考研数学知识点（共12篇）
高等数学题目中比较困难的是证明题，今天凯程老师给大家整理了在整个高等数学，容易出证明题的地方。
一、数列极限的证明
数列极限的证明是数一、二的重点，特别是数二最近几年考的非常频繁，已经考过好几次大的证明题，一般大题中涉及到数列极限的证明，用到的方法是单调有界准则。
二、微分中值定理的相关证明
微分中值定理的证明题历来是考研的重难点，其考试特点是综合性强，涉及到知识面广，涉及到中值的等式主要是三类定理：
1.零点定理和介质定理； 2.微分中值定理；
包括罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题，考查频率底，所以以前两个定理为主。
3.微分中值定理
积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。
在考查的时候，一般会把三类定理两两结合起来进行考查，所以要总结到现在为止，所考查的题型。
三、方程根的问题
包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。
四、不等式的证明
五、定积分等式和不等式的证明
主要涉及的方法有微分学的方法：常数变异法；积分学的方法：换元法和分布积分法。
六、积分与路径无关的五个等价条件
这一部分是数一的考试重点，最近几年没涉及到，所以要重点关注。
有没有对级数感到过头大?
有没有感觉秩带着神秘的面纱?有没有醉倒在随机变量的世界里?有没有对数学说过爱你不容易?
在健康约束下挑战自己的极限,于种种束缚中求取人生的极值。用精勤求学减少梦想的随机性,把微小的片段积分成考研历程。
寻根究底为内功心法,融会贯通为制胜王道。学习似习武需循序渐进,复习如悟道须心无旁骛。
唯有穿越黑暗,人们不能到达黎明。为了心中梦想,勇敢与命运对决!
跨越的不只是考试,收获的也不仅是知识……
如何复习
考研数学的要求由考纲规定,由历年真题体现。通过对这两份权威资料的分析,不难得出考研数学对考生的要求可以用三个关键词概括:基础、方法和熟练。
基础指考研数学侧重基础。考生可任取一道真题,该题可能有一定难度,可能综合性较高,但分析后便会发现:其涉及的知识点都含在考纲内,且大部分为考生在大学课堂上学过的内容。所以考生在复习前期应打牢基础,在复习的中后期若感到某部分基础薄弱,也要及时弥补。
方法指考研数学并非单一考点的堆砌,而强调对考点的深入理解(纵向)和综合运用(横向)。以高等数学中“导数定义”这个考点为例,若仅熟悉教材中导数定义的表述是不足以应对真题的。真题出现的题型有“可导的等价条件”和“已知可导求极限”。考生需要在掌握导数定义的基础上,理解导数定义的推广式,方能应对这两种题。这说明考研数学要求考生对该考点理解到一定的深度。
再以线性代数“矩阵可逆”这个考点为例,若考生仅从矩阵可逆的定义去理解,那是远远不够的。因为n阶方阵A可逆有一系列的等价条件,如A的行列式非零,A的秩为n,A的行(列)向量组线性无关,以A为系数矩阵的齐次线性方程组仅有零解,A的特征值不含零等。可以说通过矩阵可逆的一系列等价条件可以把线性代数整个学科串起来。这就给了命题老师很大的发挥空间。事实上线性代数的真题经常“声东击西”:题目的条件是用矩阵表述的,解题却要从行列式,甚至线性方程组的角度考虑,体现出相当的综合性。
熟练无需赘述。3个小时,23道题,小题要求结果正确,大题在结果正确的基础上还要求写出完整步骤,没有相当的熟练度是不行的。
以上为考研数学的总体要求,那么具体到暑期应如何复习呢?
一般来说,建议考生把整个考研周期分成三个阶段:基础阶段、强化阶段和冲刺阶段。暑期前为基础阶段,暑期为强化阶段,暑期后至考研前为冲刺阶段。这三个阶段对应考研数学的三方面要求:基础阶段打牢基础。把考纲规定的考点“地毯式”地过一遍,做教材课后习题难度的题目。强化阶段归纳题型,总结方法。借助辅导书或老师讲解或自力更生,归纳历年真题题型,总结每种题型的处理方法,做每种题型对应的习题。冲刺阶段即通过真题和模拟题大量练习,以求熟练。
当然这是一般的规律,考生可参照此规律制定适合自己的复习计划,使自己达到考研数学的三方面要求即可。
弯路面面观
作为一名在教学一线奋战多年的教师,见证了笑脸背后的汗水,也希望后来者避开先行者的弯路。下面的种种弯路,踌躇满志的你是否已认清?(S:考生,T:笔者)
S:我基础还行,但对“方法”了解甚少。常拿到题没有思路,所以我要在暑期多看书,多听课……
T:什么时间做题?有多少时间做题?见了太多“纸上谈兵”的考生:听了很多课,也看了很多书,提起某种题型或方法都知道,但一动手做题就会出现这样那样的问题。这不就是考研战场的赵括吗?我常说一句话“多做题是考高分的必要条件”。听课看书对理解考点和熟悉题型有帮助,但代替不了做题。“纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行”说的也是这个理。
S:暑期到了,可我感觉自己基础不牢固,我要把课本从头到尾过一遍。
T:发现基础不牢,补基础是对的。不过到了暑期,再从头到尾过课本会有两个问题:1.时间是否来得及?2.是否课本的每个细节都要弄清才能进入强化阶段复习?暑期约一个半月的时间,多数同学在熟悉真题题型,若此时再全面复习基础内容,那必然会挤压或推后强化阶段的复习时间,从而造成被动。此外,普研数学(数一、数二、数三)偏重计算,证明题有,但不多。有效的复习应针对考试特点进行。如极限的复习应以计算为主,教材中用极限定义证明极限存在的内容不必关注。若考生已有一定基础,想补基础,可以针对某个知识点或某块内容,查找相关内容,避免因“完美主义”而过久地停留在基础阶段。
S:有些题型总没有把握,如用夹逼定理解题和一些积分计算。
T:用夹逼定理算极限会用到放缩,技巧性比较强。此外一些辅导资料上的积分计算题也属“偏难怪”。而技巧性太强的题目永远不会成为考研的重点。故考生应把主要精力放在通性通法上。
S:暑期做了一本辅导资料上的题,感觉很受打击,是我的水平不够还是题太难?
