推理与证明习题专题

推理与证明习题专题（精选10篇）

推理与证明习题专题篇1

一、选择题：

1、用反证法证明：“a,b至少有一个为0”，应假设（）A.a,b没有一个为0B.a,b只有一个为0C.a,b至多有一个为0D.a,b两个都为0

2、若函数f(x)sinx是为周期的奇函数，则f(x)可以是（）（A）sin2x（B）cos2x（C）sinx（D）cosx

3、设函数f(x)

1,x01,x0，则

(ab)(ab)f(ab)

2(ab)的值为（）

AaB b a,b中较小的数Da,b中较大的数

4、设a、b、m都是正整数，且ab，则下列不等式中恒不成立的是（）（A）

abambm

1（B）

1b,b

ab1cambm

1（C）



ambm

1（D）1

ambm



ab5、设a,b,c(,0),则a

A都不大于2B都不小于2C 至少有一个不大于2D 至少有一个不小于2

6、平面内有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个点都无公共点，它们将平面分成f(n)块区域，,c（）

有f(1)2，f(2)4，f(3)8，则f(n)（）（A）2（B）2(n1)(n2)(n3)（C）nn2（D）n5n10n4

7、设f(x)是定义在R上的函数且f(x)

1f(x2)1f(x2)

32，且f(3)2

3

3，则f(2007)（）

（A）32（B）32（C）2

8、用数学归纳法证明

1n

1

1n

2

1n

3

3（D）2112

4nn1，nN时，由n=k到n=k+1时，不等式

左边应该添加的项是（）（A）（C）

12(k1)12k1



（B）

12k2



1k1

2k11



12k212k2



1k1



1k2

（D）

2k1



9、已知数列{xn}满足xn1xnxn1（n2），x1a，x2b，Snx1x2xn，则下面正确的是（）

（A）x100a，S1002ba（B）x100b，S1002ba（C）x100b，S100ba（D）x100a，S100ba10、、数列an中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3，猜

想当n≥1时，Sn=

A．

（）



1n1

222211、已知f(x)是R上的偶函数，对任意的xR都有f(x6)f(x)f(3)成立，若f(1)2，则

B．



1n1

C．

n(n1)

D．1－

n1

f(2007)（）

（A）2007（B）2（C）1（D）0 12、已知函数f(x)lg

1x1x，若f(a)b，则f(a)（）

（A）b（B）b（C）（D）

13、已知数列{an}中，a11，a2an1nN，且n2），则a9可能是：（）

2an

1A、1B、2C、1D、

1ax

91x

2,x

4x14、已知aR，不等式x

3,，可推广为x

2(n1)

n1,则a的值（）

A 2BnC 2Dn15、定义A㊣B、B㊣C、C㊣D、D㊣A的运算分别对应下图中的（1）、（2）、（3）、（4）。

（1）））则图中的甲、乙的运算式可以表示为：（A、B㊣D、C㊣AB、B㊣D、A㊣C

C、D㊣B、C㊣AD、D㊣B、A㊣乙

16、根据下列图案中圆圈的排列规律，第2008个图案组成的情形是：（）●☆☆☆●●●

☆●☆●☆●☆●☆●☆●●●☆☆● A、其中包括了1004×2008个☆B、其中包括了1003×2008+1个☆ C、其中包括了1003×2008+1个●D、其中包括了1003×2008个●

二、填空题：

17、从下列式子1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…计算得出的结果能得的一般性结论是_________________________________________________

18、已知a,b是不相等的正数，x

a

2b,yab，则x,y的大小关系是

19、若数列an中，a11,a235,a37911,a413151719,...则a10____20、f(n)1

2

3

(nN)，经计算的f(2)

32,f(4)2,f(8)

52,f(16)3,f(32)

72，推测当n2时，有

21、若数列an的通项公式an

1(n1)

(nN)，记f(n)(1a1)(1a2)(1an)，试通过

计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出_______________________

22、为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：现在加密密

密文密文明文。钥为yloga(x4)，明文如上所示，明文“4”

加密密钥密码发送解密密钥密码

通过加密加密后得到“3”再发送，接受方通过解密钥解密得明文“4”，问若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文是______________________。

23、在等差数列an中，（n29且nN）若a200，则有a1a2a3ana1a2a39n 成立，类比上述性质，在等比数列bn中，若b201，则存在怎样的等式________________________.24、半径为r的圆的面积S(r)＝r,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(r)`

1，＝2r○

1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。○

1的式对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于○子：。○

2式可以用语言叙述为：。○

25、若f(x)



2，则f（1100

1)f（26、已知数列an满足a12，an

110011001

1an*（nN），则a3的值为，1an)f（1000)=_____________。

a1a2a3a2007的值为．

三、解答题：

27、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，用反证法证明：a, b, c > 028、已知：0a1，求证：

1a

41a

9

2n

28n9能被64整除。29、试证当n为正整数时，f(n)

330、是否存在常数a,b,c使等式

1(n1)2(n2)n(nn)anbnc对一切正整数n成立？并证明你的结论。

31、由下列各式：1﹥

2，1+



3﹥1，1+



4

5



﹥

32，1+





115

﹥2，你能得出怎样的结论，并进行证明。

32、已知f10,afnbfn11,n2,a0,b0(1)求f3,f4,f5

推理与证明习题专题篇2

一、几何推理与图形证明教学的现有问题

一些初中数学教师目前依旧使用较为传统的讲课模式,即将课本上的重点知识和例题进行详尽地讲解,在这样的教学模式下,学生处于一味地接受状态,在课堂上要对庞大的信息量和知识接受让他们应接不暇,大部分学生做不到真正地理解和消化,更不用说培养起有效的几何推理思维和图形证明能力.这样的教学收效甚微,几何证明与普通的数学证明有着一定的区别,它需要学生不仅仅掌握数学证明的技巧和方法,更要有一定的空间想象能力和几何思维能力.

