微积分的考试大纲
课程名称：《微积分二》
考试对象：2013级本科
使用教材：《高等数学下》 科学出版社主编 陶前功 严培胜
一、课程要求：通过本学期的教学，要使学生进一步了解积分学的基本思想和基本方法，分析问题与解决问题的基本方法，本学期的教学内容为不定积分和定积分，多元函数微积分学，级数和微分方程。
二、课程考试内容及所占比重：
(一)考试范围：
第五章：定积分
1、理解定积分的几何意义（选择题）
2、掌握定积分的计算方法：换元积分法，简单的有理换元，分部积分法（计算题），3、能够利用定积分的奇偶性简便计算（填空题）
4、掌握变上限积分的求导公式并能够利用洛比达法则求极限（选择题）
5、理解广义积分的意义并能够计算无穷限的广义积分（填空题）
6、掌握旋转体的体积计算公式（填空题（x轴））
第六章：无穷级数
1、掌握正项级数的比较判别法及其极限形式、比较审敛法、根值审敛法并会判断正项级数的发散与收敛
2、理解绝对收敛和条件收敛的概念并会判别、掌握莱布尼茨审敛法判别交错级数的敛散性（选择题）
3、掌握幂级数的收敛域求法与和函数的计算（解答题）
3、掌握求解二阶常系数齐次线性微分方程的解法
第七章微分方程
1、理解微分方程解的定义并会验证
2、掌握求解可分离变量、齐次微分方程的方法并会求一阶线性微分方程的特解和通解（解答题）
3、掌握简单的二阶常系数齐次微分方程的计算（填空题）
第八、九章多元函数微积分学
1、掌握求解简单的二重极限（选择题）
2、掌握复合函数求导法则并会求复合函数的偏导数和全微分（选择题、填空题）
3、会求隐函数，抽象函数的一阶偏导数（计算题）
4、掌握拉格朗日乘数法解条件极值（经济类应用题）
5、掌握直角坐标计算二重积分（X—型区域，Y—型区域），以及极坐标二重积分的计算，掌握分段函数（二重积分的计算，（解答题），并能够交换积分次序（填空题）
(二)各部分所占比重：
1、基本理论：70%
2、综合应用：30%
三、考试方法：闭卷、笔试
四、试题类型：选择题、填空题、计算题、解答题、应用题，证明题
从17世纪开始,随着社会的进步和生产力的发展,有许多科学问题需要解决,物理方面的即时速度问题,曲线函数中曲线长度的求值问题,几何中曲线围成图形的面积求值问题等等,这些促使了新的数学思想的产生,“无限细分”以及“无限求和”的思想,最终促使了微积分的产生。
十七世纪初,有数十位科学家对微积分进行了探索,微积分的大量知识已经积累起来了。到了十七世纪后半叶,牛顿主要从运动学的角度出发,独自研究和完成了微积分的创立工作,而莱布尼茨则侧重于从几何学的角度出发,独自研究和完成了微积分的创立工作,两人的研究促使了微积分学的产生。
在十九世纪以前,在微积分的发展过程中,其数学分析的严密性问题一直没有得到解决。柯西极限存在准则为微积分注入了严密性,维尔斯特拉斯,黎曼为积分的完善做出了杰出贡献。
二、微分的几何意义及其应用
微积分是建立在实数,函数和极限的基础上的,包含微分学和积分学。其中微分学主要包括极限理论,导数描述,微分等,积分学主要包括定积分和不定积分。
首先我们要理解到,“极限”在微积分学中引入的必要性,当我们确定一个値时,通过考察这一连串近似值的趋向,确定一连串越来越准确的近似值,最终确定一个量,这就是极限的思想方法(1)。
其次,导数的概念,导数是指函数在一点处自由变量所引起的函数变化的快慢程度。其本质是利用极限概念对函数进行局部的线性逼近。如果函数的自变量和取值都是实数的话,函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率(2)。
从图一中我们可以看处曲线切线的斜率tanα即为函数的导数。
从微分的几何意义可以看出我们可以利用微分解决求曲线长度的问题。微分也可以利用在物理学中,如果一个物体的运动路程与时间的函数为S,则速度函数是s的导数,即V=S’。
三、运用不定积分求解曲线方程
从公式一中可以看出,一个被积函数对应于无穷多个相差为任意常数的原函数。我们可以利用不定积分解决曲线方程的求解问题。
如果我们知道一条曲线通过点(1,2),且曲线上任意一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求解曲线方程。根据题意我们可以设曲线方程为F(x),结合图1的分析,可以知道
利用不定积分对原函数进行求解:
将已知的点(1,2)代入到曲线方程中,求解
上题中,不定积分的出现快速,简单地解决了曲线方程的求解问题。
四、运用定积分求解曲线围成的图形面积
不定积分可以理解为原函数的求解过程,那么当我们求解出的原函数F(x)在[a,b]上有界,怎样计算F(x)与直线x=a,x=b,y=0所围成的图形的面积呢?这个面积值我们可以用定积分来定义:
将定积分运用到具体的面积值求解中,如下图,求曲线y=sinx和直线x=0,x=π以及y=0所围成的图形的面积S。
面积的求解即为定积分的求值过程,由公式二列出相应的式子:xπ
定积分的出现将面积的求值问题简化。
五、微积分在经济函数上的应用
微积分不仅仅可以用在物理与数学问题中,经济方面的问题我们同样可以利用微积分来解决。微积分又是如何运用在经济函数中的呢?