T:《射雕英雄传》各位都不陌生。“黑风双煞”当年也是有志青年,不过偷练了“九阴真经”后便步入了邪门左道。抛开江湖道义不论,单就练功而言,悲剧的诞生跟两位有志青年选择了一本不适合他们的书有关。事异理同。假设你基础一般,并在暑期做了“660题”(考研圈流传较广的一本书),会有两种结果:不是你伤害了它,就是它伤害了你。你解题受挫后,到处散播“660题”的坏话,这不是你伤害了它吗?与此同时,本来踌躇满志的你也受到了前所未有的打击,此后无心复习,这不是它伤害了你吗?所以,暑期复习选择适合自己的资料也不是小事。就考研圈流传较广的两本“宝典”——“复习全书”和“660题”而言,前者适合基础较好的考生暑期用,而后者适合已稳拿110分的考生冲刺阶段冲刺高分用。
关键词： 考研数学 试卷结构 命题规律
一、试卷结构分析
整套试卷满分150分，考试时间180分钟。
1.数学一和数学三试卷中高等数学占56%，分数值约为82分，线性代数占22%，分数值约为34分，概率论与数理统计占22%，分数值约为34分。试卷结构为单选题8个，填空题6个，大题9个。数学一和数学三试卷的8道选择题中，1至4题考查高等数学知识点，5至6题考查线性代数知识点，7至8题考查概率论与数理统计知识点，6道填空题中9至12题考查高等数学知识点，13题考查线性代数知识点，14题考查概率论与数理统计知识点，9道解答题中，15至19题考查高等数学知识点，20至21题考查线性代数知识点，22至23题考查概率论与数理统计知识点。
2.数学二试卷中高等数学占78%，分数值约为116分，概率论与数理统计占22%，分数值约为34分。试卷结构为单选题8个，填空题6个，大题9个。数学二试卷中没有概率论相关知识点的考查，直接是选择题1至6题考查高等数学知识点，7至8题考查线性代数知识点，填空题9至13题考查高等数学知识点，14题考查线性代数知识点，解答题15至21题考查高等数学知识点，22至23题考查线性代数知识点。
二、题型分析
1.选择题：主要考查中等难度的题目，考查考生对基本原理、基本概念、基本方法的掌握，一般运算量较小，像等价无穷小、二重积分的对称性、积分上限函数的图像、过渡矩阵、伴随矩阵、随机变量的数字特征、分布函数等问题，只要掌握基本概念和性质就能解决；考查简单的逻辑思维，比如简单的逻辑证明的题目。这部分内容只要基本功扎实，那么顺利拿下不成问题。
2.填空题：基本考查中等和低等难度的题目，考查考生对基本原理、基本概念、基本方法的掌握，有可能考查在大纲中考查频率小的知识点，另外填空题一般考查的内容非常基础，需要进行有一定技巧的计算，但不会有太复杂的计算题，题目难度与选择题不相上下。
3.大题：主要考查中等难度和高难度的试题，以下列四种类型为主：计算题、证明题、应用题（几何应用、物理应用、经济应用）、综合题。这一类题目涉及的知识点较多，也多为几种知识点的综合。主要考查综合运用数学知识的能力、逻辑推理能力、空间想象能力和解决实际问题的能力。这些题目一般都会有多种解题方法和证明思路，有些甚至有初等解法。每题的分值与完成该题所花费的时间与考核目标有关。综合性较强的试题、推理过程较多的试题和应用性的试题分值较高，基本计算题、常规性试题和简单应用题的分值较低。大题属主观题，其答案有时并不唯一，这就要求考生不仅要能处理一个题目，更要能看到出题人的考核意图，并能选择合适的方法解答。
三、命题规律研究
1.重视基础知识的考查。从数学考试大纲的考试要求来看，要求考生比较系统地理解数学的基本概念、基本理论，掌握数学的基本方法，这个要求也是命题人的基本出发点；从近几年考研真题来看，对基础知识的考查越来越多，占的分值也越来越大。如果只从试卷的表面来看，似乎只是通过第一大题单选题及第二大题填空题考核基础概念和理论，但事实并不如此，后面的计算题和证明题如果没有基础做前提，这里的分数就还是拿不到。所以抓住基础，就抓住了重点。
2.知识点考查的要求既源于教材又高于教材。虽然考纲规定不以某一教材为依据，但试题涉及的内容在高等教育出版社出版的教材中均有涉及，甚至有的试题就出自教材，如拉格朗日中值定理的证明。但试卷中题目的难度往往大于教材中题目的难度，并且对解题方法的要求呈现多样化。
3.重视综合能力的考查。近几年，综合能力的考查不但出现在大的计算题中，而且在单选题和填空题中也会出现不少综合考查题，往往每道题都是以两个或者两个以上的知识点整合，再通过一两次的变形而来的，所以综合题的解题能力能否提高，关系到考生的数学能否考高分。
4.重视分析问题和解决问题能力的考查。很多题目涉及数学的基础知识，但考生仅靠死背硬套是做不出来的，只有理解了数学的理论和方法才能正确作答。考经济类的考生，要把微积分在经济中的运用方法抓住并牢固把握解题思路；考理工类的考生在这方面比较难，每年几乎都会有一道应用题，考查考生通过所学知识，建立数学模型（微分方程）及解微分方程的能力。这里涉及的知识面比较宽广，要求解题方法高效、技巧比较高。
5.重视熟练解题的能力。一套试卷由23道题构成，需用180分钟完成，如果不能熟练的解题，时间上肯定就是不够的。从历年的真题来看，试卷的运算量是比较大的，要想提高解题速度，一定要把基础打得非常扎实；再者，应该做有心人，把常见的一些公式的运算结果记住，这样在考试的时候，就可以减少中间的运算过程；另外，熟练掌握常见的变量替换及常见的辅助函数的构造，也可以减少思考和分析的过程，以节省时间。
参考文献：
[1]同济大学应用数学系编.高等数学（第六版）.高等教育出版社.
