小学数学解题方法推荐（共15篇）
能被4约：末尾两位数是0或能被4约的数。例如36900，987136。
能被6约：既能被2约又能被3约的数。例如114，914860。
能被8约：末三位是0或能被8约的数。例如321000，5112。
能被9约：能被9整除的准则以下列的事实为基础，即在十进系统中，1以后带几个零的数(即10的任何次幂)在被9除时必然得出余数1。实际上，
第一项都是由9组成的，显然能被9整除。因此，10n被9除时必然得余数1。
然后，我们再看任意的数，例如4351。一千被9除得余数1，于是四千被9除得余数4。同样，三百被9除得余数3，五十被9除得余数5，还余下个位数1。因而，
4351=能被9整除的某一个数+4+3+5+1
如果“尾数”4+3+5+1(它是该数的各位数字之和)能被9整除，那么，整个数也能被9整除。因而可得到结论：如果某一个数的“各位数字的和”能被9整除，那么这个数也能被9整除。例如 111222，8973。
9的倍数除以9，其商有如下特点：
被除数是两位数，商是被除数尾数的补数，即补足10的数。
例如 63÷9=7，3的补数是7。
被除数是三位数，商首同尾互补。
例如
被除数是四位数，商的中间数字是被除数前两位数字之和。
被除数是五、六位数……原理同上。商的第二位数字是被除数前两位数字之和，第三位数字是被除数前三位数字的和……
能被7约∶70以内的两位数能否被7约一目了然，大于70的两位数只要减去70也就一清二楚了。
三位数，只要把百位数字乘以2加余下约数，和能被7约这三个数就能被7约。例如812，
(8×2+12)÷7=4。
百位数字乘以2，是因为100除以7得商14余2，即每个100余2，把它放到十位数里。
四位数，只要在百位数的计算方法上减去千位数字。因为1001能被7约，即1000要能被7约还缺1，有几个1000应减去几。例如1820，
(8×2+20-1)÷7=5。
能被11约：
奇偶位数差法：一个数奇位上的数字和与偶位上的数字和的差(大数减小数)是0或11的倍数的数。
例1 3986576
(6+5+8+3)-(7+6+9)
=22-22=0，
则11|3986576。
例2 9844
(9+4)-(8+4)
=13-12=1，
则 11 9844。
小节法：把判断数从个位起每两位分成一小节，最后的不足两位数也当作一节。只要看各小节之和是否有约数9或11。
例3 2879503
03+95+87+2
=187=11×17，
即11| 2879503。
例4 1214159265
65+92+15+14+12
=198=2×9×11，
即9|1214159265，11|1214159265。
能被7或11或13约的数一次性判断法：
那么要判别N能否被7或11或13约，只须判别A与B(或B与A)的差能否被7或11或13约。
证明：因为1000=7×11×13-1
10002=(7×11×13-1)2
=7×11×13的倍数+1
10003=7×11×13的倍数-1
……
例 5 987198719871
由 A-B=(871+198)-(719+987)
=1069-1706，
知 B-A=637=72×13。
即能被7和13约，不能被11约。
例6 21203547618
由(618+203)-(547+21)
=253=11×23，
知原数能被11约，不能被7或13约。
若其差为0，则这个数必能同时被7、11、13约。
例如 8008 8-8=0，
则8008÷7=1144，8008÷11=728，
8008÷13=616。
能被17约：
(1)末两位数与以前的数字组成的数的2倍之差数(或反过来)能被17约的数;
(2)末三位数与以前的数字组成的数的3倍之差数(或反过来)能被17约的数;
(3)末三位数的6倍与以前的数字组成的数之差数(或反过来)能被17约的数。
例如，31897168
由(1)得318971×2-68=637874，
重复四次得 170，17|170，
故知 17|31897168。
由(2)得 31897×3-168=95523，
523-95× 3=238，
17|238，故知17|31897168。
由(3)得31897-163×6=30889，
再由(2)889-30×3=799，
最后由(1)99-7×2=85，
17|85，则 17|31897168。
能被19约：
(1)末三位数的3倍与以前的数字组成的数的2倍之差(或反过来)能被19约的数;
(2)末两位数的2倍与以前的数字组成的数的9倍之差(或反过来)能被19约的数;
(3)末三位数的11倍与以前的数字组成的数之差(或反过来)能被19约的数。
例如，742050833
由(3)得742050-833×11=732887，
再由(1)887×3-732×2=1197，
最后由(2)97×2-11×9=95，
19|95，则19|742050833。
能被23约：
(1)末三位数的2倍与以前的数字组成的数之差能被23约的数;
(2)末两位数的2倍与以前的数字组成的数的7倍之差能被23约的数。
例如，542915
由(1)得915×2-542=1288，
288×2-1=575，
23|575，则23|542915。
由(2)5429×7-15×2=37973，
379×7-73×2=2507，
25×7-7×2=161，
23|161，则23|542915。
能被25约：
末两位数是00、25、50、75的自然数。
能被99约：
可同时被3与33或9与11约的自然数。
能被99各因数约：
把被判断的数从个位起，每两位分成一段，各段数之和能被各因数的某一因数约，这个数就能被这个因数约。
证明：设这个数 N=a0+a1・10+a2・102+a3・103+a4・104+a5・105+……
