(2)如图2，若用这张纸片裁剪出一个矩形DEFG，使点D、G分别落在AC、BC上，点E、F均在AB上，且使矩形DEFG的面积最大，则点E应选在何处？

图1

图2

对于上述题组，建立恰当的数学模型是解解决该问题的关键，而学生很难找到解题的突破口，因而退避三舍。这里运用几何画板就能有效突破难点，几何画板为学生寻求解题模型提供了便利。第（1）问中，若假设AE的长为x，则矩形CDEF的面积可表示为y=13x233x，用几何画板构造动点P(x，y)，4再运用动点追踪功能，就能直观地演示当点E在线段AB上运动时，动点P的运动轨迹（如图3），帮助学生快速建立二次函数模型来解题。第（2）问中，也可以设AE的长为x，则矩形CDEF的面积可表示为

y=43x243x，类似地用几何画板直观地演示动点P(x，y)的运动轨迹（如图4）。用几何画板将数、9形之间的关系动态地展示出来，活跃了学生的思维活动，使抽象的数学知识变得生动形象，容易接受。

图3

图4

二、探究数学实验，把握问题本质

学习和研究数学不仅需要演绎、推理，也需要实验、归纳。数学实验作为一种新颖的数学研究方法，已成为中学数学学习的一种新形式。广义的数学实验是指在特定的实验条件下，实验者为了解决某个未知问题，验证某个数学猜想，获取某个数学结论，运用一定的技术手段或工具，并以数学理论和数学思想为指导，将实验对象进行数学化的处理，从而解释数学现象、理解数学内容或构建数学知识的一类数学研究活动。进行数学教学时，既要关注数学内容抽象化、形式化的一面，还要关注数学发现过程中经验化、具体化的一面，为此可以利用几何画板进行数学实验，辅助学生把握数学问题的结构特点，认清数学本质。

【案例2】

在初中数学“中点四边形”的探究活动中，教师可以运用几何画板引导学生探究中点四边形的特征，探究的过程如图5所示。

图5 “中点四边形”的探究过程

几何画板为学生进行数学实验创造了良好的条件，利用其实时度量功能，能快速地为学生提供精准的度量数据，利用其动画功能，可以动态地展示任意改变四边形形状时某些几何元素的变化情况，这有利于学生发现问题背后所隐藏的规律。教学时，先用“几何画板”课件进行演示，通过点击不同的按钮来改变四边关系6），让形何变AEB对角线相等DHGCFDHAEFBGCAEHDGCFB形的对角线的位置与数量关系（如图学生观察中点四边EFGH的形状是如化的，它与原四边

对角线互相垂直对角线相等且互相垂直(1)(2)图6

(3)

形ABCD的哪些量有关系，然后引导学生归纳出隐藏在现象背后的规律。这些实验操作既让学生体验了由特殊到一般、由一般到特殊的数学研究过程，又让学生进一步理解和掌握了四边形的有关知识。几何画板所呈现的丰富的动态图形，极大地开阔了学生的视野，给学生提供了更多“发现”的机会。

三、辅助变式教学，提升课堂效率

变式教学是促进数学学习的一种有效的教学方式，长期以来被数学教师广泛地用于教学之中。在现代信息技术不断发展的背景下，重新审视数学变式教学，对培养学生的创新思维能力有着深远的意义。几何画板所具有的图形动画处理、几何变换、自动推理、符号计算等功能，为数学变式教学创造了一个简易、快捷的智能操作平台。在数学变式教学中，利用几何画板从不同层次、不同角度、不同途径、不同背景这四方面变更数学对象的内容或形式，引导学生从变化的现象中抓住不变的本质，从不变的本质中探索变化的规律，让学生经历数学知识的发生、发展及形成的过程，强化对知识结构的认识，增加思维活动的经验，提高分析问题和解决问题的技能。

【案例3】

如图7，已知∠AOB=90°，P 为∠AOB的角平分线上一点，PC交AO于N，PD交BO于M。若∠PNO=∠PMO=90°，则利用角平分线的性质易证：PM=PN。

变式1：如图8，若保持∠CPD=90°不变，将∠CPD绕点P旋转，则PM与PN仍相等吗？

变式2：如图9，若将题目背景改为P为等腰直角三角形斜边AB的中点，∠CPD绕点P旋转，并保持∠CPD=90°不变，则PM与PN仍相等吗？

变式3：如图10，若将已知条件“∠AOB=90°”改为“∠AOB=(0180)”，条件“∠PNO=∠PMO=90°”改为“∠PNO+∠PMO=180°”，其它条件不变，结论还成立吗？

