高二数学选修4-1几何证明选讲练习(共4篇)
一、选择题:
1.如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作
圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC =()
A.15B.30C.45D.60
第1题图 2.在RtABC中,CD、CE分别是斜边AB上的高和中线,是该图中共有x个三角
形与ABC相似,则x()
A.0B.1C.2 D.33.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm和18cm两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为()
4.O的割线PAB交O于A,B两点,割线PCD经过圆心,已知
22PA6,PO12,AB,则
O的半径为()3
A.4B
.6C.6
D.8
5.如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上,CDAB于点D,且AD3DB,设COD,则tan2
2=()
第5题图 11 A.B.C.4D.3 3
4二、填空题:
6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=720,⊙O过A、B两点且
与BC相切于点B,与AC交于点D,连结BD,若BC=51,则AC=
7.如图,AB为O的直径,弦AC、BD交于点P,若AB3,CD1,则sinAPD=
.O
D B C 第 6 题图
第7题图
三、解答题:
8.如图:EB,EC是O的两条切线,B,C是切点,A,D是 O上两点,如果E46,DCF32,试求A的度数.9.如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P, E为⊙O上一点,AEAC,DE交AB于点F,且AB2BP4, 求PF的长度.EA
C FB OD P
【2013年高考会这样考】
考查圆的切线定理和性质定理的应用.
【复习指导】
本讲复习时,牢牢抓住圆的切线定理和性质定理,以及圆周角定理和弦切
角等有关知识,重点掌握解决问题的基本方法
.基础梳理
1.圆周角定理
(1)圆周角:顶点在圆周上且两边都与圆相交的角.
(2)圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧度数的一半.
(3)圆周角定理的推论
①同弧(或等弧)上的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. ②半圆(或直径)所对的圆周角是90°;90°的圆周角所对的弦是直径.
2.圆的切线
(1)直线与圆的位置关系
(2)①切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.
②切线的判定定理
过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.
(3)切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线长相等.
3.弦切角
(1)弦切角:顶点在圆上,一边与圆相切,另一边与圆相交的角.
(2)弦切角定理及推论
①定理:弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半.
②推论:同弧(或等弧)上的弦切角相等,同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等.
双基自测
1.如图所示,△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,以AC为直径的圆与斜边交于点P,1则BP长为________.
解析 连接CP.由推论2知∠CPA=90°,即CP⊥AB,由射影定理知,AC=
2AP·AB.∴AP=3.6,∴BP=AB-AP=6.4.答案 6.42.如图所示,AB、AC是⊙O的两条切线,切点分别为B、C,D是优弧BC
上的点,已知∠BAC=80°,那么∠BDC=________.解析 连接OB、OC,则OB⊥AB,OC⊥AC,∴∠BOC=180°-∠BAC=100°,1∴∠BDC=∠BOC=50°.2答案 50°
3.(2011·广州测试(一))如图所示,CD是圆O的切线,切点为C,点A、B在圆O上,BC=1,∠BCD=30°,则圆O的面积为________.
解析 连接OC,OB,依题意得,∠COB=2∠CAB=2∠BCD=60°,又OB=OC,因此△BOC是等边三角形,OB=OC=BC=1,即圆O的半径为1,所以圆O的面积为π×1=π.答案 π
4.(2011·深圳二次调研)如图,直角三角形ABC中,∠B=90°,AB=4,以BC为直径的圆交AC边于点D,AD=2,则∠C的大小为________.
解析 连接BD,则有∠ADB=90°.在Rt△ABD中,AB=4,AD=2,所以∠
2A=60°;在Rt△ABC中,∠A=60°,于是有∠C=30°.答案 30°
5.(2011·汕头调研)如图,MN是圆O的直径,MN的延长线与圆O上过点P的切线PA相交于点A,若∠M=30°,AP=23,则圆O的直径为________.
解析 连接OP,因为∠M=30°,所以∠AOP=60°,因为PA切圆O于P,所以OP⊥AP,在Rt△ADO中,OP=
答案
APtan ∠AOP2
2,故圆O的直径为4.tan 60°
考向一 圆周角的计算与证明
【例1】►(2011·中山模拟)如图,AB为⊙O的直径,弦AC、BD交于点P,若AB=3,CD=1,则sin∠APB=________.[审题视点] 连结AD,BC,结合正弦定理求解.
解析 连接AD,BC.因为AB是圆O的直径,所以∠ADB=∠ACB=90°.又∠ACD=∠ABD,所以在△ACD中,由正弦定理得:===sin∠DACsin∠ACDsin∠ABDCDADADABsin∠ABD12=AB=3,又CD=1,所以sin∠DAC=sin∠DAPcos∠DAP=sin∠ABD3
3又sin∠APB=sin(90°+∠DAP)=cos∠DAP=
答案
2解决本题的关键是寻找∠APB与∠DAP的关系以及AD与AB的关系.
【训练1】 如图,点A,B,C是圆O上的点,且AB=4,∠ACB=30°,则圆O的面积等于22.3________.
