相似判定教学设计

相似判定教学设计（精选8篇）

相似判定教学设计篇1

一.教学目标

1．使学生在经历探究相似三角形判定方法的过程中，初步掌握相似三角形的判定定理，理解它的证明方法，初步会运用相似三角形的三个判定定理来解决有关问题．

2．在探究判定方法的过程中，提高学生运用类比方法，猜想命题，再加以证明的研究问题的能力以及增强用化归思想解决问题的意识．

3．通过动手实践、观察、猜想、归纳、等数学探究活动，给学生创造成功的机会，使他们爱学、乐学、会学，同时培养学生勇于探索、积极合作的精神.二.教学重点和难点

重点：(1)探索两个三角形相似的条件的过程；(2)相似三角形判定定理的理解与初步应用。

难点：相似三角形的判定定理的证明．三.教学方法：自主探究与小组合作相结合．四.教学手段：多媒体辅助教学．

五.教学过程：

请学生出示课前按要求剪好的三角形，教师利用已知三角形模板验证两个三角形是否全等的同时请学生回答他裁剪方法的理论依据，借此复习全等三角形的判定方法.在此基础上教师要求学生动手剪一个三角形与已知三角形相似．学生可能马上利用平行线截一个三角形，教师要求学生说出这种裁剪方法的依据——预备定理．在肯定答案的同时提出，那么如何判断三角形相似呢？目前你掌握的方法有哪些？教师提出：判定两三角形相似时，定义的条件过多，预备定理的使用要求具有局限性，那么是否还有其它的判定方法呢？本节课我们继续研究：相似三角形的判定

相似判定教学设计篇2

1教材分析。相似三角形是全等三角形的推广,相似三角形的判定是其中的主要内容,在结构上是与全等三角形的判定、平行四边形的判定等内容相类同的。平面几何中直线型的问题最终都是转化为三角形问题来解决的,因此相似三角形是整个平面几何的重要内容之一。

2.学情分析。学生对全等三角形的判定定理已经了解掌握,就相似三角形判定定理的推导及其简单运用,对班级中大部分学生而言并非难事,而且作为新课,重点也不放在判定定理的运用难度上。但对学生来讲,他们很少会思考判定定理为何就这样几条?其条件需要具有怎样的特征才可以成为判定定理?这些更为深刻的、数学本源化的东西,并非靠多做几个难题就能让学生去体会和感知的。

[问题提出]

数学教学需要教给学生知识和方法,需要教会学生解决问题,还需要让学生学会数学的思维方式,更需要让学生认识数学的本质特征。这些深层次的东西蕴涵于具体的数学内容中,需要我们在日常教学中去留意它,使之成为我们日常教学的有机组成部分。

[教学设计]

教学目标:1.掌握相似三角形判定定理1的论证,并会利用定理进行简单证明;2.提高图形观察、结果猜测与条件分析的能力;3.体会几何论证的严密性,认识判定定理的特征。

教学重点:掌握相似三角形判定定理与对判定定理特征的认识。

教学难点:判定定理在具体证明中的运用。

教学方法:采用“启发引导、类比分析、探索发现”的教学方法。

环节一:挑战“数独”,设置伏笔

1.在上一课时留给学生一个“数独”(如下图)。

2.先由两位学生共同解决此“数独”。第一位学生,填写前4个空格,并叙述理由;第二位学生,直接填完所有空格。

3.介绍“数独”的有关情况。

4.揭示“数独”的特征:(1)由所给出的条件,依据规则可得到唯一的填写方式,可谓“独”,也就是说所给的条件必须“充分”;(2)一般而言,“数独”中所给出的条件越多,则填写难度越小。反之,则难度越大。因此,“数独”的编制者总是希望给出的条件是最少的,但从目前来看,要做到这一点是不容易的,而要论证某个“数独”的条件不能更少,就更困难了。正是由于这一点,才给了“数独”的编制者与填写者更多的挑战,他们所追求的目标是条件的必要性。

设计意图:

1.借助“数独”在学生中流行的契机,我将学生对“数独”游戏的兴趣与挑战心理适度地转移到对数学的学习中来。

2.揭示“数独”条件特征:充分性——条件不缺,必要性——条件不多(理想状态)。这为相似三角形判定定理的探讨提供方向,同时也为学生认识相似三角形判定定理的结构特征作必要的铺垫。

环节二:复习导入,探索新知

1.复习提问

(1)相似三角形的定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

(2)相似三角形的预备定理:如果一条直线平行于三角形的一条边,且这条直线与原三角形的两边(或其延长线)分别相交,那么所构成的三角形与原三角形相似。

2.学生用文字和符号两种形式叙述上述内容,同时教师板书(用符号与图形表示)。

3.比较分析:由“数独”可知,根据所给出的条件,可以唯一地将“数独”中9×9=81个数字确定下来。同样,由相似三角形的定义可知,两个三角形相似需要满足六个条件,即三对角对应相等,三对边对应成比例,那么在这些条件中是否有多余的?也就是说,减少其中的若干个条件,是否能像“数独”那样,将所缺条件推导出来呢?