复习备考的主要策略：紧扣考纲，扎实基础，注重联系，加强训练。
本文万学海文辅导老师们主要阐述如何在复习当中紧扣考纲。考研数学作为标准化考试，其命题范围有明确的规定，2012年考生基础阶段复习主要就是依据考试大纲，详细了解考试的基本要求，类别和难度特点，准确定位。我们以数一中第一章为例：
一、函数、极限、连续
考试内容
函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立
数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限:
函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
考试要求
1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.6.掌握极限的性质及四则运算法则.7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.考试内容中给考生列出了第一章的考试知识点，所以考生在复习过程中首先要弄懂这些知识点。考试要求中标明了对各个知识点的掌握所应该能够达到的程度，一般分为了解、理解、会、掌握，几个层次。
了解：指对该知识点的含义要很清楚，一般在数学中指的是概念、公式、性质、定理及推论等知识内容。比如：了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性等。
但是并不是说了解的内容就只是了解这些性质，知道这些知识点就行了，有人错误的认为了解的知识一般不会考，这种认识是错误的，只要是在考试大纲中出现的考试内容都有可能考到，甚至对要求了解的知识点考的也比较深入。
理解：指要对知识点懂且认识的很清楚。在考研数学当中主要指对概念、定理、推理的知识点及知识点之间的关系。在这里万学海文辅导老师提醒2012年得考生要注意了解和理解的区别，了解偏重于知道，理解在了解的基础上增加了懂得和能够体会其深层次的意思;理解也就是从表到里深层递进的含义。在考研数学大纲中要求理解的知识点考查的较多，比如：理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系等几乎每年必考.会(求、计算、建立、应用、判断等)：其含义为理解、懂得，并根据所学知识能够计算表达式结果、列出方程、画出图形、建立数学模型等。在考研数学大纲中对知识点要求会求、会计算、会建立方程表达式、会描绘等，主要指计算方法、知识点的灵活运用测试的要求;万学海文数学辅导老师提醒大家学习时不仅要记住、理解定理还要会推导，才达到会求解的程度。
掌握：了解、熟知并加以运用。在考研数学大纲中所有知识点的要求中掌握的层次是最高的，要求掌握的知识点往往是考试的重点、热点和难点，比如：掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法等都是每年真题中涉及的内容;万学海文建议2012年得考生在学习时对于大纲要求掌握的知识点不仅要掌握知识点本身还要学习它的推理、证明以及解题时经常用到的结论，同时还要注意与该知识点相关联的知识点及它们之间的关系。
来源：智阅网
高等数学是考研数学三中很重要的学科，所以，就让大家一起来了解一下高等数学的常考知识点吧！
1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。
2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。
3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。
4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
一、几个易混概念：连续，可导，存在原函数，可积，可微，偏导数存在他们之间的关系式怎么样的?存在极限，导函数连续，左连续，右连续，左极限，右极限，左导数，右导数，导函数的左极限，导函数的右极限。
二、罗尔定理：设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续(其中a不等于b)，在开区间(a，b)上可导，且f(a)=f(b)，那么至少存在一点ξ∈(a、b)，使得f‘(ξ)=0。罗尔定理是以法国数学家罗尔的名字命名的。罗尔定理的三个已知条件的意义，①f(x)在[a，b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线;②f(x)在内(a，b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在;③f(a)=f(b)表明曲线的割线(直线AB)平行于x轴;罗尔定理的结论的直几何意义是：在(a，b)内至少能找到一点ξ，使f’(ξ)=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB，与x轴平行。
三、.泰勒公式展开的应用专题：相信很多同学看到泰勒公式就哆嗦，因为咋一看很长很恐怖，瞬间大脑空白，身体失重的感觉。其实在我搞明白一下几点后，原来的症状就没有了。1.什么情况下要进行泰勒展开;2.以哪一点为中心进行展开;3.把谁展开;4.展开到几阶?
四、应用多次中值定理的专题：大部分的考研题，一般要考察你应用多次中值定理，最重要的就是要培养自己对这种题目的敏感度，要很快反映老师出这题考哪几个中值定理，我的敏感性是靠自己多练习综合题培养出来的。我会经常会去复习，那样我对中值定理的题目早已没有那种刚学高数时的害怕之极。要想对微分中值定理这块的题目有条理的掌握，看我这个总结定会事半功倍的。
五、对称性，轮换性，奇偶性在积分(重积分，线，面积分)中的综合应用：这几乎每年必考，要么小题中考，要么大题中要用，这是必须掌握的知识，但是往往不是那么容易就靠做3，4个题目就能了解这知识点的应用到底有多广泛。我们做积分题，尤其多重积分和线面积分，死算也许能算出结果，但是要是能用以上性质，那可真是三下五除二搞定，这方面的感觉相信大家有过，可是或许仅仅是昙花一现，因为你做出来了以为以后就一定会在相似的题目中用，其实不然，因为仅仅靠几道题目很大程度上不能给你留下太深刻的印象，下次轮到的时候或许就是考场上了，你可能顿时苦思冥想，最终还是选择了最傻的办法，浪费了宝贵时间。说这些其实就是说明，考场上的正常或超常发挥是建立在平时踏实做，见识广，严要求的基础上。
1. 使用等价无穷小和罗比达法则的问题
可以说等价无穷小+罗比达法则=考研数学求极限的法宝.如果能把等价无穷小和罗比达法则结合起来, 那么大部分求极限问题即可迎刃而解, 不妨举几个例题详细分析一下
例1 (2009年数一, 1) 当x→0时, %f (x) =x-sinax与g (x) =x2ln (1-bx) 等价无穷小, 则 ( )
答案A
∴a3=-6b, 故排除B, C
另外, 存在, 说明了当x→0时, 1-acosax→0, 所以a=1, 所以本题选A。
例2 (2007数一1) 当x→0+时, 与等价的无穷小量是 ( )
由于本题考查的是等价无穷小, 根据定义, 只需要将两个无穷小进行商运算就可以, 所以我们将四个选项中的变量直接进行等价无穷小替换, 替换结果如下:
如果ACD这三项能替换出来即可用排除法选出正确答案B, 下面我们验证一下该选项,
例3 (2008数一, 15) 求极限
本解法最后一次使用罗比达法则时也可以使用等价无穷小替换,
另外本题使用变量替换也很简单
此外本题的第三种解法也比较有新意
第三种解法中使用了微分中值定理。而它的第四种解法是大部分学生不愿意使用却也比较有效的方法:泰勒展开式。
例5 (1999数一1) , 这两道题直接用等价无穷小代换就能得出正确的结论, 在此就不再一样赘述了。这几个例题出现在不同的年份, 但是除了系数不同和题型不同之外, 解法几乎是完全一样的。由此可见在求极限中等价无穷小和罗比达法则的重要性。
2. 利用求解的极限问题
例5 (2003数一1)
A.1B.eC.ea-bD.eb-a
因此答案为C.还有今年考研的一道计算题。
这样的解法提示我们, 在求极限之前一定要看好给出的表达式是什么类型的, 选择正确的方法能起到事半功倍的效果。
3. 其他问题。还有些问题虽然没有直接让我们求极限, 但是在求解过程中就是求极限问题的应用。比方说下面的例题。
例9 (2005数一1) 曲线的斜渐近线方程为______.
