构造函数处理不等式问题

构造函数处理不等式问题（精选12篇）

构造函数处理不等式问题篇1

杨利辉

(成都纺织高等专科学校人文社科与基础部，成都 611731)

作者：杨利辉（1970-），女，助教，主要从事大学数学教学及研究。

摘要：关于不等式的证明方法有很多种，而运用函数构造法证明不等式使得问题简单化，本文阐述了数学中构造法的含义及其应用所产生的影响，用实例介绍了函数构造方法的几种应用情形。关键词：函数构造法；不等式；证明

Abstract： There are various methods can be applied to prove the inequalities.Especially, the method of construction can make the problems of inequalitybe simplified.We first state the meaning of the method of construction which applies effectively to resolve the problems of inequality in advanced mathematics.Then, construction of function, graphic solution, inequality equation and so on will be introduced.And a soundly explanation of various method of construction will be given by illustration.Keywords：The method of structure；Inequality；Constructing function;continuous1、构造法及其意义

学习数学在于善于寻求解题方法，发现一条摆脱疑难、绕过障碍的途径，实现从已知到未知的转化，在解题过程中，由于某种需要，要把题设条件中的关系构造出来，将关系设想在某个模型之上得以实现，将已知条件经过适当的逻辑组合而创造出一种新的形式，从而使问题得到解决.构造法是根据问题的有关信息确定特定的映射关系构造出数学模型，将问题转化为对数学模型的数理机制的研究，从而达到解题的一种化归方法。化归是一种间接解决问题的方法，它在解决数学问题中的作用在于转化，就是把待解决或未解决的问题进行变形，分割，映射，或者简单化，或熟悉化，或具体化，直到归纳到一类已经能够解决或者比较容易解决的问题中去.运用构造法解题的巧妙之处在于不是直接去解问题A，而是构造一个与问题A有关的辅助问题B，通过解答问题B 而达到解决问题A的目的.构造法是数学中最具有挑战性的解题思路，它的合理使用使复杂问题简单化.特别是对于解决不等式问题，因为不第1页

等式是两个数值或两个代数式或两个函数大小的比较，不等式的证明方法有很多种，而采取构造法证明不等式不仅可以提高解题速度，同时也拓宽了解题思维.构造法作为一种创造性的思维活动，对思维能力的培养和提高也有很大的益处，它作为一种重要的数学思想和常用数学方法，具有广泛的应用，在证明过程中，既能逢难化易，又能活跃思维，是培养创造性思维的一个极好的切入点.本文通过几个实例，阐述如何运用函数构造法来证明不等式的问题.2、几种常见的函数构造方法

在证明不等式时，先认真观察不等式的结构特征，或者作适当的变形后再观察，然后构造出一个与该不等式有关的辅助函数，利用辅助函数的有关性质去证明不等式，这种证明不等式的方法就叫做函数构造法。

2.1 利用函数的单调性构造辅助函数：

若fx在[a,b]上连续，在a,b内可导，且对于任何x∈(a,b)有fx0 则fx 在[a,b]上单调增加；若fx0，则fx在[a,b]上单调减小.例1已知m、n、都为正整数,且1mn，证明：(1m)n(1n)m.分析利用不等式左右两端形成一致构造函数，并结合单调性来解决问题.证设fxln1x(x2)，x

1xln(1x)

则fx，因为x2，2x

x1,ln(1x)lne1，所以1x

所以fx0，故f(x)在(2,+∞)时是减函数, 即ln(1m)ln(1n)，mn

所以ln(1m)nln(1n)m,故原不等式成立.例2设实数a,b,c，满足|a|1,|b|1,|c|1，求证：abc2abc.证构造函数faabc2abcbc1acb2，因为|b|1,|c|1,所以bc10，故f(a)为关于变数a的一次函数，且f(a)在（-1，1）上为单调函数，而f1bc1cb2b1c1，由|b|1,|c|1知f(1)0故f(a)为减函数，当1a1时，有f(a)f(1)0.从而题设条件下有abc2abc.2.2利用函数的局部保号性

例3已知|a|1,|b|1,|c|1,求证：abbcac1.证原不等式形为bcabc10，构造函数f(a)bcabc1，若bc0，不等式成立，若bc0，则fa是a的一次函数,又－1＜a＜1，而f1bcbc11b1c0，f1bcbc11b1c0,由单调函数的局部保号性有 fa0，从而得到abbcac1.2.3利用整函数多项式的性质

20062006

例

4是整数.分析:分子中两个幂底数的第二项与分母都相同，联想到函数值的求法。

证明：构造函数 fx1x

因fxfx，故f(x)是一个只含有 x 奇次项且不含常数项的整系数多项式函数，因此f(x)是一个只含有偶次项的整系数多项式函数，x20061x2006，又因为x

故原式是整数.2.4利用函数的凹凸性

设函数yfx在[a，b]上连续，若对[a，b]中任意两个值x1和x2（x1x2），恒有f(x1x2f(x1)f(x2))，则称yf(x)在[a，b]上是上凸的；若恒有2

2xxf(x1)f(x2)f(12)则称yf(x)在[a，b]上是上凹的.22

b]上是上凸的，若yf(x)在[a，则对该区间内任意n个自变量的值x1,x2,x3,,xn

有不等式

f(x1x2xnf(x1)f(x2)f(xn))成立 nn

而且仅当x1x2x3xn 时等号成立.例

5、在ABC中，求证：sinAsinBsinC

证明：设x1x2且x1、x2(0,)，令f(x)sinx，因为f(x1)f(x2)sinx1sinx2xxxxxxxxsin12cos12sin12f(12)，22222233.2所以ysinx在[0，]上是上凸的，因为A，B，C(0,)根据定理有

故sinAsinBsinC

3.2sinAsinBsinCABCsinsin，3333、小结

本文介绍了运用函数构造法证明不等式的一些方法。利用函数构造法证明不等式需要认真分析要证明的不等式所具有的特点，引用不同的构造法，然后运用其特性对不等式加以证明。

构造法在数学中的应用非常的广泛，运用构造法解决不等式问题培养了学生具有创

造性的数学能力和解决实际问题的能力，而创造性的能力的体现是创造性思维。

对于数学思维的培养及数学方法的培养也有一定的加强作用，有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，有利于激发学生学习兴趣，有利于提高学生学习的自觉性，把学生和教师从题海中解放出来，从而减轻教与学的过重负担。

参考文献

构造函数处理不等式问题篇2

一、求参数范围

例1函数y=(x-1)a-6(log3a)x+x+1,其中x∈[0,1]时,函数值恒为正,求a的取值范围.

