典型统计案例教案（精选6篇）
【知识特点】
1.统计中所学的内容是数理统计中最基本的问题，通过这些内容主要来介绍相关的统计思想和方法，了解一些有关统计学的基本知识，并能够应用几个基本概念、基本公式来处理实际生活中的一些基本问题。
2.统计案例为新课标中新增内容，主要是通过案例体会运用统计方法解决实际问题的思想和方法。增加了统计和统计案例后，使得高中数学的整个体系更加完善了，有利于开阔数学视野，丰富数学思想和方法。
【重点关注】
1.从对新课标高考试题的分析可以发现,主要考查抽样方法、各种统计图表、样本数字特征等。对这部分的考查主要以选择题和填空题的形式出现。
2.统计案例中的独立性检验和回归分析也会逐步在高考题中出现,难度不会太大,多数情况下是考查两种统计分析方法的简单知识,以选择题和填空题为主。
【地位与作用】
《全国新课程标准高考数学考试大纲》中对考生能力要求明确界定为空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识等六个方面，其中数据处理能力是首次提出的一个能力要求，这定义为：会收集数据、整理数据、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断。数据处理能力主要依据统计（高考考试大纲对知识点要求如下表所示）或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题，对统计的要求已提升到能力的高度。
统计的思想方法广泛应用于自然科学和社会科学的研究中，统计的语言不仅是数学的语言，也是各学科经常引用的大众语言，统计知识是作为一个新时期公民所比备的知识。统计学就是应用科学的方法收集、整理、分析、描述所要研究的数据资料，然后根据所得到的结果，进行推断或决策的一门实用性很强的科学。统计这部分内容，在高中数学新课程中，主要分布在必修3第二章（约16课时）与选修2—3第三章（约9课时）。相对于高中学生的认知水平和生活经历还相对不是很高，所以它只能属于非重点内容，所出的相关题目一般来说都相对比较简单。但它紧密联系人们的生产生活实际，内容方法比较灵活，为命高考数学应用题提供了一个广阔的领域，将会越来越受到重视。
从最近几年各省份的高考信息统计可以看出，本单元命题呈现以下特点： 1.考查题型以选择、填空为主,分值均占4%～8%,基本属于容易题;2.重点考查用样本估计总体,特别是频率分布直方图的应用,以及用样本的数字特征估计总体的数字特征,考查的知识是本章的重点内容;3.预计本章在今后的高考中仍将在“用样本估计总体”中命题,别外由于在2007年广东高考中出现了关于变量间的相关关系的解答题,这就需要引起对变量相关关系的重视.10.1随机抽样
【高考目标定位】
一、考纲点击
1.理解随机抽样的必要性和重要性;2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;3.了解分层抽样和系统抽样方法.二、热点提示
1.本节主要考查学生在应用问题中构造抽样模型、识别模型、收集数据等能力方法,是统计学中最基础的知识;2.本部分在高考试题中主要以选择题或填空题的形式出现,题目多为中低档题,重在考查抽样方法的应用.【考纲知识梳理】
1.简单随机抽样
(1)定义:设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.(2)最常用的简单随机抽样的方法:抽签法和随机数法.2.系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.(1)先将总体的N个个体编号;(2)确定分段间隔k,对编号进行分段,当是
NN整数时,取k=;nn(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(lk);(4)按照一定的规则抽取样本,通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l+k),再加k得到第3个个体编号(l+2k),依次进行下去,直到获取整个样本.3.分层抽样
(1)定义:在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样.(2)分层抽样的应用范围: 当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.注:三种抽样方法的共同点和联系:(1)抽样过程中每个个体被抽取的机会均等;(2)系统抽样中在分段后确定第一个个体时采用简单随机抽样,分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样.【热点难点精析】
(一)简单随机抽样 ※相关链接※ 简单随机抽样的特点:(1)抽取的个体数较少;(2)逐个抽取;(3)是不放回抽取;(4)是等可能抽取.注:抽签法适于总体中个体数较少的情况,随机数表法适用于总体中个体数较多的情况.※例题解析※
〖例〗某大学为了支持2010年亚运会,从报名的24名大三的学生中选6人组成志愿小组,请用抽签法和随机数表法设计抽样方案.思想解析:(1)总体的个体数较少,利用抽签法或随机数表法可容易获取样本;(2)抽签法的操作要点:编号、制签、搅匀、抽取;(3)随机数表法的操作要点:编号、选起始数、读数、获取样本.解答:抽签法
第一步:将24名志愿者编号,编号为1,2,3,„„,24;第二步:将24个号码分别写在24张外形完全相同的纸条上,并揉成团,制成号签;第三步:将24个号签放入一个不透明的盒子中,充分搅匀;第四步：从盒子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号； 第五步:所得号码对应的志愿者,就是志愿小组的成员.随机数表法
第一步:将24名学生编号,编号为01,02,03,„„24;第二步:在随机数表中任选一数开始,按某一确定方向读数;第三步:凡不在01～24中的数或已读过的数,都跳过去不作记录,依次记录下得数;第四步:找出号码与记录的数相同的学生组成志愿小组.(二)系统抽样 ※相关链接※ 系统抽样的特点
(1)适用于元素个数很多且均衡的总体;(2)各个个体被抽到的机会均等;(3)总体分组后,在起始部分采用的是简单随机抽样;(4)如果总体容量N能被样本容量n整除,则抽样间隔为k可随机地从总体中剔除余数,然后再按系统抽样的方法抽样.注:系统抽样的四个步骤可简记为“编号——分段——确定起始的个体号——抽取样本”.※例题解析※
〖例〗某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2,3,„„,295,为了了解学生的学习情况,要按1:5的比例抽取一个样本,用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程.思路解析:按比例分组每组编号用简单随机抽样确定每一组的学生编号间隔相同抽取组成样本.解答:按1:5分段,每段5人,共分59段,每段抽取一人,关键是确定第1段的编号.按照1:5的比例,应该抽取的样本容量为295÷5=59,我们把295名同学分成59组,每组5人.第一组是编号为1～5的5名学生,第2组是编号为6～1的5名学生,依次下去,第59组是编号为291～295的5名学生.N,如果总体容量N不能被样本容量n整除,n采用简单随机抽样的方法,从第1组5名学生中抽出一名学生,不妨设编号为l(1l5),那么抽取的学生编号为l5k(k0,1,2,3,8,13,„„,288,293.(三)分层抽样
〖例〗某政府机关有在编有员100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人.上级机关为了了解政府机构改革意见,要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用何种方法抽取,请具体实施抽取.思路解析:(1)机构改革关系到名种人不同的利益;(2)不同层次的人员情况有明显差异,故采用分层抽样.解答:用分层抽样方法抽取.具体实施抽取如下:(1)∵20:100=1:5,∴10/5=2,70/5=14,20/5=4,∴从副处级以上干部中抽取2人,从一般干部中抽取14人,从工人中抽取4人.(2)因副处级以上干部与工人的人数较少,他们分别按1～10编号与1～20编号,然后采用抽签法分别抽取2人和4人;对一般干部70人采用00,01,02,，„„，69编号，然后用随机数表法抽取14人。
