大学大一高等数学资料

大学大一高等数学资料（精选7篇）

大学大一高等数学资料 篇1

1.求由曲线yex2,x1,y0及x0所围成的平面图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积.解V1y20xydx21x20xedx10ex2dx2ex210(e1).2.求由曲线yxex及直线x1和y0所围成的平面图形绕Ox轴旋转所得的旋转体的体积.11解Vx22xx112x0ydx0xedx2xe200edx12e212e224(e21).3.x计算lim0sint2dtx0xsinx．

解 原式limsinx2x01coslimx2xx0122.2x

4.x2)dudt设f(x)是连续函数,且f(2)2,求lim2tf(ux2(x2)2.2f(u)du解原式limxf(x)1x22(x2)limx222f(2)1.5.2计算50cosxsin2xdx.1 解原式2267220cosxsinxdx27cosx7.0.6.计算2sin5xcos3xdx0．

2解原式2cosx(sin5xsin7x)dx106sin6x18sin8x0124.7.4计算0tan3xdx．

解原式42140(secx1)tanxdx2tan2xlncosx012(1ln2).8.求由曲线yexe,y0,x0,x2所围图形的面积.解S10(eex)dx21(exe)dx(exex)1(exex)201e22e1.9.求由曲线yex,yex与直线x1所围图形的面积.解曲线yex与yex交于点(0,1).所求面积A 1(exex)dx(exex)1e100e2.10.求极限ysin2xxlim0yxy11.0

解2xysin2x(xy11)xlimysin0xlimxy.y0xy11y00

11.求极限limxyexx0y0416xy.xyex解limxyex(416xy)xy00416xyxlimy0xy8.0

12.证明lim2xyx0xy不存在.y0

证由于2xyxkx2kxlim0ykxxylim2x0xkx1k与k有关,所以原式极限不存在.13.试证明极限x2yxlim0x4y3不存在.y0

证由于limx2ylimkx3k1x0x4y3x0x4k3x3limx0xk3k2ykx0与k有关,故极限xlimx2y04不存在y0xy3.14.证明极限limx2不存在xy0x2y2.0

证令ykxx2x21由于limx02ykxxy2limx0x2k2x21k2与k有关,则原式极限不存在.x2求极限lim11xyxyax.解因为已知极限存在,故x2原式limlim11xyxyaxxxxlimxae1e.16.求极限limx2y2sinx2y2xy0.0(x2y2)3

解令tx2y2.则原式limtsint001costt0t3tlim03t200sint1tlim06t6.17.设函数zz(x,y)由zxxy0et2dt所确定,试求zzx,y.解原式zxxy0et2dt两边分别对x,y求偏导得zx1ye(xy)2,zxye(xy)21,z()2yxexy.18.设函数zx4y44x2y2,2求z2z2x2,zy2和xy.解zzx4x38xy2,y4y38x2y;22所以zx212x28y2;zy212y28x2;2zxy16xy.求函数zxyt20edt的偏导数.解z(xy)2x2y2xeyyex2y2,zyxe.20.设f(x,y)xyx3y3x2y2,(x,y)(0,0),求fx(0,0),fy(0,0).0,(x,y)(0,0)解flimf(0x,0)f(0,0)x0xlimxx(0,0)x0x1;fy(0,0)limf(0,0y)f(0,0)y0ylimyy0y1.21.x2y2)sin10试证:f(x,y)(x2y2,x2y2,在(0,0)处0,x2y20偏导数存在.证limf(x,0)f(0,0)x0xlimx0xsin1(x)20fx(0,0),同理fy(0,0)0.22.求f(x,y)2xy3x22y210的极值点,并求其值.解fx2y6x0f).y2x4y0,得(0,0Afxx(0,0)6,Bfxy(0,0)2,Cfyy(0,0)4.B2AC4240,故在(0,0)处取得极大值f(0,0)10.23.求函数f(x,y)(6xx2)(4yy2)的极值.解fx(62x)(4yy2),fy(6xx2)(42y),解fx0与fy0得驻点(0,0),(0,4),(3,2),(6,0),(6,4),fxx2(4yy2),fyy2(6xx2),fxy4(3x)(2y),fxx(3,2)8,fxy(3,2)0,fyy(3,2)18满足fxxfyyfxy1440且fxx80,故f(3,2)36为极大值.24.求函数zx2xyy22xy的极值点.解由zx2xy20zyx2y10,解得驻点(1,0).Azxx(1,0)2,Bzxy(1,0)1,czyy(1,0)2.ACB230,且A0,故函数在(1,0)处取极小值1,即(1,0)是所求的极小值点.25.计算二重积分xydxdy,其中D是由曲线yx2,直线y0,x2D所围成区域.解原式2x20xdx0ydy1220x5dx163.26.计算二重积分xydxdy,其中D为由yx,y2x,x4所围D成的区域.解原式4dx2xydy430xx02x2xdx3847.27.判别级数2(1)nn12n的敛散性.解un2(1)n32n2n而3u收敛.n12n收敛,故n1n

28.判别级数(n!)2n1(2n)!的敛散性.解limun1[(n1)!]2(2n)!1nunnlim(2n1)!(n!)241,故级数收敛.29 证明级数(1)nn132n1n收敛.证记un132n1n,则un1unun0(n)故原级数收敛.30.级数(1)nn2n2n是否收敛？是否绝对收敛？为什么？

解记un1n2n,则un1n2n1un(n1)2n12(n)于是原级数绝对收敛, 从而收敛.31 判别级数(1)n1sinnn1n3/2是否收敛.若收敛是绝对收敛还是条件收敛?解u1n(1)n1sinnn3/2,|un|n3/2vn.因vn收敛,故un绝对收敛.n1n1

32.求级数nxn1在(1,1)内的和函数.n1

大学大一高等数学资料 篇2

高等数学是高校文科管理类和理工科非数学专业开设的一门非常重要的基础课程, 它不仅是学生学习后续课的重要基础而且对培养学生理性思维、创造意识、审美意识、应用意识等基本素质起到重要的作用。经过一学年的教学工作以及对学生高数学习效果的观察, 发现其中还存在许多问题: (1) 课堂上虽然纪律很好, 但却出现学生上课注意力不集中, 许多学生对老师提出的问题不能积极思考, 布置练习题不能及时完成的现象。 (2) 辅导答疑时间仅有个别同学提出问题。 (3) 课后作业雷同现象严重, 作业的准确率很高。 (4) 考试成绩不理想, 通过率很低。

2调查内容

(1) 调查目的为了更深入了解学生学习高等数学的具体情况, 改进教学方法, 提高教学质量, 使学生尽可能轻松愉快的学习高等数学, 我们对我校大一学生进行了一次问卷调查。

