概率与数理统计第5章大数定律及中心极限定理习题及答案

概率与数理统计第5章大数定律及中心极限定理习题及答案（精选2篇）

概率与数理统计第5章大数定律及中心极限定理习题及答案 篇1

一、填空题：

2.设1,2,,n是n个相互独立同分布的随机变量，n

E(i),D(i)8,(i1,2,,n)对于



i

1in，写出所满足的切彼雪夫不等式

P{||}

D()

2

8n

2，并估计P{||4}1

12n

n

D()



i1

D(i)n





n



8n

3.设随机变量X1,X2,,X9相互独立且同分布, 而且有EXi1,9DXi1(i1,2,,9), 令X



i1

Xi, 则对任意给定的0, 由切比雪夫不等式

直接可得PX91

9

解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X满足：E(X)与D(X)2都存在, 则对任意给定的0, 有

P{|X|}



22, 或者P{|X|}1



.由于随机变量X1,X2,,X9相互独立且同分布, 而且有EXi1,DXi1(i1,2,9), 所以

9

E(X)EXi

i1

i

E(X

i19)

19,i19



9

D(X)DXi

i1

D(X

i1

i)

19.i1

p是事件A在每次试验中出现的概率，7、设n表示n次独立重复试验中事件A出现的次数，则由中心极限定理（D－L）

P{an

b}＝P



41bnp



np(1p)anpnp(1p)

12

e



t

dt

8.设随机变量n,服从二项分布B(n,p), 其中0p1,n1,2,, 那么, 对于任一实数x, 有limP{|nnp|x}n

由中心极限定理（D－L）

limP{|nnp|x}limPn

n



limPn

|np|



lim[n

(

limPn

lim[2n

1]2(0)10

二．计算题：

3、某微机系统有120个终端, 每个终端有5%的时间在使用, 若各终端使用与否是相互独立的, 试求有不少于10个终端在使用的概率.解：某时刻所使用的终端数~b(120,0.05),np6,npq5.7 由棣莫弗－拉普拉斯定理知

106P{10}1P{10}11(1.67)0.0475.5．随机地掷六颗骰子，试利用切比雪夫不等式估计：六颗骰子出现的点数总和不小于9且

不超过33点的概率。

解：设表示六颗骰子出现的点数总和。i表示第i颗骰子出现的点数，6i = 1，2，…，6。1，2，…，6 相互独立，显然



i1

2i

43512

Ei

123456

2

72,Di

126

2



E21,D

应用切必雪夫不等式

p933p122112＝pE12

1

D169

1

35338

0.9

答：六颗骰子出现的点数总和不小于9且不超过33点的概率不小于0.9。

6.设随机变量1,2,,n 相互独立，且均服从指数分布

1exx0

0为 使Pf(x)

0x0n

问： n的最小值应如何 ？

n



k

1k

1



19

5，10

解: Ek

1

En

n

1,Dk

1

n

n

11

,Dknk11

kn2k1

Dk

k1

1n

由 切 比 雪 夫 不 等 式得

1

Pn

11Pk10

k1n

n

1

Eknk1

n

1

k

10k1

n

2951, 2

1001

10

即1

100n



95100,从而n  2000，故n的最小值是2000.7．抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品次品率为10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9? 解： 设n为至少应取的产品数，X是其中的次品数，则X~b(n,0.1)，Xn0.1n0.10.9

10n0.1n0.10.9

P{X10}0.9，而P{}0.9

所以P{

Xn0.1n0.10.9



100.1n0.09n

0.1

由中心极限定理知，当n充分大时，有P{

X0.1nn0.10.9100.1n0.3n



100.1n0.09n

（100.1n0.3n)0.1，由(,查表得)0.1

100.1n0.3n

1.28 n147

8．(1)一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为

0.1，又知为使系统正常运行，至少必需要有85个元件工作，求系统的可靠程度(即正常运行的概率)；(2)上述系统假设有n个相互独立的元件组成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系统正常运行，问n至少为多大时才能保证系统的可靠程度为0.95? 解：(1)设X表示正常工作的元件数，则X~b(100,0.9)，8590

9X1000.90.10.9

10090

P{X85}P{100X85}P{

3X903



P{}

由中心极限定理可知

P{X85}(（10

103)(

53)（10)(1())33

55)()1()0.95 333

(2)设X表示正常工作的元件数，则X~b(n,0.9)

0.1n0.3n

n3

P(X0.8n)P(0.8nXn)P{

X0.9nn0.90.1



0.2n0.3n

P{

n3



X0.9n0.3n



n}P{

X0.9n0.3n

1(

n3)（n3)0.95

n3



n25

9．一部件包括10部分，每部分的长度是一随机变量，相互独立且具有同一分布，其数学期望为2 mm，均方差为0.05 mm，规定总长度为20  0.1 mm 时产品合格，试求产品合格的概率。已 知 ：(0.6)= 0.7257；(0.63)= 0.7357。

