证明面面平行

证明面面平行（共11篇）

证明面面平行篇1

求证：四边形EGFH为平行四边形；

3如图，∥∥，直线a与b分别交，，于点A，B，C和点D，E，F，求证：

ABDE． BCEF第 7 页

4如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，Q分别是BC，C1D1，E，F，P，AD1，BD的中点．

（１）求证：PQ//平面DCC1D1．（２）求PQ的长．

（３）求证：EF//平面BB1D1D．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别棱是CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足

时，有MN//平面B1BDD1．如图，M、N、P分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD上的点，且AM∶MBCN∶NBCP∶PD．

求证：（１）AC//平面MNP，BD//平面MNP；（２）平面MNP与平面ACD的交线//AC．

第 8 页

7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面A1BD//平面CD1B1．图，在四棱锥PABCD中，ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN//平面PAD．

9如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，3，D是AC的中点.求证：B1C//平面A1BD..如图，在正四棱锥PABCD中，PAABa,点E在棱PC上．问点E在何处时，PA//平面EBD，并加以证明.A

证明面面平行篇2

1 中点用于平行问题的证明

在立体几何的平行证明问题中若出现了中点的已知条件，这时我们应特别留意这一条件，因为它往往是解决本题的关键.在立体几何中若能利用好中点，平行问题的证明将会变得更具特征性，其遵循的原理即为若知一中点，即想办法找出另一个中点，那常常应注意能否应用三角形中位线、梯形中线等来证明线线平行，使之能利用中位线性质，从而得到两直线平行或平行四边形，进而可以证明线面平行的问题，从而达到证明线面的平行关系.

例1如图1，已知S是△ABC所在平面外一点，O是边AC的中点，点P是SA的中点，求证：SC∥平面BOP.

分析要证SC∥平面BOP，根据线面平行的判定定理，应证线线平行，即要证SC平行平面BOP内的一条直线.

证明因为P为AS中点，O为AS中点，所以PO为△ASC的中位线，所以PO∥SC，即SC∥PO.又SC平面BOP，PO平面BOP，所以SC∥平面BOP.

例2如图2，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点，求证：AF∥平面PCE.

分析要证明AF∥平面PCE，根据线面平行的判定定理，应证线线平行，即在平面PCE内找一条直线与AF平行.

证明取PC中点K，连结EK，FK.因为F为PD中点，在△PCD中，KF是△PCD的中位线，所以KF∥CD，KF=CD.

又E为AB中点，四边形ABCD是矩形，所以AE∥CD，AE=CD，所以KF瓛AE，四边形AEKF为平行四边形，AF∥EK.

又AF平面PCE，EK⊂平面PCE，所以AF∥平面PCE.

本例条件中已经告知E，F分别为AB，PD中点这一重要信息，这一重要信息如何用上呢?由于AB，PD为两条异面直线，不能直接将现有中点连接构成三角形中位线，所以需另觅中点，当再添加PC的中点K，就会使所求证的问题出现了例1中的应用三角形中位线的情况.在△PCD中即可应用中位线定理得到KF∥CD且KF=CD这一重要桥梁信息，进而可证得四边形AEKF为平行四边形，由平行四边形的性质可得到线线平行的结论.

例3如图3，在底面是菱形的四棱锥P-ABCE中，点E是PD的中点，求证：PB∥平面EAC.

分析要证明线面平行，很自然就会想着证明线线平行，而题中已知条件有点E是PD中点，若能出现第二个中点，即可以转化为前例中三角形中位线的问题，所证问题即可迎刃而解.

证明如图3，连结BD交AC于点O，连结EO.因为四边形ABCD为菱形，所以O为PD中点.又E是PD的中点，在△DPB中，EO是△DPB的中位线，所以EO∥PB.

又EO平面EAC，PB平面EAC，所以PB∥平面EAC.

本例通过连结BD交AC于点O，巧妙地构造出第二个中点，结合条件中的E是PD的中点，这就出现了三角形中两边中点问题，利用三角形中位线定理就可轻松地把问题解决.

2 中点用于垂直问题的证明

在立体几何的有关垂直问题的证明中，常见的是以证明线线垂直，线面垂直和面面垂直的题型为主，究其规律，该类垂直问题常由线线垂直证得线面垂直，由线面垂直进而证得面面垂直，这证明思路源于证明垂直问题的判定定理和垂直的定义.当题目中给出中点或在一个三角形中有两边相等时，利用好中点往往是解题的关键.

例4如图4，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外的一点，P在平面ABC内的射影为BF的中点O，求证：PA⊥BF.

分析PA，BF为两条异面直线，要证明线线垂直，不能直接证得，唯有通过线面垂直证得线线垂直.即证明PA垂直BF所在的平面或证明BF垂直PA所在的平面来实现.

证明连结AO.因为AF=AB，O为BF的中点，所以AO⊥BF即BF⊥AO.

又O为P在平面ABC内的射影，所以PO⊥BF，即BF⊥PO.

又AO∩PO=O, AO, PO⊂平面PAO, 所以BF⊥平面PAO.