(2) 调查对象。随机抽取了高新学院2007级经管类学生63名和理工类学生67名。

(3) 调查方法。问卷式调查。

(4) 调查结果。本次调查共发放问卷130份, 回收问卷122份, 回收率93.8%。

3调查分析

通过对回收问卷逐项统计, 可以看到当前我校学生高等数学学习的现状。

(1) 对学生数学基础和学习高等数学的兴趣调查。调查结果显示, 高考成绩在120~150分之间的仅有7%, 90~120分的有61%, 90分以下的有32%;40%的学生对数学的兴趣很大或者比较大, 60%的学生对数学的兴趣一般或者没有。这说明: (1) 学生数学基础比较差, 仅有少部分学生具有较强的计算能力、数学思维能力和综合分析问题的能力。基础的数学知识, 是知识和能力再生产的原料, 所以数学基础知识的缺乏会对后续学习更高层次的数学知识带来很大的障碍。 (2) 学生对数学兴趣不高。爱因斯坦曾经说过“兴趣是最好的老师”, 是推动激励学习最有效的动力。由此可见, 学生对数学兴趣不大是导致高等数学成绩普遍不高的一个重要因素。

(2) 对高等数学教材适应性的调查。调查结果显示, “你认为在现用教材的要求下, 高等数学的学习”有2%学生认为很简单, 29%学生认为比较简单, 60%学生认为比较难, 9%学生认为很难;“你觉得在高等数学学习中对基本概念的理解是”, 有5%学生认为很简单, 35%学生认为比较简单, 51%学生认为比较难, 9%学生认为很难;“你觉得在高等数学学习中对基本运算的掌握是”, 有5%学生认为很简单, 54%学生认为比较简单, 39%学生认为比较难, 2%学生认为很难。这三个问题的调查结果显示现在使用的教材对大多数学生来说比较难, 不适应现有学生的认知水平, 从而极大的挫伤了学生学习的积极性。

(3) 对学生数学学习态度的调查。调查结果显示, “课堂上, 你对老师的提问是”38%学生选择积极思考, 37%的学生选择与同学讨论, 25%的学生不思考;“你的作业完成情况”有36%学生独立完成, 48%学生帮助完成, 16%学生抄袭;“课后, 你对当天所学的数学知识能否及时复习?”仅有12%的学生每天复习1小时以上, 61%的学生偶尔复习时间不定, 27%的学生几乎不复习。这说明: (1) 有75%的学生在课堂上是积极的、是在思考问题的, 但仍有1/4的学生从不思考。通过个别访谈了解到这些学生不思考的原因主要是:一部分学生很聪明但思想散漫、懒惰、贪玩, 学习过程中不愿作为、不肯作为。还有一部分学生想学但基础太差, 对高中的许多数学知识都没学懂, 所以高数对于他们来说更是难上加难。 (2) 课后作业大部分学生都能按时完成, 但能真正通过自己独立思考完成的人很少, 有几乎2/3学生是靠与其他同学讨论或直接抄袭完成的, 名义上是讨论交流, 实质上几乎照搬别人完成的。 (3) 大部分学生不能够课后及时复习高数, 甚至于学生错误的把学好数学的希望完全寄托在老师身上。

(4) 对学生数学学习方法的调查。调查结果显示, “在数学学习中, 你遇到不会的问题你是如何处理的?”有7%的学生及时问老师, 65%的学生及时与同学交流, 18%的学生反复思考, 不轻言放弃, 直到弄懂为止, 10%的学生觉得自己不可能解答出, 放弃这道题;“课余时间, 你是否经常看高等数学方面的辅导书?”仅有3%的学生经常看, 51%的学生偶尔看, 46%的学生从来不看。这表明: (1) 不少学生缺乏自学能力, 独立思考能力和意志力。 (2) 学生缺乏有效的学习方法, 还没有学会学习。在高等数学的学习中沿用死记硬背的方法, 所学内容不能融会贯通, 对挫折承受力差, 有严重的自卑感。

(5) 对学生数学学习能力的调查。调查结果显示, “你是否觉得听懂了老师的讲课, 自己做却总是做不出来?”有41%的学生选择是, 47%的学生选择有时是, 12%的学生择不是;“你觉得在数学学习过程中自己欠缺哪方面的能力?”有35%的学生缺乏逻辑思维能力, 42%的学生欠缺分析能力, 42%的学生缺乏创新能力。这表明: (1) 大部分学生的理解力差, 仅是表面听懂了, 实质上对老师所讲的知识没有理解透彻, 不能够举一反三。 (2) 有相当一部分学生数学能力差, 这一点也充分体现在考试中。由于参加考试的学生都是非数学专业, 因此根据学科特点考试题中计算题、解答题稍多证明题较少。学生计算的准确率较低, 很少有学生步骤和答案完全正确的。证明题往往是拉开层次的题, 综合性较强, 所以得分率更是低。

(6) 对数学教师课堂教学的调查。通过学期末的学评教活动以及两道简述题的问卷, 调查结果显示, “你认为你的高数老师应注意什么, 才能满足大多数同学的要求?”“谈谈你理想中的数学课堂状况。”大部分学生对高数教师教学是认可的, 但也提出了一些诚恳的意见:课堂上要营造快乐的学习气氛, 多注意与学生的互动交流讨论, 师生打成一片, 使同学们的思想能够让老师知道;应注意讲题的方式教法新颖, 因材施教针对不同层次学生采取不同教法;应注意学生的数学基础及接受能力。

摘要：为了更深入了解独立学院学生学习高等数学的具体情况, 从而改进教学方法、提高教学质量, 使学生尽可能轻松愉快的学习高等数学, 对我院大一学生进行了问卷调查。通过问卷调查, 了解和掌握学生的学习动态, 分析了学生的学习状况, 有针对性地提出了高等数学教与学存在的问题和解决办法。

关键词：高等数学,学习现状,调查分析,教学

参考文献

[1]张大均.教育心理学[M].人民教育出版社, 2004, 4.

[2]罗增儒, 李文铭[M].陕西师范大学出版社, 2006, 12.

[3]朱惠健, 金健.关于高等数学学习状况的调查分析[J].常熟理工学院学报, 2005, 11 (19) :6.

大学大一高等数学资料 篇3

2013-2014学年第二学期经典名著阅读复习资料

一、填空题：

1.改正、克服贪婪的方法有 :“20问”法、__知足常乐法、格言自警法。

2.含蓄的表达爱情的方法有：____暗示法_____、以物传情法、_____表示关心法______、表达感受法。

3.送礼的4个准则：轻重得当准则、间隔适宜准则、___风俗禁忌法_____、注重意义准则______。

4.潜能开发的途径从成功学的角度而言主要有:_诱__、_逼__、__练_、__学_。

5.多一个__思路___,多一个出路；思路决定出路，__观念决定前途_____.6.代标准化的大生产管理是从：泰勒 开始的。

7.荣达于1997年推出的“红地毯”服务的形象定位为：_热情__、_温情__、深情、真情。

8.现代文明赋予快餐的定义是：工厂化、规模化、标准化、_依托现代化管理__、的连锁体系。

9.被誉为“世界经理人的经理人”的是： 韦尔奇。

10人的大脑有七个智力中心：语言智力、数学智力、音乐智力、_视觉智力__、运动智力、人际智力、内省智力。

二、选择题

1.从《思路决定出路》中我们可以学到，一个人最重要的是他的（A）。

A.内心B.地位C.财富D.目标

2.“自信是人生的第一资本”是（C）所言

A.牛顿B.爱迪生C.爱默生D.拿破仑

3.（C）是维系友谊的灵魂。

A.兴趣B.尊重C.信任D.性格

4.一位伟人说过 “要么你去驾驭生命，要么生命驾驭你，你的（D）决定，谁是坐骑，谁是骑师。

A.思路B.心态C.观点D.信念

5.推销自我的技巧一般有：要学会表现自己、将期望值降低一点、________B______、推销自己应自然地流露而不是做作地表现。

A.适当的表现你的才智B.向每个人介绍自己

C.向别人炫耀自己的优点D.无论何事都去展示自己

6.（A）是你最大的存折。

A.时间B.财富C.知识D人脉.7.人们解决世界的问题，靠的是大脑思维和（C）——爱因斯坦

A.智力B.观念C.想法D.智慧

8.世界上最伟大的推销员是（C）

A.乔.吉拉德B.维尔纳 C.丰田英二 D.菲利

9.英国实业家李奥.贝尔根据自己的经验，结合时代的特点，把微利时代赚钱的要点概括为6字准

则;(A)

