等腰三角形的性质题

等腰三角形的性质题（共15篇）

等腰三角形的性质题 篇1

知识结构

重点与难点分析：

本节内容的重点是等腰三角形的性质及其推论。等腰三角形两底角相等（等边对等角）是证明同一三角形中两角相等的重要依据；而在推论中提到的等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线三线合一这条重要性质也是证明两线段相等，两个角相等及两直线互相垂直的重要依据。等腰三角形的性质为证明线段相等，角相等或垂直平提供了方法，在选择时注意灵活运用。

本节内容的难点是文字题的证明。对文字题的证明，首先分析出命题的题设和结论，结合题意画出草图形，然后根据图形写出已知、求证，做到不重不漏，从而转化为一般证明题。这些环节是学生感到困难的。

教法建议：

数学教学的核心是学生的“再创造”.根据这一指导思想，本节课教学可通过精心设置的一个个问题链，激发学生的求知欲，最终在老师的指导下发现问题、解决问题.为了充分调动学生的积极性，使学生变被动学习为主动学习，本课教学拟用启发式问题教学法.具体说明如下：

（1）发现问题

本节课开始，先投影显示图形及问题，让学生观察并发现结论。提出问题让学生思考，创设问题情境，激发学生学习的欲望和要求.

（2）解决问题

对所得到的结论通过教师启发，让学生完成证明.指导学生归纳总结，从而顺其自然得到本节课的一个定理及其两个推论. 多让学生亲自实践，参与探索发现，领略知识形成过程，这是课堂教学的基本思想和教学理念.

（3）加深理解

学生学习的过程是对知识的消化和理解的过程，通过例题的解决，提高和完善对定理及其推论理解。这一过程采用讲练结合、适时点拨的教学方法，把学生的注意力紧紧吸引在解决问题身上，让学生的思维活动在老师的引导下层层展开，让学生大胆参与课堂教学，使他们“听”有所“思”、“练”有所“获”，使传授知识与培养能力融为一体。一．教学目标：

1．掌握等腰三角形的性质定理的证明及这个定理的两个推论；

2．会运用等腰三角形的性质证明线段相等；

3．使学生掌握一般文字题的证明;

4．通过文字题的证明，提高学生几何三种语言的互译能力；

5．逐步培养学生逻辑思维能力及分析实际问题解决问题的能力;

6．渗透对称的数学思想,培养学生数学应用的观点；

二．教学重点：等腰三角形的性质及其推论

三．教学难点：文字题的证明

四．教学用具：直尺，微机

五．教学方法：问题探究法

六．教学过程：

1、  性质定理的发现与证明

(1)投影显示：

一般学生都能发现等腰三角形的两个底角相等（若有其它发现也要给予肯定），

(2)提醒学生：凭观察作出的判断准确吗？怎样证明你的判断？

师生讨论后，确定用全等三角形证明，学生亲自动手作出证明.证明略.

教师指出：等腰三角形的性质定理提示了三角形边与角的转化关系，由两边相等转化为两角相等，这是今后证明两角相等常用的依据，其功效不亚于利用全等三角形证明两角相等.

2、推论1的发现与证明

投影显示：

由学生观察发现，等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.

启发学生自己归纳得出：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.

学生口述证明过程.

教师指出：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线、底边上的高这“三线合一”的性质有多重功能，可以证明两线段相等，两个角相等以及两条直线的互相垂直，也可证线段成角的倍分问题。

3、推论2的发现与证明

投影显示：

一般学生都能发现等边三角形的`三个内角都为 .然后启发学生与等腰三角形的“三线合一”作类比，自己得出等边三角形的“三线合一”.

4、定理及其推论的应用

解：（1） （2）另外两内角分别为： （3）

小结：渗透分类思想，培养思维的严密性.

例2、已知：如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE

求证：BD＝CE

证明：作AF⊥BC，，垂足为F，则AF⊥DE

∵AB＝AC，AD＝AE（已知）

AF⊥BC，AF⊥DE（辅助线作法）

∴BF＝CF，DF＝EF（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）

∴BD＝CE

强调说明：等腰三角形中的“三线合一”常常作为解决等腰三角形问题的辅助线，添加辅助线时，有时作顶角的平分线，有时作底边中线，有时作底边的高，有时作哪条线都可以，有时却不能，还要根据实际情况来定.

例3、已知：如图，D是等边△ABC内一点，DB＝DA，BP＝AB， DBP＝ DBC

求证： P＝

证明：连结OC

在△BPD和△BCD中

在△ADC和△BCD中

因此， P＝

例4 求证：等腰三角形两腰上中线的交点到底边两端点的距离相等

已知：如图，AB＝AC，BD、CE分别为AC边、AB边的中线，它们相交于F点

求证：BF＝CF

证明：∵BD、CE是△ABC的两条中线，AB＝AC

∴AD＝AE，BE＝CD

在△ABD和△ACE中

∴△ABD≌△ACE

∴ 1＝ 2

在△BEF和△CED中

∴△BEF≌△CED

∴BF＝FC

设想：例1到例4，由易到难地安排学生对新授内容的练习和巩固.在以上教学中，特别注意“一般解题方法”的运用.

在四个例题的教学中，充分发挥学生与学生之间的互补性，从而提高认识，完善认知结构，使课堂成为学生发挥想象力和创造性的“学堂”

5、反馈练习:

出示图形及题目：

将实际问题数学化，培养学生应用能力。

6、课堂小结：

教师引导学生小结

（1）、等腰三角形的性质

（2）、等边三角形的性质

（3）、文字证明题的书写步骤

7、布置作业：

a、  书面作业P96＃1、2

b、  上交作业P96＃4、7、8

c、  思考题：

已知：如图：在△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE.

