等比数列前n项和教学设计

等比数列前n项和教学设计（精选16篇）

等比数列前n项和教学设计 篇1

一．教学目标

知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题。

过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生构造数列的意识及探究、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想。

情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。

二．重点难点

教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用； 教学难点：公式的推导方法及公式应用的条件。

三．教学方法

利用多媒体辅助教学，采用启发---探讨---建构教学相结合。

四．教具准备 教学课件，多媒体 五．教学过程

（一）创设情境，提出问题

故事回放：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我在棋盘的64个方格上，第1个格子里放1千吨小麦，第2个格子里放2千吨，第3个格子里放3千吨，如此下去，第64个格子放64千吨小麦，请给我这些小麦？

（二）.师生互动，探究问题

问题1：同学们，你们知道西萨要的是多少小麦吗？引导学生写出小麦总数，带着这样的问题，学生会动手算起来，通过计算需要1+2+3+„+64=2080(千吨)结果出来后，国王认为西萨胃口太大，而国库空虚，还是提个简单的要求吧！西萨说：国王，我希望在第1个格子里放1颗麦粒，第2个格子里放2颗，第3个格子里放4颗，如此下去，每个格子放的麦粒数是前一格麦粒数的2倍, 2

请给我这么多的麦粒数？

问题2：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数122223263，同时告诉学生一个抽象的答案，如果按西萨的要求，这是一个多么巨大的数字啊！它相当于全世界两千多年小麦产量的总和．

问题3： 1，2，22，„，263是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？

探究一：122223263，记为S64122223263„„①式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）

探究二： 如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，①式两边同乘以2则有2S6422223264„„②式．比较①、②两式，你有什么发现？

经过比较、研究，学生发现：①、②两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：S642641，老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程。

思考：为什么①式两边要同乘以2呢？

（三）.类比联想，解决问题

探究三：如何将结论一般化，设等比数列an，首项为a1，公比为q,如何求前n项和为Sn？

探究四：在学生推导过程中，由(1q)Sna1a1q，得到Snna1a1q1qn

对不对？

探究五：结合等比数列的通项公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）

（四）.例题讲解，形成技能

1111......前8项和； 例1：求等比数列，,24816练习一：根据下列条件，只需列出等比数列an的（1）a1=3,q=2,n=6,sn的式子

sn=________________.12,(2)a1=2.4,q=-1.5,an=

sn=_______________.(3)等比数列1，2，4，„从第五项到第十项的和S=___________.例2：等比数列{an}中,a2=9,a5=243,求s4和 sn？ 练习二：等比数列{an}的公比q=

（五）总结归纳，加深理解

12，a8=1，求它的前8项和S8。

引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。

（六）.故事结束，首尾呼应

最后我们回到故事中的问题，西萨的第二个要求需要大约7380亿吨小麦，比第一个要求更加苛刻，显然国王兑现不了他的承诺。同学们有什么办法帮助国王吗？让西萨自己去数他要的麦粒，事实上，假如他一秒钟数一粒，数完这些麦粒所需时间约是5800亿年。

六.课后作业

必做： P24习题三第三题（1）（2）

七、教学评价与反馈

根据高二职高学生的特点、教材内容、遵循因材施教原则和启发性教学思想，本节课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策略，即“案例—公式—应用”，案例为浅层次要求，使学生有概括印象。公式为中层次要求，由浅入深，重难点集中推导讲解，便于突破。应用为综合要求，多角度、多情境中消化巩固 5

等比数列前n项和教学设计 篇2

本节课是《普通高中 课程标准 实验教科 书·数学(五)》(人教A版)第二章第五节第一课“2.5.1等比数列前n项和”(P55-58).本节内容是由一个故事启发得出一般求等比数列前n项和的思路,它是基于等比数列的“等比”特性的一种特殊求和方法.在教学中,应着重引导学生观察、分析、归纳、猜 想,使学生善 于“发现规律———归纳规律———应用规律”.

二、教学目标

1.基础知识目标:理解等比数列前n项和公式的推导方法,掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题.

2.能力训练目标:(1)培养学生由特殊到一般的化归思想以及对式子变形的各种手段方法的应用能力,渗透方程思想、分类讨论思想,优化学生的思维品质;(2)通过探究与活动,让学生明白考虑问题要细致,说理要明确.

3.创新素质目标:发挥学生主体作用,让学生在探究活动中学会思考,自觉地把所学知识应用于实际问题.

三、教学重难点

重点:等比数列前n项和公式以及对公式的理解与运用.

难点:等比数列前n项和公式的推导.

四、教学过程

(一)创设情境,提出问题———激发求知欲

创设问题情境:有一穷人向富翁借 钱,借钱方案 如下:从第一天起借出1万,第二天借出2万,第三天借出3万……以此类推,每一天借的钱数都比前一天多一万,直到第30天,富人总共向穷人借出多少 钱?穷人还钱方案如下:从借钱的第一天开始,穷人就开始向富翁还钱,第一天还1分,第二天还2分,第三天还4分,第四天还8分……以此类推,每一天还的钱数都是前一天的两倍,直到第30天.试问同学们,假设你依据 这个方案 向富翁借这笔钱,你们愿意吗?

学情预设:大多数学生可能算不出 具体数目,只是凭直观判断表示“愿意”.

教师引导:愿不愿意借这笔钱,关键是看 借钱和还钱的总和各是多少.

学生活动:学生根据自己掌握的知 识和经验,建立数列的数学模型.即富人向 穷人借出 的钱是以1为首项,以1为公差的 等差数列,总和为等 差数列前30项和,即S30=1+2+3+4+…+30=30×(1+30)/2=465.

穷人向富翁还的钱是以1为首项,以2为公比的等比数列,总和为等比数列前30项和,即

S30=1+2+22+23+…+229.

师生共同用计算器计算这个数,大家会发现这个数大得惊人,大于1073万元,穷人是无法满足富翁的要求的.

师:如果你们不假思索地答应,将会导致 一个很不幸的后果 发生,这都是不 具备基本 的数学知 识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识,正是我们这节课所要探究的知识.

此时学生跃跃欲试,纷纷想求 出这个数 列的前30项和,但因知识受限,无法一次求出,课题的引入水到渠成.

[设计意图]用一个看似简单的生活实例,不仅复习了等差数列的求和,而且为引出等比数列前n项和作准备;同时通过与等差数列的对比让学生感受等比数列的爆炸增长,激起学生学习新知识的兴趣和欲望.