A.预测 差异 观察B.预测观察细节

C.预测 差异 创新D.预测差异细节

10.哪个国家是全球因特网革命的领导者（C）

A.英国B.法国 C.美国D.日本

11.导致巴林银行走向尽头的是（B）

A.企业融资 B.投资管理 C.市场竞争 D.88888账户

12.上海地铁一号线是那个国家设计的（B）

A.美国B.德国C.英国D.日本

13.下面哪一条不是诺顿百货公司的服务内容（A)

A.套上进门鞋，进门服务

B.替要参加重要会议的顾客熨平衬衫

C.为试衣间忙着试穿衣服的顾客准备饮食

D.在天寒地冻的天气替顾客暖车

14.美国人爱德华.戴明博士的质量管理思想集中体现在哪些循环上（D）

A.计划、执行、检查、总结B.执行、检查、处理、总结

C.计划、执行、检查、处理D.计划、执行、处理、总结

15.香山宾馆的设计师是（D）

A.克利斯B.皮特C.贝聿铭D.德鲁克

三、简答题：

1.审计组公布的机场亏损的四大原因是什么？

2.如何防止自己的心灵成为孤岛？

3.“人际关系是一种无形而巨大的生产力”在与陌生人的交往中，怎么给对方造成“一见如故”的感觉？

四、论述题：

1.读完细节决定成败后你怎样看待“把一件简单的事做好就是不简单，把每一件平凡的事做好就是不平凡”？

【参考答案】

填空

1.知足常乐法、格言自警法

2.暗示法、表示关心法

3.风俗禁忌准则、注重意义准则

4.诱、逼、练、学

5.思路，观念决定前途

6.泰勒

7.热情、温情、深情、真情。

8.工厂化、规模化、标准化、依托现代化管理。

9.韦尔奇

10.语言智力、数学智力、音乐智力、视觉智力、运动智力、人际智力、内省智力。

选择

1~5 ACCDB6~10ACCAC11~15BBADD

简答

1.一、项目决策不科学，可行性研究中市场预测论证不充分，基础数据采集不科学。

第二、项目建设规模过度超前，大量举债加大运营成本

第三、项目建设管理混乱，未严格执行基建程序，资金损失和资产闲置浪费

第四、机构运营后体质不顺，管理不到位

2.(1)学会关心别人

(2)学会正确评价自己

(3)学会一些交际技能

(4)保持价格的完整性

(5)学会和别人交换意见

3.(1)了解对方，投其所好

(2)寻求共同点

(3)谈谈周围的环境

(4)以对方为话题

(5)提出问题

(6)表示信任

(7)以谦虚赢得好感

论述

1.尔集团总裁张瑞敏有句名言：“把每一件简单的事情做好，就是不简单；把每一件平凡的事情做好，就是不平凡。” 这句名言听过多次，印象并不那么深刻，直到读过细节决定成败这本书后对“把平凡的事情做好就是不平凡”才有更多感悟。

把平凡的事情做好就是不平凡，把简单的事情做好就是不简单，把容易的事情做好就是不容易，把常规的事情做好就是超常规。这样的话很多，实际上都是在说对待人生的态度。

著名作家贾平凹说过，生活是无情节的。的确，生活是平凡的，是由无数平凡的小事构成的，我们每天面对的大多只是平淡得甚至没有一丝色彩的平凡，然而正是这平凡造就了这个世界。生活中的很多事情，看起来都是小事，但有些时候却往往做不到。

大学大一高等数学资料 篇4

一、向量的相关概念 1.向量的定义：称既有大小又有方向的量为向量(或矢量).2.向量的数学表示法：用一条有方向的线段表示,记为 或.3.向量的模：称向量的大小为向量的模，记为.4.自由向量：称与起点无关的向量为自由向量.(如位移)5.单位向量：称模为1的向量为单位向量,记作.6.零向量：称模为0的向量为零向量，记作 7.两向量相等：若向量与同模同方向，则称的与相等，记作.(即两个向量平移后重合 8.两向量的夹角：，9.两向量平行：若非零向量与所成的角或，则称的与平行，记作.规定: 零向量与任何向量平行 10.两向量垂直：若非零向量与所成的角，则称的与垂直，记作 注: 零向量可认为与任何向量平行或垂直 11.向量共线：平行的向量可移动到同一条直线上，也称之为向量共线 12.向量共面：将个向量的起点放到同一点时，若个终点与公共起点在一个平面上，则称这个向量共面.二、向量的线性运算 1．向量的加减法(1).向量的加法 ①．运算法则：设有向量与，求与的和.I.三角形法则： II.平行四边形法则：.②.运算规律： 1°.交换律： 2°.结合律： 注:，再以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求向量的和，即.(2).向量的减法 ①．负向量：称与向量同模反向的向量为它的负向量，记作 ②.两向量的差：称向量与向量的负向量的和为与的差向量，记作.注：特别地，当时，.③．运算法则：设有向量与，求与的差.I.平行四边形法则：.II.三角形法则：.(3).运算定理：.2．向量与数的乘法(1).定义：称向量与实数的乘积为向量的数乘.注：1°.规定是一个向量 2°.3°.若，则与同向；若，则与反向；若，则.(2).运算规律： ①． 结合律：.②． 分配律：.(3).性质 ①．向量的同向单位向量：，.②．向量平行的充要条件(定理)：若向量，则向量平行于 唯一的实数，使 ③．数轴上的点的坐标为的充要条件为：，其中向量为数轴的单位向量，实数 称为有向线段的值.例1.如图，用、表示、、以及，进而.又，故，进而

三、空间直角坐标系 解：由于，故

1.空间直角坐标系：坐标系或坐标系 2.坐标面：面；面；面.3.卦限：；； ；； ；； ； 4.空间点的坐标：(向径).(1).向量的坐标分解式：.(2).向量的分向量：.(3).向量的坐标：.(4).点的坐标： 注：1°.面上点的坐标：； 2°.轴上点的坐标：； 面上点的坐标：； 轴上点的坐标：； 面上点的坐标：.z轴上点的坐标：

四、利用坐标作向量的线性运算：设，.1.向量线性运算的坐标表示：(1).加减法：.(2).数乘：(3).两向量平行： 注：1°.若，则 2.若，则 例2.已知，求线性方程组的解向量 解：方程①乘2减去方程②乘3得：，方程①乘3减去方程②乘5得： 例3.已知两点、在直线AB上求一点M，使.及实数，解：因为，因此有，整理得，代入坐标得，从而得到点M的坐标 注：线段AB中点坐标公式

