平行线的判定知识梳理（精选12篇）
说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。
2、平行线的判定：
同位角相等，两直线平行。
内错角相等，两直线平行。
同旁内角互补两直线平行。
3、平行线的性质
两直线平行，同位角相等。
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补。
说明：要证明两条直线平行，用判定公理在已知条中有两条直线平行时，则应用性质定理。
4、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角_________________、如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角_____________、平行线的定义：在同一平面内,永不相交的两条直线叫做平行线
如：AB平行于D,写作AB∥D
2、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
推论（平行线的传递性）：平行同一直线的两直线平行
∵a∥,∥b
∴a∥b
平行线的判定
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行
简单说成：同位角相等,两直线平行
2两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行
简单说成：内错角相等,两直线平行
3两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行
简单说成：同旁内角互补,两直线平行
4在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行
、平行线间的距离,处处相等
6、如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补
平行线的性质
两条平行被第三条直线所截,同位角相等
简单说成：两直线平行,同位角相等
2两条平行线被第三条直线所截,内错角相等
简单说成：两直线平行,内错角相等
3两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补
简单说成：两直线平行,同旁内角互补
传统课堂教学与基于电子白板的课堂教学
在传统的课堂教学中, 教师主要是通过“粉笔+黑板”或是单纯的PPT形式来进行教学, 这种课堂传授形式单一并且枯燥, 学生缺乏与教师的互动, 只是被动地接受知识, 主动性和创造性难以发挥。
基于电子白板的课堂教学利用电子白板作为构建信息化教育的基础平台, 可以应用于各个班级、开展多种类型的教学活动来提高信息技术与课程整合的效果。同时, 在软件程序的支持下, 电子白板与计算机结合可以营造一个大屏幕、交互式的教学环境。
从总体上看, 电子白板继承了传统黑板的优势, 同时整合了多媒体的优势, 在充分吸收两种教学手段精华的基础上, 拓展了教学过程中师生交互的广度和深度。
电子白板的课堂教学优势
基于电子白板的课堂具有传统课堂教学所不具备的更强的教学互动性, 教学设计的中心转移到了“以学生为中心”的核心点上, 强调学生的课堂参与, 关注学生的学习过程。因此, 教学设计的基本要素在电子白板的课堂教学中发生了相应的变化。
1.教师和学生
电子白板为师生之间搭建了一个交流、协作的互动平台和教学环境, 师生共同参与到课堂之中, 从而形成一个以教师为主导、学生为主体, 电子白板为中间媒介的学习共同体。
2.教学目标
电子白板下的课堂, 能够有力地支持三维目标的整合与实现。首先, 能够提供抽象与具体的教学内容, 使教学内容具体化, 促进学生的学习, 提高学生的认知能力, 有利于学生知识的掌握和能力的培养;其次, 电子白板使教师回归课堂, 促进了师生间的情感交流;再次, 电子白板能够促进师生、生生间的交流、协作、共享、体验等过程, 实现学生情感态度与价值观的目标。
3.教学内容和教学资源
基于电子白板的课堂教学内容与教学资源的安排与选择, 应该仅仅围绕良好的信息呈现与有效的教学互动为中心, 进而组织教学资源。同时, 网络与电子白板能够实现优质教学资源的共享和交流。
4.教学策略
基于电子白板的课堂可以有效地整合课堂教学资源, 创设教学情境, 构建知识, 突破教学中重点和难点。在教学中设置“交互点”能促进教学互动和生成, 提高学生的动手能力和思考能力。
5.教学评价
电子白板具有自动录制、数据保存、学习路径记录等功能, 能够将课堂学习活动的过程记录并保存下来。便于采用学生自评、学生互评、教师评价等多种评价方式相结合的教学评价, 对教学作出全方位的评价。
有效学习的发生需要适合的教学媒体和良好的课堂教学设计的支持。电子白板为课堂教学各个层面的交互提供了丰富的、更直接的功能, 使教师、学生、教学内容间以更接近真实环境的方式进行教学互动和交流。课堂交互是实现课堂教学目标的手段, 也是电子白板有机融入课堂教学的设计目标。
电子白板环境下《平行线的判定》教学设计
1.教材分析
本节主要内容是让学生在充分感性认识的基础上体会平行线的三种判定方法, 它是空间与图形领域的基础知识, 是《相交线、平行线与平移》的重点, 学习它能为后面的学习平行线性质、三角形、四边形等知识打下坚实的基础。同时, 本节学习将加深对“角与平行线”的认识, 建立空间观念, 发展思维, 并能让学生在活动的过程中交流分享探索的成果, 体验成功的乐趣, 提高运用数学的能力。
2.教学方法
本节课利用电子白板, 通过自学、指导探究的方法进行教学, 师生互动, 共同探索。并根据学生实际情况, 整堂课围绕“情境问题—学生体验—合作交流”模式, 鼓励学生积极合作, 充分交流, 既满足了学生对新知识的强烈探索欲望, 又排除了学生学习几何方法的缺乏和学无所用的思想顾虑。电子白板的使用, 也增强了师生间的互动, 激发了学生的学习兴趣, 使每位学生在轻松、快乐的氛围中实现知识的获得。
3.教学目标
知识与技能目标:了解平行线判定的必要性。经历观察、操作、推理、交流等活动, 探索并掌握平行线的三个判定方法, 并会正确识别图中的同位角、内错角和同旁内角。
过程与方法目标:经历探索直线平行的条件的过程, 发展空间观念和有条理的表达能力。
情感态度与价值观目标:感受数学来源于生活, 激发学习数学的兴趣, 培养逻辑思维。在独立思考的基础上, 积极参与小组活动对直线平行条件的讨论, 敢于表达观点, 并从中受益。
4.教学重、难点
重点:平行线的判定公理及两个判定定理。
难点:理解由判定公理推出判定定理的过程。
5.教学过程
第一部分:课前预习
自主预习任务一:同位角相等, 两直线平行。
◇问题:如果只有a、b两条直线, 如何判断它们是否平行?能否由平行线的画法找到判断两直线平行的条件, 演示已知直线a外一点p画a的平行线b。
◇进行观察比较, 得出初步结论, 由刚才的演示法得出“平行线的判断公理”。
◇练习:如图1, ∠1=150°, ∠2=150°, a//b吗?
