三角形的外角练习（精选12篇）
知识点：
1、三角形的外角定义：
2、三角形外角性质定理：（1）___________________
（2）____________________________ 3，三角形外角和： 例题讲解：
例
1、如图
13、D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于点F，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°。（1）求∠BDC的度数；（2）求∠BFC的度数。
例
2、（1）如图9，∠α=125°，∠1=50°，则∠β的度数是_______（2）若∆ABC的三内角之比为2:3:4，则相应的外角的度数比为_________（3）如图11，AD是∠CAE的平分线，∠B=35°，∠ACB=75˚，则∠D=______（4）一个三角形的一个外角等于于它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角 的2倍，则这个三角形各个角的度数是_________（5）如图12，五角星ABCDE中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和等于________
练习1.如图，AB//CD,∠A=40˚，∠D=45˚，求∠C和∠DEA的度数 2，如图，AB//CD，∠A=45˚，∠C=∠D,求∠C的度数
例
3、如图14，已知D为⊿ABC内一点，试说明：∠ADC=∠BAD+∠ABC+∠BCD。
例4.如图已知AD为⊿ABC的角平分线，求证：∠ADC=（∠ACE+∠B)
2例
5、探究1：如图（1），在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现：∠BOC=90°+
1∠A（不要求证明）． 2探究2：如图（2）中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的数量关系？请说明理由．
探究3：如图（3）中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的数量关系？（只写结论，不需证明）．结论： ．
例6（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；（2）如图2，AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，①图2中共有________个“8字形”；
②若∠ABC=80°，∠ADC=38°，求∠P的度数；
③猜想图2中∠P与∠B+∠D的数量关系，并说明理由．
例7.△ABC中，AD、BE、CF是角平分线，交点是点G，GH⊥BC。求证：∠BGD=∠CGH.AFGEBDHC例8.如图，△ABC中,∠ABC= ∠ACB,BD为∠ABC的角平分线交CA于D,∠A= ∠ABD，求
∠BDC的度数
作业1.如图，△ABC中，CE为△ABC的外角平分线交BA的延长线于点E，求证：∠BAC > ∠B
2、△ABC中，∠A: ∠ABC: ∠ACB=3:4:5,CE是AB上的高，∠BHC=135° 求证：BD⊥AC
3如图，在△ABC中，∠B=63°，∠C=51°，AD是边BC上的高，AE是BAC的平分线，求 DAE的度数。
4、如图，BE平分ABD交CD于F，CE平分ACD交AB于G，AB、CD交于点O，且A=48，D=46，则BEC=。
BAEHDC5.如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在ΔABC内，若∠1=20°，求∠2的度数。
6．如图，∠AOB=90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．（1）当∠OCD=50°（图1），试求∠F．
（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．
7、如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=80°，试求：（1）∠EDC的度数；
（2）若∠BCD=n°，试求∠BED的度数．（用含n的式子表示）
我们这里汇聚了全国关心“整合”、研究“整合”、实践“整合”的人。您在“整合”中是否有一些成功的喜悦想与人分享, 有一些现实的困惑要寻求解答?真诚地邀请您也参与进来, 做杂志的“主人”而非“看客”。
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教材分析
本节课为人教版《数学》初一下学期的内容, 由学生已经熟悉的三角形内角和定理引入, 探索三角形外角的性质。在呈现方式上改变了以往“结论—例题—练习”的陈述模式, 而是采用“问题—探究—发现”的研究模式。本课教学以数学新课标及建构主义理论为指导, 充分关注学生的已有知识和经验基础, 尝试让信息技术成为学生学习的资源工具和探究工具, 以转变学生的学习方式, 促使学生参与、体验概念形成和获得的过程, 从中感悟抓住事物本质特征观察的数学思维方法。同时培养学生的创新意识, 促使学生信息能力发展, 体现数学学习的价值。
学生分析
学生已经适应了一对一数字化环境下的学习, 能够熟练运用计算机完成自主探究和小组合作交流, 学生课堂上学习的积极性、主动性高, 能够创造性地进行几何学习, 并进行迁移运用。
教学目标
知识与技能目标:
:理解外角的定义并能够识别三角形的外角;理解三角形外角的性质;能够用三角形外角性质计算与三角形有关的角的度数;能够用三角形外角性质解决生活中的实际问题。
过程与方法目标:
在学习外角及外角性质中体会数学中的“转化”思想;通过探究三角形外角性质的过程培养自主探究和小组合作交流的意识。
情感、态度与价值观目标:
:通过学习, 体会信息技术与现实生活及数学知识与现实生活的紧密联系;在观察、操作、推理、归纳等探索过程中, 提高学生的合情推理能力, 逐步养成数学推理的习惯, 并形成一定的逻辑思维能力。
教学重、难点
重点:
三角形外角的识别及外角性质的运用。
难点:
运用三角形外角性质进行有关计算时, 能准确地表达推理的过程和方法, 并能够迁移到生活中。
教学资源
教材、教师PPT讲稿、一对一数字化环境、探究软件工具Geogebra (动态数学软件) 。
教学过程
活动一:复习引入, 新授概念
教师画三角形, 带学生一起回顾三角形内角和定理的证明。
学生在Geogebra支持下, 自主绘制三角形, 并汇报三角形内角和的证明过程。
师:图1做辅助线之后, ∠ACD与∠ACB从位置上看有什么关系?
