1成比例线段教学设计（共8篇）
1．成比例线段
（二）山东省青岛实验初级中学 刘 涛
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：
这节课是“成比例线段”的第二课时，学生已经通过第一节课的学习，观察了大量的图片，列举了许多现实生活中的情境，认识了线段的比的知识，知道了选用同一单位长度量线段的长度，从而求出两条线段的比。也学会了运用比例线段的基本性质解决实际问题，并通过图片创设的问题情境，重现了现实生活中的比例模型，初步掌握了解决有关比的问题的方法。在这个基础上，进一步来学习成比例线段的有关性质，学生不会感到陌生，反而容易接受本节课的继续学习。学生活动经验基础：
上一节课，学生已经收集了一些相似图形的图片，如大小不同的两张中国地图、国旗，同底相片等。已经感受了数学知识源于生活，用于生活。各小组展示并讨论过线段比的事例，具有了一定的合作交流的基础和能力。难点处理：
比例的基本性质的推理是本节课的难点，教学中要尽量让学生发扬小组合作的精神，在小组中展开讨论，教师参与指点。
二、教学任务分析
教科书在学生认识线段的比的基础上，进一步提出了本节课的具体要求：理解并掌握比例的基本性质及其简单应用。学好了本节课，既承接了全等三角形的内容，又为本章的后续学习相似三角形和相似多边形奠定了基础。在知识技能方面，要求学生了解线段的比和成比例线段；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。学生经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。
教学目标：
（一）知识目标：了解线比例线段的基本性质；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。
（二）能力目标：经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。
（三）情感与价值观目标：通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。
教学重点：让学生理解并掌握比例的基本性质及其简单应用。教学难点：运用比例的基本性质解决有关问题。
三、教学过程分析
本节课设计了八个教学环节：第一环节：温故知新；第二环节：探究新知；第三环节：知识应用；第四环节：随堂练习；第五环节：巩固提高；第六环节：知识回顾；第七环节：布置作业。
第一环节：温故知新
活动内容：
复习：(1)成比例线段定义
（2）比例的基本性质
（3）若 3m = 2n，你可以得到
mn的值吗？呢？ nm活动目的：学生思考回顾上节课的内容，更好的进入本节课的学习。
第二环节：探究新知
活动内容：
BDCE1BDADCEAE，你能求出
ADAE2ADAEABABABBDACCE的值吗？如果 ,那么有怎么样的关系？在求解过 BCCEBDCE(1)如图，已知程中，你有什么发现？
已知，a，b，c，d，e，f六个数。
acabcdabcd如果,那么和成立吗？为什么？bdbdbd
ABBCCDADABBCCDAD，,(2)如图，HEEFFGHG的值相等吗？HEEFFGHG的值又是多少？在求解过程中，你有什么发现？
已知，a，b，c，d，e，f六个数。
如果ace(bdf0),那么acea成立吗？为什么？bdfbdfb
合比性质：如果ac,那么abcd.bdbd acmacma等比性质：如果(bdn0),那么.bdnbdnb
活动目的：每一个知识点的学习，都需要在一定的知识背景中去认识和练习才能 3
得到巩固应用，从引例的结论中，引出“合比性质”及“等比性质”的学习。注意事项：
1、合比性质有两种形式：如果那么
2、acabcdac，那么＝；如果，dbdbbdabcd，要灵活应用。bd要强调等比性质中，分母b+d+„„+n≠0。
第三环节：知识应用
活动内容： 例题：
a2aba-b(1)、已知,求与； b3bb(2)、在ABC与DEF中，若ABBCCA3,且ABC的周长为18cm，DEEFFD4 求DEF的周长。
活动目的：学到的知识要会应用升华，在这个环节中，让学生灵活应用比例的合比性质及等比性质，解决实际问题。师生互动，主要还是学生的动，要体现教师的主导作用，学生的主体作用。让学生会主动学习，遇到问题，要善于分析思考。注意事项：利用得出的解题方案，解答上面的两个问题。可让学生自己先做，学习小组讨论后，在黑板上演示，教师与学生共同评讲。
第四环节：随堂练习
活动内容：
ac2ac
1、已知(bd0),的值。bd3bd
2、小明认为:acac(1)、如果（ab0，cd0）.那么bdbadc
abcdac(2)、如果.那么.bdbd这两个结论正确吗？为什么？
活动目的：为了巩固刚学到的知识，选择相应的习题来让学生练习。
注意事项：选用的练习题不能太多，必须是具有典型意义的，这里选的两个题都
是比较典型的，做题所花的时间不会太多，但是又得到了巩固。
第五环节：巩固提高：
活动内容：
xy17x
1、若,则_____y9y a13ab2、若,则的值为____b42b
abc3、已知：.357abca2b3c 求（1）的值（2）的值bac
4、如图，已知每个小方格的边长均为1，求AB,DE,BC,DC,AC,EC的长，并计算△ABC与△EDC的周长比。
活动目的：这个环节主要是让学生进一步加深所学知识，提高学习能力。
第六环节：知识回顾
活动内容：通过本节课的学习，我们了解了成比例线段的合比性质及等比性质，并在合比性质及等比性质的推导过程中，培养了推理能力，也学会了运用比例线段的基本性质解决问题，比例线段的知识将对我们今后的学习有重要的帮助。活动目的：复习比例的基本性质，合比性质，等比性质，巩固本节课所学的内容。注意事项：先让学生总结一遍，教师再补充。这个环节在本节课已接近尾声，由学生来总结本节课所学的知识，体现了学生是学习的主人。
第七环节：布置作业
略。
巩固升华本节课所学的知识。
学法指导
通过成比例线段性质的学习，使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，加深对数学人文价值的理解和认识。
1、要根据学生实际合理的使用教材：
线段的比在生活中有着广泛的应用，如工程图纸的设计、地图的绘制、照片的缩放等。学生在前一节课的学习中，已经了解和学习了线段的比和成比例线段。教学时，可先让学生做一些相应的练习题，以巩固上节课所学的内容，接着利用课本引例引入新课。教学中将重点放在理解和掌握比例的基本性质及其简单应用上。
2、学生是学习的主人：
上课比较活跃是初中学生的一大特点，为了展现学生的才华，调动学生学习积极性，课堂上要充分让学生发扬合作交流的意识，最后在小组中自选代表上台发言，并版书在黑板上，如有实物投影仪，可让学生直接在投影仪上讲解，这样可节约板书时间。各小组讨论结束后，教师加以总结。总结的内容最好写在黑板上或利用大屏幕展示。
3、改进教学方面：
在比例基本性质的推导和例题中都引入比例k，这是本节课的难点。学生可能理解不好，要把握好这个环节的教学。对于比的性质应用，教师在教学时，可补充一些练习做为随堂练习，以巩固这几个性质，达到当堂消化的目的。
[关键词] 基础图形；比例线段；同类题型；归纳整理
平行线分线段成比例定理是初三平面几何的一个重要定理，它是研究相似图形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转化”成另两条线段的比. 把平行线分线段成比例定理应用在三角形上，就得到了定理的一个重要推论，这个推论是判定三角形相似的理论基础.
