八年级数学分式培优

八年级数学分式培优（推荐11篇）

八年级数学分式培优 篇1

1、学完分式运算后，老师出了一道题“化简：

x32x” x2x24(x3)(x2)x2x2x6x2x2822小明的做法是：原式；

x24x4x24x4小亮的做法是：原式(x3)(x2)(2x)x2x62xx24； 小芳的做法是：原式x3x2x31x311． x2(x2)(x2)x2x2x2C．小芳

D．没有正确的 其中正确的是（）

A．小明

B．小亮

2、下列四种说法（1）分式的分子、分母都乘以（或除以）a2，分式的值不变；（2）分式

3的值可以等于零；8y（3）方程xx111的解是x1；（4）2的最小值为零；其中正确的说法有（）x1x1x1A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2xa1的解是正数，则a的取值范围是（）

3、关于x的方程x1A．a＞－1 B．a＞－1且a≠0

C．a＜－1 D．a＜－1且a≠－2 4．若解分式方程2xm1x12产生增根，则m的值是（）x1xxx

D.1或2 A.1或2 B.1或2 C.1或2 5． 已知115ba,则的值是（）ababab1 3A、5

B、7

C、3

D、6．若x取整数，则使分式6x3的值为整数的x值有()． 2x-1 A 3个 B 4个 C 6个 D 8个 7.已知2x3AB，其中A、B为常数，那么A＋B的值为（）

x2xx1xA、－2

B、2

C、－4

D、4 8.甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（）

SSavSav2S

B.C.D.abbabab111

29、分式方程去分母时，两边都乘以。x33xx912

10、若方程的解为正数,则a的取值范围是___________.x1xa A.1111.已知:x222axb0 ,则a,b之间的关系式是_____________ xx12.已知223143(yx)的值是______________.,则3x2yyx2x1abbcca(ab)(bc)(ca)，则cababc213．若abc0，且

三、计算或化简：

4a4a1x2x1)(1a)(2)1114．(1)(a1 2a1a11xx2x1

15.当a为何值时，16.m为何值时，关于x的方程

17.有160个零件,平均分给甲、乙两车间加工，由于乙另有任务，所以在甲开始工作3小时后，乙才开始工作，因此比甲迟20分钟完成任务，已知乙每小时加工零件的个数是甲的3倍，问甲、乙两车间每小时各加工多少零件？

18.解方程：

x1x22xa的解是负数? x2x1(x2)(x1)2mx3会产生增根？ x2x4x21111„2 x10(x1)(x2)(x2)(x3)(x9)(x10)八年级数学培优试题----分式1

1、若分式x1，从左到右的变形成立，则x的取值范围是 ； 2x3xx3aa2abb2 ；

2、如果2，那么22bab3、若111ab，则 ； ababba4、不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数.32ab2(2)0.1x0.2y(1)20.25x0.03yab3x2

15、如果分式的值为0，求x的值。

x

113a2aba8,b

6、先化简，再求值；2，其中。

29a6abb2

7、已知

8、已知分式

11a2abb4.，求的值． ab2a2b7ab6a18的值是正整数，求整数a的值。2a91x29、已知x3，求4的值。

xxx2

110、已知 abc3a2b3c0，求分式的值。345abc11、先将分式

12、已知x

6x6化简，再讨论x取什么整数时，能使分式的值是正整数。2x2x111113，求分式x22的值，能求出x33，x44的值吗？ xxxx213、已知x5x10，求x21的值。2x

1a4a2114、已知a5，求的值。2aa

x2y2z215、已知3x4yz0,2xy8zo，求的值。

xyyz2xz

16、已知

17、已知a,b,c为实数，且

八年级数学检测题 篇2

1.当分式■的值为0时，x的值是（ ）

A. 0B. 1C. －1D. －2

2.如图1，某反比例函数的图像过点（－2，1），则此反比例函数表达式为（ ）

A． y=■B．y=-■

C．y=■D．y=-■

3.下列各组数分别为一个三角形三边的边长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）

A． 1，2，3B． 2，3，4C． 3，4，5D． 4，5，6

4.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC。其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ ）

A． 1组B． 2组C． 3组D． 4组

5.某班班长统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图2的折线统计图，下列说法正确的是（ ）

A. 极差是47B. 众数是42

C. 中位数是58D. 每月阅读数量超过40的有4个月

■

6.分式方程■=■的解是（ ）

A． x=-2B． x=2C． x=1D． x=1或x=2

7.如图3，A是反比例函数y=■的图像上的一点，AB⊥x轴于点B，且△ABO的面积是3，则k的值是（ ）

A. 3B. -3C. 6D.-6

8.如图4，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是（ ）

A. 25B. 12.5C. 9D. 8.5

■

9．如图5，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则下列结论一定正确的是（ ）

A. ∠HGF =∠GHE B. ∠GHE =∠HEF

C. ∠HEF =∠EFG D. ∠HGF =∠HEF

10.如图6,四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn。下列结论正确的有（ ）

①四边形A2B2C2D2是矩形；②四边形A4B4C4D4是菱形；

③四边形A5B5C5D5的周长■；④四边形AnBnCnDn的面积是■

A. ①②B. ②③C. ②③④D. ①②③④

二、 填空题

11.当________时，分式■有意义。

12.若点A（1，y1）、B（2，y2）是双曲线y=■上的点，则y1_______y2（填“>”“<”“=”）。

13.为备战全国皮划艇马拉松赛，甲、乙运动员进行了艰苦的训练，他们在相同条件下各划10次划艇成绩的平均数相同，方差分别为0.23、0.20，则成绩较为稳定的是_________（选填“甲”或“乙”）。

