初中数学有理数知识点（推荐11篇）
(1)有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减;同级运算，应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号，要先做括号内的运算.
(2)进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化.
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1.转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算.
2.凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解.
3.分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算.
4.巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便.
怎样学好初一数学的方法技巧整理
预习的方法
上课之前一定要抽时间进行预习，有时预习比做作业更重要，因为通过预习我们可以初步掌握课程的大致内容，听课就能够把握好重点，针对性比较强，还会带着问题去听课，听课效率就会比较高，上课听明白了，完成作业也会更好更快，最终会形成良性循环。
听懂课的习惯
注意听教师每节课强调的学习重点，注意听对定理、公式、法则的引入与推导的方法和过程，注意听对例题关键部分的提示和处理方法，注意听对疑难问题的解释及一节课最后的小结，这样，抓住重、难点，沿着知识的发生发展的过程来听课，不仅能提高听课效率，而且能由“听会”转变为“会听”。
不断练习
不断练习是指多做数学练习题。希望学好数学，多做练习是必不可少的。做练习的原因有以下三点：第一，熟练和巩固学到的数学知识;二，引导同学灵活运用所学知识点以及独立思考独立做题的水平;第三，融会贯通。通过做题将所学的所有知识点结合起来，加深同学对数学体系化的理解。
及时小结，温故知新
一要进行复习小结，及时再现当天或本单元所学的知识;二要积累资料进行整理。可将平时作业、小测验中技巧性强的、易错的题目及时收集成册——错题本，便于复习时参考。
初中数学中心对称知识点
1、定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
2、心对称的两条基本性质：
(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。
(2)关于中心对称的两个图形是全等图形。
3、中心对称图形
[关键词] 初中数学；“引导—探究”教学模式；有理数的乘方
“引导—探究”教学模式近年来广泛应用于我国的初中数学教学中，尤其在有理数的乘方教学中，其应用价值更加凸显. “引导—探究”教学模式，旨在通过各种各样的实践教学活动，调动学生的学习积极性和主观能动性，并且在整个实践活动中，鼓励支持自主思考，全面提升学生的自主学习能力，推动教学质量的提升. 因此，在初中数学教学中，加强“引导—探究”教学模式的应用，能够有效地、全面地提升初中数学教学水平，同时促进初中学生身心健康发展. 基于此，本文在阐述“引导—探究”教学模式的应用价值基础上，以“有理数的乘方”为例，浅谈初中数学教学应用“引导—探究”教学模式的途径，期望能够为初中数学教学改革提供一定的参考与指导.
阐述“引导—探究”教学模式
的应用价值
1. 有利于解决传统教学弊端
在教学中，加强“引导—探究”教学模式的应用，将课堂主动权交还学生，重点培养学生动手解决问题的能力，并且鼓励学生进行自主思考，变过去的“要我学”为“我要学”，可以有效地改变传统教学弊端——目前，初中数学教学依然采用传统的“灌输式”教学模式，教师在课堂教学中占据着主导地位，学生只能被动地接受教师灌输的知识. 教师一味地追求考试成绩（笔试），忽视了培养学生的动手实践能力，与学生缺乏良性互动，往往挫伤学生的学习积极性和主观能动性，导致教学质量下降.
2. 有利于拓展学生的学习思维
“引导—探究”教学模式与传统的“灌输式”教学模式相比，其教学手段更加灵活自由，而且轻松愉悦的教学氛围能够有效地调动学生的主观能动性. 因此，在初中数学教学中，增强“引导—探究”教学模式的应用，加强师生之间的互动交流，加强彼此的理解和信任，从而不断地增强学生的团队合作意识和能力，并且通过各种各样的教学活动，锻炼学生的扩散性思维，全面提升教学质量.
浅谈初中数学教学应用“引导—
探究”教学模式的途径——以
“有理数的乘方”为例
1. 巧妙且科学地设置教学问题
巧妙且科学地设置教学问题，所起到的作用主要表现为：更加有效地帮助学生理解知识的难点，提升学生自主解决知识难点的能力，对整个初中数学教学质量的提升具有重要的推动作用. 因此，在初中数学教学中，不仅仅要加强“引导—探究”教学模式的应用，而且需要将“引导—探究”教学模式与巧妙的问题设置相融合，才能促进教学质量的提升. 例如，在“有理数的乘方”教学中，教师根据初中生好动、好奇心重等特点，可以将复杂的问题设置得更加生活化. 比如幂、底数、指数的概念问题解析上，教师可以积极地引导学生认真地留意生活中常见的幂、底数、指数（依附一定的事物），鼓励并支持学生积极地发表自己的意见和观点；然后教师根据学生的意见和观点，利用先进的互联网技术，将学生难以理解、掌握的幂、底数、指数的概念问题，用视频、动画等形式呈现出来，并且尽可能地使用学生易懂的语言.
2. 以知识拓展为原则加强“引导—探究”教学训练
知识拓展，目的在于：全面提升学生的动手实践能力，且课内或课外均可实行. 其中，课内的知识拓展（也就是所谓的反馈训练），可以充分检测学生对所学知识的掌握情况，并且教师可以及时地纠正其错误认知. 因此，在教学过程中，教师可以在一堂课将要结束时，结合学生的个性特征、实际学习水平、内在发展需求等，要求学生自主选择有针对性的训练题目，并且保证监督与指导，充分地调动学生的自主学习热情和主观能动性，从而为全面提升教学质量打好坚实的基础. 例如，在“同底数幂的乘法”教学中，通过问题的巧妙设置，达到拓展知识的目的，且加强“引导—探究”教学模式的应用价值；同时，在学生自主学习的过程中，调动他们的扩散性思维，能够促进他们综合能力的提升.例如，在“aman=am+n”后，那么“am+n=？”及“amanap=？”的指导下，教师可以将拓展知识的问题设置为：
（1）已知2x+3y-2=0，求a2x+3y的值；
（2）已知am=3，an=5，求a3m+2n的值；
（3）已知25x=2000，80y=2000，求的值.