图7 图8 图9 图10

变式4：如图11-13，P为正多边形的中心，仍保持∠PNO+∠PMO=180°，其它条件不变，结论还成立吗？

图11

图12

图13

图14

在初中阶段存在一些典型的几何变换问题，由于传统的变式教学无法直观、形象地演示图形的变化过

程，使得学生的认知不能深入到问题的内部本质，此时可借助几何画板的几何变换、动画等功能，将几何图形因条件改变而变化的过程从不同角度呈现出来。尽管图形的部分条件发生变化，但解题思路依然没变，上述变式题组的基本模型如图14所示，其中一个直角三角形是由另一个直角三角形经过旋转而得到。利用几何画板的复制和动态模拟功能，可以从复杂图形中分离出基本模型，并使其与原图形保持同步变化，这样有助于学生认识图形，学会从基本模型入手寻找解题的突破口，从而收到触类旁通、举一反三的效果。

数学教学中合理地整合几何画板，能让学生真正参与问题的解决过程，体验知识的形成过程，构建清晰的认知结构，深刻地理解和掌握数学知识。几何画板丰富了教学的手段，给数学教学注入了新的活力，使得在传统的笔纸环境中无法开展的数学探究活动能真正开展起来，更重要的是它使抽象、枯燥的数学变得直观、形象，激发了学生的学习兴趣，有助于学生从传统的被动式学习向主动式学习转换。但值得注意的是，教学中不能用几何画板完全代替教师的板书和学生的思维训练，几何画板只能视为辅助教师解决教学难点问题、提高教学效率、辅助学生思维的工具。随着课程改革的不断推进，日新月异的信息技术必然会促进数学课堂教学模式的变化。如何在教学中恰到好处地运用几何画板，更好地优化数学课堂教学，仍需要教育工作者不断地去探索。

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部．全日制义务教育数学课程标准（2011年版）［S］．北京：北京师范大学出版社，2012．

利用几何画板探究数学问题 篇7

解决由演示到探索的难点

在平时的教学实践中, 仍有一部分教师将信息技术的支撑功能仅局限于扩展黑板的演示作用。“几何画板”与“超级画板”等智能软件集计算、作图、变换等功能为一体, 完全可作为学生探索未知数学问题的工具。

如在学习“圆的面积”一课时, 笔者曾利用“几何画板”创设这样的问题情境:用一根绳子把羊拴到草地中的正方形小屋一角上, 羊边吃草边走。提问:你看了这幅图, 能提出哪些数学问题? (如下图所示) 学生通过自主拖动羊, 从绳子形成的轨迹中直观体会到最大面积的组成部分就是四分之三大圆 (绳长为半径) 的面积加上两个四分之一小圆 (绳长减小屋边长为半径) 的面积。学生通过自我操作课件不断调整各线段长度的探究学习后, 还相继提出并解决了如果小屋不是正方形、绳子再长一些、拴绳点不在角上……羊吃到草的面积又有什么变化等一系列课前没有预设到的各种问题, 取得了传统媒体所无法替代的效果。学生在操作课件自由探究问题的过程中, 兴趣盎然、思维活跃, 既顺利解决了原有问题, 又引发他们将问题进行进一步拓展, 这就体现了让学生积极思维、自主的发现问题、积极探究问题的教学理念。

突破化静态为动态的难点

一般而言, 要实现静态内容动态处理主要是三种途径:一运用语言文字的描述与想象相结合;二是将系列静态图形通过想象串连在一起实现动态变化;三是文字与图形相结合。这三种方式都需要学生具有较强的空间想象能力, 对学生的学习过程具有不同程度的阻碍, 而教师如果能恰当地引入计算机技术将静态的学习内容动态化, 无疑将取得事半功倍的效果。

如在解决“用细木条钉成一个长方形框, 如果把它拉成一个平行四边形, 它的周长与面积变化了吗?为什么?”这个问题时, 大部分学生难以理解面积为什么会变小, 仅凭空想象难以体会图形变化过程中哪些量变化了, 哪些量没变。笔者设计了让学生可自由操作的学件 (如下图所示) 。学生在拖动B点自由变换图形的操作中发现图形在不断发生变化, 但组成图形的四边的长度不变, 因而周长不变;而关系到图形面积大小的高却在不断变化。学生在操作学件自由探究中既培养了观察、猜想的能力, 又发展了他们的空间观念, 而这一切都得益于利用“几何画板”等软件所营造的动态的探究平台。

化解从抽象到具象的难点

新课改一直强调学生思维能力的培养。而小学生正处于由具体形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡时期, 其思维带有很强的具体形象性。教师要善于尽可能地利用信息技术把抽象的数学知识还原成学生看得见、摸得着、听得到的生活情境, 让学生在实践体验中理解和掌握数学知识。很多教育专家也提出以“数形结合”方式培养学生的逻辑思维与形象思维的教育教学理论, 但如何具体落实到我们的课堂教学中, 笔者认为一方面需要教师在课前预设中要充分考虑到这一点, 另一方面也需要巧妙利用信息技术化解小学生抽象理解弱于具象理解能力的难题。

如“小数的意义”学习中为使学生正确理解小数的分数意义, 笔者设计了这样一个课件 (如下图所示) , 学生不断地�改变着小数的大小, 重复地感知小数的大小变化引起涂色图形面积变化。在这种带有游戏般的情感体验与认知实践中, 积累了较丰富的表象, 从而为顺利地抽象出小数的意义建立思维起点。

操作说明:

双击小数可任意修改小数的大小.

