数学与哲学读后感（精选8篇）
假期里，我看了张景中院士献给数学爱好者的礼物----《数学与哲学》一书，书中主要内容包括了“万物皆数”观点的破灭与再生、哪种几何才是真的、变量·无穷小·量的鬼魂、自然数有多少、罗素悖论引起的轩然大波、数是什么、是真的但又不能证明等。
由于具体的数学问题多如繁星，数学家往往整天埋头于解决数学问题，无暇关注数学发展中出现的“矛盾”。但数学史告诉我们，恰好是“矛盾”的一次次解决，才导致数学发展的飞跃与深化。张景中的书《数学与哲学》就是对数学发展中这些重大的历史事件，用通俗的讲法向大众展示当时的争论内容与形势，及以后的解决办法及数学的飞跃发展。
例如关于数，是否仅有自然数及由它产生的有理数就够了。那么√2是什么？这就导致无理数的产生。在欧氏几何中，不少人企图给出第五公设的证明，但都失败了。这导致非欧几何的产生；无穷小量的应用与定义，导致严格实数极限理论的建立；无穷集合的比较；集合定义的确定及哥德尔定理，等等。每经过这些重大的历史事件，数学思想都得到飞跃，从而使数学得到质的发展与飞跃。
翻开西方数学史或哲学史，人们会发现一个有趣而重要的现象：西方数学与哲学有着千丝万缕的联系。这种联系不但源源流长，而且绵延至今。
追溯起来，数学与哲学自西方哲学诞生之日起就结下了不解之缘。西方第一位哲学家泰勒斯是数学家；著名数学家毕达哥拉斯在对数学的深入研究上得出了“万物皆数”的著名哲学命题；大哲学家柏拉图相信数是一种独特的客观存在，由此产生了数学上的“柏拉图主义”„„进入20世纪，围绕着数学基础研究所产生的三大流派更是把两者的关系推向了高峰。
在这两千多年结伴而行的漫长岁月里，哲学与数学相互影响，相互促进，与此同时也产生了许多介于两者之间的问题。比如：如何理解数学的真理性？什么是数？如何理解无穷、连续概念？等等。对这一系列问题的研究与探讨，促成了对数学进行哲学分析的数学哲学分支的确立。然而，由于问题的复杂，涉及面的广泛，分歧的众多，一般人对之只能望而却步，对有关数学哲学研究有一个概貌了解都成为一件困难的事情。
书中，对有关数学哲学问题及数学与哲学的关系等都能以浅显平易的话语娓娓道来，做出极为清晰的解释。为了把深奥的道理变得更容易为一般人所理解，作者还不时加入非常恰当的比喻。比如在论述数学的真理性问题时，指出对现在的数学家来说问题不在数学结论是不是真理，而在于选择适当的结构。那么这种选择是不是完全随意，没有标准呢？不是。哪些结构要增加，哪些结构要修改，信息仍来自科学实践。如何能把这样重要的道理讲清楚？ 书中打了一个比喻：“当一个顾客到裁缝那里订做服装时，顾客可以指责尺寸错了，颜色错了，布料错了，等等。一旦服装设计不针对具体的人，就没有对错问题，只有选择问题。这里有各式各样的服装，请您试穿。你不合适的那种服装，说不定是另一位顾客最喜爱的呢！如果裁缝以此为理由而随心所欲，不调查体型，不研究心理，不适应潮流而乱做一气，那也只有关门。数学家把结构作为研究对象，好比是不再单为固定的顾客加工服装了，他面向普遍的需要，他占领广大的市场。”（引自《数学与哲学》117页）深奥的数学哲学观点通过生活中的常识一解释就变得非常明白易懂了。
在书中还提出了许多新颖的观点。如用“模糊的哲学与精确的数学——人类的望远镜与显微镜”来描述数学与哲学各自的特点；认为“数学的领域在扩大。哲学的地盘在缩小”等等。值得注意的是作者还对自己的部分数学研究工作做了新颖的哲学分析。如他从自己举例子证明几何定理的研究出发，探讨了关于演绎与归纳统一性问题；用连续归纳原理说明实数系与自然数系的共性等。
看完这本书之后，我还查阅了一下张景中院士对于数学教学的观点，觉得也很受启发，比如他认为如果只是把课本编得简单一些，但考试仍然很难，那么学生就不会真正“减负”。他主张“多学少考”，课本不妨略深一点：如果学的深度不够，学生很难体会到数学的趣味；考试简单一些，孩子们才能在轻松中寻找数学的乐趣。
此外，在小学和初中的课程设置中要加强对几何的学习，而不是像现在这样轻几何而重数学运算。美国是在数学教育方面花气力最大的国家，但是连美国人自己也承认他们的数学教育收效不大。他认为，其中一个重要的原因就是他们从20世纪60年代开始在教材的编写中将几何砍掉得太多了。图形不是枯燥的，是容易理解的。一开始学数学，孩子们可能还不能理解数学的很多妙处，因此应该通过图形的运动变化吸引他们的兴趣。随着学习的深入，逐步引导孩子用代数、运算的方式直至微积分的方法解决几何问题。
早期数学家与空间相关的研究称为几何,几何主要研究图形,尽管在物理学家看来那就意味着某种空间,但早期数学家不这么说。数学空间概念是在数学与物理关系的密切发展中相对于物理空间概念逐渐提出并成为数学家研究对象的。要谈数学空间,首先需要从物理空间开始。古希腊人是先有关于位置、地方、处所、虚空以及广延的空间经验,然后经过抽象形成空间概念。17世纪,空间概念开始受到重点研究,[1]139尤其在牛顿绝对空间观与笛卡尔坐标系概念的影响下,形成了具有背景特征和几何化特征的近代空间概念。背景特征指空间是所有物体存在和运动的背景,物体参照它确定自己的位置;几何化特征指空间是无限延伸、均匀各向同性的。[2]
近代空间观念(牛顿力学)的数学基础是欧几里得空间,它是第一个数学空间,不过其中并没有空间概念,只有图形。欧几里得甚至一直在回避或否定一个无限延伸且均匀各向同性的空间概念,这可以从他有关线、直线、面、平面的定义、平行公设以及图形相等的公理中看到。[2]克莱因指出这是因为欧几里得发现这些问题已经在他的前辈之间造成了无尽的争论;[3]201波克纳也曾指出,这是因为古希腊的几何太过僵化而无法真正应对空间问题,他认为真正的对数学空间的认识与研究是从笛卡尔坐标系的引进开始的[1]157。不过欧几里得空间的概念是19世纪非欧几何创立之后才开始确立的,[2]它是一个三维、平直、无限延伸、均匀各向同性、连通、紧致、具有距离关系且作为背景的数学空间。[4]
三维欧几里得空间是一种距离空间,其中两点的远近可以由距离的大小来判断;三维欧几里得空间在维数上进行推广就是n维欧几里得空间;只具有欧几里得空间平直性的空间是线性空间或向量空间;既具有欧几里得空间平直性,又具有范数(空间中每点或每个向量所具有的“长度”,称为范数)的空间是线性赋范空间;只反映点与点之间亲疏远近关系的空间是拓扑空间;函数也可以构成空间,如作为量子力学数学基础的希尔伯特空间。这些数学空间全部或部分地保持着欧几里得空间的性质。[4]
与欧几里得空间最为不同的是非欧几何形成的弯曲空间,虽然仅仅是一个平行公设的差别,但它们已然不具有欧几里得空间的平直性、无限延伸性。尽管如此,早期对它们的研究往往还需要在欧几里得空间的背景中展开;直到“曲面本身可以看成一个空间”[5]308思想的出现,对弯曲空间的研究才完全在曲面自身上实现,而不再需要记得它们还处在三维欧几里得空间的背景中。[6]弯曲空间虽然在整体上看与欧几里得空间不相同,但在局部上都可以看作是欧几里得空间。n维弯曲空间又称为n维流形,这就是作为爱因斯坦广义相对论数学基础的黎曼几何,这种几何也称为内蕴几何,相应的弯曲空间称为黎曼流形,流形概念扬弃了空间概念普遍具有的背景作用。[4]常常我们也将黎曼流形称作黎曼空间,不过这时候应该注意,与近代所形成的空间概念相比,这个空间的意义已经发生某些变化。之后所有的变化促使20世纪数学空间概念具有了超越物理空间的崭新意义:凡是具有某种结构的集合都可以称为空间。[7]280
20世纪,对流形的整体性质与局部性质之间关系的研究,形成了纤维丛,[8]纤维丛是规范场理论的数学基础;黎曼流形中有一类特殊流形是凯勒流形[9],凯勒流形中有一类特殊流形是卡-丘流形,也称为卡-丘空间,它是弦论的数学基础。
这些与物理史上重大理论相联系的数学空间,它们的发展具有某种哲学特征,这种哲学特征已经清楚地体现在这些物理理论的发展中,那就是本体、认识以及方法从分立到渐进融合,本文从这些数学空间历史形成的角度分析它们所体现的这种哲学特征。
二欧几里得空间中本体、认识与方法之间的分立关系
前边已经谈到,我们形成的有关欧几里得空间的认识,更多的是来源于牛顿力学的影响,而不是欧几里得。原因是欧几里得在他的几何著作《原本》中根本就没有讨论空间,只说图形。至于欧几里得为什么要研究这些图形,他自己没提,开篇就开始了严谨的数学论述。依据克莱因的研究,欧几里得研究这些图形的目的是为了将其用于天文学、光学和音乐方面。[3]165-166而在欧几里得之前,古希腊就已有40多位有史可查的学者,研究数学与天文学,形成了一定数量的系统排列的命题。[10]13-22
对此,欧几里得首先严密选择了131个定义,选择标准是这些定义必须是一望而知的,比如点是没有部分的那种东西;线是没有宽度的长度;一线的两端是点;直线是同其中各点看齐的线;面是只有长度和宽度的那种东西;面的边缘是线;平面是与其上直线看齐的那种面;平行直线是在同平面内的直线,向两个方向不论怎样延长,它们在哪个方向都不相交;图形是被一个边界或几个边界所围成的;体是有长、宽、高的那种东西。体的边界是面。球是固定一个半圆的直径,旋转半圆到开始位置所形成的图形;圆锥是固定直角三角形的一条直角边,旋转直角三角形到开始的位置所形成的图形;圆柱面是固定矩形的一边,绕此边旋转矩形到开始的位置所形成的图形;立方体是六个相等的正方形围成的立体图形;正八面体是八个全等的等边三角形所围成的立体图形;正二十面体是二十个全等的等边三角形所围成的立体图形等。[3]67-97这些定义确立了欧几里得空间的基本研究对象:点、线、面、体、数。
