一次函数图像和性质教学设计说明

一次函数图像和性质教学设计说明（精选14篇）

一次函数图像和性质教学设计说明 篇1

本节内容是人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“14.2.2一次函数”（第二课时）

一、本课数学内容的本质、地位和作用分析

本课数学内容的本质是通过研究具体一次函数的图象特征和函数性质，抽象得到一般的一次函数的图象特征和函数性质，在这个过程中使学生认识到由具体到一般的研究问题的方法．同时在学生了解了正比例函数ykx的图象和性质的基础上，通过比较一次函数ykxb与正比例函数ykx解析式上的区别，得到一次函数图象与正比例函数图象之间的关系，进而得到一次函数的图象和性质，也使学生体会到当两个函数有密切联系时，可以通过类比以前研究函数的方法来研究新的函数．在“观察图象——分析解析式——归纳结论”的过程中，培养学生的数形结合的能力．

一次函数是中学阶段接触到的最简单、最基本的函数，它在实际生活中有着广泛的应用．一次函数的学习是建立在学习了平面直角坐标系、变量与函数和正比例函数及其图象与性质的基础上的．一次函数的第一课时主要内容是一次函数的有关概念，本节课是一次函数的第二课时，主要研究一次函数图象的形状、画法，并结合图象分析一次函数的性质．它既是正比例函数的图象和性质的拓展，又是继续学习“用函数观点看方程（组）与不等式”的基础．

从数学自身发展过程来看,正是由于变量与函数概念的引入,标志着初等数学向高等数学的迈进,是一种数学思想与观念的融入.无论从一次函数到反比例函数,再到以后的二次函数,甚至高中的其他各类函数,都是函数的某种具体形式,都为进一步深刻领会函数提供了一个平台.因此，后续学习中对反比例函数、二次函数的研究方法与一次函数的研究方法类似．也就是说，一次函数的学习为今后其他函数的学习提供了一种研究的模式．

二、教学目标分析

（一）教学目标））1.使学生理解函数ykxb（k0与函数ykx（k0图象之间的关系，会利用两个合适的点画出一次函数的图象，掌握k的正负对图象变化趋势和函数性质的影响．

2.通过描点法来研究一次函数图象，在动手绘制一次函数的图象的过程中，让学生经历“动手----比较----讨论---归纳”的数学活动，通过对一次函数图象的分析，归纳k的正负对函数图象变化趋势和函数性质的影响，让学生经历知识的探究、归纳的过程，体会数形结合思想方法和分类讨论思想方法的应用，同时培养学生的观察能力和抽象概括能力．

3.通过从具体一次函数的图象特征抽象得到一般形式一次函数的图象特征，进而得到函数的性质，使学生经历从特殊到一般的研究问题的过程，体会从特殊到一般的研究问题的方法．

4.在探究一次函数的图象和性质的活动中，通过动手实践，互相交流，使学生在探究的过程中，提高与他人交流合作的意识，提高学生的动手实践的能力和探究精神．

三、教学问题诊断分析

本节课主要是研究一次函数的图象和性质，在此之前学习者已经学习了正比例函数的图象和性质，一次函数的定义．由于授课班级为我校普通班级，学生虽然已经经历了研究正比例函数的图象和性质的过程，但是对于函数的理解还是比较浅显，将函数解析式与函数图象结合起来解决问题的能力较弱，故本节课的教学难点为通过对解析式的比较分析理解一次函数的图象和性质，并能灵活应用．

在本节课的学习中，学生对于通过具体函数图象猜想一次函数图象的形状和k的正负对于函数图象的变化趋势和函数性质的影响并不困难，但是学生容易停留在只从“形”的角度认识一次函数的图象和性质，不会用函数和变量去思考问题，即从“数”——解析式的角度加深理解．所以，我们在进行教学时，有意识地加强对一次函数ykxb与正比例函数ykx解析式的分析与比较，突出数学知识所蕴涵的数学思想和数学方法，以此加深学生对数形结合思想的体会，使学生逐步地增强应用数形结合思想解决问题的意识和能力．

四、本节课的教法特点及预期效果分析

1．由于本课的教学内容是在学生以往学习了正比例函数的图象和性质以及一次函数的定义的基础上进行的，学生在学习一次函数定义时对于课后的一个实际问题的练习掌握情况不好，因此这节课从这个问题复习开始，起到承接以前学习过内容的目的，同时对这个问题稍作改动，吸引学生的注意力，再引出本课的内容，让学生在复习的过程中感受用函数模型描述实际问题的作用．

2．根据本节课的教材内容特点，为了更直观、形象地突出重点、突破难点，提高课堂效率，采用以实践探索为主、多媒体演示为辅的教学组织形式．在教学过程中，通过设置带有探究性的问题，创设问题情境，引导学生动手实践探索，发现归纳结论．利用计算机的《几何画板》软件增强数与形结合的直观性，并通过学生亲自动手绘制函数图象，让学生亲身体验知识的产生、发展和形成的过程．

3．八年级的学生好奇、好学、好动，所以在教学过程中通过让学生自己动手画图，同学之间交流画法，谈谈想法等活动，充分发挥学生的主体性，进一步激发学生的求知欲，课件中的动画过程使数与形的关系可视化，有利于学生对问题的感知。

4．在由具体函数y2x1与函数y2x的图象关系抽象得到一般一次函数ykxb与直线ykx之间的关系的过程中，我们将抽象的过程分成两步完成，第一步先由函数y2x抽象到正比例函数ykx，函数y2x1抽象到一次函数ykx1，第二步由一次函数ykx1抽象到函数ykxb，同时利用《几何画板》直观演示，有利于学生从具体向一般过渡．

5．在小结的设计上给学生一个充分从事数学活动的机会，也体现了学生是数学学习的主人的理念．学生所发表的见解不一定全都是本节课的重点，只要是学生的观点正确又的确是他的知识收获则教师就给与认可和鼓励．

6．在作业的布置上，通过阅读作业培养学生的数学阅读能力，同时养成学生及时复习、梳理知识的良好学习习惯，通过巩固性作业使学生巩固落实课堂所学的知识，通过探究作业为下节课学习利用待定系数法求一次函数解析式作铺垫，起到与下节课衔接的作用．

一次函数图像和性质教学设计说明 篇2

在进行二次函数入门学习的时候, 学生已经学过了一次函数的相关课程.尽管一次函数和二次函数在图像和性质方面有很多不同, 但是一次函数的学习为学生接触函数提供了先验的学习模式.教师可以利用这个模式, 帮助学生制造对函数的熟悉感, 从而引导学生进入二次函数的学习.因此, 课程的开始可以这样设计:

教师:同学们还记得我们学过的一次函数吗?

学生:记得.

教师:有谁能帮忙回忆一下一次函数的表达式呢?

学生A:一次函数是y=kx+b.

教师:很好.那有谁能记得我们怎么画出一次函数的图像呢?

学生B:取x为任意值求得y的结果, 把每一对相应的数值定位到坐标轴上的点, 然后连点成线.

教师:非常好, 一次函数的作图过程给我们一个启示, 如果要模拟出函数的图像, 可以求出足够多的点坐标, 连接这些点, 就能够获得函数的图像.

学生回忆了一次函数的作图方法之后, 课堂就能顺利地过渡到二次函数作图的学习.也就是说, 教师给学生总结了一种函数作图方法, 能够将一次函数的心得学以致用.

二、数形结合, 循序渐进

笔者再三强调二次函数的抽象性, 就是希望师生能够对二次函数的图像给予足够的重视.换句话说, 在二次函数的学习中, 要时刻引进数形结合的方法, 把二次函数的表达式及其图像结合起来学习.通过不断地训练学生数形结合的能力, 使学生看到函数表达式, 就迅速反映到它对应的图像模式, 熟悉它的各要素.这样一来, 面对综合习题, 学生就能够快速有效地整理函数图像信息, 调动自己的思路, 为答题带来便利.

养成数形结合的思维方式不是一蹴而就的, 需要教师在课堂教学的时候有意识地设计学生动手作图的环节.同时, 教师也必须考虑到初三学生入门学习时的模仿能力和接受能力, 逐步锻炼学生的作图过程, 使学生充分消化知识.以二次函数的图像为例:

1. 教师把y=2x2作为例子, 列出一个表格:

要求学生求出相应的y值, 再利用这些点坐标画出y=2x2的图像.

2. 同样采用上面的表格, 计算y=-2x2的函数值.并且和第1小题的函数值结果的比较, 猜想y=-2x2的函数图像, 再进行画图验证.

