等差中项证明等差数列

等差中项证明等差数列（共7篇）

等差中项证明等差数列 篇1

例如：1,3,5,7,9……2n-1。

通项公式为：an=a1+(n-1)*d。首项a1=1，公差d=2。

通项公式推导：

a2-a1=d;a3-a2=d;a4-a3=d……an-a(n-1)=d,将上述式子左右分别相加，得出an-a1=(n-1)*d→an=a1+(n-1)*d。

前n项和公式为：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2

Sn=[n*(a1+an)]/2

Sn=d/2*n+（a1-d/2）*n

等差中项证明等差数列 篇2

一定义法

二函数法

等差数列的通项公式an=a1+ (n-1) d=dn+ (a1-d) 是关于n的一次函数, 利用此性质, 在高考中, 我们不仅可以解决选择填空题, 还可以进一步解决解答题。

分析:本题第一问可利用定义法证明, 第二问可在第一问的基础上由累加法求出, 关键难点在第三问。

将以上各式相加得:上式从1到n-1累加得:

三等差中项法

要证明{an}为等差 (比) 数列, 只需证明它的任意三项an, an+1, an+2成等差 (比) 数列, 即2an+1=an+an+2 (an+12=an·an+2)

例3, (2006年福建) 已知数列{an}满足a1=1, a2=3, an+2=3an+1-2an (n∈N+) 。

(I) 证明:数列{an+1-an}是等比数列; (II) 求数列{an}的通项公式; (III) 若数列{bn}满足4b1-14b2-1…4bn-1= (an+1) bn (n∈N*) , 证明{bn}是等差数列。

nn分析:本题和例2相仿, 第一问可用定义法证明, 第二问可在第一问的基础上由累加法求出, 这里从略。

证明 (III) :由 (I) (II) 可得:∴an=2n-1 (n∈N*)

摘要：对等差数列和等比数列的考查是近年来高考的一个新热点。本文从近年来高考试题入手, 分析此类题型的三种解法。

一轮复习等差等比数列证明练习题 篇3

1．已知数列an是首项为a1，公比q141的等比数列，bn23log1an 44(nN*)，数列cn满足cnanbn．

（1）求证：bn是等差数列；

2ana2,aa6a6(nN)，n1nn2．数列满足1设cnlog5(an3)．

（Ⅰ）求证：cn是等比数列；

*3．设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN)．（2）求证：数列Sn2是等比数列； 4．数列{an}满足a11,an12n1an(nN)nan22n（1）证明:数列{}是等差数列；

an2Sn25．数列an首项a11，前n项和Sn与an之间满足an(n2)

2Sn1（1）求证：数列1是等差数列

Sn2，an16．数列{an}满足a13，an1（1）求证：{an1}成等比数列； an2*7．已知数列{an}满足an13an4，(nN)且a11，（Ⅰ）求证：数列an2是等比数列；

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8． 数列{an}满足:a11,nan1(n1)ann(n1),nN*（1）证明：数列{an}是等差数列； n9．已知数列{an}的首项a1=

22an，an1，n=1，2，… 3an1（1）证明：数列11是等比数列； an1,Snn2ann(n1),n1,2,L． 210．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1（1）证明：数列n1Sn是等差数列，并求Sn； n11．（16分）已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn2ann（1）证明：an1为等比数列；

12．数列{an}满足：a12,a23,an23an12an(nN)（1）记dnan1an，求证：数列{dn}是等比数列；

13．已知数列{an}的相邻两项an，an1是关于x方程x22nxbn0的两根，且a11．（1）求证：数列{an2n}是等比数列；

14．（本题满分12分）已知数列{an}中，a15且an2an12n1（n2且nN*）． 13a1（Ⅰ）证明：数列nn为等差数列；

215．已知数列an中,a11,an1an(nN*)an3（1）求证:11是等比数列,并求an的通项公式an;an235，a3，且当n2时，2416．设数列an的前n项和为Sn，n．已知a11，a24Sn25Sn8Sn1Sn1．