不只是总产量的问题,复利,年有效收益,连续复利,成本函数,需求函数,消费者剩余,生产者剩余,最大利润等一系列的经济问题都可以通过微积分来解决。
六、小结
从以上例子中,我们看到了微积分在物理学,在曲线函数以及经济学方面的应用。微积分是与实际应用联系着发展起来的,面对科学难题,人们开始借助“不变”来认识“变”,借助极限的思想,从直线形来认识曲线形,从近似认识精确。面对变速直线运动的瞬时速度问题,人们借助极限思想,在小范围内,用匀速代替变速,将瞬时速度定义为平均速度的极限,利用微积分解决变速的问题。
在当今社会,微积分已经越来越广泛地应用到天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中。而计算机的发明更是有助于这些应用的不断发展。
参考文献
[1]同济大学数学系.高等数学[M].高等教育出版社,2007
[2]龚昇.微积分五讲.科学出版社[M].2004
它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
微积分学基本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。
微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称人类智慧最伟大的成就之一。
极限和微积分的概念可以追溯到古代。17世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。直到19世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。
微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。
微分学在考研数学中的要求
按照《考试大纲》，本篇要求理解和掌握的是：导数和微分的概念，导数与微分的关系，导数的几何意义，函数的可导性与连续性之间的关系，导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，基本初等函数的求导公式，罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，用洛必达求未定式极限的方法，函数的极值概念，用导数判断函数单调性和求函数极值的方法，函数最大纸和最小值的求法及其应用。
要求会求和了解的是：平面曲线的切线与法线方程，导数的物理意义，用导数描述一些物理量，微分的四则运算和一阶微分的形式不变性，函数的微分，高阶导数的概念，简单函数的高阶导数，分段函数的导数，隐函数和由参数方程确定的函数以及反函数的导数，应用罗尔定理、朗格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理，用导数判断函数的凹凸性，函数图形的拐点以及垂直、水平和斜渐近线，描绘函数的图形，曲率、曲率圆和曲率半径的概念。
微分学在考研数学中的地位
微分学这部分内容是是高等数学的重要部分，导数作为高数的.三大工具之一，每年必考。一元函数微分学是多元函数微分学的基础，尤其是导数的计算是偏导数计算的基础，至于一元函数微分学基础打好了，多元函数微分学学起来才得心应手。另外导数计算这部分也是后面不定积分计算的基础，如果导数计算相当熟练，求导公式熟记于心，不定积分计算这部分学习起来就能很顺利。这章在考试中每年必考，是一个比较容易命题并且具有一定综合性题目的章节。
微分学在考研数学中的常见题型
微分学这部分在同一张试卷上几乎有一半多的题目都会用到导数计算，除此之外该部分每年必会单独直接命题，既有大题又有小题，分值一般是2道小题(8分)和1道大题(10分)，由此可见本章的重要性。
直接命题常见题型：(1)直接考察导数定义或可微定义;(2)导数计算：参数方程求导或隐函数求导或变限积分求导;(3)求函数的单调区间、凹凸区间、极值和拐点;(4)求切线与法线方程;(5)求渐近线;(6)用中值定理进行相关证明;(7)不等式证明;(8)根据已知函数图像画出导函数图像。其中(1)(2)(3)(4)(5)(8)常见于小题，(3)(6)(7)常见于大题。
间接命题：(1)与微分方程相结合;(2)与变限积分相结合;(3)与幂级数相结合。
由此可看出导数这部分在整个高数乃至考研数学中的重要性，就直接命题而言，分值就占到了20分左右，再加上间接用到导数的题目，甚至线性代数概率论与数理统计中也会用到导数，分值占得比重之大不言而喻。
数学是一门研究空间形式和数量关系的科学, 它可以被看作是一个处理抽象实体以及对这些抽象实体作抽象运算的推理形式体系。而哲学所关涉的对象不是经验的对象而是超经验的对象。历史上哲学和数学相互影响, 相互促进, 共同发展。微积分的诞生是数学发展的三个重要里程碑之一, 它体现了数学从静止走向了运动和变化的哲学思想。
1 微积分哲学观的基本观点
1.1 微积分的基本思想
微积分是分析解决问题的一种方法。微分是对象按某种方式分解为微观组成单位, 直至无穷小;积分是微观单位、以至于无穷小的单位按照某种方式组合成一个宏观对象。确定的单位具有可分性, 由更小的单位组成直至无限小。世界是由确定的单位以一定的方式累积形成的, 任何事物及组织、活动都存在微积分效应。世界是连续的, 基于此的实践也是连续的;世界是由局部组成的, 基于此的实践也具有局部性;世界是运动着的, 基于此的实践也是运动着的。微积分哲学观认为世界在不停地、连续地进行着“微积分”。“微分”、“积分”相对独立, 又相互作用, 共同营造了这个丰富多彩、运动统一的世界。微积分哲学观既是世界观也是方法论。
1.2 微积分中的辩证法
微积分的创立标志着数学由“常量数学”时代发展到“变量数学”时代, 其转变具有重大的哲学意义。辩证法在微积分中体现了曲线形和直线形、无限和有限、近似和准确、量变和质变等范畴的对立统一。
