1.1锐角三角函数教学设计（通用10篇）
一、教学内容分析
本节课是三角函数的起始课，是在学生学习了正比例函数、一次函数、反比例函数以及二次函数后已对函数有了一定的理解的基础上来学习，但是三角函数与以前学习过的函数有着较在区别，函数值随角度变化而变化，函数值是关于角度的函数与所在三角形无关很难理解，课本把它放在直角三角形中来进行定义及进行简单计算，可以降低难度，学生能更好地理解学习，本课时主要内容是三角函数的概念及进行简单的计算应用，而其中三角函数的概念应是本节课的难点。
二、学习类型与任务分析
（一）学习类型
1、学习结果
（1）三角函数的概念是数学概念
（2）在直角三角形中函数值恰好等于边长之比是数学原理（3）利用利用三角函数的定义进行简单计算是数学技能，数形结合思想是数学思想方法。
（4）利用各种方法进行因式分解，因式分解的应用是数学问题解决。（5）通过让学生体验三角函数来源于生活；通过构造直角三角形来计算锐角三角函数值的过程是数学认识策略。
2、学习形式
锐角三角函数（1）是三角函数的起始课，属上位学习；三角函数的概念形成很抽象，宜通过实例、生活情境入手引入，让学生从实例中探究，体验概念的形成过程，宜采用探究与合作相结合的启发式教与学。
（二）学生的起点能力
1．函数概念，一些特殊简单函数及其性质的学习。2．线段比例及相似三角形（图形）的学习。
三、教学目标 知识技能目标：了解三角函数的概念，学会在直角三角形中进行一些简单的计算。
过程方法目标：
（1）通过体验三角函数概念的形成过程增进学生的数学经验（2）渗透数形结合的数学思想方法。
（3）培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流的精神。情感态度目标
（1）让学生感受数学来源于生活又应用于生活，体验数学的生活化经历。
（2）通过实际问题情境的经历探究性的学习培养学生学习数学的兴趣，培养学生热爱数学、热爱生活的情感。
四、教学重、难点
重点：锐角三角函数的概念及其简单的计算 难点：三角函数概念的形成
五、教学流程 教师活动；
（一）实例引入，问题提出：
生活中处处有数学，数学就在我们身边，每次新知识的学习都与生活问题的解决相关，下面我们说说生活中的又一例：
生活中有很多的“陡峭”与“平坦”的问题，如我们常见的各色梯子、商场里的电动扶梯、大城市里的过街天桥等，在生活中我们经常讲这个坡太“陡”那个坡比较“平”，那么，我们又是用哪些量来衡量“陡”与“平”的呢？（幻灯片1）
上图是我们把天桥改“平”的示意图，我们这次次改造过程中有哪些量保持不变，哪些量发生了变化？它们的变化有联系吗？（幻灯片2和3）
如果进行上图的另两种改法呢？ 由此看来坡改“平”之中这些改变的量之间到底有何必然联系有待我们去探索。（幻灯片4）
（二）探究合作学习，形成新知：
下面让我们来做一做，作一个30°的角,在角的边上任意取一点B,作BC⊥AC于C,计算比 的值,与同伴的结果进行比较。
再作一个50°的角进行上述操作，对结果进行比较（幻灯片5）通过两种比较，你有什么发现？能说明理由吗？那么这种特性是否对任意锐角都存在呢？你能说明吗？
生思考，交流：
1.高度没变；坡的长度、水平距离、坡与地面的夹角在变化，前两者变大；
2.角度变小，坡变“平”了，角度的变化一定与三种线段长度的变化有联系。
（三）新知巩固，练习提高： 学生作图，通过相似三角形来说明
通过动手操作，探究培养学生探究能力，也能让学生体验三角函数的概念的形成过程，增加数学经验。
（四）小结与反思
一个相关：锐角函数值只与角度数有关 二种写法：是否带“∠”符号
二种计算：直接用直角三角形计算、构造直角三角形求解 三种函数：正弦、余弦、正切
（五）作业布置：见作业本（1）
分享是一种理念,是接纳、享用、创造的过程;分享是一种学习方式、交往方式和生活方式;分享是一种品质,在分享的过程中可实现师生的道德成长.在分享的过程中我们学会欣赏他人与欣赏自己,能在积极主动与人交往的过程中,学会将自己的成果、思想等传送给他人,同时能够与他人进行心灵的沟通,积极接纳别人的一切可取之处.本文以《锐角三角函数》为载体进行教学探索与反思,希望能在落实分享理念的数学教学中起到积极的作用.
二、教学过程简录
第一阶段:创设情境,分享问题
问题:梯子与地面形成不同倾斜角靠在墙上,倾斜角逐步变大.在这一变化过程中,哪些是常量,哪些是变量?问:铅直高度与梯子长度的比是常量还是变量?继续追问:当倾斜角为30°时,这个比值是多少?倾斜角为45°呢?指出这一比值随着倾斜角的变化而变化,是一个变量.本节课就是要研究铅直高度、水平宽度、梯子长度两两的比与倾斜角之间的关系,从而揭示课题.
点评:通过问题串的分享,揭示了本节课的主要研究方向:角的大小与边比值的关系.让学生明确学习目标,主动投入到学习活动中.
第二阶段:分享合作,探究新知
(一)动手实验、自主探究、合作交流,探索30°、50°角的对边与斜边的比值.在边AN上任意取一点B,作BC⊥AM于C,计算的值,并将所得结果与你的同伴作比较.(提醒学生从两个方面去比较:一是比较计算所得的比值;二是比较各自取的点B的位置.)(二)(1)用几何画板动态演示;(2)引导学生思考:通过上述两个问题,你发现了什么?(3)通过学生讨论,教师点拨,使学生明确两点:(1)这个比值,随着锐角的大小改变而改变;(2)对于大小给定的锐角,这个比值是一个确定的值,不会随着角的边上的点B的位置改变而改变.(三)设问:实验操作得到的结论你深信不疑吗?引导学生就第二个结论给出一般的证明.(四)思考:上述问题中的两个变量(比值、∠α),它们之间是否具有函数关系?对照函数的定义,指出比值是∠α的函数,我们把它叫做角α的正弦,记作sinα.(五)用类比的方法探究邻边与斜边的比值、对边与邻边的比值,并给出余弦、正切及三角函数的定义.
