多元函数的极限与连续习题

多元函数的极限与连续习题（共7篇）

多元函数的极限与连续习题 篇1

1.用极限定义证明:lim(3x2y)14。x2y1

2.讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。

（1）f(x,y)xy； xy

(2)f(x,y)(xy)sisi； 1

x1y

x3y3

(3)f(x,y)2； xy

1(4)f(x,y)ysi。x

3.求极限（1）lim(xy)x0y022x2y2；

（2）limx2y2

xy122x0y0；

（3）lim(xy)sinx0y01； 22xy

sin(x2y2)（4）lim。22x0xyy0

ln(1xy)4.试证明函数f(x,y)xy

x0x0在其定义域上是连续的。

1.用极限定义证明:lim(3x2y)14。

x2y1

因为x2,y1，不妨设|x2|0,|y1|0，有|x2||x24||x2|45，|3x2y14||3x122y2|

3|x2||x2|2|y1|15|x2|2|y1|15[|x2||y1|]

0，要使不等式

|3x2y14|15[|x2||y1|]成立 取min{



30,1}，于是

0，min{



30,1}0，(x,y)：|x2|,|y1|

且(x,y)(2,1)，有|3x2y14|，即证。

2.讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。（1）f(x,y)

xy

； xy

xyxy

limli1，limlim1

y0x0xyx0y0xy

二重极限不存在。

xyxy1

或lim0，li。

x0xyx0xy3

yx

y2x

(2)f(x,y)(xy)sin

11sin； xy

0|(xy)sinsin||x||y|

xy

可以证明lim(|x||y|)0所以limf(x,y)0。

x0y0

x0y0

当x

111，y0时，f(x,y)(xy)sinsin极限不存在，kxy

因此limlim(xy)sisi不存在，x0y0xy

lim(xy)sisi不存在。同理lim

y0x0

x1y

x3y3

(3)f(x,y)2；

xy

2x3

limf(x,y)lim0，x0x0xx

yx

当 P(x, y)沿着yxx趋于（0,0）时有

yxx

x3(x3x2)3limf(x,y)li21，x0x0xx3x223

x0y0

所以 limf(x,y)不存在；

limlimf(x,y)0，limlimf(x,y)0。

x0y0

y0x0

(4)f(x,y)ysinx

0|ysin||y|

x

∴limf(x,y)0，x0y0

limlimysi0，limlimysi不存在。x0y0y0x0xx

3.求极限（1）lim(xy)

x0

y0

2x2y2；

(x2y2)2

0|xyln(xy)||ln(x2y2)|，22

(x2y2)2t

ln(x2y2)limlnt0，又 lim

x0t044

y0

∴lim(xy)

x0

y0

2x2y2

e

limx2y2ln(x2y2)(x,y)(0,0)

1。

（2）lim

x2y2xy1

x0y0；

(x2y2)(x2y21)lim2。lim2222x001xy1xy1x

y0y0

x2y2

（3）lim(xy)sin

x0y0

；22

xy

||xy|，|(xy)sin2

xy

而lim(xy)0

x0

y0

故lim(xy)si20。2x0xyy0

sin(x2y2)

（4）lim。22x0xyy0

令xrcos，yrsin，(x,y)(0,0)时，r0，sin(x2y2)sinr2

limlim21。22x0r0rxyy0

ln(1xy)

4.试证明函数f(x,y)x

y

x0x0

在其定义域上是连续的。

证明：显然f(x, y)的定义域是xy>-1.当x0时，f(x, y)是连续的，只需证明其作为二元函数在y轴的每一点上连续。以下分两种情况讨论。（1）在原点（0,0）处

f(0, 0)=0,当x0时

0ln(1xy)1f(x,y)

xyxyln(1xy)

由于limln1(xy)

x0

y0

1xy

y0,y0

1

1xy

不妨设|ln1(xy)从而0，取

xy

1|1，|ln1(xy)|2，当0|x|,0|y|时，

ln(1xy)

0||yln(1xy)xy||

x

|y||ln(1xy)|2|y|，于是，无论x0,x0，当|x|,|y|时，都有limf(x,y)0f(0,0)

x0y0

1xy

（2）在(0,)处。（0)

xy

当x0时，|f(x,y)f(0,)||yln(1xy)

1xy

|

1(xy)|y(ln1)(y)| 1||y|

|y||ln(1xy)

xy

当x=0时,|f(x,y)f(0,)||y|,1xy

注意到，当0时limln1(xy)

x0

多元函数的极限与连续习题 篇2

一、导函数极限和连续的特殊性概述

二、导函数极限和连续的特殊性应用

例1:如果f (x) 的导函数连续, 那f (x) 是否连续?f (x) 是否为f (x) '的原函数?