14.如图7，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6 cm，AC=8 cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是_______。

■

15.如图8，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝_________。

16．如图9是由边长为1 m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为_______ m。（结果保留根号）

■

17.如图10，矩形ABCD中，∠BOC=120°，若将矩形沿EF折叠，则点B与点D重合， 下列结论中: ①若AB=8 cm，则AC=16 cm；② AE=OE=OF=CF；③若连接BE、DF，则图中共有4个等边三角形；④S△AOB=■S四边形DOFC。其中正确结论的序号为_______。（如果有若干个正确答案，填对全部正确答案得满分，漏填答案依次扣分，但填入错误的答案则判零分。）

三、解答题

18.先化简，再求值：■÷■，其中a=-5。

19.如图11，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是BC的中点，

求证：∠DAM＝∠ADM。

■

20．已知，如图12所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长。

21.某中学开展唱歌比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图13所示。

（1）根据图示填写下表：

■

（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；

（3）计算两班复赛成绩的方差。

（方差公式:s2=■[（x1-■）2+（x2-■）2+…+（xn-■）2]）

■

22.七（1）班的课间活动丰富多彩，小峰与小月进行跳绳比赛。在相同的时间内，小峰跳了100个，小月跳了110个。如果小月比小峰每分钟多跳20个，试求出小峰每分钟跳绳多少个？

23.如图14，已知E、F分别是?荀ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF。

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长。

■

1.B 2.B 3.C 4.C 5.C 6.C 7.C 8.B 9.D 10.C

11.x≠3 12．> 13.乙 14.6 cm2 15.■ 16.2■ 17.①②③

18.解：■÷■=■×■=■

当a=-5时，原式=■=■=■=3。

19.证明：因为梯形ABCD是等腰梯形，

所以∠B＝∠C，∠BAD＝∠ADC。

因为M是BC的中点，所以BM＝CM。

又因为AB＝DC，所以△ABM≌△DCM。

所以∠BAM＝∠MDC。

因为∠BAD＝∠ADC，所以∠DAM＝∠ADM。

20．解：连接AE，则△ADE≌△AFE，所以AF=AD=10，DE=EF。设CE=x，则EF=DE=8-x，在Rt△ABF中，BF 2=AF 2-AB2，解得BF=6，则CF=4。在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2，即（8-x）2=x2+16，故x=3 cm。

21.（1）填表:

■

（2）九（1）班成绩好些。因为两个班级的平均数都相同，九（1）班的中位数高，所以在平均数相同的情况下中位数高的九（1）班成绩好些。（回答合理即可给分）

（3）s21=■=70，

s22=■=160。

22.解：设小峰每分钟跳绳x个，则小月每分钟跳绳（x+20）个，由题意得

■=■，解得x=200。

答：小峰每分钟跳绳200个。

23.（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，且AD=BC，所以AF∥EC，因为BE=DF，所以AF=EC，所以四边形AECF是平行四边形。

八年级数学分式培优 篇3

教学目标

（一）教学知识点

1、用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题.2、用分式方程来解决现实情境中的问题.（二）能力训练要求

1、经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力.2、认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型.（三）情感与价值观要求

1、经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣.2、培养学生的创新精神，从中获得成功的体验.教学重点

1、审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型.2、根据实际意义检验解的合理性.教学难点

寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法.教学过程

Ⅰ、提出问题，引入新课

前两节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程.接下来，我们就用分式方程解决生活中实际问题.2、学习探究

例

5、甲、乙两地相距360千米，张老师和王老师分别乘坐早7时发出的普通客车和8时15分发出的豪华客车从甲地去乙地，恰好同时到达．已知豪华客车与普通客车的平均速度的比是4：3，求两车的平均速度。

温馨提示：这个问题中的等量关系是：

普通客车所用的时间－豪华客车所用的时间＝时

解：设豪华客车的平均速度为4x千米／时，普通客车的平均速度为3x千米／时，于是豪华客车从甲地到乙地所用的时间为根据题意，得方程－

＝

时，普通客车从甲地到乙地所用的时间为

时，解这个方程，得x＝24 检验可知，x＝24是这个方程的解。因为4x＝96（千米／时），3x＝72（千米／时），所以豪华客车的平均速度是96千米／时，普通客车的平均速度72千米／时。

思考：想一想，从例5的条件出发，还可以探求哪些未知量?（例5是行程问题，教学中应先通过学生读题与审题，弄清题意，抓住路

程、速度、时间之间的基本等量关系，认真分析题目。从例5的条件出发，还可以求两车到达乙地的时间；豪华车开车时，普通客车已走过的路程等．这里应鼓励学生编题并作出解答；）例