3. 优化教学理念，丰富教学手段
初中数学知识具有一定的难度及深度，对于初中学生来说，理解起来难度较大；而且初中学生正处于青春叛逆期，心智较不成熟，自我约束能力比较弱. 因此，教师需要加强与学生的沟通交流，理解并掌握学生的心理特征，根据学生的个性特征、实际学习能力、内在发展需求、心理承受能力等，在恰当的时机及时地调整教学方案，并且采取更加高效的、尊重学生长远发展的教学理念，如“引导—探究”教学理念. 在尊重、支持学生的个性发展的基础上，为学生身心健康发展保驾护航，起到引导的作用. 现代社会发展，对人才的要求越来越高，高素质的复合型、创新型实用人才更加受到青睐. 因此，应当不断地优化当下初中数学教学理念，与时俱进地推行素质教育，并且打破传统教学方式的束缚，积极地发展课外数学教学活动，如教师定期组织学生开展数学知识交流会、数学知识竞答赛等. 在课堂教学中，多与学生互动交流，改变传统的“灌输”教学模式，加强学生的自主探究，达到丰富教学手段的目的. 与此同时，通过优化教学理念，丰富教学手段，可以有效地提升学生的实践能力，继而全面提升初中数学的教学质量，保障初中学生的身心健康发展.
4. 课堂教学主动权回归
“引导—探究”教学模式的应用，能够有效地增强学生的自主思考、自主探究的能力，且学生自主解决问题的意识和能力也会随之增强，能够有效地推动整体初中数学教学质量的提升. 因此，为了有效地提升初中数学教学质量，需要将课堂教学主动权交还学生，即尊重学生的学习主体性. 在整个初中数学课堂教学中，将课堂教学主动权交还学生，发挥学生的聪明才智，教师作为课堂教学的参与者与指导者，为学生提供必要的指导即可. 这样，充分地调动学生的自主性，且在学生解决不了问题（教师必须进行辅导的情况下）时，教师进行及时指引，保证学生自主完成，这样便可以有效地促使学生能够根据问题进行自主探索；同时在巧妙的问题引导下，在教师的辅助、支持下，学生进行自主猜想，可以使知识结构欠缺、能力较差的学生的学习积极性被激发出来，积极地参与探索学习的过程，并且将“引导—探究”的初中数学教学价值淋漓尽致地表现出来. 这有利于解决传统教学的弊端，有利于调动学生的主观能动性，并拓展学生的学习思维，从而全面提升初中数学教学质量，推动素质教育进程的加快.
结语
“引导—探究”教学模式在初中数学教学中的应用，需要做好：巧妙设置教学问题；以知识拓展为原则加强“引导—探究”教学训练；优化教学理念，丰富教学手段；课堂教学主动权交还学生，才能够有效地调动学生的学习积极性和主观能动性，全面提升初中数学教学质量，且有利于素质教育的全面推进和解决传统教学的弊端. 另外，初中数学教学改革，还需要充分考虑学生的个性特征（青春叛逆期）、实际学习能力、心理承受能力、内在发展需求等多个方面的影响因素，全面推进素质教育，才能确保教学质量的提升，促进学生的身心健康发展.
1、掌握数轴的三要素，能正确画出数轴。
2、能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数。
(二)过程与方法
1、使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，逐步形成应用数学的意
识。
2、对学生渗透数形结合的思想方法。
(三)情感、态度与价值观
1、使学生初步了解数学来源于实践，反过来又服务于实践 的辩证唯物主
义观点。
2、通过画数轴，给学生以图形美的教育，同时由于数形的结合，学生会得
在以学生发展为本的教育理念的指导下，为提高学生的学习兴趣及效率，提高教学质量，结合新课程标准的要求，对初一年级第一章第五节作如下的设计。
一、说教材
1、地位作用：
有理数的乘方是初一年级上学期第一章第五节的教学内容，是有理数的一种基本运算，从教材编排的结构上看，共需要4个课时，此课为第一课时，是在学生学习了有理数的加、减、乘、除运算的基础上来学习的，它既是有理数乘法的推广和延续，又是后继学习有理数的混合运算、科学记数法和开方的基础，起到承前启后、铺路架桥的作用。在这一课的教学过程中，可以培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力，以及转化的数学思想，通过这一课的学习，对培养学生的这些能力和转化的数学思想起到很重要的作用。
2、教学目标：
（1）让学生理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义；能够正确进行有理数的乘方运算。
（2）在生动的情境中让学生获得有理数乘方的初步经验；培养学生观察、分析、归纳、概括的能力；经历从乘法到乘方的推广的过程，从中感受转化的数学思想。
（3）让学生通过观察、推理，归纳出有理数乘方的符号法则，增进学生学好数学的自信心。
（4）经历知识的拓展过程，培养学生探究的能力和动手操作的能力，体会与他人合作 交流的重要性。
3、教学重点：