解答:可导必连续, 即使f (x) 有导函数, 那么f (x) 也必然连续的, 更别说f (x) 的导函数连续这么强的条件了。f (x) 当然是f (x) '的原函数了。

分析:如果f (x) 可导的前提是它必须得连续, 连续是可导的必要条件。所以f (x) 可导则f (x) 必连续。至于函数存在问题, 首先得弄清楚什么样的函数才存在函数, 只有两类函数才存在原函数, 一是连续函数, 一个是只存在振荡间断点的函数, 具有第一类间断点以及无穷间断点的函数是不存在原函数的。对于本题由于f' (x) 是连续函数所以它的原函数是存在的就是f (x) 。

1. 求常数a的值, 使f (x) 在x=0处连续。

解答:

1.因为这裏不知道φ (x) -cos x与谁等价, 所以我们无法用等价代换, 就是说, 现在我们不知道该用谁代换φ (x) -cos x, 而题目中的条件“φ具有二阶连续导数”, 保证了“φ具有一阶导数”, 从而可以对φ求导数, 所以想到用洛必达法则解决问题, lim (x->0) f (x) =lim (x->0) (φ (x) -cos x) /x=lim (x->0) (φ' (x) +sinx) /1=lim (x->0) (φ' (x) +sin x) =φ' (0) , (此处lim (x->0) φ' (x) =φ' (0) 用到条件“φ具有一阶连续导数”, 这由原条件“φ具有二阶连续导数”可以保证) 要使f (x) 在x=0处连续, 就要成立lim (x->0) f (x) =f (0) , (此处用到连续的定义) 所以要有a=f (0) =φ' (0) 。

三、总结

本文对导函数极限和连续的特殊性及其应用展开讨论, 从客观的角度来说, 导函数极限和连续的特殊性, 能够更好的解答函数习题, 对学生而言, 也具有较大的积极意义, 日后可深入教学, 促进学生更好的理解。另一方面, 在进行导函数极限和连续的特殊性教学时, 应加强类型题的练习, 帮助学生建立属于自己的解题思路, 尽量是将复杂的问题简单化, 通过运用合理的方法来解决, 而不是所有的问题都用一种方法来解决, 这对学生而言是非常困难的, 且不利于学生的逻辑思维发展。

摘要：在数学的学习过程中, 导函数的学习是重点的重点。一般而言, 导函数包含了很多的函数知识, 并且在具体的运用中, 会帮助学生提升逻辑思维能力, 以此来更好的理解导函数的相关知识, 无论是在解题过程中还是在未来的学习中, 导函数都是必不可少的基础部分。相对而言, 导函数的极限和导函数的连续性, 有着一般函数所不具备的特点, 为此应该在具体的教学中, 通过多种类型题, 帮助学生更好的理解和运用。同时, 应根据学生的理解程度和导函数的特点, 制定有效的教学方案, 促进学生更好的学习。

关键词：导函数,极限,连续,特殊性

参考文献

[1]范丽君, 郭挺.一类单调有界光滑函数的导函数极限存在性[J].江西理工大学学报, 2010.

[2]赵志芳, 马艳园.多元函数极限的求法[J].宜春学院学报, 2011.

[3]陈龙卫.函数极限计算的一般步骤及其在考研数学中的应用[J].兰州文理学院学报 (自然科学版) , 2014.

