《离散型随机变量的期望》说课稿

《离散型随机变量的期望》说课稿（精选4篇）

《离散型随机变量的期望》说课稿 篇1

一.离散型随机变量的概率分布

例1从装有6个白球,4个黑球和2个黄球的箱子中随机地取出两个球,规定每取出一个黑球赢2元,而每取出一个白球输1元,取出黄球无输赢,以X表示赢得的钱数,随机变量X可以取哪些值呢?求X的概率分布.

思路点拨:先分析取两个球可能出现的所有情况,再用随机变量表示,最后由古典概型的概率计算公式求出概率,写出概率分布.

解:从箱子中取两个球的情形有以下六种:2白,1白1黄,1白1黑,2黄,1黑1黄,2黑,

当取到2白时,结果输2元,随机变量X=-2;

当取到1白1黄时,输1元,随机变量X=-1;

当取到1白1黑时,随机变量X=1;当取到2黄时,随机变量X=0;当取到1黑1黄时,随机变量X=2;

当取到2黑时,随机变量X=4.

则X的可能取值为-2、-1、0、1、2、4.

因为

则得到X的概率分布如表1.

点评:求概率分布的关键是准确写出随机变量的取值及其每个值的概率,而求变量取值的概率的关键是理解清楚变量取每个值所对应的随机事件是什么,另外求出随机变量的概率分布后可以用概率分布的相关性质对结果进行检验.

二、离散型随机变量概率分布性质的应用例2设随机变量X的概率分布P(X=

例2设随机变量X的概率分布P(X=(k=1,2,3,4,5),(1)求常数a的值;(2)求P().

思路点拨:根据概率分布的第二条性质可以求出a,再根据随机变量取值表示的事件是互斥事件求出·

解:(1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得到;

(2)因为只有满足,所以

点评:概率分布的有关性质是对所求概率分布进行检验或者对有关参数进行求值的依据.,

三、离散型随机变量的均值

例3某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为

商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润,(2)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);(2)求η的分布列及期望Eη.

思路点拨:(1)“至少有1位采用1期付款”的对立事件为“全部都不采用1期付款”,由相互独立的概率公式可求.(2)η的取值为200,250,300,P(η=200)=P(ξ=1)=0.4,P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3);P(η=300)=P(ξ=4)+P(ξ=5).

解析:(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”,知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”.

P()=(1-0.4)2=0.216,P(A)=1-P()=1-0.216=0.784.

(2)η的可能取值为200元,250元,300元.

η的分布列为

所以Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2.

点评:解答这类问题时,应该首先把实际问题概率模型化,然后利用有关概率知识去分析相应各事件可能性的大小,并列出概率分布,最后利用公式求出相应的概率.

四、离散型变量的概率、方差的综合应用

例4甲、乙两人射击,甲射击1次中靶的概率是P1,乙射击1次中靶的概率是P2,且,是方程x2-5x+6=0的两个实根,已知甲射击5次,中靶次数的方差是,(1)求P1、P2的值;(2)若两人各射击2次,至少中靶3次就算完成目的,则完成目的的概率是多少?(3)若两人各射击1次,至少中.靶1次就算完成目的,则完成目的的概率是多少?

思路点拨:(1)由于射击5次是相互独立的,故甲中靶次数X甲～B(5,P1),从而由,可以求出P1的值,然后利用根与系数的关系把P求出;(2)中靶3次包含甲中2次,乙中1次以及甲中1次,乙中2次两种情况,显然这两类事件互斥;(3)“至少”的对立面为“最多”,故用对立事件比较容易完成本题.

解:(1)根据题意知道X甲～B(5,P1),所以,所以,解得,所以P2=

(2)两类情况:共击中3次的概率为

《离散型随机变量的期望》说课稿 篇2

离散型随机变量的期望与方差是高中数学的基本知识，是高考的必考内容.该知识是以实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等知识为工具，以考查对概率事件的判断识别及其概率的计算和随机变量概率分布列性质及其应用为目标的中档题，概率应用题一般都侧重于分布列与期望，近几年各地高考中对应用题的考查也有以概率应用题替代传统应用题的趋势.