又PA⊂平面PAO，所以BF⊥PA，即PA⊥BF.

上例通过证明BF⊥平面PAO，进而证明了PA⊥BF，而这一证明过程中用了O为BF的中点，且AF与AB相等这一重要条件，而当连结AO时，由等腰三角形底边上的中线也为底边上的高这一结论可知有BF⊥AO，即得到了线线垂直.从而得到了证明本题的关键.

例5如图5，在三棱锥P-ABC中，AB=AC, PB=PC, 求证:PA⊥BC.

分析要证明PA⊥BC，即证明线线垂直，可证明PA垂直BC所在的平面或证明BC垂直PA所在的平面，本题有AB=AC，PB=PC两个等腰三角形，若能用好等腰三角形三线合一的性质便可使求证的问题得到解决.

证明取BC中点O，连结AO，PO.

因为AB=AC，PB=PC，O为BC中点，所以BC⊥AO，BC⊥PO.

又AO∩PO=O, AO, PO平面PAO, 所以BC⊥平面PAO.而PA平面PAO, 所以BC⊥PA, 即PA⊥BC.

本例关键是取BC的中点，由等腰三角形底边上的中点引出线线垂直，进而证得了线面垂直.

例6如图6，三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC，求证：AB⊥BC.

分析本题要证明的AB⊥BC是同一个平面内的两条直线，结合题中所给出的条件，想通过证明线面垂直来证明，这显然是走不通的，但它有条件PA=PB=PC，即它的突破点依旧是中点问题，这缘于有等腰三角形的出现.

证明如图6，取AC中点O，连结PO，BO.因为PA=PC，所以PO⊥AC.

又侧面PAC⊥底面ABC，PO⊥底面ABC，所以OB为PB在底面ABC的射影.

又PA=PB=PC，所以OA=OB=OC，即OB=AC.所以AC为直角三角形ABC的斜边，所以AB⊥BC.

要证明线线垂直，当两直线为共面直线，又无法用线面垂直进行证明时，应积极寻求其他的垂直证明依据，而出现有等腰三角形时，关注这个三角形底边上的中点常会使求证问题得到突破.

例7如图7，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点，求证：EF⊥平面PAB.

分析欲证线面垂直，应证线线垂直，即证EF⊥平面PAB内的两条相交线.

证明如图7，取PA中点O，连结DO，FO.因为AD=PD，所以OD⊥PA.

又底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.

又PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AB，即AB⊥PD.

又PD∩AD=D，PD，AD平面PAD，所以AB⊥平面PAD.

又OD⊂平面PAD，所以AB⊥OD，即OD⊥AB.

又AB∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，所以OD⊥平面PAB.

又E，F分别为CD，PB的中点，所以ED

所以四边形EFOD为平行四边形，所以EF∥OD，所以EF⊥平面PAB.

本题是一道比较抽象的线面垂直证明题，从题中已知条件是无法直接证明EF⊥平面PAB，证明的突破口出现在等腰三角形PDA与已知条件中的E，F分别为CD，PB的中点的这两个条件上，总之还是由中点问题进行求证的突破，从而使求证得以证明.由此可见中点问题在立体几何证明问题应用中的重要性.

由于知识的不断深化，立体几何的证明问题将会有越来越多的变式题，但不论其如何变化，我们都可以通过对已知条件进行整理，最后回归到我们所常见的、基本的题型进行寻求解答.

参考文献

[1]王申怀.高中数学必修2 (A版) [M].北京:人民教育出版社, 2008.

[2]王林全.中学数学思想方法概论[M].广州:暨南大学出版社, 2003.

[3]陈德崇.中学数学教学论[M].广州:广东高等教育出版社, 1995.

[4]王金贵.怎样解题[M].北京:北京教育出版社, 2005.

[5]李玉琪.简明数学方法论[M].北京:科学技术文献出版社, 1994.

“三法”证明线面平行篇3

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解.

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

（责任编辑钟伟芳）endprint

平行关系是几何中一种常见的位置关系，其包括线线平行、线面平行及面面平行三种类型.其中线面平行是三种平行关系中最为常见的一种，是高中数学的必修内容，它既与线线平行相关，又与面面平行有一定的联系，是三种平行关系中极为重要的一种.在2013年的高考中，有一半的试卷涉及线面平行的证明，下面以题为例研究线面平行的证明方法，寻找此类题的解题规律.