求证：EF⊥BC

证明 ： 作BC边上的高AM，M为垂足

∵AM⊥BC

∴∠BAM=∠CAM

又∵∠BAC为△AEF的外角

∴∠BAC =∠E+∠EFA

即∠BAM+∠CAM=∠E=∠EFA

∵∠AEF=∠AFE

∴∠CAM=∠E

∴EF∥AM

∵AM⊥BC

∴EF⊥BC

等腰三角形的性质题 篇2

一、与等腰三角形的周长、面积有关的计算

例1如图1, △ABC中, BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB, OD∥AB, OE∥AC, BC=15 cm, 求△ODE的周长。

分析:本题需由题意及图形先判断△OBD与△OEC为等腰三角形, 然后很容易就可导出△ODE的周长即为BC的长度。

解:∵OB, OC分别平分∠ABC和∠ACB

∴∠1=∠2, ∠3=∠4

∵OD∥AB, OE∥AC

∴∠1=∠5, ∠4=∠6

∴∠2=∠5, ∠3=∠6

∴OD=BD, OE=EC

∵△ODE的周长=OD+OE+DE

∴△ODE的周长=BD+EC+DE=BC

∵BC=15 cm

∴△ODE的周长为15 cm

例2等腰三角形一腰上的高为1, 这条高与底边的夹角为45°, 求此三角形的面积。

分析:由“此三角形腰上的高与底边的夹角为45°”可知, 这个三角形为等腰直角三角形。因此, 它的面积为

二、与等腰三角形的角的度数有关的计算

例3等腰三角形一腰上的高是腰长的一半时, 底角的度数为_。

分析:在等腰三角形中求角的度数, 很多时候需要考虑顶角是直角、钝角, 还是锐角。此题若分类画出图形来, 问题就会变得很简单。如图2、图3与图4:

由图2可知, 若高BD为腰AB的一半, 则∠A=30°∴底角为75°;由图3可知, 腰上的高即为腰本身, 所以不可能是腰的一半;由图4可知, 若高CD为腰AC的一半, 则∠DAC=30°∴底角为15°。因此, 此题有两个答案:底角的度数为75°或15°。

三、其他类型的计算

三角形的性质 篇3

■ （2011江西）如图1，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=______.

■ 90°.

■ 本题主要考查三角形内角和定理和内心的基本性质. 因为三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，所以PA，PB，PC是△ABC的内角平分线，即∠PBC+∠PCA+∠PAB=■（∠ABC+∠ACB+∠BAC）=180°×■=90°.

■ （2011山东菏泽）将一副三角板按图2所示叠放，则角α等于（ ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°

■ D.

■ 本题主要考查三角形的外角性质以及三角板的特殊角． 根据三角板的特殊性容易求得∠1的度数为45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可求得角α为75°．

■ （2011广东茂名）如图3，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建了三个加工厂A，B，D，已知AB=BC=CD=DA=5 km，村庄C到公路l1的距离为4 km，则村庄C到公路l2的距离是（ ）

A. 3 km B. 4 km

C. 5 km D. 6 km

■ B.

■ 本题主要考查角平分线的性质. 由已知能够注意到四边形ABCD是菱形，而菱形的对角线平分对角则成了解题的关键． 根据菱形的对角线平分对角，作出辅助线，即可证得CE=CF=4 km．

■ （2011广西河池）如图4，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，下述结论错误的是（ ）

A. BD平分∠ABC

B. △BCD的周长等于AB+BC

C. AD=BD=BC

D. 点D是线段AC的中点

■ D.

■ 在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC与∠C的度数. 又由AB的垂直平分线是DE，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，继而可求得∠ABD的度数，于是可知BD平分∠ABC. 可得△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=AB+BC. 可求得∠BDC的度数，进而求得AD=BD=BC．

■ （2011黑龙江）在△ABC中，BC ∶ AC ∶ AB=1 ∶ 1 ∶ ■ ，则△ABC是（ ）

A. 等腰三角形

B. 钝角三角形

C. 直角三角形

D. 等腰直角三角形

■ D.

等腰三角形的性质教学方案 篇4

3.等腰三角形的底角为20°，求它的顶角度数.

引入新课

等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm的两部分，求这三角形各边的.长.

学生可能利用算术的方法，计算出腰长为10底边长为1.也可能算不出来，这里教师可作如下引导：

在图1中，AB=AC，D为AB的中点(即AD=DB)，设 AD=xcm，则 AB=AC=2cm(中线定义).由AC+AD=15cm，得

2x+x=15.

解得 x=5，……

本题是利用列方程的方法解得的，此法对于某些几何计算题来说，简捷而有效.

新课

例2 已知：图2，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD.求△ABC各角的度数.

分析：欲求三角形各角度数.只需求出∠A度数，把∠A度数作为一个未知数x，则∠A=∠1=x°，∠2=∠A+∠1=2x°，∠ABC=∠C=∠2=2x°.应用三角形内角和定理于△ABC，求出方程所对应的几何等式：∠A+∠ABC+∠C=180°，即可得出关于x的方程.

例3 已知：如图3，点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE.求证：BD=CE.

通过分析使学生发现，要作AF⊥BC即底边上的高这条辅助线(这是证明的关键所在)，并告诉学生这是等腰三角形中一种常见的辅助线.利用这条辅助线就很容易证得结论.并说明，这是利用等腰三角形的“三线合一”性质来证明的题目.

小结

1.列方程解几何计算题是几何计算题的一种重要解法，在这种解法中，寻求几何等式(如例2中∠A+∠ABC+∠C=180°)是基础，把几何等式的各项转化为未知数x的代数式是关键(如∠A=x°，∠ABC=∠C=2x°).