五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间距离公式：(1).向量的模：，.(2).两点间距离公式：点与之间的距离： 推导：因为，所以 例4.求证以三点、、为顶点的三角形是一个等腰三角形.解：由两点间距离公式，有 ； ；，由于，故为等腰三角形.例5.在z轴上求与两点、等距离的点.解：由题可设所求点为，有，即，整理得，故所求点为.例6.已知两点、，求与同向的单位向量 解：因为，所以，于是 2.方向角与方向余弦(1).向量的方向角：称非零向量与三条坐标轴的夹角为向量的方向角(2).向量的方向余弦：方向角的余弦 , , 注：1°.； 2°..例7.已知两点、，计算向量的模、方向余弦和方向角.解：由于，从而有 于是，，由此可得 例8．设点A位于第I卦限，向径与x轴、y轴的夹角依次为的坐标、，且，求点A，解：由于，并且，有 由题可知，故，于是，故点A的坐 标为.3.向量在轴上的投影(1).向量在轴上的投影：设向量与u轴正向的夹角为，称数为向量在u轴上的投影，记作或 注：向量在三个坐标轴上的投影即为对应的坐标，即，(2).投影的性质： ①．.②． 例9.设立方体的一条对角线为OM，一条棱为OA，且|OA|= a，求在 解：记，有，于是.§8.2数量积、向量积

一、两向量的数量积 1．常力沿直线所作的功： 2.两向量的数量积(1).定义：称向量与的模及其夹角余弦的乘积为与的数量积，内积或点积，记作 注：1°.2°..3°..(2).运算规律 ①．交换律：.(由定义可知)②．分配律： ③．结合律：； 3.两向量数量积的坐标表示式：若，则 4.两非零向量夹角余弦的坐标公式： 例1.试用向量证明三角形的余弦定理：.解：在中，记，，，有，从而，即

例2.已知三点、和，求 解：由题可得，于是，故 例3.设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为(常向量)v.设为垂直于S的单位向量，计算单位时间内经过这区域流向所指一侧的液体的质量m(液体的密度为 解：单位时间内经过该区域的液体的体积为，所求质量为.二、两向量的向量积 1.力对支点的力矩： 模：； 方向：与及的方向成右手规则.2.两向量的向量积(1).定义：设有向量与，夹角为，称为与的向量积(叉积、外积)，其中，方向与和的方向符合右手规则，记作.注：1°.2°.3°.的几何意义：以与为邻边的平行四边形的面积.(2).运算规律 ①．反交换律：.②．分配律：.③．结合律：(3).两向量的向量积的坐标表示式：设，则.例4..证明：在三角形中，记，，由于，即，整理得.例5.设，计算 解：.例6.已知三角形ABC的顶点分别是、和，求三角形ABC的面积 解：由于，有，于是.例7.设刚体一角速度绕轴旋转，计算刚体上一点M的线速度.解：在轴l上引进一个角速度向量，使，其方向与旋转方向 符合右手法则，在l上任取一点O，作向径，它与的夹角为，则点M离开转轴的距离，由物理学中线速度和角速度的关系可知，且、、符合右手规则，于是.§8.3曲面及其方程

一、曲面方程的相关概念 1.曲面方程：若曲面S上任一点的坐标都满足方程，且不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(*)，则称方程(*)为曲面S的方程，而称曲面S为称方程(*)的图形.2.关于曲面的两个基本问题(1).已知一曲面作为空间点的几何轨迹，建立该曲面的方程.(2).已知关于点的坐标、、之间的一个方程，研究该方程所表示曲面的形状 例1.建立球心在点、半径为R的球面方程 解：设为所求球面上任一点，有，即，整理得 例2.设有点和，求线段AB的垂直平分面的方程.解：设为所求平面上任一点，由题意，有，即，整理得 例3.方程表示怎样的曲面？ 解：原方程变形为，表示以为球心，以5为半径的球面.二、旋转曲面 1.定义：称由一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所成的曲面为旋转曲面，称旋转曲线为旋转曲面的母线，定直线为旋转曲面的轴.2.旋转曲面的方程： 曲线C：绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：.(绕y轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：.)(巧记：绕谁谁不动，缺谁补上谁 推导：在曲线C上任取一点，有，且点到z轴的距离.当曲线C绕z轴旋转时，点绕z轴旋转到点，其中，点到z轴的距离，由于，有，即，代入曲线方程有 注：1°.曲线C：绕x轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：； 绕y轴旋转一周所成的旋转曲面方程为： 2°.曲线C：绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：； 绕x轴旋转一周所成的旋转曲面方程为： 3.常见旋转曲面及其方程(1).圆锥面及其方程 ①．圆锥面：称由直线L绕与其相交的直线旋转一周所成的曲面为圆锥面，称两直线的交点为圆锥面的顶点，称两直线的夹角为圆锥面的半顶角 ②．圆锥面的方程：以坐标原点o为顶点，以为半顶角，以z轴为旋转轴的圆锥面的方程为：，其中 推导：在坐标面上，过原点且与z轴夹角为的直线方程为，于是，直线L绕z轴旋转而成的圆锥面的方程为，整理得 注：1°.以坐标原点O为顶点，以为半顶角，以x，其中 2°.以坐标原点O为顶点，以为半顶角，以y，其中(2).旋转双曲面及其方程 ①．旋转双曲面：称由双曲线绕其对称轴旋转一周所成的曲面为旋转双曲面，分为单叶和双 叶双曲面 ②．旋转双曲面的方程：(双曲线：.旋转单叶双曲面的方程：(绕z轴旋转.旋转双叶双曲面的方程：(绕x轴旋转)

三、柱面 1.柱面的定义： 称由直线L沿定曲线C平行于定直线l移动所成的轨迹为柱面，称定曲线C为柱面的准线，动直线L为柱面的母线.2.几种常见柱面及其方程(缺谁母线平行谁(1).圆柱面：.(准线为坐标面上的圆：，母线平行z轴.(准线为坐标面上的圆：，母线平行x轴.(准线为坐标面上的圆：，母线平行y轴(2).过坐标轴的平面：，过z轴，准线为坐标面上的直线，过x轴，准线为坐标面上的直线.，过y轴，准线为坐标面上的直线 四、二次曲面 1.椭球面：.2.椭圆锥面： 3.单叶双曲面：.4.双叶双曲面： 5.椭圆抛物面：.6.双曲抛物面： 7.椭圆柱面：.8.双曲柱面： 9.抛物柱面： §8.4空间曲线及其方程

一、空间曲线：称空间两曲面的交线为空间曲线，记为C.二、空间曲线的方程 1.一般式(面交式)方程： 例如：表示圆柱面与平面的交线.表示上半球面又如：与圆柱面的交 线 2.参数方程：，其中点随着参数t的变化遍历曲线C 例1.称由点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转，又同时以线速度v沿平行z轴的正向上升所成的图形为螺旋线，求其参数方程 解：取时间t为参数，对应点，对应点，作M在xoy面上的投影，有，且，于是，又，于是，螺旋线的参数方程为，令，则螺旋线的参数方程为