解析 连接AO,OB.因为∠ACB=30°,所以∠AOB=60°,△AOB为等边三角形,故圆O的半径r=OA=AB=4,圆O的面积S=πr2=16π.答案 16π
考向二 弦切角定理及推论的应用
【例2】►如图,梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC=8,CD=5,AF=6,则EF的长为________.
[审题视点] 先证明△EAB∽△ABC,再由AE∥BC及AB=CD等条件转化为线
段之间的比例关系,从而求解.
解析 ∵BE切⊙O于B,∴∠ABE=∠ACB.又AD∥BC,∴∠EAB=∠ABC,∴△EAB∽△ABC,∴
又AE∥BC,∴BEAB.ACBCEFBEABEF=.AFACBCAF
又AD∥BC,∴AB=CD,∴AB=CD,∴
∴EF=
答案 CDEF5EF,∴,BCAF863015=8415 4
(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系,从而证明
三角形全等或相似,可求线段或角的大小.
(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化;关于圆周上的点,常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角.
【训练2】(2010·新课标全国)如图,已知圆上的弧AC=BD,过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点,证明:
(1)∠ACE=∠BCD;
(2)BC2=BE×CD.证明(1)因为AC=BD,所以∠BCD=∠ABC.又因为EC与圆相切于点C,故∠ACE=∠ABC,所以∠ACE=∠BCD.(2)因为∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD,所以△BDC∽△ECB,故即BC2=BE×CD
.BCCD,BEBC
高考中几何证明选讲问题(二)
从近两年的新课标高考试题可以看出,圆的切线的有关知识是重点考查对象,并且多以填空题的形式出现.
1、(佛山市2014届高三教学质量检测
(一))如图,从圆O 外一点A引圆的切线AD和割线ABC,已知AD3,AC3,圆O的半径为5,则圆心O 到AC的距离为. 答案:
22、(广州市2014届高三1月调研测试)如图4,AC为⊙O的直径,A
B
OBAC,弦BN交AC于点M
.若OCOM1,则MN的长为
答案:1ks5u3、(增城市2014届高三上学期调研)如图2,在△ABC中,DE//BC,DF//AC,AE=4,EC=2,BC=8,则 答案:
4、(省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末)如图,过点C作ABC的外接圆O的切线交BA的延长线 于点D.若
A
83DB
F
EC
图
2CD,ABAC2,则BC.答案:
5、(惠州市2014届高三第三次调研考)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F, E是AB延长线上一点,且DFCF,AF:FB:BE4:2:1,若CE与圆相切,则线段CE的长为
答案:
6、(珠海市2014届高三上学期期末)如右图,AB是圆O的直径,D
F E 72 C
BC是圆O的切线,切点为B,OC平行于弦AD,若OB3,OC5,则CD答案:
47、(揭阳市2014届高三学业水平考试)如图(3),已知AB是圆O的直径,C是AB延长线上一点,CD切圆O于D,CD=4,AB=3BC,则圆O的半径长是.
答案:
3AOB8、(汕头市2014届高三上学期期末教学质量监测)已知PA是圆O的切线,切点为A,PA2.AC是圆O的直径,PC与圆O交于点B,PB1,则圆O的半径R答案:
9、(肇庆市2014届高三上学期期末质量评估)如图3,在ABC中,ACB90o,CEAB于点E,以AE为直径的圆与AC交于点D,若BE2AE4,CD3,则AC______
答案:8
310、(东莞市2014届高三上学期期末调研测试)如图,已知△ABC内接于圆O,点D在OC的延长线上,AD是圆O的切线,若∠OAC=60°,AC=1,则AD的长为____
答案:
11、(汕尾市2014届高中毕业生第二次综合测试)已知AB为半
圆O的直径,AB4,C为半圆上一点,过点C作半圆的切线CD,过点A作ADCD于D,交半圆O于点E,DE1,则BC的长为
09:坐标系与参数方程和几何证明选讲
坐标系与参数方程部分:
1.(2009广州一模文数)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线sin截得的弦长为__.1.432被圆44
x1t,2.(2010广州二模文数)(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的参数方程为(参数tR),y42t.
圆C的参数方程为x2cos2,(参数0,2),y2sin.则直线l被圆C所截得的弦长为.2.,3B的极坐标分别为3,3.(2010广州一模文数()坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知两点A、4,,则△AOB(其中O为极点)的面积为.6
3.答案
34.(2011广州一模文数)(坐标系与参数方程选讲选做题)已知直线l的参数方程为:数),圆C的极坐标方程为,则直线l与圆C的位置关系为.4.相交
5、(2011广州二模文数)(坐标系与参数方程选做题)设点A的极坐标为2,.
成的角为x2t,(t为参y14t,直线l过点A且与极轴所6,则直线l的极坐标方程为. ...