复习这部分内容时，学生经常觉得上课学习平行线分线段成比例定理内容很简单，但是做题时却需要灵活应用，很难；教师讲述平行线分线段成比例定理的内容很容易，但是试卷作业反馈效果却不尽如人意. 究其原因，不是学生不用功——“怎么教都教不会”，也不是教师的专业水平不过关——“自己都不会怎么教学生”，而是对于基础图形以及基础图形的组合和变式的研究与拓展不够重视.
看过电视剧《射雕英雄传》的都知道，剧中有“东邪”“西毒”“南帝”“北丐”“中神通”五位武林高手，他们和平行线分线段成比例定理的教学也有某种联系呢！
“中神通”——王重阳
中神通王重阳——“中央为土”：原名“王喆”，这姓名的两个字皆为“土”形，“中央，色黄”：王重阳既为道教大师，而道士用黄冠束发，因此又被称作“黄冠”.
王重阳少年时曾大举义旗，与金兵对敌，但因不遗余力，动用数千人力，历时数年建成“活死人墓”，在其中暗藏器甲粮草，作为起事之根本. 由于将士伤亡殆尽，王重阳愤而出家，自称“活死人”. 后来生平劲敌林朝英在墓门智激王重阳，二人化敌为友，携手同闯江湖.
林朝英对王重阳甚有情意，欲以身相许，但王重阳以国事为重，不谈私情， 两人本已化敌为友，后来却又因爱成仇，约在终南山比武决胜，斗了几千招，始终难分胜负.
最终，林朝英和王重阳打赌，石头上刻字，胜过王重阳，逼迫他在出家为道士与跟她一起在古墓中长相厮守之间作一选择，但王重阳宁愿把自己所建的古墓让给她居住，自己另在古墓不远处盖了全真观，出家为道士，那就是重阳宫. 而后道书读得多了，大彻大悟，乃苦心潜修，功成丹圆后，前往山东布教，建立全真教，先后收马钰、孙不二、丘处机等七人为弟子，后世称“全真七子”.
王重阳得知林朝英在活死人墓中逝世，想起她一生对自己情痴，悲痛万分，于是悄悄从密道进墓，见到两间石室顶上她遗刻的《玉女心经》，招招克敌全真武功，后精研这《玉女心经》的破法，终未成功.
后来武林奇书《九阴真经》出现在江湖中，引起各路武林人士争夺. 华山论剑，力压四强，天下第一，王重阳因此夺得《九阴真经》. 他决意不练经中功夫，但为好奇心所驱使，禁不住翻阅一遍. 一经过目，思索上十余日，即已全盘豁然领悟，后回到活死人墓，在最隐秘处刻下《九阴真经》的要旨，并一一指出破除玉女心经之法.
王重阳旧疾复发，为了在死后留下一个克制“西毒”欧阳锋之人，求段智兴传他“一阳指”，以“先天功”作为交换，后来王重阳假装病死，以“一阳指”破掉了欧阳锋的蛤蟆功，使得欧阳锋退回西域，王重阳也在此之后逝去.
王重阳和洪七公都有义举，曾抗击金兵，以国家为重，所以在五大常数中只有0和1供选择，才有切实意义. 王重阳的武功第一，缘于研究《玉女心经》，夺得《九阴真经》后，自己禁不住翻阅，有违当初华山论剑不研习《九阴真经》功夫之嫌，虽然没传授“全真七子”相关功夫，但是世界还算相对公平，黄药师、洪七公、“一灯大师”都练过《九阴真经》或运用其疗伤来恢复功力，欧阳锋也逆练《九阴真经》，武功达到新高. 虽然在《射雕英雄传》中，王重阳已经故去，对他的描写只是残存在部分人的回忆中，但是《九阴真经》的江湖地位无人质疑.
在日常教学中，提倡教师和学生尊重教材、分析教材、研究教材、整合教材、使用教材，同时强调“用教材教而非教教材”. 上教版的教材应该是数学教学的基础和出发点. 以上海教育出版社出版的九年级第一学期数学书上第38页例题7为例，来体现这套教材不输于《九阴真经》重要的江湖地位.
从这道课本例题出发我们发现，本题的结论中得到线段的比例之和为1. 联想其他类似的简单练习，在烟波浩瀚的九年级数学几何题海中“线段比例之和为1”的问题仿佛是闪闪发光的明珠，不仅熠熠生辉，而且随处可见. 比较基础而又有代表性的三个模型如下.
这三个基础模型都是由非常基础的两个“A字型”组合而成的组合图形，这样的基础模型能够启发、巩固、重现“求比例之和为1”的结论，究其解题根源，无非寻求合适的“A字型”比例线段，利用中间比过渡求和.
“东邪”——黄药师
首先，这五大高手和五行有关，作者金庸在名字中都有暗示. “东为木”：黄药师三字表面看来似乎有“草”无“木”，其实不然，金庸使用的是繁体字，“药”字的正确写法是“藥”，一根巨木，赫然在下.
“正中带有七分邪，邪中带有三分正”的人物，是“桃花岛”的岛主，亦是桃花岛派武学创始人. “桃花影落飞神剑，碧海潮生按玉箫”是他一生武功的写照，武功造诣非凡，为金庸小说中武功绝顶的高手之一. 黄药师上通天文，下晓地理，五行八卦、奇门遁甲、琴棋书画，甚至农田水利、经济兵略等亦无一不晓，无一不精.
近年来，作为人口导入大区，浦东的许多数学教育理念和做法都值得我们学习，接下来在2014年浦东二模卷第25题第（3）問中寻找“比例线段之和为1”.
2014年浦东新区二模考试结束，对于这道压轴题，有的学生爱它爱之深，有的学生恨它恨之切，正如世人对“桃花岛主”的落英神剑、玉箫剑法、玉漏催银剑和碧海潮生曲的复杂而纠结的情感一样. 如今翻出各种解法细细品味，陈题多解，回味无穷！
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“西毒”——欧阳锋
“西毒”欧阳锋——“西为金”：“锋”赖“金”利. 作为音乐家的欧阳锋，常备乐器不是吉他，而是铁筝，仍是“金”制，“西，色白”；长居白驼山，他本人、侄儿、部属皆作白衣装.
作为射雕时代中的头号反派人物，只想武功天下第一，使用毒蛇、灵蛇杖法、蛤蟆功等，因逆练郭靖乱改的《九阴真经》，第二次华山论剑中夺得天下第一，却被黄蓉用计逼疯，跟自己的影子打斗，接着离开华山，而疯，后来与洪七公在华山比武. 洪七公之功由正转逆，欧阳锋则反，由逆转正，两人内力顿时合而为一，水乳交融，一人是在寒冷彻骨时，因对方内力传来而如沐春风，另一人是在全身炙热时，接受对方内力而顿感清凉，两人当下融为一幅“太极之图”. 就在此刻，洪七公一跃而起，抱住欧阳锋，说“咱俩殊途同归，最后变成哥俩好”. 欧阳锋霎时回光返照，心中一片澄明，与洪七公相拥大笑，两人在笑声中同时辞世.
