初二数学难题（共12篇）
每当夜晚来临，想家的念头就笼罩着我的心头，望着天上皎洁的月亮，就想起了妈妈，泪水这时也不争气地涌上了心头，总是哭着哭着，才进入梦乡……
早晨起床，望着红红的眼圈，一股莫名的念头又涌上了心头，于是又浑浑噩噩地度过了一天。晚上再一次不争气地想起来了在远方的家，我强忍住泪水，才勉强进入梦乡。
起床后，我在沉思，我为什么要想家?就像老师说的，跟同学在一起，不也很快乐吗?身为独生子女的我们哪有这种长时间与朋友玩耍的机会呢?学校是一个大集体，我们班不就是一个小家吗，这里有我的兄弟姐妹，他们和我一同在阳光下奔跑，一起晒过太阳军训，一起淋过大雨欢笑，我还想什么家，在学校不是一样很快乐吗?
有了这种积极向上的想法，接下来的一天，克服了想家的我，再也不浑浑噩噩，而是快快乐乐的，渐渐地，我再也不会想家了。
海边上有个老人, 正握着一根树枝, 在沙滩上写着、画着, 好像是在绘画, 又像是在解一道数学难题。他发现女孩的异常, 连忙高喊:“孩子, 你想干吗?”
“我遭遇了太多的不幸, 不想再活了!”
“孩子, 想死还不容易?我正在做一道数学难题, 你能陪我做完, 我就陪你去死。”
女孩觉得老人十分奇怪, 就走到老人的身边。要知道, 在班级里, 她是数学课代表呢!
老人说:“我正在计算, 我们的祖先一共有多少代?他们加起来, 又总共有多少人?这道数学题, 我算来算去也算不清。”
说着, 老人在沙地上放了一块小石头:“这块小石头, 代表我们自己。那么, 我们是从哪里来的呢?”
“当然是爸爸妈妈生的!”女孩立刻回答。
“对!”老人在小石头的上方又放了两块小石头, “这代表我们的爸爸、妈妈。不过, 爸爸妈妈又是从哪儿来的呢?”
“当然是爷爷奶奶、外公外婆生的!”女孩又很快地回答道。
“不错!”老人连连点头, “那么, 爷爷奶奶、外公外婆的父母, 又有多少人呢?”
女孩立即在爷爷奶奶、外公外婆的上方摆放了八块小石头, 并且心领神会地说“老爷爷, 我知道了, 每上去一代, 人数就要增加一倍呢!”
“你真聪明, 孩子。”老人显得非常高兴, “现在, 请你接着来算算我们的祖先总共有多少代。他们, 又总共有多少人?算好了, 我就陪你跳海。”
女孩在沙滩上奔来跑去, 不断地捡拾石子, 一层又一层地摆放。结果, 她整整忙了半天, 弄得汗流浃 (jiā) 背, 头晕目眩, 只算到了十几代人。
“这个数字太大了, 老爷爷。”女孩累得直喘气, “我算不出来了!”
“所以, ”老人微微一笑, 对女孩说, “我们今天的生命是无数代的祖先, 无数对的夫妻共同创造的!而且, 在这无边无际的生命之链中, 当初, 只要有一个环节 (一对夫妻) 出现一次差错, 就不会有今天的我们。这比中亿元大奖, 还要难得多呢!”
女孩听着听着, 不由得陷入了沉思。
“好孩子。”老人的满头银发被海风吹得飘了起来。他缓缓地说:“既然, 我们生命的诞生是如此的神奇, 又是如此的珍贵, 那么, 为什么要轻生呢?”
“按照他的理论，好像破了千古之谜”
近日，我随丰都县中学资深高中数学教师刘华一起，来到了丰都县高家镇文昌路柿子梯道12号“海峰”的住所。一位穿着旧解放鞋的老农倚在门口，他就是“海峰”——今年已经62岁的残疾农民李亚明。
李亚明的家是移民后的还建房，仍保持着“清水房”的样子。在他妻子的卧室里，有一台小彩电和一台崭新的电脑，也是他家里唯一值钱的东西。
“这些就是我毕生的心血。”李亚明从自己的卧室里抱出一个塑料口袋，小心翼翼地从里面掏出一摞上千页的材料。上面画着密密麻麻的几何图形，并配有大量演算过程的图示。随后，他从里面掏出一本名为《中国环球尺规学》的论文说：“我所有的结论就在这上面了。”
刘华看后解释称，李亚明研究的是“三等分角、立方倍积、化圆为方”这三大难题。据介绍，这是著名的古代几何作图难题，早在2400年前《几何原本》问世之前就提出了，至今仍无人能解。
“按照他的理论，好像是破解了这千古之谜。”刘老师沉思着说，“李亚明在破解的过程中，用了一套自己研发的‘工具’，然而这套‘工具’是否有价值，现在还不好说，需要专家进行相关论证。”
“稿纸装了11麻袋，占了大半间卧室”
回忆起自己为何痴迷数学研究，李亚明称，自己在初中刚接触几何学时，就听数学老师说起了《几何原本》中的三大难题，至今无人能解。那时年仅16岁的他就有了这个想法：要学好数学，将来一定要解开这个谜。
李亚明念完初中就不得不放弃学业，开始下乡。1975年，李亚明在生产队一边工作，一边找来高中数学教材自学。次年他与冉启兰结为了夫妻。全国恢复高考后，成绩优异的他却因是已婚身份导致无法上大学。无奈之下，李亚明找来大学数学教材，一边务农，一边自学。“研究这几个难题需要一套完整的数学体系，我必须自学大学数学。”李亚明称，由于当时没人教，周围没人懂，自己只能琢磨着自学，最终花了3年时间将大学数学全部学完。
由于贫穷，纸用完了没钱买，李亚明就拄着棍子到当地政府门口收旧报纸，用来当草稿纸。笔用完了，李亚明就跑到学校找学生施舍……镇政府里的人都以为他喜欢读报，没有要他的钱。而当地的学生则将他当成一个疯子，看他可怜就送一支铅笔给他。
冉启兰称，在移民搬家前，李亚明所用的稿纸装满了11个麻袋，几乎占据了他大半间卧室。
“研究数学就像吸毒一样，欲罢不能”
李亚明的第一个研究成果就是发明了“无穷极等分线段”和“无穷极等分弧段”。“这两个理论的研究成功，是我破解千年难题的关键。”李亚明眼里闪过一丝兴奋，他称，当时自己连续三天三夜没有睡觉，饿了吃口馒头，渴了喝口水。研究成功后，自己还央求妻子炒了一盘回锅肉来慰劳自己。