这些基本研究对象来源于人们对现实物质世界的感觉、认识和实践,对它们的定义要求一望而知,这是亚里士多德的经验主义的做法。虽然亚里士多德有理念论的老师柏拉图,但亚里士多德是个物理学家[3]173,他认为知识的来源是感觉经验,而不是纯理性[11]4。事实上这是要排除认识对研究对象的任何影响,也就是说,这些研究对象被作为认识之外的客体来定义,任何人一看都是这样,不会因人而异,不需要夹杂任何个人的认识与理解,即对这些研究对象的定义没有超出它们是客观存在这一简单论题[11]24。这实际上是一种数学本体实在论的立场,这种立场的观点是:至少某些数学对象客观地独立于数学家存在。[11]25由此来看,在欧几里得几何中认识与本体是分立的。
除了131个定义,欧几里得还选择一望便知其为真的5个公理和5个公设。5个公理是:等于同一个量的量彼此相等;等量加等量,其和仍相等;等量减等量,其差仍相等;彼此能重合的东西是相等的;整体大于部分。5个公设是:由任意一点到任意一点可作直线;一条有限直线可以继续延长;以任意点为中心和任意距离可作一圆;凡直角都相等;同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角的和小于两直角,则这两直线无限延长后在这一侧相交。[12]对这5个公理和5个公设的选择要求是一望便知其为真,也是要排除认识对它们的任何影响,确保这些关于点、线、面、体的基本认识没有超出它们是客观存在这一论断。
如果这些一望而知的131个定义与一望便知其为真的5个公理和5个公设是客观的、独立于人的认识而存在的,那又如何获得关于它们的进一步的知识呢[11]27?对此的思考,经验主义与理性主义是一致的,即一旦相关的观念已获得,则对数学知识的追寻就不再需要任何进一步的经验。[11]72欧几里得以这些定义、公理、公设为出发点,通过推理论证以及借助直观图形的方法,逻辑整理了465个命题,形成蕴含三维欧几里得空间的著作《原本》(13卷)。[13]
其中,推理论证的原则是:后一个命题是先前已证明命题的逻辑结果,而先前已证明命题又是更先前已证明命题的逻辑结果,这样一直逆推上去,[14]最终起点就是一望便知其为真的5个公理和5个公设或者是一望而知的131个定义。只要不是公理和公设或者定义,无论直观上多么明显的命题,欧几里得都耐心地给予证明。[15]这样做的原因是,不仅这种方法不会对研究对象产生任何影响,研究对象对这种方法也不会有任何作用;另外也排除了认识对这种方法的任何影响,使得本体、方法与认识都是相互分立的。
另外,借助直观图形是指:(1)在一些命题中运用图形的特殊情况得出一般结论;(2)运用图形给出符合常理的论断;(3)图形只是作为分析依据,而不作为论证。其中感觉和经验判断起了很大作用[12],人们常常认为这些是欧几里得几何的不足之处,[16]但这也进一步保证了通过推理论证得出的知识没有超出它们是客观存在这一判断,即本体与认识是分立的。
正是欧几里得几何的这些定义、公理、公设及通过推理论证和借助直观图形的方法逻辑建立命题的方式,使得人们相信得到的命题不仅是对这些客观数学对象的真实描述,也是对现实世界中形与形之间客观存在着的关系的描述,所以从它问世后相当长的时间内,都被认为是最可靠的知识,[10]227并进一步被运用到天文学、光学和音乐的研究中。
如果使用不同的圈来描述欧几里得空间中本体、认识与方法的话,会形成图1:
其中,欧几里得空间中的本体是三维空间中的点、线、面、体、数,欧几里得主要通过采用以定义、公理、公设为起点,借助图形直观进行逻辑推理论证的方法,形成了对本体的认识,即所说的欧几里得几何。在这里,对点、线、面、体、数的定义要求一望而知,这使得本体与认识之间是一种分立关系,对本体的认识所采用的方法是以一望而知的定义和一望便知其为真的公理、公设为起点的借助图形直观的逻辑推理论证,这使得本体与方法、方法与认识之间也是一种分立关系。
三黎曼流形中本体、认识与方法之间的交融关系
在欧几里得几何中,欧几里得一直极力使用一望而知的定义、一望便知其为真的公理与公设以及借助直观图形进行逻辑推理论证,一般不涉及无限与无穷的概念和论证方法,实在需要的地方,正好有欧多克斯的穷竭法。这是为了避免争论,因为对无限问题的争论从毕达哥拉斯时代就开始了,主要讨论线段的无限分割和无穷小量,到了雅典时期已经达到了非常尖锐的程度,提出的问题越来越具体,各家的论点和学说都有某种论证的基础,各类见解都处在无法解决和统一的矛盾状态之中。[12]实际上无限与无穷这种研究对象之所以会引起争论,是因为它们不能够一望而知,而是要夹杂一定的认识在里面,不同的认识就会形成不同的知识,研究对象不再独立于认识客观存在,而是与认识有了一定交集。同时,无限与无穷也需要引进新的方法来研究,这种方法不仅与本体密不可分,与认识也无法区分,使得本体、认识与方法三者均产生交集。
但是欧几里得最终无法全面回避这个问题,因为很多问题会涉及无限。比如在平行线的定义中,欧几里得始终不肯提包含想象成分的无限二字,而是从有限说无限。再比如第5公设,据数学史家考证,这条公设是由欧几里得本人提出的;欧几里得的前辈们给出了《几何原本》中的大部分内容,为什么不提这个内容,还不得而知;而欧几里得之所以要提这个内容,可能是为了证明有关平行线的一些性质定理。[17]25-30
欧几里得显然清楚,他自己指定的第5公设隐含着无限,所以他迟迟不肯使用这个公设,直到万不得已,才在第29个命题使用了它。除了欧几里得本人,很多数学家从一开始也反对这个公设,不断尝试证明,[10]59直到18世纪高斯、波尔约和罗巴切夫斯基各自独立地用与之相矛盾的其他公设构造出非欧几何而告终。可以说第5公设在欧几里得空间的塑造中起决定作用,它是欧几里得几何与其他非欧几何的一条鲜明的分界线。[16]
在这条鲜明的分界线画出的过程中,欧几里得第5公设的陈述被平行性的判定等价替换,也就是我们熟知的过平面上直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行。而对于非欧几何,则有两种情形:一种是过平面上直线外一点,有无数条直线与已知直线平行;另一种是过平面上直线外一点,没有一条直线与已知直线平行。这种平行性判定的等价替换,不仅简单明了,而且也明确揭示了欧几里得第5公设的本质。
黎曼几何就是一类非欧几何,其中过直线外一点,有无数条直线与已知直线平行。从第5公设的这个角度来说,从一开始无限就自然地、公开地存在于黎曼几何中,当然,本体、认识与方法会有交集。另外,就第5公设而言,非欧几何本身是构造性的,用罗巴切夫斯基的话说是“虚想的”[18]574,用波尔约的话说是“不能先验决定的”[18]587,所以,黎曼几何的本体、认识与方法也是无法区分的。
不过,历史上黎曼不是通过公设的方法,而是通过将高斯发展起来的曲率概念一般化后得到新的空间的[19]72。至于高斯的曲率概念,则有其丰富的现实来源。一方面是出于天文观测和编制历法的需要,这些事早在古代埃及和巴比伦就已开始了,为此人们研究了球面几何学。[17]这种研究在古希腊时代的著作中也都能看到,如欧几里得在研究恒星天球运动的球面几何著作《现象》中就有球面几何的内容;还有的著作系统整理了这种研究,如狄奥多修斯的《球面学》;另外,古希腊人重点创立了用于天文研究的球面三角术。[3]133-141三维空间中的球面几何,虽然还在三维空间中,但它的研究对象(球面上的点、线、面、角)已然与欧几里得几何不同,对这些本体的定义已不是通过一望而知便能够解决的,需要认识的帮助,这使得本体与认识是有交集的;当然这些本体的一些基本关系也不是一望便可知其为真了,需要认识的介入,形成新的方法,此时方法与认识也产生了交集;同时新的方法也是与本体密切关联而形成的,本体的某些部分是方法,方法的某些部分也是本体,所以本体与方法也无法进行严格区分。
除了天文,古希腊人对地理测绘工作也特别重视,他们测量或计算地面上的距离、山的高度、谷的深度、海的广度。[3]182-185对大地测量的研究在17世纪末由于引入解析几何和微积分的手法开始发展成一般曲面上的研究[20]。1697年,约翰·伯努利提出在凸曲面上求两点间最短弧的问题,即曲面上的测地线问题;1698年,詹姆斯·伯努利解决了柱面、锥面和旋转曲面上的测地线问题。1728年,约翰·伯努利研究了另外几类曲面的测地线问题;同年,欧拉给出了曲面上测地线的微分方程。1732年赫尔曼也求出了一些特殊曲面上的测地线;克莱罗在1733-1739年讨论了旋转曲面上的测地线。1760年欧拉在“关于曲面上曲线的研究”中,通过曲面上的平面截线的曲率半径,建立了表达曲面弯曲程度的曲面曲率的概念,并给出了相应主曲率的表达式。