在高考中，离散型随机变量的期望与方差试题的出题背景大多数源于课本上，有时也依赖于历年的高考真题、资料中的典型题例为背景.涉及的主要问题有：产品检验问题、射击、投篮问题，选题、考试问题，试验、游戏、竞赛、研究性问题，旅游、交通问题，摸球问题、取卡片、数字和入座问题，信息、投资、路线等问题.属于基础题或中档.从近几年高考试题看，离散型随机变量的期望与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识.

命题特点

离散型随机变量的期望与方差在近几年高考命题中有以下特点：①期望与方差的基本概念及运算的考查重视基础，在选择、填空题中出现，一般难度不大，属于得分题，涉及知识主要与排列组合、古典概型、分布列、二项分布（两点分布）公式等综合命题.②在解答题中考查最为频繁，试题背景多是课本、高考常见实际背景（产品检验、摸球、射击等），涉及知识主要与统计中的直方图、茎叶图、频率分布图等结合先求概率分布列、再运用均值、方差公式进行计算，数形结合、分类讨论是解决期望与方差问题的重要思想方法.③考查期望与方差的实际应用意义的理解.总的来说该内容在高考中必考，且是力争满分的试题.

1. 离散型随机变量的期望、方差

求离散型随机变量的期望与方差时，关键是先求出随机变量的分布列，再运用期望、方差公式进行计算.

例1 设袋子中装有[a]个红球，[b]个黄球，[c]个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.

（1）当[a=3，b=2，c=1]时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量[ξ]为取出这2个球所得分数之和，求ξ的分布列；

（2）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量[η]为取出此球所得分数.若[Eη=53]，[Dη=59]，求[a][∶][b][∶][c].

解析 （1）由题意得[ξ=2，3，4，5，6]，

∴[Pξ=2=3×36×6=14，Pξ=3=2×3×16×6=13，]

[Pξ=4=2×3×1+2×26×6=518]，

[Pξ=5=2×2×16×6=19，Pξ=6=1×16×6=136].

∴[ξ]的分布列为

[[ξ]＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&[P]＼&[14]＼&[13]＼&[518]＼&[19]＼&[136]＼&]

（2）由题意知[η]的分布列为

[[η]＼&1＼&2＼&3＼&[P]＼&[aa+b+c]＼&[ba+b+c]＼&[ca+b+c]＼&]

[∴Eη=aa+b+c+2ba+b+c+3ca+b+c=53]， [Dη=1-532?aa+b+c+2-532?2ba+b+c+3-532?3ca+b+c=59，]

化简得，[2a-b-4c=0，a+4b-11c=0，]解得，[a=3c，b=2c].

∴[a][∶][b][∶][c]=3[∶]2[∶]1.

点拨 求离散型随机变量的分布列时要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出取每一个值时的概率.求概率时，要注意概率类型的确定与转化.

2. 期望与方差在风险决策的实际应用问题

例2 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等.而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列如下.

甲保护区： 乙保护区：

[[ξ]＼&0＼&1＼&2＼&3＼&[P]＼&0.3＼&0.3＼&0.2＼&0.2＼&][[ξ]＼&0＼&1＼&2＼&[P]＼&0.1＼&0.5＼&0.4＼&]

试评定这两个保护区的管理水平.

解析 甲保护区的违规次数[ξ1]的数学期望和方差为：[Eξ1=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3].

[Dξ1=（0-1.3）2×0.3+（1-1.3）2×0.3+（2-1.3）2×0.2+][（3-1.3）2×0.2=1.21.]

乙保护区的违规次数[ξ2]的数学期望和方差为：

[Eξ2=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3].

[Dξ2=（0-1.3）2×0.1+（1-1.3）2×0.5+（2-1.3）2×0.4=0.41.]

因为[Eξ1=Eξ2，Dξ1>Dξ2]，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动.（标准差[σξ1=Dξ1=1.1，σξ2=Dξ2≈0.64]这两个值在科学计算器上容易获得，显然，[σξ1>σξ]）

点拨 （1）解决实际应用问题时，关键是正确理解随机变量取每一个值时所表示的具体事件.

（2）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.

备考指南

1. 立足课本，依托高考真题，训练各地摸拟试题以熟悉产品检验问题、射击、投篮、试验、比赛、摸球、取卡片等常见问题背景.对一些陌生背景试题要静得下心分析并迁移到常见问题上.

