证明等差数列习题

证明等差数列习题（精选8篇）

证明等差数列习题 篇1

1．已知数列an是首项为a1，公比q141的等比数列，bn23log1an 44(nN*)，数列cn满足cnanbn．

（1）求证：bn是等差数列；

2ana2,aa6a6(nN)，n1nn2．数列满足1设cnlog5(an3)．

（Ⅰ）求证：cn是等比数列；

*3．设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN)．（2）求证：数列Sn2是等比数列； 4．数列{an}满足a11,an12n1an(nN)nan22n（1）证明:数列{}是等差数列；

an2Sn25．数列an首项a11，前n项和Sn与an之间满足an(n2)

2Sn1（1）求证：数列1是等差数列

Sn2，an16．数列{an}满足a13，an1（1）求证：{an1}成等比数列； an2*7．已知数列{an}满足an13an4，(nN)且a11，（Ⅰ）求证：数列an2是等比数列；

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8． 数列{an}满足:a11,nan1(n1)ann(n1),nN*（1）证明：数列{an}是等差数列； n9．已知数列{an}的首项a1=

22an，an1，n=1，2，… 3an1（1）证明：数列11是等比数列； an1,Snn2ann(n1),n1,2,L． 210．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1（1）证明：数列n1Sn是等差数列，并求Sn； n11．（16分）已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn2ann（1）证明：an1为等比数列；

12．数列{an}满足：a12,a23,an23an12an(nN)（1）记dnan1an，求证：数列{dn}是等比数列；

13．已知数列{an}的相邻两项an，an1是关于x方程x22nxbn0的两根，且a11．（1）求证：数列{an2n}是等比数列；

14．（本题满分12分）已知数列{an}中，a15且an2an12n1（n2且nN*）． 13a1（Ⅰ）证明：数列nn为等差数列；

215．已知数列an中,a11,an1an(nN*)an3（1）求证:11是等比数列,并求an的通项公式an;an235，a3，且当n2时，2416．设数列an的前n项和为Sn，n．已知a11，a24Sn25Sn8Sn1Sn1．

（1）求a4的值；

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（2）证明：an11an为等比数列； 217．设数列an的前n项和为Sn，且首项a13,an1Sn3n(nN).n(Ⅰ)求证：Sn3是等比数列； 18．（本小题满分10分）已知数列an满足a11，an1a2（1）求证：数列n是等比数列；

n(3n3)an4n6,nN*．

n

参考答案

1．（1）见解析；（2）Sn2(3n2)1n()；（3）m1或m5 3342n12．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）3．（1）

an511Tn2n.3.；459（Ⅲ）a24,a38；

（2）见解析；（3）5

2nn14．（1）详见解析；（2）an；（3）2n326

n11(n1)23． 5．（1）详见解析；（2）an；（3）2(n2)3(2n1)(2n3)6．（1）证明{an1}成等比数列的过程详见试题解析； an2答案第3页，总5页 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

（2）实数t的取值范围为7．详见解析

8．（1）见解析；（2）Sn1331． t222n13n13 49．（1）详见解析（2）Sn21nnn1 2n12n2210．（1）由Snn2ann(n1)知，当n2时，Snn，即(SnS(n1)n1)n(n21)Snn2Sn1n(n1)，所以所以n1n11SnSn11，对n2成立．又S11，nn11n1n1Sn1(n1)1，即Sn是首项为1，公差为1的等差数列．所以nnn2Sn．

n1（2）因为

bnSn1111()32n3n(n1)(n3)2n1n3，所以b1b2Lbn． 11111111115115(L)()22435nn2n1n326n2n312k18k6k411．（1）见解析；（2）解析；（3）存在，或或．

m5m2m1812．（1）dn12n1（2）an2n11

2n12n为偶数3313．（1）见解析；（2）Sn，（3）(,1)

n121n为奇数3314．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）Snn2n1 15．（1）证明详见解析；（2）23．

7116．（1）；（2）证明见解析；（3）an2n18217．(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)(9,3)(3,)

n1．

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18．（1）详见解析（2）详见解析

证明等差数列习题 篇2

等差数列{xn}的前10项的和S10=100, 前100项的和S100=10, 求S110。

有道是“说起来容易, 做起来难”, 能正确求出x1, d的同学寥寥无几, 好像是走进死胡同了, 其实不解方程组, 也能“柳暗花明又一春”! (这是兴趣小组的同学共同摸索出来的)

【法三】设等差数列{xn}的前n项的和为Sn=an2+bn, 则

法四毫无疑问是法二的类比产物。比较一下, 就可以发现, 数学的知识面越广, 解题思维越灵活, 视野自然也越开阔……

其实等差数列的性质非常多, 如果用得恰到好处, 自然会让人耳目一新。

众所周知, 二次函数或二次方程的计算量远远大于一次的, 解答此题能否像孙悟空一样也变出个花样来呢?