3. 照第2小题的过程, 画出y=-2x2+1和y=-2x2-1的图像.

4. 在上面3题的基础之上, 让学生考虑y=2 (x-1) 2可以选取那些点坐标作图.此时, 教师可以适当引导学生, 发现图像的轴对称性质, 启发学生思考本小题函数图像的对称轴会在哪里.

5. 学生经过了上述学习, 大致掌握了二次函数作图的基本步骤.此时教师可以帮助学生进行能力拓展, 思考y=-2x2-4 x+2的二次函数图像, y=-2x2-4 x+3的图像, 以此类推.

通过循序渐进地学习, 使学生最终彻底掌握一般二次函数的作图方法.而且, 在不断变换二次函数的形式进行作图的过程中, 学生可以感受到二次函数的具体变换过程, 也就比较容易理解二次函数的表达式变化原理.

三、根据图像推导函数性质

笔者在论述的第一部分就已经提示过, 可以类比一次函数的方式, 鼓励学生积极发现二次函数的性质.因此, 在掌握第二部分函数作图的基础上, 对函数的性质的理解就变得容易得多了.例如:教师可以设计一个y=2x与y=2x2的图像对比.先让学生说出一次函数的图像的性质.

学生:一次函数的图像, y的值随x的增大而增大, 是一条递增直线.

接下来, 教师可以让学生借此类比二次函数.

学生C:x<0时, y的值随x的增大而减小;x>0时, y的值随x的增大而增大.x=0时, y=0, y的值最小.

教师:完全正确.那么, 大家仔细观察图像, 还能发现图像的哪些特点?

学生D:图像是一个抛物线, 开口向上.

学生E:图像是一个轴对称图形.

教师:那么它的对称轴该怎么表示?

学生F:它的顶点在它的对称轴上.

先通过最基本的二次函数图像, 让学生自主地寻找抛物线的对称轴, 顶点坐标, 函数的最小值, 等等.再采用第二部分中提到的循序渐进的方法, 慢慢转换到二次函数的一般形式, 使学生一步一步总结出一般形式下二次函数的抛物线的形式、开口、顶点、对称轴、递增和递减的情况.

学生总结出函数图像的性质之后, 教师把学生的总结分别进行归类.利用y=-2x2与y=2x2的图像进行对比, 得出抛物线的开口与系数的关系;利用y=2x2与y=2x2+1, y=2x2-1进行对比, 了解图像的平移变换过程, 对比函数表达式的变化, 最后得出对称轴的一般表达式.

因此, 推导二次函数的图像的性质其实经历了一个从抽象到具体再到抽象的过程.教师把图像作为一种过渡方式, 使学生对知识的掌握更加直观, 运用时更加得心应手.

参考文献

一次函数图像和性质教学设计说明 篇3

关键词:网络环境;数学教学;探讨

一、基于网络环境下的数学教学的含义

基于网络环境下的数学课堂教学,根据新课程标准的教学内容和教学目标需要,继承传统教学的合理成分,打破传统教学模式,全天候,不间断,因材施教的新型教学方法,教学与评价的信息在互联网上传输与反馈,极大地优化了教师群体,丰富了学生的知识储备。

基于网络环境下的教学,可以共享教学资源,传递多媒体信息,适时反馈学生学习情况,刺激学生不同的感官,符合学生的学习认知规律,提高了学生的学习兴趣,扩大了信息接受量,增大了课堂教学容量,同时又具有实时性、交互性、直观性的特点,大大丰富了课堂教学模式,同时又满足了分层教学,因材施教,远程教学等社会需要,开创了教学的全新局面。

二、基于网络环境下数学教学与评价的应用

基于网络环境下数学教学与评价有两大优点:

1.能做到图文并茂,再现迅速,情境创设,感染力强,能突破时空限制,特别是基于.Net技术的交互式动态网页更能提高学生的多种感官的感知效能,发挥个体的最大潜能和创造力,加快学生对知识的理解、接受和记忆,也最能体现新课标的精神,也极大地满足了社会全民教育、终身教育的要求。

2.同时全体老师又能通过网络共享教学资源,适时创新资源,使每一个老师都成为名师,使教学的方法水平永不落后。如在讲授函数这部分内容时,二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的图像以及图像变换是重点内容,关于函数图像的传统画法,是通过师生列表,描点,连线而得,这些工作繁琐,静止孤立,间断的点和线。教师要自制每一节的课件难度大,时间又有限。而基于网络环境下的数学教学,就可以充分利用网络版课件,使教师有更多的时间进行创新研究,同时让学生在交互的动态的网络环境下学习,充分体会同一函数不同参数与图像特征之间的联系,充分掌握函数的性质和抓住图像的平移、反射、压缩、拉伸和对称变换特征。

三、基于网络环境下数学教学突破教学难点

高中数学中有一些知识需要通过抽象思维来解决问题,而这也正是高中数学的难点之一,基于网络环境下的教学可以化抽象为直观,有利于突破难点。

如“二次函数即:y=ax2+bx+c(a≠0)在[m,n]上的最值的探讨,学生对二次函数的开口,对称轴移而区间不动或图像不动而区间变化时函数的最值”不易理解。在网络环境下,学生通过对网络课件的阅读和对a,b,c,m,n的动态控制,能深刻理解数学知识的要点,加上在网上的即时测试和评价,更能有效地掌握它,不再感到难以理解。

四、基于网络环境下的数学教学与评价形式多样化、即时化

传统的教学形式是教师讲,学生听。这样教学方式课堂容量有限,反馈方式单调,信息交流少,所有的学生步伐相同,不利于因材施教,不利于培养学生终身学习的能力,同时不能解放教师,让教师从事更有意义的教育工作。而网络环境下的教学可以同时满足不同用户不同要求,培养活学活用的能力,真正实现教学以学生为中心,教学面向全体通过互联交流互联互动进行分层教学、个别教学实现因材施教,体现新课标的要求,

五、基于网络环境下数学教学应处理好的关系

1.网络与学生的关系。和谐是教学成功的关键。实践中发现基于网络环境下的学科教学,应加强对互联网海量信息的搜索、筛选、加工、创新。在选好教育资源后,教师要努力探索适时、适用问题,创设学习情境,营造和谐的环境。加上学生对网络应用知识基本掌握,达到网络与人的和谐统一。

2.网络与教师的关系。基于网络环境下的学科教学优势空前,实践中发现,只有网络环境下的教学与教师灵活生动地讲解和创新地适时评价互相配合,相互促进,协调传递信息,最大限度地发挥网络和教师的优势。

三角函数图像和性质教学设计 篇4

学校：沙雅县第二中学 年级：高中 电话：*** 内容：高中数学必修四第一章1.4三角函数的图像性质第一课时 三角函数的图像与性质

（一）本节课教材是人教版必修四第四课（1.4）<<三角函数图像与性质>>，可将其划分为三小节来设计，即：<<正弦函数、余弦函数图像>>、<<正弦函数、余弦函数性质>>、<<正切函数的性质与图象>>。

一、教学内容分析

本节课是学生学习了函数的定义、图象和性质，掌握了研究函数的一般思路，并对三角函数的基本知识比较熟悉的情况下，进一步利用函数图象来研究三角函数的有关性质，为学生以后利用数形结合的方式来解决有关三角函数方面的知识做铺垫,同时，可以对高中阶段系统研究指数函数、对数函数、导函数等做铺垫，进一步巩固和深化三角函数的概念和性质等知识，融会贯通前面所学的函数的基本性质，使学生得到较系统的掌握函数知识和研究函数的方法，掌握运用三角函数图像来解决有关问题。

二、教学目标分析

1、知识与技能：（1）．能画出y=sin x, y=cos x的图像，了解三角函数的周期性；（2）．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点及奇偶性等）；

2、过程与方法：培养学生应用所学知识解决问题的能力，独立思考能力，规范解题的标准。

3、情感态度与价值观：培养学生全面的分析问题和认真的学习态度，渗透辩证唯物主义思想。

三、学情分析 教学背景

本课是高一年级必修四的一堂数学基础课程，本节课主要学习通过图像来研究三角函数的有关性质。在通过简谐运动的现象，得到正弦或余弦函数图像。在运用五点法作出它们的图像，让学生分小组讨论，总结和概括它们的性质，后期会用同样方法来研究正切图像和它的相关性质。

学生背景：

高一学生已具备一定的教学知识和学习能力，所教的班是重点班,对于知识的归纳总结也有一定的能力，对于新问题，有主动思考问题、探索问题的信习和勇气，因此，本课遵循“以教师为主导，学生为主体”，“数学教学是数学活动的教学”等教学思想，把提问题作为教学出发点，指导尝试，总结反思。