有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及其相互间的关系；有理数乘方的运算方法。
4、教学难点：
有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及其相互间的关系的理解。
二、说教学方法
启发诱导式、实践探究式。
三、说学法
根据初一学生好动、好问、好奇的心理特征，课堂上采取由浅入深的启发诱导，随着教学内容的深入，让学生一步一步的跟着动脑、动手、动口，在合作交流中培养学生学习的积极性和主动性，使学习方式由“学会”变为“会学”。
四、说教学手段
利用多媒体教学，目的之一是使课堂生动、形象又直观，能激发学生的学习兴趣，目的之二是增大教学容量，增强教学效果。
新 课 导 入 新 课 导 入 新 课 导 入
小 学 是 怎 样 进 行 除 法 运 算 的 ? 讨 论 两 数 相 除 的 例 子 有 哪 些 情 形 ?9÷3 正数除以正数-9÷3 负数除以正数 0÷3 零除以正数 9÷-3 正数除以负数 负数除以负数-9÷-3 0÷-3 零除以负数 0 能 否 做 除 数 教 学 目 标 教 学 目 标 教 学 目 标 知 识 与 能 力
1.理 解 有 理 数 除 法 法 则、会 进 行 有 理 数 的 除 法 运 算;2.会 求 有 理 数 的 倒 数.过 程 与 方 法
通 过 有 理 数 除 法 的 学习, 培 养 观 察、归 纳、概 括、运 算 及 逆 向 思 维 能 力.教 学 目 标 教 学 目 标 教 学 目 标
情 感 态 度 与 价 值 观
通 过 思 索、判 断 , 培 养 自 己 对 数 学 能 力 的 自 信 心.教 学 重 难 点 教 学 重 难 点 教 学 重 难 点 重 点
有 理 数 除 法 法 则.难 点.商 的 符 号 的 确 定.2.0 不 能 作 除 数 的 理 解.知 识 回 顾 知 识 回 顾 你能很快地说出下列各数的倒 数吗? 2 9 ?1-5 7 0-1 原数 3 8 1 3 8 1-1倒数5 5 9 71 =3 =3 99÷3 正数除以正数 3 1 =-3 ?9 负数除以正数 =-3-9÷3 3 1 零除以正数 =0 0=0 0÷3 3 因为-3×3=-9, 除 法 是 乘 法 所以-9÷3=-3.的 逆 运 算
除 以 一 个 正 数 等 于 乘 以 这 个 正 数 的 倒 数.1 9÷-3 正数除以负数 9 =-3 =-3 3 1-9÷-3 ?9 =3 =3 负数除以负数 3 1 零除以负数 0÷-3 =0 0 =0 3 因为3×-3 =-9, 因为-3×-39, 所以9÷-3 =-3.所以-9 ÷-33.因为0×-30, 除 以 一 个 正 数 等 于
所以 0÷-30.乘 以 这 个 正 数 的 倒 数.知 识 要 点 知 识 要 点
有 理 数 的 除 法 法 则 除以一个不等于0的数,等于 乘以这个数的倒数.1 即: aba b0 b例6:计算: 两数相除,两数符 号相同则结果为正,两 1 ?637;? 11 7数符号不同则结果为负, 2? 24 6并把绝对值相除.解 : 1 ?637? 637?9;12 7 11 6 11? 2? 24 6 24 7 28?9? 0 5? 9 50 0 05 90 除 以 任 何 一 个 不 等 于0 的 数 都 得0.知 识 要 点 知 识 要 点
有 理 数 除 法 法 则 两数相除,同号得正,异号得负, 并把绝对值相除0除以任何一个不等于0的数都得0.练 一 练 计算: 1 24 ?6;-4 1 2 ?4;-8 2 3 3 0;0 4 7 4 49 4 8 7 32例7:化简下列分数: ?16 1;4 39 分数可以理解 2为分子除以分母.?15 ?16 解 : 1?16?44;?4 39 13 239?15?39 ?1515 5例8:计算:? 5 1 ?135?5;? 乘除法混合运算,? 6? 统一成乘法? 5 1 2 4.5;? 7 9 7133 ? 1 32 4 5 ?有括号的? 5 解 : 1 ?135?5 先算括号6? 里的 5 11356 5 先算乘 1 5 1135 再算加 5 6 5 1276 127651解 : 2 4.5? 7 9? 9 7 1 2 5 9 7.10 无括号,只有 乘除,从左向 右计算? 7 1 3 解 : 3 ? ?1 3 2 4 57 5 332 4 5 7 4 1 3? 2 5 3 5 先把带分 数化为假 14 分数
25知 识 要 点 知 识 要 点
有 理 数 的 加 减 乘 除 混 合 运 算括号则按照“先乘除,后加减”的顺 序进行。注 意 注 意
1.因为0没有倒数,所以,0不能作除 数;2.在除法运算中,符号的确定与乘法运算一致;3.遇到乘除法混合运算时,应按照从左到右的顺序进行;4.遇到求带分数的倒数时,先将带分数化为假分数,再求其倒数.练 一 练 计算: 1 1 1 11 ?3;26 4 2 4
如有括号的先算括号里的,无
