等差等比数列专项练习

等差等比数列专项练习（共11篇）

等差等比数列专项练习 篇1

等

定 义 式：an 等差数列的概念 an1d(d为常数，n2,nN*)，或an1and(nN*).递 推 式：an1and(nN*).

ab.2等差中项：任何两个数a,b都有且仅有一个等差中项AA

通项公式：ana1(n1)d，anam(nm)d（广义）.特征：an

前n项和：Snknb，其中kd,ba1d.(a1an)nn(n1)n(n1)na1dnand.22

2特征：SnAn2Bn，其中Add,Ba1.22

注：1.等差数列的定义式和递推式、等差中项、等差数列通项公式的特征、前n项和的特征，都可以作为一个数列是等差数列的判定依据，但等差数列的证明必须根据定义式.2.对任何数列，都有ann1,S1,SnSn1,n2,nN*.等差数列的性质

1.若an为等差数列，则anam(nm)d(m,nN*).2.若an为等差数列，且mnpq(m,n,p,qN*)，则amanapaq.3.若an为等差数列，则S2n1an(2n1)中间项 项数.S奇n14.若等差数列an共有2n1项，则①S奇S偶a中；②.S偶n

S偶an15.若等差数列an共有2n项，则①S偶S奇nd；②.S奇an

6.若an为各项均不为零的等差数列，前n项和为Sn,，则

anS2m

1.2n1

amS2m12n1

anS2n1

.

bnT2n1

7.若an、bn均为各项非零的等差数列，前n项和分别为Sn,Tn，则8.在等差数列an中，若amn,anm(mn)，则amn0.9.在等差数列an中，若Smn,Snm(mn)，则Smn(mn).10.在等差数列an中，若SmSn(mn)，则Smn0.11.若an为等差数列，则kanb仍为等差数列，其中k和b是常数.12.若an、bn为等差数列，则anbn仍为等差数列.13.若an为等差数列，则序号成等差的项也成等差数列，即：若an为等差数列，bn为

正整数等差数列，则

a为等差数列.bn

14.Sn为数列an的前n项和，则an为等差数列

Sn

为等差数列.n

15.若an为等差数列，则an依次k项和仍为等差数列，即Sk,S2kSk,S3kS2k.…仍为

等差数列.等比数列

等比数列的概念

an1an

q(nN*).q(常数q0,n2,nN*)，或定 义 式：

anan

1递 推 式：an1

anq(nN*).等比中项：两个同号的实数a,b才有但有两个等比中项GGab.通项公式：an



a1qn1，anamqnm（广义）.前n项和：当q1时，Snna1，a1(1qn)a1a1qna1an1an(1qn)

当q1时，Sn.1

1q1q1q1q

特征：SnA(qn1)(A0).注：非零常数列既是等差数列也是等比数列，反之亦然.等比数列的性质

1.若an为等比数列，则an

amqnm(m,nN*).2.若an为等比数列，且mnpq(m,n,p,qN*)，则amanapaq.3.若an为等比数列，则kan仍为等比数列，其中k是非零常数.．．

4.若an为等比数列，则当an恒有意义时an仍为等比数列，其中k是任意常数.k



k



5.若an、bn为等比数列，则anbn、

an

仍为等比数列.bn

6.若an为等比数列，则序号成等差的项也成等比数列，即：若an为等比数列，bn为

正整数等差数列，则

a为等比数列.bn

7.Tn为正项数列an的前n项积，则an为等比数列

为等比数列.n

8.若Sk为等比数列an的前n项和，且Sk0，则an依次k项和仍为等比数列，即Sk,S2kSk,S3kS2k.…仍为等比数列.注：等比数列各项积的性质类似于等差数列各项和的性质，应用范围较小，故未写入.等差数列与等比数列的联系

1.非零常数列，也只有非零常数列，即是等差数列也是等比数列。

2.等差数列与等比数列可以相互转化.事实上，若an是等比数列，则logcan是等差数列；

若an是等差数列，则c

是等比数列，其中c是常数，且c0,c1.an

3.等差数列和的运算与等比数列积的运算有类似的性质，等差数列差的运算与等比数列商的运算有类似的性质.等差、等比数列性质配套练习

一、选择题：

1.在正整数500至1000之间能被11整除的个数为（）A.34B.35C.36D.37 2．等差数列{an}的公差为,S100=145,则a1+a3+a5+…+a99的值为()

214

5A.60B.85C.D.75

3.设函数f(x)满足f(n+1)=A.95

2f(n)n

(n∈N*)且f(1)=2,则f(20)为（）2

C.105

D.192

B.97

4.若an是等差数列，首项a10,a2011a20120,a2011a20120,，则使前n项和Sn0成 立的最大自然数n是（）A．4021B．4022C．4023D．402

45.在等差数列an中，若S918,Sn240 ,an430，则n的值为（）A.14

B.15

C.16

D.17

6．已知数列{an}，如果a1,a2-a1，a3-a2，…，an-an-1，…是首项为1，公比为的等比数列，则

3an(n∈N*)等于（）3131212

1)B.(1n1)C.(1)D.(1n1)A.(1

2323333n3nn

7．已知数列前n项和Sn=2-1(n∈N*)，则此数列奇数项的前n项和为()