生:邻补角。
师:∠ACD处于三角形的什么位置, 内部还是外部?
生:外部。
师:像∠ACD这样, 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。△ABC中还有哪些外角?
生:延长BA, 延长CA等可得。
活动二:提出问题, 探究尝试
在学生对三角形外角的概念有了深入认识后, 教师引导学生自主探究三角形外角的性质。于是抛出以下三个问题, 启发学生思考, 并运用Geogebra工具进行探究。
问题1:在△ABC (如图2) 中分别度量∠A和∠B的大小, 并且度量∠ACD的大小。
问题2:∠A与∠B的和与∠ACD有什么关系?
问题3:拖动A点, 再次观察∠A和∠B的和与∠ACD有什么关系。
生:∠ACD等于∠A与∠B的和。
师:那么∠ACD和∠A谁大?∠ACD和∠B谁大呢?
图3为学生运用Geogebra进行探究过程的截图。
活动三:总结性质, 规范证明
通过上一个环节的探究, 在教师的引导下, 学生归纳得出三角形外角的两个性质。
教师引导学生回顾活动一中三角形内角和定理的证明方法。
师:我们是否可以不加辅助线来证明?
生:用等量代换。
师:在证明三角形外角性质时, 采用了等量转化, 问题的思考点在等量减等量差相等。
学生小组讨论, 尝试使用等量代换的思想证明三角形外角的性质, 并进行汇报。教师根据学生汇报的情况有针对性地讲解并用PPT演示规范证明过程。
图4为教师使用Wikispaces展示证明过程的截图。
活动四:实时练习, 及时反馈
师:以上我们学会了三角形外角的性质和证明方法, 现在我们进入抢答网, 老师为大家准备了一些题目 (如上页图5) , 以检查大家对知识的掌握情况。
学生练习, 教师对照数据分析讲解。
活动五:例题讲解, 讨论解答
例题1:已知D为△A B C上任意一点 (如图6) 。问题1:∠ADC为哪个三角形的外角?问题2:若∠ADC=70o, ∠BAD=20o, 则∠B=?问题3:若∠ADC=70o, ∠B=∠BAD, 则∠B=?问题4:若∠ADC=70o, ∠B=∠BAD, AD为∠BAC的角平分线, 求∠C=?问题5:∠ADB是哪个三角形的外角?
例题2:如图7, 问题1:∠AC'E是哪个三角形的外角?∠AC'E等于哪两个角的和?问题2:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于多少?
活动六:合作探究, 交流创新
学生利用探究工具Geogebra进行探究和交流。
例题3:已知:AB平行于CD, ∠AHE=53.02o, ∠EIC=44.96o, 求∠HEI。
师:∠HEI与∠AHE和∠EIC有何种关系?如何做辅助线? (学生小组讨论) 共有多少种方法? (学生探究, 如图8)
活动七:回顾总结, 生活应用
师生一起总结本节课的重点。举例说明在生活中有哪些应用 (如图9) 。
教学反思
本节课在跨越式课题“教师主导、学生主体”教学理念的指导下, 充分利用一对一数字化学习环境的优势, 进行了层层递进的课堂教学活动设计, 课堂上适时给学生创造机会进行网络环境下的自主探究、协作交流和及时且有针对性的反馈。
首先, 一对一数字化学习环境为学生提供了很好的自主探究和协作交流的空间, 信息技术工具不再仅仅起演示作用, 更多的与课堂内容进行深度整合, 学生自主参与课堂。
其次, 课堂活动的设计层层递进, 采用“问题—探究—发现”的研究模式, 在教师的引导下, 学生进行自主探究、协作交流, 最终将课堂知识迁移到生活中, 提高解决问题的意识与能力, 体会数学的价值。
例1一张小马扎的结构如图1,小明发现∠1=∠2，他量出∠3=100°，请你求出∠1的度数.