2 8 ?0.75;9 12 5 1 1 3 ? 5 6 2 3 例9:为提醒广大市民做好防冻御寒工作, 下列为某地区一周内最低气温预报。具体气 温如下: 星期
一 二 三 四 五 六 日-4 ℃
-2℃-5℃ 0℃-4℃-3℃-3℃ 气温 求本周的平均最低气温? 解:〔(-2)+(-5)+(-4)+0 +(-4)+(-3)+(-3)〕÷7 =(-21)÷7
=-3 例10:今抽查10袋精盐,每袋精盐的 标准重量是100克,超出部分记为正,统 计成下表: 精盐的 1 3 1 3 2 袋数 每袋超
出标准 +0.8-0.5 0 +1.3-1.2 的克数
问:这种10袋盐一共有多重?解:0.8+3 ×(-0.5)+0 +3 ×1.3+2 ×(-1.2)=0.8-1.5 +3.9-2.4=0.8100 ×10+0.8=1000.8.答:这10 袋盐一共重1000.8 克 我们可以用计算器进行复杂的数的 计算.例:用计算器计算: 0.8+3×(-0.5)+0 +3×1.3+2×(-1.2)解:用带符号键(-)的计算器, ●●
0 8(-)0 5 0 + 3 × + + ● ●(-)2 3 × 1 3 2 + × = 1 0.8练 一 练 用计算器计算:(1)653+(-450)+261+(-123);341 371(2)(-25)×33+(-26)×(-46);64.64(3)18.72÷(-52)-(-1430)÷22;(4)5.6×(-46)÷(-0.25)×3。3091.2课 堂 小 结 课 堂 小 结 课 堂 小 结.有 理 数 除 法 法 则 1 abab0(1)b(2)有理数除法法则:两数相除,同号得
正,异号得负,并把绝对值相除(3)0除以任何一个不等于0的数都得0.2.有 理 数 的 加 减 乘 除 混 合 运 算 : 如有括号的先算括号里的,无括号则按照
“先乘除,后加减”的顺序进行.随 堂 练习随 堂 练习随 堂 练习1.填空题 3 1(1)当x _____ 时 , 没 有 意 义;1x 1x 1(2)当x _____ 时 , 的 值 为0;3 3 ±1(3)当x _____ 时 , 没 有 意 义.1x2.下列说法正确的是()D A.负数没有倒数 B.正数的倒数比自身小 C.任何有理数都有倒数 D.-1的倒数是-1 C 3.下列运算结果不一定为负数的是()A.异号两数相乘 B.异号两数相除
C.异号两数相加 D.奇数个负因数的乘积4.化简下列分数.4 ?28 1 2 1-4 ?20 7 5 5 4 ?56-15 1 7 3 ?8 3a 5.已知: ?a ?5, ?b ?3且0, b ±19 求 2a-3b 的值.6.已知a,b互为相反数,c,d互为
倒数,m的绝对值是4, abmcd2008 求.m m +4 时 , 原 式2 004 m-4 时 , 原 式2 012习题 答 案习题 答 案习题 答 案
一､转化思想
所谓“转化思想”就是将“未知”转化为“已知”,将“新知识”转化为“旧知识”,将“复杂问题”转化为“简单问题” ,转化思想是解决数学问题的常见思想方法.
例1 计算:5 - - ÷ -1.
按运算顺序,先算括号里的,需要通分,这样比较麻烦,把后面的除法转化为乘法,利用分配律解答比较简单.
解:原式= --÷ -
= × -- × - -× -
=-3 ++
=-2.
(1)本题利用除法法则,把除法转化为乘法,利用运算律使运算简单.
(2)有理数运算中减法转化为加法,也体现转化思想.
二､分类讨论思想
有时将问题看成一个整体时,则无从下手,若分而治之,各个击破,则能柳暗花明.分类讨论正是这一种思想,也是一种重要的数学思想方法,为了解决问题,将问题所涉及的对象不遗漏地分成若干类问题,然后逐一解决,从而达到最终解决整个问题的目的.
本章中相反数､绝对值､有理数乘方､运算符号法则,有理数的意义都用到了分类的思想.
例2 已知a-2 = 2,a + b = 4,则ab=.
由a-2 = 2,可知a - 2 = 2或a - 2 = -2.故a = 4或a = 0.由a + b = 4可知,当a = 4时,b = 0时;a=0时,b = 4.所以ab = 0.
例3 在-(+4)､-､､-(-1)､0､--中,负数有个,是,非负数有个,是.
数可以分为非负数和负数两大类,非负数包括正数和0.-(+4)､-､--是负数,､-(-1)､0是非负数.
解:3 - (+4)､-､-- 3 ､-(-1)､0
分类必须遵循以下两条原则:(1)每一次分类都要按同一个标准进行;(2)不重复,不遗漏.
三､数形结合思想
“数无形,少直观;形无数,难入微”,利用“数形结合”,可以使所要研究的问题化难为易,化繁为简.
例4 写出绝对值小于3的所有整数.
根据绝对值的几何意义,绝对值小于3的数就是在数轴上到原点的距离小于3的数,如图1.
图1
解:其中的整数有:-2,-1,0,1,2.(数形结合,直观简便)
将数量关系辅助以图形,则更加具体直观､简便,从而快速得到问题的答案.