因为99×(a3a2+101×a5a4+……)能被99的因数33、11、9、3约。
所以当(a1a0+a3a2+a5a4+……)能被33、11、9、3约时，N也能被这四个数约。当N是奇位数时，仍然成立。
例7 4326321
4+32+63+21=120，
3|120，则3|4326321。
例8 84564
8+45+64=117，
9|117，则 9|84564。
例9 493526
49+35+26=110，
11|110，则11|493526。
例10 18270945
18+27+09+45=99，
33|99，则33|18270945。
能被273约：
根据定理：若c|b、c a、则b a。
例如，判别272452654能否被273整除。
3|273，3 272452654，
则 273 272452654。
若判断36786360能否被24约，根据定理：
若b|a，c|a，(b，c)=1，
则其 bc|a。
因为24=3×8，(3，8)=1，
3|36786360，8|36786360，
所以 24|36786360。
同理，因为132=3×4×11，
(3，4，11)=1，
而3、4、11能分别约992786256，
一、重视基本数量关系的教学
解决问题的基础就是基本数量关系。在研究解题方法多样化的教学过程中,学生需要了解一些常见的简单数量关系,对数量关系的了解程度对其解题思路的形成有直接影响。数量关系的学习不是一个一蹴而就的过程,它需要逐步积累、循序渐进。新课程标准要求学生需更加注重数量关系的建构。因此在教学过程中,我们要有意识地培养学生自己对数量关系进行分析研究,用数学思想方法引领学生的思维方法,这样才能更好地服务于解决问题。如某例题:一辆汽车在改装后,每行驶200千米可以节省24千克的汽油,问行驶1500千米可以节省多少汽油?结合本题题意,从解决问题的数学方法上可以有多种。方法一采用假设法,假设可以节省x千克汽油,则根据比例可知:24∶200=x∶1500,求解即可得出答案;方法二采用归一法,利用24÷200×1500即可得出答案。这些方法的运用都是基于对题意的分析上,从节油量与路程之间得出的单位节油量上来得出不同条件下的总节油量。尽管采用的数量关系存在变式,但其实际数量关系是固定的。从而得出不同解题方法所体现的对问题情境的设置,以及所隐含的数量关系均产生了不同的组合链。
二、注重“数”与“形”的结合
数学的最终目的就是为了让学生解决实际生活中的问题,在教学过程中,可以让学生从多角度出发,用已有知识获得解决问题的方法。例如,在讲解“认识分数”的时候可以让学生制作模型,运用“分割”和“补”的方法来认识分数并解决问题。教师在课堂上要让学生自主研究交流,在练习中不断进步提高,从而获得解题的多种方法。但是,不能为了多样化而多样化,在罗列出多种方法后,教师应进行适当的点拨和归纳,找出问题的共同点,抓住重点,突出难点,提升学生的思维能力。
三、重视问题解决的合理选择
对于同样的问题,不同的学生由于他们的思维方法和角度不同,在解决问题的过程中会存在很大的差异。每个学生的思维方法都应得到尊重,使得每个学生的思维发展都有成长的空间,教师要给学生多提供机会,让他们的思维方式和解题方法得以展现。在学生多样化思路基础上,教师要对其进行优化提升,让学生发现自己的不足,从而选择最合适的解题思路。但是对于不同的学生需要用不同的方法,因为好的方法不是一成不变的,合适的才是最好的。例如,在讲解长方形面积公式的时候,我们有很多的方法,学生通过对比和研究可以找到最适合自己的方法。
一、“解决问题”教学的步骤
1.审题（收集信息的能力）。新教材的应用题类型非常多，有图文结合式，有表格式，有对话式，而且信息量也很大，有时会同时包含几道应用题，因此寻找有用的信息成为解题的关键。所以对低年级的学生要教会如何审题。即读题、审题，重在理解题意。在通读的基础上，要精读。首先要细看，对教材所提供的信息要一字一句地读，努力从整体上对问题有一个初步了解。对教材中含图形比较多的问题，需要把文字和图画结合起来阅读。其次要理解，对提出的相关问题，要引导学生弄清每个问题的意义，然后再联系起来理解和体会。通过读题来理解题意，掌握题中讲的是一件什么事？经过怎样？结果如何？通过读题弄清题中给了哪些条件？要求的问题是什么？实践也表明：现在有些同学不会解答或解答错误，其主要原因往往是没有正确理解题意。
2.分析（处理信息的能力）。即a画，分析数量关系。虽然新教材的低年级取消了线段图，淡化了数量关系式。但我们认为画图和找等量关系是建构数学模型最有效的手段之一。首先低年级的学生以形象思维为主，所以图形是学生思维的基础。但画实物图很麻烦，它的优化形式是线段图，所以在低年级的解决问题教学中，可适当从实物图中抽象出线段图，为今后的解决问题题目分析做好铺垫；其次数量关系是指应用题中已知数量与已知数量、已知数量与未知数量之间的关系。b说，分析数量关系。说就是用口头语言去表达或与他人交流自己对问题与方法的看法，可以说对问题的理解，也可以说对问题的分析，还可以说解题的思路和方法，对自己的推断和想法进行辩解等。当然，在学生用自己的话说的时候，应注意引导学生用准确、简洁的语言去表达，它反映了学生对数学问题的正确理解。只有搞清楚数量关系才能根据四则运算的意义恰当的选择算法，把数学问题转化成数学式子，通过计算进行解答。
3.检验（检查验证的能力）。新教材中应用题教学的意义就在于发现现实情景中的数学因素（数量与数量关系），建立模型，运用模型解决实际问题，并在运用数学知识和方法从事数学练习和解决问题的实践活动。在解决问题的过程中，要使每一个学生都能获得做的体验和经验。所以，根据计算结果的合理性来判断解题策略和方法的正确性，可以进一步形成数学的模型。