分析：从图中可以看出，小马扎结构形成了一个三角形，∠1、∠2是这个三角形的两个内角，∠3是三角形的一个外角，从而利用三角形外角的性质可以求出∠1.
解：根据题意知，∠3是三角形的一个外角，所以∠3=∠1+∠2.
因为∠1=∠2，
所以∠3=2∠1，
因为∠3=100°，
所以∠1=∠3=50°.
点评：本题从“∠3是△ABC的外角”找到解题思路，可见学会观察图形、发现图形特性是顺利解题的关键.
例2小明去美术馆参观（如图2），他从同一直线上三点C、D、E处分别观察油画AB（如图3），得视角为∠ACB、∠ADB、∠AEB，请你比较这三个视角的大小.
分析：比较角的大小，一般常用三角形外角的另一个性质：三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.从图中可以看到∠ADE既是△ADE的内角，又是△ACD的外角，且∠AEF也是如此，从而可以比较直线CF上方角的大小.直线CF下方的情况相似，结论同理可得.最后用不等式性质相加即可.
解：因为∠ADE是△ACD的外角，
所以∠ACE＜∠ADE.
因为∠AEF是△AED的外角，
所以∠ADE＜∠AEF.
所以∠ACE＜∠ADE＜∠AEF.
同理在直线CF的下方有，∠BCF＜∠BDE＜∠BEF，
所以∠ACB＜∠ADB＜∠AEB.
点评：本题的关键是利用外角定理来比较大小，难点是想到把所比较的角分成上下两个部分分别来比较大小.
例3学完《与三角形有关的角》后，小明在纸上画出了图4，然后神秘地对同桌小天说：“我发现了图中一个神奇的结论，只要你报出图中∠A、∠ABP、∠ACP、∠BPC四个角中的三个，我就能求出第四个.”小天报了∠A=64°，∠B
=21°，∠BPC=138°后，小明立即报出了答案，小天经过反复思考后，发现小明报出的答案是对的.聪明的你，认为小明报出的∠C是多大？
分析：我们不妨先探求小明发现的结论，这个结论一定与这四个角有关.由于图中无三角形，需构造辅助线.联想到三角形的外角定理，我们可以延长BP交AC于点E（如图5），也可连接AP并延长，交BC于E（如图6）.
解法（一）延长BP交AC于点E（如图5），
因为∠BPC是△CEP的一个外角，
所以∠BPC＝∠PEC＋∠ACP.
因为∠PEC是△ABE的一个外角，
所以∠PEC＝∠ABP+∠A，
所以∠BPC=∠ABP+∠A +∠ACP.
把∠A=64°，∠ABP=21°，∠BPC=138°代入上式得∠ACP=53°.
解法（二）连接AP并延长，交BC于E（如图6）.
因为∠BPE是△ABP的一个外角，
所以∠BPE＝∠ABP＋∠BAE.
因为∠EPC是△ACP的一个外角，
所以∠EPC＝∠EAC+∠ACP.
所以∠BPC=∠ABP＋∠BAE＋∠EAC+∠ACP，
所以∠BPC=∠ABP＋∠BAC+∠ACP.
把∠BAC=64°，∠ABP=21°，∠BPC=138°代入上式得∠ACP=53°.
点评：从以上解题过程中可以看出，解题时充分挖掘题目中的规律很重要.另外本题还用到了常用的构造外角的辅助线，大家要认真体会.