三、空间曲线在坐标面上的投影 1．投影柱面：称以空间曲线C为准线，母线平行于z轴的柱面为曲线C关于坐标面的投影柱面 2.空间曲线的投影：称空间曲线C关于坐标面的投影柱面与坐标面的交线为空间曲线C在坐标面上的投影曲线，也称为投影 3.空间曲线的投影方程：空间曲线C：在坐标面上的投影方程，其中为方程组消去z所得的投影柱面方程.注：1.空间曲线曲线C：在坐标面上的投影方程为 2°.空间曲线曲线C：在坐标面上的投影方程为 例2.求曲线在坐标面上的投影方程.解：现求曲线C在关于坐标面上的投影方程，将方程组消去z得 投影柱面方程：，于是所求投影方程为 例3.求由上半球面和锥面 所围成的立体在坐标面上的投影 解：先求曲线关于坐标面的投影方程，消去z 在坐标面上的投影方程为，从而所求投，故曲线 影为圆域： §8.5平间及其方程

一、平面的点法式方程 1.平面的法向量：称垂直于一平面的非零向量为该平面的法线向量 2.平面的点法式方程：过点，以向量为一法向量的平面 推导：在平面上任取一点，有向量，由于，有，即有(1)，即平面上的点的坐标都满足方程(1).反之，若点不在平面上，则向量不垂直法向量，从而，即不在平面上的点的坐标都不满足方程(1).于是得到平面的点法式方程.例1.求过点且以为法向量的平面的方程 解：由平面的点法式方程得，整理得.例2.求过三点、和的平面的方程 解：先求所求平面的一个法向量，由题可得向量，可取，于是所求平面的方程为，整理得.二、平面的一般方程 1.平面的一般方程：(*)推导：若点满足方程(*)，则有，(**)两方程相减得，(*** 方程(***)为过点，以向量为一法向量的平面的点法式方程.由于方程(*)与(***)同解，可知任何一个三元一次方程(*)为平面的一般方程，其一法线向量为 2.几种特殊平面的一般方程：(缺谁平行谁(1).过原点的平面方程：，法向量为.(2).平行x轴的平面方程：，法向量为(3).垂直于x轴(平行坐标面)的平面方程：，法向量为.例3．求通过x轴和点的平面的方程 解：由题意，可设所求平面的方程为：，(*)又点在该平面上，有，得，代入方程(*)得.例4.设一平面与x、y、z轴的交点依次为、，求该平面的方程 解：设所求平面的方程为，(*)将PQR三点坐标代入得，，代入方程(*)，从而有所求平面方程为，称之为平面的截距式方程

三、两平面的夹角及点到平面的距离 得 1.两平面的夹角：称两平面的法线向量的夹角(锐角)为两平面的夹角 2.两平面夹角的余弦：设平面1的法线向量为，平面，两平面的夹角

为，则注：1°..2°.3.点到平面的距离：平面外一点到平面的距离为 推导：在平面上任取一点，过点作平面的一法向量，有，由于，，由于 于是，又点在平面 上，故有，从而 例5.求两平面和的夹角.解：由两平面夹角余弦公式，故所求夹角为 例6.一平面通过两点和且垂直于平面，求它的方程.解：设所求平面的一个法线向量为，由题可知向量在平面上，已知平面的一个法线向量为，由题意有，有；，有； 由以上两方程可得，故所求平面的法线向量为，于是所求平面的方程为，整理得 另解：由题可知所求平面上一向量，又已知平面的一个法线向量为，易知不平行于，故可取所求平面的一个法线向量为，于是所求平面方程为：，整理得 第六节 空间直线及其方程

一、空间直线：称空间两平面

1、的交线为空间直线.二、空间直线的方程 1.一般(面交式)方程： 2.对称式(点向式)方程(1).直线的方向向量：称平行于已知直线的非零向量为该直线的方向向量(2).直线的点向式方程：过点以向量为方向向量的直线L.推导：在直线L上任取一点，有向量，由于，故有，(*)即直线L上点的坐标都满足方程(*)反之，若点不在直线L上，则由于不平行，所以这两向量的对应坐标就不成比例，因此方程(*)就是直线L的方程，称为直线的对称式或点向式方程.注：1°.mnp不同时为零 2°.若，则直线L的方程为，即平面上的直线 3°.若，则直线L的方程为，即平面与 交线，过点且平行z轴 3.参数方程： 注：一般式对称式参数式 例1.用对称式方程以及参数方程表示直线

解：先找出该直线上一点：不妨取，代入原方程组得，解得，即为该直线上一点 再找该直线的方向向量：由题可知交成该直线的两平面的法线向量分别为，故可取.，得到所给直线的参数方程：令.三、两直线的夹角 1.两直线的夹角：称两直线的方向向量的夹角(锐角)为两直线的夹角 2.两直线夹角的余弦：直线的方向向量为，直线的方向向量 ,两直线的夹角为，则注：1°.2°.例2.求直线.和的夹角.解：由题可知直线的方向向量为，直线的方向向量为，设 的夹角为，则由两直线夹角余弦公式得故

大一微观经济学复习资料 篇5

微观经济是研究稀缺资源的一门科学，稀缺是相对于人的无穷欲望而言。影响商品供给数量的因素：1商品的自身价格2生产的成本3生产的技术水品4相关商品的价格5生产者对未来的预期需求量的变动（点的变动）是指在其他条件不变时，由某商品的价格变动所引起的该商品的需求数量的变动。需求的变动（线的变动）是指在某商品价格水平不变的条件下，由于其他因素变动所引起的该商品的需求数量的变动。需求的价格弹性表示在一定时期内一种商品的需求量变动对于该商品的价格变动的反应程度。需求的弹性系数=—需求量变动率/价格变动率需求的价格弹性和厂商的销售收入：1对于Ed>1的富有弹性的商品，降低价格会增加厂商的销售收入；提高价格会减少厂商的销售收入，即厂商的销售收入与商品的价格成反方向变动。（例：薄利多销）2对于Ed<1的缺乏弹性的商品，降低价格会使厂商的销售收入减少；提高价格会使厂商的销售收入增加，即销售收入与商品的价格成同方向变动。（例：谷贱伤农）3对于Ed=1的单位弹性商品，降低价格会或提高价格对厂商的销售收入都没有影响。