二、定理和重要概念的引入及教学

定理是几何推理的根本,许多几何推理与图形证明所需的知识都是由定理推广而来,因此教师在几何教学的过程中,首先要注重的就是定理和一些重要概念的引入及教学.在引入方面,由于定理具有高度的概括性,学生死记硬背效果不佳,因此教师要注意引入定理和重要概念的时机和方法.许多几何推理题往往就是对定理的反复运用,只要学生能够熟练地运用定理在做题的过程中就能够游刃有余,例如下题.

例1已知在三角形ABC中,D为BC边上的中点,在AD上任取一点E,连接BE,延长BE交AC与F,BE=AC,求证AF=EF.

证明:如图1,连接EC,取EC的中点G,AE的中点H,分别连接DG,HG.

则:GH=DG.

所以:∠1=∠2,

而∠1=∠4,∠2=∠3=∠5.

所以;∠4=∠5,所以:AF=EF.

乍一看这道题的题目比较复杂,实际上就是对于等腰三角形等边对等角这一基本定理的应用,学生对定理掌握的程度较深时,面对“三角形”、“中点”等条件很容易就会进行联想并作出辅助线DG和HG,通过等腰三角形和平行线段的性质进行角与角之间的转换,最后通过“等角对等边”的性质完成证明.这道题就是典型的对定理掌握程度的考察,对于这种题型要注意对定理的灵活应用.

三、学会“读题”,明确题中条件要素

在进行几何推理和图形证明的过程中,教师需要结合大量的例题进行讲解,这是十分必要的,在讲解之前,教师应当注重培养学生的“读题”能力,阅读题设看起来似乎是一件非常简单的事,其实解题和证明所需的大部分要素都包含在简短的题设之中,在读题的过程中对题设进行拆解,提取出其中重要的要素和隐含条件,才能为之后的证明或解题铺好路.尤其是当学生面对较为复杂的题设,要学会从中抽丝剥茧,理清头绪,一步一步地整理题设中所提及的条件,结合图形将它们以合理的逻辑排列出来,与最终需要解答或证明的问题进行条件匹配.这种读题能力就需要教师在课堂上讲解例题时引导学生慢慢去学习和掌握,这样才能在做题的过程中不会被复杂的题设蒙蔽了双眼,做到心中有数[2].

四、培养学生几何推理思维

1. 三种思维的应用

几何推理和图形证明同样属于数学证明的一种题型,对于这样的题型而言,最重要的就是培养学生的逻辑推理思维,在推理的过程中,通常有以下三种思维方式.第一、正向思维,也就是学生在推理和证明的过程中最常用的一种思维方式,从题设和条件出发,一步步地推出结果.这种方式比较常见,因此学生学习和应用起来也比较轻松.第二、逆向思维,顾名思义就是反向地去推理,也就是从结果入手进行推理,最典型的一种逆向思维证明法就是反证法.逆向的思维方式对于学生而言并不是十分常用,但它往往是解决难题的好帮手,难题的题设往往十分复杂繁多,在许多条件的铺陈下,题设拆解分析能力较弱的学生难免会一时之间找不到头绪,不知从何下手,而逆向思维法能够帮助学生迅速找到题目的切入点与突破口,很快进入到推理之中.第三种就是正向思维与逆向思维的结合,这种方法通常应用于难题的推理证明之中,将两种思维方式的特点相结合,同时也将题目中的条件和结果有机结合,帮助学生迅速找到推理的有效路线.在课堂教学之中,教师应当注重这三种思维的教学,尤其是学生不太常用的逆向思维和正逆结合思维,帮助学生开拓几何推理的思维,在解题的过程中可以做到多种思路的选择[3].

2.“动手”做题,辅助线的应用

在学习几何推理和图形证明的过程中,最常用也是最必不可少的一个方法就是做辅助线.当学生遇到单纯靠拆解题设和思维分析无法解决的时候,应当有动手画图做辅助线的意识,这种意识和能力需要教师在课堂教学之中进行重点培养.然而做辅助线有时候并不是万能的,一条错误的辅助线甚至会将学生的推理思路带入误区,导致推理混乱,因此,教师在教学过程中务必将辅助线的教学作为一个重点.

例2已知:在△ABC和△A'B'C'中,AB=A'B',AC=A'C'.AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线,且AD=A'D'.

求证:△ABC≌△A'B'C'.

证明:分别过B,B'点作BE∥AC,B'E'∥A'C'.交AD,A'D'的延长线于E,E'点.