二、“解决问题”教学的策略
要求学生用数学的眼光观察世界，提出各种问题；能灵活运用不同的方法，解决生活中的简单数学问题；面对实际问题，能从数学的角度运用所学的知识和方法寻求解决问题的策略。
1.以“问题情境”为前提的解决问题教学。
《数学课程标准》指出：“数学教学要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境。”提出问题，解决问题应以创设问题情境为开端，所以创设问题情境是“解决问题”教学过程的重要环节。
常见的问题情境有两种。一种是明确的问题情境，问题是给定的，条件是明了的，答案是确定的。学生在解决这样的问题时，数量关系和解题方法是已知的，所以这种问题情境是封闭的，过去的应用题大量的是这类题型。另一种是需要学生发现和选择信息的问题情境。问题需要学生自己去发现出来，或者问题已给出，但其与问题有关的信息需要学生去创设或补充，解决问题的方法需要学生去探索，所以这种问题情境是富有挑战性、开放性的，其教育价值和意义是重大的。在解决问题的过程中，学生能体验到探索者、研究者和发现者的角色，并且能够有效地培养学生收集信息和处理信息的能力，促进学生创造性地解决问题。例如，“小华妈妈的生日快到了，她想用自己的零用钱20元给妈妈买一束鲜花作为生日礼物。现了解到：康乃馨5支10元，百合花3支12元，节节高2支6元，小华用这20元钱买花有几种不同的买法？”有的学生设计出了一两种方法，有的则有数十种，他们不知不觉地利用生活经验去解决问题，体验到了学习的满足感，很好地弥补了学生能力之间存在的客观差异，让全体学生领会到成功的愉悦，也培养了学生分析、解决实际问题的能力。
2.以“分析数量关糸”为核心的解决问题教学。
解决问题教学要着力培养学生从问题情境中发现数学信息的能力，从而提出要解决（可以解决）的问题。通常情况下可以先感知问题通过文字描述、画面或其它形式所提供的信息，了解问题给定了哪些已知条件和有用的东西，在此基础上明确问题中有哪些可供利用的有用信息；然后进一步了解问题所提供的目标信息，即知道要解决什么问题，明确问题的初始状态和所要达到的目标状态。
根据前面获得的条件信息、目标信息、问题的初始状态及学习者头脑里形成的问题目标状态选择解题策略。这里关键是要引导学生善于发现数学情境中的数学因素（数量与数量关系），并与已有知识和经验建立联系，进而建立模型；再运用模型解决实际问题，并在实际运用中验证模型的正确性。
3.以“教给解题策略”为重点的解决问题教学
编辑点评：小学数学应用题一向是师生家长非常关注的一类题型，要做好应用题需要学生多思考多做练习。小编在这里为大家汇总了典型应用题的解题方法并附上例题，希望能助大家一臂之力。
鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”，又称鸡兔同笼问题。
解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。
解题规律：
（总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数
兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷2
如果假设全是兔子，可以有下面的式子：
鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2
兔的头数=总头数-鸡的只数
【例题】 鸡兔同笼共 50 个头，170 条腿。问鸡兔各有多少只？
【分析】
兔子只数（170-2 × 50）÷ 2 =35（只）
1. 函数与方程的思想：函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。
2. 数形结合的思想：数与形在一定的条件下可以转化。如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题;而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。
3. 分类讨论的思想
分类讨论的思想之所以重要，原因一是因为它的逻辑性较强，原因二是因为它的知识点的涵盖比较广，原因三是因为它可培养学生的分析和解决问题的能力。原因四是实际问题中常常需要分类讨论各种可能性。
解决分类讨论问题的关键是化整为零，在局部讨论降低难度。
常见的类型：
类型1 ：由数学概念引起的的讨论，如 实数、有理数、绝对值、点(直线、圆)与圆的位置关系等概念的分类讨论 ;
类型2 ：由数学运算引起的讨论，如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题;
类型3 ：由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，如一元二次方程求根公式的应用引起的讨论;
类型4 ：由图形位置的不确定性引起的讨论，如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引起的讨论。
类型5 ：由某些字母系数对方程的影响造成的分类讨论，如二次函数中字母系数对图象的影响，二次项系数对图象开口方向的影响，一次项系数对顶点坐标的影响，常数项对截距的影响等。
如分类讨论的案例： 在一张长为 9 厘米 ，宽为 8 厘米 的矩形纸板上，剪下一个腰长为 5 厘米 的等腰三角形(要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上)，请计算剪下的等腰三角形的面积?
