高中数学圆锥曲线知识点总结（精选10篇）
一、考点（限考）概要：
1、椭圆：
（1）轨迹定义：
①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为：
；
②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。
用集合表示为：
（2）标准方程和性质：
；
注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
（3）参数方程：
3、双曲线：
（1）轨迹定义：
（θ为参数）；
①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为：
②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：
注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线：
（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为
：
（2）标准方程和性质：
①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；
②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致；
③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；
二、复习点睛：
1、平面解析几何的知识结构：
2、椭圆各参数间的关系请记熟 “六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
。则椭圆的
3、椭圆形状与e的关系：当e→0，c→0，椭圆→圆，直至成为极限位置的圆，则认为圆是椭圆在e=0时的特例。当e→1，c→a椭圆变扁，直至成为极限位置的线段也可认为是椭圆在e=1时的特例。
4、利用焦半径公式计算焦点弦长：若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB，A、B两点的坐标分别为，则弦长，此时
这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想。
5、若过椭圆左（或右）焦点的焦点弦为AB，则
；
6、结合下图熟记双曲线的：“四点八线，一个三角形”，即：四点：顶点和焦点；八线：实轴、虚轴、准线、渐进线、焦点弦、垂线PQ。三角形：焦点三角形。
7、双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。
8、双曲线的焦点到渐近线的距离为b。
9、共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别：三常数a、b、c中a、b不同（互换）c相同,它们共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为－1。
10、过双曲线点的情况如下：
外一点P（x,y）的直线与双曲线只有一个公共（1）P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；
（2）P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；
（3）P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；
（4）P为原点时不存在这样的直线；
11、结合图形熟记抛物线：“两点两线，一个直角梯形”，即：两点：顶点和焦点；两线：准线、焦点弦；梯形：直角梯形ABCD。
12、对于抛物线上
13、抛物线则有如下结论： 的点的坐标可设为的焦点弦（过焦点的弦）为AB，且，以简化计算；
，14、过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线；
15、处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法：即设 为曲线上不同的两点，是的中点，则可得到弦中点与两点间关系：
16、当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，即把直线方程代入曲线方程，消元后，用韦达定理求相关参数（即设而不求）；二是点差法，即设出交点坐标，然后把交点坐标代入曲线方程，两式相减后，再求相关参数。在利用点差法时，必须检验条件△＞0是否成立。
5、圆锥曲线：
（1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：为定点，d为点P到定直线的l 距离，e为常数，如图。，其中F
（2）当0＜e＜1时，点P的轨迹是椭圆；当e＞1时，点P的轨迹是双曲线；当e=1时，点P的轨迹是抛物线。
（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的、固有的性质，不因为位置的改变而改变。
①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上
ⅰ椭圆及双曲线：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；
ⅱ椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴为轴对称，关于中心为中心对称；
ⅲ抛物线的对称轴是坐标轴，对称中心是原点。
②定量：
（4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）
以焦点在x轴上的方程为例：
6、曲线与方程：
（1）轨迹法求曲线方程的程序：
①建立适当的坐标系；
②设曲线上任一点（动点）M的坐标为(x,y)；
③列出符合条件p(M)的方程f(x,y)=0；
④化简方程f(x,y)=0为最简形式；
⑤证明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上；
（2）曲线的交点：
一、我国高中数学圆锥曲线教学的现状
本文通过对笔者所在的中职院校的高中数学教学的圆锥曲线部分进行分析, 发现大部分学生对这一部分的教学掌握得并不是很好, 不能有效、准确地理解老师所讲解的知识点, 在实际的运算过程中也存在不能完整地理解题意的现象。本文将其主要问题从老师和学生两个方面进行剖析:
1.教师方面。对于高中教学来说, 圆锥教学是其整体教学中非常重要的一个方面, 在高考中通常以最后的压轴题出现。因此, 教师都会在这方面的教学中投入大量的精力。但是, 纵观现阶段的教学效果, 整体状况并不是很好, 特别是在新课程标准颁布之后, 大多数教师还是利用传统的教材内容进行教学。通过综合分析, 本文认为其原因主要在于教师的整体目标投向高考, 对这一部分知识点的讲解方面过于片面, 导致学生不能从整体上对圆锥曲线方面的知识点进行理解, 在做题中通常无法产生清晰的思路。除此之外, 现阶段我国的高中数学教学仍然采用传统的“填鸭式”的教学模式。教师在对学生的教学方面, 大多数都会沿用自己多年总结的教学经验和理论知识, 片面地对学生进行重点和难点的灌输;课后为学生布置大量的习题作业, 学生在没有完全对知识点进行理解的情况下做题, 会产生一定的抵抗情绪, 不利于学生学习自主性和能动性的培养。
2.学生方面。对于高中阶段的学生, 特别是中职教育的学生来说, 圆锥曲线部分是其整个高中数学学习中非常困难的一个部分, 运算的复杂性和教师教学方法的单一, 使学生在学习过程中尽管投入大量的精力, 但是仍然无法有效、准确地对知识点和做题方式进行掌握。笔者通过对若干高中班级的学生在圆锥曲线部分的学习情况进行总结分析, 认为学生在学习起来非常吃力, 并且无法取得很好的学习成果的原因主要有以下两点:首先, 圆锥曲线部分作为整体高中数学的重点, 本身就带有一定的难度, 学生在对这一部分进行学习之前, 就会产生一定的自卑心理, 缺乏学习的积极性和主动性, 认为自己无法学好这一部分的内容;其次, 圆锥曲线部分的学习会运用到许多复杂的解题思路和运算方式, 理解起来非常困难, 必须在对这一部分有着充分的整体认识的基础上进行。学生在解题的过程中, 往往会将眼光放在相对比较浅显的部分, 没有从更深的层次上对试题进行分析, 特别是大部分学生无法有效地掌握应用曲线和代入方程之间的关系, 导致其解题方向整体错误。