解:选x为主元,构造一次函数有该一次函数恒为正的充要条件为:,解得,所以

例2若f(x)=asinx+bcosx+c的图象过点(0,1)及(,1),且当x∈[0,]时恒有{f(x)|≤2,求c的取值范围.

构造函数g(u)=(1-c)u+c,因g(u)在区间[1,]表示线段,可知:

解得

评注:上述两例若不变换主元,则需要进行分类讨论,造成运算过程非常冗长,不利于构造参数不等式求范围.

二、解不等式

例3设不等式x2+px+1>3x+p对一切满足|log2pl<2的p值均成立,解此不等式.

解:由|log2p|<2得.转换视角,将不等式中p视为主元,则可变形为:f(p)=(x-1)p+(x2-3x+1),p∈(,4),问题转化为关于p的一次函数为正数时系数的讨论.显然x≠1,因此f(p是p的单调函数,使f(p>0,p∈(,4)成立的充要条件为:,即

三、证明不等式

例4若x、y、z∈(0,1),则有x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

证明:构造一次函数f(x)=(1-y-z)x+y(1-z)+z,x∈(0,1),

从而f(0)=y(1-z)+z=(y-1)(1-z)+1<1,f(1)=1-y-z+y(1-z)+z=1-yz<1.

于是对0

从而有(1-y-z)x+y(1-z)+z<1,即x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

例5已知,β≠kπ(k∈Z),求证:sinαcosβ+cosβsinγ+sinγsinα>-1.

证明:因为sinαcosβ+cosβsinγ+sinβsinα+1=(cosβ+sinγ)sinα+cosβsinγ+1,故可构造函数f(x)=(cosβ+sinγ)x+cosβsinγ+1.

从而无论一次函数f(x)是增函数还是减函数,当x∈(-1,1)时恒有f(x)>0.

所以f(sinα)>0,则问题获证.

例6已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时|f(x)|≤1,求证:当x∈[-1,1]时|g(x)|≤2成立.

证明:由题设有|f(0)|=|c|≤1,|f(1)|=|a+b+c|≤1,|f(-1)|=|a-b+c|≤1.

因为|a±b|=|a土b+c-c|≤|a±b+c|+|c|≤2,所以-2≤a±b≤2.

所以对于函数g(x)=ax+b,x∈[-1,1],有g(x)≤max{g(1),g(-1)}=max{a+b,a-b}≤2;g(x)≥min{g(1),g(-1)}=min{a+b,a-b}≥-2.

所以-2≤g(x)≤2,即|g(x)|≤2.

利用构造函数法求解不等式问题篇3

[关键词] 构造函数法不等式

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674 6058（2016）17 0056

构造函数法是解决不等式问题的有效方法，如何构造函数显得尤为重要.下面举例谈谈构造函数法在解不等式问题中的应用.

一、比较函数值大小

这类题型主要采用从结论入手来构造函数的方法，即分析结论的结构特点，建立可导的函数f（x），再利用f（x）的导函数，判断函数的单调性，从而比较出函数值的大小.

【例1】若定义在 R 上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）>f（x），则f（2011）与f（2009）e2的大小关系为（）.

A.f（2011）>f（2009）e2

B.f（2011）=f（2009）e2

C.f（2011）

D.不能确定

分析：构造函数，令F（x）=e-xf（x），则F′（x）=e-xf′（x）-e-xf（x）=

e-x（f′（x）-f（x））>0，∴F（x）

单调递增，

∴F（2011）>F（2009），即e-2011f（2011）>e-2009f（2009）

，

∴f（2011）>f（2009）e2，故答案为A.

二、求函数不等式的解集

对于形如f（x）>g（x）（或f（x）

化为f（x）-g（x）>0（或<0），再构造新函数h（x）=f（x） -g（x），利用h′（x）来求解.

【例2】定义在 R 上的函数f（x）满足：f′（x）>1-

f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，求不等式exf（x）>ex+5（其中e为自然对数的底数）的解集.

分析：由题意可知，不等式为exf（x）-ex-5>0，构造函数，设g（x）=exf（x）-ex-5，

∴g′（x）=exf（x）+exf′（x）-ex=

ex[f（x）+f′（x）-1]>0，

∴函数g（x）在定义域上单调递增.

又∵g（0）=0，

∴g（x）>0的解集为{x|x>0}.

三、求参数的取值范围

求函数不等式中参数的取值范围是一类重点、热点问题.虽然函数不等式问题有多种解法途径，但通过分离参数，可把问题转化为a>f（x）（或a

【例3】已知f（x）=lnx-x+a+1，若存在x∈（0，+∞）使得f（x）≥0成立，求a的取值范围.

分析：由题意知，当x>0时，

f（x）=lnx-x+a+1≥0，

∴a≥-lnx+x-1.

构造函数，令g（x）=-lnx+x-1，

则g′（x）=- 1 x +1= x-1 x .

令g′（x）=0，解得：x=1.

∵当0

当x≥1时，g′（x）>0，∴g（x）在[1，+∞）上为增函数，

∴g（x）min=g（1）=0，

∴a≥g（1）=0.

∴a的取值范围为[0，+∞）.

四、证明不等式

对于不等式的证明，大部分学生都望而生畏，找不到解决问题的突破口.很多不等式都有函数的背景，如果能挖掘已知函数与不等式的关系，根据所要证明的不等式，恰当地构造函数，利用函数的单调性、最值、有界性等，可以达到证明不等式的目的.

【例4】当x≥1时，x-lnx-1≥0，

求证： 1 2 x2+ax-a≥xlnx+ 1 2 .

证明：原不等式可化为 1 2 x2+ax-xlnx-a- 1 2 ≥0（x≥1，a≥0）.

构造函数，令G（x）= 1 2 x2+ax-xlnx-a- 1 2 ，则G′（x）=x+a-lnx-1且G（1）=0.