4.引导探索:将其中“一对角相等”这一条件去除,由三角形内角和定理,容易推导出来。由此可见,上述问题的回答是肯定的。沿着这样的思路,不断从六个条件中去除其中的一些条件,直到不能更少为止。

5.学生探索活动:沿着教师的引导方向,自由探索,最后将探索的结果与大家分享。

设计意图:

1.定义的复习提问与板书,是为后面判定定理的探索作铺垫,预备定理是为判定定理的论证做准备,同时也用来检查上一课时的教学效果。

2.比较分析是为学生提供一种思考问题的方式,即类比的思想,从而使“由定义向判定的转化”更加顺理成章。

3.引导探索是给学生的自由探索活动一个明确的方向,同时也给学生最终对判定定理结构特征的认识做前期的准备。

环节三:定理论证,简单运用

1.从汇总的结果中,选择其一(两角对应相等),加以说明。

2.沿处理“数独”的方式,由两对角对应相等这两个条件,需推导出另外四个条件成立。给学生一定的思考时间,教师同时板书(已知、求证、图示)。

3.请学生叙述论证思路,教师板书论证过程,其间提问论证中“作平行线的存在性问题”。

4.论证完毕后,进一步追问:“这两个条件是否还能再减少?”

5.获得判定定理1:如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似(教师板书)。

6.例题:如图,C是线段AB上一点,分别以AC、BC为边在AB的同侧作正△ACD与正△BCE。

设计意图:

1.结合“数独”,运用类比思想,让学生有明确的论证目的。

2.论证中采用了将较小三角形移入较大三角形,再利用预备定理来论证,这一方法对其余判定定理的论证也适用。提出“作平行线的存在性问题”,则是为了使论证更趋严密,同时也为后面小结作铺垫。

3.最后的追问是为了让学生认识到作为判定定理的条件特征:不缺(充分性),不多(必要性)。

4.对例题中第(3)小题作机动处理,一方面可将它作为课堂教学时间的调节,另一方面也给学生一定的提示。在学生只掌握相似三角形判定定理1的条件下论证第(3)小题,难度较大,而当学习了相似三角形判定定理2和3后,论证就会容易得多。在例题中,这一常见图形中还存在许多对相似三角形,需要学生课后去探索。

环节四:回顾全课,提高认识

1.请学生依据板书顺序回顾全课内容。

2.请学生谈对判定定理1条件特征的认识。

3.请学生回顾全等三角形的判定定理,结合课堂中探索汇总的结果,进行比较。

环节五:作业布置

1.练习册:28.4 (2)。

2.思考:学生探索得到的其余结果如何论证与例题图示中相似三角形的寻找。

附:板书设计

②数独的条件特征

③课题:相似三角形判定

④复习内容:相似三角形定义;相似三角形判定的预备定理(用图形与符号表示)

⑤学生探索结果(用符号表示)

⑥判定定理的论证(用图形与符号表示)

⑦判定定理(用文字表示)

⑧例题:(1)(3)只分析:(2)完整表达

[教学反思]

1.由于本课没有采用多媒体,因此,我对板书作了一定的设计。从课后的情况来看,板书的整体感比较强,前后连贯,便于学生总体把握课的内容与归纳小结,但例题的规范表达无法呈现。

2.在设计中用“数独”与判定定理结构上的类同作为课的铺垫引入,收到了预期的效果,不仅引起了学生的数学兴趣,而且为学生后面对判定定理的探索与结构的认识作了铺垫。

3.整个教学过程安排得较自然流畅,各教学环节间的衔接较合乎数学的逻辑。但学生在小结时,仍不能很清晰地归纳和表述判定定理结构特征。对初中学生来讲,充分性与必要性的认识还是比较困难的。

[专家点评]

初中数学几何定理教学的地位就如同语文教学中的作文地位,它的重要性无可争议,那么初中几何定理课究竟应如何上?如何通过几何定理的教学促进学生的数学思维?顾老师的这节课给了我们启发。

1.与主题相关的导入至关重要

本节课以“数独”导入,初看这与本课主题无关,但综观“数独”游戏活动的导入不仅与主题相关,而且贯穿始终。首先,“数独”活动能使学生形成有理有据的表述和推理的意识。其次,“数独”问题蕴涵了“充分性”和“必要性”,能为学生后续学习埋下伏笔。

2.经历定理形成过程是重要步骤

顾老师根据本节课数学内容的特点采用了发现式学习,从相似三角形定义、相似三角形预备定理出发,根据“数独”问题的特征,提出问题:用相似三角形定义判断两个三角形相似用到的条件是否太多?这引起了学生的思考。学生根据自己数学学习的实际和经验提出了各自减少相似三角形定义条件的方案,从而引出了课堂的讨论,通过师生的交流,确定了几组判定相似三角形的条件,最后选择了相似三角形判定定理1的条件,作为证明内容。从整个教学过程中,我们感到了顾老师的设计思想:在学习定理时不仅关注演绎推理,而且让学生经历观察、猜想、论证,最后形成定理的整个过程,从而在这过程中加深学生对数学本质的理解和提高学生分析问题的能力。

3.数学思想方法渗透是雨露滋润

如何判定相似的三角形篇3

相似三角形判定，供参考。

一、判定两个三角形相似的基本定理.

1、如果两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

2、如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

3、如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 .

二、相似三角形最基本的图形需熟练掌握

1、A型，直线D E截两边可得 4个三角形与原AA B C相似.

2 、X型，直线D E截两边延长线可得2个三角形与原AA BC相似.

3、公共角

因此，两个相似三角形经过平移、旋转、翻折后依然相似.

4、两个全等的三角形一定（肯定）相似。

5、两个等腰直角三角形一定（肯定）相似（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似）

6、两个等边三角形一定（肯定）相似。

7、直角三角形相似判定定理

（一）斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

（二）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

三、三角形判定的例题分析

例在一次数学活动课上，老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下测得身高1.6 5 m的甲同学的影长 BA为 1.1 m，与此同时，测得教学楼的影长 D F为 1 2 .1 m，如图1所示。请你根据已测得的数据，求教学楼 DE的高度。（精确到0.1m）

图1 图2

分析：这里我们把太阳光看作为平行光线，即如图2中的AC与EF互相平行，于是本问题可以转化在?ABC和?FDE中，利用 AC∥EF证得?ABC∽?FDE.由相似三角形对应边成比例可以求出DE的长。

解：如图2

∵AC∥EF

∴∠CAB=∠EFD

又∵CB⊥AB，ED⊥FD

∴∠CBA=∠EDF=90°

∴?ABC～?FDE

∴BC/DE=BA/DF

即1.65/DE=1.1/12.1

∴DE≈18.2（m）

因此，教学楼DE的高度约为18.2m.