2.对于等腰三角形的”三线合一”性要灵活运用.

练习：略

作业：略

思考题：例3中辅助线改为△ABC的顶角平分线AF，写出证明过程.

四、教学注意问题

1.等腰三角形性质的灵活、综合应用，防止依赖于全等三角形证明线段或角相等的思维定势.

第二册等腰三角形的性质 篇5

(2) 若等腰三角形的一个内角为120°,则它的其余各角为多少度?

(3)等边三角形的三个内角有什么关系?各等于多少度?

从而引出推论2 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°.

题目设计遵循由易到难的原则，引导学生拾阶而上。沟通等腰三角形的性质定理和三角形内角和定理的联系，并引出推论2。

A组口答练习

B组讨论后回答。

掌握等腰三角形性质定理的应用，训练学生的类比思维，让学生获得从问题中探索共同的属性和规律的思维能力。

教学内容

教师活动

学生活动

达标练习二

A组：等腰三角形斜边上的高把直角分成两个角，求这两个角的度数。

B组：已知：如图，房屋的顶角 ∠BAC=100°。求顶架上∠B、∠C、

∠BAD、∠CAD的度数。

理论联系实际,

充分体现数学解决实际问题的作用,培养学生的应用意识,提高数学修养。

A组口答

B组独立解答.

加深理解定理及推论1，能初步灵活地运用它们进行计算和论证。

布置作业：1、看书：P1――P3

2、课本P5 想一想

教案设计说明

本节课是在学生掌握了一般三角形基础知识和初步推论证明的基础上进行学习的，担负着训练学生会分析证明思路的任务，等腰三角形两底角相等的性质是今后论证两角相等的依据之一，等腰三角形底边上的三条主要线段重合的性质是今后论证两条线段相等、两个角相等及两条直线垂直的重要依据。因此设计时，我分别从几个方面作了精心策划：

1、创设丰富的旧知环境，有利于帮助学生找准新旧知识的连接点，唤起与形成新知相关的旧知，从而使学生的原认知结构对新知的学习具有某种“召唤力”。

2、提供可探索性的问题，合理的设计实验过程，创造出良好的问题情境，不断地引导学生观察、实验、思考、探索，使学生感到自己就象科学家那样提出问题、分析问题、解决问题，去发现规律，证实结论。发挥学生学习的主观能动性，培养学生的探索能力、科学的研究方法、实事求是的态度。

3、在巩固应用时，训练题组的设计具有阶梯性，加强了变式训练，便于及时反馈。实际应用充分体现了数学解决实际问题的作用，培养学生的应用意识，提高数学修养。

4、利用直观教具及电化教学手段，创设了丰富的课堂教学环境，触发学生求知心向的生成，自觉地努力调集思维和旧知纷纷指向新知，成为学习活动的“催化剂”、“助推器”。

威海市经济技术开发区皇冠中学 丛燕燕

相似三角形的性质与判定 篇6

1. 教材内容:

《相似三角形的性质与判定》是以北师大版义务教育八年级下册第四章的知识为背景建构的教学内容, 通过复习讲解相似三角形的性质与判定, 利用相似三角形的性质与判定相关的知识去解一些数学问题。

2. 教材的地位和作用:

本节课是在学完《相似三角形》、《探索三角形相似的条件》内容之后, 继续学习相似多边形的性质的准备。教学的内容培养学生观察思考, 从定义出发和举一反三的能力等都具有重要的作用。

二、教学目标

1. 知识目标

(1) 掌握相似三角形的性质和三角形相似的判定方法。

(2) 能根据具体的数学问题, 灵活选择解法。

2. 能力目标

体会“归一”原理的思想。能根据具体数学问题的特征, 灵活选择解题方法, 体会解决问题方法的多样性。

3. 情感目标

使学生知道相似三角形的性质和三角形相似的判定的重要性, 提高学生解题速度和准确程度。通过学生之间的交流、讨论, 培养学生的合作精神。

三、重难点分析

1. 重点:

掌握相似三角形的性质和判定定理。

2. 难点:

灵活应用相似三角形的性质和判定解决相关数学问题。

3. 关键:

让学生通过比较相似三角形的性质和判定的运用, 感悟用相似三角形的性质和判定去解决数学问题的重要性。

四、教学过程

1. 知识复习

相似三角形的定义:三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似。△ABC与△DEF相似, 记为:△ABC∽△DEF

相似三角形的性质:相似三角形的对应角相等、对应边成比例。

相似三角形的判定:

两角对应相等的两个三角形相似;

三边对应成比例的两个三角形相似;

两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

2. 知识拓展

例1.如图所示, Rt△ABD中, ∠BAD=90°, AC垂直于BD。

求证: (1) AB2=BC·BD

(2) AD2=DC·BD

(3) AC2=DC·BC

(4) 若AC=6, BC=8, 求AD的长。

解: (1) 在△ACB与△BAD中,

(2) 在△ACD与△BAD中,

(3) ∵AC垂直于BD

(4) 方法一:△ABC是直角三角形

方法二:根据射影定理得:

例题分析:此题是对相似三角形的判定定理一知识的巩固, 是通过对例1中的 (1) (2) (3) 的证明, 给学生呈现射影定理的知识点, 并运用此知识点去解决例1中的第 (4) 小问, 并比较总结相似三角形的性质与射影定理的区别与联系。在这一个例题中, 对第 (4) 小问的解决, 可以引导学生去思考用多种方法解决问题, 达到通体异构的效果。

例2.如图△ABP的边上有C、D两点, 且△PCD是等边三角形。当△PCA∽△BDP时, AC、CD、DB满足怎样的关系?∠APB的度数是多少?

