考研高数知识总结（精选8篇）
一元微分学概念众多，非常讲究条件。讨论问题时，要努力从概念出发，积极运用规范的算法与烂熟的基本素材。绝不能凭感觉凭想象就下结论。
1． x趋于∞时，求极限 lim xsin（2x∕(x平方+1),你敢不敢作等价无穷小替换?
分析 只凭感觉，多半不敢。依据定义与规则，能换就换。
x 趋于∞时，α = 2x∕(x平方+1)是无穷小，sinα 是无穷小，sinα（x）～ α（x）且 sinα 处于“因式”地位。可以换。
等价无穷小替换后，有理分式求极限，是“化零项法”处理的标准∞∕∞型，答案为 2
2．设f(x)可导，若f(x)是奇（偶）函数（周期函数，单调函数，有界函数），它的导函数fˊ(x)有什么样的奇偶性（周期性，单调性，有界性）？
分析 有定义数学式的概念，一定要先写出其定义式。简单一点也行。比如 奇函数 f(－x)= －f(x)周期为T的函数 f(x+T)= f(x)等式两端分别求导，得 fˊ(－x)= fˊ(x)fˊ(x+T)= fˊ(x)（实际上，由复合函数求导法则，（f(－x)）ˊ= fˊ(－x)(－x)ˊ= －fˊ(－x)）
所以，奇函数的导数是偶函数；偶函数的导数是奇函数。（如果高阶可导，还可以逐阶说下去。）周期函数的导数也是周期函数。很有趣的是，因为(x)ˊ= 1，有的非周期函数，比如y = x + sinx，的导数却是周期函数。
（潜台词：周期函数的原函数不一定是周期函数。）
单调函数定义中没有等式的概念，可以先在基本初等函数中举例观察。
如y = x单增，yˊ = 1不是单调函数。y = sinx在（0，π/2）单增，yˊ = conx 单减，没有确定的结论。
有界性讨论相对较为困难。如果注意到导数的几何意义是函数图形的切线斜率。即切线倾角的正切。就可以想到，在x趋于x0时，要是导数值无限增大，相应的图形切线就趋向于与x轴垂直。显然，圆周上就有具竖直切线的点。
取 y =√（1－x的平方），它在[0，1]有界，但是 x 趋于 1 时，其导数的绝对值趋于正无穷。这个反例说明有界函数的导数不一定有界。
（画外音：写出来很吓人啊。x → 1 时，lim f(x)= 0，而 lim fˊ(x)= －∞）
3． 连续函数的复合函数一定连续。有间断点的函数的复合函数就一定间断吗？
分析 连续函数的复合，花样更多。原因在于复合函数f（g（x））的定义域，是f（x）的定义域与g（x）值域的交。有“病”的点可能恰好不在“交”内。因而，有间断点的函数的复合函数不一定间断。比如：
取分段函数 g（x）为，x ＞ 0 时 g =1，x ≤ 0 时 g = －1，0是其间断点。取 f（u）=√u，则 f（g（x））= 1 在 x ＞ 0 时有定义且连续。还有一些原因让“病态点”消失。
如果只图简单，你可以取 f（u）为常函数。以不变应万变。
取 f（u）= u的平方，则 f（g（x））= 1，显然是个连续函数。
4．设 f(x)可导，若x趋于 +∞ 时，lim f(x)= +∞ ,是否必有lim fˊ(x)= +∞ 分析 稍为一想，就知为否。例如 y = x 更复杂但颇为有趣的是 y = ln x，x 趋于 +∞ 时，它是无穷大。但是 yˊ = 1∕x 趋于0，这就是对数函数异常缓慢增长的原因。5．设f(x)可导，若 x 趋于+∞时，lim fˊ(x)= +∞ , 是否必有 lim f(x)= +∞ 分析 用导数研究函数，这是微积分的正道。首先要体念极限（见指导（3）。）： 因为 lim fˊ(x)= +∞，所以当 x 充分大时，不仿设 x ＞ x0 时，总有 fˊ(x)＞1 用拉格朗日公式给函数一个新的表达式
f(x)= f(x0)+ fˊ(ξ)(x－x0), x0 ＜ξ＜ x(潜台词: ξ=ξ(x)。你有这种描述意识吗？)进而就有, x ＞x0 时, f(x)＞f(x0)+ 1(x－x0)（画外音：这一步是高级动作。）因为 f(x0)是个常数，x0是我们选择的定点，所以上式表明，必有 lim f(x)= +∞ 6。设 f(x)可导，若 x 趋于-∞ 时，lim fˊ(x)=-∞ , 是否必有 lim f(x)=-∞ 分析 否。你如果与上述问题5对比，认为情形相仿，结论必有。那就太想当然了。请你还是老老实实地象5中那样写出推理吧。结论是
若 x 趋于-∞ 时，lim fˊ(x)=-∞ , 则必有 lim f(x)= +∞
7．设 f(x)可导，若x 趋于+∞时，lim f(x)= c（常数，）是否必有lim f ˊ(x)= 0 分析 否。lim fˊ(x)有可能不存在。
这是最容易凭感觉想当然的一个题目。我读本科时，最初的想法就是，“lim f(x)= c 表示函数图形有水平渐近线，函数又可导，当然在 x 趋于+∞时，切线就趋于水平了。”
想当然的原因之一是我们见识太少，脑子里的函数都较简单，图形很光滑漂亮。之二则是对于渐近线的初等理解有惯性。
由极限定义的水平渐近线，并不在乎曲线中途是否与其相交。比如，曲线可以以渐近线为轴震荡，最终造成 lim fˊ(x)不存在的后果。对比条件强化 —— 如果 lim fˊ(x)存在，则必有 lim fˊ(x)= 0 用反证法证明。且不仿设 x 趋于 +∞ 时 lim fˊ(x)= A ＞0 与前述5中同样，可以选定充分大的正数 x0，使 x＞x0 时，总有 fˊ(x)＞A/2，然后用拉格朗日公式给函数一个新的表达式，导数条件管住ξ，从而有
f(x)＞f(x0)+ A(x－x0)/2 —→+∞ 矛盾。
8．函数在一点可导，且导数大于0，能说函数在这一点单增吗？
分析 不能。函数的单调性是宏观特征，背景是区间。函数在一点可导，且导数大于0，其间所蕴含的信息只能通过可导的定义去挖掘。即先把条件还原成定义算式，即 x 趋于x0 时，lim(f(x)－f（x0））/（x－x0）＞ 0 如果没有别的条件，下一步就试试体念符号。即在x0邻近，分子分母同号。进而在其右侧邻近，分子分母皆为正，f(x)＞ f（x0）。但是，我们不知道函数值相互间的大小。
*9 设f(x)可导，若fˊ(a)·fˊ(b)＜ 0，则（a，b）内必有点c，fˊ(c)= 0
分析 对。尽管可导函数的导函数不一定连续。但是，导函数天然地满足介值定理。这个结论在微积分中叫“达布定理”。
在本篇问题8中，我们讲了“一点导数大于0”的逻辑推理。现在不仿设 fˊ(a)＞ 0 而 fˊ(b)＜ 0 分别在a，b两点处写出导数定义式，体念极限符号，（本篇问题8。）可以综合得到结论：
函数的端值 f(a)，f(b)都不是 f(x)在[a，b] 上的最大值。最大值只能在（a，b）内一点实现，该点处导数为0 好啊，多少意外有趣事，尽在身边素材中。要的是脚踏实地，切忌空想。考研数学讲座（18）泰勒公式级数连
中值定理是应用函数的导数研究函数变化特点的桥梁。中值定理运用函数在选定的中心点x0的函数值、导数值以及可能的高阶导数值，把函数表示为一个多项式加尾项的形式。再利用已知导函数的性质来处理尾项，对函数做进一步讨论。
中值定理的公式（可微分条件，有限增量公式，泰勒公式）都是描述型的数学公式。描述型的数学公式并不难学。什么条件下可以用什么样的公式描述，你记住公式，完整地写出来不就行了。公式中的“点ξ”理解为客观存在的点。