二、对现阶段我国高中圆锥曲线教学的若干建议
本文通过对现阶段我国高中圆锥曲线教学的相关理论知识的研究分析, 深入了解在新课程标准下教育部门对于圆锥曲线这一部分知识点的要求, 结合我国目前这一部分的教学状况和高中阶段学生的整体情况, 将改进建议总结为以下几个方面:
1. 充分了解新课程标准下圆锥曲线教学的新要求。本文通过对新旧教材的对比和研究了解到:新教材与传统旧教材的教学内容和教学点有着很大的不同, 教师想要完整地将这一部分的知识点讲解给学生, 就需要提前对这一部分进行深入细致的了解。在新的课程标准下, 除了传统的内容之外, 还增添了一些天文方面的知识点, 利用天文知识和卫星的运转轨迹引出要讲解的知识点。新教材除了对学生知识点的讲解之外, 更加注重对学生的认知能力和自学能力的培养。除此之外, 教材对于画圆的要求和数形结合方面也都有了新的要求, 需要教师方面对其进行注意, 帮助学生更好地认识和理解这一部分的学习内容, 更好地对这一部分的知识点进行掌握。
2.对学生的学习兴趣进行激发。学生作为整体教学活动的主要参与者, 在整体教学活动中发挥着重要的作用, 特别是在新课程实行之后, 更加注重对学生自主学习能力和认知能力的培养。因此, 想要从整体上改善高中阶段圆锥曲线教学的情况, 就应该将学生方面作为切入点, 从整体上提升学生的学习热情, 激发学生的学习兴趣。笔者认为:教师在对圆锥曲线部分进行教学的时候, 应该在自己充分掌握这一部分知识点的基础上, 改变传统的“填鸭式”的教学方法, 在课堂的教学中不断融入学生感兴趣的知识和学生们在日常生活中熟悉的事物和现象, 这样能够很好地调动学生们思考问题和回答问题的积极性, 在提升学生学习兴趣的同时, 也更加有利于学生对知识点的理解。
例如:在人教版高中数学二年级第一学期选修部分的第二章的《圆锥曲线与方程》部分的讲解过程中, 教师就可以充分地采用本文所提出的教学形式, 在对学生进行知识点的讲解之前, 先让学生对宇宙中地球和其他卫星的运转轨道进行思考和讨论, 启发学生对其整体运行轨道的规律进行总结分析, 并联想日常生活中也会出现的同样规律性的事物, 进而再提出圆锥曲线和运算方程的知识点。这样既能有效地帮助学生对这一知识点进行理解, 也可以加强其记忆, 在日后的试题中如果出现此类问题, 便于学生解答。
3.对传统的“填鸭式”的教学模式进行改革。本文通过对高中阶段的数学教学进行调查分析, 发现大多数院校的数学教师都会采用传统的“填鸭式”的教学模式去进行教学, 这样既不能很好地提升学生的学习积极性和主动性, 也得不到良好的教学效果。尤其是新课程实行之后, 多元化的教学内容更加不适应传统的教学方法, 经常会导致事倍功半的结果。因此, 想要改变高中圆锥曲线教学的现状, 就需要从根本上转变传统的“填鸭式”的教学方法, 倡导新型的教学模式。教师应该充分认识到学生作为教学活动的主体, 在整个的教学活动中占据着非常重要的地位, 教师在教学活动中扮演的是引导者, 主要作用是帮助和引导学生去进行自主学习。此外, 还应该彻底转变从前教师和学生之间不平等的地位关系, 建立相对平等的关系, 真正让学生感受到学习是一件快乐的事情。对于高中数学教学的圆锥曲线部分, 本身就具有一定的难度, 因此, 教师在为学生进行知识点的讲解的时候, 应该更加耐心和细致, 对于学生取得的进步, 哪怕只有一点点的进步, 教师也应该适当地对学生进行表扬。除此之外, 教师还应该创建一种更加和谐、轻松的教学氛围, 让每个学生都能充分地融入到这一教学活动中来, 营造一种良好的学习氛围。
例如, 教师在对人教版高中数学二年级第一学期选修部分的第二章的《圆锥曲线与方程》部分进行讲解的时候, 想要让学生充分地对这一知识点进行了解, 特别是对于这部分比较难的“圆锥曲线和直线相交”方面知识点的理解, 教师就可以采用更加清晰、明了的“韦达定理”对学生进行解释, 即ax2+bx+c=0;除此之外, 还可以引导学生找到整体的运算规律, 抓住圆锥曲线的切点、焦点、准线三者之间的关系进行运算, 这样能够使学生对知识点有全面和深入的理解。
4.加强对解题过程的讲解和演示力度。现阶段, 有很多教师在给学生进行知识点和试题的讲解过程中, 忽视了对于过程的演示, 特别是在新课程下, 大多数试题都需要教师为学生们进行演示解答。老师如果不能按照要求给学生演示, 就会导致学生在学习的过程中无法直观地了解整个试题的解题过程, 下次遇到这一类型的试题时, 还是没有办法自己独立地去完成。因此, 这就需要教师在这一方面投入更多的精力和时间, 在讲解试题的时候, 尽量做到将试题的解题过程和知识点进行完美的融合, 帮助学生理解和记忆。
例如, 教师在对人教版高中数学二年级第一学期选修部分的第二章《圆锥曲线与方程》这部分的课本例题进行讲解的时候, 就可以采用本文所介绍的这种形式。试题“椭圆A和点P (8, 3) 已知, B点和C点是通过与椭圆A相交所得出的两个点, 在B点和C点连成的直线上取点H, 请问点H的轨迹曲线的运算方程是什么?”对于学生来说, 刚刚接触圆锥曲线方程的他们无法深入地理解这道试题的含义, 对于解题方式也是一头雾水, 这就需要教师对其进行深入细致的教导工作。这道例题的难点就在于找到点H的运动方向和模式, 教师可以通过对运动点的运动方向进行分析的形式, 向学生充分展示整个解题过程, 帮助学生运用数据参数对试题进行理解。在确定好例题的选定参数和实际运动模式的情况下, 通过公式消除参数, 得出正确的结论。课后, 教师应该为学生布置一些与本知识点相关的试题, 但是试题的难度不宜过高, 帮助学生对知识点进行巩固和提高。
新课程实行之后, 大多数高中学校都进行了一定程度的教学改革。对于数学教学这部分来说, 一直都是学校的教学重点, 特别是圆锥曲线这一部分的内容, 学校也为其投入了大量的人力、物力和财力的支持, 但是现阶段仍然没有取得很好的成绩。本文主要针对新课程下我国高中数学圆锥曲线教学的现状进行了分析, 并提出了若干建议, 希望能对其以后的教学起到一定的促进作用。
参考文献
[1]鲍曼, 曲素荣, 濮安山, 王萍, 孙文英.高中数学教师教学策略结构的调查与研究[J].数学教育学报, 2003, (02) .
【关键词】高中数学 圆锥曲线 数学教学 教师 学生
中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2014.09.160
新课改之后，高中数学新课标对圆锥曲线教学提出了新的要求，其考查的分值和难度都有所提高。根据相关调查可知，数学教师和学生在高中数学圆锥曲线教学中都存在一些问题，如：高中教师的教学方法受到传统教学的束缚；数学教师的思维方式不能很好地适应新课改和学生的需要；由于圆锥曲线难度大，教师教学过程中让课堂枯燥、乏味，缺乏趣味性，让学生无兴趣和没有信心学习圆锥曲线知识；有的高中生害怕不能学好圆锥曲线，就不听课；有的学生受教师的特质的影响，不喜欢上圆锥曲线课等。这些问题的存在很大程度影响了圆锥曲线教学，如果我们要想将高中圆锥曲线教学水平提高，不仅需要数学教师做出完善，而且还需要高中生进行自我反思，进而提高高中数学圆锥曲线教学效果。本文将从研究高中圆锥曲线教学的意义、高中数学圆锥曲线教学的调查分析和优化高中数学圆锥曲线教学的策略等这三个方面进行分析。
一、研究高中圆锥曲线教学的意义
首先，圆锥曲线体现了高中解析结合的基本思想和方法。圆锥曲线的发现源于古希腊，古希腊的人将几何学与圆曲线密切结合起来，进而将几何性质推广。17世纪，笛卡尔发明了坐标系，这为代数法研究圆锥曲线奠定了条件。高中数学圆锥曲线教学内容是解析几何的重点，体现了解析几何的思想和方法。通过坐标系知识、曲线和方程来对圆锥曲线的代数方程和几何性质进行研究，这体现了数学中的“数性结合”的重要性。