一、由线线平行证明线面平行

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

三、法向量法

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

（责任编辑钟伟芳）endprint

一、由线线平行证明线面平行

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

三、法向量法

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

证明面面平行篇4

判定：a用向量，方向向量平行b一条直线平行于另一个平面，则它平行于它所在平面与那个平面的交线。C若一平面与两平行平面相交，则两交线平行。D同时与一平面垂直的两直线平行。E同时平行于一条直线的两直线平行。

性质：貌似没啥性质，一般是证明线面关系的时候先证明线线关系。

2.线线垂直

判定：a向量，方向向量垂直b直线垂直于平面，则直线与平面中的任意直线都垂直c第一条直线与第二条直线平行，第一条垂直于第三条，则第二条也垂直于第三条d把两直线放在一个平面中，利用平面几何各种判定方法，如等腰三角形的底和高等。E（重点）三垂线定理：平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和过平面的一条斜线垂直，那么它也垂直于斜线在平面内的射影。（这个比较重要，记不住的话找一下例题，多看看图就好了）性质：貌似也没什么性质，一般也是要证明线面关系的时候用到它。注意：第一条直线垂直于第二条直线，第一条直线垂直于第三条直线，则第二条直线与第三条直线可垂直可平行也可普通相交。

3,线面平行

判定：a面外一条线与面内一条线平行。（常用）b空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量（x1x2-y1y2=0）（常用）c面外一直线上不同两点到面的距离相等d证明线面无交点（定义）e反证法（线与面相交，再推翻）

性质：平面外一条直线与此平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。

4.线面垂直

判定:a一条线和平面内两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直b两个平面垂直,其中一个平面内的直线垂直两平面的交线，那么这条直线和这个平面垂直c直线的方向向量与平面的法向量平行

性质：如果两条直线同时垂直一个平面，那么这两条直线平行。

5.面面平行

判定a一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行。（常用）b如果两平面同时垂直于一条直线，则两平面平行（大题一般不用）

性质：a两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面b两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面c两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行d平行平面所截的线段对应成比例（这个是推论，不好描述，书上或练习册上应该有类似的题）

6.面面垂直

判定：一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直

面面平行的判定和性质定理篇5

平面与平面平行的判定及性质定理学习目标：

1、判定定理：（文字）

2、性质定理：（文字）

学习重点：面面平行的判定定理、性质定理。学习难点：应用

学习过程：

一、面面平行的判定定理

1、回答教材56页“观察”中的问题（比划一下），读一遍面面平行的判定定理判断教材56页“探究”的对错（比划一下），再读一遍面面平行的判定定理

不看书你能用数学语言写出面面平行的判定定理吗？

_____________________________________________________________________

2、在教材上完成58页1、33、看明白教材57页例2后，证出它过程中的同理内容，希望你的证明过程更简化

4、做58页练习

2班级___________组______________________层学生___________

二、平面与平面平行的性质定理：_________________________________________(文字)

1、看教材60页“思考”：画出你所想到的所有情形。

2、看明白例5，性质定理与这道例题及思考都有什么关系？

三、反思：面面平行判定定理的条件是——_________，结论是——______________面面平行性质定理的条件是——_________，结论是——______________

四、看明白例6。注意：证明出平行四边形的意义。

五、例题（教材62页7、8、B组2、3、4填空在书上）

3思考：

1、B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，（1）求证：平面MNG//平面ACD。（2）求SMNG:SABC2、用平行于四面体ABCD的一组对棱AB、CD的平面截此四面体，（1）求证：所得截面 MNPQ 是平行四边形

（2）如果ABCDa求证MNPQ的周长为定值

构造平行四边形证明线面平行篇6

（2）当∠PDA＝45°时，求证：MN⊥平面PCD；

2、如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=2，AA1=1，D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1=2.（I）求证：PA1⊥BC；

（II）求证：PB1//平面AC1D；

3、（本题满分14分）如图，平行四边形ABCD中，BDCD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中点，G是AE,DF的交点.⑴求证： GH//平面CDE；⑵求证： BD平面CDE.4、如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，ABAE,FAFE,AEF45

（I）求证：EF平面BCE；

（II）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证： PM∥平面

BCE5、（本小题满分14分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点。（I）求证：AF//平面BCE；（II）求证：平面BCE⊥平面CDE；

6、直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB2AD2CD2．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）在A1B1上是否存一点P，使得DP

与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论． B1CD

D C

变题：求证：（1）A1B⊥B1D；（2）试在棱AB上确定一点E，使A1E∥平面ACD1，并说明理由．

7、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PABC1AD.（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；（2）在棱PD上是否存在一点E，使CE//平面PAB？

2若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.8、已知直角梯形ABCD中, AB//CD,ABBC,AB1,BC2,CD1过A 作AECD,垂

足为E,G、F分别为AD、CE的中点,现将ADE沿AE折叠,使得DEEC.(1)求证：

BC面CDE；(2)求证：FG//面BCD；（Ⅲ）在线段AE上找一点R,使得面BDR面DCB,并说明理由.D D C G E A B 2F C

证明面面平行篇7

1. 教学内容。北师大版《义务教育教育教科书·数学》八年级上册第七章平行线的证明第2节定义与命题第一课时。

2. 内容解读。本节课是在学习了为什么要证明的基础上进行的, 学生在感受到了生活中证明的必要性后就要学习证明的方法和依据, 而定义就是证明的基本依据, 而且通过定义和命题能体会到许多的判断“可以证明”, 也为下一步的“怎样证明”做好铺垫。同时, 本节课是一节概念性的课, 是下一步进行规范证明的起点, 为培养学生的观察能力、逻辑思维能力、归纳演绎能力和创新应用能力打下基础。

3. 教学目标。

(1) 从具体实例中, 探索出定义, 并了解定义在现实生活中的重要性。

(2) 从具体实例中, 了解命题的概念和结构特征, 并会区分真、假命题。

(3) 通过从具体举例中提炼数学概念, 体会数学与实际生活的联系, 感受数学来源于生活, 并服务于生活。

4.教学重点。

命题的概念。

5.教学难点。

命题的结构特征及真假命题的判断。

6.教学过程。

(1) 创设情境、引入新课。

教师 :大家好, 很高兴能有机会和大家一起参加本次活动, 作为东道主, 希望同学们能用良好的表现, 向全省各地的专家、老师展示我们的风采, 有没有信心?