在选定的中心点x0，函数的已知信息越丰富，相应的泰勒多项式与函数越贴近。1.“微分是个新起点” —— 若函数 f（x）在点x0可微，Δy = f ′(x0)Δx +ο(Δx)；其中，ο(Δx)表示“比Δx高阶的无穷小。” 则函数实际上就有了一个新的（微局部的）表达式：
f（x）= f(x0)+ f ′(x0)(x－x0)+ ο(Δx)（ο(Δx)尾项，比Δx高阶的无穷小）
（潜台词：只有|Δx |充分小，“高阶无穷小”才有意义。）
历史上，这个表达式称为，“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”。
2.拉格郎日公式 —— 若 函数f(x)在闭区间 [a，b] 上连续，在（a，b）内可导，则（a，b）内至少有一点ξ，使得 f(b)－f(a)= f ′(ξ)（b－a）
定理说的是区间，应用时不能太死板。在满足条件的区间内取任意两点，实际上也组成一个（子）区间。比如，在区间内任意选定一点x0，对于区间内任意一点x，（任给一点，相对不变。）也可以有 f(x)－f(x0)= f ′(ξ)（x－x0），ξ 在 x 与 x0之间，（潜台词：任意一点x，对应着一个客观存在的“点ξ”，ξ=ξ（x））即 f（x）= f（x0）+ f ′(ξ)（x－x0），ξ 在 x 与 x0之间，3.泰勒公式 —— 如果函数在点x0 邻近有二阶导数
f（x）= f（x0）+ f ′(x0)（x－x0）+（f ″(ξ)/2）（x－x0）²，ξ 在x与x0之间 式中的尾项叫拉格郎日尾项。有时也把 ξ 表示为 x0 +θ(x－x0)，0＜θ＜1 一般情况下，我们无法知道
ξ=ξ（x）的结构、连续性等，只能依靠已知导函数的性质来限定尾项，实现应用目的。
如果函数仅在点x0二阶可导，我们可以用高阶无穷小尾项（皮阿诺余项）
f（x）= f（x0）+ f ′(x0)（x－x0）+（f ″(x0)/2）（x－x0）²+ ο（|Δx| ²）泰勒系数 —— 如果在点x0 邻近f（x）n+1 阶可导，则有泰勒系数 f（x0），f ′(x0)，f ″(x0)/ 2！，f ′ ″(x0)/ 3！，„„
可以写出，f（x）= n 次泰勒多项式 + 拉格朗日尾项
4.泰勒级数 —— 如果在点x0邻近f（x）无穷阶可导，不妨取x0 = 0，则利用泰勒系数可以写出一个幂级数
f（x）= f（0）+ f ′(0)x +（f ″(0)/2）x²+（f ′ ″(0)/ 3！）x³ + „„ 这个幂级数的和函数是否就是f（x）呢？不一定！
（画外音：太诡异了，f（x）产生了泰勒系数列，由此泰勒系数列生成一个幂级数，它的和函数却不一定是 f（x）。就象鸡下的蛋，蛋孵出的却不一定是鸡。）
关键在余项。当且仅当 n → ∞ 时，泰勒公式尾项的极限为 0，f（x）一定是它的泰勒系数列生成的幂级数的和函数。称为 f（x）的泰勒展开式。验证这个条件是否成立，往往十分困难。故通常利用五个常用函数的泰勒展开式，依靠唯一性定理，用间接法求某些别的函数的泰勒展开式。
美国的学生特别轻松，他们的大学数学教材很有创意，早在极限部分就要求他们,当成定义记住指数函数与正弦函数的泰勒展开式。
exp（x）= 1 + x + x²/2！+ x³/3！+ „„ －∞＜x＜∞ sin x = x － x³/3！+ „„ －∞＜x＜∞
（逐项求导，cos x = 1－ x²/2！+ „„
－∞＜x＜∞）此外还有 ln（1+x）= x － x²/2 + x³/3 + „„ －1＜x＜ 1（1+x）的μ次方 = 1 + μ x +（μ(μ－1)/ 2！）x²+（μ(μ－1)(μ－2)/ 3！）x³+ „„ 1/(1－x)= 1 + x² + x³ + „„ －1＜x＜ 1，上同
泰勒公式基本应用（1）—— 等价无穷小相减产生高阶无穷小。关键在于低阶项相互抵消。应用泰勒公式直接有，x → 0 时，exp（x）－ 1 ~ x，exp(x)－1－x ~ x² / 2
sin x ~ x，sin x － x ~ － x³ / 3！，cos x －1 ~ － x²/2 ln（1+x）~ x，ln(1+x)－x ~ －x²/2（1+x）的μ次方－ 1 ~ μ x 例87 已知x→ 1时，lim(√(x³+3)－A－B(x －1)－(x －1)²)/(x －1)² = 0，试确定常数，A，B，C 分析
已知表明 x → 1 时，分子是较分母高阶的无穷小。
题面已暗示，应将函数y =√(x³+3)在点 x = 1 表示为带皮阿诺余项的泰勒公式，且必有
常数项 = A 一次项系数 = B 二次项系数 = C 这些低阶项相互抵消，分子才能成为高于二次方级的无穷小。
于是 A = y(1)= 2，B = y ′(1)= 3/4，C = y″(1)/ 2 = 39/64（画外音：有的人一遇上这类题就想用洛必达法则，这在逻辑上是错的。不懂得无穷小的变化机理。如果只有两个参数，可看讲座（9）。）
泰勒公式基本应用（2）—— 带皮阿诺余项的泰勒公式用于求极限
例88 若 x→ 0 时，极限 lim(sin6 x+ f（x）)/ x³ = 0，则
x→ 0 时，极限 l im(6 + f（x）)/ x² = ? 分析
分子有两项。决不能把 sin6 x 换为 6x，（潜台词：sin6 x不是分子的因式，是分子的一项。）
这时正好用“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”，sin 6x = 6 x －（6x）³/3！+ ο（|Δx| ³）代入已知极限，移项得 lim(6 + f（x）)/ x² = 36
例89 设函数 f(x)在 x = 0 的某邻域内有连续的二阶导数，且 f(0)≠0，f ′(0)≠0, 记 F(h)= λ1 f(h)+ λ2 f(2h)+ λ
f(3h)一 f(0)，试证，存在唯一的实数组 λ1，λ2，λ3，使 h → 0 时，F(h)是比 h ² 高阶的无穷小。分析 讨论极限问题，有高阶导数信息，先写带皮亚诺余项的泰勒公式 f（x）= f（0）+ f ′(0)x +（f ″(0)/2）x²+ ο（|x| ²）
这是函数 f（x）的一个新的（微局部的）表达式，当然可以表示 f(h)，f(2h)，f(3h)f(h)= f（0）+ f ′(0)h +（f ″(0)/2）h ²+ ο（| h | ²）
f(2h)= f（0）+ f ′(0)2 h +（f ″(0)/2）（2h）²+ ο（| h | ²）f(3h)= f（0）+ f ′(0)3 h +（f ″(0)/2）（3h）²+ ο（| h | ²）（潜台词：常数因子不影响尾项。）将各式代入F(h),整理得
F(h)=(λ1+λ2+λ3一1)f（0）+(λ1+2λ2 + 3λ3)f ′(0)h +(λ1+ 4λ2 + 9λ3)f ″(0)h ²/2 + ο（| h | ²）
要让 h → 0 时，F(h)是比 h ²高阶的无穷小。，只需令上式中的常数项及 h 和 h ²项的系数全为 0，这就得到未知量
λ1，λ2，λ3 的一个齐次线性方程组，它的系数行列式是三阶的范德蒙行列式，其值不为 0，故可以相应算得唯一的一组 λ1，λ2，和 λ3 泰勒公式基本应用（3）——带拉格郎日尾项的泰勒公式用于一般讨论 例90 —— 凸函数不等式
