北师大数学勾股定理题

北师大数学勾股定理题（精选7篇）

北师大数学勾股定理题 篇1

无论是解说外在物质世界，还是描写内在精神世界，都不能没有数学!最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在2500年前的毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛(今希腊东部小岛)，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。以后因为向往东方的智慧，经过万水千山来到巴比伦、印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明甚至中国文明的丰富营养，大约在公元前530年又返回萨摩斯岛。后来又迁居意大利南部的克罗通，创建了自己的学派，一边从事教育，一边从事数学研究。

毕达哥拉斯(Pythagoras,572 BC-497 BC)古希腊数学家、哲学家。

毕达哥拉斯和他的学派在数学上有很多创造，尤其对整数的变化规律感兴趣。例如，把(除其本身以外)全部因数之和等于本身的数称为完全数(如6，28，496等)，而将本身大于其因数之和的数称为盈数；将小于其因数之和的数称为亏数。他们还发现了“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”，西方人称之为毕达哥拉斯定理，我国称为勾股定理。当今数学上又有“毕达哥拉斯三元数组”的概念，指的是可作为直角三角形三条边的三数组的集合。

在几何学方面，毕达哥拉斯学派证明了“三角形内角之和等于两个直角”的论断；研究了黄金分割；发现了正五角形和相似多边形的作法；还证明了正多面体只有五种——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。

毕达哥拉斯学派认为数最崇高，最神秘，他们所讲的数是指整数。“数即万物”，也就是说宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达。但是，有一个名叫希帕索斯的学生发现，边长为1的正方形，它的对角线（2)却不能用整数之比来表达。这就触犯了这个学派的信条，于是规定了一条纪律：谁都不准泄露存在真的希帕索斯无意中向别人谈到了他的发现，结果被杀害。但(即无理数)的秘密。天2很快就引起了数学思想

2殉难留下的教训的大革命。科学史上把这件事称为“第一次数学危机”。希帕索斯为是：科学是没有止境的，谁为科学划定禁区，谁就变成科学的敌人，最终被科学所埋葬。

北师大数学勾股定理题 篇2

一、直接用勾股定理计算

例1 (2015·吉林长春)如图1,点E在正方形ABCD的边CD上.若△ABE的面积为8,CE=3,则线段BE的长为_______.

【分析】本题根据△ABE的面积为8可求出正方形边长为4,再根据勾股定理即可求出BE的长.

解:过E作EM⊥AB于M,如图2,

∵ 四边形ABCD是正方形,

∴AD=BC=CD=AB,∴EM=AD,BM=CE,

∵△ABE的面积为8,

∴1/2×AB×EM=8,得:EM=4,

即AD=DC=BC=AB=4,

∵CE=3,由勾股定理得:BC2+CE2=BE2,

∴BE2=42+32=25,

∴BE=5.

【点评】本题求出正方形边长是关键, 求出边长后直接利用勾股定理进行计算.

二、勾股定理和逆定理并用证垂直

例2 (2013·内蒙古包头)如图3,点E是正方形ABCD内的一点,连接AE、BE、 CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到 △CBE′的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,则∠BE′C=_______ 度.

【分析】首先根据旋转的性质得出∠EBE′=90°,BE=BE′=2,AE=E′C=1,进而根据勾股定理的逆定理求出△EE′C是直角三角形,从而得出答案.

解:连接EE′,如图4,

∵ △ABE绕点B顺时针旋转90° 到 △CBE′,

∴∠EBE′是直角,

∴△EBE′是直角三角形,

∵△ABE与△CBE′全等,

∴BE=BE′=2,∠AEB=∠BE′C,

∴∠BEE′=∠BE′E=45°,

∵EE′2=22+22=8,AE=CE′=1,EC=3,

∴EC2=E′C2+EE′2,

∴△EE′C是直角三角形,

∴∠EE′C=90°,∴∠BE′C=90°+45°=135°.

【点评】此题主要考查了勾股定理以及逆定理,根据已知得出△EE′C是直角三角形是解题关键.

三、利用勾股定理解决实际问题

例3(2015·福建厦门)已知A,B,C三地位置如图5所示, ∠C=90°,A,C两地的距离是4 km,B,C两地的距离是3 km,则A,B两地的距离是_______km;若A地在C地的正东方向,则B地在C地的_______ 方向.

【分析】根据勾股定理来求AB的长度由于∠C=90°,A地在C地的正东方向,则B地在C地的正北方向.

解:∵∠C=90°,A,C两地的距离是4 km,B,C两地的距离是3 km,

∴AB2=AC2+BC2,∴AB2=42+32=25,

∴AB=5(km).

又∵A地在C地的正东方向,则B地在C地的正北方向.

【点评】本题考查了勾股定理的应用和方向角. 这类问题的解决策略是运用勾股定理建立数学模型,把实际问题转化为数学问题.

四、利用勾股定理经典图创设问题

例4(2015·湖南株洲)如图6是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、 △CDF和 △DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形. 如果AB=10,EF=2,那么AH等于_______.

【分析】一方面根据图形特征得出线段之间的关系AE-DE=2,另一方面利用面积关系:正方形ABCD的面积-正方形EFGH的面积=四个全等直角三角形面积和,得出AE×DE=48,再利用勾股定理得出AE2+ DE2=AD2=AB2=100推出AE+DE=14,最后解二元一次方程组即可算出DE长,即AH的长.