一、教学目标：
1、了解三角形的外角概念和三角形外角的性质，初步学会数学说理。通过实际的操作、度量、探索、归纳，直观确认三角形外角的三个特征：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，三角形的外角和等于360°。
2、能剪剪拼拼，动手操作，在观测、操作、推理、归纳过程中，探索发现有关结论。
3、通过小组学习等活动经历得出三角形的外角概念和三角形的外角性质。学会运用简单的说理来计算三角形相关的角。
4、通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学思想方法，培养主动探索、勇于发现，敢于实践及合作交流的习惯。
二、教学重难点： 教学重点：
1、理解三角形外角的概念，2、掌握“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的性质，并应用之解决简单的实际问题。教学难点：
1、理解“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”及应用；
2、应用三角形外角的性质解决一些综合的实际问题。
三、教学准备：
学生：三角尺、铅笔、画纸、小剪刀 教师：多媒体
四、教学过程设计：
（一）目标导入
〔投影1〕如图，△ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？（是∠A、∠B、∠C，它们的和是1800。）
若延长BC至D，则∠ACD是什么角？这个角与△ABC的三个内角有什么关系？
设计意图：通过回忆，为本节课内容作好知识铺垫，同时也为利用拼图继续探究三角形外角性质提供基础。
（二）自主学习(1)：
1.自学内容：教材第15页“思考”上.2.自学要求：学生理解三角形外角的概念。
（三）交流展示(1)：
1：三角形外角的定义：________________________________ 2：外角的特征有三：(1)顶点在___________上．(2)一条边是______________．(3)另一条边是__________________．
3、画出一个三角形，并画出它的所有外角。
4、下列图中，∠
1、∠
2、∠3哪些是△ABC的外角？
AAAEGBD3 1231BCCDFBC21ED2E
设计意图：培养学生仔细观察能力，和语言表达能力。
（四）自主学习(2)：
1.自学内容：课本15页思考到15页第3行； 2.自学要求：学生理解三角形内角和定理推论
（五）交流展示(2)容易知道，三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角，那与另外两个角有怎样的数量关系呢？
〔投影2〕如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？
∵CE∥AB，∴∠A=∠1，∠B=∠2 又∠ACD=∠1+∠2 ∴∠ACD=∠A+∠B 设计意图：通过学生的操作，使学生感受到当∠A与∠B变化时，再采用测量的方式明显就使工作量加大，从而引出能否有更一般的方法来计算类如∠ACD的度数来，使学生产生认知上的冲突，为本节课的探究提供了内驱力。通过学生的推导，来培养学生的合情推理能力。
你能用文字语言叙述这个结论吗？
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。由加数与和的关系你还能知道什么？
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。即ACDA，ACDB。
师生共同总结，老师板书。并注意与数学符号相结合。设计意图：数学符号与文字表达的一致性。
（六）自主学习(3)：
1.自学内容：课本15页例题；
2.自学要求：学生能灵活运用三角形内角和定理推论
例如图，∠
1、∠
2、∠3是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少？
分析：∠1与∠BAC、∠2与∠ABC、∠3与∠ACB有什么关系？∠BAC、ABC、∠ACB有什么关系？ 解：∵∠1+∠BAC=1800，∠2+∠ABC=1800，∠3+∠ACB=1800，∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=5400 又∠BAC+∠ABC+∠ACB=1800
∴∠1+∠2+∠3==3600。你能用语言叙述本例的结论吗？ 三角形外角的和等于3600。
设计意图：让学生会运用三角形的外角性质解决问题，同时巩固三角形的内角和的性质，合理运用适当的解题方法解决问题，并让学生学会总结用最优化的方法解决问题，得到新的结论。
（七）交流展示(3)
1、课本15页练习
2、已知：D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于F，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°