如果函数 f(x)二阶可导且二阶导数定号，（称为凸函数），则应用泰勒公式可以得到不等式
f(x)≥ f（x0）+ f ′(x0)(x－x0)（或≤）
实际上 f（x）= f（x0）+ f ′(x0)(x－x0)+(f ″(ξ)/2)(x－x0)²，ξ 在 x 与 x0之间
设 f ″(x)＞ 0，自然有(f ″(ξ)/2)(x－x0)² ＞ 0，舍掉此项就得到不等式。
*例91 函数 f(x)在 [－1，1] 上有连续的三阶导数，且 f(－1)= 0，f(1)=1，f ′(0)= 0，试证明在区间 内至少有一点 ξ，使得 f ″′(ξ)= 3 分析 选中心点 x0 = 0，在区间内讨论，写出带拉格郎日尾项的泰勒公式
初中数学知识点全总结(一)
1.有理数：
(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数;-a不一定是负数，+a也不一定是正数;p不是有理数;
(2)有理数的分类: ① ②
2.数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3.相反数：
(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;
(2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a、b互为相反数.4.绝对值：
(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数;注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;
(2)绝对值可表示为：或;绝对值的问题经常分类讨论;
5.有理数比大小：(1)正数的绝对值越大，这个数越大;(2)正数永远比0大，负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小，绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数> 0，小数-大数< 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数;注意：0没有倒数;若 a≠0，那么的倒数是;若ab=1? a、b互为倒数;若ab=-1? a、b互为负倒数.7.有理数加法法则：
(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;
(2)异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
(3)一个数与0相加，仍得这个数.8.有理数加法的运算律：
(1)加法的交换律：a+b=b+a;(2)加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c).9.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).有理数乘法法则：
(1)两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘;
(2)任何数同零相乘都得零;
(3)几个数相乘，有一个因式为零，积为零;各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.有理数乘法的运算律：
(1)乘法的交换律：ab=ba;(2)乘法的结合律：(ab)c=a(bc);
(3)乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac.12.有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意：零不能做除数，.13.有理数乘方的法则：
(1)正数的任何次幂都是正数;
(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;注意：当n为正奇数时:(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时:(-a)n =an 或(a-b)n=(b-a)n.14.乘方的定义：
(1)求相同因式积的运算，叫做乘方;
(2)乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂;
15.科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。重点利用有理数的运算法则解决实际问题.体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要.激发学生学习数学的兴趣，教师培养学生的观察、归纳与概括的能力，使学生建立正确的数感和解决实际问题的能力。教师在讲授本章内容时，应该多创设情境，充分体现学生学习的主体性地位。
初中数学知识点全总结(二)
1.单项式：在代数式中，若只含有乘法(包括乘方)运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.2.单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数;系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.3.多项式：几个单项式的和叫多项式.4.多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项;多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数。
通过本章学习，应使学生达到以下学习目标：
1.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系。
2.理解同类项概念，掌握合并同类项的方法，掌握去括号时符号的变化规律，能正确地进行同类项的合并和去括号。在准确判断、正确合并同类项的基础上，进行整式的加减运算。
3.理解整式中的字母表示数，整式的加减运算建立在数的运算基础上;理解合并同类项、去括号的依据是分配律;理解数的运算律和运算性质在整式的加减运算中仍然成立。
4.能够分析实际问题中的数量关系，并用还有字母的式子表示出来。
在本章学习中，教师可以通过让学生小组讨论、合作学习等方式，经历概念的形成过程，初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识。
初中数学知识点全总结(三)
1.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.2.一元一次方程的标准形式： ax+b=0(x是未知数，a、b是已知数，且a≠0).3.一元一次方程解法的一般步骤：整理方程 …… 去分母 …… 去括号 …… 移项 …… 合并同类项 …… 系数化为1 ……(检验方程的解).4.列一元一次方程解应用题：