则:△ADC≌△EDB,△A'D'C'≌△E'D'B'.

所以:AC=EB,A'C'=E'B';AD=DE,A'D'=D'E'.

所以:BE=B'E',AE=A'E'

所以:△ABE≌△A'B'E'

所以:∠E=∠E'∠BAD=∠B'A'D'

所以:∠BAC=∠B'A'C'

所以:△ABC≌△A'B'C'

这一题需要证明三角形ABC和三角形A'B'C'全等,现有的条件是其中的两条边相等,还差一个条件,边BC和边B'C'相等或现有两边的夹角相等,经分析,有边AD和边A'D',我们很容易发现实现角的相等更为容易,AD将我们需证的夹角一分为二,因此需分别证明分角与分角相等,等角很容易让人联想起平行线,这就是辅助线的灵感来源,显然,有了辅助线的帮助就多了一个等角的条件,可以进行角之间的转换.这一题就是典型的辅助线的巧妙应用.

总之,几何推理和图形证明是初中数学的教学中至关重要的一个环节,教师在教学过程中应当打好基础,在定理的教学方面下功夫,努力培养学生的“读题”能力和几何思维方式,提高几何图形课堂教学的效率.

参考文献

[1]葛莹.初中数学几何推理与图形证明对策[J].学周刊,2015(14):222.

[2]焦龙.初中数学几何概念和定理教学探析[J].学周刊,2015(20):163.

推理与证明篇3

一、考纲要求

根据《2012年江苏高考数学科考试说明》及《江苏省普通高中数学课程标准教学要求》，合情推理与演绎推理要求为B级，分析法、综合法及反证法要求A级，这里的要求是对其概念的要求，而不是对方法的要求，会用分析法、综合法、反证法证明一些问题还是需要的，不可忽视。

1. 合情推理的两种常用形势包括归纳推理和类比推理。其中，由个别事实推演出一般的推理是归纳推理；根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同的推理是类比推理。

2. 演绎推理的主要形式是三段论式推理，其一般模式为：（1）已知的一般原理，即大前提，B是C，（2）所研究的特殊情况，即小前提：A是B，（3）根据一般原理，对特殊情况作出判断，即结论：A是C。

3. 直接证明就是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，逐步推得命题成立的证明方法。

4. 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法为综合法；从证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法为分析法。这两种证法均属于直接证明。

5. 反证法是一种间接证明方法，它的证明过程可以概括为“否定—推理—否定”。即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定（即肯定原命题）的过程。

二、难点疑点

1. 类比的关键在（1）要能找到两类事物之间的相似性或一致性；（2）类比不是简单的模仿，要抓住一类事物的本质去推测另一事物的性质；（3）类比的结论不一定正确。

2. 用综合法是由条件证结论，是执因索果的过程，而分析法则是执果索因，从结论出发寻找结论成立的充要条件，对格式有严格的要求。

3. 反证法的难点在由假设出发，如何通过推理论证，得出怎样一个与已知条件或客观事实相矛盾的结论，从而否定假设，肯定原命题。

三、经典练习回顾

1. 已知a1=3，a2=6，且an+2=an+1-an，则a33为 

BCD中（如图所示），而DEC平分二面角A

--！> 2. “∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，∴AC，BD互相垂直且平分.”补充以上推理的大前提是 .

3. 用反证法证明命题“a，b∈N，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除.”那么假设的内容是

4. 已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线x2a2-y2b2=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.

四、例题精析

【例1】如图，在三棱锥P

矛盾，则假设不成立，即AE不平行平面PFD.

点拨本题考查线面与面面位置关系的基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力，用到了直接证明与间接证明。请思考：第一问中包含了几个三段论。

【例2】已知{bn}是公比为q（q≠1）等比数列，是否存在这样的正数q，使得等比数列{bn}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以证明；若不存在，请说明理由.

解析本题可用分析法进行探究，如果存在正数q，使得等比数列{bn}中有三项成等差数列，不妨设第k，m，n项.根据q>0，可设k0，所以，q=1，与条件矛盾.失败了！失败不要紧，关键是我们找到了一个新思想：合情推理！这是解决本题的一把好钥匙.继续合情推理：一元二次方程不行，那么，最简单的就是一元三次方程了，那么，一元三次方程行不行呢？不妨设n-k为m-k的3倍，那么，如果令qm-k=x，那么就有x3-2x+1=0，尽管这是一个三次方程，但由于很明显有一个x=1的解，而由条件知x≠1，所以上面的方程可化为x2+x-1=0，解得x=5-12，于是，只要看对应的k，m，n为何值就可对了.继续合情推理：最简单的情形是m-k=1，n-k=3，这样的正整数k，m，n是否存在呢？很简单：k=1，m=2，n=4即可.于是q=5-12，难关攻克！