需求的交叉价格弹性表示在一定时期内一种商品的需求量的变动对于它的相关商品的价格的变动的反应程度。(Ec>0替代关系，Ec<0互补关系，Ec=0无关)需求的收入弹性表示在一定时期内消费者对某种商品的需求量的变动对于消费者收入量的反应程度。（Em>0正常品，Em<0劣等品）最高限价也称限制价格，是政府所规定的某种产品的最高价格，最高价格总是低于市场的均衡价格。最高限价下的供不应求会导致消费者排队抢购和黑市交易盛行。边际效用是指消费者在一定时间内增加一单位商品的消费所得到的效用量的增加。消费者效用最大化的均衡条件为MU1/P1=MU2/P2差异曲线的基本特征：1同一坐标平面上的任何两条无差异曲线之间可以有无数条无差异曲线。2任何两条无差异曲线都不相交。3无差异曲线凸向原点（因为边际替代率递减规律）商品的边际替代率是在维持效用水平不变的前提下，消费者增加一单位某种商品的消费数量时所需要放弃的另一种商品的消费数量。商品的边际替代率是无差异曲线在该点的斜率的绝对值。完全替代品指两种商品之间的替代比例是固定不变的情况。预算线的变动：P1，P2同比例同方向变化是预算线会平移，下降时向右上方变动。短期指生产者来不及调整全部生产要素的数量，至少有一种生产要素的数量是固定不变的生产周期。关于既定成本条件下的产量最大化：为了实现既定成本条件下的最大产量，厂商必须选择最优的生产要素组合，使得两要素的边际替代率等于两要素的价格比例。厂商可以通过对两要素投入量的不断调整，使得最后一单位的成本支出无论用来购买哪一种生产要素所获得的边际产量都相等。关于既定产量条件下的成本最小化：厂商应通过对两要素投入量的不断调整，使得花费在每一种要素上的最后一单位的成本支出所带来的边际产量相等。规模报酬变化是指在其他条件不变情况下，企业内部各种生产要素按相同比例变化时所带来的产量变化。机会成本是指生产者所放弃的使用相当的生产要素在其他生产用途中所能得到的最高收入。隐成本是指厂商本身所拥有的且被用于该企业生产过程的那些生产要素的总价格。经济利润（超额利润）指企业的总收益和总成本之间的差额。长期平均成本曲线是无数条短期平均成本曲线的包络线。Why是U形：在企业生产扩张的开始阶段，厂商由于扩大上产规模而使经济效益得到提高，即规模经济。当生产扩张到一定的规模以后，厂商继续扩大生产规模，就会使经济效益下降，即规模不经济。边际收益MR等于边际成本MC是厂商实现利润最大化的均衡条件。AVC

大学高等数学考试系统的设计 篇6

1 系统分析

高等数学考试系统需要满足学生、教师和后台管理员这三方面的需求。学生在规定的时间范围内选择试卷类型输入本人的学号和密码登录考试系统参加高等数学考试;考试时考生能够输入含有数学公式的答题内容进行考试。高校的理科和工科专业都开设高等数学这门课程;一所高校内不同专业的学生一般使用同一版本的教材，但对教学内容和教学时间的要求是不同的，因此大学开设高等数学时根据专业的要求把高等数学分为高等数学一、高等数学二、高等数学三、高等数学四。另外高校的学生有统招本科生、专升本、专科生、函授生和自考生等;对于不同层次的学生，考试的难度应该是不一样的。因此教师可以根据不同专业要求选择相应的章节作为考试范围，根据考生所属层次和考生以前的数学成绩设定合适的试卷难度和试题的区分度。考试系统根据教师设定的参数生成试卷。系统按照试卷的编排要求将所有试题进行自动排版，并同步生成该份试卷的参考答案。考试结束后系统对客观题自动评阅，主观题交给教师评阅。后台管理员可以新建、浏览、修改或删除考试试题。后台管理员可以添加、修改以及删除教师、学生的用户信息;可以添加、修改以及删除学生的成绩及打印考试成绩单等。

2 系统设计

2.1 系统的体系架构

本系统采用B/S架构设计[1]，它的工作原理如图1所示：

2.2 系统功能设计

考试系统分为3个模块，即在线考试系统、在线帐户管理系统和在线阅卷系统。功能模块之间关系如图2所示：

整个系统的逻辑结构如图3所示：

2.3 数据库设计

2.3.1 试题数据库设计

为确保成卷质量，试题表设计时应注意以下几点[2]：

(1)充分考虑高等数学学科知识结构：知识点之间具有严密的逻辑性，一个知识点往往代表某一章节的内容。

(2)试题数量要求足够多，各指标属性间内均衡分布。

(3)试题内容科学，无学术性错误，无歧义性，表述简单明确，试题参考标注要尽可能符合客观实际。

根据高等数学一般的考试题型进行试题库设计，主要数据库表有：单项选择题表、填空题表、计算题表、证明题表和综合题表，其中每个表中有：(1)试题ID，唯一标识试题;(2)试题正文;(3)试题出自章节;(4)知识点;(5)难度系数;(6)区分度，指对学生能力水平的鉴别力;(7)参考答案;(8)分值;(9)累计次数，为了尽快用实际难度系数更新出题时设定的难度系数，学生做对一道同档次的题记做对一次，做对一道高几档次的题记做对了几次，相反做错了几档次的题，就算做错了几次;(10)选中总分，指该题满分累计值;(11)考生做对总分，指该题做对得分的累计值;(12)试题详细得分(累计次数60次内考试的每次得分)。(13)试题被选标记;(14)最后一次修改时间;(15)试题备注说明;对于单选题，设其有4个选项，因此增加4个字段:答案A、答案B、答案C、答案D。

2.3.2 用户信息表设计

学生信息表包括的字段有：用户ID、学号、姓名、学院(系)、能力水平值、所属层次类别(统招本科生1、专升本2、专科生3、函授生4和自考生5)、当前状态(这个状态可以查看所选用户是否处于考试状态，包括正在考试和断线两种情况)。

教师信息表：教师ID、用户名、密码、权限等。

管理员信息表：管理员ID、用户名、密码、权限等

其它的表还有暂时试题信息表、成绩登记表和试卷名称表等。

2.4 组卷预处理

系统采用Logistic模型[4](见图4)确定每次考试的整体难度系数d。

Logistic模型为:

即

其中为同层次考生的平均能力水平值;P()为考试的预期平均得分率;α为区分度，即曲线拐点处的斜率。斜率越大就越陡峭，考生的能力水平θ稍有不同，答对题目的概率就有很大变化，即题目的区分能力也就越强。c为猜测参数，即考卷中客观题猜对概率得分所占比例。

Logistic模型的优点：

(1)Logistic模型在理论和实践上都得到了充分的验证，较为成熟可靠;

(2)该模型计算比较简便;

(3)选择三参数可以提供更多的题目信息。

如果考生是刚进大学的新生第一次考试高等数学，可以根据权威的高考数学成绩计算每一个考生的能力水平值θi和同层次考生的平均能力水平值θ軈。计算的公式如下：

其中θi为第i个考生的能力水平值;College EntranceExamSecorei为第i个考生的高考数学入学分数;Full Secore为高考数学满分分数。

2.5 系统组卷的数学模型

组卷时，对试卷的质量提出多方面的要求[5]，如总题量、平均难度、区分度、题型比例、章节比例、重点章节比例。因此在组卷前，对建立的控制试卷的指标赋值(如式(1)所示)。

D的每一行由某一试题的控制指标组成，如题号、题型、章节、难度、区分度等。每一列是题库中的某一指标的全部取值。

2.6 阅卷

考试结束后由系统自动完成客观题的评分，高等数学的填空题一般都是计算题，计算的结果是客观的，而对于非计算题的填空题在出题时设计答案也是确定的，因此填空题可以由系统自动阅卷，这样就减少了教师的阅卷工作量。主观题由教师在线评分，为了主观题评分的公平性，每道主观题由三位教师单独评分，然后取这三位教师评出的平均分作为考生在该主观题上的得分，最后由系统汇总得到考生的最终成绩。