在研究2015年徐汇一模试卷第22题的过程中看似跟“线段比例之和为1”无关，但是如果将此题进行变式和拓展，不难发现又回到了“线段比例之和为1”问题上来.
试题再现 如图9，MN经过△ABC的顶点A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于点D，NB交AC于点E，连接DE.
（2）因为DE∥BC，DE=1，BC=3，所
完成这道题目之后进行反思，轻而易举地发现如果此题的图进行一些微小的变化，就能寻觅“比例之和为1”的倩影，尤其是模型2将反复出现，同侧三角形模型犹如江南水乡的撑伞姑娘，浑身散发着美丽和芬芳.
回顾变式和拓展过程，就像第二次华山论剑，风云变幻. 在完成最基本的任务后，教师引导学生进行进一步拓展、反思和小结. “线段比例之和为1”如蛤蟆功，又如灵蛇拳法：手臂犹似忽然没了骨头，在许多看似没有线段比例之和的问题中揭开问题的面纱也能发现线段比例之和為1的本质，犹如变了一根软鞭，打出后能在空中任意拐弯.
“南帝”——段智兴
“南帝”，真名段智兴，《天龙八部》中主角段誉的孙子，大理国的皇帝，后因故出家，法号“一灯”，出自《法华经》：以一灯传诸灯，终至万灯皆明. “南为火”：一灯大师之“灯”待“火”点燃. 其秘技为“一阳指”，而太阳是最大的一个火球，“南，色赤”：“灯”与“阳”皆作赤红色.
第一次华山论剑，“东邪”“西毒”“南帝”“北丐”“中神通”五个人大战七天七夜，全真教创始人“中神通”王重阳夺得天下第一，天下武林奇书《九阴真经》被王重阳夺得，其目的是避免天下武林大乱. 为防自己死后无人能阻欧阳锋，而在第一次华山论剑的第二年来到大理，用先天功交换了段智兴的“一阳指”，却不料，与王重阳同来的老顽童和段智兴深爱的妃子刘瑛有染，并诞下私生子. 不料某一日铁掌帮帮主“铁掌水上漂”裘千仞潜入皇宫并袭击瑛姑之子，瑛姑因而向段智兴求医，而段智兴本欲施救，待打开婴儿襁褓时看到锦帕上刺着“鸳鸯织就欲双飞”知道自己的皇妃心里仍惦记着周伯通，因而醋意大发，加上他即将要参加华山论剑，而救人将消耗大量功力，犹豫之间，未救而致其死亡，后因心怀愧疚，万念俱灰之下段智兴出家为僧，法号“一灯”.
后来黄蓉身受重伤来到一灯住处寻求救治，一灯大师为黄蓉疗伤，因使用了含有“先天功”的“一阳指”以致元气大伤，后瑛姑来此寻仇. 郭靖假扮一灯挡住一刀后，瑛姑才觉悔意，后一灯出现，瑛姑则羞愧而远去，随后与师弟一起翻译了《九阴真经》中总纲的梵文部分，也借助《九阴真经》所载的疗养法门，终得复原功力.
嘉定宝山无论在教育上，还是在教学中都勤于探索，积极改革，让我们一起来欣赏2012年宝山一模第25题.
我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果坐标系中的两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.
试题再现 如图16，P是斜坐标系xOy中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M，N，若M，N在x轴、y轴上分别对应实数a，b，则有序数对（a，b）叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标.
（1）如图17，已知斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，试在该坐标系中作出点A（-2，2），并求点O，A之间的距离；
（2）如图18，在斜坐标系xOy中，已知点B（4，0），点C（0，3），P（x，y）是线段BC上任意一点，试求x，y之间一定满足的一个等量关系式；
（3）若问题（2）中的点P在线段BC的延长线上，其他条件不变，试判断上述x，y之间的等量关系是否仍然成立，并说明理由.
不难看出，在这道题的解答过程中，“线段比例之和为1”这个结论再现江湖，无论点P的位置在线段BC上还是在线段BC的延长线上都可以套用模型3，即三角形内部模型来解决.
“北丐”——洪七公
“北丐”洪七公，“北为水”：七公姓“洪”，果见洪水滔滔. “北，色黑”：书中不曾描写七公衣服颜色，但他作为丐帮老头子，估计不管衣服原色为何，上身之后，必将改造成唯一色调：总是黑.
洪七公为丐帮帮主，为人正义且机智，生性贪吃，曾经因贪吃误事，自断其右手食指，故也称“九指神丐”，无论黑白两道都十分敬重他. 在桃花岛，洪、黄、欧阳三人以音乐比试武功，岛主吹箫，欧阳弹筝，洪七公没钱买乐器，只好鼓着两片腮帮子作“仰天长啸”状，实为艰苦朴素、廉洁自律之典范. 洪七公和蔼正义，具有一切正派人物所应具有的优点，一直率领丐帮抗击金兵，其独门武学为“打狗棒法”及“降龙十八掌”.
洪七公一生最大的敌人为“西毒”欧阳锋，曾被其暗算多次，几乎丧命. 晚年与欧阳锋于华山比武，两人打了四日，总之是打得神困力倦，几欲虚脱，斗过棍棒，休息了一下，两人接着又比拼内力，结果竟战到两个均已奄奄一息. 两人隔天又开始比起了纸上谈兵，比法是洪七公按招式逐一告诉杨过打狗棒法，杨过演给欧阳锋看，欧阳锋再思考破解的杖法，两人拆解了三天，到第三日，欧阳锋已破解“打狗棒法”的前三十五路，而“打狗棒法”的第三十六路“天下无狗”，这一式则让欧阳锋思考到一夜之间须眉尽白，似乎老了十多岁，这才将之破解. 后比试内功，耗尽功夫，欧阳锋恢复记忆，两人大笑，互相拥抱而逝.
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丐帮为天下第一大帮，洪七公对外用“降龙十八掌”抗击金兵，对内用“打狗棒法”劫富济贫，为人善良，就是面对“老毒物”遇到危险差点被火烧，也冒着生命危险去救他，满满的正能量. 以同样2012年嘉定宝山二模卷第25题第（3）问为例，再现“比例之和为1”的精彩.
试题再现 如图21，在△ABC中，∠ACB=90°，点P到∠ACB两边的距离相等，且PA=PB.
（1）先用尺规作出符合要求的点P（保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP的形状，并说明理由.
（2）设PA=m，PC=n，试用m，n的代数式表示△ABC的周长和面积.
同一年份同一批学生面对一模和二模的数学试卷时，如果能够比较熟练地掌握“线段比例之和为1”的几个基本模型，不仅能够增加对压轴题的了解和研究，還能够在分析问题的时候披荆斩棘，能够在解决问题的时候所向披靡.