(3)将2人,4人,14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本.注:分层抽样的操作步骤及特点(1)操作步骤
①将总体按一定标准进行分层;②计算各层的个体数与总体数的比,按各层个体数点总体数的比确定各层应抽取的样本容量;③在每层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样).(2)特点
①适用于总体由差异明显的几部分组成的情况;②更充分地反映了总体的情况;③等可能地抽样,每个个体被抽下马看花 可能性都是
得,5到59个个体作为样本,如当l3时的样本编号为
n.N【感悟高考真题】
1.（2010重庆文数）（5）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（A）7（B）15（C）25（D）35 解析：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7:5:3，所以样本容量为
771515
2.（2010四川文数）（4）一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是
（A）12,24,15,9（B）9,12,12,7（C）8,15,12,5（D）8,16,10,6 解析：因为401 ***208，16，10，6 20202020 故各层中依次抽取的人数分别是答案：D
3.（2010北京理数）（11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a＝。若要从身高在[ 120 , 130），[130，140), [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为。答案：0.030 3 【考点精题精练】
一、选择题
1.在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性(D)A、与第n次有关，第一次可能性最大 B、与第n次有关，第一次可能性最小
C、与第n次无关，与抽取的第n个样本有关 D、与第n次无关，每次可能性相等
2.对于简单随机抽样，每次抽到的概率（A）
A、相等 B、不相等 C、可相等可不相等 D、无法确定
3.一个年级有12个班，每个班从1-50排学号，为了交流学习经验，要求每班的14参加交流活动，这里运用的抽样方法是（C）A、简单随抽样 B、抽签法 C、随机数表法 D、以上都不对
4.搞某一市场调查，规定在大都会商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的调查人数为止，这种抽样方式是（D）
A、系统抽样 B、分层抽样
C、简单随机抽样 D、非以上三种抽样方法
5.为了了解所加工的一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是（A）
A、总体 B、个体 C、总体的一个样本 D、样本容量
6.为了分析高三年级的8个班400名学生第一次高考模拟考试的数学成绩，决定在8个班中每班随机抽取12份试卷进行分析，这个问题中样本容量是（B）
A、8 B、400 C、96 D、96名学生的成绩
7.为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是（D）A．1000名运动员是总体
B．每个运动员是个体 D．样本容量是100 C．抽取的100名运动员是样本
解析：这个问题我们研究的是运动员的年龄情况，因此应选D。答案：D 8.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（B）A．30人，30人，30人
B．30人，45人，15人 C．20人，30人，10人
D．30人，50人，10人 解析：B；
点评：根据样本容量和总体容量确定抽样比，最终得到每层中学生人数
9.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 A．分层抽样法，系统抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法
B．分层抽样法，简单随机抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法
分析：此题为抽样方法的选取问题.当总体中个体较多时宜采用系统抽样；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较少时，宜采用随机抽样.依据题意，第①项调查应采用分层抽样法、第②项调查应采用简单随机抽样法.故选B.答案：B 10.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，„，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，„，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是（）
A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样 C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样
解析：D。
点评：采用什么样的抽样方法要依据研究的总体中的个体情况来定
11.某学校为了解高一800名新入学同学的数学学习水平，从中随机抽取100名同学的中考数学成绩进行分析，在这个问题中，下列说法正确的是（）（A）800名同学是总体（B）100名同学是样本（C）每名同学是个体（D）样本容量是100 【解析】选D.据题意总体是指800名新入学同学的中考数学成绩，样本是指抽取的100名同学的中考数学成绩，个体是指每名同学的中考数学成绩，样本容量是100，故只有D正确.12.从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）
（A）5,10,15,20,2（B）3,13,23,33,43（C）1,2,3,4,5
（D）2,4,8,16,32 【解析】选B.据题意从50枚中抽取5枚，故分段间隔k=
二、填空题
=10,故只有B符合条件.13.某中学为了了解高一学生的年龄情况，从所有的1 800名高一学生中抽出100名调查，则样本是______.【解析】样本是指从总体中抽取的一部分个体，故本题中的样本是这100名同学的年龄.答案：这100名同学的年龄 14.对有n(n≥4)个元素的总体
1,2,,n进行抽样，先将总体分成两个子总体1,2,,m和m1,m2,,n(m是给定的正整数，且2≤m≤n-2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用Pij表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则
nPP1n=;所有ij(1≤i＜j≤的和等于.4【答案】m(nm), 6 11CmC4(m1)(nm1)41nm1P;1n22CmCnmm(m1)(nm)(nm1)m(nm)第二空可分: 【解析】
2CmPij21i,j1,2,,mCm①当 时,;m1,m2,,n时, Pij1;②当 i,j③当所以i1,2,,m,jm1,m2,,n时, Pij1146.Pijm(nm)44m(nm);点评：当总体中个体个数较多而差异又不大时可采用系统抽样。采用系统抽样在每小组内抽取时应按规则进行
15.某校有学生1 387名，若采用系统抽样法从中抽取9名同学参加中学生身体素质检测，若要采用系统抽样，则先从总体中剔除的人数为______名.【解析】由于1 387除以9得154余1，故应先从1 387名同学中随机剔除1名同学.答案：1 16.某校高中部有三个年级，其中高三有学生1 000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有______名学生.【解析】由题意知从高三年级抽取的人数为185-75-60=50人.所以该校高中部的总人数为700（人）.答案：3 700
三、解答题
×1 000=3 17.今用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本。问：① 总体中的某一个体a在第一次抽取时被抽到的概率是多少?② 个体a不是在第1次未被抽到，而是在第2次被抽到的概率是多少?③ 在整个抽样过程中，个体a被抽到的概率是多少? 111解析：（1）3，（2）3，（3）3。
