初中数学培优专题（精选10篇）
1.在正数范围内定义一种运算“※”，其规则为a※b=
11，根据这个规则方程 ab1 2x※（x1）=0的解为（）．
A．1 B．0 C．无解 D．2.学生有m个，若每n个人分配1间宿舍，则还有一人没有地方住，问宿舍的间数为（）．
m1mm1m B． C． D． nn1nn1ab223.已知ab6ab且ab0,则的值为（）
abA． A、2 B、2 C、2 D、2
1a0.7b4.不改变分式的值，把分式2的分子与分母的各项系数化为整数为： ．
0.3ab5.已知112x14xy2y3,则代数式的值为 xyx2xyy2a2b26．已知a0，ab，x1是方程axbx100的一个解，那么代数式的值是
2a2b____________．
1a4a21_____________． 7.已知：a5，则2aa8.为增强市民节水意识，某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5m，则每立方米收费1．5元；若每户每月用水超过5m，则超过部分每立方米收取较高的定额费用．2月份，小王家用水量是小李家用水量的333
2，小王家当月水费是17．5元，•小李家当月水费3是27．5元，求超过5m的部分每立方米收费多少元？
9.某工程，甲工程队单独做40天完成，若乙工程队单独做30天后，甲、乙两工程队再合作20天完成．
（1）求乙工程队单独做需要多少天完成？
（2）将工程分两部分，甲做其中一部分用了x天，乙做另一部分用了y天，其中x、y均为正整数，且x<15，y<70，求x、y．
10．（1）A、B两地相距20 km，甲骑车自A地出发向B地方向行进1小时后，乙骑车自B地出发，以每小时比甲快2倍的速度向A地驶去，两车在距B地12 km的C地相遇，求甲、乙两人的车速.（2）在抗震救灾活动中,某厂接到一份订单,要求生产7200顶帐篷支援四川灾区,后来由于情况紧急, 接收到上级指示,要求生产总量比原计划增加20%,且必须提前4天完成生产任务,该厂迅速加派人员组织生产,实际每天比原计划每天多生产720顶,请问该厂实际每天生产多少顶帐篷?
11.骑自行车翻越一个坡地，上坡1千米，下坡1千米，如果上坡的速度是25千米/时，那么下坡要保持什么速度才能使全程的平均速度是30千米/时?
12.（2012•珠海）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的
5倍，购进数量比第一次少了30支． 4（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？
13.（2011•来宾）某商店第一次用3000元购进某款书包，很快卖完，第二次又用2400元购进该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了20个．（1）求第一次每个书包的进价是多少元？
（2）若第二次进货后按80元/个的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的书包全部按同一标准一次性打折销售，但 要求这次的利润不少于480元，问最低可打几折？
14.（2012•桂林）李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即匀速骑自行车返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍．（1）李明步行的速度（单位：米/分）是多少？（2）李明能否在联欢会开始前赶到学校？
15.（2011•葫芦岛）某开发商要建一批住房，经调查了解，若甲、乙两队分别单独完成，则乙队完成的天数是甲队的1.5倍；若甲、乙两队合作，则需120天完成．（1）甲、乙两队单独完成各需多少天？
（2）施工过程中，开发商派两名工程师全程监督，需支付每人每天食宿费150元．已知乙队单独施工，开发商每天需支付施工费为10 000元．现从甲、乙两队中选一队单独施工，若要使开发商选甲队支付的总费用不超过选乙队的，则甲队每天的施工费最多为多少元？总费用=施工费+工程师食宿费．
16.（2010•大田县）跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．
（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？
（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润=售价-进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．
18.（2008•桂林）某校在教学楼前铺设小广场地面，其图案设计如图所示．矩形地面的长50米，宽32米，中心建一直径为10米的圆形喷泉，四周各角留一个长20米，宽5米的小矩形花坛，图中阴影处铺设广场地砖．（1）求阴影部分的面积S（π取3）；
（2）某人承包铺地砖任务，计划在一定的时间内完成，按计划工作3天后，提高了工作效率，使每天铺地砖的面积为原计划1.5倍，结果提前4天完成了任务，问原计划每天铺多少平方米？
1.若xyz，且3x+2y－z=14,求x,y,z的值。23
一、培优扶困的意义和作用