1111

A.(2n11)B.(2n12)C.(22n1)D.(22n2)

3333

8．若正数a、b、c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，logax、logbx、logcx()

A.依次成等差数列B.依次成等比数列

C.各项的倒数依次成等差数列D.各项的倒数依次成等比数列

9．正项等比数列｛an｝的首项a1=2-5，其前11项的几何平均数为25,若前11项中抽取一项后的 几何平均数仍是25,则抽去一项的项数为()A.6B.7C.9D.1

1(a1a2)

210已知x、y为正实数，且x，a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则的取值

b1b

2范围是()A.RB.(0,4C.［4,+D.(-∞,0］∪［4,+∞)

二、填空题：

11.在等差数列an中,若s1560,则a8等于________________.12.在等差数列an中,a10a2a8, ,则使它的前n项和Sn取最大值的自然数n.13.等差数列an,bn的前n项和分别为Sn、Tn,若

Sna2n

=,则11=_________.Tn3n1b1

114.在等比数列bn中,b1b1

52,则b3b13的值等于______________.b4b8b1

215.设an为公比大于1的等比数列，若a2009,a2010是方程4x8x30的两根，则

a2011a201216.某等比数列中, 前7项和为48, 前14项和为60,则前21项和为________________.17.已知f(x)

三、解答题：

18.在等差数列an中，若a1=25且S9=S17,问：数列an前多少项的和最大？

2x，当x11,xnf(xn1)(n2,nN*),则x2012___________.x2

3n217n

19.若数列an的前n项和Sn=-(n∈N*)，求数列｛|an|｝的前n项和Tn.22

20.若等比数列an的公比q1,又a17a24,求使a1a2an

111 a1a2an

成立的自然数n的取值范围.21.在某两个正数之间插入一个数a,则三数成等差数列，若插入二个数b,c,则四数成等比数列.(1)求证:2a≥b+c;

(2)求证:(a+1)≥(b+1)(c+1).22.已知数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2),a1(1)求证：

1.2

1

（2）求an表达式.是等差数列；

等差等比数列专项练习 篇2

1.复习回顾（意在进一步掌握等差数列的相关知识，为学习等比数列做铺垫）

教师：在等差数列的学习中，我们学习了哪些内容？哪些方法？请填在下表第二列，

2.新课引入（意在引导学生类比联想，通过探讨发现特殊数列除了等差数列外，还应有等和数列、等积数列、等比数列）

教师：等差数列是指后项与前一项的差的运算，能否将差的运算替换为其它运算呢？请同学们思考，这样的数列是否存在，若存在，请举出具体的例子，5分钟后，

学生l：若一个数列从第二项起，每一项与前一项的和都等于同一个常数，则这个数列是否可称为等和数列，这个常数称为公和，这种数列很简单，比如首项为l，公和为3的等和数列为：1，4，1，4，1，4，......它的通项公式及前n项和公式都比较简单，

学生2：若一个数列从第二项起，每一项与前一项的积都等于同一个常数，则这个数列是否可称为等积数列，这个常数称为公积，这种数列也很简单，比如首项为l，公积为3的等积数列为：1，3，1，3，1，3，…，它的通项公式及前n和公式也都比较简单，

学生3：若一个数列从第二项起，每一项与前一项的商（或比）都等于同一个常数，则这个数列是否可称为等商（比）数列，这个常数称为公商（比），这种数列有点类似等差数列，但又不同，比如由定义，在等比数列中任意一项都不为0且公比也不为0，

笔者肯定了学生的想法，并指出：由于等和数列和等积数列比较简单，我们很容易利用定义根据它的首项、公和（或公积）给出它的通项公式和前”项和公式，因此教材中没有涉及，但在一些考卷中出现过，主要考查考生们的阅读理解能力和数学能力，从刚才同学们的回答我们已经解决了这两类数列的基本问题，而等比数列和等差数列很类似，但又有区别，下面我们类比等差数列的研究方法来学习研究等比数列，

3.新课探究（意在放手学生，让他们大胆猜想、探索）

教师：请同学们独立思考，类比第2列填写上表的第3列，要求先填写自己能独立解决的问题，然后以小组为单位，交流、思考、补充，

临近下课时，经过学生的共同努力，完成了除前”项和公式外的所有内容（见表格），教师表扬了同学们，并要求学生课后试着推导等比数列前”项和公式（要求如果直接讨论有难度的话，可以先讨论：

这3个练习的目的是：（1）判断是否为等比数列；（2）如果是等比数列，公比是否为l；（3）满足等比数列求和公式时，一定要注意求多少项的和；（4）独立思考：一个数列有等比数列的背景时，求和是否可考虑错位相减法；（5）理解错位相减法：步骤：列式、错位、相减，“错位”的目的是对其同类项，是为了后面计算不错，

4.课后反思

等差数列练习题 篇3

A．2n＋1   B．2n－1

C．2n   D．2(n－1)

答案：B

2．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝2，则a4等于()