点评：由问题(1)的解答，出示简单随机抽样的定义，问题(2)是本讲难点。基于此，简单随机抽样体现了抽样的客观性与公平性
18.某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛.为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3 000名初中生、4 000名高中生中作问卷调查，如果要在所有答卷中抽出120份用于评估.（1）应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？
（2）要从3 000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应如何操作？（3）为了从4 000份高中生的答卷中抽取一个容量为64的样本，如何使用系统抽样抽取到所需的样本？ 【解析】（1）由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样.因为样本容量=120,总体个数=500+3000+4000=7500,则抽样比:
12022,所以有500×=8,3000×750012512522=48,4000×=64,所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.125125分层抽样的步骤是：
①分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层.②确定每层抽取个体的个数：在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64.③各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取样本.④综合每层抽样，组成样本.这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论.（2）由于简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数法.如果用抽签法，要作3 000个号签，费时费力，因此采用随机数表法抽取样本，步骤是：
例1 下列命题：
(1)3，3，4，4，5，5，5的众数是5；
(2)3，3，4，4，5，5，5的中位数是4.5；
(3)频率分布直方图中每一个小长方形的面积等于该组的频率；
(4)频率分布表中各小组的频数之和等于1
以上各题中正确命题的个数是 [ ]．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
分析：回忆统计初步中众数、中位数、频数、频率等概念，认真分析每个命题的真假．
解：(1)数据3，3，4，4，5，5，5中5出现次数最多3次，5是众数，是真命题．
(2)数据3，3，4，4，5，5，5有七个数据，中间数据是4不是4.5，是假命题．
(3)由频率分布直方图中的结构知，是真命题．
(4)频率分布表中各小组的频数之和是这组数据的个数而不是1，是假命题．
所以正确命题的个数是2个，应选B．
例2 选择题：
(1)甲、乙两个样本，甲的样本方差是0.4，乙的样本方差是0.2，那么 [ ]
A．甲的波动比乙的波动大；
B．乙的波动比甲的波动大；
C．甲、乙的波动大小一样；
D．甲、乙的波动大小关系不能确定．
(2)在频率直方图中，每个小长方形的面积等于 [ ]
A．组距 B．组数
C．每小组的频数 D．每小组的频率
分析：用样本方差来衡量一个样本波动大小，样本方差越大说明样本的波动越大．
用心 爱心 专心
122号编辑
解：(1)∵0.4＞0.2，∴甲的波动比乙的波动大，选A．
例3 为了了解中年人在科技队伍中的比例，对某科研单位全体科技人员的年龄进行登记，结果如下(单位：岁)
44，40，31，38，43，45，56，45，46，42，55，41，44，46，52，39，46，47，36，50，47，54，50，39，30，48，48，52，39，46，44，41，49，53，64，49，49，61，48，47，59，55，51，67，60，56，65，59，45，28．
列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图．
解：按五个步骤进行：
(1)求数据最大值和最小值：
已知数据的最大值是67，最小值是28
∴最大值与最小值之差为67-28=39
(2)求组距与组数：
组距为5(岁)，分为8组．
(3)决定分点
(4)列频分布表
用心 爱心 专心
122号编辑
(5)绘频率分布直方图：
例4 某校抽检64名学生的体重如下(单位：千克)．
列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图．
分析：对这组数据进行适当整理，一步步按规定步骤进行．
解：(1)计算最大值与最小值的差：48-29=19(千克)
(2)决定组距与组数
样本容量是64，最大值与最小值的差是19千克，如果取组距为2千克，19÷2=9.5，分10组比较合适．
(3)决定分点，使分点比数据多取一位小数，第一组起点数定为28.5，其它分点见下表．
(4)列频率分布表．
用心 爱心 专心
122号编辑
(5)画频率分布直方图(见图3-1)
说明：
长方形的高与频数成正比，如果设频数为1的小长方形的高为h，频数为4时，相应的小长方形的高就应该是4h．
例5 有一个容量为60的样本，(60名学生的数学考试成绩)，分组情况如下表：
(1)填出表中所剩的空格；
(2)画出频率分布直方图．
分析：
用心 爱心 专心
122号编辑
各组频数之和为60
各组频率之和为1
解：
因为各小组频率之和=1
所以第4小组频率=1-0.05-0.1-0.2-0.3=0.35
所以第4小组频数=0.35×60=第5小组频数=0.3×60=18
(2)
例6 某班学生一次数学考试成绩的频率分布直方图，其中纵轴表示学生数，观察图形，回答：
(1)全班有多少学生？
用心 爱心 专心
122号编辑
(2)此次考试平均成绩大概是多少？
(3)不及格的人数有多少？占全班多大比例？
(4)如果80分以上的成绩算优良，那么这个班的优良率是多少？
分析：根据直方图的表示意义认真分析求解．
解：(1)29～39分1人，39～49分2人，49～59分3人，59～69分8人，69～79分10人，79～89分14人，89～99分6人．
共计 1+2+3+8+10+14+6=44(人)
(2)取中间值计算
(3)前三个小组中有1+2+3=6人不及格占全班比例为13.6%．
(4)优良的人数为14+6=20，20÷44=45.5%．
即优良率为45.5%．
说明：频率分布表比较确切，但直方图比较直观，这里给出了直方图，从图也可以估计出一些数量的近似值，要学会认识图形．
例7 回答下列问题：
用心 爱心 专心
122号编辑
总是成立吗？
(2)一组数据据的方差一定是正数吗？
总是成立吗？
(4)为什么全部频率的累积等于1？
解：(1)证明恒等式的办法之一，是变形，从较繁的一边变到较简单的一边．这
可见，总是成立．
顺水推舟，我们用类似的方法证明(3)；注意
那么有
(2)对任一组数x1，x2，„，xn，方差
这是因为自然数n＞0，而若干个实数的平方和为非负，那么S2是有可对等于0的
从而x1=x2=„=xn，就是说，除了由完全相同的数构成的数组以外，任何数组的方差定为正数．
用心 爱心 专心
122号编辑
(4)设一个数组或样本的容量为n，共分为m个组，其频数分别为a1，a2，„，am，按规定，有
a1+a2+„+am=n，而各组的频率分别a1／n，a2／n，„，am／n，因此，有
说明：在同一个问题里，我们处理了同一组数据x1，„，xn有关的两个数组f1，f2，„，fk和a1，a2，„，am，前者是说：在这组数中，不同的只有k个，而每个出现的次数分别为f1，„，fk；后者则说明这组数所占的整个范围被分成了m个等长的区间，出现在各个区间中的xi的个数分别为a1，„，am，可见，a1，„，an是f1，„fk的推广，而前面说过的众数，不过是其fi最大的那个数．
弄清研究数组x1，„，xn的有关数和概念间的联系与区别，是很重要的．
例8 回答下列问题：
(1)什么是总体？个体？样本？有哪些抽样方法？
(2)反映样本(或数据)数量水平的标志值有哪几个？意义是什么？怎样求？