三维空间中一般曲面的研究可以看作球面几何的进一步推广,球面几何中本体、认识与方法相交的情况自然也存在于一般曲面研究中。另外,曲面研究还使用了解析几何、微积分与微分方程的方法,其中解析几何方法弱化了欧几里得所坚持的图形的直观性,微积分完全是因为研究无穷而出现的一种方法,微分方程研究的是无穷小变化下的事情,这三种方法的使用形成了新的本体即一般曲面的研究;而对这种本体的研究又形成了新的研究内容与方法,即测地线与曲面曲率,这两者同时也是对一般曲面所形成的认识,这种认识在某种程度上,也是一般曲面本身所拥有的,可以看成本体的一部分,所以,一般曲面研究中本体、认识与方法之间有交集。
还有就是大地测量对绘制地图的需要促成了可展曲面的研究,即研究能够不产生畸变而平摊在平面上的曲面。在该方面的研究中,1771年欧拉引出了曲面的参数表示,1795年蒙日将曲面的各种性质翻译成偏微分方程的语言。[21]可展曲面的研究引进了新的方法即曲面的参数表示和偏微分方程的处理,这两种方法的形成离不开认识的帮助;同时这两种方法与其本体直接相关,使用这种方法形成的认识与本体也直接相关,无法完全区分。这进一步促进了曲面研究在本体、认识与方法之间的交集。
德国数学家高斯从1816年起在天文学、大地测量和地图绘制方面做了大量工作,为此,1827年他在“关于曲面的一般研究”一文中,通过运用欧拉的曲面参数表示以及蒙日的偏微分语言,系统地研究了曲面,给出了曲面上的弧长、两条曲线间的夹角以及曲面总曲率的表达式;从中,高斯发现曲面的几何性质仅由弧长表达式中参数坐标的函数决定,完全与曲面是否在三维欧几里得空间中无关。因此他提出一个全新观念:曲面本身就是空间,相应的几何就是曲面的内蕴几何。高斯的这个发现的证明分别由麦纳迪在1856年、博内在1867年和科达奇在1868-1869年给出。[5]301-309
高斯内蕴几何的研究,已经完全抛开了三维空间的背景,曲面本身就是一个空间,其中研究主体已经不能像研究欧几里得几何那样完全置身其外,而是需要主体置身其中。另外,三维空间中曲面的曲率是可以被想象成某种方式的弯曲和扭转;但内蕴几何的曲率是无论如何也不能以相同方式被想象的,原因在于曲率这个概念是为描述测地线的数学性质而定义的,[19]74这种构造性的特征使得内蕴几何的曲率概念扬弃了几何直观而与认识产生了密切关系。这些都促使本体、认识与方法之间产生了交集。
1854年,德国数学家黎曼做了“关于几何基础的假设”的就职演讲,这个主题是高斯指定的。其中黎曼将高斯三维曲面的内蕴几何推广为任意维曲面的内蕴几何,即n维流形的内蕴几何。就从这点来说,黎曼曲面上本体、认识与方法的交集要比高斯曲面上的大。自然的,新的本体必然带动新的方法与认识,事实是,黎曼区分了曲面的内在与外在几何性质,从微分的角度研究了曲面上任一点附近的局部性质,而不再考虑空间的整体性质。[22]
高斯指定这个主题的原因,更多地与他在天文学、大地测量和地图绘制方面的工作有关,而不是出于纯数学的考虑。黎曼本人的目的之一也是考察三维空间和n维流形哪一个在观察范围内最为真实的问题。要解决这个问题,黎曼认为困难主要是概念上而非构造上的。黎曼所说的这个概念就是n维流形,因为在日常生活中能给出这种概念的机会很小,能够产生和发展这种概念的最多的机会是在数学中,并且还需要辅助想象。[18]602-603这些都表明n维流形这个本体与认识、方法已然是密切相关,无法区分。
n维流形的概念确立后,下一步事情就是讨论它上面的度量关系。首先,n维流形中的每个点,都可以分别使用n个参数来表示,即流形的参数坐标。黎曼将无限邻近的两个点的距离定义为两点坐标函数的一个二次微分,这个表达式后来以黎曼度量著称。对于一个n维流形,有了黎曼度量,就给出了黎曼几何。[22]黎曼还定义了流形上曲线的长度、两曲线在一点的交角以及流形的曲率等,所有这些度量性质都是仅由距离表达式中坐标的函数确定,而无需把流形想象成在更高一维的流形中。对于n维流形上的这些度量关系,黎曼指出只能通过一些抽象的尺度观念来讨论,并且只能通过表达式来表达,这样,用公式来进行抽象讨论必定是不可避免的;当然,得到的结果可以用几何形式表达。[18]605这些再次表明n维流形的本体、方法与认识之间是无法区分的。
流形的这些研究在何种程度上以及在哪一点上可以由经验肯定,黎曼认为尚待解决。[5]309-311黎曼为什么会这么说,原因在于非欧几何出现以后,一度存在一个问题:物理空间的几何是否是欧几里得几何,如果不是,是哪种几何?现在我们知道,爱因斯坦的广义相对论已经从经验上肯定了黎曼有关流形的研究是一种可靠的知识。
如果使用不同的圈来描述黎曼空间中本体、认识与方法的话,会形成图2:
其中,黎曼流形中的本体是具有黎曼度量的n维流形(曲面)上的点、线、角,除了逻辑推理论证,黎曼通过运用数学家们在研究球面几何、一般曲面、可展曲面时所积累起来的解析几何、微积分、微分方程、偏微分方程、参数表示、曲率等方法以及自己给出的新方法黎曼度量,最终形成了对黎曼空间的认识,即黎曼几何。在这里,n维黎曼流形(曲面)是任意维的一个内蕴空间,对它上面的点、线、角的定义是无法一望而知的,事实上是通过数学家的认识创新以及使用近代发展起来的数学方法与方法创新才完成的,这使得黎曼流形中本体、认识与方法之间不再是分立关系,而是有一定的交集。
四希尔伯特空间中本体、认识与方法之间的进一步交融关系
希尔伯特空间来源于对积分方程的研究,积分方程是对含有未知函数进行积分的方程,求解积分方程就是要确定这个函数。数学物理中的一些问题自然地生成一些积分方程,相对于微分方程,积分方程在处理未知函数时更为方便。从18世纪末开始,个别积分方程就开始出现在数学家和物理学家的研究中。
1823年,挪威数学家阿贝尔在研究质点下落轨迹的力学问题时,首次自觉地应用积分方程来确定函数。意大利数学家伏尔泰拉从1884年开始积分方程一般理论的研究,他发现积分方程∫ayK(x,y)φ(x)dx=F(y)是含n个未知数的n个线性代数方程组在n趋于无穷时的极限情形。[23]133瑞士数学家弗雷德霍姆注意到了伏尔泰拉的这个发现,1900-1903年,他利用积分方程与线性代数方程之间的这个类似之处,在没有涉及无穷多个线性代数方程组极限过程的情况下,求解了积分方程。
弗雷德霍姆的这个工作,吸引了希尔伯特的兴趣。与弗雷德霍姆不同,在1904-1910年的论文中,希尔伯特通过讨论无穷多个线性代数方程组的极限过程,研究了弗雷德霍姆方程。其中,希尔伯特考虑了具有无穷多个系数x1,x2,…,xn,…的函数,为了将这些函数用于他的理论,希尔伯特要求x12+x22+…+xn2+…是有限数。[24]在此基础上,希尔伯特引进了一个由无穷实数组{x1,x2,…,xn,…}全体组成的集合,并在集合中任意两数组:{x1,x2,…,xn,…}={xn}=x和{y1,y2,…,yn,…}={yn}=y之间定义了一种内积运算:。这个具有内积运算的无穷集合,是数学史上第一个具体的无穷维空间,后来称作希尔伯特空间(也称内积空间)。
不过当时希尔伯特只是用它来研究积分方程,并没有讨论这些几何意义,是希尔伯特的学生们重点研究了这个定义内积的无穷集合。[7]278-279由于希尔伯特规定x12+x22+…+xn2+…是有限数,自然地,也是有限数,那么无穷数组x1,x2,…,xn,…就可以看成是无限维欧几里得空间中点的坐标,这个点到原点的距离就是[24]这样希尔伯特无穷集合中的每个无穷数组就可以看作空间中的一个点,通过几何类比,希尔伯特的学生德国数学家施密特引进了希尔伯特空间的几何观念。[25]之后,对希尔伯特空间的进一步研究还涉及内积、范数、收敛、极限、积分、正交系等概念与方法。
最后,希尔伯特的学生冯·诺依曼通过公理化方法,使用内积,将希尔伯特空间定义为复向量空间。[25]1932年,在他著名的《量子力学的数学基础》中,冯·诺依曼首次使用了希尔伯特空间这个概念,[26]并首次将希尔伯特空间作为量子力学的数学基础。[7]311一般地说,数学中大多数希尔伯特空间是函数空间,欧几里得线性空间就是有限维希尔伯特空间。[27]
从希尔伯特空间的形成可以看出,积分方程这个早期来源就已经使希尔伯特空间从一开始便无法严格区分本体、认识与方法;后来希尔伯特通过无穷多个线性代数方程组极限过程的方法来研究弗雷德霍姆积分方程,显然这种等价转换并没有影响本体、认识与方法之间的交集部分。从无穷多个线性代数方程组又引出了无穷多个系数x1,x2,…,xn,…的函数、无穷实数组{x1,x2,…,xn,…}集合以及相应的内积运算,都一再保留了本体、认识与方法间的交集部分。这表明希尔伯特空间中本体、认识与方法三者之间的这种相互交融根源于积分方程,并且一直保留到希尔伯特空间之中。另外,希尔伯特空间一般是无穷维的函数空间,这是一种抽象空间,从这一角度来说,它的本体、认识与方法之间的交集要比n维黎曼点空间大。如果使用不同的圈来描述希尔伯特空间中本体、认识、方法的话,会形成图3:
其中,希尔伯特空间中的本体是无限维欧几里得空间中由无穷维向量(一般为函数)组形成的点,希尔伯特与他的学生通过公理化、内积、范数、微积分、正交系等方法,最终完成了对希尔伯特空间的认识。在这里,无限维欧几里得空间中由无穷维向量(一般为函数)组形成的点的定义也是无法一望而知的,也是通过数学家的认识创新以及方法创新才完成的,这使得希尔伯特空间中本体、认识与方法之间有一定的交集。与黎曼流形相比,希尔伯特空间不具有弯曲的性质,不需要相应的认识创新与方法创新;但是,希尔伯特空间仍是一个相当广义的概念,原因是它把抽象点集引进适当结构作为空间研究,其中抽象点常常是复数或函数,并且这些点的维数是无穷维,它们之间定义的是内积运算,内积空间可以说是距离空间的子集,但比距离空间有更多的内容,所有这些使得希尔伯特空间在本体、认识与方法间的交集要比黎曼空间大。