四、教学手段，教学方法

讲练结合，教师引入，提出问题，学生探究通过五点法做出正弦函数与余弦函数图像。并且能够运用图像变换，得到其他形式的函数图像。通过图像，总结概括出正弦函数、余 弦函数的性质，即周期性、奇偶性、单调性、最值。同时，学生在老师的引导下，探究利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质。

五、教学重难点分析

（一）教学重点

（1）学会运用五点法画出正弦函数、余弦函数图像。

（2）掌握正弦函数、余弦函数的相关性质，即（周期性、奇偶性、单调性、值域、最值等）。

（二）教学难点

（1）正弦函数，余弦函数的图像及性质应用方法和技巧。

（2）学会运用三角函数图像来正弦函数、余弦函数的有关性质，把数形结合的思想运用到问题求解上。

课时安排：（需上3课时）第一课时：正弦、余弦的图像 第二课时：正弦、余弦的图像和性质一 第三课时：正弦、余弦的图像和性质二 教学设计为第一课时

六、教学过程

一、复习引入：

1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

2.正、余弦函数定义：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）

P与原点的距离r(rxyx2y20)

r22P(x,y)yy则比值叫做的正弦 记作： sin

rr 比值xx叫做的余弦 记作： cos rr3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有

sinyxMP，cosOM rr向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．

二、讲解新课：

1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．

（1）函数y=sinx的图象

第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x值—弧度制下角与实数的对应）.第二步：在单位圆中画出对应于角0,6，，,„，2π的正弦线正弦线（等价于32“列表”）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点”）.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．

根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R的图象.把角x(xR)的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象.（2）余弦函数y=cosx的图象

探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象？

根据诱导公式cosxsin(x2),可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移

单位即2得余弦函数y=cosx的图象.（课件第三页“平移曲线”）

-6-5-4-3-2-y1o-1y1-6-5-4-3-2--123456xy=sinx y=cosx23456x正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？ 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)((3,-1)(2,0)2,1)(,0)2余弦函数y=cosx x[0,2]的五个点关键是哪几个？(0,1)((2,1)

3,0)(,-1)(,0)22只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握． 优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以

3、讲解范例： 例1 作下列函数的简图

(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]，（2）y=-COSx ●探究2． 如何利用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到

（1）y＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象；（2）y=sin(x-π/3)的图象？

小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。

● 探究３．

如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝-cosx，ｘ∈〔0，２π〕的图象？ 小结：这两个图像关于X轴对称。●探究４．

如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝2-cosx，ｘ∈〔0，２π〕的图象？ 小结：先作 y=cos x图象关于x轴对称的图形，得到 y＝-cosx的图象，再将y＝-cosx的图象向上平移2个单位，得到 y＝2-cosx 的图象。

●探究５．

不用作图，你能判断函数y=sin(x3π/2)= sin[(x-3π/2)+2 π] =sin(x+π/2)=cosx 这两个函数相等，图象重合。

例2 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：

(1)sinx115;(2)cosx,(0x).2 2

2三、巩固与练习

数学必修四P34 练习1、2

四、小 结：本节课学习了以下内容：

1．正弦、余弦曲线 几何画法和五点法 2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系

五、作业：数学必修四p46页习题1.4A组

1、同步练习册当堂巩固1.2.3.4

七、教学设计反思

一次函数图像和性质教学设计说明 篇5

教学设计说明：

本节课的设计力求体现使学生“学会学习，为学生终身学习做准备”的理念，努力实现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，并注意教师角色的转变，为学生创造一种宽松和谐、适合发展的学习环境，创设一种有利于思考、讨论、探索的学习氛围，根据学生的实际水平，选择恰当的教学起点和教学方法。由此我采用“问题——猜想——探究——应用”的学科教学模式，把主动权充分的还给学生，让学生在自己已有经验的基础上提出问题，明确学习任务，教师引导学生观察、发现、猜想、操作、动手实践、自主探索、合作交流，寻找解决的办法并最终探求到真正的结果，从而体会到数学的奥妙与成功的快乐。整堂课以问题思维为主线，巧妙地把数学实验引进了数学课堂，让学生充分参与数学预习，获得广泛的数学经验，整堂课融基础性、灵活性、实践性、开放性于一体。这样既注重知识的发生、发展、形成的过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的概括过程，又使学习者积极主动地将知识融入已构建的结构，而不是被动的接受并积累知识，从而“构建自己的知识体系”。并通过探索过程，不断丰富学生解决问题的策略，提高解决问题的能力，渗透数学的思想方法，发展数学思维。

教学目标：

知识技能：1.会用两点法画出正比例函数和一次函数的图像

2.能结合图像说出正比例函数和一次函数的性质

3.经历正比例函数与一次函数图象画法与性质的探索过程，体会“数”“形”结合的数学思想

情感态度1.在动手操作过程中,培养学生的合作意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质。

2.体验“数”与“形”的转化过程，感受函数图象的简洁美。激发学生学数学的兴趣

教学重点：正比例函数和一次函数的图像和性质

教学难点：结合图像理解正比例函数和一次函数的性质的过程 教学方法：自主探究、合作交流

教学模式：问题——猜想——探究——应用 教学过程：

[活动1]（学生分组讨论，教师对存在的问题进行辅导）

教师活动：1.教师出示问题,引导学生动手操作, 动脑思考,总结规律.2．学生猜想出结论：一次函数的图像是一条直线.3.教师为了进一步验证学生猜想的结论的正确性.学生活动：

问题1：1.已知函数y(m2)x2m1.（设计意图：使学生联想直线的公理：两点确定一条直线.由此探究得出正比例函数的图像可以由两点法画出.）(1).当m取何值时，该函数是一次函数.(2).当m取何值时，该函数是正比例函数.2.正比例函数和一次函数有何区别与联系？（设计意图：巩固两点法画直线的方法.学生通过画图、观察、探究、总结，发现正比例函数的性质.）3．在同一坐标系中描出以下6个函数的图像

y=2x y=2x-1 y=-2x y=-2x+1 y6 yx2 x观察你所画的图像的形状

能否发现一些规律（或共同点）？

[活动2] 教师活动：1.教师引导学生分析:（1）一条直线最少可以有几个点确定？

（2）可以取直线上的哪两个最简单、易取的点？

（3）学生总结出选取（0，0），（1，k）两点.（其他的点也可以，但这两点最简单）2.教师巡视,适时点拨，演示

正比例函数的图像： k任取不同的数值，观察图像的位置，给出图像上任意一点测量出此点的坐标，拖动此点变换它的位置。观察此点的横纵坐标的变化情况.引导学生探究、讨论、归纳出正比例函数的性质：

（1）k>0时，图像在第一、三象限，y随x的增大而增大.(2)k<0时，图像在第二、四象限，y随x的增大而减小.问题1：

1.正比例函数的图像是一条直线，除了描点法外，你还有更简便的方法画出它的图像吗？（设计意图：使学生联想直线的公理：两点确定一条直线.由此探究得出正比例函数的图像可以由两点法画出.）

2.用两点法分别在同一坐标系中画出下列函数的图像（质.）

1yxyx y3x 2 ①②y3x y31x yx 22问题2：观察这两组图像：（设计意图；巩固两点法画直线的方法.学生通过画图、观察、探究、总结，发现正比例函数的性质.）

（1）指出它们分别有什么共同点，它们所在的象限，以及上升与下降的趋势.（2）分别在直线y3x和y3x上依次从左向右各取三个点(x1 ,y1),B(x2 ,y2),C(x3，y3).试比较y1.y2.y3的大小.[活动3]

教师活动：1.学生独立思考完成问题

1、问题

2、问题3.2.两点法画一次函数图像时，探讨选取哪两个点比较简单.（0，k）,(b,0).k 3.教师巡视,适时点播，一次函数的图像： k任取不同的数值，观察图像上升、下降的趋势和位置，给出b的不同值再观察。引导学生探究、讨论、合作交流，探究一次函数的性质：

（1）k>0时，y随x的增大而增大.(2)k<0时，y随x的增大而减小.[活动4] 教师活动：1.教师引导学生运用所学 知识解决实际问题.2.引导学生说出解题思路，运用了哪些知识点.3.引导学生观察、讨论、探究、得到当y=0，y>0，y<0时，x 的取值范围.4.教师引导学生运用所学 知识解决实际问题.5.引导学生说出解题思路，运用了哪些知识点.6.教师演示几何画板课件，利用几何画板中跟踪点的功能，引导学生观察、讨论、探究、得到当y=0，y>0，y<0时，x 的取值范围.学生活动：