推理与证明习题专题篇4

高二文数1-2《推理证明》期末复习题

（二）一、基础巩固

1、若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2b2c2abbcca．证明过程如下：

∵a，b，cR，∴a2b2≥2ab，b2c2≥2bc，c2a2≥2ac，2、立体几何平行、垂直定理：

（1）线面平行的判定定理：a,b,a//ba//

线面平行的性质定理：a//,a,ba//b

（2）面面平行的判定定理：a,b,abP,a//,b////

面面平行的性质定理：//,a,ba//b（3）线面垂直的判定定理：a,b,ab

线面垂直的性质定理：a（4）面面垂直的判定定理：l

又∵a，b，c不全相等，∴以上三式至少有一个“”不成立，∴将以上三式相加得

2(abc)2(abbcac)，∴abcabbcca．此证法是（）

P,la,lbl

222

,ba//b

Ａ、分析法

2Ｂ、综合法

Ｃ、分析法与综合法并用Ｄ、反证法

1

,l

证明：要证

1



1，面面垂直的性质定理：,l,a,all

3、反证法：假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错

即证7511

1以上证明应用了（）

A、分析法B、综合法，∵3511，∴原不等式成立．

误,从而证明原命题成立,反证法的思维方法：正难则反

归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾（2）与已有公理、定理、定义矛盾（3）自相矛盾

三、典型例题

例

1、

证明：



只需证2

2只需证87510



只需证22即证56505650显然成立



C、分析法与综合法配合使用D、间接证法

3、用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理数根，那么a,b,c中至少有一个是偶数”下列条件假设中正确的是（A.假设a,b,c都是偶数）

B、假设a,b,c都不是偶数

D.假设a,b,c中至多有两个偶数

C.假设a,b,c中至多有一个偶数

4、求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°，用反证法证明时的假设为“三

角形的”．

二、知识点归纳

1、分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分

条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止。

这个明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等特点：执果索因，即：要证结果Q，只需证条件P

例

2、(2010执信中学2月考试文科18)

右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，EC//PD，且PD2EC，（1）求证：BE//平面PDA；

（2）若N为线段PB的中点，求证：EN平面PDB

证明：（1）∵EC//PD，PD平面PDA，EC平面PDA

∴EC//平面PDA,同理可得BC//平面PDA

∵EC平面EBC,BC平面EBC且ECBCC∴平面BEC//平面PDA又

∵BE平面EBC∴BE//平面PDA（2）连结AC与BD交于点F, 连结NF，∵四边形ABCD为正方形

∴F为BD的中点， N

∴NF//PD且NF12PD, D

又EC//PD且EC

2PD

∴NF//EC且NFEC

∴四边形NFCE为平行四边形 ∴NE//FC

∵,PD平面ABCD,AC面ABCD∴ACPD，又∴PDBDD,PD,BD平面PBD ∴AC面PBD∴NE面PDB

变式训练2：如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC 1∥平面CDB1.例

3、设a，b，c(0,)，求证：a+

11b,c+a,b+

中，至少有一个不于小2 证明：假设a+

11111b,c+a,b+c都小于2，即a+b2,c+a2,b+1

c2 (a+1b)+(c+1a)+(b+1c

6

a，b，c(0,)，(a+1b)+(c+1a)+(b+1c)(a1a)(b1b)(c1

2226与假设相矛盾

假设不成立，即a+

1b,c+1a,b+1

中，至少有一个不于小2。

变式训练3：已知a,b,c均为实数，且ax22y

cz22x

,by22z

，

6求证：a,b,c中至少有一个大于0。

四、课后练习

1、下列说法不正确的是（）

A、综合法是由因导果的顺推证法B、分析法是执果索因的逆推证法 C、综合法与分析法都是直接证法

D、综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用

2、用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是（）

A、将结论与条件同时否定，推出矛盾B、肯定条件，否定结论，推出矛盾 C、将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论只与原题条件矛盾，才是反证法的正确运用

D、将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件

3、用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为__________．

4、已知a,b>0,求证a(b2c2)b(c2a2)4abc5、如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF‖平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD6、当a≥2时，求证＋1－a

41高二文数1-2《推理证明》期末复习题参考答案

一、基础巩固：

1、B2、A3、B

4∵4240显然成立,∴原不等式成立.5、证明:因为b2c22bc,a0,所以a(b2c2)2abc,因为c2a22ac,b0,所以b(c2a2)2abc.因此, a(b2c2)b(c2a2)4abc

变式训练2：证明：（1）ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥平面B CC1 B1∴CC1⊥AC

∵三角形ABC三边长 AC=3，BC=4，AB=5，AB2AC2BC2 ∴ACB90，即AC⊥BC

又CC1BCC，CC1，BC平面BCC1B1AC平面BCC1B1ACBC16、证明：要证＋1－a

（2）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵四边形B CC1 B1是平行四边形∴E是BC1的中点，∵ D是AB的中点，∴DE//AC1，又DE 平面CDB1，AC1平面CDB

4，(1b)c

14，(1c)a

14，DE//AC1 ∴

三式同向相乘，得(1a)a(1b)b(1c)c

变式训练3：证明：假设a,b,c都不大于0，即a0,b0,c0，得abc0，164

．①

而abc(x1)2(y1)2(z1)2330，即abc0，与abc0矛盾。a,b,c中至少有一个大于0。

111aa1(1a)a≤(1c)c≤又，同理可得：(1b)b≤，． 

2444

所以(1a)a(1b)b(1c)c≤

164，与①式矛盾，即假设不成立，故结论正确．

四、课后练习：

1、D2、B3、_③①②_

推理与证明习题专题篇5

1、已知：如图，CD⊥AD，DA⊥AB，∠1=∠2.求证：DF∥AE.C

B2、已知：BF⊥AC于F，GD⊥AC于D，∠1=∠2.求证：EF∥BD.A

BDC

G3、已知：如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠1+∠2=90°.试判断直线AB、CD是否平行，为什么？