这个命题不仅可以一题多解, 而且其推广命题用得也非常广泛:

推广命题:若m≠n时, 等差数列{xn}的前m项的和Sm=n, 前n项的和Sn=m, 则Sm+n=-m-n。

其证明方法也是“八仙过海, 各显神通”。这里用法四的方法, 水到渠成地证一下:

但学生往往把等差数列中的另一个命题与上述推广命题混淆。

干扰命题的证明非常容易, 在此略过。笔者想强调的是, 区分这两个命题的最佳方法是用特殊值法, 进行辨别:

数列求和不等式的证明 篇3

题目 已知数列[an]的通项公式是[an=3n-2n].求证：对一切正整数[n]，有[1a1+1a2+???+1an<32].

思路1：放缩为可求和的等比（等差）数列

证明 因为[3n-3n-1=2?3n-12?2n-1=2n]，

所以[3n-2n3n-1]，所以[1an13n-1].

于是[1a1+1a2+…+1an1+13+…+13n-1]

[=1-13n1-13][=321-13n<32].

思路2：放缩后能裂项相消

证明 当[n=1]时，[1a1=1<32]；

当[n=2]时，[1a1+1a2=1+15<32]，显然成立.

当[n3]时，[an=3n-2n=1+2n-2n]

[=1+C1n?2+C2n?22+…+Cn-1n?2n-1+2n-2n]

[=1+C1n?2+C2n?22+…+Cn-1n?2n-1>C2n?22]

[=2nn-1]，

又因为[a2=5>2×2×2-1]，

所以[an>2nn-1]（[n2]），

所以[1an<12nn-1=121n-1-1n]（[n2]），

所以[1a1+1a2+1a3+…+1an]

[<1+121-12+13-14+…+1n-1-1n=1+121-1n<32.]

思路3：构造加强不等式，借助数学归纳法

①当[n=1]时，左边[=1a1=1]，右边[=32]，命题成立.

②假设当[n=k]（[k2]，[k∈][N]）时成立，即[i=1k13i-2i<32]成立.为了证明当[n=k+1]时命题也成立，我们首先证明不等式：[13i+1-2i+1<13?13i-2i]（[i1]，[i∈][N]）.

要证[13i+1-2i+1<13?13i-2i]，

只需证[13i+1-2i+1<13i+1-3?2i]，

只需证[3i+1-2i+1>3i+1-3?2i]，

只需证[-2i+1>-3?2i]，

只需证[-2>-3]，该式子明显成立，

所以[13i+1-2i+1<13?13i-2i].

于是当[n=k+1]时，[i=1k+113i-2i=13-2+i=2k+113i-2i][<1+13i=1k13i-2i<1+13×32=32]，

所以在[n=k+1]时命题也成立.

等差数列练习题 篇4

甲、乙二人是朋友，他们都住在同一条胡同的同一侧，甲住11号，乙住189号。甲、乙二人的住处相隔几个门?

答案

甲、乙二人的家之间所有的门牌号组成了一个等差数列：11、13、15、17、……、189。它的首项a1=11，公差d=2，末项an=189。这串数列的项数，可由等差数列通项公式的变形公式求出：n=(an-a1)÷d+1=(189-11)÷2+1=89+1=90由此可知，从门牌11号到189号共有90个门牌号，所以甲、乙二人住处相隔90-2=88个门。