1.3 近似与精确的对立统一
近似与精确的对立统一规律在微积分中得到了充分的体现, 二者在一定条件下可以相互转化, 这就是微积分中通过求极限而获得精确值的重要方法。魏晋南北朝时期的我国的数学家刘徽提出割圆术, 用圆内接正多边形去逐步逼近圆。后祖冲之按刘徽割圆术从正六边形连续算到正24576边形时, 得到圆周率π的上下限:3.1415926<π<3.1415927。圆内正多边形的面积可以近似地看作是圆的面积, 当正多边形的边为n条时, 取极限后就得到了精确的值, 这就是通过极限法, 从近似中认识了精确。圆内内接正多边形的边数增加只是量的变化, 但是不断的增加直至无限的过程, 使多边形就转化成圆, 这就是质的变化。所以, 微积分就是在近似与精确的对立统一中, 运用哲学的辩证法思想, 解决实际问题。
2 微积分哲学观的扩展观点
2.1 波动是事物存在的基本状态
任何事物都不是独立存在的, 都存在相互作用。事物之间存在连续的、动态的相互作用, 这种作用必然形成波动。所有波动都是围绕中间态的波动, 波动具有惯性。当波动趋向波峰和波谷时, 需要克服中间态的阻力就会越来越大, 达到极限就会反向而行。这就是辩证法, 以及物极必反的原理。
2.2 实践的无限性及认识的无限性
宏观是由微观构成的, 最微观的东西就是最宏观的东西, 普遍的微观等于宏观。微观的无限性决定了宏观的无限性。世界可以无限小地进行微分, 因此就会有无限多的概念和理论。世界的无限性, 决定了实践的无限性, 决定了认识的无限性。
2.3 实践具有局部性
确定的单位总是由更小的单位组成, 因此确定的单位具有局部性, 在确定单位进行的微积分也具有局部性, 在确定单位进行的实践也具有局部性。这决定了事物及其活动具有局部性, 源于实践的认识也具有局部性。世界总是在不断发展变化着的, 整体、大小局部在运动中能够相互转化。
2.4 实践是连续的, 认识是离散的
认识来源于实践, 是对实践的阶段性、局部性总结, 以及在总结规律上的延伸。认识又反过来指导实践, 总是在追求达到实践的连续性, 但却永远不能最终达到实践的连续性。认识, 如思想 (语言) 和理论 (文字) 是离散的, 总是与世界及实践存在偏差, 偏差的反映就是经济社会的波动。而因为人的主观能动性, 又总是在不断地弥补这种偏差, 在弥补这种偏差的过程中, 又会或左或右、或多或少形成新的偏差。这种偏差和波动是客观存在的, 是不以人的意志为转移的。
2.5 思维是理论和实践的中介
思维或心理活动能够模拟实践, 介于语言文字 (理论) 和实践之间, 是理论和实践相互转化的加工处理带, 具有间断的虚拟连续性。因此, 语言文字 (理论、理念) 永远无法完全准确描述心理活动, 只能趋于接近。实践永无止境, 用适当的语言来表达心理活动永无止境, 语言发展创新、组合优化永无止境。心理活动是理论 (文字、语言) 和实践的中介。
3 微积分中的哲学原理
3.1 微分与积分的同一性与差异性
微分与积分的同一性与差异性都包含在牛顿-莱布尼茨公式之中。其同一性的一面是微分与积分共处于牛顿-莱布尼茨公式之中, 互相依存, 互相贯通, 在一定的条件下相互转化。原函数在微分条件下转化为导函数;导函数在积分条件下转化为原函数。微分把“有限”转化为“无限”, 而积分又把“无限”转化为“有限”。
3.2 微分与积分的辩证统一
微分多存在和作用于思想和理论范畴。具体表现在:思想者 (人类和动物) 以现有对世界和实践的认识 (概念或理论) , 在行为之前, 形成的对行为的概念、目标、路径、方法、动作等方面的预期, 并形成以组织、管理、分工合作为主要特点的社会思维活动。微分有效性的重要方面是管理与领导。
积分多存在于实践范畴。积分又分为两个方面:一是思想者通过实践行为对世界的改造;二是纠正偏差。行为者对实践进行反思和总结, 找到偏差, 并依据偏差, 修正、提升思想和理论水平, 使“微分”的偏差更小化。积分有效性的重要方面是个体与组织。改造和发展世界, 唯有“积分”才有效。马克思说过:“哲学家们只是用不同的方式解释世界, 而问题在于改造世界。”但只有开展有效的“微分”, “积分”才更有效率和价值。
微积分是在解决实际的问题中产生的, 传统数学主要研究一些静止数量间的关系。但随着工业革命时代的到来, 产生了许多新的问题, 如天文和航海等事业的发展, 这就需要一一解决这些实际课题, 数学也开始研究起那些变化的数量间的关系。微积分就是在这种背景下产生的, 它包括微分和积分, 以极限为基础。微积分从产生开始就与哲学有着不解之缘, 二者互相促进、互相补充。在学习微积分时, 要在充分领会其思想的基础上, 进行比较和分析, 最终达到融会贯通的目的。
参考文献
[1]邢博特.高等数学[M].北京:经济科学出版社, 2013.
[2]韩飞, 张汉萍.应用经济数学[M].长沙:湖南师范大学出版社, 2011.
[3]刘巍.牛顿、莱布尼兹创立微积分哲学思想之比较[J].中国农业大学学报 (社会科学版) , 2000 (4) .
摘要：高等数学是大学本科一门重要的公共基础课程，本文针对高等数学教学现况，结合作者自身的教学实践以及课程本身的特点和教学目的，以微积分的基本定理的教学为例，探讨对高等数学的教学方法的改革。
关键词：高等数学；微积分基本定理；教学方法
一、微积分的研究对象
谈到微积分，很多教师会和学生交代其是牛顿和莱布尼茨所发明，其实只能说是二人完成了主要部分。早在笛卡尔引入了变数，运动也就进入数学，微分和积分也就立刻变成了必要。正如列宁在《谈谈辩证法问题》中指出：数学中的加号与减号，微分与积分，与力学中的作用与反作用，以及化学中原子的化合与分解是相同的。我在此文中继承列宁的说法，高等数学中的微积分是研究微分与积分这对矛盾的学科。