C4、如图，已知∠ABC=52°, ∠ACB=64°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于M，DE过M且DE∥BC.（1）求∠BMC的度数；（2）过M作EC的平行线，交BC于F，求∠BMF的度数.A

FDBEC5、已知：如图，AB、CD被EF所截，且AB∥CD，GM∥HN.求证：（1）∠3=∠4；（2）∠1=∠2.E

BND

CF6、如果，直线AB.CD被EF所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME.求证：MP∥NQ．

A C

F7、已知：如图，AD∥BC, DE，CF分别平分∠ADC，∠BCG.求证：DE∥CF.D

2E B P D

4GF

A8、已知∠1=∠2,∠C=∠F.请问∠A与∠D存在怎样的关系？验证你的结论.FE

C9、如图，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，DE∥BF.求证：AB∥DC.DA10、A、B、C三点在同一直线上，∠1=∠2，∠3=∠D.试说明BD∥CE.F

C11、如图，已知AB∥CD，试再添上一个条件，使∠1 =∠2成立．

（要求给出两个以上答案，并选择其中一个加以证明）

12、已知：如图，在△ABC中，FE⊥AB，CD⊥AB，G在AC边上，并且∠1=∠2.求证：∠AGD=∠ACB.F C

ADEB

C13、已知：DM⊥BC于M，AC⊥CB于C，EF⊥AB于E，∠1=∠2.试说明CD⊥AB的理由.AE

C14、如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF交CD于点G，∠1=50，求∠2的度数.15、已知：如图，AB∥CD，∠B＝35°，∠1＝75°．求∠A的度数．

推理与证明篇6

【知识要点】

1.归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理

2．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。3．类比推理的一般步骤：

①找出两类事物之间的相似性或者一致性。

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）【典型例题】

1、（2011•江西）观察下列各式：7=49，7=343，7=2401，„，则7

34201

1的末两位数字为（）

A、01 B、43 C、07 D、49

2、（2011•江西）观察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，„，则5A、3125 B、5625 C、0625 D、8125

3、（2010•临颍县）平面内平行于同一条直线的两条直线平行，由此类比思维，我们可以得到（）A、空间中平行于同一平面的两个平面平行 B、空间中平行于同一条直线的两条直线平行 C、空间中平行于同一条平面的两条直线平行 D、空间中平行于同一条直线的两个平面平行

4、（2007•广东）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素与之对应）有a*（b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（）

A、（a*b）*a=a B、[a*（b*a）]*（a*b）=a C、b*（b*b）=b D、（a*b）*[b*（a*b）]=b

5、（2007•广东）如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（）

A、15 B、16 C、17 D、18

6、（2006•陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（）A、4，6，1，7 B、7，6，1，4 C、6，4，1，7 D、1，6，4，7

7、（2006•山东）定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）

A、0 B、6 C、12 D、18

7201

1的末四位数字为（）

8、（2006•辽宁）设⊕是R上的一个运算，A是V的非空子集，若对任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（）A、自然数集 B、整数集 C、有理数集 D、无理数集

9、（2006•广东）对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定：（a，b）=（c，d），当且仅当a=c，b=d；运算“⊗”为：（a，b）⊗（c，d）=（ac-bd，bc+ad）；运算“⊕”为：（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），设p，q∈R，若（1，2）⊗（p，q）=（5，0），则（1，2）⊕（p，q）=（）A、（4，0）B、（2，0）C、（0，2）D、（0，-4）

10、（2005•湖南）设f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），„，fn+1（x）=fn′（x），n∈N，则f2005（x）=（）

A、sinx B、-sinx C、cosx D、-cosx

11、（2004•安徽）已知数列{an}满足a0=1，an=a0+a1+„+an-1，n≥

1、，则当n≥1时，an=（）A、2 B、n

C、2 D、2-

1n-1n

12、若数列{an}满足a1=1，a2=2，an=（n≥3且n∈N*），则a17=（）

A、1 B、2 C、D、2-987

13、如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，有，则运用归纳推理得到第11 行第2个数（从左往右数）为（）A、B、C、D、14、根据给出的数塔猜测1 234 567×9+8=（）

1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111．

A、11111110 B、11111111 C、11111112 D、11111113

15、将n个连续自然数按规律排成右表，根据规律，从2008到2010，箭头方向依次是（）

A、B、C、D、16、下列推理过程利用的推理方法分别是（）（1）通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为0.5；（2）函数f（x）=x2-|x|为偶函数；

（3）科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼． A、演绎推理，归纳推理，类比推理 B、类比推理，演绎推理，类比推理 C、归纳推理，合情推理，类比推理 D、归纳推理，演绎推理，类比推理

17、下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理． A、①②③ B、②③④ C、②④⑤ D、①③⑤

18、在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，„这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形，则第n个三角形数为（）A、n B、1、（2011•陕西）观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律，第五个等式应为 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．

2、（2011•陕西）观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 „

照此规律，第n个等式为 n+（n+1）+（n+2）+„+（3n-2）=（2n-1）2 ．

推理与证明方程的有关概念篇7

定义对一个数学对象的描述.如果定义是合适的，那么该对象的一切性质都可以由它推出.

problem solving Technique for solving problems efficiently， involving a special set of skills. Some of the skills are listing methods，trial and error methods， analytical methods，numerical methods， use of mathematical models，and so on.