(1)读题分析法:………… 多用于“和，差，倍，分问题”
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法: ………… 多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础.11.列方程解应用题的常用公式：
(1)行程问题： 距离=速度·时间;
(2)工程问题： 工作量=工效·工时;
(3)比率问题： 部分=全体·比率;
(4)顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度;
(5)商品价格问题： 售价=定价·折·，利润=售价-成本，;
(6)周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab，C正方形=4a，S正方形=a2，S环形=π(R2-r2),V长方体=abc，V正方体=a3，V圆柱=πR2h，V圆锥= πR2h.本章内容是代数学的核心，也是所有代数方程的基础。丰富多彩的问题情境和解决问题的快乐很容易激起学生对数学的乐趣，所以要注意引导学生从身边的问题研究起，进行有效的数学活动和合作交流，让学生在主动学习、探究学习的过程中获得知识，提升能力，体会数学思想方法。
初中数学知识点全总结(四)
一、知识框架
本章的主要内容是图形的初步认识，从生活周围熟悉的物体入手，对物体的形状的认识从感性逐步上升到抽象的几何图形.通过从不同方向看立体图形和展开立体图形，初步认识立体图形与平面图形的联系.在此基础上，认识一些简单的平面图形——直线、射线、线段和角.二、本章书涉及的数学思想：
1.分类讨论思想。在过平面上若干个点画直线时，应注意对这些点分情况讨论;在画图形时，应注意图形的各种可能性。
2.方程思想。在处理有关角的大小，线段大小的计算时，常需要通过列方程来解决。
3.图形变换思想。在研究角的概念时，要充分体会对射线旋转的认识。在处理图形时应注意转化思想的应用，如立体图形与平面图形的互相转化。
4.化归思想。在进行直线、线段、角以及相关图形的计数时，总要划归到公式n(n-1)/2的具体运用上来。
七年级数学(下)知识点
人教版七年级数学下册主要包括相交线与平行线、平面直角坐标系、三角形、二元一次方程组、不等式与不等式组和数据的收集、整理与表述六章内容。
初中数学知识点全总结(五)
1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
2.对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。
3.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
4.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
5.同位角、内错角、同旁内角：
同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
6.命题：判断一件事情的语句叫命题。
7.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。
8.对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
9.定理与性质
对顶角的性质：对顶角相等。
10垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
11.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
12.平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
13.平行线的判定：
判定1：同位角相等，两直线平行。
判定2：内错角相等，两直线平行。
判定3：同旁内角相等，两直线平行。
本章使学生了解在平面内不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系,研究了两条直线相交时的形成的角的特征,两条直线互相垂直所具有的特性,两条直线平行的长期共存条件和它所有的特征以及有关图形平移变换的性质,利用平移设计一些优美的图案.重点:垂线和它的性质,平行线的判定方法和它的性质,平移和它的性质,以及这些的组织运用.难点:探索平行线的条件和特征,平行线条件与特征的区别,运用平移性质探索图形之间的平移关系,以及进行图案设计。
初中数学知识点全总结(六)
1.有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做(a,b)
2.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
3.横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x轴或横轴;竖直的数轴称为y轴或纵轴;两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
4.坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
5.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内。
平面直角坐标系是数轴由一维到二维的过渡，同时它又是学习函数的基础，起到承上启下的作用。另外，平面直角坐标系将平面内的点与数结合起来，体现了数形结合的思想。掌握本节内容对以后学习和生活有着积极的意义。教师在讲授本章内容时应多从实际情形出发，通过对平面上的点的位置确定发展学生创新能力和应用意识。
初中数学知识点全总结(七)
1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
6.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
7.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
8.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
9.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
10.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
11.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
12.公式与性质
三角形的内角和：三角形的内角和为180°
三角形外角的性质：
性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)·180°
多边形的外角和：多边形的内角和为360°。