培优扶困是初中数学教学工作中的一个重要环节, 是使数学教学适应学生个别差异、贯彻因材施教原则的一个重要措施, 它是上课的一种补充形式, 但又不是上课的继续和简单的重复。培优就是对学有余力的、学习成绩比较突出或有数学天赋和潜质的学生, 通过有目的有计划的有组织的辅导和培训, 使他们的学业成绩更加优秀、专长得到进一步的发展, 成为具有创新能力的新一代人才;扶困就是对学习数学有困难且学习成绩和学习能力偏差或个人身心、品德、行为较差的学生通过有目的有计划的有组织的辅导和帮助, 激发他们的学习兴趣, 提高他们的学习能力, 促使他们身心健康地发展, 学习成绩不断进步。通过培优扶困, 教师不仅可以帮助学生巩固课堂上学到的知识, 及时发现和培养有数学天赋和潜质的学生, 教师还可从多种渠道获得了各类学生的反馈信息, 及时发现、反馈教育和教学中的优势与不足, 并及时地加以改进, 不断地提高教学效果。这会不断促进教师教学水平的提高。
二、良好的师生关系, 是做好培优扶困工作的前提
教师要积极主动地做好思想方面的培扶教育, 注重与学生交朋友, 深入细致地了解和关心他们的学习与生活, 洞察学生的生理、心理, 尤其是思想上的变化及波动情况, 及时帮助他们解决学习上的困难和成长过程中产生的一些困惑, 抑制学生思想上的一些不良观念。让学生从内心中感觉到老师一直像自己的亲生父母一样关心和爱护着他们, 从而从心理上接受、信任和佩服教师。这样, 学生就会时时刻刻、事事处处, 都按照学校的要求去做, 学生在学习上才会变被动为主动, 认真学好各门文化科学知识, 成为社会所需要的有用人才。特别是学困生, 他们对学习缺乏兴趣, 对自己缺乏信心, 因此教师要经常利用课外时间与他们谈心。教师要深入细致地了解每一个学困生, 做好学情分析, 对学困的不同原因, 采取多样的转化策略, 帮助他们克服心理障碍, 想尽一切办法激发他们的学习积极性, 帮助学生树立战胜困难的自信心, 再根据具体情况帮助他们把比较差的功课补上。实践表明, 建立和谐、融洽的师生关系, 对于做好培优扶困工作起着润滑剂和催化剂的作用。
三、将培优扶困渗透于课堂教学之中
教师要不断地更新教育理念, 端正教学思想, 用发展的眼光客观而又公平地看待每一位学生, 既关注优秀生, 更关注学困生。对学困生, 特别给予关注, 多提问、多督促, 让他们多思考, 以激发他们的学习兴趣和学习积极性。做课堂练习时, 及时发现他们掌握知识过程中存在的问题, 及时解决。同时, 对于不同层次的学生提出不同的要求, 有的放矢, 使他们各自尽情发挥、各得其所, 优生能够更上一层楼, 学困生也能够循序渐进, 将所学的知识及时消化和掌握。
四、将培优扶困渗透于课外辅导及作业批改之中
学生的素质是有差异的, 对数学知识的理解和掌握程度也是参差不齐的, 因此教师在课外辅导中要坚持因材施教的原则, 有的放矢:对于数学成绩较好的学生, 通过个别辅导, 强化他们对数学的兴趣与爱好, 鼓励他们一题多解, 寻求最佳解题途径, 写出解题心得体会;对于数学有特长的学生, 有目的、有计划地培养他们的逻辑思维能力和数学理解能力, 指导他们多看课外书籍, 多答辩一些竞赛题, 以拓宽他们的知识视野;对于数学成绩较差的学生, 也采取个别辅导的方式, 以增强他们学好数学的信心, 提高他们学习数学的兴趣。作业面批面改, 结合作业中出现的问题, 及时查漏补缺。在每次作业的后面, 针对每个学生作业的具体情况, 教师要附上微型评语, 如:“有进步”“这才是真正的你”“思路独特, 有创造性”……小小的几字评语, 往往能起到“四两拔千斤”的作用, 让学生看到自己的优缺点, 激发学生的学习热情和积极性。
五、家、校密切合作, 共同做好培优扶困
为了做好学生的培优扶困工作, 使得工作真正扎扎实实地落到实处, 除了师生的密切配合、共同努力之外, 学生家庭的大力支持、通力合作显得尤为重要。因此教师要积极主动地与家长联系与沟通, 深入细致地了解学生的家庭情况、学习与生活状况, 及时反馈学生在校的表现情况, 虚心听取家长的意见和建议, 争取得到家长的理解、支持和帮助, 力争与家长达成共识, 齐抓共管, 共同教育和管理好学生。实践表明, 搭建学校、家庭、教师之间的桥梁, 对于做好培优扶困工作起着很好的促进作用。
六、同学互助, 共同进步
在许多学生与家长看来，数学学科的学习难度较大，而且学习起来会比较枯燥，学生的学习积极性得不到提高。数学史在数学教学内容中的融入，扩展了初中学生的数学学习视野，更让学生意识到数学学习的趣味性。做好数学史专题教学，会让数学教学改革得以落实，促进教学效果的提升。
一、利用数学史故事，提高学生数学学习兴趣
学生的学习兴趣，对于其数学学习效率与质量有着重要的影响。只有学生具有数学学习兴趣，他们才能愿意学，愿意将个人精力放在数学学习上。数学，是一门十分有趣的学科，不仅有理科的科学性，更有文科的深远性。在教学中，教师从教学内容出发，为学生讲解数学知识产生的背景，讲数学家的奇思妙想，有利于激发初中学生的好奇心。
比如在讲解“负数”的时候，教师可以引出“中国人最先使用负数”这部分教学史内容，给学生讲解我国数学如何想到负数这个概念，又是在什么样的情况下发明了负数，从而让负数学习更有特色、更有意思。
二、利用数学史教学，让学生感受数学思想魅力
初中学生要想成为数学学习积极者，就要从思想上认可数学学科的价值，认为自己有必要去学习数学。在教学中，教师利用数学史的渗透，向初中学生展示数学学科的魅力，有利于学生爱上数学知识，构建属于自己的数学知识体系。在教学中，教师利用数学史的讲解引导学生学习更多的数学思想。
比如，在讲解有关勾股定理的知识时，教师可以为学生讲解一些中外数学家对于勾股定理的不同看法，经过哪些分析与证明才得到了世界公认的勾股定理，促进初中学生建立不断探究的数学学习精神。
综上所述，数学史对于学生的数学学习有着较大的意义，初中数学教师应当更多地考虑学生的个人发展需求，在课堂中向学生传遞正确的数学史内容。让学生了解更多的数学史内容，促进学生良好学习品质的形成，从而促进高效初中数学课堂的构建。
参考文献
徐文彬，彭亮.我国初中数学教材中数学史料的分析与思考：基于苏科版、人教版、北师大版教材的比较[J].教育理论与实践，2014.