(二)师生互动,探究新知———等比数列前n项和公式的推导

一般的,设等比数列{an},公比为q,则它的前n项和是Sn=a1+a2+a3+…+an.

等比数列前n项和公式是求等比数列 的前n项和的一个化简式,它的推导有很多方法,我们先研究教科书所采用的方法.

推导方法一:错位相减法

1.由问题情境中S30=1+2+22+23+…+229的求解我们很自然地由特殊到一般,可以先让学生思考一个特殊的简单情形,即Sn=1+q+q2+q3+…+qn-1.1

教师引导:首先复习推导等差 数列前n项和公式,形式上采用倒序相加法,本质上是根据等差数列的定义an+1-an=d,从“公差为d”这一特性出发,抓住倒序后两式中上下对应项的和均为“a1+an”这个特点,构造相同项,进而化繁为简,推得公式.

师:请同学们注意观察、联想,等比数列是不是也可以用倒序相加法求和?

(学生进行尝试,发现行不通)

在此情境下,教师引领学生透过现 象看本质,类比等差数列前n项和公式求法.在等比数列前n项和中构造相同项,从而化繁为简是解决问题的关键.

师:等差数列 求和是根 据定义,由公差d切入.自然,等比数列求和同学们也应抓住定义,由公比q来探究.关注等比数列定义和1式,你们能发现什么?

(学生观察、独立思考、合作交流、自主探究)

师:若将上式右边的每一项乘以公比q,会出现什么样的结果呢?

生:就得到它后面相邻的一项,即qSn=q+q2+q3+q4+…+qn-1+qn.2

师生共同探索:要得到Sn,只要两式子错位相减,就可以消除差别,从而达到化简的目的.

师:下面如何对qSn=q+q2+q3+q4+…+qn-1+qn这一等式做进一步的化简整理?(由学生分析思考,合作完成)

在整合的过程中,学生会发现2式中的前n-1项与1式中的后n-1项对应相同,这样一来就构造出了相同项.但是,在表征形式上的处理有差异.有些学生注意到如果将等式右边各项均往后错一位,那么两式中相同项的对应就更加清晰,在此基础上,用1式减2式,这些相同的n-1项立即抵消为0,得到(1-q)Sn=1-qn,从而完美地达到了化繁为简的目的.同时,适时强调指出,这样的处理方法被形象地喻为:错位相减法.

得(1-q)Sn=1-qn.

进一步化简,有些学生容易忽视:等式两边 同时除以1-q时除数要求不为0,因此要特别强调对1-q做分类讨论.当1-q≠0,即q≠1时,;当1-q=0,即q=1时,数列为常数列,an=1,此时Sn=n.

下面,我们很自然地由特殊到一般,对一般形 式进行推导.

2.一般的,等比数列的前n项和是Sn=a1+a2+a3+…+an,在等比数列中,an=a1qn-1,∴Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1q4+…+a1qn-1.

师:要想得到Sn,依然要使用“错位相减法”,下面请同学们小组内合作交流.

教师巡视,适时提醒学生,讨论后教 师统一给 出推导过程.

关注等比数列的定义:an+1/an=q,对其变形发现an+1=anq,即等比数列中的每一项乘以q都等于其后一项,所以等式两边同乘以q,两式子错位相减得

即(1-q)Sn=a1-a1qn.

当1-q=0,即q=1时,数列为常 数列,an=a1,则Sn=na1.

师:等比数列和等差数列都有五个基本量:a1,q,n,an,Sn,那么类比等差数列两个求和公式,上述等比数列求和公式形式可不可以略加变换?

(学生合作交流,类比探究后回答“可以”)

师:这是等比数列求和公式的第二 种形式.这将为我们今后运用公式求和提供了选择的余地.形式上,前一个公式出现的是基本量中的a1,q,n,Sn四个,后者出现的是基本量中的a1,q,an,Sn四个.需要提醒大家注意以下几点:

(1)求等比数列前n项和时,若已知a1,q,n,则选用公式3,若已知a1,q,an,则选用公式4;

(2)a1,q,n,Sn和a1,q,an,Sn各已知其中三个量可求出第四个量;a1,q,n,an,Sn五个量知三求二;

(3)注意公式区别:通项公式中是qn-1,而求和公式中是qn;

(4)应用求前n项和公式时q≠1,必要时应讨论q=1的情况.

公式推出后,又通过对公式特征的分析帮助学生弄清公式的形式和本质,明确其内涵与外延,为灵活运用公式打下基础.

推导方法二:等比定理法

化简整理,得(1-q)Sn=a1-qan=a1-a1qn.

(以下从略)

导后反思:定义是基础,深刻理解定义,灵活运用好定义,往往能得到一些很有价值的结论和规律.

推导方法三:分段代换法

根据等比数列的定义,我们有:

又因为Sn-1=Sn-an,代入上式,得Sn=a1+q(Snan).

即(1-q)Sn=a1-qan.

(以下从略)

以上三种推导方法,从不同的思维角度切入等比数列求前n项和的表达式,着眼点不同,侧重点各异,从而在推导方法的运用上也各有千秋.推导方法一注重补因子后错位相减,消除差异;推导方法二则侧重于前n项和公式与定义式的 联系;而推导方 法三则是 构造了Sn与Sn-1间的递推关系式,充分利用了Sn与Sn-1和首项及公比之间的关系来得到前n项和公式,希望同学们认真领悟,仔细体味,以求使思维得到更为广阔的锻炼.

(三)巩固训练,提升总结———等比数列前n项和公式的应用

1.例题剖析

【例1】运用公式解决本节开头提出的问题S30=1+2+22+23+…+229.

“230-1”这个数很大,超过了一千万,穷人是无法满足富翁要求的.同时再次使学生明确学习的意义在于学以致用.退去故事的外衣,就是等比数列求和的问题,所以在此基础上的练习就是公式的直接应用,目的是加强对公式的认识和记忆.

【例2】求下列等比数列前8项的和:

(1)1/2,1/4,1/8,…;

(2)a1=27,a9=1/243,q<0.

师生共同分析:由(1)所给条件,可得a1=1/2,q=1/2,求n=8时的和,直接用公 式即可;由(2)所给条件知,a1=27,n=8,还缺少一个已知条件,需要从a9=a1q8中通过解方程求得公比q,才能进一步利用公式求n=8时的和.另一方面,需强调注意题设中要求q<0,一方面是为了简化计算,另一方面是想提醒学生q为负值.

生:(写出解答过程.)