“我研究数学这件事，除了家人，没给任何人提起过。”李亚明表示，由于自己研究的数学跟通常学校里教的不同，周围的人都不懂，完全无法沟通。于是李亚明只能在家独自画图研究。
在李亚明的家里，找不到任何一本数学大家的著作。李亚明称，首先是没钱买，其次是几何上的三大难题由于千年来都无解，买书来看也没用。
35年的时间里，李亚明一直沉浸在自己的数学世界中。“研究数学就像是吸毒一样，每天都让我欲罢不能。”李亚明称，如果一个问题没有解决，自己就会整晚睡不着，喝醉酒、吃安眠药，都无济于事。在他的卧室看到，除了一张床和一盏昏暗的吊灯，只剩下几个泡菜坛子和几大麻袋焦炭。夏天，李亚明就趴在草席上彻夜画图，冬天就蜷缩在被子里进行研究。
现在，李亚明几乎每天都要研究数学到次日凌晨3点，然后早晨6点起床去地里除草，顺便放松头脑。午饭休息一阵后，又继续投入到数学研究中。
刘华对此表示，李亚明可亲自将其送往西南大学数学研究协会或者北京的中科院数学研究所，让专家们对其进行论证。
“最大心愿，是将毕生心血公诸于世”
1、解方程：1802901180，则
32、用10%和5%的盐水合成8%的盐水10kg，问10%和5%的盐水各需多少kg？
3、已知5x2k3的解为正数，则k的取值范围是
4、（2）若x2a1的解为x＞3，则a的取值范围
2(x1)11x
（3）若2xa1的解是-1＜x＜1，则（a+1）（b-2）=
x2b
3（4）若2x＜a的解集为x＜2，则a=
（5）若2xm0有解，则m的取值范围
4x1605、已知3x2ym1，x＞y，则m的取值范围； 2xym1
6、已知上山的速度为600m/h，下上的速度为400m/h，则上下山的平均速度为？
7、已知4(xy3)xy0，则，；
23x5y3z08、已知（z0），则x:z，y:z； 3x5y8z0
9、当m=时，方程x2y6中x、y的值相等，此时x、y的值=。
2xy3m1010、已知点P(5a-7,-6a-2)在二、四象限的角平分线上，则a=。
x2y3m1211、的解是3x2y34的解，求m。mxy9m12、若方程3m(x1)1m(3x)5x的解是负数，则m的取值范围是。
13、船从A点出发，向北偏西60°行进了200km到B点，再从B点向南偏东20°方向走500km到C点，则∠ABC=。
14、3x5ya2的解x和y的和为0，则a=。
2x3ya15、a、b互为相反数且均不为0，c、d互为倒数，则(ab)5
a、b互为相反数且均不为0，则(ab1)(b2cd。a3a1)。b
a、b互为相反数，c、d互为倒数，x2，则10a10bcdx。
16、若m
m（填“＞”、“＜”或“=”）1，则m0。
4n17、若m5与n2互为相反数，则m
18、有23人在甲处劳动，17人在乙处劳动，现调20人去支援，使在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的2倍，应调往甲乙两处各多少人？
0019、如图, 已知: 等腰Rt△OAB中,∠AOB=90, 等腰Rt△EOF中,∠EOF=90, 连结AE、BF.求证:
(1)AE=BF;(2)AE⊥BF.20、如图示，已知四边形ABCD是正方形，E是AD的中点，F是BA延长线上一点，AF=1AB，2已知△ABE≌△ADF.（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置；（3分）
例题1：more than twice
Each employee of a certain company is in either Department X or Department Y, and there are more than twice as many employees in Department X as in Department Y. The average (arithmetic mean) salary is $25,000 for the employees in Department X and is $35,000 for the employees in Department Y. Which of the following amounts could be the average salary for all of the employees in the company?
Indicate all such amounts.
A $26,000
B $28,000
C $29,000
D $30,000
E $31,000
F $32,000
G $34,000
本题我们要注意到题目中的more than twice的字眼，我们当做twice算的时候，结果是(25000.+35000)/3约等于28333，因为有more than，所以选的答案要么是比前面这个数大，要么小，又由于more的是X部门的，那么肯定会将平均工资给拉低了，因此，选比前面那个数小的答案，AB都可以了。
例题2：dollar amount
If the dollar amount of sales at Store P was $800,000 for , what was the dollar amount of sales at that store for ?