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2. 熟练准确的概率计算能力.离散型随机变量经常与几何概率、计数原理、事件的互斥、统计等知识相结合考查，因此要求掌握古典概型、几何概型、及利用事件关系求概率的方法，能准确把分布列写出.

3. 离散型随机变量的期望与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识主要考查能力.

限时训练

1. 已知离散型随机变量[X]的分布列如下.

[[X]＼&[1]＼&[2]＼&[3]＼&[P]＼&[35]＼&[310]＼&[110]＼&]

则[X]的数学期望[EX=] （ ）

A.[32] B.[2]

C.[52] D.[3]

2. 已知随机变量[ξ]满足条件[ξ～B（n，p）]，且[E（ξ）=][12，D（ξ）=125]，则[n与p]的值分别为 （ ）

A.16与[45] B.20与[25]

C.15与[45] D.12与[35]

3. 设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为[67]，则口袋中白球的个数为 （ ）

A.3 B.4 C.5 D.2

4. 甲乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是[23]，则面试结束后通过的人数[ξ]的期望是 （ ）

A. [43] B. [119]

C.1 D. [89]

5. 某射手射击所得环数[ξ]的分布列如下：

[[ξ]＼&7＼&8＼&9＼&10＼&[P]＼&[x]＼&0.1＼&0.3＼&[y]＼&]

已知[ξ]的期望[E（ξ）=8.9]，则[y]的值为 （ ）

A.0.4 B.0.6

C.0.7 D.0.9

6. 已知X的分布列为

[[X]＼&-1＼&0＼&1＼&[P]＼&[12]＼&[13]＼&[16]＼&]

设[Y=2X+3]，则[E（Y）]的值为 （ ）

A. [73] B.4 C.-1 D.1

7. 设随机变量[X～B（n，p），]且[E（X）=1.6，][D（X）=1.28，]则 （ ）

A.n=8，p=0.2 B.n=4，p=0.4

C.n=5，p=0.32 D.n=7，p=0.45

8. 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的期望值为 （ ）

A.2.44 B.3.376

C.2.376 D.2.4

9. 一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利 （ ）

A.39元 B.37元

C.20元 D.[1003]元

10. 某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为[a]，平局的概率为[b]，负的概率为[c，其中a，b，c∈[0，1）]，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则[ab]的最大值为 （ ）

A. [13] B. [12]

C. [112] D. [16]

11. 某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分（每道题都必须回答，但相互不影响）.设某学生对每道题答对的概率都为[23]，则该学生在面试时得分的期望值为_______分.

12. 一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分.没有击中记0分，某人每次击中目标的概率为.此人得分的数学期望与方差分别为________.

13. 如图，[A，B]两点间有5条线并联，它们在单位时间内能通过的信息量依次为2，3，4，3，2.现从中任取3条线且记在单位时间内通过的信息总量为[ξ].则信息总量[ξ]的数学期望为__________.

14. 设l为平面上过点（0，1）的直线，l的斜率等可能地取[-22，-3，-52，0，52，3，22]用[ξ]表示坐标原点到l的距离，则随机变量[ξ]的数学期望[E（ξ）=]________.

15. 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以[X]（单位：t，100≤[X]≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，[T]（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

（1）将[T]表示为[X]的函数；

（2）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；

（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个需求量，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若[X∈[100，110），]则取[X=105，且X=105]的概率等于需求量落入[[100，110]]的概率），求[T]的数学期望.

16. 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：

[甲公司某员工A＼&＼&乙公司某员工B＼&3＼&9＼&6＼&5＼&8＼&3＼&3＼&2＼&3＼&4＼&6＼&6＼&6＼&7＼&7＼&＼&＼&＼&＼&＼&＼&0＼&1＼&4＼&4＼&2＼&2＼&2＼&＼&＼&]

每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.

（1）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；

（2）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为[X]（单位：元），求[X]的分布列和数学期望；

（3）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.

17. 八一商场进行促销活动，促销方案为顾客消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为[15]，中奖后商场返还顾客现金1000元.顾客甲购买一台价格2400元的手机，只能得2张奖券，于是甲补偿50元给同事购买价格600元的商品（甲可以得到三张奖券），甲抽奖后实际支出为[ξ]（元）.