解:∵△PCD是等边三角形

小结:在这节课的学习中, 我们初步地复习了相似三角形的性质及其判定, 并运用这些知识作为数学工具去解决相关的数学问题, 并对同一问题采用了不同的方法去解决!希望同学们在今后的学习中多总结、多归类、达到举一反三的效果。

等腰三角形的性质题 篇7

关键词：圆锥曲线；三角形；简化；垂直；数形结合；垂直

圆锥曲线问题一直是近几年高考的重点、难点，也因为圆锥曲线的参数多、计算难、化简繁杂，而让许多学生望而却步.充分利用圆锥曲线的几何性质对于简化计算、减少参数提供了简便和快捷.本文试着从圆锥曲线内直角三角形的一个性质浅谈对解题的简化.

下面先介绍两个引理.

引理1 椭圆+=1上任意取两点P，Q，满足∠POQ为直角，则+为常数.

这个引理可以通过直接设椭圆上的两点，利用三角函数公式得出结论.

证明：如图1∠xOQ=α，则由题意知∠xOP=α+，设Q（OQcosα，OQ·sinα），POPcosα+，OPsinα+，即P（－OPsinα，OPcosα）.

代入椭圆方程得

OQ?摇2cos2αa2+OQ?摇2sin2αb2=1，OP?摇2sin2αa2+OP2cos2αb2=1， ?圯+=OQ2，+=OP2，

两式相加得+=+.

该性质也可以在双曲线中得到推证.

引理2 双曲线-=1（0

这两个定理在解决圆锥曲线题中可以直接发挥优势作用.

例1 （09年全国联赛一试）椭圆+=1（a>b>0）上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，（O为坐标原点）则乘积OP·OQ的最小值为________.

分析：本题考察圆锥曲线上两个动点与坐标原点的性质. 如果从设P，Q两点入手，直接去求乘积OP·OQ，显然变量较多，关系复杂，不容易求得结果.如果直接从定理入手解题就较为直接.

解答：设P（OPcosθ，OPsinθ），QOQcosθ±?摇，OQsinθ±?摇．

由P，Q在椭圆上得=+①，=+②.

①+②得+=+．

利用基本不等式可得，

当OP=OQ=时，

OP·OQ达到最小值.

例2 椭圆+=1上任意取两点A，B，使得OA⊥OB，求原点O到直线AB 的距离.

分析：本题若直接设直线，则计算量会较大. 如果从本文性质入手，就会使得解题明朗、简洁.

解：由以上结论可以直接得+=+.

而+=，又设原点O到直线AB的距离为h，

利用三角形OAB面积相等得OA·OB=h·AB?圯h=，

所以=+，

解得h=.

本例解法也适用于双曲线.在双曲线与直线相交于A，B和坐标原点构成直角三角形的题目中，巧妙利用性质，对解题有着决定性的作用.

例3 双曲线－=1（a，b>0）与直线x+y=1交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）.

（1）?摇求-的值；

（2）若双曲线的离心率e满足≤e≤，求双曲线实轴的取值范围.

解：（1）由以上结论结合题意可得+=－，而

+==，其中h为原点到直线x+y=1的距离.

又易得原点O到直线的距离等于，

所以－==2.

（2）由（1）得－=2，

又由≤e≤易得1≤≤2，联立求解得0≤a≤.

所以双曲线实轴长范围为［0，1］.

等腰三角形性质教学设计 篇8

1、教学内容分析：学生在七年级学习了三角形的边及角相关概念，图形的变换中的平移变 换，旋转变换后，进一步引入的另一种图形的变换轴对称变 换，研究特殊三角形中的等腰三角形的相关知识，同时也为后面研究特殊的四边形奠定基础，有承上启下的作用。

2、学情分析：学生已具有图形变换的初步认识。

3、教学目标：

知识技能：

1、掌握等腰三角形的性质

2、运用等腰三角形的性质进行证明与运算

过程与方法：

1、通过等腰三角形的对称性，发展形象思维。

2、通过实践、观察、证明等腰三角形的性质，发展学生合情推理能力和演绎推理能力。

情感态度： 引导学生对图形的观察发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答数学问题过程中获得成功的体验，建立学习数学的自信

心。

4、重点：等腰三角形的性质及应用。

5、难点：等腰三角形的性质的证明

6、教法：主要采用“情景——探究——感悟——交流”教法

7、学法：动手操作、观察感悟、合作交流、成果展示

8、课时：1课时

9、教具准备：见到，长方形纸片

10、教学过程设计：

一、创设情景，探究新知

活动1

引入等腰三角形的概念及相关概念。

问题：

（1）把一张长方形的纸片对折，用剪刀剪下阴影部分（如教科书），再把它展开得到一个什么图形？

（2）上述过程中得到的△ABC有什么特点？

（3）除了剪纸的方法，还可以怎样得到一个三角形？

设计意图：为学生提供参与数学活动的时间和空间，调动学生的主观能动性，激发好奇心和求知欲。

活动2

引出等腰三角形的性质

问题：

（1）

活动1中剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？

（2）

把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段与角。请写出来。

（3）

你能猜一猜等腰三角形有什么性质吗？说说你的猜想。

设计意图：教师在学生猜想的基础上，引导学生观察、完善、归纳出性质1和性质2。

重点关注：（1）学生能否从轴对称的概念出发折纸判断；

（2）学生能否用清清晰规范的数学语言说出自己的猜想；

（3）学生能否归纳全面；

（4）学生在交流和活动中表现出来的参与意识。

活动3

问题

（1）

性质1（等腰三角形两个底角相等）的条件和结论分别是什么？

（2）

用数学符号如何表达条件和结论？

（3）

如何证明？

（4）

受性质1的证明启发，你能证明性质2（等腰三角形定角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）吗？