6、阳光小区有A型和B型两种住宅出售，A型与B型住宅每平方米的价格分别是全楼每 1平方米平均价格的1.1倍与0.9倍，而且A型比B型的面积#40平方米．如果A型与B型两种住宅的售价分别为33万元与36万元，求全楼每平方米的平均价格． 按照题意，思考下面的问题，并与同学交流．(1)如果设全楼每平方米的平均价格为x元，那么A型住宅与B型住宅每平方米的价格分别是多少?(2)A型住宅与B型住宅的面积分别是多少?(3)根据“A型住宅比B型住宅的面积少40平方米”这个等量关系，列出的方程是 ．

(4)你会解这个方程吗?试一试．

去分母，即两边同乘，得到 ．

解这个方程，得x＝

(5)怎样检验它是不是方程的根?（列分式方程解应用题的检验有两层意义：其一，检验所得到的根是否为原方程的根；其二，检验原方程的根是否符合题意）(6)你得到的答案是什么? 思考：根据例6提供的信息，你能编制出另外一个用分式方程解决的问题吗?与同学交流．（例6是来自现实生活的题目．根据题意，列出的方程是

－

＝40，解这个方程，得x=2 500，经检验符合题意，即全楼每平方米的平均价格是2 500元。）

归纳：列方程解应用题的基本步骤是：审、设、列、解、验、答．(1)审——仔细审题，找出等量关系．(2)设——合理设未知数．

(3)列——根据等量关系列出方程(组)．(4)解——解出方程(组)．

（5）验—— 一验所求根是不是所列方程的解，二验是否符合实际意义。(6)答——答题．

3、跟踪训练：

小芳带了15元钱去商店买笔记本.如果买一种软皮本，正好需付15元钱.但售货员建议她买一种质量好的硬皮本，这种本子的价格比软皮本高出一半，因此她只能少买一本笔记本.这种软皮本和硬皮本的价格各是多少？

4、巩固与提高：

1、甲、乙两码头相距s千米，船在静水中的速度是每小时a千米，水流速度是每小时b千米，船往返一次所需的时间是()． A、小时B、小时C、(＋)小时 D、（＋)小时

2、为改善生态环境，防止水土流失，某村拟在荒坡地上种植960棵树，由于青年团员的支持，每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计划每天种植多少棵?设原计划每天种植x棵，根据题意得方程。

3、甲打字员打9 000个字所用的时间与乙打字员打7 200个字所用的时间相同，已知甲、乙两人每小时共打5 400个字，问甲、乙两个打字员每小时各打多少个字? 全面提升能力

请结合生活实际，自编一道应用题，可以用方程

－

＝3求解，并解出结果．

5、学习小结

本节课你学到了哪些知识？有什么感想？

6、作业：课本P82 A组2、3

八年级数学分式培优 篇4

班级：

姓名：

一、选择题：

1、下列式子：22x1amn，,1， 3x3abab中是分式的有（）个

A、5

B、4

C、3

D、2

2、下列等式从左到右的变形正确的是（）

bb1A、

aa1

bb2B、2aa C、abab2b

D、bbmaam

3、下列分式中是最简分式的是（）

4A、2a

m21B、m

1C、2m

1D、m1 1m5、计算(3m22n3)()的结果是（）2n3mnn2n2nA、B、

C、D、

3m3m3m3m6、计算xy的结果是（xyxy）

D、xy xyA、1

B、0

C、xy xym27、化简mn的结果是（mnmA、n）

D、nm

m2B、

mn

n2C、mn

二、当x取何值时，下列分式的值为零？

2x3①

3x5

x24 ②

x2 ③

x2 2x3x

1三、约分：

8abc⑴24a2b2c3 324abcxyab ⑵

xyab

⑶ab

3224abc32a3b2c4 ⑹23⑷ ⑸

16abc24abd

四、通分

23x4x3 x6x22111,x2,22

八年级数学分式培优 篇5

分式方程

备课时间:上课时间

主备:

审核:备课组

班级

姓名

学习目标

1．知识目标：理解解分式方程的一般步骤及解分式方程验根的必要性.2．能力目标：通过对分式方程转化为整式方程的过程，了解数学思想中的“转化”思想.重点

分式方程的解法

难点

分式方程的解法

【温故知新】

如何解一元一次方程？经过哪些步骤？

解方程+=2－

【新知探究】

1．解方程：=

思考：方程两边同乘以什么样的整式，可以去掉分母呢？发现方程两边同乘以各分母的最简公分母，去分母比较简单.2．解方程：－=43、观察上面方程的解法，归纳出一般步骤，并与同学进行交流。

【归纳】

解分式方程一般需要经过哪几个步骤

（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程（一去分母）；

（2）解这个整式方程；（二解整式方程）

（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去；使最简公分母不为零的根才是原方程的根.（三验根）

【应用巩固】

（1）

解方程：

①=;