1、（1）函数y=-x的图像经过点（0，＿），点（3，＿），y随x的增大而＿＿＿。

（2）、函数y= x的图像经过点（0,0）和点（1，＿），y随x的增大而＿＿＿＿。（设计意图：巩固所学知识，练习应用.）

2、函数y=mx的图像经过那些象限？若y随x的增大而减小，则m＿0。3.在同一坐标系中用两点法画出下列函数的图像.(1)y2x1(2)y2x1（3）y3x1（4）y3x1

观察这4条直线分别 所在象限，变化趋势。试说出一次函数的性质

（设计意图：两点法画一次函数的图像，“数”与 “形”转化，培养学生的画图能力.对图像的观察、归纳，“形”与“数”转化，培养他们的视图能力）(2)由图像观察，求当x 取何值时，y=0，y>0，y<0.课堂小结：

本节课你学到了那些知识，在知识的探究和运用过程中你有何体会？

预习检测：

1、下列四点，在函数y3x2的图象上的是（）A、0,2

B、2,0

C、3112,32D、,2

22

2、下列一次函数中，y的值随x值的增大而减小的是（）A、y=2x－8

B、y=－x+3

C、y=2x+5

D、y=7x－6

33、在一次函数ym1x5中，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（）A、m

1B、mC、mD、m1

4、若一次函数ykxb的图象经过一、二、三象限,则k,b应满足的条件是:（）A.k0,b0

B.k0,b0

C.k0,b0

D.k0,b0

5、将直线y=2x向上平移两个单位，所得的直线是

（）A、y=2x+2

B、y=2x－2

C、y=2（x－2）

D、y=2（x+2）

二、填空题

6、直线y1x5与x轴的交点坐标是_______，与y轴的交点坐标是_______.2

7、直线y2x3可以由直线y2x沿y轴_______而得到；直线y3x2可以由直线y3xy轴_______而得到.8、已知一次函数y2xb，当x3时，y1，则直线y2xb在y轴上的截距为________.三、解答题

9、在同一个直角坐标系中，画出函数y2x1与y3x4的图象，并判断点A（1，1）、B（－2，10）是否在所画的图象上？在哪一个图象上？

10、画出函数y3x6的图象，并回答下列问题：（1）当x2时，y的值是多少？（2）当y9时，x的值是多少？（3）当x为何值时，y0,y0,y0？

教学反思：

这节课，我对教材进行了探究性重组，同时放手让学生在探究活动中去经历、体验、内化知识的做法是成功的。通过充分的过程探究，学生容易得出也是最早得出了图象的性质，借助直观图象的性质而得到一次函数的性质。花费了一番周折，说明去掉这个中介，直接让学生从单调性来接受一次函数性质是困难的。

真正的形成往往来源于真实的自主探究。只有放手探究，学生的潜力与智慧才会充分表现，学生也才会表现真实的思维和真实的自我。在新课程理念的指导下，我们的一切教学都要围绕学生的成长与发展做文章，真正让学生理解、掌握真实的知识和真正的知识。

首先，要设计适合学生探究的素材。教材对一次函数的性质是从增减来描述的，我们认为这种对性质的表述是教条化的，对这种学术、文本状态的知识，学生不容易接受。当然教材强调所呈现内容的逻辑性、严密性与科学性是合理的。但是能让学生理解和接受的知识才是最好的。如果牵强的引出来，不一定是好事。

其次，探究教学的过程就是实现学术形态的知识转化为教育形态知识的过程。探究教学是追求教学过程的探究和探究过程的自然和本真。只有这样探究才是有价值的，真知才会有生长性。要表现过程的真实与自然，从建构主义的观点出发，就是要尊重学生各自的经验与思维方式、习惯。结论是一致的，但过程可以是多元的，教师要善于恰倒好处地优化提炼学生的结论。追求自然，就要适当放开学生的手、口、脑，例如本文中的“走向”问题，“向上爬”、“向下走”等，如果是讲授注入式，我们就听不到学生真实的声音了。

八下《一次函数图像和性质》教案 篇6

一次函数图像和性质

三维目标

知识与技能：会画一次函数图像，理解并掌握一次函数的性质

过程与方法：通过小组探究合作交流归纳出一次函数的性质

情感态度价值观：培养数形结合能力，锻炼归纳思维

教学过程

一、创设情境，导入新知

教师带领学生复习正比例函数的图像和性质，并回忆正比例函数图像是如何画的，以及正比例函数的性质是通过什么样的方式归纳出来的，回忆一次函数定义，及一次函数与正比例函数的关系，引出新课

二、师生交流，探索新知

活动一、尝试画一次函数图像

教师出示课本92页例三，引导学生根据以前画正比例函数的方式方法尝试画出例三中两个一次函数图像，并观察两个图像有什么异同点。学生独立完成，教师提问可得画一次函数的两种方式，方法①先画一次函数y=2x与y=-0.5x的图像，在对他们进行平移，方法;②因为一次函数图像是一条直线，所以可以选取直线上的两个点，用列表、描点、连线的方式画出函数图像。

总结：画函数图像的方式不唯一，可以描点也可以通过对正比例函数图像平移得到一次函数图像。

活动二、探究k的正负对一次函数图像的影响

教师引导学生用刚刚的画图方法画出课本93页探究问题中几个函数图像，教师找几个学生把他们画的图像拿到投影上给大家展示，之后在大屏幕上呈现标准图像，让学生观察几个函数图像，小组讨论几个函数图像间有哪些联系?教师引导，我们可以先从图像的角度去分析，再通过图像联系函数解析式进行观察，得出数值之间的大小关系。学生得出在几个函数图像中当k>0时，直线y=kx+b从左到右上升，当k<0时，直线y=kx+b从左到右下降。

总结：一次函数，当k>0时，y随x的增大而增大;当k<0时，y随x的增大而减小。

三、巩固练习，强化新知

学生独立完成课本练习，教师找学生说答案并讲解。

四、交流小结，回顾新知

通过让学生大声交流讨论的方式互相说一说本节课学了那些新知，总结收获。

五、布置作业，内化新知

一次函数图像和性质教学设计说明 篇7

求函数的最值是中学数学的重要内容之一, 本文就如何利用函数$y=ax+\frac{b}{x}$的图像和性质求函数的最值谈几点具体做法.

1 函数$\mathit{y}=\mathit{a}\mathit{x}+\frac{\mathit{b}}{\mathit{x}}$的图像和性质

1) 当a·b=0时, 若a=0, b≠0, 函数化为$y=\frac{b}{x}$, 若a≠0, b=0, 函数化为y=ax, 其图像和性质不必讨论.

2) 当a·b≠0时, 函数$y=ax+\frac{b}{x}$是奇函数, 渐近线方程是x=0及y=ax.

若a·b>0时, 其图像如图1所示.

当a>0, b>0时, 函数的极大值点是$\left(-\sqrt{\frac{b}{a}}‚-2\sqrt{ab}\right)$, 极小值点是$\left(\sqrt{\frac{b}{a}}‚2\sqrt{ab}\right)$, 单调增区间是$\left(-\infty ‚-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)$和$\left(\sqrt{\frac{b}{a}}‚+\infty \right)$, 单调减区间是$\left(-\sqrt{\frac{b}{a}}‚0\right)$和$\left(0‚\sqrt{\frac{b}{a}}\right)$;

当a<0, b<0时, 函数的极大值点是$\left(\sqrt{\frac{b}{a}}‚-2\sqrt{ab}\right)$, 极小值点是$\left(-\sqrt{\frac{b}{a}}‚2\sqrt{ab}\right)$, 单调增区间是$\left(-\sqrt{\frac{b}{a}}‚0\right)$和$\left(0‚\sqrt{\frac{b}{a}}\right)$, 单调减区间是$\left(-\infty ‚-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)$和$\left(\sqrt{\frac{b}{a}}‚+\infty \right).$

若a·b<0时, 其图像如图2所示.

当a>0, b<0时, 函数无极值点, 单调增区间是 (-∞, 0) 和 (0, +∞) ;

当a<0, b>0时, 函数无极值点, 单调减区间是 (-∞, 0) 和 (0, +∞) .

2 利用函数$\mathit{y}=\mathit{a}\mathit{x}+\frac{\mathit{b}}{\mathit{x}}$的图像和性质求函数的最值举例

例1 已知函数$f(x)=\frac{x{}^2+2x+\frac{1}{2}}{x}‚x\in \left[-\frac{3}{2}‚-1\right]$, 求函数f (x) 的最大值、最小值.