第十三章多元函数的极限和连续性 篇3

第十三章 多元函数的极限和连续性

§

1、平面点集

一 邻域、点列的极限

定义1 在平面上固定一点M0x0,y0，凡是与M0的距离小于的那些点M组成的平面点集，叫做M0的邻域，记为OM0,。

定义2 设Mnxn,yn，M0x0,y0。如果对M0的任何一个邻域OM0,，总存在正整数N，当nN时，有MnOM0,。就称点列Mn收敛，并且收敛于

M0，记为limMnnM0或xn,ynx0,y0n。

性质：（1）xn,ynx0,y0xnx0,yny0。（2）若Mn收敛，则它只有一个极限，即极限是唯一的。二 开集、闭集、区域

设E是一个平面点集。

1． 内点：设M0E，如果存在M0的一个邻域OM0,，使得OM0,E，就称M0是E的内点。2． 外点：设M1E，如果存在M1的一个邻域OM1,，使得OM1,E，就称M1是E的外点。

3． 边界点：设M*是平面上的一点，它可以属于E，也可以不属于E，如果对M*的任何邻域OM*,，其中既有E的点，又有非E中的点，就称M*是E的边界点。E的边界点全体叫做E的边界。4． 开集：如果E的点都是E的内点，就称E是开集。

5． 聚点：设M*是平面上的一点，它可以属于E，也可以不属于E，如果对M*的任何邻域OM*,，至少含有E中一个（不等于M*的）点，就称M*是E的聚点。性质：设M0是E的聚点，则在E中存在一个点列Mn以M0为极限。6． 闭集：设E的所有聚点都在E内，就称E是闭集。

7． 区域：设E是一个开集，并且E中任何两点M1和M2之间都可以用有限条直线段所组成的折线连接起来，而这条折线全部含在E中，就称E是区域。一个区域加上它的边界就是一个闭区域。三平面点集的几个基本定理

1．矩形套定理：设anxbn,cnydn是矩形序列，其中每一个矩形都含在前一个矩形中，并且

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《数学分析（1，2，3）》教案

bnan0，dncn0，那么存在唯一的点属于所有的矩形。

2.致密性定理：如果序列Mnxn,yn有界，那么从其中必能选取收敛的子列。

3.有限覆盖定理：若一开矩形集合x,y覆盖一有界闭区域。那么从里，必可选出有限个开矩形，他们也能覆盖这个区域。

N4．收敛原理：平面点列Mn有极限的充分必要条件是：对任何给定的0，总存在正整数N，当n,m时，有rMn,Mm。

§2 多元函数的极限和连续

一 多元函数的概念

不论在数学的理论问题中还是在实际问题中，许多量的变化，不只由一个因素决定，而是由多个因素决定。例如平行四边行的面积A由它的相邻两边的长x和宽y以及夹角所确定,即Axysin;圆柱体体积V由底半径r和高h所决定,即Vrh。这些都是多元函数的例子。

2一般地，有下面定义：

定义1 设E是R的一个子集，R是实数集，f是一个规律，如果对E中的每一点(x,y)，通过规律f，在R中有唯一的一个u与此对应，则称f是定义在E上的一个二元函数，它在点(x,y)的函数值是u，并记此值为f(x,y)，即uf(x,y)。

有时，二元函数可以用空间的一块曲面表示出来，这为研究问题提供了直观想象。例如，二元函数xR22x2y2就是一个上半球面，球心在原点，半径为R，此函数定义域为满足关系式xyR222222的x，y全体，即D{(x,y)|xyR}。又如，Zxy是马鞍面。二 多元函数的极限

2定义2

设E是R的一个开集，A是一个常数，二元函数fMf(x,y)在点M0x0,y0E附近有定义．如果0，0，当0rM,M0时，有f(M)A，就称A是二元函数在M0点的极限。记为limfMA或fMAMM0。

MM02定义的等价叙述1 设E是R的一个开集，A是一个常数，二元函数fMf(x,y)在点M0x0,y0E附近有定义．如果0，0，当0xx0yy0时，有f(x,y)A，就称A是13-2

《数学分析（1，2，3）》教案

二元函数在M0点的极限。记为limfMA或fMAMM0。

MM02定义的等价叙述2 设E是R的一个开集，A是一个常数，二元函数fMf(x,y)在点M0x0,y0E附近有定义．如果0，0，当0xx0,0yy0且x,yx0,y0时，有

f0f(x,y)A，就称A是二元函数在M0点的极限。记为limMMMA或fMAMM0 。注：（1）和一元函数的情形一样，如果limf(M)A，则当M以任何点列及任何方式趋于M0时，f(M)MM0的极限是A；反之，M以任何方式及任何点列趋于M0时，f(M)的极限是A。但若M在某一点列或沿某一曲线M0时，f(M)的极限为A，还不能肯定f(M)在M0的极限是A。所以说，这里的“”或“”要比一元函数的情形复杂得多，下面举例说明。例：设二元函数f(x,y)xyx2y22，讨论在点(0,0)的的二重极限。