所以直线方程为
综上所述, 在备考研究生入学考试时复习数学的时候, 对求极限问题重点应该放在两个重要极限、等价无穷小和罗比达法则上, 可以说掌握了这三个基本知识点并能灵活运用, 那么在考研数学中, 求极限问题必然能够正确且迅速的解决。
参考文献
[1]同济大学数学系.高等数学 (同济六版) [M].北京:高等教育出版社, 2007, (6) .
[2]陈文灯, 黄先开, 曹显兵, 潘正义.2012考研数学复习指南[M].世界图书出版公司, 2011, (5) .
1.因式分解的定义
把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。
2.因式分解的方法
初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法、求根公式法、换元法等。
初中所学习的因式分解方法是针对形如x2+（p+q）x+pq这样的二次项系数为1的二次三项式，注意在x2+（p+q）x+pq中x的可以是一个字母，也可以是一个单项式、多项式。与初中相比，只是常数项还含有字母，方法都是一样的。
十字相乘法在解题时是一个很好用的方法，也很简单。这种方法有两种情况：
（1）x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）。
（2）kx2+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=（ax+c）（bx+d）。
二、不等关系与不等式的初高中衔接
1.不等式的定义
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号＞、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式。
2.不等式的性质
（1）对称性：a＞b?圳b＜a
（2）传递性：a＞b，b＞c?圳a＞c
（3）可加性：a＞b?圳a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d?圯a＋c＞b＋d；
（4）可乘性：a＞b，c＞0?圯ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0?圯ac＞bd
（5）可乘方：a＞b＞0?圯an＞bn（n∈N，n≥2）
（6）可开方：a＞b＞0?圯■＞■（n∈N，n≥2）
3.两条常用性质
（1）倒数性质：若a＞b，ab＞0?圯■＜■；若a＜0＜b?圯■＜■；若a＞b＞0,0＜c＜d?圯■＞■；若0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?圯■＜■＜■。
（2）若a＞b＞0，m＞0，则①真分数的性质：■＜■；■＞■（b－m＞0）；②假分数的性质：■＞■；■＜■（b－m＞0）。
三、一元二次不等式解法的初高中衔接
1.一元二次不等式
一元二次不等式经过变形，标准形式：①ax2+bx+c＞0（a＞0）；②ax2+bx+c＜0（a＞0）。
2.一元二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的关系
一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值为零时对应的x值，一元二次不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于零或小于零时x的取值范围，因此解一元二次方程ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0一般要画与之对应的二次函数y=ax2+bx+c的图像。
3.一元二次不等式解法步骤
（1）化简（将不等式化为不等号右边为0，左边的最高次项系数为正）
（2）首先考虑分解因式；不易分解则判断，当时解方程（利用求根公式）
（3）画图写解集（能取的根打实心点，不能去的打空心）
四、绝对值不等式的初高中衔接
初中知识回顾：
1.含绝对值不等式的解法（关键是去掉绝对值）
（1）利用绝对值的定义：（零点分段法）
|x|= x x≥0-x x<0
（2）利用绝对值的几何意义：|x|表示x到原点的距离。
2.知识拓展
（1）|ax+b|>c(c>0)或|ax+b| （3）|f(x)|>|g(x)|或|f(x)|<|g(x)|的解法：|f(x)|>|g(x)|?圳f2(x)>g2(x)|f(x)|<|g(x)|?圳f2(x) （4）|x-a|±|x-b|的几何意义：数轴上的动点x到两个定点a,b的距离之和（差）。 主要方法：解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式进行求解。 2018年考研经济类联考数学必备知识点 整理 很多参加考研的考生对于数学三想必都不陌生，也了解经济类联考数学比数学三简单，但却不知道经济类联考数学考什么，所以凯程考研将经济类联考数学必考34点列举如下，供考生们参考。 正所谓知己知彼，百战不殆，在列举考点之前，同学们先看一下经济类联考数学试题特点： 1、重基础：396经济类联考考题共70分，其中选择题10个，解答题10个;题目中80%的题目都是基础题，约占15个左右;所以要求考生对考研数学中的基本概念、基本理论、基本方法要非常熟悉。 2、知识面广：396经济类联考自2011年联考以来，时间不长，知识点还没有完全覆盖;所以对于考试大纲规定的考试范围内的，但试卷中还没有出现过的那部分内容，大家要尤为重视，它们可能作为未来考试中的考点出现。 3、重计算：396经济类联考的历年考试题目中还没有出现过考查证明题的，都是计算题，所以对考生的计算能力、计算的准确性、计算的方法要求较高，希望大家着重这方面的训练。 