消除由平面转空间的难点

应该说, 充分灵活运用三维、二维动画功能是信息技术对教育教学的最大支撑, 它在弥补传统教学之不足的方面体现最突出。现代信息技术可以较方便地利用平移、旋转、叠加、渐变等动态效果将我们小学数学课堂教学中某些难点的思维过程清晰呈现出来, 从而启迪学生的智慧, 培养学生的逻辑思维能力和创新能力。

如“观察物体”一课, 利用“几何画板”模拟三维图形 (如右图所示) , 使物体由静态变动态, 直观形象。可以引领学生从不同方位 (正面、侧面、上面) 观察五个小正方体组成的立体图形, 使学生在直观体验中观察立体图形的三视图, 极大地吸引力学生的注意力, 减轻学生空间想象的难度, 提高了学生学习数学的兴趣。

破解由预计到生成的难点

利用几何画板探究数学问题 篇8

几何画板是一个小巧、功能强大且使用简单的数学实验工具，具有简明朴素、短小精悍的特点。用几何画板做数学实验花时少、收效好，在对各种图形或数量进行变换的操作中，可以动态地保持数量与数量、图形与图形、数量与图形之间的关系，并能展示其中某些恒定不变的规律。通过动态演示数学变化规律，有助于引导学生厘清数和形的辩证关系，形成动态观察问题、分析问题和解决问题的思想方法。

一、基于“几何画板”的数学探究教学的操作程序

基于“几何画板”的数学探究教学的研究立足于高中数学课堂，以问题或任务为载体，创设一种类似于科学研究的情境，让学生通过自主探究活动回答问题或完成任务，并在此过程中了解知识的来龙去脉，获得知识和技能，强化数学思考过程，提高综合运用知识解决问题的能力。其操作程序包括5个环节：创设情境、提出问题→探究实验、提出猜想→师生合作、验证猜想→继续实验、深层探究→总结概括、形成结论。在一次具体的探究学习活动中，上述5个环节一般是先后执行，但这5个环节往往不是一次性的线性的过程，而是一个反复循环、螺旋式上升的过程。在“创设情境、提出问题”环节，教师用“几何画板”创设问题情境，推动学生的认知冲突，启发思维，引出问题；在“探究实验、提出猜想”环节，学生在教师的指导下，借助“几何画板”进行探究性实验，比如，对各个数学元素进行有序的控制操作、变换情境，从而发现规律，合情推理，归纳猜想；在“师生合作、验证猜想”环节，学生在教师的启发和引导下，对所得出的猜想进行验证，即通过演绎推理等方法来验证猜想是否正确，或通过举出反例的方法来否定猜想；在“继续实验、深层探究”环节，在得出结论的基础上，让学生进一步探究，进而获取真正的数学经验，而非抽象的数学结论；在“总结概括、形成结论”环节，学生通过自主探究，对新知识已经有了零碎或粗浅的认识后，需要在教师的启发和引导下进行概括、整理、归纳、总结，将各个知识点整理成为有条理有层次且准确系统的知识。

二、“几何画板”应用于探究教学的教学模式

通过实践，我校数学课题组已初步构建起三种常用的教学模式。

1.以教师为主导的“指导—探究”课堂教学，它是指教师根据教材的知识结构和学生的思维特点，对学生进行学习思路的引导，针对学生求知过程中产生的疑点，启发学生思考，帮助学生掌握知识规律，并在实践和探究中提高运用知识解决问题的能力。由于我们日常的教学任务比较重，经常拿出一整节课进行实验探究不太现实，在这种情况下，采用“指导一探究”的教学模式能较好地将教学的重点、难点用形象直观的动态画面演示出来，变抽象的内容为形象直观的知识，促进学生对知识的理解。

例如：我校周小英老师在讲解某些特殊的高次不等式（x-x1）（x-x2）…（x-xn）>0（或<0）的解法时，采取的教学设计是“提出问题—转化探究—改变条件—探求新知—归纳总结”，具体操作如下：