解:(1)因为a1=1/2,q=1/2,所以当n=8时,

又由q<0,可得q=-1/3,

于是当n=8时,

本例题是考查等比数列前n项和公式的直接应用,目的是帮助学生明确解题步骤,规范解题格式,提高运算能力.

【例3】某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销 售量达到30000台?(结果保留到个位)

师生共同分析:理解题意,从中发现等比关系,抽象出等比数列,并明确这是一个已知Sn=30000求n的问题.

生:(找出等比数列中的基本量,列式,计算)

解:根据题意,每年的销售量比上一 年增加的 百分率相同.所以,从今年起,每年销售量组成一个等比数列{an},其中a1=5000,q=1+10%=1.1,Sn=30000.

答:大约5年可以使总销售量达到30000台.

本例题是一个实际背景的应用题,目的是培养学生建立模型的意识,深化公式本质,渗透方程思想,是“知三求二”的应用问题.

2.巩固练习

课本P58,练习第1、3题.

(四)课堂小结

本节学习了如下内容:

1.等比数列前n项和公式及其推导;特别是在推导过程中,学到了“错位相减法”,这一方法是解决一类求和问题的重要基础和有力工具,要引起高度重视.

2.等比数列前n项和公式的应用.因为公式涉及等比数列的基本量中 的4个量,一般需要 知道其中 的3个,才能求出另外一个量.另外应该注意的是,由于公式有两个形式,在应用中应该根据题意所给的条件,选择适当的公式.

3.在使用等比数列求和公式时,注意q的取值是至关重要的一个环节,需要放在第一位来思考,必要时要分类讨论.

4.体现的数学思想有:类 比 思 想、分 类 讨 论 思 想 和方程思想.

(五)课后作业

基础题:课本P61习题2.5(A组)第1、2、3题.

提高题:求和(1+a)+(2+a2)+…+(2n-1+an).

探究与发现:查阅网络,思考等比 数列前n项和公式还有无其他推导方法?

五、教学反思

等比数列前n项和教学设计 篇3

【关键词】 等差数列；前n项和公式；倒序相加；驾驭课堂

最近笔者有幸担任我市招聘教师评委，聆听了十七位应聘者关于《等差数列前n项和》的讲课比赛，听后感慨颇多，特别是在许多教学环节的呈现上，怎样才能自然和谐地推进而不生搬硬套，怎样才能突出数学的逻辑美，并且利于学生数学思维能力的培养，利于学生数学学习兴趣的激发等.因此本文欲从等差数列求和的教学中如何更好地驾驭课堂，如何根据课堂教学的实际情景灵活应对，谈一点个人的思考与体会.

1 以高斯故事引入

大多教师在教学等差数列求和公式时都用高斯求和的故事引入.高斯故事在全世界广为流传，版本较多，最值得信赖的说法有两种：一是高斯10岁时算出他的老师布特纳给学生们出的将1到100的所有整数加起来的算术题，布特纳刚叙述完题目，高斯就算出了正确答案.二是据对高斯素有研究的著名数学史家E·T·贝尔（E.T.Bell）考证，布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81297+81495+81693+…+100899.当然，这也是一个等差数列的求和问题（公差为198，项数为100）.E·T·贝尔写道，高斯晚年经常喜欢向人们谈论这件事，说当时只有他在老师刚写完题时就在小石板上写出了正确答案，而其他的孩子们都错了.可是高斯没有明确地讲过，他是用什么方法那么快就解决了这个问题.数学史家们推测，高斯当时用的方法可能是：首尾配对法或倒序相加法.虽然两种方法本质都是配对凑成相同的数，变多步求和为一步相乘，但在方法的应用上是有区别的.作为时间宝贵的课堂教学当然宜采用第一种说法.

2 公式推导方法探究

4 教学难点的确定

本课难点常见的说法有三种：第一种，获得等差数列前n项和公式推导的思路；第二种，等差数列前n项和公式的推导及从函数角度理解该公式；第三种，①对公式推导过程中归纳出一般规律的理解与领会，②灵活应用公式解决一些简单的有关问题.不同学生的认知水平不同，不同教师的教学风格不同，理解角度不同，对难点的确定和教学安排多少都会有些许差别，属于正常现象.其实结合课标要求和课程内容特点，概括地讲难点就是：获得公式的推导方法及公式的理解应用.对于理解应用公式，值得参考的题目，如：

题1 求正整数中前500个偶数的和.

评注 可以用两个公式求和，也可以用公式推导过程中使用的方法，倒序相加或首尾配对等多种方法求解.此题难度不大，但接地气，能有效的回顾复习当堂所学的知识.

题2 计算：1-2+3-4+…+（2n-1）-2n.

评注：本题可使学生进一步理解求和的意义，及对等差数列求和公式中基本量的理解和刻画.其次，公式推导中的配对，实质是一种并项法，宏观上也可以看作是分组求和，那么本题你是采用并项法，还是分组运用公式求和，是又一仁者见仁，智者见智的好题.题3 等差数列{an}的首项为a1，公差为d，项数为n，第n项为an，前n项和为Sn，请填写下表：

5 结束语

等差数列求和的两个公式，体现了数学知识的多样性和简洁性.公式Sn=n（a1+an）2的结构呈现对称美及与项的关系，同时也方便了记忆，如类比梯形的面积公式增强记忆.公式Sn=na1+n（n-1）2d=d2n2+（a1-d2）n，当d≠0时，Sn可看作是n的二次函数式，方便了从函数的角度进一步认识和理解等差数列的前n项和，特别是为求Sn的最值提供了新思路.普通高中《数学课程标准》指出：“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质”，等差数列求和公式的教学便是体现这一思想的良好素材，教学中应注重公式推导的来龙去脉，切莫囫囵吞枣，直接给出公式，然后布置大量习题，把学生赶进题海，将学生变成做题的机器，从而白白浪费了一次培养思维和提升数学文化价值的良机.另外，随着“以学生为主体，教师为主导”的教学理念逐步深入，学生自主探索、合作交流、观察发现的能力在不断加强，课堂教学情境千变万化，随机生成的问题将会越来越多，教师“以本论教，经验定教”是远远不能迎接新挑战的，正如时下流行的说法那样：过去的教师，要给学生一碗水，教师应有一桶水，现在的教师，要给学生一滴水，自己必须是长流水.因此，教师只有不断学习，不断钻研，教学相长，才能更好的活跃在课堂舞台上.作者简介

