二次分式函数值域的求法

二次分式函数值域的求法（共6篇）

二次分式函数值域的求法 篇1

甘肃王新宏

一定义域为R的二次分式函数用“判别式”法

解题步骤：1把函数转化为关于x的二次方程方程有实根，△≥0求的函数值域

2x2x21：求y =2的值域 xx2

解：∵x+x+2>0恒成立 2

2x2x2由y =2得，xx2

（y-2）x+(y+1)x+y-2=0

①当y-2=0时，即y=2时，方程为x=0R

②当y-2≠0时，即y≠2时,∵xR

∴方程（y-2）x+(y+1)x+y-2=0有实根

∴△=(y+1)-(y-2)×(y-2)≥0

∴3y-18y+15≤0

∴1≤y≤5

∴函数值域为1,5 2222

练习1：求y =3x的值域 x24334,4 

二分母最高次幂为一次的二次分式函数值域常转化为“√”函数或用“均值不等式”来做。先来学习“√”函数。

形如y =x+

图像

k(x>0 ,k>0)的函数，叫“√”函数 x



值域：2k, 单调性：在x∈0,时，单调递减。在x∈k,时，单调递减。解题步骤：①令分母为t,求出t的范围

②把原函数化为关于t的函数

③利用“√”函数的单调性或均值不等式来求值域

2x2x11例2求y =（x3）的值域 22x1

解令2x-1=t,得

t1 2

t111∴y=2 2t22

t1当且仅当时，即t=2时，取“=”。2t

1∴y2 20

∴值域为：2

1,2

71,3 (sinx)23cosx4练习2求y=的值域cosx2

三分子为一次因式的二次分式函数，即形如：y=axb(ac0)cx2dxe

解题步骤：①令分子为t,求出t的范围，把原函数化为关于t的函数

②分子分母同除以t，把分母化为关于t的“√”函数

③根据复和函数的单调性得出原函数值域

例3y =x1x1, 2x3x3

解令x+1=t,得

t0,且x=t-1

∴y=t=t2t1111tt

13(t=1时取“=”)t

1∴y且y>0 3∵1+t+

∴值域为0, 3

练习3:求y =1x的值域 ？x2110,2 

四分子分母均为二 次的二 次分式函数可化为“三“求之。

2x12x26x12(x22x2)2x1例如：y=2==2+ x22x2x2x2x22x2

注：实际上所有的二次分式函数的值域都可以用求导的方法解决，但有些题目用求导的方法求值域时比较繁琐，配和以上方法，会得到事半功倍的效果。

二次分式函数值域的求法 篇2

对于这三种类型的分式函数, 学生在求其值域时往往是会而不对、对而不全.下面笔者结合自己的教学实践就以上三种类型的分式函数值域的求法谈点肤浅的认识.

一、

形如 (分子分母既约) 的函数值域的求法

求这类分式函数值域通常采用“变量分离法”, 即将分子中的x从分式的分子中分离出来.

二、

形如 (a1, a2不同时为0, 分子分母既约) 的函数值域的求法

对于这种类型的函数可以通过如下两种方法:1.判别式法;2.函数的单调性.

1. 判别式法

判别式法就是利用一元二次方程根的判别式, 采用去分母的办法将函数式整理成变量x的一元二次方程, 由于x∈R, 利用方程有实根其判别式必须大于或等于0, 列出相应的不等式, 再解不等式即可.

例2用判别式法求函数的值域.

解由题意, 原函数可化为yx2+ (3y-1) x+1=0.

2. 函数的单调性法

i) 当x+n=0时, 则g (x) =0;

利用已知函数 (a·b≠0) 的值域即可求出此类函数的值域.

i) 当x-1≠0时, y=0;

说明用这种方法求解时要正确的对题目进行分解变形;对于函数 (a·b≠0) 的性质要熟练掌握.

三、

对形如 (a1·a2≠0, 分子分母既约) 的函数值域的求法

对于这种类型的函数可以通过如下两种方法:1.判别式法;2.对函数式进行变形转化为第二种形式进行求解.

解法一原函数可化为yx2-yx+y=x2-2x.

整理, 得 (y-1) x2- (y-2) x+y=0.

由Δ= (y-2) 2-4 (y-1) y≥0, 得

解法二原函数可化为

接下来按函数的单调性来做即可.

不过这里要指出的是:对于上述三种类型的分式函数中第二种和第三种类型的函数在利用判别式法来求值域时, 有时求出的范围并不一定是原函数的值域.

例如:求函数的值域时, 将其变形为

(y-2) x2+ (y-2) x+y-3=0.