以上海教育出版社的教材为“中神通”，挖掘课本上的例题和习题的教学作用和价值，抽象概括出基本模型，配合四道各个区县的模拟考试题正如“东邪”“西毒”“南帝”“北丐”四位武林高手华山论剑，刀光剑影中凸显“平行线分线段成比例定理”的教学价值和解题价值，辗转腾挪间强化“线段比例之和为1”在数学范围内的应用价值.
当然，初中竞赛当中毫无疑问各大杯赛是数学问题研究最具代表性的颜值担当，而“定倒数和问题”无疑是比较具有代表性的一类问题.
而这一类“定倒数和问题”通过添加平行线都能够转化成三类基本模型，根据符合模型的条件直接应用模型的结论就可以顺利解决问题. 就像“南帝”的“一阳指”，看上去并没有什么巨大威力，实际上一通则百达，掌握这一招，不仅能够夯实基本技能的把握和基础知识的巩固，而且可以冲出考纲在自招和竞赛中小试牛刀.
一个好的数学教学题材，能够凸显数学的重要基础地位，可以将数学知识迁移到其他学科；一个好的数学教学题材，会让我们的备课过程苦心经营，会让我们的数学课上得有声有色，会让学生听得津津有味；一个好的数学教学题材，会让教学效果事半功倍，会让数学教学研究工作散发勃勃生机.
在日常教学中，对同类型题的整理进行一定的归类整理，不需刻意过多，但是需要教师有一颗善于归纳整理的心，需要教师有一双寻找、发现的眼睛. 对于教材中出现的经典例题，归其类，识其形，析其法，究其因，终将能得其果. 以一个个知识点为背景连成一串知识点，用一道道有代表性的例题串成一组组题组，这无疑是促进学与教的一个有效、可行的途径. 这样既可以达到复习的效果，又可以提升解题能力.
正如《射雕英雄传》的主题曲所唱：
问世间是否此山最高，
或者另有高处比天高，
在世间自有山比此山更高……
（一）比例线段
1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成 ,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项。
2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．
4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或 做线段ａ和ｃ的比例中项．
（二）比例的性质：，那么线段ｂ叫
(1)比例的基本性质：
(2)反比性质：
(3)更比性质:
(4)合比性质:
(5)等比性质:
或
且
(三)平行线分线段成比例定理
1.定理: 三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例。
2.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
3.平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例。
4.如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
这四个定理主要提出由平行线可得到比例式;反之,有比例可得到平行线。首先要弄清三个基本图形。
这三个基本图形的用途是:
1.由平行线产生比例式
基本图形(1): 若l1//l2//l3，则
基本图形(2): 若DE//BC，则
基本图形(3): 若AC//BD，则
或 或
或
或
或 或 或
或 或
在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置。
2．由比例式产生平行线段
基本图形(2):若 DE//BC。, , , , , 之一成立，则
基本图形(3):若 AC//DB。, , , , , 之一成立，则
二.本讲内容所需要的计算与证明方法
计算方法1.利用引入参数求解相关命题的方法。
2.会利用比例式建立方程求线段的长。
证明方法:会证比例式及等积式,会添加必要的辅助线求解相关命题。
三.例题
例1.已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值。
分析: 题目中已知三个量a,b,c的比例关系和有关a,b,c的等式,我们可以利用这个等量关系,通过设参数k, 转化成关于k的一元方程,求出k后,使得问题得解。
解:∵a:b:c=3:5:7 设a=3k, b=5k, c=7k ∵2a+3b-c=28 ∴6k+15k-7k=28，∴k=2
∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12
例2:若
解:设 , 求 的值。
则x=3k, y=4k, z=5k ∴
说明:在这个问题中,不必求出K的值,就可以把问题解决了。
例3.如图,在□ABCD中,E为AB中点，分析:欲求 ,EF,AC相交于G,求。,就需要有平行线,并使已知条件得以利用,虽然题目中有平行线,但无基本图形,不能使已知条件发挥作用,需通过添加辅助线来寻找解题途径,构造基本图形。
解:分别延长FE,CB相交于H,(构造出了基本图形)
在□ABCD中,AD BC, ∵E为AB中点，∴AE=BE
∵AD//BC，∴∠AFE=∠H 在△AEF和△BEH中
在△AEF≌△BEH(AAS)∴AF=BH ∵，设AF=k, 则FD=3k，AD=4k，BH=AF=k，BC=AD=4K，CH=5K
∵AD//BC，即AF//HC ∴
∴
说明:此题还有其他辅助线的作法,例如分别延长EF,CD相交于M。或取AC中点N,连结EN。
请同学们思考,这两种方法构造
了哪些基本图形,如何求出。
例4.已知:如图,D是△ABC的AB边的中点,F是BC延长线上一点,连结DF交AC于E点。
求证: EA:EC=BF:CF
分析:这是证明比例式的问题,根据题目条件,不能直接证出要求证的比例式,并且四条线段中EC，CF在同一个三角形中,而EA,BF不在同一个三角形中,因此需要添加适当的辅助线(平行线)来构造形成比例的基本图形(由平行得比例)。为了利用BF:CF,故可以过C点作平行线来构造基本图形。
证法一: 过C作CH//AB交DF于H
∵CH//AB，即CH//BD ∴
又CH//AD，∵
∴AD=BD ∴
∵D是AB中点
∴（等比代换）
即EA:EC=BF:CF 证法二: 过 C作CM//FD交AB于M
∵CM//FD ∴
∵CM//ED ∴
∵D是AB中点
∴AD=BD ∴ ∴EA:EC=BF:CF(等比代换)
说明:在上面证明过程中,我们还用到了利用相等的比进行代换证明比例式的方法,这也是一种经常使用的方法。本题还可以过B点作AC的平行线或作DF的平行线的方法来证明,请同学们自己来证。总之通过作平行线得到比例是必须掌握的方法。