（1）求[ξ]的分布列；

（2）试说明甲出资50元增加1张奖券是否划算.

18. 前不久，省社科院发布了2013年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”.随后，某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：

（1）指出这组数据的众数和中位数；

（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；

（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记[ξ]表示抽到“极幸福”的人数，求[ξ]的分布列及数学期望.

《离散型随机变量的期望》说课稿 篇3

一、以集合知识为背景

例1(2009年福建卷，理科16题)从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出一个.

(1)记性质r:集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率;

(2)记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ.

解:(1)记“所取出的非空子集满足性质r”为事件A，基本事件总数n=C51+C52+C53+C54+C55=31，事件A包含的基本事件是{1,4,5}、{2,3,5}、{1,2,3,4}，事件A包含的基本事件数m=3，所以

(2)依题意，ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5,

故ξ的分布列为:

点评:准确求出基本事件数是正确解题的关键.

二、以方程知识为背景

例2设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.

(Ⅰ)若a是从四个数中任取的一个数，b是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.

(Ⅱ)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率.

分析:一元二次方程有实根的条件为Δ≥04a2-4b2≥0，即a≥b.题(Ⅰ)可用列举法列出所有的基本事件，找出符合条件a≥b的基本事件.题(Ⅱ)就是几何概型.可作出试验的总区域，和符合条件的区域，应该是把a,b看作有序数对(a,b)对于平面上的点，可画出平面区域解答.

解:设事件A为“方程a2+2ax+b2有实根”.

当a>0,b>0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.

(Ⅰ)基本事件共12个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.

事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为

(Ⅱ)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.

点评:本题容纳了古典概型和几何概型的解法，要善于区分提炼，并进行转化，把数组(a,b)看成平面内的点即可转化为平面区域问题用面积解答.

三、以不等式知识为背景

例3设a,b∈{0,1,2}，且a,b满足不等式a-10b+13>0，若ξ=a+b，则Eξ=___.

解析:满足题设的基本事件为a=0,b=0;a=1,b=1;a=1,b=0;a=0,b=1;a=2,b=1;a=2,b=0，共6个.ξ可取0,1,2,3，求得，即ξ的分布列为

点评:由于a,b的取值不多，把所有情况考虑清楚，问题便不难解决.

四、以三角函数知识为背景

例4(2009山东卷，理11)在区间[-1,1]上随机取一个数x,的值介于0到1/2之间的概率为()

解析:在区间[-1,1]上随机取一个数x，即x∈[-1,1]时，要使的值介于0到1/2之间，需使，所以，区间长度为2/3，由几何概型知的值介于0到1/2之间的概率为.故选(A).

点评:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题，由自变量x的取值范围，得到函数值.

五、以统计知识为背景

例5(2009湖南卷，理13)一个总体分为A,B两层，其个体数之比为4∶1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个数为__.

解析:由条件易知B层中抽取的样本数是2，设B层总体数是n，则又由B层中甲、乙都被抽到的概率是，可得n=8，所以总体中的个数是4×8+8=40.

六、以几何知识为背景

例6(2009安徽卷，文10)考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于()

解析:正方体6个面的中心，从中任意选3个点可连成C63个三角形，每三个点连成三角形，与剩下的3个点连成三角形全等.故概率为1，选(A).

七、以当前公共卫生事件为背景

例7(2009安徽卷，理17)某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是1/2.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是1/3.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列(不要求写出计算过程)，并求X的均值(即数学期望).

分析:A感染1个人的概率(只有B被感染，C,D未被感染，他们同时发生，是独立事件同时发生)，A感染2个人的概率(B、C被感染，D未感染，或B、D感染C未感染)，A感染3人的概率(B、C、D都被A感染)，所以，随机变量X的分布列是

X的均值为

附:X的分布列的一种直观求法共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是1/6:

在情形(1)和(2)之下，A直接感染了一个人;在情形(3)、(4)、(5)之下，A直接感染了两个人;在情形(6)之下，A直接感染了三个人.

八、以数列知识为背景

例8从原点出发的某质点M按向量a=(0,1)移动的概率为2/3，按向量b=(0,2)移动的概率为1/3，设M点到达点(0,n)(n∈N*)的概率为Pn.