解$f(x)=\frac{x{}^2+2x+\frac{1}{2}}{x}=x+\frac{1}{2x}+2.$

设$g(x)=x+\frac{1}{2x}$, 则f (x) =g (x) +2.

因为g (x) 在$\left(-\infty ‚-\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$上单调递增, 在$\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}‚0\right)$单调递减, 所以当$x\in \left[-\frac{3}{2}‚-1\right]$时, g (x) 的最大值为$g(-1)=-\frac{3}{2}$, 最小值为$g\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{11}{6}.$

所以f (x) 在$\left[-\frac{3}{2}‚-1\right]$上R 最大值为$-\frac{3}{2}+2=\frac{1}{2}$, 最小值为$-\frac{11}{6}+2=\frac{1}{6}.$

例2 求函数$y=\sin x+\frac{4}{\sin x}‚(0＜x＜\text{π})$的最小值.

错解 因为0<x<π, 所以sin x>0.

由均值不等式可得

$\begin{array}{l}y=\sin x+\frac{4}{\sin x}\\ \ge 2\sqrt{\sin x\cdot \frac{4}{\sin x}}=4.\end{array}$

所以函数的最小值是4.

辨析 错解中忽视了不等式取“=”的条件:$\sin x=\frac{4}{\sin x}‚\sin x=\pm 2$, 但当0<x<π时, 0<sin x≤1, 故“=”不能成立.

正解 设t=sin x, 则$y=t+\frac{4}{t}$, 因为0<x<π, 0<sin x≤1, 所以0<t≤1.

又函数$y=t+\frac{4}{t}$在 (0, 2) 上单调减, 所以当t=1时, 函数$y=t+\frac{4}{t}$取得最小值5.

由t=1, 得$\sin x=1‚x=\frac{\text{π}}{2}$.所以当$x=\frac{\text{π}}{2}$时, 函数$y=\sin x+\frac{4}{\sin x}(0＜x＜\text{π})$取得最小值5.

例3 已知$a‚b\in \left[\frac{1}{2}‚1\right]$, 求$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的最大值和最小值.

解 设$\frac{b}{a}=t$, 因为$a‚b\in \left[\frac{1}{2}‚1\right]$, 所以$t\in \left[\frac{1}{2}‚2\right].$

又$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{2}‚f(2)=\frac{5}{2}$, 所以当$t=\frac{1}{2}$或t=2时函数取得最大值$\frac{5}{2}.$

故$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的最大值是$\frac{5}{2}$, 最小值是2.

例4 求函数y=loga (x2-2x-1) -loga (x-1) (x≥3) 的值域.

$\begin{array}{l}\text{解}y=\log {}_a(x{}^2-2x-1)-\log {}_a(x-1)\\ =\log {}_a\frac{x{}^2-2x-1}{x-1}\\ =\log {}_a\left[(x-1)-\frac{2}{x-1}\right].\end{array}$

令x-1=t (t≥2) , 则$g(t)=t-\frac{2}{t}\ge 1.$

当a>1时, 函数的值域是[0, +∞) ;当0<a<1时, 函数的值域是 (-∞, 0].

例5 设a>1, a, θ均为实数, 求当θ变化时函数$y=\frac{(a+\sin \theta )(4+\sin \theta )}{1+\sin \theta }$的最小值.

解 令1+sin θ=t∈ (0, 2], 则

$\begin{array}{l}y=\frac{(t+a-1)(t+3)}{t}\\ =t+\frac{3(a-1)}{t}+2+a.\end{array}$

因为a>1, a-1>0, 由函数$u=t+\frac{3(a-1)}{t}$的图像性质知:

当$0＜\sqrt{3(a-1)}\le 2$, 即$1＜a\le \frac{7}{3}$时, $y{}_{\min }=2\sqrt{3(a-1)}+a+2$;

当$\sqrt{3(a-1)}＞2$, 即$a＞\frac{7}{3}$时, 函数$u=t+\frac{3(a-1)}{t}$在 (0, 2]上单调递减, 所以当t=2时, $\begin{array}{l}y{}_{\min }=\frac{5(a+1)}{2}.\\ \end{array}$

正弦函数图像性质有感 篇8

正弦函数：f(x)＝sinx。图像如下：

首先来看它的定义域，为全体实数R。从整个图像分析，它犹如人类历史的长河，波涛激荡，奔流不息，无穷无尽。人是万物之灵，世界的主宰。人类是伟大的。人类创造了历史。可现今有些人不相信人类的伟大，却会去“求神拜佛”、“祈符问卦”。作为教师，我们一定要教育学生相信科学，破除迷信，树立正确的人生观和世界观。相信自己，用知识来武装自己，用自己努力获得的知识来改变自己的命运。

其次是值域，是－1到1之间的所有实数。它有最大值1和最小值－1。而这两条直线y＝l与y＝－1就犹如我们在社会生活中需要遵守的法律法规一样。如果要想使整个社会和谐、健康的发展，人们平安、快乐的生活，我们每个人都必须在法律法规允许的范围内才可以实现，万万逾越不得。在教育学生时，一定要培养他们遵纪守法的好品德。在校遵守校规，讲文明，董礼貌，做一个爱学习、勤劳动、守纪律、在家孝敬父母，在校尊敬老师的好学生。

第三、函数有两种重要的单调区间：一是增区间，一是减区间。每个区间的长度都相等。我们从中就可以感悟到：人在一生中不会总是一帆风顺的，也不会总是倒霉晦气的。人生有起伏，有得意成功(图像上升)，也有失落与低谷(图像下降)。我们要有一个平和的心态，走在人生的上坡路时不要得意忘形，处于人生低谷时也不要萎靡不振。这就叫作升别太得意，降别太在意。尤其是在进行某次考试后，让学生对自己的成绩有一个正确的认识，胜不骄，败不馁，注意总结，才能进步。

第四、正弦函数为周其函数，一个增区间连着一个减区间构成一个周期，图像呈周期性变化。这如同人生的一个缩影，起伏涨落，周而复始，演绎完整人生。升与降二者密不可分，长度相同，都为π，周期为2π。

第五、正弦函数的对称性。

一是对称中心，有一个特点，就是都在x轴上，不高也不低。这就如同我们在社会上生活，一定要找准自己的位置，脚踏实地。不能好高骛远，也不能得过且过。我们在教育学生时一定要培养他们踏实肯干的精神，这对于他们将来步入社会之后会非常重要的；

一次函数图像和性质教学设计说明 篇9

指数函数的性质与图像

一、选择题

1、使x2＞x3成立的x的取值范围是（）

A．x＜1且x≠0 C．x＞1

a

b

cB．0＜x＜1 D．x＜1

d

2、若四个幂函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x在同一坐标系中的图象如右图，则a、b、c、d的大小关系是（）

A．d＞c＞b＞a

B．a＞b＞c＞d C．d＞c＞a＞b

D．a＞b＞d＞c

3、在函数y＝

132，y＝2x，y＝x＋x，y＝1中，幂函数有（）2x

B．1个

xA．0个

C．2个

D．3个

4、如果函数f（x）＝（a2－1）在R上是减函数，那么实数a的取值范围是（）

A．｜a｜＞1 B．｜a｜＜2

C．｜a｜＞3

D．1＜｜a｜＜2

x－

25、函数y＝a

＋1（a＞0，a≠1）的图象必经过点（）

B．（1，1）

C．（2，0）

D．（2，2）A．（0，1）

x6、函数y＝a在［0，1］上的最大值与最小值和为3，则函数y＝3ax－1在［0，1］上的最大值是（）

A．6

xB．1

C．3

D．

27、设f（x）＝()，x∈R，那么f（x）是（）

A．奇函数且在（0，＋∞）上是增函数

B．偶函数且在（0，＋∞）上是增函数

C．函数且在（0，＋∞）上是减函数

D．偶函数且在（0，＋∞）上是减函数

8、下列函数中值域为正实数的是（）

A．y＝512x1

2B．y＝()

31x

C．y＝()－1 12x

D．y＝1－2x

9、函数y＝ －x＋1＋2的图象可以由函数y＝（1x）的图象经过怎样的平移得到（）2A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位