点评：本题目借助相似三角形的性质解决实际问题，关键是寻找二角形相似的条件，利用太阳光是平行光以及人、楼与地难亩画出相应的图形构造相似三角形，然后通过相似三角形对应边成比例得出关系式求解。

相似判定教学设计篇4

九数

许国祥

我的教学宗旨是: 一般情况下，按照教材上的教学设计进行教学，以学生为主体，教师做学生的组织者、引导者、合作者，只在关键处点拨，补充，尤其是在几何教学中，以培养学生的合情推理能力，发展学生逻辑推理能力，靠近中考。

我的教学设计

一、知识回顾。(小黑板出示)1．我们已学过了哪些判定三角形相似的方法? 2.在△ABC与△DEF中因为∠A=∠D=45°，∠B=26,°∠E=109°.则这两个三角形是否相似?

二、动脑筋

鼓励学生动手画图，认真思考书中问题，引导同学们讨论得出判定定理3:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

指名说一说:这个定理的条件和结论各是什么?关键处是什么? 同桌完成课本上的做一做。然后指名在班上说。教师及时给予表扬和肯定。

三、出示例题2.要求学生尝试完成。不会做的自己看书，然后再做。教师行巡回辅导，适时指点练习中容易出现的问题。最后指名板演，集体订正。

四、出示课本78页中的B组2题作为典例分析。

要求学生凭眼睛看这两个三角形相似吗?再通过计算他们的对应边是否成比例。有一个角对应相等吗?他们相似吗?同桌讨论各自的心得。从这个例子你能得出什么结论？指名说。

教师示范：规范写出两个三角形对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似已知，求证及证明过程

五、出示B组1题作为典例分析。要求学生先自学，再试着做一做。最后师规范板书全过程。

六、启迪学生除这种解法外,你还能用别的方法来证明吗?鼓励学生用多种方法解题。

七、引导学生归纳解题所得。

八、总结整堂课内容。

九、巩固练习。完成教材第78--79页练习1、2题

十、作业:基本训练78--79页A组1-2题。教师巡回辅导

我的反思: 成功之处:.1、课前对旧知识的回顾，以防止负迁移现象，特别是做一做的设计注重了相似三角形中对应元素的训练，为潜能生设置了一个障碍，以培养学生的合理想象力。

2、整堂课体现了以学生为主体的教学理念。教师的点拨很到位，对定理的剖析突彻，在教学过程中注重了规范板书，为学生起到了示范作用。

3、巡回辅导对提高潜能生有很大帮助，同时充分利用有利资源，以优帮劣，及让优生巩固了所学知识又提高了潜能生，何乐而不为?

4、作业的设计具有层次性。做到了突出重点，突破难点。不足之处:

1、巡回辅导时未顾及到全局，关键是时间太紧。

2、时间分配不够合理，运用定理解题时间花的太多，导致作业不能当堂完成。

相似三角形判定定理的证明篇5

1.如图，在等边三角形ABC中， D，E，F分别是三边上的.点，AE=BF=CD,那么△ABC 与△DEF相似吗?请证明你的结论。

2.已知：如图， ADDEAE??.求证：AB=AE。

ACABBC

3.已知：如图，在△ABC中，D是AC边上的一点，∠CBD的平分线交AC于点E, 且AE=AB。

2求证：AE=AD・AC.

4.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s,动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s.如果P,Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似?

二、补充题目：部分题目来源于《点拨》

1.如图，BD，CE是△ABC的高，BD与CE交于点O，则图中相似三角形有( ) A.4对 B.5对 C.6对 D.7对

(第1题)

(第2题)

2.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，则下列比例式中，错误的是( )

A.AD2=BD・DC B.CD2=CF・CA

C.DE2=AE・BE D.AD2=AF・AC

5.如图，在△ABC中，BE和CD分别是边AC，AB上的高，求证：△ADE∽△ACB.

(第5题)

答案

教材

1.解：相似.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC.又∵AE=BF=CD，∴AB-AE=BC-BF=AC-CD，即BE=FC=AD.∴△AED≌△BFE≌△CDF.∴DE=EF=FD.∴△DEF是等边三角形.∴△ABC∽△DEF.

ADDEAE2.证明：在△ADE和△CAB中，∵=，∴△ADE∽△CAB(三边成比例的两个三角形ACABCB相似).∴∠AED=∠B.∴AB=AE.

3.证明：∵AE=AB，∴∠AEB=∠ABE，即∠EBC+∠C=∠ABD+∠DBE.又∵BE平分∠CBD，

ABAD2∴∠DBE=∠EBC.∴∠ABD=∠C.又∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB.∴=.∴AB=ACAB

AD・AC.∵AE=AB，

2∴AE=AD・AC.

4.解：设ts时△QBP与△ABC相似.此时AP=2t cm，BQ=4t cm，则PB=(8-2t)cm.①当

PBBQ8-2t4t△PBQ∽△ABC时，==，解得t=2，∴当运动2 s时，△QBP与△ABC相ABBC816

似;

PBBQ8-2t4t②当△QBP∽△ABC时，=，解得t=0.8，∴当运动0.8 s时，△QBP与BCAB168△ABC相似.