(3)反映样本(或数据)波动(偏差)大小的标志值有哪几个？怎样求？有什么区别？
(4)反映样本(或数据)分布规律的数量指标和几何对象是什么？获得的一般步骤是什么？
解：这是一组概念题，我们简略回答：
(1)在统计学里，把要考查对象的全体叫做总体；其中每个考查对象叫个体；从总体中抽出的一部分个体叫做总体的一个样本；样本中个体的数目，叫做样本的容量．
应指出的是，这里的个体，是指反映某事物性质的数量指标，也就是数据，而不是事物本身，因此，总体的样本，也都是数的集合．
抽样方法通常有三种：随机抽样、系统抽样和分层抽样三种，基本原则是：力求排除主观因素的影响，使样本具有较强的代表性．
(2)反映样本(或数据)数量水平或集中趋势的标志值有三个，即平均数、众数和中位数．
有时写成代换形式；
用心 爱心 专心
122号编辑
有时写成加权平均的形式：
其中，又有总体平均数(总体中所有个体的平均数)和样本平均数(样本中所有个体的平均数)两种，通常，我们是用样本平均数去估计总体平均数．且一般说来，样本容量越大，对总体的估计也就越精确．
(ii)众数，就是在一组数据中，出现次数最多的数．通常采用爬山法或计票画“正”法去寻找．(爬山法是：看第一个数出现次数，再看第二、三、„„有出现次数比它多的，有，则“爬到”这个数，再往后看„„)．
(iii)中位数是当把数据按大小顺序排列时，居于中间位置的一个数或两个数的平均，它与数据的排列顺序有关．
此外，还有去尾平均(去掉一个最高和一个最低的，然后平均)、总和等，也能反映总体水平．
(3)反映样本(数据)偏差或波动大小的标志值有两个：
(ii)标准差：一组数据方差的平方根：
标准差有两个优点，一是其度量单位与原数据一致；二是缓解S2过大或过小的现象．方差也可用代换式简化计算：
(4)反映数据分布规律的是频率分布和它的直方图，一般步骤是：
(i)计算极差=最大数-最小数；
用心 爱心 专心
122号编辑
(iii)决定分点(可用比数据多一位小数的办法)；
(v)画频率分布直方图．
其中，分布表比较确切，直方图比较直观．
说明：此例很“大”，但是必要的，因为，当前大多数的中考题，很重视基本内容的表述，通过“填空”和“选择”加以考查，我们要予以扎实．而更为重要的，这些概念和方法，正是通过偶然认识必然，通过无序把握有序，通过部分估计整体的统计思想在数学中的实现．
用心 爱心 专心
陈江川在我班的表现不尽人意。我接替五年一班班主任时，先是陆续有学生报告他爬单杠、跳乒乓球台，骂人。接下来就开始上课迟到，随便下座位。大家写作业时，他突然唱起歌来，喊同学的名字，做一些莫名其妙的动作，引得大家哄笑。对老师的批评教育满不在乎。课间欺负同学，故意损坏别人的东西，喜欢嘲笑同学，但自己又做得不好。
（一）家庭背景 １、家庭成员
父：３４岁，工厂管理人员 母：３１岁，无固定职业者 ２、个人成长史
陈江川出生时头部曾受到较严重挤压，幼儿时做过多次ＣＴ检测，未发现脑部异常。上过一年幼儿园，大部分时间由爷爷在家看管，但爷爷的过份溺爱，造成孩子性格执拗、行为偏差。３、家庭教育情况
父：长期在厂里忙，每天很晚回家，基本没有时间对孩子进行学习方面的指导，对孩子出现的问题行为，态度粗暴，孩子惧怕父亲是怕挨打。
母：没有稳定工作，无工作时能每天接送孩子，是陈江川家庭教育的具体承担者和学校的联系者，认识到爷爷的宠爱对孩子习惯的形成造成了不良影响，曾经制止孩子去爷爷家。但有工作时，又无暇顾及孩子，仍由爷爷代管。
（二）学校背景 １、班级环境
虽然是低年级孩子，但对事物已经具有了初步的辨别是非的能力，对调皮、欺负同学的学生有排斥现象。
２、科任老师看陈江川
上课不听讲，总搞小动作，随意讲话、吃东西，干扰课堂教学，对老师的批评满不在乎。３、同学看陈江川
上课影响他人学习，很讨厌。
欺负同学，故意破坏别人的东西。
不愿和陈江川玩，认为他的习惯不好。
（三）陈江川自述
喜欢父亲，因为休息时候会带我出去玩，但又怕父亲，发起火来，就得挨打。不怕母亲，她不会打我。也喜欢爷爷，每次要钱爷爷都会给，不高兴时可以向爷爷发火，爷爷也不生气。
关于在校表现：上课想认真听讲，但坐不住。不知道学习是为了什么，总想找人玩。但大部分同学不爱和我一起玩。
三、陈江川问题的分析
（一）基本需要满足的缺乏
1、亲情的需要
父母给陈江川提供了物质生活的保障，在生活上，母亲对孩子百般呵护，在学习上，绝不含糊，但因为陈江川上课不听讲，作业无法独立完成，又不听母亲的话，母亲见自已的付出得不到回报，虽然着急但也无可奈何，渐渐放松了原先的严格要求，放任自流。孩子在家常常听到的不是鼓励赞扬而是喝斥、批评，更加丧失了学习自觉性。
爷爷虽然宠爱孩子，但回家后不让陈江川与其他孩子玩，陈江川常期跟大人一起生活，形成了与其他孩子交往的障碍。
2、归属的需要 由于陈江川学习习惯不好，造成成绩差，同学们不愿与其交朋友。再加上老师对陈江川的批评教育，潜移默化地影响了其他同学对他疏远，造成陈江川归属需要的缺乏。
3、随着自我意识的发展和独立意识的增强，表现自我的需要越来越明显。他想通过怪异的行为获得大家的关注，但又因此受到同伴的排斥。所以说表现自我、获得承认与尊重的需要无法获得满足。
4、成就的需要
陈江川在学习上没有成功感，因为不遵守课堂纪律，一开口大声讲话就受到其他老师的制止，使他丧失了积极进取的信念，从而对课堂学习不感兴趣。
（二）不良后果
基本需要满足的缺失，使陈江川心理严重失衡，由此带来了行为反应偏差，如违纪、不学习等，更加重了周围环境对他的拒绝，恶性循环的结果使陈江川丧失了学习的动力。
（三）诊断
根据目前的现状，陈江川基本属于不良习惯造成的学习适应障碍，导致自信的丧失。
四、辅导过程
摸清了原因，掌握了症结，我有计划、有目的地对陈江川进行了心理辅导。
1、与家长沟通。
通过家访，端正其父母的教育观，劝说不要放弃对陈江川的教育。同时收集家庭教育书籍，借给陈江川的母亲参考。我专门为陈江川准备了一本“家校联系本”，每天根据陈江川的表现在小本上写几句话。一方面是彼此了解陈江川在校、家里的表现，更主要是记录下陈江川的点滴进步。
2、谈心。
这是我采用的基本策略。除了定期找陈江川谈心旬，还有意无意地相机谈上几句。让他感到在老师眼里，他是个具有许多优点，知错就改的孩子；给他讲努力学习的故事，帮他树立正确的学习观，建立自信。随着谈心次数的增多，我再以“建议”的形式告诉他“如果你这样做会更好”等等。渐渐地他能接受我的“建议”，一点点地改正缺点。只要有一点点小进步，我都会对他的表现及时予以肯定和表扬，并督促他做到持之以恒。
3、营造和谐、友爱的班级环境。
我要求每位学生每天为班级做一件好事，可以是帮助同学，可以是打扫清洁等，促使陈江川产生为班级争光的愿望，从而引导他爱同学、爱老师、爱班级、爱学校，学会关心体谅他人。
4、全班同学每天说说他的一条优点，并记录下来。
刚开始同学们感到为难，我告诉他们每个人都有自己的长处，鼓励和表扬为他找到优点的同学。随着这项记录的进行，本上陈江川的优点越来越多，陈江川的表现也逐渐好转。
5、发挥特长，表现自我
陈江川爱画画，我就给他讲王冕画荷花、徐悲鸿画骏马、齐白石画虾的故事，帮他树立正确的人生观，激发他内在的学习动力。并把他画的画张贴在黑板上，供大家欣赏。
五、结果与思考
通过一个学年的跟踪辅导，第一，陈江川语数作业能按时完成，但成绩在班级中仍处于中下水平；第二，陈江川和同学关系有所改善，不再破坏他人物品；第三，对爷爷有礼貌了，不顺心时大吼大叫次数减少了；第四，对老师的口头提醒能即时改正，虽有反复，但有一定自我约束力了。第五，有了一定的上进心，通过不断举手回答问题，希望被评为“小老师”。但老师无法满足他所有需求时，他又显得有些泄气、多动了。
一、质疑A公司的投标资质不符招标要求，A公司的投标人系原C公司的员工，4年前脱离C公司，成立了属于自己的A公司，质疑A公司交纳社会保险费不足，C公司提供了一张由S市某某区社会保险管理中心开具的A公司交纳社会保险费的证明。(经查：本项目招标文件只要求复印投标人缴纳社会保险费缴款凭证或社保证的复印件，同时由投标人提供一份本公司缴纳社保承诺书，A公司的投标书全部满足了招标文件要求)。
二、质疑A供应商的技术文件有侵权嫌疑，原因是C公司认为A公司投标人在C公司工作期间对公司的核心技术了如指掌，因此，断言A公司存在技术上的侵权(经查：招标文件要求投标人提供所投产品的专利证书或著作权证，A公司的投标文件全部附带了所投产品并属于本公司的著作权证和专利证书)。