由题意可知，当x≥1时，x-lnx-1≥0，

则G′（x）=x+a-lnx-1≥x-lnx-1≥0，

∴G（x）在[1，+∞）上单调递增，

∴G（x）≥G（1）=0，

∴ 1 2 x2+ax-xlnx-a- 1 2 ≥0，故原不等式成立.

可以看出，对于不等式的问题，我们可以通过构造恰当的函数，使问题迎刃而解.其关键是如何构造函数；构造什么样的函数.这就要求我们结合函数的性质和特点，发展思维，反复总结、提炼构造规律.比如，对于左右两边结构相同（或者可化为左右两边结构相同）的不等式，构造函数f（x），使原不等式成为形如f（a）>f（b）的形式；对于形如f（x）>g（x）的不等式，构造函数F（x）=f（x）-g（x）；等等.

构造函数处理不等式问题篇4

一、教材分析

1．教材的内容

选修

1-1

第三章，本节属于专题复习课.2.教材所处的地位和作用

微积分的创立是数学发展史中的里程碑，它的发展应用开创了向近代数学过渡的新时期，它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段。导数的概念是微积分的核心概念之一，它有及其丰富的实际背景和广泛的应用。在选修模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的含义，体会导数思想及其内涵；应用导数探索函数的单调，极值等性质在实际中的应用，感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用，体会微积分的产生对人类文化发展的价值。

3.学情分析

①通过《数学必修》中函数，几何与代数，数学建模等内容的学习以及在《数学选修

1-1》中第二，三章内容的学习，学生已经具备了函数的基本知识和运算能力，这为本节我们讨论极值点偏移问题提供了很好的前提与基础。

②学生具体研究学习了数学必修中函数单调性的寻找，证明和应用及不等式的相关结论，具备了一定的探究能力。基于此，学生会产生思考，如何运用函数和不等式来解决高考试题中极值点偏移的问题，能否给出一般性的解决方法和步骤，如果能够得到这类问题较为简单的解题通法，这个常常出现在高考数学压轴题

题位置上的难点将不会再对我们造成太难的阻碍，甚至会成为部分同学新的得分点。

③教学对象是高三年级理科生，由于学生年龄和能力及题目本身思维要求高，过程繁，计算难度大等原因，学生的思维尽管活跃，敏捷，但却缺乏冷静深刻的数学思维和解难题的能力，因此所做的探索过于片面，结论不够严谨.4.教学的重点和难点

重点：函数构造法，对数平均不等式和极值点偏移的判定定理

难点：函数构造法的结题步骤，构造函数的选取，对数平均不等式的放缩和极值点偏移的判定定理的使用

二、教学目标分析

1．知识与技能

1.能运用函数和不等式解决导数应用中极值点偏移的问题

2.掌握函数和不等式解决这类题的一般步骤

3.极值点偏移的判定定理的使用

2、过程与方法

1.通过利用几何画板展现极值点偏移的过程，让学生直观认识感受极值点偏移的本

质原因，激发学生探究解决问题的激情，和培养学生认真观察事物变化过程，总结变化规律的习惯。同时在此处先不给出极值点偏移的判定定理，而是先用函数构造法和对数平均不等式这两种之前已经介绍过的方法来求解例一。重在感受极值偏移的现象，和复习归纳已经学习的知识方法。

2.结合例一的解题过程，重点回顾讨论解题的方法和步骤，展示这两种方法的易错点和难点的突破口，树立学生解难题的信心规范学生的解题过程。然后把时间向前推移六年到例

2（2010

天津）让学生自主模仿例一的解法尝试来解例二，通过例一的复习学生较容易使用其中的一种或两种方法得到题目的答案让学生体会到学以致用的成就感，同时也通过两题的比对了解到高考题目的变迁历史体会该知识点在高考中的地位清楚今后的复习和学习方向。

3.展示学生例二的解题过程并加以点评后提出更高的要求——有没有更好的方法，结合一开始的三张图片让学生再次重新审视极值点偏移的原因回归到数学本质上来，不用很精准只需要说出自己的直观感受即可，通过这一过程让学生锻炼自己的数学直观想象和数学运算分析等核心素养，同时也为后面介绍极值点偏移的判定定理做好铺垫，比较分析函数构造法和对数平均不等式的特点和优缺点，认识到具体问题具体分析，方法的选择要灵活有针对性，不能盲目模仿和生搬硬套，通过一题多解，和同法异题的求解加深解题方法的理解和应用能力的提高，由具体问题的多角度的思维得出不同方法的求解过程培养学生的探索精神和数学归纳的能力，数学抽象能力。

3、情感态度与价值观

通过经历对例一和例二高考真题的探索和解决，激发学生对数学的好奇心和求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受数学思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．引导学生树立科学的世界观，提高学生的数学素养和综合素质。

三、教学方法与手段分析

1.教学方法

结合本节课的教学内容和学生的认知水平，在教法上，我采用“探究发现”模式的教学方法，整个教学过程以学生为主体，学生自主学习为中心的思想，同时运用多媒体课件教学等技术手段，同一题目不同方法的比对，相同方法不同题目的求解让学生由浅入深，循序渐进的参与这堂课的每个过程，自然而然的完成本节课的教学目标。

2.学法

观察分析→自主探究→

合作交流

→初步运用

→归纳小结

3.教学手段

利用计算机和实物投影等辅助教学，充分调动学生参与课堂教学的主动性与积极性.四、教学过程分析

教学是一个教师的“导”，学生的“学”以及教学过程中的“悟”构成的和谐整体.教师的“导”也就是教师启发、诱导、激励、评价等为学生的学习搭建支架，把学习的任务转移给学生，学生就是接受任务，探究问题、完成任务.如果在教学过程中把“教与学”完美的结合也就是以“问题”为核心，通过对知识的发生、发展和运用过程的演绎、解释和探究来组织和推动教学.Ⅰ.创设情境，提出问题

图

极值点无偏移

图

极值点左偏

图

目的：①本例通过给出三张典型的凹函数图像，让学生从图像特征上去直观感受函数图像极值点发生偏移的原因，有助于调动学生学习积极性，同时上来通过图像让学生直观感受而非繁琐的计算来思考解决问题，有助于开拓学生视野回归数学问题本质，降低了学生对于该问题的为难情绪。

