不定积分的计算方法总结

不定积分的计算方法总结（精选8篇）

不定积分的计算方法总结 篇1

定积分

1、定积分解决的典型问题

（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程

2、函数可积的充分条件

●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。

●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。

3、定积分的若干重要性质

●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。

●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m（b-a）≤∫abf(x)dx≤M（b-a）,该性质说明由被积函数在积分区间上的.最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

●性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)（b-a）。

4、关于广义积分

设函数f(x)在区间[a,b]上除点c（a

定积分的应用

1、求平面图形的面积（曲线围成的面积）

●直角坐标系下（含参数与不含参数）

●极坐标系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ）(扇形面积公式S=R2θ/2)

●旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程）

●平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx,其中A（x）为截面面积）

●功、水压力、引力

不定积分的计算方法总结 篇2

一、不定积分计算的困难及分析

不定积分计算的困难首先是由其概念本身带来的，因为从求导的逆运算引进，造成了它的计算是非构造性的一类运算，它与求导相比有着显著的不同，求导有一定的公式可套，但求不定积分并非如此。

不定积分计算的困难还在于错误的思考方法，对于学生来说，解题往往通过“猜”的方式，猜原函数，这显然相当的困难;在老师方面，不定积分的教学也是一个难点，老师的任务是理出方法，教会学生如何理解方法，而不是凭感觉。现实存在的问题有两个：一是当在指定让学生用哪种方法解决时，学生可以做到，但如果把方法混在一起，学生往往不知道用哪种方法;二是在当时学生会解决的题目，时间久了，学生就忘记了。原因都在于学生没有真正理解透各种方法的本质特点，面对问题时，不知道怎么根据其特征选择适当的方法。

二、不定积分计算的方法思考

在介绍积分方法时，老师首先应提醒学生注意被积函数的多样性，而不同类型的被积函数就需要不同的积分方法来解决，对于一个给定的f (x) ，要求蘩f (x) dx，这是一个未知的问题，从宏观上说我们要将未知的问题转化为已学知识来讨论。那么就存在两个问题：已知的是什么?怎么转化过去?

课本根据求导与不定积分的关系由基本求导公式给出了积分基本公式，它们可以作为已知的知识，那么不能直接由积分公式解决的问题，就要通过几种转化方法转化到现有的公式上，转化的依据要根据被积函数的结构和转化方法的特点。常用方法有以下几种。

1. 基本变形。

这个方法是由不定积分的性质线性引出的，只要做恒等变形就可以将要求的不定积分转化到基本积分公式中去，它的特点就是多个变单个。

2. 凑微分法。

顾名思义，关键在于一个“凑”字，如果能想到如何“凑”，则题目会迎刃而解，若想不到方法，则会无处入手。因此，归纳并熟记常用的凑微分公式是十分必要的。

老师在讲解这个方法的时候可以先通过几个简单的凑微分的例子引出凑微分这个方法，以形象地观察出凑微分法的本质、特点，书上给出的定理是比较抽象的，在对其证明中，可以采取比较通俗的方式，如：要验证蘩f[φ (x) ]·φ′(x) dx=蘩f (u) du=F (u) +C=F[φ (x) ]+C是否成立，只要验证(F[φ (x) ]+C)′=f[φ (x) ]·φ′ (x) 是否成立。

如果成立，则证明了该定理，也证明了前几个例子的做法是正确的。再结合例子和定理归纳出凑微分法的特点就是“变元再协同”。

有些例题要“凑”多次，老师可以举相关例题让学生充分体会凑微元法的本质特点是变元再协同中的“再”，总的来说凑微元法就是一个“变元再协同”的过程。

3. 变量代换法。

从被积函数中会发现一些难以处理的因式，使用凑微元怎么也协同不了，在讲解这个方法的时候可以先举几个这样的例子，告诉学生思考这个问题的方法，多列几个学生就会知道想办法去掉难以处理的因式，当然是有多种代换方法的。在学生接受了这种思路后再给出定理，证明手段类似凑微元的证明。