二、某日晚7点，业主刘先生把汽车停在小区的地下车库里。第二天早上，他发现车不见了。刘先生立即将这事告诉了车库保安，同时打了110报警。公安机关根据保安监控中心的录像判断，事发当晚录像中一个戴墨镜的人很可能就是盗车者。好多日子过去了，车子仍未找回。刘先生认为，他每月向物业管理公司交350元的停车费，他的车子被盗了，物业管理公司负有不可推卸的责任。物业管理公司却表示，公司不负责小区内车辆的安全。因为，小区《管理规约》规定，公司收取的350元只是车位出租费。而刘先生指出，他的车子被盗时，车库出口的栏杆已坏两个多月了，在栏杆未坏之前，汽车进出是要刷卡的。栏杆坏了，汽车出入不用刷卡，也没有如何盘查。此事，物业管理公司和刘先生分陈己见，各执一端。你对此事有何看法？
三、小区内的石桌砸伤人，由谁来负责？
四、因排水管道不畅，而使业主室内受损的责任由谁承担？
【专案简介】甲小区某号602室由被告华某承租，502室由原告王某承租。因被告某物业管理公司未在该号楼顶平台落水管道进口处按规范要求设置防护网，被鸟钻进管道内筑巢，致使管道堵塞。被告华某在装潢602室房屋时，未经物业公司同意擅自将602室阳台处的排水口封死。一天，遭遇大雨，因落水管道堵塞，雨水从楼顶落水管道接口处流进602室阳台，因该阳台排水口已封死，积水无法排出，沿602室周围墙角深入502室，致使原告王某装潢的地板等物受损。原告王某要求赔偿，但因被告华某与物业管理公司相互推诿，原告王某遂诉讼至法院。
五、业主王某在入住装修时，提出二次装修申请，物业公司经审查认为符合安全等要求，予以批复。后王某在装修厕所时擅自改动供暖管道位置，被物业公司检查时及时发现，责令王某停止施工、限期恢复。王某认为不影响物业使用，迟迟不予理睬。于是物业公司向主管部门报告，但主管部门迟迟不予处理。于是物业公司在要王某写出一份“出现安全事故责任自负”的保证书后，向王某收取2000元罚款，未作其他处置。试就以上描述的情况对本案做出评析。（10分）
案例一
安达信审计失败案例
如果说公司治理和内部审计是确保会计信息真实可靠的第一道闸门，那么，独立审计就是防范重大会计差错和舞弊的最后一道防线。独立审计存在的理由是为了满足公司的高管人员和投资者等利益相关者有效利用会计信息的共同需要。高管人员和投资者等利益相关者之间存在着严重的信息不对称和潜在的利益冲突，高管人员有提供低质量甚至是不实会计信息的动机，而投资者等利益相关者又缺乏足够的资源和专业知识验证会计信息的质量和真伪，因此需要由独立的第三方即注册会计师对高管人员提供的会计信息进行鉴证，并对财务报表发表专业意见，以缓解信息劣势对利益相关者的潜在负面影响。但是，当高管人员提供的财务报表存在重大错报漏报（包括由于财务舞弊引起的错报漏报），而注册会计师在鉴证过程中未能发现这些错报漏报，仍对财务报表的整体公允性发表无保留审计意见时，审计失败就出现了。
重大审计失败的常见原因包括被审计单位内部控制失效或高管人员逾越内部控制、注册会计师与被审计单位通同舞弊、缺乏独立性、没有保持应有的职业审慎和职业怀疑。尽管世界通信公司存在前所未有的财务舞弊，其财务报表严重歪曲失实，但安达信会计公司至少从1999年起一直为世界通信出具无保留意见的审计报告。就目前已经披露的资料看，安达信对世界通信的财务舞弊负有不可推卸的重大过失审计责任。安达信对世界通信的审计，将是一项可载入史册的典型的重大审计失败案例。
安达信对世界通信的审计失败，主要归于以下四个方面：
安达信缺乏形式上的独立性
根据世界通信2002年4月22日提供的“征集投票权声明”（Proxy Statement），安达信2001年共向世界通信收取了1680万美元的服务费用，其中审计收费440万美元、税务咨询760万美元、非财务报表审计（主要是外包的内部财务审计）160万美元、其他咨询服务320万美元。自1989年起，安达信一直担任世界通信的审计师，直到安然丑闻发生后，世界通信才在2002年5月14日辞退安达信，改聘毕马威。安达信在过去10多年既为世界通信提供审计服务，也向其提供咨询服务。尽管至今尚没有充分的权威证据证明同时提供审计和咨询服务可能损害会计师事务所的独立性，但2002年7月30日通过的“萨班斯-奥克斯利法案”对代理记账和内部审计等9项咨询服务所作出的禁止性规定以及对税务咨询所作出的限制性规定，至少说明社会公众和立法部门对兼做审计和咨询可能损害独立性的担忧。此外，世界通信历来是安达信密西西比杰克逊（世界通信总部所在地）分所最有价值的单一客户，这一事实不禁让人对安达信的独立性存有疑虑。杰克逊分所的设立，目的是为了“伺候”和保住世界通信这一给安达信带来不菲审计和咨询收入的客户。这种情况下，杰克逊分所的安达信合伙人难免会对世界通信不规范的会计处理予以“迁就”。对世界通信的主审合伙人而言，丢失这样一个大客户，其后果是不堪设想的。
安达信未能保持应有的职业审慎和职业怀疑
安达信向美国证券交易管理委员会（SEC）和司法部门提供的1999至2001年审计工作底稿表明，安达信在这三年里一直将世界通信评估为具有最高等级审计风险的客户。在编制1999至2001审计计划时，安达信对世界通信审计风险的评估如表1所示。
从下表可以看出，安达信的审计计划已经认识到世界通信的会计及财务报告具有重大的审计风险，这种风险主要源于世界通信制定了过于激进的收入和盈利目标。换言之，安达信已经意识到世界通信具有报表粉饰或财务舞弊的动机。尽管如此，面对如此高风险的审计客户，安达信却没有保持应有的职业审慎和职业怀疑。
根据美国公认审计准则（GAAS）的规定，应有的职业审慎要求注册会计师保持合理的职业怀疑（2002年11月AICPA颁布的第99号准则《财务报表审计中对舞弊的考虑》则要求注册会计师保持怀疑一切的心态）。因此，注册会计师应当坚持诚实和正直的立场，勤勉地搜集和客观地评价审计证据。合理的职业怀疑还意味着，注册会计师不得因为信任被审计单位管理当局的诚实而满足于获取不是完全令人信服的审计证据。尽管GAAS在这一方面的要求是人所共知，但安达信对世界通信的线路成本、准备金计提和转回、收入确认和商誉减值等重大事项进行审计时，几乎完全依赖于世界通信高层的管理声明书，而不是建立在获取充分适当审计证据的基础上，以至世界通信审计委员会在2002年6月向安达信通报世界通信利用冲销线路成本虚构利润时，安达信向新闻媒体的解释是世界通信高层并没有在管理当局声明书中就此事告知安达信。可见，安达信的做法严重违反了GAAS关于应有的职业审慎和职业怀疑的相关规定，负有重大过失责任。
事实上，如果保持应有的职业审慎和职业怀疑，安达信应当有能力通过下列种种迹象发现世界通信的财务舞弊：
1.世界通信管理当局蓄意将财务审计排除在内部审计部的法定职责之外，只准予内部审计部从事经营绩效审计，这显然有别于大多数公司的做法。
2.世界通信的会计记录存在着大量的高层调整（Top-Side Adjustments），即公司总部直接给子公司等分支机构下达账项调整指令，而没有提供相关的授权签字和原始凭证等书面材料。
3.世界通信的管理当局具有提供虚假财务报告的强烈动机，包括：①首席执行官埃伯斯持有世界通信大量股票并以此作为个人贷款的质押；②世界通信迫切需要保持高股价以维持以换股方式进行收购兼并的吸引力；③世界通信需要保持较高的投资和信用等级以发行票据和债券（2000和2001年发行的票据和债券分别高达50亿美元和118亿美元）。
4.世界通信所处电信行业发生逆转，风险居高不下，表现为竞争激烈、市场饱和、盈利下降、倒闭不断，坏账剧增。
5.世界通信经营特征和财务状况所反映出的异常现象，如收入和盈利的高速增长所创造的现金流量不足以弥补其资本支出、世界通信面临着通过发行股票或举债来为其经营活动和资本支出筹措资金的巨大财务压力、与竞争对手相比所显出的异常盈利能力（如AT&T从2001年起因电信行业的逆转开始发生大规模亏损，而世界通信仍然报告巨额盈利）。
安达信编制审计计划前没有对世界通信的会计程序进行充分了解
GAAS要求注册会计师在了解被审计单位经营业务和相关内部会计控制的基础上，恰当地编制审计计划，据以合理制定和实施能够发现导致财务报表重大错报漏报的错误与舞弊的审计程序。GAAS特别强调注册会计师在编制审计计划前，应当了解可能对财务报表产生重大影响的交易、事项、程序和惯例。但安达信没有按照GAAS的要求，对世界通信的下列相关会计控制和程序进行充分了解，导致其未能合理制定和实施有助于发现财务舞弊的审计程序：
1.世界通信会计和报告系统对结账后调整分录、准备金转回的规定和控制程序。
2.手工会计分录和合并试算平衡表的编制和控制程序。
3.管理当局对重组准备和其他准备金以及线路成本的估计判断及相关控制程序。
4.世界通信的内部控制结构及其在实际执行中的效果。
5.管理当局对资产减值的计提和转回的估计判断和相关控制程序。