（2）

②+=2.2观察：在解方程=－2时，小亮同学的解法如下：

=－2

解：方程两边同乘以x－3,得

2－x=－1－2（x－3）

解这个方程，得

x=3.x=3是原方程的根吗？如果是，请你说明理由，如果不是，请你说明为什么？

（3）解上节课的方程

=（a,h常数）

教学检测

一．请你选一选

1．方程1+=0有增根，则增根是（）

A.1

B.－1

C.±1

D.0

2．沿河两地相距s千米，船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，此船一次往返所需时间为（）

A.小时

B.小时

C.()小时

D.()小时

3．方程=0的根是（）

A.x=2

B.x=－2

C.x=±2

D.方程无解

4．分式方程若有增根，则增根可能是（）

A.x=1

B.x=－1

C.x=1或x=－1

D.x=0

二．请你填一填

1．当a=________时，关于x的方程的根为1.2．当x=________时，分式的值等于1.3．方程+4的解为________.4．当m________时，关于x的方程有增根.5．已知,则=_____________.三．解下列方程：

1．+1

八年级数学期末检测题 篇6

1．在式子，，，，中，分式的个数为（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

2．下列运算正确的是（）

A．=-B．=

C．=x+yD．=

3．若A（a，b）、B（a－1，c）是函数y=-的图像上的两点，且a＜0，则b与c的大小关系为（）

A．b＜cB．b＞cC．b=cD．无法判断

4．如图1，已知点A是函数y=x的图像与

y=的图像在第一象限内的交点，点B在x轴负半轴上，且OA=OB，则△AOB的面积为（）

A．2B．

C．2D．4

5．如图2，在三角形纸片ABC中，AC=6，∠A=30°，∠C=90°，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长为（）

A．1B．

C．2D．2

6．△ABC的三边长分别为a、b、c，下列条件：①∠A=∠B－∠C；②∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5；③a2=（b+c）（b-c）；④a∶b∶c=5∶12∶13，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（）

A．1个B．2个 C．3个D．4个

7．一个四边形，对于下列条件：①一组对边平行，一组对角相等；②一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分；③一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分；④两组对角的平分线分别平行。不能判定为平行四边形的是（）

A．① B．②C．③ D．④

8．如图3，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为（）

A．20°B．25°

C．30° D．35°

9．某班抽取6名同学进行体育达标测试，成绩如下：80，90，75，80，

75，80。下列关于对这组数据的描述错误的是（）

A．众数是80B．平均数是80

C．中位数是75D．极差是15

10．某居民小区本月1日至6日每天的用水量如图所示，那么这6天的平均用水量是（）

A．33吨B．32吨

C．31吨D．30吨

二、填空题

11．某班学生理化生实验操作测试的成绩如下表：

则这些学生成绩的众数为：_____________。

12．观察式子：，－，，－……根据你发现的规律可知，第8个式子为_____________。

13．已知梯形的中位线长10 cm，它被一条对角线分成两段，这两段的差为4 cm，则梯形的两底长分别为_____________。

14．如图5，直线y=－x+6与双曲线y=－（x＜0）交于点A，与x轴交于点B，则OA2－OB2=_________。

三、解答题（共48分）

15．解方程：--1=0。

16．先化简，再求值：•-，其中a=。

17．如图6，已知一次函数y=k1x+b的图像与反比例函数y=的图像交于A（1，-3）、B（3，m）两点，连接OA、OB。

（1）求两个函数的解析式；

（2）求△OAB的面积。

18．小军八年级下学期的数学成绩如下表所示：

（1）计算小军下学期平时的平均成绩；

（2）如果学期总评成绩按扇形图所示的权重计算，问小军下学期的总评成绩是多少分？

19．如图7，以△ABC的三边为边，在BC的同侧作三个等边△ABD、△BEC、△ACF。

（1）判断四边形ADEF的形状，并证明你的结论；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？满足什么条件时是矩形？

20．为预防流感，某校对教室喷洒药物进行消毒。已知喷洒药物时每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比，药物喷洒完后，y与x成反比例（如图8所示）。现测得10分钟喷洒完后，空气中每立方米的含药量为8毫克。

（1）求喷洒药物时和喷洒完后，y关于x的函数关系式；

（2）若空气中每立方米的含药量低于2毫克学生方可进教室，问消毒开始后至少要经过多少分钟，学生才能回到教室？

（3）如果空气中每立方米的含药量不低于4毫克，且持续时间不低于10分钟时，才能杀灭流感病毒，那么此次消毒是否有效？为什么？

21．如图9，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线y=于点D，过D作两坐标轴的垂线DC、DE，连接OD。

（1）求证：AD平分∠CDE；

（2）求证：对任意的实数b（b≠0），AD•BD为定值。

一、选择题

1.B， 2.D， 3.B， 4.C， 5.D， 6.C， 7.C， 8.C 9.C， 10.B

二、填空题

11．16分（或16） 12．－13．6 cm，14 cm14．2

三、解答题

15． x=－

16．原式=－，值为－3

17．（1）y=x－4，y=－ （2）S△OAB=4

18．（1）平时平均成绩为：=105（分）

（2）学期总评成绩为：105×10%＋108×40%＋112×50%=109.7(分)