点拨

1.C 点拨：△ABD∽△ACE，△BOE∽△COD，△BOE∽△BAD，△COD∽△CAE，△BOE∽△CAE，△COD∽△BAD.

DAAF22.A 点拨：∵∠ADC=∠DFA=90°，∠DAF=∠DAC，∴△DAF∽△CAD.∴==CAAD

AF・CA.排除D选项.同理CD=CF・CA，DE=AE・BE，排除B，C选项，无法得到AD=BD・DC.故选A.

5.证明：∵BE，CD分别为边AC，AB上的高，∴∠AEB=∠ADC=90°.又∠A=∠A，

AEAB∴△AEB∽△ADC，∴.又∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB. ADAC

相似判定教学设计篇6

（一）》

说课稿

一、说教材

1、教材地位和作用

本节内容是上科版《新时代数学》九上第24章《相似形》第二节《相似三角形判定》的第一节课．是在学习了第一节相似多边形的概念、比例线段的有关概念及性质，并具备了有关三角形中位线和平行四边形知识后,研究三角形一边的平行线的判定定理．本节课是判定三角形相似的起始课，是本章的重点之一．一方面，该定理是前面知识的延伸和全等三角形性质的拓展；另一方面，不仅可以直接用来证明有关三角形相似的问题，而且还是证明其他三种判定定理的主要根据，这三个判定定理都需要借助它来完成，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的“预备定理”．通过本节课的学习，还可培养学生实验、猜想、证明、探索等能力，对掌握观察、比较、类比、转化等思想有重要作用．因此，这节课在本章中有着举足轻重的地位．

2、教育教学目标

根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：

知识与技能目标：（1）、理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角．

（2）、掌握相似三角形判定定理的“预备定理”．过程与方法目标：（1）、通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程，培养学生的动手操作能力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法．

（2）、利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算，训练学生的灵活运用能力，提高表达能力和逻辑推理能力．

情感与态度目标：（1）、通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷．（2）、通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦．

3、教学重点、难点

依据课程标准，在把握教材的基础上，确立如下的教学重点、难点：

（1）教学重点：相似三角形判定定理的预备定理的探索

（2）教学难点：相似三角形判定定理的预备定理的有关证明

突破重难点的方法是充分运用多媒体教学手段，设置问题、合作交流、猜想论证、课后小结直至布置作业，突出主线，层层深入，逐一突破重难点．

二、说教学方法

1、教法分析

根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点，教学上采用以探

究法的教学模式．设计“实验——观察——讨论”的教学方法，以引导发现法为主，并以讨论法、演示法相结合，意在帮助学生通过直观情景观察和自己动手实验，从自己的实践中获取知识，并通过讨论来深化对知识的理解．本节课采用了多媒体辅助教学，一方面能够直观、生动地反映图形，增加课堂的容量，同时有利于突出重点、分散难点，增强教学条理性，形象性，更好地提高课堂效率．

2、学法指导

《数学新课程标准纲要》指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式．为了充分体现《数学课程标准》的要求，培养学生的动手实践能力、逻辑推理能力，积累丰富的数学活动经验，这节课课前让学生允分的预习，课堂上主要采用动手实践、自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学全过程，在教学过程展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解类比、转化、数形结合等数学思想方法．

三、说教学过程

（一）、课前准备

1、全等三角形的基础知识

2、三角形中位线定理及其证明方法

3、平行四边形的判定和性质

4、相似多边形的定义

5、比例的性质

（二）、复习引入

Ⅰ、复习

1、相似图形指的是什么？

2、什么叫做相似三角形？

Ⅱ、引入如图1，△ABC与△A’B’C’相似．图1 记作“△ABC∽△A’B’C’”，读作“△ABC相似于△A’B’C’”．

[注意]：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角．

[问题]：将△ABC与△A’B’C’相似比记为k1,△A’B’C’与△ABC相似比记为k2,那么k1 与k2有什么关系? k1＝ k2能成立吗?

（三）、探索交流 Ⅰ、［探究］

1、在△ABC中，D为AB的中点，如图2，过D点作DB∥BC交AC于点E，那么△ADE与△ABC相似吗？

（1）“角” ∠BAC＝∠DAE． ∵DB∥BC, ∴∠ADE＝∠B, ∠AED＝∠C．（2）“边” 要证明对应边的比相等，有哪些方法？直接运用三角形中位线定理及其逆定理

图2 图3 利用全等三角形和平行四边形知识过点D作DF∥AC交BC于点F，如图3．

2、当D1、D2为AB的三等分点，如图4．过点D1、D2分别作 BC的平行线，交AC于点E1、E2，那么△AD1E1、△AD2E2与△ABC相似吗？

由（1）知△AD1E1∽△AD2E2，下面只要证明△AD1E1与△ABC相似，关键是证对应边的比相等．

过点D1、D2分别作AC的平行线，交BC于点F1、F2，设D1F1与D2F2相交于G点．则△AD1E1≌△D1D2G≌D2BF2, 易证明△AD1E1∽△ABC．

∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC．图4 [思考]：上述证明过程较复杂，有较简单的证明方法吗？

过点D2分别作AC的平行线，交BC于点F2，如图5．则四边形D2F2CE2为平行四边形，且△AD1E1≌D2BF2,（ASA）∴D2E2＝F2C，D1E1＝BF2．易证△AD1E1∽△ABC．∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC．