必考点： (一)微积分 1、函数、极限、连续 (1)求复合函数的定义域; (2)求函数表达式; (3)无穷小阶的比较; (4)利用等价无穷小替换、两个重要极限求极限; (5)求幂指函数的极限; (6)利用洛必达法则求极限; (7)分段函数在分段点处的连续性; (8)判断间断点类型; 2、导数与微分 (1)利用导数的四则运算法则、复合函数求导法则求导数与微分; (2)求分段函数在分段点处的导数; (3)一元函数隐函数求导; (4)一元函数的单调区间、极值、凹凸性、拐点、渐近线; (5)导数的经济应用; 3、一元函数积分学 (1)利用换元法与分部积分法计算不定积分; (2)利用换元法与分部积分法计算定积分; (3)变限积分求导; (4)定积分的几何应用; 4、多元函数微分学 凯程考研，为学员服务，为学生引路！ (1)求二元函数的一阶偏导数; (2)求二元函数的全微分;(3)二元函数隐函数的求导。(二)线性代数 1、行列式和矩阵 (1)矩阵的基本运算; (2)伴随矩阵的求法; (3)逆矩阵的求法。 2、向量与方程组 (1)向量组的线性相关性的判断; (2)向量组的线性表示; (3)求齐次方程组的通解; (4)求非齐次方程组的通解。 (三)概率论与数理统计 1、随机变量及常见分布 (1)利用分布函数、分布律以及概率密度函数的充分必要条件求未知参数; (2)已知分布函数求任一事件的概率; (3)常见八大分布 2、随机变量的数字特征 (1)利用定义或公式计算期望、方差; (2)利用性质计算期望、方差; (3)常见分布的期望与方差; 一、正确基础知识考察比例相当大 首先就要注意变通。考生在复习时要重视对数学理论的理解，不要在某些考研数学辅导书的误导下片面追求解题技巧和思维定势。如今年考查的微分中值定理，就是教材上的一个定理，选择题和部分填空题也是考查基本概念和基本原理，基础知识的考查占有相当大的比例，切不可开始就看复习资料而放弃课本的复习。去年部分题目涉及对概念的正确理解，暗含使考生可能误入歧途的干扰因素，题目的设计都很巧妙，数字及过程都不繁琐，关键性的几个转弯之后就会柳暗花明。这显示出命题人对题目的用尽心思，也为复习备考者指明复习中应避免出现陷入复杂计算的困境，节约时间在更重要的知识网络的架构及能力的培养上。中公考研名师提醒考生，在考研数学的备考过程中，其次要注意基础，注重基本概念、基本原理的理解，弄懂、弄通教材，打一个坚实的数学基础，书本上每一个概念、每一个原理都要理解到位。 二、理论联系实际学以致用 大家在复习时一定要让自己学以致用，并且能灵活应用。中公考研名师提醒考生，在复习过程中，要注重公式的记忆，方法的掌握和应用。填空题部分和一部分大题难度不大，需要能够理解原理，熟悉公式，灵活运用方法。基础复习阶段非常重要，只要掌握好基础，不管考查什么内容都可以做到游刃有余。同时，在备考过程中还要注意联系实际。注重综合问题、实际问题，这部分内容是强化阶段重点关注的问题和需要培养的能力，需要大家练习一定量的问题，以达到巩固概念方法和原理、提高所学知识解决问题能力的目的。相信只要大家能够按照正确的方法备考，并把理论与实际相结合，这样才能保证自己的数学成绩不断稳步提升。 最后，中公考研名师祝大家备考顺利，2015考出自己满意的成绩！ 关键词：高数,考研,函数极值最值 函数的极值和最值是函数的重要性质，在实际中有着重要的应用，许多实际问题最终都归结为函数极值或最值问题，并且研究生《高等数学考试大纲》也对求函数的极值和最值这部分要求比较高。所以从2001年到2009年的研究生高等数学入学考试试卷中几乎都出现了这部分的试题。2001年到2009年考题中函数最值和极值的题型主要有一元函数的极值最值、二元函数的极值最值、条件极值问题，以及函数的极值最值的应用题。笔者在此以考研函数的极值和最值问题为例，详细论述了解决这类问题的方法。 一、一元函数的极值和最值 1. 求极值方法 定理1(极值的第一充分条件)：设函数f (x)在点x0的某邻域内连续且可导(导数f′(x0)也可不存在)， (3)如果在点x0的邻域内，f′(x)不变号，则x0不是f (x)的极值点。 如果函数在某驻点具有二阶导数，也可用极值的第二充分条件判断。 求极值的步骤如下： (1) 求函数f (x)的定义域，并求导数f′(x); (2) 求驻点和不可导的点; (3) 利用定理1确定函数的极值点; (4) 求出各极值点的函数值，得到函数的极值。 2. 求最值的方法 求函数的最值的一般步骤为： (1) 求函数的导数，求出驻点，并求出不可导的点; (2) 求出第 (1) 步所得各点的函数值和该函数定义域端点处的函数值; (3) 比较以上各函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值。 例1.(1988年考研题)设y=f (x)是方程y″-2y′+4y=0的一个解，且f (x0)>0, f′(x0)=0，则函数f (x)在x0点处()。 A.取得极大值 B.取得极小值 C.某邻域内单调递增 D.某邻域内单调减少 分析：从表面看此题是微分方程的问题，如果从微分方程入手，那就步入误区。从结论看是极值问题。因为y″-2y′+4y=0，所以f″(x0)-2f′(x0)+4f (x0)=0，且f′(x0)=0, f (x0)>0，那么f″(x0)=2f′(x0)-4f (x0)=-4f (x0)<0由极值第二充分条件可知f (x)在x0取得极大值。选(A)。 例2.(2009年数2考研题)函数y=x2x在区间(0, 1]上的最小值为%%%%。 解： (1) 先求驻点。 二、求多元函数的极值和最值 1. 求多元函数的极值的方法 定理2：设函数z=(x1, x2，…，xn)在p0点具有直到二阶的连续偏导数，且p0点是函数的稳定点，函数在p0点的Hessian矩阵为： (1) 若H (p0) 为正定的, 则f在p0取得极小值; (2) 若H (p0) 为负定的, 则f在p0取得极大值; (3) 若H (p0) 为不定的, 则f在p0无极值。 