点评:巧妙地体现了分享的有效性:(1)根据从特殊到一般的认知规律,让学生初步感知角度与比值的一一对应关系,数形结合,培养数学的符号感,化解本课的难点;(2)在动手操作的分享过程中,让学生参与知识形成的全过程.通过动态演示,对照函数概念进一步确认角度是比值的函数,突破难点;(3)通过设问有效地激发学生的求知欲和好奇心,促使学生积极思考以前学过的知识,并从逻辑思维上去证明它的正确性.
第三阶段:运用新知,分享概念
(一)把上述定义引入到直角三角形中,给出直角三角形的锐角和各边之间比的关系,引导学生理解“0<sinA<1”“0<cos A<1”.(二)例:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,求∠A、∠B的正弦、余弦和正切.让学生尝试采用“先试后导,先练后讲”的方式完成.全班学生分成两组:单数组求∠A的正弦、余弦和正切,双数组求∠B的正弦、余弦和正切.通过与同伴比较,学生易发现所得的结果sinA=cosB;cos A=sinB;tanA·tanB=1,进一步从直角三角形的锐角和各边之间比的关系理解上述等式.
点评:通过本例让学生进一步熟悉直角三角形边角之间的关系以及互余角之间的三角函数关系.对三角函数定义实现由模糊到清晰的转变及难点的突破起一定的分散作用,并进一步落实教学目标.
第四阶段:夯实基础,分享能力
(一)随堂练习,基础达标
1.在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=8,BC=10,则sinC=__________,cosC=__________,tanC=__________.
2.在Rt△ABC中,∠B=90°,sinC=0.3,则cos A=__________.
(二)变式练习,熟练解题
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC∶BC=1∶2.求tanB、sinB、cosB的值.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=0.8,则sinB=__________.
(三)拓展思维,深化提高
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=0.6,CD⊥AB,求锐角∠DCB的余弦.
2.在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求sinB、cosB、tanB的值.
点评:精心设计不同层次的三组练习,让不同水平的学生都获得成功的体验,分享成功的喜悦,同时思维能力都得到不同的发展,实现由模仿到创新,螺旋渐进.
第五阶段:分享反思,重组结构
先让学生自我小结,再组内交流,由各组派代表发言,师生互相补充.(从知识、体验、方法等方面进行)
点评:教师和学生一起分享了一个重要的概念:锐角三角函数;分享了一个探究过程:特殊到一般;分享了一种数学思想:数形结合思想;分享了一种学习方法:猜想→证明→归纳→应用.
三、教后反思
(一)有效理解内容,分享知识
锐角三角函数概念的建立不仅是对函数概念的升华,而且渗透着转化、数形结合等数学思想和方法.锐角三角函数与勾股定理都是解直角三角形的重要知识之一,只有正确理解锐角三角函数的概念,才能正确理解直角三角形中边与角之间的关系,从而利用这些关系解决测量、工程技术和物理学中有关距离、高度和角度等计算问题.本节内容与已学“函数的概念”“相似三角形”“勾股定理”等内容紧密联系,是解直角三角形的关键,也为高中学习三角函数等知识做好准备.教师需要把握好学习内容的整体性和内在联系的紧密性,明确蕴含在知识内容中的分享价值,设计分享环节,从而发挥数学的分享功能.
(二)有效预设过程,创造分享
一个充满生命力的课堂,需要教师依循学生认知的曲线、思维的张弛以及情感的波澜,以灵动的教育机制随时调整课堂教学进程.在教学中,教师应该为激发学生学习的兴趣进行有效的预设,从而创造分享的过程.教师通过创设问题情境,激励学生深入思考、主动探究,在动手实验、分享合作中获取新知识.同时注意与已有的函数概念相联系,减少学生对新概念接受的困难.采用多媒体辅助教学提高教学效率,用动态演示让学生有一个既生动直观又认识深刻的分享.在本节课中,教师通过预设与学生分享了锐角三角函数定义的探求和求某一锐角的三角函数值的过程;分享了运用数形结合思想来分析和解决问题,领会由特殊到一般的探索方法的过程;分享了角度与比值一一对应的函数思想^……在实践中学习、在探索中学习,能激发学生学习的积极性,让学生主动构建新知识,分享学习的快乐.
(三)有效全面参与,师生共享
成功的课堂是一个充满着各种观点合流与碰撞的生长过程,是一个既有共同语言与思想,又有不同的见解的个性与发现的过程.在课堂教学中,我们应自主构建,学会“共享”,就教学内容进行平等交流、互相借鉴,各自生成或建构自己的认识与知识,让整个分享过程充满创造色彩,从而实现共享知识、共享智慧、共事人生的价值和意义,获得整体的精神世界的构建.