A $727,200
B $792,000
C $800,000
D $880,000
E $968,000
直接算，800000.1+10%).1-10%)=79，即B
2)At Store T, the dollar amount of sales for was what percent of the dollar amount of sales for 2008 ?
Give your answer to the nearest 0.1 percent.___________%
直接算，1/(1-8%)=108.7%(约等于)
3)Which of the following statements must be true?
Indicate all such statements.
A For 2008 the dollar amount of sales at Store R was GREater than that at each of the other four stores.
B The dollar amount of sales at Store S for 2008 was 22 percent less than that for 2006.
C The dollar amount of sales at Store R for 2008 was more than 17 percent greater than that for 2006.
本题A选项一看到就可以排除了，涉及到两个店的绝对量的比较，这个不确定，没有告诉绝对值。B选项是把两个增长的比例简单地算术相加。肯定错了。所以C肯定是对的了。。通过计算也的确是对的。
GRE数学遇到搞不懂的生词怎么办
在这种情况下，题目里面的生词已经解决了，但是还是读不懂，怎么回事呢?举个例子先：
Of the positive integers that are multiples of 30 and
are less than or equal to 360, what fraction are
multiples of 12?
其实呢，如果没有这个倒装，应该没有任何问题：What fraction of the positive
intergers that are multiples of 30 and are less than or
equal to 360 are multiples of
12?主要就是一个阅读的问题：A占B的几分之几用英文解释是：what fraction of B are A
。因此，这个问题就归结于阅读问题，而这个阅读的问题不在于单词，而在于这么一点：不仅仅是单词，一些数学里面很“口语”化的内容用英文怎么表达?
提供一种解决的方法：在题目里面遇到了这样的说法，自己翻译出来，然后再用同样的语言来造句和自己出题给自己做。
比如， 遇到了fraction这个结构以后，自己给自己出个题目：of the positive integers
that are less than or equal to 100, what fraction are
prime numbers? (自己数一下好了)
以下一些“口语化”的数学语言，希望同学们自己完成练习：
A和B成比例
A和B相似(几何)
A打了八折
A的5次方
A的倒数的完全平方的绝对值
还有一种情况也可以归为单词认识但是不会做的情况，这个情况可以认识是题目生造定义，必须慢慢熟悉他们的说法。
比如最经典的题型就是10里面有多少个1/4的题目，说白了是数数题，但也能让人为之一愣。
再比如：In country A , a person is born every 3 seconds and
a person dies every 20 seconds. Therefore, the birth and
death rates account for a population growth rate of one
person every___ seconds。
这个题目就属于生造概念：一般来说出生率是以秒为单位，而这个题目以人为单位：每出生一个人需要多少秒。正常点都不会这么干，但是在英语里确实能遇到这样的问题：实际上也就是把分子分母颠倒了而已。
GRE数学难点是什么?如何应对?
GRE数学冲刺难点一：
对于单词不认识的问题，基本上没有太好的对策，就是把所有的生词总结出来，一并记忆。如果说没有办法或者没有时间把所有的单词都从题目里面挖出来，那么有一个比较好的方法来认识数学生词，就是通过中文来找出英文相对应的翻译。
比如说画一个直角三角形，其中一个是30度的锐角，另外一个是60度的锐角。那么中文都能想明白，就开始想它们的英文对应：直角三角形怎么讲?锐角、直角、钝角分别怎么说?两个角互余怎么讲?如果是互补又该怎么说?直角边和斜边的名字分别是什么?凡是遇到想不出来的就查字典找一找，字典上都有;凡是能想出来的就写一写，记一记，加深记忆，那么坚持了两个“凡是”，数学生词应该不在话下。
在文章最后，笔者会给出一些比较难的，由过去的备考资料中所总结出来的GRE数学会涉及到的数学单词，希望考生能回去记忆并加以运用。
其实相比第二第三个问题，这个问题是相对比较简单的。
GRE数学冲刺难点二：
在这种情况下，题目里面的生词已经解决了，但是还是读不懂，怎么回事呢?举个例子先：
Of the positive integers that are multiples of 30 and are less than or equal to 360, what fraction are multiples of 12?
其实呢，如果没有这个倒装，应该没有任何问题：What fraction of the positive intergers that are multiples of 30 and are less than or equal to 360 are multiples of 12?主要就是一个阅读的问题：A占B的几分之几用英文解释是：what fraction of B are A 。因此，这个问题就归结于阅读问题，而这个阅读的问题不在于单词，而在于这么一点：不仅仅是单词，一些数学里面很“口语”化的内容用英文怎么表达?