多边形对角线的条数：(1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线，把多边形分词(n-2)个三角形。
(2)n边形共有条对角线。
三角形是初中数学中几何部分的基础图形，在学习过程中，教师应该多鼓励学生动脑动手，发现和探索其中的知识奥秘。注重培养学生正确的数学情操和几何思维能力。
初中数学知识点全总结(八)
1.二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次。方程，一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。
2.二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。
4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。
5.消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
6.代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
7.加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
本章通过实例引入二元一次方程,二元一次方程组以及二元一次方程组的概念,培养学生对概念的理解和完整性和深刻性,使学生掌握好二元一次方程组的两种解法.重点:二元一次方程组的解法,列二元一次方程组解决实际问题.难点:二元一次方程组解决实际问题
初中数学知识点全总结(九)
1.用符号“<”“>”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。
2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
4.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。
5.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成6.了一个一元一次不等式组。
7.定理与性质
不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
本章内容要求学生经历建立一元一次不等式(组)这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会不等式(组)的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。
初中数学知识点全总结(十)
1.全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。
2.抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。
3.总体：要考察的全体对象称为总体。
4.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。
5.样本：被抽取的所有个体组成一个样本。
6.样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。
7.频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。
8.频率：频数与数据总数的比为频率。
9.组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。
1.求分段函数的复合函数；
2.求极限或已知极限确定原式中的常数；
3.讨论函数的连续性，判断间断点的类型；
4.无穷小阶的比较；
5.讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。
二、一元函数微分学
1.求给定函数的导数与微分（包括高阶导数），隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论；
2.利用洛比达法则求不定式极限；
3.讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式；
4.利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如证明在开区间内至少存在一点满足……，此类问题证明经常需要构造辅助函数；
5.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间；
6.利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。
三、一元函数积分学
1.计算题：计算不定积分、定积分及广义积分；
2.关于变上限积分的题：如求导、求极限等；
3.有关积分中值定理和积分性质的证明题；
第一点函数。函数的概念和性质这些都是高中已经学过的内容，这里主要是以复习的形式来回顾一下，但要提醒考生注意函数的有界性和复合函数运算，要认真理解，因为函数的有界性是新知识，并且对后面知识点的学习起到铺垫的作用，复合函数运算对后面函数的求导、积分等都一定的关系，所以请同学们认真理解。
第二点极限。说起极限，大家都会想起什么呢?是不是想起现阶段极限计算有几种，我们来复习一下：
1)四则运算。在这里要强调一点：什么时候运用四则运算，四则运算要求每个极限都存在，才能有两个函数的极限等于分别求极限之和，否则不能应用四则运算。
2)等价无穷小替换。等价无穷小替换公式可以将极限的计算化简，使得我们更快的求解结果，但这要注意几个问题，第一，什么情况下可以应用等价无穷小替换公式，并不是任何情况下都可以等价替换的.，只有在乘法和除法时可以应用的，这一点请同学们注意，有很多同学不记得这一点，上来就替换，最后算错了。第二，牢记等价无穷小替换公式，掌握它的广义化形式，不要记错公式和没有任何前提的应用广义化形式。
3)洛必达法则。说起这个法则，大家应该都很熟悉，没事“导”两下，但是这个可不是什么情况都能使用洛必达法则的，它是有条件的，三条，你还记得么?另外，洛必达法则并不是上来一个极限就用的，一般情况下是先利用等价无穷替换公式和四则运算等将极限表达式化简，最后再用洛必达法则，前提要验证是不是满足洛必达法则的三个条件，只要是想利用，就必须验证条件，而且这三个条件在历年考研真题中也考察过，请同学们注意。
4)重要极限。重要极限两个公式要牢记，也要掌握它们的广义化形式，灵活应用，会计算幂指函数极限的计算处理方法。
5)单侧极限。单侧极限这里要求在什么情况下要分侧求极限，比如分段函数，指数函数，反正切函数等这都是要分测计算极限的。
6)夹逼准则。一阶复习只需要掌握夹逼准则的内容，会简单的应用。
我们这学期有6门要考试，现在知道的最近一门考试时间是在6月24号，时间是知道了，平时没看到同学去上自习的现在都看到他们勤奋的身影了，可是我还真的不想复习考试的内容！我只想快点把数学复习完（现在很多人都开始第二轮复习了，而我第一轮都还没结束，好惭愧，所以才想快马加鞭）。