乾县长留初中张莉
教学目标：将已知元素和未知元素归结为直角三角形中元素之间的关系，运用直角三角形的有关知识（如三角函数等）解决问题。
过程与方法：经历把某些实际问题中量与量之间的关系转变成数学模型中量与量的关系，进一步培养学生的建模能力，在解决问题的过程中体会“数形结合”的思想方法。
情感与态度：感悟数学来源于生活，应用于生活的真理，培养实际操作能力和建构能力关注每一位学生参与数学活动的程度，自信心，使每位学生体验到成功的快乐。
一．知识回顾：
直角三角形的边角关系：
1）两锐角关系：———————— 2）三边之间的关系：—————————— 3）边角之间的关系——————————— 二．问题解决
问题一：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为66 m，这栋高楼有多高？(结果精确到0.1 m，参考数据：1.73)
≈
问题二：如图所示，再一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A、B两个凉亭之间的距离，现测得AC=30m，BC=70m，∠CAB=120°，请计算A、B两个凉亭之间的距离。
变一变：如图，海上有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°，航行12海里到达D点，在D点测得小岛A在北偏东30°，如果渔船继续向正东方向行驶，问是否有触礁的危险？
解析：过A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD、∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD，根据等边对等角得出AD=BD=12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AD即可．
解：只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以8海里的圆内或圆上即可，如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，∵∠CAD=30°，∠CAB=60°，∴∠BAD=60°-30°=30°，∠∴∠ABD=∠BAD，∴BD=AD=12海里，∵∠CAD=30°，∠ACD=90°，∴CD= 1 2 AD=6海里，由勾股定理得：AC= 122-6
2=6
ABD=90°-60°=30°，3 ≈10.392＞8，即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
三、拓展延伸
用本节课的知识怎样测量停留在空中的气球的高度呢？（仪器：卷尺测角仪）四：小结
谈谈本节课你有哪些收获？
五：作业布置
锐角三角函数复习（说课稿）
乾县长留初中张莉
教材分析：锐角三角函数是九年级数学下册第一章内容，它是中招考试的重要考点，在中学数学中占有举足轻重的地位。
复习目标：1.掌握锐角三角函数的基本知识,能利用解直角三角形的有关知识，解决生活中的实际问题；
2.进一步体会锐角三角函数的应用，提高数形结合、分析、解决问题的能力及应用数学的意识。
复习重点：锐角三角函数概念及性质的应用。复习难点：把实际问题转化为数学问题。教学流程：
一、复习回顾 ：
1、锐角三角函数的定义，及跟踪练习，这一练习旨在巩固学生对锐角三角函数概念的理解。复习回顾
2、特殊角的三角函数值及相应练习旨在检查学生对特殊角三角函数值的记忆情况。复习回顾
3、解直角三角形，复习直角三角形边角关系应用解直角三角形的知识解决实际问题培养学生的建模能力技术型结合思想，感悟数学源于生活，应用于生活的真理。
二、课堂反馈：以实际问题作为检测，使学生明白把实际问题转化成数学问题（解直角三角形的问题）选用恰当的关系求出问题的答案。
三、小结并布置作业
教后反思：学生有积极性，但语用知识不够熟练，计算速度慢部分学生基本概念和基本知识点记忆不准确。教师在教学中应给予学生足够时间让学生完成知识的构建。《锐角三角函数的应用》说课稿
乾县长留初中 张莉
说教材：本节课是在学习了锐角三角函数的概念，锐角三角函数值的求法的基础上进一步阐述三角函数在生活中的应用。
教学目标：将已知元素和未知元素归结为直角三角形中元素之间的关系，运用直角三角形的有关知识（如三角函数等）解决问题。
过程与方法：经历把某些实际问题中量与量之间的关系转变成数学模型中量与量的关系，进一步培养学生的建模能力，在解决问题的过程中体会“数形结合”的思想方法。
情感与态度：感悟数学来源于生活，应用于生活的真理，培养实际操作能力和建构能力关注每一位学生参与数学活动的程度，自信心，使每位学生体验到成功的快乐。
教学方法：体现以教师为主导，学生为主体的思想，深化课堂教学改革。教学流程：
1.复习引入、复习直角三角形边角关系及生活中的相关角，为解决后面的问题做铺垫。
2.问题探究：通过两组问题的探索引导学生如何应用锐角三角函数解决实际问题，培养学生的建模能力及数形结合的思想，感悟数学源于生活应用于生活的真理，通过变式练习启发学生自主性学习，充分调动学生的积极性、主动性及灵活运用知识的能力。3.小结：用锐角三角函数解决实际问题的一般步骤就是将实际问题转化成数学问题（解直角三角形的问题）选用恰当的关系求出数学问题的答案从而也就得到了实际问题的答案。
4.作业布置
最后用一句话结束了本节课的内容：愿同学们拥有一双能用数学视觉观察世界的眼睛，一个能用数学思维思考世界的头脑。
一、内容和内容解析
通过以前的学习学生已经知道当锐角A是等特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？这一过渡体现了从特殊到一般的数学思想，今天的学习为学生在实践中用数学提供了广阔的空间，对培养学生的动手操作能力有积极的促进作用。
基于上述分析我将本节课的教学重点设定为：会用计算器求锐角三角函数值和由锐角三角函数值求锐角。
二、目标和目标解析
1．让学生熟识计算器一些功能键的使用．
2．会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角。
3.让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会函数的数学内涵，激发学生学习兴趣与求知欲，获得知识，体验成功，享受学习乐趣。
三、教学问题诊断分析
难点：正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，在教学中应作为难点处理．
四、教学支持条件分析 多媒体课件、计算器
五、教学方法分析
用计算器求锐角的三角函数值时，可分小组合作学习，让每一组学生在相互帮助下学习，然后进行交流。
六、教学过程分析
（一）复习旧知、引入新课
问题1.引例 升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼。当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为42°，若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？