例1:求

思路一：被积函数中既有x，又含有x2，所以我们想办法通过变元都协同到x2上，然后再观察，再协同。

思路二：考虑被积函数中含有根号，想办法去掉根号，使用三角代换很容易将其算出。

观察这两种方法的各自特点，第一种思路它比较难想到，但计算起来比较简单，第二种方法它虽然操作起来相对麻烦一些，但指向性非常明确。三角换元法一般是把被积函数中含有的分别用x=asint, x=atant, x=asect做变换去掉根式，没有太多的技巧，但是有些含有这样根式的不定积分不需要采取变量代换的方法，例如，被积函数中含有了比较难处理的因式，而变量代换就是起到一个去掉难处理的因式的作用，但在有些题目中只要用凑微元做就可以了，提醒学生不要犯教条。

4. 分部积分。

其基本公式为，此方法用于求不易，而求较易的题目。在运用分部积分法关键是u与dv的选取，掌握此方法的一个关键在于你要对哪个求导，du是一个局部求导，求导之后要方便运算才有意义。

例2：求

分析：被积函数是指数函数ex与三角函数x的乘积，用分部积分有两种方案:, 第一种方案是对ex局部求导，而我们知道对它求导还是本身，所以解决不了根本问题，所以学生在做题的时候要思考到底对谁局部求导能达到目的，这题中对x局部求导就可以去掉这个因式，所以选择第二种方案。

这部分内容的学习要求我们要对各类积分法进行总结比较，分析各类积分方法的特征，达到掌握并熟练运用的目的。

参考文献

[1]华东师范大学数学系编.数学分析 (上册) [M].高等教育出版社, 1990.

[2]仉志余.大学数学应用教程 (上册) [M].北京大学出版社, 2006.8.

定积分的常用计算方法 篇3

关键词：定积分不定积分计算方法

定积分是《高等数学》中积分学部分的一个重要组成部分，它是在学生掌握了不定积分的概念和计算后，为了解决一些实际问题而引出的一个新知识点。虽然现在大部分高职高专中用的教材以“必需、够用”为原则，对定理、公式的证明介绍的很少，要求学生会利用公式来计算即可，但随着高校入学门槛的降低，文科學生的数学知识非常薄弱，学生经常面临上课虽然能听得懂但拿到题目不知从何下手的困境。如何解决此难题？应注意的是通过实际问题引出的定积分定义虽然可以用来解决相关问题，但若要利用其定义来计算积分值是十分困难的，而在积分上限函数的基础上引出的牛顿—莱布尼茨公式，通过求解不定积分中原函数的过程，将不定积分与定积分联系起来，给出了非常简单的计算定积分的方法，最终简化并解决了定积分的计算。因此，我们在对应不定积分的计算方法的基础上，总结出相应的一些求解方法，帮助学生较快的理解和掌握定积分，为后面二重积分的计算奠定基础。

由牛顿—莱布尼茨公式公式∫baf（x）dx=F（x）|ba=F（b）-FF（a）可知，要计算定积分只要计算出被积函数的一个原函数，求出其在相应的区间上的增量即可。联系到不定积分的积分方法，将常用的求定积分的方法总结如下。

一、直接积分法

1.直接利用公式及性质计算

例1：求∫π120（2sinx-cosx）dx.

分析：直接套用三角函数公式及定积分的性质求出原函数再计算。

解：∫π120（2cosx-sinx）dx=2sinx+cosx|π120=1

例2：求∫π140tan2xdx

分析：被积函数是不定积分中见过的类型按相应的三角恒等变换先求出原函数再利用公式计算。

解：∫π140tan2xdx=∫π140（sec2x-1）dx=tanx-x|π140=1-π14

2）利用定积分的区间可加性计算

例3：设f（x）=1+x-1≤x<0

en0≤x≤2，求∫2-1f（x）dx

分析：这是一个分段函数，在不同的区间对应的函数表达式不同，利用区间可加性分区间考虑其计算。

解：∫2-1f（x）dx=∫0-1（1+x）dx+∫20exdx=x+112x2|0-1+ex|20=e2-112

例4：求∫π12π121-cos2xdx

分析：开方后被积函数其实是绝对值函数，利用绝对值定义去掉相应的符号后再利用区间可加性计算。

解：∫π12π121-cos2xdx=∫π12π122|sinx|dx=2∫0π12（-sinx）dx+2∫π120sin xdx=2cos x|0-π12-2cosx|π120=22