等差数列基础练习题 篇5

2、一个递增(后项比前项大)的等差数列，第53 项比第28 项________(多或少)______个公差。

3、一个递增(后项比前项大)的等差数列，第55 项比第37 项________(多或少)______个公差。

4、一个递增(后项比前项大)的等差数列，第55 项比第83 项________(多或少)______个公差。

5、一个递增(后项比前项大)的等差数列，第28项比第73项________(多或少)______个公差。

6、一个递增(后项比前项大)的等差数列，第90项比第73项________(多或少)______个公差。

7、一个递增(后项比前项大)的等差数列，首项比第73 项________(多或少)______个公差。

8、一个递增(后项比前项大)的等差数列，第87 项比首项________(多或少)______个公差。

9、一个递减(后项比前项小)的等差数列，第18项比第 32 项________(多或少)______个公差。

10、一个递减(后项比前项小)的等差数列，第32项比第 18 项________(多或少)______个公差。

11、一个递减(后项比前项小)的等差数列，第74项比第26项________(多或少)______个公差。

12、一个递减(后项比前项小)的等差数列，第74项比第91 项________(多或少)______个公差。

13、一个递减(后项比前项小)的等差数列，第29项比第 86 项________(多或少)______个公差。

14、一个递减(后项比前项小)的等差数列，第123 项比第86项________(多或少)______个公差。

15、一个递减(后项比前项小)的等差数列，首项比第76 项________(多或少)______个公差。

16、一个递减(后项比前项小)的等差数列，第76项比首项________(多或少)______个公差。

17、一个递增(后项比前项大)的等差数列，第________项比第75项多19 个公差。

18、一个递增(后项比前项大)的等差数列，第________项比第75项少19 个公差。

19、一个递增(后项比前项大)的等差数列，第________项比首项多19个公差。

20、一个递增(后项比前项大)的等差数列，比第92 项少 19 个公差是第________项。

21、一个递增(后项比前项大)的等差数列，比第92 项多 19 个公差是第________项。

22、一个递增(后项比前项大)的等差数列，比首项多19个公差是第________项。

23、一个递减(后项比前项小)的等差数列，第________项比第58项多17个公差。

24、一个递减(后项比前项小)的等差数列，第________项比第58项少17个公差。

25、一个递减(后项比前项小)的等差数列，第________项比首项少 17 个公差。

26、一个递减(后项比前项小)的等差数列，比第67 项少28 个公差是第________项。

27、一个递减(后项比前项小)的等差数列，比第67 项多28 个公差是第________项。

28、一个递减(后项比前项小)的等差数列，比首项少28个公差是第________项。

29、一个递增(后项比前项大)的等差数列公差是3，第 28 项比第53项________(多或少)______。

30、一个递增(后项比前项大)的等差数列公差是4，第 53项比第28项________(多或少)______。

31、一个递增(后项比前项大)的等差数列公差是5，第55项比第37项________(多或少)______。

32、一个递增(后项比前项大)的等差数列公差是6，第55项比第83项________(多或少)______。

33、一个递增(后项比前项大)的等差数列公差是7，第28 项比第73项________(多或少)______。

34、一个递增(后项比前项大)的等差数列公差是8，第90 项比第73项________(多或少)______。

35、一个递增(后项比前项大)的等差数列公差是8，首项比第73 项________(多或少)______。

36、一个递增(后项比前项大)的等差数列公差是4，首项比第26 项________(多或少)______。

37、一个递减(后项比前项小)的等差数列公差是9，第 18 项比第32 项________(多或少)______。

38、一个递减(后项比前项小)的等差数列公差是4，第32 项比第18 项________(多或少)______。

39、一个递减(后项比前项小)的等差数列公差是3，第 74 项比第26项________(多或少)______。

40、一个递减(后项比前项小)的等差数列公差是7，第 74 项比第91 项________(多或少)______。

41、一个递减(后项比前项小)的等差数列公差是8，第 29 项比第86 项________(多或少)______。

42、一个递减(后项比前项小)的等差数列公差是9，第123 项比第86项________(多或少)______。

43、一个递减(后项比前项小)的等差数列公差是9，第23 项比首项________(多或少)______。

44、一个递减(后项比前项小)的等差数列公差是6，第46 项比首项________(多或少)______。

45、一个递增(后项比前项大)的等差数列公差是3，有一项比第34项大57，这一项比第34项________(多或少)________个公差，这一项是第________项。

46、一个递增(后项比前项大)的等差数列公差是4，有一项比第78项小56，这一项比第78项________(多或少)________个公差，这一项是第________项。

47、一个递增(后项比前项大)的等差数列公差是5，有一项比第46项大60，这一项比第46项________(多或少)________个公差，这一项是第________项。

48、一个递增(后项比前项大)的等差数列公差是6，有一项比第64项小72，这一项比第64项________(多或少)________个公差，这一项是第________项。

49、一个递增(后项比前项大)的等差数列公差是5，有一项比首项大70，这一项比首项________(多或少)________个公差，这一项是第________项。

50、一个递减(后项比前项小)的等差数列公差是7，有一项比第34项大91，这一项比第34项________(多或少)________个公差，这一项是第________项。

51、一个递减(后项比前项小)的等差数列公差是8，有一项比第74项小96，这一项比第74项________(多或少)________个公差，这一项是第________项。

52、一个递减(后项比前项小)的等差数列公差是9，有一项比第87项大72，这一项比第87项________(多或少)________个公差，这一项是第________项。

53、一个递减(后项比前项小)的等差数列公差是6，有一项比第59 项小 84，这一项比第59 项________(多或少)________个公差，这一项是第________项。

54、一个递减(后项比前项小)的等差数列公差是6，有一项比首项小 84，这一项比首项________(多或少)________个公差，这一项是第________项。