县
1、你在初中时的数学成绩状况（）
A、优B、良C、一般
2、你是否了解初中数学竞赛（）
A、了解B、知道一点C、不了解
3、你认为在初中阶段有没有必要对学有余力的同学进行数学竞赛方面的辅导（）
A、有必要B、可以适当提高一点C、没必要
4、你所在的初中开设数学提高班的情况（）
A、部分年级开设B、所有年级都开设C、没有开设
5、你在初中阶段接受数学竞赛辅导情况（）
A、根本没有B、自已请老师辅导过（含校外奥数等辅导班）
C、参加过学校组织的辅导
6、你初中时的数学老师有没有给学有余力的学生布置过一些数学思考题（）
A、经常布置B、偶尔布置C、根本不布置
7、初中阶段的数学提高辅导对高一的数学学习是否有帮助（）
A、帮助很大B、有点帮助C、没什么帮助D、初中没有辅导体会不了其作用
考点·方法·破译
1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.经典·考题·赏析
【例1】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价为（）
A．0.3元
B．16.2元
C．16.8元
D．18元
【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．
【变式题组】
01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（）
A．8℃
B．－8℃
C．6℃
D．2℃
02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________ 03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________ 【例2】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）
【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85 【变式题组】 01．（－2.5）＋（－3131）＋（－1）＋（－1）244
02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）
03．0.125＋112＋（－3）＋11＋（－0.25）483【例3】计算1111 12233420082009【解法指导】依111进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.n(n1)nn112111111)
***1111
＝1
***008
＝1＝
20092009解：原式＝(1)()()(【变式题组】
01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）
11的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个 22111面积为的正方形，再把面积为的正方形等分成两个面积为的长方形，如此进行下去，试利用图形揭
44811111111示的规律计算＝__________.***02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为
12***14
【例4】如果a＜0，b＞0，a＋b＜0，那么下列关系中正确的是（）A．a＞b＞－b＞－a B．a＞－a＞b＞－b
C．b＞a＞－b＞－a D．－a＞b＞－b＞a
【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.解：∵a＜0，b＞0，∴a＋b是异号两数之和
又a＋b＜0，∴a、b中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b | 将a、b、－a、－b表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a＞b＞－b＞a ab0-b-a
【变式题组】
01．若m＞0，n＜0，且| m |＞| n |，则m＋n ________ 0.（填＞、＜号）02．若m＜0，n＞0，且| m |＞| n |，则m＋n ________ 0.（填＞、＜号）
03．已知a＜0，b＞0，c＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a、b、c、a＋b、a＋c的大小 【例5】4238－（－33）－（－1.6）－（－21）51111【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.238238－（－33）－（－1.6）－（－21）＝4＋33＋1.6＋21 511115111138
＝4.4＋1.6＋（33＋21）＝6＋55＝61 1111解：4【变式题组】
01．()()()()(1)
02．
403．178－87.21－（－43231256131231－（＋3.85）－（－3）＋（－3.15）44219）＋153－12.79 2121
【例6】试看下面一列数：25、23、21、19…
⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？ ⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？ ⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1 故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169 【变式题组】
01．(杭州)观察下列等式
1－1128327464＝，2－＝，3－＝，4－＝…依你发现的规律，解答下列问题.225510101717⑴写出第5个等式；
⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？
02．观察下列等式的规律