求：(1)∠BDC度数．(2)∠BFD度数．
（八）巩固练习：
1.一个三角形的两内角分别55°和65°，它的外角不可能是（）A.115° B.120°
C.125°
D.130°
2.已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形
D.以上三种情况都有可能 3.已知，如图，在△ABC中，D是三角形内一点，求证：∠BDC>∠BAC。
设计意图：把知识应用于问题解决。
（九）小结
1、什么是三角形外角？
2、三角形的外角有哪些性质？
（1.三角形的外角与它相邻的内角互补。
2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。3.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。4.三角形的外角和等于360°。注：找三角形的外角是难点，特别是当一个角是某个三角形的内角，同时又是另一个三角形的外角时，困难就更大，解决这个难点的方法是讲清定义，图形分析，变换位置，思路清晰。
内蒙古包头市包钢三中 付世卓
一、设计理念
利用课本例题、课后练习题进行一题多解，充分与现实生活中事例联系起来；在教学过程中，启发学生根据习题间的联系进行讨论，引导学生进行思考，由浅到深，由易到难，让学生在已有的知识水平上经历探究、思索的过程，引他们正确解题、运用多种方法解题，拓展他们的思维，提高想象能力。在教师的引导下，通过同学间的互相探讨、启发，把课堂上所学的内容完全转化为他们自己的知识。体会到数学来源于生活，又应用于生活。
二、教学内容的本质、地位、作用分析
本节课位于《义务教育课程标准实验教科书·数学》（北师大版）八年级（下）第六章第六节。其教学内容主要为三角形内角和定理的推论，即：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。第一次在平面几何中安排了不等关系的处理与证明。它是对图形进一步认识的重要内容之一，也是九年级数学《证明
（二）》《证明
（三）》中用以研究角相等的重要方法之一。本节的地位是让学生初步体会证明的必要性，初步掌握综合证明法的步骤和格式。本节所配的例题和习题大都不难，但涉及的实际问题不少，设计的意图是既可以强化基础、引发学生的兴趣，又为引导学生关注现实、进行深入思考预留了时间和空间；作为八年级下最后一节新课的内容，本节课起着承上启下的作用。
三、教学目标分析
本节课主要介绍了（1）三角形外角的定义和性质，（2）外角性质的应用。首先，这两个教学内容显然直接对应了本课的知识技能目标。但仅仅看到这一点是不够的，因为教材中还蕴涵着丰富的发展性目标因素，即在推导内角和的时候，让学生在教师的
引导下去亲历知识的形成过程，就能有效地培养他们的实践能力和合作意识，并得到数学思想方法的熏陶和积极的情感体验。因此，本课的教学目标可确定为：
1、知识技能目标：
三角形的外角的概念及三角形内角和定理的两个推论；体会几何中简单的不等关系的证明。
2、情感体验目标：
通过探索三角形内角和定理的推论的活动，培养学生的论证能力，拓宽他们的解题思路，从而使他们灵活应用所学知识。
3、创新性目标：
在体验一题多变、一题多解的过程中，培养学生的发散思维，引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形的角作更全面的思考，从而提高空间想象能力。
教学目标一经确立，我就要根据教学目标去组织教学内容，选用教学方法，设计教学过程，使一切教学活动都紧紧围绕教学目标的实现去展开。比如：
1、复习有关内角和定理，引入新课。
2、进入探求新知的环节后，可先让学生大胆猜想外角与内角有什么关系？再通过合作交流，自主探究建构新知。
3、学生通过推理得出结论，让学生概括总结，使学生加深对两个推论的理解。
4、通过例1的分析与证明复习旧知识，运用新知识，明确规范的证明格式；通过一题多证、一题多变的过程，培养学生的发散思维。
5、通过例2的分析与证明，让学生体会某些不等的关系的递推和论证过程，加深对推论2的理解和应用。一题多证的过程，培养学生的发散思维。
6、通过数学理解的分析与证明，让学生更体会到三角形外角性质的重要性，把实际问题转化成几何问题，建立数学模型，与现实生活联系起来；体会到数学来源于生活，又应用于生活。
四、教学问题诊断。
本节主要介绍三角形的外角及其性质，是一节探究课。本节的知识内容很突出，就是要让学生了解三角形的外角及其性质，所以在教学过程中，教师可以让学生探索，利用多种方法进行研究。同时要关注学生的合作交流，开阔学生的思路，让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
在教学设计上，我认为关注学生自主学习、合作交流的过程，让学生体会数学知识应用的灵活性，感受数学基础的重要，在获得数学活动经验的同时，提高学生探究、发现和创新的能力。但在实际的教学中，学生对外角的特征掌握还不够，有部分学生不能很好的确定三角形的外角；在几何证明时，不能直接利用外角的性质，而是重新又推导证明过程；学生的思路不灵活；在解决实际问题时，不能与数学联系起来，建立数学模型，从而解决问题；具有总结性的知识，学生概括的不够全面。