顶点式：y=a(x-h)^2+k(a=?0，k为常数，x=?h)
顶点坐标：(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
顶点坐标_顶点坐标-解释
在二次函数的图像上
顶点式：y=a(x-h)^2;+k抛物线的顶点P(h，k)
顶点坐标：对于二次函数y=ax^2;
+bx+c其顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2;)/4a)
02 二次函数口诀速记
二次方程零换y，二次函数便出现。
全体实数定义域，图像叫做抛物线。
抛物线有对称轴，两边单调正相反。
A定开口及大小，线轴交点叫顶点。
顶点非高即最低。上低下高很显眼。
如果要画抛物线，平移也可去描点，
提取配方定顶点，两条途径再挑选。
列表描点后连线，平移规律记心间。
左加右减括号内，号外上加下要减。
二次方程零换y，就得到二次函数。
图像叫做抛物线，定义域全体实数。
A定开口及大小，开口向上是正数。
绝对值大开口小，开口向下A负数。
抛物线有对称轴，增减特性可看图。
线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。
如果要画抛物线，描点平移两条路。
提取配方定顶点，平移描点皆成图。
列表描点后连线，三点大致定全图。
若要平移也不难，先画基础抛物线，
顶点移到新位置，开口大小随基础。
【注】基础抛物线
03 二次函数顶点坐标公式推导
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a=?0)
顶点式：y=a(x-h)^2+k
【抛物线的顶点P(h，k)】
对于二次函数y=ax^2+bx+c
其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
推导：
y=ax^2+bx+c
y=a(x^2+bx/a+c/a)
y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)
y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a
y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a
对称轴x=-b/2a
顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
04 相似三角形
①相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小
(1)理解相似形的概念;
(2)掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小。
②平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理
理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算。
注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用。
③相似三角形的概念
以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义。
④考点：相似三角形的判定和性质及其应用
熟练掌握相似三角形的判定定理(包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理)和性质，并能较好地应用。
⑤三角形的重心
知道重心的定义并初步应用.
⑥向量的有关概念
⑦向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算
掌握实数与向量相乘、向量的线性运算
05 有理数的分类、大小比较和运算
(1)按有理数的定义：
正整数、0、负整数统称为整数;
正分数和负分数统称为分数;
整数和分数统称为有理数。
整数：
①正整数：1，2，3，...;
②零：0;
③负整数：-1，-2，...;
分数：
①正分数：0.15，...;
②负分数：-0.15，...;
(2)按有理数的性质分类：
正有理数：
①正整数：1，2，3，...;
②正分数：0.15，...;
零：0;
负有理数：
负整数：-1，-2，...;
负分数：-0.15，...;
注意：
(1) 无限循环小数可以写成分数形式，所以是有理数。
(2)所有正数组成正数集合，所有负数组成负数集合，所有整数组成整数集合，所有有理数组成有理数集合。
(3)正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数。
有理数的大小比较：
1.正数>0>负数;
2.两个负数比较：
①右边的点表示的数比左边的点表示的数大。
②绝对值大的反而小。
有理数的运算
1.有理数的加法：
加法一般步骤：
①确定符号：同号取相同的符号。
异号取绝对值大的加数的符号。
②确定绝对值:同号将绝对值相加。
异号用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得0。一个数与0相加，仍得这个数。
用字母表示加法的交换律a+b=b+a;加法结合律a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)。
三个或三个以上有理数相加，可以写成这些数的连加式，对于连加式，根据加法
交换律和加法结合律，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的某几个数相加。
根据算式的特征，恰当地运用运算律，可以使运算简便：
①符号相同的数先相加--同号结合法
②互为相反数的先相加--相反数结合法
③分母相同的数先相加--同分母结合法
④正数与正数，小数与小数相加--同形结合法
2.有理数的减法：
减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
加减法混合运算，把减法转化为加法再计算。
3.代数和：
有理数加减混合运算时，将加减法统一成加法运算，转化为求几个正数或负数的和。
在一个和式中，可以把各个加数的括号和括号前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。
4.有理数的乘法：
乘法步骤：
1、确定符号：同号正，异号负。
2、绝对值：求积。
任何数与0相乘，都得0。任何数与-1相乘都得这个数的相反数。
多个有理数相乘的运算：
几个非0有理数相乘时，当负因数个数是偶数时，积为正;
负因数个数是奇数时，积为负;
乘法交换律，乘法结合律，乘法分配律;
5.有理数的除法：
除法步骤：
1、确定符号：同号正，异号负。
2、绝对值：相除。
除以一个不等于0的数等于乘上这个数的倒数。
0除以任何一个不等于0的数都得0。
06 二次根式的应用知识点总结
二次根式的应用主要体现在两个方面：
①利用从特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题;
②利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。
这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。
常见用法：
(1)设计一些规律探索问题提高学生的想象力和创造力;
(2)联系生活实际设计一些方案探究题。
误区提醒：
(1)不能通过观察，归纳、猜想寻找出共同的规律，并运用这种规律解决问题;
(2)不会应用数学的知识解决实际生活中的问题。
07 角平分线的性质及判定
性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。
判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。
08 三角形的稳定性
我们在学习三角形的知识中，老师经常会提到的一句话就是：三角形具有稳定性。
稳定性证明：
任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接。
∵ 第三条边不可伸缩或弯折 ，
∴ 两端点距离固定 ，
∴ 这两条边的夹角固定;
∵ 这两条边是任取的 ，
∴ 三角形三个角都固定，进而将三角形固定，
∴ 三角形有稳定性 。
任取n边形(n≥4)两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接
∴ 两端点距离不固定 ，
∴ 这两边夹角不固定 ，
∴ n边形(n≥4)每个角都不固定，所以n边形(n≥4)没有稳定性。
如果不看上面的证明过程，我们就没有办法清晰的理解三角形稳定性的所有定理。
09 全等图形与三角形
1.全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形。
2.全等图形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等。
3.全等三角形： 三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等;全等三角形的周长，面积也都相等。
这里要注意：
(1)周长相等的两个三角形，不一定全等;
(2)面积相等的两个三角形，也不一定全等。
10 相反数
①只有符号不同的两个数，叫做互为相反数。0的相反数是0。
②a的相反数-a
③a与b互为相反数:a+b=0
④a-b的相反数是:-a+b或b-a
⑤a+b的相反数是:-a-b
⑥求一个数的相反数方法:在这个数的前面加“-”号.