2.7 阅卷后的数据处理

2.7.1 考生实际能力水平值的计算

经过一段时间的学习，学生的能力水平也在不断变化，而考试成绩能较好的反映学生的这种能力水平的变化。系统采用Logistic模型来确定考生每次考试后的能力水平θi。

其中d是这次考试的整体难度系数;Pi()是第i个学生的考试分数。

2.7.2 试题被选次数的计算

试题入库时根据经验设定了每一道题的难度系数和区分度。为了使试题的实际难度系数和区分度尽快更新根据经验设定的值，本系统采用试题被选次数Number累计达到60次就更新难度系数和区分度。次数Number计算原理如下：抽出了难度系数小(大)的题(难度系数越小的题越难)，能力水平低(高)的考生却做对(错)了，说明这道题在录入题库时设定的难度系数偏小(大)，为了尽快更新难度系数和区分度;因此在此时抽取题一次，但根据考生的能力水平、考试分数和难度系数的情况，Number的值增加1、2、3或4等，同时这一次的成绩记录的次数为Number增加的次数。

例如难度系数为dj的第k道主观题qk被能力水平值为θi的考生抽到;如果0≤θi-dj<0.20，即设定的难度系数比该考生的能力水平值小;

如果0.2≤θi-dj<0.40

对于其它情况可以类似处理。

2.7.3 试题实际难度系数的计算

试题的实际难度系数[6]是指参加考试中所有抽中该试题的考生的平均得分率，即平均得分除以该题满分值。对于得分介于0分和满分之间的主观试题来说，可以由该试题的所有考生的得分明细计算获得，即对于试题库中编号为i的主观试题qi，其实际难度系数计算公式为:

对于只有得零分或满分两种情况的客观试题来说，可以由该试题的答对次数除以抽中次数计算获得，即对于试题库中编号为i的客观试题qi，其实际难度系数计算公式为:

实际难度系数计算结果qRealDiffi四舍五入后保留2位小数。

2.7.4 试题实际区分度的计算

试题的区分度是指测试试题对被测试者实际水平的一种区分能力，也可以理解为对学习成绩好的和对学习差的考生的一种区别和鉴别能力。区分度高的试题能将不同水平的被试者区别开来;区分度低的试题则不能很好地鉴别被试者的水平。本文中，把所有考生该题得分率的平方差作为该题的实际区分度来讨论。

对于得分介于0分和满分之间的主观试题来说，可以由该试题的所有考生的得分明细计算获得，即对于试题库中编号为i的主观试题qi，其实际区分度计算公式为：

对于只有得零分或满分两种情况的客观试题来说,可以由该试题的抽中次数和答对次数计算获得,根据前面定义可得试题编号为i的客观试题qi的实际区分度计算公式为:

3 系统的主要相关技术及实现

3.1 开发工具及数据库访问方式的选择

系统采用基于Web技术的B/S三层体系结构，服务器采用Windows 2000 Server作为网络操作系统，采用IIS服务器。数据库管理系统采用MS SQL Server2000。在系统开发中，采用ASP技术实现。在系统初始化时，动态创建ODBC数据源，在系统运行过程中使用ADO(Ac2tiveX Data Object)的连接对象(Connection对象)和记录集对象(Recoreset对象)对数据库进行访问。

3.2 数学公式的输入和显示

为了解决复杂数学公式的输入、显示和存储，采用ASCIIMathML公式编辑器实现ASCII表示的数学公式转换为用MathML表示的数学公式;采用Mathplayer插件可以完美的显示数学公式。

4 结束语

本文给出了高等数学自动成卷系统的设计开发过程。通过测试与应用,系统具有自动生成满足用户要求的试卷、题库管理、自动阅客观题、教师阅主观题、多功能查询、成绩分析和统计等功能,提高了考试的质量,减轻了教师出/阅卷的工作量,实现了网络无纸化考试。

本文创新点有:第一,根据学生的能力水平情况，自动组成符合要求的试卷;第二,实现了无纸化考试，能保留每个考生的试卷和答题内容，还能还原考生的试卷;第三,选择题和填空题采用自动阅卷,而其它主观题型均采用三位教师阅卷取平均分的做法，这样可以提高主观题阅卷的公证性。第四，系统可以尽快自动更新试题的难度系数和区分度。第五，系统采用Logistic模型来计算考生的能力和出题时的试题难度系数。

摘要：在高校对不同层次不同专业的学生组出合适的高等数学试卷,学生的能力水平、试卷的难度系数和区分度是衡量试题质量的重要参数。如何快速准确地获得学生的能力水平、试题的难度系数和区分度则是随机组卷考试系统中的一个难点。文章提出了一种基于Logistic模型和矩阵理论的解决方案,该方案借助计算机强大的处理能力计算优化学生的实际能力水平以及试题的实际难度系数和区分度,从而提高题库命题的合理化水平。

关键词：Logistic模型,矩阵理论,难度系数,区分度,能力水平值

参考文献

[1]李世杰.Active Server Pages(ASP)3.0网页设计手册[M].北京:清华大学出版社.1999.

[2]刘娅,周军.高等数学自动成卷系统的设计与实现[J].计算机与现代化,2008(2):108-110.

[3]肖洋,王骁,刘凤新,等.在线考试组卷算法研究[J].北京化工大学学报,2006,33(3):44-47.

[4]刘丽平,王文杰,郭世宁,等.计算机自适应考试(CAT)系统题库的设计与实现[J].计算机系统应用,2006(3):10-12.

[5]毛秉毅.智能组卷系统的研究[J].计算机工程,2007,28(6):278-279.

大学高等数学 下考点分类 篇7

一、偏导数的几何应用

1.[12]求曲面在点处的切平面和法线方程

解:

令，则

从而切点的法向量为

从而切平面为

法线方程为

2.[08]设是曲线在点处的切向量，求函数在该点沿的方向导数

解：方程组两端对求导，得

把代入得，解得，于是在点处的切向量为，单位切向量为

所求方向导数为

3.[08]给定曲面为常数，其中有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点。

证：令，则

从而曲面在点处的切平面为，其中为动点。

显然时成立，故切平面均过。

二、多元函数的极限、连续、可微

1.[12]证明函数在点不连续，但存在有一阶偏导数。

证明：因为

与有关，故二重极限不存在，因而由连续定义函数在点不连续。

又，或，或

于是函数在点存在有一阶偏导数。

2.[11]设函数。试证在点处是可微的解

用定义求出

3.[10]证明：在点(0,0)处连续，与存在，但在(0,0)处不可微。

解：（1）

4.[09]

5.[08]

函数在点处可微是它在该点偏导数与连续的必要

条件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的充分

条件（填必要、充分或充要）

三、复合函数求导

1.[12]设，则

0

2.[12]设,则

3.[12]设,求

解

令，则，于是用公式得

4.[11]设,则

5.[11]设可微，且，则

6.[11]设，其中可微，证明

证明

由于

7.，将变换为下的表达式。

解：

8.[09]

9.[09]

设，其中函数具有二阶连续偏导数，求。

解：

10.[09]

求由方程组所确定的及的导数及。

解：

11.[08]

设有连续偏导数，则

12.[08]

设，求

解：两边取微分，得

从而，四、多元函数的极值

1.[12]在曲面上找一点，使它到点的距离最短，并求最短距离。

解

设点为，则

等价于求在约束之下的最小值。令

且由

解得驻点，最短距离为

2.[11]若函数在点处取得极值，则常数

3.[11]设长方形的长、宽、高分别为，且满足，求体积最小的长方体。

解

令，2

由，求出唯一驻点6

由问题的实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为37

4.5.[09]