(1)求P1和P2的值;

(3)求Pn的表达式.

解:(1)，求P2分两步，得概率

(2)研究从点(0,n+1)移动到点(0,n+2)的规律，从点(0,n)移动到点(0,n+1)的规律，得:

(3)由(1)(2)知:{Pn+1-Pn}是以为首项，为公比的等比数列，

所以，以上各式相加得:

说明:递推问题是数列中重点之一，例3中若撇开概率知识，单纯的解决由，求Pn的表达式，则其难度远低于高考中数列试题的平均难度，现一旦与概率知识交错综合，难度就大增，要不是(1)、(2)问题的引导与铺垫，我们一时难想到用递推数列来求解.

例9设正四面体ABCD的棱长为1米，一只蚂蚁从A点开始按以下规则前进:在每一个顶点处用同样的概率选择过这个顶点的三条棱之一并一直爬到这条棱的尽头.设它爬了7米以后恰好位于顶点A的概率是，求n的值.

解:蚂蚁爬过n米后，要么在A点，要么不在A点，“在A点”与“不在A点”是互相对立事件.

设an表示蚂蚁走过n米后又回到A点的概率，那么走过n米又不在A点的概率便是1-an.

现在让蚂蚁再多走1 m，无非两种可能:若蚂蚁走第n米时已在A点，那么它不管向哪个方向爬1米，均不可能再在A点;若蚂蚁走第n米时不在A点，那么它不管位于B,C或D，爬1米后回到A点的概率都是1/3.

由此可见:，这个式子对以上两种情况都适用.

点评:指导开放题解法的理论依据是充分必要条件，即若AB，则称A为B的充分条件，B为A的必要条件.

九、以日常生活或富有趣味性的问题为背景

例10(2008全国2，理18)购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1-0.999104.

(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率p;

(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).

分析:由一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立，可知这些保险是服从二项分布的;保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，盈利就是该险种总收入减去成本和赔偿金总额，而赔偿金总额与出险的人数为ξ有关，由(Ⅰ)知ξ服从二项分布，从而计算出盈利的期望.

解:各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则ξ～B(104,p).

(Ⅰ)记A表示事件:保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则发生当且仅当

(Ⅱ)该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和.

支出:10000ξ+50000，盈利:η=10000a-(10000+50000),

盈利的期望为Eη=10000a-10000Eξ-50000，由ξ～B(104,10-3)知，Eξ=10000×10-3,Eη=104a-104Eξ-5×104=104a-104×104×10-3-5×104.

故每位投保人应交纳的最低保费为15元.

点评:本题中的数学环境是以保险为背景考查二项分布列，对于学生来说有些陌生，不易理解，而第二问又是间接地解答问题，所以本题难度较大.

《离散型随机变量的期望》说课稿 篇4

随机变量在概率统计研究中起到了极其重要的作用，它通过实数空间来刻画随机现象，是连接随机现象和实数空间的一座桥梁，它使得我们可以在实数空间上研究随机现象，其中二项分布更是与实际生活息息相关，因此在高中数学中是重要的一块内容，是高考必考内容.统计表明，各地高考试题都有一道随机变量的大题（12分），湖北省的试题通常设置在18题左右.从考查内容上看，随机变量试题常以考查分布列及其期望、方差为主，以二项分布为多，有时也会考查到条件概率.相互独立事件、n次独立重复试验的概率求法是每年高考的热点，特别是相互独立事件、n次独立重复试验及二项分布的综合更是高考命题的重中之重，以此为载体考查考生对概念的深层次理解.各地文、理科试卷在此部分差别较大，理科会更多地考到期望和方差，往往以姊妹题的方式呈现.

命题特点

以实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等知识为工具，以考查对概率事件的判识别及其概率的计算和随机变量，概率分布列性质及其应用为目标的中档题，概率应用题侧重于分布列与期望，应用题近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势.选填中有时也出现条件概率题型，这类题具有“稳”的特点，读懂题意是关键.概率与统计试题是高考的必考内容.