问题2.通过上课的学习我们知道，当锐角A是等特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？
我们可以用计算器来求锐角的三角函数值。教师活动1：出示引例。
教师活动2：启发学生思考，引入新课题。
学生活动1：观察并思考教师的预设问题，寻找解决方案。学生活动2：明确探究方向。
教师应重点关注：学生的思维是否活跃，兴趣是否高涨。设计意图：通过引例的设置激发学生的探究欲望和学习热情。
（二）探索新知、分类应用
问题3.用计算器求一般锐角的三角函数值（1）锐角恰是整数度数时，求sin18°的值。
（2）如果锐角的度数是度、分形式时，求tan30°36的值。
AB（3）完成引例中的求解： 20tan421.620tan42+1.6 19.608 080 89 ∴ AB = 19.608 080 89≈19.61m 即旗杆的高度是19.61m。
教师活动1：指导用计算器求一般锐角三角函数值的步骤。
教师活动2：指导锐角度数是度、分形式时求三角函数值得两种方法。教师活动3：引导学生完成引例的求解。教师活动4：巡视指导。
学生活动1：掌握计算器的按键信息和求解步骤。学生活动2：按照教师的提示进行三角函数值求法的训练。教师重点关注：学生是否能够对不同形式的角度求出三角函数值。设计意图：通过不同角度的三角函数值求法的训练，让学生掌握计算器的使用方法。
问题4.熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角.（1）sin20°，cos70°； sin35°，cos55°； sin15°32′，cos74°28′；（2）tan3°8′，tan80°25′43″；（3）sin15°+cos61°tan76°.教师活动1：出示用科学计算器求一般锐角三角函数值的习题。教师活动2：巡视指导，观察计算的准确性。学生活动1：独立完成计算。学生活动2：小组交流计算的结果。
教师重点关注：学生是否能够熟练对不同形式的角度求出三角函数值。设计意图：通过不同角度的三角函数值求法的训练，让学生掌握计算器的使用方法。
问题5.已知锐角的三角函数值，求锐角的度数： 根据下面的条件，求锐角β的大小（精确到1″）（1）sinβ=0.4511；（2）cosβ=0.7857；
（3）tanβ=1.4036.教师活动1：指导用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角的步骤。教师活动2：巡视指导，检查计算结果的准确性。学生活动1：练习已知三角函数值求出相应的锐角的方法。学生活动2：完成教师安排的训练题目。学生活动3：小组交流展示计算的结果。
教师重点关注：学生是否能够由已知锐角的三角函数值，求锐角的度数；是否能够积极参与。
设计意图：通过有针对性的训练，让学生掌握计算器的使用方法。
（三）知识提高
问题6：已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：（1）sinA=0.627 5，sinB=0.054 7；（2）cosA=0.625 2，cosB=0.165 9；（3）tanA=4.842 5，tanB=0.881 6.问题:7：已知tanA=3.1748，利用计算器求锐角A的度数。(精确到1′)问题8：已知锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角a（精确到1′）（1）sin a=0.2476；（2）cos a=0.4；（3）tan a=0.1890.问题9：一段公路弯道呈弧形，测得弯道AB两端的距离为200米，AB 的半径为1000米，求弯道的长（精确到0.1米)
A R
O
B
教师活动1：出示巩固提高的练习题。教师活动2：巡视指导。学生活动1：独立计算。学生活动2：小组交流展示结果。
教师重点关注：是否掌握了计算器的使用方法，计算的准确性和速度是否符合要求。
设计意图：检验学生对计算器使用方法的掌握情况，以及实践应用能力。
（四）归纳整理，总结提升
问题10：通过本节课的学习你有哪些收获，还有什么不足？说出来和小伙伴交流一下。
教师活动：引导学生回顾本节课应掌握的基本内容。学生活动1：独立总结本课所学习的计算器的使用方法。学生活动2：组间交流，生生互评。
（五）作业布置
1.全体基本作业：课本68练习
2.拓展提升作业：分层作业课本70页第9题
正弦：sin α=∠α的对边/∠α的斜边
余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边
正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边
余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边
面积公式
长方形，正方形以及圆的面积公式
面积公式包括 扇形面积共式，圆形面积公式，弓形面积公式，菱形面积公式，三角形面积公式，梯形面积公式等多种图形的面积公式。
扇形面积公式
在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S＝πR^2，所以圆心角为n°的扇形面积：
S＝nπR^2÷360
比如：半径为1cm的圆，那么所对圆心角为135°的扇形的周长：
C＝2R＋nπR÷180
＝2×1＋135×3.14×1÷180
＝2＋2.355
＝4.355(cm)＝43.55(mm)
扇形的面积：
S＝nπR^2÷360
＝135×3.14×1×1÷360
＝1.1775(cm^2)=117.75(mm^2)
扇形还有另一个面积公式
S=1/2lR
其中l为弧长，R为半径 三角形面积公式
任意三角形的面积公式（海伦公式）：S=√p(p-a)(p-b)(p-c), p=（a+b+c）/2,a.b.c,为三角形三边。
证明： 证一 勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此时S△ABC为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明：由证一可知，u = v = ∴ ha 2 = t 2 = － ∴ S△ABC = aha = a × = 此时为S△ABC的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。
证明：要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式 分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 证明：如图，tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒等式，得： + + = ①②③代入，得： ∴r2(x+y+z)= xyz ④ 如图可知：a＋b－c =(x+z)＋(x+y)－(z+y)= 2x ∴x = 同理：y = z = 代入 ④，得： r 2 · = 两边同乘以，得： r 2 · = 两边开方，得： r · = 左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。