19．（1）四边形ADEF为平行四边形，证明略。（2）AB=AC时为菱形，∠BAC=150°时为矩形。

20．（1）y=x（0＜x≤10），y=。

（2）40分钟。

（3）将y=4代入y=x中，得x=5；将y=4代入y=中，得x=20。

因为20-5=15＞10，

所以消毒有效。

五、综合题

21．（1）证明：由y=x＋b得 A（－b，0），B（0，b），

所以∠DAC=∠OAB=45°。

又DC⊥x轴，DE⊥y轴，

所以∠ACD=∠CDE=90°。

则有∠ADC=45°，即AD平分∠CDE。

（2）由（1）知△ACD和△BDE均为等腰直角三角形，

所以AD=CD，BD=DE。

八年级数学分式培优 篇7

第1课时

【教学目标】 知识目标

1.理解分式方程的意义.2.了解解分式方程的基本思路和解法.3.理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握分式方程的验根方法.能力目标

经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识.情感目标

在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值.【教学重难点】

重点:解分式方程的基本思路和解法.难点:理解解分式方程时可能无解的原因.【教学过程】

一、创设情境,导入新课

问题:一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h,它以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间,与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等,江水的流速为多少?

分析:设江水的流速为v km/h,则轮船顺流航行的速度为(30+v)km/h,逆流航行的速度为(30-v)km/h,顺流航行90 km所用的时间为小时,逆流航行60 km所用的时间为小时.可列方程=.这个方程和我们以前所见过的方程不同,它的主要特点是:分母中含有未知数,这种方程就是我们今天要研究的分式方程.二、探究新知

1.教师提出下列问题让学生探究:

(1)方程=与以前所学的整式方程有何不同?(2)什么叫分式方程?

(3)如何解分式方程=呢?怎样检验所求未知数的值是原方程的解?(4)你能结合上述探究活动归纳出解分式方程的基本思路和做法吗?

(学生思考、讨论后在全班交流)2.根据学生探究结果进行归纳:(1)分式方程的定义(板书):

分母里含有未知数的方程叫分式方程.以前学过的方程都是整式方程 练习:判断下列各式哪个是分式方程.(1)x+y=5;(2)=;(3);(4)=0

在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程,(3)是分式,(4)是分式方程.(2)解分式方程=的基本思路是:将分式方程化为整式方程.具体做法是:“去分母”,即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般思路和做法.3.仿照上面解分式方程的做法,尝试解分式方程=,并检验所得的解,你发现了什么?与你的同伴交流.4.思考:上面两个分式方程中,为什么=①去分母后所得整式方程的解就是①的解,而=②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢?学生分组讨论产生上述结果的原因,并互相交流.5.归纳:

(1)增根:将分式方程变为整式方程时,方程两边同乘以一个含有未知数的整式,并约去分母,有可能产生不适合原方程的解(或根),这种根通常称为增根.(2)解分式方程必须进行检验:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.三、巩固练习

1.在下列方程中: ①=8+;②=x;③=;④x-=0.是分式方程的有（）A.①和②

B.②和③ C.③和④ D.④和①

2.解分式方程:(1)=;(2)=.四、课堂小结

1.通过本节课的学习,你有哪些收获?

2.在本节课的学习过程中,你有什么体会?与同伴交流.引导学生总结得出: 解分式方程的一般步骤:

(1)在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化为整式方程.(2)解这个整式方程.(3)把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零;使最简公分母为零的根不是原方程的解时,必须舍去.五、布置作业

课本152页练习.第2课时

【教学目标】 知识目标

会分析题意找出相等关系,并能列出分式方程解决实际问题.能力目标

通过让学生经历分析相等关系列方程的过程,培养学生分析问题和解决实际问题的能力,进一步体会化归思想.情感目标

通过学习,更加关注生活,增强用数学的意识,从而激发学习数学的热情.【教学重难点】 重点:列分式方程解决实际问题.难点:找出相等关系列出分式方程,将实际问题数学化.【教学过程】

一、复习提问

1.解分式方程的步骤

(1)方程两边同乘以最简公分母,化分式方程为整式方程;(2)解整式方程;(3)验根.2.列方程应用题的步骤是什么?(1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)答.3.由学生讨论,我们现在所学过的应用题有几种类型?每种类型题的基本公式是什么? 在学生讨论的基础上,教师归纳总结基本上有五种:(1)行程问题:基本公式:路程=速度×时间, 而行程问题中又分相遇问题、追及问题.(2)数字问题

在数字问题中要掌握十进制数的表示法.(3)工程问题

基本公式:工作量=工时×工效.(4)顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水,v逆水=v静水-v水.本节课我们将学习列分式方程解决实际问题.二、探究新知

例1:两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成.哪个队的施工速度快?