6.世界通信会计政策在不同期间运用的一贯性，特别是线路成本在2001年以前均作为期间费用，而2001和2002年第一季度世界通信却以“预付容量”的名义将38.52亿美元线路成本予以资本化。
安达信没有获取足以支持其审计意见的直接审计证据
GAAS明确指出，注册会计师应当获取充分适当的审计证据，作为其对财务报表发表审计意见的依据。管理当局的声明不能作为注册会计师实施必要实质性测试程序以获取充分适当审计证据的替代。记账凭证及其原始凭证、总账和明细账记录、成本费用归集分配表、银行存款调节表以及其他相关会计资料均构成支持财务报表的证据。如果没有获取支持财务报表的基础会计资料并对这些资料的恰当性和准确性进行测试，注册会计师就不应当对财务报表发表意见。显而易见，安达信对世界通信的审计并没有遵循GAAS的上述规定。
1.安达信没有获取世界通信通过转回准备金以冲销线路成本的直接证据，而是过分依赖管理当局的声明，以至于未能发现世界通信在2000年第三和第四季度以及2001年第三季度至少将过去计提的16.35亿美元的准备金用于冲销线路成本的舞弊行为。现已查明，这些转回分录均属于“空白记账凭证”，无一例外地缺少相关的原始凭证或其他证明材料。具体地说，安达信没有充分考虑来自财务报告信息系统之外的会计分录（即这些分录并非来自世界通信的收入、费用、现金收入、现金支出和薪资支出等会计和报告信息系统）的有效性。尽管世界通信为了掩饰其舞弊行为，采用化整为零的方式，将12亿美元的转回冲销分录拆成几百笔分录，以逃避安达信的审计，但如果安达信检查了总账记录或者要求审阅结账后的调整分录，完全可以发现这些没有原始凭证作支撑的会计分录的可疑之处。此外，稍有一点审计常识的注册会计师都知道，通过转回已计提的准备金是上市公司调节利润的惯用伎俩，因此，对于准备金的借方发生额必须进行重点审计。而安达信竟然对这16.35亿美元的准备金转回无动于衷，确实令人费解。从重要性水平的角度看，2000年第三和第四季度世界通信转回准备金虚增了12.35亿美元的利润，占当年对外报告净利润的29.7%，2001年通过转回无线通信部门已提取的坏账准备虚增了4亿美元的利润，占当年对外报告净利润的26.6%，均远远超出约定俗成的重要性水平（通常为净利润的5%至10%）。对于如此重大的事项，安达信本应进行重点审计，但令人匪夷所思的是，无线通信部门负责人斯图帕克和内部审计部负责人辛西亚都曾就世界通信总部要求无线电部门在2001年第三季度冲销已计提的4亿美元坏账准备一事向安达信的合伙人抱怨，而安达信竟然视而不见，连起码的职业敏感性都没有。
2.安达信没有获取世界通信将38.52亿美元的线路成本由经营费用转入“厂场、设备和财产（Plant，Property and Equipment）的直接证据，以至于未能发现世界通信的财务舞弊。与准备金的转回一样，这38.52亿美元所涉及的重分类调整分录（将经营费用重新划分为资本支出）无一例外地缺乏相关的原始凭证、签字授权等证明材料。其中有一笔分录（内部审计部摩斯先生最早发现的那笔怪异分录）的金额为5亿美元，缺乏原始凭证和签字授权，是一起典型的利用空白记账凭证伪造利润的案例。仅这笔分录所虚构的利润就占世界通信2001年利润的33.3%.安达信以倡导风险导向审计模式著称，难道风险导向审计模式就不需要测试凭证以获取支持其审计意见的直接证据？真不明白安达信是如何确定审计重要性的，又是如何进行审计抽样以确定凭证测试样本的。此外，这38.52亿美元的所谓资本支出，均没有纳入世界通信的资本预算之内。安达信如果将这些由线路成本转入的资本支出与世界通信内部的资本预算进行对比分析，世界通信高管人员会计造假的破绽将暴露无疑。事实上，世界通信内部审计部负责人辛西亚就是因为发现这些资本支出没有纳入资本预算，也没有经过董事会或股东大会的批准授权，而对世界通信会计处理的真实性产生怀疑的，并以此作为突破口，揭开了世界通信的造假.案例二
山登公司审计失败案例
1999年12月7日，美国新泽西州法官William H.Walls判令山登(Cendant)公司向其股东支付28.3亿美元的赔款。这项判决创下了证券欺诈赔偿金额的世界记录，比1994年培基(Prudential)证券公司向投资者支付的15亿美元赔款几乎翻了一番。12月17日，负责山登公司审计的安永会计师事务所同意向山登公司的股东支付3.35亿美元的赔款，也创下了迄今为止审计失败的最高赔偿记录。至此，卷入舞弊丑闻的山登公司及其审计师共向投资者赔偿了近32亿美元。
山登公司是由CUC公司与HFS公司在1997年12月合并而成的。合并后，山登公司主要从事旅游服务、房地产服务和联盟营销(Alliance Marketing)三大业务。舞弊丑闻曝光前，山登公司拥有35000名员工，经营业务遍布100多个国家和地区，营业收入50多亿美元。山登舞弊案不仅因赔偿金额巨大而闻名于世，随之而来的刑事责任追究也令人侧目。2000年6月，山登舞弊案的三名直接责任人Cosmo Corigliano(前首席财务官，加入山登公司前曾任安永的注册会计师)、Anne Pember(前主计长，加入山登公司前曾任安永的注册会计师)和Casper Sabatino(会计报告部副总裁，会计师)对财务舞弊供认不讳，同意协助司法部门和SEC的调查，并作为“污点证人”，以将功赎罪。2001年2月，新泽西州联邦大陪审团除了对他们三人提出舞弊起诉外，还对山登公司的前董事长兼首席执行官Walter Forbes和前首席运营官Kirk Shelton提出证券舞弊、财务舞弊、电信舞弊、邮政舞弊、虚假陈述和内幕交易等多项指控，若罪名成立，Forbes和Shelton将面临着10至20年的铁窗生涯。2002年11月，新泽西州检察官Christopher Christie宣布对安永的两名主审合伙人 Marc Rabinowitz和Ken Wilchfort以及一位审计经理提出舞弊起诉，指控他们严重渎职，对舞弊视而不见，并为山登公司的舞弊行径提供了便利。2003年4月24日，SEC对安永的这两名主审合伙人做出禁入裁决，禁止他们在4年内为上市公司提供审计服务。迄今，在山登舞弊案中被正式提出刑事指控的人员多达8人，被传唤的其他相关人员更是不计其数，这在安然事件之前是极为罕见的，显示出美国司法部门惩治舞弊的决心早已有之。
整合中发现的秘密
根据CUC公司与HFS公司签署的“对等合并协议”，山登公司成立后的第一届经营班子由合并双方的原高管人员组成，第一任首席执行官和首席财务官由HFS公司的Silverman和Monaco出任。为了实现合并的协同效应，以Silverman为首席执行官的经营班子在山登公司成立后，立即对CUC公司和HFS公司的经营业务和管理架构进行整合，其中包括对财务报告体系实行一体化管理。1998年2月下旬，Silverman决定，财务报告的编制改由HFS公司的首席会计官Scott Forbes负责合并报表的编制。在双方共同商讨1997合并报表的编制事宜时，Shelton要求将CUC公司与HFS公司合并中所计提的5.56亿美元“重组准备”中的1.65亿美元转回，作为1997的利润，并声明这种做法是CUC公司沿用已久的惯例，且安永的注册会计师一直认可这种做法。这一明显有悖于公认会计准则的做法使Scott对CUC公司过去的经营业绩产生怀疑，因为在合并前，CUC公司并没有披露以往有许多利润来自重组准备的转回。Silverman对CUC公司没有告知以前采用一些有违会计准则的做法，从而误导了HFS公司对CUC公司盈利能力的判断表示强烈不满和抗议，并责成立即对重组准备账户展开全面调查，并聘请德勤会计师事务所协助调查。经过四个月的调查取证，特别调查组在8月28日向SEC提交了一份长达280页的调查报告，详细说明了CUC公司的财务舞弊手法及其影响。调查结果表明，为了迎合华尔街的盈利预期，CUC公司主要通过6种伎俩进行财务舞弊：利用“高层调整”，大肆篡改季度报表；无端转回合并准备，虚构当期收益；任意注销资产，减少折旧和摊销；随意改变收入确认标准，夸大会员费收入；蓄意隐瞒会员退会情况，低估会员资格准备；综合运用其他舞弊伎俩，编造虚假会计信息。通过上述造假手段，CUC公司在1995至1997年期间，共虚构了15.77亿美元的营业收入、超过5亿美元的利润总额和4.39亿美元的净利润，虚假净利润占对外报告净利润的56%。下表列示了山登公司1995至1997年的财务舞弊对其经营业绩和财务状况的影响程度。
山登公司审计失败的警示
山登公司会计造假影响范围之广、判决程度之严，在美国上市公司财务舞弊史上堪称一绝。安永的注册会计师连续多年为山登公司的前身CUC公司严重失实的财务报表出具无保留意见的审计报告，构成了重大的审计失败。从审计的角度看，安永对山登公司的审计失败给世人留下两个深刻的警示。1.实质独立固然重要，形式独立也不可偏废