10、在图中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝（bx）的图象只可为（）a

11、若－1＜x＜0，则不等式中成立的是（）

A．5＜5＜0.5xx－xxx x

B．5＜0.5＜5 D．0.5＜5＜

5x

－x

xx－xC．5＜5－＜0.5

x

二、填空题

12、函数y＝－2－x的图象一定过____象限．

x－113、函数f（x）＝a14、函数y＝3－x＋3的图象一定过定点P，则P点的坐标是___________．

与__________的图象关于y轴对称．

1x2115、已知函数f（x）＝()

3三、解答题

16、已知幂函数f（x）＝x，其定义域是____________，值域是___________．

13p2p22（p∈Z）在（0，＋∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p的值，并写出相应的函数f（x）．

对数函数的性质与图像

一、选择题

1、log5(a)2（a≠0）化简得结果是（）

B．a2

12A．－a

C．｜a｜

D．a

2、log7［log3（log2x）］＝0，则x

A．

等于（）

C．B．

12312

2D．

133

3、log

n1n（n＋1－n）等于（）

B．－1

C．2

D．－2 A．1

1)的定义域是（）

4、函数f（x）＝log1(x－ A．（1，＋∞）C．（－∞，2）

B．（2，＋∞），2] D．（15、函数y＝log1（x2－3x＋2）的单调递减区间是（）A．（－∞，1）C．（－∞，B．（2，＋∞）D．（3）

23，＋∞）

26、若2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，则

A．4

C．1或4

y的值为（）x

1B．1或

D．

47、若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）＝log2a（x＋1）满足f（x）＞0，则a的取值范围为（）

A．（0，C．（1）

2B．（0，1）21，＋∞）

D．（0，＋∞）228、函数y＝lg（－1）的图象关于（）

1－x

A．y轴对称

C．原点对称

B．x轴对称 D．直线y＝x对称

二、填空题

9、若logax＝logby＝－则xy＝________．

10、若lg2＝a，lg3＝b，则log512＝________．

11、若3＝2，则log38－2log36＝__________．

12、已知y＝loga（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是__________．

13、函数f（x）的图象与g（x）＝（单调递减区间为______．

14、已知定义域为R的偶函数f（x）在［0，＋∞］上是增函数，且f（则不等式f（log4x）的解集是______．

三、解答题

15、求函数y＝log1（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间．

31logc2，a，b，c均为不等于1的正数，且x＞0，y＞0，c＝ab，2a

1x）的图象关于直线y＝x对称，则f（2x－x2）的31）＝0，216、设函数f（x）＝23－2x＋lg，3x＋53＋2x

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；

（3）已知函数f（x）的反函数f1（x），问函数y＝f1（x）的图象与x轴有交点吗?

－

－

一次函数图像和性质教学设计说明 篇10

课程标准对这一节的要求：知识技能方面，理解直线y=kx+b与直线y=kx之间的位置关系;会画出一次函数的图象;掌握一次函数的性质。数学思考方面，通过一次函数图象归纳性质，体验数形结合法的应用;解决问题方面，通过一次函数图象和性质的研究，体会数形结合法在问题解决中的应用，并能运用性质、图象及数形结合法解决相关函数问题。情感态度方面，体会数与形的内在联系，感受函数图象的简洁美;在探究活动中渗透与他人交流、合作的意识和探究精神。本节课教学重点是：一次函数的图象和性质。难点是由一次函数的图象归纳得出一次函数的性质及对性质的理解。

本节课的设计思路是：通过6个活动，在复习正比例函数和一次函数的定义、正比例函数图象和性质的基础上，在同一个直角坐标系中描出正比例函数y=-6x和一次函数y=-6x+5的图象，通过让学生观察比较去体验两者之间的位置关系，得出一次函数的图象是一条直线，并且函数y=kx+b的图象实际是直线y=kx上所有点进行了平移的结果。因为两点确定一条直线，通过活动3明白要做出一次函数的图像只需要选取图象和坐标轴的两个交点坐标就可以了。从而达到掌握一次函数图象的画法的目的。然后在同一直角坐标系中画出四个k和b取不同值的一次函数的图象，进一步巩固一次函数图象的画法，同时观察k和b的变化引起直线位置和变化趋势的`变化，使得一次函数的性质这一教学重点自然浮出水面，水到渠成。再通过学生演板课后练习题，及时反馈教学效果，查缺补漏。设计一个思考题让学有余力的学生对常数b也有一个较为深入的认识。最后通过小结总结回顾学习内容养成整理知识的习惯。选作题设计目的是对作业进行分层要求，使“不同的学生在数学上得到不同的发展”。

一次函数图像和性质教学设计说明 篇11

关键词： 函数 单调性 有界性 奇偶性 周期性

函数，是高等数学的主要研究对象.函数的几何性质，是从数形结合的角度研究的.从高中数学到高等数学的过渡，学生必然首先接触函数及其性质.由于大学数学教材和中学数学教材面向的对象不同，对一些概念的叙述就存在一定的差别.对经历过高考的大学生来说，其应该对这些概念有一个宏观的把握，也可以结合“整体与局部”等哲学概念，对抽象的数学知识做一个概括的总结.而对高职高专的学生来讲，在不影响正确解题的前提下，概念要尽量简单、明了.

笔者根据多年的教学经验，参考大多数高职高专类学生熟知的教材，选用比较科学的定义，对函数的四种几何性质——单调性、有界性、奇偶性和周期性，做补充说明.

一、函数的单调性

定义1：设函数f（x）在区间I上有定义.对于I中的任意两数x■，x■，当x■f（x■）），则称函数f（x）在区间I上单调递增（或递减）.

1.单调性是函数在某个区间上的性质，是局部的.

这个区间可以是整个定义域，也可以是定义域内部的某个子区间.若函数f（x）在整个定义域D上都满足x■f（x■）），则称函数f（x）在定义域D上单调递增（或递减）.例如，f（x）=x■，在定义域（-∞，+∞）上都是单调增加的.

但是一般的函数在整个定义域上并不单调.此时，我们通常讨论函数的单调区间，即函数在每个定义区间上的单调性.例如，f（x）=x■-3x，在区间（-∞，-1）和（1，+∞）内单调递增，在区间（-1，1）内单调递减，在整个定义域（-∞，+∞）上不单调.

中学数学中的常见题型是讨论已知函数在某个区间上的单调性，而高等数学多是求已知函数的所有单调区间，讨论函数在整个定义域上的单调性，通常利用导数法来求.

2.各单调区间不能写成并集.

在用导数法求出函数的单调区间后，通常把几个单调性一致的区间并列写出来，用逗号或者“和”字连接，一般不能写成并集.

例如，f（x）=x■-3x的单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞），不能写成（-∞，-1）∪（1，+∞）.若不然，取x■=-■，x■=■∈（-∞，-1）∪（1，+∞），且x■f（x■），矛盾.

3.每个单调区间一般写成开区间形式.

函数在某一点不具有单调性，在单调区间端点的取值、是否有定义，都不影响区间内部函数的单调性.

初等函数在各个定义区间内都是连续的，在端点处若有意义，必左连续（或右连续）.此时，单调区间可以随之写成闭的.

例如，f（x）=x■-3x的单调递减区间（-1，1），可以写成（-1，1]，[-1，1），或[-1，1].

对于某些非初等函数，例如，f（x）=x■，x≠0，1，x=0.在（-∞，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增.虽然在x=0处有定义，但是两个单调区间都不能包含端点.

为避免此类错误，在没有严格要求的情况下，笔者建议单调区间统一写成开区间.

4.单调区间不能写成点的集合.

例如，f（x）=x■-3x的单调递减区间（-1，1），不能写成{x|-1

二、函数的有界性

定义2：设函数f（x）在区间I上有定义，如果存在正数M，对任意的x∈I，总有|f（x）|≤M，则称函数f（x）在区间I上有界，并称f（x）为区间I上的有界函数.否则，称函数f（x）在区间I上无界.

有界性是函数在某区间上的性质.有些函数在整个定义域内有界，例如，f（x）=sinx在定义域（-∞，+∞）内满足|sinx|≤1，是有界的.但有些函数只在某个区间内有界，例如，f（x）=e■在区间（-∞，0）内有界，但在定義域（-∞，+∞）内无界.一般来讲，连续函数在闭区间上是有界的.

函数的无界性可以用有界性的逆否命题来刻画，如下：

设函数f（x）在区间I上有定义，如果对任意的正数M，都存在一个x∈I，使得|f（x）|>M，则称函数f（x）在区间I上无界.

函数的单调性和有界性是函数在某个定义区间上的性质，都是局部的性质.

三、函数的奇偶性

定义3：设函数f（x）的定义域D关于原点对称.如果对任意一个x∈D，总有f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x）），则称函数f（x）为D上的偶函数（或奇函数）.否则，称为非奇非偶函数.