55、一个递增的等差数列公差是3，第34 项是 123，第91项是________。

56、一个递增的等差数列公差是6，第21 项是 192，第52项是________。

57、一个递增的等差数列公差是3，第91 项是 336，第23项是________。

58、一个递增的等差数列公差是4，第87项是523，第33项是________。

59、一个递增的等差数列公差是4，首项是9，第91项是________。

60、一个递增的等差数列公差是6，首项是3，第67项是________。

61、一个递增的等差数列公差是4，第65 项是579，首项是________。

62、一个递增的等差数列公差是4，第78 项是491，首项是________。

63、一个递减的等差数列公差是3，第34 项是 923，第91项是________。

64、一个递减的等差数列公差是6，第21 项是 492，第52项是________。

65、一个递减的等差数列公差是3，第91 项是 336，第23项是________。

66、一个递减的等差数列公差是4，第87项是523，第33项是________。

67、一个递减的等差数列公差是4，首项是529，第91项是________。

68、一个递减的等差数列公差是6，首项是431，第67项是________。

69、一个递减的等差数列公差是4，第65 项是 312，首项是________。

70、一个递减的等差数列公差是4，第78 项是 336，首项是________。

71、一个递增的等差数列公差是3，第23 项是89，332是这个数列的第________项。

72、一个递增的等差数列公差是4，第23 项是 97，341是这个数列的第________项。

73、一个递增的等差数列公差是6，第59 项是489，63是这个数列的第________项。

74、一个递增的等差数列公差是7，第78 项是667，282 是这个数列的第________项。

75、一个递增的等差数列公差是3，首项是8，182 是这个数列的第________项。

76、一个递减的等差数列公差是3，第23 项是 89，122是这个数列的第________项。

77、一个递减的等差数列公差是4，第23 项是97，153是这个数列的第________项。

78、一个递减的等差数列公差是6，第29 项是623，95是这个数列的第________项。

79、一个递减的等差数列公差是7，第18 项是565，285 是这个数列的第________项。

80、一个递减的等差数列公差是4，首项是565，281 是这个数列的第________项。

81、一个递增的等差数列，第23项是98，第61项是250，这个等差数列公差是________。

82、一个递增的等差数列，第34项是298，第52 项是 334，这个等差数列公差是________。

83、一个递减的等差数列，第18项是298，第51项是67，这个等差数列公差是________。

84、一个递减的等差数列，第58项是332，第92 项是94，这个等差数列公差是________。

85、一个等差数列的公差是3，第23项是85，末项是361，这个数列的项数是________。

86、一个等差数列的公差是4，第18项是85，末项是 261，这个数列的项数是________。

87、一个等差数列的公差是5，首项是3，末项是253，这个数列的项数是________。

88、一个等差数列的公差是6，首项是4，末项是340，这个数列的项数是________。

89、一个等差数列的公差是3，第18项是100，末项是10，这个数列的项数是________。

90、一个等差数列的公差是4，第18项是102，末项是6，这个数列的项数是________。

91、一个等差数列的公差是5，首项是223，末项是8，这个数列的项数是________。

92、一个等差数列的公差是6，首项是206，末项是14，这个数列的项数是________。

93、已知一个等差数列第13 项等于 71，第61项等于 263.(1)这个等差数列的公差是多少?()

(2)首项是多少?()

(3)第 100 项是多少?()

(4)前100 项的和是多少?()

(5)47是这个数列的第几项()

(6)303 是这个数列的第几项?()

94、已知一个等差数列的第31项为840，第36项为 9(1)这个等差数列的公差是多少?()

(2)首项是多少?()

(3)第 60 项是多少?()

(4)前50 项的和等于多少?()

(5)1020 是第几项()

95、已知一个等差数列的第19项等于217，第82 项等(1)这个等差数列的公差是多少?()

(2)首项是多少?()

(3)第 60 项是多少?()

(4)前30 项的和等于多少?()

96、一个等差数列的第20 项和第35 项分别是200和(1)这个等差数列的公差是多少?()

(2)第 5项是多少?()

(3)第 50 项是多少?()

(4)92是这个数列的第几项?((5)302 是这个数列的第几项?()

(6)前100 项的和等于多少?()

97、有一个等差数列，4、10、16、22、…、370.(1)第26项是多少?()

(2)52是第几项?()

(3)所有项的和等于多少?()

(4)前40 项的和等于多少?()

98、数列3，6，9，…300，303 是一个等差数列。

(1)第43 项是多少?()

(2)90是第几项?()

(3)这个等差数列中所有数的和是多少?()

(4)前40 项的和等于多少?()

99、已知等差数列2、9、16、23、30、…、709.(1)第 26项是多少?()

(2)142 是第几项()

(3)这个等差数列中所有数的和是多少?()

(4)前30 项的和是多少?()

100、等差数列可以写成：4、13、22、31、40…、364.(1)第15 项是多少?()

(2)184 是这个数列的第几项?()

(3)所有项的和是多少?()

证明等差数列习题 篇6

（三）等差数列求和

知识精讲

一、定义：一个数列的前n项的和为这个数列的和。

二、表达方式：常用Sn来表示。

三：求和公式：和(首项末项)项数2，sn(a1an)n2。

对于这个公式的得到可以从两个方面入手：

(思路1)1239899100

101505050

（1100）（299）（398）（5051）共50个101(思路2)这道题目，还可以这样理解：

和=12349899100+和100999897321 2倍和101101101101101101101101505050。即，和(1001)100

2四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。

（436）922091800，譬如：① 48123236题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209；

（165）33233331089，② 656361531题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333。

例题精讲： 例1：求和：

（1）1+2+3+4+5+6 =（2）1+4+7+11+13=（3）1+4+7+11+13＋„＋85= 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。

例如（3）式项数=（85-1）÷3+1=29 和=（1+85）×29÷2=1247 答案：（1）21（2）36（3）1247

例2：求下列各等差数列的和。

（1）1+2+3+4+„+199（2）2+4+6+„+78（3）3+7+11+15+„+207 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。

例如（1）式=（1+199）×199÷2=19900 答案：（1）19900（2）1160（3）5355

例3：一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列的和是多少？

分析：根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：8756

答案：56

例4：求1+5+9+13+17„„+401该数列的和是多少。

分析：这个数列的首项是1，末项是401，项数是（401-1）÷4+1=101，所以根据求和公式，可有：

和=（1+401）×101÷2=20301 答案：20301

例5：有一串自然数2、5、8、11、„„，问这一串自然数中前61个数的和是多少？

分析：即求首项是2，公差是3，项数是61的等差数列的和，根据末项公式：末项=2+（61-1）×3=182 根据求和公式：和=（2+182）×61÷2=5612 答案：5612