等比数列前n项和教学设计 篇4

李海刚

一．教材分析及能力要求：

数列前n项和是数列单元的重点内容，是在充分理解和掌握等差数列通项公式的基础上课题的延伸；要求学生对公式能理解并掌握，并能根据条件灵活运用，解决简单的实际问题。

二．教学中的重点、难点教学

数学公式只是一些符号，学生记忆容易，但用起来困难，因此，公式的记忆要借助于对知识点的理解。在本节的教学中，我设置了一个带有生活知识的趣味数学题作为引子，设置的问题由易到难，在解决问题过程中，一步一步引向本节的课题，让学生在问题中寻找规律、方法，并加以总结，最后得到等差数列前n项和的两个公式；在课堂练习中，增加讨论、小节这一环节，帮助学生提高认识、归纳方法，通过分析前n项和公式中的四个量，只要知道其中的任意三个量就可以求另一个，归纳为“知一求三”的问题，如果是求两个量，可以用公式联立方法组解决问题。这样，通过对问题解决方法的归纳，提高了学生的解题能力。

三．教学过程反思

等比数列前n项和练习二 篇5

1.在等比数列｛an｝中，S4=2,S8=6,a17+a18+a19+a20等于()A.32

B.16

C.35D.162

2.已知等比数列｛a1n｝的公比q=3，且a1+a3+a5+…+a99=60，则

a1+a2+a3+a4+…+a100等于()A.100

B.80

C.60

D.40

3.等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S10=10，S20=30，则S30等于()A.70

B.90

C.100

D.120

4.计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机价格降低13，现在的价格是 8100元，则15年后，价格降低为()A.2200元

B.900元

C.2400元

D.3600元

5.已知等比数列｛an｝中，an=2·3n-1，则由此数列的偶数项所组成的新数列 的前n项和为()n

A.3n

B.3(3n

-1)

C.913(9n

1)

D.4

6.在正项等比数列an中，若s2=7,s6=91，则s4的值为（）Ａ ２８Ｂ３２Ｃ ３５Ｄ ４９ 7.在等比数列an中，sn表示前ｎ项和，若a3=2s2+1,a4=2s3+1则公比ｑ 等于（）

Ａ ３Ｂ －３Ｃ－１Ｄ １ 8.在等比数列｛an｝中，若Sn=93,an=48，公比q=2，则9.等比数列首项为2，公比为3，从前

项的和开始大于100.10.等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于________

11.已知等比数列an，公比为-2，它的第n项为48，第2n-3项为192，求此数列的通项公式。

12.已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．(1)求通项an及Sn；

等差数列前n项和教案 篇6

一、教材分析

1、教材内容：等差数列前n项求和过程以及等差数列前n项和公式。

2.教材所处的地位和作用：本节课的教学内容是等差数列前n项和，与前面学过

的等差数列的定义、性质等内容有着密切的联系，又能为后面等比数列前n

项和以及数列求和做铺垫。

3、教学目标

（1）知识与技能：掌握等差数列前n项和公式，理解公式的推导方法。同时能

熟练、灵活地应用等差数列前n项和公式解决问题。

（2）过程与方法：经历公式的推导过程，体验倒序相加进行求和的过程，学会

观察、归纳、反思。体验从特殊到一般的研究方法。

（3）情感、态度、价值观：通过具体、生动的现实问题的引入，激发学生探

究求和方法的兴趣，树立学生求知意识，产生热爱数学的情感，逐步养

成科学、严谨的学习态度，提高一般公式推理的能力。

4、重点与难点

重点：等差数列前n项和公式的掌握与应用。

难点：等差数列前n项和公式的推导以及其中蕴含的数学思想的掌握。

二、学情分析

学生前几节已经学过一些数列的概念及简单表示法，还学了等差数列的定

义以及性质，对等差数列已经有了一定程度的认识。这些知识也为这节的等差数列前n项和公式做准备，让学生能更容易理解等差数列前n项和公式的推导过程。同时也为后面的等比数列前n项和公式做铺垫。但由于数列形式多样，因此仅仅掌握等差数列前n项和公式还是不够的，更应该学会灵活应用。

三、教学方法：启发引导，探索发现

四、教学过程

1．教学环节：创设情境

教学过程：200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 123100？。据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯迅速得出5050这个答案。让同学思考并讨论高斯是怎么算的。

设计意图：由著名的德国数学家高斯的例子引发同学们的思考，为下面引入倒序相加法求和做准备。2．教学环节：介绍倒序相加法

教学过程：请同学将自己的计算方法在课上发表，老师接着介绍倒序相加

法。记S123100981S10099，从而发现每一列相加都得101。

则2S(1100)(299)(398)(1001)101*100

S101*10025050

类似地，用同样的方法计算1,2,3，，n，的前n项和，可以得到 123n(n1)n。2 设计意图：介绍倒序相加法，并用这个方法计算1,2,3，，n，的前n 项和，从而为下面推导等差数列前n项和公式做铺垫。

3.教学环节：推导公式

教学过程：首先介绍数列an的前n项和，用Sn来表示，即

Sna1a2a3an。对于公差为d的等差数列，我们用两种方法表示Sn。Sna1(a1d)(a12d)[a1(n1)d]Snan(and)(an2d)[an(n1)d]

则两式相加得：

2Sn(a1an)(a1an)(a1an)(a1an)n(a1an)

n个n(a1an)，将等差数列的通项公2n(n1)d。式ana1(n1)d代入，得到公式Snna12 推导出等差数列前n项和的公式为Sn 设计意图：用倒序相加法推导得到等差数列前n项和公式，由于有前面的铺垫让学生更容易理解等差数列前n项和公式的推导过程，对后面的应用也有帮助。

4、教学环节：例题讲解

教学过程：例1：用等差数列前n项和的公式计算1+3+5++99的值。

例2：a11,a86，求这个等差数列的前8项和S8以及公

差d。例3：已知数列an的前n项和Snn2n，求这个数列 的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

设计意图：巩固等差数列前n项和公式，加深学生对该公式的印象。6．教学环节：回顾总结

教学过程：

1、倒序相加法进行求和的思想

2、复习等差数列前n项和公式Sn Snna1n(a1an)和 2n(n1)强调要根据条件选用适当的公式进 d，行求解。以及公式的适用范围。7．教学环节：布置作业

七、板书设计

1、问题的提出

2、倒序相加法

3、等差数列前n项和公式

4、例题

5、回顾总结

两种特殊数列前n项和的性质探究 篇7

1. 等差数列前n项和的性质

下面我们先讨论一个简单问题.

问题1如果数列{an}是公差为2的等差数列, 前n项和为Sn, 那么S3, S6-S3, S9-S6成等差数列吗?