例：设二元函数f(x,y)2xyx2y或2，讨论在点(0,0)的二重极限是否存在。

0,例：f(x,y)1,xy其它y0，讨论该函数的二重极限是否存在。

二元函数的极限较之一元函数的极限而言，要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂。例：limxyxyx2xyysinxyx2。

例：① limx0y0② lim(xy)ln(xy)③ lim(xy)ex0y0xy2222222(xy)

例：求f(x,y)xy3223xy在（０，０）点的极限，若用极坐标替换则为limrr0coscos32sin23sin0?（注意：cos3sin在374时为０，此时无界）。

xyx22例：（极坐标法再举例）：设二元函数f(x,y)y2，讨论在点(0,0)的二重极限．

证明二元极限不存在的方法．

基本思想：根据重极限定义，若重极限存在，则它沿任何路径的极限都应存在且相等，故若１）某个特殊路径的极限不存在；或２）某两个特殊路径的极限不等；３）或用极坐标法，说明极限与辐角有关． 例：f(x,y)xyx2y2在(0,0)的二重极限不存在．

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《数学分析（1，2，3）》教案

三

二元函数的连续性

定义3

设fM在M0点有定义，如果limf(M)f(M0)，则称fM在M0点连续．

MM0“语言”描述：0,0,当0

四 有界闭区域上连续函数的性质

有界性定理

若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上有界。一致连续性定理

若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上一致连续。

最大值最小值定理

若fx,y再有界闭区域D上连续，则它在D上必有最大值和最小值。

nP0和P1是D内任意两点，f是D内的连续函数，零点存在定理

设D是R中的一个区域，如果f(P0)0，f(P1)0，则在D内任何一条连结P0,P1的折线上，至少存在一点Ps，使f(Ps)0。

五

二重极限和二次极限

在极限limf(x,y)中，两个自变量同时以任何方式趋于x0,y0，这种极限也叫做重极限（二重极限）．此xx0yy0外，我们还要讨论当x,y先后相继地趋于x0与y0时f(x,y)的极限．这种极限称为累次极限（二次极限），其定义如下：

若对任一固定的y，当xx0时，f(x,y)的极限存在：limf(x,y)(y),而(y)在yy0时的xx0极限也存在并等于A，亦即lim(y)A，那么称A为f(x,y)先对x，再对y的二次极限，记为yy0limlimf(x,y)A．

yy0xx0同样可定义先y后x的二次极限：limlimf(x,y)．

xx0yy0上述两类极限统称为累次极限。

注意：二次极限（累次极限）与二重极限（重极限）没有什么必然的联系。例：（二重极限存在，但两个二次极限不存在）．设

11xsinysinyxf(x,y)0x0,y0x0ory0

由f(x,y)xy 得limf(x,y)0（两边夹）;由limsinx0y0y01y不存在知f(x,y)的累次极限不存在。

例：（两个二次极限存在且相等，但二重极限不存在）。设

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f(x,y)xyx2y2，(x,y)(0,0)

由limlimf(x,y)limlimf(x,y)0知两个二次极限存在且相等。但由前面知limf(x,y)不存在。

x0y0y0x0x0y0例：（两个二次极限存在，但不相等）。设

f(x,y)xx22yy22，(x,y)(0,0)

则 limlimf(x,y)1，limlimf(x,y)1;limlimf(x,y)limlimf(x,y)（不可交换）

x0y0y0x0x0y0y0x0上面诸例说明：二次极限存在与否和二重极限存在与否，二者之间没有一定的关系。但在某些条件下，它们之间会有一些联系。

定理1 设（1）二重极限limf(x,y)A；（2）y,yy0，limf(x,y)(y)。则

xx0yy0xx0yy0lim(y)limlimf(x,y)A。

yy0xx0（定理1说明：在重极限与一个累次极限都存在时，它们必相等。但并不意味着另一累次极限存在）。推论1

设（1）limf(x,y)A；（2）y,yy0，limf(x,y)存在；（3）x,xx0，limf(x,y)xx0yy0xx0yy0存在；则limlimf(x,y)，limlimf(x,y)都存在，并且等于二重极限limf(x,y)。

yy0xx0xx0yy0xx0yy0推论2 若累次极限limlimf(x,y)与limlimf(x,y)存在但不相等，则重极限limf(x,y)必不存在（可xx0yy0yy0xx0xx0yy0用于否定重极限的存在性）。例：求函数fx,yxy22222xyxy在0,0的二次极限和二重极限。