A．5 B．6

C．7   D．9

答案：C

3．△ABC三个内角A、B、C成等差数列，则B＝__________。

解析：∵A、B、C成等差数列，∴2B＝A＋C。

又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，∴B＝60°。

答案：60°

4．在等差数列{an}中，

(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；

(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9。

解：(1)由题意，知a1＋?5－1?d＝－1，a1＋?8－1?d＝2。

解得a1＝－5，d＝1。

(2)由题意，知a1＋a1＋?6－1?d＝12，a1＋?4－1?d＝7。

解得a1＝1，d＝2。

高二数学必修5 等差数列练习题 篇4

一、选择题：

1、设数列的通项公式为an2n7，则a1a2a15（）A、153 B、210 C、135 D、120

2、已知方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为

1的等差数列，则4mn（）

313 C、D、4283、若{an}是等差数列，首项a10,a2003a20040,a2003.a20040，则使前n项和Sn0成 A、1 B、立的最大自然数n是（）4007

D、4008

A、4005

B、4006

C、4、设Sn是等差数列{an}的前n项之和，且S6S7,S7S8S9，则下列结论中错误的是（）

A、d0 B、a80 C、S10S6 D、S7,S8均为Sn的最大项

5、已知数列{an}满足a10,an1an33an1(nN*)，则a20=（）2 A、0

B、3 C、3

D、6、△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为3，那么b= 2D、23

（）A、13 B、13 C2、23

27、若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（）A、（1，2）

B、（2，+∞）

C、[3，+∞)

D、（3，+∞）

二、填空题：

8、在△ABC中，若三内角成等差数列，则最大内角与最小内角之和为______.9、若在等差数列{an}中，a37,a73，则通项公式an=______________

10、数列{an}的通项公式an1nn1

2，其前n项和时Sn9，则n等于_________

n11、已知数列{an}，a1=1,a2=2,an+1－anan+2=(－1),则a3=______,a4=______.12、在等差数列{an}中，a5=－1,a6=1，则a5+a6+…+a15=______.13、已知数列{an}中，a12,an1

三、解答题:

14、（1）求数列1,2an则数列的通项公式an=______________ an1111，,的通项公式an 12123123n（2）求数列{an}的前n项和

15、等差数列{an}中，Sn是{an}的前n项和，S6=7,S15=16，求a11.必修5周周考

（四）一、选择题：ACBC BBB

二、填空题：

8、120°；

9、-n+10；

10、99；11、5、12；

12、99；

13、1n1()

2三、解答题:

14、解(1)an 11

12nn(n1)(2)an 2111111112n2()Sn2[(1)()()]2(1)n(n1)nn1223nn1n1n115、解：S15－S6=a7+a8+…+a15=

等差等比数列学生版 篇5

1.等差数列的基本问题(1)定义：(2)通项公式：(3)等差中项(4)前n项和公式

2.等差数列的性质已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和.(1)(2)(3)(4)

一、等差数列的基本运算

例1（1）设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1＝1,公差d＝2,Sk＋2－Sk＝24,则k＝()

（2）Sn为等差数列{an}的前n项和,S2＝S6,a4＝1,则a5＝________.练习：已知等差数列{an}满足a10＝20,a20＝10,＝求a30.例2(1)设等差数列的前n项和为Sn,已知前6项和为36,Sn＝324,最后6项的和为180(n>6),求数列的项数n及a9＋a10;

Sn3n－1a8(2)等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,且＝求的值.Tn2n＋3b8

a练习：已知数列{an}<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的a10

n的最大值为()A．11B．19C．20D．21

二、等差数列的定义

anan＋1例3已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝，n∈N*.2

1(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.2Sn

练习：已知数列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，则数列的通项公式为________． 等比数列基础梳理

1.等比数列的基本问题(1)定义：(2)通项公式：(3)等比中项(4)前n项和公式

2.等比数列的性质已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和.(1)(2)(3)(4)

一、等比数列的基本运算

例1（1）等比数列{an}对一切正整数n都有Sn＝2an－1,Sn是{an}的前n项和,公比q的值为

(2)若等比数列{an}满足anan＋1＝16n,则公比为()

11111练习：{an}是各项均为正数的等比数列,且a1＋a2＝2(3＋a4＋a5＝64(＋).a1a2a3a4a5

12(1)求{an}的通项公式;(2)设bn＝(an),求数列{bn}的前n项和Tn.an

例2已知各项不为0的等差数列{an}满足2a2－a27＋2a12＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b3b11等于()

练习：（1）已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a20·a50·a80的值为()A．32B．64C．256D．±64

2）等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有()项

二、等比数列的定义

例3设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1＝1,Sn＋1＝4an＋2.an(1)设bn＝an＋1－2an,证明数列{bn}是等比数列;(2)证明数列{n}是等差数列.2练习:在本例条件下,设cn＝

巩固练习

11.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＝－2SnSn－1(n≥2)． 2

1(1)求证：数列S是等差数列；(2)求Sn和an.n

2.数列{an}中，Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)．

等差等比数列专项练习 篇6

1.学习一个数学公式的基本任务有哪些？

（1）等差数列、等比求和公式内容是什么？公式怎么用？

（2）推导公式的方法怎么用？

2.拿到一个新题目怎么想？

（1）现有的相关公式能否用上？

（2）非等差、等比数列求和能否化为等差、等比数列求和？

（3）已经用过的相关方法能否用上？

问题一：求数列，，，…，，…的前n项和;

分析：数列的分子成等差数列，分母成等比数列，可用错位相减法求和;

Sn=+++…++其中等比数列的公比q=;

Sn=+++…++;

两式错位相减得：

Sn=++++…-

=-+2（++++…+）-

∴Sn=3-

小结：设数列an的等比数列，数列bn是等差数列，则数列anbn的前n项和Sn求解，均可用错位相减法.