二、高等数学的教学现况
我们现今的教学，由于课程科目多，所以很多课程要面临缩减课时，进而就要精简内容，尤其是高等数学就不得不对很多定理只叙述，不证明推理。而对于教育的受体——学生，为了考试，也就疲于应付，埋身于题海之中，苦不堪言。也正是因为这样，使得很多大学生对高等数学产生“恐惧”，从心理上拒绝，这样就会影响到听课效率，进而学习效率也会降低，而数学是注重逻辑的学科，前后知识环环相扣，学生一次课跟不上，那就次次跟不上，导致最后放弃。
当然，对于基础的工具课程，熟练其计算方法势必要有足够练习作为保障，但是“磨刀不误砍柴工”，在具体实施之前应该对所要加工处理的对象有个整体的把握。对于一些定理，我们是可以根据学生专业特点对其证明过程做一些适当的舍弃，以免学生产生畏惧，但是作为高校教师的我们一定要注意虽然证明可以舍弃，但是其定理的思想一定要交代清楚。不然，会使得学生仅仅掌握高等数学知识，而在数学素质的提高上收效甚微，考试时也只能是依葫芦画瓢，对于知识并没有真正理解掌握。长此以往，学生会产生疑惑：“高等数学除了应付考试还有何用？”
针对传统数学教与学方面存在的种种不足以及高等数学本身的特点和教学目的，我以高等数学微积分中的基本定理为例，探讨一下除了在教学上采用多媒体这些先进工具之外，更应该去了解和学习的是对知识本身的深层挖掘以及理论联系实践的重要性。
三、微积分基本定理的教学
微分与积分的启蒙思想可以追溯至上千年之前，直到牛顿和莱布尼茨给出并且证明了如下的微积分基本定理，才标志着微积分的诞生。故而，这个基本定理也叫牛顿——莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式。定理1：若函数f（x）在区间[a，b]上连续，且存在原函数F（x），则f（x）在[a，b]上可积，且F（x）是f（x）的一个原函数，则
■f（x）dx=F（b）-F（a）
在讲授这个定理时，教师经常会把此式和定积分的计算放在一起，将其作为定积分计算的依据，使得定积分的计算有了一个完善、令人满意的方法。而在其他方面再也不提及此定理。这是一个很大的误导，会导致学生把这个定理认定是一个简单的计算的理论依据而已，对其重要性会失去认识，更严重的是使得学生失去了解微积分本质的机会。对于这个定理，我可以改写成下面两种等价的形式：定理2：若函数f（t）在区间[a，b]上连续，且x是[a，b]内的一个点，令
F（x）=■f（t）dt
则F（x）在[a，b]上可微，并且dF（x）=f（x）dx。
定理3：若函数F（x）在[a，b]上可微，且dF（x）=f（x）dx，那么
■f（t）dt=F（x）-F（a）
这两种不同的表现形式反映整体性质的积分和反映局部性质的微分在某种意义下是相互决定着的，这是一对互逆的运算。这个定理之所以成为基本定理，是因为其是整个微积分的核心部分，也是联系微分和积分的必不可少的桥梁。为了深刻认识其重要性，可以先回顾一下一元函数的微积分定义。
定义1：设函数f（x）在x0的一个邻域内有定义，若极限
■■
存在，则称其为函数f（x）在x0处的导数，记作■或f'（x0），即■■=■。而相应的df（x0）称为函数在x0处的微分。
定义2：设函数f（x）在[a，b]上的一个有界函数，在[a，b]内任取n-1个节点，a=x0 对于一元函数的定积分在几何上可以理解为曲边梯形的面积，就最简单的幂函数而言。我们可以看到利用“分割、近似、求和、取极限”方法来求得积分都是极难的。更何况，采用不同的分割方法会得到不同的极限形式，即使就某一种你得到极限也无法证明其即为所求。但是，有了前面的基本定理，只要我们想到微分和积分是互为逆运算，那么求积分的问题仅仅就是寻求f（x）的一个原函数，这种做法绕开了刚才的难点，不会受到求极限或者不同分割方法的困扰。 在此之后，我们应该对其物理上的意义在做些探讨，对于一个函数，如果其表示物体直线运动的速度，那么其在区间[a，b]的定积分可以理解为物体从时刻a到b的路程。在多元函数微积分的基本定理中物理意义更是十分重要。为了说明这一点，我们先回忆下多元函数的微积分基本定理的几个表现形式：格林定理、斯托克斯定理以及高斯定理。这三条定理在数学上表述的都是一个内容：一个区域边界上与其内部积分的关系。南开大学的陈省身先生曾经指出，对于这几个公式，都可以归结为外微分形式和积分之间的关系，即我们在一元函数微积分中提出的微分和积分，这里只不过是将微分发展为外微分，何为外微分可以参考文献。我们可以据此将三个定理中的公式总结如下： ■■ω=■dω 这个公式告诉我们：外微分形式在一个区域上的积分等于比自身低一次的外微分形式在区域的边界上的积分。也就是说，外微分与积分就和物理的正电和负电，化学的化合和分解一样是互相抵消的。这个公式是微积分学的顶峰，是数学中美轮美奂的定理之一。当然要陈述清楚这点，需要学生对外微分要有一个认识。按照很多大学课程的设置，在学生学习这几个定理的同时，大学物理正好学到几个重要的“度”：即梯度、旋度和散度。在我们的课程里可以将其和微积分基本定理联系起来，对于函数f（x）这几个度分别对应着它的一次，二次和三次外微分形式。那么我们的那几个基本定理也就有了它们的物理意义。借助于此学生也就会理解在教材里指出那几个公式的物理意义是什么意思？还可以引导学生去思考为何没有其他的微积分定理以及物理上为何没有第四个“度”，这样理论联系实际学生学起来才会事半功倍，对数学才不会“望而生畏”。 四、小结 上面我以微积分基本定理为例来说明在教学方法的改革中，我们不应该只注重整合教学大纲，使用多媒体教学工具，甚至利用网络中微博、微信等建立网络教学互助平台等这些外在的内容，更要加强在具体课堂教授中对知识本质的把握，帮助学生尽快抓住其根源，达到学习时事半功倍的目的。 参考文献： 1.《马克思恩格斯选集》第3卷，人民出版社，1995年。 2.