例6：把自然数依次排成“三角形阵”，如图。第一排1个数；第二排3个数；第三排5个数；„

求：

（1）第十二排第一个数是几？最后一个数是几？

（2）207排在第几排第几个数？

（3）第13排各数的和是多少？

分析：整体看就是自然数列，每排的个数的规律是1,3,5，7...即为奇数数列 若排数为n（n≥2de 自然数)，则这排之前的数共有（n-1）（n-1)个。

（1）第十二排共有23个数。前面共有（1+21）×11÷2=121个数，所以第十二排的第一个数为122，最后一个数为122+（23-1）×1=144（2）前十四排共有196个数，前十五排共有225个数，所以207在第十五排，第十五排的第一个数是197，所以207是第（207-197=10）个数

（3）前十二排共有144个数，所以第十三排的第一个数是145，而第十三排共有25个数，所以最后一个数是145+（25-1）×1=169，所以和=（145+169）×25÷2=3925 答案：（1）122；144（2）第十五排第10个数（3）3925

例7：15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？

分析：由中项定理，中间的数即第8个数为：199515133，（158）147。所以这个数列最大的奇数即第15个数是：1332答案：147。

例8：把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？ 分析：由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为210÷7=30，所以，这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45。

即第1个数是15，第6个数是40。答案：第1个数：15；第6个数：40。

例9：已知等差数列15，19，23，……443，求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少？

分析：公差=19-15=4 项数=（443-15）÷4+1=108 倒数第二项=443-4=439 奇数项组成的数列为：15，23，31„„439，公差为8，和为（15+439）×54÷2=12258 偶数项组成的数列为：19，27，35„„443，公差为8，和为（19+443）×54÷2=12474 差为12474-12258=216 答案：216

例10：在1~100这一百个自然数中，所有能被9整除的数的和是多少？

分析：每9个连续数中必有一个数是9的倍数，在1~100中，我们很容易知道能被9整除的最小的数是991，最大的数是99911，这些数构成公差为9的等差数列，这个数列一

（999）112594． 共有：111111项，所以，所求数的和是：9182799也可以从找规律角度分析． 答案：594

例11：一串数按下面的规律排列：1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6„„问：从左面第一个数起，前105个数的和是多少？

分析：这些数字直接看没有什么规律，但是如果3个一组，会发现这样一个数列：6,9,12,15......即求首项是6，公差是3，项数是105÷3=35的和

末项=6+3×（35-1）=108

和=（6+108）×35÷2=1995 答案：1995

16例12：在下面12个方框中各填入一个数，使这12个数从左到右构成等差数列，其中

10、已经填好，这12个数的和为。

‍‍‍ ‍　‍‍‍ ‍　‍‍‍ ‍　‍‍‍ ‍　‍‍‍ ‍16　‍‍‍ ‍　‍‍‍ ‍10　‍‍‍ ‍　‍‍‍ ‍　‍‍‍ ‍

分析：由题意知：这个数列是一个等差数列，又由题目给出的两个数10和16知：公差为2，那么第一个方格填26，最后一个方格是4，由等差数列求和公式知和为：(426)122180。答案：180。

本讲小结：1.一个数列的前n项的和为这个数列的和，我们称为。

2.求和公式：和(首项末项)项数2，sn(a1an)n2。3.对于任意一个奇数项的等差数列，各项和等于中间项乘以项数。

练习：

1.求和：（1）1+3+5+7+9=（2）1+2+3+4＋„＋21=（3）1+3+5+7+9＋„＋39= 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。答案：（1）25（2）231（3）400

2.求下列各等差数列的和。（1）1+2+3+„+100（2）3+6+9+„+39 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。答案：（1）5050（2）273

3.一个等差数列4,8,12,16,20,24,28,32，36这个数列的和是多少? 分析：根据中项定理，这个数列一共有9项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：20×9=180 答案：180

4.所有两位单数的和是多少？

分析：即求首项是11，末项是99的奇数数列的和为多少。

和=（11+99）×45÷2=2475 答案：2475

5.数列1、5、9、13、„„，这串数列中，前91个数和是多少？ 分析：首项是1，公差是4，项数是91，根据重要公式，可得：

末项=1+（91-1）×4=361 和=（1+361）×91÷2=16471 答案：16471

6.如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色。如果最底层有15个正方形，问：“金字塔”中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？ 分析：由题意可知，从上到下每层的正方形个数组成等差数列，2，an15，所以n（151）218，其中a11，d（18）8236 所以，白色方格数是：1238（17）7228。

黑色方格数是：1237答案：28（2005200620072008200920102011）2008。7.分析：根据中项定理知：200520062007200820092010201120087,所以原式 2008720087。