五纤维丛中本体、认识与方法之间较大的交融关系
纤维丛(纤维空间)是一个拓扑空间,研究流形的整体性质和局部性质之间的关系,也即流形的拓扑结构与微分结构之间的关系。[8]117就从这一点来说,纤维丛中本体、认识与方法间的交集要比黎曼空间的大。
自黎曼以来,流形在所有局部区域上都可以看作是欧几里得空间,因此流形的所有局部区域上都可以各自引进笛卡尔坐标系,各自进行微分运算,如这种局部区域上定义的表示两点之间距离的黎曼度量,[28]296-298就阐明了局部区域上点与点之间的关系。[23]2281887-1896年,意大利数学家里奇系统地研究了黎曼度量在坐标变换之下的不变性质,[28]296-298形成了由爱因斯坦命名的张量概念。张量就是在坐标变换下按一定规则变换的函数,这些函数的数学意义在坐标变换下保持不变。[23]215-219张量概念是在这样的事实上形成的:光滑流形的每一点都可以用线性切空间来逼近,然后各点的切空间引导至相伴的张量空间。[29]切空间就像曲线各点的切线、曲面各点的切面一样,由(切)向量构成;[30]105其中一条曲线的切向量和微分是同一个概念。[31]张量概念的形成以黎曼度量为基础,同时隐含着无穷的意义,这使得纤维丛中本体、认识与方法之间的关系要比黎曼空间中的更为密切。
1917年,里奇著名的学生列维-奇维塔为了将欧氏空间的平行概念推广到流形上来定义黎曼空间中的平行向量,引进了向量的平行移动概念,称为列维-奇维塔平行移动。列维-奇维塔平行移动是切向量保持内积的一个无穷小变换,[32]136可以看作黎曼流形中两个无限邻近的切空间之间一个无穷小运动,[33]这是联络的第一个实例。[32]136列维-奇维塔的工作使得纤维丛中本体、认识与方法之间的关系要比希尔伯特空间的密切。
在列维-奇维塔平行移动的意义下,一个向量沿着曲面上一条曲线的移动是平行的,是指这个向量在由曲线的每一点切平面的包络(与每一个切平面相切的可展曲面)所展成的欧几里得平面上的移动是平行的。[23]225-226列维-奇维塔平行移动使黎曼空间具有了明显的几何意义;[28]294这表明,在黎曼空间中,对涉及曲率的绝大多数性质做出解释的是向量的平行移动,而不是黎曼度量。[32]136
向量平行移动的这个意义,很快被追随列维-奇维塔的希尔伯特的学生外尔注意到。[34]1918年,外尔发现向量的平行移动与空间的度量性质无关,这表明:流形上点与点之间的关系不一定非得用度量来规定。[23]228取代度量,外尔规定用不同点的张量之间的联系来说明流形上点与点之间的关系,为了使不同点的张量之间的比较和运算(微分)成为可能,[35]他引进了联络的概念,用来表示邻近切标架的变换,在不同点的切空间之间建立联系,[36]74这种联络称为仿射联络,这样的流形称为仿射联络空间。外尔用这种新的概念澄清了当时关于黎曼几何的已知成果,特别地,给了列维-奇维塔平行移动一个恰当的解释。[37]特别需要记得的是,在这种空间中,没有度量性质。[38]外尔的工作,使得流形逐渐走出黎曼度量的传统,转向张量与联络,进一步促进了纤维丛中本体、认识与方法之间的交融。
继仿射联络之后,法国数学家嘉当在1924年又引入射影联络和共形联络;此外,他还发现定义无穷小运动的空间并不需要是一个黎曼流形的切空间,是作用于空间上的群起着决定性作用,[32]137于是他对列维-奇维塔平行移动做了推广,[39]4在1926年提出一般的联络理论:[33]即空间各点都伴随以具有一定结构群G的克莱茵意义下的切空间,对于相邻的伴随空间,在群G下给出可重合的法则,这个法则就是联络,称为嘉当联络。[40]嘉当联络使得两个无穷近点的两个切空间的向量能够进行比较,同时可以自然地定义流形上的向量场、张量场外微分。[41]嘉当的工作,使联络失去了最后一点几何直观而全部抽象化了;尤其是群方法的引入把数学空间推向了新的抽象,使得本体、认识与方法之间的交融越来越大。
嘉当联络是纤维丛概念的先声,[28]296-298最早注意到纤维丛研究的是德国数学家霍普夫;第一个用到“纤维”和“纤维空间”这两个词的人可能是赛弗特,1933年,他将一个三维流形分解为一些纤维,每个纤维是一个简单闭曲线。第一个真正意义上的纤维丛是1935年美国数学家惠特尼给出的,他将流形本身及其上每一点的线性独立的切向量组的全体总括在一起,称为球空间,1940年更名为球丛,就是以球面为纤维的纤维丛。[42]1936年,惠特尼和霍普夫的学生施蒂费尔独立地给出了这种空间的一类基本不变量,称为惠特尼-施蒂费尔示性类。[28]296-298示性类是用以区别不等价纤维丛的一类不变量,[36]431它既是研究纤维丛的一种方法,也是纤维丛的重要组成部分,同时还是对纤维丛形成的一种认识。
30年代的纤维丛主要是流形上的切向量丛和张量丛等,后来发展为更一般的与曲面无关的纤维丛。[43]1941年,嘉当的学生法国数学家艾瑞斯曼给出了一般的纤维丛概念;简单地说,纤维丛是以一种空间为基,基上每点长出另一种空间为其纤维,所有这些纤维和它的基合在一起,称为纤维丛。[44]1949-1954年,嘉当的学生法国数学家塞尔,进一步发展了纤维丛概念。[45]441-44220世纪40年代,庞德里亚金、斯廷罗德、陈省身[39]10和吴文俊等人给出了一系列纤维丛的示性类。这些工作表明,纤维丛的示性类是流形的整体不变量,反映了流形的整体性质,[46]提供了从局部研究向整体研究过渡的合适机制。[28]296-298
1946年,陈省身认识到嘉当的联络思想与纤维丛理论有密切关系,不同的纤维丛上都可以引入各自的联络,纤维丛不同,其上联络的性质通常也是不同的;[47]纤维丛上的联络决定了纤维丛上相邻纤维的关系[36]431。1950年,艾瑞斯曼把联络定义到纤维丛上,即把具有基本群G的联络几何看作微分流形M上以G为结构群的主纤维丛上的一次微分形式(联络形式)理论,[45]433-434一般称为艾瑞斯曼联络。
从纤维丛的生成过程来看,纤维丛是黎曼流形基础上形成的一种空间,并且流形也是它的一部分,这使得它的本体、认识以及方法之间先天存在交集;纤维丛的另一部分是流形上每一点所形成的纤维,纤维之间的关系用一类附加结构联络来刻画,联络用结构群G来表示,这种构造性的抽象结构使得纤维丛中本体、认识以及方法之间进一步产生了交集。另外,纤维丛中点与点之间的关系使用张量而不是度量来刻画,纤维丛用示性类来表征,示性类反映了流形的整体性质,[48]这些都再次促进了纤维丛中本体、认识以及方法之间的交融。如果使用不同的圈来描述纤维丛中本体、认识、方法的话,会形成图4:
其中,纤维丛中的本体是n维微分流形上以一种空间为基,基上每点长出另一种空间为其纤维,所有这些纤维和它的基合在一起所生成的空间中的点,数学家通过微分、拓扑、列维-奇维塔平行移动、联络、结构群G、张量、示性类等方法,最终形成对纤维丛的认识。在这里,n维微分流形上以一种空间为基,基上每点长出另一种空间为其纤维,所有这些纤维和它的基合在一起所生成空间中的点的定义是无法一望而知的,是通过数学家的认识创新与方法创新才完成的,这使得纤维丛中本体、认识与方法之间有交集。并且纤维丛以黎曼空间为基础,又超越黎曼空间,所以它在本体、认识与方法之间的交集要比黎曼空间大;还有列维-奇维塔平行移动或说联络定义的是函数间的内积运算而不是距离的度量,这使得纤维丛具有了希尔伯特空间的内容,而张量、结构群G与示性类等认识与方法又使纤维丛超越了希尔伯特空间,所以纤维丛中本体、认识与方法之间的交集要比黎曼空间、希尔伯特空间大。
六卡-丘流形中本体、认识与方法之间的渐进融合关系
卡-丘流形形成于1976年丘成桐对卡拉比猜想的证明,卡拉比猜想是凯勒流形上的一个猜想,凯勒流形是一类特殊的复流形。复流形是一种以复数表示的偶数维空间[30]94,任意复流形上都可以定义厄米特度规,[36]344凯勒流形是厄米特流形的子类。这些关系表明卡-丘流形中本体、认识与方法间的关系要比黎曼流形中的密切。
相比厄米特流形,凯勒流形有更好的几何性质:把复数坐标的原点分别放在二者的任何一点上,复数坐标在所放点处看起来都像是标准的欧几里得几何度规;当复数坐标的原点分别离开二者的所放点时,复数坐标的度规就愈来愈不像欧氏的,就这方面而言,凯勒流形的度规比厄米特流形更加稳定。另外,凯勒流形还具有某种局部的内在对称性(与整体对称性而言)作用于流形的切空间。[49]总的来说,凯勒流形是介于厄米特和平坦流形之间的复流形,它具有足够多的结构,因此不会难以操作;但是结构又不会多到限制过多,以至于根本找不到所需要的流形。[30]104-109从这个角度,卡-丘流形中本体、认识与方法之间的关系要比希尔伯特空间更密切。
凯勒度规是复流形上最优度规,其上度规结构、复结构以及无扰条件都相容。凯勒流形大量存在,平时接触到的复流形大都是凯勒流形。[49]复流形上是否存在凯勒度规,是由流形的拓扑性质决定的。[36]341-344紧凯勒流形的几何性质(由曲率表征)和拓扑性质(由同调群表征)一直是数学家们关注的一个重要问题,特别是利用它的几何性质来获取其拓扑信息。[50]从这一点来说,卡-丘流形中本体、认识与方法之间的关系与纤维丛有类似之处。