其次，新课标的高中数学对圆锥曲线教学提出了明确的要求，对其教学有着推动作用。高中数学新课标对圆锥曲线有明确的教学内容，如：需要了解圆锥曲线的实际背景；根据圆锥曲线的相关过程，掌握其定义、标准方程和几何性质等；通过坐标法解决圆锥曲线的一些几何问题和实际问题；通过圆锥曲线的知识掌握数形结合的相关思想等。
再者，高考数学明确了圆锥曲线的教学要求。圆锥曲线在高考中所占的比例很大，是每年高考的重点题型。如：综合全国各省市的高考数学题可知，圆锥曲线考查的分值不低，考查的题型是选择题、填空题和解答题，解答题所占分值最高，这在高中数学教学中起着很重要的作用。
最后，探究圆锥曲线的教学策略，有利于提高高中数学教学效率。圆锥曲线教学是高中数学教学的核心部分，数学教师如何把握圆锥曲线的内容定位，如何设计和组织教学，提高学生的兴趣，将教学方法进行完善，教学方式多元化，将数学知识用丰富有趣的方式展现出来，这能够很好地促进学生对圆锥曲线的学习产生很大的积极性和主动性，进而优化高中圆锥曲线教学。
二、高中数学圆锥曲线教学的调查分析
首先，高中数学圆锥曲线教学中教师的调查分析。第一，高中数学教师对圆锥曲线内容的认识和态度分析。根据调查可知，大部分教师深刻认识到圆锥曲线内容教学的重要性，无论是从数学思维培养方面，还是从高考要求来看，数学教师对圆锥曲线的地位认识很充分，从而更有利于高中数学圆锥曲线教学的研究。然而，有的高中数学教师对圆锥曲线的学习思维方式有明确的思路，但是其对高中生数学知识的理解没有给予肯定的支持，对学生学习圆锥曲线缺乏信心。第二，高中数学教师对圆锥曲线教学的课堂要求和目标认定情况。根据调查可知，只有少部分数学教师认真读过课标对圆锥曲线内容的要求，大部分数学教师很少阅读过相关要求；少部分教师专研过教材中圆锥曲线的内容和相关例题，大部分教师都没有阅读过内容和例题等。高中数学教师用自己已有的知识经验对学生进行教学，缺乏对新课标和教材变化的认识，跟不上新版圆锥曲线内容的教学，不利于高中数学圆锥曲线教学水平的提高。第三，高中数学教师对圆锥曲线的教学方法和课堂策略不一致。根据相关调查可知，大部分教师采用传统的教学方法在讲授数学知识；很少有数学教师运用多媒体结合书本知识教学，不能有效地提高数学教学趣味性，不能很好地调动学生学习积极性和主动性；大部分教师很少学习与数学课程有关的“探究与发现”、“阅读和思考”、“信息技术应用”等方面的知识，不能有效地引导学生进行自我探索和自主学习，不利于激发学生学习圆锥曲线知识的兴趣，忽视了培养高中生数学专业素养的重要性。第四，高中数学教师在圆锥曲线教学中遇到的困难和疑惑。根据调查可知，大部分教师认为数学课时不够用、教学难度很难把握、没有进行定期的教学培训和指导等，这不利于高中数学教学；一般数学教师遇到教学困难时通过同时间的交流、自己想办法等，向上级请教的很少，这是一种不好的教学现象。经过分析可知，大部分高中生对解析几何圆锥曲线的认识不到位，不能将相关性质联系起来，不能做到量间的转换等。
其次，学生对高中数学圆锥曲线的态度和认识。培养学生正确的数学观是数学教育改革的目标之一。数学观念是学生进行学习的重要组成部分，其涉及到学生学习数学知识、性质和学习过程等方面的认识。根据相关调查可知，大部分学生对解析几何中圆锥曲线的方法没有归纳和总结，不知道如何总结这章节的数学思想；少数学生对圆锥曲线进行了预习，大部分学生对圆锥曲线的知识了解不多；大部分学生对圆锥曲线知识的学习排斥感很强烈，兴趣不高；大部分学生对高中圆锥曲线知识的学习情绪比较消极等。
三、优化高中数学圆锥曲线教学的策略
高中数学圆锥曲线教学是高中教师和学生面对的一个重要知识点，其不仅需要教师进行完善，而且还需要学生进行自我反思，进而优化高中数学教学效果。
首先，完善高中数学教师的相关不足。第一，数学教师应精心设置教学情境，激发学生学习数学的兴趣。第二，教师需引导学生主动探究知识，提高学生的数学思维品质。第三，数学教师积极让学生参与教学过程，提高其实践动手能力。第四，关注学生的思想动态，加强数学思想方法的渗透。第五，数学教师应注重丰富教学内容，强化学生的感官认知，吸引学生的上课注意力。
其次，加强学生对圆锥曲线知识的认识。如：让学生明确了解到高考考试的重难点；学生要学会自我调节，相信自己，增加学习解析几何的自信心等。
三角函数
1.正角、负角、零角、象限角的概念你清楚吗，若角的终边在坐标轴上，那它归哪个象限呢?你知道锐角与第一象限的角;终边相同的角和相等的角的区别吗?
2.三角函数的定义及单位圆内的三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的定义你知道吗?
3. 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗?
4. 你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角。 异角化同角，异名化同名，高次化低次)
5. 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是
6.你还记得某些特殊角的三角函数值吗?
7.掌握正弦函数、余弦函数及正切函数的图象和性质。你会写三角函数的单调区间吗?会写简单的三角不等式的解集吗?(要注意数形结合与书写规范，可别忘了)，你是否清楚函数的图象可以由函数经过怎样的变换得到吗?
解决不等式的有关问题：
(1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域.
f(x)(xA)的值域是[a，b]时，
不等式f(x)0恒成立的充要条件是f(x)max0，即b0;
不等式f(x)0恒成立的充要条件是f(x)min0，即a0.
f(x)(xA)的值域是(a，b)时，
不等式f(x)0恒成立的充要条件是b0;不等式f(x)0恒成立的充要条件是a0.
(2)证明不等式f(x)0可转化为证明f(x)max0，或利用函数f(x)的单调性，转化为证明f(x)f(x0)0.
简单随机抽样的定义：
一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。
解析几何
1.在用点斜式、斜截式求直线的方程时，你是否注意到不存在的情况?
2.用到角公式时，易将直线l1、l2的斜率k1、k2的顺序弄颠倒。
3.直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是。
4. 定比分点的坐标公式是什么?(起点，中点，分点以及值可要搞清)，在利用定比分点解题时，你注意到了吗?
5. 对不重合的两条直线
(建议在解题时，讨论后利用斜率和截距)
6. 直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为，但不要忘记当时，直线在两坐标轴上的截距都是0，亦为截距相等。
7.解决线性规划问题的基本步骤是什么?请你注意解题格式和完整的文字表达。
①设出变量，写出目标函数
②写出线性约束条件
③画出可行域
④作出目标函数对应的系列平行线，找到并求出最优解
8.三种圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质，椭圆与双曲线中的两个特征三角形你掌握了吗?
9.圆、和椭圆的参数方程是怎样的?常用参数方程的方法解决哪一些问题?
10.利用圆锥曲线第二定义解题时，你是否注意到定义中的定比前后项的顺序?如何利用第二定义推出圆锥曲线的焦半径公式?如何应用焦半径公式?
11. 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦。(想一想在双曲线中的结论?)
12. 在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零?椭圆，双曲线二次项系数为零时直线与其只有一个交点，判别式的限制。(求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行).
13.解析几何问题的求解中，平面几何知识利用了吗?题目中是否已经有坐标系了，是否需要建立直角坐标系?