②通过学生观察后教师自然而然的给出极值点偏移的定义，并顺带给出极值点偏移的数学解释逐步让学生由感性认知上升到理论认知，当然老师在此可以对学生提出进一步要求，可不可以给出一般性的判定定理？这里我们只先提出问题，做下伏笔，但并不马上去求解，避免由于问题过难而挫伤学生的积极性，同时也为本节课最后的问题做好了铺垫。

Ⅱ.探究问题

例一（2016

全国卷一）已知函数

(x)=

2)ex

a(x

-1)2

有两个零点。

（I）求

a的取值范围；（略）

（II）设

x1,x2

是

(x)的两个零点，证明：

目的：①发挥学生的主观能动性，先自己探求结果，检查学生前一阶段的复习成果和对于问题一的思考和联系；

②让学生对于零点偏移求解过程更加熟练，思路更加清晰；并为下一步对数平均不等式和极值点偏移的判定定理做好铺垫；

解法一：对称构造函数法由（1）知a

①

②构造函数

(x)

x)，(x

＇

(x)

＇

(x)

＇

-1)(ex

2a)

(1-

x)(e2-x

2a)

-1)(ex

e2-x)

1时

e2-

＼

＇

(x)

(x)在(-

¥，1)上

③代入

得

(x1)<

(1)=

(x2)

(x1)

x1)

又Q

(x)在(1，+

¥)上

(1,+

¥),2

(1,+

¥)

＼

即

提问

1：学生解法一由哪些主要步骤，哪些步骤是你觉得难得地方，我们是如何解决这些困难的？

结合学生的回答对称化构造函数处理极值点偏移问题的基本步骤归纳如下：

＇

①求导获得

(x)的单调性，数形结合判断零点

x1,x2

和极值点

x0的范围

②构造辅助函数

(x)

性

(x)

(2x0

x)，判断函数

(x)的符号，确定函数

(x)的单调

③结合F

(x0)

限定

x的范围判定

(x)的符号得到不等式

④将

(或x2)

代入上述不等式，利用

(x1)

(x2)

替换

(x1)

⑤结合①求得

(x)的单调性转化为

x1,x2的不等式，证明结束。提问

2；可不可以把流程继续简化？

其中主要的三步流程简化为“求导→构造→代入”。构造是难点，求导是关键，常用构

造要记清。

提问

3：还有其他解法吗？提醒学生从不等式构造上思考

学生有困难，则先回顾基本不等式内容，让学生从熟悉的，简单的问题入手

调和平均数£

几何平均数£

算术平均数£

平方平均数

A(a,b)

b,L(a,b)

,G(a,b)

ab,(a,b

解法二：对数平均不等式（ALG）

(x)

2)ex1

a(x

-1)2

2)ex2

a(x

-1)2

ìïa(x

-1)2

x)ex1

ïîa(x

-1)2

x)ex2，两式相减得a(x

2)(x

x)ex1

x)ex2

ìx1

（反证）假设

ïx

x)ex

ïa

x)ex1

x)ex2

（左右两边同时取对数）

ln(2

x1)

ln(2

x2)

ln(2

x1)

ln(2

x2)

（x2

x1)

x2)

（*）

x1)-

ln(2

x2)

ln(2

x1)-

ln(2

x2)

由对数平均不等式（ALG）得

x1)

x2)

x1)

x2)

ln(2

x1)-

ln(2

x2)

显然与（*）相矛盾，假设不成立，原命题成立。

解题流程：实际问题→（数学抽象）数学模型→数学解→（解释与检验）实际问题引导学生体会数学思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．

提问

4：这类问题最早出现在那一年高考题中，当时的高中生如何解决这类问题，我们是否能在当年的高考题中取得满分？激发学生的动力积极性，检查学生的掌握情况。给出本节的例二

例二（2010

天津卷）已知函数

(x)=

xe-x

（I）求函数

(x)的单调区间和极值；

（II）已知函数

(x)的图像与函数

时，f

(x)

g(x);

(x)的图像关于直线

对称，证明：当

（III）如果

x2，且

(x1)

(x2)，证明

2。

解法一：对称构造函数法（1）（2）略

①由（1）知

②构造函数

(x)

x)，(x

＇

(x)

＇

(x)

＇

e-x

(1-

e-(2-x)

[1-

x)]

e-x

(1-

e-(2-x)

-1)

-1)(e-2+x

e-x)

其中

＇

(x)

ex-2

e-1

(x)在（-

¥,1）上

③代入

得

(x1)<

(1)=

(x2)

(x1)

x1)

又Q

(x)在(1，+

¥)上

(1,+

¥),2

(1,+

¥)

＼

即

解法二：对数平均不等式（ALG）

(x)

e-x1

e-x2

（左右两边同时取对数）

（*）

由对数平均不等式（ALG）得

提问

5：显然这个问题对于现在的我们不是什么难题了，但作为新时代的我们能不能用给简洁的方法给出这两题的一般性解法，通法的探讨显然是我们要思考的问题。那么学生对于这个新的挑战自然就会萌生极大地兴趣，这时再回顾我们一开始观察三张直观图时提出的问题，解法三的出现也就是必需的了。即本节课的最后一个知识点——极值点偏移的判定定理。

III.按图索骥，回归本质

极值点偏移判定定理：在给定区间

上函数

(x)

可导

(x1)

(x2),(x1

x2)，若

为

(x,x)

上的唯一极小值点，f

＇＇＇

(x)

0，则极小值点右偏Û

x；

＇＇＇

(x)

0，则极小值点左偏Û

x。

对于该定理作为高中生我们只需要了解，不需要完整严格的证明，（后附有泰勒展开的完整证明过程，可以开拓一部分自学高等数学的学生的视野）

那么我们怎么来理解该判定定理呢？我们又如何运用它来解决高中相关的数学问题呢？对此我们分两部分来讨论。

第一部分：我们主要结合导数的几何意义与

阶导数的运算来了解该定理的由来。首先

通过让学生再次观察一开始我们已展示的图一，二，三不，学生不难发现

(x)的图

像偏移的原因，即

(x)的图像在u(x0,¶)

内增减速度的不同而发生的。接着再进一步

引导学生思考发生的不同我们如何去用数学的语言来描述刻画它，提醒学生从导数的几

何意义来思考，以图

为例和学生一起做探讨：

(x)的图像的斜率一直在增加，但

增加的速度在变慢，（数学直观想象），如何用数学语言来表述这一变化？（数学抽象）

→

＇

(x)