设计意图：培养学生语言转换能力，曾强理性认识，体验性质的正确性，提高演绎推理能力。

重点关注：（1）学生语言的规范性；

（2）学生的应用意识，模仿能力；

（3）学生在活动中发表个人见解的勇气。

二、当堂训练，巩固新知

活动4

问题

（1如果等腰三角形的顶角是36°，那么它的底角的度数是＿＿。

（2）

在△ABC中，AB＝AC,∠BAC＝90°,AD是BC边上的高。则∠BAC＝＿＿＿，BD＝＿＿

＝＿＿＿。

（3）

如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数。

师生行为：学生独立思考解决问题（1）（2）。教师评判。

学生讨论问题（3）教师参与其中倾听并引导。

重点关注：（1）学生能否正确应用等腰三角形的性质解决问题；

（2）学生应用所学知识的应用意识。

三、变式训练，拔高提升

活动5

变式训练：

（1）

等腰三角形的一个角是36°，它的另外两个角是＿＿＿。

（2）

等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角是＿＿＿＿。

（3）

如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC,∠BAD＝26°,求∠B和∠C的度数。

师生行为：学生思考，练习，教师指导，给出答案。

重点关注：（1）学生能否正确应用等腰三角形的性质；

（2）学生能否注意到等腰三角形的一个底角一定是锐角；

（3）学生是否注意到可能的多种情况；

（4）学生是否注意到等腰三角形的顶角可能是钝角，但底角一定是锐角。

设计意图：及时巩固所学知识，了解学生学习效果，增强学生应用知识的能力，同时培养学生分类讨论的思想。

四、课堂小结

本节课我们主要学习了什么知识？有哪些收获？

直角三角形的性质教案 篇9

本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址直角三角形的性质

【知识与技能】

（1）掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用.（2）继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系.知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律.【过程与方法】

（1）经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法.（2）培养在自主探索和合作交流中构建知识的能力.（3）培养识图的能力，提高分析和解决问题的能力，学会转化的数学思想方法.【情感态度】

使学生对逻辑思维产生兴趣，在积极参与定理的学习活动中，不断增强主体意识、综合意识.【教学重点】

直角三角形斜边上的中线性质定理的应用.【教学难点】

直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法.一、情境导入，初步认识

复习：直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？

学生回答：（1）在直角三角形中，两个锐角互余；

（2）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）.二、思考探究，获取新知

除了刚才同学们回答的性质外，直角三角形还具备哪些特殊性质？现在我们一起探索！

.实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片.（1）量一量边AB的长度；

（2）找到斜边的中点，用字母D表示，画出斜边上的中线；

（3）量一量斜边上的中线的长度.让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间的关系.2.提出命题：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.3.证明命题：

你能否用演绎推理证明这一猜想？

已知，如图，在Rt△ABc中，∠AcB=90°，cD是斜边AB上的中线.求证：cD=AB.【分析】可“倍长中线”,延长cD至点E，使DE=cD，易证四边形AcBE是矩形，所以

cE=AB=2cD.思考还有其他方法来证明吗？还可作如下的辅助线.4.应用：

例如图，在Rt△AcB中，∠AcB=90°,∠A=30°.求证：Bc=AB

【分析】构造斜边上的中线，作斜边上的中线cD，易证△BDc为等边三角形，所以Bc=BD=AB.【归纳结论】直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.三、运用新知，深化理解

.如图，cD是Rt△ABc斜边上的中线，cD=4，则AB=______.2.三角形三个角度度数比为1∶2∶3，它的最大边长是4cm，那么它的最小边长为______cm.3.如图，在△ABc中，AD是高，cE是中线，Dc=BE，DG⊥cE,G为垂足.求证：（1）G是cE的中点；

（2）∠B=2∠BcE.第3题图

第4题图

4.如图，△ABc中，AB=Ac，∠c=30°，AB⊥AD，AD=2cm,求Bc的长.【答案】

.8

2.2

3.证明：（1）连接DE.∵在Rt△ADB中，DE=AB，又∵BE=AB,Dc=BE,∴Dc=DE.∵DG⊥cE,∴G为cE的中点.（2）∵BE=ED=Dc,∴∠B=∠EDB,∠EDB=2∠BcE,∴∠B=2∠BcE.4.6cm

【教学说明】可由学生小组讨论完成，教师归纳.四、师生互动，课堂小结

“与三角形有关的线段”检测题 篇10

1. 下列所示长度的线段组合中，能构成三角形的是（）.

A． 1 cm，2 cm，4 cmB． 8 cm，6 cm，4 cm

C． 12 cm，5 cm，6 cm D． 2 cm，3 cm，6 cm

2. 下列各项中，正确画出了AC边上的高的是（）.

3. 下列说法中不正确的是（）.

A． 三角形的中线一定在三角形的内部

B． 三角形的角平分线一定在三角形的内部

C． 三角形的高一定在三角形的内部

D． 三角形的3条高所在的直线交于一点

4. 如果AD、BE和CF分别是△ABC的高、中线和角平分线，那么（）.

A． AD一定最短 B． BE一定最短

C． CF一定最短D． 以上结论都不对

5. 已知线段a、b、c，且a>b>c，则这3条线段构成三角形必须满足的条件是（）.

A. a+b>c B. b+c>a

C. c+a>b D. a-b>c

二、填空题

6. 如图1，BD=DE=EC，那么图中以AD、AE为中线的三角形分别为.

7. 要使六边形木架不变形，至少要再钉上根木条.

8. 三角形的高、中线、角平分线都是.

9. 若△ABC的3条边长是3个连续的偶数，且△ABC的周长为30，则最小的边长等于.

10. 一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边之长为整数，这个三角形的周长的最小值是.