解：设每个部分的长度为Xi(i = 1, 2, …, 10)E(Xi)= 2 = , D(Xi)=  =(0.05)

2,依题意，得合格品的概率为



P0.1

0.63

X

i1

i

1

200.1P0.63(Xi102)0.63

3.180.05i1



0.63



12



t

e12

dt2

t

0.63

12



t

e

dt

2

0.63

e

dt120.735710.4714

13.保险公司新增一个保险品种：每被保险人年交纳保费为100元, 每被保险人出事赔付金额为2万元.根据统计, 这类被保险人年出事概率为0.000 5.这个新保险品种预计需投入100万元的广告宣传费用.在忽略其他费用的情况下, 一年内至少需要多少人参保, 才能使保险公司在该获利超过100万元的概率大于95%？

((x)



x



t

dt,(1.29)0.9015,(1.65)0.9505,(3.09)0.9990,(3.72)0.9999,(4.27)0.99999)

解：设参保人数为N人(X是出事人数，XB(N,0.0005), 则

1,0,0

i1,2,,N,i~

第i人不出事，q第i人出事，1

,Eip,Dipq.p

i

N

P(20000i1000000100N1000000)0.95.i1

（P(20000X1000000100N1000000)0.95.）

N

P(iN/20020000)0.95.（P{XN/20020000}0.95）

i1

P

N

iNp

100N2000000

Np

0.95.

10N0

由

2000000

Np

1.65,N20000200Npp0.0005,q

0.9995,0.9N200002

9N210310

81N(36103300pq)N410

0,N45068.03N493827160.49

0,63296.41,N54182.22.14、证明题 :设随机变量X的密度函数为

xnx

e,

f(x)n!

0,

x0,x0.求证

P(0X2(n1))

nn1

.0

证：由分部积分或递推公式，F(n)



x

n

n!

dx1

x

E(X)





xf(x)dx



0

x

n1

n!

edx(n1)

0

x

0

x

n1

(n1)!

n2

x

edxn1,x

E(X)



0

x

n2

n!

edx(n1)(n2)

x

x

(n2)!

edx(n1)(n2),D(X)E(X)[E(X)](n1)(n2)(n1)n1.由切比雪夫不等式得

P(0X2(n1))P(|X(n1)|n1)

P(|XE(X)|n1)

1

D(X)(n1)

1

n1(n1)



概率与数理统计第5章大数定律及中心极限定理习题及答案 篇2

0,事件A不发生

1.设Xi(i1,2,10000),且P(A)=0.8,X1,X2,,X10000相互独立,令

1,事件A发生

10000

Y=

X,则由中心极限定理知Y近似服从的分布是（D）

ii

1A.N(0,1)

C.N(1600,8000)B.N(8000,40)D.N(8000,1600)

2．设X1，X2，……，Xn是来自总体N（μ,σ2）的样本，对任意的ε>0，样本均值X所满足的切比雪夫不等式为（B）

Xn≥

n

C．PX≤1-

A．P

2n

X≥1-n

n

D．PXn≤



B．P

2

3.设随机变量X的E（X）=,D(X)=2，用切比雪夫不等式估计P(|XE(X)|3)（C）A.C.1 98 91912

1B.3D.1

4．设随机变量X服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计P(|X-2|≥3)≤(C)A.C.1B.3

D.1

二、填空题

1．将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率

近似为___0.0228________.（附：Φ（2）=0.9772）

2．设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…独立同分布，且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2>0,i=1,2,…, 则n

Xni

i1

x_对任意实数x，limP

nn





___________.3.设随机变量X的E(X)=,D(X)2,用切比雪夫不等式估计P(|XE(X)|32) ___8/9________。

4．设随机变量X～U（0，1），用切比雪夫不等式估计P（|X－_____1/4___________．

5．设随机变量X~B(100,0.8)，由中心极限定量可知，11

|≥）≤2

P74X86_0.8664______.(Φ(1.5)=0.9332)

0,6.设Xi=1,事件A不发生事件A发生(i=1,2,…,100)，且P(A)=0.8, X1，X2，…，X100相互独立，令Y=X

i1100i，则由中心极限定理知Y近似服从于正态分布，其方差为___16________。

7．设随机变量X ~ B（100，0.2），应用中心极限定理计算P{16X24}=___0.6826_______.（附：Φ（1）=0.8413）

8.设n为n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意的0,limP{|nnp|}=__1________.n

9．设随机变量X～B(100，0.5)，应用中心极限定理可算得P{40

10.设X1,X2,,Xn是独立同分布随机变量序列，具有相同的数学期望和方差E(Xi)=0，D(Xi)=1，则当n充分大的时候，随机变量Zn