二、换元积分法

针对不定积分中的两类换元积分法，运用到定积分的计算时要注意的是如何正确选择两类方法。

第一类换元积分法直接可以应用到定积分的计算中，只要熟悉不定积分的凑微分，知道如何凑出中间变量的微分就可计算。

例5：求∫e1=dx1x1+lnx

分析：被积函数中有常用的凑微分公式，可先考虑使用凑微分法再计算。

解：∫e1=dx1x1+lnx=∫e1（1+lnx）112d（1+lnx）=2（1+lnx）112|e1=2（2-1）

注：能使用不定积分的第一类换元积分法解决的定积分不需要再使用变量代换去计算。比如上例用如下方法

∫e1=dx1x1+lnx=∫e1（1+lnx）112d（1+lnx）=∫21u-112du=2u112|21=2（2-1）

计算时不仅需进行变量代换u=1+lnx，同时还得将x的区间换成的区间[1，2]，增加了计算量。

由不定积分的计算可知，若被积函数中含有根式又不能用凑微分法计算时，可通过变量代换去根号后再计算。关键是正确地选择变量代换，同时要注意的是换元的同时一定要换上下限。由此得到的定积分换元积分公式为∫baf（x）dx=∫βαf[φ（t）]φt（t）dt

对应不定积分中的形式经常用到的有两种代换：三角代换、根式代换。

例6：求∫51=x-11xdx

分析：直接根式代换去根号。

解：令x-1=t，x=t2+1；dx=2tdt.当x=1时，t=0；当x=5时，t=2.

所以∫51=x-11xdx=∫202t21t2+1dt=2∫20t2+1-11t2+1dt=2∫20（1-11t2+1）dt=2（t-arctant）|20=2（2-arctan2）

例7：求∫101-x2dx.

分析：被积函数是自变量的平方形式，需三角代换才能去根号。

解：令x=sint，1-x2=cost，dx=costdt.当x=0时，t=0，当x=1时，t=π12.

∫101-xdx=∫π120cos2tdt=112∫π120（1+cos2t）dt=112（t+112sin 2t）|π120=π14

三、定积分的分部积分法∫baudv=uv|ba-∫bavdu

由不定积分的分部积分法可知此法主要用来解决被积函数是两个函数乘积的形式，应用此法的关键是选择合适的u，将函数凑成udv的形式，由不定积分的学习我们已知道选取的规律为：五种基本初等函数中，按“反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数和三角函数（简称反对幂指三）”这一顺序先后排列，谁在前设谁为u，将剩下的函数与凑成微分形式dv。所以由不定积分的分部积分公式推导出的定积分的分部积分公式类推即可。要注意的是若被积函数中只有一个函数时（如∫21lnxdx），其实就是∫baudv的形式可以直接套用公式进行计算。

例8：求∫10xe-xdx

分析：两个函数相乘的形式使用分部积分法计算。

解：∫10xe-x=-∫10xde-x=-xe-x|10+∫10e-xdx=-11e-e-x|10=1-21e

以上只是给出了定积分的一些基本求解方法，对一般的定积分，只要熟练不定积分的计算，了解不定积分的类型及函数后就可以掌握定积分的计算，只有多练习才能掌握，从而熟能生巧。

当然在学习中还有一些其他的方法可用来解决一些比较特殊的函数的定积分，如果所求的定积分满足区间是关于原点对称而函数具有奇偶性的时候可利用相应的性质化简计算如例4也可用如下方法计算：∫π12-π121-cos2xdx=∫π12-π122|sinx|dx=22∫π120sinxdx=22（-cosx）|π120=22。

参考文献：

[1]吴赣昌.微积分（经管类第三版）[M].中国人民大学出版社，2009.

[2]郑亚琴.定积分的几种解法归类[J].中国商界，2010.（9）.

[3]梁志南.定积分的计算方法[J].数学学习与研究，2008.（9）.