证五：半角定理 半角定理：tg = tg = tg = 证明：根据tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得： r3 = ×xyz
圆面积公式
设圆半径为 ：r 面积为 ：S
则 面积 S= π·r ² π 表示圆周率
既 圆面积 等于 圆周率 乘 圆半径的平方
弓形面积公式
设弓形AB所对的弧为弧AB，那么：
当弧AB是劣弧时，那么S弓形＝S扇形－S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）。
当弧AB是半圆时，那么S弓形＝S扇形＝1/2S圆＝1/2×πr^2。
当弧AB是优弧时，那么S弓形＝S扇形＋S△AOB（A、B是弧的端点，O是圆心）
计算公式分别是：
S＝nπR^2÷360－ah÷2
S＝πR^2/2
S＝nπR^2÷360+ah÷2
椭圆面积计算公式
椭圆面积公式： S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。
菱形面积公式
定理简述及证明
菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2
菱形的面积也可=底乘高
抛物线弓形面积公式
抛物线弦长公式及应用
本文介绍一个公式,可以简捷准确地求出直线被抛物线截得的弦长,还可以利用它来判断直线与抛物线位置关系及解决一些与弦长有关的题目.方法简单明了,以供参考.抛物线弓形面积公式等于：以割线为底，以平行于底的切线的切点为顶点的内接三角形的3/4，即：
抛物线弓形面积=S+1/4*S+1/16*S+1/64*S+……=4/3*S
定理 直线y=kx+b(k≠0)被抛物线y2=2Px截得的弦AB的长度为
∣AB∣= ①
证明 由y=kx+b得x=代入y2=2Px得y2－+=0
∴ y1+y2=,y1y2=.∣y1－y2∣==2，∴∣AB∣=∣y1－y2|=
当直线y=kx+b(k≠0)过焦点时,b=－,代入①得∣AB∣=P(1+k2)，于是得出下面推论:
推论1 过焦点的直线y=kx－（k ≠0）被抛物线y2=2Px截得的弦
AB的长度为
∣AB∣=P(1+k2)②
在①中,由容易得出下面推论:
推论2 己知直线l: y=kx+b(k≠0)及抛物线C:y2=2Px
Ⅰ)当P＞2bk时,l与C交于两点(相交);
Ⅱ)当P=2bk时,l与C交于一点(相切);
Ⅲ)当P＜2bk时,l与C无交点(相离).定理应用
下面介绍定理及推论的一些应用:
例1(课本P.57例1)求直线y=x+被抛物线y=x2截得的线段的长?
分析:题中所给方程与定理中的方程形式不一致,可把x看成y用①即可.解 曲线方程可变形为x2=2y则P=1,直线方程可变形为x=y－，即k=1,b=－.由①得∣AB∣=4.例2 求直线2x+y+1=0到曲线y2－2x－2y+3=0的最短距离.分析:可求与已知直线平行并和曲
线相切的直线,二直线间距离即为要求的最短距离.解 曲线可变形为(y－1)2=2(x－1)则P=1,由2x+y+1=0知k=－2.由推论2,令2bk=P,解得b=－.∴所求直线方
程为y－1=－2(x－1)－,即2x+y－=0.∴.故所求最短距离为.例3 当直线y=kx+1与曲线y=－1有交点时,求k的范围.解 曲线可变形为(y+1)2=x+1
(x≥－1,y≥－1),则P=1/2.直线相应地可变为 y+1=k(x+1)－k+2,∴b=2-k.由推论2,令2bk≤P,即2k(2－k)≤,解得k≤1－或k≥1+.故k≤1－或k≥1+时直线与曲线有交点.注:曲线作怎样变形,直线也必须作相应平移变形,否则会出现错误.例4 抛物线y2=2Px内接直角三角形,一直角边所在直线为y=2x,斜边长为5.求抛物线的方程.解 设直角三角形为AOB.由题设知kOA=2,kOB=－.由①, |OA|=，|OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2,得P=.∴抛物线方程为y2=x.例5设O为抛物线的顶点,F为焦点,PQ为过的弦,己知∣OF∣=a,∣PQ∣=b,.求SΔOPQ
解 以O为原点,OF为x轴建立直角坐标系(见图),依题设条件,抛物线方程为y2=4ax(P=2a),设PQ的斜率为k,由②|PQ|=，已知|PQ|=b,k2=.∵k2=tg2θ∴sin2θ=.即sinθ=，∴SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF =a|PF|sinθ+a|FQ|sin(π－θ)=ab sinθ=.常见的面积定理
1． 一个图形的面积等于它的各部分面积的和；
2． 两个全等图形的面积相等；
3． 等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；
4． 等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）的比；
5． 相似三角形的面积比等于相似比的平方；
一、深入理解锐角三角函数的概念
1.理解锐角三角函数的定义.
(1)正切、正弦和余弦的概念是在一个直角三角形中定义的,其本质是两条线段的比值,没有单位,其大小只与角的大小有关,与其所在的直角三角形的大小无关;
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,锐角三角函数值a/b、a/c和b/c都随锐角A的大小变化而变化,也都随锐角A的确定而唯一确定,因此它的大小仅与角的大小有关,而与所在的直角三角形的边的长短无关;
(3)正切tan A、正弦sin A和余弦cos A是一个完整的符号,tan A不是tan与A的积,离开了∠A,“tan”就没有意义了,只有合起来,tan A才表示∠A的正切,sin A、cos A也是如此;
(4)符号tan A表示∠A的正切,在符号tan A中,习惯省去角的符号“∠”,当用希腊字母α、β等表示角时,其正切中角的符号习惯上也省去,但当用三个英文字母或阿拉伯数字表示角时,角的符号“∠”不能省略,sin A、cos A也是如此,如tanα、sin∠ABC、cos∠1等.
2.应用锐角三角函数的定义.
【分析】先画出图形,如图1,在Rt△ABC中,由锐角三角函数定义表示出sin A,将sin A的值与BC的长代入即可求出AB的长.
【评注】熟练掌握锐角三角函数的基本概念是解好本题的关键,做题时边读题边画一个直角三角形,数形结合、看图说话,可避免主观出错.
二、理解记忆特殊角的三角函数值
任意角的三角函数值都可以由计算器获取,但由于特殊角的三角函数值常见常用,所以应当记忆,这样便于我们运用它们进行计算、求值和解直角三角形.