正弦、余弦典型例题
1、在△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA的值为
2、已知α为锐角，且，则α的度数是A、30°B、45°C、60°D、90°
3、在△ABC中，若，∠A，∠B为锐角，则∠C的度数是()A、75°B、90°C、105°D、120°
4、若∠A为锐角，且，则A=()A、15°B、30°C、45°D、60°
一、直线与圆：
1、直线的倾斜角的范围是
在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，就叫做直线的倾斜角。当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0；
2、斜率：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα。
过两点（x1，y1），（x2，y2）的直线的斜率k=（y2-y1）/（x2-x1），另外切线的斜率用求导的方法。
3、直线方程：⑴点斜式：直线过点斜率为，则直线方程为，
⑵斜截式：直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为
4、，①∥，；②。
直线与直线的位置关系：
（1）平行A1/A2=B1/B2注意检验（2）垂直A1A2+B1B2=0
5、点到直线的距离公式；
两条平行线与的距离是
6、圆的标准方程：。⑵圆的一般方程：
注意能将标准方程化为一般方程
7、过圆外一点作圆的切线，一定有两条，如果只求出了一条，那么另外一条就是与轴垂直的直线。
8、直线与圆的位置关系，通常转化为圆心距与半径的关系，或者利用垂径定理，构造直角三角形解决弦长问题。①相离②相切③相交
9、解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用（如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形）直线与圆相交所得弦长
二、圆锥曲线方程：
1、椭圆：①方程（a>b>0）注意还有一个；②定义：|PF1|+|PF2|=2a>2c；③e=④长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c；a2=b2+c2；
2、双曲线：①方程（a，b>0）注意还有一个；②定义：||PF1|-|PF2||=2a<2c；③e=；④实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c；渐进线或c2=a2+b2
3、抛物线：①方程y2=2px注意还有三个，能区别开口方向；②定义：|PF|=d焦点F（，0），准线x=-；③焦半径；焦点弦=x1+x2+p；
4、直线被圆锥曲线截得的弦长公式：
5、注意解析几何与向量结合问题：1、，。（1）；（2）。
2、数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a・b，即
3、模的计算：|a|=。算模可以先算向量的平方
4、向量的运算过程中完全平方公式等照样适用：
三、直线、平面、简单几何体：
1、学会三视图的分析：
2、斜二测画法应注意的地方：
（1）在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy。画直观图时，把它画成对应轴ox、oy、使∠xoy=45°（或135°）；（2）平行于x轴的线段长不变，平行于y轴的线段长减半。（3）直观图中的45度原图中就是90度，直观图中的90度原图一定不是90度。
3、表（侧）面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h
⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h：
⑶台体①表面积：S=S侧+S上底S下底②侧面积：S侧=
⑷球体：①表面积：S=；②体积：V=
4、位置关系的证明（主要方法）：注意立体几何证明的书写
（1）直线与平面平行：①线线平行线面平行；②面面平行线面平行。
（2）平面与平面平行：①线面平行面面平行。
（3）垂直问题：线线垂直线面垂直面面垂直。核心是线面垂直：垂直平面内的两条相交直线
5、求角：（步骤――Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）
⑴异面直线所成角的求法：平移法：平移直线，构造三角形；
⑵直线与平面所成的角：直线与射影所成的角
四、导数：导数的意义-导数公式-导数应用（极值最值问题、曲线切线问题）
1、导数的定义：在点处的导数记作。
2、导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率
①k=f/（x0）表示过曲线y=f（x）上P（x0，f（x0））切线斜率。V=s/（t）表示即时速度。a=v/（t）表示加速度。
3、常见函数的导数公式：①；②；③；
⑤；⑥；⑦；⑧。
4、导数的四则运算法则：
5、导数的应用：
（1）利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导，如果，那么为增函数；如果，那么为减函数；
注意：如果已知为减函数求字母取值范围，那么不等式恒成立。
（2）求极值的步骤：
①求导数；
②求方程的根；
③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负，那么函数在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数在这个根处取得极小值；
（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：
∏蟮母；把根与区间端点函数值比较，最大的为最大值，最小的是最小值。
五、常用逻辑用语：
1、四种命题：
⑴原命题：若p则q；⑵逆命题：若q则p；⑶否命题：若p则q；⑷逆否命题：若q则p
注：1、原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。判断命题真假时注意转化。
2、注意命题的否定与否命题的区别：命题否定形式是；否命题是。命题“或”的否定是“且”；“且”的否定是“或”。
3、逻辑联结词：
⑴且（and）：命题形式pq；pqpqpqp
⑵或（or）：命题形式pq；真真真真假
一次函数，也作线性函数，在x，y坐标轴中可以用一条直线表示，当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值。
函数的表示方法
列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
一次函数的性质
一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，且k≠0)，那么y叫做x的一次函数，当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数
注：一次函数一般形式y=kx+b(k不为0)
a)k不为0
b)x的指数是1
c)b取任意实数
建构主义学习观认为, 学习是学生自己的事, 是学生自我构建自身知识体系的过程, 而不是像旧有教学模式主张的教师单向知识灌输、学生被动接受的过程.这种教育教学理念与当前高中课改“教师是主导, 学生是主体”的教育观点不谋而合. 但是, 在实际的课堂教学过程中, 教师如何实施探究式教学、创新性教学, 如何有效的帮助学生体验、感悟知识的的产生及发展脉络却并非轻而易举之事. 本文在建构主义学习观的指导下, 结合自身教学经验, 以课堂教学时间为序, 分别引入认知冲突情景、设置问题研究、师生交流互动、开展理性练习四部分探讨高中数学“曲线方程”一课的教学设计.
一、导入认知冲突, 激发学生兴趣
教师在教学活动中必须善于导入认知冲突情景, 明确认知矛盾, 才能够有效地诱发学生认知冲突, 激发学生学习兴趣, 从而提高学生认知水平. 在“曲线与方程”一课开始时, 笔者引入了一个与我们生活紧密相关的情景问题“地球周期性绕日运动的运行轨迹是什么?它的形状该如何描述?”. 此时的学生注意力较为集中, 并表现出强烈的兴趣和求知欲. 接着笔者用画图软件模拟了地球绕日运动的轨迹, 学生对这轨迹有了直观的感受———椭圆曲线, 并对曲线的概念有了第一次的认知冲突 ( 动点的运行轨迹) . 随后, 笔者应用多媒体技术, 演示现实生活中曲线范例, 并问学生: “点做一定运动就形成曲线, 与坐标的变动形成的方程有什么关系?”的问题, 诱发第二次认知冲突, 从而点出“曲线与方程”的学习课题. 通过设置问题情境, 诱发认知冲突, 不仅让课堂生动有趣, 活泼开放, 更达到了激发学生学习兴趣、明了学习内容、积极主动思考联想的目的, 为学生深入学习打好了基础.
二、设置问题研究, 强化自主学习
有了以上的情境导入后, 还需要通过具有一定挑战性的问题对比研究以刺激学生的思维, 诱导激励学生主动开动脑, 同时给予学生思考和探讨的自主权, 引导学生发现规律. 在这一阶段, 可以设置以下三个问题供学生进行研究, 注意理清三者之间的关系.
( 1) 方程x - y = 0 的解与第一、二象限角平分线上的点的关系;
( 2) 过点A ( 2, 0) 平行于y轴的直线l上的点与方程| x | = 2 的解.
( 3) 到横纵轴距离相等的点的轨迹与方程y = x图象的关系.
学生独立自主地研究了上面三个问题之后, 各抒己见, 再经过与学生的反复讨论, 在教师的指导下形成一致的结论. 笔者设置的情景问题达到了以下几个教学目标: (1) 让学生通过观察和对比研究, 初步领悟方程与曲线可能出现的几种关系. (2) 培养学生独立自主、合作探讨知识的能力. (3) 培养学生由特殊到一般去认识和分析问题的能力.