例5.已知:如图,菱形ABCD内接于△AEF,AE=3,AF=5,求菱形ABCD的边长。
分析:有平行线就能得到比例线段,求线段的长有时需要使用方程的思想方法来解决,本题给出了用比例式建立方程求线段长的一种常见方法,注意掌握解题的思路。
解: ∵菱形ABCD内接于△AEF ∴AB//CD,AB=BC=CD=AD
设 菱形边长为x,则CD=AD=x(适当设出未知数)
∵AF=5
∴DF=5-x(有关的量要用含未知数的代数式表示)
∵CD//AB 即CD//AE ∴
∴
且AE=3（得到相等关系）
(解出方程)(利用比例式建立了关于x的方程)∴5x=15-3x，∴x=。
∴菱形ABCD的边长为 四.练习:
1.已 知 ,求 的值。
2.已知:如图,△ABC中,DE//BC。AB=8,AD=5,EC=4,求AE的长 3.已知a=4,c=9若b是a,c的比例中项,求b的值。
4.已知线段MN是AB,CD的比例中项,AB=4cm,CD=5cm，求 MN的长。并思考3、4两题有何区别。5.已知:△ABC中,D是BC上一点,BD=3CD,M是AD中点,连BM延长交AC于E。求:AE:EC。
6.已 知:如图,△ABC中,CD平分∠ACB,DE//BC, AD:DB=2:3,AC=10,求DE的长。
练习参考答案:
1.2.3.4.3、4题区别: 第3题中b是数,可为正也可为负;第4题中MN为线段,只能为正。5.提示:
或
作DN//AC交BE于N
作CO//BE交AD延长线于O
或
或
作AP//BE交CB延长线于P
作AQ//BC交BE延长线于Q
结论: AE:EC=3:4
6.DE=6(提示:用方程的思想方法)。
测试
选择题
1．已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2cm，b=4cm，c=5cm，则d=（（A）1cm
（B）10cm
（C）
（D）cm
2．已知：8x+3y-5z=0，且2x-3y+z=0，那么x：y：z的值是（）
（A）1：2：3
（B）2：3：5
（C）3：3：4
（D）2：2：3
3．如图，DE∥AC，EF∥AB，AC=14，AD：DB=3：4，则AF的长是（）
（A）6（B）10（C）8（D）9）
4．已知，如图△ABC中，AD⊥BC，E是AC的中点。那么下列比例式成立的是（）
（A）AB：AC=DF：BC
（A）AB：AC=EF：ED
（C）AB：AC=BF：FD
（D）AB：AC=AC：AD
5．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于O，过O作底的平行 线，分别与两腰交于E，F，则
（A）OE= OF（B）OE=OF（C）OE=2OF（D）OE+OF=BD
答案与解析
答案：
1、B
2、B
3、C
4、C
5、B 解析：
1、答案（B）
2、答案（B）
解析：
∴x：y：z=(z)：(z)：z=2：3：5
3、答案（C）
解析：∵DE∥AC ∵CE：BE=AD：DB=3：4 ∵EF∥AB
∴CF：AF=CE：BE=3：4 设CF=3x，则AF=4x ∵AC=14 ∴3x+4x=14 ∴x=2 ∴CF=6 AF=8
4、答案（C）
解析：作AG∥BC交DF于G ∴BF：AB=FD：DG
∵AD⊥CD，AG∥BC ∴∠ADC=∠DAG=90
∵E为AC的中点
∴ED=EA ∴∠1=∠2
∵AD为公共边
∴△GAD≌△CDA ∴AC=DG
∴BF：AB=FD：AC 即：AB：AC=BF：FD
5、答案：（B）
解析：∵OE∥AD，∴OE：AD=BE：AB
∵OF∥AD，∴OF：AD=FC：CD
∵AD∥EF∥BC，∴AE：BE=DF：CF
∴（AE+BE）：BE=（DF+CF）：CF 即BE：AB=CF：CD OE：AD=OF：AD ∴OE=OF
0
中考解析
例1.(杭州市)已知：1，2三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式_________。
评析：思路：运用比例的基本性质，将所添的数当作比例式a:b=c:d中的任何一项即可，一题可以写出三个数，都与
1、要是含1，、2三数构成比例。如：1:
=2:2，1:2=
:2
……等(只，2三数的比例式即可，若是三数不含全的则不符合题意。
例2.(上海市)已知数3，6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是___________（只需填写一个数）。
评析：因为此题是一个主观性质的试题，它不是求这两个数的比例中项。而是让自己写出一个数，使三个数中的某个数是另外两个数的比例中项，所以只要明白比例中项的意义，就能写出符合条件的一个数。（结论不是唯一的。）（或-3，或12，或）
例 3.（河北省）已知：如图，l1∥l2∥l3，AB=3，BC=5，DF=12。求DE和EF的长。
评析：思路：此题关键是求DE，∵L1∥L2∥L3，∴ 由条件AB=3，BC=5，DF=12，DE得求。而EF=DF－DE。，答案：解： ∵l1∥l2∥l3，∴，即，∴DE=.∴EF=DF-DE=12-=.例 4.（北京市海淀区）如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________。
评析：首先，想到定理的含义，再结合图形分析（或进行比例变形）就可直接求出结果。
答案为68°，1:2。
例5.（西安市）－油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口。抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m，则桶内油面的高度为。
1.理解成比例线段以及项、比例外项、比例内项、第四比例项、比例中项等的概念.
2.掌握比例基本性质和合分比性质.
3.通过通过的应用，培养学习的计算能力.
4.通过比例性质的教学，渗透转化思想.
5.通过比例性质的教学，激发学生学习兴趣.
二、教学设计
先学后做，启发引导
三、重点及难点
1.教学重点 比例性质及应用.
2.教学难点 正确理解成比例线段及应用.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
股影仪、胶片、常用画图工具
六、教学步骤
【复习提问】
1.什么是线段的比?
2.已知 这两条线段的比是 吗，为什么?
【讲解新课】
1.比例线段：见教材P203页。
如：见教材P203页图5-2。
又如：
即a、b、c、d是成比例线段。
注：①已知 问这四条线段成比例吗?