另外,观察表格,我们还有收获.横着看:正弦值、正切值,随着角度的增大而增大(其中tan30°∙tan60°=1=tan45°);余弦值,随着角度的增大而减小.这个规律是不是一般规律?对所有的锐角三角函数都成立吗?有兴趣的同学可借助于计算器验证一下自己的发现.竖着看:sin45°=cos45°;斜着看:sin30°=cos60°,sin60°=cos30°.学习数学,要善于观察、思考,这样才能不断提升自己.
【评注】本题考查了特殊角的三角函数值,因此,一些特殊角的三角函数值需要我们在理解的基础上熟练记忆.
【评注】解答本题不仅要熟记特殊角的三角函数值,还要理解“锐角三角函数的正切值随着角度的增大而增大”这个规律.
三、解直角三角形及其应用
1.直角三角形各元素之间的关系.
如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别是∠A的对边、∠B的对边和∠C的对边.除直角外的五个元素之间有如下的关系:
三边之间的关系:a2+b2=c2;
两个锐角之间的关系:∠A+∠B=90°;
2.解直角三角形的基本类型及解法.
由此我们知道:在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素,只要知道两个元素(其中至少有一个是边),就可以求出其余的三个元素.解直角三角形的知识广泛应用于生活,尤其在测量过程中用于计算距离、高度、长度和角度等.
例4(2016·江苏苏州)如图3,长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角∠ACD为45°,则调整后的楼梯AC的长为().
【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD,然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可.
【点评】解直角三角形的关键是抓住已知条件,利用已知的边和角求出未知的边,进而解决问题.
例5(2016·四川巴中)一个公共房门前的台阶高出地面1.2米,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图4所示,则下列关系或说法正确的是().
【分析】坡度反映了斜坡的陡峭程度(这个度的意义不是角度),它是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比,又叫做坡比,是一个比值,一般用i表示,常写成i=h∶l的形式.把坡面与水平面的夹角α叫做坡角,坡度i与坡角α之间的关系为:i=tanα.
【解答】根据坡度是坡角的正切值得斜坡AB的坡度是i=BC/AC=tan10°,选:B.
【点评】本题考查了解直角三角形应用中的基本概念:坡度、坡角,理解坡度的含义是解题的关键.
【分析】本题属于解直角三角形的应用——方向角问题,认真审题,理解方向是解题的关键.如图6,过点A作AD⊥BC,垂足为D,设CD=x,利用解直角三角形的方法,可得出AD,进而可得出BD,结合题意BC=CD+BD可列出方程,解出x的值后即可得出答案.
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时间：2010-2-21 ７．６锐角三角函数的简单应用
（二）教、学案
一、学习目标：进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
二、自学质疑 仰角、俯角的定义：
如图，从下往上看，视线在水平线上方，视线与水平线的夹角叫 仰角，从上往下看，视线在水平线下方，视线与水平线的夹角叫 做俯角。
图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。
练习：如图，测量队为测量某地区山顶P的海拔高度，选M点作为观测点，从M•点测量山顶P的仰角为30°，在比例尺为1：50000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6•厘米，则山顶P•的海拔高为________m．（精确到1m）
三、精讲点拨
例
2、为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点处观测气球，测得仰角为27°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为40°。若小明的眼睛离地面1.6m，小明如何计算气球的高度呢（精确到0.1m）
Ch mA2750m40Bx mD课型：新授课
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时间：2010-2-21 思考与探索：大海中某小岛的周围10km范围内有暗礁。一艘海轮在该岛的南偏西55°方向的某处，由西向东行驶了20km后到达该岛的南偏西25°方向的另一处。如果该海轮继续向东行驶，会有触礁的危险吗？
矫正反馈：课堂练习：书本P 56 1、2
补充例题：
某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼的前面要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为30°时。问：（1）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？
（2）若新楼的影子恰好落在超市1米高的窗台处，两楼应相距多少米？
课型：新授课
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时间：2010-2-21 ７．６锐角三角函数的简单应用
（二）巩固案
1．在高200米的山顶上测得正东方向两船的俯角分别为30°和60°，•则两船间的距离是______。
2．如图所示，人们从O处的某海防哨所发现，在它的北偏东60°方向，•相距600m的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间快艇到达哨所东南方向B处，则A、B间的距离是________
．
3．如图，在某建筑物AC上挂着一幅的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30°；再往条幅方向前行20m到达点E处，看条幅顶端B，•测得仰角为60°，求宣传条幅BC的长．
一、教学目标
1、使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实．
2、逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．
二、教学重点、难点
重点：理解余弦、正切的概念
难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算
三、教学过程
（一）复习引入
1、口述正弦的定义
2、（1）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3．则sin∠BAC= ；sin∠ADC= ．
（2）﹙2006成都﹚如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。已知AC=5，BC=2，那么sin∠ACD＝（）A． B． C． D．
（二）实践探索
一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？
o如图：Rt△ABC与Rt△A`B`C`，∠C=∠C` =90，∠B=∠B`=α，那么与有什么关系？
o分析：由于∠C=∠C` =90，∠B=∠B`=α，所以Rt△ABC∽Rt△A`B`C`，即
结论：在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠B的邻边与斜边的比也是一个固定值。
o如图，在Rt△ABC中，∠C=90，把锐角B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦，记作cosB即 把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作tanA,即
锐角A的正弦,余弦,正切都叫做∠A的锐角三角函数.（三）教学互动
例2:如图,在中, ,BC=6,求cos和tan的值.解:, 又
例3:(1)如图(1), 在中，, , ,求的度数.(2)如图(2),已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍,求.（四）巩固再现
1.在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（）A．．．．
2.在中，∠C＝90°，如果那么的值为（）A．．．．
3、如图：P是∠的边OA上一点，且P 点的坐标为（3，4），则cos＝_____________.4、P81 练习1、2、3
一、一一对应思想
由相似的直角三角形可以知道, 它们的边与边的比值随锐角大小的变化而变化, 随着锐角大小的确定而惟一确定.同样, 借助计算器根据锐角大小可以求得其三角函数值, 反过来, 借助计算器根据三角函数值可以求得对应的锐角大小.