(鼓励学生积极探究,当学生在探究过程中遇到困难时,教师应启发诱导,让学生经过自己的努力,在克服困难后体会如何探究)

分析:本题是一道工程问题应用题,基本关系是:工作量=工作效率×工作时间.这题没有具体的工作量,工作量虚拟为1,工作的时间单位为“月”.等量关系是:甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1.甲队一个月完成总工程的,设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的,那么甲队半个月完成总工程的,乙队半个月完成总工程的,两队半个月完成总工程的+.则有++=1.(教师板书解答、检验过程)

讨论:列分式方程解应用题与以前学习的列方程解应用题有什么区别?(学生讨论后回答)区别:解方程后要检验.归纳:列分式方程解应用题的方法和步骤如下: 1.审题分析题意;2.设未知数;3.根据题意找相等关系,列出方程;;4.解方程,并验根(对解分式方程尤为重要);

5.写答案.例2:从2004年5月起某列列车平均提速v千米/时.用相同的时间,列车提速前行驶s千米,提速后比提速前多行驶50千米,提速前列车的平均速度是多少?

【分析】这是一道行程问题的应用题,基本关系是:速度=.这题用字母表示已知数(量).等量关系是:提速前所用的时间=提速后所用的时间.设提速前的平均速度为x千米/时,则

提速前列车行驶s千米所用的时间为小时,提速后列车的平均速度为(x+v)千米/时,提速后列车行驶(s+50)千米所用的时间为小时.列方程得:=.(学生板书解答、检验过程,生生互相矫正完善)

引导学生注意:本题的检验中利用了问题的实际意义,根据字母的含义确定其取值的范围中不含负数和0,从而确定分式方程解的情形.三、随堂练习

课本154页练习.补充练习:

一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?

(学生独立完成后,互相交流.三名学生板演解题过程,集体矫正.)

四、课堂小结

通过本节课的学习,你获得了哪些解决问题的方法?谈谈你的收获和体会.温馨提示:对于列方程解应用题,一定要善于把生活语言转化为数学语言,从中找出等量关系.对于我们常见的几种类型题我们要熟悉它们的基本关系式.五、布置作业

八年级数学分式培优 篇8

通过复习同分母异分母分数的加减计算类比学习分式的加减运算以分式的通分（分母为异分母的情况）作为预备知识检测，再到学生自主学习所完成的基础练习题及熟练法则，通过让学生板演计算过程后出现的问题（分子的加减，去括号问题及分式的最简化等）给予讲解及问题的讨论。最后是课堂练习巩固和小结作业布置。

在授课结束后发现学生对于同分母的分式的加减运算掌握得比较好但是对于异分母的分式加减就掌握得不是很理想，很多学生对于分式的通分还很不熟练，也有学生对于计算结果应该为最简分式理解不够总是无法化到最简的形式。

分式的加减法上完后列举了一道加减混合运算题，在讲解时结合加减混合运算法则进行复习，分式的加减混合运算不同的是分母或者分子当中如果有出现可以因式分解的应该先进行因式分解，异分母的分式应先进行通分化为同分母再进行计算，除法应转化为乘法。并且计算的最终结果应该为最简分式的形式，在计算时应先观察分式的特点从而分析是不是可以结合乘法的分配律进行计算从而达到化繁为简的目的。

分式中的数学思想及方法 篇9

一、 类比思想

类比是指在不同的对象之间，根据它们某些方面的相似之处进行比较，通过联想和预测推出在其他方面也可以相似，从而去建立猜想和发现规律的方法. 通过类比可以发现新旧知识的异同点，利用已有知识来研究新知识. 分式这一章中，类比思想一直贯穿始终，分式的概念，分式的基本性质，分式的通分、约分、最简分式，分式加减、乘除、乘方运算及混合运算，都是直接通过与分数类比，通过实例，观察异同点，总结归纳出来的. 分式方程的解法及应用也可以类比一元一次方程.

二、 转化思想

转化是一种重要的数学思想，应用非常广泛. 转化思想是将陌生的或不易解决的问题，设法通过某种手段转化为我们熟悉的或已经解决的或易于解决的问题，从而使原问题获得解决的一种思想方法. 这样不但有利于培养创新思维能力，同时也降低了对新知识理解的难度，一举多得.

本章很多地方都体现了转化思想. 如异分母分式加减法转化为同分母分式的加减法；分式除法转化为分式乘法；分式方程转化为整式方程.

1. 分式有无意义或分式值为零时的转化

例1 （1）（2014·广西贺州）分式有意义，则x的取值范围是_______.

（2）（2014·毕节）若分式的值为零，则x的值为_______.

（3）（2013·钦州）当x=_______时，分式无意义.

【分析】这三道题是将有关分式问题转化成方程的问题来解决. 第（1）题，如果分式有意义，则分母不为零，可先列方程x-1=0，解得x=1，所以当x≠1时分式有意义；第（2）题当分式的值为0时，则分子等于0且分母不等于0，解得x=-1. 所以当x=-1时的值为0；第（3）题，当分式无意义时，则分母为0，即x-2=0，解得x=2.

2. 异分母分式加减时的转化

例2 （2014·广西玉林）先化简，再求值：-，其中x=-1.