分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思想方法，其作用在于克服思维的片面性，全面考虑问题。分类的原则：分类不重不漏。
分类的步骤：
①确定讨论的对象及其范围;
②确定分类讨论的分类标准;
③ 按所分类别进行讨论;
④ 归纳小结、综合得出结论。注意动态问题一定要先画动态图。
4 .转化与化归的思想
转化与化归市中学数学最基本的数学思想之一，数形结合的`思想体现了数与形的转化;函数与方程的思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化;分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，所以以上三种思想也是转化与化归思想的具体呈现。
但是转化包括等价转化和非等价转化，等价转化要求在转化的过程中前因和后果是充分的也是必要的;不等价转化就只有一种情况，因此结论要注意检验、调整和补充。转化的原则是将不熟悉和难解的问题转为熟知的、易解的和已经解决的问题，将抽象的问题转为具体的和直观的问题;将复杂的转为简单的问题;将一般的转为特殊的问题;将实际的问题转为数学的问题等等使问题易于解决。
常见的转化方法有： ?
( 1 )直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题 .
( 2 )换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题 .
?( 3 )数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径 .
?( 4 )等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的 .
?( 5 )特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，使结论适合原问题 .
( 6 )构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题 .
对于含有多个变数的问题，有时可以利用题设条件和某些已知恒等式(代数恒等式或三角恒等式)，通过适当的变形，消去一部分变数，使问题得以解决，这种解题方法，通常称为消元法，又称消去法。
消元法是解方程组的基本方法，在推证条件等式和把参数方程化成普通方程等问题中，也有着重要的应用。
用消元法解题，具有较强的技巧性，常常需要根据题目的特点，灵活选择合适的消元方法。
解方程组： y-z-x=0
1. 配方法
所谓配方, 就是把一个解析式利用恒等变形的方法, 把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中, 用得最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法, 它的应用十分非常广泛, 在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2. 因式分解法
因式分解, 就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础, 它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多, 除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外, 还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3. 换元法
所谓换元法, 就是在一个比较复杂的数学式子中, 用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子, 使它简化, 使问题易于解决。
4. 判别式法与韦达定理
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a、b、c属于R, a≠0) 根的判别, △=b2-4ac, 不仅用来判定根的性质, 而且作为一种解题方法, 在代数式变形, 解方程 (组) , 解不等式, 研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根, 求另一根;已知两个数的和与积, 求这两个数等简单应用外, 还可以求根的对称函数, 讨论二次方程根的符号, 解对称方程组, 以及解一些有关二次曲线的问题等, 都有非常广泛的应用。
5. 待定系数法
在解数学问题时, 若先判断所求的结果具有某种确定的形式, 其中含有某些待定的系数, 而后根据题设条件列出关于待定系数的等式, 最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系, 从而解答数学问题, 这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。
6. 构造法
在解题时, 我们常常会采用这样的方法, 通过对条件和结论的分析, 构造辅助元素, 它可以是一个图形、一个方程 (组) 、一个等式、一个函数、一个等价命题等, 架起一座连接条件和结论的桥梁, 从而使问题得以解决, 这种解题的数学方法, 我们称为构造法。运用构造法解题, 可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透, 有利于问题的解决。
7. 反证法
反证法是一种间接证法, 它是先提出一个与命题的结论相反的假设, 然后, 从这个假设出发, 经过正确的推理, 导致矛盾, 从而否定相反的假设, 达到肯定原命题正确的一种方法。
反设是反证法的基础, 为了正确地作出反设, 掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的。