问题二：已知a≠0，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…前n项和.

点拨：字母的系数等差，字母项等比，但需要对字母讨论.

解：Sn=a+2a2+3a3+…+nan，

当a=1时，Sn=1+2+3+…+n=，

当a≠1时，Sn=a+2a2+3a3+…+nan，

aSn=a2+2a3+3a4+…+nan+1，

两式相减（1-a）Sn=a+a2+a3+…+an-nan+1，

=-nan+1

∴Sn=.

小结：采用乘公比，错位相减，可以得到一组等比数列，求和用公式但必须注意公比是否为1，否则须讨论.

问题三：设Sn=-1+3-5+7-9+…+（-1）n（2n-1），则Sn=（-1）nn

方法一：分析：由此数列的通项an=（-1）n（2n-1）;其是等差数列与等比数列的积这一类型的数列求和，故用错位相减法.

所以Sn=-n（n为奇数）

n（n为偶数），即Sn=（-1）nn.

总结：一个数列cn可以看成是一个以公差为d的等差数列（d不等于零）和一个是公比为q的等比数列（q不等于1）的乘积形式，则数列cn的前n项求和的方法可采用做错位相减法.

方法二：分析：通过观察可发现此数列具有正负相间，且正数项和负数项分别成等差数列这一特征.因此可以将正数项和负数项分别进行分组求和.但此数列有多少正数项和负数项呢？还要对项数n的奇偶性进行讨论.

略解：Sn=-n（n为奇数）

n（n为偶数），即Sn=（-1）nn.

总结：我们通过分组转化成两个等差数列，然后通过已有的等差数列求和求解。这种方法叫做分组求和法。

方法三：分析：通过观察可发现此数列具有这样的特征，即第一项与第二项，第三项与第四项，第五项与第六项，……，第n-1项与第n项的和都等于2，共多少个2呢？还要对项数n进行奇偶性讨论.

总结：通过将数列相邻的两项并成一项得到一个新的容易求和的数列，这种方法叫做并项求和。

通过对以上问题几种方法的探讨，不难看出，实际上所有与项的序号的奇偶性有关的数列求和问题，通过认真审题，抓住数列的通项，灵活地运用分类讨论、转化和化归数学思想，就可将其变为熟悉、简单的等差数列或等比数列来处理，辅助以适当的解题方法技巧，问题就会迎刃而解.

等差等比数列专项练习 篇7

(1)在等差数列｛an｝中, a7=9, a13=-2, 则a25=()

A-22B-24C60D64

(2)在等比数列｛an｝中, 存在正整数m, 有am=3，am+5=24, 则am+15=()

A864B1176C1440D1536

(3)已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列, 则a2=()

A–4B–6C–8D–10

(4)设数列an是等差数列，且a26,a86,Sn是数列an的前n项和，则()

AS4>S3BS4=S2CS6

(5)已知由正数组成的等比数列｛an｝中,公比q=2, a1·a2·a3·…·a30=245, 则a1·a4·a7·…·a28=5101520A 2B2C2D2

(6)若{an}是等差数列，首项a10,a2003a20040,a2003.a20040，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是：()

A．4005B．4006C．4007D．4008

(7)在等比数列｛an｝中, a1<0, 若对正整数n都有an

Aq>1B0

a1(3n1)(8)设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n≥1)，且a4=54，则a1=__________.2

(9)等差数列｛an｝的前m项和为30, 前2m项和为100, 则它的前3m项和为_________.(10)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列an是等和数列, 且a1=2, 公和为5,那么a18的值为_______,这个数列的前21项和S21的值为.(11)已知等差数列｛an｝共2n+1项, 其中奇数项之和为290, 偶数项之和为261, 求第n+1项及项数2n+1的值.(12)设an是一个公差为d(d0)的等差数列，它的前10项和S10110且a1，a2，a4成等比数列.（Ⅰ）证明a1d；（Ⅱ）求公差d的值和数列an的通项公式.(13)已知等比数列｛an｝的各项都是正数, Sn=80, S2n=6560, 且在前n项中, 最大的项为54, 求n的值.(14)ΔOBC的三个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）, 设P1为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n, Pn+3为线段PnPn+1的 中点,令Pn的坐标为(xn,yn), an