自主预习任务二:内错角相等两直线平行。同旁内角互补, 两直线平行。
◇阅读课本35页的交流与发现。
◇练习:如图2, 若∠A=∠3, 则∥, 若∠2=∠E, 则∥, 若∠+∠=180°, 则∥。
设计意图:预习的目的是为了让学生在学习新知之前对知识内容有初步的了解, 学生带着自学时的疑惑再进行课堂学习, 这样有利于提高课堂效率, 有利于师生的课堂互动, 有利于学生对知识的把握和理解。
第二部分:课中实施
◇任务驱动。
教师在电子白板中布置任务, 学生分小组完成。小组讨论交流后, 完成任务方案, 每组派一名同学在电子白板上演示本组的方案。
设计意图:教师通过任务驱动的方式, 激起了学生的探究欲望, 启发学生动脑思考。在学习平行线判定的公理之前, 学生先对平行线有个大体的了解, 为引出公理打下基础。电子白板的运用也极大地激发了学生的兴趣, 学生上前展示自己的成果, 既培养了动手能力, 也增强了生生、师生间的情感互动, 使整个课堂氛围变得轻松、愉快。
◇展示交流。
a.展示交流公理:
情景1:学生动手:①先画一条直线c;②将直尺一边靠在直线c上;③用三角板画平行线a、b。
思考:①在画平行线的过程中, 保持了哪两个角不变?并将这两个角分别用∠1、∠2表示。②教师提出问题:如果∠1≠∠2, 这两条直线能平行吗?教师利用三角板演示。③通过大家的画图, 你能得到什么结论? (如果∠1=∠2, 那么a∥b;如果∠1≠∠2, 直线a与b不平行) 。
情景2:在电子白板上画出两根竹针a、b与第三根竹针c相交, 竹针b固定不动, 将竹针a绕着点M顺时针旋转, 学生观察∠1的变化, 同时观察竹针a与竹针b所在直线是否相交, 当∠1<∠2或∠1>∠2时, 直线a与b相交, 当∠1=∠2时, 直线a与b平行。
结论:同位角相等, 两直线平行。
设计意图:深刻体会、理解同位角相等与两条直线平行的关系。使每位学生都能积极动脑, 初步感受新知, 挖掘每位学生潜能, 培养自学能力。教师可在电子白板上随意画出需要的图形, 电子白板中的工具栏可提供各种教学工具以供使用。
b.展示交流判定2、3:
首先以简单的实例表明需要, 引出新问题 (“内错角相等, 两直线平行”的判定) :如图3, 如何判断这块玻璃板的上、下两边平行?添加出截线后 (如图4) , 比照判定公理图, 发现无法定出∠1的同位角, 再结合图5, 让学生思考、试答。至发现内错角相等的条件后, 让学生说明道理, 而后师生共同修改。以实际需要引出新问题 (“同旁内角互补, 两直线平行”的判定) 。如何判断如图6所示的玻璃板的上下两边平行?至发现“同旁内角互补”的条件后, 让学生结合图7说明道理, 最后, 让学生仿照“内错角相等, 两直线平行”的说理, 写出完整的过程, 并让学生相互交流, 然后总结结论。
总结:内错角相等, 两直线平行。同旁内角互补, 两直线平行。
设计意图:培养学生逻辑、推理能力。体会数学来源于生活又服务于生活。
第三部分:反思拓展 (如图8)
设计意图:通过例题讲解, 完成性质与判定的综合。体会“由线定线”的逻辑思维过程。即已知两直线平行→ (性质) 角的关系→ (判定) 确定其他两直线平行。体会“由角定角”的逻辑思维过程。即已知角的关系→ (判定) 两直线平行→ (性质) 确定其他角的关系。通过电子白板给出的拓展练习完成学生对知识的巩固。
第四部分:系统总结 (电子白板展示)
总结知识、方法以及特例。
6.教学反思
本节课中, 笔者鼓励学生试着自己归纳总结本节课的知识点, 并综合学生的回答, 将其呈现在电子白板上, 使知识条理化、系统化, 以便于学生更好地理解。课堂中, 利用电子白板的互动, 使学生积极参与到集体学习和交流互动中, 培养了学生的动手能力和思考能力。本课的教学遵循了由感性到理性, 由抽象到具体的认识过程, 通过生活中的实际问题, 启发学生的思考, 不断提高他们运用数学方法分析问题、解决问题的能力。让学生在和谐的课堂氛围中, 在教师和同学的鼓励与欣赏中找到自信, 体验成功的乐趣。
摘要：电子白板是信息技术与课程整合进程中出现的一种新技术手段, 它的出现有力地推动了教育信息化的发展。本文通过对电子白板的分析, 结合中学数学学科, 给出了《平行线的判定》这一课的教学设计, 希望能为一线教师如何利用电子白板创新教学提供实践参考。
关键词：电子白板,课堂教学,教学设计
参考文献
[1]罗允平.基于电子白板的自然课堂教学设计及案例[J].教育信息技术, 2011 (4) .
[2]李文光, 荣芳.从教学适用性角度考察交互式电子白板[J].中国现代教育装备, 2010 (6) .
[3]张敏霞, 王陆.电子白板构建信息化教育的基础平台——电子白板与教学创新专著基本思想论述[J].现代远程教育研究, 2010 (1) .