定理3(二元函数极值充分条件)：设函数z=f (x, y)在(x0, y0)点具有直到二阶的连续偏导数，且(x0, y0)点是函数的稳定点，令A=f″xx (x0, y0), B=f″xy (x0, y0), C=f″yy (x0, y0)。 (1)若AC-B2>0, A>0，则f在(x0, y0)取得极小值f (x0, y0);若AC-B2>0, A<0，则f在(x0, y0)取得极大值f (x0, y0); (2) AC-B2<0, 则f在 (x0, y0) 出无极值; (3) 若AC-B2=0, 则不能判断。 2. 求多元函数最值的方法 求函数的最值的一般步骤为： (1) 求函数所有驻点和至少有一个偏导数存在的点的函数值; (2) 求函数定义域的边界上的最大值和最小值; (3) 比较以上各函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值。 例3.(2009年数1考研题)求二元函数f (x, y)=x2 (2+y2)+ylny的极值。 解：先求函数的驻点，解方程组： 由于(下面利用定理3判断)A=f″xx (x, y)=2 (2+y2), B=f″xy (x, y)=4xy, ，于是： 例4. (2005年数4考研题) 求f (x, y) =x2-y2+2在椭圆域上的最大值和最小值。 分析：f (x, y)在椭圆域上的最大值和最小值，可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到。因此 (1) 求驻点及其函数值; (2) 求边界上的极值。 f″f′解：求函数的驻点。解方程组，得驻点(0, 0)，且f (0, 0)=2。 求函数在边界上的极值 (有下面的三种方法) 。 方法1:条件极值法。令拉格朗日函数为: 4解:F′x=鄣f鄣x+2λx=2 (1+λ) x=0F′y=鄣f鄣y+λy2=-2y+12λy=0F′λ=x2+y24-1=鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣0得可能极值点x=0, y=2, λ=4;x=0, y=-2, λ=4;x=1, y=0, λ=-1;x=-1, y=0, λ=-1。代入f (x, y) 得f (0, ±2) =-2, f (±1, 0) =3, 可见z=f (x, y) 在区域D={ (x, y) |x2+y24≤1}内的最大值为3, 最小值为-2。 方法2:三角换元法。令x=cost, y=2sint, 则: 当t=kπ时, 即x=±1, y=0时, f (x, y) 在边界上取得极大值f (±1, 0) =3。 当时，即x=0, y=±2时，f (x, y)在边界上取得极小值f (0，±2)=-2。 可见z=f (x, y)在区域内的最大值为3，最小值为-2。 方法3：代入法。即y2=4-4x2代入f (x, y)中得f (x, y)=5x2-2，转化为一元函数求极值(略)。 三、条件极值问题 条件极值问题：在Gk (x1, x2，…，xn)=0 (k=1, 2，…，m.m 拉格朗日乘数法是在求多元函数条件极值中最常用的一种方法，下面具体地来看看这种方法。 若f (x1, x2, …, xn) 及Gk (x1, x2, …, xn) =0 (k=1, 2, …, m.m 步骤： (1) 构造拉格朗日函数： (2) 解方程组 例5.(2008年数2考研题)求函数u=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值和最小值。 解：(本题求多元函数的条件最值，利用拉格朗日乘数法求解) 拉格朗日函数为： 驻点P1(-2，-2, 8), P2 (1, 1, 2)。 故所求的最大值为72，最小值为6。 以上以最近几年的硕士研究生入学试题为例探讨了函数极值和最值求解的主要方法。 参考文献 [1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社, 1993. [2]吴赣章.高等数学 (上、下) [M].中国人民大学出版社, 2006. [3]张秀芳.多元函数条件极值的解法探讨[J].安徽电子信息职业技术学院学报, 2009, (3) . 1.1926年前后，《中国社会各阶级的分析》《湖南农民运动考察报告》，形成了新民主主义革命的基本思想。 2.1928年10月和11月，《中国的红色政权为什么能够存在？》《井冈山的斗争》，提出“工农武装割据”的思想。 3.1930年1月，《星星之火，可以燎原》，初步形成了以乡村为中心、先在农村建立和发展红色政权，待条件成熟时再夺取全国政权的思想。农村包围城市、武装夺取政权理论的提出，标志着中国化的马克思主义即毛泽东思想的初步形成。 4.1930年5月，《反对本本主义》，针对普遍存在的教条主义，指出“本本主义”是错误的，初步界定了中国共产党人思想路线的基本含义。阐述了作为毛泽东思想活的灵魂的实事求是、群众路线、独立自主的基本思想。 5.1937年，《实践论》《矛盾论》，对党的思想路线做了系统的哲学论证，主要为了克服教条主义。 6.1938年5、6月，《论持久战》，阐明持久抗战的总方针。 7.1938年六届六中全会，《论新阶段》，最先提出“马克思主义中国化”的命题。 8.1938年11月，《战争和战略问题》，明确指出“共产党的任务，基本地不是经过长期合法斗争以进入起义和战争，也不是先占城市后取乡村，而是走相反的道路”。 9.1939年，《中国革命和中国共产党》，第一次提出新民主主义革命的科学概念和总路线的内容。 10.1939年，《<共产党人>发刊词》，提出“马克思主义的理论和中国革命实践相结合”，标志着实事求是思想路线已经形成。总结了中国革命两次胜利和两次失败的经验教训，揭示了中国革命发展的客观规律，首次明确指出“统一战线、武装斗争、党的建设是中国共产党在中国革命中战胜敌人的三大法宝”。 11.1940年，《新民主主义论》，阐述了新民主主义的基本纲领，包括政治、经济、文化纲领。 