卡拉比一直对凯勒流形有浓厚兴趣,研究中他发现:一个空间若允许一个凯勒度规,就会允许其他的凯勒度规,只要得到其中一个,就可轻易得到所有其他的。因此,他试着想找出一个较好的凯勒度规,即一个能提供最多讯息的、最不弯扭的平滑凯勒度规。[30]117-118
这个工作因他的好朋友陈省身在凯勒流形中的工作的启发有了新进展。1946年,陈省身给出了复流形的一类示性类,称为陈类。陈类是一种刻画不同复流形的概略方法,是流形的拓扑性质,简单来说:如果两个流形的陈类不同,这两个流形就不可能相同;反之却不一定成立:即两个不同的流形可能具有相同的陈氏类。[30]111陈省身提出陈类不久后发现一种用曲率表示陈类的方式,特别是陈类中最重要的第一陈类,完全可以被里奇曲率(几何性质)表示出来。[51]里奇曲率是流形的一种几何性质,是截面曲率的平均值。截面曲率是用来描述黎曼流形的曲率的一种方式,它是依赖于流形上每点的切空间的一个二维截平面,[31]截面曲率完全决定了黎曼曲率,而黎曼曲率又藏纳了流形的一切重要曲率信息。因为里奇曲率是截面曲率的平均值,所以一个里奇曲率为零(平坦)的流形未必是整体平坦的。陈省身证明的是:里奇曲率为零的凯勒流形,它的第一陈类必定也是零。[30]117-118
反过来,凯勒流形的第一陈类为零,里奇曲率是否为零,并不明显。不过,陈省身上述发现引出一个有用信息:凯勒流形中里奇曲率(几何性质)的行为受到了第一陈类(拓扑性质)的约束。[51]对此,卡拉比追问:对于凯勒流形中的里奇曲率,第一陈类是否是唯一的约束?也就是说,某些拓扑条件本身是否足以决定几何性质?[30]117-118这就是著名的卡拉比猜想的问题。在1954年的论文中,卡拉比提出并使用了他在直觉上认为正确的这个猜想,简单地说就是:第一陈类(拓扑性质)足以决定凯勒流形中的里奇曲率(几何性质)。
就在1954年的论文中,卡拉比证明了指定里奇曲率的唯一性;但是这种里奇曲率存在性的证明就相当难了,因为要涉及一个很难解的非线性偏微分方程。丘成桐完成了这件事,他在多年准备工作的基础上,通过使用眼花缭乱并且惊心动魄的大量先验估计技术,求解了所述方程(方程的解是函数),从而证明了卡拉比所述里奇曲率的存在性。当时尽管丘成桐无法给出这个里奇凯勒度规的数学表示,也无法明确说出它是什么,但它在数学上的确存在;所以在证明卡拉比猜想的同时,丘成桐还给出了满足卡拉比方程的空间。[30]139
在这类空间中,若第一陈类为零,则存在里奇平坦凯勒度规。1985年,美国物理学家坎德拉斯、霍洛维茨、斯特罗明格和威藤将数学中存在的这个具有里奇平坦度规的凯勒流形以六维卡-丘流形的名义应用到弦理论中,从此这种具有里奇平坦凯勒度规的六维流形就称为卡-丘流形,或说第一陈类为零的紧凯勒流形就是卡-丘流形。[36]217-218当然,一般的卡-丘流形可以是任意维的,第一陈类可以是不为零的常数。
由于与弦理论的结合,我们有了有关卡-丘流形的一些形象认识:一个卷曲起来非常小以致无法看到的六维空间。卡-丘流形的直径都非常小,小到连想象或几何直觉也不起作用,这使得它的本体、认识与方法的交集进一步扩大;并且这样的空间不是只有一个,而是很多,具体数目未定,其中每一个都代表着不同的拓扑结构,[52]这使得卡-丘流形还有很多简单问题没有答案,如到底存在多少个拓扑不同的卡-丘流形?是有限个还是无限个?所有卡-丘流形之间有什么关系吗?这个卷曲起来以致无法看到的空间到底有多大?看似简单的问题,但在卡-丘流形中就变得相当复杂。因为已知的太少,连逻辑演绎推理也无法很好地进行,致使如今对卡-丘流形知之甚少。[53]这种现状实际上表明,相对于已有的空间,卡-丘流形在本体、认识以及方法之间的交集已经相当大,预示着只有三者更好的协作与突破,才能促进对卡-丘流形的认识。如果使用不同的圈来描述纤维丛中本体、认识、方法的话,会形成图5:
其中,卡-丘流形中的本体是n维里奇平坦(或第一陈类为零的)凯勒流形上的点,目前数学家还没有获得有效的方法来完成对卡-丘流形的认识。在这里,复流形上的凯勒度规是由流形的拓扑性质决定的,凯勒流形中的里奇曲率则是它的几何性质;给出卡-丘流形的卡拉比猜想说的是,在凯勒流形上,第一陈类(拓扑性质)与里奇曲率是等价的,即卡-丘流形中,这个拓扑性质与指定几何性质等价,这使得卡-丘流形在本体、认识与方法之间的交集要比纤维丛大;并且从卡-丘流形的未知程度看,卡-丘流形在本体、认识与方法之间的交集相当大,甚至趋于融合。
七结语
如果克莱因说的是正确的,欧几里得是为了天文学、光学和音乐方面的目的而研究三维空间中的图形,那么欧几里得空间与牛顿力学的结合就不是那么令人费解了。欧几里得的研究之所以能被牛顿应用,是因为他发现欧几里得几何给出了现实三维平坦物理空间的全部信息。
但是,天体的运行轨道不是平坦的,地球也不是平坦的;天文学、历法编制、大地测量和地图绘制使得三维空间中曲面的研究成为需要,并且最终发展成任意维曲面的内蕴几何,即黎曼几何。面对曲面研究在不同时期的各种新课题,欧几里得空间中的公理化方法已经无法胜任,于是其他数学分支已有的方法即解析几何、微积分、参数表示、偏微分方程被引进来;不仅如此,从未有的方法即曲面曲率、高斯曲率、黎曼度量也被创新出来。一旦有了黎曼度量,黎曼流形的几何信息就成形了。黎曼做这些研究的时候,是有物理现实的考虑的,即三维空间与n维流形(曲面)哪一个最能反映我们生活的空间。这实际上和爱因斯坦广义相对论中的空间问题是一致的,所以成就了二者后来的结合。
希尔伯特空间其实也有物理来源,只因它的形成不是遵循空间几何意义而是在无穷集合上定义了一种内积运算,这实际上是后来数学上生成空间的一种常用方法。希尔伯特空间的物理来源一方面是物理问题中自己产生的积分方程,另一类是物理问题中的微分方程转化成的积分方程。无论微分方程还是积分方程,都是研究无穷小变化下的事情,这实际上与曲面的研究是一致的;只是在希尔伯特空间中侧重体现的性质是无穷个点、无穷维。为了满足量子力学的需要,冯·诺依曼进一步将希尔伯特空间发展成一种复向量(常常是函数)空间。
19世纪的高斯-博内定理建立了曲面的几何性质和拓扑性质之间的关系,而“所有将曲率和拓扑建立关系的数学结果,都会被用于物理”。[54]虽然后者是丘成桐在伯克利学习时的一位数学物理博士后费舍尔的话,但是对于纤维丛和卡-丘流形,就是这么一个规律。纤维丛源于对黎曼流形的研究,后来被发展成对流形整体性质(拓扑结构)和局部性质(微分结构)之间关系的研究。具体地说就是,纤维丛在局域上是两流形的拓扑积;但在整体上,可以是拓扑积,即平凡的拓扑积,也可以是经过扭曲的积,称为非平凡的扭曲积,[36]238后者与规范场论的大范围拓扑性质是一致的,所以最后发现规范场都是纤维丛。
卡-丘流形可以说是纤维丛的子集,它研究的是凯勒流形中第一陈类(拓扑性质)与里奇曲率(几何性质)等价的一类空间;其中,若第一陈类为零,则存在里奇平坦凯勒度量。里奇曲率是与空间物质分布有关的曲率,里奇曲率平坦(为零)意思是空间中没有物质,即真空。依据爱因斯坦广义相对论,是质量产生了空间的弯曲而导致了引力;那么一般地讲,真空就是一个没有物质、没有曲率、没有引力的平凡空间。[30]39但是,上述数学结论的物理意义是:存在一类真空,其中有曲率、有引力。这个事实恰好能用到M4×K的弦论中,其中M4是4维时空,K就是真空的但曲率不为零的空间。至于为什么这么恰好,丘成桐说自己当时针对广义相对论就想过相应的物理问题,所以看到卡拉比猜想后,就知道它在讨论相同的物理问题;卡拉比则说自己从未考虑过相关物理问题,对此,丘成桐说广义相对论在50年代的时候,已经成为人们的集体潜意识,难免不受影响。[30]92
上述这五个与重大物理理论相关的数学空间,除了欧几里得空间的本体是一望而知的,并且对这些本体的认识只需要依据从一望而知的定义和一望便知其为真的公理、公设为起点的逻辑推理论证外,其他四个空间“黎曼流形、希尔伯特空间、纤维丛与卡-丘流形”都必须依赖相关数学家们积累起来的创新想法与创新方法去认识它们,用哲学的术语说就是,它们各自的本体、认识与方法之间相互影响,关系密切,已经无法区分;并且,这四个空间各自在本体、认识与方法之间的交集范围依次也是逐渐增加的,即体现了本体、认识与方法从黎曼流形的部分交融、希尔伯特空间的进一步交融到纤维丛的较大交融以及卡-丘空间的渐进融合的哲学特征。这是与其相关的物理理论比较一致的哲学特征,这种一致性表明,数学空间的研究也逐渐走向现实空间的本质。如果爱因斯坦的信仰是对的,那么纯粹数学思想真的是足以理解物理实在的。
摘要：与物理学史上5个重大物理理论相关的5个数学空间,在本体、认识与方法上也表现出有规律的哲学特征:在欧几里得空间中,本体、认识与方法之间是一种分立关系;在黎曼流形、希尔伯特空间、纤维丛与卡-丘空间中,本体、认识与方法之间分别都有交集,并且这种交集依次在增大,即从部分相交到大部分相交再到渐进融合。
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《哲学与人生》读后感