图5

Ⅱ、［猜想］

3、通过上面两个特例，可以猜测：当D为AB上任一点时，如图6，过D点作DE∥BC交AC于点E，都有△ADE与△ABC．

图6 Ⅲ、［归纳］定理平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似．

这个定理可以证明，这里从略．

（四）、应用迁移

[操作]：课本第53～54页练习1、3 练习

1、如图案，点D在△ABC 的边AB上，DB∥BC交AC于点E．

写出所有可能成立的比例式．

练习

3、在第1题中，如果

AD3＝，AC＝8cm．求AE长．图7 DB2

（五）、整理反思

（一）小结内容总结思想归纳

（二）反思

（六）、布置作业

课本第53～54页练习2．

《数学基础训练》第41～42页练习2、3．图8 思考题：

如图

8、过△ABC的边AB上任意一点D，作DE∥BC交AC于点E，那么

ADAE＝． DBEC

四、说教学评价：

为了实现教学目标，优化教学过程，提高课堂效率，在教学上采用以探究法的教学模式．组织学生参与“创设情境——探索交流——应用迁移——整理反思”教学全过程，这符合现代教学理论的观点，把素质教育落到实处．另一方面对学生暴露思维过程，先特殊再一般，由边上到延长线，实验、猜想、探索、证明，培养了学生的动手操作能力、直觉思维能力和发散思维能力，渗透类比、转化的数学思想方法．通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷．

从学生课堂上的反映来看，学生参与意识很强，回答问题踊跃，特别是数学成绩一般的学生发言也很积极，很想表现自己，希望得到教师和同学们的认可，看来，如果平时经常多关心他们，多给他们成功的机会，调动他们的学习积极性，那么他们一定会愿意学数学的，并且也一定会学好数学的．从课后反馈情况看，发现有少数较差的学生，虽然能用“预备定理”进行有关判断及计算,但对定理证明过程的难以理解，看来，教师的备课不仅着眼于如何教，还要着眼于引导学生如何学，努力寻找教师与学生的契合点，从而真正把教和学结合起来．

激励源识别的相似性判定实验研究篇7

目前,准确、有效、实时识别导致结构振动的激励源大小和频谱特性,对于控制结构振动和减振降噪具有非常重要的意义。然而,由于工程动力设备结构的复杂性以及设备本身的安装需求,通过实测途径直接获得设备激励源特性存在较大的难度,因此常采用间接估算方法[1,2,3,4]。

间接估算方法根据系统响应和系统特性求激励特性时,大都根据实测数据或计算数据进行激励源识别。目前这一领域的研究分为时域识别和频域识别[5]。在频域识别方面,文献[6]采用相干功率谱分析识别分析了复杂柴油机的噪声源;杨志坚等[7]对发动机进行了基于离散频谱校正的激励力识别方法仿真研究;郭栋等[8]采用阶次分析法对国产轿车减速器啸叫进行了噪声源识别和控制分析;陈茉莉等[9]针对实际工程中采集信号不独立及源个数未知的问题,采用相干函数分析的方法进行源识别,随机信号仿真实验说明,提出的方法源识别效果良好;许鑫等[10]提出了一种识别线性时变结构瞬时频率的方法,并以仿真算例验证了方法的正确性和有效性;文献[11,12]介绍、讨论、对比分析了频响函数直接求逆法、最小二乘法及模态坐标变换法的激励源识别效果。然而,对激励源识别中激励频率的准确判定却鲜有研究。

本文在以两端弹性支撑铝梁为实验对象的最小二乘法激励源识别研究中,提出了基于估算力曲线分段相似性的激励频率判定方法。该方法在无人监视或观察的情况下实现激励频率的自动判定,效果良好。

1 最小二乘法激励源识别理论

对于多输入多输出系统,作如下假设:

(1)因为系统在激励力作用下的振幅不大,故系统是线性的,满足叠加原理。

(2)激励源和系统在各个频率点上的动力特性仅由有限数目的自由度决定。

(3)除了所求激励外,没有其他激励作用于结构。

最小二乘法激励源识别分两大步骤进行计算:计算或测量导纳矩阵;力源估算。

1.1导纳矩阵

如图1所示,在m个激励点上有激励:

F=[F1(f) F2(f) … Fm(f)]T (1)

式中,Fi(f)为激励力谱,i=1,2,…,m;f为频率。

图1中,Fi、Ji、Cj、Nj、Xj分别为第i个激励力、第i个激励点、第j个测点(j=1,2,…,n)、第j个噪声干扰、第j个测点的响应。

在m个激励下,从n(n≥m)个测点上测得加速度的时域响应:

X=[X1(f) X2(f) … Xn(f)]T (2)

式中,Xj(f)为j测点上测得的响应谱。

当系统中无噪声干扰即Nj=0时,激励与响应之间存在如下关系:

X=HF (3)

其中,H为加速度导纳矩阵,它只与激励点和加速度响应测点的位置有关,与激励和响应的大小无关。该导纳矩阵中各元素一般不是常数,而是随频率变化的函数:

Hn m(f)=Xn(f)/Fm(f) (5)

其中,Hn m(f)表示仅在系统激励点m处存在一定的非零宽频激励而其他激励点处激励力均为零时,测点n到激励点m的加速度导纳。

1.2力源估算

为了较完全地描述系统特性,提高激励源识别精度,要求导纳矩阵H的行数大于列数,即测点数大于激励源数。这样各频率下的导纳矩阵就不是方阵,不存在逆矩阵。此时需计算一组力F,使残差ε=X-HF的范数‖ε‖2最小,这就是最小二乘法的本质。

二范数 $∥ ε ∥_{2} = \sqrt{ε^{Τ} ε}$ ,若力估算值F使得εTε最小,则F就是用最小二乘法得到的力估算值。设在激励点处作用一组未知激励源,从相应测点测取得到一组响应,按照残差的定义计算推导得到

εTε=(X-HF)T(X-HF)=

XTX-FTHTX-XTHF+FTHTHF (6)

将式(6)对F微分,并令方程两端均为零,则可求解得到

F=(HTH)-1HTX (7)