农行信用卡积分计算方法 篇4

（一）持卡人使用金穗贷记卡在百货公司、餐厅、宾馆、其他零售商店的刷卡消费可累计积分。计算标准为消费满人民币1元可积1分，消费满1美元可积8分，美元和人民币积分可合并计算；积分不可转让，同一账户的主卡及附属卡积分合并计算，同一持卡人名下不同账户的多张卡积分不可合并计算。

（三）下列项目不予计算积分：

高数下册各类积分方法总结 篇5

积分区间D关于X轴对称：被积函数是关于Y的奇函数，则结果为0：

被积函数是关于Y的偶函数，则结果为在一半区间上积分的2倍 方法：分别对x、y积分，将其中一个变量写成另一个的表达形式||极坐标换元 三重积分 对称性：

积分区间Ω关于xy面对称：被积函数是关于z的奇函数，则结果为0；

被积函数是关于z的偶函数，则结果为在一半区间上积分的2倍 方法：先重后单||先单后重（极坐标）||柱坐标||球坐标

第一类线积分

x,y,z型：具有关于参数t的表达试，用基本公式，转化成关于t的积分

x,y型：排除上一种条件的话，通常将y表示为关于x的函数，转化成关于x的积分

第二类线积分 方法：

1、用曲线的切线的方向角余弦，转化成第一类线积分

2、有参数t，可以转化成关于t的积分

3、将y表示为关于x的函数，转化成关于x的积分

4、封闭曲线，通常自己构造，可采用格林公式转化为二重积分 另：注意与路径无关的积分

第一类面积分 对称性：

积分曲面关于XY面对称：被积函数是关于z的奇函数，则结果为0：

被积函数是关于z的偶函数，则结果为在一半曲面上积分的2倍

计算方法：常规的话，只有一种，转化为关于x或y或z的积分。详见书本上的公式。

第二类面积分 对称性:

积分曲面关于XY面对称：被积函数是关于z的偶函数，则结果为0：

被积函数是关于z的奇函数，则结果为在一半曲面上积分的2倍（注意区别于第一类）计算方法：

1、用曲面的切线的方向角余弦，转化成第一类面积分

2、转化为二重积分，直接在前面添正负号即可

3、封闭曲面，可以用高斯公式，转化为三重积分，一般封闭曲面都是人为构造的，所以注意减掉构造面，并注意方向

4、斯托克斯公式，转化为第二类线积分，不常用

不定积分的计算方法总结 篇6

1.定义：b

af(x)dxlimf(k)xk 0k1n

2.可积性：

1）必要条件：f(x)有界；

2）充分条件:f(x)连续或仅有有限个第一类间断点；

3.计算1）b

af(x)dxF(b)F(a)

2）换元法

3）分部积分法

4）利用奇偶性，周期性

5）利用公式 n1n31,n偶nnnn222(1)2sinxdx2cosxdx 00n1n32,n奇nn23

(2)

4.变上限积分：π0xf(sinx)dx20f(sinx)dx x

af(t)dt

1)连续性：设f(x)在[a,b]上可积，则

2）可导性：设f(x)在[a,b]上连续，则

变上限求导的三个类型： xaxaf(t)dt在[a,b]上连续。f(t)dt医学考研论坛在[a,b]上可导且(f(t)dt)f(x).ax

(x)(1)f(t)dtf((x))(x)f((x))(x)(x)

(x)x(2)f(x,t)dt例1:F(x)(tx)f(t)dx 0(x)

bdx2(3)f(x,t)dt例2:sin(xt)dt0adx

3）奇偶性：i）若f(x)为奇函数，则x

0f(t)dt为偶函数。

ii）若f(x)为偶函数，则5.性质：



x0

f(t)dt为奇函数。

1)不等式：i)若f(x)g(x), 则



ba

f(x)dxg(x)dx.a

b

ii)若f(x)在[a,b]上连续，则m(ba)iii)



ba

f(x)dxM(ba).

ba

f(x)dx|f(x)|dx.a

b

2)中值定理： i）若f(x)在[a,b]上连续，则



ba

f(x)dxf(c)(ba),acb

g(x)不变号，则

ii）若f(x),g(x)在[a,b]上连续医学考研论坛，

ba

f(x)g(x)dxf(c)g(x)dx,acb.a

b

【例1】I



n0

x dx;

【解法1】原式=n=n=n=n





sin2







(cossin)2 cosxsinx

(cosxsinx)dx(sinxcosx)22n.