最近刚看完一本名为《哲学与人生》的书,这是一位台湾作者写的 书,这本书被列为“高等学校哲学通识教学指导专家推荐用书”,这位教授在大学开设“哲学与人生”这门课程,17 以来座无虚席,本书集作者数十年授课之精华,开宗明义地讲述了哲学的有关知识,通俗易懂,无半点枯燥乏味之感.有人或许会问,“学哲学有什么用? 又不能当饭吃.”的确,学哲学是不能当饭吃,但学了后却能知道“吃饭是为了什么?”以 下有一些句子和段落看了后颇有感触,摘抄出来和大家分享,希望能找到共鸣.“人的经验有时候需要概念才能展现内涵”.——摘自第十四章《文化的视野》 这句话太精辟了!一个人假设碰到一种情况或一种经验,但却无法用言语来形容,他不知道这种情况和经验是什么,也无法去处理,没有体会也没有心得,更没有感知力,不久以后就忘了.即使再有相同的遭遇,也缺少先前的心得作为对照,几十年的人生虽然经历很 多,但用言语表达出来却很少,对自己的一生很漠然,很无视,仿佛一生都是很苍白的,生命力的乏弱使他感受不到生命的快乐和痛苦.“一个人活在世界上,可以没有丰富的物质享受,可以没有良好的制度,却不能没有正确的理念”.——摘自第十四章《文化的视野》在解释这句话之前, 先讲这句话 “文化有三个层次: 器物层次, 制度层次, 理念层次.” 那么这句话和上面这句话有什么关系呢?打个比方, 现代人都讲究快乐, 做什么事都是以是否快乐为前提.物质的提高和科学的迅速发展是否能证明社会的进步?即使在寝食无忧的生活里,人们是否就能快乐呢?有了一千万想两千万,有了两千万想五千万,人的欲望用无止境,追求不到时就永远在没有边界的痛苦里轮回.而颜回的“一箪食,一瓢饮,在陋巷,回不堪其优,也不改其乐”也能更好地证明了即使在物质极为匮乏的社会里,人也是可以快乐的.显然,人是否快乐和物质没有关系.经济和科学属于器物层次,器物不能代表文化.制度也是一样.在资本主义制度下生活的人就比生活在社会主义下的人快乐, 社会主义的人一定比封建社会的人快乐,我看不一定.“至于教育,我们知道关键在于内涵而不在于程度.” ——摘自第十四章《文化的视野》这句话使我联想起前不久在电视上曝光的那位从事教育工作的硕士生硬闯红灯, 不听劝阻并阻挠民警执法,还故意推桑民警,最终被治安拘留的事件.不管是初中文化,大学文化,硕士生,博士生,哪怕是小学文化甚至文盲,这只能说明一个人的学历或教育程度,不能说明这个人的人品是按照学历排列的,博士生的学历最高,所以一定是很有文化,人品一等.教育工作所承担的是文化传承的历史使命,肩负的责任是重大的,古人说,君子要三省吾身,其一就是“传不习乎?”意思就是,学到的知识用到实处了么?显然,那位硕士生肯定没有学到实处,更不知道她是怎么教育别人的,中国的教育如果都落在这等人身上,
哲学是什么，哲学是一个深奥的问题，我从几个方面来理解。
（一）哲学是人们对整个世界的根本观点的体系，每个人都有自己的世界观，每个人的世界观都不一样，有那么多的世界观就肯定有对也有错，那怎么判断对错呢，这就需要通过实践的检验。在实践中加以总结，然后把这些加以理论化和系统化，就形成了一种体系，这就是哲学。
（二）哲学是世界观和方法论的统一，方法论是人们认识世界和改造世界的根本方法，所以这个统一就是人们对世界的认识和对世界的改造的方法，有什么世界观就有什么样的方法论，它们是既有联系又有区别的，它们的统一就形成了哲学。
（三）中国古代哲学思想，中国传统文化中，儒家思想是一仁为核心的哲学思想，他们注重个人的修养，主张经世致用，推崇教化。道家思想是以自然为本的哲学思想，道家创始人老子将自然和无为作为哲学体系的非常重要的范畴。墨家思想是经验论，就是判断言论的标准是历史经验、耳闻目睹和社会功利。
那么人是什么，要解决这个问题，首先就要认自己。只有真正认识自己，才可能会获得成功的人生，而认识自己，却是一件非常难的事。人作为个体的人，就是说人们都是以自己的直觉、看法作为衡量世界的尺度。人是一个“政治的动物”，人天生要过共同的生活，由于人不能单个独自生活，只有和集体在一起生活，才能满足各自的需求，不仅在痛苦中需要朋友，在快乐时也需要朋友来分享你的快乐。人生是一个过程，人生的意义就在于过程上要细细体会和玩味这过程的每一个细节，充分认识人生的意义，人生的丰富就是经验的丰富，人生的过程是积极的方面。
读了《哲学与人生》这本书，觉得自己受益匪浅。在读《哲学与人生》之前，我对哲学的概念很模糊，感觉就是思考人生、思考世事之类的学问。后来逐渐明白，哲学作为一门独立的学科，从生活角度来讲，是一种生活态度，就是保持好奇的天性，探寻一切事物的真相。对于哲学的学习，我更愿意从生活角度理解，这样更接近实际，这样的哲学对我更具吸引力。
引用一下大家对《哲学与人生》的简介：开宗明义介绍“哲学是什么”，前半段以西方为焦点，探讨“思想方法”、“人生的真相”、“神话与悲剧”、“苏格拉底”、“存在主义”、“荒谬之超越”等普 通的知识背景，提供由“人生省思”走向哲学的途径。后半段则以“中国哲学的起源与特质”、“儒家的风格”与“道家的智慧”为主题，揭示中国传统文化中体大 思精的人生哲理与玄妙卓越的人生境界。此外，尚有“艺术与审美”、“宗教与永恒”、“教育与自我”等题材。
书中有很多傅佩荣先生的精辟哲言，我读着很有味道，引人深思。
“当真正用理性思考经验之后，就能知道自己应该如何做，知道哪一种人生更为理想，也更适合自己。理想代表针对未来，哲学的思考就是要让人能够在过去、现在、未来三个时间向度中连贯起来，让自己的生命不再只是活在当下那片片断断，刹那生灭的过程中而已。”我们的过往能只让它成为过往，它是我们一笔宝贵的经验财富。我们应该学着去静下心来去反思自己的过往，尤其是在自己迷茫的时候，然过往的经验给我们启发，引导我们如何走好人生的下一步。同时，我们也要学会勇敢的往前走，只有往前走了，才会有走过的经验，才能知道自己是对
或是错。现在就像是过去和未来的桥梁，现在通过对过去的理性反思能够引导我们走好将来的路。
“一个人的生命内涵由他所选择的价值所构成，如果无法回答：‘人生中什么最重要’？代表你根本不了解自己。”这句话让我不由地联想到本书开篇的一段简单的对话：学生问：“人生有什么意义？”老师答：“人生的意义就在于：你可以不断地询问‘人生有什么意义？’”人生最重要的是什么？我个人见解是如何让自己的人生更有意义。那么人生的意义又是什么呢？我觉得人生的意义有很多方面。首先我想到的是“体验”，人生来大脑里是一片空白，在经历了很多事情之后，有父母的引导、老师的教育、他人的榜样、自我的反省等等，形成了自己的思维方式、思考习惯，对世事有了自己的一定认识。人的“体验”让人生更加丰满，无论是幸福、、高兴，还是痛苦、悲伤，无论是平步青云，还是坎坷挫折，都会在我们的大脑里产生不同的感觉，正是这些感觉让我们的人生更加独特，更加有意义。其次，我想起了自己的一句话：人为活着是为了不让自己白来这世上一遭而活。人生的意义还应该包含实现自身价值。世间的万物对我们而言，生不带来死不带去，在人临死之时，唯一不一样的应该是他们的自身价值。有的人一生坚守正义，死时可以对自己满意地说我用一生践行了正义；有的人作恶多端，死时只能带着痛苦的叹息。
对于一些哲学史以及理论性较强的内容，我读起来感觉很枯燥，只是大概浏览了一下，不是我不热爱哲学，只能说我仅热爱哲学的贴近生活、贴近人生的部分。哲学，可以让人更有思想，通过哲学的视角会让我们对人生的感悟有所提升，我们的人生境界也将会更高。《哲学与人生》这本书有很多哲理的句子，我觉得可以把它们拿来指导我们的人生。
李震川（63号）
“哲学的贫困”困绕着中国数学教育教学的发展.若干年前台湾师范大学林福来教授访问荷兰弗赖登塔尔数学教育研究所, 令林福来教授吃惊的是时任弗赖登塔尔数学教育研究所所长德朗根竟然提出了这样一个问题:“什么是台湾数学教育的哲学基础?或者说, 台湾的数学教育建立在什么样的哲学思想上?”据林福来教授介绍, 他事先完全没有想到对方会提出这样一个问题, 不知如何回答是好, 最后急中生智地说:“我们的哲学就是没有哲学.”美国教育哲学家乔治·F·奈勒说过:“那些不用哲学去思考问题的教育工作者必然是肤浅的.一个肤浅的教育工作者, 可以是一个好的教育工作者, 也可能是坏的教育工作者——但是, 好也好得有限, 而坏却每况愈下.”
当今世界各地数学课程改革如火如荼, 我国的新一轮数学改革也进入了理性回归的关键时期.当这股有点狂热的改革浪潮渐渐平稳下来时, 我们能清楚地看到在高中数学课堂中普遍存在的一系列问题:在我们的数学课堂教学中, 发现孩子的思维开阔了, 但是考虑问题却无序了;孩子的胆子大了, 但是做练习题时更加粗心了;孩子让人感觉越来越聪明了, 但是期末测评成绩却没有以前高了.出现那么多的问题, 原因是许多教师在新课程下运用到的只是新课程的躯壳, 却没有体现新课程标准的本质.每个数学教师总是在一定的观念指导下从事自己的教学活动, 要搞好数学教学应当促使广大数学教师对于自己的数学观和数学教育 (学) 观等作出自觉的反思, 从而能由各种落后的、片面的观念逐步向先进的、辨证的观念转变.如何让我们数学教师的教学充满哲学味, 并时刻构建自己的教育哲学.让我们撩开哲学神秘的面纱, 期盼高中数学教学在哲学的牵引下自由呼吸.