三、解答题

11. 小颖要制作一个三角形木架，木架的两边是两根长度分别为8m和3m的木棒.如果要求第三根木棒的长度是整数，小颖有几种选法？第三根木棒的长度可以是多少？

12. 如图2，三角形的中线可以将原三角形分成两个小三角形.由于这两个小三角形等底同高，所以它们的面积相等.故中线可以将三角形分为两个面积相等的三角形.请根据这个结论，将图3中的三角形分割成面积相等的4个三角形.

13. 如图4，在△ABC中，AC=7，BC=4，高BD=.请作出BC边上的高AE，并求出AE的长.

14. △ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a≤b≤c.如果b=3，那么满足条件的△ABC共有多少个？

15. 如图5，A、B两地之间有两条路可以走，请你选择一条较近的路，并用三角形的三边关系定理进行说明.

倍角三角形性质的几个推论 篇11

在△ABC中, 若∠A=2∠B, 则BC2-AC2=AC·AB.

这个结论通常叫做倍角三角形性质.如果我们将这个性质移植到椭圆焦点三角形来研究, 则可得到几个有趣的推论.

推论1:E、F是椭圆 (a>0, b>0) 的两个焦点, P是椭圆上的任意一点, 若∠EPF=2∠PFE (或∠EPF=2∠PEF) , 椭圆的半焦距是c, △EPF的面积为S, 则

证明:由对称性, 不妨设椭圆为横向型椭圆, E、F分别是左、右焦点, P点的横坐标为x, 则由椭圆的焦半径公式得|PE|=a+ex, |PF|=a-ex, 由题意及倍角三角形性质得|EF|2-|PE|2=|PF||PE| (2c) 2- (a+ex) 2= (a+ex) (a-ex) .

(4) 由椭圆定义知

故由海伦公式得S=

推论2:E、F是椭圆=1 (a>0, b>0) 的两个焦点, P是椭圆上任一点, 若∠PFE=2∠PEF, 离心率是e, 半焦距为c, △EPF的面积为S, 则

证明由对称性, 不妨设椭圆为横向型椭圆, E、F分别是左、右焦点, P点的横坐标为x, 则由椭圆的焦半径公式得|PE|=a+ex, |PF|=a-ex, 由倍角三角形性质得|PE|2-|PF|2=|PF||EF| (a+ex) 2- (a-ex) 2=2c (a-ex) .

故在椭圆的两条焦半径中, 有

(4) 由椭圆定义知, △EPF的半周长p= (|PE|+|PF|+|EF|) = (2a+2c) =a+c.

故由海伦公式得

例1 E、F是椭圆=1 (a>0, b>0) 的两个焦点, 若椭圆上恒有一点P, 使得∠EPF=2∠PFE (或∠EPF=2∠PEF) , 求该椭圆离心率e的取值范围.

解:由题意及推论1知

例2 E、F是椭圆=1的两个焦点, P是椭圆上的一点, 若∠PFE=2∠PEF, 求∠EPF的正弦值.

《相似三角形的性质》教案说明 篇12

鼓山中学

高芳霞

我讲课的内容是九年义务教育课程标准人教版教科书九年级下册第二十七章27.2“相似三角形的性质”。下面，我从教材分析、教法、学法、教学程序四个方面对本课的设计进行说明。

一、教材分析

1、教材所处的地位及作用

“相似三角形的性质”是九年级下册“相似”一章的重点内容之一，是在学完相似三角形的定义及判定的基础上，进一步研究相似三角形的特征，以完成对相似三角形的全面研究，它既是全等三角形性质的拓展，也是研究相似三角形的基础。这些性质是解决有关实际问题的重要工具，因此，这一节课无论在知识上，还是对学生能力的培养上，都起着十分重要的作用。

2、教学目标的确定

1)通过探究相似三角形的对应高、中线与角平分线的比、周长比、面积比与相似比的关系，使学生掌握相似三角形的对应高、中线、角平分线、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方并学会应用。

2)在学习过程中，培养学生独立思考、合作学习、自主评价的能力，渗透数学当中的类比思想、转化思想。

3、教学重点及难点

因为相似三角形的对应高、中线、角平分线、周长比、面积比与相似比的关系是解决与相似三角形有关问题的重要依据，也是研究相似多边形性质的基础，因此，它是本节教材的重点。学生应用数学知识解决实际问题，需要具备一定的综合能力，这对大部分学生有一定的难度，因此，将相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的应用确定为本节课的难点。通过学生动手操作及合作交流，进行探究相关问题来突出重点，突破难点。

二、教学方法与教学手段的选用

为了充分调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动愉快学习，使空间与图形中的几何问题上得有趣、生动和高效，而且，本课主要是针对于我们之前的课题：基于初中生课堂差异性教学的这一方面进行一种实验，顺便吸纳了一些厦门蔡塘的授课模式，利用学生讨论培养各个学生能力，在一节课中去体现因材施教，达到不同程度的学生根据自己的能力，都有所收获。

但是福州鼓山中学具有现对的特点，95%学生是外来务工子女，小时候没有养成一种很好的预习习惯，所以在合作型的课堂中，对学生的学习习惯有一定的要求。所以在前一周的时间里，教师都利用课余时间教学生“勾圈点划”。利用勾圈点划让学生自己发掘每节课教材的重难点。

我引导学生从活动中的讨论入手，让学生经历看微课----观察——思考—-归纳对应高的比等于相似比这个证明过程的思维启发，然后合作探究的一种学习过程，分别总结两个相似三角形的对应高、中线、角平分线与相似比的关系，经过教师点拨思维发散到周长比等于相似比，面积比与相似比的关系。在教学中，我应用启发、诱导、探究贯穿于始终。