40



【解法2】原式=n

54



54

sin2xdx

=n





(cosxsinx)2dx

454

=n





(sinxcosx)dx2.ex4

sinxdx;【例2】 I

1ex2

xt

ee44

sinxdx2sintdt【解析】I2

xt1e1e22



(xt)



sin1ettdt





12ex1442sinxdxsinxdx

1ex221ex

2

2sinxdx

22









sin4xdx

313

海文考研钻石卡 

42216

【例3】 已知f(x)连续，【解析】令xtu得



x0



tf(xt)dt1cosx,求2f(x)dx的值.

x

tf(xt)dt(xu)f(u)duxf(u)duuf(u)du，xxx

xxxdx，从而有tf(xt)dtf(u)duxf(x)xf(x)f(u)duf(u)dusinx 0000dx

令x





得



f(u)dusin



1.1n

12n

【例4】 求 lim121n21n2nn

11222n212n

(2)ln1(2)ln1(2) 【解析】令yn(12)(12)(12)，则lnynln1nnnnnnn

n

2x2

ln22(1)limlnynln(1x)dxxln(1x)001x20n4

原式e

ln22(1

)



2e

2

.【例5】 求证:【解析】



sinx2dx0.2



2

sinxdx =



sint20

（令x2t）





sint2t



2

sint2t



而



2

2

sinusint

=du（令tu）

2u

则



sinxdx

0

sint11

dt0.2t

【例6】 设f(x)在[a,b]上连续，单调增。求证:【证法1】令F(x)

bab

axf(x)dx2af(x)dx

b



xa

tf(t)

xax

f(t)dt a2

只要证明F(b)0，显然F(a)0

2a1x

f(x)f(t)dt 22a

x1

=(xa)f(x)f(t)dt

a2

=(xa)f(x)(xa)f(c)(acx)

而F(x)xf(x)0 则F(b)F(a)0 原式得证.【证法2】由于f(x)在[a,b]上单调海文考研钻石卡增，则

(x

abab)(f(x)f())0 22

从而有即又则即

b



ba

(x

abab)f(x)f()dx0 22

ababbab

(x)f(x)dxf()(x)dx0 a

22a2bab(x)dx0 a

2bab(x)f(x)dx0 a

浅谈定积分的常用计算方法 篇7

一、定积分几何意义法

定积分的几何意义是:连续函数f (x) 在区间[a, b]的定积分的值, 在几何上表示曲线y=f (x) 及直线x=a, x=b, x轴所围成的图形各个部分面积的代数和, 即在x轴上方的面积取正号, x轴下方的面积取负号.因此, 对于较复杂的被积函数且又很明显是一个容易求面积的常见图形, 可通过求图形的面积来计算定积分.

的值.

二、变换积分法

特别地，当f (x) 在[-a, a]为奇函数时，

总之，当f (x) +f (a+b-x) =h (x) 的不定积分易求时，即可应用变换求积分，使某些定积分的计算过程得以简化，利用该积分变换来求定积分的值是积分计算中一种较灵活、较实用的方法.

三、分部积分法

设函数u (x) ，v (x) 都在[a, b]上有连续的导数，则

例4计算定积分

综上，是对定积分计算方法的简单小结，求定积分的方法还有很多，但在高中阶段不必过于深究，大学时再去探究，熟练掌握定积分的求解方法，会大大提高定积分计算的解题能力.这不仅对后来的学习者有一定的指导作用，而且对自然科学、科学技术、经济领域及实际生活中存在着大量的利用定积分计算实际问题有一定的指导意义.

参考文献

[1]李志飞.定积分的简化计算[J].高等数学研究, 2008, 11 (6) :50.

对称性在曲面积分计算中的应用 篇8

关键词 曲面积分 轮换对称性 奇对称 偶对称

中图分类号：GO172.2 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.05.022

Abstract This paper introduces several common methods of how to sue symmetry to simplify the calculation of integral process in Surface Integral， these applications are illustrated by typical examples.