多元函数的极限与连续习题 篇4

一、选择题

－(x－1)－11＝lim ＝－.故选A.2x1(x－1)(x－2)(x－3)x→1(x－2)(x－3)

2.解析：若limf(x)和limg(x)都存在，则lim[f(x)－g(x)]＝limf(x)－limg(x)＝0，即limf(x)＝limg(x)． →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞1.解析：原式＝lim →xxxxxxx故选C.2－223.解析：已知x＝2是x＋ax－2＝0的根，则a1，故选D.22

122mma1CmxCmxCmx(1x)malimb 4解析：limx0x0xx

a101a=-1,b=m,故ab=-m选A Cbm

x1(x1)f(x)2xa(x1)且limf(x)存在，则a的值为_－1_______.5.如果函数x1

6．解：∵lim(x－x＋1－a1x－b1)＝lim →－∞→－∞xx22(1－a21)x－(2a1b1＋1)x＋1－b1x－x＋1＋a1x＋b1＝0，∴1－a21＝0①

1－b21－(2a1b1＋1)－2x－(2a1b1＋1)x＋1－b12a1b1＋1且lim lim ＝x→－∞1－a111bx－x＋1＋a1x＋b1x→－∞1－a1－xxx

从而2a1b1＋1＝0②

1－a1≠0③

1联立解①②③得a1＝－1，b12

1同理可求得a2＝1，b2＝－.2

x2＋cx＋2b27已知lim a，且函数y＝－alnx＋c在[1，e]上存在反函数，求b的取值范围． xx→－2x＋2

x2＋cx＋2解：∵lim a，x→－2x＋2x2＋3x＋22∴x＝－2为x＋cx＋2＝0的根，解得c＝3.又lim ＝lim(x＋1)＝－1，∴a＝－1.x→－2x→－2x＋2

b2lnxb2xlnx－b∴y＝ln2x＋＋3，y′＝－＝xxxxb∵y＝ln2x＋＋3在[1，e]上存在反函数，x

∴y′≥0或y′≤0在[1，e]上恒成立．

函数、极限和连续试题及答案 篇5

1.选择题（正确答案可能不止一个）。（1）下列数列收敛的是（）。A.xnn1n(1)n

B.xn1n(1)n

C.xnnsinD.xn2n（2）下列极限存在的有（）。

A.lim1xsinx

B.xlimxsinx

C.lim11x02xD.limn2n21

（3）下列极限不正确的是（）。

A.lim(x1)2

B.lim1x1x0x11 12C.lim4x2xx2

D.xlim0e（4）下列变量在给定的变化过程中，是无穷小量的有（）。A.2x1(x0)

B.sinxx(x0)

2C.ex(x)

D.xx1(2sin1x)(x0)1（5）如果函数f(x)xsinx,x0;a,x0;在x0处连续，则a、b的值为（xsin1xb,x0.A.a0,b0

B.a1,b1 C.a1,b0

D.a0,b1 2.求下列极限：

（1）lim(x322x13x1)；

（2）xlim2(3x2x5)；

（3）lim1x(1x3)；

（4）limx30x2x2x；

x28x2（5）limx3x3；

（6）lim16x4x4；

（7）limx21x2x12x2x1；

（8）lim；

x2x2。）（9）limx0cosx1x1；

（10）lim；

xxxx33x1x43x1（11）lim；

（12）lim；

x3x3xx5x4x3x33x19x33x1（13）lim；

（14）lim； 42xxxxx1x3.（15）limx03xsin2x，x023.设f(x)2x1，0x1，求limf(x)，limf(x)，limf(x)，limf(x)。