12.1941年5月至1942年2月，《改造我们的学习》《整顿党的作风》《反对党八股》，成为延安整风的指导性文献。 13.1941年5月，《改造我们的学习》，对“实事求是”做了马克思主义的界定。 14.1945年，中共七大上《论联合政府》，进一步把新民主主义的政治、经济、文化与党的基本纲领联系起来，进行了具体阐述。 15.1947年12月，《目前形势和我们的任务》，第一次将当前阶段的经济纲领概括为新民主主义的三大经济纲领：没收封建地主阶级的土地归农民所有，没收官僚资产阶级的垄断资本归新民主主义的国家所有，保护民族工商业。 16.1948年，《在晋绥干部会议上的讲话》，对新民主主义革命总路线作了完整的概括，即无产阶级领导的，人民大众的，反对帝国主义、封建主义和官僚资本主义的革命。对土地改革的总路线作了完整的概括，即依靠贫雇农，团结中农，有步骤、有分别地消灭封建剥削制度，发展农业生产。 17.抗战胜利后，《论人民民主专政》《在中国共产党第七届中央委员会第二次全体会议上的报告》，完整表述新民主主义革命的总路线。 18.1949年，《论人民民主专政》，对新民主主义革命的基本经验作了集中概括。 19.1956年4月，《论十大关系》，深刻阐述了正确处理经济建设和社会发展中的一系列重大关系。是以毛泽东为代表的中国共产党人开始探索中国社会主义建设道路的标志。为 中共八大的召开作了理论准备。 20.1957年2月，《关于正确处理人民内部矛盾的问题》，创造性地提出了社会主义社会基 本矛盾和两类矛盾的学说，强调了严格区分和正确处理两类不同性质的矛盾，特别是要正确处理人民内部矛盾等重要思想。 各种会议 1.1921年7月23日，中共一大，宣告中国共产党成立，选举产生陈独秀、张国焘、李达 组成的党的领导机构——中央局，陈独秀为书记。讨论实际工作计划时，决定首先集中精力组织工人。 2.1922年7月，中共二大，明确提出党在民主革命时期的纲领。最高纲领：实现社会主 义、共产主义。当前纲领：打倒军阀；推翻国际帝国主义的压迫；统一中国为真正民主共和国。 3.1923年6月，中共三大，提出建立国共合作统一战线的思想，全体共产党员以个人名 义加入国民党。 4.1924年1月，国民党一大，对三民主义作出新的解释，新三民主义成为国共合作的政 治基础。确定了联俄、联共、扶助农工三大革命政策。国民党一大标志着第一次国共合作的正式形成。 5.1925年1月，中共四大，第一次明确提出了坚持无产阶级领导权和农民同盟军的思想。 6.1927年8月7日，八七会议，确定了土地革命和武装反抗国民党的总方针，选出了以 瞿秋白为书记的中央临时政治局，毛泽东作出“须知政权是由枪杆子中取得的”著名论断。 7.1931年11月，中华苏维埃第一次全国代表大会，成立中华苏维埃共和国临时中央政府，毛泽东当选为中央执行委员会主席。 8.1935年1月，遵义会议，解决军事问题和组织问题，确立了毛泽东在全党的实际领导 地位，开始从理论上系统总结中国革命的历史经验。标志着中国共产党在政治上从幼年达到了成熟。 9.1935年12月，瓦窑堡会议，阐明抗日民族统一战线的新政策。 10.1937年8月，洛川会议，指定了抗日救国十大纲领，是全面抗战路线的具体体现，强 调要打倒日本帝国主义，关键在于使已经发动的抗战成为全面的全民族的抗战。 11.1938年9月至11月，六届六中全会，毛泽东作《论新阶段》报告，最先提出“马克思 主义中国化”的命题。 12.1939年1月，国民党五届五中全会，决定成立“防共委员会”，确定了“溶共、防共、限共、反共”的方针，标志国民党从片面抗战转变为消极抗战。 13.1945年4月，中共七大，刘少奇作关于修改党章的报告，进一步从理论上阐述马克思 主义中国化思想，通过的党章指出，毛泽东思想是马克思主义中国化的第一个重大理论成果，是“中国化的马克思主义”，正式命名为“毛泽东思想”，把毛泽东思想确立为党的指导思想。 14.1949年3月，七届二中全会，明确提出执政党建设的思想，即“两个务必”的思想： 务必使同志们继续地保持谦虚、谨慎、不骄、不躁的作风，务必使同志们继续地保持艰苦奋斗的作风。 15.1949年9月21日，中国人民政治协商会议第一届全体会议，通过《中国人民政治协商 会议共同纲领》，在当时是全国人民的大宪章，起着临时宪法的作用。七届二中全会的决议和毛泽东的《论人民民主专政》构成了《共同纲领》的基础。 16.1950年6月，七届三中全会，确定当时全党和全国人民的中心任务是要在三年左右的时间内，争取国家财政经济状况的基本好转。会议制订了党在建国初期的战略策略方针，就是不要四面出击。着重抓了四方面的工作：完成民主革命的遗留任务；领导国民经济恢复工作；巩固民族独立，维护国家主权和安全；加强中国共产党的自身建设。 17.1956年9月，中共八大，正确分析了社会主义改造完成后中国社会的主要矛盾和主要 任务。主要矛盾是人民对于经济文化迅速发展的需要同当前经济文化不能满足人民需要的状况之间的矛盾。经济建设上坚持既反保守又反冒进即在综合平衡中稳步前进的方针。陈云提出“三个主体、三个补充”思想。 18.1958年11月到1959年4月，第一次郑州会议、中共中央政治局会议（武昌会议）、八 届六中全会、第二次郑州会议（中共中央政治局扩大会议）、中共中央政治局扩大会议（上海会议）、八届七中全会等，主要是纠正围绕生产关系方面的急于过渡和在经济建设方面的急于求成的问题，起到了一定的遏制作用，但是在坚持“三面红旗”的前提下进行的，因此带有局限性。 19.1959年7月2日至8月1日，庐山会议，出发点是统一全党认识，巩固纠“左”成果。 20.1959年8月2日至16日，八届八中全会，全党范围展开反右倾斗争。 21.1961年1月，八届九中全会，对国民经济实行“调整、巩固、充实、提高”的八字方 针。 22.1962年1、2月，“七千人大会”，毛泽东带头做自我批评，恢复和发扬了党内的民主精 神和自我批评精神，在三年调整时期具有关键性的作用。 