(答：成比例。 ，这里与顺序无关)。
②若已知a、b、c、d是成比例线段，是指 不能写成 (在说四条线段成比例时，一定要将这四条线段按顺序列出，这里与顺序有关)。
板书教材P203页比例线段的一些附属概念。
2.比例的性质：
(1)比例的基本性质：如果 ，那么 。
它的逆命题也成立，即：如果 ，那么 。
推论：如果 ，那么 。
反之亦然：如果 ，那么 。
①基本性质证明了“比例式”和“等积式”是可以互化的。
②由 ，除可得到 外，还可得到其它七个比例式。即由一个等积式 ，可写成八个不同的比例式(让学生试写)。然后教师教给方法。即：先按左：右=右：左“写出四个比例式。 。再由等式的.对称性写出另外四个比例式： 。注意区别与联系。
③用比例的基本性质，可检查所作的比例变形是否正确。即把比例式化成等积式，看与原式所得的等积式是否相同即可。
④等积化比例、比例化等积是本章一个重要能力，要使学生达到非常熟练的程度，以利于后面学习。
(2)合比性质：如果 ，那么
证明：∵ ，∴ 即：
同理可证： (找学生板演)
(3)等比性质：如果
那么
证明：设 ;则
∴
等比性质的证明思路及思想非常重要，它是解决数学中连比问题的通法，希望同学们认真体会，务必掌握。
例1(要求了解即可)
(1)已知： ，求证： 。
证明：∵ ，∴
“通法”：∵ ，∴ 即
(2)已知： ，求证： 。
方法一：
方法二：
(1)÷(2)得：
【小结】
(1)比例线段的概念及附属概念。
(2)比例的基本性质及其应用。
八、布置作业
(1)求
① ② ③
(2)求下列各式中的x
① ② ③ ④
1、成正比例的量有什么特征？
2、下表中的两种量是不是成正比例？为什么？
二、自主探究
（一）教学例
11.出示例1，提出观察思考要求：
从表中你发现了什么？这个表同复习的表相比，有什么不同？
（1）表中的两种量是每小时加工的数量和所需的加工时间。
教师板书：每小时加工数和加工时间
（2）每小时加工的数量扩大，所需的加工时间反而缩小；每小时加工的数量缩小，所需的加工时间反而扩大。
教师追问：这是两种相关联的量吗？为什么？
（3）每两个相对应的数的乘积都是600.2.这个600实际上就是什么？每小时加工数、加工时间和零件总数，怎样用式子表示它们之间的关系？教师板书：零件总数
每小时加工数加工时间＝零件总数
3.小结
通过刚才的研究，我们知道，每小时加工数和加工时间是两种相关联的量，每小时加工数变化，加工时间也随着变化，每小时加工数乘以加工时间等于零件总数，这里的零件总数是一定的。
（二）教学例
21.出示例2，根据题意，学生口述填表。
2.教师提问：
（1）表中有哪两种量？是相关联的量吗？
教师板书：每本张数和装订本数
（2）装订的本数是怎样随着每本的张数变化的？
（3）表中的两种量有什么变化规律？
（三）比较例1和例2，概括反比例的意义。
1.请你比较例1和例2，它们有什么相同点？
（1）都有两种相关联的量。
（2）都是一种量变化，另一种量也随着变化。
（3）都是两种量中相对应的两个数的积一定。
2.教师小结
像这样的两种量，我们就把它们叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
3.如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积一定，反比例关系可以用一个什么样的式子表示？
教师板书： xy ＝k（一定）
三、课堂小结
1、这节课我们学习了成反比例的量，知道了什么样的两种量是成反比例的量，也学会了怎样判断两种量是不是成反比例。在判断时，同学们要按照反比例的意义，认真分析，做出正确的判断。
2、通过今天的学习，正比例关系和反比例关系有什么相同点和不同点？
四、课堂练习
完成教材43页做一做
五、课后作业
练习七6、7、8、9题。
六、板书设计
成反比例的量 xy=k（一定）
每小时加工数加工时间＝零件总数（一定）
每本页数装订本数＝纸的总页数（一定）
教学目标：
1、理解反比例的意义。
2、能根据反比例的意义，正确判断两种量是否成反比例。
3、培养学生的抽象概括能力和判断推理能力。
教学重点：
引导学生理解反比例的意义。
教学难点：
利用反比例的意义，正确判断两种量是否成反比例。
成反比例的量教学设计三
教学过程：
一、复习铺垫
1、下面两种量是不是成正比例？为什么？
购买练习本的价钱0.80元，1本；1.60元，2本；3.20元，4本；4.80元6本。
2、成正比例的量有什么特征？
二、探究新知
1、导入新课：这节课我们继续学习常见的数量关系中的另一种特征成反比例的量。
2、教学P42例3。
（1）引导学生观察上表内数据，然后回答下面问题：
A、表中有哪两种量？这两种量相关联吗？为什么？
B、水的高度是否随着底面积的变化而变化？怎样变化的？
C、表中两个相对应的数的比值各是多少？一定吗？两个相对应的数的积各是多少？你能从中发现什么规律吗？D、这个积表示什么？写出表示它们之间的数量关系式
（2）从中你发现了什么？这与复习题相比有什么不同？
A、学生讨论交流。
B、引导学生回答：
（3）教师引导学生明确：因为水的体积一定，所以水的高度随着底面积的变化面变化。底面积增加，高度反而降低，底面积减少，高度反而升高，而且高度和底面积的乘积一定，我们就说高度和底面积成反比例关系，高度和底面积叫做成反比例的量。
（4）如果用字母x和y表示两种相关的量，用k表示它们的积一定，反比例可以用一个什么样的式子表示？板书：xy=k（一定）
三、巩固练习
1、想一想：成反比例的量应具备什么条件？
2、判断下面每题中的两个量是不是成反比例，并说明理由。
（1）路程一定，速度和时间。
（2）小明从家到学校，每分走的速度和所需时间。
（3）平行四边形面积一定，底和高。
（4）小林做10道数学题，已做的题和没有做的题。
（5）小明拿一些钱买铅笔，单价和购买的数量。
（6）你能举一个反比例的例子吗？
四、全课小节
这节课我们学习了成反比例的量，知道了什么样的两个量是成反比例的两个量，也学会了怎样判断两种量是不是成反比例。
五、课堂练习
P45～46练习七第6～11题。
教学目的：
1、理解反比例的意义，能根据反比例的意义，正确的判断两种量是否成反比例。
2、通过引导学生讨论探究，分析合作，使学生进一步认识事物之间的联系和发展变化的规律。
3、初步渗透函数思想。
教学重点：引导学生总结出成反比例的量，是相关的两种量中相对应的两个数积一定，进而抽象概括出成反比例的关系式。
教学成反比例的量，让学生仿照学习正比例的意义的方法，来学习归纳反比例的意义。我在设计导入环节，创设猜想环节，根据孩子们的生活实践经验把要研究的知识设计成问题，先猜想再验证，进而根据迁移类推的方法用自己的理解表达出来，如果有问题可以看书，也可以在小组里先互相说，再集体交流，在补充中完善。发现疑惑问题，集体交流。在练习设计时，安排了基本练习、变式练习、综合练习环节，先独立完成，再小组交流检查。有共性的问题，集体交流。真正掌握了反比例的意义。最后，小组内讨论：正比例与反比例的`相同点和不同点。学生交流汇报:相同点都表示两种相关联的量，并且一种量变化，另一种量也随着变化。不同点:正比例关系中比值一定，反比例关系中乘积一定。通过比较学生掌握了如何判断正反比例关系。
关键是在今后的练习中，注意语言的准确性。
1.通过感知生活中的事例，理解并掌握反比例的意义，能够初步判断两种相关联的量是否成反比例。
2.在解决实际问题的情境过程中，体会应用反比例知识解决实际问题的方法。
教学重难点
学习重点 理解反比例的意义。
学习难点 找出生活中成反比例的实例，能够判断两个量是否成反比例。
教学工具
教具准备：PPT课件
教学过程
一、复习旧知，导入新课。(5分钟)
1.说一说什么是成正比例的量。
2.判断下面各题中的两种量是否成正比例。(投影展示，指名回答)
(1)三角形的高一定，面积和底。
(2)总钱数一定，花的钱数和剩余的钱数。
(3)圆的周长和半径。
这节课我们一起来学习另一种常见的数量关系——反比例。
二、自主探索，理解反比例的意义。(19分钟)
1.教学例2。
(1)课件出示教材第47页例2情境图和统计表。
说一说，从中你获得哪些信息。
(2)观察表中数据，组织学生研讨：
①表中有几种量?它们是相关联的量吗?
②水的高度是怎样随着杯子的底面积的变化而变化的?
③水的高度和杯子的底面积的变化有什么规律?
④这个积表示什么?