求函数在圆域的最大值和最小值。

解：方法一：当时，找驻点，得唯一驻点

当时，是条件极值，考虑函数，解方程组

可得

所求最大值为，最小值为。

方法二：设，则且，这变成一个简单的线性规划问题。最大值为4，最小值为。

方法三：圆域可写成最大值为4，最小值为。

[08]

设，则它有极小值

五、梯度、方向导数

1.[12]函数在点处沿指向点方向的方向导数

2.3.[09]

求二元函数在点处沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向值不变？

4.六、二重积分

1.[12]

设是所围成的区域,则

2.[12]计算二重积分，其中

3.[12]设函数在内有连续的导数，且满足。求

解

用极坐标

两边求导得，标准化为

于是

由得，故

4.[11]计算二重积分，其中D是顶点为的三角形闭区域。

解:

5.[09]

交换二次积分的积分次序：。

6.[09]

求锥面被柱面割下部分曲面面积。

解：

7.[09]（化工类做）

计算二重积分，其中为圆域。

8.[08]

交换二次积分的积分次序

9.[08]

求球面含在圆柱面内部的那部分面积

解：上半球面的部分为七、三重积分

1.[12]设为两球的公共部分，计算三重积分

解

由

当时用垂直于轴的平面截区域得到截面为圆域，当时用垂直于轴的平面截区域得到截面为圆域，于是分段先二后一积分，得

2.[10]计算三重积分，其中是由所围成的闭球体．

解：

4’

4’

3.[09]

计算。

解：此三重积分积分区域在面上的投影为，即圆域的上半部分，设此部分为，则

原式

4.[08]

计算三重积分，其中.是由单位球面围成的闭区域.解：由对称性

从而

八、曲线积分

1.[12]设是抛物线介于点与点之间的那一段弧段，则曲线积分

2.计算曲线积分，其中为摆线从点到点的弧。

解

由于

补两条直线是逆向的闭曲线，故

原式

或由曲线积分与路径无关，直接得

原式得

或取，由曲线积分与路径无关，直接得，原式

或者由是全微分表达式，凑微分，因

及

得

原式

3.[11]假设L为圆的右半部分，则

4.[11]计算,其中是椭圆的正向一周解:

由格林公式

5.[11]计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点，为终点的光滑曲线

解

所求解问题与路径无关，选折线

6.7.8.[10]计算

9..[10]计算

10.[09]

11.[09]

计算曲线积分，其中表示包含点在内的简单闭曲线，沿逆时针方向。

解：在的内部作圆并取逆时针方向，的参数方程为

由格林公式有

12.[08]

计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点为终点的光滑曲线。

解：由于，从而只要路径不经过直线，该曲线积分就与路径无关

取路径，九、曲面积分

1.[12]

计算曲面积分，式中是上半球面的上侧

解

补一个平面，取下侧，则原式

另法（看看:

归一化，多次换元够烦的）

即，上半球面指向上侧法线为，从而,原式=

2.[12]

求曲面包含在圆柱面内那部分（记为）的面积。

解

记为在部分的面积，或者

3.计算,其中是平面被圆柱面截出的有限部分

解

由题意或

从而

4.计算曲面积分,其中为柱面介于与之间的在第一卦限部分的前侧.解

补平面区域取上侧，取下侧，取左侧，取后侧。与原来曲面形成封闭曲面的外侧,围成由高斯公式

故

原式

5.[10]

计算

6.[10]

计算曲面积分其中为上半球面的上侧。

7.[09]

向量场的散度为。

8.[09]

计算曲面积分，其中是半球面的上则。

解：设为，并取下则，是围成的区域，由高斯公式得原式

9.[08]

向量场的散度为.向量场的旋度为.10.[08]

设曲面为柱面介于平面与部分的外侧，则曲面积分

0，11.[08]计算曲面积分，其中是圆锥面位于平面之间下方部分的下侧

解：取上侧，则原式

十、微分方程

1.[12]求定解问题的解

解

标准化，由标准方程的解的公式，得

由初值条件，有，于是特解为

2.[12]求微分方程的通解

解

对应的齐次方程为，解得特征根

非齐次项，与标准形式比较，从而得是单根，从而，可设特解为，从而，代入原来的微分方程，得

即

于是根据解的结构定理得，所求通解为

3.[11]求微分方程的通解

解

方程即

4.[11]求微分方程的通解

解

对应的齐次方程的特征方程为

对照非齐次项的标准形式不是特征根，故

特解的待定形式为，代入非齐次方程，得

从而原方程的通解为

5.求解微分方程初值问题

解

是一个特解2

故通解为4

由，又

从而特解为6

6.[10]设都是方程的解，则该方程的通解为

7.[10]求微分方程的通解。

8.[10]求微分方程的通解。

9.[10]求微分方程

10.[10]

求微分方程的通解。

11.[09]

求如下初值问题的解

解：此为可降阶微分方程第三种类型。

设，则，原方程化为

变量分离两边积分得

由可得

解可得，由可得

所求解为：。

12.[09]

求方程的通解。

解：先求的通解，解特征方程得特征根，所以的通解为

因为是单特征根，所以原方程有特解形式，代入原方程得

原方程通解为

13.[08]

求微分方程的通解

解：，14.[08]

计算满足下述方程的可导函数，解：原方程两端求导得

即，这是标准的一阶线性微分方程

原方程令得，代入通解得，从而

15.[08]求解初值问题

解：方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为，从而对应通解为

容易看出的一个特解为，因此原方程的通解为

从而，由初值条件可得。

因此

十一、级数

1.[12]判别无穷级数的收敛性。

解

由于，故

而是收敛的的级数的常数倍，从而收敛。由正项级数的比较判别法可知无穷级数收敛。

2.[12]求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。

解

比较标准幂级数，得，从而收敛半径为，收敛区间为

当时幂级数化为正项级数，由于，从而与调和级数一样发散；当时幂级数化为交错级数，不绝对收敛，但，前一部分条件收敛，而后一部分减去的级数为正项级数，由于而收敛，从而由收敛级数的性质，当时幂级数收敛。

3.[12]将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间。

解

利用，从而

4.[11]求幂级数的收敛域.解

当时，由于，级数发散，3

当时，由于，由交错级数的莱布尼茨判别法知该级数收敛，5

故幂级数收敛域为6

5.[11]将函数展开成麦克劳林级数，并确定其成立的区间.解

由于，3

从而7

6.[11]设函数是以为周期的函数，将其展开成余弦级数，并确定其成立的范围。.解:，1

所以

7.[10]求幂级数的收敛域。

8.[10]将函数展开成迈克劳林级数，并确定其成立区

9.[10]

设函数是以为周期的周期函数，它在尚的表达式为，将其展开成傅里叶级数，并确定其成立范围。

10.[09]

证明阿贝尔定理：如果幂级数收敛，则适合不等式的一切幂级数都绝对收敛；如果幂级数发散，则适合不等式的一切使幂级数发散。

11.[09]

将函数展成余弦级数。

12.[09]

求幂级数的收敛半径和收敛域。

13.[08]

设且，试根据的值判定级数的敛散性。

14.[08]

设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，试将展开成傅里叶级数。

15.[08]