1.平行四边形的性质：（l）平行四边形的对边______且______；（2）平行四边形的对角____，邻角______；（3）平行四边形的对角线______；（4）平行四边形是______对称图形，对角线的交点是______.
2.平行四边形的判定：（1）两组对边______的四边形是平行四边形（定义）；（2）两组对边______的四边形是平行四边形；（3）两组对角______的四边形是平行四边形；（4）对角线______的四边形是平行四边形；（5）一组对边______且______的四边形是平行四边形.
3.矩形的性质：矩形具有平行四边形的一切性质，同时它还具有自身的性质：（1）矩形的四个角都是______；（2）矩形的对角线______；（3）矩形是轴对称图形，有______条对称轴.
4.矩形的判定：（l）有一个角是______的平行四边形是矩形；（2）对角线______的平行四边形是矩形；（3）有______个角是直角的四边形是矩形.
5.菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质，同时它还具有自身的性质：（1）菱形的四条边都____；（2）菱形的对角线____，且每一条对角线平分______；（3）菱形是轴对称图形，它的对角线就是它的对称轴，菱形有______条对称轴；（4）菱形的面积等于______乘积的一半.
6.菱形的判定：（l）有一组邻边______的平行四边形是菱形；（2）对角线______的平行四边形是菱形；（3）______条边相等的四边形是菱形.
7.正方形的性质：既具有______的性质，义具有______的性质.
8.正方形的判定：（l）有一组邻边______的矩形是正方形；（2）有一个角是______的菱形是正方形.
9.三角形的中位线：连接三角形两边______的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线______第三边，且等于第三边的______.由三角形的中位线可同时得出线段间的位置关系和数量关系.
10.直角三角形斜边上中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的____，它将直角三角形分为两个等腰三角形.
11.平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上的任意一点到______的距离叫做这两条平行线之间的距离.平行线之间的距离______.
二 常用解题技巧
1.直接应用平行四边形的性质解决有关角或线段的问题
例l （2014年·宿迁）如图l，则∠ADB的度数是（）.
A.16°
B.22°
C.32°
D.68°
解析：由BC=BD可得∠BDC=∠C=74°，故∠CBD=32°.再由平行四边形的性质可求得∠ADB=32°.故选C.
点评：求平行四边形中的角时，常利用平行四边形的对边平行、对角相等、邻角互补等性质，
侧2（2014年·黔南）如图2.把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠.设重叠部分为△EBD，则下列说法中错误的是（）.
解析：根据矩形的性质，并结合折叠的性质来分析，知A，B正确，由折叠知∠CBD=∠C'BD.又AD//BC，所以∠ADB=∠CBD，从而有∠ADB=∠C'BD，EB=ED.C正确.由于矩形的形状不一定，所以D不一定成立.因此选D.
点评：折叠前后图形的形状与大小不变.
2.应用判定方法进行判定
例3 （2014年·安顺）如图3，在△ABC中，AB=AC.AD⊥BC，垂足为点D.AN是△ABC的外角∠CAM的平分线.CE⊥AN，垂足为点E.
（1）求证：四边形ADCE为矩形.
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明.
解析：（1）通過证明四边形ADCE是有三个角是直角的四边形，来说明它为矩形.
（2）假设四边形ADCE为正方形，则有AD=DC=BD.进而得出∠B=45°或∠BAC=90°等.证明从略.
点评：判定特殊平行四边形的方法一般有两种：（1）一次判定法：即从任意四边形出发，根据有关结论，直接说明该四边形是矩形、菱形或正方形（如（1）题）；（2）逐层判定法：先判定是否为平行四边形，再判定是否为矩形或菱形，最后判定是否为正方形，在具体解题中，我们常将这两种方法结合起来使用.
3.先证明四边形是平行四边形或特殊平行四边形.再应用有关的性质
例4 （2014年·宿迁）如图4，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高.
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形.
（2）求证：∠DHF=∠DEF.
解析：（1）由点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，运用中位线定理得到DE∥AC，EF//AB，可知四边形ADEF是平行四边形.
（2）由四边形ADEF是平行四边形，有∠DAF=∠DEF.在Rt△AHB中，D是AB的中点，可得∠DAH=∠DHA：同理可得∠FAH=∠FHA.从而有∠DAF=∠DHF，于是∠DHF=∠DEF.
点评：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DH=DA，进而得到，是转化边角关系的一个常用方法.
三 综合题赏析
例5 （2014年·深圳）如图5，已知BD垂直平分AC，
（l）证明四边形ABDF是平行四边形.
（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长，
解析：（1）由线段垂直平分线的性质可得△ABC和△ADC均为等腰三角形，故而四边形ABDF是平行四边形.
（2）由条件可知是菱形，得到AB=BD=5.设BE=x，则DE=5-x.然后利用勾股定理，有得到，解得.则
点评：本题涉及多个知识点，具有一定的综合性，
例6（2012年·绥化）如图6，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4）.矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的点G处.E.F分别在AD和AB上，且F点的坐标是（2，4）.
（l）求G点的坐标.
（2）求直线EF的解析式.
解析：（1）根据折叠的性质可知FC=AF=2.而FB=AB-AF=1，故在Rt△BFG中，可求出，则从而得到G点坐标为.
（2）由（1）可知FG=2FB，Rt△BFG为含30°角的直角三角形，则∠BFG=60。，结合折叠的性质可知，从而.于是EF=2AF=4.利用勾股定理可求出，故E点的坐標为又F点的坐标是（2，4），所以可利用待定系数法求出直线EF的解析式，计算略.
点评：本题是矩形与一次函数的综合题，考查了矩形的性质，图形折叠的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质与判定等，综合性较强，
四 易错点评析
1.特殊代替一般
例7（2014年·徐州）若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（）.