结论:S3, S6-S3, S9-S6成等差数列.

现将问题1的结论加以推广, 可得到下面一个性质.

性质1若数列{an}是公差为d (d≠0) 的等差数列, 前n项和为Sn, 则Sm, S2m-Sm, S3m-S2m (给定m∈N+) 也成等差数列.

证明根据等差数列前n项和公式, 得.因为S2m-Sm-Sm= (S3m-S2m) - (S2m-Sm) =m2d为常数, 所以Sm, S2m-Sm, S3m-S2m (m∈N+) 成等差数列.

这一性质也可以根据等差数列的前n项和公式来证明.

上述性质1还可以进一步推广到下面更一般的结论.

性质2若数列{an}是公差为d (d≠0) 的等差数列, 前n项和为Sn, 则Sm, S2m-Sm, …, S (k+1) m-Skm, … (k∈N+) 也成等差数列, 公差为m2d (m为确定的正整数) .

证明设bk=Skm-S (k-1) m, 则bk+1=S (k+1) m-Skm (k∈N+) .根据等差数列前n项和公式, 得.所以, 对任意k∈N+, 都有bk+1-bk=m2d为常数.根据等差数列的定义知, 数列Sm, S2m-Sm, …, S (k+1) m-Skm, … (k∈N+) 是公差为m2d的等差数列.

简评上述探究过程, 充分体现了由特殊到一般的思维规律.在性质2的证明中, 计算bk+1-bk时, S (k+1) m-Skm和Skm-S (k-1) m分别是以akm+1和a (k-1) m+1为首项套用等差数列前n项和公式的, 这样做使运算得到了简化.

2. 等比数列前n项和的性质

在进行“等比数列的前n项和”的教学中, 联想到上述等差数列的前n项和所具有的性质, 通过类比, 提出下面一个问题.

问题2如果数列{an}是公比为2的等比数列, 前n项和为Sn, 那么S3, S6-S3, S9-S6成等比数列吗?

结论S3, S6-S3, S9-S6成等比数列.

将问题2的结论加以推广, 可得到下面一个性质.

性质1若数列{an}是公比为q (q≠1) 的等比数列, 前n项和为Sn, 则Sm, S2m-Sm, S3m-S2m (给定m∈N+) 也成等比数列.

证明根据等比数列的前n项和公式, 得为常数, 所以Sm, S2m-Sm, S3m-S2m (m∈N+) 成等比数列.

这一性质也可以根据等比数列前n项和的公式来证明.

上述性质1还可以推广到下面更一般的结论.

性质2若数列{an}是公比为q (q≠1) 的等比数列, 前n项和为Sn, 则Sm, S2m-Sm, …, S (k+1) m-Skm, … (k∈N+) 也成等比数列, 公比为qm (m为确定的正整数) .

简评上述探究过程, 不仅体现了由特殊到一般的思维规律, 而且渗透了类比的思想方法.在性质2的证明中, 计算时, S (k+1) m-Skm和Skm-S (k-1) m分别是以akm+1和a (k-1) m+1为首项套用等比数列前n项和公式的, 这样做可以简化运算.

以上对等差数列与等比数列的前n项和的性质作了一点探究, 但足以说明在平时的教学中, 注意挖掘课本中的例题和习题的潜在知识与内涵, 充分发挥它们在教学中的作用, 有利于培养学生解题的灵活性, 也有利于培养学生的创新思维和数学探究能力.

摘要：本文从简单问题入手, 探讨了等差数列与等比数列的前n项和的性质.教学实践说明在平时的教学中, 注意挖掘课本中的例题和习题的潜在知识与内涵, 充分发挥它们在教学中的作用, 有利于培养学生的创新思维和探究能力.

关键词：等差数列,等比数列,性质,探究

参考文献

[1]单墫主编.普通高中课程标准实验教科书.数学5 (必修) [M].江苏教育出版社, 2005.

等比数列的前n项和 篇8

【关键词】等比数列;前n项和;教学设计;教学目标;教学方法

Geometric series and the first item n—— teaching design

Du Ke-bao

【Abstract】geometric series of pre-n and the formula is the key to change “and” to “reduce”, it seems that this teacher is “natural”, but the students seem it was “unimaginable”.

【Key words】geometric series; before the n and teaching design; teaching objectives; teaching methods

［教学目标］

1、理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，并能初步应用公式解决与之有关的问题。

2、通过对公式推导方法的探索与发现，渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力。

3、通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。

［教学重点、难点］

重点：等比数列的前n项和公式的推导及运用

难点：公式的推导方法及运用公式时对公比的分类讨论

［教学类型］

新授课

［教学用具］

多媒体、幻灯片

［教材分析］

《等比数列的前n项和》这一节内容是在学生学习了等差数列、等比数列的概念及通项公式、等差数列的前n项和公式的基础上进行的。它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是认知的有利因素。认知的不利因素有：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维定势是一个突破。另外，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。

［教学方法］

本节是对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系。所以在教学中，采用“问题——探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段，并利用多媒体辅助教学，直观反映教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优化教学过程，提高教学效率。

［教学过程］

1、创设情境，提出问题（幻灯片）

引入：古印度国际象棋发明者受赏的故事

提问：同学们，你们知道发明者西萨要的是多少小麦吗？

国王能满足他的要求吗?

引导同学写出麦粒总数为：

1+2+2²+2³+…+2⁶³

这是什么数列求和？是等差数列求和吗？

（板书）等比数列的前n项和

设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性。故事内容紧扣本节课的主题与重点,并留下悬念。

2、师生互动，探究问题（幻灯片）

探讨：发明者要的麦粒总数为：

上式有何特点？

不难发现，右式中有64项，后项与前项的比为公比2

如果①式两边同乘以2得

结束开头引入的故事，若把1.84×10粒小麦依次排列，它的长度就相当于地球到太阳距离的2万倍；若按万粒400克计算，可达7000亿吨，而我国小麦现年产量在1亿吨左右，多么庞大的量呀！

把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服认知疲劳，更从计算结果中让学生明确实际问题的解决离不开数学，在市场经济中必须有敏锐的数学头脑。