0,f

＇

(x)

增加Þ

＇＇

(x)

0（速度变慢）Þ

＇＇

(x)的绝对值变小

＇＇＇

(x)

0。

完成图二的探讨后可让学生模仿独立的完成图

3的探索：

＇

(x)

0,f

＇

(x)

增加Þ

＇＇

(x)

（速度变快）

＇＇

(x)的绝对值变大

＇＇＇

(x)

0。

以上结论可简单记忆口诀（“小大小”，“小小大”），同时若

是极大值点的话，结论相反，口诀为（“大大大”，“大小小”）

IV.给出定理，尝试新解

第二部分：运用新的判定定理重新去接例一和例二例一新解

极值点偏移判定定理

解法三：

(x)=

2)ex

a(x

-1)2

＇

(x)

-1)(ex

2a)

＇＇

(x)

-1)ex

＇＇＇

(x)

+1)

分两段区间讨论

①若

(-¥,1]，f

(2)

结合图像可知

a，则

②若

(-1,+

¥)，f

＇＇＇

(x)

0，x

是极小值，符合“小大小”

综上的x1

例二新解

解法三：

(x)

xe-x

＇

(x)

e-x

xe-x

＇＇

(x)

e-x

＇＇＇

(x)

e-x

分两段区间讨论

①若

Î[3,+

¥)，可知

max{x1,x2}

2，则

②若

¥,3)，f

＇＇＇

(x)

0，x

是极大值，符合“大大大”

综上知

至此我们回头再看例一和例二的三个解法，不知不觉中对于一开始极值点偏移的问题有

了更新的认知。

VI.课堂练习

巩固双基

练习

1（2011

辽宁卷）已知函数

(x)

ax2

a)x。

（I）讨论函数

(x)的单调性；

（II）设a

0，证明：当0

时，f

（1

x);

（III）若函数

(x0)

0。

(x)的图像与

轴交于

A,B

两点，线段

中点的横坐标为

x0，证明

练习

2（2014

天津卷）设

(x)

aex

R),x

已知函数

且

（1）求

a的取值范围

（2）证明

随着

a的减小而增大

（3）证明

随着

a的减小而增大

(x)

有两个零点

x1,x2，练习

已知函数

(x)

x,a

R.若函数

(x)

有两个零点

x,x。

求证：

练习

已知函数

(x)

有两个不同的零点

x,x，其极值点为

（I）求

a的取值范围

（II）求证：

2x0

（III）求证：

（IV）求证：

目的：①通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对知识的再次深化.②练习分层，有利于不同层次的学生培养。

VII.课堂小结

学生点评，老师引导:

①由图像直观到方法求解,由繁琐到简洁，由为结题而解题到回归数学本质，一再的追问和尝试思考有利于学生的知识迁移和能力提高；

②用三种方法解题的运用：函数构造法，对数平均不等式和极值点偏移的判定定理。对三种解法的对比的再认识．特别是方法的选择上要能尽可能适合题目适合自己；

③在理解方法的基础上,及时进行正反两方面的“短、平、快”填空和判断是非练习.通过总结、辨析和反思，强化解法的灵活性，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系.体现知识目标。

五、教学评价

结果因过程而精彩,现象因方法而生动.无论是情境创设,还是探究设计,都必须以学生为主体、教师为主导、训练为主线,设法从庞杂的知识中引导学生去寻找关系,挖掘书本背后的数学思想,建构基于学生发展的知识体系,教学生学会思考,让教学真正成为发展学生能力的课堂活动。因此，本课例在具体问题的数学模型的建立和数学工具的选择上舍得花大量时间，便是为了培养学生学会探究与创新，它就像一缕温暖的阳光，不一定能唤醒万物，却能催开人世间最绚丽的花朵。

利用“构造函数”方法证明不等式篇5

一、构造分式函数证

二、构造指数函数证

三、构造一次函数证

例4设x, y, z∈ ( 0, 1) . 求证: x ( 1 - y) + y ( 1 - z) + z ( 1 x) < 1.

解析: 多字母问题, 可选定一字母为变量, 其余为常数, 变成函数问题.

证明: 设f ( x) = ( 1 - y) x + y ( 1 - z) + z ( 1 - x) -1是x的一次函数且0 < x <1.

因为f ( 0) = y ( 1 - z) + z -1 = ( 1 - z) ( y -1) <0.

f ( 1) = 1 - y + y ( 1 - z) - 1 = - yz < 0.

而x∈ ( 0, 1) , 由一次函数的性质得f ( x) <0.

即 x ( 1 - y) + y ( 1 - z) + z ( 1 - x) -1 <0.

故x ( 1 - y) + y ( 1 - z) + z ( 1 - x) <1得证.

四、构造二次函数

这几种函数都是高中知识里熟悉与重点的函数, 学生易掌握, 它给我们不等式证明开启了另外一扇窗.

构造函数处理不等式问题篇6

[关键词]构造函数法不等式证明高中数学

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）230033

不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点，传统的证明不等式的方法技巧性较强，多数学生不易想到，并且各类不等式的证明没有通性通法.新教材引入导数相关的内容，为我们处理不等式的证明问题提供了一条新的途径.在近年高考题中，使用导数证明不等式也时有出现，但现行教材对这一问题没有展开研究，使得学生对这一简便方法并不了解.利用导数证明不等式思路清晰、方法简捷、操作性强，易被学生掌握.下面笔者介绍作差构造函数法、换元构造函数法、从条件特征入手构造函数法的基本思路，并通过一些实例进行分析与总结.

一、作差构造函数法

作差法是比较法中常用的方法，其原理来自不等式的基本性质：如果a>b，则a-b>0；如果a=b，则a-b=0；如果a【例1】求证不等式

x-x22

【例3】若函数y=f（x）在R上可导，且满足不等式xf′（x）>-f（x）恒成立，且常数a，b满足a>b.求证：af（a）>bf（b）.

证明：由已知得xf′（x）+f（x）>0，

∴构造函数F（x）=xf（x），

则F′（x）=xf′（x）

+f（x）>0，从而F（x）在R上为增函数.