1x0x3x1x3(x1)3，x124.证明：xsinx~x(x0)。

5.求下列函数的连续区间：

2x1,x1;（1）yln(3x)9x；

（2）y2

x1,x1.26.证明limx2x2不存在.x21xsin,x0;x7.设f(x)求f(x)在x0时的左极限，并说明它在x0时10x.sin,x右极限是否存在？

8.证明lim(n1n121n221nn2)存在并求极限值。

x21axb)0，求a、b的值。9.若lim(xx1

答案

1.（1）B；（2）BD；

（3）C；

（4）ACD ；（5）B.2.（1）-1；（2）3；（3）

21；（4）；（5）；（6）8；

36（7）21111；

（8）；（9）；（10）0；（11）；（12）； 323522（13）0；（14）；（15）

1.9x123.limf(x)3, limf(x)不存在, limf(x)x1x03, limf(x)11.2x35.（1）[3,3)；

多元函数的极限与连续习题 篇6

函数的连续性及极限的应用

1.函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在点x=x0处有定义，limf(x)存在，且limf(x)=f(x0)，xx0

xx0那么函数f(x)在点x=x0处连续.2．.函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三个条件.(1)函数f(x)在点x=x0处有定义；

(2)limf(x)存在；

xx0(3)limf(x)=f(x0)，即函数f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值.xx0如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f(x)在点x0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义． 3.函数连续性的运算: ①若f(x)，g(x)都在点x0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)•g(x)，f(x)(g(x)≠0)也在点

g(x)x0处连续。

②若u(x)都在点x0处连续，且f(u)在u0=u(x0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x0处连续。

4.函数f(x)在(a，b)内连续的定义：

如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续函数.f(x)在开区间(a，b)内的每一点以及在a、b两点都连续，现在函数f(x)的定义域是［a，b］，若在a点连续，则f(x)在a点的极限存在并且等于f(a)，即在a点的左、右极限都存在，且都等于f(a)，f(x)在(a，b)内的每一点处连续，在a点处右极限存在等于f(a)，在b点处左极限存在等于f(b).5.函数f(x)在［a，b］上连续的定义：

如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有

xalimf(x)=f(a)，在右端点x=b处有xblimf(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数.6.最大值最小值定理

如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值 7.特别注意：函数f(x)在x=x0处连续与函数f(x)在x=x0处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。”

二、问题讨论 ●点击双基

1.f（x）在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有定义的_________条件.A.充分不必要

B.必要不充分

C.充要

D.既不充分又不必要 解析：f（x）在x=x0处有定义不一定连续.答案：A πx的不连续点为 2.f（x）=πcosxcosA.x=0 B.x=2（k=0,±1,±2,„）2k1C.x=0和x=2kπ（k=0,±1,±2,„）

2（k=0,±1,±2,„）2k12πππ解析：由cos=0,得=kπ+（k∈Z）,∴x=(kZ).2k1xx2D.x=0和x=又x=0也不是连续点,故选D 答案：D 3.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是

yyOx0xOx0x①yy②Ox0xOx0x

A.①

B.②③

C.①④

D.③④ 答案：A

④③4.四个函数:①f（x）=

1;②g（x）=sinx;③f（x）=|x|;④f（x）=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0x处连续的函数是____________.（把你认为正确的代号都填上）

答案：②③④

例1：讨论下列函数在给定点或区间上的连续性

1ex1(x0)，点x=0；(1)f(x)1ex11(x0)x22(2)f(x)x4(x1)，点x=－1。

(x1)解：（1）当x→0时，－1e1lim，lime0，因此=－1，1x0x0xex11x1x而limx0e1e11x1x=lim(1x02e11xf(x)limf(x)，)=1，∵limx0x0∴f(x)在x=0处极限不存在，因此f(x)在x=0处不连续。

2（2）∵limf(x)lim(x2)3，limf(x)lim(x4)3，f(1)3，x1x1x1x1∴limf(x)3f(1)，因此函数f(x)在x=－1处连续。

x1【思维点拨】函数在某点连续当且仅当函数在该点左、右连续（闭区间的端点例外）。

例2.(优化P208例1)1(x>0)(1)讨论函数f(x)=0(x=0),在点x0处的连续性-1(x<0)x(2)讨论函数f(x)=在区间0,3上的连续性x-3剖析：（1）需判断limf（x）=limf（x）=f（0）.x0x0（2）需判断f（x）在（0,3）上的连续性及在x=0处右连续,在x=3处左连续.解:（1）∵limf（x）=－1, limf（x）=1, x0x0x0f（x）, limf（x）≠limx0∴limf（x）不存在.∴f（x）在x=0处不连续.x0（2）∵f（x）在x=3处无定义, ∴f（x）在x=3处不连续.∴f（x）在区间［0,3］上不连续.x24练习：讨论函数f(x)的连续性；适当定义某点的函数值，使f(x)在区间(－3,3)

x2内连续。

解：显然函数的定义域为(,2)(2,)，当x2时，f(x)x2，∴f(x)在(,2)上连续，在(2,)上连续。而f(x)在x2处不连续。

x24又∵limlim(x2)4，不妨设f(2)4，x2x2x2x24(x2)此时，f(x)在区间(－3,3)内连续。于是f(x)x2(x2)4例3.(优化P208例2)ex(x0)设函数f(x)= ax(x0)