5、课堂练习

课本第305页A组1、2

针对练习，巩固知识。

6、课堂小结：（幻灯5）

（1）学习了等比数列的前n项和公式，应用时注意公比q的取值范围当q≠1时，Sna1（1-qn）1-q=或Sn=a1-anq1-q当q=1时，Sn=na1

（2）学习了推导数列求和公式的一种常用方法：错位相减法

（3）进一步了解数学思想方法及其作用，通过类比联想，打通解题思路，分类讨论等思想，更直接地提高了分析、解决问题的能力。

师生共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力。

7、布置作业

（1）书面作业：课本第305页B组1、2、3

（2）弹性作业：求1+a+a+a+…a

弹性作业目的是注意分层教学和因材施教，为学有余力的学生提供思考的空间

［板书设计］

收稿日期：2008－01－06

等比数列前n项和教学设计 篇9

生12：1、运用Sn公式要注意此等差数列的项数n的值。

2、具体用Sn公式时，要根据已知灵活选择公式(I)或(II)，掌握知三求二的解题通法。

3、当已知条件不足以求此项a1和公差d时，要认真观察，灵活应用等差数列的有关性质，看能否用整体思想的方法求a1+an的值。

师：通过以上几例，说明在解题中灵活应用所学性质，要纠正那种不明理由盲目套用公式的学习方法。同时希望大家在学习中做一个有心人，去发现更多的性质，主动积极地去学习。

本节所渗透的数学方法;观察、尝试、分析、归纳、类比、特定系数等。

数学思想：类比思想、整体思想、方程思想、函数思想等。

《等比数列的前n项和》教学反思 篇10

（1）以学生为主体

爱因斯坦说过：“单纯的专业知识灌输只能产生机器，而不可能造就一个和谐发展的人才”，因此数学学习的核心是思考，离开思考就没有真正的数学。这节课，通过创设了一系列的问题情景，边展示，边提问，让学生边观察，边思考，边讨论。鼓励学生积极参与教学活动，包括思维参与和行为参与，鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程。在教学难点处适当放慢节奏，给学生充分的时间进行思考与讨论，让学生做课堂的主人，充分发表自己的意见。激励的语言、轻松愉悦的氛围、民主的教学方式，使学生品尝到类比成功的欢愉。

（2）巧设情景，倡导自主探索、合作交流的学习方式

学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、合作交流等学习方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下，不断经历感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、演绎证明、反思与建构等思维过程，体验等比数列前n项和公式的“在创造”过程，让学生在生生互动、师生互动中掌握知识，提高解决问题的能力。

等比数列前n项和教学设计 篇11

直接利用等差数列或等比数列前n项和公式求解, 除此之外还应掌握一些常见数列的前n项和公式。

等差数列前n项和公式:

等比数列前n项和公式:

常见数列的前n项和公式:

二、拆项分组法

某些数列通过适当的分组可得出两个或几个等差数列或等比数列, 进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和, 从而求得原数列的和。

三、错位相加法

适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。适用特征为:{c n}={an⋅bn}, 其中{an}是等差数列, {bn}是等比数列。

【例】求数列的前n项和。

【解析】

两式相减, 得:

四、裂项相消法

将数列中的每一项都拆分成几项的差的形式, 使一些项相互拆消, 只剩下有限的几项, 裂项时可直接从通项入手, 且要判断清楚消项后余下哪些项。

【例】求数列的前n项和。

【解析】

五、重新组合法

通常适用于各项正、负交替出现的数列。

【例】求1-2+3-4+5-6+LL+99-100

【解析】

六、倒序相加法

一个数列与首尾两项等距离的两项之和等于首尾两项之和, 可采取把正着写和倒着写的两个式子相加, 得到一个常数列的求和问题。这种方法适用于等差数列型的问题。

《等差数列的前n项和》教学设计 篇12

教学设计

教学内容分析

本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学（5）》（人教A版）中第二章的第三节“等差数列的前n项和”（第一课时）．本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．在教学中应注意以下两点：

1．本小节重点是等差数列的前n项和公式．学习中可能遇到的困难是获得推导公式的思路，克服困难的关键是通过具体例子发现一般规律．

2．本小节首先通过高斯算法,发现等差数列任意的第k项与倒数第n+1-k项的和等于首项、末项的和，从而得出求和的一般思路． 等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法． 学生情况分析 在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想．高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍． 设计思想

建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，因此，应该让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构．在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法．通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习．同时根据本班学生的特点，为了促进成绩优秀学生的发展，还设计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析问题、解决问题的能力，达到了分层教学的目的． 教学目标

1、知识目标

（1）掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法；（2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和．

2、能力目标 经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力．

3、情感目标

通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功． 教学重点和难点

教学重点是探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题；

教学难点是等差数列前n项和公式推导思路的获得． 教学过程

第一环节 创设情境 引入新课

高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:1+2+„100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10„算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+„+100=5050．”

教师问：“你是如何算出答案的？”

高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；„50+51=101，所以（1＋100）＋（2＋99）＋„„＋（50＋51）=101×50=5050．” 这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．

（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法． 第二环节 推进新课 探究新知 提问：在公差为的等差数列如何求？

中，定义前项和，由前面的大量铺垫，学生容易得出如下过程： ∵

∴ ∴

从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性． 组织学生讨论：在公式1中若将式? 即

此公式要求

（公式2）

必须已知三个条件：

（有时比较有用）．

代入又可得出哪个表达

(公式1)第三环节 应用举例 巩固新知

例1 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的．

解（2）解

练习如何求下列和？

①1+2+3+„+100 =

5050

； ②1+3+5+„+(2n-1)=

③2+4+6+„+2n =

；

．

．

．

例2 等差数列－10，－6，－2，2，„前多少项和是54? 解 设题中的等差数列是，公差为，前n项和为

=54

.，则

=－10，d=－6－（－10）=4，由等差数列前n项和公式，得

解得

n=9或n=－3（舍去）.因此，等差数列的前9项和是54． 练习

已知例3 已知一个等差数列

前10项的和是310，前20项的和是的公式吗？ 1220．由这些条件能确定这个等差数列的前项和分析：将已知条件代入等差数列前项和的公式后，可得到两个关于与的关系式，它们都是关于与的二元一次方程，由此可以求得与，从而得到所求前项和的公式． 解

设等差数列，将它们代入公式

得到 的公差为，由题意可得

解这个关于与的方程组，得到，所以

练习

一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式与前项和公式．

第四环节 课时小结

本节课主要学习了：1.等差数列的前项和公式1：2.等差数列的前项和公式2：

在学习过程中，让学生能够体验倒序相加法的妙处以及能够正确运用等差数列的前n项和的两个公式． 第五环节 布置作业

1．课本P52习题2.3 第2、3、4题． 2．探索题

（1）数列的前项和，求； }（2）若公差为中，到的表达式？

第六环节 教学反思

d(d≠0）的等差数列{

，你能否由题（1）的启发，得

1、合理地对教材进行了个性化处理，挖掘了教材中可探究的因素，促使学生探究、推导．例如，等差数列前n项和的公式一，是通过具体的例子，引到一般的情况，激励学生进行猜想，再进行论证得出；而第二个公式并不象书本上那样直接给出，而是让学生从已知公式中推导得到的．这样处理教材，使学生的思维得到了很大的锻炼．