到了最后这一段时间的复习肯定就受到影响了，能分配到考研复习的时间也要相应减少了……
之前花费了很长一段时间让自己进入状态，现在好不容易等到状态来了，却也面临着期末考试，有点打击。不过现在第一轮还没复习完也是自己之前没控制好时间而导致自食其果。
我记得我第一次去听辅导班的课那老师第一天跟我们说过：如果今天的内容没办法完成，大家可以轻松一点过了，不过第二天的任务就加大了。如果这样就会导致第一天很轻松第二天就很累了！（当然那天老师是针对他要上课的内突来说的）
但是我想到的是，考研复习不正是这样吗？如果前期复习像我现在的第一轮数学复习那样，后期（就是现在）不就很痛苦吗？还很可能在期末结束前都不能完成任务呢！我的前期是很爽，但现在就一点也高兴不起来了，因为现在苦了！节奏也变得紧了……如果我的前期能像我复习最后两章的效率那么高，那第二轮也应该复习完了！
其实无论你复习哪一科都好，如果真的没有合理分配好时间，那下场就很惨了。所以，大家千万不要放松啊！加油！再苦也一定要挺住！
对于数学来说，很多考生都觉得很难很难。而考研数学对于工科和理科的学生来说，是必考的科目。为了数学取得一个好成绩，有的考生在数学上花费了很多的时间和精力，但是考试的成绩却不尽人意。为了取得事半功倍的复习效果。下面老师来谈谈高数复习中的重难点，希望同学们在复习过程中有的放失，不能盲目学习。
一、函数连续与极限
极限是高数的基本工具，是三大运算之一。求极限是考研试卷中常考的题型，是考试的重点。要求考生对于极限的概念以及求极限的基本方法掌握到位。在这一部分，还有两个重要的概念，即无穷小和间断点，是考试中常考的知识点，此处是我们复习的重点。常考的题型有：无穷小阶的比较，无穷小和极限的结合，间断点类型的判断。
二、一元函数微分学
求导是高数的第二大运算，要求对于各种类型函数的求导过关，也是为后面的多元函数求偏导打下基础。这一部分需要注意两个概念：导数和微分，要求理解导数的定义以及可导的充分必要条件。此外，还有导数的应用，这是内容比较多的一部分，是考试的重点，但不是难点，如函数的单调性、凹凸性、渐近线、拐点和方程根的判别等。这一部分还有一个难点，就是中值定理的.相关证明题，不过这部分题目解题思路不太灵活，掌握常见的技巧和方法足可应对。
三、多元函数微分学
多元函数连续、可偏导及可微的定义，以及三者之间的关系要准确区分。多元函数复合函数和隐函数求偏导和求全微分一定要过关。这些都是考试的重点。
四、多元函数积分学
数二和数三同学仅仅考查二重积分的计算，这是考试的重点，是每年必考的，常见题型有二重积分的基本计算，选择合适的坐标系法和积分次序，有必要时进行交换坐标系和积分次序等等，这些都是基本的运算。对于数一的同学，在以上基础上，还需要学习曲线、曲面积分的计算和三重积分的计算。尤其需要注意的是第二类曲线积分和格林公式的结合，三维曲线积分和斯托克斯公式的结合，第二类曲面积分和高斯公式的结合，这些是出大题的地方。
五、微分方程
掌握考纲中要求掌握的几类方程的解法，如可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、可降阶微分方程(数三不要求)、二阶常系数微分方程。需要注意一下常系数线性方程的解的结构。此外，微分方程和变上限函数、多元函数微分学或实际问题，经常会出一些综合题。
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2018考研数学之高数考点预测：中值定理证明
中值定理证明是高等数学重点难点，今年很有可能会考到，冲刺时间不多，小编带大家来把这些考点回顾巩固下： 中值定理是考研数学的重难点，这一类型的问题，从待证的结论入手，首先看结论中有无导数，若无导数则采用闭区间连续函数的性质来证明(介值或零点定理)，若有导数则采用微分中值定理来证明(罗尔、拉格朗日、柯西定理)，这个大方向首先要弄准确，接下来就待证结论中有无导数分两块来讲述。
一、结论中无导数的情况
结论中无导数，接下来看要证明的结论中所在的区间是闭区间还是开区间，若为闭区间则考虑用介值定理来证明，若为开区间则考虑用零点定理来证明。
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答：1.教育学的萌芽（前教育学时期17世纪以前）
最早的教育专著：我国《学记》《大学》，古罗马昆体良《论演说家的教育》，柏拉图《理想国》。世界上最早的一部教育专著《学记》，对于在教育实践中所提出的一些重大课题都做出了概括性的论述，已达到规律性认识。不足：还没有形成独立的体系；抽象概括的层次比较低；具有阶级局限性。
2.独立形态的教育学的产生与发展（17世纪到19世纪末）
这一时期的教育学已经形成一门独立的学科，出现了比较完整的理论体系，教育学独立理论体系的建立，标志着人们试图对教育这一对象的各方面属性及其总体做出反映，标志着教育学这门学科的正式诞生。
3.20世纪以来教育学的发展
出现了许多新的教育学派别和重要的教育学著作：实验教育学、文化教育学、实用主义教育学、马克思主义教育学、批判教育学。
2、学习教育学的意义？
答：1.树立正确的教育观，掌握教育规律，指导教育实践。2.树立正确的教学观，掌握教学规律，提高教学质量。3.掌握学生思想品德发展规律，做好教书育人工作。
4.建构教师合理优化的知识结构，提高教育理论水平和实际技能。
3、评价教育的三种起源说？
答：1.生物起源论。教育的生物起源论者把教育的起源归之于动物的本能行为，但否认了人与动物的区别，否认了教育的社会性。 2.心理起源论。孟禄在《教育史教科书》中，从心理学的观点出发，判定教育应起源于儿童对成人无意识的模仿。这种观点提出模仿是教育起源的新说，有其合理的一面。但错误在于他把全部教育都归之于无意识状态下产生的模仿行为，不懂得人之所以成为人是有意识的本
质规定，不懂得人的一切活动都是在意识支配下产生的目的性行为。3.劳动起源论。马克思主义教育学在关于教育起源问题上，通过科学分析人类祖先的产生及开始制造工具前后的历史，认为教育起源于劳动，具体之，起源于劳动过程中社会生产需要和人的发展需要的辩证统一。
4、简述教育的发展？
答：1.原始社会的教育。无阶级性；为生产劳动服务；在整个社会生活中进行；教育手段原始简单。原始社会末期的教育发展状态：教育目的更加明确；教育内容更加丰富；教育形式更加多样化。2.古代社会的教育。专门的教育机构和职教人员；鲜明的阶级性和严格的等级性；教育与生产实践的分离和对立；教育内容更加丰富；教育方法祟尚书本、呆读死记、强迫体罚、棍棒纪律；官、私并行的教育体制；个别施教或集体个别施教的教学形式。学校产生的条件和年代。
3.现代教育。教育与生产劳动相结合；教育的广泛普及和普及年限的逐步延长；教育形式多样化；终身教育；教育现代化。资本主义教育的特点：教育的广泛普及；学校教育系统逐步完善；创立新的教学形式；教学内容日益丰富；教学设备、手段不断更新发展；教育的阶级性依然存在；宗教教育占有一席之位；民族和种族歧视是一个实际的教育问题。现代社会中社会主义教育的特点：共产党的领导；教育内容的先进性与完善性；教育平等；消除了民族和种族歧视；教育与宗教分离。
5、教育的一般特点？