三、师生交流互动, 促进概念生成
课堂上, 师生之间的交流互动是必不可少的教学环节
教学相长, 对相关问题交流探讨, 不仅有利于学生尽快形成数学知识体系, 也有助于培养师生之间的团结协作精神.比如, 在此阶段笔者提出:曲线上点的坐标与以方程的解为坐标的点, 它们之间的关系有几种情形?在教学的前一阶段, 学生经过独立探索和自由讨论已经对此有了一定的认识.再经过教师的引导, 互相交流沟通, 可以把这一问题更加清晰地呈现在学生面前.在实际教学过程中学生已基本能够独立的把方程与曲线的关系归纳成下面三种情况: (1) 曲线上的点与以方程的解为坐标的点完全对应. (2) 曲线上的点与以方程的解为坐标的点不完全对应. (3) 曲线上的点与以方程的解为坐标的点完全不对应.这样, 经过老师的有效引导, 学生共同分析和归纳, 学生对“曲线与方程”的各种情形就有了更加清楚的认识, 而且, 学生自主归纳和处理相关信息而产生的知识, 要比老师的灌输教育更具体更深刻, 教学效果要好得多.
传统的教育教学, 大多采用教师反复讲学生反复练的概念传授模式.这种方法固然能够让学生掌握住概念, 但机械繁琐的讲练十分单调无趣, 且限制了学生的创造思维.在讲“曲线与方程”这一课时, 笔者提问“上述情形中, 哪一种最有科学研究价值?”, 学生很快就能基本正确对信息做出判断, 这主要归功于前边所做的一系列铺垫.
四、开展理性联系, 生成知识结构
教师的练习题设置有以三个层次:一是简单曲线概念的运用, 例如判断某曲线是否为方程曲线;二是运用曲线方程的知识去解决相关练习题;三是探索性练习.比如引导学生发现实际生活中曲线方程的应用.问题设置的多层次可满足不同学生的学习需求, 有利于学生自我发展的实现.
最后, 教师应总结归纳所学内容, 指导学生构建自己的知识网络, 并进行理性评价.这种方法既突出了老师的主导作用又强调了学生的自我探索, 不仅教学效果良好, 而且培养了学生的创新意识和创新能力, 值得提倡和推广.
参考文献
[1]王翠銮.几何画板在高中数学教学中的应用[J].中国教育技术装备, 2012 (4) .
关键词：高中数学；圆锥曲线；学习障碍
一、高中生圆锥曲线学习障碍问卷调查
笔者选取我校高三理科班学生进行圆锥曲线学习情况的调查，问卷调查的目的是了解学生圆锥曲线学习的障碍、成因以及影响学习水平的制约因素，并在此基础上探寻有效方案，提升学生的学习能力和数学成绩。此次问卷调查的内容主要包括兴趣、态度、信心、自我评价、学习习惯、教学方式、课后学习情况、对圆锥曲线学习障碍的自我认知等。问卷调查结果显示，多数学生在学习圆锥曲线时存在畏惧情绪，虽兴趣一般，但不排斥，学生缺乏超前意识，学前准备不充分，课堂学习存在较大的依赖性和懒惰性；而在教师的教学方法方面，多数学生表示课堂教学方式单一，过分强调重复练习。此外，学生在课后作业上存在虚假性，复习巩固不到位，对学习过程中的障碍缺乏认知。
二、关于圆锥曲线学习障碍的测试分析
对高三理科学生进行圆锥曲线学习障碍测试的目的在于发现学生在解此类问题时产生的错误，以寻求解决方法。测试以圆锥曲线题型解答为主要方式，尽量避免“傻瓜题”、过难、过偏题。测试内容主要包括圆锥曲线定义的理解与运用、圆锥曲线的方程与简单几何性质、圆锥曲线背景下运用代数手段解决几何问题的能力、圆锥曲线与直线相交、圆锥曲线定值定点等问题。测试结果发现，学生对于圆锥曲线的定义记忆较为准确，但理解和运用存在一些障碍；对圆锥曲线的基本运算能力欠缺，运算心理存在障碍，运算方法不当，运算工具过度使用，运算习惯有待改进；在圆锥曲线思想方法的学习上，缺乏数形结合思想，缺乏化归思想，缺乏分类讨论思想，缺乏归纳猜想思想。
三、应对高中圆锥曲线学习障碍的教学策略
1.关注学习情感，克服恐惧心理
数学学习情感是指因学习数学而产生的种种内心体验，这是提升学生学习数学兴趣与自信的基础。教师在强调教学效果的同时，注重学生学习过程的内心体验。教师可通过创设合理的教学情境来激发学生的学习兴趣，使用恰当的幽默艺术与合理的信息技术帮助学生将抽象的知识具象化。为克服学生在学习圆锥曲线上的自信心障碍，教师应努力帮助学生体验成功，客观评价学生成绩，随时关注学生的学习过程，加强师生交流，增进情感纽带。
2.打好知识基础
教师应遵循循序渐进的原则，借助现代教育技术给学生创设实践操作机会，引领学生一起参与探究，加深对圆锥曲线的理解和掌握。在学习圆锥曲线的定义时，教师可展示生活中的实例或利用多媒体技术演示圆锥曲线的形成过程，加深理解，并引导学生参与操作，促进学生思考。在教学过程中教师要注意讲练结合，形成数学“实体”。
3.着眼多个角度提高运算能力
良好的運算能力是学生学习圆锥曲线的基本功。调查发现，学生的运算能力存在一定障碍，造成障碍的原因有多方面的。因此，高中数学教师在教学中应针对这些因素制订适合的教学策略。在圆锥曲线解题教学中，教师应严格规范解题运算过程，示范典型范式，要求学生运算过程完整，这样能够避免运算过程中的“粗心”“不小心”等现象；某些学生出现“低级”运算错误，常是因为考试紧张，教师可组织仿真限时训练并当采用堂讲评的方法提升运算成功率；运算习惯上，严格要求学生重视解题细节，养成仔细审题、善用草稿纸、适度运用计算器的习惯；在运算方法方面，培养学生的简化意识，积累多种运算方法，养成整体结构意识、极端情形意识等意识。
4.采取针对措施培养思想方法
对于学生思想方法方面的障碍，教师要在日常教学中渗透数学思想方法，培养学生的作图习惯，彰显数形结合思想，帮助学生提升数形结合转化能力。在解题过程中，教师还需要积极引导学生提升化归思想，解决学生读不懂题目、思维不畅等障碍。此外，在日常教学与练习中引导学生克服定式思维，选择合适的题型训练学生“化整为零、积零为整”的解题思想。
5.提高元认知水平，转变学习方式
元认知是个体对自我的认知过程和结果的意识与监控，教师将元认知运用于教学策略中，可以帮助学生自我反思，促进自我评价，完善自我调节，克服学习障碍。学生在高中数学圆锥曲线学习过程中，应明确学习目标，制订合理的计划，重视自我监控，提高自主能力。教师需要适当掌握一些自我监控的策略，特别要对学生的学习方法进行针对性的指导，调动和挖掘学生自身的潜力，提升他们的自主意识。
参考文献：
[1]张莉.高中圆锥曲线的探究式教学研究[D].烟台：鲁东大学，2016.
[2]柳秀红.高中学生数学思维障碍的成因及突破[J].成功（教育），2013（24）.