用判别式解得

则原函数的值域

实际上, 函数值y≠2, 所以函数的值域是

所以用判别式法求解时一定要注意其条件, 下面简要说明:

对于形如 (2) (a1, a2不同时为0, 分子分母既约) (3) (a1, a2≠0, 分子分母既约) 的函数在去分母后化为:m (y) x2+n (y) x+py=0 (1) 的形式后要进行如下讨论:

i) m (y) =0, 使 (1) 成立的x是否使原式有意义;

ii) m (y) ≠0, 利用Δ≥0求出的y的取值范围后还须注意等号成立的可能性.

例5求函数的值域.

(1) 若y=1代入 (1) 式得x=1, 不在函数的定义域内.因此y≠1.

(2) 由y≠1, 可得Δ= (-5y) 2-4 (y-1) (4y+1) ≥0,

得 (3y+2) 2≥0.

由原函数知x可取1, 4以外的一切实数, 因此

综上所述可得原函数的值域为

二次函数解析式的求法 篇3

当已知条件是图象上三个点坐标时选择一般式方程：y=ax2+bx+c（a≠0）；

当已知抛物线与x轴的两交点坐标时选择交点式方程：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）；

当已知二次函数图象顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值时选择顶点式方程：y=a（x-h）2+k（a≠0）。

1.根据代数条件求二次函数解析式

【例1】已知抛物线经过点（1，0），（-5，0），且顶点纵坐标为9[]2，求这个二次函数的解析式。

【分析】 设一般式，将已知条件直接代入将得到一个三元一次方程组，计算较繁，进一步分析，（1，0），（-5，0）是抛物线与x轴两交点，由此可知抛物线对称轴为直线x=-2， 所以顶点坐标为（－2，9[]2）.

解：∵点（1，0），（-5，0）是抛物线与x的两交点,

∴ 抛物线对称轴为直线x=-2，

∴ 抛物线的顶点坐标为（－2，9[]2），

设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，则有

a+b+c=025a-5b+c=0,4a+2b+c=9[]2,解之得a=-1[]2,b=-2,c=5[]2

∴ 所求二次函数解析式为y=-1[]2x2-2x+5[]2.

2.根据几何图形的性质求二次函数的解析式

【例2】 已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1

【分析】 我们可把已知点C（0，5）代入函数解析式，再由a+b+c=0和S△ABC=15这两个条件进行求解。

解法1：∵ C（0，5）， ∴ c=5，OC=5，

∵ a+b+c=0，

∴ a+b+5=0， ∴ b=-5-a.

∴ 解析式为y=ax2+（-5-a）x+5，∵ S△ABC=1[]2×AB•5=15.

∴ AB=6，即|x1-x2|=6.

又x1

两边平方得（x2-x1）2=36，

∴ （x1+x2）2-4x1x2=36，（5+a[]a）2-4×5[]a=36，7a2+2a-5=0.

解得a1=5[]7,a2=-1.

∵ 抛物线开口向下，∴a1=5[]7舍，

∴a2=-1，∴ y=-x2-4x+5.

解法2：由解法1可得AB=6，

∵ a+b+c=0，

∴ （1，0）在抛物线上.

又抛物线开口向下且过（0，5），

∴ B（1，0）， ∴ OB=1，

则OA=AB-OB=5，A在x轴负半轴上，∴ A（-5，0）.

设y=a（x-1）（x+5），把（0，5）代入得-5a=5 ，∴ a=-1.

∴ y=-x2-4x+5.

【小结】 比较以上两种解法，解法2简捷，如果题目中不给开口方向，那么就有两种答案，用解法1直接求得两个解，而解法2就可能丢解 。

几何条件求抛物线解析式时需根据图形性质求线段长再转化成点坐标，在转化过程中注意点的位置与点坐标的符号。

3.根据二次函数图象的性质求解析式的开放型问题

【例3】 （2006•四川乐山）若二次函数y=ax2+bx+c的图象满足下列条件：

① 当x＜2时，y随x的增大而增大；

②当x≥2时，y随x的增大而减小。

则这样的二次函数解析式可以是.

【分析】 根据条件①、②可知二次函数开口向下，对称轴为2，这样我们知道a值为负，-b[]2a＝2，我们可令a＝－1，则b＝4，c可取任意值。

解：y＝－x2＋4x＋3。

【例4】 （2006•武汉）已知二次函数的图象开口向下，且经过原点，请写出一个符合条件的二次函数的解析式。

【分析】 如果设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，因为图象开口向下，所以a为负数，图象过原点，即c＝0，满足这两个条件的解析式有无数个。

解：y＝－x2＋3x.

函数值域求法 篇4

1. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一.

例1求函数y=x2-2x+5, x∈[-1, 2]的值域.

解将函数配方, 得y= (x-1) 2+4.

∵x∈[-1, 2], 由二次函数的性质可知:

当x=1时, ymin=4;当x=-1时, ymax=8.