众观近两年高考试卷中的随机变量及其分布列试题，具有较高的信度和效度，难度中偏易，是必须得分的试题，学习本部分要重视理解，把握数学的本质.其特点是重基础，重理解.

1. 离散型随机变量分布列的性质

例1 设离散型随机变量X的分布列为

[[X]＼&0＼&1＼&2＼&3＼&4＼&[P]＼&0.2＼&0.1＼&0.1＼&0.3＼&[m]＼&]

求：（1）[2X+1]的分布列；（2）[|X-1|]的分布列.

解析 由分布列的性质知：[0.2+0.1+0.1+0.3+m=1]，

∴[m=0.3].

列表：

[[X]＼&0＼&1＼&2＼&3＼&4＼&[2X+1]＼&1＼&3＼&5＼&7＼&9＼&[|X-1|]＼&1＼&0＼&1＼&2＼&3＼&]

（1）[2X+1]的分布列：

[[2X+1]＼&1＼&3＼&5＼&7＼&9＼&[P]＼&0.2＼&0.1＼&0.1＼&0.3＼&0.3＼&]

（2）[|X-1|]的分布列：

[[|X-1|]＼&0＼&1＼&2＼&3＼&[P]＼&0.1＼&0.3＼&0.3＼&0.3＼&]

2. 离散型随机变量的分布列

例2 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列.

解析 随机变量ξ的可能取值为1，2，3.

当ξ=1时，即取出的三只球中最小号码为1，则其它两只球只能在编号为2，3，4，5的四只球中任取两只，故有[P（ξ=1）=C24C35=610=35].

当ξ=2时，即取出的三只球中最小号码为2，则其它两只球只能在编号为3，4，5的三只球中任取两只，故有[P（ξ=2）=C23C35=310].

当ξ=3时，即取出的三只球中最小号码为3，则其它两只球只能在编号为4，5的两只球中任取两只，故有[P（ξ=3）=C22C35=110].

因此，[ξ]的分布列如下表所示：

[[ξ]＼&1＼&2＼&3＼&[P]＼&[35]＼&[310]＼&[110]＼&]

点拨 求随机变量的分布列，重要的基础是概率的计算，如古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、[n]次独立重复试验有[k]次发生的概率等本题中基本事件总数，即[n=C35]，取每一个球的概率都属古典概率（等可能性事件的概率）.

3. 超几何分布

例3 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是[79].

（1）求白球的个数；

（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为[X]，求随机变量[X]的数学期望[E（X）].

解析 （1）记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，

设袋中白球的个数为[x]，则[P（A）=1-C210-xC210=][79]，得到[x=5].

（2）[X]服从超几何分布，其中[N=10，M=5，n=3]，其中[P（X=k）=Ck5C3-k5C310]，[k=0，1，2，3].

于是可得其分布列为

[[X]＼&0＼&1＼&2＼&3＼&[P]＼&[112]＼&[512]＼&[512]＼&[112]＼&]

[X]的数学期望[E（X）=112]×0+[512]×1+[512]×2+[112]×3=[32].

4. 条件概率

例4 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件[B]为“两颗骰子的点数之和大于8”.

（1）求[P（A），P（B），P（AB）]；

（2）当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率.

解析 （1）①[P（A）=26=13.]

②∵两个骰子的点数共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共10个，

∴[P（B）=1036=518.]

③当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，

故[P（AB）=536].

（2）由（1）知[P（B|A）=P（AB）P（A）=512.]

nlc202309032008

5. 相互独立事件的概率

例5 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为[45，35，25，15，]且各轮问题能否正确回答互不影响.

（1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；

（2）求该选手至多进入第三轮考核的概率.

解析 （1）记“该选手能正确回答第[i]轮的问题”的事件为[Ai（i=1，2，3，4）]，

则[P（A1）=45]，[P（A2）=35]，[P（A3）=25]，[P（A4）=15].

∴该选手进入第四轮才被淘汰的概率[P4=P（A1A2A3][A4）]=[P（A1）P（A2）P（A3）P（A4）]=[45]×[35]×[25]×[45]=[96625].

（2）该选手至多进入第三轮考核的概率

[P3][=P（A1+A1A2+A1A2A3）]

=[P（A1）+P（A1）P（A2）+P（A1）P（A2）P（A3）]

=[15]+[45]×[25]+[45]×[35]×[35]=[101125].