高中数学二项分布知识点总结: 二项分布：就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布。
高中数学离散型随机变量的方差知识点总结: 离散型随机变量的方差：刻画随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度。
高中数学正态分布知识点总结: 正态分布：是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2)。
高中数学平均数，方差，标准差知识点总结:平均数，方差，标准差：样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。
高中高一数学下册复习教学知识点归纳总结
数学平时的积累很重要，但做好知识梳理也是必不可少的。半期考是进入高中学习生活的第一次大考，更应做好充分的准备，最好要提前两周复习。
首先，要学会串联知识点。高中试题一般不会只考你一个知识点，而是许多知识点的融合，应有联系地思维；
其次，要学会归纳方法，做到以不变应万变。有些题目只是数据上的改动而已，方法是相通的；
再次，要适当地做些专项练习来进行巩固和提高。同学们平时要建立自己的错题库，在考试之前要特别翻看错题，一些成绩好的学生，都习惯在考前把错题再做一遍。
一切准备好之后，考试的临场发挥也很关键，所以考试时同学们一定不要太紧张，更要认真完成每一试题，特别是基础题应做到不失分，这样才可考出较好成绩。
学习有招提高能力过好三关
很多同学反映，高一数学比初中难太多了，一时无法适应，这主要是因为初高中数学有很大的不同：一是初中的数学一堂课的知识点少，内容较简单；而高中数学的内容，特别是新课程实施以后课堂容量大，联系知识点多，往往一个概念就有文字语言、符号语言和图形语言三种身份。二是方法上的差异。高中数学始终贯穿的是学习方法，对学习能力的要求较高。
针对这些情况，同学们要怎么学？总的来说，可以从三方面破解：
一、做好预习关，学会“看”和“做”。
平时老师上课之前要先预习好，甚至超前预习一两个模块。只有预习好了，心里才有底。预习的要领是两个字，“看”和“做”，即先看课本，看完课本之后，要适当地做些练习，争取掌握大部分的内容。
二、重视听课关，强调“思、记、讲”。
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初中的数学课堂对题目演练较多，而高中的数学课堂对学生的要求就不一样了。首先，要带着问题去思考，最好是结合预习的情况有选择性地思考，这是听课最为重要的一环；其次，要学会记。高中数学的容量大，相对比，初中一节课才讲一个类型的内容，而高中一节课就得上六七个类型，一堂课联系的知识点也多，所以需要学生及时记忆所学的东西；再次，要能讲。有些东西要能说得出来才掌握得更好，才能跟老师合拍，思维跟得上，同时也有助于培养自己的课堂注意力。
三、拿下作业关，侧重“做、练、查、结”。
要拿下作业关，首先是“查”。由于现在学生做的习题很多不是课本上的原题，做作业之前，同学们要查找参考书，看上面的例题和解题方法，学会自学；其次，要保证一定量的练习，初中可能只要求做两三道题就可以了，可是高中可能就要求你做十来题了，要保证一定量的练习，才有举一反三之效；再次，做完作业后，要学会总结。在高容量的高中阶段，一节课、一周的课过后，都要进行小结，适时地总结自己的学习进程。
高中高一数学必修1各章知识点总结
第一章集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：
1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性
说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，中国首家中小学在线学习会员制服务平台
仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a?A
列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}
4、集合的分类：
1．有限集含有有限个元素的集合
2．无限集含有无限个元素的集合
3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝
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二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”
结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B
①任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)
③如果A?B,B?C,那么A?C ④如果A?B同时B?A那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．
记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或
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x∈B}．
3、交集与并集的性质：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪φ=A,A∪B=B∪A.4、全集与补集
（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
记作：CSA即CSA={x?x?S且x?A}
（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
（3）性质：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U
二、函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
注意：○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.中国首家中小学在线学习会员制服务平台
(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。
3.函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．
C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}
图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2)画法
A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法（请参考必修4三角函数）
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常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用：
1、直观的看出函数的性质；
2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。
发现解题中的错误。
4．快去了解区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．
5．什么叫做映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”
给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6．常用的函数表示法及各自的优点：
○1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；○2解析法：必须注明函数的定义域；○3图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；○4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
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注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值
补充一：分段函数（参见课本P24-25）
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
补充二：复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)称为f、g的复合函数。
例如:y=2sinXy=2cos(X2+1)
7．函数单调性
（1）．增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 ○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1 （2）图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A)定义法： ○1任取x1，x2∈D，且x1 (B)图象法(从图象上看升降)_ (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下： 函数单调性 u=g(x)增增减减 y=f(u)增减增减 y=f[g(x)]增减减增 注意： 1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？ 8．函数的奇偶性 （1）偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． （2）．奇函数 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 ○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． （3）具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数． 注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定.9、函数的解析表达式 （1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x) 10．函数最大（小）值（定义见课本p36页） ○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○2利用图象求函 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 数的最大（小）值○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 第二章基本初等函数 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根（nthroot），其中>1，且∈*． 当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．此时，的次方根用符号表示．式子叫做根式（radical），这里叫做根指数（radicalexponent），叫做被开方数（radicand）． 当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号－表示．正的次方根与负的次方根可以合并成±（>0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。 注意：当是奇数时，当是偶数时，2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 3．实数指数幂的运算性质 （二）指数函数及其性质 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数（exponentialfunction），其中x是自变量，函数的定义域为R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 a>10 图象特征函数性质 向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R 图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数 函数图象都在x轴上方函数的值域为R+ 函数图象都过定点（0，1） 自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1 图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢； 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a，b]上，值域是或； （2）若，则；取遍所有正数当且仅当； 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 （3）对于指数函数，总有； （4）当时，若，则； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（—底数，—真数，—对数式） 说明：○1注意底数的限制，且； ○2； ○3注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○1常用对数：以10为底的对数； ○2自然对数：以无理数为底的对数的对数． 2、对数式与指数式的互化 对数式指数式 对数底数←→幂底数 对数←→指数 真数←→幂 （二）对数的运算性质 如果，且，，那么： ○1?＋； 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 ○2－； ○3． 注意：换底公式 （，且；，且；）． 利用换底公式推导下面的结论（1）；（2）． （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。 如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○2对数函数对底数的限制：，且． 2、对数函数的性质： a>10 函数图象都在y轴右侧函数的定义域为（0，＋∞） 图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数 向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R 函数图象都过定点（1，0） 自左向右看，中国首家中小学在线学习会员制服务平台 图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数 第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大于0 第二象限的图象纵坐标都小于0第二象限的图象纵坐标都小于0 （三）幂函数 1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数． 2、幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 第三章函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即： 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 3、函数零点的求法： 求函数的零点： 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 ○1（代数法）求方程的实数根； ○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、二次函数的零点： 二次函数． １）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点． ２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． ３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点． 高中数学知识口诀 根据多年的实践，总结规律繁化简；概括知识难变易，高中数学巧记忆。 言简意赅易上口，结合课本胜一筹。始生之物形必丑，抛砖引得白玉出。 一、《集合与函数》 内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。 复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。 指数与对数函数，两者互为反函数。底数非１的正数，１两边增减变故。 函数定义域好求。分母不能等于０，偶次方根须非负，零和负数无对数； 正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。 两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，Ｙ＝Ｘ是对称轴； 求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。 