山登舞弊案的一个显著特点是，主要造假责任人与安永有着千丝万缕的关系。已认罪等待判决的3个主要财务负责人中有两人在加盟CUC公司之前都是安永的注册会计师。参与造假的其他2个财务主管也都来自安永。山登公司董事会特别调查小组提交的报告表明，CUC公司的关键财务岗位有6个，其中首席财务官、主计长、财务报告主任、合并报表经理均由来自安永的注册会计师把持，也正是这四个前安永注册会计师占据了CUC公司关键的财务岗位，直接策划和组织实施了财务舞弊。这4名造假者熟悉安永的审计套路，了解安永对CUC公司的审计重点和审计策略，更具隐蔽性和欺骗性。
安永的主审合伙人和审计经理由于与Corigliano等人曾是同事关系，特别容易放松警惕。在审计过程中虽然也发现了财务舞弊的蛛丝马迹，但往往被这4位“前同事”所提出的解释和辩解轻易化解。而且，当HFS公司的高管人员对CUC公司1995至1997年的会计处理(主要是将合并准备转回作为利润)提出质疑时，安永的合伙人Robinowitz却百般为其辩解，试图寻找合理的借口。独立性的缺失由此可见一斑。
山登舞弊案表明，注册会计师不仅应保持实质上的独立性，还应当重视形式上的独立性。诚然，实质重于形式，但在独立性问题上，忽略形式就可能导致实质的偏差。注册会计师“跳槽”转而投奔审计客户，不论在美国还是在其他国家都是司空见惯的，随之而来的问题是，注册会计师能否与这些摇身一变成为客户财务主管的“前同事”保持超然独立?会计师事务所在这种情况下因独立性受到潜在威胁应否回避?对于这些问题，大部分会计师事务所的答案都是否定的，理由不外乎是事务所的内部质量控制体系能够确保注册会计师保持实质上的独立性。然而，会计师事务所私下也不得不承认，这种由同事关系转化为客户关系的事实，往往有损于注册会计师形式上的独立性。形式独立的缺失，甚至会导致审计失败，山登舞弊案及安永的审计失败就是最好的例证。2.密切的客户关系既可提高审计效率，亦可导致审计失败
与客户保持密切关系，是多数会计师事务所的经营策略。然而，密切的客户关系可能是一把双刃剑，既可提高审计效率，亦可导致审计失败。辩证地看，与客户保持一种长期稳定的密切关系，既有助于增进注册会计师对客户所处行业和经营业务的了解，也有利于注册会计师判断客户的高管人员和内部控制是否值得信赖，进而提高审计效率。此外，密切的客户关系既可能淡化注册会计师应有的职业审慎和职业怀疑态度(如CUC公司存在着数百笔没有任何原始凭证支持的会计分录，安永的注册会计师竟然一笔也没有发现。又如，对于Corigliano就一些异常会计处理方法的解释，安永的会计师往往也偏听偏信)，也可能使会计师偏离超然独立的立场(如安永的主审合伙人居然为CUC公司将合并准备转作利润的做法进行辩护)。过分密切的关系甚至会导致审计失败。
独立审计要求会计师事务所与客户的股东和高管人员保持一定的距离，否则，独立审计就失去意义。然而，长期稳定的工作关系，最终使安永与CUC公司“荣辱与共”，这或许是导致安永审计失败的重要原因之一。与安然、施乐和世界通信的审计失败一样，安永对CUC公司的审计失败迫使人们反思这样的一个问题：应否要求会计师事务所实行定期的强制轮换(Compulsory Rotation)，以防止它们与客户之间的关系过于密切? 案例三
南方保健审计失败案例 2003年3月18日，美国最大的医疗保健公司——南方保健会计造假丑闻败露。该公司在1997至2002年上半年期间，虚构了24．69亿美元的利润，虚假利润相当于该期间实际利润（-1000万美元）的247倍。这是萨班斯-奥克斯利法案颁布后，美国上市公司曝光的第一大舞弊案，倍受各界瞩目。为其财务报表进行审计，并连续多年签发“干净”审计报告的安永会计师事务所（以下简称安永），也将自己置于风口浪尖上。
南方保健使用的最主要造假手段是通过“契约调整”（Contractual Adjustment）这一收入备抵账户进行利润操纵。“契约调整”是营业收入的一个备抵账户，用于估算南方保健向病人投保的医疗保险机构开出的账单与医疗保险机构预计将实际支付的账款之间的差额，营业收入总额减去“契约调整”的借方余额，在南方保健的收益表上反映为营业收入净额。这一账户的数字需要南方保健高管人员进行估计和判断，具有很大的不确定性。南方保健的高管人员恰恰利用这一特点，通过毫无根据地贷记“契约调整”账户，虚增收入，蓄意调节利润。而为了不使虚增的收入露出破绽，南方保健又专门设立了“AP汇总”这一科目以配合收入的调整。“AP汇总”作为固定资产和无形资产的次级明细户存在，用以记录“契约调整”对应的资产增加额。
本不该发生的审计失败
1．安永忽略了若干财务预警信号
早在安永为南方保健2001的财务报告签发无保留审计意见之前，就有许多迹象表明南方保健可能存在欺诈和舞弊行为。安永本应根据这些迹象，保持应有的职业审慎，对南方保健管理当局是否诚信，其提供的财务报表是否存在因舞弊而导致重大错报和漏报，予以充分关注。甚至已接到雇员关于财务舞弊的举报，安永的注册会计师仍然没有采取必要措施，以至于错失了发现南方保健大规模会计造假的机会。例如：
——2001年，南方保健被指控开给“老年人医疗保险计划”（Medicare）的账单一直过高，具欺诈性。同年12月，它同意支付790万美元以了结Medicare对它的起诉。在2001审计现场工作结束前3个月，司法部展开对南方保健欺诈案件的调查，就已经向安永发出了强烈的警示信号。虽然Medicare欺诈案本身并不意味着南方保健一定存在会计舞弊，但足以使安永对南方保健管理当局的诚信经营产生质疑，安永的注册会计师本应在审计时提高执业谨慎，加大对相关科目的审查力度。
——2002年8月，南方保健对外发布公告，称Medicare对有关理疗门诊服务付款政策的调整每年会影响公司利润达1．75亿美元。事实上，根据医疗行业的普遍情况，Medicare政策的变化并不足以对南方保健的经营产生如此巨大的影响。这一消息公布的当天即遭到投资者和债权人的一片嘘声。一些财务分析师质疑南方保健此举的意图是旨在降低华尔街的预期，掩饰其经营力不从心的迹象。
——南方保健审计小组成员之
一、安永的主审合伙人James Lamphron在法庭上作证时承认曾收到过一份电子邮件，警告南方保健可能存在会计舞弊。该电子邮件提醒安永的注册会计师们特别注意审查三个特殊的会计账户，其中就包括“契约调整”和“AP汇总”这两个被用于造假的账户。在收到该电子邮件后，Lamphron向南方保健的首席财务官William Owens求证。Owens的解释是，电子邮件的署名人Michael Vines是南方保健会计部一个“对自己工作不满意的牢骚狂”。Lamphron轻信了Owens的解释，审计小组在未经任何详细调查的情况下，草率地下了结论：“南方保健没做错什么事。”
——南方保健的内部审计人员曾向安永的另一位主审合伙人William C．Miller抱怨，作为内审人员，他们长年不被允许接触南方保健的主要账簿资料。这种缺乏内部控制的现象却没有引起安永应有的重视。
——与同行业的其他企业相比，南方保健通过收购迅速扩张，利润率的成长也异常迅猛。2000年该公司的税前收益比1999年增长了一倍多，达到5.59亿美元，但营业收入仅增长了3%。2001年的税前收益接近1999年的两倍，而销售额只增长了8%。
——在南方保健，创始人兼首席执行官Scrushy在公司内外均以集权式的铁腕管理风格著称。而且，南方保健的一些董事，包括审计委员会的两名成员，也都与公司存在明显的业务关系。根据美国注册会计师协会颁布的“财务报表审计中对舞弊的考虑”（原为1996年颁布的第82号准则，2002年10月被第99号取代），注册会计师在对内部控制进行了解时，应充分关注被审计单位管理当局是否存在由一个人或一个小团体独掌大权，董事会或审计委员会对其监督是否存在软弱无能的现象。此外，如果董事与公司存在不正当的关联方交易，审计准则也同样视其为欺诈存在的迹象之一。令人遗憾的是，长年为南方保健执行审计业务的安永注册会计师们却对上述事实熟视无睹。2．显失审慎的注册会计师
据《华尔街日报》的报道，安永参与南方保健审计的多位注册会计师明显缺乏应有的职业审慎：
——安永的主审合伙人Miller证实，在南方保健执行审计时，审计小组需要的资料只能向南方保健指定的两名现已认罪的财务主管Emery Harris和Rebecca K．Morgan索要。审计小组几乎不与其他会计人员进行交谈、询问或索要资料。对于南方保健这种不合理的限制，安永竟然屈从。稍微有点审计常识的人都知道，被审计单位对注册会计师获取审计证据的限制是不能接受的，通过被审计单位指定渠道是难以获取充分、适当的审计证据的。