《毛泽东选集》第1卷，人民出版社，1991。 3.《列宁选集》第2卷，人民出版社，1995年。 4.同济大学数学系编，《高等数学（第六版）》[M]，高等教育出版社，2009。 关键词：微积分；对立统一；哲学思想 中国分类号：O173 一、引言 对立统一思想指的是万事万物都包含着矛盾性，而这个矛盾却成了推动事物发展的动力和源泉。对立统一思想是唯物辩证法的核心和本质。 数学是处理抽象实体及其运算的一个完整的科学体系，而哲学是研究具体科学的一般规律的学科。自古以来，数学和哲学就是两个密不可分的学科，相当一部分哲学家提倡用数学的严密性、严谨性去研究哲学，而很多数学家在哲学领域也有很深的造诣。公元前6世纪，古希腊的数学首先在一个个哲学学派的研究群体中产生，以泰勒斯、毕达哥拉斯等為代表的古希腊学者们在哲学思想的争论中为数学的发展提供了认识工具。后来有更多的数学家借用哲学的思想和方法来研究数学，例如勒内·笛卡尔被黑格尔称为“现代哲学之父”，同时也是公认的“解析几何之父”，艾萨克·牛顿著有《自然哲学的数学原理》，伯特兰·罗素作为分析哲学的创立者，同时著有对逻辑学和分析哲学有很大影响的《数学原理》一书等。 数学的发展中，矛盾无处不在，正是学者们对出现的矛盾不断思索，才导致了数学的向前发展，直至微积分学的产生。微积分作为一门研究运动的、变化的量的学科，蕴含了物质从静止走向运动和变化的哲学思想。微积分以极限思想为研究工具，主要包含两方面的内容——微分学和积分学。这两个内容之间却是既对立又统一的，是对立统一思想在微积分中很好的体现。 二、极限思想所蕴含的对立统一哲学思想 极限思想是微积分的基础，微积分中几乎所有的概念都是通过极限来定义的，毫不夸张地说，极限思想就是微积分的灵魂。在哲学上，有限与无限表示物质运动在时间和空间上的辩证性质，是对立的；在数学上，有限代表一个数，而无限表示一个过程，例0.9999…，二者是无法比较的。但有着本质区别的这两个量在极限思想中却被统一了起来。通过极限思想这个桥梁，有限和无限可以相互转化。例 对无限循环小数取极限，就可以得到一个有限值，所以极限思想体现了哲学中的对立统一辩证思想。 通过极限思想，人类对世界的认识从有限到无限，从“一成不变”到“变化万千” ，从直线到曲线、从近似到精确等，而微分和积分中也体现了这些哲学思想。这些思想也属于是哲学体系中的对立统一思想，体现了哲学思想的精髓。 三、微分学体现的对立统一哲学思想 曲和直是哲学中一对既对立又统一的量。在初等数学中，我们主要研究直线的图像性质，对于一般曲线，如果不能够描绘出曲线的图像，我们是很难准确地判断曲线在某点附近的变化情况的，但导数的出现，很好地解决了这个问题。人们借助于导数来更好地研究曲线在某点处的性质。一阶导数表示函数在某一点处切线的斜率，即函数值的变化趋势，如果斜率的绝对值比较大，说明函数图像弯曲的弧度比较大；如果斜率的绝对值比较小，说明函数图像弯曲的弧度比较一般。函数的二阶导数表示的是曲线的凹凸性。借助于导函数，我们可以实现由直到曲，由曲到直的相互推导。使得整体和局部、宏观和微观之间的性质可以相互转化。 微积分的发展之路，就是对立统一思想在数学上的应用之路，更是哲学思想在数学上的推广。 四、积分学所表达的对立统一哲学思想 在微积分中，积分学内容主要包括定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分等，但不管是哪种类型的积分，本质都是某个和式的极限。我们以定积分为例， ，等式左端被积函数f（x）连续，而等式右端的ξi（i=1，…，n）却是从[a，b]上随意选的n个离散的点，一边连续，一边离散，而正是积分发挥的桥梁作用，二者之间才能划上等号。在哲学层面上，离散与连续就是一对既对立又统一的哲学范畴。积分体现了无限是有限的拓展，连续是离散的延伸，无限可分，离散可分。但这些只是存在于在思维中而非现实世界，但是在日常生活中，人们可以通过有限的叠加在认识自然界中的万事万物。根据辩证法的思维方式，离散和连续、无限和有限都不是完全对立的，而是相互关联且能够相互转化的。 此外，积分中还蕴含了近似和精确这一对哲学范畴的对立和统一。从几何角度上来看，求n个离散项的和只能得到曲边梯形面积的近似值，而通过求极限就可以将近似值变成精确值。所以，精确是近似的无限叠加。 五、小结 微积分中处处都体现着哲学中的对立统一思想，即内在矛盾，正是用哲学思维对这些矛盾进行分析和研究，才不断推动着微积分学的学科发展。本篇文章从微积分学的三部分：极限、微分学和积分学入手，简要介绍了其中蕴含的对立统一哲学思想。其实对立统一思想不只是微积分发展的动力，也是其他具体科学发展的助推器。总而言之，数学和哲学的发展是相互渗透、相互影响的。 参考文献： 1. 武锡环. 数学历史与文化[M]. 内蒙古人民出版社，2006.4. 2. 顾沛. 数学文化[M]. 高等教育出版社， 2008.6. “微积分”模块是以函数为研究对象, 研究生活中运动、变化以及变化着的量之间的关系。“微积分”模块的学习, 能够培养学生的辩证观点, 提高分析问题解决问题的能力。对于解决生活中的最优化问题有很大帮助。 1. 我国“微积分”模块教学回顾[1]。 在1960年曾争论过“微积分”模块是否进入中学的问题, 有的还写入了试验教材。但考虑到学习内容已很多, 师资也有困难, 所以还是未正式列入课程。1980年前后, “微积分”模块开始进入高中, 要求学习微积分的所有内容。由于操之过急, 教学中无法实施, 所以很快改为“选学”, 实际上则不学 (高考不考) 。到1996年, “微积分”模块再次纳入高中课程, 不过内容和课时都减了。微积分先讲极限, 再讲导数, 从导数到原函数到不定积分再到定积分, 这是出于数学的严谨性, 但学生理解有困难, 而且实际应用也不要求如此严格。