【分析】异分母分式相加减时，通过通分转化成同分母分式再进行加减.

解：原式=-==，当x=-1时，原式==.

3. 分式的除法的转化

例3 （2014·江苏扬州）化简：-÷.

【分析】分式除以分式时，把除式的分子分母颠倒位置后，与被除式相乘，从而转化为分式的乘法.

解：原式=-·=-=.

4. 分式方程的转化

例4 （2014·山东聊城）解方程：+=-1.

【分析】解分式方程的基本思想是转化，即把分式方程的分母去掉，使分式方程转化成整式方程，就可用解整式方程的方法来求解，所以在学习过程中要树立“转化”的数学思想. 解分式方程一定要注意验根. 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

解：去分母得：-（x+2）2+16=4-x2 （这一步就是转化思想的具体应用），

去括号得：-x2-4x-4+16=4-x2，

解得：x=2，

经检验x=2是增根，原方程无解.

三、 数学方法和数学建模思想

本章的数学方法有分解因式、通分、约分、去分母等等. 在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，然后通过数学模型去解决实际问题. 分式方程就是一个重要的模型. 经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的建模思想，对培养利用方程模型解决实际问题具有重要意义.

例5 （2014·云南）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3 000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5 000元购进第二批这种盒装花. 已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元. 求第一批盒装花每盒的进价是多少元？

【分析】设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是，第二批进的数量是，再根据等量关系“第二批进的数量=第一批进的数量×2”可得方程.

解：设第一批盒装花的进价是x元/盒，则

2×=，解得x=30.

经检验，x=30是原方程的根.

答：第一批盒装花每盒的进价是30元.

【点评】本题考查了分式方程的应用. 注意，分式方程需要验根，这是易错的地方.

四、 整体思想

整体思想就是对问题一一求解比较困难时，把注意力和着眼点放在要解决的问题的整体结构上，认真分析题意，从全局出发，通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理，使问题得到简洁巧妙解答的一种方法.

例6 （2014·江苏泰州）先化简，再求值：

1-÷-，其中x满足x2-x-1=0.

【分析】化简原式可以得到，要求的值，则要求出x的值，可现阶段又没有学过如何解这个方程，那怎么办呢？联想整体思想，看看条件，易得x2=x+1，即将x+1看作一个整体，代入求值即可.

解：原式=·-

=·-

=x-=.

∵x2-x-1=0，∴x2=x+1，则原式=1.

例7 （2014·山东济宁）已知x+y=xy，求代数式+-（1-x）（1-y）的值.

【分析】考点：分式的化简求值. 首先将所求代数式展开化简，然后整体代入即可求值.

解：∵x+y=xy，

∴+-（1-x）（1-y）=-（1-x-y+xy）=-1+x+y-xy=1-1+0=0.

【点评】在思考数学问题时，不能只着眼于它的局部特征，而整体思想是把联系紧密的几个量作为一个整体来进行运算的数学思想，运用这种思想可以将复杂问题简单化，达到简捷解题、出奇制胜的效果. 一般地，运用整体思想的方法有整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑和整体构造等.

五、 分类讨论思想

分类讨论思想是在对一个复杂问题出现的情况进行全面分析思考的基础上，将其转化为几个简单的子问题，进而在既不重复也不遗漏的情况下处理和解决问题的思想方法.

例8 若分式的值为负数，试确定x的取值范围.

【分析】分式的值为负数，即分式的分子2-x与分母1+x的符号相反.

解：∵<0，∴分子2-x与分母1+x的符号相反，即2-x>0，

1+x<0或2-x<0，

1+x>0.

解得x<2，

x<-1或x>2，

x>-1. ∴x<-1或x>2，

【分析】对于不确定因素的问题，我们需要分类进行讨论，本题中不能直接确定分子分母的符号，我们就应该分类讨论，分类讨论时要不重复也不遗漏.

数学思想方法是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能的关键. 只有掌握数学思想方法，才能真正领悟到数学的真谛，解题才能得心应手.

跟踪练习

1. （2014·江苏泰州）已知a2+3ab+b2=0（a≠0，b≠0），则代数式+的值等于_____.

2. （2014·四川凉山）先化简，再求值：÷a

+2-，其中a2+3a-1=0.

3. （2014·新疆）解分式方程：+=1.

参考答案

1. -3.

2. 解：原式=÷=·=，当a2+3a-1=0，即a2+3a=1时，原式=.

3. 解：方程两边都乘（x+3）（x-3），得3+x（x+3）=x2-9，3+x2+3x=x2-9，3x=-12，解得x=-4.

检验：把x=-4代入（x+3）（x-3）≠0，

∴x=-4是原分式方程的解.