——SEC和司法部的调查结果显示，南方保健虚增了3亿美元的现金。众所周知，现金是报表科目中最为敏感的一个项目，对现金的审查历来是财务报表审计的重点。一旦现金科目出现错报或漏报，财务报表便存在失实或舞弊的可能。注册会计师也可以此为突破口，追查虚构收入、虚减成本费用等舞弊行为。各国的审计准则普遍要求注册会计师采用函证等标准化程序，核实存放在金融机构的现金余额。
安永审计失败的警示
1．恪尽应有的职业审慎是防范审计失败的关键
审计失败一般是指注册会计师由于没有遵守公认审计准则而对严重失实的财务报表发表了错误的审计意见。现实中还存在另外一种现象，即注册会计师遵守了审计准则，但却发表了错误的审计意见，这种情况被称为审计风险。由于现代审计大量运用抽样技术，审计风险不可避免，但只要在执业过程中严格遵循独立审计准则，恪尽应有的职业审慎，审计失败是可以有效防范和避免的。美国的审计准则早就明确提出注册会计师在财务报表审计中负有发现、报告可能导致财务报表严重失实的错误与舞弊的审计责任。注册会计师如果没有严格遵循审计准则的要求，以至于未能将导致财务报表严重失实的错误和舞弊揭露出来，便构成审计失败，应当承担相应的过失责任。以此衡量，安永未能查出南方保健高达25亿美元的利润黑洞和长期以来的虚盈实亏现象，无疑是一起标准的审计失败。从已披露的信息看，面对若干明显的财务预警信号，安永每一次的处理都有失审慎。最典型的是，安永居然对多达3亿美元的现金虚增浑然不觉，不禁让人对其起码的职业审慎深表怀疑。
保持高度的职业审慎，能够帮助注册会计师敏锐地发现问题、捕捉错弊的蛛丝马迹，提高审计效率，使审计工作事半功倍。相反，如果未能保持应有的职业谨慎，即使按部就班地执行了所有既定的审计程序，审计依然是没有效率甚至是没有效果的，审计质量也无从谈起。在这一点上，安永和已经倒下的安达信都是前车之鉴。在与被审计单位“斗智斗勇”的博弈过程中，职业审慎始终是注册会计师赖以生存的基本法则。
2．警惕熟谙审计流程的舞弊分子对重要性水平的规避
重要性是独立审计方法体系中的一个重要概念。在审计抽样过程中运用重要性原则，可帮助注册会计师选择恰当的样本，提高审计效率，合理地保障审计质量。但众多的舞弊案显示，常年接受审计的企业可能因为太了解注册会计师所运用的重要性水平而别有用心地设计会计造假的应对和规避措施。
在南方保健舞弊案中，舞弊分子对重要性水平的规避很大程度上源于安永在执业过程中的疏忽大意。众所周知，“四大”会计师事务所都有一套令人羡慕的“完美”审计流程。一般而言，只要获取被审计单位当期和前期的报表数据，这套流程便能自动执行设定的分析性复核程序，确定重点审计领域，初步评估报表层次和各个账户的重要性水平并确定抽样样本量。南方保健的会计人员中不乏曾在安永执业的注册会计师。在他们的指导下，结合会计人员长年对注册会计师们的观察和与他们博弈的经验，别有用心的舞弊分子不难了解注册会计师在各个科目上所能容忍的最大误差，甚至可以知晓注册会计师们习惯的抽样起点金额。如果审计小组的成员比较固定，舞弊者做到这一点就更容易了。
事实上，对重要性的评估是注册会计师的一种专业判断，而且这一判断离不开特定的环境。注册会计师在对某一企业进行审计时，必须根据该企业面临的环境，考虑诸多影响因素（包括经营活动、业务性质的变化、内部控制与审计风险的评价结果等），才能合理确定各个账户的重要性水平，对审计抽样做出高效率的指导。如果仅仅依靠特定的比率（比率区间）计算重要性水平或因循长年使用的重要性水平，难免产生“死数字”，让舞弊者有机可乘。安永在执行南方保健2001财务报表审计时，无视其正面临Medicare欺诈诉讼的事实和糟糕的内部控制情况，不顾管理层曾发布极具欺诈嫌疑的盈利预警，甚至对举报者明确告知的可疑账户都不从严制定重要性水平、进行彻底地审查，其审计失败在所难免!这也给注册会计师们留下一个值得深思的问题：如何活学活用重要性水平，使其成为一条“流动的标准线”?
首先，为规避重要性原则而设计的利润操纵一般来说每笔金额较小，但造假分录发生的频率较高，舞弊者试图通过“化整为零”使造假金额达到既定的目标。这就要求注册会计师提高职业审慎，如果在抽样过程中捕捉到一些“奇特”的分录，即便发生额不大，也应拓展审计程序，弄清其来龙去脉，以降低审计失败的风险。
其次，经常轮换审计小组成员也不失为一个好办法。重要性既然是一种专业判断，必然因人而异。因此，事务所在派遣人员时，如果轮换指派不同的注册会计师负责某一具体项目的审计，就能产生较好的流动性，这不仅有助于克服审计过程中由于主观因素而造成的不必要失误，还可增加发现问题、自我补救的机会，避免长久地陷入思维定势的陷阱中。3．独立性缺失是审计失败的万恶之源
独立性是确保审计质量的关键所在，也是包括“四大”在内的会计师事务所取信于社会公众的法码。然而，独立性经常受到“逐利性”的威胁和瓦解。在南方保健一案中，安永是否保持实质独立，正受到各方的质疑。南方保健一直是安永伯明翰办事处的最大客户，该公司向SEC提交的“征集投票权声明”（Proxy Statement）显示，2000年和2001年，南方保健向安永支付的费用分别为368万美元和367万美元，其中，“审计相关费用”是“审计费用”的两倍多。耐人寻味的是，2000和2001的“审计相关费用”合计数497万美元中包含了260万美元的“洁净审计”（Pristine Audit）费用，比审计费用合计数219万美元还多41万美元。所谓“洁净审计”，是指南方保健聘请安永对其医疗场所及设施的卫生保洁情况（如卫生间、接待室是否有污迹、灰尘和垃圾等）进行一年一度的检查。卫生检查本来与报表审计毫无关系，但南方保健美其名为“洁净审计”，并按照安永的建议将其披露为“审计相关费用”，严重误导了投资者。据介绍，“洁净审计”的主意出自Scrushy，此举又可暗示着南方保健有向安永“购买审计意见”之嫌，因为卫生保洁检查显然是一种无风险高回报的业务。安永每年只需派20多个最初级的审计人员对南方保健1800多个场所的卫生保洁情况进行一次突击检查，就可收取比报表审计更高的费用。接受如此慷慨的“业务馈赠”，是否有损于安永的独立性，正引起多方的高度关注。特别是，在SEC正审查安永与其审计客户仁科公司（PeopleSoft）联合开发和推销软件是否违反独立性原则并准备给予安永暂停接受新客户半年处罚的关头，安永将“卫生保洁检查”创造性地包装成“审计相关费用”的丑闻，更有可能给安永带来意想不到的伤害。
案例四
巨人零售公司审计失败案例
巨人零售公司是美国一家大型的零售折扣商店，也是一家上市公司。由于竞争的压力，该公司在应付账款、销售退回以及进价差额的退回方面，弄虚作假，将1971年发生的250万美元的经营损失篡改为150万美元的收益。而审计该公司的塔奇·罗斯会计师事务所的有关合伙人由于屈服于客户施加的压力，在该公司的控制下对有关单位进行询证，执行并无实效的审计程序；对该公司提出的更换审计合伙人、将某位助理审计人员赶出事务所等无理要求“委曲求全”；对审计助理人员发现的公司舞弊嫌疑听之任之。更有甚者，当塔奇·罗斯会计师事务所在与巨人零售公司讨论审计中所发现的问题时，巨人零售公司的有关人员是当面计算各种财务指标，以能否达到预期目标作为是否接受塔奇·罗斯会计师事务所调整意见的原则。
1972年巨人零售公司向美国证券交易委员会提交了1971财务报表和塔奇·罗斯会计师事务所出具的无保留意见审计报告，申请并获准发行了300万美元的普通股，还获取了1200万美元的贷款。但1973年该公司突然宣布：由于存在潜在的会计错误可能会影响1971的报告收益。大约一个月以后塔奇·罗斯会计师事务所撤回了上述无保留意见审计报告。1973年8月巨人零售公司向波士顿法院提交破产申请，两年后法庭宣布公司破产，该公司的有关人员则被判有罪。美国证券交易委员会在经过调查后，严厉谴责了塔奇·罗斯会计师事务所，并且在联邦法院处理此事前，暂停该所负责巨人零售公司审计的合伙人执业5个月。美国证券交易委员会同时要求由独立专家中的一位陪审员，对塔奇·罗斯会计师事务所的审计程序进行一次大规模的检查，内容包括了事务所的独立性以及如何接受聘约、保留客户等。
案例五
卡迪罗旅游系统公司审计失败案例
【典型统计案例教案】推荐阅读：
群众路线典型案例05-28
贪污腐败典型案例06-25
受限空间典型案例07-14
婚姻法案例典型09-07
小学教学典型案例09-14
资助育人典型案例09-27
保险诉讼典型案例10-13
公司20140715典型案例10-16
高中语文典型教学案例06-07
＊＊村个人先进典型案例07-03