首先是“提出问题”环节：求不等式y=（x+3）（x+2）（x-1）（x-2）>0的解集。

其次是“转化探究”环节：师生对函数、方程、不等式三者间的关系进行讨论后，将问题转化为求函数y=（x+3）（x+2）（x-1）（x-2）>0的图像在x轴上方的部分的横坐标的集合，因此，求不等式的解集，关键在于了解函数图像。如图2，学生通过作图，观察后发现了函数y=（x-x1）（x-x2）…

（x-xn）的图像规律。

图2

第三个环节是“改变条件”：若方程（x-x1）（x-x2）…（x-xn）=0有重根，图像还相同吗？

第四个环节是“探求新知”：学生利用“几何画板”开展实验探究，归纳出两种情形：①方程有奇数个重根的情况，如图3、图4。

图3

图4

②方程有偶数个重根的情况，如图5、图6。

图5

图6

最后是“归纳总结”环节：y=0时的n个根将x轴分为n+1个区间，最右一个区间f（x）>0，其余区间函数值的符号从右到左“负正相间”，有重根时，图像的特点是奇数根处图像穿过根，偶数根处图像不穿过根（简记为“奇穿偶不穿”）。

周小英老师对题目的改造，使数学问题变得更具吸引力和探究性，较好地激发了学生的好奇心和探究欲，培养了学生的探究意识和能力。

又如，正态曲线就是函数f（x）=■■的图像。面对如此复杂的函数，在传统的教学中，教师往往依照教科书的三个图形画出草图，然后告知学生正态曲线的所有性质。实际上，大多数学生根本无法从仅有的几个图像中真正理解这些性质。对正态曲线性质的理解成了传统教学中学生一直无法克服的难点，而在实验探究教学中，学生能够主动地利用信息技术具有动态性的优点来研究函数图像（如图7、图8），通过观察图像的位置和形状的变化，轻而易举地得出正态曲线的性质，促进了学生对这些性质的理解。

图7

图8

2.以学生为主体的“情境—探究”课堂教学，这种教学模式由教师预先设计好需要探究的问题或情境，学生直接进行探究。课前，学生向老师提出感兴趣的问题或教师根据教学经验和教学需要确定课堂教学探究的主题，编写探究导学，探究导学的内容包括探究的主题和探究的目标任务。教师将探究导学提前两至三天发给学生，要求学生课前认真阅读探究导学，明确目标任务，复习相关知识，进行思考研究。课中，学生成立实验小组，根据教师创设的学习情境进行观察，同时结合自己的课前研究和思考与同伴展开交流，进行操作实践，验证猜想是否正确，然后在教师的指导下把思考的过程和实践的结果进行归纳和总结。

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下面以陈清卓老师的一个实验课为例作具体说明：

实验课题：f（x）=x+■函数的图像和性质。

实验背景：函数f（x）=x+■蕴含极大的教学价值。表现在：它是一个正比例函数与一个反比例函数之和通过变量替换而得到的函数；它是一个奇函数；把它用在（0，+∞）上的单调性可以解决函数的一类最值问题，特别是在“均值不等式”中不能取得等号时求最值的问题；当k≠0时其图像为双曲线。

实验工具：几何画板GPS（4.01）。

实验目的：探究函数f（x）=x+■的图像和性质（单调性和奇偶性）。

实验要求：1.把学生分成若干小组，每个小组4人；2.各小组写出实验目的、实验方法、实验步骤；3.各小组按计划开展实验；4.全班交流实验结果；5.撰写实验报告。

实验步骤：

1.打开几何画板，进入函数编辑功能。

2.输入函数f（x）=x+■（k=-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4……）。

3.不断改变k的值，观察函数图像（如图9、图10）的变化规律，记录下观察到的现象，填写表2。

4.根据观察到的现象，猜想函数f（x）=

x+■的性质（奇偶性、单调性）。

5.检验猜想的正确性。

图9

图10

实验报告：

1.实验现象记录。不断改变k值时，观察到的现象是：随着k值的不断减小，分布在1、3象限的两条曲线逐渐靠近。当k值为正数时，图像在第一象限内“先减后增”，在第三象限内“先增后减”；当k为0时，两条曲线变为一条直线y=x；当k值为负值时，若x>0，函数为增函数，若x<0也是增函数。在整个函数图像的变化过程中，函数图像都关于原点对称。（教师用几何画板演示）

2.猜想。

猜想①：函数f（x）=x+■为奇函数。

猜想②：当k<0时，函数f（x）=x+■在x>0时单调递增，在x<0时也单调递增。

猜想③：当k>0时，函数f（x）=x+■在第一象限“先减后增”，在第三象限“先增后减”。

3.证明猜想①、猜想②；猜想③中的增与减的分界点难以确定。

4.寻找函数f（x）=x+■（k>0）的单调区间：①打开“几何画板”；②当k取不同的值时，作出函数f（x）=x+■（x>0）的图像，并观察函数取最小值时x的值（见图11），填写表3；③由表3猜想函数f（x）=x+■（x>0）取得最小值时x的值中所蕴含的规律；④对猜想进行验证；⑤证明猜想的正确性。