答案：7。

8.把248分成8个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？

分析：公差为2的递增等差数列。

平均数：248÷8=31，第4个数：31-1=30；首项：30-6=24；末项：24+（8-1）×2=38。

即：最大的数为38。答案：38

9.求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。

分析：解法1：可以看出，2，4，6，„，2000是一个公差为2的等差数列，1，3，5，„，1999也是一个公差为2的等差数列，且项数均为1000，所以：原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2=1000 解法2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1，所以1000项就差了1000个1，即原式=1000×1=1000 答案：1000

10.在1~100这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？

分析：先计算1~100的自然数和，再减去能被9整除的自然数和，就是所有不能被9整除的12（1）001，自然数和了．9182799（999）112594，所有不能被9整除的自然数和：50505944456．如果直接计算不能被9整除的自然数和，是很麻烦的，所以先计算所有1~100的自然数和，再排除掉能被9整除的自然数和，这样计算过程变得简便多了。答案：594

11.一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？

分析：观察发现，这堆钢管的排列就是一个等差数列：首项是3，公差是1，末项是10，项数是8 根据求和公式，和=（3+10）×8÷2=52（根）

所以这堆钢管共有52根。



答案：52根。

12.求100以内除以3余2的所有数的和。

递推数列中的不等式证明 篇7

例1.正项数列{an}满足:a1=a (0

解:∵a>0, ∴0

a/ (n-1) a+1而a1=a适合此式

故:a≤a/ (n-1) a+1得证

点评: (1) 抓住递推关系的结构特点, 构建特殊数列, 然后运用迭代法使问题得证。

(2) 数学归纳法也是证明不等式的一种重要方法, 此题不再证明。

例2.已知数列{an}对一切n∈N*都有an∈ (0, 1) , 且ana2n+1+2an+1-an=0

求证: (1) 2a2n+1

分析与简解:由于2an+1-an=-an a2n+1<0故2an+1

而要证明sn<2a1, 数学归纳法是不能直接进行传递的, 故需利用 (1) 的结论构建特殊数列。方法1:由建特殊数列。

方法2:由2an+1

方法3:数学归纳法

(1) 当n=1时, a1=s1<2a1成立

(2) 假设n=k时sk<2a1成立

∴n=k+1时不等式成立

由 (1) (2) 不等式sn<2a1对一切正整数都成立

点评:已知中所给的递推关系较繁杂, 是无法直接构建特殊关系的, 第一问为下面问题的解答做了铺垫, 我们应敏锐地抓住这一特点, an+1<21an类似等比型, 可用迭代的方法达到an<12n-1a1的效果, 利于求和型的不等式证明。

例f (x) = (x≠1) , 设数列{an}满足a1=1, an+1=f (an) , 数列{bn}满足bn=|an- 3|, sn=b1+b2+···+bn

分析与简解:在例2、例3可知, 此题的关键在于要构建一个形如 的递推关系

证明等差数列习题 篇8

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2014）04A-0080-02

随着新课程改革的不断深入，如何深化数学课堂教学改革，优化课堂结构，培养学生的思维创新能力，从而提高课堂教学质量，是当今数学课堂教学研究的一个重要内容。数学课堂的核心任务是让学生提出问题，培养他们养成勤提问的良好习惯，促进学生创新思维能力的发展。例题或习题的拓广无疑是培养学生提出问题的一个重要方式。教材中的例题、习题的拓广与证明是经过数学专家精心筛选出来的，具有经典性与代表性，理应引起我们一线教师的重视。现以新人教版八年级数学下册第122页的习题为例，探索本题的拓广与证明的方法。

问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F.

求证：AE=EF.（提示：取AB的中点G，连接EG）

说明：此题是人教版八年级数学下册第十九章《四边形》复习题中的拓广探究题（即第15题）。新人教版初中数学章节复习题分三个层次展开，循序渐进、由浅入深：复习巩固、综合运用、拓广探索。“复习巩固”环节是对本章基础知识与基本技能的重温与再现，旨在强化学生的“双基”；“综合运用”环节题是对知识在数学生活与实际生活中的应用，旨在培养学生应用所学知识解决实际问题的能力；而“拓广探索”环节不仅是对知识内涵的拓展，更是知识应用的外延，旨在培养学生的探究能力与创新能力。为了降低学生的解题难度，本题还进行了方法提示。

证明：取AB的中点G，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵点G、点E分别是AB、BC的中点

∴AG=BG=BE=CE

∴∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广一：如图2，若E是线段BC上的一个动点，其他条件不变，则AE=EF吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：成立，证明如下：

在AB上截取BG=BE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广一与原题相比，其最大的特点是由点E是线段BC的中点拓广为点E线段BC的上的一个动点，体现数学问题由“静”到“动”的变化，达到课堂活跃之功效，提升了学生学习数学的兴趣，培养了学生用动态的观点解决数学问题的能力。

拓广二：如图3，若E是线段BC延长线上的一个动点，其他条件不变，AE=EF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：AE=EF成立，证明如下：

在BA的延长线上截取AG=CE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵AG=CE

∴BG=BE，

∴∠AGE=∠CEG=45°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠B=∠AEF

∵∠GAE=∠B+∠AEB，∠CEF=∠AEF+∠AEB

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

本题在拓广一的基础上继续向外延伸，点E由在有限区间运动延伸到无限区间运动，让学生的发散思维能力达到了一个更广阔的空间，学生学习的积极性进一步高涨，变通能力得到了有效提高，解决问题的能力得到了加强。

拓广三：如图4，若E是线段CB延长线上的一个动点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CM的反向延长线于点F.