9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20 ⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律； ⑵当这个等式的右边等于2008时求n.【例7】（第十届希望杯竞赛试题）求＋（1121231234＋（＋）＋（＋＋）＋（＋＋＋）＋ … ***9＋＋…＋＋）50505050【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.112123124849＋（＋）＋（＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋＋）***21321494821则有S＝＋（＋）＋（＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋＋）
23344450505050解：设S＝将原式和倒序再相加得
***8＋＋（＋＋＋）＋（＋＋＋＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋***05049494821＋＋＋＋…＋＋）505050505049(491)即2S＝1＋2＋3＋4＋…＋49＝＝1225
21225∴S＝
22S＝【变式题组】
01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210
02．（第8届希望杯试题）计算（1－
11111111－－…－）（＋＋＋…＋＋）－（1－***041111111－－…－）（＋＋＋…＋）2320042342003
演练巩固·反馈提高
01．m是有理数，则m＋|m|（）A．可能是负数
B．不可能是负数 C．比是正数
D．可能是正数，也可能是负数 02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（）
A． 5
B．1
C．1或5
D．±1或±5 03．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）
A． 1
B．0
C．－1
D．－3 04．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（）A．两数一定都是正数
B．两数都不为0
C．至少有一个为负数
D．至少有一个为正数 05．下列等式一定成立的是（）
A．|x|－ x ＝0 B．－x－x ＝0 C．|x|＋|－x| ＝0 D．|x|－|x|＝0 06．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（）
A．－4℃
B．4℃
C．－3℃
D．－5℃ 07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（）
A．－a
B．0
C．2a
D．－2a 08．设x是不等于0的有理数，则
|x|x||值为（）2xA．0或1 B．0或2 C．0或－1
D．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________ 10．用含绝对值的式子表示下列各式：
⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________
⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________
⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________ 11．计算下列各题：
⑴23＋（－27）＋9＋5
⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25
⑶－0.5－311＋2.75－7
⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－
23| 10
12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99
13．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：
＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5 ⑴问收工时距离A地多远？
⑵若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？
14．将1997减去它的减去余下的1111，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的……以此类推，直到最后23451，最后的得数是多少？ 1997
15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如
1121113＋来表示，用＋＋表示等等.现有90个埃及分数：31554728712，13，14，15，…190，191，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗？ 培优升级·奥赛检测
01．（第16届希望杯邀请赛试题）
1234141524682830等于（）
A．1B．1114
C．D．2
02．自然数a、b、c、d满足11111111a2＋b2＋c2＋d2＝1，则a3＋b4＋c5＋d6等于（）
A．18
B．316
C．71
532 D．64
03．（第17届希望杯邀请赛试题）a、b、c、d是互不相等的正整数，且abcd＝441，则a＋b＋c＋d值是（A．30
B．32
C．34
D．36 04．（第7届希望杯试题）若a＝
***6，b＝***7，c＝***8，则a、b、c大小关系是（A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．c＜b＜a
D．a＜c＜b
05．(1113)(1124)(1135)(1119982000)(1119992001)的值得整数部分为（）A．1
B．2
C．3
D．4 06．(－2)2004＋3×(－2)2003的值为（）
A．－22003
B．22003
C．－22004
D．22004
07．（希望杯邀请赛试题）若|m|＝m＋1，则(4m＋1)2004＝__________ 08．1121232＋（3＋3）＋（4＋4＋4）＋ … ＋（160＋260＋…＋5960）＝__________ 09．19191976767676761919＝__________ 10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________ 11．求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________ 12．已知(a＋b)2＋|b＋5|＝b＋5，且|2a－b－1|＝0，求aB．