∵a>b，

∴F（a）>F（b），即af（a）>bf（b）.

由条件移项后得xf′（x）+f（x）>0，容易想到这是一个积的导数，从而可以构造函数F（x）=xf（x），求导即可完成证明.若题目中的条件改为xf′（x）>f（x），则移项后得xf′（x）-f（x）>0，要想到这是一个商的导数，学生在平时解题时应多注意总结.

作为高中教学的重点和难点，不等式证明问题难度高，技巧性强，其相关内容一直得到了高中数学教学和研究人员的很多关注.新教材体系新增了导数部分的内容，为证明不等式增加了新的思路，开辟了一条新路径.将导数相关的内容运用到不等式的证明中，可以使证明过程简单明了，思路清晰，方法易于操作，是值得展开充分研究的一项内容.

[ 参考文献 ]

[1]陈唐明.构造函数证明不等式方法探析——对《用构造函数来证明不等式》一文的研究性学习[J].中学数学研究，2009（11）：30-32.

[2]朱护国.构造函数法证明不等式[J].试题与研究：新课程论坛，2014（7）.

[3]王云.浅谈运用构造函数法证明不等式[J].语数外学习：数学教育，2012（7）：57-57.

[4]苗建成.用构造函数法证明不等式[J].中学生数学，2009（13）.

[5]曾思江.分而治之各个击破——不等式证明的局部处理法[J].数学教学，1991（5）.

[6]左振钊，张艳红，袁博.相关系数的性质的几种证明方法[J].河北北方学院学报（自然科学版），2005（5）.

[7]王建平，张香伟，李艳华.构造辅助函数法在高等数学中的应用[J].河南教育学院学报（自然科学版），2004（1）.

[8]周顺钿.模式·放缩·探索——IB模块《不等式选讲》的教学策略[J].教学月刊（中学版），2010（5）.

构造法证明不等式例说篇7

【中图分类号】g633.5 【文献标识码】a 【文章编号】

2095-3089（2012）11-0081-01

对于如何解题，g.波利亚曾这样精辟地说过：“解题的成功要靠正确的选择。”在解题中，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题按照这样的思维方式来寻求解题途径比较困难，甚至无从下手。在这种情况下，要求我们改变思维方向，换一个角度思考，以找到一条绕过障碍的新途径。构造法思想及其方法就是这种手段。下面举例说明构造法在证明不等式方面的具体应用。

构造函数处理不等式问题篇8

③ x＞f(x)，④ α＞f(x).

其中恒成立的是（）

A. ①④B. ③④C. ①②D. ②④

这是我市2005~2006学年高一期末统考的一道试题，同学们用不同的方法，居然得出了不同的答案.孰是孰非？

图1

解法一(数形结合法) 作出函数y=f(x)和y=x的图像，依题意，两个图像有两个交点A，B（如图1），则A(α，α)，B(β，β).

当0＜x＜α时，直线上在原点右侧、点A左侧的点在抛物线的下方，所以有x＜f(x)，故①正确.

又因为f(x)=ax2＋bx＋c(a＞0)在(0，α)上为减函数，所以f(x)＞f(α)=α，故②正确.

所以选C.

解法二(构造法) 构造函数F(x)=f(x)-x，由题设知α，β是方程F(x)=0的两个根，得F(x)=a(x-α)(x-β).由0＜x＜α，α＜β，a＞0，可知F(x)＞0，即f(x)＞x，故①正确.

因为α-f(x)=α-［F(x)＋x］=α-a(x-α)·(x-β)-x=(α-x)(ax＋1-aβ).而0＜x＜α＜β＜1a，所以α-x＞0，aβ＜1，ax＋1-aβ＞0，于是(α-x)·(ax＋1-aβ)＞0，从而α＞f(x)，故④正确.

所以选A.

困惑解法一数形结合，直观简捷；解法二构造函数作差比较，方法常见.但两种巧妙的方法却求出了两个不同的结果，因此两种方法至少有一种有错误，哪种方法出错了呢？错在哪里？

反思解法二逻辑严谨,推理周密,无懈可击，应该没有问题；而解法一没有利用题设条件β＜1a，感觉问题应该在这里.

图2

探索解法一由图像观察出二次函数f(x)=ax2＋bx＋c(a＞0)在(0，α)上为减函数，即默认二次函数f(x)=ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴在直线x=α的右侧，果真如此吗？如果二次函数f(x)=ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴不在直线x=α的右侧，而在y轴（x=0）的左侧，如图2所示，那么f(x)在(0，α)上就为增函数，则有f(x)＜f(α)=α.如果对称轴在y轴和x=α之间，情况就更复杂了.而二次函数f(x)的对称轴的位置必须由条件0＜α＜β＜1a来判定(同学们可以试试看).

体会 “数”有“数”的优势，“形”有“形”的特长，在这场“数”与“形”的较量中，“数”暂时(应该还有更巧妙的方法等待大家去发现)占了上风，若依此就得出“数”优于“形”的错误结论，是幼稚可笑的. 问题在于：“样本”数量太少，有悖于数学的一贯严谨治学风格.其实两者各有千秋，只有扬长避短，相互辅佐，才能共创辉煌.同学们切记：运用以数辅形思想解题时，一定要考虑全面，千万不能以偏概全.

构造函数处理不等式问题篇9

【例1】若定义在R上的函数f (x) 满足:对任意x1, x2∈R有f (x1-x2) =f (x1) +f (-x2) -2, 则下列结论正确的是 ( ) .

A.f (x) 的图像关于原点对称

B.f (x) 的图像关于点 (0, -2) 对称

C.f (x) 的图像关于点 (0, 2) 对称

D.f (x) 的图像关于y轴对称

解法1:∵f (x1-x2) =f (x1) +f (-x2) -2,

∴f (x1+x2) =f (x1) +f (x2) -2,

即f (x1+x2) -2=f (x1) -2+f (x2) -2.

设F (x) =f (x) -2, 则F (x1+x2) =F (x1) +F (x2) , 这里x1, x2∈R.

在上式中令x1=x2=0, 则F (0) =2F (0) , ∴F (0) =0,

再令x1=x, x2=-x, 则F (0) =F (x) +F (-x) ,

∴F (-x) =-F (x) .