提供一种解决的方法：在题目里面遇到了这样的说法，自己翻译出来，然后再用同样的语言来造句和自己出题给自己做。
比如， 遇到了fraction这个结构以后，自己给自己出个题目：of the positive integers that are less than or equal to 100, what fraction are prime numbers? (自己数一下好了)
以下一些“口语化”的数学语言，希望同学们自己完成练习：
A和B成比例
A和B相似(几何)
A打了八折
A的5次方
A的倒数的完全平方的绝对值
还有一种情况也可以归为单词认识但是不会做的情况，这个情况可以认识是题目生造定义，必须慢慢熟悉他们的说法。
比如最经典的题型就是10里面有多少个1/4的题目，说白了是数数题，但也能让人为之一愣。
再比如：In country A , a person is born every 3 seconds and a person dies every 20 seconds. Therefore, the birth and death rates account for a population growth rate of one person every___ seconds。
这个题目就属于生造概念：一般来说出生率是以秒为单位，而这个题目以人为单位：每出生一个人需要多少秒。正常点都不会这么干，但是在英语里确实能遇到这样的问题：实际上也就是把分子分母颠倒了而已。
所以，针对这种情况，我们可以设想：凡是有多少多少单位每秒，每小时的，都可以倒过来练习一下，并且千万要坚信自己，这个题目一定没有想象中的难，只不过是颠倒了，或者绕了一下而已。
GRE数学冲刺难点三：
解决时间不够的问题的最重要的方法在于熟悉数学知识点和常考的考点。
熟悉知识点分成两个部分，首先第一个是熟悉公式，比如几何里面的图形面积公式，比如方程中根与系数关系公式，因式分解公式等等。
熟悉的意义在于当考生在读题的时候就能把题干的语言在脑海中化成公式，从而加快解题速度，而不用再去想：题目这么说，到底是什么意思呢?达成这一能力的唯一途径也只能是多做题。即使觉得自己的数学基础不够，书本和教材里面的3000+题目也够提升这一能力了。
例如，我们来看一个题目：(数值比较题)The vertices of an equilateral triangle are on a circle。
The length of a side of the triangle The diameter of the circle
在拿到题目的时候就应该在脑海中形成这样一个图像：一个等边三角形内接在一个圆里面。那么所有的数值都可以算出来，先不要看题目，我们心算出圆的半径和等边三角形的一个边的关系：1：√3，其他关系，比如三角形和圆面积的关系也可以都算出来，这时候再来看题目的两个题肢：三角形一个边的边长，和圆的直径(注意是直径不是半径)，他们的比值就是√3：2，也就是1.732: 2 (这些基本的数值要知道)那么很显然就是选B。
总之，在读题干的时候，预读和预知题肢内容的这一个步骤是很重要的，可以大大加快解题速度。
另外一种情况是记得具体的数值，比如圆周率的数值3.14，就很重要，在很多圆的计算题中，圆的周长，面积的数值基本上都是314的倍数，比如628，比如157，等等。还有特殊的直角三角形的边角关系，3、4、5;1、1、1.414;5、12、13;1、1.1732、2等等，最好熟记之，以利于减少计算时间。
这样，做题的时间就会从1分钟左右变成30秒不到，那么整个笔试数学的部分就应该提前10-15分钟左右做完。但是实际做题时间往往仅仅只是减少了5分钟左右，为什么实际和理论的时间预估不同?这个差别就在于很多题目不是只考查一个知识点，而是综合题目，更重要的是，5道图表题和其他应用题的读题时间远远超过了30秒钟的预算。这就要求同学们做到两点：快速地从应用题冗长的题干里面浓缩出一个数学关系;做图表题中，第一次略读图表时要厘清数量关系而不是关注于具体的数值。
例如：mechanical toy cars A, B, and C, each traveling at its own uniform rate, started from the same point at the same time and raced a 400-meter course. When A crossed the finish line, B was 40 meters behind A, and C was 58 meters behind A. When B crossed the finish line, how many meters was C from the finish line?
整个题目最重要的是能立刻得出关系式：400/A=360/B=342/C
忘掉不重要的单位，除非单位不同要换算(而这一点往往不会考到，就算考了单位换算也应该在读题的时候加以考虑)。那么ABC三者的速度关系显而易见，最后的答案也应该一清二楚。
GRE数学备考如何搞定
先是看了把相关书籍里介绍数学考试中用到的基本概念和术语，特别是术语的中英翻译部分弄清楚。其实中国考生在做数学时的很大障碍就是题目看不懂，术语不明白。比如，有一道题目提到了reciprocal(倒数)，看不懂题就就是最大的问题。
有了基本概念和了解了一些难题以后，就可以开始做题目了。数学题目不用做很多，看个人情况，有的基础好的做一、二套题目后就找到感觉了，有的人稍微慢一点。笔者是在水平测试前大概做了5，6套数学题，然后从开始水平测试后，每套题目的数学都做了一下。
GRE数学比较难的统计学知识
1.mode(众数)
一堆数中出现频率最高的一个或几个数
e.g. mode of 1,1,1,2,3,0,0,0,5 is 1 and 0
2.range(值域)
一堆数中最大和最小数之差 ,所以统计学上又称之为极差.(两极的差)
e.g. range of 1,1,2,3,5 is 5-1=4
3.mean(平均数)
arithmatic mean(算术平均数): n个数之和再除以n
geometric mean (几何平均数): n个数之积的n次方根
4.median(中数)
将一堆数排序之后，正中间的一个数(奇数个数字)，
或者中间两个数的平均数(偶数个数字)
e.g. median of 1,7,4,9,2,2,2,2,2,5,8 is 2
median of 1,7,4,9,2,5 is (5+7)/2=6
5.standard error(标准偏差)
一堆数中，每个数与平均数的差的绝对值之和，除以这堆数的个数(n)
e.g. standard error of 0,2,5,7,6 is:
(|0-4|+|2-4|+|5-4|+|7-4|+|6-4|)/5=2.4
6.standard variation
一堆数中，每个数与平均数之差的平方之和，再除以n
标准方差的公式：d2=[(a1-a)2+(a2-a)2+....+(an-a)2 ]/n
e.g. standard variation of 0,2,5,7,6 is: average=4
((0-4)2 +(2-4)2+(5-4)2+(7-4)2+(6-4)2)/5=6.8
7.standard deviation 标准偏差
“千年大奖问题”公布以来，在世界数学界产生了强烈反响。这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。不少国家的数学家正在组织联合攻关。可以预期，“千年大奖问题”将会改变新世纪数学发展的历史进程。
卡儿，(1596-1650)法国哲学家，数学家，物理学家，解析几何学奠基人之一。他认为数学是其他一切科学的理论和模型，提出了数学为基础，以演绎为核心的方法论，对后世的哲学。数学和自然科Х⒄蛊鸬搅司薮蟮淖饔谩?