13．计算(11998－1)(11997－1)(11996－1)…(111001－1)(1000－1)
14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋…＋n3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋…＋1003的值.1312345
23246810
333691215
七年级：
上——1.数学与我们同行
2.有理数->绝对值 乘除 乘法运算律（交换律结合律分配律）乘方 混合运算
3.代数式->合并同类项 去括号
4.一元一次方程->移项 解方程
5.走进图形世界 折叠 三视图
6.平面图形的认识
（一）线 角平行 垂直
下——7.平面图形的认识
（二）平行条件 性质平移 三角形 多边形内角和
8.幂的运算 同底数幂乘除 幂的乘方 积的乘方
9.整式乘法与因式分解乘法公式 提公因式
10.二元一次方程 解方程 加减消元 代入消元
11.一元一次不等式 性质 符号
12.证明 定义 命题
八年级：
上——1.全等三角形 性质 判定
2.轴对称图形 中垂线 角平分线 等腰等边三角形 斜边上的中线等于一半
3.勾股定理 应用
4.实数平方根 立方根
5.平面直角坐标系 象限
6.一次函数 y=kx+b 正比例函数 图像 k>0, k<0 一次函数与二元一次方程
下——7.数据的收集、整理、描述 频数分布表 频数分布直方图
8.认识概率 频率 概率 摸球实验
9.中心对称图形——平行四边形 判定 矩形 菱形 正方形 三角形中位线
10.分式 约分 通分 最简公分母 分式加减 异分母加减 乘除 分式方程
11.反比例函数 图像 性质
12.二次根式乘除 最简二次根式
九年级：
上——1.图形与证明
（二）证明
2.数据的离散程度 极差 方差 标准差
3.二次根式
4.一元二次方程 配方法 因式分解法 跟的判别式 跟与系数的关系
5.中心对称图形
（二）圆 圆周角 圆心角 切线性质 弧长 扇形面积 圆锥侧面积 全面积
下——
6.二次函数 y=ax^2+bx+c图像 最大值最小值
7.锐角三角形 正切 正弦 解三角形
8.统计的简单应用
关键词：培优补差,小学数学复习,功效
在数学教学实践中,教师大都有这样的体会,学生之间的差异是客观存在的,学生的知识水平是有层次的,不可避免地有优等生与后进生之分。对不同知识水平的学生按同一模式进行复习指导是不科学的,往往是顾了优丢了差,顾了差丢了优,培养优等生与转化后进生似乎成了一对不可调和的矛盾,很难做到培优与补差两不误。下面我就此问题谈谈看法。
一、处理好总体计划与个体计划的关系
复习要有系统的、科学的计划。既要有教师根据班级的实际情况制订出的总体计划,同时又要有每个学生根据自身的特点制订出的个体计划。总复习之前要安排准备课,在准备课上,教师要把班级的总体复习计划介绍给学生,同时要强调教师的指导很难照顾到不同知识层次的学生,难免优等生吃不饱,后进生吃不了。学生如果不制订出自己的复习计划,不设定自己的目标,只是亦步亦趋地跟着老师走,就会因不能查漏补缺、有的放矢而影响整个知识体系的形成。
对小学生来说,给自己制订复习计划,有一定的难度,特别是后进生,难度更大。这就要求教师要分类指导,尽量做到逐一指导,也可让学生拿出自订的计划进行小组交流。指导学生制订计划时,要尽量做到在内容和时间的安排上与总体计划保持同步,如果差别太大,二者就会相互抵触。在复习过程中,要把主动权交给学生,保证学生有足够的时间和精力实施自己的计划。
二、利用学习合作小组进行以优带差
根据学习成绩,结合学生性格,尽最大可能进行合理搭配,组成最优化的、实力相当的学习合作小组。这样既可以用群体的智慧解决问题,又可以让每一位后进生都有自己的榜样,有意无意地仿效榜样,达到以优带差的目的。教师要经常有意识地布置一些需要集体合作才能完成的任务,通过研究性学习或质疑探讨等形式,让他们相互启发,进行智慧的碰撞,最终达到提高自己的目的。教师还要有意识地安排一些以组为单位的知识竞赛,这样既可激发学生的学习兴趣,又可以让优等生主动帮助后进生,后进生主动求助于优等生,促进整体水平的提高。
三、鼓励学生质疑问题
复习的最终目的不是让学生消除对已学知识的疑惑,而是让学生提出更多的疑惑。所以,在复习过程中,教师不但要及时对学生遇到的问题进行解疑答难,更重要的是教师要善于激发、引导学生产生越来越多的疑惑,提出越来越多的问题。温剩饭式的复习对培优和补差都不利。如对学习较差的同学提出的比较浅显的问题,尽可能地让优等生讨论解答,在问与答的互动中使学生产生浓厚的学习兴趣。在由已知进行未知,然后再由未知到已知的探索过程中提高学生的思维水平。教师还要鼓励那些学习比较优秀的学生开展不同意见的争论,使他们的思维突破常规和经验的禁锢。
四、利用课堂提问和课堂巡视及时了解学生的复习情况
课堂提问可以促进师生间的信息交流,扩展学生的思维空间。复习课的课堂提问,要根据复习内容的难易程度,准备不同层次的问题,适时因人提问,并通过提问了解学生的接受程度,及时调整复习进度。这样做不仅可以使不同层次的学生都能积极思考,还有利于提高全体学生的学习兴趣。比如,对那些成绩稍差的学生,多提一些他们力所能及的问题;而对成绩较好的学生,多提一些拓展性的、综合性的问题。
课堂巡视的目的是及时了解和掌握学生学习的情况,准确无误地得到反馈信息。因此,要充分利用课堂巡视,对不同层次学生的复习情况进行了解,结合他们课堂复习中出现的不同问题,不失时机地进行指导。可指导学习方法,也可点拨解题思路,还可纠正学生的不良习惯等。
五、数学教学中的分层作业设计
许多学生一开始学习数学,就明显感觉到数学难学,加上有的教师在作业布置上不仅没有分层要求,而且随意拔高,补充一些难题,学生如果做不出来,老师就会课堂上流露出不满,导致学生对学好高中数学的信心不足,兴趣降低。长期下去,还会强化学生我怎么也学不好数学了的负面心理暗示,使学生成绩过早地分化,使面向全体学生的教学思想成为一句空谈。有的教师担心这种做法会鼓励学生偷懒或是降低对自己的要求,但事实上,每一个学生都是很要强的,从交上来的作业来看,在没有实行这种办法时,只能达到一般要求的学生在老师的鼓励和不服输的精神鼓舞下,基本都能以较高要求作为自己的目标。这种做法也要求教师随时了解每一个学生对教材内容的感受,而不是教师自己经验式的理解,因为每一个学生的知识准备都是千差万别的;而且当个别学生出现问题时要通过单独辅导和做思想工作解决,不能就个别现象调整对整体的要求。只要操作得当,这种做法的效果还是很好的。