Key words surface integral； rotation symmetry； odd symmetry； even symmetry

在计算曲面积分的运算过程中，通常是将曲面积分转化为重积分，再利用坐标变换来进行，有时候这一过程会很复杂。如果运用对称性，则可简化曲面积分的计算，本文将通过举例进行比较来说明对称性在曲面积分运算中的优势。

1第一类曲面积分中的对称性应用

定理1：设 （）在分片光滑的曲面上连续，若关于面对称，则

其中为在平面上方的部分；若关于平面（或平面）对称， （）关于（或）为奇函数或偶函数也有类似结论。

定理2：若积分曲面关于具有轮换对称性，则

（） = （） = （）

= [ （） + （） + （）]

定理3：设有光滑曲面： = （），（）。 （）为上的连续函数，则 （） = （（）） 。

例1：计算（ + + ），其中为球面 + + = 被平面 = （0<<）所截的顶部。

解：方法一（利用定理1）：

已知曲面方程为 = ，且曲面关于平面和平面对称，则： = = 0

定义域为圆域 = {（）∣ + ≤}，由 = ，则：（ + + ） = = · = （）

方法二（利用定理3）：

曲面的方程为 = ，定义域为圆域{（）∣ + ≤}，又由 = ，则：

（ + + ） = （ + + ）

再利用极坐标变换，，且在极坐标变换下，平面上有界闭域与平面上区域€HU对应，则：

例2：计算曲面积分，其中是球面 + + = 。

解：方法一（利用定理2）：

积分曲面关于具有轮换性，所以： = = ，从而 = （ + + ） = = ·4 =

方法二（利用定理3）：

= （），定义域为圆域： + ≤，又由于 = ，关于平面对称，则：

= 2（）

= 2· =

= · =

2第二类曲面积分中的对称性应用

利用对称性计算第二类曲面积分同样需要注意投影元素的符号。现以曲面积分（ + + ）为例来讨论。当曲面指定侧上动点的法线与轴正向成锐角（钝角）时，面积元素在面上的投影为正（负）。一般地，有如下定理：

定理4：设分片光滑的有向曲面关于平面对称，在平面上方部分记为（方程为 = （），（）），下方部分记为，又设 （）在上连续，则：

若关于平面（或平面）对称， （）关于（或）为奇函数或偶函数有类似的结论。

定理5：若积分曲面关于具有轮换对称性，则：

（） = （） = （）

= [ （）+ （）+ （）]

定理6：设是定义在光滑曲面： = （），（）上的连续函数，则的上侧为正侧（这时的法线方向与轴正向成锐角），则有： （） = （（））

定理7：设、、是定义在光滑曲面： = （），（），上的连续函数，以的上侧为正侧，

（） + （） +（）

= [（（））（）+ （（））（）+ （（））]

例3：计算曲面积分，其中是球面 + + = 1在≥0，≥0部分并取球面外侧。

解：方法一（利用定理4）：

曲面在第一、五卦限部分的方程分别为

： = ，： = 。

因为曲面关于平面对称，定义域为{（）∣ + ≤1， ≥0， ≥0}，由定理4，则：

= 2 = 2

= 2 =

方法二（利用定理6）：

曲面在第一、五卦限部分的方程分别为

： = ，： =

它们在平面上的投影区域都是单位圆在第一象限部分，即{（）∣ + ≤1， ≥0， ≥0}，依题意，积分是沿的上侧和的下侧进行，所以：

= +

= （）

= 2

= 2 =

例4：计算曲面积分 + + ，其中是球面 + + = ，并取外侧为正向。

解：方法一（利用定理5）：

球面 + + = 关于具有轮换对称性，所以：

= =

计算应分别考虑前半球面及后半球面上的曲面积分，的方程为 = ，它在平面上的投影域为为圆域{（）∣ + ≤}，用表示前半球面的外侧，的方程为 = ，它在平面上的投影域为为圆域{（）∣ + ≤}，用表示后半球面的外侧，则由第二型曲面积分的性质，则有：

= + = = 0

则： + + = 3 = 0

方法二（利用定理7）：

由题意可知： + + = （（） + （） + ） = （ + + ）。

再利用极坐标变换，

且在极坐标变换下，平面上有界闭域与平面上区域€HU对应，则：

而： + + = （（） + （） + ） =

所以： + + = + + + + + = 0

参考文献

[1] 陈文灯，袁一圃，俞元洪.高等数学复习指导[M].北京：北京理工大学出版社，1992.

[2] 吉林大学数学系.数学分析（第一版）[M].北京：人民教育出版社，1979.

[3] 华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010：293-304.