例1 (2015·陕西) 如图1, 有一滑梯AB, 其水平宽度AC为5.3米, 铅直高度BC为2.8米, 则∠A的度数约为_______. (用科学计算器计算, 结果精确到0.1°)
【解析】由题意, 得, 利用计算器求得∠A≈27.8°. 即本题正确应该填:27.8°.
【点评】本题考查了用计算器由三角函数值求锐角的度数, 解题的关键是掌握由三角函数值求锐角度数的方法.
二、转化思想
转化思想是初中数学中常用的数学思想, 通过转化, 可以把未知的关系转化为已知的条件, 把陌生的问题转化为熟悉的问题, 把复杂的问题转化为相对容易的问题.
例2 (2015·桂林) 如图2, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, AC=8, BC=6, CD⊥AB, 垂足为D, 则tan∠BCD的值是_______.
【解析】根据题意得∠BCD=∠CAB, 则tan∠BCD=tan∠CAB, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, , 所以.因此, 本题答案为
【点评】本题既考查了对正切概念的掌握, 也考查了灵活应用转化思想将问题中不常见的角转化为熟悉的直角三角形的锐角进行求解.
三、方程思想
方程思想是一种重要的数学思想, 所谓方程思想是指从问题的数量关系入手, 将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立方程 (组) , 然后通过解方程 (组) 使问题得到解决的思想方式.
例3 (2015·云南) 为解决江北学校学生上学过河难的问题, 乡政府决定修建一座桥.建桥过程中需测量河的宽度 (即两平行河岸AB与MN之间的距离) .在测量时, 选定河对岸MN上的点C处为桥的一端, 在河岸点A处, 测得∠CAB=30°, 沿河岸AB前行30米后到达B处, 在B处测得∠CBA=60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度. (参考数据:;结果保留整数)
【解析】过点C作CD⊥AB, 垂足为D, 构造Rt△ACD和Rt△BCD这两个直角三角形.设CD=x, 分别在这两个三角形内, 利用已知角的正切, 用x表示出AD、BD的值, 然后根据AB=AD+BD, 列方程即可求解.
【解答】过点C作CD⊥AB, 垂足为D,
答:河的宽度为13米.
【点评】本题考查了解直角三角形的实际应用、方程思想, 解题的关键是构造直角三角形, 根据已知条件列方程.
四、数形结合思想
数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系, 既分析其数量关系, 又揭示其几何意义, 使数量关系和几何图形巧妙地结合起来, 并充分地利用这种结合, 探求解决问题的思路, 使问题得以解决的数学思想方法.
例4 (2015·绵阳) 如图4, 要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯, 路灯的灯臂CD长为2米, 且与灯柱BC成120°角, 路灯采用圆锥形灯罩, 灯罩的中轴线DO与灯臂CD垂直, 当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳.此时, 路灯的灯柱BC高度应该设计为 () .
【解析】设灯柱BC的长为h米, 过点D作DH⊥AB于点H, 过点C作CE⊥DH于点E.
∴四边形BCEH为矩形.
∵∠DCB=120°, ∴∠DCE=30°.
又∵∠CDO=∠CBO=90°,
∴∠DOB=60°.
∵在Rt△DCE中,
在Rt△DOH中,
因此, 本题应该选D.
【点评】解答这类问题的关键是通过作垂线构造直角三角形, 这是添加辅助线的常见方式, 将非直角三角形问题转化为直角三角形问题, 便于运用三角函数关系和勾股定理来解题.
五、模型思想
从现实生活或具体情境中抽象出数学问题, 用数学符号建立锐角三角函数表示实际问题中的数量关系和变化规律, 求出结果并讨论结果的意义.
例5 (2015·盐城) 如图5所示, 一幢楼房AB背后有一台阶CD, 台阶每层高0.2米, 且AC=17.2米.设太阳光线与水平地面的夹角为α, 当α=60°时, 测得楼房在地面上的影长AE=10米. 现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳.
(1) 求楼房的高度约为多少米? (取1.73)
(2) 过了一会儿, 当α=45°时, 问小猫能否还晒到太阳?请说明理由.
【解析】第 (1) 问, 利用可轻松求解;第 (2) 问需作出α=45°的光线, 构造直角三角形模型, 从而解决问题.
解: (1) 当α=60°时, 在Rt△ABE中,
答:楼房的高度约为17.3米.
(2) 小猫仍可以晒到太阳.
理由如下:
假设没有台阶, 当α=45°时, 从点B射下的光线与地面AD的交点为点F, 与MC的交点为点H.
∴AF=BA=17.3, 即此时的影长为17.3米,
∴CF=AF-AC=17.3-17.2=0.1,
∴CH=CF=0.1 (米) ,
∴大楼的影子才到台阶MC这个侧面上,
∴小猫仍晒到太阳.