2.明确成反比例的量及反比例关系的意义。
(1)引导学生明确：因为水的体积一定，所以水的高度随着杯子的底面积的变化而变化。杯子的底面积减小，高度反而增大;杯子的底面积增大，高度反而减小，而且水的高度和杯子的底面积的乘积一定，水的高度和杯子的底面积叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
鼓励学生尝试总结反比例的意义。
课件出示反比例的意义。
(2)你能举出生活中反比例关系的例子吗?
3.尝试用字母表示反比例关系。
提问：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积(一定)，反比例关系可以用一个什么样的式子表示?
学生尝试汇报后教师板书。
4.总结反比例关系的判断方法。
学生回答后教师课件展示：
(1)两种量是相关联的量;
(2)一种量变化，另一种量也随着变化;
(3)两种量对应的数的乘积一定。
5.比较正比例和反比例。
小组讨论正比例和反比例的相同点和不同点，并归纳填空。(课件出示表格)
学案
1.学生回顾成正比例的量的意义。
2.学生完成复习练习。
1.(1)杯子的底面积是10cm2时，水的高度是30cm;杯子的底面积是15cm2时，水的高度是20cm……
(2)①表中有杯子的底面积和水的高度这两种量。杯子的底面积、水的高度是两种相关联的量。
②从左往右观察表中数据，发现：杯子的底面积越大，水的高度越小。从右往左观察表中数据，发现：杯子的底面积越小，水的高度越大。
③计算并比较杯子的底面积和水的高度这两种量中相对应的两个数的乘积。
30×10=20×15=15×20=…=300，说明杯子的底面积与水的高度的乘积总是一定的。
④所得的积实际就是倒入杯子的水的体积。
2.(1)学生结合实例理解反比例的意义。
(2)学生列举生活中反比例关系的例子。
3.学生用字母表示反比例关系式:xy=k(一定)。
4.学生总结反比例关系的判断方法。
5.学生小组讨论，总结正比例和反比例的异同点,在此基础上，填写表格。
三、巩固练习。(12分钟)
1.完成教材第48页“做一做”。2.完成教材第51页第8、9、10、11题。
四、课堂小结，拓展延伸。(4分钟)
1.说一说本节课的收获。2.布置作业。
课后小结
本节课内容是在学生学习了“比和比例”、“正比例”的基础上进行的，鉴于正比例与反比例在研究意义的时候有一定的共性，因此，教学开始，借助正比例的意义和生活实例，让学生进一步体会函数思想，为学生研究成反比例的两种量之间的关系。理解、掌握反比例的意义奠定基础。教学中，引导学生通过观察，讨论，借助已有的学习经验，自己总结出反比例的意义及表达式。同时，创造性地使用教材，增加了正、反比例的比较，加深了学生对正、反比例的认识和理解。
课后习题
1.同学们做广播操，每行站的人数与站的行数的关系。
每行站的人数与站的行数是否成反比例关系?为什么?
答案：成反比例关系。因为每行站的人数与站的行数是两种相关联的量，每行站的人数随站的行数的变化而变化，且两者对应的数的乘积一定。
2.判断下面各题中的两种量是否成反比例。
(1)汽车的速度一定，行驶的路程和时间。
(2)住房面积一定，居住人口数和人均住房面积。
(3)生产电脑的台数一定，每天生产的台数和所用天数。
(4)非零自然数a和它的倒数。
答案：(2)、(3)、(4)中的两种量成反比例。
3.有a、b、c三个相关联的量。
(1)如果a=3b,则a、b成(正)比例。
(2)如果a=6c,则a、c成(反)比例。
(3)如果 b= c，则b、c成(正)比例。
板书
反比例
互动课堂
重难突破
一、相交弦定理
1.相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.图2-5-1 2.定理的证明:如图2-5-1,已知⊙O的两条弦AB、CD相交于圆内的一点P. 求证:PA·PB＝PC·PD.
证明:连结AC、BD,则由圆周角定理有∠B =∠C. 又∵∠BPD =∠CPA, ∴△APC∽△DPB. ∴PA∶PD ＝PC∶PB, 即PA·PB ＝PC·PD.
当然,连结AD、BC也能利用同样道理证得同样结论.3.由于在问题的证明中,⊙O的弦AB、CD是任意的,因此,PA·PB＝PC·PD成立,表明“过定圆内一定点P的弦,被P点分成的两条线段长的积应为一个定值”.虽然过定点P的弦有无数多条,然而在这众多的弦中有一些长度比较特殊的弦,如过点P的最长或最短的弦,通过它们可以找到定值.
图2-5-2
如图2-5-2（1）,考察动弦AB,若AB过⊙O的圆心O,则AB为过点P的最长的弦,设⊙O的半径为R,则PA·PB＝（R－OP）（R＋OP）.
如图2-5-2（2）,考察过点P的弦中最短的弦,AB为过⊙O内一点P的直径,CD为过点P2且垂直于AB的弦,显然,由垂直定理和相交弦定理,应有PA·PB＝PC·PD＝(CD)＝OC－
212OP2＝R2－OP2.
由于⊙O是定圆,P为⊙O内一定点,故⊙O的半径R与OP的长为定值.设OP＝d,比较上
22述两式,其结论是一致的,即PA·PB＝（R-d）(R +d)=R-d,为定值.
于是,相交弦定理可进一步表述为:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积为一定量,它等于圆的半径与交点到圆心距离的平方差.定圆的任一弦被定点分得两线段长的积为定值,这个定值与点P的位置有关,对圆内不同的点P,一般来说,定值是不同的,即这个定值是相对于定点P与定圆O而言的.
同时,由第二式可直接得到相交弦定理的推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是
它分直径所成的两条线段的比例中项,即PC＝PD＝PA·PB.
二、割线定理与切割线定理
1.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.2.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
2图2-5-3
23.符号语言表述:如图2-5-3,PA·PB=PC·PD =PE.4.定理的证明:连结EC、ED,由于PE为切线,所以∠PEC=∠PDE.又因为∠EPC=∠EPC,于
2是△PEC∽△PDE,因此有PE∶PC =PD∶PE,即PE=PC·PD.
2同理,有PE=PA·PB,所以PA·PB =PC·PD.5.应注意的两点:（1）所有线段,都有一个公共端点P,而另一端点在圆上;（2）等积式左右两边的线段,分别在同一条割线上.三、切线长定理
1.我们知道,过圆外一点可以引两条直线与圆相切,在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长称为切线长.切线长是一条线段的长,而这条线段的两端分别是圆外的已知点和切点.注意切线是一条直线,而切线长是切线上一条线段的长,属于切线的一部分.2.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.图2-5-4
3.切线长定理及其应用:因切线长定理再次体现了圆的轴对称性,它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据.如图2-5-4,PA、PB是⊙O外点P向圆作的两条切线,切点为A、B,那么有PA =PB,∠OAP =∠OBP.4.由切线长定理,可以得到圆外切四边形的一个重要性质:圆的外切四边形的两组对边和相等.利用这一性质可以方便地解决许多问题.