归谬是反证法的关键, 导出矛盾的过程没有固定的模式, 但必须从反设出发, 否则推导将成为无源之水, 无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。
8. 面积法
平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理, 不仅可用于计算面积, 而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法, 称为面积方法, 它是几何中的一种常用方法。
用归纳法或分析法证明平面几何题, 其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来, 通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题, 几何元素之间关系变成数量之间的关系, 只需要计算, 有时可以不添置补助线, 即使需要添置辅助线, 也很容易考虑到。
9. 客观性题的解题方法
选择题是给出条件和结论, 要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。
要想迅速、正确地解选择题、填空题, 除了具有准确的计算、严密的推理外, 还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。
(1) 直接推演法:直接从命题给出的条件出发, 运用概念、公式、定理等进行推理或运算, 得出结论, 选择正确答案, 这就是传统的解题方法, 这种解法叫直接推演法。
(2) 验证法:由题设找出合适的验证条件, 再通过验证, 找出正确答案, 亦可将供选择的答案代入条件中去验证, 找出正确答案, 此法称为验证法 (也称代入法) 。当遇到定量命题时, 常用此法。
(3) 特殊元素法:用合适的特殊元素 (如数或图形) 代入题设条件或结论中去, 从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。
(4) 排除、筛选法:对于正确答案有且只有一个的选择题, 根据数学知识或推理、演算, 把不正确的结论排除, 余下的结论再经筛选, 从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。
(5) 图解法:借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断, 作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。
关键词：小学生 数学 解题能力 方法
数学是小学教育的重要组成部分，它是学生发展数学能力的基础，具有十分重要的作用。新课程改革要求小学数学教学必须注重培养学生的解题能力，促进学生的全面发展。笔者认为，要提高小学生的数学解题能力，教师就要根据小学生的生理和心理发展特点，采用科学的教学方法，激发学生的学习热情，使学生主动投入到数学学习中。
一、激发学生的学习热情
在数学课堂教学中，最常见的教学方法就是提问。通过提问，既有助于教师了解学生真实的学习情况，又有助于调节课堂氛围，集中学生的注意力，真可谓一举两得。但是，笔者认为，小学数学教师还应该注意学生的心理情况，通过提问激发学生的学习热情和探索欲望，调动学生的学习积极性，有意识地引导学生思维的发展方向，让学生找到解决问题的关键。举例来说，书上有这样一个问题：“学生一起做小纸盒，其中蓝色的小纸盒有30个，绿色的小纸盒有24個，紫色的小纸盒个数比蓝色和绿色小纸盒个数的和还多4个。那么紫色小纸盒有多少个？”学生在思考这个问题时遇到了一个小障碍，但是通过逐层提问，笔者帮助学生克服了这个障碍。首先，笔者让学生画出线段图，帮助学生更好地理解题目。然后，笔者又提出两个问题，让学生思考：“紫色小纸盒是比什么多了4个？如果我想要知道紫色小纸盒有多少个，那么首先应该知道什么呢？”这两个问题帮助学生克服了思维障碍，活跃了学生的思维，学生很快就解出了这道题。
二、促进学生的知识迁移
艾宾浩斯遗忘曲线告诉我们，要想提高学生的成绩，就必须让学生温故而知新，提高学生记忆知识的深刻程度。不少学生对于复习知识抱有抵触情绪，觉得没有新鲜感。笔者认为，为了帮助学生更好地记忆，教师应该巧妙地进行复习，在教学过程中把旧知识作为引入新知识的“跳板”。这样，既可以集中学生的注意力，让学生逐渐接受和理解新知识，又可以解决学生抵触复习的问题。
举例来说，有这样一道题目：“玄武湖公园四天一共接待了2000人次的游客，如果按照这样的趋势来看，接下来六天会有多少人去玄武湖公园玩呢？”刚看到这个问题的时候，学生会觉得比较难，各个已知量之间没有明显的联系。这个时候，笔者把这个问题拆解成两个部分，帮助学生更好地理解。首先，是玄武湖公园4天接待了游客2000人，那么每天能够接待多少人？学生不需要用纸笔，就能够算出玄武湖公园每天接待了500人。这样一来题目就变成了“玄武湖公园每天接到500人，六天能够接待多少人？”一个复杂的问题分解成两个简单的问题，在解题的过程中，学生不仅复习和巩固了乘法知识，而且更容易学习新知识。
三、适当地增加练习量
虽然笔者不提倡题海战术，但是如果因为反对题海战术而不考虑实际情况，大幅压缩练习量也是不对的。其实，通过一定量的练习，可以提高学生的解题能力，只是教师要把握好练习的度。单调枯燥的同一题型的练习只会让学生产生抵触心理，教师应该选择多样化的习题练习，然后根据实际情况，要求学生运用多种解法解答同一道题目，从而培养学生的发散思维。
总而言之，数学解题能力对于学生的长远发展具有重要影响，数学教师要注意培养学生的解题能力，发展学生的综合能力，为学生的长远发展打下坚实的基础。
参考文献：
[1]柯秀敬.注重解题反思，培养思维品质[J].小学时代：教育研究，2012，（4）.
[2]杨有润.浅谈小学数学简单应用题教学新思路[J].成功（教育版），2011，（10）.