⑦在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。
11 绝对值
1.几何意义：从数轴上表示a的点到原点的距离即为︱a︱
2. ①一个正数的绝对值等于它本身;当a是正数时，︱a︱=a;
②一个负数的绝对值等于它的相反数; 当a是负数时，︱a︱=-a;
③0的绝对值等于0。 当a=0时，︱a︱=0。
3.互为相反数的两个数的绝对值相等。
12 倒数
①乘积是1的两个数叫作互为倒数。
②a的倒数是a分之1(a=?0)
③a与b互为倒数 ab=1
④正数的倒数还是正数，负数的倒数还是负数，0没有倒数。
13 乘方
①求几个相同因数的积的运算叫做乘方
a^a^…^a=a^n
②底数、指数、幂
14 轴对称
轴对称的定义：
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合 ，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的。
轴对称的性质：
(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分;
(2)对应线段相等，对应角相等;
(3)关于某直线对称的两个图形是全等图形。
轴对称的判定：
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
这样就得到了以下性质：
1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。
4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。
轴对称作用:
可以通过对称轴的一边从而画出另一边。
可以通过画对称轴得出的两个图形全等。
扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。
轴对称的应用
关于平面直角坐标系的X,Y对称意义
如果在坐标系中，点A与点B关于直线X对称，那么点A的横坐标不变，纵坐标为相反数。
相反的，如果有两点关于直线Y对称，那么点A的横坐标为相反数，纵坐标不变。
关于二次函数图像的对称轴公式(也叫做轴对称公式)
设二次函数的解析式是 y=ax2+bx+c
则二次函数的对称轴为直线 x=-b/2a,顶点横坐标为 -b/2a,顶点纵坐标为 (4ac-b2)/4a
在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质。
譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线;
矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线;
正方形，菱形问题经常添设对角线等等。
关键词： 初中数学教学 生活 应用
新课程标准更多地强调学生用数学的眼光从生活中捕捉数学问题，主动运用数学知识分析生活现象，自主解决生活中的实际问题。因此，在数学教学中应充分重视学生的生活体验，把数学教学与学生的生活体验相联系，把数学问题与生活情境相结合，让数学融入生活。下面我主要与初中数学教学为例，谈谈将数学教学融入生活的体会。
一、让学生感受数学从生活中来
要让学生感受数学从生活中来，这就要求教师在课堂教学中根据学生的年龄特点、知识结构及他们的心理特征，将教学内容和他们已有的生活经验结合已有的知识背景，创设情境、设疑引思，使学生从熟悉的生活中学习数学、理解数学，并且从探索过程中体验到学习数学的乐趣。而要达到以上效果就必须从以下方面入手。
1.收集生活素材，体验数学学习的乐趣。鼓励学生深入生活实际，培养学生用数学的眼光观察、认识周围的事物。让学生在平常的生活中搜集“生活中的数学”，根据收集的内容进行分类整理。课堂教学中，教师有目的地从学生收集的资料中提取与数学有关的资料，并将它与书本知识有机结合。在国庆放假前我布置了这样一道习题：某人有10000元钱，打算存入银行十年，请同学们到储蓄所调查一下，一年到十年存款的年利率得出的结论，按照要求设计出存款方案。a.选择三种储蓄方法，计算10000元钱存入银行十年后的利息（假设利率不变）。b.选一个最佳的存款方案，并说说这个方案有什么优点。要求：亲自到银行把利率表抄下来，并注明是哪个银行的。这道题中渗透了数学知识，充分发挥了学生学习的主体作用，学生通过收集材料、分析材料、设计方案，激发了探索欲望，提高了运用知识解决实际问题的能力。
2.从生活背景入手，诱发学习数学兴趣。从学生熟悉的生活背景导入，让学生感受数学无处不在，能诱发学习动机，提高学习兴趣。如：在教学“解直角三角形”时，我通过学生熟悉的旗杆测量问题让同学们预习，有的学生甚至亲自动手测量学校旗杆的高度。在课堂上，我让他们分小组讨论：如何测量旗杆的高度？同学们通过实践加深了对这一问题的理解，得出了多种多样的测量方案。我便让他们对各自的方法加以讨论和总结。他们总结出三种方法：第一种：运用了同一时刻影长与物高成正比。即在同某一时刻测出一位同学的影长几米和身高几米，此时旗的影长是几米，通过列方程计算出旗杆的高度是几米。此时我充分肯定了这种方法的合理性，并提出问题：为什么同一时刻下影长与物高成正比呢？这里运用了什么知识？这一提问加深了同学们对相似图形的理解，并对太阳光是平行光这一生活常识有了一定的体会。第二种：拉直旗杆顶端的绳子，量出绳子比旗杆长的部分，此时再把绳子的下端拉开到刚好接触地面，测出下端离旗杆几米，利用勾股定理列式。第三种：利用相似三角形进行计算。通过有两组对应角相等的两个三角形是相似三角形进行作图，再利用相似三角形的对应边成比例进行计算。从学生熟悉的东西入手，不但增强了他们动力实践的能力，更提高了他们的学习兴趣。通过比较，他们自主探索掌握的程度远远超过教师单方面的说教。当他们对旗杆的测量产生了浓厚兴趣的时候，我又问：用同样的方法可以测量出楼房的高度吗？大山呢？等等。把他们的思维推向最高峰。在数学教学中，把数学知识与生活、学习与活动有机结合起来，让学生真正感受到数学就在身边、在生活中无处不在，获得探索数学的体验，提高利用数学解决实际问题的能力。学生在此过程中体会数学与生活的密切联系，从而激发学生热爱数学，建立学好数学的信心，提高学习数学的兴趣。