采用投影、微课，PPT等电教手段，增大教学的容量和直观性，以提高教学效率和教学质量。

三、关于教法的指导

为了培养学生的逻辑思维能力、自学能力和自己发现问题---提出问题----解决问题的学习方法,在教学上我采用“精心设疑、变式训练”等方法,充分调动学生的积极性,使学生始终处于最佳的思维状态之中,激发学生的兴趣.四、关于教学程序的设计

本节课的利用复习引入，这样的设计，既可以锻炼学生的对整体相似这章节的思维导图的建立，又可以使学生不同层次的学生都在自己能力范围内接纳数学。

为了让学生亲身体验知识发现产生的过程,我利用微课,设计了<<相似三

角形的性质>>中相似三角形对应高的比等于相似比,通过学生模仿与归纳进一步得出中线和角平分线的比等于相似比，而后发散思维但周长和面积，探究过程，并利用小组合作方式，培养学生的合作意识。

在得出定理后，及时进行由浅入深、由易到难的思维训练。通过探究、论证，到运用解决问题，一方面学生摸索到了从已知到未知的研究方法，另一方面又感受到了数学规律性。

对例题的变式训练是培养学生多层次、多角度思维能力的一种较好形式,复杂图形中观察基本图形对学生来说有一定的难度。

《相似三角形的性质》教学设计 篇13

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2016）05-0394-01

【设计意图】：

本课是华师大版九年级上“相似形”一章的重要内容之一，是在学生学完相似三角形的定义及判定的基础上进一步研究相似三角形的特性以完成对相似三角形的全面研究，它是全等三角形性质的拓展，在圆中有着广泛的应用。同时，相似三角形的性质也是解决有关实际问题的重要工具，根据教学大纲的要求考虑到初三学生的年龄特点和心理水平将理解相似三角形的性质作为本节重点而将探究推导性质作为本节难点。本课通过学生动手作图，探究发现结论，体验成功的乐趣，培养学生探究问题的科学态度，促进创造性思维的发展，使学生尝到学习几何的乐趣，体会到实验几何，快乐几何。同时采用探究性学习方法自主地感受新知，将新知识纳入自己的认知结构中成为有效的知识。

【教学目标】：

（1）探索、归纳并掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）比、周长比、面积比与相似比之间的关系，掌握定理的证明方法；提高分析，推理能力。

（2）对性质定理的探究学生经历类比――猜想――论证――归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力。

（3）在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律；通过学生之间的交流合作，在合作中体验成功的喜悦，树立学习的自信心。

【教学重点】：理解相似三角形的性质。

【教学难点】：相似三角形性质定理的探索及推导

【教学过程】：

1.复习提问，温故而知新

请同学们以小组为单位共同回忆以下内容：

（1）.相似三角形与全等三角形的概念及关系；

（2）.全等三角形的性质及已学过的相似三角形的性质；

（3）.利用已有的全等三角形性质，你能推出全等三角形还有哪些性质。

2.实践交流，探索新知

问题1：类比全等三角形的性质，想一想可以从哪几个方面继续研究相似三角形的性质；

从相似三角形对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）、周长及面积继续研究相似三角形的性质。

你是怎么想到这几个方面？主要是类比全等三角形的性质。

问题2：猜一猜，相似三角形还有哪些性质（分别用文字语言与符号语言表示，用符号语言表达时，要画图形）。

性质一：相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线以及它们的周长的比等于相似比。

也可能有学生会提出其他错误的结论（如对应高、角平分线、中线相等；面积比等于相似比等），教师暂时不点破，由学生自己去证明后推翻原有的错误结论。

教师提问：你是怎么想到这几方面性质的？

学生回答后教师总结：猜想有类比猜想、归纳猜想（从特殊到一般）及逻辑推理等。

问题3：小组成员分工论证你们得到的猜想（每个同学至少证明其中一个命题）；或推翻、修正猜想，再论证。

这一阶段是本课的重点，主要是先由学生小组分工完成，可能是证明了正确的结论，也可能是推翻了之前的错误，教师主要是展示学生的成果，并给出适当的点评。

归纳出证明步骤：画图、写已知求证，证明

归纳出证明方法：大三角形相似小三角形相似结论

完成了以上两个探索三个问题之后由师生共同总结出：

性质一：相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线以及它们的周长的比等于相似比。

性质二：相似三角形的面积比等于相似比的平方。

3.巩固练习，加深理解

3.1已知两个相似三角形一对对应中线的长分别是2cm和5cm，那么它们的相似比为________，对应高的比为_______，如果一对对应角平分线中较短的为3.6cm，则较长的为________。

3.2两个相似三角形对应高的比为7：5。其中一个三角形的周长为70cm，则另一个三角形的周长为________，若其中一个三角形的面积为490，则另一个三角形的面积为________.3.3已知：如图，DE∥BC，AB=30m，BD=18m，△ABC的周长为80m，面积为100m2，求△ADE的周长和面积？过E作EF∥AB交BC于F，其他条件不变，则△EFC的面积等于多少？平行四边形BDEF的面积为多少？（写出解答过程）

4.回顾反思，畅谈心得

本节课你有何收获？

（1）相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比及周长比等于相似比。

（2）相似三角形的面积比等于相似比的平方。

（3）对性质定理的探究我们经历：猜想――论证――归纳的过程，其中猜想包括：类比猜想、归纳猜想（从特殊到一般）及逻辑推理。

论证的过程包括：画图，写已知求证，证明等步骤。

5.学以致用，作业布置

必做题：

（1）书本P81：习题第2题

（2）先画出一个边长分别为1、2、3的三角形，然后作出一个面积是它4倍的三角形。

选做题：同步练习P31

【板书合计】：

等腰三角形的性质题 篇14

性质一: (焦点三角形面积) 已知椭圆方程为两焦点分别为F1、F2, P为椭圆上任意一点 (除长轴端点外) , 设焦点三角形PF1F2中∠F1PF2=θ, 则

证明:∵ (2c) 2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cosθ

= (|PF1|+|PF2|) 2-2|PF1|·|PF2|· (1+cosθ) ,

通过性质一, 可得应用一:

1.已知P (3, 4) 为椭圆 (a>b>0) 上的一点, F1、F2为焦点, 若F1P⊥PF2, 求△F1PF2的面积_____. (答案:20)

2.若P为椭圆上的一点, F1、F2为左右焦点, 若求点P到x轴的距离. (答案:)

性质二: (最大内角) 已知椭圆方程为, 左右两焦点分别为F1、F2, 设焦点三角形△PF1F2, 若∠F1PF2最大, 则点P为椭圆短轴的端点.

证明:设P点坐标为P (x0, y0) , 由焦半径公式可知:|PF1|=a+ex0, |PF2|=a-ex0,

∵-a<x0<a, ∴x20<a2,

∴当x0=0时, cosθ取最小值, 此时θ最大, 即若∠F1PF2最大, 则点P为椭圆短轴的端点.

通过性质二, 可得应用二:

1.点P在椭圆上, F1、F2为焦点, 则∠F1PF2的取值范围________. (答案:)

2.若点P为椭圆上的一点, F1、F2为左右焦点, 若∠F1PF2的最大值为, 则椭圆的方程为________. (答案:)

性质三: (离心率范围) 已知椭圆方程为 (a>b>0) , 左右两焦点分别为F1, F2, 设焦点三角形为△PF1F2, ∠F1PF2=θ, 则cosθ≥1-2e2.

证明:在△PF1F2中, 根据余弦定理得:

通过性质三, 可得应用三:

1. (2000年全国高考题) 已知椭圆方程为, 两焦点分别为F1、F2, 若椭圆上存在一点P, 使得∠F1PF2=120°, 求椭圆的离心率e的取值范围.

答案:

从一道题看解三角形的一般思路 篇15

题目 在△ABC中,已知AB=,cosB=,AC边上的中线BD=,求sinA的值.

思路一 利用平面几何(纯解三角形)方法,结合方程思想解决

解法1 如图1,设E是BC的中点,连结DE,则DE∥AB,且DE=AB=.

在△BDE中,由余弦定理得BD2=BE2+ED2-2BE•EDcos∠BED,代入数据,解得BE=1,故BC=2.

在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos∠ABC,代入数据,解得AC=.

在△ABC中,由正弦定理得=,又sinB=,得=,所以sinA=.

点评 已知AB,cosB,要求sinA ,设法求AC,BC是最直接的思路.已知中线,便有中点,很自然地会想到中位线.这里采用了逐个攻破的方法,先求BC,再求AC,有“算术”味儿(即先找到解路径,然后步步为营地到达目的地).

解法2 如图2,设BC=y,AD=x,则AC=2x.

在△ABC中,由余弦定理得cosA=.①

在△ABD中,由余弦定理得cosA=.②

联立①②,消去cosA,得2x2-y2=.③

在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos∠ABC,整理得4x2=+y2-y.④

联立③④,解得y=2,x=(舍去负解).

以下同解法1.

解法3 如图2,设BC=y,AD=x,则AC=2x.

在△ABD中,由余弦定理得cos∠ADB=.①

在△BCD中,由余弦定理得cos∠BDC=.②

因为∠ADB+∠BDC=π,所以cos∠ADB+cos∠BDC=0,所以由①②可得2x2-y2=.③

以下同解法2.

点评 解法2、3中,为求AC,BC,采用了“代数”的思路,即一股脑儿设出未知量,然后从条件中寻找等量关系,建立方程组.

解法4 如图2,设∠CBD=θ,由cosB=,得sinB=.

又由S△ABC=2S△BDC,即AB•BCsinB=2×BD•BCsinθ,解得sinθ=,cosθ=.

所以cos∠ABD=cos(∠ABC-θ)=cos∠ABCcosθ+sin∠ABCsinθ=,所以sin∠ABD=.

在△ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB•BDcos∠ABD=,得AD=;由正弦定理得=,得sinA=.

解法5 如图3,延长BD至E,使BD=DE,则四边形ABCE是平行四边形,故有AE=BC=.

在△ABE中,由余弦定理得BE2=AB2+AE2-2AB•AEcos∠BAE,代入数据,解得BC=2.

以下同解法1.

点评 看到中线,想到平行四边行,也是很自然的思路.

思路二 利用解析几何方法解决

解法6 以B为坐标原点,BC所在的直线为x轴,建立如图4所示的平面直角坐标系.

不妨设点A在第一象限内,因为cosB=,所以sinB=,所以A,.

设C(x,0),所以D,.

又因为BD=,所以有=,解得x=2(x=-舍去).

以下同解法1.

思路三 利用向量知识解决

解法7 如图2,因为=(+),所以2=+,两边平方,得42=2+2+2•=||2+||2+2||||cosB,代入数据,解得BC=2.

以下同解法1.

由此例可见,同学们在学习过程中,不但要会用常规解题的方法,还要思考是否可以一题多解,这样不仅能复习较多的知识,激发学习兴趣,而且能培养同学们从多角度分析问题的习惯使同学们的发散性思维得到提高.

1. 在△ABC中,a,b,c分别表示A,B,C所对边的长,若b=3,c=

3,B=30°,求a的值.

2. 在△ABC中,b=2,A=30°,求a的取值范围,使c有且只有一个解.

3. 在△ABC中,b=,c=2,B=45°,求A的大小.

4. 在△ABC中,a=2,b=,A=,求B的大小.