学生 :有。 (声音不是太响亮)

教师 :看来同学们还是有点紧张。没关系, 下面我们先来放松一下 : (课件展示幻灯片2——赵本山的小品 :“昨天、今天、明天”的视频内容) (约1分钟)

设计意图 :通过小品中的“包袱”让学生放松心情的同时又能直观感受对名称、术语不同认识所产生的差异, 激发学生的学习兴趣, 唤起他们的好奇心与求知欲 ;同时还可以体现定义对于生活的重要性。

(学生观看视频, 并有笑声。)

教师 :大家感觉到好笑的原因是什么?秋波是那样解释的吗?

学生 :秋波不是这样解释的。

学生 :不是, 解释是错误的。

教师 :我们的艺术家通过对“秋波”的一个完全不同的认识达到了逗大家笑的目的。其实生活中这样是事情非常多, 对同一名称、术语不同的认识就可能产生误会、笑话, 有时也对我们的交流产生障碍, 而要避免这样的问题, 就需要我们对同一名称、术语有相同的认识, 那你能说一下怎样认识下面的术语吗? (课件展示幻灯片3)

(学生口答内容, 并互相补充。)

(教师在学生回答的同时展示正确的解释。)

设计意图 :在小品的基础上对常见名称、术语进行准确的解释, 为引入“定义”做了充足的铺垫。

点评 :本环节通过创设轻松诙谐的小品这一特定情境, 引出“秋波”一词, 一方面缓解了刚开始时紧张的课堂气氛, 另一方面, 利用“秋波”这一熟悉的名词, 给出另类的解释, 让学生既觉得可笑, 又有所期待, 为下面“定义”的引出作下铺垫。

(2) 自主交流、合作探究。

【合作探究一】定义的概念 :

教师 :同学们说的不错, 那大家想一下, 我们在描述名称或术语的含义时, 最重要的是什么?

(学生思考并给出不同的回答。)

教师 :下面我们来举个例子, 现在请我们班“聪明”的同学站起来。

教师 : (稍等一会发现没有同学站起) 看来同学们都很谦虚, 没关系, 你不好意思夸自己聪明, 那你能告诉我其他同学谁聪明吗?

学生 :还是没有答案。

教师 :怎么还没答案呢?

学生 :不好说。

教师 :为什么?

学生 :不好确定。

教师 :看来我们同学找到原因了, 我们不好确定哪些同学是“聪明”人的原因是 :我们不知道聪明的标准。实际上我们有时做不到是因为我们对它的描述不准确、不清晰。因此我们对名称、术语的描述要清晰准确。 (课件展示幻灯片4) 同时板书课题——7.2定义。

设计意图 :通过对“聪明”的定义让学生体会下定义时清晰、准确的必要性, 更好理解定义的概念和要求。

教师 :我们举几个例子来看一下。 (课件动画展示)

试一试 :

教师 :你能说一说学过哪些定义? (课件展示幻灯片5)

(学生分小组举例回答。)

教师 :我给大家两个定义。 (动画展示线段、三角形及其定义) 你还能再举几个例子吗?

(学生思考并回答, 没有主动举手的) 。

教师 :看来学的越多, 越不好想, 那就由我来给大家举几个例子, 请同学们来说一说它们的定义。

学生 :……

教师 :原来我们不知不觉中学了这么多的定义, 对于这么多的定义你到底掌握的怎么样呢? 我们来考察一下。 (课件展示幻灯片6)

(学生结合所学知识给出答案并相互完善, 同时利用动画效果逐个展示相关的定义。)

设计意图 :在例题的基础上理解定义, 同时通过学生的合作探究进一步体会、理解定义, 让学生充分地参与到知识的探究过程中, 真正地让学生成为知识探究、生成过程中的主体。

想一想 :

教师 :看来同学们对定义的认识比较深刻, 我们学习了这么多的定义, 那么请大家思考一下 :我们学习定义有什么意义呢?