5.讨论：函数f（x）=x+■的性质。

①函数f（x）=x+■是奇函数，图像关于原点对称；②当k<0时，x在（-∞，0）上函数为增函数，x在（0，+∞）上函数也是增函数；③当k>0时，x在（-∞，■），（■，+∞）上的函数是增函数；x在（-■，0），（0，■）上的函数是减函数。若x>0，当x=■时，ymin=2■；x<0，当x=-■时，ymax=-2■.④当k=0时，函数为y=x，是一次函数。

这是一节探究实验课，教学设计的宗旨是让学生利用信息技术开展教学实验，根据原始的实验数据进行归纳整理，观察实验现象，从中猜想出函数的性质，并通过实验过程来验证猜想的正确性，利用函数的性质特点来解决一些实际问题和数学问题，培养科学实验的方法，学会撰写数学实验报告，促进学习方式的转变。

3.以学生“自主—探究”为主的研究性学习，是指让学生根据自身的经验、技能，以个体自学为主进行自主选择、自主探究、自主发展。除课堂内的探究性活动，教师还可以利用课外时间教给学生操作几何画板的简单知识，让学生利用计算机做实验来解决数学问题。对那些较为抽象的或几何图形变化较为复杂的数学知识，我们可以将它设计为数学实验，把抽象的数学知识具体化，把静止的图形动态化，让学生动手做数学实验，在实验中了解知识的发生和发展过程，掌握知识的变化规律，理解数学知识的来龙去脉，真正实现在“做中学”。

三、确定探究实验教学的整合点，建立与探究教学相配套的教学资源库

在数学探究教学过程中，要有效地发挥“几何画板”在数学探究教学中的作用，关键是要准确诊断出教学内容的整合点，在此基础上研究如何合理运用“几何画板”。以“导数”这一章节教学内容为例，我们对教材进行了认真分析，找出了利用“几何画板”进行探究实验教学的整合点。比如：在导数的概念这节内容中，动态演示■的变化过程，对■的值进行测量、通过动态演示来明确切线与曲线交点的问题、通过测量明确导函数的值与曲线图像性质的关系等内容，教学时采取以教师为主导的探究教学模式。对于一元三次函数的图像性质这一内容，让学生自己设计方案绘制出有代表性的函数图像，通过探究活动，明确一元三次函数的图像性质。含参数函数的图像性质这部分内容，采用以学生为主体的探究教学模式，而函数图像和它导函数图像的关系，需要通过观察图像找到它们之间的联系，然后撰写相应的研究报告，进行课题汇报，在课堂中进行展示交流，这部分内容采用以学生探究性学习为主的教学模式。

构建与探究教学内容相配套的教学资源库，从一定程度上改变了教师备课的方式。教师可以从素材库中选取授课时所需要的教学资源，在较短的时间内制作出教学所需要的教案或课件，这种做法在将教师从繁重的备课中解脱出来后，能把更多的精力放在钻研教学内容和教学设计上。而资源库中的成品课件，可以供学生使用，在丰富课程资源的同时，也为学生提供了广阔的探究空间。（责编 欧孔群）

利用几何画板探究数学问题 篇9

新课改下的数学课堂一直强调有效地提高课堂效率、高效课堂，但在教学中会发现，有效的课堂时间上，教师要花费很多的时间去画图形或者准备图形课件，既浪费了时间又没能让学生参与到真正的数学动手与探究中来。所以在教学中我认真学习《几何画板》，结合教学实际运用到几何教学中，现就自己在教学中的体会谈谈几何画板在数学教学中的应用。

一、几何画板在初中数学教学中的作用

1、体现数学美，激发学生对数学的学习兴趣

都说数学美，可是它的美究竟体现在什么地方呢？教师也很难说清楚，学生更是难明白。在初中阶段，和谐的几何图形、优美的函数曲线都无形中为我们提供了美的素材，在以往为了让学生感受，教师花费很大的精力、体力去搜集图片，资料，在黑板上无休止地画图。如今，利用几何画板按几下就可以绘出金光闪闪的五角星、旋转变换的正方形组合等等一系列能体现数学美丽一面的图形。用它们来引入正题，学生会很快进入角色，带着问题、兴趣、期待来准备听课，效果可想而知。例如：我在讲解三角形内角和定理应用时，首先在屏幕上迅速制作了一个有颜色变化的五角星，同学们很快就被吸引，教师跟着提出问题。五角星的五个角的度数和是多少呢？学生们七嘴八舌，议论纷纷，当教师用画板的度量功能和计算功能得出它的五个角和为180度时，学生们惊讶不已。立刻就有同学着手证明……在总结出一般解法之后，教师进一步提出问题，七角星和九角星的各角读数 和是多少呢？……一节课在积极热烈的气氛中进行着。原本静止枯燥的数学课变成了生动、活泼、优美感人的舞台，学生情绪高涨，专注、渴求和欣喜的神情挂在脸上。兴趣是学生学习的最好的老师，是原动力。