等比数列的前n项和的说课稿 篇13

(1)从认知领域上讲,它在陈述性知识、程序性知识与策略性知识的分类中，属于学生最高需求层次的掌握策略与方法的策略性知识。

(2) 从学科知识上讲,推导属于学科逻辑中的“瓶颈”，突破这一“瓶颈”则后面的问题迎刃而解。

(3) 从心理学上讲,学生对这项学习内容的“熟悉度”不高，原有知识薄弱，不易理解。

突破难点方法：

(1)明确难点、分解难点，采用层层推导延伸法，利用学生已有的知识切入 ，浅化知识内容。比如可以先求麦粒的总数，通过设问使学生得到麦粒的总数为 ，然后引导学生观察上式的特点，发现上式中，每一项乘以2后都得它的后一项，即有 ，发现两式右边有62项相同，启发同学们找到解决问题的关键是等式左右同时乘以2，相减得和。从而得知求等比数列前n项和 ……+ 的关键也应是等式左右各项乘以公比q，两式相减去掉相同项，得求和公式 ，也掌握了这种常用的数列求和方法——错位相减法，说明这种方法的用途。

(2)值得一提的是公式的证明还有两种方法：

方法二：由等比数列的定义得： 运用连比定理，

后两种方法可以启发引导学生自行完成。这样学生从各种途径，用多种方法推导公式，从而培养学生的创造性思维。

等比数列前n项和公式及应用是本节课的重点内容。

依据如下：

(1)新大纲中有较高层次的要求。

(2)教学地位重要，是教学中全部学习任务中必须优先完成的任务。

(3)这项知识内容有广泛的实际应用，很多问题都要转化为等比数列的求和上来。

突出重点方法：

(1)明确重点。利用高一学生求知积极性和初步具有的数学思维能力,运用比较法来突出公式的内容（彩色粉笔板书）： ，强调公式的应用范围： 中可知三求二。

(2)运用纠错法对公式中学生容易出错的地方，即公式的条件 ，以精练的语言给予强调，并指出q=1时， 。再有就是有些数列求和的项数易错，例如 的项数是n+1而不是n。

(3)创设条件、充分保证。设置低、中、高三个层次的例题，即公式的直接应用、公式的变形应用和实际应用来突出这一重点。对应用题师生要共同分析讨论，从问题中抽象出等比数列，然后用公式求和。

四、习题训练

本节课设置如下两种类型的习题：

1． 中知三求二的解答题;

2．实际应用题.

这样设置主要依据：

(1)练习题与大纲中规定的教学目标与任务及本节课的重点、难点有相对应的匹配关系。

(2)遵循巩固性原则和传授——反馈——再传授的教学系统的思想确立这样的习题 。

(3)应用题比较切合对智力技能进行检测，有利于数学能力的提高。同时，它可以使学生在后半程学习中保持兴趣的持续性和学习的主动性，。

五、策略、方法与手段

根据高一学生心理特点、教材内容、遵循因材施教原则和启发性教学思想，本节课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策略，即“案例—公式—应用”，简称“例—规”法。

案例为浅层次要求，使学生有概括印象。

公式为中层次要求，由浅入深，重难点集中推导讲解，便于突破。

应用为综合要求，多角度、多情境中消化巩固所学，反馈验证本节教学目标的落实。

其中，案例是基础，是学生感知教材；公式为关键，是学生理解教材；练习为应用，是学生巩固知识，举一反三。

在这三步教学中，以启发性强的小设问层层推导，辅之以学生的分组小讨论并充分运用直观完整的板书、棋盘教具和计算机课件等教辅用具、手段，改变教师讲、学生听的填鸭式教学模式，充分体现学生是主体，教师教学服务于学生的思路，而且学生通过“案例—公式—应用”，由浅入深，由感性到理性，由直观到抽象，加深了学生理解巩固与应用，有利于培养学生思维能力，落实好教学任务。

六、个人见解

在提倡教育改革的今天，对学生进行思维技能培养已成了我们非常重要的一项教学任务。研究性学习已在全国范围内展开，等比数列就是一个进行研究性学习的好题材。在我们学校可以按照Intel未来教育计划培训的模式，学完本节课后，教师可以给学生布置一个研究分期付款的课题，让学生利用网络资源，多方查找资料，并通过完成多媒体演示文稿和网页制作来共同解决这一问题。这样不仅培养了学生主动探究问题、解决问题的能力，而且还提高了他们的创新意识和团结协作的精神。

浅析数列前n项求和问题的解法 篇14

关键词：数列,求和,中学,数学,方法

一、数列前n项求和问题的解法

数列是中学数学中的一个重要概念, 于是求数列前n项和也成为研究的一个重要方面.由于公式法、错项相减法、裂项法、配方法、函数法等都是目前中学生常用的方法, 在此我只讨论三种中学生在求解数列前n项和时不太常用的方法.

1. 三角化法

三角化法是高中数学一种重要的思想方法.由于三角函数在一定的范围内有确定的值域, 故在求解最值时显得十分方便.

例1给定正数M和正整数n, 对满足条件a12+a2n+1≤M的所有等差数列a1, a2, …, 试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值.

分析此题的常规解法是用配方法, 将S的表达式转化为含有公差、首项的情形去求解, 但是比较复杂, 容易出错.因此我们试图利用三角函数的性质来求解, 这样显得相当简单.

2、利用不等式

在中学阶段学生学了不等式, 他们都知道了借助不等式来解决最值问题比较方便.介于此, 更应该增强学生的探索和创新能力, 故应让学生学会使用著名的不等式——平均不等式和柯西不等式等.但这几种不等式的性质和特点运用起来相当灵活, 学生很难掌握, 然而很多题型用著名不等式来解决十分方便, 所以在平时的训练中应该多应用.如例1:

分析由于数列是等差数列, 所以有a2n+1+a1=2an+1,

即a2n+1=2an+1-a1,

3. 构造法

构造法在中学阶段学生用得比较少, 即使学生通过仔细观察之后, 大多只会构造数列通项中的某些项.但有些题目解决起来难度仍然很大, 在此我介绍一种构造辅助数列的方法.