A.矩形
B.等腰梯形
C.对角线相等的四边形
D.对角线互相垂直的四边形
错解：选A或选B.
解析：错解由三角形中位线的性质，认为顺次连接对角线相等的矩形或等腰梯形的各边中点所围成的四边形是菱形，从而选择A或B，犯了以特殊代替一般的错误.事实上，矩形或等腰梯形仅仅是对角线相等的四边形中的“特殊情况”，正确答案应选C.
2.思考问题不周
例9 （2014年·襄阳）在oABCD中，BC边上的高为.则平行四边形ABCD的周长等于______.
错解：如图7，在平行四边形ABCD中，AB=CD=5，4D=BC.设BC边上的高为AE在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，根据勾股定理得BE=3.同理得CE=2.故BC=BE+CE=5，的周长为2x（5+5）=20.
解析：本题是无图题，解题时应考虑周全，它相当于已知△ABC的两边AB和AC以及第三边BC上的高AE，求第三边BC的长度，因为三角形的高AE可在△ABC的内部，也可在△ABC的外部，所以应分两种情况讨论.
（1）若高AE在△ABC的内部，如图7，解法如上；
（2）若高AE在△ABC的外部，如图8，同理可得BE=3，CE=2，故BC=BE-CE=3-2=1，平行四边形ABCD的周长为2x（5+1）=12.
综上，可知平行四边形ABCD的周长为20或12.
1．如图，当∠1=∠2时，直线a、b平行吗，为什么？
2．如图，已知∠ABC=∠BCD，∠ABC+∠CDG=180°，求证：BC∥GD．
3．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=15°，∠2=15°，AE与BF平行吗？为什么？
4.如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°． 求证：AB∥CD． 3页）第页（共
5．AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3．BE与DF平行吗？为什么？
6．如图，已知∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC，将证明AD∥BC的过程填写完整．
7．已知：如图，∠BAD=∠DCB，∠BAC=∠DCA． 求证：AD∥BC．
8．如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，并且∠1=∠2，说出图中那些直线平行，并说明理由． 3页）第页（共
9.如图，已知AB⊥BC，BC⊥CD，∠1=∠2．试判断BE与CF的关系，并说明你的理由．
10．AB⊥BC，∠．
姓名：李运秀
学号：10583123 专业：10数学与应用数学
一、教材分析
1、教材的地位和作用
本课位于人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书七年级下册第五章第二节第一课时。主要内容是让学生在充分感性认识的基础上体会平行线的三种判定方法，它是空间与图形领域的基础知识，是《相交线与平行线》的重点，学习它会为后面的学习习近平行线性质、三角形、四边形等知识打下坚实的“基石”。同时，本节学习将为加深“角与平行线”的认识，建立空间观念，发展思维，并能让学生在活动的过程中交流分享探索的成果，体验成功的乐趣，提高运用数学的能力。
2、教学重难点
根据新课标的要求及七年级学生的实际情况，确定本节课的教学重难点：
重点：经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，探索得到直线平行的条件。
难点：同位角的寻找以及在具体的情境中利用“同位角相等，两直线平行”解决一些简单的问题。
二、教学目标
知识目标： 了解同位角、内错角、同旁内角等角的特征，认识“直线平行”的三个充分条件及在实际生活中的应用。
能力目标： ①通过观察、思考探索等活动归纳出三种判定方法，培养学生转化的数学思想，培养学生动手、分析、解决实际问题的能力。
②通过活动及实际问题的研究引导学生从数学角度发现和提出问题，并用数学方法探索、研究和解决问题。
情感目标 ：①感受数学与生活的紧密联系，体会数学的价值，激发学生学习数学的兴趣，培养敢想、敢说、敢解决实际问题的学习习惯。
通过学生体验、猜想并证明，让学生体会数学充满着探索和创造，培养学生团结协作，勇于创新的精神。
②通过“转化”数学思想方法的运用，让学生认识事物之间是普遍联系，相互转化的辩证唯物主义思想。
三、学情分析
从认知结构的角度，七年级的学生已经具备一定的生活经验和数学活动经验，并且对基本几何图形有一定的认识，学生已经学了平行线的定义、平行公理及其推论，具备了探究直线平行的条件的基础，但在逻辑思维和合作交流的意识方面发展不够均衡。
四、教学内容及方法
在做好前两步的基础上开始设计教学内容才能更适合学生，将本堂课的知识多层次体现出来。本堂课主要的内容是讲两直线的平行线判定方法，这就像一朵大红花，而其他的部分是绿叶。这样就分成五部分讲
1、回顾三线八角
2、平行线概念
3、两直线的平行线判定方法
4、本课重难点
5、总结与练习
（一）创设情景，激发求知欲望
对于七年级下的学生她们是“平行线”是我们在日常生活中都经常接触到的。那应该如何判定？它是学生学习几何的重要基础之一，也是学习其他学科知识的重要基础。在以前的学习中，学生已经学习了平行线的概念，知道平行线的表示方法，以及过直线外一点画一条直线与已知直线平行的画法。在前一节课，学生接触了“三线八角”，了解同位角、内错角、同旁内角等概念，我再将其提一下。
（二）引导活动，揭示知识产生过程（重要部分）
基于七年级学生的形象思维，遵循 “教为主导，学为主体，练为主线”的教育思想，从实例出发，让学生亲历观察、发现、探究、归纳等一系列过程，再现了知识的发生、发现及发展的过程。在新知识学习和例题的教学中，教师始终以引导者的形象出现并在适当的时候对学生适当的启发。所以在本节课中我采取的教学方法是启发式引导发现法．让学生合作、探究，主动发现．为此，本节课我设计了如下的系列活动，旨在让学生通过动手操作、合作探究来揭示平行线判定方法这一知识的产生过程.从中我主要起到引导作用。