作业的设计要面向全体学生,要有层次,分出难易,以满足不同层次学生的不同需要,力争使每一位学生都能通过练习有所提高。针对不同学习成绩的学生,在设计练习时可分五个层次:一是用于自我检测的练习,紧扣当堂复习的基础知识;二是用于小组检测的练习,在巩固基础知识的基础上,进行适当延伸,完成后由小组同学之间相互评判;三是用于小组合作完成的练习,要呈现出适当的综合性;四是用于老师批阅的练习,其目的在于反馈学生的复习情况,要求学生必须独立完成,以便老师能够及时准确地掌握学生复习的真实情况;五是用于优秀生自主探究的思维训练,可作为选做题,学生可根据自己的解题能力选做。
总之,通过数学总复习,既要使优等生的知识结构和解决实际问题的能力更上一层楼,又要实现对后进生的转化,缩短优与差之间的距离,复习追求的目标应该是不求人人优秀,但求人人进步,使班级的整体知识水平得以全面提高。
参考文献
一、数学资优生的界定
关于资优生的界定，各国都有一定的标准，但不统一。如美国联邦教育署认为，资优生即是指那些由专家鉴定有优异能力进而能有杰出表现者。这些学生需要接受不同的教育方案，以实现自我并对社会有所贡献。韩国英才学校招生时，依据的不是各学科的成绩，而是在数学和自然科学方面的高潜力、高成就、创造力以及执着精神。学生的数学才能是一个不断生成、不断呈现的过程，因而对数学优秀生的识别也是一个连续不断的过程。
二、数学资优生的选取以及数学资优生的基本情况
本研究从三位比较典型的学生切入，分别是高一119班Y同学、120班F同学以及L同学。
119班Y同学在学习上可以说是一位全面发展的学生，多次考试成绩均位列119班总分第一，并且文科、理科的成绩也占据着班上的龙头地位。学习习惯良好，非常自觉、有计划，数学学习思维也非常灵活，有冲击难题的实力以及耐心。但缺点是眼高手低，经常出现计算错误、格式不规范、解答过于简单的毛病。
120班F同学是数学课代表，一直以来数学成绩都非常不错，但不是拔尖水平，只能排在班上的前15名左右。F同学的学习习惯优秀，学风扎实，尤为突出的是数学运算以及解题规范非常到位，很少出现马虎丢分的情况，基本题型以及基础方法掌握牢固。虽然思维稍有欠缺，但笔者认为略加点拨，必定能进入数学资优生行列，这是选择他的原因。
120班L同学是一位数学基础不错的女生，但数学思维一般，基本技能以及基础知识掌握一般，理解能力欠佳。不过学习很刻苦、很勤奋，是两个班级中数学学习态度最好的一位学生，勤学好问，具备成为资优生的潜质。
三、制订培优计划以及计划的推进
2012年3月，笔者选角完毕，然后找了一个晚修的时间，给这三位学生开了个小会。会议的内容是：（1）说明本学期的任务以及确定他们三位为数学培优对象。（2）阐述了选择他们的原因，在阐述原因时，笔者利用教学改革实验作为背景，淡化重点培养的意识。（3）交代了数学学习的方法。（4）制定了阶段考的考试目标。
但就在小会后的几天，Y同学来到笔者办公室，向笔者提出了这样的几个要求：平时的作业我能否不全部完成，我自己选择某部分作业完成；或者如果今天的作业不适合我，我可以不完成；能不能不严格检查我的作业。他提出要求后，我问他原因。他说：“平时的作业都是基础知识，很浪费时间，但我一定每天坚持数学训练。”
说完后，他拿出了买的《五年高考三年模拟》一书，我浏览了一下，通过深思熟虑后，答应了他的要求。两周后就是阶段考试，Y同学考得并不理想，只有一百零几分。考试后，我与Y同学进行了谈话，然后给他分析了这次考试失利的原因，并且建议他：（1）考试不要眼高手低，要扎扎实实运算；（2）继续按照自己的计划练习数学，不要因为一次的失利就否定自己的学习方案。可能Y同学自己也没想到，我并没有否定他的学习方案，而是继续鼓励他往前走。因为笔者相信Y同学有自己的思想，也具备自我调整的能力
对F同学和L同学的培养，笔者没有像Y同学的培养一样，打破常规，任其自由发展，而是和其他同学一样统一步伐、集体发展，但在发展过程中，笔者注意上课提问与鼓励，让他们当协作学习小组的科代表，课堂上让他们大胆表达自己的数学见解。慢慢的，他们的模范作用体现出来了，作业、考试卷、考试成绩都成为班上学生数学学习的榜样。数学学习成绩也不断提高，现在基本稳定在130分以上。
四、研究案例启示
1.培优要注重差别对待，对不同类型的学生要有不同的培优指导
Y同学在平时表现出特别强的思维能力，但是格式不规范、运算马虎。对于这种具备良好思维能力的学生，在数学培优上可以大胆释放他们的“生产力”，只要他们能有计划、张弛有度地对知识进行建构，就应当适当让他们抽离日常常规模式，走自己的路。但我们要注意把握时机做好引导、指导工作。而F同学以及L同学，他们数学思维欠佳，但是具备很好的数学学习基础，可利用赏识教育、分享教育来激发他们学习数学的兴趣与激情，让他们变被动为主动。这样释放他们的学习积极性，让他们通过这种模式慢慢找到学习的路子，更有计划地进行数学学习，比强制式题海战术以及大量练习更有效。
2.释放“生产力”与相信学生这两点很重要
要懂得先分析学生的思维习惯以及学习状态、学习习惯，再有针对性地释放学生的“生产力”。资优生的培养步伐与全班步伐肯定不能一致，因为如果统一步伐的话，如作业、练习、课堂等环节要求同步，必然耗费资优生的精力与时间。释放“生产力”是关键，只要他们有计划、有安排，就应当放开手脚，通过这样的操作，尽快让他们养成良好的学习习惯，培养优秀的学习能力。
培优计划推进的过程中还需要相信学生。如案例中的Y同学，不能因为一次考试失利，就全盘否定他的学习安排，只要在可控范围之内，老师就要肯定他，让他坚持下去。
3.培优并非制造几个闪光点，而是发挥作用来以点带面
培优教育的核心不是仅仅围绕着几个小点在转，而是利用培养出的资优生，达到以点带面的目的。因此，培优不要紧盯那几个小点，而是发挥星星之火可以燎原的作用，这样的培优才是有意义的培优。
参考文献：
［1］张海燕.高一数学资优生数学学习的个案研究［D］.苏州大学，2011.
［2］盛志荣，周超.国际数学资优教育的研究综述［J］.浙江教育学院学报，2010（3）.
［3］John F. Feldhusen How to identify and develop special talent［J］.Educational leadership，1996.