五、教法特点及预期效果分析。
（1）合作学习法：让学生讨论，研究问题，合作交流，使他们在学习中学会取长补短，共同进步，不断拓展和完善自我认知。
（2）归纳总结法：引导学生从解题过程中总结经验，寻找规律、联系点，从而达到灵活应用。
为了提高课堂45分钟的学习效率，我把本节课的教学知识点设计成点点深入、题题相扣，对课本的教学顺序进行研究，从课本的例题出发，增加几道实际问题；学生在解题的同时接触三角形的外角知识，加深他们对课堂内容的记忆和理解；在学生体验一题多变、一题多解的过程中，既强化了课本的基础知识，又
1用翻折法，就是七下数学书上第6页介绍的那种（把一个三角形向里折成一个矩形，三个角在一起）
2从一个顶点做对边的平行线，用内错角相等来证
3任意做一个四边形，连接对角线，分成两个三角形，再用四边形内角和360来证4将任意一个三角形做高分成两个直角三角形，再利用斜中线定理来证5延长一边，用一个角的外角等于其不相邻的两个内角和
6画这个三角形的外接圆，用圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半来证
7画这个三角形的内切圆，连接圆心和三角形的顶点，可得到三个三角形的内角和等于一个三角形的内角和＋360°
8过三角形内一点做三边的平行线，在用内错角相等、同位角相等、对顶角相等把三个顶角弄在一条直线上
9也可过边上一点做其余两边的平行线用类似于8的方法来证
10延长三边（若三角形ABC只需延长ab bc ca 不需要延长ba cb ac）有三条直线则为520°又因为外角和360°所以内角和180°
●初中几何教学难点与问题
几何是研究物体的形状、大小和位置关系的学科。掌握几何知识的前提是对几何图形有清晰的认识, 并在此基础上探究“数”和“形”的关系。目前初中几何教学, 由于受教学条件或者教师理念等限制, 课堂的深刻性、灵活性、独特性、敏捷性、批判性等, 没有能够很好地体现出来。对于图形化教学, 学生没有信息技术工具支持协作和探究。跨越式课题要求在进行信息技术与课程整合时, 必须彻底变革传统的课堂教学结构, 教学设计理念由“以教为中心”转变为“学教并重”。
●信息技术工具支持的几何教学特点
1. 生动直观, 有效化解重难点
教师要为学生想象力的发展创造有利条件, 设计良好的教学活动, 实现课堂上学生自主、合作、探究的过程。各种信息技术工具是支持几何课堂教学的有效工具。学生可以根据自己的想象, 在几何学习软件的支持下, 进行自主探究。几何学习软件的突出优势在于, 将原本静止、抽象的几何形状, 变得形象、生动和直观, 有利于突破教学中的重难点, 学生通过亲自动手操作, 自主探究, 有利于知识意义的自我建构和迁移应用。目前, 几何教学中常用的软件有几何画板、Geogebra等。
图1和图2展示了几何画板工具生动直观地再现几何图形的动态变化以及不同图形之间的位置关系。
2. 动手实践, 促进学生数学思维发展
数学课堂活动的核心理念在于“真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法, 获得广泛的数学活动经验”。通过活动确立学生在教学过程中的主体地位, 让学生享有充分的思想和行动自由, 实现学生素质的整体发展。跨越式课题关注学生多种思维能力的发展, 在数学教学中强调要在“做中学”, 让学生亲自动手实践, 将抽象的知识形象直观地展示出来。对于几何教学, 这些抽象的形状、变化以及背后的数学知识, 借助信息技术工具的支持, 通过学生动手实践, 都可以清晰直观地进行展示, 加深学生对知识的理解, 并促进知识进一步被迁移运用。
●教学活动设计原则
1. 复习导入环节情境的有效性
在复习导入环节, 教师设计的活动重在激发学生学习兴趣和帮助教师掌握学情。导入环节起着承上启下的作用, 既复习上一堂课的内容, 为新授内容的学习做好准备, 又在简单、轻松的环境下增强学生学习的自信心。因此, 教师要创设有效的学习情境, 引导学生走入情境—复习旧知—自然迁移—学习新知。
在金政国老师《三角形的外角》这节课的导入环节中, 首先引导学生回顾了三角形的内角和, 为进一步引出三角形的外角和学生对外角性质的探究做好铺垫。教师以游戏的形式导入, 学生利用软件工具Geogebra自主绘制图形, 并汇报三角形内角和的证明过程。然后, 结合学生对已有知识的掌握和现有认知水平, 逐步诱导学生去认识三角形的外角。
2. 自主探究环节的实践性
在自主探究环节, 教师要引导学生进行观察和归纳, 要给予学生足够的时间、资源和必要的引导, 使绝大部分学生都能够发现规律。学生通过自己的实践, 发现数与数、图形与图形、数与图形之间的关系, 并形成一定的数学表达式, 学生直觉思维和逻辑思维、视觉空间智能在他们兴趣盎然的探究过程中得到了有效的培养。