（Ⅰ）求a1,a2,a3及an;（Ⅱ）证明yn41

(Ⅲ)若记bny4n41ynyn1yn2.2yn,nN;4y4n,nN,证明bn是等比数列.答案:1-7 BDBDA BB8.29.21010.3, 5211.29, 19

等差数列 篇8

教学目标                        1．明确等差中的概念．     2．进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式     3．培养学生的应用意识．     教学重点                    等差数列的性质的理解及应用     教学难点                    灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题     教学方法                        讲练相结合     教具准备                        投影片2张(内容见下面) 教学过程                        (i)复习回顾 师：首先回忆一下上节课所学主要内容： 1．  等差数列定义： （n≥2） 2．  等差数列通项公式： （n≥2） 推导公式： （ⅱ）讲授新课 师：先来看这样两个例题（放投影片1） 例1：在等差数列 中，已知 ， ，求首项 与公差 例2：梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。1．  解：由题意可知 解之得 即这个数列的首项是-2，公差是3。 或由题意可得： 即：31=10+7d 可求得d=3，再由 求得1=-2 2．  解设 表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知： a1=33,  a12=110，n=12 ∴ ,即时10=33+11 解之得： 因此， 答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm. 师：[提问]如果在 与 中间插入一个数a，使 ，a， 成等差数列数列，那么a应满足什么条件？ 生：由定义得a- = -a 即： 反之，若 ，则a- = -a 师：由此可可得： 成等差数列，若 ，a， 成等差数列，那么a叫做 与 的等差中项。 不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。 如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是否和风细雨的等差中项，1和9的等差中项。 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。 看来， 从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q 则， 生：结合例子，熟练掌握此性质 师：再来看例3。（放投影片2） 生：思考例题 例3：已知数列的通项公式为： 分析：由等差数列的定义，要判定 是不是等差数列，只要看 （n≥2）是不是一个与n无关的常数。 解：取数列 中的任意相邻两项 与 （n≥2）， 则： 它是一个与n无关的常数，所以 是等差数列。在 中令n=1，得： ，所以这个等差数列的首项是p=q，公差是p.看来，等差数列的通项公式可以表示为： ，其中 、是常数。 （ⅲ）课堂练习生：（口答） （书面练习） 师：给出答案 生：自评练习（ⅳ）课时小结 师：本节主要概念：等差中项 另外，注意灵活应用等差数列定义及通项公式解决相关问题。 （ⅴ）课后作业 一、课本 二、1．预习内容     2．预习提纲：①等差数列的前n项和公式； ②等差数列前n项和的简单应用。 教学后记

等差数列解题思路与方法初探 篇9

【关键词】等差数列 ； 解题方法 ； 技巧

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2015）36-0260-01

数列是高中数学学习的重要内容之一，它不仅知识内涵丰富，与其他知识联系紧密，而其应用非常广泛。等差数列是本章中的重点和难点，由于这部分知识公式较多，学生学习起来有一定的难度，心理上存在一些畏惧情绪，因此掌握好的解题技巧，这部分内容就会迎刃而解。本文是在实践教学中总结的一些解题思路和方法，在教给学生基础知识的同时，也要注意方法的传授，这样才能增强学生学习数学的成就感，激发学生对数学的学习兴趣。

一、等差数列

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，一般用字母d表示。等差数列的通项公式为

■；前n项和公式为■或■

■。

二、等差数列的解题思路与方法

1.利用等差数列的性质解题。

等差数列是一种非常重要的数列，特别是它有许多有用且有趣的性质，掌握这些性质对解有关等差数列的题目往往会起到事半功倍的作用。

性质1在等差数列■中，■？圳■。

【例1】 已知等差数列■中，■，则■

■（ ）

A.20 B.22 C.24 D.-8

解：∵■，■

又■，所以选C

解题关键：等式不可能求出■和d，问题看似无解，但巧用性质1，则问题就迎刃而解。

性质2在等差数列中■，若，■且■，则■。

特别地，当m+n=2p时，有am+an=2ap。

【例2】在等差数列{an}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则S15=（ ）

A.13 B.26 C.52 D.56

解：∵3+5=4+4 ∴ ■

又7+13=10+10，∴■

结合已知条件等式，得■■

■，

∴■

∴■，故选B

2.以方程的意识，求值问题。

有些求值或化简题，如果纳入方程的思想方法体系，往往方法巧妙，过程简捷。等差数列的通项公式与前n项和公式紧密地联系着五个量■，“知三求二”是最基本的方程运算。

【例3】设■是递增等差数列，前三项的和为12，前三項的积为48，则它的首项是（ ）

A.1 B.2 C.4 D.6

解析题中给出两个相等关系，运用方程的思想方法，设出■和■，依题意列方程组：

（a2-d）+a2+（a2+d）=12（d>0）（a2-d）a2（a2+d）=48得解a2=4d=2（舍去d=-2）

∴a1=2，应选B

【例4】已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为Sn，Sk=2550，求a及k的值。

分析：已知几个相等关系，运用方程的思想方法求a和k。

解： 依题意列方程组

■解得■

∴■

3.利用二级等差数列及其变式解题。

一般地，一个数列相邻的两项作差，得到的新数列为等差数列，则称原数列为二级等差数列。

解题策略：观察数列特征，大部分二级等差数列为递增或递减的形式；尝试作差，一般为相邻两项之间作差，注意作差时相减的顺序要保持不变；猜测规律、检验、重复步骤直至规律吻合。