作者简介
招毅峰（1988—），男，广东广州人，南海第一中学数学教师。
黄华胜（1988—），男，广东茂名人，华东师范大学数学系，2011级课程与教学论硕士。
<教师备案>
．已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本讲就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧．
．教师在上课时需要注意：
⑴
确保学生基础知识的熟练，如基本的等差和等比数列的通项．
⑵
明确数列可以产生衍生数列，如：等等，而这些数列中的“”也会随着的项号的变化而变化．这点可以在后面第一次讲到用辅助数列的时候提到，但一定要举一些例子让学生体会．
⑶
教师要清晰的了解在高中阶段从递推关系求通项的核心思想就是通过代数变形将递推式转化为等差数列或等比数列的递推式．
⑷
高中阶段除了将递推数列转化为等差或等比数列进行求通项外，还有一小部分递推数列是周期数列．比如，就是周期数列．
考点1：
叠加法
知识点睛
由数列的递推公式求通项公式的方法有：（以下）
方法1．叠加法：若数列递推公式为，则通项．
<教师备案>我们知道等差数列可以通过叠加法求通项公式，对于数列有形如的递推式，且的和是可求的，我们可以用同样的方法来求，将递推式变形为，……
将各式相加，得
．
经典精讲
【铺垫】已知数列满足，求．
【解析】
．
【例1】
⑴已知数列满足，且求．
⑵已知数列满足且（），求．
⑶已知数列满足求．
⑷在数列中，，则（）
A．
B．
C．
D．
【解析】
⑴
．
⑵
．
⑶
．
⑷
A；
【点评】
在运用叠加法时，要特别注意项数，计算时项数容易出错．正确写出要累加的首项和末项很重要．
考点2：
叠乘法
知识点睛
由数列的递推公式求通项公式的方法有：（以下）
方法2．叠乘法：若数列递推公式为，则通项．
<教师备案>我们知道叠乘法可以求等比数列的通项，对于数列有形如“”的递推式，且的积是可求的时候，我们可以用同样的方法来求，将递推式变形成，……
将各式相乘，得．
经典精讲
【铺垫】已知数列中，求．
【解析】
．
【例2】
⑴已知数列中，，则数列的通项公式为（）
A．
B．
C．
D．
⑵已知数列中，求数列的通项公式．
⑶已知数列中，，求．
【解析】
⑴
B．
⑵
．
⑶
．
考点3：
构造法
知识点睛
由数列的递推公式求通项公式的方法有：（以下）
方法3．构造法：
⑴
若数列递推公式为，可以设成立，解得，即是等比数列．
⑵
（其中，且，是关于的多项式函数），可设，其中为与的次数相等的多项式函数，各项的系数都待定，通过比较与的各项系数确定待定系数，即为等比数列；
⑶，其中且，，．
①若，则，即为等差数列；
②若，则可以设；
也可两边同时除以或：得或．
<教师备案>
构造法的主要思想是通过观察递推公式的形式，进行合适的代数恒等变换，构造出我们比较熟悉的等差、等比数列，或者类似等差数列（叠加）、类似等比数列（叠乘）．它主要处理递推形式给出的数列，一阶递推主要有两种：⑴；⑵．
这两种递推形式的处理方式如下：
⑴，；
与等比数列的递推公式作对比，发现多一个常数，故考虑构造一个等比数列，于是令，解得，从而得到的表达式，解得的表达式；
例3⑴就是这种形式．
⑵，①当时，即，且数列可以求和时，就是“叠加法”的情形，即；
②当时，ⅰ．是等差数列，故也可以像一样分解：
令，可解得的值，于是成等比数列，可得到的通项公式．
例3⑵就是这种形式．
ⅱ．当成等比数列时，即，若，两边同除以，则，得到数列是一个等差数列；
若，则用待定系数法：设；
也可两边同时除以或：得或，前边的递推式中可以用叠加法求得通项公式，后面的递推式中，可以用（ⅰ）中的待定系数法得到一个等差数列．
例3⑶就是这种形式．
经典精讲
【例3】
⑴在数列中，当时，有，求．
⑵在数列中，，．求．
【追问】如果递推关系中出现了更为复杂的函数，那么该如何进行配凑？
如：在数列中，．求．
⑶已知数列满足，求．
【解析】
⑴
．
⑵
．
【追问】
．
⑶
．
【挑战十分钟】⑴
在数列中，求的通项公式．
⑵
在数列中，求的通项公式．
⑶
在数列中，求的通项公式．
【解析】
⑴
．
⑵
．
⑶
．
【例4】
数列中，求数列的通项公式．
【解析】
．
【点评】本题和例3的区别在于，例3可以说完全是按部就班的套公式，本题需要先代数变形，变成可以去套公式的形式，不过两道例题的整体思想仍然是将递推式左右两边变化出形式类似的代数式，换元后形成（类似）等差或（类似）等比数列．
考点4：
倒数法
知识点睛
由数列的递推公式求通项公式的方法有：（以下）
方法4．倒数法：若数列递推公式为，两边式子取倒数，然后转化为方法3的情形．
<教师备案>
除了一阶递推形式可以用构造法得到一个等差数列或等比数列，或是可以用叠加法或叠乘法处理的数列之外，高中数学中还常常会遇到递推形式为的分式递推数列．这样的数列形式与我们以前的一次分式函数非常相似，对于这样的递推形式，取倒数后分子上就没有了，实现了“变量分离”，得到的形式，于是数列满足的递推式就可以通过叠加法（）或构造法（）去求通项了．
经典精讲
【例5】
⑴已知数列满足，则_________．
⑵已知在数列中，求数列的通项公式．
【解析】
⑴；
⑵
5.2
两种形式的处理
考点5：
前项和与通项
知识点睛
1．已知求，直接用公式：
2．已知与的关系有两种处理方式：
⑴
把题目中的用替换，转化为关于的递推关系，从而得到的通项公式，再转为的通项公式．
⑵
分别写出和的表达式，两式相减转化为关于的递推关系．