活动一：让学生通过举生活中的平行线的例子，尽量让多一点的学生说自己的想法，因为这个问题比较简单能回答的人比较多。也比较适合集体回答的问题。
活动二：让学生通过画图，体验推平行线的过程，其中是一个平移变换，那么中画图过程中，同位角始终保持相等。引导学生自己发现平行线判定的方法。
活动三：出示课件上的图，让学生通过观察、进行猜想，作图（推平行线法）来得出平行线判定方法。
其中其他的判定方法由例题推出，例题教学，发挥示范功能在讲完一种判定方法后再引导学生挖掘其他的判定方法。还有让学生思考一些特殊情况如两本书的边缘是否平行。再得出：垂直于同一条直线的两条直线平行。
主要是让学生体验研究问题通常可以先从特殊情况考虑，再延伸到一般情况。
教法：引导学生，讲练结合，实验演示，多媒体教学法。学法：动手实践、师生交流，学习模范。
（三）归纳总结：判定两条直线是否平行的方法有
1，同位角相等，两直线平行。2，内错角相等，两直线平行。3，同旁内角互补，两直线平。本节课重点学习的是1、2、3。
4，平行于同一条直线的两直线平行。5，垂直于同一条直线的两条直线平行。6，平行线的定义。
提出本节的方法难点的归纳与综合运用
这一节课将在学生这样的知识基础上继续学习判定两直线平行的另两种方法：“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”。在老教材中，平行线的判定是作为公理出现的，在新教材中却至始至终没有出现“公理”二字，只是作为一种方法出现。它是学生在已学知识的基础上通过合作、探究得到的判定两直线平行的方法，这里更注重学生的观察、分析、概括能力的培养。虽然这部分的知识在八年级下第四章会讲，但作为老师对公理要有了解。
在七年级的学习中，学生已经初步接触了简单的说理过程。因此本节学习时，将在直观认识的基础上，继续加强培养学生这方面的能力。还要强调规范书写。
五、练习设计
课堂尾声一些习题的练习，一方面可以帮助学生更好的吸收本堂课知识，另一方面也是对教师反映学生的一些问题让教师对其进行及时补充。还要做一些变式练习，提高学生综合运用的能力。
练习分析与应用（1）如图1，∠C＝57°，当∠ABE＝ 57°时，就能使BE∥CD.（此题属于比较简单的题目，是为了巩固同位角相等，两直线平行这个知识点又有点逆向思维的运用。）
（2）如图2，∠1＝120°,∠2＝60°． 问a与b的关系？ a∥b（此题可以用同位角相等，两直线平行也可以用同旁内角互补，两直线平行让学生明白在巩固判定方法的同时了解其间的联系）（3）如图,不能判定 L1//L2 的是（D）（A）∠2＝∠3（B）∠1＝∠4（C）∠1＝∠2（D）∠1＝∠3（此题则对本节的知识整体的一个思考，难度比较低。主要是为了考察学生对本节知识是否了解以及方便教师再次和学生一起总结本堂课的知识）
对平行线判定进一步理解： 强调一下“内错角不一定相等”，内错角相等是两直线平行的条件。还有同位角相等是指两条直线被第三条直线截得的四对同位角中的任何一对同位角相等两直线必平行。同理其它的几条也是这么理解。
六、布置作业
课本习题5.2第1、9题.P16，P19
一、本课是平行线的后续部分，是研究后面平移以及几何推理等内容基础，也是空间与图形的重要组成部分。
二、学生分析
在本节课前要分析学生的起点能力和学习条件，这节课之前，刚学过同位角，内错角，同旁内角的概念，七年级的学生已经具备辨别能力，作图能力，简单推理能力。本科导入通过回顾平行的由来以及平行线的画法来引出本节课新内容，在上课前，应通知学生准备好尺子，我呢，则准备好教具。
三、教学目标分为教学目标、教学重点，教学难点。
教学目标
有这样几点。
1.理解平行线的判定方法。
2.能运用所学过的平行线的判定方法进行简单的推力计算。
教学难点
判定方法的推理和应用。
教学难点
问题的思考和推理过程
四、教学内容及教法
1.回顾平行线的由来及其做法。
2、平行线判定第一条。
【教学目标】：
1、组织学生复习近平行线的判定和性质，进一步体会几何说理的过程，叙述方式及表达要求；
2、加深认识平行线的判定和性质之间的区别与联系，提高推理能力和有条理表达的能力，发展基础性逻辑思维能力；
3、引导学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，同时体会从特殊到一般的思想方法。
【教学过程】 ：
知识点回顾
两直线平行的条件：（1），两直线平行。（2），两直线平行。
M
AB
（3），两直线平行。 两直线平行的性质：
C
（1）两直线平行。，。（2）两直线平行。，。（3）两直线平行。，。基础巩固
1、如图，直线a、b被直线l所截，a∥b，170，则2.3、两条平行线被第三条直线所截，所得一组同位角的角平分线的位置关系是.所得一组内错角的角平分线的位置关系是所得一组同旁内角的角平分线的位置关系是
强化应用
1、如图，AD∥BC,AC,证明AB∥DC.2、如图，已知DE∥BC，12，CDAB于点D，证明：FGAB
3、如图所示，已知AB∥CD，A110，C140，求P的度数.A
F
C
【巩固提高】：
一、填空题
1、两条直线被第三条直线所截，总有()A、同位角相等B、内错角相等C、同旁内角互补D、以上都不对
2、如图1，下列说法正确的是()A、若AB∥CD，则∠1=∠2B、若AD∥BC，则∠3=∠4 C、若∠1=∠2，则AB∥CDD、若∠1=∠2，则AD∥BC
（1）（2）（3）（4）
3、如图2，能使AB∥CD的条件是()A、∠1=∠BB、∠3=∠AC、∠1+∠2+∠B=180°D、∠1=∠A
4、如图3,AD∥BC,BD平分∠ABC，若∠A＝100°，则∠DBC的度数等于()A、100°B、85°C、40°D、50°
5、如图4所示，AC⊥BC，DE⊥BC，CD⊥AB,∠ACD＝40°，则∠BDE等于()A、40°B、50°C、60°D、不能确定
6、如图5所示，直线L1∥L2，L3⊥L4，有三个命题：①∠1+∠3=90°，②∠2+∠3=90°，③∠2=∠4．下列说法中，正确的是()
A、只有①正确B、只有②正确C、①和③正确D、①②③都正确
（5）
B D
F
（6）
C7、如图6，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150°，则AEF=()A、110°B、115°C、120°D、130°
二、解答题
8、根据题意结合图形填空：