答：教育的一般特点：1.教育具有永恒性。2.教育具有历史性，在阶级社会里具有阶级性。3.教育具有相对独立性。
6、简述教育与社会的关系？（论述：为什么教育要先行？）答：教育和社会之间是相互促进，相互制约的。社会通过经济环境，文化背景，意识形态的钳制价值取向等方面影响教育的环境、行为和受教育者的思想，教育通过文化的传承，促进人民素质的提高，促进科技水平的发展，价值观的培养等方面促进社会的进步。
7、简述影响人及其发展的基本因素？（为什么教育要起主导作用？）答：由于人的发展是个复杂多变的过程，因而有许多因素在起作用，但一般说主要是三个方面的因素：⑴先天的遗传素质 ⑵后天的环境；即自然 ⑶教育；即社会因素.⑴遗传素质是人的发展的必要物质前提：①遗传素质为人的身心发展提供了必要的生物前提和发展的潜在可能性，没有这个前提人就无法得到发展。②遗传素质的生理成熟程度制约着人的身心发展的过程及其阶段。③遗传素质的生理性对人的发展有一定影响。④遗传素质为人的身心发展提供了可能性。
⑵环境对人的发展有重要影响：①社会生产力的发展水平决定着人的发展程度的范围。②社会关系影响着人的发展的方向的性质。③社会需要也影响人的发展。
⑶教育在人的发展中起主导作用：①学校教育具有明确的目的性和方面性，是专门培养人的活动。②学校教育还具有较强的计划性和系统性。③学校教育还具有高度的组织性。④控制、利用各种环境因素对人的自发影响。总之,影响人的身心发展的基本因素与作用即有遗传后天环境的教育等。
8、学校制度建立的依据？
答：1.取决于社会生产力发展的水平和科学技术发展的状况。2.受社会制度的制约，反映一个国家教育方针政策的要求。3.人口状况。
4.青少年儿童的年龄特征。
5.原有学制中有用的部分和外国学制的经验。
9、学校改革的基本原则？
答：服务于经济建设的原则；开放和创新的原则；从实际出发的原则。
10、学校制度教育改革的趋势？
答：1.加强学前教育及其与小学教育的衔接。2.提早入学年龄，延长义务教育年限。
3.普通教育和职业教育朝着综合统一的方向发展。4.高等教育的类型日益多样化。5.终身教育受到普遍重视。
11、简述教师的社会作用？
答：1.教师是人类文化科学知识的继承者和传播者，对人类社会的延续和发展起着桥梁作用。
2.教师是人类灵魂的塑造者，对年轻一代思想的健康成长起着特殊的作用。
3.教师是社会劳动力的再生产者，在把人由潜在的劳动力转化为现实劳动力的过程中起中介作用。
12、人民教师的基本任务？
答：1.全面贯彻党的教育方针，促进学生健康成长。2.善于发现和培养人才。
3.积极参加教育科研，发展教育理论。
13、教师的劳动特点？
答：1.强烈的示范性。教师的示范是学生最直接、最经常的表率，是引导和规范学生成长所不可缺少的手段。
2.独特的创造性。其创造性表现在，教师劳动的对象是活生生的人，教师必须对学生内心世界进行不停顿的探索，并创造出新的教学方式和方法。
3.教师劳动的长期性。教师劳动不仅要从当前的社会需要出发，而且
还应当从劳动结束时的社会需要考虑，教师的劳动总是指向未来的。4.教师劳动成果的间接性与集体性。学生这个劳动成果不是哪一个教师的，而是教师集体共同努力的结果，但每个教师又能体验到自己用心血培养出来的桃李芳香。
14、怎样做好教师? 答：1.做好教师，要具备良好的职业道德。①忠诚人民的教育事业，献身教育工作。②热爱学生，教书育人。③严于律己，为人师表。④虚心学习，团结协作。
2.做好教师，要具备良好的文化素养。①具备广泛深厚的文化科学基础知识。②具备扎实系统的专业学科知识。③具备全面准确的教育科学知识。④具备较高的马列主义理论素养。
3.做好教师，要完善教师的能力结构。①具备加工教学内容优化教学方法和手段的能力。②具备了解分析学生情况并给予正确指导的能力。③具备对学生进行思想教育工作的能力。④具备组织管理能力。⑤具备较好的语言表达能力。
15、社会主义新型教育人际关系？
答：从教育的本质属性和内在结构上看，社会主义新型教育人际关系主要是指教育过程中教师与学生、学生与学生所发生的相互关系和相互影响的关系。其作用是：①有利于学生社会观念的形成。②有利于学生交往能力的形成。③有利于学生人格的发展。④有利于学生智力的培养。
16、国外课程改革的趋势？ 答：1.注重基础学力的提高。2.信息素养的养成。
3.创造性与开放性思维的培养。4.强调价值观教育和道德教育。5.尊重学生经验、发展学生个性。
17、教学的作用？
答：1.教学集中体现了学校的基本特征和职能。①有明确的教育目的。②有确定的教育内容。③有固定的教育组织形式和时间安排。④有一定的设备。⑤有专门从事教育工作的教育者和相应的教育对象。2.教学是对学生实施全面发展教育，促进学生身心健康发展的最重要的途径。
3.教学是提高和检阅教师水平，开展试验改革，不断探索教育、教学规律的实践基地。
18、教学方法的选择和依据？ 答：（1）教学目的和任务的要求；（2）课程性质和教材特点；（3）学生特点；
（4）教学时间、设备、条件；
（5）教师业务水平、实际经验及个性特点。
19、简述教学过程？（教学过程的因素特点和规律？）
答：教学过程，就是教学活动的进行过程。是根据一定的教育目的和教学任务，在教师有计划有目的地指导下，通过教和学的双边活动，组织和引导学生积极主动地学习系统的文化科学知识的基本技能，并在此基础上，发展能力，增强体质，完善心理个性，培养思想品德，使学生德智体诸方面得到发展的过程。
构成教学过程基本因素是教师、学生、教材和教育手段。
教学过程的因素特点为：①教学过程是一种特殊的认知过程。②教学过程是以认识过程为基础，促进学生发展的过程。③教学过程是教学信息交流反馈和师生双边活动过程。
教学过程的规律是：1.教学过程学生认识的特殊性规律。①感知教材，形成表象。②理解教材，形成概念。③知识的巩固与保持。④运用知识，形成技能技巧。2.掌握知识和发展能力相统一的规律。3.传授知识与品德教育相统一的规律。4.智力活动与非智力活动相统一规律。5.教师主导作用与学生主体作用相统一的规律。
20、中小学教学的基本原则？（原则要求？）
答：中小学教学的基本原则是：1.科学性与思想性统一原则。要求：①保证教学的科学性。②发掘教材的思想性。③教师要不断提高自己的专业水平和品德修养。
2.理论联系实际原则。要求：①书本知识的教学要注重联系实际。②重视培养学生运用知识的能力。③正确处理知识教学与技能训练的关系。
3.直观性原则。要求：①正确选择直观教具。②直观要与讲解相结合。③重视运用语言直观。
4.启发性原则。要求：①调动学生学习的主动性。②启发学生独立思考，发展学生的逻辑思维能力。③让学生动手，培养其独立解决问题的能力。④发扬教学民主。
5.循序渐进原则。①按教材的逻辑顺序进行教学。②抓主要矛盾，解决好重点与难点的教学。③按照学生的认识和技能形成的顺序组织教学活动。
6.巩固性原则。①在理解的基础上巩固。②重视组织各种复习。③在扩充改组和运用知识中积极巩固。
7.因材施教原则。①针对学生的特点进行有区别的教学。②采取有效措施使有才能的学生得到充分的发展。
21、国外教学方法改革的趋势？
答：1.充分发挥师生双方在教学中的积极性。2.教学方法要有利于学生的智力发展。3.重视学生在学习中的情绪体验。4.教学中重视采用现代化教学手段。5.重视对“差生”学习的研究。