【例5】11，12，15，20，27，（ ）

A.32 B.34 C.36 D.38

解题关键：原数列后项减前项构成等差数列，故选C。

【例6】32，27，23，20，18，（ ）

A.14 B.15 C.16 D.17

解题关键：原数列后项减前项构成等差数列，故选D。

【例7】11，13，16，21，28，（ ）

A.37 B.39 C.41 D.47

解题关键：相邻两项之差连续质数，得到质数列，故选B。

【例8】1，2，6，15，（ ）

A.19 B.24 C.31 D.27

解题关键：数列特征明显单调且倍数关系不明显，优先做差，相邻两项之差是平方数列，故选C。

【例9】1，4，8，13，16，20，（ ），

A.20 B.25 C.27 D.28

解题关键：该数列相邻两项的差成3，4，5一组循环的规律，所以空缺应为20+5=25，故选B。

等差数列求和教案 篇10

教学目标

1.掌握等差数列前

项和的公式，并能运用公式解决简单的问题.项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前

项和公式（1）了解等差数列前

推导的过程，记忆公式的两种形式；

（2）用方程思想认识等差数列前 公式与前

项和的公式，利用公式求 ；等差数列通项项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值；

（3）会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值.2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法.3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.教学建议（1）知识结构

本节内容是等差数列前 前

项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题．（2）重点、难点分析

教学重点是等差数列前

项和公式的推导和应用，难点是公式推导的思路．

推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要．等差数列前 变用公式、前 项和公式有两种形式，应根据条件选择适当的形式进行计算；另外反用公式、项和公式与通项公式的综合运用体现了方程（组）思想．

高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上．（3）教法建议

①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用，一节侧重于通项公式与前 式综合运用.②前 项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活.项和公

③强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法.④补充等差数列前

项和的最大值、最小值问题.项和公式.⑤用梯形面积公式记忆等差数列前

等差数列的前教学目标

1.通过教学使学生理解等差数列的前 项和公式教学设计示例

项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题.2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想.教学重点，难点 教学重点是等差数列的前 教学用具

实物投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法

讲授法.项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路.教学过程 一.新课引入

提出问题：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？

问题就是（板书）“ ”

这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的.（由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，„，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.我们希望求一般的等差数列的和，高斯算法对我们有何启发？ 二.讲解新课（板书）等差数列前 1.公式推导（板书）项和公式

问题（幻灯片）：设等差数列 的首项为，公差为，由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.思路一：运用基本量思想，将各项用 和 表示，得，有以下等式，问题是一共有多少个，似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.思路二： 上面的等式其实就是，为回避个数问题，做一个改写，两

式左右分别相加，得，于是有：.这就是倒序相加法.思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得，于是

.于是得到了两个公式（投影片）： 和.2.公式记忆

用梯形面积公式记忆等差数列前 等差数列前 项和的两个公式.项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着

3.公式的应用

公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一.例1.求和：（1）；

（2）（结果用 表示）

解题的关键是数清项数，小结数项数的方法.例2.等差数列 中前多少项的和是9900？

本题实质是反用公式，解一个关于 三.小结

1.推导等差数列前 的一元二次函数，注意得到的项数 必须是正整数.项和公式的思路；

等差数列说课 篇11

一．教材分析

1．教材的地位与作用

本节课《等差数列》是高中数学必修5第二章第二节的内容，是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入学习。数列是高中数学重要内容之一，同时也为后面学习等比数列提供依据。2．教学目标的确定及依据

（1）教学参考书和教学大纲明确指出：本节的重点是等差数列的概念及其通项公式的推导过程和应用。本节先在具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算。可见本课内容的安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力。

（2）从学生学习的角度看：学生对数列有了初步的接触和认识，对方程、函数、数学公式的运用具有一定技能，函数、方程思想体会逐渐深刻。

二、重点、难点

重点：等差数列的概念及通项公式。

难点：（1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。

（2）从函数、方程的观点看通项公式

三、教学目标

知识目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单实际问题。

能力目标：（1）培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力；

情感目标：（1）通过对等差数列的研究，体会从特殊到一般，又到特殊的认识事物规律，培养学生主动探索，勇于寻找规律发现问题的求知精神。

四.教学程序设计

本节课的教学过程由

（一）创设情境 引入课题

（二）新课探究，推导公式

（三）应用例解

（四）练习反馈 强化目标

（五）归纳小结

（六）课后作业 运用巩固，六个教学环节构成。

（一）创设情境 引入课题

1.回顾练习：数列、通项公式定义及求简单数列的通项公式 2.检查预习情况：梳理知识结构

（二）新课探究：

1.观察与思考 下面的几个数列性质并给出结论：（1）2，5，7，9，11，13，15，17 2，2，2，2，2，2，2，2，2

4，5，6，7，8，9，10；(2)

3, 0,-3,-6…

引导学生观察：数列①、②有何规律?