AE=EF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：AE=EF成立，证明如下：

在AB的延长线上截取BG=BE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠MCN=45°

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠AEG=90°+∠GEF=90°+45°-∠CEF=135°-∠CEF

又∵∠CFE=180°-∠ECF-∠CEF=180°-45°-∠CEF=135°-∠CEF

∴∠AEG=∠CFE

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广三似乎与拓广二背道而驰，却能收到意外的效果。当点E是线段BC的反向延长线上的一个动点时，学生的好奇心再次被激发，求知欲得到增强。在教师的引导下，学生通过猜想、探索、讨论、对比、验证，由“山重水复”到“柳暗花明”，最后享受到成功的喜悦。

从以上三个拓广题的证明过程来看，用到了分类讨论的思想，其解题思路与方法看似不同，其结果却是殊途同归——证明两个三角形全等。而辅助线的作法又是那么相似，例如拓广二中的点E在线段BC的延长线上，则其解题策略是在线段BA的延长线上截取AG=CE，而拓广三中当点E在BC的反向延长线上时，其解题策略是在BA的反向延长线上取截取BG=BE。通过这种解题方法的指引，让学生掌握类比探究的解题方法，达到了教是为了不教的教学效果。

总之，在初中数学的问题解决中，我们要引导学生对问题会变、善变，深入挖掘课本中例题、习题的潜在功能，以点带面，不仅能提高学生学习数学的积极性与主动性，提高学习兴趣，最大限度地诱发学生的解题欲望，而且问题的拓广有利于培养学生的发散思维能力与创新思维能力，取得举一反三、触类旁通的教学效果。

【关键词】初中数学 习题 拓广 证明

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2014）04A-0080-02

随着新课程改革的不断深入，如何深化数学课堂教学改革，优化课堂结构，培养学生的思维创新能力，从而提高课堂教学质量，是当今数学课堂教学研究的一个重要内容。数学课堂的核心任务是让学生提出问题，培养他们养成勤提问的良好习惯，促进学生创新思维能力的发展。例题或习题的拓广无疑是培养学生提出问题的一个重要方式。教材中的例题、习题的拓广与证明是经过数学专家精心筛选出来的，具有经典性与代表性，理应引起我们一线教师的重视。现以新人教版八年级数学下册第122页的习题为例，探索本题的拓广与证明的方法。

问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F.

求证：AE=EF.（提示：取AB的中点G，连接EG）

说明：此题是人教版八年级数学下册第十九章《四边形》复习题中的拓广探究题（即第15题）。新人教版初中数学章节复习题分三个层次展开，循序渐进、由浅入深：复习巩固、综合运用、拓广探索。“复习巩固”环节是对本章基础知识与基本技能的重温与再现，旨在强化学生的“双基”；“综合运用”环节题是对知识在数学生活与实际生活中的应用，旨在培养学生应用所学知识解决实际问题的能力；而“拓广探索”环节不仅是对知识内涵的拓展，更是知识应用的外延，旨在培养学生的探究能力与创新能力。为了降低学生的解题难度，本题还进行了方法提示。

证明：取AB的中点G，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵点G、点E分别是AB、BC的中点

∴AG=BG=BE=CE

∴∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广一：如图2，若E是线段BC上的一个动点，其他条件不变，则AE=EF吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：成立，证明如下：

在AB上截取BG=BE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广一与原题相比，其最大的特点是由点E是线段BC的中点拓广为点E线段BC的上的一个动点，体现数学问题由“静”到“动”的变化，达到课堂活跃之功效，提升了学生学习数学的兴趣，培养了学生用动态的观点解决数学问题的能力。

拓广二：如图3，若E是线段BC延长线上的一个动点，其他条件不变，AE=EF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：AE=EF成立，证明如下：

在BA的延长线上截取AG=CE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵AG=CE

∴BG=BE，

∴∠AGE=∠CEG=45°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠B=∠AEF

∵∠GAE=∠B+∠AEB，∠CEF=∠AEF+∠AEB

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

本题在拓广一的基础上继续向外延伸，点E由在有限区间运动延伸到无限区间运动，让学生的发散思维能力达到了一个更广阔的空间，学生学习的积极性进一步高涨，变通能力得到了有效提高，解决问题的能力得到了加强。

拓广三：如图4，若E是线段CB延长线上的一个动点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CM的反向延长线于点F.