令

H+=(HTH)-1HT (8)

其中,H+称为Moore-Penrose广义逆,简称广义逆。

2 相似性判定

工程中,测试信号不可避免地受到噪声的干扰,即使采用一定的消噪手段进行降噪处理,噪声在数据处理结果中的影响仍难以完全剔除,以致影响实验结果的准确性甚至可信度。在最小二乘法激励源识别中,受噪声的干扰,各估算激励力在其谱曲线上会出现一些非激励频率峰值,为降低误识别率、准确识别激励力,需要对估算力谱曲线进行分析,判定激励频率。

2.1相似性原理

在激励力与噪声的共同作用下,响应信号在非激励频率处较在激励频率处,更易受噪声的干扰或受噪声干扰的影响更大。这种影响在不同位置的响应测点处又存在一定差别。在激励频率处,信号具有较大的信噪比,噪声干扰和响应测点位置不同造成的差别则相对较小。这就是相似性判定原理的基础。

最小二乘法激励源识别中,为提高识别精度,通常要求响应测点数目大于激励力数目。在所有响应测点中,随机选取K组不同分布测点的响应数据进行激励源识别估算,得到第i个激励力的K组估算激励力谱数据Fi k(f)(k=1,2,…,K)。在频率坐标下,估算第k个激励力的平均值:

$\bar{F}_{i} (f) = \sum_{k = 1}^{Κ} F_{i k} (f) / Κ$ (9)

以激励力的平均值 $\bar{F}_{i} (f)$ 为参考值,计算K组估算激励力对此参考值的相对误差:

$r_{i k} (f) = (F_{i k} (f) - \bar{F}_{i} (f)) / \bar{F}_{i} (f)$ (10)

在整个分析频段内,对相对误差ri k(f)以一固定的频段长度进行等长分段处理,得到G个分段,以分段中心的频率为频率坐标,计算各分段内的相对误差平均值vi k g,其中,下标g表示第g个分段,g=1,2,…,G。则各不同估算激励力的分段误差平均值为

$e_{i g} = \sum_{k = 1}^{Κ} v_{i k g} / Κ$ (11)

将误差ei g进行分级处理,按其所处误差等级的概率大小来判定估算激励力曲线分段的相似程度,根据满足条件的最大相似程度确定初步激励频率范围,简称为范围1。

2.2频率范围判定

由于某些不可知偶然因素的存在,故根据相似性判定原理得到的范围1内可能包含一些非激励频率,如果仅根据此范围来确定激励频率,则仍可能出现误判的情况。

为了更加准确地判定激励频率,以整个分析频段内估算激励力幅值的平均值为非激励力判定值,将范围1内的力幅值与该平均值进行对比,剔除力幅值小于该平均值的频率范围,得到更加准确的激励频率范围,记为范围2。

2.3主要激励力判定

与那些力幅值较小的激励频率相比,较大力幅值对应的激励频率更容易受到人们的关注和重视,找到了主要激励频率和激励位置,也就找到了导致结构异常振动的主要原因,这对准确、有效、实时控制结构振动和减振降噪具有非常重要的意义。

为此,在更加准确的频率范围2内,寻找最大的激励力峰值,以该峰值的10%为主要激励力判定值,大于该值的激励力被认为是主要激励力。根据主要激励力查找相应的激励力频率,为结构的减振降噪提供参考。

此外,在判定了激励频率和主要激励力后,选取所有的测点响应数据进行激励源识别计算,以提高激励力识别精度,这对较高要求的工程问题是非常有益的。

3 激励力实验

本文的实验对象为一两端弹性支撑的铝梁,其相关参数如下:长1.5m,截面宽0.06m,厚0.03m,密度为2100kg/m3,弹性模量为70GPa。

在水平地面上安装两相同的刚性基座(基座的质量和刚度远大于实验用铝梁的质量和刚度),基座底部通过4个大螺栓固定在地面实验轨道上并施以点焊,以达到实验要求。在同一水平高度的两基座顶部安装面上各安装1个BE60隔振器,隔振器与基座之间通过螺栓进行有效连接。在距离铝梁两端适当距离处,沿厚度方向打两个适当大小的圆形通孔。将铝梁水平放置在两隔振器上,使两通孔与两隔振器顶部安装孔(螺纹孔)对齐,采用螺栓连接,在连接中利用扭矩扳手拧紧,并保证拧紧程度基本一致,实现铝梁的弹性支撑。

在梁的上表面沿梁的长度方向均匀布置了16个加速度响应测点在测点5、测点11与测点12的中点对应的梁的下表面布置了激励点J1和J2。激励力实验时所需的激力是通过两个激振器在两个激励点施加的。测点和激励点的布置如图2所示。

3.1导纳函数测量实验

在最小二乘法中,为能够识别激励力的幅值和频谱特性,需测量计算各加速度响应测点至各激励点的加速度导纳函数,以组成导纳矩阵,进行激励源识别计算。导纳函数测量实验中,在激振器安装状态下,通过施加白噪声激励,测量各测点的加速度响应和激励点的激励力数据,编程计算得到导纳函数。选取测点3、5、7、9、11,绘制其导纳函数曲线,如图3、图4所示。

3.2双激振器激励实验

在获得了测点到激励点的导纳函数之后,调节两激振器系统信号源的激励频率,使两激振器均输出单频正弦信号,同时适当调节激励力幅值和电压并使其稳定,在激励点J1、J2对梁结构同时进行激励。历经一定时长的激励后,停止采样,调小电压直至归零,关闭仪器,实验结束。实验中各激励点采用的激励频率如表1所示。