引导学生得出“从第2项起，每一项与前一项的差都是同一个常数”，我们把这样的数列叫做等差数列.（板书课题）（教学设想：通过练习1复习上节内容，为本节课用函数思想研究数列问题作准备；练习2和3 引出两个具体的等差数列,创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认知能力。使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的。学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化。）

(二).新课探究，推导公式

等差数列的概念．

如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。通过设问强调： ①它是每一项与它的前一项的差（从第2项起）必须是同一个常数。②公差可以是正数、负数，也可以是0。得到等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那麽这个数列就叫做等差数列。这个常数叫等差数列的公差，通常用字母d表示。2等差通项公式

探究：数列满足 判断此数列是否为等差数列。等差数列通项公式

推倒方法：

一、不完全归纳法。

二、迭代法。

三、叠加法

（三）应用举例

例：1.求等差数列8，5，2，„的第20项。

2.-401是不是等差数列-5，-9，-13，„的项？如果是，是第几项？

例2：在等差数列中，已知第5项为10，第12项为31，求第1项、公差。注意：在ana1(n1)d中n，an，a1，d四数中已知三个可以求出另一个。对通项公式的进一步探讨：

3.请在12，24中间插入一个数字a，使得12，a, 24成等差数列，则a的值为多少。

五、等差中项

a, A, b成等差数列 A叫做a,b的等差中项 关于等差中项： 如果a,A,b成等差数列，则Aab并给与证明 2研究：在等差数列中一些特殊形式

（四）练习巩固 实际应用

某露天剧场有30排座位，第一排有28个座位，后面每排比前排多2个座位，最后一排有座位__________个。

（五）归纳小结

1.等差数列的概念，会判断一个数列是否为等差数列。2.等差数列的通项公式与递推公式及其应用。

（六）课后作业：

本节课的重点是等差数列的定义及其通项公式与应用，因此把强调的问题放在较醒目的位置，突出了重点 本节课我始终以“教师为主导，学生为主体”的思想进行教学，最终达到教学效果。

一、说课的含义：

所谓说课，即教师在学习有关教育教学理论、现代教学手段，钻研专业知识、课程标准（教学大纲）与教材的基础上，有准备地在一定的场合下，根据教材中某一章节内容的教学任务，向同行分析教材内容，并结合学生的特点和教材的育人功能阐述教学目标，讲解自己的教学方案的一种有组织、有目的、有理论指导的教学研究与交流活动形式。

二、说课与上课的区别：

说课不仅要说准备好的教学方案怎样教，而且要说为什么要这样教，运用了什么教育理论；要说备课中的有关思考；还要对教学目标充分地分析，揭示学生所应形成的能力或倾向，确定促使这些能力或倾向形成的有效的教学条件。使教学理论得到最佳的应用与发展，使备课的过程趋于理性化。 上课的对象是学生；说课的对象是同行。

 上课有准备与突发事件的矛盾；说课无对象的不稳定性。

 一般要求在10－15分钟内，用凝炼、浓缩的语言，说完一节课的内容。

三、说课时的要求：

1.教态特征：介于教师与讲解员之间； 2.语言表达：简洁明了，具有准确性；

3.目标表述：全面、具体、明确，具有可测性。（戒假、大、空）4.教法分析：合理性、针对性，并体现学生的主体性，具有可操作性； 5.教学程序：有层次性和逻辑性，设疑反馈具有及时性；