笛卡儿分析了几何学和代数学的优缺点，表示要寻求一种包含这两门科学的优点而没有它们的缺点的方法，这种方法就是用代数方法，来研究几何问题--解析几何，《几何学》确定了笛卡儿在数学史上的地位，《几何学》提出了解析几何学的主要思想和方法，标志着解析几何学的诞生，思格斯把它称为数学的转折点，以后人类进入变量数学阶段。
笛卡儿还改进了韦达的符号记法，他用a、b、c……等表示已知数，用x、y、z……等表示未知数，创造了“=”，“”等符号，延用至今。
笛卡儿在物理学，生理学和天文学方面也有许多独到之处。
一、总结问题的一般规律
高中数学难题的解决在于如何由繁化简, 即将繁杂的题目简单化, 将繁琐的解题过程简单化. 数学中的很多难题可以找到其中的规律, 只要加以总结就能够简化对题目的解答. 类似的题目可能会在条件上做一定的拓展与改变, 这个时候“通法”就很有可能转化为“特技”, 而有时候某一题目中的“特技”也可能是其他类问题的“通法”. 如下例所示:
题目已知函数的最大值是2, 求a值.
解析设: sinx = t, t∈[- 1, 1],
综上所述, a值为-2或10/3.
我们在解决这类函数题目时所运用的通法一般为分类讨论, 而其特技在于将sinx用t代入替换, 将原函数简化为抛物线函数, 然后根据抛物线的对称轴、开口方向以及区间限制找到解题的关键.
二、看到问题的本质特征
高中数学难题虽然有时有一定的规律性, 但是如果我们形成了思维定式就会在解题的过程中陷入误区, 因此看到题目时应当对题目进行分析, 找到其本质. 这种问题在等差数列相关习题的解决中表现最为明显.
在看到这道题目的时候, 我们可能首先会采取数学归纳法进行解答, 假设n = k及n = k + 1, 但这一方法却无法推断原不等式成立. 对其本质进行深入探讨后可以发现, 证明该不等式的最佳方法为放缩裂项法, 证明其为等差数列, 最终得出结论.
三、找到问题潜藏的信息
我们所接触到的数学题大多不会直接给出有效信息, 很多有助于解题的因素需要我们细心发掘.“通法”是解决问题的常规手段, 找对“通法”就能够找到解题的思路, 但一些题目关键信息较为隐晦, 所以我们解题时很容易走弯路, 不能够有效的简化解题步骤. 例如下题:
题目椭圆C的中心与坐标圆点O重合, 左右顶点为A1, A2 , 上顶点为B, 右焦点为其离心率为M为椭圆内一动点, 仅在第一象限内活动, 其中直线A1M, A2M与y轴交点分别为P与Q. M到达某一位置时, 是否能够满足若存在, 求M点坐标; 若不存在, 请说明理由.
我们在分析这一题目时, 主要解题思路与“通法”为解析椭圆方程, 进行求解. 但是题目中的一些信息可作为“特技”, 例如“M点仅在第一象限内活动”, 即设M坐标为 ( x, y) 则x, y都需满足大于0 这一条件, 如果在解题时我们忽略了这一问题, 那么就会使解题过程复杂化, 也难以得到正确答案. 最终求解结果为
结语 “通法”与“特技”是高中数学解题中常用的两种解题技巧. 面对一道难解的数学题时, 我们最初可能觉得无从下手, 但是只要冷静分析就可以找到解题的方法, 通过“通法”找到解题的思路, 通过“特技”找到解题的关键, 两种思维的结合能够使复杂的问题简单化.
参考文献
[1]曹凤山.高考试题的源与流、通法与特技[J].中小学数学 (高中版) , 2013 (12) .
[2]李美君.数学高考选择题解答应“通”“巧”并举[J].中学教研 (数学) , 2015 (01) .
一、借助数学中的故事，进行类比甄别，把握实质
例1.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 .