八年级数学分式培优 篇10

科目：数学

制作人

时间

审核人

组长

课题

分式加减2

年级

八

课时

教学目标了解同分母、异分母的分式加减法则。

熟练地进行同分母、异分母的分式加减法运算

掌握分式四则运算法则,进行简单的分式运算

教学过程

第一步：交流预习（5分钟）

直接说出结果

（4）+

在物理学上的应用

在下图的电路中,已测定CAD支路的电阻是R1欧姆,又知CBD支路的电阻R2比R1大50欧姆,根据电学的有关定律可知总电阻R与R1、R2满足关系式:

试用含有R1的式子表示总电阻R．

A

C

D

B

B

第二步：自主探究（20分钟）

复习回顾

1、分式的加减

2、分式的乘除

3、分式的乘方

计算:

分式的混合运算顺序：

计算：

第三步：互助释疑（15分钟）

第四步：巩固拓展（5分钟）

第五步：总结提高（5分钟）

板书设计

课后自评

（1）.（2）.（3）

（4）

（5）

4、节日期间，几名学生包租了一辆车准备从市区到郊外游览，租金为300元。出发时，又增加了2名同学，总人数达到x名。开始包车的几名学生平均每人可比原来少分摊多少钱？

八年级数学分式培优 篇11

（一）一、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式

A

子叫做分式。B

11a2b2

例1.下列各式，x+y，-3x2，0•中，是分式的有（）

三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，AACAAC分式的值不变。（C0）

BBCBBC

四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。

xy

a

x15ab

个。

二、分式有意义的条件是分母不为零；【B≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】

分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B≠0且A=0即子零母不零】 例2.下列分式，当x取何值时有意义。

2x13x2（1）3x2；（2）2x3。

例3.下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（）。

1x3x2x1B．2x1C．1xD．x2

A．22x2

1例4．当x______时，分式2x13x4无意义。当x_______时，分式x21x2x2的值为零。

例5.已知115x3x-y=3，求xy5y

x2xyy的值。

例6.不改变分式的值，使分式1的各项系数化为整数，分子、分母应3x19y乘以（•）。

例7.不改变分式23x2x

5x32x3的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（•）。

8.分式4y3xx21x2xyy2

例a22ab4a，x41，xy，ab2b2中是

最简分式的有（）。

例9.约分：（1）x26x9m23m2

x29；（2）m2m

例10.通分：（1）x6ab2，y9a2bc；（2）a1

6a2

2a1，a2

1例11.已知x2+3x+1=0，求x2+1

x

2的值．

例12.已知x+1x=3，求x2

x4x21的值．

五、分式的运算：

分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。acac;acadad

(anb)anb

n

bdbdbdbcbc

分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。

ababacadbcccc,bdbdbdadbc

bd

混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。

例13.当分式121

x21-x1-x1的值等于零时，则x=_________。

例14．已知a+b=3，ab=1，则ab

b+a的值等于_______。

例15.计算：x2xx22x-1

x2

4x4。

计算：x2

例16.x1

-x-

1例17.先化简，再求值:a3a3-a63a23a+a，其中a=2。

16章分式复习

（二）例21.人类的遗传物质就是DNA,人类的DNA是很长的链,最短的22号染色体也长达3000000个核苷酸,这个数用科学记数法表示是__________。

六、任何一个不等于零的数的零次幂等于1 即a0

1(a0)；

当n为正整数时，an



a

n（a0)

七、正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)（1）同底数的幂的乘法：am

an

amn；

（2）幂的乘方：(am)n

amn

;

（3）积的乘方：(ab)

nanbn；

（4）同底数的幂的除法：am

an

a

mn

(a≠0)；

（5）商的乘方：(anan

b)b

n(b≠0)

八、科学记数法：把一个数表示成a10n的形式（其中1a10，n是整

数）的记数方法叫做科学记数法。

1、用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是n1。

2、用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)。例18.若102x

25,则10x

等于()。

A.1111

5B.5C.50

D.625

例19.若aa13,则a2a2等于()。A.9B.1C.7D.11

1

例20.计算:(1)413(62)03

(2)2a3b1

xy2

32



3例22.计算31052

3101



___________。

例23．自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”，已知52个纳米的长度为0.000000052米,用科学记数法表示这个数为_________。例24．计算

3xxx4y+y4yx-7y

x4y

得（）A．-

2x6y2xx4yB．6y

x4y

C．-2D．2 25.计算a-b+2b2

例ab

得（）

ab2b2

A．a2b2ab

B．a+bC．abD．a-b

九、分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

1、解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

2、解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

3、解分式方程的步骤：

（1）、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。（2）、解这个整式方程。

（3）、把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。（4）、写出原方程的根。

增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。

4、分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

例26.解方程。

(1)322xx6（2）x13x16

x2

1（3）25x11x0（4）63x814x7

83x

例27.X为何值时，代数式2x9x31x32

x的值等于2？

3例28.若方程2x42

x21

有增根，则增根应是（）

十、列方程应用题

（一）、步骤(1)审：分析题意,找出研究对象，建立等量关系；(2)设：选择恰当的未知数,注意单位；(3)列：根据等量关系正确列出方程；(4)解：认真仔细；(5)检：不要忘记检验；（6）答：不要忘记答。

（二）应用题的几种类型：

1、行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题。

例29.甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.2、工程问题 基本公式：工作量=工时×工效。

例30.一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?

3、顺水逆水问题v顺水=v静水+v水；v逆水=v静水-v水。