(学生先思考, 然后小组交流。)

(教师根据学生的回答, 及时引导学生总结定义的意义。)

师生总结学习定义的必要性 :

(1) 定义是严密的表述, 可以规范我们对事或物的认识。

(2) 定义是证明的重要依据。比如依据“垂直”的定义, 可以得出两条直线所成的角90°, 反过来如果两条直线相交构成的角中有90°的角, 我们就可以判定这两条直线互相垂直。

设计意图 :通过对学习定义的必要性这一问题的提出和分析进行探究, 让学生在已有的直接经验和间接经验的基础上认识学习的意义, 培养学生归纳总结的能力。

点评 :教师巧设“聪明”一词, 充分调动学生参与的积极性, 同时也切实体会下“定义”时清晰、准确的必要性, 自然得出什么是“定义”, 接着教师示范典型的“定义”样式, 鼓励学生回顾已学过的一些定义, 加深对“定义”的理解, 最后师生共同总结学习“定义”的意义, 教师的语言幽默, 学生主动参与的积极性高涨。

【合作探究二】命题的概念 :

教师 :当然, 生活的需要判断的事非常多, 我们也经常会做出判断, 比如…… (课件展示幻灯片7)

教师 :这三句话对两条线段的长短做出了判定吗?

学生 :做出了判定。

教师 :好, 下面我们再来看几个句子。 (课件展示幻灯片8)

(学生小组内讨论并回答。)

教师 :学生回答后课件展示结果并与学生总结给出命题的定义 :一般地, 对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。 (动画展示同时板书课题——7.2定义与命题)

教师 :我们发现 : (1) (3) (6) (7) 都做出了判断, 它们都是命题, 而 (2) (4) (5) 没有做出判断, 所以它们不是命题。

设计意图 :从学生对命题的认识的实际情况和例题出发, 引导学生通过思考、探索交流获得数学的基础知识和基本活动经验促使学生主动地、富有个性地学习, 不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。

教师 :我们知道了命题的定义, 下面我们就来检验一下, 看看同学们是不是真的理解了。 (课件展示幻灯片9)

(学生回答并总结分析。)

教师 :同学们的判断都非常准确, 那么你认为判断一个句子是不是命题的关键是什么?

学生 :看是否做出了判断。

(教师在学生回答的同时展示 :“特别关注——是不是命题的关键是 :是否做出了判断。”)

设计意图 :本环节中通过练习, 强化学生对知识的理解, 同时培养学生对知识的应用意识。对是不是命题的关键的思考, 调动学生参与教学的同时, 深化对知识的理解, 同时又培养了学生的归纳总结的能力。

教师 :我们找到了判断是不是命题的关键, 就抓住了命题的本质, 不过作为命题来讲, 既然我们要对一件事或物要做出判断, 那么肯定要在一定的条件下进行, 而且还要得到一个结论。 (通过语速的快慢和停顿, 引导学生说出“条件”和“结论”。) 比如 :两直线平行, 同位角相等。 (动画展示) 引导学生分析命题的结构特征。

教师 :通过分析我们很清晰地看到, 每个命题都有条件和结论两部分构成, 那就请同学们参照上面的特征说出下列命题的条件和结论。 (课件展示幻灯片11)

(学生小组内讨论、分析并给出答案。)

(教师在学生解答的过程中利用动画效果逐步分析 :“对顶角相等”这一命题的条件和结论。同时将“对顶角相等”转化为“如果……那么……”的形式。) (课件展示幻灯片12)

教师 :对顶角相等判断的结果是什么?

学生 :相等。 (动画展示)

教师 :谁相等?

学生 :角相等。 (动画展示)

教师 :几个角? 一个?

学生 :两个角。 (动画展示)

教师 :两个什么角?

学生 :对顶角。 (动画展示)

教师 :句子的转化感觉有点别扭, 怎么办?

学生 :可以补充完整。 (动画展示)

教师 :很好, 我们补充完整将这句话改写为 :如果两个角是对顶角, 那么这两个角相等。 (动画展示)

教师 :你能找到这个命题的条件和结论吗?

学生 : (口答) 条件是 :两个角是对顶角, 结论是 :这两个角相等。

注意 :在上述的过程中, 师生问答的过程中, 利用动画效果逐步展示清晰体现命题结构的分析过程。

设计意图 :在对命题有一定理解的基础上, 利用课件的动画效果直观的分析、展示命题的结构特征。同时通过问题作为引导, 注重启发学生积极思考, 从而调动学生的思维活动, 让学生参与到知识的生成过程中, 在学会结论的同时, 清晰地感受学习的过程, 让学生成为学习过程的主体。

教师 :你能用这种方法将第 (4) 个命题转化成“如果……那么……”的形式吗?

(学生动手写成转化的结果, 并分析命题的结构特征。同时教师课件动画效果展示分析过程。)

教师 :这样分析后同学们能不能清晰地理解命题的结构特征呢?