在最新一轮课改中, 改变了这一做法, 以“瞬时变化率”描述导数, 从导数的几何意义和物理意义方面帮助学生直观理解导数, 把重点放在用导数研究函数和解决实际问题上。目前正朝“理解导数思想, 强调导数实际应用”的方向努力。 2. 新课标对高中“微积分”模块教学目标的要求 (所指教材均为人教版教材) 。 突出导数概念的本质, 感受和领悟“微积分”模块的基本思想。不讲极限概念, 不是把导数作为一种特殊的极限 (增量比的极限) 来处理, 而是直接通过实际背景和具体实例反映导数思想和本质。新课程希望学生在今后的学习和步入社会后, 能留下对微积分的一些实际认识。同时也体现“课标”让学生在经历中感受数学的思想, 认识数学, 主动参与数学教学活动的基本理念。强调导数在研究事物的变化率, 函数的基本性质和优化问题中的应用, 感受和体会导数在处理问题中的一般性和有效性。重视几何直观等思想方法的渗透和学习。反复通过图形去认识和感受导数的几何意义, 以及用导数的几何意义去解决问题。“课标”提高了对导数几何意义的理解以及用导数的几何意义去解决问题的要求, 其目的一是加深对导数本质的认识和理解, 二是体现数学中几何直观这一重要数学思想方法对于数学学习的意义和作用。 二、高中数学“微积分”模块在教学中存在的问题 “微积分”模块是高中数学教材新增的内容, 无论对于学生还是教师都是“新”的。作为教师不仅要学习新内容, 而且要从思想方法上研究新内容的内涵和本质。 1. 对微积分知识的定位不准。 微积分的运动变化的思维方式与之前所学函数静态的思维方式有很大的不同, 中学生开始接触微积分的基本概念时不能一下子就领悟它也是很正常的。关键是教师不能照本宣科, 而应作充分准备性说明, 从几何直观逐步过渡到逻辑推理上去, 但不能仅仅停留在几何直观上, 只是在知识的广度和深度方面要适可而止。既要考虑学生的接受能力, 又不能低估学生的理解能力[2]。 2. 常量思维的根深蒂固。 “微积分”模块教学研究的是变量间的函数关系, 学生对微积分中变量认识不深刻[3]。因为常量思想的根深蒂固, 对变量思想的转变会有一个过程, 在这个过程中就要求教师运用自己本身的专业水平进行正确的引导。当然, 这种引导就需要教师在实践中不断探索。 3.“应试”教育的影响。 大纲对文理科学生关于微积分的教学内容和要求相差很大。文理科考试要求与大纲教学内容要求相比都有所下降。文科将“极限”所有内容删去, 理科删去“积分”的所有内容和“微分的概念和运算”。因为考试不考的原因必然不被学生所重视, 所以要淡化“应试”教育思想, 为提高能力而学习。 三、高中数学“微积分”模块的教学策略 1. 运用微积分求曲边梯形的面积问题。 例如:如何求如图所示的曲线f (x) 在区间[a, b]上与x轴所围成的曲边梯形的面积。 分析:在区间[a, b]内任取n-1个点, 将区间[a, b]分成n个小区间[xi-1, xi], i=1, 2, Λ, n。记为Δxi=[xi-1, xi], 在无限细分的过程中, 把每个小曲边梯形近似看成是矩形, 则f (x) 为高, 那么面积 策略:在讲解时, 可以利用多媒体来演示无限细分, 无限趋近的过程, 让学生从直观上来理解定积分所表示对几何意义。 2. 运用微积分求曲线的切线问题的教学策略。 在没有学习导数之前, 求解切线问题, 一般的方法是直线方程与曲线方程 (一般是二次方程) 联立组成方程组, 消去y, 变成关于x的一元二次方程, 利用判别式Δ=0来求解。学习导数之后, 由导数的几何意义我们知道, 曲线上某点的切线就是过该点曲线的割线的极限。例如: (1) 求函数f (x) =x2-x在 (2, 2) 点处的切线方程。分析:首先验证点是否为切点, 把 (2, 2) 点带入函数, f (2) =22-2=2, 则 (2, 2) 点为切点, f' (x) =2x-1, 过该点的切线斜率k=f' (2) =2x-2-1=3, 切线方程为y-2-3 (x-2) , 即y=3x-4。 (2) 求函数f (x) =x2-x在 (2, 1) 点处的切线方程。分析:首先验证点 (2, 1) 不在曲线上, 不是切点, 所以设切点为P (x0, y0) , 则切点P坐标满足y0=x02-x0, P点的切线斜率为k=f' (x0) =2x0-1, 切线方程为y-y0= (2x0-1) (x-x0) , 把y0=x02-x0及点 (2, 1) 代入切线方程, 得1- (x02-x0) = (2x0-1) (2-x0) , 整理得x0=1, x0=3, 故切点为 (1, 0) 和 (3, 6) , 切线方程为y=x-1和y=11x-63。 策略:此类问题首先确定给出点是否为切点 (是否在曲线上) , 若是, 求出切线斜率 (即该点导数) , 由点斜式求出切线方程。若不是, 设出切点, 表示出切线斜率和切线方程, 代入已知函数方程和点的坐标, 求出切点进而求出切线方程。 3. 运用微积分求函数的单调区间、极值和最值问题的教学策略。 例如:求函数f (x) =ex-ax-2的单调区间。分析:函数f (x) 的定义域为 (-∞, +∞) , f' (x) =ex-a。若a≤0, 则f' (x) >0, 所以f (x) 在 (-∞, +∞) 上单调递增;若a>0, 令f' (x) =0, 则x=lna。 所以在 (-∞, lna) 上, 函数f (x) 单调递减;在 (lna, +∞) 上, 函数f (x) 单调递增, 此时f (lna) =a-alna-2为极小值也是函数的最小值。 策略:对于解决函数单调性极值问题, 首先分析定义域, 让学生明白定义域是函数的灵魂, 求出f' (x) =0的点作为分界点, 把定义域分成几个小区间, 当f' (x) <0时f (x) 单调递减;f' (x) >0时f (x) 单调递增。