直接法
定义法
向量坐标法
查字典法
挡板模型法
等差中项法
逆向化法
极限化法
整体化法
参数法
交轨法
几何法
弦中点轨迹求
比较法
基本不等式法
以题攻题法
综合法
分析法
放缩法
反证法
换元法
构造法
数学归纳法
配方法
判别式法
序轴标根法
函数与方程思想
整体思想
在考研复习中对于那些具有很强的典型性、灵活性、启发性和综合性的题，考生要特别注重解题思路和技巧的培养。典型题可以理解为基础题以和常考题型。做这种题时考生要积极主动思考，不能只是为了做题而做题。要在做题的基础上更深入地理解、掌握知识，所学的知识才能变成自己的知识，这样才能使自己具有独立的解题能力。
例如线性代数的计算量比较大，但纯计算的题目比较少，一般都是证明中带有计算，抽象中夹带计算。这就要求考生在做题时要注意证明题的逻辑严紧性，掌握知识点在证明结论时的基本使用方法，虽然线性代数的考试可以考的很灵活，但这些基本知识点的使用方法却比较固定，只要熟练掌握各种拼接方式即可。
尽管试题千变万化，但其知识结构基本相同，题型相对固定，这就需要考生在研究真题和做模拟题时提炼题型。提练题型的目的，是为了提高解题的针对性，形成思维定势，进而提高考生解题的速度和准确性。
二、找切入点，理清知识脉络
考生们在解综合题时，最关键的一步是找到解题的切入点。所以大家需要对解题思路很熟悉，能够看出题目与复习过的知识点、题型之间存在的联系。在考研复习中要对所学知识进行重组，理清知识脉络，应用起来更加得心应手。
解应用题的一般步骤都是认真理解题意，建立相关的数学模型，将其化为某数学问题求解。建立 数学模型时，一般要用到几何知识、物理力学知识和经济学术语等。
三、选常规题，珍惜复习时间
对于比较偏门和奇怪的试题，圈圈建议大家不要花太多的时间。同学们在复习中做好分析好考研数学的常规题目便已足够。研究生考试不是数学竞赛，出现偏门和怪题的情况微乎其微，因此完全没必要浪费时间。
考研复习中，遇到比较难的题目，自己独立解决确实能提高能力。但复习时间毕竟有限，在确定思考不出结果时，要及时寻求帮助。一定要避免一时性起，盯住一个题目做大半天的冲动。
总的来说考研数学试题的考察还是建立在基础之上，圈圈建议考生在平时的复习中注意积累解题方法和技巧、有计划地培养独立解题能力，最终准确把握考试题目侧重的知识点。秋季是考研复习强化的关键阶段，考生一定要全身心投入复习。最后圈圈祝各位复习顺利。
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所谓配方,就是把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中,用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用十分非常广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
二、因式分解法
因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
三、换元法
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。
四、判别式法与韦达定理
一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R,a≠0)根的判别,△=b2-4ac,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法,在代数式变形,解方程(组),解不等式,研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根;已知两个数的和与积,求这两个数等简单应用外,还可以求根的对称函数,计论二次方程根的符号,解对称方程组,以及解一些有关二次曲线的问题等,都有非常广泛的应用。
五、待定系数法
在解数学问题时,若先判断所求的结果具有某种确定的形式,其中含有某些待定的系数,而后根据题设条件列出关于待定系数的等式,最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系,从而解答数学问题,这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。
六、构造法
在解题时,我们常常会采用这样的方法,通过对条件和结论的分析,构造辅助元素,它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等,架起一座连接条件和结论的桥梁,从而使问题得以解决,这种解题的数学方法,我们称为构造法。运用构造法解题,可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透,有利于问题的解决。
七、反证法
反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。
反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。
八、面积法
平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理,不仅可用于计算面积,而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法,称为面积方法,它是几何中的一种常用方法。
用归纳法或分析法证明平面几何题,其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来,通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题,几何元素之间关系变成数量之间的关系,只需要计算,有时可以不添置补助线,即使需要添置辅助线,也很容易考虑到。
九、几何变换法
在数学问题的研究中,常常运用变换法,把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题,可以借助几何变换法,化繁为简,化难为易。另一方面,也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来,有利于对图形本质的认识。
几何变换包括:(1)平移;(2)旋转;(3)对称。
十、客观性题的解题方法
(1)直接推演法:直接从命题给出的条件出发,运用概念、公式、定理等进行推理或运算,得出结论,选择正确答案,这就是传统的解题方法,这种解法叫直接推演法。
(2)验证法:由题设找出合适的验证条件,再通过验证,找出正确答案,亦可将供选择的答案代入条件中去验证,找出正确答案,此法称为验证法(也称代入法)。当遇到定量命题时,常用此法。
(3)特殊元素法:用合适的特殊元素(如数或图形)代入题设条件或结论中去,从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。
(4)排除、筛选法:对于正确答案有且只有一个的选择题,根据数学知识或推理、演算,把不正确的结论排除,余下的结论再经筛选,从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。
(5)图解法:借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断,作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。
一、要对数学基本概念及基本定理准确把握
第一章函数与极限