23.1964年底到1965年初，第三届全国人民代表大会（一次会议），提出“四个现代化”的宏伟目标。 24.1978年12月，十一届三中全会，重新确立了实事求是的思想路线，纠正“文化大革命” 及其以前的“左”倾错误，批判“两个凡是”的错误方针。做出了把党和国家的工作中心转移到经济建设上来，实行改革开放的历史性决策。 25.1979年4月，中共中央工作会议，决定对国民经济实行“调整、改革、整顿、提高”的新八字方针。 26.1979年9月，十一届四中全会，通过了《关于加快农业发展若干问题的决定》。 27.1981年6月，十一届六中全会，《关于建国以来党的若干历史问题的决议》，对毛泽东 和毛泽东思想的历史地位做出了科学客观的评价。标志着党和国家在指导思想上拨乱反正的胜利完成。并且第一次提出我国社会主义制度还处于初级的阶段。 28.1982年9月，中共十二大，第一次明确提出建设有中国特色的社会主义的命题。 29.1987年10月，中共十三大，中心任务是加快和深化改革，概括了社会主义初级阶段和 党的基本路线的理论，构成了建设有中国特色社会主义理论的轮廓。 30.1992年1月18日至2月21日，邓小平南方谈话，主要内容：计划和市场都是经济手 段，阐明了社会主义本质，提出“发展才是硬道理”，提出“三个有利于”标准，强调加强党的建设，关于社会主义初级阶段的长期性和前途。 31.1992年10月12日至18日，中共十四大，明确以建立社会主义市场经济体制为我国经 济体制改革的目标，确立了邓小平建设有中国特色社会主义理论在全党的指导地位，概括了有中国特色社会主义理论的主要内容。以南方谈话和十四大为标志，邓小平理论形成体系，我国社会主义改革开放和现代化建设进入了新的发展阶段。 32.1993年11月，十四届三中全会，通过了《关于建立社会主义市场经济体制若干问题的决定》。 33.1997年9月，中共十五大，三项内容：一是抓住机遇，开拓进取。二是指出马列主义 和中国实际相结合的第二次飞跃的理论成果是建设有中国特色社会主义理论，称为邓小 34.35.36.37.38.39.40.41.42.43.平理论，正式确立邓小平理论为党的指导思想，并写入党章。三是确立党在社会主义初级阶段的基本纲领。1998年10月，十五届三中全会，通过了《关于农业和农村工作若干重大问题的决定》。1999年9月，十五届四中全会，通过了《关于国有企业改革和发展若干重大问题的决定》。2000年2月，江泽民广东考察，第一次提出“三个代表”的要求。2001年7月，江泽民庆祝建党80周年大会讲话，全面阐述了“三个代表”的科学内涵和基本内容。2002年11月，中共十六大，把“三个代表”重要思想确立为党的指导思想并写入党章，并在2004年写入宪法。大会从十个方面总结概括了党领导人民建设中国特色社会主义的基本经验。大会明确了全面建设小康社会的奋斗目标。2003年10月，十六届三中全会，《中共中央关于完善社会主义市场经济体制若干问题的决定》，正式提出了坚持以人为本、全面协调可持续的科学发展观。2004年9月，十六届四中全会，通过《中共中央关于加强党的执政能力建设的决定》，把树立和落实科学发展观作为提高党的执政能力的主要内容。提出构建社会主义和谐社会的战略任务。2005年10月，十六届五中全会，通过《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十一个五年计划的建议》，强调要以科学发展观统领经济社会发展全局。2006年10月，十六届六中全会，通过了《中共中央关于构建社会主义和谐社会若干重大问题的决定》。2007年10月，中共十七大，进一步阐述科学发展观，“第一要义是发展，核心是以人 为本，基本要求是全面协调可持续，根本方法是统筹兼顾”，把科学发展观写入党章。对中国特色社会主义道路、中国特色社会主义理论体系作了概括。 其他各种标志、第一次 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.马克思主义的精髓和毛泽东思想的精髓都是：实事求是。马克思主义活的灵魂：具体问题具体分析。毛泽东思想活的灵魂：实事求是、群众路线、独立自主。中国近代史第一个不平等条约：中英《南京条约》。中国近代史中国人民第一次大规模反侵略武装斗争：广东三元里人民抗英斗争。帝国主义对中国的争夺和瓜分图谋达到高潮：中日甲午战争以后。近代中国睁眼看世界第一人：林则徐。第一次喊出“振兴中华”的时代最强音：孙中山。在中国传播马克思主义的先驱者：李大钊。中国旧式农民运动的最高峰：太平天国。中国近代化肇端于：洋务运动时期。洋务运动失败标志：中日甲午战争失败。中华民族资产阶级第一次登上政治舞台：戊戌维新。孙中山由改良转向革命的转折点：1894年上书李鸿章失败。标志旧民主主义革命终结：护法运动的失败。中国工人阶级开始以独立的姿态登上历史舞台：五四运动。1925-1927大革命高潮的起点：五卅运动。大革命最终失败的标志：七一五政变。 19.20.21.22.标志中国人民抗日救亡运动新高潮的到来：一二九运动。标志日本变中国为其独占殖民地的开始：九一八事变。标志日本全面侵华战争开始：卢沟桥事变。标志国共第二次合作抗日民族统一战线形成：9月22日《中共中央为公布国共合作宣 言》，9月23日蒋介石发表承认共产党合法地位的谈话。 23.抗日战争时期中国军队第一次重大胜利：平型关大捷。 24.抗日战争时期国民党正面战场首次大捷：台儿庄战役。 【考研数学知识点】推荐阅读： 【考研数学辅导班】考研数学一：高等数学考研大纲_启道09-16 考研数学难度值07-01 考研数学高频考点07-24 考研数学 高分复习方法05-28 考研数学暑期如何复习06-24 考研数学分析真题07-06 考研数学复习策略指引10-15 从考研数学看做题10-27 名师指导 考研数学备考攻略06-11 考研数学：线性代数重点分析06-07考研数学知识点 篇9
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