二、《三角函数》 三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。 同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割； 中心记上数字１，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。 计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。 逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。 万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用； １加余弦想余弦，１减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范； 三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围； 利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集； 三、《不等式》 解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。 高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 证不等式的方法，实数性质威力大。求差与０比大小，作商和１争高下。 直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。 还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图建模构造法。 四、《数列》 等差等比两数列，通项公式Ｎ项和。两个有限求极限，四则运算顺序换。 数列问题多变幻，方程化归整体算。数列求和比较难，错位相消巧转换，取长补短高斯法，裂项求和公式算。归纳思想非常好，编个程序好思考： 一算二看三联想，猜测证明不可少。还有数学归纳法，证明步骤程序化： 首先验证再假定，从Ｋ向着K加１，推论过程须详尽，归纳原理来肯定。 五、《复数》 虚数单位ｉ一出，数集扩大到复数。一个复数一对数，横纵坐标实虚部。 对应复平面上点，原点与它连成箭。箭杆与Ｘ轴正向，所成便是辐角度。 箭杆的长即是模，常将数形来结合。代数几何三角式，相互转化试一试。 代数运算的实质，有ｉ多项式运算。ｉ的正整数次慕，四个数值周期现。 一些重要的结论，熟记巧用得结果。虚实互化本领大，复数相等来转化。 利用方程思想解，注意整体代换术。几何运算图上看，加法平行四边形，减法三角法则判；乘法除法的运算，逆向顺向做旋转，伸缩全年模长短。 三角形式的运算，须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方开方极方便。 辐角运算很奇特，和差是由积商得。四条性质离不得，相等和模与共轭，中国首家中小学在线学习会员制服务平台 两个不会为实数，比较大小要不得。复数实数很密切，须注意本质区别。 六、《排列、组合、二项式定理》 加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。 两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。 排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。 不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。 关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。 七、《立体几何》 点线面三位一体，柱锥台球为代表。距离都从点出发，角度皆为线线成。 垂直平行是重点，证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。 方程思想整体求，化归意识动割补。计算之前须证明，画好移出的图形。 立体几何辅助线，常用垂线和平面。射影概念很重要，对于解题最关键。 异面直线二面角，体积射影公式活。公理性质三垂线，解决问题一大片。 八、《平面解析几何》 有向线段直线圆，椭圆双曲抛物线，参数方程极坐标，数形结合称典范。 笛卡尔的观点对，点和有序实数对，两者—一来对应，开创几何新途径。 两种思想相辉映，化归思想打前阵；都说待定系数法，实为方程组思想。 三种类型集大成，画出曲线求方程，给了方程作曲线，曲线位置关系判。 四件工具是法宝，坐标思想参数好；平面几何不能丢，旋转变换复数求。 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 解析几何是几何，得意忘形学不活。图形直观数入微，数学本是数形学。 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径 余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角 弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r 乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 判别式 b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根 b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根 b2-4ac<0注：方程没有实根，有共轭复数根 降幂公式 （sin^2）x=1-cos2x/2 （cos^2）x=i=cos2x/2 万能公式 令tan(a/2)=t sina=2t/(1+t^2) cosa=(1-t^2)/(1+t^2)tana=2t/(1-t^2) 一、集合与简易逻辑： 一、理解集合中的有关概念 （1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性。 集合元素的互异性：如：，求； （2）集合与元素的关系用符号，表示。 （3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集、；整数集；有理数集、实数集。 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 （4）集合的表示法：列举法，描述法，韦恩图。 注意：区分集合中元素的形式：如：；；；；； ； （5）空集是指不含任何元素的集合。（、和的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 注意：条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。 如：，如果，求的取值。 二、集合间的关系及其运算 （1）符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系； 符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。 （2）；； （3）对于任意集合，则： ①；；； ②；； ；； ③；； （4）①若为偶数，则；若为奇数，则； ②若被3除余0，则；若被3除余1，则；若被3除余2，则； 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 三、集合中元素的个数的计算： （1）若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是。 （2）中元素的个数的计算公式为：； （3）韦恩图的运用： 四、满足条件，满足条件，若；则是的充分非必要条件； 若；则是的必要非充分条件； 若；则是的充要条件； 若；则是的既非充分又非必要条件； 五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的； 注意：“若，则”在解题中的运用，如：“”是“”的条件。 六、反证法：当证明“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若则”成立，步骤： 1、假设结论反面成立； 2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾； 3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。 矛盾的来源： 1、与原命题的条件矛盾； 2、导出与假设相矛盾的命题； 3、导出一个恒假命题。 适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。 正面词语等于大于小于是都是至多有一个 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 否定 正面词语至少有一个任意的所有的至多有n个任意两个 否定 二、函数 一、映射与函数： （1）映射的概念：（2）一一映射：（3）函数的概念： 如：若，；问：到的映射有个，到的映射有个；到的函数有个，若，则到的一一映射有个。 函数的图象与直线交点的个数为个。 二、函数的三要素：。 相同函数的判断方法：①；②(两点必须同时具备)（1）函数解析式的求法： ①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法： （2）函数定义域的求法： ①，则；②则； ③，则；④如：，则； ⑤含参问题的定义域要分类讨论； 如：已知函数的定义域是，求的定义域。 ⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则； 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 定义域为。 （3）函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 求下列函数的值域：①（2种方法）； ②（2种方法）；③（2种方法）； 三、函数的性质： 函数的单调性、奇偶性、周期性 单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。 判定方法有：定义法（作差比较和作商比较） 导数法（适用于多项式函数） 复合函数法和图像法。 应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x)与f(-x)的关系。f(x)－f(-x)=0f(x)=f(-x)f(x)为偶函数； f(x)+f(-x)=0f(x)=－f(-x)f(x)为奇函数。 判别方法：定义法，图像法，复合函数法 应用：把函数值进行转化求解。 周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。 其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期.应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。 四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。 常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考） 平移变换y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b 注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数y＝f(2x)经过平移得到函数y＝f(2x＋4)的图象。 （ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量（m，n）平移的意义。 对称变换y=f(x)→y=f(－x),关于y轴对称 y=f(x)→y=－f(x),关于x轴对称 y=f(x)→y=f|x|,把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称 y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 称。（注意：它是一个偶函数） 伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx)，y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。 一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称； 如：的图象如图，作出下列函数图象： （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6）； （7）；（8）； （9）。 五、反函数： （1）定义： （2）函数存在反函数的条件：； （3）互为反函数的定义域与值域的关系：； （4）求反函数的步骤：①将看成关于的方程，解出，若有两解，要注意解的选择；②将互换，得；③写出反函数的定义域（即的值域）。 （5）互为反函数的图象间的关系：； （6）原函数与反函数具有相同的单调性； （7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 如：求下列函数的反函数：；； 七、常用的初等函数： （1）一元一次函数：，当时，是增函数；当时，是减函数； （2）一元二次函数： 一般式：；对称轴方程是；顶点为； 两点式：；对称轴方程是；与轴的交点为； 顶点式：；对称轴方程是；顶点为； ①一元二次函数的单调性： 当时：为增函数；为减函数；当时：为增函数；为减函数； ②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为的形式，Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则 时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得； 时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则 时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得； 时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； 有三个类型题型： (1)顶点固定，区间也固定。如： 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 (2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。 (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数． ③二次方程实数根的分布问题：设实系数一元二次方程的两根为；则： 根的情况 等价命题在区间上有两根在区间上有两根在区间或上有一根 充要条件 注意：若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，在令和检查端点的情况。 （3）反比例函数： （4）指数函数： 指数运算法则：；。 指数函数：y=(a>o,a≠1)，图象恒过点（0，1），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0 （5）对数函数： 指数运算法则：；；； 对数函数：y=(a>o,a≠1)图象恒过点（1，0），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0 注意：（1）与的图象关系是； （2）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，中国首家中小学在线学习会员制服务平台 若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。 （3）已知函数的定义域为，求的取值范围。 已知函数的值域为，求的取值范围。 六、的图象： 定义域：；值域：；奇偶性：；单调性：是增函数；是减函数。 七、补充内容： 抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型： ①正比例函数 ②；； ③；； ④； 三、导数 1．求导法则： (c)/=0这里c是常数。即常数的导数值为0。 (xn)/=nxn－1特别地：(x)/=1(x－1)/=()/=－x-2(f(x)±g(x))/=f/(x)±g/(x)(k?f(x))/=k?f/(x) 2．导数的几何物理意义： k＝f/(x0)表示过曲线y=f(x)上的点P(x0,f(x0))的切线的斜率。 V＝s/(t)表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。 3．导数的应用： 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 ①求切线的斜率。 ②导数与函数的单调性的关系 一与为增函数的关系。 