（1）求a4的值；

答案第2页，总5页 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

（2）证明：an11an为等比数列； 217．设数列an的前n项和为Sn，且首项a13,an1Sn3n(nN).n(Ⅰ)求证：Sn3是等比数列； 18．（本小题满分10分）已知数列an满足a11，an1a2（1）求证：数列n是等比数列；

n(3n3)an4n6,nN*．

n

参考答案

1．（1）见解析；（2）Sn2(3n2)1n()；（3）m1或m5 3342n12．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）3．（1）

an511Tn2n.3.；459（Ⅲ）a24,a38；

（2）见解析；（3）5

2nn14．（1）详见解析；（2）an；（3）2n326

n11(n1)23． 5．（1）详见解析；（2）an；（3）2(n2)3(2n1)(2n3)6．（1）证明{an1}成等比数列的过程详见试题解析； an2答案第3页，总5页 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

（2）实数t的取值范围为7．详见解析

8．（1）见解析；（2）Sn1331． t222n13n13 49．（1）详见解析（2）Sn21nnn1 2n12n2210．（1）由Snn2ann(n1)知，当n2时，Snn，即(SnS(n1)n1)n(n21)Snn2Sn1n(n1)，所以所以n1n11SnSn11，对n2成立．又S11，nn11n1n1Sn1(n1)1，即Sn是首项为1，公差为1的等差数列．所以nnn2Sn．

n1（2）因为

bnSn1111()32n3n(n1)(n3)2n1n3，所以b1b2Lbn． 11111111115115(L)()22435nn2n1n326n2n312k18k6k411．（1）见解析；（2）解析；（3）存在，或或．

m5m2m1812．（1）dn12n1（2）an2n11

2n12n为偶数3313．（1）见解析；（2）Sn，（3）(,1)

n121n为奇数3314．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）Snn2n1 15．（1）证明详见解析；（2）23．

7116．（1）；（2）证明见解析；（3）an2n18217．(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)(9,3)(3,)

n1．

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18．（1）详见解析（2）详见解析

《等差数列》中的函数思想 篇4

等差数列是一种特殊的函数, 其属性也必然蕴含着函数思想, 在该节中也必有可用函数思想解决的例题、练习、习题.现就苏教版《高中数学必修5》中此处的内容将其拙列如下:

1.等差数列的通项公式是关于n的一次函数an=kn+b (k, b∈R)

课本37页的思考:“如果一个数列an=kn+b (k, b∈R) , 那么这个数列一定是等差数列吗?”可利用等差数列的定义证明之, 并可得出k+b为首项, k为公差.进而得出结论:“an是关于n的一次函数”是“数列{an}是等差数列”的充要条件.

有了一次函数an=kn+b (k, b∈R) 后在38页的习题2.2 (1) 中, 第3 (2) 题“已知a4=4, a8=-4, 求a12”可得出多种做法.

解法1 转化为基本量a1, d, 把a4=4, a8=-4带入an=a1 (n-1) d, 求a1, d.

解法2a8-a4=4d, 得出d.又a12=a8+4d, 即可求得.

解法3 令an=kn+b (k, b∈R) , a4=4k+b=4, a8=8k+b=-4, 解出k, b.又有a12=12k+b, 可得a13.

解法3就运用了an是关于n的一次函数, 方法虽没有体现出什么特别的优势但可让学生再次体会函数思想, 在头脑中不断加深印象.

2.等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数

推导出公式undefined后, 不难发现数列中a1, d已是定值, 在式undefined中只有n是变量, 所以可把Sn看作关于n的函数.undefined可变形为undefined, 这是关于n的二次函数且常数项是0.图像为过原点的抛物线上的点.如41页练习4, “在等差数列{an}中, 已知S8=100, S16=392, 求S24.”除基本方法外也可不必求a1, d, 所以可设Sn=An2+Bn, 将S8=100, S16=392代入其中求出A, B便可得.同样这种方法并不比基本方法简单多少, 但又一次强化函数思想, 学生定会留下深刻的印象:“Sn是关于n的二次函数.”