激励实验中,在测量各测点加速度响应的同时,测量激励点处的力。该力是通过激振器阻抗头上的力传感器直接测量的。直接测量的力在最小二乘法激励源识别中将作为参考力,用以评判估算激励力的识别效果。

4 实验结果及分析

随机选取4组测点分布:测点3、5、7、9、11;测点3、5、9、11、14;测点3、7、9、11、14;测点5、7、9、11、14。计算各组分布下相应测点的加速度响应谱,进行最小二乘法激励源识别估算。

4.1传统方法识别结果

4.1.1 实验1的传统方法识别结果

图5～图8中,Referenced曲线表示直接测量的激励力;Group_1～Group_4表示4组测点分布下的估算激励力曲线与估算激励力绝对误差曲线。在实验1中,激励点J1、J2处作用的激励力频率分别为141.5Hz和72.5Hz。从直接测量的激励力曲线可以看出,参考力F1和F2在2个激励频率处均出现较大的峰值。这是由于梁结构在1号激振器激励作用下产生的振动响应传递到2号激振器的阻抗头上,迫使2号激振器阻抗头的力环产生与1号激振器激励力同频的力(称为被动力)。由信号源产生经功率放大器放大并最终通过激振器阻抗头施加在结构上的力称为主动力。同样,2号激振器的激励力也迫使1号激振器阻抗头上的力环产生与2号激振器激励力同频率的被动力。

从图5可以看出,估算力F1在141.5Hz、812Hz处存在较大的频率峰值,在50Hz以下频段内的幅值也不容忽视。测量计算得到的频率141.5Hz与1号激振器施加的激励频率相符,表明最小二乘法准确地识别了激励频率,该频率下绝对误差(图6)也非常小,幅值识别效果也较好。虽然在被动力频率72.5Hz处也出现了峰值,但其幅值远小于参考力F1在相应频率处的幅值。从图6可以看出,频率72.5Hz处的绝对误差在整个分析频段内最大。812Hz处较大的估算力峰值在没有参考力提供参考的情况下,会被认为是施加的激励力。50Hz以下频段内较大的估算力幅值则是由加速度的低频特性决定的。

从图7可以看出,估算力F2在72.5Hz、812Hz处存在较大的频率峰值,在50Hz以下频段内较大的幅值也值得重视。测量计算得到的频率72.5Hz与实际激励频率相符,表明最小二乘法准确地识别了激励频率。从图8可以看出,72.5Hz处绝对误差非常小,幅值识别效果良好。在除施加的激励力频率72.5Hz外的频段内,与估算力F1类似,存在较为明显的误识别。

4.1.2 实验2的传统方法识别结果

从图9可以看出,与在724.5Hz处施加的主动激励力相同,估算力F1在724.5Hz处存在较大的峰值。图10中的绝对误差较小,说明该频率下激励力识别效果良好。在被动力频率839.5Hz处,估算力幅值远小于参考力幅值,绝对误差在整个分析频段内达到最大。此外,与实验1类似,在812Hz处以及小于的50Hz频段内,误识别较为明显。

图11中,估算力F2曲线上最大峰值对应的频率为839.5Hz(主动激励力频率)。从图12可知,839.5Hz处估算力绝对误差较小,表明主动力识别效果较好。在被动力频率724.5Hz处,估算力曲线中未见明显峰值,且绝对误差达到分析频段内的最大值,这说明被动力未被很好的识别。经仔细观察、分析可知,F2也存在较为明显的误识别,与F1类似。

综上所述,在主动激励力频率处,激励力识别效果良好,而在被动力频率处则未被很好的识别。此外,在50Hz以下频段内和812Hz处,两估算力均存在较为明显的误识别。

4.2相似性判定法识别结果

按2.1节相似性判定原理的要求,将相对误差分为RA、RB、RC三个等级,各等级设置一定的相对误差范围:RA为0≤ei g≤5%,RB为5%<ei g≤10%,RC为10%<ei g 。

计算各频率分段平均相对误差出现在RA、RB、RC中的概率PE,同时设定一可能存在激励力的概率阈值PT,文中取PT=50%为判定初步频率范围的概率判定临界值。

相似性判定的基本思想是:由于在激励频率处,测试信号受噪声干扰相对较小、信噪比较大,故估算力曲线在该频率所属频率分段内受噪声干扰和测点分布的影响较小,则各测点分布下的估算力曲线在该分段内对相应参考频段的平均相对误差小、相似程度高,较大的PE在RA中出现的可能性最大,其次是RB,因此在频率判定中按RA到RB的优先级顺序进行范围1判定。根据上述基本思想,具体的判定步骤如下:

(1)根据设定的概率阈值PT,首先在RA中寻找PE>PT的频段,如果在RA中存在满足此条件的频段,则将此频段列入为初步频率范围;如果RA中不存在满足条件的频段,则按此方法在RB中寻找初步频率范围;如果在RB中不存在满足条件的频段,则认为不存在激励力。

(2)获得初步激励频率范围后,在估算力曲线图中根据非激励力判定线剔除幅值小于整个分析频段内各分布下估算力平均值的初步频率范围,使初步频率范围进一步缩小,得到更加准确的频率范围。

(3)在更加准确的激励频率范围内,查找估算力曲线中的最大估算力峰值,以该峰值的10%为纵坐标值绘制水平线(主要激励力判定线),进而查找估算力幅值在主要激励力判定线以上的频率,得到主要激励力频率。

按照上述判定步骤,对实验1、2进行激励识别频率判定分析。

4.2.1 实验1的相似性判定方法识别结果

图13、图14中,水平点画线为非激励力判定线,判定线纵坐标值是各测点分布下估算激励力在整个频段内的平均值;水平虚线为主要激励力判定线,幅值大小为初步频率范围内最大频率峰值的10%。