这里x∈R, 所以F (x) 是奇函数, 即f (x) -2是奇函数, 故函数f (x) -2的图像关于原点对称, 将f (x) -2的图像向上平移2个单位得f (x) 的图像, 故f (x) 的图像关于点 (0, 2) 对称.

解法2:我们找一个已学过的函数模型让它满足题目条件 (例如:一次函数, 二次函数, 指数函数, 对数函数) , 而条件可看作线性关系, 设f (x) =kx+b, 则由f (x1-x2) =f (x1) +f (-x2) -2可得b=2, ∴f (x) =kx+2, 则f (x) 的图像关于点 (0, 2) 对称.

评析:很明显, 解法1很难入手, 解法2则找到了原型函数, 变得非常容易.

【例2】设函数y=f (x) 满足f (x+1) =f (x) +1, 则函数y=f (x) 与y=x图像交点的个数可能是 ( ) .

A.无穷多个

B.0个或者有限个

C.有限个

D.0个或者无穷多个

解法1:由f (x+1) =f (x) +1可知f (x+1) -f (x) =1, 即自变量增加1则函数值也增加1, 若函数f (x) 的图像与直线y=x有交点, 则必有无数个;否则, 无交点.

解法2:很显然, 条件满足线性关系, 设f (x) =kx+b, 由f (x+1) =f (x) +1可知k=1, 则当b=0时, y=f (x) =x与y=x图像重合, 则有无穷多个交点;当b≠0时, y=f (x) =x与y=x图像平行, 则有0个交点.

评析:显然解法2更直观、清晰.

【例3】已知定义在R上的奇函数f (x) 的图像关于直线x=1对称, f (-1) =1, f (1) +f (2) +f (3) +…+f (2009) 的值为 ( ) .

A.-1 B.0

C.1 D.2

解法1:由f (x) 的图像关于直线x=1对称, 得f (x) =f (2-x) , 由f (x) 为奇函数, 得f (2-x) =-f (x-2) , 因此f (x) +f (x-2) =0.

那么f (2) +f (4) +f (6) +f (8) +…+f (2008) =0,

f (3) +f (5) +f (7) +f (9) +…+f (2009) =0,

于是f (1) +f (2) +f (3) +…+f (2009) =f (1) =-f (-1) =-1.

解法2:考虑到周期性, 可联想正弦函数和余弦函数, 根据条件可以构造

$\begin{array}{l} y = f (x) = - \sin \frac{π}{2} x . \\ ∵ f (1) + f (2) + f (3) + f (4) = 0 ‚ \end{array}$

所以f (1) +f (2) +f (3) +…+f (2009) =f (2009) =f (4×502+1) =f (1) =-f (-1) =1.

利用函数凹凸性质证明不等式篇10

内蒙古包头市第一中学张巧霞

摘要：本文主要利用函数的凹凸性来推导和证明几个不等式.首先介绍了凹凸函数的定义，描述了判定一个函数具有凹凸性质的充要条件，并且给出了凸函数的一个重要性质——琴生不等式.通过巧妙构造常见的基本初等函数，利用这些函数的凹凸性推导几个重要不等式，如柯西不等式，均值不等式，柯西赫勒德尔不等式，然后再借助这些函数的凹凸性及其推导出来的重要不等式证明一些初等不等式和函数不等式.关键词：凸函数；凹函数；不等式.一．引言

在数学分析和高等数学中，利用导数来讨论函数的性态时，经常会遇到一类特殊的函数——凹凸函数.凹凸函数具有一些特殊的性质，对于某些不等式的证明问题如果灵活地运用函数的凹凸性质就可以简洁巧妙地得到证明.二．凹凸函数的定义及判定定理

(1)定义设f(x)是定义在区间I上的函数，若对于I上的任意两点x1,x2及实数0,1总有

f(x11x2)fx11fx2

则称f(x)为I上的凸函数（下凸函数）；反之，如果总有不等式

f(x11x2)fx11fx2

则称f(x)为I上的凹函数（上凸函数）.特别地，取xx2fx1fx21).，则有f(1

222

若上述中不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数或严格凹函数.（2）判定定理若函数f(x)在区间 I上是二阶可微的，则函数f(x)是凸函数的充要条件是f“(x)0，函数f(x)是凹函数的冲要条件是f”(x)0.三．关于凸函数的一个重要不等式——琴生不等式

设f(x)是定义在区间I上的一个凸函数，则对xiI,i1,2,,n,i0,

i1ni1有

f(ixi)ifxi.i1

i1

特别地，当i

i1,2,,n,有 n

f（x1x2xnfx1fx2fxn).22

琴生不等式是凸函数的一个重要性质，因为每个凸函数都有一个琴生不等式，因此它

在一些不等式的证明中有着广泛的应用.四．应用凸函数和琴生不等式证明几个重要不等式.（1）（调和——几何——算术平均不等式）设ai0,i1,2,,n,则有

nain

1i1i1ain

当且仅当a1a2an时，等号成立.证明设f(x)lnx,因为f“(x)

a

i1

0,x0,, 2x

所以f(x)是0,上的凸函数，那么就有f（x)fx.ii

i1

现取xiai,i,i1,2,,n, n

n1n1n1

则有lnailnailnain, 

i1ni1ni1n1n1

得lnailnain,ni1i1

由lnx的递增性可得

1

（1）aii

i1ni1

同理，我们取xi

0，就有 ai

n11lnna

ii1n11lnaii1n

n

1ln1i1ani

, 

即

ai（2）n

1i1i1ain

由（1），（2）两式可得

n

ain

1i1i1ain

（2）柯西——赫勒德尔不等式

a

i1

pqababiiii i1i1i1

其中ai,bi,i1,2,,n是正数，又p0,p1,p与q共轭，即

nnn

1.pq

证明首先构造函数fxxp,p1时，f”x0,x0 所以fxx是0,上的凸函数，则有

np

f(ixi)ixiixi i1i1i1

令 i

p

i1

n,这里pi0,i1,2,,n，i

n

pixi

则i1

n

pii1



px

ii1

p

i1

nnp即pixipixipii1i1i1

p1

由题设知

11p

1，得q，p1pq

所以



ppxpxpiiiii，i1i1i1

现取aipixi,bipi，i1,2,,n 则aibipixipi

pixi,pixiai，代入上式得

pqababiiii i1i1i1

命题得证.在柯西赫勒德尔不等式中，若令pq2时，即得到著名的不等式——柯西不等式

22ababiiii i1i1i1

n2n2

(aibi)aibii1i1i1

这里ai,bi,i1,2,,n为两组正实数，当且仅当aibi时等号成立.五．凸函数及重要不等式在证明初等不等式和函数不等式中的应用.例1.求证在圆的内接n边形中，以正变形的面积最大.证明设圆的半径为r，内接n边形的面积为S，各边所对的圆心角分别为1,2,,n，则