二、鼓励学生网上搜索资料，体会数学的价值
鼓励学生网上搜索资料，让学生体会数学的形成过程，扩大知识面，体会数学的价值。同时也可以开展网上数学实验，让学生体会数学知识的来龙去脉。例如：几何画板和图形计算器提供了十分理想的让学生积极探索问题的“做数学”的环境，学生完全可以利用它来做数学实验，这样就能使学生在问题解决过程中获得真正的数学经验，而不仅仅是一些抽象的数学结论。在进行研究性学习时，创造条件，让学生亲身经历发现过程，从数学现象中发现、归纳数学规律，体会学习数学的乐趣，这对培养学生的数学精神十分有益。
三、让数学融入学生生活
“学以致用”是数学教学的一条重要原则。在学习过程中要让学生领悟出数学源于生活，又用于生活，数学有很强的应用价值这个重要道理。教师就要设计一些应用性较强的题目，并引导他们学会自觉运用所学的基础知识和基本方法分析解决生活中实际问题，深刻体会到数学巨大的应用价值及其魅力，逐渐培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。要做到这一点，主要还是要大胆放手，让学生自己动手探索，教学上以学生为本，提倡学生自己思考问题，发现问题，解决问题。要摒弃传统的以教师为本，以课本为本的教学方式，学生自己能完成的问题一定要让学生自己完成，引导他们掌握一套属于自己的学习方法。这不仅是消除现在学生普遍存在的依赖心理，训练他们自主思考能力的好办法，还是锻炼学生的数学创造性思维，激励他们不断挑战自我的重要方法。
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零
当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大;
当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小.
(1) 解析式：y=kx(k是常数，k≠0)
(2) 必过点：(0，0)、(1，k)
(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限;k<0时，图像经过二、四象限
(4) 增减性：k>0，y随x的增大而增大;k<0，y随x增大而减小
(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴;|k|越小，越接近x轴
3、一次函数及性质
一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注：一次函数一般形式 y=kx b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数
一次函数y=kx b的图象是经过(0，b)和(-k/b，0)两点的一条直线，我们称它为直线y=kx b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b>0时，向上平移;当b<0时，向下平移)
(1)解析式：y=kx b(k、b是常数，k0)
(2)必过点：(0，b)和(-k/b，0)
(3)走向：
k>0，图象经过第一、三象限;k<0，图象经过第二、四象限
b>0，图象经过第一、二象限;b<0，图象经过第三、四象限
(4)增减性：k>0，y随x的增大而增大;k<0，y随x增大而减小.
(5)倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴;|k|越小，图象越接近于x轴.
(6)图像的平移：
当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位;
教学目标：
1、知识与技能：在了解正负数的概念的基础上，使学生灵活运用正负数的来表示相反意义量
2、过程与方法：通过用正负数的来表示相反意义量的教学，培养学生观察、比较和概括的思维能力.教法主要采用启发式教学
3、情感态度与价值观：在传授知识、培养能力的同时，注意培养学生勇于探索的精神，学会交流
教学重点：
深化对正负数概念的理解
教学难点：
正确理解和表示向指定方向变化的量
教学准备：彩色粉笔
教学过程：
一、复习引入：
上一节课我们知道了在实际生产和生活中存在着两种不同意义的量，为了区分这两种量，我们用正数表示其中一种意义的量，那么另一种意义的量就用负数来表示.这就是说：数的范围扩大了(数有正数和负数之分).那么，有没有一种既不是正数又不是负数的数呢? 问题1：有没有一种既不是正数又不是负数的数呢?
学生思考并讨论.
(数0既不是正数又不是负数，是正数和负数的分界，是基准.
例如：在温度的表示中，零上温度和零下温度是两种不同意义的量，通常规定零上温度用正数来表示，零下温度用负数来表示。那么某一天某地的最高温度是零上7℃，最低温度是零下5℃时，
就应该表示为+7℃和-5℃，这里+7℃和-5℃就分别称为正数和负数。那么当温度是零度时，我们应该怎样表示呢?(表示为0℃)，它是正数还是负数呢?由于零度既不是零上温度也不是零下温度，所以，0既不是正数也不是负数²
二、讲解新课
把0以外的数分为正数和负数，它们表示具有相反意义的量。随着对正数、负数意义认识的加深，正数和负数在实践中得到了广泛的应用。在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准(规定海平面的海拔高度为0米)，通常用正数表示高于海平面的某地的海拔高
度，用负数表示低于海平面的某地的海拔高度。例如，珠穆朗玛峰的海拔高度为8848.43米，吐鲁番盆地的海拔高度为—155米。记账时，通常用正数表示收入款额，用负数表示支出款额。
思考：教科书第4页(学生先思考，教师再讲解)
三、课堂练习课本 P4练习1,2,3,4
四、课时小结
引入负数可以简明的表示相反意义的量，对于相反意义的量，如果其中一种量用正数表示，那么另一种量可以用负数表示. 在表示具有相反意义的量时，把哪一种意义的量规定为正，可根据实际情况决定.要特别注意零既不是正数也不是负数，建立正负数概念后，当考虑一个数时，一定要考虑它的符号，这与以前学过的数有很大的区别.