学生 :能。

教师 :将命题改写成什么样的结果可以清晰体现命题的条件和结论。

学生 :写成“如果……那么……。

教师 :这样行不行呢? 我们来验证一下。 (课件展示幻灯片13)

(学生思考、交流并回答。)

教师 :看来同学们对命题的结构特征掌握的非常好准确, 只要你能将其写成“如果……那么……”的形式, 就能准确地找到对应的条件和结论。

设计意图 :练习的设置让对命题的结构特征有更好地认识, 在理解的基础上, 学会应用知识进行分析和解决问题, 强化了学生应用意识的培养。

点评 :教师没有直接给出“命题”的定义, 而是通过引导学生观察和判断一系列问题, 直观感知有些语句“作出了判断”, 而有些语句“没有作出判断”, 从而得出了“命题”的定义。接着教师抓住命题需要“作出判断”, 从而自然引出“判断需要条件”, “判断后定能得出一结论”, 让学生对“条件”、“结论”的认识水到渠成。最后, 通过层层递进的设问, 让学生在答疑的同时体会了寻找“条件、结论”的方法, 这样的师生互动紧张而又激情四射。

【合作探究三】真、假命题的概念 :

教师 :我们找到了条件和结论, 那么同学们考虑一下, 基于条件得到的结论是不是正确呢?

学生 :不一定。 (思考后交流、回答)

教师 :也就是说, 我们做出的判断可能是正确的, 也可能是错误的。你能结合这4个命题说一下吗?

注意 :引导学生分析错误的判断, 并用举反例的方法说明命题是错误的。同时结合命题 (2) 、 (4) 强调列举的反例要做到 :符合命题的条件, 但是得到的结论与命题不相同。

设计意图 :在巩固命题结构特征的基础上, 发现命题中的判断有正确的, 有错误的, 从而为下面的“真、假命题”做好铺垫。

教师 :据此可知, 一个命题有正确和不正确的之分。 (课件展示幻灯片14)

教师 :提出问题 :怎样判断命题的真假?

学生 :思考并讨论。

学生 :可以举一个反例来证明。 (动画展示)

教师 :我们总结的方法对不对呢? 下面就让我们来试一试。 (课件展示幻灯片15)

(学生思考后回答问题并说明理由。)

(教师在学生回答的同时动画展示答案, 同时强调可以通过举反例的方法说明一个命题是错误的是假命题。)

设计意图 :练习的设置使得学生学习知识的环节趋于完整, 掌握知识的同时, 强调对知识的灵活运用。

点评 :既然是人为判断, 就难免有错误, 自然引出命题的真与假, “真的”不言而喻, “假的”可以借助“举反例”来证明。

(3) 归纳总结、拓展升华。

教师 :学完了真假命题, 我们这节课的内容也就学完了, 请同学们思考一下本节课我们都学习了哪些内容, 快速地总结一下, 并与同学们分享你的收获。 (课件展示幻灯片16)

(学生总结学过的内容并交流、展示。)

(教师在学生展示后, 适当地总结并通过动画展示。1.定义 ;2.命题 ;3.真、假命题。)

教师 :我们除了掌握知识之外我们还要知道我们学习的作用和意义 :

定义让我们对事、物有相同的认识, 减少误解, 方便交流。因此, 下定义让我们的世界规范、和谐。

通过命题可以不断地由已知的条件推导、探究未知的结论。因此, 提命题让我们的社会发展、进步。

设计意图 :教师鼓励学生结合本节课的学习畅所欲言地谈论自己的感受和收获, 对知识形成较好的归纳, 使之系统化, 进一步培养学生总结归纳的能力与合作互助的意识。

点评 :归纳简洁明了, 与时俱进。

(4) 当堂检测, 评价反馈。

教师 :我们的学习有这么重要的作用, 那么就要求同学们准确地掌握所学的知识, 并且能灵活地运用, 你能不能做到呢? 我们来检测一下。 (课件依次展示幻灯片17~21)

1.请给下列图形命名, 并给出名称的定义 :

2.下列语句中, 哪些是命题, 哪些不是命题?

(1) 1+2≠3

(2) 三角形的三条高交于一点 ;

(3) 在ΔABC中, 若AB>AC, 则∠C>∠B吗?

(4) 两点之间线段最短。

3.下列命题中真命题的是 ( )

(A) 从“1、2、3、4、5、6”六个数中任选一个数, 是偶数的概率为0.4

(B) 若a与b互为相反数, 则a+b=0

(D) 任何一个角都比它的补角小

4.下图表示某地的一个灌溉系统。如果C地水流被污染, 那么_________的水流也被污

根据上图, 你还能说出其他的命题吗?

设计意图 :针对本节课的重点, 有目的地设计习题, 以检测教学目标达成情况、纠正错误、熟练知识, 发现与弥补遗漏 ;同时可以让学生全面了解自己的学习过程, 感受自己的成长和进步, 同时促进学生对学习及时进行反思, 为教师全面了解学生的学习状况, 改进教学, 实施因材施教提供重要依据。

能力提升 :在数学运算中, 除了加、减、乘、除等运算外, 还可以定义新的运算。如定义一种“星”运算, “*”是它的运算符号, 其运算法则是 :a*b= (a+b) × (ab) 于是 :

5*3= (5+3) × (5-3) =16

3*5= (3+5) × (3-5) =16

5*3*3=16*3=247

按以上定义, 填空 :2*3=_ ;2*3*5=_ 。

2.对于同一平面内的三条直线a、b、c, 给出下列六个论断 :

(1) a∥b; (2) b∥c; (3) a⊥b;

(4) a∥c; (5) a⊥c ; (6) b⊥c.