1、函数的有界性在定义域内有f (x) ≥K1则函数f (x) 在定义域上有下界, K1为下界;如果有f (x) ≤K2, 则有上界, K2称为上界。函数f (x) 在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理如果F1 (x) ≥F2 (x) , 而lim F1 (x) =a, lim F2 (x) =b, 那么a≥b。
第二章导数与微分
1、函数f (x) 在点x0处可导=>函数在该点处连续;函数f (x) 在点x0处连续≠>在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。
2、原函数可导则反函数也可导, 且反函数的导数是原函数导数的倒数。
3、函数f (x) 在点x0处可微=>函数在该点处可导;函数f (x) 在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。
第三章中值定理与导数的应用
1、定理 (罗尔定理) 如果函数f (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 且在区间端点的函数值相等, 即f (a) =f (b) , 那么在开区间 (a, b) 内至少有一点ξ (a<ξ<b) , 使的函数f (x) 在该点的导数等于零:f' (ξ) =0。
2、定理 (拉格朗日中值定理) 如果函数f (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 那么在开区间 (a, b) 内至少有一点ξ (a<ξ<b) , 使的等式f (b) -f (a) =f' (ξ) (b-a) 成立即f' (ξ) =[f (b) -f (a) ]/ (b-a) 。
3、定理 (柯西中值定理) 如果函数f (x) 及F (x) 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间 (a, b) 内可导, 且F' (x) 在 (a, b) 内的每一点处均不为零, 那么在开区间 (a, b) 内至少有一点ξ, 使得等式[f (b) -f (a) ]/[F (b) -F (a) ]=f' (ξ) /F' (ξ) 成立。
4、洛必达法则应用条件只能用于未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式。
第四章不定积分
1、对于初等函数来说, 在其定义区间上, 它的原函数一定存在, 但原函数不一定都是初等函数。
第五章定积分
1、定积分解决的典型问题; (1) 曲边梯形的面积; (2) 变速直线运动的路程。
2、函数可积的充分条件定理设f (x) 在区间[a, b]上连续, 则f (x) 在区间[a, b]上可积, 即连续=>可积。定理设f (x) 在区间[a, b]上有界, 且只有有限个间断点, 则f (x) 在区间[a, b]上可积。
第六章定积分的应用
求平面图形的面积 (曲线围成的面积) 直角坐标系下 (含参数与不含参数) 极坐标系下 (r, θ, x=rcosθ, y=rsinθ) (扇形面积公式S=R2θ/2) 旋转体体积 (由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成) (且体积V=∫abπ[f (x) ]2dx, 其中f (x) 指曲线的方程) 平行截面面积为已知的立体体积 (V=∫abA (x) dx, 其中A (x) 为截面面积功、水压力、引力函数的平均值 (平均值y=1/ (b-a) *∫abf (x) dx) 。
第七章多元函数微分法及其应用
1、多元函数极限存在的条件极限存在是指P (x, y) 以任何方式趋于P0 (x0, y0) 时, 函数都无限接近于A, 如果P (x, y) 以某一特殊方式, 例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0 (x0, y0) 时, 即使函数无限接近某一确定值, 我们还不能由此断定函数极限存在。反过来, 如果当P (x, y) 以不同方式趋于P0 (x0, y0) 时, 函数趋于不同的值, 那么就可以断定这函数的极限不存在。例如函数:f (x, y) ={0 (xy) / (x^2+y^2) x^2+y^2≠0。
2、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数, 则它在该点必定连续, 但对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时, 函数值f (P) 趋于f (P0) , 但不能保证点P按任何方式趋于P0时, 函数值f (P) 都趋于f (P0) 。
第八章二重积分
1、二重积分的一些应用曲顶柱体的体积曲面的面积 (A=∫∫√[1+f2x (x, y) +f2y (x, y) ]dσ) 平面薄片的质量平面薄片的重心坐标 (x=1/A∫∫xdσ, y=1/A∫∫ydσ;其中A=∫∫dσ为闭区域D的面积。平面薄片的转动惯量 (Ix=∫∫y2ρ (x, y) dσ, Iy=∫∫x2ρ (x, y) dσ;其中ρ (x, y) 为在点 (x, y) 处的密度。平面薄片对质点的引力 (FxFyFz) 。
2、二重积分存在的条件当f (x, y) 在闭区域D上连续时, 极限存在, 故函数f (x, y) 在D上的二重积分必定存在。
二、要加强解综合性试题和应用题能力的训练
任何事物的结果有时顺着程序去思考，往往不得要领，倘若从结果向事物开始的方向或用假设的反方向去推理，反倒会“一片洞天”。数学解题技巧也是如此。首先，假设命题结论相反的答案，顺理演绎地解答，得出假设的矛盾结果，从另一侧面论证了正确答案。例如，苏教版教材必修1《函数》章节，已知函数f(x)是一项正负无限大范围内的增函数，a、b都为实数，求证：(1)假设：(a+b)≥0，则函数式表示为：f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)成立;(2)求证(1)问中逆命题是否正确。
(2)整体平衡，重点突出：对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既注意全面，更注意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度。近四年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：
①求曲线方程(类型确定、类型未定);
②直线与圆锥曲线的交点问题(含切线问题);
③与曲线有关的最(极)值问题;
④与曲线有关的几何证明(对称性或求对称曲线、平行、垂直);
⑤探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征;
(3)能力立意，渗透数学思想：一些虽是常见的基本题型，但如果借助于数形结合的思想，就能快速准确的得到答案。
分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法.在数学解题中, 分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发, 一步一步地探索下去, 最后达到题设的已知条件.综合法则是从数学题的已知条件出发, 经过逐步的逻辑推理, 最后达到待证结论或需求问题.对于解答证明来说, 分析法表现为执果索因, 综合法表现为由果导因, 它们是寻求解题思路的两种基本思考方法, 应用十分广泛.为便于读者熟练地掌握这两种方法, 从而获得成功的解题思路, 现举例说明如下.