当a为何值时,函数f(x)是连续的x解:limf（x）=（a+x）=a, f（x）=e=1,而f（0）=a,故当a=1时，limlimlimx0x0x0x0x0limf（x）=f（0）, 即说明函数f（x）在x=0处连续,而在x≠0时,f（x）显然连续,于是我们可判断当a=1时, f（x）在（－∞,+∞）内是连续的.评述：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.例4.如图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法:从原点出发,在x轴上向正方向前进a(a>0)个单位后,向左转900,前进ar(0

(1)若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原

y定方案相同,则大本营在何处寻找小分队?(2)若其中的r 为变量,且0

备用：

Ox例题：利用连续函数的图象特征，判断方程：2x5x10是否存在实数根。

3解：设f(x)2x5x1，则f(x)在R上连续，又f(0)1,f(3)380，因此在3[－3，0]内必存在点x0使得f(x0)0，所以x0是方程2x5x10的一个实数根，因此方程2x5x10有实根。

【思维点拨】要判断方程是否有实根，即判断对应的连续函数yf(x)的图象是否与x轴有交点。

五、小结

1．函数f(x)在x=x0处连续必须具备三个条件：Ⅰ）函数f(x)在x=x0处及其附近有定义；Ⅱ）函数f(x)在x=x0处有极限；Ⅲ）函数f(x)在x=x0处的极限值等于这一点处的函数值f(x0)。2．如果函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续函数，那么函数f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值。

函数与极限(上) 篇7

第一节 映射与函数

A.集合的表达方式：很基础，要求快速准确地写出。

注：*表数集内排除0；+表示数集内排除0和负数；真子集符号。

B.集合运算：这些在概率里会有应用，但部分含义是有区别的。（具体内容见概率部分）注：差集的表示AB；集合运算的四个定律，尤其是对偶律。

C.映射：这些内容的理解直接影响着对函数概念的深入理解。

注：构成映射的三个要素与判断函数是否相同的两个要素；逆映射和复合映射与反函数和复合函数的联系。

D.函数：概念，参照上面C。

E.函数的几种特性：这些应该很Easy了，但不要马虎。

注：有界既有上界也有下界；单调性是对包含在定义域内的某个区间而言的；奇偶性的前提是函数定义域要关于原点对称；周期性的前提是函数定义域是无穷集。

F.反函数和复合函数：参照C。

注：复合函数经常考查的知识点，比如求解定义域，书写表达式等，这些从它的定义出发去求解是个很好的方法，详见后面例题。

G.基本初等函数和初等函数：要对5类基本初等函数的各方面性质十分熟悉，能画草图。

例题

【课后习题】

P21第5题，考查函数二要素：定义域和对应法则。（3）是同一函数，其他的定义域均不同。推荐做一下6题（画草图）、16题（复合函数）、17题（写函数表达式一定不要遗忘定义域）。