注意：使用得到的通项是在这个前提下成立的，所以要注意验证的情况．
<教师备案>由与的关系式求通项是高中阶段的重点，前面的讲次也有涉及到，在本讲我们结合前面求通项的方法进行一个简单的总结．例6是只有一种方法比较可行的，例7则是两种方法都可以．
经典精讲
【铺垫】已知在数列中，求数列的通项公式．
【解析】
．
【例6】
已知数列中，且对于任意正整数有，求通项．
【解析】
．
【点评】此题即属于将用替换，进而转化为关于的递推关系，从而得到的通项公式，再转为的通项公式．如果用和的表达式相减的话则很难求出通项．
【例7】
设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的自然数，与的等差中项等于与的等比中项，求数列的通项公式．
【解析】
．
【备选】（2010朝阳二模理20）
已知是递增数列，其前项和为，且．
⑴
求数列的通项；
⑵
是否存在，使得成立？若存在，写出一组符合条件的的值；若不存在，请说明理由．
【解析】
⑴．
⑵
满足条件的正整数不存在，证明如下：
假设存在，使得．
则．
整理，得
………①
显然，左边为整数，所以①式不成立．
故满足条件的正整数不存在．
<教师备案>
若数列的递推公式的一般形式为，这时的通项公式也可以求出．
分两种情况：
①当时，有．
是以为首项，为公比的等比数列．
②当时，存在，满足，与比较系数得，．
可见是二次方程的两个根，通过解此方程求，的值，再进一步推导的表达式．这种方法又称特征根法．
下面的竞赛题就用到了这样的方法，高中对这样的二阶递推式不作要求，这道题仅供学有余力的同学选做．
（2009年全国高中数学联合竞赛一试）
已知，是实数，方程有两个实根，数列
满足，⑴
求数列的通项公式（用，表示）；
⑵
若，求的前项和．
【解析】
⑴
由韦达定理知，又，所以，整理得
令，则．所以是公比为的等比数列．
数列的首项为：．
所以，即．
所以．
①当时，，变为．整理得，．
所以，数列成公差为的等差数列，其首项为．
所以．
于是数列的通项公式为；
②当时，．
整理得，．
所以，数列成公比为的等比数列，其首项为．所以．
于是数列的通项公式为．
⑵
若，则，此时．
由⑴的结果得，数列的通项公式为，所以，的前项和为，以上两式相减整理得，所以．
<教师备案>
此题老师可以再提及斐波那契数列，它的递推公式为，也是一个二阶递推式，可以用特征根法求得通项公式．
实战演练
【演练1】已知数列中，则_______．
【解析】
．
【演练2】在数列中，．则_______．
【解析】
．
【演练3】在数列中，．求的通项公式．
【解析】
．
【演练4】⑴
已知数列满足，求．
⑵
数列中，求．
【解析】
⑴
．
⑵
．
【演练5】已知数列满足：，又，求．
【解析】
．
【演练6】在数列中，为其前项和，且成等差数列，求的通项公式．
【解析】．
大千世界
（2012年北京高中数学联赛一试）
已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有如下关系成立：
问是否存在满足条件的无穷数列，使得?若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式，若不存在则说明理由．
【解析】当时，∵
①
∴
②
①②有：
③
因各项均非零，所以③式两边约掉，有：
④
∴
⑤
④⑤有：
∴或
—可行性分析
数学课程标准的基本理念是“以学生的发展为本”“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”。现代教育理论认为“教学的艺术在于创设恰当的情境”，把教学情境比喻成学习活动的发动机，其核心作用是激发学生的情感，促使学生思考、交流，从而获得知识，形成技能，发展思维。而创设有效的数学情境有利于学习的真实性和复杂性，有利于激发学生的学习兴趣和探究能力．所以，数学教育教学不仅要考虑教学目标，而且要把有效地情境创设看作是教学设计的最重要内容之一，现本人就本课题的可行性作以下分析。
第一、顺应时代的召唤随着新一轮基础教育改革的启动和不断深化，以及整个社会对素质教育和创新教育思想的逐渐认同和认识的不断提高，广大初中学生家长对初中教育的要求也在逐渐地产生变化，比如从单纯关注学生的考试分数和升学到重点关注学生在学校里的生活质量和学生的全面素质发展。因此创设有效的课堂情境，提高课堂教学的效率和效益，促进教学方式和学习方式的改变，成了教师在课程改革中无可回避的实实在在的任务和追求，因此让有效情境渗透到初中数学课堂教学研究，顺应时代的召唤，有着旺盛的生命力。第二、新课程理念的设计为我们引导学生自主探究性学习提供了理论依据。新课标要求我们通过启发性学习，创设情境，激活学生思维，激发学生兴趣，教给学生探究、学习的方法。引导学生开展探究性学习，对提高学生综合素质具有至关重要的意义。由此可得我们所研究的课题与新课标的要求是一致的，因而可行性是非常高的。
第三、初中学生对于新奇事物有着强烈的好奇心和浓厚的求知欲望。他们有兴趣去探求新知识，研究新问题。因而我们的教育应投其所好，使其个性得以充分发展，给孩子们一个自主探究的机会，自主的发现才更容易让孩子们体验到成功的快乐，这符合学生的心理发展和认知规律的。
第四，我们的学生在学习本节内容之前就已经接受了来自于社会、家庭、小学以及周围环境的许多信息，已有了一定量的知识储备。孩子们不但有能力提出问题，而且有能力解决一些简单的数学问题。只要我们教师的情境创设合理，要求适当，初中学生完全可以进行自主探究性分析、学习。