当我们使用《几何画板》动态地、探索式地表现直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，还有象圆锥的侧面展开图等等，都能把形象变直观，实现空间想象能力的培养。实践证明使用《几何画板》探索学习数学不仅不会成为学生的负担，相反使抽象变形象，微观变宏观，给学生的学习生活带来极大的乐趣，学生完全可以在轻松愉快的氛围中获得知识。

2、符合学生的心理特点，提高课堂效率

传统的数学教学方法，基本上是信息的单向传输，即“讲、练、评”三位一体的教学模式，反馈处于不自觉状态中，不利于分层教学、因材施教，不易激发学生的求知欲和兴趣。现代教学媒体《几何画板》能化静态为动态，化抽象为具体，能够寓趣味性、技巧性和知识性于一体。把计算机引入数学教学课堂，对教学本身是个改革，每当我在课堂上演示“教学软件”时，教室里鸦雀无声，所有的眼睛都盯着显示屏，全神贯注地观看演示结果，极大调动了学生学习数学的兴趣。同时我的课件也是根据中学生的知识特点，不断地向学生提出启发性的问题，以激发学生主动学习的积极性，培养学生独立思考和自学能力。几何画板课件能有利于“因材施教”，为课堂个别化教学提供了可能性。教师可以根据学生的具体情况灵活掌握并能处理好知识面的 宽与窄、量的多与少和难度的深与浅的关系，从而有效地控制教学的广度、深度和难度。对学生而言，在操作过程中，概念正确与否关系到图形能否完成整无缺，在拖拉过程中是否能始终保持恒定的几何性质，反馈始终处于自觉检测状态中，答案正确与否能也能及时反馈，特别是差生可免于常规教学中的“当面丢丑”，使差生的挫折心理向积极一面转化，进而提高学习效果。

二、几何画板与数学教学的实践结合

1、促进教师讲清知识点，帮助学生理解基本概念

在传统教学模式下，教师要利用三角板、直尺等教学工具用粉笔在黑板上作出很多有关教学内容的具有代表性的图形，并结合学生生活的具体实际，借助日常生活中学生熟知的经验知识，对典型图形进行分析、描述，引导学生认真观察、辨认，启发学生比较、联想。这样的教学无疑对学生认识图形、理解概念、奠定学习几何的形态式语言基础、建立起图形与概念之间的本质联系、深化对概念的认识有着重要的作用。但利用计算机的工具型应用软件《几何画板》来辅助教学，可以带来“出示图形更灵活，展现的图形更丰富，而且规范、直观”等诸多好处。

如教学中我经常发现一些学生对轴对称图形和中心对称图形的概念非常熟悉，可是真正判断的话还是有一定的困难，学生很难想象这个图形翻折后或者旋转180度之后是什么情况，于是老师让学生把一些常见图形是不是轴对称图形或者是不是中心对称图形背出来，我想这样的做法不是最理想的，如果我们利用几何画板，把一个图形 是怎样沿着某一条直线翻折过来，然后直线两旁的部分是怎样重合或不重合的过程展示给学生看的话，一定效果很好，用同样的手段展示旋转的过程，这样学生才能真正明白为什么是或者不是。

2、动态展示数学问题，把抽象的数学教学变得直观和形象

很多学生对数学产生厌倦的心理就在于数学本身具有抽象性，单凭老师的讲解还是未能清晰。运用几何画板可以令学生在动画演示或者对比分析中得到很直观的教育，易于学生理解。在八年级下册反比例函数一章中，双曲线的性质是：当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x值的增大而减少。很多学生无法明白到为何强调在每个象限内，所以导致在做题目时因忽略了这个要求而出错。很多老师也认为即使讲解也是很抽象的解释，但只要在《几何画板》中，我们就可以轻易地点出在不同一象限的点所对应的值的规律与定理不符，学生就能直接看出必须在同一象限才能比较，更形象更深刻。

又如在九年级“二次函数y=ax2+bx+c的图像”一节中，如何向学生说明y=ax2、y=ax2+k、y=a（x-h）

2、y=a（x-h）2+k等函数图像的相互关系一直是传统教学中的重点和难点，学生难以理解，教师也难以用文字语言说明。通过《几何画板》只需用鼠标上下移动点a、h、k，y=ax2、y=ax2+k、y=a（x-h）