这里的D是函数的定义域，有的教材也说“设函数f（x）在对称区间D上有定义”，但这是不严谨的.因为有些函数的定义域只是一些离散的点的集合，并不能构成区间.

例如，函数y=■.

奇偶性是函数在整个定义域上的性质，是整体的.要求定义域D必须关于原点对称，这是函数成为奇函数或偶函数的必要条件.否则，函数为非奇非偶函数.

四、函数的周期性

定义4：设函数f（x）在D上有定义，如果存在非零常数T，使得对任意一个x∈D，总有x+T∈D，并且f（x）=f（x+T），则称f（x）为周期函数，T为这个函数的周期.若所有周期T中存在一个最小的正数，则称它为最小正周期.

有些中学教材给出的定义中，要求T为正数，一般高等数学只要求为T非零常数，可正可负.由于中学与大学教材定义不一样，对周期函数的定义域与周期理解就存在异议.按照一般大学数学教材，我们可以得到关于周期函数的结论：（1）定义域双侧无界.（2）周期T，有正周期必有负周期；有负周期必有正周期；有正周期不一定有最小正周期.此时周期函数的性质可变为：

（1）若T是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期；

（2）若T是f（x）的周期，则kT也是f（x）的周期，其中k是非零整数；

（3）若T■、T■是f（x）的周期，则T■+T■也是f（x）的周期；

（4）若T是f（x）的最小正周期，则f（x）的所有周期组成的集合为{t|t=kT，k∈Z，且k≠0}；

（5）若f（x）是周期函数，则f（x）的定义域一定是双侧无界的.

周期性是函数整个定义域上的性质，是整体的.这里要求定义域D必须是双侧无界的.在一般高职高专的数学教材中，所列周期函数都是三角函数.

奇偶性和周期性都是函数在整个定义域上的性质，是整体性质.

函数的单调性反映了函数图像的走势（上升或下降）；有界性体现的是函数值取值范围的有限性；奇偶性反映了函数的对称性（关于纵轴或者原点对称）；周期性体现了函数的重复性.其中，单调性和有界性是函数在某个区间上的局部性质，而奇偶性和周期性则是函数在整个定义域上的整体特征.从宏观上把握函数的几何性质，有利于数学思维的形成，也能顺利准确地解决一些实际问题.

参考文献：

[1]罗朝举.函数单调区间的求解误区与处理建议[J].新教育，2013（2）.

[2]张明国.函数奇偶性若干问题探讨[J].保山师专学报（自然科学版），1996.12，4（15）.

[3]王建国.浅谈周明函数的定义域特征[J].中学教研，1990，5.

[4]李喆等.浅谈周期函数两种定义的不一致性[J].数学教学研究，1997.5（81）.

[5]吉米多维奇.数学分析习题集（一）[M].济南：山东科技出版社，1980.

[6]刘严.新编高等数学（理工类）[M].大连：大连理工出版社，2012.

[7]罗国湘.经济数学基础[M].北京：高等教育出版社，2009.

一次函数图像和性质教学设计说明 篇12

关键词：探究式学习,分组合作,类比

传统的课堂以教师为中心、以知识传授为主要目的, 尤其是以凯洛夫提出的“复习—导入—讲授—巩固—作业”五环节长期统治着教学课堂。探究式学习打破了这种固定模式, 在教师的指导下, 以学生周围世界和实际生活为参照, 创设一定的情境, 以个人或小组合作的方式, 通过学生自主的讨论、探究等多种尝试活动, 最终解决问题。探究式课堂设计可分为“引入课题—小组合作—启发指导—反馈交流”, 整个过程中, 学生是课堂的主体, 教师起主导作用, 如果运用恰当将会充分调动学生学习的积极性、主动性和创造性, 生成精彩的课堂。

在数学课堂中, 探究式学习不仅体现了新课程的教学思想, 而且提高了学生自主思维的能力。本文以一堂公开课——《余弦函数的图像与性质》为例, 来谈谈探究式学习。

本次课堂设计分为三个探索。首先通过类比正弦函数的图像探索出余弦函数的图像, 接着通过观察得到的余弦函数的图像, 类比正弦函数得出性质的过程, 通过探索, 尝试归纳出余弦函数的性质, 最后通过得出的余弦函数的性质思考它能解决哪些问题。设计的初衷是学生参与课堂, 探究学习, 因此从形式上首先对全班学生进行了分组, 便于他们讨论和交流。具体课堂操作步骤如下:

一复习巩固, 引出图像

数学知识讲究严密的逻辑, 新旧知识环环相扣。因此, 在讲授新课前要帮助学生回忆和复习整理已学知识。为此, 我准备了《导学案》, 其中包含了正弦函数的图形和性质, 以及正弦和余弦相关联的诱导公式作为预备知识, 让学生先行进行练习, 使学生课前对这些知识进行回忆和整理。自主学习不仅体现在课堂, 在课前、课后都是如此, 它应该是贯穿于学生的整个学习过程。

这样一来, 在课堂开篇就从复习正弦函数的图像与性质入手, 由教师对这部分内容进行简单的知识梳理。这一环节是必不可少的, 因为这些知识与新授课相关, 它们是新知识余弦函数图像与性质的生长点。

二分组合作, 探究性质

在学生的求知欲被激发后, 引导学生观察余弦函数的图像, 这时需类比正弦函数得到性质的过程, 从定义域、值域、最值、奇偶性、单调性等方面入手, 通过学生的分组讨论, 归纳得出余弦函数性质。这个过程, 形在于学生分小组讨论, 神在于数学思维的传递, 即通过观察图像、类比正弦函数, 最终让学生自己整理、归纳得出余弦函数的性质。

在这个过程中, 学生在教师设计的问题中, 自觉地、全身心地投入到学习活动中, 用心思考, 真诚交流, 也许时而会感到困惑, 时而会感到喜悦, 但在跌宕起伏的情感体验中, 能自主地完成对知识的构建。在这样的教学过程中, 学生不仅对知识理解深刻到位, 而且创造着获取知识的方法, 体验着获取知识的愉悦, 从而使学生既能展示自己的个性和才能, 又能体验着集体智慧的力量。

三步步深入, 类比应用

在学生共同参与探究, 初步完成新知“内化”后, 教师可引导学生自己总结提炼一般性方法和规律, 并加以引申类比, 最终实现学生知识的迁移和运用能力。类比正弦函数的性质, 余弦函数的性质同样可以运用于求最值、奇偶性、单调性这三方面的问题, 最后通过具体问题来固化知识。

上完课后, 通过评课和讨论, 发现可以有更好的设计, 如采用任务驱动法将这三类问题分给几个小组, 每小组共同探讨完成一个, 形成竞争, 最终呈现学生的成果。这样更能激发学生热情, 发挥学生的主体性, 提高学生的参与度。

总之, 一堂好课的标准不是教师教了多少, 而是学生学了多少。教师教学设计和实践的环节不应该是怎么教, 而是让学生怎么学。教与学的转变, 恰恰是主体地位的转变。教师要能够通过巧妙的问题引导, 恰到好处的任务驱动, 让学生在教师的组织下全身心地投入课堂、参与课堂。

参考文献

[1]胡庆芳、贺永旺、杨利华等.精彩课堂的预设与生成[M].北京:教育科学出版社, 2007

[2]周广强.教师专业能力培养与训练[M].北京:首都师范大学出版社, 2007

一次函数图像和性质教学设计说明 篇13

一、教学内容

二次函数函数y=a(x－h)2＋k的图像和性质

二、教材分析

二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，在初中的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，学生已经基本掌握了二次函数的图象及一些性质，只是研究函数的方法都是按照函数解析式---定义域----图象----性质的方法进行的，基于这种情况，我认为本节课的作用是让学生借助于熟悉的函数来进一步学习研究函数的更一般的方法，即：利用解析式分析性质来推断函数图象。它可以进一步深化学生对函数概念与性质的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，站在新的高度研究函数的性质与图象。因此，本节课的内容十分重要。

三、学情分析

四、教学目标

1、知识与技能

使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。

2、过程与方法

会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3、情感态度价值观

让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。

五、教学重难点

重点：理解函数y=a(x－h)2＋k的性质以及图象与y=ax2的图象之间的关系

难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质

六、教学方法和手段

讲授法、小组讨论法

七、学法指导

讲授指导

八、教学过程

一、提出问题导入新课

1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?