例2已知an=n (n+1) (n+2) , 求该数列前n项和Sn.

解法一添项

解法二构造辅助数列

二、关于中学数学学习的一点建议

等比数列前n项和教学设计 篇15

各位领导，老师：

大家好!我说课的课题是《等比数列前n项和》，下面我将从六个方面来阐述我对这节课的分析和设计：

一、教材结构与内容分析：

《等比数列前n项和公式》是高中数学必修五第二章第五节内容。教学对象为高二学生，教学课时为2课时。本节课为第一课时。在此之前，学生已学习了数列的定义、等差数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用，而本节内容也为后面学习数列求和、数列极限打下基础。本节课既是本章的重点，同时也是教材的重点。它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，而且公式推导过程中所蕴涵的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

本节的教学重点是等比数列的前n项和公式的推导、公示的特点和公式的运用。教学难点是公式的推导方法和灵活应用公式解决有关问题。

二、教学目标分析：

作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定了如下的教学目标：

1、知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。

2、过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。

3、情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。

三、学生情况分析：

学生在学习本节内容之前已经学习等差、等比数列的概念和通项公式，等差数列的前Ｎ项和的公式，具备一定的数学思想方法，能够就接下来的内容展开思考，而且在情感上也具备了学习新知识的渴求。

四、教法学法分析：

1.教法：数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此在教学中不仅要让学生“知其然”，还要“知其所以然”，为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进和启发式教学原则，我进行这样的教学设计：在教师的引导下，创设情景，通过问题的设置来启发学生进行思考，在思考中体会数学概念形成过程中蕴涵的数学方法和思想，使之获得内心感受。

2．学法：以促进学生发展为出发点，着眼于知识的形成和发展以及学生的学习体验，以问题链形式，由浅入深、循序渐进，让不同层次的学生都能参与到课堂教学中，体验成功的喜悦

五、教学程序设计：

1．复习回顾、创设情景，导入新课：

（1）回顾等差数列的通项公式和前n项和公式以及等比数列的通项公式。这个过程既复习了前两节课的知识为新课的学习做准备，又激发学生的求知欲，为新课的教学作好铺垫。

（2）用古印度国王与国际象棋发明家的故事再让学生感受一下数学的奇妙，激发他们学习数学的热情。并为本节课研究的内容指明了方向。2.公式推导：

采用类比的方法，学生很自然的会用倒序相加的方法来进行思考。结果显然是行不通的。

此时教师要帮助学生从倒序相加的定势中解脱出来。抓住学生迫切想解决这个问题的心态，及时地进行启发。告诉学生，构造常数列或者部分常数列的思路是正确的。这是可以采用“错位相减”，的方法导出等比数列的前n项和公式。3.公式说明：

推导出公式之后，对公式的特征要加以说明，以便学生记忆。同时还要对公式的另一种表示形式和应用中的注意事项加以说明。帮助学生弄清其形式和本质，明确其内涵和外延，为灵活运用公式打下基础。4.练习处理：

有了求和公式后，及时通过两个练习直接运用公式计算加强对公式认识和记忆，并解决刚开始提出的问题，学以致用。然后通过两个例题的学习帮助学生明确解题步骤，规范解题格式，提高运算能力。5．课堂小结

本节课的小结从以下两个方面进行：(1)等比数列的前n项和公式

(2)公式的推导方法——错位相减法

通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力。进一步完成认知目标和素质目标。6.布置作业

六、教学评价与反思：

根据高二学生心理特点、教材内容、遵循因材施教原则和启发性教学思想，本节课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策略，即“案例—公式—应用”，案例为浅层次要求，使学生有概括印象。公式为中层次要求，由浅入深，重难点集中推导讲解，便于突破。应用为综合要求，多角度、多情境中消化巩固所学，反馈验证本节教学目标的落实。

在这三步教学中，以启发性强的小设问层层推导，辅之以学生的小讨论改变教师讲、学生听的填鸭式教学模式，充分体现学生是主体，教师教学服务于学生的思路，而且学生通过“案例—公式—应用”，由浅入深，由感性到理性，由直观到抽象，不仅加深了学生理解巩固与应用，也培养了学生的思维能力。当然，本节课还有很多不足之处，请各位领导和老师提出宝贵意见。

等比数列前n项和教学设计 篇16

教学目标: 1.了解等比数列前n项和公式及其获取思路，会用等比数列的前n项和公式解决简单的与前n项和有关的问题．

2.提高学生的推理能力，培养学生应用意识．

教学重点：

等比数列前n项和公式的理解、推导及应用． 教学难点：

应用等差数列前n项和公式解决一些简单的有关问题．

教学方法：

采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法．

教学过程：

一、问题情境

提出问题：关于国王的奖赏，国际象棋棋盘的格子中分别放1，2，4，……，2粒麦子。怎样求数列1，2，4，…2，2的各项和？

即求以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的和，可表示为： 626

363S641248262263，①

2S6424816263264，② 由②－①可得：S642641．

这种求和方法称为“错位相减法”，“错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法．

二、学生活动

怎样求等比数列前n项的和？ 公式的推导方法一：

一般地，设等比数列a1,a2a3,an它的前n项和是 Sna1a2a3an，2n2n1Sna1a2a3an，Sna1a1qa1qa1qa1q，由 得 n123n1naaq．qSaqaqaqaqaq．1n11111naanqa1(1qn)或Sn1． (1q)Sna1a1q． ∴当q1时，Sn1q1qn 当q=1时，Snna1．

三、建构教学

等比数列的前n项和公式：

aanqa1(1qn)当q1时，Sn ① 或Sn1 ②；

1q1q当q=1时，Snna1．

思考：什么时候用公式（1）、什么时候用公式（2）？

（当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1，q，an时，用公式②）

四、数学运用 1.例题讲解．

例1 求下列等比数列前8项的和．

（1）

例2 某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10％，那么从第一年起，约几年内可使总销售量达到30000台（保留到个位）？

例3 求数列1,3a,5a,7a,....,(2n1)a2．练习．

课本P52练习1～4题．

五、要点归纳与方法小结：

1.等比数列求和公式：当q= 1时，Snna1； 23n11111，，…；（2）a127,a9,q0． 248243（a1）的前n项的和．

a1anqa1(1qn)当q1时，Sn

或Sn ．

1q1q2．这节课我们从已有的知识出发，用错位相减法推导出了等比数列的前n项和公式，并在应用中加深了对公式的认识．