在对三角形外角性质进行探究的过程中, 金老师抛出三个问题, 启发学生进行思考, 并运用Geogebra工具进行探究。三个问题都具有很强的实践操作性, 可以让学生通过自行操作软件、仔细观察来获得答案。这样的问题设计, 使信息技术成为学生思维外化的认知工具。在促进知识理解、发现规律等方面, 信息技术工具发挥了不可替代的作用。
3. 反馈环节的及时性与针对性
在教师引导下, 学生通过探究、观察获得了数学规律的感性认识, 而数学规律还应用数学方法得到验证。比如, 几何规律可以通过证明验证, 数与代数的规律可以通过验算进行验证。需要指出的是, 这里不强调反复的数学验算和几何证明技巧, 强调的是学生数学思维的形成, 要明确数学规律可以观察、发现, 也可以用科学的数学证明方法进行验证, 而这对于学生学会认知是极为重要的。在反馈环节, 教师可以采用多种形式, 反馈要做到及时并且具有针对性。
在《三角形的外角》这堂课上, 学生自主探究得到了三角形的外角性质。在观察大部分学生都获得了这个规律之后, 教师及时总结了三角形的外角性质, 并结合复习导入三角形内角和的证明方法, 启发学生运用等量转化的思想进行外角性质的证明, 再用PPT演示规范证明过程。教师还将需要进行及时反馈的练习题目放在抢答网上, 学生进行实时练习和提交, 教师根据学生练习的正确率来把握学生对新授知识的掌握情况, 并进行有针对性的讲解。
4. 拓展应用环节的层次性
学生将获得的概念或规律应用于解决一些问题, 可以是进行一些练习, 也可以是解决一些实际问题, 如用轴对称概念解决“在河边建一个水电站, 使之到两个供电站的距离之和最短”等。此时学生还可以再次使用探究工具解决问题。拓展应用环节题目的设置可以遵从从简单到复杂、从形象到抽象、从课内到课外等, 要有一定的层次性, 学生能够把课内学到的数学知识进行迁移, 用于解决现实生活中的问题。
《三角形的外角》的课堂上, 教师设计的题目从判断正误入手, 把握学生对基本概念的掌握情况;然后是简单三角形和复杂图形中三角形外角的识别与外角和公式的运用;最后结合生活实际, 让学生在现实的生活情境中去感悟外角并运用外角和的性质。层层递进, 使学生对课堂教学知识有深入的理解并进行实际的运用。
三角形ABD和三角形ADC是两个等底等高的三角形，所以它们的面积相等，三角形ADC的面积占三角形ABC的一半，面积是
平方厘米。在三角形ADC中，三角形ADE和三角形CDE等底等高，所以三角形ADE的面积占三角形ACD面积的一半，是
平方厘米。在三角形ADE中，AEF和DEF是两个等底等高的.三角形，它们的面积相等，所以三角形DEF的面积相当于三角形ADE的一半，即
平方厘米。
(平方厘米)
浔中中心小学
陈利建
教学目的：
1、使学生进一步熟悉三角形面积的计算公式，熟练地计算不同三角形的面积，能运用公式解答有关的实际问题。
2、让学生在合作、动手操作的过程中再次体验数学，培养学生的分析能力和初步的概括能力，并注重解题后的反思或小结。
3、体验数学在生活中的作用，培养学生良好的合作意识和探究意识。教学重点：加深理解、运用所学知识正确解答有关三角形面积的应用题。教具准备：方格纸、彩笔。教学过程：
一、复习检查
复习三角形的面积公式与推导过程
师：同学们，经过上一节课的学习，你都有什么收获？能告诉老师与同学们吗？ 生：三角形的面积计算公式。（教师根据学生进行板书，写除以2）
师：为什么公式中有一个“÷2”呢？你能告诉老师吗？（复习三角形面积计算公式的推导公式）
二、基础练习
列式求面积，只列式不计算。（主要是检查学生对公式的应用）
三、综合练习
同学们表现真的很不错，老师想考考大家，有信心吗？同学们做好准备吗？
1、选择题。（每小题5分）
（1）两个（）的三角形可以拼成一个平行四边形。
A、面积相等
B、完全一样
C、等底等高 2）平行四边形的面积是44cm2,与它等底等高的三角形的面积是（）cm2。
A、44 B、22
C、88（3）一个三角形的底是3分米，高是2分米，与这个三角
形等底等高的平行四边形的面积是（）dm2。
A、6 B、3 C、12（3）如图，甲的面积（）乙的面积。
A、> B、<
C、=
2、你能利用方格纸画出面积为9cm2的三角形吗？小组合作讨论，在画时底和高都取整厘米数，标出数据，并写出计算面积的算式。（1）、学生合作完成，教师指导。（2）、汇报交流画法与列式。
师：说说你是怎么想的？（底和高相乘得18）
3、生活中的数学。
（1）、王大爷有一块三角形菜地，底边长25m，高12m，预计每平方米收萝卜16kg。你能帮王大爷算一下，一共可以收萝卜多少kg？
（2）、王大爷有四个儿子，他要把三角形的菜地平均分给他的四个儿子，你能帮王大爷分吗？你能想出几种方法？
（3）、郑大爷有一块平行四边形的菜地，现把它分割成两个完全一样的三角形（如图），每个三角形的面积是540m2,现郑大爷要在平行四边形的周围围上篱笆，请你帮郑大爷算一下这篱笆一共要多长吗？
4、附加题：（每题25分）
（1）、一个三角形和一个平行四边形的面积相等，底也相等。如果平行四边形的高是12厘米，那么三角形的底是多少厘米？（你能利用方格纸把它们画出来吗？）
1. 我们把两个能够互相重合的图形成为全等形.