解题方法包括一系列特殊技巧的有效解决问题的方法：列举法、尝试法、解析方法、数值方法、数学模型的使用，等等，都是这类技巧的例子.

mathematical induction Formal method of proof in which the proposition P（n+1） is proved true on the hypothesis that the proposition P（n） is true. The proposition is then shown to be true for a particular value of n， say k， and therefore by induction the proposition must be true for n=k+1， k+2， k+3，…. In many cases k=1， so then the proposition is true for all positive integers.

数学归纳法证明的形式方法，在证明时，先在假设命题P（n）成立的条件下，证明命题P（n+1）成立. 然后对于一个特殊的n，比如k，证明命题是成立的，由此对于n=k+1，k+2，k+3，…，命题必定成立. 在很多情况下，k=1，所以命题对一切正整数是成立的.

proof A set of arguments used to deduce a mathematical theorem from a set of axioms.

证明从一组公理出发推导出数字定理的一组论理.

solve To find the roots of an equation or the answer to a problem.

求解找出方程的根或找出问题的答案.

real number Any of the rational numbers（which include the integers） of irrational numbers. Real numbers exclude imaginary numbers， found in complex numbers of the general form a+bi where i =，although these do include a real component a.

实数任何有理数（包括整数）或无理数. 实数不包括一般形式为a+bi（i=）的复数，尽管它有实部 a. 但是i=是虚数，不是实数.

complex number A number of the form a+ib， where a and b are real numbers and i2=-1（or equivalently，i=）.A complex number is often denoted by a single letter， usually z， we write z=a+ib，where a=Rez（read:“the real part of z”） and b= Imz（“the imaginary part of z”）. If b=0，the number is real；if a=0，it is imaginary. Thus the set of real numbers（and also the set of imaginary numbers） is a subset of the set of complex numbers.

复数一个形如a+ib的数，其中a和b为实数，而i2=

-1（或等价地，i=）. 一个复数常常用一单个字母表示，通常用z，我们写作z=a+ib，其中a=Rez（读作：“z的实部”），b=Imz（“z的虚部”）.如果b=0，此数为实；如果a=0，它为虚. 因而实数集合（还有虚数集合）是复数集合的子集.

complex conjugatesThe conjugate of the complex number a+ib is the complex number a-ib；for example，the conjugate of 5+7i is 5-7i；and vice versa. The conjugate of the imaginary number 3i is the imaginary number -3i；the conjugate of the real number 2 is 2，because either can be written as 2+0i.

高考数学推理与证明篇8

1．（08江苏10）将全体正整数排成一个三角形数阵：35 68 9 10

。。。

按照以上排列的规律，第n行（n3）从左向右的第3个数为▲.n2n6【答案】 2

【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n

n2nn2n－1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为22

n2n6． 2

2.（09江苏8）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为▲.【解析】考查类比的方法。体积比为1：8

3.（09福建15）五位同学围成一圈依序循环报数，规定：

①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；

②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次

已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________.【答案】：5

解析：由题意可设第n次报数，第n1次报数，第n2次报数分别为an，an1，an2，所以有anan1an2，又a11,a21,由此可得在报到第100个数时，甲同学拍手5次。

4.（09上海）8.已知三个球的半径R1，R2，R3满足R12R23R3，则它们的表面积S1，S2，S3，满足的等量关系是___________.

【解析】S14R1S122

S22R2S32R3，即R1＝R1，S1

2，R2＝S2

2，R3＝S3

2，由R1

2R23R3

5.（09浙江）15．观察下列等式：

1C5C55232，159C9C9C92723，15913C13C13C13C1321125，1593C1C17C17C171C71727125，1

………

由以上等式推测到一个一般的结论：

1594n1对于nN，C4n1C4n1C4n1C4n1*

答案：24n1122n1。【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，n

第二项前有1n，二项指数分别为24n1,22n1，因此对于nN

几何推理与数学证明的教学策略篇9

【关键词】几何推理数学证明教学策略

1前言

有效教学指的是在教学活动中教师遵循一定的教育教学规律，采用各种方式和手段，以尽可能少的时间、精力、教学设施的投入，取得尽可能多的教学效果，实现特定的教学目标，满足社会和个人的教育价值需求而组织实施的活动。提高课堂教学效率是无数教育工作者的共同心愿和奋斗目标，时代要求我们构建一种新型的、高效率的课堂教学模式。教学有没有效益，并不是指教师有没有教完内容或教得认真不认真，而是指学生有没有学到什么或学得好不好。因此，教学策略显得尤为重要。