五、课外作业 教科书P5： 2、4
关键词：数学史；农村；课堂教学
在新课程改革中，数学史被看作是理解和学习数学的一种有效方法。数学史对揭示数学知识的来源和数学发展的规律、激发学生的学习兴趣都有着特殊的、不可替代的作用。现行初中数学教材中蕴藏着丰富的数学史资源，充分挖掘教材中的数学史资源，并在课堂教学中多角度地创设问题情境，适时融入数学史，活用数学史，会让我们的数学课更加生动和精彩。
笔者一直在农村初中任数学教师。在教学过程中，笔者发现很多学生在学习数学过程中感到畏惧、枯燥、无味，对数学没有兴趣。面对这些情况我们在课堂教学中适当地渗入数学史知识，可以让学生了解数学知识的产生与发展、激发学生学习数学的兴趣，从而帮助其树立正确的学习态度。
下面结合笔者的教学经验，谈谈数学史在农村初中数学课堂教学中的一些作用。
一、能帮助学生更好地理解所学内容
小学数学基本上是建立在经验和直观的基础上的，比较易于理解。到了中学，代数的符号化、几何推理证明的出现，使学生开始接触到抽象的数学，不少学生感到数学突然变得难学了，加之数学教材过于理论化，给学生的学习带来很大困难。定义不明白、定理不理解、习题不会做的现象司空见惯。在教学中融入数学发展历史能够加深学生对数学概念、定理及思想方法的理解，帮助学生掌握所学内容，这也是数学史知识渗入中学数学教学中的主要目的。
揭示数学知识的来源背景便于理解概念。数学是以概念为起点，以公理、定理为依托，用各种思维方法总结出来的一个科学体系。任何一个数学概念都是数学家在数学的研究过程中，根据问题的实际首先提出来，然后在具体的发展中逐渐完善而确定的。因此，不同的概念不同程度上带有问题产生发展的痕迹。在数学教学中，若能将概念产生的背景再现，对于学生理解概念的确切含义是很有益的。比如：函数是中学数学中比较难理解的概念，不少学生只是机械地背诵定义，对定义的内容却含糊不清。如果在教学中，教师能够从约翰伯努利首先给出的“函数”概念出发，进一步介绍欧拉等数学家对函数的研究和贡献，以及人们对函数的认识和理解过程，就能加深学生对函数定义的理解和接受。另外，通过对数学历史的介绍，还可以让学生明白负数产生的原因，无理数因何而得名，毕达哥拉斯定理、陈子定理、勾股定理、百牛定理间是什么关系，为何这样，等等。这既利于概念的理解和掌握，又能丰富学生的知识。
二、能激发学生的学习兴趣
俗话说：兴趣是最好的老师。初中生好奇心强，自制能力差，总是把精力放到自己喜欢做的事情上。在数学教学中插入数学史料，给学生介绍数学知识产生的历史背景、数学家的趣事，讲解一些数学趣题，让学生了解某个数学问题是在什么情况下、怎样提出来的，最早的解法是什么，走过怎样的弯路，最后的结论如何，中国在数学史上作出哪些贡献等。给同学们展示人类认识数学、理解数学、探索数学，从而进一步发展数学的过程，将“死”的数学内容“活”起来，激发学习兴趣，提高学生的学习积极性，促使他们在数学学习上下工夫。这方面的例子很多，如：讲内角和定理时，介绍帕斯卡的聪明；讲二次方程时，介绍韦达的伟大等，都可以收到事半功倍的效果。史料的介绍可以在课前引入，先声夺人；也可以在课中插入，吸引同学的注意力；还可以在课后归纳，为下一节课埋下伏笔。
三、能帮助学生确立正确的学习态度
目前，多数家庭的孩子比较少，在家里又娇生惯养，不少同学吃苦精神、克服困难的勇气相对较差。数学史中数学家们创造数学成果时的艰辛努力、执着追求、拼搏奉献精神会给同学们很大的鼓舞，能使他们的思想境界得到升华。在数学教学中，每当讲解用数学家的名字命名的定义、定理时，不失时机地介绍数学家的生平事迹和高尚情操，对于帮助学生确立正确的学习态度，增强克服困难的勇气和精神是很有利的.例如：在教不完全归纳法时，可以介绍数学家欧拉，欧拉诞生于瑞士的巴塞尔，小时候他就特别喜欢数学，不满10岁就开始自学《代数学》。这本书连他的几位老师都没读过，可小欧拉却读得津津有味，遇到不懂的地方，就用笔做个记号，事后再向别人请教。1720年，13岁的欧拉靠自己的努力考入了巴塞尔大学。这在当时是个奇迹，曾轰动了数学界。小欧拉是这所大学，也是整个瑞士大学校园里年龄最小的学生。欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文，也不顾孩子在旁边喧哗；即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇论文。伟大的欧拉为了人类的进步，为了数学科学的发展，贡献出自己的双目和他宝贵的一生。他杰出的智慧、顽强的毅力、孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是我们学习的榜样。
在数学课堂教学中渗入数学史进行教学很有必要，我们应该进一步认识数学史在数学教学中的地位和价值，积极在教学中渗透数学史，从而充分发挥数学史在农村初中数学课堂教学中的重要作用。
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