以其中两个论断为条件, 一个论断为结论, 组成一个真命题 (至少写出3个) 。

设计意图 :在基础性检测练习的基础上设置这两个题目, 检验学生灵活应用知识的同时培养学生的应用意识和创新意识。挖掘学生的潜能, 让学生做到真正的学习, 而不是简单的模仿。

点评 :以典型习题检测本节课学生是否达标, 既巩固了新知, 又对学生作出了适时的评价, 满足不同层次的学生发展的需求, 问题中再现“问题”, 便于学生查缺补漏。

(5) 布置作业, 落实基础。

课本 :167页, 第2题, 第3题。

(6) 板书设计 :

7. 教学设计说明。

本节课通过情境引入、问题驱动的方法组织教学, 不断地通过问题引导学生的思维活动, 同时突出学生的“探索”, 将观察、思考等活动贯穿于教学活动的始终, 在教学过程中立足让学生自己去探索、分析归纳、合作交流。同时本节课借助多媒体演示, 加强了教学的直观性, 丰富学生的想象力, 提高了学生主动参与的意识。

二、教后反思

本节课通过生活中的“笑话”作为切入点引入定义, 并强调定义要准确这一原则, 然后不断地在学生已有的知识经验的基础上, 通过问题作为引导, 启发学生的思维, 让学生通过不断地解决问题的过程探索新的知识, 从而促进学生不断的获得新的发展。

在教学的过程中利用小组内的交流展示活动, 充分调动学生的积极性和主动性, 增强了学生参与数学活动的意识, 又培养了学生观察、分析问题并进行总结归纳的能力。

三、课例点评

本节课的设计充分考虑本阶段学生数学学习的特点, 利用实际问题作为切入点, 不断地在学生已有的知识经验的基础上进行分析、探究, 符合学生的认知规律和心理特征, 有利于激发学生的学习兴趣, 引导学生的数学思考, 同时, 利用实际问题的解决体现学习数学的根本目的:服务生活。

总评 :本节课以学生的认知水平和已有的生活经验为基础, 以学生感兴趣的“小品”为突破口, 激发了学生的好奇心, 接着巧设“聪明”一词, 让“定义”必须“准确、清晰”引起大家共鸣。整节课通过质疑、解疑过程, 最大限度地给予学生自主探索的时间和空间, 通过生生合作、师生合作, 充分调动其积极性, 凡是学生能自己探索得出的, 决不替代, 凡是学生能独立思考的, 决不暗示。鼓励学生大胆阐述自己的观点, 努力创设一个民主、平等、和谐的课堂氛围。

摘要：以生活中的现象作为切入点, 引导学生通过对问题情境的思考和分析引入“定义”, 同时感受学习“定义”的必要性, 然后不断地以问题作为驱动, 在已有的知识经验的基础上, 引导学生逐渐地深入思考问题, 进而体会命题的特征并能准确分析真假命题。让学生在探究的过程中学会分析、推理并在总结的基础上形成自己的知识体系, 进而创新、运用。

关键词：定义,命题,结构特征,真假命题,自主探究,应用,创新

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准 (2011年版) [S].北京:北京师范大学出版社, 2012.

[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准 (2011年版) 解读[S].北京:北京师范大学出版社, 2012.

平行证明题篇8

1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E、F分别是棱AD、PB的中点，求证：直线EF∥平面PCD

2.如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是AA1、AD、B1C1、的中点。求证：平面EFG∥平面ACB1

3.如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，E是PD的中点.求证：PB∥平面AEC

A B D

4．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为A1C1的中点。求证：

（1）BC1∥平面AB1D;

（2）若D1为AC的中点,求证平面B1DA∥平面BC1D1.AB1

平行与垂直的证明篇9

1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：（1）C1O//平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1．

ADBC

2．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中,ADAA11,AB1，点E在棱AB上移动。求证：D1E⊥A1D；

3．如图平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF

AD2,G是EF的中点，2（1）求证平面AGC⊥平面BGC；（2）求空间四边形AGBC的体积。

4．如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中，AB8，AC6，BC10，D是BC边的中点.（Ⅰ）求证：

5．如图组合体中，三棱柱ABCA1B1C1的侧面ABB1A1 是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合一个点.（Ⅰ）求证：无论点C如何运动，平面A1BC平面A1AC；

（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1BCC1B1与圆柱的体积比．

6．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F 为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；

（2）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE

上确定一点N，使得MN∥平面DAE.7．如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中:（1）求异面直线BC1与AA1所成的角的大小；（2）求三棱锥B

1A1C

1B的体积。（3）求证：B1D

平面A1C1B

ABA1C；（Ⅱ）求证：AC1∥ 面AB1D；

8．如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M,N分别是

SA,BD上的点，且

AMBN

=，求证：MN//平面SBC SMND

9．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，点E是PD的中点．

（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC．

D C

10．在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，平面CDE是等边三角形，棱EF//BC且EF=