22、电化教学与传统教学的异同？
答：电化教学与传统教学的相同点：1.同样都是教学信息的传递过程，是以学生认知过程的转化为基础，促进学生获得全面发展的过程。2.其基本任务是：传授基础知识和基本技能，发展智力，培养能力，形成良好的思想品德，造就社会发展所需要的合格人才。3.在电化教学过程中，人是教学的关键，教师同样起主导作用。
电化教学与传统教学的不同点：1.传统教学过程是人——人系统，电化教学过程是人——机——人系统。2.传统教学过程的基本要素是：教师、学生、传统教学媒体，电化教学过程的基本要素是：教师、学生、现代教学媒体，即电化教学必须有现代教学媒体参与。
23、电化教学的作用？（既优点？）
答：1.提高教学质量。2.提高学习效率。3.扩大教学规模。4.促进教学改革。
24、电化教学的实施要求？
答：1.要有明确的目的和周密的计划。
2.要把教师的主导作用和学生的主体地位结合起来。3.要注意集体教学与个别教学相结合。
25、教学组织形式？
答：个别教学制、班级授课制、小组教学制、特朗普制。
26、班级授课制的优劣？（论述：怎么改进班级授课制？）答：班级授课制的优点：
（1）有利于经济有效地、大面积地培养人才；（2）有利于发挥教师的主导作用；（3）有利于发挥班级体的教学作用。班级授课制的缺点：
（1）强调系统书本知识的学习，容易产生理论与实际脱节。
（2）强调教学过程的标准、同步、统一，难以完全适应学生的个别差异，不利于因材施教。
答：班级授课制的优点：1.把相同或相近年龄和知识程度的学生编为班级，使他们成为一个集体，可以互相促进和提高。2.教师按固定的时间表同时对几十名学生进行教学，扩大了教学对象，加快了学习进度，提高了教学工作效率。3.在教学内容和教学时间方面有统一的规定和要求，使教学能够有计划、有组织的进行，有利于提高教学质量和发展教育事业。4.各门学科轮流交替上课，既能扩大学生的知识领域，又可以提高学习兴趣和学习质量，减轻学习疲劳。
班级授课制也存在一定的局限性：1.不能充分地适应学生的个别差异，照顾不到每个学生的兴趣、爱好和特长，也照顾不到优、差生的学习和发展。2.学生的主体得为得不到充分体现，教学活动多由教师直接做主，学生的主动性和独立性受到一定的限制。3.班级授课制以传递间接经验为主要任务，实践性不强，学生的动手机会少，其探索性、创造性不易发挥。
班级授课制的优越性使它迄今仍是各国学校教学的基本组织形式。班级授课制的局限性又使它一而再、再而三地受到抨击。客观地讲，班级授课制是一个历史时代的产物，当时代前进了，许多条件变化了，班级授课制也不可能固定不变。
27、课类型结构？
答：课的类型可以划分为单一课和综合课两大类。
课的基本结构：单一课主要完成某一特定的教学任务，分为：传授新知识课、巩固知识课、培养技能课、检查知识课。时间为30——40分钟。
综合课在一节课内要完成多项教学任务，其结构包括组织教学、检查复习、教授新教材。时间为15——25分钟。
28、我国社会主义德育包括哪几部分？ 答：1.爱国主义和国际主义教育。2.共产主义理想和革命传统教育。3.马克思主义常识和社会主义教育。4.集体主义教育。5.劳动和社会实践教育。
6.社会主义民主和遵纪守法教育。7.人道主义和社会公德教育。8.正确人生观与科学世界观教育。9.良好的个性心理品质教育。
29、德育的意义？
答：1.德育是社会主义现代化建设的重要条件和保证； 2.德育是青少年健康成长的条件和保证； 3.德育是想教育目的的条件和保证。
30、德育的任务？
答：1.培养学生树立坚定的政治方向。2.培养学生具有良好的社会公德和文明行为。
3.培养学生奠定辩证唯物主义世界观和人生观的基础，形成良好的品德能力。
31、德育的基本内容？
答：我国中小学德育的基本内容包括以下方面：（1）爱国主义教育（2）集体主义教育
（3）法制教育（4）社会公德教育（5）劳动教育（6）健康心理品质教育（7）人生观教育（8）科学世界观教育（9）社会主义教育
32、德育过程的规律？
答：1.德育过程是教师教导下学生能动的道德活动过程。2.德育过程是培养学生知、情、意、行的过程。3.德育过程是促进学生品德发展矛盾的积极转化过程。4.德育过程是提高学生自我教育能力的过程。
33、德育的原则？
答：1.理论和实践相结合原则。2.疏导原则。
3.发扬积极因素、克服消极因素原则。4.热爱、尊重信任与严格要求相结合原则。5.因材施教原则。
6.集体教育与个别教育相结合原则。7.教育影响一致性与连贯性原则。
34、简述德育的方法？
答：1.说理教育法 2.榜样示范法 3.陶冶教育法 4.实际锻炼法 5.品德修养指导法 6.品德评价法
35、班主任工作的作用？ 答：班主任工作的任务主要有：
（1）班主任对本班学生进行道德品质教育。
（2）促使本班学生自觉接受文化知识的教育和技能技巧的训练。（3）组织学生参加校内外的社会活动和力所能及的公益劳动，在活动中培养其艰苦朴素的思想和劳动观念，增强学生身体素质，提高学生综合能力。
36、班主任工作的内容？ 答：班主任工作的主要内容是：
（1）研究和了解学生（2）做好学生的思想工作（3）指导学生学习
方法，提高学生的生活能力（4）组织班集体活动（5）做好校内外的协调工作（6）做好学生评价工作（7）作好班主作工作计划与总结
37、课外、校外活动的形式？
答：群众性活动、小组活动、个人活动。
38、课外、校外活动的基本要求？
答：1.思想性要求。组织人员要有计划、有目的的去开展活动，坚持社会主义教育方针，贯彻党的教育方针、政策，对活动内容要有鉴别和取舍，剔除低级庸俗、不健康的思想认识，抵制其对青少年身心的毒害。
2.科学性要求。组织学生学习最新科学知识，训练学生探求知识的科学方法，防止唯心、迷信、虚假的东西把学生引入歧途。
3.趣味性要求。活动内容和形式要生动、多样，富有吸引力，使学生乐意参加，从中获得知识和教益，满足他们不同的要求。
4.量力性要求。开展课外活动不能影响消弱更不能代替课堂教学，要分清主次，把主要精力和时间用在提高教学质量上，以课堂教学为中心。
5.发挥学生主动性要求。在课外活动中，要体现学生的主体地位，充分发挥学生集体和个人的主动性、独立性、创造性。6.学校、家庭、社会多方面教育力量协调配合要求。
39、课外活动组织领导的要求？
答：1.要结合学校的教育教学要求。第一、课外活动的分量和难度要适当，防止负担过重，占去学生过多课余时间，影响学生的身心发展。第二、课外活动的日程和时间要安排得当，不能挤占正常的课堂教学时间。第三、正确处理课外活动与课堂教学的关系，不能因搞课外活动而放松对课堂教学的要求，要保证全面完成教学任务，保证教学质量。
2.要根据指导者的特长组织课外活动。第一、要注意是否有用武之地，开展活动要从班级的实际出发，不能为发挥特长而发挥特长。第二、注意活动的科学性和思想性，防止思想不健康或违反科学的活动。第三、注意自己的特长是否符合学生的承受能力和水平，过高过难的技能技巧会适得其反，不利于课外活动的开展。第四、指导教师应与其他科任教师互相配合，取长补短。3.要照顾学生的兴趣和爱好。
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