【相关真题】

90年：设函数f(x)1,x

10,x1,则f[f(x)]=________。

分析：复合函数f·g的定义要求中间函数g的值域要在“外”函数f的定义域内，所以从g的值域入手，按定义求解，这里的g即f(x)。

解： “内”函数f(x)当|x|≤1时，其值为1，此时1属于“外”函数定义区间 |x|≤1，所以复合后的值为“外”函数|x|≤1时的值，即等于1；

“内”函数f(x)当|x|>1时，其值为0，此时0属于“外”函数定义区间 |x|≤1，所以复合后的值为“外”函数|x|≤1时的值，同样等于1。

综上，此题结果f[f(x)]=1。

注：这一节的题目大多会作为其他题目的一个解题环节，很基础，但一定要掌握扎实。

第二节 数列的极限

A.概念：任意给定正数ε，总存在正整数N,对于n>N的一切xn均满足极限不等式。

注：1.极限等于无穷只是一种极限不存在的特殊情况的描述，并非极限存在2.对极限定义任意方式的描述，必须满足以上三点红色字体内容。（即可以等价过来）

B.收敛(极限存在)数列的性质：唯一性(多用于反证)、有界性、保号性、任一子数列同收敛 注：此处的数列极限有界性和保号性与函数极限相应性质的区别（见后）

第三节 函数的极限

A.概念：对于自变量趋于有限值的情况，描述中重点是邻域，且可以是去心邻域，也就是某点有无定义不影响此点是否有极限；自变量趋于无穷时，表达类似于数列极限。注：双侧极限，即左右极限，尤其在分段点处。

B.函数极限的性质：唯一性、有界性(局部)、保号性(局部)及其两个推论、与数列极限的关系

注：1.函数的有界性和保号性都是局部性质，都是指在极限存在的前提下，会存在自变量的某个去心邻域满足有界性和保号性，且此去心邻域包含在满足极限存在的去心邻域中。2.函数极限与数列极限关系的三个前提条件：自变量趋于某个有限值时函数极限存在、数列为函数定义域内收敛于那个有限值的数列、数列元素不包含那个有限值。

例题

【课后习题】

P37、38第1、2、3题，建议做一下，考查函数极限定义，很基本，别马虎

P39第12题，函数极限局部有界性的定义扩展。实质是当函数极限存在时，都可以找到两个参数来描述有界：1.x趋于有限值的两个参数：某个去心邻域，某个界定函数值M，当x在此邻域内函数满足有界性。2.x趋于无穷时的两个参数：某个大X，某个界定函数值M，当|x|>X时函数满足有界性。

【相关真题】

此部分相关知识点的考查，大多为其他题目的一个解题环节，比如局部有界性和局部保号性（后面章节会提及），还有双侧极限的考查频率很高，但大多注意分段点及某些特殊点处求解左右极限即可，难度一般不大。92年：当x趋于1时，求解函数

x1x

1e

x1的极限。（原题是选择题）

分析：显然x=1是此函数的特殊点，需要分双侧极限讨论。

lim

x1x1x1x1

2解：

x1

ex1lim(x1)ex1(此时

x1

1x11

)

x1

limex1lim(x1)ex10(此时

x1

x1

)

所以极限不存在，也不是无穷。

第四节 无穷小与无穷大

A.概念：无穷小与去穷大即指函数在自变量的某个趋向下其极限值是0或无穷。B.性质：1.函数极限存在函数等于极限值+无穷小（多用去证明中去掉极限符号）2.同一趋近下的无穷小与无穷大的倒数关系，注意何时要求f(x)≠0

C.渐近线：水平y=a(x趋于无穷时函数的极限值为a)、垂直x=a(x趋于有限值a函数极限值为无穷)、斜渐近线y=kx+b(x趋于无穷,分式

例题

【课后习题】

P42第5、6、7题，建议做一下,熟练掌握极限定义，区分无界与极限为无穷以及极限不存在的区别与联系。

第五节 极限的运算法则

A.定理：注意描述中的有限，如有限个无穷小的和与积也是无穷小，当无限时情况不定；有界函数与无穷的乘积为无穷小（应用频率很高）、极限的四则运算的前提（如必须每个参与运算的函数其极限必须存在、再如极限的商以及数列的极限运算）B.不等关系：极限保号性的应用

C.复合函数的极限：1.满足复合函数的存在前提；2.内函数的极限值以及内函数的函数值满足使外函数在此值处极限存在的前提。此处求解时多用变量代换。

f(x)x的极限为k，算式f(x)kx的极限为b)

例题

【课后习题】

P49第4、5题，对定理的理解考查，注意定理成立的各个前提条件。【相关真题】

P49第4题本就是2003的一道选择题。分析：（1）和（2）描述本质一致，所以排除；（3）为0* ，结果未定，故排除；选（4）解：极限不等式成立的条件，对于数列是“存在一个N，当n>N时，一切…”，所以不是对于任意n成立，故（1）（2）、错。同一趋近下无穷小与无穷大的乘积结果未定，如an0,cnn，此时满足假设，二者乘积显然为0，故极限为0；若an

1n,cnn，也满足假设，但二者

乘积为n，此时极限为不存在，所以（3）错。（4）可用反证法，若存在，则

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