BC．

2（I）证明：FO∥平面CDE；

（II）设BC=CD,证明EO⊥平面CDF．

11．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

（Ⅰ）证明PA//平面EDB；（Ⅱ）证明PB⊥平面EFD．

12．如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点．

（1）求证：CDAE；（2）求证：PD面ABE．

13.如图在三棱锥PABC中，PA平面ABC，C E

ABBCCA3，M为AB的中点，四点P、A、M、C

都在球O的球面上。

（1）证明：平面PAB平面PCM；（2）证明：线段PC的中点为球O的球心；

14.如图，在四棱锥SABCD中，SAAB2，SBSD ABCD是菱形，且ABC60，E为CD的中点．

（1）证明：CD平面SAE；

（2）侧棱SB上是否存在点F，使得CF//平面SAE？并证明你的结论．

_A_C

课后练习

1．如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点。（I）求证：B1C//平面A1BD；（II）求证：B1C1⊥平面ABB1A

（III）设E是CC1上一点，试确定E的位置，使平面A1BD⊥平面 BDE，并说明理由。

2.如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，三角形ACD 为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点（1）求证：AF//平面BCE；

（2）求证：平面BCE平面CDE；

1．如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=

AD.2

（I）求证：平面PAC⊥平面PCD；

（II）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.5.如图，在四棱锥SABCD中，SAAB

2，SBSD底面ABCD是菱形，且ABC60，E为CD的中点．

（1）证明：CD平面SAE；

（2）侧棱SB上是否存在点F，使得CF//平面SAE？并证明你的结论．

【课后记】 1．设计思路（1）两课时；

（2）认识棱柱与棱锥之间的内在联系；（3）掌握探寻几何证明的思路和方法；（4）强调书写的规范性 2．实际效果：

（1）用时两节半课；

平行线证明练习篇10

证明题练习如图所示，若∠1=52°，问∠Ｃ为多少度时，能使直线AB∥CD？ 2 如图所示，∠1=45°，∠2=135°，l1∥l2吗？为什么？如图所示，∠1=120°，∠2=60°，问直线a与b有什么关系？

Ｅ

l1 2 l

１题图

a３题图

４如图，已知直线AB、ＣＤ被直线EF所截且∠AGE=46°，∠EHD=134°，那么AB∥

CD吗？说明理由。如图，已知∠1和∠D互余，CF⊥DF，问AB与CD平行吗？如图所示，∠EFB=∠GHD=53°，∠IGA=127°，由这些条件你能找到几对平行线？说说你的理由。

4题图

D 6题图 F

E B

5题图

C D如图，∠BAF=46°，∠ACE=136°，CE⊥CD，问CD∥AD吗？为什么？ 8 如图，∠1=∠2，能判断AB∥CD吗？为什么？

若不能判断AB∥DF，你认为还需要再添加一个条件是什么？写出这个条件，并说明你的理由？如图，AB∥CD，EF∥GH，CD与EF相交于点I，试探究∠1与∠2的关系，并说明理由。

F C E 7题图

D F

平行线性质证明题篇11

证明：∵EF∥AD，（已知）

∴∠2=.（）

又∵∠1=∠2，（已知）

∴∠1=∠3.（等量代换）

∴AB∥（）

∴∠BAC+=180 o.（∵∠BAC=70 o

∴∠AGD=.6、如图，a∥b，c∥d，∠1＝113°，求∠

2、∠3的度数．

3、如下图：∠3+∠4=180°，∠1=108°。求∠2的度数

4、已知：如图，∠ADE＝∠B，∠DEC＝115°．求∠C的度数．

.）

7、如图，AB∥CD，∠1=45°，∠D=∠C，求∠D、∠C、∠B的度数．

5、如图所示，已知∠B=∠C，AD∥BC，试说明：AD平分∠CAE2、如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC =65°，求∠BCD的度数.参考答案

一、简答题

1、∠3（两直线平行，同位角相等）；

DG(内错角相等，两直线平行，)

∠DGC(两直线平行,同旁内角相等)

110度

2、解

:------------------------------1分

------------------------------3分

-------------------5分

------------------------------6分

3、图为∠3+∠4=180°（已知）

所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

因为AB∥CD

所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）

因为∠1=108°（已知）

所以∠2=108°（等量代换）

4、解：∵∠ADE＝∠B

∴DE∥BC

∴∠DEC+∠C=180°

∴∠C=180°-∠DEC =180°-115°=65°

5、∵AD∥BC，∴∠2=∠B，∠1=∠C。又∵∠B=∠C，∴∠1=∠2即AD平分∠CAE6、∠2＝113°．∠3＝67°．

∵ a∥b（已知）．

∴ ∠2＝∠1＝113°（两直线平行，内错角相等）． ∵ c∥d（已知）．

∴ ∠4＝∠2＝113°（两直线平行，同位角相等）． ∵ ∠3＋∠4＝180°（邻补角定义），∴ ∠3＝67°（等式性质）．

【证明面面平行】推荐阅读：

证明直线平行07-13

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