已知：如图，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，将说明∠1＝∠2成立的理由填写完整.解：∵ DE∥BC（）
∴∠ADE＝______（）∵∠ADE＝∠EFC（）∴______＝______
∴DB∥EF（）B∴∠1＝∠2（）
D
E
F
C9、如图，AB、CD被EF所截，MG平分∠BMN，NH平分∠DNM，已知∠GMN+ ∠HNM=90°，试问：AB∥CD吗？请说明理由。
10、已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC与G，∠E＝∠3，试问：AD是∠BAC的平分线 吗？若是，请说明理由。
11、如图所示，潜望镜的两个镜子是平行放置的，光线经过镜子反射后，有∠1＝∠3，∠4＝∠6，请你解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？
12、已知如图，AB//CD，试解决下列问题：（1）∠1＋∠2＝______；（2）∠1＋∠2＋∠3＝_____；
（3）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_____；
[一]、平行线的判定
一、填空
1．如图１，若A=3，则∥；若2=E，则∥； 若+= 180°，则∥．c d A a E a 52 23 b B b C A B图４ 图３ 图１ 图２
2．若a⊥c，b⊥c，则ab．
3．如图２，写出一个能判定直线l1∥l2的条件：．
4．在四边形ABCD中，∠A +∠B = 180°，则∥（）．
5．如图３，若∠1 +∠2 = 180°，则∥。
6．如图４，∠
1、∠
2、∠
3、∠
4、∠5中，同位角有；内错角有；同旁内角有．
7．如图５，填空并在括号中填理由：
（1）由∠ABD =∠CDB得∥（）；
（2）由∠CAD =∠ACB得∥（）；
（3）由∠CBA +∠BAD = 180°得∥（）
A D Dl1 14 5 3l2 C B C
图７ 图５ 图６
8．如图６，尽可能多地写出直线l1∥l2的条件：．
9．如图７，尽可能地写出能判定AB∥CD的条件来：．
10．如图８，推理填空：
（1）∵∠A =∠（已知），A
∴AC∥ED（）；
（2）∵∠2 =∠（已知），2∴AC∥ED（）；（3）∵∠A +∠= 180°（已知），B D C
∴AB∥FD（）； 图８（4）∵∠2 +∠= 180°（已知），∴AC∥ED（）；
二、解答下列各题
11．如图９，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：ED∥CF． DF
习题精选
（一）1．填空。
如图，∵AC⊥AB，BD⊥AB（已知）
∴∠CAB＝90°，∠______＝90°（）∴∠CAB＝∠______（）∵∠CAE＝∠DBF（已知）∴∠BAE＝∠______ ∴_____∥_____（）2．已知，如图∠1＋∠2＝180°，填空。∵∠1＋∠2＝180°（）又∠2＝∠3（）∴∠1＋∠3＝180°
∴_________（）3．如图，填空。
（1）∠A与_________互补，则AB∥_______（）
（2）∠A与_________互补，则AD∥_______（）
4．下列命题中，不正确的是（）
A．如果两条直线都和第三条直线平行，那么两条直线也互相平行 B．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。C．两条直线被第三条直线所截，如果内错角互补，那么两直线必平行。D．两条直线被第三条直线所截，如果两直线不平行，那么内错角必不相等。5．如图，直线a、b被直线c所截，给出下列条件，①∠1＝∠2，②∠3＝∠6，③∠4＋∠7＝180°，④∠5＋∠8＝180°其中能判断a∥b的是（）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
6．已知：如图，∠1＝∠A，∠2＝∠C，求证：AB∥CD。
7．如图，已知：∠1＋∠2＝180°，求证：AB∥CD。
8．如图，已知：∠AOE＋∠BEF＝180°，∠AOE＋∠CDE＝180°，求证：CD∥BE。
9．如图，已知：∠A＝∠1，∠C＝∠2。求证：求证：AB∥CD。
10．如图，已知：∠1＝∠C＋∠E。求证：AC∥BD。
11．已知：如图，AB⊥BC，∠1＋∠2＝90°，∠2＝∠3。求证：BE∥DF。
12．已知：如图：∠AHF＋∠FMD＝180°，GH平分∠AHM，MN平分∠DMH。求证：GH∥MN。
过凤楼初中孟慧芳
本节的重点是：平行线的判定公理及两个判定定理．一般的定义与第一个判定定理是等价的．都可以做判定的方法．但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交．这样，有必要借助两条直线被
第三条直线截成的角来判定．因此，这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了．它们是判断两直线平行的依据，也为下一节，学习习近平行线的性质打下了基础．
本节内容的难点是：理解由判定公理推出判定定理的证明过程．学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质，对几何证明的意义还不太理解．有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明．这些都使几何的入门教学困难重重．因此，教学中既要有直观的演示和操作，也要有严格推理证明的板书示范．创设情境，不断渗透，使学生初步理解证明的步骤和基本方法，能根据所学知识在括号内填上恰当的公式或定理．
通过上这节课我感觉讲解基本到位，练习难度适中，并基本达到练习的目的，但仍然存在很多不足的地方，如：课堂气氛不理想，没有完全体现学生的主体地位；课堂升华不高；讲解过多；探究学习引导不够，导致占用时间过多，从而使后面的环节有些仓促。如果在这几个方面处理的更好一些的话，效果会更好。
初一下数学寒假培优训练一（余角、补角以及三线八角、平行线的判定）
一、考点讲解：
1．余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角． 2．补角：如果两个角的和是平角，那．么称这两个角互为补角．