对于极值和最值问题, 要注意极值不一定是最值, 最值如果在区间的内部一定为极值, 若闭区间上的最值问题应把极值与端点值进行比较, 开区间上如果有单数个极值点那么必有一个为最值, 若偶数个极值点无法确定是不是最值。 4. 运用微积分解决不等式问题的教学策略。 例如:证明当x>0时, ex>sinx。分析:构造辅助函数, 令f (x) =sinx-ex, 且f (0) =-1, f' (x) =cosx-ex, 由于在x∈ (0, +∞) 上, cosx<1, ex>1, 从而f (x) =sinx-ex在x∈ (0, +∞) 是单调减函数, 又由于f (0) =1, 从而f (x) =sinx-ex<0在x∈ (0, +∞) 上恒成立, 所以ex>sinx在x∈ (0, +∞) 恒成立。 策略:对于解决不等式问题, 首先构造辅助函数, 一般是做差或做商, 对辅助函数求导利用函数单调性, 求出所在区间的最值从而达到证明不等式的目的。 四、结束语 “微积分”模块作为新课标新增的内容, 它的教学研究还不够成熟, 正处于探索阶段时期, 因此如何进行“微积分”模块的教学是所有教育工作者不断探索的课题。 摘要：“微积分”模块是高中数学的新增内容, 也是学习大学数学的基础。它研究变量间的函数关系, 是进一步学习数学和其他学科以及掌握现代生产技术必须具备的专业知识。但长期以来“微积分”模块在高中课程中没有得到应有的体现, 难以满足社会的需要。本文回顾“微积分”模块教学历程以及新课标对高中数学中“微积分”模块教学的要求, 指出“微积分”模块教学过程中存在的问题:对微积分知识的定位不准, 常量思维的根深蒂固, 应试教育的影响。同时针对几种典型例题提出相应的教学策略。 关键词：高中数学,微积分,问题成因,教学策略 参考文献 [1]章建跃, 左怀玲.我国中学数学教材的建设与发展[M].北京:人民教育出版社, 2001. [2]匡继昌.如何给中学生讲授微积分[J].数学通报, 2006, 5 (45) . 本文阐述Matlab在高等数学微积分中的应用，以加强学生对学习数学的兴趣和能力。 1 用Matlab求导 用Matlab求导是很方便的。 1设z=x2+x2+sin(xy),求。 解:其Matlab程序为 运行后可得分别为 即求得 2用Matlab求解微分方程 于定积分,如果对应的不定积分不易求出,或者根本不能表示为 初等函数时,就可以用定积分的数值计算方法求得其近似值,或者是画出解的图象,这样就把复杂、抽象的数学形式表达成观、形象的图形,使学生更易于接受。 例2求定积分。 解:先建立名为jifen.m的m文件,程序为 在命令窗口进行调用，程序为 结果为ans=1.4627。 例3意大利生物学家棣安考纳发现某海港在第一次世界大战期间捕鱼量减少而捕获到的捕食鱼占的百分比却急剧增加。为解释这种现象，意大利数学家沃特拉(Volterra)建立了一个关于捕食者与食饵生长情形的数学模型。沃特拉把所有的鱼分成两类：捕食者与食饵。设t时刻食饵的总数为y1(t)，捕食者的总数为y2(t)。当不存在人类捕鱼活动时，捕食者与食饵应遵循如下规律： 此方程称为Volteera捕食者———食饵模型，其中a为食饵自然净增长率，b捕食者与食饵的相遇机率，c为捕食者的自然减少率，而d反映了食饵对捕食者的供养能力。这是一个复杂的二元微分方程，要求出其解并不容易，但是我们可以用Matlab画出它的图象。当a=2,b=1,c=0.5,d=0.2时，方程(1)的图象如图1所示。 这个图象是怎样用Matlab画出来的呢?我们先建立名为vdp1.m的m文件： 例4如果考虑具有阶段结构的捕食-食饵系统，即假设捕食者只能捕食幼年食饵，徐瑞和马知恩在文[1]中提出了如下比较复杂的捕食者———食饵系统： 其中x1(t),x2(t)分别表示食饵幼年种群和成年种群在时刻t的密度，y(t)表示捕食者在时刻t的密度;时滞τ≥0是源于捕食者的妊娠期。a表示食饵种群的出生率;b是未成年食饵的死亡率;α是未成年食饵成长为成年食饵的转化率;β1是未成年食饵的种群竞争率;β2是成年食饵的死亡率。捕食者种群的数量增长服从Lotka-Volterra规律，其中r是捕食者的死亡率;β是捕食者的种群竞争率;a1是捕食者的食物捕获率;a2/a1是捕食者把食物转化为生育能力的转化率。 当a=2,β1=0.5,b=0.5,α=4,a1=0.5,β2=1,a2=1,r=1,β=0.1,τ=10时系统(2)的图象如图2所示。 要画出这个图象，我们先要建立名为stagedelay.m的m文件： 然后我们在命令窗口调用，程序为： 这样美观、形象的图象就画出来了。 3 结束语 微积分知识是学生学习的一个重点和难点。运用Matlab进行高等数学微积分的计算机辅助教学，使学生从烦琐的计算中解放出来，为学生学习微积分的应用打下良好的基础。本文的所有源代码均在Matlab 7.0中调试通过。 摘要：通过实例介绍了Matlab在微分、积分学中的应用,展示了Matlab在高等数学计算机辅助教学中的强大功能。 关键词：Matlab,微分,积分,辅助教学 参考文献 [1]Xu R,Ma Z,The effect of stage-structure on the permanence of a predator-prey system with time delay[J].Applied Mathematics and Computation,2007,189:1164-1177. 一、恒等式的证明 有些恒等式，用初等方法证明，往往需要较高的解题技巧，而用微积分的方法，则很简单. 【例1】 证明：arctanx+arccotx=π2，x∈R. 证明：因为x∈R，有(arctanx+arccotx)′=11+x2 -11+x2 =0, 所以arctanx+arccotx=C （C是常数）. 为了确定C，令x=0，有C=arctan0+arccot0=π2 ， 因此arctanx+arccotx=π2 ，x∈R. 