2教学策略及其特点、分类

教学策略是实施教学过程中的教学思想、方法模式、技术手段这三方面动因的简单集成，是教学思维对其三方面动因的进行思维策略加工而形成的方法模式。

教学策略具有指向性、整合性、可操作性、灵活性、调控性、层次性等特点。所谓指向性，指教学策略是为实际的教学服务的，是为了达到一定的教学目标和教学效果。目标是教学整个过程的出发点。教学策略的选择行为不是主观随意的，而是指向一定目标的。所谓整合性，指教学过程是一个彼此之间相互联系、相互作用的整体，各个教学环节连接紧密，各个教学因素的变化都会起到牵一发而动全身的作用。所谓可操作性，指所有的教学活动并不是一成不变的，一成不变的教学只会让学生感觉枯燥乏味，影响教学效果，因此，必须从学生的整体出发不断调整适合学生的、学生易于接受的教育教学策略。所谓灵活性，指教师在教学活动中具有很强的调控权利，能够从学生的整体利益和教育教学效果出发，适当调整自己的教育教学方法策略，灵活地运用多种教学策略。所谓调控性，是教师在教育教学工作中的调控能力。每一位教师都有自己的教育教学策略和教学风格，最好的教育教学策略是真正适合大部分学生的方式方法，所以，教师在选择教育教学策略时的调控力显得更为重要。层次性指教学具有不同的层次，加涅把教学分为课程级、科目级、单元级和要案级四种水平。

根据各种教学策略的不同特点，可以将其分为产生式教学策略、替代式教学策略、独立学习与小组学习策略和竞争与合作学习策略。

3几何推理与数学证明的教学策略研究

几何推理和数学证明具有抽象性，并且对于毕业生来说，该部分所占分数比例较重，但是掌握了相关的方法策略确实很容易得分，因此，教师必须设计较为良好的教学策略，使学生在短时间内更好地掌握。

3.1讲授法

讲授法是指教师通过口头语言，辅助以板书、挂图、投影等媒体向学生传递语言信息的方法，是一种教师讲、学生听的活动。讲授法的优点是能在短时间内让学生获得大量系统的科学知识;缺点则是学生比较被动，师生都难以及时获得反馈信息，个别差异也很难全面照顾。因为几何定理的符号语言是证明过程中的基本单位，所以首先要采用讲授法教学生，并在讲授的基础上归纳出“一划二画三写”的步骤，让学生尽快熟悉每一个定理的基本要求。例如定理：直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。 “一划”就是找出定理的题设和结论，题设用直线，结论用波浪线，要求在划时突出定理的本质部分，如“直角三角形”“高线”“相似”。 “二画”就是依据定理的内容，能画出所对应的基本图形。“三写”即能用符号语言表达，争取不丢分。

3.2演示法

演示法指借助实物、图片，或使用投影、电视、电影等手段，将要感知的过程或要学习的技能记录下来播放、演示，通过不同形式的直观化方式，增强学生的感性认识，或在已有理性认识的情况下，再通过感性材料深化理性认识的教学方法。借助现代教学媒体，如电影、电视、多媒体计算机等，可以化静态为动态，因而其逼真程度和直观程度更高。学生觉得几何抽象还因为几何推理形式多样、过程复杂而又摸不定，往往听课时知道该如何写，而自己书写时又漏掉某些步骤，因此必须采用演示的方法，使学生能够有一个全方位的理解。演示法的具体教学步骤：首先选择各种类型的证明题，根据方法利用进行分类，再将正确的、规范的解答步骤向学生演示，同时给予一道解题方法相似的题目加以巩固。

3.3训练和实践法

训练和实践法是让学生通过一系列设计好的实践活动来进行练习，运用所学知识解决同类任务，以增加技能的熟练程度或增加新能力的方法。使用这种方法的前提是假设学习者在练习之前已基本掌握了与某种训练有关的概念、原理和技能。现代多媒体技术、人工智能技术和虚拟现实技术可以为学习者创设逼真的学习和实践情境，使学习者在真实的情境中进行练习和实践。基本推理模式中的骨干部分还是定理的符号语言。因而在这一环节，我们让学生在证明的过程中找出单个定理的因果关系、多个定理的组合方式，然后由几个定理组合后构造图形，进一步强化学生“用定理”的意识。

4小结

教学策略是教学效果的重要影响因素，结合几何推理与数学证明问题的抽象性和考试相关要求提出的教学策略具有适应性、针对性、灵活性和快捷性。在教育教学工作中，结合学生实际情况，有针对性地创新教学策略，使学生易于接受、牢固记忆，不断促进教育教学工作更好发展。

【参考文献】

[1]和学新.教学策略的概念、结构及运用[J].教育研究.

[2]熊川武.反思性教学[M].上海：上海华师大出版社.