(函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)2．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?这就是本节要学习得内容。

二、学习新知

1、画图：在同一直角坐标系中画出函数y=2(x－1)2与y=2xy=2(x－1)2＋1的图象，看看它们之间有何的关系? 在学生画函数图象时，教师巡视指导；

出示例3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质? 教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。

当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。

2：出示4(P10)

3、课堂练习：不画图像说说函数y=2(x－1)2－2与y=2(x－1)2的异同点

九、课堂小结

1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑? 2．谈谈你的学习体会。

十、作业布置

P33练习

十一、板书设计

22.1.3二次函数函数y=a(x－h)2＋k的图像和性质

三角函数的图像与性质 教案 篇14

教学目标

1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质．

2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、3．理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．

重点难点

重点是通过复习，能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点，特别是三角函数的周期性，是需要重点明确的问题．

难点是，在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化到四种三角函数上，才能进行研究，这就增加了问题的综合性和难度．

教学过程

三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题，要熟练、准确地掌握．特别是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点，在复习“三角函数的性质与图象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用．这样才能把性质理解透彻． 一、三角函数性质的分析 1．三角函数的定义域

这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在y轴上的角．

函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在x轴上的角．

(2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同． 例

1求下列函数的定义域：

π](k∈Z)．

形使函数定义域扩大． 的某些区间与-3≤x≤3的交集不空，这些区间可以通过k取特殊值得到．注意不要遗漏．

(3)满足下列条件的x的结果，要熟记(用图形更便于记住它的结果)．

是

[

]

所以选C． 2．三角函数的值域

(1)由|sinx|≤

1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是|cscx|≥

1、|secx|≥1．

(2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域． 常用的一些函数的值域要熟记．

③y=tanx+cotx∈(-∞，-2]∪[2，+∞)． 例

4求下列函数的值域：

(2)y=3cos2x+4sinx ①x∈R；

④x是三有形的一个内角．(3)y=cosx(sinx+cosx)；

(5)y=sin(20°-x)+cos(50°+x)．

若把上式中的sinx换成cosx，解法、答案均与上面相同．

sinx=0时，ymax=3，所以y∈[-4，3]；

(5)解法一

将cos(50°+x)变为sin(40°-x)，和差化积得 y=2sin(30°-x)·cos10°∈[-2cos10°，2cos10°]．

解法二

用正弦、余弦的两角和与差的公式展开，得 y=(sin20°cosx-cos20°sinx)+(cos50°cosx-sin50°sinx)=(sin20°+cos50°)cosx-(cos20°+sin50°)sinx =(sin20°+sin40°)cosx-(sin70°+sin50°)sinx =2sin30°·cos10°·cosx-2sin60°·cos10°·sinx

=2cos10°·sin(30°-x)∈[-2cos10°，2cos10°]．

评述

以上是求三角函数值域的几种基本情况，它们的共同点在于，经过三角变换，都要转化为四种基本三角函数的值域．

求tanβ的最大值．

解

α为锐角，tanα＞0，所以

3．三角函数的周期性

(1)对周期函数的定义，要抓住两个要点：

①周期性是函数的整体性质，因此f(x+T)=f(x)必须对定义域中任一个x成立时，非零常数T才是f(x)的周期．

②周期是使函数值重复出现的自变量x的增加值． 因为sin(2kπ+x)=sinx对定义域中任一个x成立，所以2kπ(k∈Z，k≠0)是y=sinx的周期，最小正周期是2π．

同理2kπ(k∈Z，k≠0)是y=cosx的周期，最小正周期是2π．

因为tan(kπ+x)=tanx对定义域中任一个x成立，所以kπ(k∈Z，k≠0)是y=tanx的周期，最小正周期是π．

同理kπ(k∈Z，k≠0)是y=cotx的周期，最小正周期是π．

(3)三角函数的周期性在三角函数性质中的作用

①函数的递增或递减区间周期性的出现，每一个三角函数，都有无数个递增或递减区间，这些递增区间互不连接，递减区间也互不连接．

②函数的最大、最小值点或使函数无意义的点周期性变化．

③因为三角函数是周期函数，所以画三角函数图象时，只须画一个周期的图象即可．

例6 求下列函数的周期：

上式对定义域中任一个x成立，所以T=π；

4．三角函数的奇偶性，单调性

研究函数的单调性，关键是求函数的单调区间．

[

]

A．②

B．①②

C．②③

D．①②③

原点不对称，所以函数①既非奇函数又非偶函数；②因为f(-x)=-f(x)，所

但是周期函数，T=2π．因此选C．

评述

在判定函数是奇函数或是偶函数时，一定要注意函数的定义域，一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称．因此对①，不能根据f(-x)+f(x)=0就判定①为奇函数．

原来的函数既不是奇函数，也不是偶函数．因此在研究函数性质时，若将函数变形，必须保持变形后的函数与原来的函数是同一个函数，例8

给出4个式子：①sin2＞cos2＞tan2；②sin2＞sin3＞sin4；③tan1＞sin1＞cos1；④cos1＞cos2＞cos3．正确的序号是______．

而(0，π)是y=cosx的递减区间，所以④正确．

例9

函数y=-cosx-sin2x在[-π，π)的递增区间是______．

评述

研究函数的性质首先要注意函数的定义域．

[

] A．是增函数

B．是减函数

C．可以取得最大值M

D．可以取得最小值-M

5．三角函数的图象

(1)画三角函数的图象应先求函数的周期，然后用五点法画出函数一个周期的图象．

(2)函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx

图象的对称中心分别为

∈Z)的直线．

例1

2画出下列函数在一个周期的图象：

解(1)T=π．

如图10．

(2)T=2π．如图11．

[

]

最大或最小值的即是，所以选A．

(4)三角函数图象的平移变换，伸缩变换．

一个周期的图象，则图象的解析式为______．

还可以这样研究：

二、综合题分析

例17

方程sinx=log20x根的个数是______．

分析

在同一坐标系中作出y=sinx、y=log20x的图象．

(2π，4π)，(4π，6π)中，两图象分别有1个、2个、2个交点，因此方程根的个数为5个．

例18

已知函数y=sinx·cosx

+sinx+cosx，求y的最大、最小值及取得最大、最小值时的x值．

解

令sinx+cosx=t．

(k∈Z)时，ymin=-1；

求：(1)函数的取值范围；

(2)函数的递减区间． 解

sin3x·sin3x+cos3x·cos3x

实数．

π](k∈Z)． 的最小正周期．

有一动点P，过P引平行于OB的直线交OA于Q，求△POQ面积的最大值及此时P点的位置．

解

如图13．

设∠POB=θ∈(0°，120°)，则∠QPO=θ．

能力训练

2．设θ是第二象限角，则必有

[

]

[

]

A．y=tanx

B．y=cos2x

4．函数f(cosC)=cos2C-3cosC，则f(sinC)的值域是

[

]

5．(1)函数y=cos(tanx)的定义域是______，值域是______；

(7)设a=tan48°+cot48°，b=sin48°+cos48°，c=tan48°+cos48°，d=cot48°+sin48°．将a，b，c，d从小到大排列的结果是______．

6．将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标扩大两倍，纵坐标不变，然 的图象完全相同，则函数y=f(x)的表达式是______．

7．(1)已知sinα+sinβ=1，则cosα+cosβ的取值范围是______；(2)已知3sin2α+2sin2β=2sinα，则sin2α+sin2β的取值范围是______． 8．求下列函数的周期：(1)y=cot2x-cotx；

(3)y=cos3x·cos3x-sin3x·sin3x．

9．求函数y=sin4x+cos4x-2cos2x的周期、最大值和最小值．

11．设f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)，求使f(x)为偶函数的充分必要条件．

数a的取值范围．

实数m的取值范围．

答案提示

1．B

2．C

3．D

4．B

(3)奇函数，R

(7)d-b=cot48°-cos48°=tan42°-sin42°＞0，所以d＞b；c-

7．(1)设cosα+cosβ=x，则(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=2+2cos(α

3]

11．sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ)=sin(x+θ)+sin(x-θ)

-2sinx·sinθ=2sinx·cosθ

cos(x+θ)-cos(x-θ)-sinθ=cosθ

14．设sinθ=t∈[0，1]，题目变成t2-2mt+2m+1＞0对t∈[0，1]

设计说明

三角函数的每一条性质都要求记忆和理解，每一个函数的图象也要求熟练掌握，因此在复习时，首先以一些小题为主，使学生把每一条性质都弄清楚．由于在研究性质时必然要涉及三角变换，而这一点对学生来说是难点，所以在复习时不要由于三角变换削弱了性质的复习．