3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 4．互为余角的有关性质：① ∠1＋∠ 2=90°，则∠
1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠
2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠ 3= 90○，则∠ 2= ∠ 3． 5．互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180则∠A、∠B互补，反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝
180○．②同角或等角的补角相等．如果∠A ＋ ∠C=18 0○，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C． 6．对顶角的性质：对顶角相等．
二．互为余角、互为补角、对顶角比较
○
例1．已知一个角的余角比它的补角的51
3还少4，求这个角。
例2．如图所示，AOB是一条直线，AOC90,DOE90，问图中互余的角有哪几对？哪些角是相等的？
A
O
E
4B
例3.如图l－2－1，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠ 1＝15○30’，则下列结论中不正确的是（）
A．∠2 =45○B．∠1=∠3C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75○30′ 解：D点拨：此题考查了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用知识．
四、巩固练习：
1．_______的余角相等，_______的补角相等．
○
2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63，∠3=__
3．下列说法中正确的是（）A．两个互补的角中必有一个是钝角B．一个角的补角一定比这个角大C．互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角D．相等的角一定互余
4．轮船航行到C处测得小岛A的方向为北偏东32○，那么从A处观测到C处的方向为（）A．南偏西32○B．东偏南32○C．南偏西58○D．东偏南58○
5．若∠l=2∠2，且∠1+∠2=90则∠1=___，∠2=___．
6．一个角的余角比它的补角的九分之二多1°，求这个角的度数． 7．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠3=153，∠l=_8．如果一个角的补角是150○，那么这个角的余角是_________ 9．一个角的余角（）
A、一定是钝角B、一定是锐角C、可能是锐角，也可能是钝角D、以上答案都不对 10．若两个角互补，则（）A、这两个都是锐角 B、这两个角都是钝角C、这两个角一个是锐角，一个是钝角D、以上结论都不对
11．一个角等于它的余角的2倍，那么这个角等于它补角的（）A、2倍
B、1
2○
○
倍 C、5倍 D、1
5倍
12．下列说法中正确的是（）A、相等的角是对顶角
B、不是对顶角的角不相等C、对顶角必相等 D、有公共顶点的角是对顶角
13．三条直线相交于一点，所成对顶角有（）A、3对
B、4对
C、5对
D、6对
14．下列说法正确的是（）A、不相等的角一定不是对顶角C、两条直线相交所成的角是对顶角
B、互补的两个角是邻补角
D、互补且有一条公共边的两个角是邻补角
B E
C
15．如图所示，AOE是一条直线，AOBCOD90，则（1）如果130,那么2，3=。
（2）和1互为余角的角有和1相等的角有16．为下面推理填写理由。
O
（1）,互为余角（已知），90（）（2）如图所示，AB、CD相交于点O（已知），12（）（3）12,23（已知），13（）
D B
（4）AC90，BC90（已知），∴∠A=∠B（）
五、关于同位角、内错角和同旁内角
1．共同点：都是两条直线被第三条直线所截得到的不具有共公顶点的两个角之间的关系，这两个角有一条边在同一直线上。
2．不同点：同位角在两条直线的“同方”，第三条直线的“同侧”，（简称：位置相同的角，形状呈“F”字形）。
内错角的两条直线“内侧”，第三条直线“两旁”（位置错开，形状呈“Z”字形）。同旁内角在两直线之间，第三条直线“同旁”（形状呈“C”字形）。
另外注意：寻找“三线八角”关键是找准截线，截线是公共边所在的那条直线。
六、角位置的确定巩固练习：
1．如图1所示，直线a、b、c两两相交，共构成对对顶角。
2．如图2，能与∠1构成同位角的角有（）A、2个B、3个C、4个D、5个 3．如图2，能与∠1构成同旁内角的角有（）A、2个B、3个C、4个D、5个 4．如图3所示，已知四条直线AB，BC，CD，DE。
问：①∠1=∠2是直线______和直线______被直线_____所截而成的____角.②∠1=∠3是直线_____和直线_____被直线_____所截而成的____角.③∠4=∠5是直线______和直线______被直线_____所截而成的____角.④∠2=∠5是直线______和直线______被直线_____所截而成的____角.5．如图4所示，下列各组判断错误的是（）．
（A）∠2和∠3是同位角（B）∠1和∠3是内错角（C）∠2和∠4是同旁内角（D）∠1和∠2是内错角
七、直线平行的条件（又叫平行线的判定）；
1．同位角相等，两直线平行；2．内错角相等，两直线平行；
3．同旁内角互补，两直线平行；4．同时平行于第三条直线的两条直线也互相平行。例1．如图所示，1和4是什么角？由哪两条直线被什么样的第三条直线所截？2和3呢？2和4呢？1和A呢？A和2呢？
例2．如图所示，AB、CD两相交直线与EF、MN两平行直线与EF、MN两平行直线相交，试问一共可以得到同旁内角多少对？
a b
P Q F
B
D
N
C
F
B D
例3(1)如图所示，直线AB、CD被直线EF所截，如果∠1=∠2，∠CNF=∠BME，那么AB∥CD，MP∥NQ，A 请说明理由。