2、y=a（x-h）2+k等函数图像便可一目了然，难题也就迎刃而解，学生也在a、h、k的变化过程中加深对二次函数的理解。利用《几何画板》反复动态演示y=ax2、y=ax2+k、y=a（x-h）

2、y=a（x-h）2+k等函数图像的相互变换，学生便可比较 顺利地掌握二次函数的图像上下左右平移的知识难点。

3、激发学生自主参与到数学研究中

当学生对数学产生了兴趣，又开始去接触几何画板时，更易激发他们运用现代化技术来得出问题的答案的心理。例如学生证明“三角形中，如果有两个角的平分线相等，则这个三角形是等腰三角形”的问题时，由于该题目的证明思路很不容易被找到，学生尝试用多种方法思考证不出来时，提出了这样的问题：“老师，你让我们证明的题目是正确的吗？”我提示学生用《几何画板》对题目进行验证。学生作出了图形，并测量了有关的线段的长度，当通过拖动M、N两点，在找准使AM与BN相等的点时，学生得到AC与BC的值总是相等的。于是，在验证了结论是正确的这样一种良好心理的支撑下，学生兴奋地告诉说：“老师，题目的结论是正确的，我要再试试如何证明。”

同时，验证不仅在学生解题时有用，对新知识的教学也很有用。如学习“三角形三内角和为180度”定理时，教师可以让学生绘制一个三角形，测量出每个角的度数和三内角和的值，并拖动三角形的任一个顶点，观察三个内角之和是否仍保持为180度。这样在感性认识上首先建立起认知新知识的起点，为推理论证的顺利开展建立了信心。再如勾股定理、圆的切割线定理、相交弦定理等重要数学定理的证明，利用这种方法都能起到很好的教学效果。为使学生掌握解题规律，避免学生盲目的题海战术，减轻学生的课业负担，变式的训练是必不可少的。以往的变式题目，教师在黑板上，画不完的图，写不完的字。如今，借助画板可以完全改变这一状况。在八年级下册中的四边形一章中，很多学生很容易将常用的四边形性质混乱，如矩形、菱形、平行四边形、正方形等。对于中点四边形更是云里看雾，传统的教学方式中，教师就需要画很多的图形进行证明，更容易令学生产生眼花缭乱的感觉。运用几何画板，我们可以将其进行整合与变形，令学生明白，并且能延伸知识点。例如在一节习题讲评课上，我设计了如下一组题目，原题：顺次连结四边形的各边中点所得到的图形是？学生经过思考和证明不难得到结论，进而教师利用画板按钮变换图形和题目引出下列变式习题：变式1：顺次连结矩形的各边中点所得到的图形是？变式2：顺次连结菱形各边中点所得到的图形是？变式3：顺次连结正方形各边中点所得到的图形是？变式4：顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得到的图形是？变式5：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的图形是？ 变式6：顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得到的图形是 ？学生在强烈的动态图形面前积极思考，认真观看变化。很快就总结出规律：这类问题的关键在于四边形的对角线。在同样的思路下，自己总结出规律，留下的印象是十分深刻的。

利用几何画板探究数学问题 篇10

这时我们可以借助数学软件“几何画板”来协助作图。

例如在演示文稿中添加“抛物线”图像。 先在几何画板中将“抛物线”图形画出来后，再选中复制到剪贴板。

然后打开金山WPS演示文稿，找到要添加的位置。

在编辑“菜单”中选择“粘贴”，在剪贴板中的图像就被复制到演示文稿中了。

利用几何画板探究数学问题 篇11

关键词：几何画板；初中数学；数学教学；有效应用

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）10-382-01

数学是研究现实世界中数量和空间形式的一门科学。可广泛应用于自然科学和技术的各个部门，对于人类认识自然和改造自然，起着重要的作用。数学是学校中学生必须学习的一门主要功课，也是学好其它各门功课的基础。尤其是初中阶段数学的基本概念、性质、定律、法则和公式均属于基础知识的范畴。准确地理解并掌握这些基础知识，对学生能力的形成和智力的发展以及进一步学习中等和高等数学都是至关重要的。因此，学生在初中阶段一定要学好数学，教师也一定要尽职、尽责和尽力教好数学。