AE=EF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：AE=EF成立，证明如下：

在AB的延长线上截取BG=BE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠MCN=45°

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠AEG=90°+∠GEF=90°+45°-∠CEF=135°-∠CEF

又∵∠CFE=180°-∠ECF-∠CEF=180°-45°-∠CEF=135°-∠CEF

∴∠AEG=∠CFE

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广三似乎与拓广二背道而驰，却能收到意外的效果。当点E是线段BC的反向延长线上的一个动点时，学生的好奇心再次被激发，求知欲得到增强。在教师的引导下，学生通过猜想、探索、讨论、对比、验证，由“山重水复”到“柳暗花明”，最后享受到成功的喜悦。

从以上三个拓广题的证明过程来看，用到了分类讨论的思想，其解题思路与方法看似不同，其结果却是殊途同归——证明两个三角形全等。而辅助线的作法又是那么相似，例如拓广二中的点E在线段BC的延长线上，则其解题策略是在线段BA的延长线上截取AG=CE，而拓广三中当点E在BC的反向延长线上时，其解题策略是在BA的反向延长线上取截取BG=BE。通过这种解题方法的指引，让学生掌握类比探究的解题方法，达到了教是为了不教的教学效果。

总之，在初中数学的问题解决中，我们要引导学生对问题会变、善变，深入挖掘课本中例题、习题的潜在功能，以点带面，不仅能提高学生学习数学的积极性与主动性，提高学习兴趣，最大限度地诱发学生的解题欲望，而且问题的拓广有利于培养学生的发散思维能力与创新思维能力，取得举一反三、触类旁通的教学效果。

【关键词】初中数学 习题 拓广 证明

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2014）04A-0080-02

随着新课程改革的不断深入，如何深化数学课堂教学改革，优化课堂结构，培养学生的思维创新能力，从而提高课堂教学质量，是当今数学课堂教学研究的一个重要内容。数学课堂的核心任务是让学生提出问题，培养他们养成勤提问的良好习惯，促进学生创新思维能力的发展。例题或习题的拓广无疑是培养学生提出问题的一个重要方式。教材中的例题、习题的拓广与证明是经过数学专家精心筛选出来的，具有经典性与代表性，理应引起我们一线教师的重视。现以新人教版八年级数学下册第122页的习题为例，探索本题的拓广与证明的方法。

问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F.

求证：AE=EF.（提示：取AB的中点G，连接EG）

说明：此题是人教版八年级数学下册第十九章《四边形》复习题中的拓广探究题（即第15题）。新人教版初中数学章节复习题分三个层次展开，循序渐进、由浅入深：复习巩固、综合运用、拓广探索。“复习巩固”环节是对本章基础知识与基本技能的重温与再现，旨在强化学生的“双基”；“综合运用”环节题是对知识在数学生活与实际生活中的应用，旨在培养学生应用所学知识解决实际问题的能力；而“拓广探索”环节不仅是对知识内涵的拓展，更是知识应用的外延，旨在培养学生的探究能力与创新能力。为了降低学生的解题难度，本题还进行了方法提示。

证明：取AB的中点G，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵点G、点E分别是AB、BC的中点

∴AG=BG=BE=CE

∴∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广一：如图2，若E是线段BC上的一个动点，其他条件不变，则AE=EF吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：成立，证明如下：

在AB上截取BG=BE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广一与原题相比，其最大的特点是由点E是线段BC的中点拓广为点E线段BC的上的一个动点，体现数学问题由“静”到“动”的变化，达到课堂活跃之功效，提升了学生学习数学的兴趣，培养了学生用动态的观点解决数学问题的能力。

拓广二：如图3，若E是线段BC延长线上的一个动点，其他条件不变，AE=EF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：AE=EF成立，证明如下：

在BA的延长线上截取AG=CE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵AG=CE

∴BG=BE，

∴∠AGE=∠CEG=45°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠B=∠AEF

∵∠GAE=∠B+∠AEB，∠CEF=∠AEF+∠AEB

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

本题在拓广一的基础上继续向外延伸，点E由在有限区间运动延伸到无限区间运动，让学生的发散思维能力达到了一个更广阔的空间，学生学习的积极性进一步高涨，变通能力得到了有效提高，解决问题的能力得到了加强。

拓广三：如图4，若E是线段CB延长线上的一个动点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CM的反向延长线于点F.

AE=EF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：AE=EF成立，证明如下：

在AB的延长线上截取BG=BE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠MCN=45°

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠AEG=90°+∠GEF=90°+45°-∠CEF=135°-∠CEF

又∵∠CFE=180°-∠ECF-∠CEF=180°-45°-∠CEF=135°-∠CEF

∴∠AEG=∠CFE

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广三似乎与拓广二背道而驰，却能收到意外的效果。当点E是线段BC的反向延长线上的一个动点时，学生的好奇心再次被激发，求知欲得到增强。在教师的引导下，学生通过猜想、探索、讨论、对比、验证，由“山重水复”到“柳暗花明”，最后享受到成功的喜悦。

从以上三个拓广题的证明过程来看，用到了分类讨论的思想，其解题思路与方法看似不同，其结果却是殊途同归——证明两个三角形全等。而辅助线的作法又是那么相似，例如拓广二中的点E在线段BC的延长线上，则其解题策略是在线段BA的延长线上截取AG=CE，而拓广三中当点E在BC的反向延长线上时，其解题策略是在BA的反向延长线上取截取BG=BE。通过这种解题方法的指引，让学生掌握类比探究的解题方法，达到了教是为了不教的教学效果。