6. 独立重复试验与二项分布

例6 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的[12，13，16]，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.

（1）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；

（2）记[ξ]为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列.

解析 记第[i]名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件[Ai，Bi，Ci，i=1]，2，3.由题意知[A1，A2，A3]相互独立，[B1，B2，B3]相互独立，[C1]，[C2，C3]相互独立，[Ai，Bj，Ck（i，j，k=1，2，3）]且[i，j，k]互不相同）相互独立，且[P（Ai）=12]，[P（Bj）=13]，[P（Ck）=16].

（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率

[P=3！][P（A1B2C3）=6P（A1）P（B2）P（C3）=6×12×13×16=][16.]

（2）记第[i]名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件[Di，i=1，2，3].

由已知得，[D1，D2，D3]相互独立，且[P（Di）=P（Ai∪Ci）][=P][（Ai）+P（Ci）=12]+[16]=[23]，

所以[ξ～B（3，23）]，即[P（ξ=k）=Ck323k133-k，k=1，2，3.]

故ξ的分布列是

[[ξ]＼&0＼&1＼&2＼&3＼&[P]＼&[127]＼&[29]＼&[49]＼&[827]＼&]

备考指南

（1）要把握基础知识， 在复习时，理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.

（2）重点理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.

限时训练

1. 10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是 （ ）

A.取到产品的件数 B.取到正品的概率

C.取到次品的件数 D.取到次品的概率

2. 从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为[X]，那么随机变量X可能取得的值有 （ ）

A.17个 B.18个

C.19个 D.20个

3. 某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则[P（ξ=1）]等于 （ ）

A.0 B. [12] C. [13] D. [23]

4. 若[P（ξ≤x2）=1-β]，[P（ξ≥x1）=1-α]，其中[x1

A.（1-α）（1-β） B.1-（α+β）

C.1-α（1-β） D.1-β（1-α）

5.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于[C47C68C1015]的是 （ ）

A.P（X=2） B.P（X≤2）

C.P（X=4） D.P（X≤4）

6.随机变量X的概率分布列规律为[P（X=n）=][an（n+1）（n=1，2，3，4）]，其中a是常数，则[P（12

A. [23] B. [34] C. [45] D. [56]

7. 已知随机变量[ξ]的分布列为[P（ξ=k）=12k]，[k=1，2，]…，则[P（2<ξ≤4）]等于 （ ）

A. [316] B. [14] C. [116] D.[15]

8. 袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是 （ ）

A. 5 B.9 C.10 D.25

9. 一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则[P（ξ=12）]等于 （ ）

A. [C1012（38）10（58）2] B. [C911（38）9（58）238]

nlc202309032008

C. [C911（58）9（38）2] D. [C911（38）9（58）2]

10.如图，用[K，A1，A2]三类不同的元件连接成一个系统，当[K]正常工作且[A1，A2]至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知[K，A1，A2]正常工作的概率依次为0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为 （ ）

A.0.960 B.0.864

C.0.720 D.0.576

11.随机变量X的分布列如下：

[[X]＼&-1＼&0＼&1＼&[P]＼&[a]＼&[b]＼&[c]＼&]

其中[a，b，c]成等差数列，则P（|X|=1）=________.

12.由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失（以“x，y”代替），其表如下：

[[X]＼&1＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&[P]＼&0.20＼&0.10＼&[0.x5]＼&0.10＼&[0.1y]＼&0.20＼&]

则丢失的两个数据依次为________.

13.如图所示，[A，B]两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为[ξ]，则[P（ξ≥8）]=________.

14. 现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取5粒，记[ξ]为5粒中的优质良种粒数，则[ξ]的分布列是________.

15. 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以[ξ]表示取出球的最大号码，求[ξ]的分布列.

16.口袋中有[n（n∈N*）]个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球.记取球的次数为X.若[P（X=2）=730]，求：

（1）[n]的值；

（2）[X]的分布列.

17.从集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集中，等可能地取出一个.

（1）记性质[r]：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质[r]的概率；

（2）记所取出的非空子集的元素个数为X，求X的分布列.

18. 袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球得2分，用[ξ]表示分数，求[ξ]的概率分布.