解答此题前，可引入如下故事：
古希腊亚历山大里亚城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。有一天一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的
问题：如图所示，从A地出发到笔直的河岸L去饮马，然再去B地，走哪一条路线最短呢？
分析：利用对称性，易知路径：A-P-B最短。
用绘图工具中的椭圆工具绘制出小圆和大圆，大圆的半径为小圆的三倍，再绘制一根直线作为小圆的半径，并将直线跟小圆组合。用矩形工具绘制一个矩形，在其上添加文字“演示”，此图形留作动画的触发器。将三图形放置如图1所示。
图1创建对象
设置动画效果
1.设置小圆沿大圆环绕效果
选定小圆，在“自定义动画”窗格中单击“添加效果/动作路径/其他动作路径…”(如图2)，在出现的对话框中选择“圆形扩展”动画效果，此时可以看到小圆的运动路径是一个圆，但这个圆还不能满足我们的要求，选定该圆，对圆的位置和大小进行调整，将之调整到圆心位置跟大圆相同，半径正好是大圆的半径加上小圆的半径即可，
这个调整的过程需要一点细心和耐心，调整过程中注意Shift、Ctrl和Alt键的灵活使用，调整后如图3所示。
图2添加动作路径
图3调整后效果图
在“自定义动画”窗格中，在刚添加的“圆形扩展”自定义动画上双击，出现“圆形扩展”设置对话框，单击“效果”标签，将“平衡开始”和“平衡结束”两个选项去掉。单击“计时”标签，将速度设置为10秒(直接在里面输入10即可)，单击下方〔触发器〕按钮，在“单击下列对象时启动效果”中选择第一步中绘制的矩形，按〔确定〕关闭对话框(如图4)。
图4图形扩展
2.设置小圆自旋效果
继续选定小圆，在“自定义动画”窗格中单击“添加效果/强调/陀螺旋”。双击刚添加的陀螺旋效果，出现“陀螺旋”设置对话框(如图5)，单击“效果”标签，将“数量”设置为“1440°”(这里必须手工输入)。单击“计时”标签，将“开始”设为“之前”(这样这两个动画效果将会同步演示)，速度设置为10秒(跟上一个动画效果时间相同)，同样的，将触发器设置为矩形。按〔确定〕关闭对话框。
图5陀螺旋对话框
3月20日，“数学奇才”刘路破格被湖南中南大学聘为研究员，享受教授待遇，获100万元奖金。中南大学校长张尧学表示，这是作为对刘路破解国际数学难题“西塔潘猜想”的奖励，并说：“他可能是中国最年轻的教授。”
据大陆红网报导，22岁的刘路被冠以“小陈景润”、“数学奇才”等众多响当当的名号。20日，在中南大学召开的新闻发布会上，校长张尧学宣布，破格聘任攻克国际数学难题“西塔潘猜想”的在校学生刘路，为该校正教授级研究员，享受教授待遇，并提供100万元奖金。今年22岁的刘路成为中国目前最年轻的正教授级研究员。
改变命运的“西塔潘猜想”
“西塔潘的猜想”：又称“拉姆齐二染色定理”，是由英国数理逻辑学家西塔潘于上个世纪90年代提出的一个猜想。在组合数学上，拉姆齐（Ramsey）定理是要解决以下的问题：要找这样一个最小的数n，使得n个人中必定有k个人相识或l个人互不相识。
酷爱数学的刘路，可谓是被数学改变了命运。大学三年级时，他在自学反推数学时，第一次接触到困扰了中外数学界17年的“西塔潘猜想”。两个月后，他突然想到利用之前用到的一个方法稍作修改便可以证明这一结论。他连夜将证明写出，投给了数理逻辑国际权威杂志《符号逻辑杂志》。之后，他又给了这一悬而未决的公开问题一个否定式的回答，彻底解决了西塔潘的猜想。
最好的学习方法是兴趣 “西塔潘猜想”成了刘路学术一路攀登的“捷径”，为他带来一系列耀眼的光环，成为人们关注的焦点。但刘路谦虚地说：“那个时候，中南大学本科生一夜时间破解了一道国际数学难题的消息传得沸沸扬扬，我再次说明，我没有这样神，不是一夜破解，从接触到最终找到方法，用了两个月的时间。”
由于舆论对于事件本身的夸大解读，刘路一度紧张得把手机关闭，断绝与外界的联系，以致父母一时都没法与他联系。他说：“我怕事情被扭曲了，在接触这个问题时，我就有意识地思考如何才能破解它，并不是一夜就破解了这个猜想。”
刘路又说：“我认为最好的学习方法是兴趣，只要有兴趣，就能迎难而上。不要太注重分数和结果。”高中时他常会因为做出别人没有做出的题，或因为解题方法比较新颖受表扬，就会觉得很开心，这是数学带来的乐趣。
一、作图法
对于地理学科中的无图考图题，图解法是最好的解题方法。图解法能将一些解题过程中的思考过程用简单的图示显示出来，能帮助我们在答题时理清思路，避免过失性丢分。尤其在解答地理时空分布、运动规律等方面的试题时，能大大提高答题的速度和准确率。
【典题1】不考虑海陆、地形、冰雪等条件，有人从极点附近（含极点）某地出发，依次向正北走5千米，正东走5千米，正南走5千米，正好回到原地，从极点上空看，向东走时可能：①顺时针走一个完整的圆。②逆时针走一个完整的圆。③顺时针走了小于360°的圆弧。④逆时针走了小于360°的圆弧。
A.①②③ B.②③
C.②③④ D.①④
解析：此题比较抽象，难度较大，必须充分发挥想象力，从多个角度思考问题才能找到答案。根据题目要求作图辅助分析，有两种可能（如图1所示），第一种可能是：在北极附近找一点，先向北（沿经线）走5千米，再向东（逆时针）沿纬线走一圈（5千米），再向南（沿经线）走5千米，就可以回到原地；第二种可能是：从南极点出发向北（沿经线）走5千米，再向东（顺时针）沿纬线走5千米（一段圆弧），再向南沿经线走5千米，就能回到原地（南极点）。故选B。