推理与证明教案及说明篇10

人教A版选修2-2 合情推理（第一课时）——归纳推理参评教师：中卫市第一中学俞清华

教案说明

一、授课内容的数学本质与教学目标定位

推理是由一个或几个已知的判断推出一个新的判断的思维形式，它不是数学所独有的，它是人们进行思维活动时对特定对象进行反映的基本方式。思维的基本规律是指思维形式自身的各个组成部分的相互关系的规律，即用概念组成判断，用判断组成推理的规律。它有4条：即同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。

推理通常分为合情推理和演绎推理,本节课所要学习的归纳推理便是合情推理的一种。归纳推理是由个别到一般的推理，前提是其结论的必要条件。首先，归纳推理的前提必须是真实的，否则，归纳就失去了意义。其次，归纳推理的结论超过了前提所判定的范围，因此在归纳推理中，前提和结论之间的联系不是然的，而是或然的，重在合乎情理。

本节课是本章内容的第一课时，按照新课标的要求，结合学生的具体情况，我制定了如下的教学目标：【知识与技能】

结合生活实例了解推理含义；掌握归纳推理的结构和特点，能够进行简单的归纳推理；体会归纳推理在数学发现中的作用。【过程与方法】

通过探索、研究、归纳、总结等方式使归纳推理全方位、立体式的呈现在学生面前，让学生了解数学不单是现成结论的体系，结论的发现也是数学的重要内容，从而形成对数学较为完整的认识；充分培养学生发散思维能力，挖掘学生的创新思维能力。【情感、态度与价值观】

通过学习本节课培养学生实事求是、力戒浮夸的思维习惯，深化学生对数学意义的理解，激发学习兴趣，认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；通过探究学习培

养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神。

二、本节课的地位和作用

学习形式逻辑知识，可以指导我们正确进行思维，准确、有条理地表达思想；可以帮助我们运用语言，提高听、说、读、写的能力；可以用来检查和发现逻辑错误，辨别是非。同时，学习形式逻辑还有利于掌握各科知识，有助于将来从事各项工作。

推理与证明的学习一直贯穿高中数学的过程中，但在旧教材中一直没有集中系统的阐述，随着科学发展对人才思维水平要求的提高，新课改将这部分内容纳入教材是具有积极的现实意义的。高中阶段所学习的推理与证明属于数学思维方法的范畴，即把过去渗透在具体数学内容中的思维方法，以集中显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用它们，以培养言之有理、言之有据的习惯。

推理不是数学独有的，它广泛地存在于科学发展的过程、生产生活的实践之中，所以在授课时我旁征博引，列举了许多生活中的、科学发展史上的、其他科学中涉及的推理，力求通过学习，使学生架起数学与科学、数学与生活的桥梁，形成严谨的理性思维和科学精神。

三、教学诊断分析

通过大量列举生活、科学中的实例，学生对推理以及归纳推理的含义和结构是很容易理解的，学习过程中可能会在下面几个方面遇到障碍：

1．对归纳推理形式的理解：归纳推理是由个别到一般的推理，那么个别究竟有多少，原则上说能够发现共性并能归纳出一般结论即可，对个体的数目没有严格要求，但是参与归纳的个体的数量越多，归纳得到的结论就越可靠。

2．归纳推理所得结论的或然性可能让学生产生思维上的冲突，归纳推理的结论超出了前提的判定范围，所以必然会导致结果的或然性，但这不是归纳推理的弊端，不能因此否定归纳推理的作用，归纳得到的结论可以有严格的演绎推理来证明。

3．归纳推理的作用：对于归纳推理的作用，不能片面认为“万能”的，也不能由于归纳结论的或然性而否定其在科学中的发现作用，所以通过例题的设置、同学的分析和讨论、教师的必要讲解，要让学生对归纳推理有一个全方位的立体的认识。

四、教法特点与效果分析

在教学过程设计方面根据教学内容我设计了四个教学环节，分别是“创设情境，导入新课”、“合作探究，收获新知”、“课堂回眸，感悟提高”、“布置作业，学以至用”，其中“合作探究，收获新知”是设计的主体，在这里，根据学生的认知能力和认知水平，我又分成四个学习阶段，分别是“形成概念”、“典例分析”、“巩固提高”，“思维拓展”，逐层递进，突出重点，解决难点。

在过程设计方面我很注重两个方面的问题，一是课程的紧凑性和完整性，所选的例练习题具有典型性，环节之间注意递进性，使得整节课能够环环相扣，层层深入；另一个是注重数学问题与现实生活的紧密结合，在每个教学环节、每个教学过程中，我都设计了不同的生活实例，让学生感觉知识的亲切感和实效性，体现数学的实际应用价值。

在教学过程中，我大力倡导学生自主学习、合作学习和探究学习，如在处理欧拉公式时，为了让学生亲身体会归纳推理的全过程，我不惜花费大量的时间让学生之间完成讨论和研究，并展示他们的研究成果，事实证明学生确实在讨论研究过程中思维得到了拓展和深化。这样处理的地方还有很多，如概念的形成，思维拓展等等，总之在整个设计中，我作为教师是情境的创造者，过程的引导者和启发者，学生才是学习的主体，是知识的探究者和发现者，在课堂中，尽量多的体现了“以人为本”的教育理念。

我在《归纳推理》这节课中让更多的学生参与到了课堂中来，使用多种教学辅助手段，多媒体课件、实物展台与板书教学相结合，对学生各种感官进行全方位、多层次、全面立体的刺激，达到了较好的教学效果，完成了既定的教学目标，通过学生的课堂感悟，反映出学生对归纳推理的全面的、正确的认识。

【推理与证明习题专题】推荐阅读：

类比推理讲义07-14