E
G
C
a∥b.(2)如图所示，直线a,b被直线c所截，1的3倍等于2,3是1的余角，求证：
（3）已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2，求证：AB∥GF
八、巩固练习
1．给下列证明过程填写理由：
已知：如图所示，AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1=∠2，A B 求证：BE∥CF．
证明：∵AB⊥BC于B，CD⊥BC于C,（）∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°（）∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余．（）又∵∠1=∠2，（）∴_______=_______．（）
∴BE∥CF．（）2．如图，已知∠B+∠C+∠D=360°，则AB∥ED，为什么？
3．如图所示，已知B25,BCD45,CDE30,E10，试说明，AB与EF有怎样的位置关系？并说说你判断的理由。
A
B1A1 A
2A
C
B
A
B
C FB2 D
A3 E
F
4.已知：如图，∠B1＋∠B2=∠A1＋∠A2＋∠A3（即向左凸出的角的和等于向右凸出的角的和），求证：AA1 ∥BA
35．下列说法正确的是（）A、同位角相等
B、同旁内角互补
C、若123180，则1,2,3互补D、对顶角相等 6．同一平面内有三条直线a,b,c，若ab,bc，则a与c（）A、平行
B、垂直
C、相交
D、重合7．一个人从A点出发向北偏东60方向走了4m到B点，两从B点向南偏西15的方向走了3m到C点，那么ABC等于（）A、45B、75C、105D、135
8．如图所示，根据下列条件：AAOD,ACBF,BEDB180，可以判定那两条直线平行，并说明判定的依据。
E D C
F
9．已知：如图，FE⊥AB，CD⊥AB，∠1=∠2，求证：∠AGD=∠ACB。
10．如图2-11，直线AB、CD相交于O点，∠AOD与∠BOD叫做______角；∠AOD与∠BOC叫______角；若∠AOD=2∠BOD，则∠BOD=______度，∠AOC=______度．
11．如图2-14，直线AD、BC被CE所截，∠C的同位角是______，同旁内角是______；∠1与∠2是_____、____被____所截得的_____角；AB、CD被AD所截，∠A的内错角是______，∠A和∠ADC是______角；AB、CD被BD所截，_______和______是内错角．
12．如图2-15，∵AO⊥OC，OB⊥OD∴∠1______∠2（）
13．已知：如图2-17，COD是直线，且∠1=∠3，说明A、O、B三点在一条直线的理由可以写成：
∵COD是一条直线（）∴∠1+∠2=______（）
∵∠1=∠3（）∵∠______＋∠3=______∴A、O、B在一条直线上． 2．已知：如图2-18，直线AB、CD、EF交于点O，AB⊥CD，∠1=27°．求：∠2，∠FOB的度数．
解：∵AB⊥CD，（已知）∴∠COB=______（）∵∠1=27°（已知）
平行线的判定和性质习题课
【学习目标】
1.了解平行线的判定与性质的区别。
2.掌握平行线的判定与性质，并能灵活的选择运用它们进行推理证明。
3.在例题变式的过程中，体会转化的数学思想，学会有条理表达自己，从而进一步增强分析、概括、表达能力。
【学习重点】平行线的三个性质及其简单运用,培养推理能力。
（一）创设情景，引入新课
1.平行线的判定与性质(结合图形写成推理形式)：
判定方法1 写成推理形式 ∵ ∴________ 判定方法2： 写成推理形式 ∵ ∴________ 判定方法3： 写成推理形式 ∵ ∴________ 性质1： 写成推理形式 ∵ ∴________ 性质2 ： 写成推理形式 ∵ ∴________ 性质3： 写成推理形式 ∵ ∴________
（二）自主学习，探究新知
1．如图，∠1＝∠2，∠3＝110°，求∠4．
解题思路分析：欲求∠4，需先证明______∥______． 解：∵∠1＝∠2，()∴______∥______．(__________，__________)∴∠4＝______＝______°．(__________，__________)2．已知：如图，∠1＋∠2＝180°．求证：∠3＝∠4． 证明思路分析：欲证∠3＝∠4，只要证______∥______． 证明：∵∠1＋∠2＝180°，()∴______∥______．(__________，__________)∴∠3＝∠4．(______，______)3．已知：如图，AB∥CD，∠1＝∠B． 求证：CD是∠BCE的平分线．
证明思路分析：欲证CD是∠BCE的平分线，只要证______＝______． 证明：∵AB∥CD，()∴∠2＝______．(____________，____________)又∵∠1＝∠B，()∴______＝______．(等量代换)即CD是________________________(三)应用新知，展示交流已知：AD∥BC，∠1=∠2，求证：AB∥CD
.变式1：如图，AD∥BC，∠A=∠C，求证：AB∥CD
变式2：如图，AE、AB、DC、EF、FC 都是直线，∠E= ∠F，∠A=∠C，试说明AB∥CD.变式3：变式3：如图，AE、AB、DC、EF、FC 都是直线，∠1= ∠2，∠A=∠C，试说明∠E=∠F.（四）课堂小结，盘点收获
（1）当角有特殊位置时考虑，当没有特殊位置时考虑
（2）数学中通常会用到 思想。(五)能力提升：
如图，AB∥CD，AE、DF分别是∠BAD、∠CDA的角平分线，AE与DF平行吗？•为什么？
(六)整理学案，布置作业
【平行线的判定知识梳理】推荐阅读：
5.2.2 平行线的判定(教案)06-02
平行线及其判定与性质练习题09-24
平面与平面平行的判定的教学反思06-02
直线平面平行判定性质10-10
2.2.2平面与平面平行的判定导学案05-30
平行线的性质习题10-14
平行线的性质教学反思06-28
5.3.1平行线的性质06-07
平行线的性质优秀教学反思07-06
相交线平行线07-10