1 数学教师文化素养与哲学素养
《高中数学课程标准》:“数学是研究空间形式和数量关系的科学, 是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具.数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础, 并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用.数学的应用越来越广泛, 正在不断地渗透到社会生活的方方面面, 它与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值, 推动着社会生产力的发展.数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用.数学是人类文化的重要组成部分, 数学素质是公民所必须具备的一种基本素质.”要实现数学新课程改革的目标, 数学教师是关键.数学教师应积极探索和研究, 提高自身的文化素养.
教师的文化素养的主要内容:哲学素养、数学素养、逻辑素养、心理素养、美学素养.提升数学教师的文化素养是教师专业化的必然要求, 是教师职业的人文性特征的具体体现, 是新课程标准对数学教师教学的基本要求.教师文化素养的提高, 关键在于哲学素养.哲学素养是文化素养的核心, 是指导教师进行教育教学活动, 进行教育教学改革的重要内容.例如有的老师以为新课程只不过是搞一些花架子, 在他们的课上, 仅仅是为“新”而“新”, 为“花”而“花”, 而忽视了真正的学习主体、发展主体——学生的存在.有的老师认为教材是新的, 教法却是老的, 搞“一言堂”“满堂问”.如果老师们都牢固树立了“人的发展是宗旨”的哲学理念, 谁还会那样教呢?
我以为对于新课程, 我们必须从哲学的角度去进行反思, 帮助教师进一步的认识与把握, 从而才能保证新课程精神的贯彻与落实.目前, 老师需要树立以下几个哲学观念:①生活是基础;②教育的生命在于为生活服务;③人的发展是宗旨;④学习方式即生活方式.如果我们的每一个教师都有一双“哲学之眼”, 那我们新课程下的高中数学课堂教学, 还会有什么问题吗?
2 高中数学教学在哲学下自由呼吸
2.1 运用数学哲学让高中数学教学自由呼吸
“什么是数学哲学?”这无疑是数学哲学研究最为基本的一个问题.数学哲学就是研究人员、教师和使用数学者对他们所从事的工作的哲学见解.从历史的角度看, 数学对象的实在性问题 (本体论问题) 和数学的真理性问题 (认识论问题) 可以看成数学哲学研究的两个基本问题.数学哲学对于实际的高中数学教学工作有着重要的指导意义.各种层次上的数学教师的教学工作也必然处于其哲学观念、特别是数学哲学观念的指导和影响之下.一个成熟的数学教师常常已经形成固定观念, 会感受不到有必要对数学哲学进行系统学习和反思, 更谈不上对于数学哲学的迫切需要.更为重要的是, 高中数学教学活动又直接影响到年青一代的数学观念的形成.正如波利亚所说:“有一条绝对无误的教学法——假如教师厌烦他的课题, 那么, 整个班级也将毫无例外的厌烦它.”
数学方法论的研究为沟通数学哲学与实际的高中数学教学活动提供了一座重要的桥梁.现代数学哲学对数学认识的不断深入, 如逻辑主义、直觉主义、形式主义、结构主义以及文化观的数学观等数学哲学观对数学教学模式产生了最为直接的、根本的影响.每一位数学教师在教学实践过程中, 都不知不觉地受到一种观念特别是数学观的支配.也就是说从深层次上对每一位教师所从事的教学实践活动进行考察, 都与他们对数学的认识紧密相连.现代数学哲学的研究, 特别是文化观的数学哲学观、数学方法论的研究有力地推动了数学教学模式的发展, 数学思想方法 (MM) 教学模式, 就是其典型的产物.
解析几何的创始人笛卡儿准确的说首先是一个哲学家, 其次是宇宙学家, 第三是物理学家, 第四是生物学家, 第五才是数学家.他认为哲学极为重要, 也正是因为他本人对哲学的研究比较多, 才能跳出具体问题的束缚, 从而站在更高的位置审视数与形的关系, 给后世指明一个全新的方向.根据哲学中运动、发展和变化的观点:圆、椭圆、双曲线、抛物线虽然是4种不同的曲线, 但都是平面截圆锥得到的曲线, 都是平面内到一个定点的距离和到一条定直线 (不经过定点) 的距离的比值是一个常数的点的轨迹, 他们的方程都是关于x, y的二次方程, 这些都体现了4种圆锥曲线的统一性.
徐利治先生也指出:“把数学哲学和数学史的研究成果运用于数学教学过程中, 促进了数学与哲学、历史和教育的有机结合.”比如高中数学从学习方法和思想方法上更接近于高等数学, 学好它需要我们从方法论的高度来掌握它同时教学上要渗透辩证法.还有教师的每一节课、教师的言传身教对学生世界观的形成起着潜移默化的作用.
2.2 运用数学教育哲学让高中数学教学自由呼吸
数学教育哲学的兴起是数学教育现代发展的必然趋势, 不能将“数学教育哲学”简单地等同于“教育哲学+数学教育”, 即在一般教育哲学的理论框架范围内简单的嵌入数学教育的实例.数学教育哲学的最终目标是要为数学教学奠定必要的理论基础.南京大学郑毓信教授认为数学教育哲学的研究应当集中于以下3个问题:
(1) 什么是数学?这也就是所谓的“数学观”.
(2) 为什么要进行数学教育?这就是所谓的“数学教育观”.
(3) 应当怎样去进行数学教学?这就是所谓的“数学教学观”.
“什么是数学?”这一问题无论是对于数学学习或数学教学来说显然都是特别重要的.数学教育哲学特别注意数学观的现代演变, 即由静态的数学观向动态的数学观的转变.动态的数学观是指不应简单地被等于数学知识的汇集, 而应被看成人类的一种创造性的活动.辨证的、动态的和模式论的数学观认为:①数学是多元的复合体:数学应被看成一个由理论、方法、问题和符号语言等多种成分所组成的复合体;②数学是模式的科学;③形式和非形式的对立统一;④数学的科学性质和艺术性质的辨证统一;⑤知识成分和观念成分的辨证统一;⑥数学发展的动力和规律.例如从动态的角度去分析数学 (活动) 就应看成包含更多内容的一个复合体, 这就是所谓的“数学活动论”.“数学活动论”具有十分重要的教育含义.数学活动论是一种新的“教学观”, 即对“什么是数学”的解答, “数学”不等于“数学知识”, 这两个概念的关系是包含关系.我们在教学中应当十分重视如何帮助学生很好的掌握相应的基本的问题, 还要高度关注学生解决问题能力的培养和重视学生提出问题能力的培养.
为什么要进行数学教育?“数学教育哲学”在这一方面的一个基本立场是:我们并不是要为数学教育制定出具体的目标, 而应从更高的层次面对相关的工作作出分析和反思.在面对诸多的改革口号时我们应当如何行动才能不至于成为某些时髦潮流的俘虏呢?又应当如何去对数学教育领域中的各个具体主张作出必要的判断?数学教育哲学研究的一个重要内容:数学教育的无限发展即是由其基本矛盾决定的.数学教育的基本矛盾即在于数学教育的“数学方面”和“教育方面”的辨证统一.从数学教育的历史可以看出搞好这两个方面的均衡也是搞好数学教育的关键所在, 特别是直接决定了各个数学改革运动能否取得预期的成功.决定一个学生数学修养的高低, 最为重要的标志是看他如何看待数学, 去解决日常生活中的问题.教师在平时的教学中, 一定要着眼于提高学生的数学素养, 树立正确的数学教育价值观, 找到数学与生活的结合点.因为数学源于生活, 用于生活, 数学应该是学生生活中不可缺少的部分.基于此, 把“身边的数学”引入课堂, 在学生生活经验基础上建构知识, 使学生在不知不觉中感悟数学的真谛, 学会用数学思想方法去观察和认识周围的世界, 从而促进学生的日常思维向科学思维的方式发展是十分必要的.在课改轰轰烈烈的今天, 大多数教师能丰富数学教学的内容, 注意了结合生活中实例进行教学, 改变数学教学的形式和方法, 组织学生小组讨论交流、质疑问难……但是有些教师错误的理解了新课标的精神, 认为只要在生活中找几个实例, 就叫做创设情境, 让学生热热闹闹的议论一番就是小组学习……这样的课对学生来说到底能学到多少数学知识呢?
应当怎样去进行数学教学?作为数学教师, 我们应当重视教学方法的研究, 科学的教学方法依赖于科学的教学理论, 科学的教学理论又必须以对学生在数学学习过程中的真实思维活动的深入了解作为必要的基础.在数学教育哲学的指导下, 我们应当紧紧追随学习心理学研究的现代发展, 同时又应更加重视如何从认识论的高度对学习活动的本质进行更为深入的分析, 也应积极地促成数学教学观念由传统观转移到建构主义的教学观.数学教学就是学生在教师的指导下, 学习数学家思维的活动, 其目的就是要求学生了解掌握数学思维的过程和方法, 提高学生的数学思维水平.教师在具体教学中要根据学生思维发展特点和规律, 从数学本身的发展出发, 充分展示数学思维过程.全面地对教材的内容进行深入的思维分析和思维层次的安排, 探索和挖掘丰富、自然、详尽的合情推理过程, 架设起连接学生数学思维活动和数学家思维活动的桥梁.
2.3 运用数学教学哲学让高中数学教学自由呼吸
哲学的基本精神即反思、质疑和批判, 以此观之, 整个教学发展史, 同时也就是教学哲学的发展史.特级教师孙维刚曾经说过:“数学教学的最高境界是哲学.”教学哲学即教学理论与实践的哲学——教学绝不仅是一项熟能生巧的技术, 即使最具操作性的经验的获得也是对实践进行凝炼、提升和总结之所得.数学教师教学哲学是他用来看待教学活动, 并解释教学活动的基本主张.尽管我们现在对数学教学哲学比较陌生, 但是这不影响内心存在着类似的东西.回忆在数学教学中遇到问题时, 我们需要做出决策, 一种称之为“观点”或者“观念”、“理念”、“主张”的东西就会自觉或不自觉地左右我们的行动, 它帮助我们选择方法、技术或者过程, 它现在还不能称为数学教学哲学, 或许只是数学教学哲学的雏形.