在以上基础上还可继续挖掘等差数列中有关题型的函数解法:

例1 已知等差数列{an}中, a1=-9, S3=S7, 问:前几项和最小?

分析 此题可由a1<0, S3=S7易知d>0, Sn关于n的函数是二次函数, 图像是开口向上的抛物线上的点, 点 (3, S3) , (7, S7) 关于对称轴n=5对称, 于是S5最小.这种方法不需要具体计算出d的值, 只需要判断出d>0, 也就是抛物线开口向上, 再找出抛物线的对称轴就可得解.由上题变式:

①已知等差数列{an}中, a1=-9, S3=S8, 问:前几项和最小?

②已知等差数列{an}中, S3=S8, 求S11.

③已知等差数列{an}中, Sp=Sq, 求Sp+q.

解 ①由a1=-9, S3=S8得抛物线开口向上, 对称轴是n=5.5, 又函数定义域为N*, 所以S5=S6最大.

②由S3=S8可判断抛物线的对称轴为n=5.5, 所以S0=S11, 又抛物线过原点所以S11=0.

故③同②, 对称轴为undefined, 而抛物线又过原点, 所以Sp+q=0.

例2 设等差数列{an}的前项n和为Sn, 已知.判断a3=12, S12>0, S13<0, 判断S1, S2, …S12中哪一个值最大并说明理由.

分析Sn是关于n的二次函数且对应的抛物线过原点, S12>0, S13<0, 可知图像上的点 (12, S12) 在轴n的上方, 点 (13, S13) 在n轴的下方, 则抛物线在区间 (12, 13) 内与n轴有一个交点, 其横坐标n∈ (12, 13) , 又对称轴undefined, 所以n0∈ (6, 6.5) , 有a3=12, S12>0, S13<0也易判断出抛物线开口向下, 那么跟对称轴距离越近的函数值就越大, 所以S6最大.

该题用其他方法计算量大比较麻烦.像分析中利用函数思想, 数形结合就可避免繁杂的计算, 解决起来也就非常方便了.这就体现了用函数思想解题的优势.

函数思想不仅仅在等差数列中作用很大, 它贯穿于整个高中阶段.“理解函数的一个重要方法就是在头脑中留住一批具体的函数模型”.这样才能实现对函数本质的理解, 才能灵活运用函数思想解决问题.在日常教学中要充分利用教材, 挖掘教材中蕴含的数学思想, 循序渐进地把这些思想渗透到学生的认知结构中.让学生感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要, 在潜移默化中能自觉得运用这些数学思想方法去分析、思考问题, 从而培养学生的数学素养, 提高学生的综合能力.

摘要：函数思想在高中阶段是重要的数学思想, 它贯穿于整个高中数学课程.有些问题用函数思想解决要比用普通方法简单而且便于理解.在日常教学过程中应不断挖掘教材中蕴含的函数思想, 来帮助学生更深刻地理解函数概念, 体会函数思想.以便在解题中灵活运用函数思想, 提高解题速度节约解题时间.

一道经典等差数列习题的研究 篇5

等差数列{xn}的前10项的和S10=100, 前100项的和S100=10, 求S110。

有道是“说起来容易, 做起来难”, 能正确求出x1, d的同学寥寥无几, 好像是走进死胡同了, 其实不解方程组, 也能“柳暗花明又一春”! (这是兴趣小组的同学共同摸索出来的)

【法三】设等差数列{xn}的前n项的和为Sn=an2+bn, 则

法四毫无疑问是法二的类比产物。比较一下, 就可以发现, 数学的知识面越广, 解题思维越灵活, 视野自然也越开阔……

其实等差数列的性质非常多, 如果用得恰到好处, 自然会让人耳目一新。

众所周知, 二次函数或二次方程的计算量远远大于一次的, 解答此题能否像孙悟空一样也变出个花样来呢?