一、教材分析
1.内容总体安排
本章的主要内容是锐角三角函数的概念 (主要指正弦、余弦和正切的概念) , 以及利用锐角三角函数解直角三角形, 这些内容是中学阶段三角学的基础知识。本章内容是在同学们学习了相似三角形、 勾股定理和函数等有关知识的基础上研究的, 这些知识是学习本章内容的直接基础。
本章内容分为两节, 第一节主要内容有三部分:一是学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念;二是研究了几个特殊角 (30°, 45°, 60°) 的三角函数的求法;三是介绍了用计算器求锐角三角函数的方法。第二节首先主要研究了直角三角形中的边角关系和解直角三角形的知识; 然后通过具体的实例说明了解直角三角形的应用, 并总结出用三角函数的知识解决实际问题的一般过程。这个过程强调了数学建模的构建, 凸显了数学建模的思想, 强化了数形结合思想。可以说第一节是第二节内容的基础, 后面的内容是第一节内容的应用, 通过第二节的学习, 巩固和提高了学生对基础内容的认识, 使同学们对函数的概念及其本质有了更深层次的认识。
2.本章知识大致结构
从生活中的实际问题出发, 引出三角函数, 进一步着手解决锐角三角函数问题, 最后, 由解决问题的方法又回到生活中的实际问题中, 引导学生解决具体问题。
3.课程目标
知识技能: (1) 提高实例认识锐角三角函数 (sinA, cosA, tanA) , 知道30°, 45°, 60°角的三角函数 ;会使用计算器由已知锐角求它的三角函数, 由已知三角函数的值求它对应的锐角; (2) 能在简单条件下 (已知一边和一锐角或两边) 解直角三角形; (3) 能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。
数学思考: (1) 能收集、选择和处理不同三角形中的相关信息, 通过对比、归纳, 抽象出锐角三角函数的概念; (2) 在锐角三角函数概念的形成过程中, 发展数感和符号感, 发展抽象思维能力; (3) 经历锐角三角函数概念的形成过程, 初步形成对应与函数思想。
解决问题: (1) 能结数形和数字等信息发现并提出数学问题; (2) 能尝试评价不同三角函数之间的差异; (3) 在概念的形成与应用中, 学会与人合作, 并与他人交流思维过程与结果; (4) 通过解直角三角形在生活中的应用, 提高解决实际问题的能力, 发展应用意识。
情感与态度: (1) 通过三角函数概念的建立及其应用, 体验数字、符号是有效地描述现实世界的重要手段, 认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具; (2) 在解决直角三角形的广泛应用中, 体验学习数学的乐趣, 增强参与数学活动的自觉性、积极性; (3) 进一步体验数学活动中充满着探索与创造; (4) 在计算器的使用中, 体验现代信息技术的价值。
从以上描述可以看出, 对目标的要求不仅停留在知识技能方面, 还特别注重让学生参入数学活动的过程性方面。注重数学应用意识的形成和培养, 将教学目标的实现有机地融入到精心创设的情境中、过程中和应用中。上述目标涵盖了数学课程目标的各个纬度, 体现了新课程的价值追求。
4.学习重点和难点
本章的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法;学生学习的难点是锐角三角函数的概念, 因为锐角三角函数的概念反映了一个锐角的度数与实数值之间对应的函数关系, 这种角与数之间的对应关系, 以及sinA, cosA, tanA等函数的符号表示方法, 学生都是第一次接触, 理解和认识起来都有一定的难度。学习本章的关键是结合图形, 遵循“从特殊到一般, 从实践探索到证明”的方式呈现正弦函数概念, 在学生通过实验、观察、归纳、猜想等求知过程的基础上, 建立起角度与数值之间的对应关系, 从而正确掌握锐角三角函数的概念, 真正理解直角三角形中边、角之间的关系。
二、学情与学法分析
1.常见的认知误区和思维障碍
(1) 不能正确理解三角函数的意义及表示方法;不能正确区分正弦函数、余弦函数和正切函数, 在实际计算中出现混淆现象。
(2) 由于过于依赖计算器, 记错特殊角 (30°, 45°, 60°) 的三角函数。
(3) 在解直角三角形时, 错用直角三角形中的边与角之间的关系。
(4) 混淆坡度与正弦函数。
(5) 解决实际问题时 , 对于通过审题建立数学模型 , 学生普遍感到困难。
2.学法指导
(1) 对于三角函数概念的教学, 要突出正弦函数概念的教学, 其他两个三角函数的概念可引导学生通过类比学习。要结合图形, 通过计算、推导, 让学生理解∠A的“对边和斜边的比值”仅与∠A的大小有关, 在给出正弦函数概念之前, 要留给予学生充分的时间和空间, 引导他们经历知识再发现的过程, 在这个过程中理解、掌握正弦函数的本质。在给出了正弦函数、余弦函数、正切函数的概念后, 引导学生归纳规律, 以便记忆和应用, 避免出现混淆的现象。如, 三角函数的定义都是比值, 其中正弦函数、正切函数的“分子”都是“对边”;正弦函数、余弦函数的“分母”都是“斜边”;正切函数的定义中没有“斜边”, 等等。
(2) 对于30°, 45°, 60°角的三角函数, 要引导学生按照教材里“思考”栏目中给出的两块三角板问题, 结合具体的图形, 自己计算出来, 以“合作交流”的形式, 先让学生自己找规律, 然后相互交流, 发现这些比值之间的规律, 这样便于形成长久记忆。
(3) 在解直角三角形时 , 能根据较复杂的图形 , 找到或通过添加辅助线构造出欲求元素所在的直角三角形, 结合图形, 根据已知元素及三角函数的概念正确选择边与角的关系。
(4) 适当增加坡度与正弦函数的辨析题目, 让学生在实际练习中对二者加以理解与区别。
(5) 在解决实际问题时 , 结合具体的题目 , 养成良好的审题习惯:一边读题, 一边画图或在给定的图形中准确找到对应的信息。特别强调解题的思路是构造直角三角形。
参考文献
[1]孙晓天, 孔凡哲, 刘晓玫.空间观念的内容及意义与培养[J].数学教育学报, 2002 (02) :33-35.
[2]孙晓天.情景数学的内容和特点介绍一套题材新颖的5-8年级数学教材[J].数学通报, 2001 (10) :18-22.
[3]林少杰.数学教学内容的非线性结构及其教学策略[J].教育导刊, 2002 (02) :54-56.
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