四、刨根问底
问题1相交弦定理、割线定理、切割线定理在表述形式上非常类似,定理中都涉及到两条线段的积相等,那么这些定理有什么内在联系？定理中两条线段的积能确定具体数值吗？
探究:相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理统称为圆幂定理,圆幂定理是圆和相似三角形结合的产物.这几个定理可统一记忆成一个定理:过圆内或圆外一点作圆的两条割线,则这两条割线被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段长的积相等（至于
22切线可看作是两条交点重合的割线）.两条线段的长的积是常数PA·PB＝|R－d|,其中d为
22定点P到圆心O的距离.若P在圆内,d＜R,则该常数为R－d;若P在圆上,d＝R,则该常数为0;若P在圆外,d＞R,则该常数为d2－R2.使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点,另一个是与圆的交点.
在实际应用中,见圆中有两条弦相交想到相交弦定理;见到切线与一条割线相交则想到切割线定理;若有两条切线相交则想到切线长定理,并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形.问题2与圆有关的比例线段问题涉及相似三角形、相交弦定理、切割线定理、比例的性质等若干内容,大都是综合性的问题,那么通常我们怎样证明这些比例式？在证明时有什么诀窍吗？
探究:与圆有关的比例线段问题,主要是圆与相似形的综合,其证法大致可分以下几种:(1)直接由相似形得到,即先由已知条件证得两个三角形相似,从而直接得到有关对应线段成比例.这是简单型的比例线段问题.
2(2)利用“等线段”代换得到,在证明“等积式”形如a＝bc时,如果其中有三条线段共线,那么一般往往把平方项线段用“等线段”进行代换.
2(3)利用“中间积”代换得到,在证明“等积式”形如a＝bc时,如果其中有三条线段共线,不妨可以把平方项线段利用中间积进行代换试试.
(4)利用“中间比”代换得到,在证明比例线段(不论共线与否),如果不能直接运用有关定理,不妨就寻找“中间比”进行代换试试.
与圆有关的比例线段证明要诀:圆幂定理是法宝,相似三角形中找诀窍,联想射影定理分角线,辅助线来搭桥,第三比作介绍,代数方法不可少,分析综合要记牢,十有八九能见效.活学巧用
【例1】过不在⊙O上的一点A作直线,交⊙O于B、C两点,且AB·AC＝64,OA＝10,则⊙O的半径等于.
思路解析:点A不在⊙O上,有两种情况:（1）点A在⊙O内;（2）点A在⊙O外. 答案:分两种情况讨论:
图2-5-5
（1）当点A在⊙O内部时,如图2-5-5(1)所示.作直线OA交⊙O于E、F,设⊙O的半径为r, 则AE＝r－10,AF＝r＋10.由相交弦定理得(r－10)(r＋10)＝64.
解得r1241, r2241(不合题意,舍去).∴r241.（2）当点A在⊙O的外部时,延长AO交⊙O于F,设⊙O的半径为R, 由切割线定理的推论得AB·AC＝AE·AF,即64＝(10－R)(10＋R).解得R1＝6,R2＝－6（不合题意,舍去）.∴R＝6.
综上所述,⊙O的半径为241或6.【例2】如图2-5-6,已知PA切⊙O于A,割线PBC交⊙O于B、C两点,PD⊥AB于D,PD、AO的延长线相交于E,连结CE并延长交⊙O于F,连结AF.
图2-5-6
（1）求证:△PBD∽△PEC;（2）若AB＝12,tan∠EAF＝
2,求⊙O的半径. 32,所以需构造直3思路解析:在（1）中,要证相似的两个三角形已经有一个角相等,只要再证其夹边对应成比例即可,而这可由△PAD∽△PEA得到;在（2）中,已知tan∠EAF＝角三角形,从而运用三角函数求解.
2(1)证明:由切割线定理,得PA＝PB·PC.
2由△PAD∽△PEA,得PA＝PD·PE,
∴PB·PC＝PD·PE.又∠BPD为公共角, ∴△PBD∽△PEC.
(2)解:作OG⊥AB于G,由△PBD∽△PEC可得∠CEP＝∠F, ∴PE∥AF.又OG⊥AB于G,∴AG ＝
1AB＝6.2262,又=,∴OG＝9.3OG32∴OG∥ED∥FA.∴∠AOG＝∠EAF.Rt△AOG中,tan∠AOG＝22由勾股定理,AG+OG＝AO, ∴AO117＝313. ∴⊙O半径长为313.【例3】 如图2-5-7,∠BAC的平分线与边BC和外接圆分别相交于D和E,延长AC交过D、E、C三点的圆于点F.
图2-5-7
（1）求证:EF＝ED·EA;
（2）若AE＝6,EF＝3,求AF·AC的值.
2思路解析:（1）要证EF＝ED·EA,只需证△AEF∽△FED.（2）由于AC·AF＝AD·AE,而由（1）可求得DE,因而AD可以求出来,从而计算出AD·AE,即为AC·AF的值.(1)证明:连结CE、DF.
∵∠1＝∠2,∠3＝∠4,∠1＝∠3,∴∠2＝∠4.
2∵∠AEF＝∠FED,∴△AEF∽△FED.∴EFAE2=.∴EF=ED·EA. EDFE2(2)解:由（1）知EF＝AE·ED.
39.∴AD. 229∴AC·AF =AD·AE =627.2∵EF =3,AE =6,∴ED【例4】 如图2-5-8,已知PA为⊙O的切线,PBD为⊙O的割线,交⊙O于B、D两点,C为AB22中点,PC的延长线交AD于E.求证:PA∶PB=DE∶EA.
图2-5-8
222思路解析:此题涉及平方比问题,我们应设法化去平方比PA∶PB,由于PA=PB·PD,故可以用这一结论直接化去平方比. 证明:过B作BM∥AD,交PC于点M,
PA2PBPDPD∵PA=PB·PD,∴= =. 22PBPBPB2∵C为AB中点,∴BC =AC. ∵BM∥AE,∴AE =BM,且
PDDE=. PBBMPA2DEPDDE∴=.∴=.2PBAEPBAE【例5】 如图2-5-9,已知PA切⊙O于A,割线PCB交⊙O于C、B两点.
图2-5-9 AC2PC(1)求证: =.
PBAB2(2)若Q为弧BC中点,AQ交BC于D点.求证:
PBSABD =. SACDPD思路解析:(1)利用相似三角形面积的关系;(2)利用两个三角形的边DB、DC上的高相等.证明:(1)∵PA切⊙O于A,∴∠CAP=∠B, 又∠APC=∠BPA,∴△ACP∽△BAP.
SACPAC2SACPPA2∴=.又=, 22SBAPABSBAPPBAC2PC且PA=PC·PB,∴=. 2ABPB2(2)∵Q为弧BC中点,∴∠BAD =∠DAC. 又∵∠CAP =∠B,∴∠DAP =∠ADC. ∴PA =PD.
在△ABC中,∵∠BAD =∠DAC, ∴
ABBDABBDS=.∴ABD= =.
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