341或cos1或sin3361cossin20
5.sin
6.(2012广州一模文数)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,已知直线l与曲线C的xt2,x1s,Cl参数方程分别为:(s为参数)和:(t为参数),2y1syt
若l与C相交于A、B两点,则AB. 6
7.(2012广州二模文数)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若等边三角形ABC(顶点A,B,C按
顺时针方向排列)的顶点A,B的极坐标分别为2,
7
则顶点C的极坐标为。,2,6,6
7、.
2
32
说明:第1
4题答案可以是2k(kZ)
3
8.(2007广东文数)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线l的方程为sin3,则点2到直线l的距离为
8..
π6
9.(2008广东文理数)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为
cos3,4cos(0,0),则曲线C1 C2交点的极坐标为
cos3
9、【解析】我们通过联立解方程组,即两曲线的交点
为(0,0)解得2
4cos
6).610.(2009广东文科)(坐标系与参数方程选做题)若直线则常数k=.10、6【解析】将
x12t
(t为参数)与直线4xky1垂直,y23t
x12t37
3化为普通方程为yx,斜率k1,222y23t
434,由k1k21得k6;k2k
当k0时,直线4xky1的斜率k2当k0时,直线y
x与直线4x1不垂直.综上可知,k6.2
211.(2010广东文数)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ,)(0<2)
中,曲线cossin1与sincos1的交点的极坐标为.11、(1,)
12、(2011•广东文理数)已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R),它们的交点坐标为(1,).
(0≤θ<π)的直角坐标方程为:
12、解答:
解:曲线参数方程
;曲线(t∈R)的普通方程为:;解方程组:得:
∴它们的交点坐标为(1,).故答案为:(1,).
13.(2012广东文数)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中xoy中,曲线C1和曲线C2的2t
x1xcos2(为参数)
参数方程分别为(为参数,0)和,则曲线C1和曲线C2t
2y2tysin
2的交点坐标为.
13、参数方程极坐标:(1,2)(2,1)
几何证明选讲部分:
1.(2009广州一模文数)(几何证明选讲选做题)已知PA是圆O(O为圆心)的切线,切点为A,PO交圆O于B,C两点,AC3,PAB30,则线段PB的长为1.
12.(2010广州二模文数)(几何证明选讲选做题)如图3, 半径为5的圆O的两条弦AD
和BC相交于点P, ODBC,P为AD的中点, BC6, 则弦AD的长度为.2.3.(2010广州一模文数)(几何证明选讲选做题)
O 图
4D
C
图
3如图5,AB是半圆
O的直径,点C在半圆上,CDAB,垂足为D,且AD5DB,设COD,则tan的值
为
.3.
4.(2011广州一模文数)(几何证明选讲选做题)如图3,四边形ABCD内接于⊙O,BC是直径,MN与⊙O相切, 切点为A,MAB35, 则
N
D
4.12
55.(2011广州二模文数)(几何证明选讲选做题)在梯形ABCD中,
图3
ADBC,AD2,BC5,点E、F分别在AB、CD上,且EFAD,若
5.AE
3,则EF的长为 EB
46.(2012广州一模文数)(几何证明选讲选做题)如图3,圆O的半径为5cm,点P
CP1OP3cm,弦CD过点P,且,则
CD的长为cm.7
CD3
6.答案
7.(2012广州二模文数()几何证明选讲选做题)如图4,AB是圆O的CD是圆O的切线,直径,延长AB至C,使BC2OB,切点为D,图3
AD
连接AD,BD,则的值为。
BD
7.8.(2007广东文数)(几何证明选讲选做题)如图4所示,圆O的直径AB6,C为圆周上一点,BC3,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则DAC
C
图4
A图4
l
8.30
9.(2008广东文数)(几何证明选讲选做题)已知PA是圆O的切点,切点为A,PA=2.AC是圆O的直径,PC与圆O交于B点,PB=1,则圆O的半径R=________.9【解析】依题意,我们知道PBAPAC,由相似三角形的性质我们有
PAPB
,即2RAB
PAAB2R
2PB2
110.(2009广东文科)(几何证明选讲选做题)如图3,点A、B、C是圆O上的点,且AB=4,ACB30,则圆O的面积等于.o
o
10【答案】16【解析】连结AO,OB,因为 ACB30,所以AOB60,AOB
为等边三角形,故圆O的半径rOAAB4,圆O的面积Sr16.o
11.(2010广东文数)(几何证明选讲选做题)如图3,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD=a,CD=11.答案
a,点E,F分别为线段AB,AD的中点,则EF=.2a 212、(2011•广东文数)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,CD=2.E,F分别为AD,BC上点,且EF=3,EF∥AB,则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为 7:5 .
12解答:解:∵E,F分别为AD,BC上点,且EF=3,EF∥AB,∴EF是梯形的中位线,设两个梯形的高是h,∴梯形ABFE的面积是,梯形EFCD的面积∴梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为=,13.(2012广东文数)(几何证明选讲选做题)
PBADBA,如图3,直线PB与圆O相切与点B,D是弦AC上的点,若ADmAC,n13、几何证明选做题:mn
图3
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