【典题2】地形因素对建筑物布局的影响是多方面的，如自然通风、日照效果等。建筑物的间距越小越能节约建筑用地，为了保证山坡上的建筑物底层有日光照射，山坡上的建筑物应有合理的日照间距。下列叙述正确的是：①在向阳坡，坡度越大，建筑物间距越小。②在向阳坡，坡度越小，建筑物间距越小。③在背阴坡，坡度越大，建筑物间距越大。④在背阴坡，坡度越大，建筑物间距越小。
A.①③ B.②③
C.②④ D.①④
解析：此题有一定难度，用图文转换法，把复杂的文字情境转化为直观的图形，可以化繁为简（如图2所示）。向阳坡如图甲，坡度变大（即β>α），楼间距对应的关系L1>L2，楼间距变小；背阴坡如图乙，坡度变大（即β>α），楼间距对应的关系L2>L1，楼间距变大。故选A。
■
二、图像转换法
试题中的某些图像比较抽象或者我们不太常见，这时需要我们认真分析图，将其合理转化为直观的图像或者是我们常见的图，以寻找解题突破口。
【典题3】图3中各图等高距相同，则有关a、b、c、d四处坡度大小的说法正确的是：
A.a=b=c=d B.a>c>d>b
C.b>d>c>a D.c>b>a>d
■
解析：分析本题时可将四幅图转绘到图4，然后加以对比，则四处的坡度大小一目了然，即a>c>d>b，故选B。
【典题4】图5所示范围全是夜半球，此时，湖南省各联考学校时钟显示的时刻是（ ）
A.10时40分B.13时20分
C.22时40分D.1时20分
■
解析：题中给定的图看起来虽然简单明了，实际上却很抽象，学生感到比较陌生，但是我们可以通过分析将图转换成同学们比较熟悉的图（图6），据图6可知80°W的地方时为12时，可求北京时间为1时20分，所以选D。
三、计算法
在地理选择题中，有的试题需要根据题干提供的条件，通过计算推导出答案。这种类型的试题考查的内容主要有区时、地方时和昼夜长短的计算，正午太阳高度角、太阳能热水器的摆放角度和楼间距的计算，比例尺和实际距离的计算以及气温随海拔的变化、等值线图中相对高度和气温差的计算，各种人文地理数据的估算等。但地理计算重在考查方法、规律的掌握情况，计算过程相对较简单。
【典题5】（2011年高考重庆卷）某地北京时间6月22日6时左右日出，13时太阳高度角达到最大约83°。据此回答下列问题：
（1）该地最可能是
A.北京 B.沈阳C.成都D.海口
解析：根据“6月22日北京时间13时太阳高度达到最大”，可计算出该地的经度约105°E，根据“6月22日13时太阳高度达到最大约83°”，可计算出该地的纬度约为30°26′N。因此答案选C。
（2）该地当天上午太阳高度角达到36°时，布依诺斯艾利（西四区）的区时约为
A.6月21日9时B.6月21日21时
C.6月22日9时D.6月22日21时
解析：根据该地北京时间6点左右日出（太阳高度为0°），13时达到正午，且正午的太阳高度为83°，可推算出太阳每小时约升高12°，当该地当天上午太阳高度角达到36°时，北京时间应该为6月22日9时，所以可计算出西四区的区时为9-（8+4）=-3时，即6月21日21时。故答案选B。
【典题6】 [2008江苏卷9]图7是“某地地形简图”，M点位于36.5°N。两中学生分别到达P、M点，测量并计算出两点相对高度是288米。冬至日正午，M峰顶的影子正好移至P点，则P、M之间的水平距离大约是：
A.300米 B.400米
C.500米 D.600米
解析：这是关于对学生地理计算能力的考查题。冬至日北纬35.5的H=30度，由于垂直距离是288米，根据三角函数的原理，不难得出水平距离L=288x1.732=500米，故答案为C。细心的计算很重要，不能凭感觉作答。
【典题7】（2009年高考浙江文综卷）图8中，当a、c值相差20°时，该地的纬度值是：
A.23°N B.63°N
C.43.5°N D.27°N
■
解析：本题可采用数学列方程的地方法来解决问题，设该地纬度为X，则可按如下步骤列方程解题。
第一步：由曲线图可知：该地夏至日正午太阳高度最大，冬至日正午太阳高度最小，说明该地位于北回归线及其以北地区。
第二步：据图可知：c=H夏-H秋，按正午太阳高度角公式H夏=90-（X-23.5°）、H秋=90-X，可求出c=23.5°
第三步：据图和题干可知：c-a=20°，则a=3.5°
第四步：据图干可知：a=H冬=90-（X+23.5°），可推知X=63°N。故答案选B。
四、辅助“线”法
在解答地理试题时，也可以通过添加辅助线的方法增强图像的直观性，从而提高解题的速度和准确度。特别是在等值线图上确定寒流和暖流、低压槽和高压脊、山谷和山脊、海岸线两侧气压和温度的差异、等压面上下的气压差异等，通过添加辅助线可使比较模糊的图示信息趋向明朗化、简单化，从而达到顺利解题的目的。
【典题8】读图9，回答湖泊与河流的补给关系。
解析：此题是考查学生对等高线分布规律的掌握程度的一道试题，由于图形简单，信息呈现简练，因而成为学生思维的一个难点。其实如果能够应用等高线的分布规律，抓住图中有限但又是有效的信息，并根据图甲的等高线的弯曲方向添画辅助线（见图10），把等高线补充完整，则难度明显降低。图10中的2、3、4三条等高线，且三条等高线之间形成一条河流即等高线之间形成谷地，应用等高线凸高为低的规律，可以推知沿着河流方向4-3-2-1地势逐渐降低，从而可以判断出湖泊水补给河水，难点也就破解了
答案：湖泊补给河。
■
五、反证法