故函数的值域是[4, 8].

2. 根的判别式法

3. 反函数法

直接求函数的值域有困难时, 可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域.

4. 函数有界性法

直接求函数的值域有困难时, 可以利用已学过函数的有界性, 反客为主来确定函数的值域.

故所求函数的值域为 (-1, 1) .

5. 函数单调性法

6. 换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数, 其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型.换元法是数学方法中最主要方法之一, 在求函数的值域中同样发挥作用.

7. 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义, 如两点的距离公式、直线斜率等等, 这类题目若运用数形结合法, 往往会更加简单, 一目了然, 赏心悦目.

解原函数可化简, 得y=|x-2|+|x+8|.

上式可以看成数轴上点P (x) 到定点A (2) , B (-8) 间的距离之和.

由上图可知, 当点P在线段AB上时,

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,

故所求函数的值域为[10, +∞) .

例谈解析式规则的函数值域的求法 篇5

4. 形如“y=af2 (x) +bf (x) +c (a≠0) ”的函数, 特征:二次函数与函数f (x) 复合的形式

例求函数y=sin2x-sinx+2的值域.

说明此方法是简单换元与二次函数性质的综合应用, 特别注意找到作为一个整体的f (x) , 以及当令f (x) =t时t的范围.又如y=4x-3·2x+1中应令2x=t, 此时t>0.

说明此方法采用了双换元和数学结合思想, 针对满足上述结构形式的函数均可适用, 且其解法颇具数学味道, 直观明了.

二次函数解析式的求法 篇6

二次函数是初中数学教学的重点和难点, 也是中考的热点, 学生中解答有关问题时, 容易出错, 为了提高学生解答相关问题的能力, 本文就二次函数解析式的几种求解方法, 结合例题进行分析说明.

一、用侍定系数法求二次函数的一般式

这类题通常是直接或间接给出函数图象所要经过的三个点, 其解答方法是把这三个点的坐标分别代入二次函数, 得到三个方程, 解方程组, 得到所要求的二次函数.

例1 一个二次函数的图象经过 (-1, 10) , (1, 4) , (2, 7) 三点, 求此二次函数的解析式.

分析:二次函数的一般式是y=ax2+bx+c (a≠0) , 要求出解析式, 需要求出a, b, c的值.为此, 可以由二次函数图象上三个点的坐标, 列出关于a, b, c的三元一次方程组, 求出三个待定系数a, b, c就可以了.

解:设所求二次函数为y=ax2+bx+c (a≠0) .

由题意知, 函数图象经过 (-1, 10) , (1, 4) , (2, 7) 三点, 得关于a, b, c的三元一次方程组

$\{\begin{array}{l}\text{a}-\text{b}+\text{c}=10\\ \text{a}+\text{b}+\text{c}=4\\ 4\text{a}+2\text{b}+\text{c}=7\end{array}$

解这个方程组, 得:a=2, b=-3, c=5.

所求二次函数是y=2x-3x+5.

二、用顶点坐标求二次函数的一般式

这类题通常给出抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 的顶点坐标, 及抛物线上另一点的坐标, 这时, 二次函数的解析式的求解可直接把顶点和另一点代入顶点式就可以了.

抛物线顶点式的表达式为:$y=ax+\frac{b}{2a}{}^2+\frac{4ac-b{}^2}{4a}$或y=a (x-h) 2+k.

例2:已知抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 的顶点坐标为 (4, 2) , 且点 (2, 0) 在该抛物线上, 求这条抛物线.

解:根据题意, 得

$\{\begin{array}{l}\frac{-b}{2a}=4\\ \frac{4ac-b{}^2}{4a}=2\\ 4a+2b+c=0\end{array}$

解这个方程组, 得$a=-\frac{1}{2},b=4,c=-6.$

所求的抛物线为$y=-\frac{1}{2}x{}^2+4x-6.$

三、用交点坐标求二次函数的解析式

如果题目给出二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象与X轴有两个交点A (x1, 0) , B (x2, 0) , 且又知道图象的另一个点的坐标, 则这类题可用交点式来求解二次函数的解析式.解题时, 可直接把两个交点和另一个坐标点代入交点式即可解决.

[抛物线交点式的表达式为:y=a (x-x1) (x-x2) ]

例3二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象与x轴相交于点 (-2, 0) 和 (4, 0) , 且过点 (-1, 7) , 求x=3时, y的值.

解:根据二次函数的两点式可设y=a (x+2) (x-4) .

把点 (-1, 7) 的坐标代入上式, 得

$\begin{array}{l}\text{a}(-1+2)(-1-4)=7.\\ \therefore \text{a}=-\frac{7}{5}.\\ \therefore \text{y}=-\frac{7}{5}(\text{x}+2)(\text{x}-4).\end{array}$