依据相似性判定顺序,首先在误差等级RA中,查找相对误差概率超过50%的频率范围。图15中存在两个范围1,这两个范围1分别以140Hz和510Hz为中心。从图13估算力F1曲线可以看出,510Hz附近的幅值远小于非激励力判定值,即可判定在510Hz附近不存在激励力。采用非激励力判定线剔除非激励频率后,得到了更为准确的、以140Hz为中心频率的范围2。在范围2内搜索最大峰值(相应的峰值频率141.5Hz),该频率与主动激励力频率相同。以最大峰值的10%为主要激励力判定值,在已得到的更为准确的频率范围内判定主要激励力,发现除141.5Hz频率外,并无其他激励频率,这与1号激振器信号发生的信号频率是一致的。在被动力频率72.5Hz处,估算力的峰值在主要激励力判定线以下,不作为主要激励力。

图16中仅在70Hz附近存在一个初步频率范围,结合图14中估算力F2曲线的非激励力判定线和主要激励力判定线综合分析可知,激励频率为72.5Hz。该频率与2号激振器系统信号源发生的激励力信号频率相同。在被动力频率141.5Hz处,估算力的峰值在主要激励力判定线以下,同样不作为主要激励力。

4.2.2 实验2的相似性判定方法识别结果

从图17可以看出,在720Hz附近存在一个初步频率范围,结合图18中估算力F1曲线的非激励判定线和主要激励力判定线综合分析可知,激励频率为724.5Hz。该频率与1号激振器系统信号源发生的激励力信号频率相同。在被动力频率839.5Hz处,估算力的峰值并不明显,且在主要激励力判定线以下,同样不作为主要激励力。

图19同样仅在840Hz附近存在一个初步频率范围。搜索该频率范围内的最大峰值及相应的峰值频率,可知最大峰值对应的频率为839.5Hz(图20),该频率与2号激振器信号源发生的信号频率一致。虽然812Hz处的峰值较大(在主要激励力判定线以上),但812Hz并不在初步频率范围内,也不是激励频率。在被动力频率724.5Hz处,估算力曲线上不存在明显的峰值,并且各幅值均在主要激励力判定线以下,同样不作为主要激励力。

综上分析可知,采用相似性判定时,两实验估算激励力分析中,主要激励力频率均与激振器信号源发生信号频率一致,识别效果良好。

4.3识别效果对比分析

采用传统方法和相似性判定方法均对实验1、2中激励力F1和F2的识别情况进行了分析。在分析结果中,两者有很大的区别,如表2、表3所示。其中,A为力的大小。

从表2、表3中传统方法和相似性判定方法的识别结果对比可以看出,除两者均在被动力频率处存在识别效果不理想的情况外,采用相似性判定的识别效果明显优于传统方法的识别效果。相似性判定方法在判定过程中无需人工参与,在主动激励频率处的识别效果与传统方法一致,并且在812Hz处和50Hz以下频段范围内不存在误识别情况,这是传统方法无法达到的。

相似性判定方法在识别效果上的优越性是由方法本身决定的。传统方法以幅值大小为评判依据,凭借肉眼的观察将幅值大的频率当作激励频率,存在难度大、费时、误判率高、准确率低的缺点。相似性判定则是以一定的数学方法为依托,以基于估算力曲线分段相似性程度的激励频率判定为主、幅值判定为辅的综合判定方法,并可编制相关处理程序,在无人监视或观察的情况下自动实现激励频率判定,既降低了判定难度,节省了时间,又提高了准确性。

5 结语

本文以两端弹性支撑铝梁为实验对象,在最小二乘激励源识别研究中,根据测试信号在不同频率处和不同测点分布下受噪声干扰大小不同的特点,提出了基于估算力曲线分段相似性的激励频率判定方法。该方法在无人监督或观察的情况下自动实现激励频率的判定,效果良好,具有重要的理论意义及工程应用价值。

摘要：以两端弹性支撑梁为研究对象,测量了激励力作用下测点(测点数大于激励点数)的时域响应及相应测点的加速度导纳,并利用最小二乘法间接估算了激励力。针对激励频率处响应受噪声干扰小、信噪比高的特点,提出了基于估算力曲线分段相似性的激励频率判定方法。采用该方法进行了激励频率判定分析,并将其结果与传统识别结果进行了对比。对比结果表明,该方法有效地降低了误识别率,并实现了激励频率判定的半智能化。

关键词：最小二乘法,激励源识别,导纳,相似性判定

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相似判定教学设计篇8

1教学内容解析

本节主要内容是直线和平面垂直的概念发现、直线和平面垂直的判定定理的探索过程，是在学习了空间的点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的空间的另一种重要位置关系的学习．垂直是立体几何的核心概念之一．直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况，它既是直线与平面位置关系的深化，又是研究面面垂直、线面角、面面角的基础，在教材中起到了承上启下的作用，具有相当重要的地位．

新课标要求立体几何的学习采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质．故对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展开，而对直线与平面垂直的判定的研究则遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程展开，通过该内容的学习，能进一步培养学生空间想象能力，发展学生的合情推理能力和一定的推理论证能力，体会“平面化”思想和“降维”思想．同时体验新课程倡导的自主探索、动手实践、合作交流等理念．

教学重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理．

教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用．

2教学目标解析

2．1知识与技能

（1）经历对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；

（2）通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；

2．2过程与方法

（1）通过类比空间的平行关系提高提出问题、分析问题的能力．

（2）在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等化归的数学思想．

（3）尝试用数学语言(文字、符号、图形语言)对定义和定理进行准确表述和合理转换．

2．3情感、态度与价值观

经历线面垂直的定义和定理的探索过程，提高严谨与求实的学习作风，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度．