例1设a, b是两个正实数, 且a≠b, 求证:a3+b3>a2b+ab2.
证明 (分析法)
要证a3+b3>a2b+ab2成立,
只需证 (a+b) (a2-ab+b2) >ab (a+b) 成立,
即需证a2-ab+b2>ab成立. (∵a+b>0)
只需证a2-2ab+b2>0成立,
即需证 (a-b) 2>0成立.
而由已知条件可知, a≠b, 有a-b≠0,
所以 (a-b) 2>0显然成立, 由此命题得证.
(综合法)
∵a≠b, ∴a-b≠0, ∴ (a-b) 2>0,
即a2-2ab+b2>0, 亦即a2-ab+b2>ab.
由题设条件知, a+b>0,
∴ (a+b) (a2-ab+b2) > (a+b) ab.
即a3+b3>a2b+ab2, 由此命题得证.
从例1容易看出, 分析法的特点是:从“未知”看“需知”, 逐步靠拢“已知”, 其逐步推理实际上是要寻找它的充分条件.综合法的特点是:从“已知”看“可知”, 逐步推向“未知”, 其逐步推理实际上是要寻找它的必要条件.
从例1也不难发现, 分析法和综合法各有其优缺点:分析法利于思考, 综合法宜于表达.因此, 在实际解题时, 常常把这两种方法结合起来使用:先以分析法为主寻求解题思路;再用综合法有条理地表达解题过程.请再看下面的例子.
例2对于已知实数a, 关于x的一元二次方程4x2-2ax+2a-3=0没有实数根, 求证:.
思考方法先从待证结论出发 (用分析法) , 结论左边是两个算术根之和, 稍作观察便可发现, 根号内的代数式都是完全平方式, 所以要证明结论成立, 只要证明|a-2|+|a-b|=4就可以了.于是, 解题的关键在于确定a的取值范围, 以去掉绝对值符号.再从已知条件来想 (用综合法) , 已知a为实数, 关于x的二次方程没有实数根, 则其根的判别式Δ<0, 由此便可探明a的取值范围, 这样, 和上面的分析联系起来, 原题便可解出.简证如下:
证明∵已知的关于x的二次方程无实根,
∴判别式Δ= (-2a) 2-4·4· (2a-3) <0,
整理, 得a2-8a+12<0,
于是, 解得2
∴欲证的恒等式左边=|a-2|+|a-6|= (a-2) + (6-a) =4=右边,
∴命题得证.
二、变更问题法
解答数学题, 实质上就是通过由因导果或执果索因, 确立题中条件与问题或条件与结论逻辑上的必然联系, 实现由已知向未知的转化.一般说来, 对于结构比较简单的问题, 通过适当地分析与综合就能找到合理的解题途径但对于结构复杂、抽象多变的数学题, 常常要从变更问题的角度去探讨解题的思考方法.
所谓变更问题, 就是在直接求解原问题难以入手时, 把原问题作适当的变更, 造成一个或几个比原问题来得简单、难度较低、易于解答的新问题, 以通过对新问题的考查, 发现原问题的解题思路, 最终达到解决原问题的目的从某种意义上说, 解答数学题的关键, 就在于对原问题作一系列恰当的变更.
例1不存在整数a, b, c满足a2+b2-8c=6.
思考方法本题不大容易入手, 如把式子a2+b2-8c=6变形为a2+b2=8c+6, 则原题变更为:证明不存在整数a和b, 使它们的平方和被8除余6, 显然, 变更后的问题便是我们利用整数性质易于证明的熟悉的问题了, 可对整数的四种形式:4n, 4n+1, 4n+2, 4n+3 (n为整数) 逐一进行验证, 以说明这四种形式中的任意两种形式的平方和都不能满足“被8除余6”.具体解题过程留给读者, 请用综合法写出来.
例2 m为何值时, 关于x的二次方程2 (m+1) x2-4mx+3 (m-1) =0 (1) 至少有一正根?
思考方法至少有一个正根的情况比较复杂, 可以分解为三个简单问题:一是有两个正根;二是有一正根、一负根;三是有一正根和一根为0, 故原题由此易解.此题亦可这样来分析:方程 (1) 至少有一正根的反面是有两负根, 这样可先确定有两负根时m的取值范围, 而后解出原题.按后一种思路简解如下, 前一种方法请读者完成.
解∵方程 (1) 有实根且为二次方程,
假设方程 (1) 有两个负根, 则有
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