(1)请你用四种方法把长和宽分别为5和3的矩形分成四个均不全等的小矩形或正方形，且矩形或正方形的各边长均为整数;
(2)是否能将上述3×5的矩形分成五个均不全等的整数边矩形?若能，请画出.
2.一块土地上共有20棵果树，要把它们平均分给四个小组去种植，并且要求每个小组分得的果树组成的图形、形状大小要相同，应该怎样分?
3. 某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的.花卉，图中给出了一种设计方案，请你再给出四种不同的设计方案.
4. 用任意2个全等的三角形能拼成平行四边形吗?自己画两个全等的三角形试一试，把你拼的图形画出来，说明理由.
一、全等三角形
1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等三角形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。
2、全等三角形有哪些性质
（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
（2）全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)
这个角的平分线。
1、性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2、判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
例题：
1.如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
(1)求证：ABE≌△CAD；
(2)求∠BFD的度数．
2.如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于点O.求证：(1)△ABC≌△AED；(2)OB＝OE.E
3.如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M．（1）求证：△ABC≌△DCB ；
（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段
BN与CN的数量关系，并证明你的结论．
BC
N
4.在⊿ABC中，∠ACB的平分线交AB于E，过E点作BC的平行线交AC于F，交外角∠ACD的平分线于G。求证：F为EG的中点。
6． 已知：如图13－4，AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB，求证：△EAD≌△CAB．
7． 如图13－5，△ACD中，已知AB⊥CD，且BD>CB, △BCE和△ABD都是等腰直角三角形，王刚同学说有下列全等三角形：①△ABC≌△DBE；②△ACB≌△ABD；
③△CBE≌△BED；④△ACE≌△ADE．这些三角形真的全等吗？简要说明理由．
8． 已知，如图13－6，D是△ABC的边AB上一点, DF交AC于点E, DE=FE, FC∥AB,求证：AD=CF．
A
图13－
4B
B
图13－
5B
图13－6
C F9、（5分）如图：AC=DF，AD=BE，BC=EF。求证：∠C=∠F。
EBD
A
CF10、（6分）如图：AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，AFD=CD。求证：BE⊥AC。E F
BC D
A
11、（7分）如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，C，D。C求证：（1）OC=OD，（2）DF=CF。
12、（8分）如图：在△ABC，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F。求证：AF平分∠BAC。A
E
F
CD
O
DF
教学目标：
使学生进一步掌握平行四边形、三角形和梯形的面积公式，能正确、熟练地计算它们的面积。
教学重点：正确运用公式计算所学图形的面积。教学难点：解决问题 教 法：引导法 学 法：练习法 教学过程：
一、复习概念。
1、回答下列各图形的面积计算公式和字母公式。长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形。
2、平行四边形、三角形、梯形的面积公式是怎样推导出来的？
二、基本练习。
1、填空。3.6公顷＝（）平方米 1200平方米＝()公顷 4平方千米＝（）公顷 52公顷＝（）平方千米 160平方厘米＝()平方分米＝()平方米 0.25平方米＝（）平方分米＝（）平方厘米
2、计算下面每个梯形的面积。
①高30分米 上底8米 下底12米 ②高5.6米 上底9.5米 下底12米③下底5.4分米 上底5.8厘米 高5.2厘米
三、提高练习。一个鱼塘的形状是梯形，它的上底长21米，下底长45米，面积是759平方米。它的高是多少？
四、课堂小结。你今天有何收获？讲出好方法与大家分享。
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