要建构数学教师自己的教学哲学, 其实就是使教师的这个基本主张清晰起来、完善起来、稳定起来.当我们使自己教学的主张足够明晰, 我们就总是能在解决教学问题时做到清楚地说明自己为什么这样做, 在遇到教学困境的时候首先考虑“我能、我应当怎样做”;当我们使自己的主张足够完善, 就不用疑虑自己的教学处理是不是符合学生、课程或者教学的需要;当我们使自己的主张足够稳定, 就不用惧怕每天面临变幻的教学进程.
如何建构数学教学哲学:
(1) 认识自我:
我是一个什么样的教师?我具有什么样的文化背景?我想要成为一个什么样的教师?在第一个问题的回答中, 应当包含对自己的个性、兴趣、优点、爱好、特长、学科、教学能力、不足之处以及怎样看待学生、看待同事等方面的自我审视;在第二个问题的回答中, 应当包含对自己成长的环境、学习的历史、所服务学校的学校文化以及这所学校的办学追求的分析和认识;在第三个问题的回答中, 需要对自己的未来做一个短期和长期的谋划.
(2) 整合自我:
拿着关于真实的“我”的报告, 我们就迈出了审视“自我”的第一步.然而它还仅是零散的, 它距离建立自我的教学哲学的需要还差更为重要的一步——整合自我.为了预防自我认识可能产生的偏差, 我们建议把自己的自我分析报告请校长和同事也读一读, 提出他们的看法, 并做一些修订.现在, 一个完整的自我呈现在面前, “我”不是别人那种的优秀, 可是“我”有自己的优秀.
(3) 提出主张:
不要随意拿一个现成的什么理念来做自己的教学主张, 大道理不能解决你的问题, 它不可能是“我的”教学主张.要在自己的教学哲学的指引下, 我们在教学中塑造自己的个性化课堂, 形成自己的教学风格、教学品格.比如许多有名的数学教师的数学课堂都成为全国知名的数学教学品牌.
3 展望未来的高中数学教学
我们要认识到, 作为一名数学教师要努力构建自己的教育教学哲学不是一个口号, 不是为完成一次可有可无的“任务”.当我们能够清晰地表达自己的教育教学哲学的时候, 我们就与智慧更加接近.然而, 杜威曾说:“智慧并不是一旦得到就可以永久保用的东西.它常常处于形成的过程中, 要保持它就要随时戒备着, 观察它的结果, 而且要存着虚心学习的意志和重新调整的勇气.”这就需要唤醒教师的教学智慧, 让我们数学教师行动起来, 始终保持着对哲学的追求和实践, 当每一位教师拥有自己的教育教学哲学, 我们的学校就会时刻闪现教师的智慧, 我们的学生将在智慧的呵护下享受快乐的学习.教师也可以依靠哲学的理性形成并坚定自己对教育的信念.拥有一颗对教育的虔敬之心, 教师才有可能迸发出执着追寻教育理想与理想教育的热情.
(1)关于医学的性质，现在流行的说法是医学“属于自然科学的范畴”(《辞海》，一九七九)。这种说法没有正确而全面地反映医学的性质。一些著名的医学家例如魏尔啸、西格里斯等，都曾强调医学具有社会科学的性质。西格里斯，一位极有影响的医史学家曾经这样说：“当我说与其说医学是一门自然科学，不如说它是一门社会科学的时候，我曾经不止一次地使医学听众感到震惊。医学的目的是社会的。它的目的不仅是治疗疾病，使某个机体康复。它的目的是使人调整以适应他的环境，作为一个有用的社会成员。为了做到这一点，医学经常要应用科学的方法，但是最终目的仍然是社会的。每一个医学行动始终涉及两类当事人，医生和病人，或者更广泛地说，医学团体和社会。医学无非是这两群人之间的多方面的关系。”(《亨利·西格里斯论医学史》，一九五九)这一思想无疑是正确的，但是在表达方式上没有把医学的自然科学性质同时加以揭示，反而不利于人们接受。前些时候于光远同志对医学的学科性质作了一个很完善的表达：“很明显，医学也不是纯粹的自然科学而是两大科学门类(自然科学和社会科学。——引者注)相结合的科学。因为医学的对象一方面是作为自然界物质的人，另一方面这个人又是在一定的社会中生活的，他的健康和疾病受到社会环境的严重影响，有些疾病甚至完全是由于社会的原因引起的。”(《关于科学分类的一点看法》)
(2)关于医学模式的转变，由于工业化社会的发展和医学的发展，“疾病谱”、“死因谱”、“人口(年龄)谱”出现了很大的改变。例如，白喉，在一九○一——一九一○年间，十五岁以下儿童每百万人口死亡五百七十一人，到一九六九年已降为零，结核病、烈性传染病等过去严重威胁人类的疾病已受到很好的控制，不再成为人类的主要死因，并且还由于营养的改善等因素，人类的平均寿命大为延长。然而，这并不意味着人类的健康不再受到威胁了，只是威胁的来源有所改变，细菌、病毒这些生物因素已经不是最主要的，而心理的、社会的因素则大大增高了。以目前前三位死因的心血管疾病、恶性肿瘤和脑血管疾病来说，都包含有心理紧张、吸烟、环境污染等因素在内，至于公害病、交通事故、自杀、吸毒、酗酒、犯罪、饮食过量、心因性疾患的广泛发生等等在一些发达国家是威胁人们健康的突出原因，则更是社会性、心理性损害了。因此，一些医学家已经呼吁要将现行的“生物医学模式”改变为“生物心理社会医学模式”，也就是说，光用解剖学、生理学、生物化学、微生物学等生物科学和器官、组织、细胞、细胞内小器官和生物大分子的结构和功能来解释疾病和健康，来防治疾病，已经不够了，而必须把人作为包括自然环境和社会环境在内的生态系统的组成部分，从生物的、心理的、社会的水平来综合地考察人类的健康和疾病，并采取综合的措施来防病、治病，增进人类的健康。因此，哲学社会科学和医学的结合，就决不是锦上添花，而是雪中送炭了。事实上，在一些国家的医院和其他医疗保健机构中，已有称为“社会工作者”、“临床心理学家”、“谘询心理学家”等人员参与工作，在高等医学教育中也开设了一些新的哲学、社会科学和人文科学课程，这些都是值得注意的新动向。
(3)关于医学领域中的哲学社会科学研究，在现代医学科学领域中，已经出现了许多新的学科，这些学科完全是对医学领域进行哲学、社会科学研究。例如，医学经济学：医疗保健服务作为第三产业的重要部门，在现代社会经济生活中的地位显得很为突出，一九七八年美国医疗保健方面的金额已占到国民生产总值的百分之九点一，因此医学经济学的研究最近这些年很受重视，如何合理使用医疗保健经费，提高其效果，成为一个很重要的经济问题；医学概论：日本主要在战后在许多医科大学开设了医学概论课程，对医学进行总的规律性的研究，很象我们说的“医学辩证法”课程；医学伦理学：虽然这一课程历史很悠久，但现在受到新的推动，得到更大的发展。六十年代以后，日、美等国都更为重视医学伦理学的研究和教学，甚至现在出现了一门包括内容更为广泛的新学科，叫做“生命伦理学”(bioethics，或译“生物伦理学”)，现在的医学伦理学除了讨论医务工作者的道德品质、职业义务等传统内容外，还随着医学的发展讨论新出现的诸如“无痛致死”(安乐死)、“抢救或人工维持生命的中止与继续”、死亡的定义和“摘取器官”的道德原则、人体试验的伦理学等很有现实意义的难题；医学逻辑学：虽然从形式逻辑方面对医学诊断思维的研究早已开始，但从一九五九年莱德里(R.S.Ledley)和拉斯特德(L.B.Lusted)发表《医学诊断的推理基础》，把数理逻辑和概率逻辑应用于医学诊断，提出以贝叶斯公式为基础的电子计算机诊断模型以来，电子计算机的自动诊断发展很快，医学逻辑学的研究也就更为必要而具有极其明显的实践价值；医学社会学：近年来美、日等国医学社会学的专门著作不断涌现，并成立了专门的研究机构和学会组织，从社会学的角度对病人、医生作个体的、群体的研究，对病人和医生相互关系的研究，对医院等机构作为社会组织进行研究，对医学团体、患者团体等等的医学社会学研究，都是有利于改进医疗保健服务，提高社会福利的；此外，医学未来学、医学法制学、医学政策学等近年在国外也得到很大发展。
(4)关于医学的分类和医学学，考虑到现代医学领域的扩大，我国目前通行的把医学分为基础医学、预防医学、临床医学三大类的做法，已不能反映医学领域的全貌。一九八○年我曾提出一种新的三分法，将医学分为基础医学、应用医学(实践医学)和医学学(理论医学)三大部类。基础医学除包括原有学科之外，还应列入正常心理学和病理心理学、人类生态学等；应用医学包括预防医学、临床医学、特种医学、康复医学、法医学、医学工程学六个并列的次类；医学学则以医学、医务工作者和医药卫生工作本身为研究对象。医学学(science of medicine，或medicinology)是我新造的一个词，用以概括以医学本身为研究对象的一系列学科分支，并曾试将这些分支归为四个并列的次类：把医学作为历史现象来研究的医学学分支有医学史、医学概论、医学未来学；把医学作为认识现象来研究的医学学分支有医学体系论、医学哲学、医学方法学、医学逻辑学；把医学作为一种社会现象和社会职业来研究的医学学分支有医学社会学、医学伦理学、医学法制学、医学政策学、医学管理学、医学经济学、医学教育学；把医学作为一种语言文字和情报信息现象来研究的医学学分支有医学术语学、医学辞书学、医学文献学、医学情报学。这里所列举的一些学科分支，不少即便在我国医学界也是很少为人所知的。然而，这只是说明我国在哲学社会科学与医学相结合的学术研究方面十分落后于国际水平，还有许多空白急待填补。事实上，这些分支在国外有大量的著作出现，并不亚于人们熟知的基础医学、临床医学等领域。