S

rsin1sin2sinn,因为f“xsinx0，2

所以fxsinx是0,上的凹函数，由琴生不等式可得

f(

i1

i)fi.ni1n

即sin



i1



sin

i1

sininsin

i1

2

上式只有在12n时等号才成立，也即正n边形的面积最大.特别地，若A,B,C为三角形的三个内角时，由上式可得sinAsinBsinC

.2xy

例2 求证对任意的x0,y0，下面的不等式xlnxylny(xy)ln成立.证明我们根据所要证明的不等式构造相应的函数，令fttlnt,t0，因f”t所以有

0.故fttlnt是0,上的凸函数，t

xyfxfyf,x,y0,, 

22

即

xyxy1lnxlnxylny, 222

xy

(xy)lnxlnxylny,所以在利用凸函数证明不等式时，关键是如何巧妙地构造出能够解决问题的函数，然后列出琴生不等式就可以简洁，巧妙地得到证明.nnnn

n4444

例3 设ai,bi,ci,di都是正实数，证明aibicidiaibicidi.i1i1i1i1i1

分析本题所要证明的结论看上去接近于柯西不等式，但是这里是4次方的情形，所以想办

法将其变成标准形式。

nn

证明aibicidiaibicidi

i1i1

aibi

i1

n2

cidi

i12

n2222=aibicidi i1i1





ai

i1

bi

i1

ci

i1

di

i1

通过以上例子我们可得出结论，运用柯西不等式的关键是对照柯西不等式的标准形式，构造

出两组适当的数列，然后列出式子.例4 设a,b,c,d都是正实数，且cdab

证明首先由均值不等式得





a3b3

1..证明

a3b3acb3bda344

 acbdabcddc

a2abb

=a2b2再由柯西不等式得



2122

acbdab

c

d



ab=a2b2



122

c

322



a3b322

ab即cd



a3b3

cdacbd 

a2b2



a3b31 所以cd

六．总结

由上面的分析我们看到，虽然利用函数的凹凸性来证明不等式有它的局限性，但是往

往是其它方法不可代替的，我们可以充分感受到利用函数的凹凸性解决问题的方便和快捷，丰富了不等式的常规证法，开阔了解题思路.参考文献

【1】【2】【3】【4】

拷贝构造函数的用法篇11

纸上得来终觉浅绝知此事要躬行

拷贝构造函数的用法

1.拷贝构造函数是与类名相同，其形参是本类的对象的引用，

2.拷贝构造函数会在以下三种情况下被调用：

1).当用类的一个对象去初始化该类的另一个对象时。

2).如果函数的形参是类的对象，调用该函数，将对象作为函数实参传递给函数的形参时。

3).如果函数的返回值是类的对象，函数执行完成，将返回值返回时。

3.浅拷贝的失败例子：

1 #include

2 #include

4 using namespace std;

7 class str

8 {

9 private:

10char *s;

11int len;

12 public:

13str()

14{

15len=0;

16s=NULL;

17}

18str(const char *p)

19{

20len=strlen(p);

21s=new char[len+1];

22strcpy(s,p);

23}

24~str()

25{

26if(s!=NULL)

27{

28delete []s;

29s=NULL;

30}

31}

32 };

34 int main()

35 {

36str s1(”I love you!");

37str s2=s1;//这里会发生错误，

38return 0;

39 }

之所以发生错误是因为两个对象在析构时都要delete那块堆里的内存，但是程序里是浅拷贝，也就是说，s2只拷贝了s1的堆内存的地址，s2的s指针指向s1申请的堆内存，两次delete同一块内存，明显不合法。故而需要增加自定义拷贝构造函数，即深拷贝。见于下例：

1 str(str &r)

2 {

3len=r.len;

4if(len!=0)

6s=new char[len+1];

7strcpy(s,r.s);

9 }

4.注意：

1).在自定义拷贝构造函数后，缺省拷贝构造函数和构造函数失效，构造函数需要自定义。

一次函数与方程不等式教学反思篇12

1.能积极学习并采用多媒体课件进行授课。应用多媒体课件直观、明了的展示了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的联系，且课堂容量大、课堂效率高。运用幻灯片让枯燥的理论知识直观、形象、生动起来，激发了学生学习的积极性。

2.能紧紧抓住教学重难点进行精讲精练。本节课重难点是让学生掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的联系，会用函数的观点解释方程和不等式及其解或解集的意义，掌握用图象求解方程、不等式的方法。教学时，每讲一个知识点，我都会及时给予训练题进行巩固，让学生理解理论知识的应用价值，从而把难点知识逐一击破，也让学生一点一点的感悟到用函数模型解决问题的可操作性和简便性。

3.“数形结合”思想的完美体现。我能够从“数”的方面来解释方程的解及不等式的解集，反过来，又利用一次函数图象从“形”方面直观地表示方程和不等式的解或解集的含义。实质就是图象上对应点的自变量的取值或取值范围。这节课让学生充分感受到“数形结合”思想的重要性。

4.课堂练习设置恰当。练习量适中，能达到及时训练巩固的目的；练习题的难度有梯度，层层递进；题型新颖，有选择、填空、回答、解答题型，让学生从不同角度理解知识，提高理论知识的认识水平；难度把握较好，情境

1、情境2属于铺垫性练习，探究题属于讨论性题型，练习题属于巩固性题型，最后的热气球问题属于拔高性题型。

教学不足：

1.课堂容量有些大，学生组内讨论时间较少。

【构造函数处理不等式问题】推荐阅读：

构造函数证不等式07-15

构造函数妙解不等式11-02

构造函数法证明不等式的常见方法公开课09-13

抽象函数构造函数09-30

矩阵构造函数11-24

高考构造函数法07-19