这个命题不仅可以一题多解, 而且其推广命题用得也非常广泛:

推广命题:若m≠n时, 等差数列{xn}的前m项的和Sm=n, 前n项的和Sn=m, 则Sm+n=-m-n。

其证明方法也是“八仙过海, 各显神通”。这里用法四的方法, 水到渠成地证一下:

但学生往往把等差数列中的另一个命题与上述推广命题混淆。

干扰命题的证明非常容易, 在此略过。笔者想强调的是, 区分这两个命题的最佳方法是用特殊值法, 进行辨别:

等差、等比数列性质的类比 篇6

与推广1不一样.当然也可以依照同样的办法写出与推广1类似的结论 (略) .

(b1b2…bt) (r-s) rs (b1b2…br) (s-t) st (b1b2…bs) (t-r) t=1, 所以得到类似的结论:已知等比数列{bn}, r, s, t是互不相等的正整数, Tn是前n项积, Tt (r-s) rsTr (s-t) stTs (t-r) t=1.

等差、等比数列作为江苏现高考的C级要求, 不少老师在钻研, 出了很多题目, 其中有不少类似上面性质运用的, 让我们学生觉得困惑, 下面来稍作分析.

分析有许多学生不知如何入手, 或者说得到的不是类似的性质, 不妨这样考虑:设an=lgbn, {an}成等差数列, {bn}成等比数列且bn>0,

上面的性质比较简单, 有一些学生是可以做的, 但遇到稍微复杂的就不行了, 如下例:

当然还有许多类似的性质, 这里就不再一一举例了, 总之等差数列有的性质等比肯定有与之相对应的性质, 反之一样.

参考文献

[1]侯雪花.等差、等比数列的一个新的性质.数学通讯, 2007 (19) .

浅谈等差数列小结论的大作用 篇7

1.等差数列{an}中, 若m+n=p+q (m、n、p、q∈N*) , 则am+an=ap+aq

例1.已知等差数列{an}中, am+an=2, 求Sm+n-1=＿＿＿＿＿＿

解析:因为1+m+n-1=m+n所以am+an=a1+am+n-1

例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn, 已知前六项和为36, 后六项的和为180, Sn=324 (n>6) , 求数列{an}的项数及a9+a10。

解析:由题知, a1+a2+a3+…+a6=36 (1) an+an-1+an-2+…+an-5=180 (2)

(1) + (2) 得 (a1+an) + (a2+an-1) +…+ (a6+an-5) =6 (a1+an) =216

得a1+an=36又∴18n=324 n=18

∴a1+a18=36 a9+a10=a1+a18=36

2.若等差数列{an}的项数为偶数2n, 则 (1) S偶-S奇=nd

例3.已知等差数列{an}的前12项的和为354, 前12项中奇数项和与偶数项和之比为27∶32, 求及公差d。

解析:设前12项中奇数项和与偶数项和分别为S奇和S偶, 则有, 据此得:S奇=162, S偶=192。由S偶-S奇=6d=30, 解得:d=5。

3.若等差数列{an}的项数为奇数2n+1, 则有S2n+1= (2n+1) an+1

例4.设等差数列{an}的前n项和为Sn已知am-1+am+1-am2=0, S2m-1=38, 求m。

解析:∵am-1+am+1=2am∴am-1+am+1-am2=2am-am2=0

∴am=0或am=2∴S2m-1= (2m-1) am=38∴am≠0 am=2∴2m-1=19, m=10

例5.已知等差数列{an}和等差数列{bn}的前n项和分别为Sn和Tn, 且

解析 (其中a9, b9分别是前17项的中间项)

4.若Sm为等差数列的前m项和, 则Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, …仍成等差数列

例6.等差数列{an}的前10项和S10=100, 前100项和S100=10, 则前110项和S110等于 ( )