能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。 二时，与为增函数的关系。 若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。 三与为增函数的关系。 为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。 函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。 四单调区间的求解过程，已知（1）分析的定义域;（2）求导数（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间。 我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数在某个区间内可导。 ③求极值、求最值。 注意：极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a)、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a)、f(b)中最小的一个。 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值。 但是，当x=x0时，函数有极值f/(x0)＝0 判断极值，还需结合函数的单调性说明。 4.导数的常规问题： （1）刻画函数（比初等方法精确细微）； （2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）； （3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于次多项式的导数问题属于较难类型。 2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。 3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。 四、不等式 一、不等式的基本性质： 注意：(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。 (2)注意课本上的几个性质，另外需要特别注意： ①若ab>0，则。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。 ②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。 ③图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 ④中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小 二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 若，则（当且仅当时取等号） 基本变形：①；； ②若，则，基本应用：①放缩，变形； ②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。 当（常数），当且仅当时，； 当（常数），当且仅当时，； 常用的方法为：拆、凑、平方； 如：①函数的最小值。 ②若正数满足，则的最小值。 三、绝对值不等式： 注意：上述等号“＝”成立的条件； 四、常用的基本不等式： （1）设，则（当且仅当时取等号） （2）（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号） （3）；； 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 五、证明不等式常用方法： （1）比较法：作差比较： 作差比较的步骤： ⑴作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。 ⑵变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。 ⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。 （2）综合法：由因导果。 （3）分析法：执果索因。基本步骤：要证……只需证……，只需证…… （4）反证法：正难则反。 （5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。 放缩法的方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：； ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：； ⑷利用常用结论： Ⅰ、； Ⅱ、；（程度大） Ⅲ、；（程度小） 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 （6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如： 已知，可设； 已知，可设()； 已知，可设； 已知，可设； （7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式； 六、不等式的解法： （1）一元一次不等式： Ⅰ、：⑴若，则；⑵若，则； Ⅱ、：⑴若，则；⑵若，则； （2）一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对进行讨论： （5）绝对值不等式：若，则；； 注意：(1).几何意义：：；：； (2)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有： ⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若则；②若则；③若则； (3).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。 (4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。 （6）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式； 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 ⑴；⑵； ⑶；⑷； （7）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。 （8）解含有参数的不等式： 解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论： ①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为（或更多）但含参数，要分、、讨论。 五、数列 本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题：（1）等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前项和，则其通项为若满足则通项公式可写成.（2）数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.（3）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标.①函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.②分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为及；已知求时，也要进行分类； ③整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 体思想求解.（4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.一、基本概念： 1、数列的定义及表示方法： 2、数列的项与项数： 3、有穷数列与无穷数列： 4、递增（减）、摆动、循环数列： 5、数列{an}的通项公式an： 6、数列的前n项和公式Sn: 7、等差数列、公差d、等差数列的结构： 8、等比数列、公比q、等比数列的结构： 二、基本公式： 9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= 10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)dan=ak+(n-k)d(其中a1为首项、ak为已知的第k项)当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。 11、等差数列的前n项和公式：Sn=Sn=Sn= 当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 12、等比数列的通项公式：an=a1qn-1an=akqn-k(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0) 13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1(是关于n的正比例式)； 当q≠1时，Sn=Sn= 三、有关等差、等比数列的结论 14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等差数列。 15、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则 16、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则 17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等比数列。 18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。 19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列 {anbn}、、仍为等比数列。 20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d，a+d,a+3d 23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq； 四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3(为什么？) 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 24、{an}为等差数列，则(c>0)是等比数列。 25、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn}(c>0且c1)是等差数列。 26.在等差数列中： （1）若项数为，则 （2）若数为则，27.在等比数列中： （1）若项数为，则 （2）若数为则，四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。 28、分组法求数列的和：如an=2n+3n 29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n 30、裂项法求和：如an=1/n(n+1) 31、倒序相加法求和：如an= 32、求数列{an}的最大、最小项的方法： ①an+1-an=……如an=-2n2+29n-3 ②(an>0)如an= ③an=f(n)研究函数f(n)的增减性如an= 33、在等差数列中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解： 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 (1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值.(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 六、平面向量 1．基本概念： 向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。 2．加法与减法的代数运算： (1)． (2)若a=（）,b=（）则ab=（）． 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。 以向量=、=为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量=+,=－,=－ 且有｜｜－｜｜≤｜｜≤｜｜+｜｜． 向量加法有如下规律：＋=＋(交换律);+(+c)=(+)+c（结合律）;+0=＋(－)=0.3．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。 (1)｜｜=｜｜·｜｜; (2)当＞0时，与的方向相同；当＜0时，与的方向相反；当=0时，=0． (3)若=（），则·=（）． 两个向量共线的充要条件： 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 (1)向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=． (2)若=（）,b=（）则‖b． 平面向量基本定理： 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得=e1+e2． 4．P分有向线段所成的比： 设P1、P2是直线上两个点，点P是上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使=，叫做点P分有向线段所成的比。 当点P在线段上时，＞0；当点P在线段或的延长线上时，＜0； 分点坐标公式：若=；的坐标分别为（）,（）,（）；则（≠－1），中点坐标公式：． 5．向量的数量积： （1）．向量的夹角： 已知两个非零向量与b，作=,=b,则∠AOB=（）叫做向量与b的夹角。 （2）．两个向量的数量积： 已知两个非零向量与b，它们的夹角为，则·b=｜｜·｜b｜cos． 其中｜b｜cos称为向量b在方向上的投影． （3）．向量的数量积的性质： 若=（）,b=（）则e·=·e=｜｜cos(e为单位向量); ⊥b·b=0（，b为非零向量）;｜｜=; 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 cos==． (4)．向量的数量积的运算律： ·b=b·;()·b=(·b)=·(b);(＋b)·c=·c+b·c． 6.主要思想与方法： 本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。 七、立体几何 1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。 能够用斜二测法作图。 2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念； 会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。 3.直线与平面 ①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。 ②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。 ③直线与平面垂直的证明方法有哪些？ ④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是{00.900} ⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理.三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.43 中国首家中小学在线学习会员制服务平台 4.平面与平面 (1)位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况） (2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。 (3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。 (4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→ (5)二面角。二面角的平面交的作法及求法： ①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形； ②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。 【高中数学圆锥曲线知识点总结】推荐阅读： 高中数学曲线和方程教案05-29 高中数学选修4知识点07-19 高中数学选修1-2知识点归纳09-06 初高中数学断节知识07-14 高中数学期中总结07-27 高中数学教育总结09-09 高中数学学习总结07-04 高中数学工作总结07-25 高中数学远程教育学习总结06-18 高中数学的学习方法总结07-15