一、《几何画板》软件的优点

《几何画板》是探索数学奥秘的强有力的工具，利用这个画板可以做出各种神奇的图形。比如制作各种平面几何图形、勾股定理的动态模型、透视图形、动态正弦波、各种函数曲线和数据图表等。使用常规工具（如纸、笔、圆规和直尺）画图，画出的图形是静态的，很容易掩盖一些重要的几何规律。而使用几何画板，可以画出有几何约束条件的几何图形。另外，《几何画板》可以在图形运动中动态地保持几何关系，可以运用它在变化的图形中发现恒定不变的几何规律。比如用画点/画线工具画出一个三角形后，可以用鼠标任意拖动三角形的顶点和边，就可以得到各种形状的三角形。也可以让三个顶点在三个圆上运动，作一个动态的演示，这时就可以说：“这就表示一个任意三角形”。在此基础上，还可以作出它的三条中线，无论三角形如何变化，其三条中线总是交于一点。所有这些，只需教师几分钟的操作，计算机专业人员无须参与。

二、几何画板在初中数学教学的有效设计

几何画板的设计制作也就相当于备课的环节，是能否上好一堂课的前提基础，非常重要。因此，我们要注意设计中的一些问题，以求达到更好的教学效果，为师生服务，为教学服务。

首先，教师一定要认识到几何画板只是课堂教学的一种辅助手段。在制作几何画板时应遵循以人为本，教学为学生服务，课件为教学服务的原则，而不能只是将教学内容照搬到几何画板中，让几何画板在课堂上独当一面，喧宾夺主。因此，在设计几何画板时要详细分析教学内容和合理安排学生活动，安排好学生的提问回答，以及演板练习等活动与课件内容的衔接时间等。例如，我们在讲授圆与圆的位置关系时，先利用几何画板复习引入，先课件出示“点与圆有几种位置关系”，然后让学生思考回答，再利用几何画板课件出示大量的数学知识得到点与圆有三种位置关系。然后，类似的利用《几何画板》课件又提出了新的问题：“直线与圆有几种位置关系？”显然，在短时间内，向学生出示这么大量的信息如不借助多媒体教学是不可能实现的。在此基础上，就有学生向教师提出问题：“老师：两个圆之间也有这样的位置关系吗？”面对学生的问题，哪一个老师不欣喜若狂呢？这正是以几何画板为平台，进行合作学习活动时，创设能引导学生主动参与的教学环境，激发学生学习的积极性，使学生生动活泼学习的结果。然后，我利用几何画板给出“日环食”的动画过程，引发探究：“在平面内，半径不等的两个圆相对运动，有几种位置关系，有什么性质？”的问题，由学生自己探究后就圆满完成了。

其次，教师在设计几何画板时应注重合理的选题。几何画板的制作要遵循因材制宜的原则，须合理选题，突出针对性。用语言较难表达、学生难以理解、抽象的数量关系或图象的位置关系、需要动态模拟的变化过程、体现图形的形成及有关运动变化的过程等都是可选择的课题。例如，我们在讲授数学坐标轴中的平移时，以往都是在黑板上用实线和虚线画出某图形平移前后在坐标轴的位置，我们就可以加入动画元素，使一条直线或一个图形从初始位置移动到最终位置，这样非常形象，学生予以理解掌握平移的概念。但也不是所有的教学都要加入各种多媒体元素，我们在设计几何画板时应注重简明直观的原则：教师应合理安排教学内容，有重点，简明直观地呈现教学信息。例如，当几何画板能够很好呈现动画时，不要再加入与内容重复的屏幕文本，因为这样学生的视觉工作记忆会超载，从而只有很少的认知资源可以用在对应的语词和画面之间建立联结，因而减少了有效学习的可能性。

最后，教师在设计几何画板时应提供给学生操作机会，强调交互性。交互性是多媒体技术最具特色和优势的根本特性，在教学过程中课件能不断地给学生提出问题，整个教学过程是“教师—计算机—学生”进行交流的一个过程。数学课件如果交互性太少，则属于流水形式的灌输课件，教学效果肯定不好。例如，因为二次函数的图象复杂，作图繁琐，在讲授对二次函数y=ax2+bx+c的图象性质时，使用几何画板的优越性更为明显。通过动态改变参数a、b、c的值，能够让学生在图象的变化中总结出函数的图象和性质。让每个学生亲自动手实验，改变任何一个参数，通过观察、比较、分析得出自己的结论，这样的效果更理想。通过观察函数图象的变化，学生在互相讨论、教师点拨指导等反馈中，得出自己的结论，逐渐形成自己的知识体系，达到知识的重建。这有利于学生从实践中发现问题、解决问题，主动地学习数学，提高数学思维能力。这样，就把学生从被动的学习中解脱出来，主动地思考数学问题，真正体现了新课改的思想。

三、结语

我相信只要我们能够多动脑、多探究，注重几何画板设计和使用的科学性、实用性、合理性，一定能使几何画板这一现代教育技术在初中数学教学中得到更充分有效的应用。

参考文献：

[1] 几何画板课件制作教程[M].北京：人民教育出版社，2005（5）.

[2] 陈玉生.多媒体数学课件的制作策略[J].中小学数学，2008（9）.