6.媒体手段：设计合理，有利于突出重点，突破难点，具有不可替代性。

四、说课的内容

教材分析

1．说明该内容在教学大纲或课程标准对本年级的要求；

2．说明该内容在本单元、本章乃至整套教材中的地位作用及前后联系；

3．明确提出本课时的具体教学目标，从认知、能力、情感目标三个方面加以说明；

4．分析教材的编写意图、结构特点以及重点、难点、关键点等；

教学对象

1．分析学生原有的认知基础，即学生具备的与该内容相联系的知识点、技能、方法、能力；

2．分析学生的生理、心理基础，即该内容与学生现时的年龄特点的适应性，若不适应则作如何处理；

3．分析学生群体中的个体差异，如何对班级中不同层次学生分层递进，从而达到整体推进；

4．分析学生掌握教学内容所编写具备的学习技巧，以及是否具备学习新知识所必须掌握的技能和态度。

教法与教学手段

1．说明教法的选择与组合，及其理论根据；

2．介绍如何调动学生学习的积极性与主动性，充分体现以学生为主体的设想； 3．说明选用的教学媒体（包括教具）及其原因，并指出其具有的不可替代性。

教学程序

1．教学思路与教学环节的基本安排；

2．教与学有机结合的安排与构想，及其理论依据； 3．说明新课的引入以及重点与难点的处理； 4．说明板书设计。

教学评价

1．分析教学反馈与调节的措施；

2．分析练习题的功能与教学目标是否具有一致性。

五、说课的评价标准（仅供参考）

评价表一

1、科学性（30分）：教材分析（10分）、教学内容（10分）、教学目标（10分）

2、理论性（30分）：整体设计（10分）、典型设计（10分）、教法设计（10分）

3、实践性（15分）：方案对学生的可操作性和实践性（10分）、方案对执教者可重复操作性和实践性（5分）

4、逻辑性（15分）

5、艺术性（5分）

6、时间性（5分）

评价表二

1、教材内容（20分）：教材把握适切度（10分）、重、难点表述的正确性（10分）

2、教学目标（20分）：目标的科学性、全面性、层次性（10分）、目标具体明确，具可测性（10分）

3、教学程序（45分）：整体设计（10分）、教学方法（10分）、教学环节（10分）、学生主体性（10分）、反馈与矫正（5分）

4、教师素质（15分）：语言表达的逻辑性（10分）、语言表达的艺术性

说课时，说课教师应报告课题，说明本课题选自哪一版本的教材、在教材中处于哪一册、哪一课时。说课的主要内容按顺序介绍如下：

一、说教材：

1．教材分析（教材的地位和作用）：本节教学内容是在学生已学哪些知识基础上进行的，是前面所学哪些知识的应用，又是后面将要学习的哪些知识的基础，在整个知识系统中的地位如何。在学生的知识能力方面有哪些作用，对将来的学习有什么影响等。

2．教材处理：根据课堂教学需要，不盲目地依赖教材而循规蹈矩，创造性地对教材内容进行授课顺序调整和补充，以纵横知识联系，降低学生认知难度。把有关知识、技能、思想、方法、观点等用书画文字等形式加工整理，转化为导向式的教学活动。教材处理的目的是使学生容易接受、融会贯通，体现教师熟悉教材的程度，把握教材的能力。

3．重点难点：指出本节的教学重点和难点以及确定重点和难点的依据。

4．教学目标：教学目标包括①知识目标、②能力目标、③德育目标。要阐述确定教学目标的依据。

二、说教法：“教学有法，教无定法，贵在得法”。常用的“教学方法有讲授法、谈话法、演示法、读书指导法、参观法、实验法、实习作业法、练习法等；近年来随着教学方法的改革，提出了情境教学法（发现法）、启发式教学法、程序教学法、多媒体教学法等”。

选择教学方法的基本依据是：①教学任务，②教学内容，③学生的年龄特征、学生的认识规律和发展水平。选择教学方法不要局限于某种方法，要灵活多样，对症下药，一把钥匙一把锁。使学生灵活地掌握知识、培养能力、发展智力。

要说明通过什么途径有效地运用这些教学方法，要达到什么效果。如何发挥教师的主导作用。

三、说学法：阐述如何引导学生运用正确的学习方法完成本节课的教学活动，怎样让学生进入角色充当课堂教学的主体，怎样帮助学生自觉、生动地进行思维活动。使学生既学到了知识又掌握了学习方法，既培养了能力又发展了智力。

四、说教学程序：说教学程序是说课中最重要的环节。

1．导入新课：导入新课的方法很多，温故知新式、提问式、谈话式等都是巧妙的方法。阐述采用什么方式导入新课，这样导入的好处是什么。

2．讲授新课：讲授新课是教师主导课堂教学的全过程。怎样引经据典、循循善诱、循序渐进、精心设疑，引导学生积极思维。怎样启发学生踊跃参与，进入角色充当主体。哪些答疑让个别学生独立完成，哪些答疑让群策群力来实现。要学生掌握哪些知识、培养哪些能力、达到什么目的。学生在课堂上有哪些思维定势，需要采取哪些克服措施。如果学生的活动脱离教师的思路轨道，怎样因势利导，采取哪些应变措施稳妥地引上正轨。如何诱导学生生动活泼地学习，不仅学会，而且会学；既学到知识，又掌握了学习方法，一举两得。

讲授新课是课堂的重中之重，是精彩之处、关键所在。要阐明怎样让课堂运作起来，体现教师的主导。怎样规范板书和口语表达，既设疑又答疑，既突出重点又分散难点，既注意教学程序又运用教学手段；既正常发挥又采取应变补救措施，既正确地叙述和分析教材又做到思想性和科学性的统一、观点和材料的统一。

3．例题示范：根据教学内容的需要，安排有针对性、实用性、有目的性的例题示范，以巩固和强化教学内容。要说明例题的出处、功能和目的，学生可能出现的思路反映等问题。

4．反馈练习：分析学生在解题时可能出现的情况，针对学生暴露出的问题，用什么应变措施。做好练习反馈工作。

5．归纳总结：教师说课时应着重综合归纳本节课教学目的，传授了哪些知识，并且将其纳入原有知识的体系之中。加强知识之间纵横联系的复习，培养各种能力，培养辩证唯物主义思想。同时提出一些思考性的问题，既激发学生的求知欲望，又为下一节课教学做准备。

五、展示板书：展示观摩课的完整板书设计。板书设计是用教师教学基本功中的规范“粉笔字”来体现的，要概括课文的全面性、准确性、工整性和美感性。

说课为上课提供了可靠的理论依据；说课是上课的升华；说课的最终目的是为了更好地上课。说课与上课不能有大的反差，怎样上课，就怎样说课，如出一辙。