反证法是证明的一种具体方法。它是通过证明与论题相矛盾的反证题虚假来确定论题是正确的间接证明法。反证法论证的基本步骤是：首先根据要证明的论题作出反论题成立的假设，然后推理论证反论题是错误的，最后根据排他律确定原来要证明的论题是正确的。在地理教学实践中，对某些问题有意识地运用反证法会收到较好的效果。
【典题9】读图11判读，M处的气压值可能为：
A.1012、1012.5 B.1017.5、1020
C.1017.5、1015 D.1015、1012.5
■
解析：读图得知：图中M相邻的等值线有三条，其中两条的气压为1015hp，在蒙古国的一条为1017.5hp，且图中M处恰好位于闭合曲线上，本图等差距是2.5。依据地理原理：在等值线图中任何两条等值线间的差值是相等的，闭合曲线与周围相邻等值线的关系，有两种情况，一是大于或小于这个差值，二是等于相邻其中的一条数值。
（1）第一种情况：当大于或小于这个差值。假设：①取1015Hpa这条等压线时，M点大于2.5差值，为1017.5hp成立，因为，正好等于在蒙古国的一条数值；相反，M点小于2.5差值，为1012.5hp不成立，因为，从蒙古国的这一条算到M点，等于两个差值，应再加一条等压线才成立。同理，假设：②取在蒙古国的这条1017.5hp数值，M点大于2.5差值，为1020hp不成立，因为，从两边的1015hp等压线算到M点，等于两个差值，应再加一条等压线才成立。相反，M点小于2.5差值，为1015hp成立，因为正好等于M点在两边的两条数值。因此，M处的气压值只能等于1015hp或1017.5hp。
（2）第二种情况：等于相邻其中的一条数值，故M处的气压只能是1015hp或1017.5hp。
由以上两种情况都得出正确答案C。
其实，这道题运用的是数学思维：解不等式的原理和利用假设条件进行反证法，要求有严密逻辑思维能力。
【典题10】图12为汕头周边地区太阳高度的等值线图，设b地此日的正午太阳高度为H，c地此刻地方时为T。则下列不等式中完全正确的一组是：
A.H>60°，T>13时B.H<60°，T<13时
C.H>60°，T<13时D.H<60°，T>13时
■
解析：（1）求c地此刻地方时为T的大小。见图13，设太阳直射A点时，在赤道上，太阳高度角为75°，有一点是Q，则∠AOQ=15°，即q这条经线的地方时为13点；当太阳直射汕头时，假设：太阳高度为75°的C点地方时此时也为13点，即∠A1O1C=15°，则赤道AQ的弧长和北回归线的A1C的弧长相等，与实际不符，假设不成立。但由于地球形状导致纬线圈从赤道向两极递减，所以，太阳直射汕头时，太阳高度为75°的C点必定在经线q的东边，因此，c地此刻地方时一定是T>13时。
（2）求b地此日的正午太阳高度H大小。因为，当直射汕头时，b点的太阳高角为60°，不是一天中的最大值，那么b地此日正午太阳高度角（H）一定大于60°。
故答案为A。
总之，“数学思维”在地理解题中的运用，解题的方法很多，有待于我们思考和总结。但在弄懂地理原理的前提下，选择好数学原理，作好辅助线（图），利用好假设条件，运用严密数学推理，能够提高学生的分析问题、解决问题的能力。在地理教学中，教师有意识地渗透一些数学思想，可以将很多地理问题化繁为简，化抽象为直观，培养学生的创新意识，进而提高学生的整体科学素质，也为创造性人才的培养奠定一个良好的基础。
[参 考 文 献]
[1]刘贤赵.地理学数学方法[M].北京：科学教育出版社，2011.
[2]于国军.浅谈地理教学中的数学思维[J].教师（下），2012（1）.
[3]孟凡光.摭谈数学思想与方法在解答地理选择题时的应用[J].地理教学，2010（23）.
扔硬币产生随机数 (示意图)
腾讯科学讯 (杜文龙) 据美国《物理学家组织》 (phys org) 网站报道, 英国计算机专家阿列克谢·利什特沙和鲍里斯·科涅夫最近借助计算机破解了一道有80余年历史的数学难题———埃尔德什差异问题 (the Erdos Discrepancy Problem) 。他们的论文预印本已发表在ar Xiv.org。
埃尔德什差异问题是由匈牙利数学天才保罗·埃尔德什于1932年提出的数学假设。其围绕着只包含1和-1的无穷数列性质进行探讨;这类数列中的模型能够通过创建有限子序列进行测度。英国数学家恩里科·斯卡拉斯通俗解释了这一假设:“假如你有一个由1和-1 (例如由扔硬币随机产生) 组成的数列和常数C。你要寻找到一个足够长的有限数列, 使这一数列的总和大于常数C。”
利什特沙和科涅夫的论文描述了他们如何建立计算机程序来破解埃尔德什差异问题。由于证明产生的数据有13GB之多 (维基百科的整个数据才10GB) , 以至于不可能由人工来检验。这就产生了一个有趣的问题:如果借助计算机证明数学命题, 而数据的绝对量过于庞大, 以至于没有办法由人工进行验证, 那么这种证明能否被验证真伪呢?
计算机的发明, 是为计算而来, 而计算能力始终是计算机的根本。计算机的介入改变了数学研究的方法, 扩展了数学研究的领域, 促进了计算数学的发展。尤其是运算量极其庞大的数学问题, 大多数情况只能借助计算机来解决。例如, 四色问题、E8结构、费克特 (Fekete) 问题、开普勒 (Kepler) 猜想等著名数学难题, 都是借助计算机来破解的。
计算机成为数学研究的工具已是大势所趋, 不可阻挡。正如我国知名学者周海中先生在“21世纪数学展望”一文中所言:计算机在数学研究中发挥的作用将越来越大;借助计算机解决数学问题将激励人们去寻求更好、更简单的方法, 也加深人们对数学本质特征的认识, 还推动以计算机为基础的人工智能的发展。
毫无疑问, 在计算机的助力下, 破解数学难题的成果今后会越来越多。