二、极值问题 初等数学能解决的极值问题是有限的，且方法不一，难以寻找，如果用微分的方法，有的问题解决起来就很简便. 【例2】 求函数f(x)=xne-n2x（n是自然数，且n≥2）在［0,+∞)的最大值与最小值.求极限(x≥0）limx→∞f(x). 解：f′(x)=nxn-1e-n2x-n2xne-n2x=nxn-1e-n2x(1-nx). 令f′(x)=nxn-1e-n2x(1-nx)=0，得到两个稳定点0、1n ，其中，0是区间［0,+∞)的左端点，讨论f′(x)在稳定点1n 的情况. 列表如下： 函数f(x)的极大值f(1n )=1nnen ，f(0)=0.从表中可以看到fn(x)在1n 取最大值，有f(x)=xne-n2x≥0. 又f(0)=0， 即函数f(x)在0处取得最小值是0. 于是，x∈［0,+∞)，n∈N， 有0≤f(x)≤f(1n )=1nnen0(n∞) . 于是，x≥0，有limx→∞f(x)=0. 三、 函数单调性的讨论 中学数学中函数的单调性一般用定义判别，计算繁琐，对某些函数甚至无法判别，而在微积分中根据“若x∈区间I，有f(x)′＞0(＜0)，则f(x)在区间I严格增加（严格减少）”容易判别函数的单调性. 【例3】 求函数 f(x)=2(1-t+t2-t3)（0＜t＜12 ）， 12 (t+1t )（t≥12 ） 的严格单调区间. 解：当0＜t＜12 时， 由f(x)=2(1-t+t2-t3)，得f′(x)=-2(1-2t+3t2)＜0； 当t≥12 时， 由f(x)=12(t+1t ) 得f(x)′=12(1-1t2) ， 当12≤t≤1时，f(x)′＜0； 当t＞1时，f(x)′＞0. 因此f(x)在（0，1）严格单调减少，在（1，+∞)严格单调增加. 一、微元法求电场强度 例1求均匀带电圆盘轴线上的场强。已知圆盘半径为R, 电荷面密度为 () 解:以盘心O为心作半径各为r及r+dr的圆, 再作两条夹角为dφ的半径, 便截出一个很小的“半扇形”, 如图1的深色部分所示。因dφ很小, 可认为这个半扇形为矩形, 其长、宽各为dr及rdφ, 其面积为ds=rdφdr, 其电荷为dq=σds=σrdφdr。按照点电荷场强公式, 它在轴上一点P贡献的场强的大小为 其中l是半扇形与P点的距离。由于电荷分布对称于圆盘轴线OP, 故必存在与所取半扇形对称配置的另一半扇形 (图中用虚线围出的浅色部分) , 两者面积、电荷分别相等。虚线半扇形在P点贡献的场强如图中的d E軑'所示。d E軑与d E軑'大小相等, 与轴线夹角α亦等, 两者的合场强必平行于轴线。整个圆盘可分割为一对对这样的半扇形, 故P点的总场强E必平行于轴线。因此只需对d E軑沿轴线的分量dEz作积分便可求出E。如图可知 其中z是场点P与圆盘的距离 (恒为正) , 对变量r, φ作二重积分便得 当对涉及到“无穷大”、“无限长”等理想模型进行积分时, 一般先设一个变量, 利用对有限空间进行积分的方法得出一个方程, 再利用极限算出最终结果。 二、用高斯定理计算电场强度 (1) 从电荷分布的对称性来分析电场强度的对称性, 判定电场强度的方向。 (2) 根据电场强度的对称性特点, 作相应的高斯面 (通常为球面、圆柱面等) , 使高斯面上各点的电场强度大小相等。 (3) 确定高斯面内所包围的电荷之代数和。 (4) 根据高斯定理计算出电场强度大小。 例2%电荷q均匀分布于半径为R的球面上, 求球内外的静电场强。 解:在球外任取一点P, 过P作与带电球面同心的球面S (图2) 。从电荷分布的球对称性出发, 不难仿照例1的方法证明面上各点场强大小相等, 方向沿径向, 故S面的E通量 其中En是在方向上的投影, r是球面S的半径。另一方面, 球面S内的电荷就是带电球面的电荷q, 由高斯定理有Φ=q/ε0, 故 可见, 均匀带电球面外任一点的电场等于球面全部电荷集中于球心时在该点所激发的电场。 三、结语 总之, 微积分在电磁学中的教学是学生学习的重点和难点, 我们在学习中不断探索, 试图让学生能够将物理问题转化成数学问题, 然后再回归到物理问题, 在教学中要巧妙地用数学工具解决物理问题, 让学生轻松愉快的学习, 并且准确把握这一类问题的求解。 摘要：电磁学是物理系的基础课程之一, 它同其他的普通物理课程一样, 与数学有密切关系。物理教学中要转变观念, 激发学生的学习兴趣, 应以提高学生的科学素质为着眼点, 以培养创造型学生为教育目标, 不但让学生掌握必要的科学知识, 还应结合创新教育的精神, 加强学生创新能力的培养。应用微元法求解一些电磁学问题是常见的解题方法之一。“能够根据具体问题找出物理量之间的数学关系, 根据数学的特点、规律, 进行推导、求解和合理外推, 并根据结果作出物理判断、进行物理解释, 得出物理结论”。 关键词：电磁学,微分,积分 参考文献 [1]刘书田, 冯翠莲.微积分[M].北京:高等教育出版社, 2003. [2]冯翠莲, 刘书田.微积分学习辅导与解题方法[M].北京:高等教育出版社, 2003. [3]白银凤, 罗蕴玲.微积分及其应用[M].北京:高等教育出版社, 2001. [4]姜启源.数学模型 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 1993. [5]张之翔.电磁学教学札记[M].北京:高等教育出版社, 1987:81-86. [6]张之翔.电磁学千题解[M].北京:科学出版社, 2001. [7]林璇英, 张之翔.电动力学题解[M].北京:科学出版社, 2000:60-61.微积分中蕴含的对立统一思想 篇7
微积分的考试大纲 篇8
Matlab在微积分中的应用 篇9
微积分在中学数学中的应用 篇10
电磁学中的微积分教学 篇11