解:∵AB=10,EF=2,

∴ 大正方形的面积是100,小正方形的面积是4,

∴四个直角三角形面积和为100-4=96,

设AE为a,DE为b,即4×1/2ab=96,

∴2ab=96,a2+b2=100,

∴(a+b)2=a2+b2+2ab=100+96=196,

∴a+b=14,∵a-b=2,

解得:a=8,b=6,

∴AE=8,DE=6,∴AH=DE=6.

勾股定理检测题 篇3

一､选择题

1直角三角形的斜边比一条直角边长2 cm,另一条直角边长是6 cm,则斜边长为().

A4 cmB8 cm C10 cmD12 cm

2Rt△ABC的斜边AB的长为10,AC ∶ BC = 3 ∶ 4,则这个直角三角形的面积是().

A6B8 C12 D24

3如图1,有一个直角三角形纸片ABC,两直角边AC = 6,BC = 8.现将纸片沿直线AD折叠,使AC落在斜边AB上,且与AE重合,则DE的长为

().

A2B3 C4 D5

4如图2,Rt△ABC中,∠B = 90°,AD､CE分别是边BC､AB上的中线,且AD = 5,CE = 2 .则AC的长为().

A10 B4

C D2

5在△ABC中,若∠A = ∠C - ∠B,则△ABC一定为().

A锐角三角形B直角三角形

C钝角三角形D任意三角形

6若a､b､c为三角形的三边长,则下列各组情况中,不能组成直角三角形的是().

Aa = 8,b = 15,c = 17Ba =,b =,c = 1

Ca = 14,b = 48,c = 49 Da = 9,b = 40,c = 41

7在△ABC中,a､b､c分别为∠A､∠B､∠C的对边的长.下列说法中错误的是().

A若∠A = ∠B - ∠C,则△ABC为直角三角形,且∠B = 90°

B若b2 = c2 + a2,则△ABC为直角三角形,且∠C = 90°

C若(c + a)(c - a) = b2,则△ABC为直角三角形

D若∠A ∶∠B ∶∠C = 5 ∶ 2 ∶ 3,那么△ABC为直角三角形

8 若三角形的三边长分别为n + 1,n + 2,n + 3,当三角形是直角三角形时,n的值为().

A- 1 B2 C- 1或2 D不能确定

二､填空题

9如图3所示,某农家小院的一个长方形木栅栏门,其高为2 m,宽为1 5 m,现需要在相对的顶点间用一块木板加固,则木板的长至少为

10某直角三角形的三边长是连续的偶数,则其周长为

11在Rt△ABC中,斜边AC = 2,则AB2 + BC2 + AC2 =

12如图4,一根旗杆在离地面9 m处断裂,旗杆顶端落在离旗杆底部12 m远的地面A处,则旗杆折断之前的高度为 m

13如图5,四边形ABCD中,∠A = 90°,BD⊥DC,AB = 8,AD = 6,BC = 26,则四边形ABCD的周长为,面积为

14一个三角形的三边长之比为5∶12∶13,且周长为60,则这个三角形的面积为 .

15如图6,一块四边形地ABCD中,AD = 4 m,CD = 3 m,AB = 13 m,BC = 12 m,∠ADC = 90°,则这块地的面积为

16在△ABC中,a = m2 - n2,b = 2mn,c = m2 + n2,其中m､n是正整数,且m > n > 0,则△ABC的形状是

17如图7,正方形ABCD中,E为AD的中点,G为DC上一点,且DG =DC,则BE与EG的位置关系为

18如图8,在△ABC中,∠ACB = 90°,AC =BC,P是△ABC内一点,且PA = 3,PB = 1,PC = 2,则∠BPC =

三､解答题

19暑假中,小明和同学到某个海岛按照图9所示的路线(实线)去探宝 他们在点A登陆后先往东走8 km,又向北走2 km,遇到障碍后又往西走3 km,再折向北走6 km,然后往东一拐,仅走1 km 就在B处找到了宝藏.问:登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少?

20如图10,将长､宽分别为16 cm､10 cm的矩形按甲､乙两种方法剪成四个大小一样的直角三角形,并用其拼成图11所示的正方形.试通过计算说明哪种剪法拼得的正方形中间的小正方形的面积较大,并求出其面积.

21如图12,在等腰直角三角形ABC中,点P是斜边上不与A､B重合的任意一点,试探究PA2 + PB2与PC2之间的数量关系,并说明理由.

22如图13,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC = 90°.E､F是BC上的点,且∠EAF =45°,试探究BE2､CF2､EF2之间的关系,并说明理由.L

北师大数学勾股定理题 篇4

【预习达标】

在ΔABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，a=。sinA

a2.在锐角ΔABC中，过C做CD⊥AB于D，则|CD|==，即，同sinA1.在RtΔABC中，∠C=90, csinA=,csinB=，即0理得，故有a。sinA

3.在钝角ΔABC中，∠B为钝角，过C做CD⊥AB交AB的延长线D，则|CD|==，即aa，故有 sinAsinA

【典例解析】

例1 已知ΔABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小：

00000（1）A=60，B=45，a=10；（2）a=3,b=4,A=30；（3）a=5,b=2,B=120；（4）

b=.例2 如图，在ΔABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：

B D C BDABDCAC

【达标练习】

1.已知ΔABC，根据下列条件，解三角形:

(1)A=60，B=30，a=3；（2）A=45，B=75，b=8；（3）a=3，A=60； 00000

用心爱心专心

2.求证：在ΔABC中，sinAsinBab sinCc

3.应用正弦定理证明：在ΔABC中,大角对大边，大边对大角.4．在ΔABC中，sinA+sinB=sinC,求证：ΔABC是直角三角形。

222

参考答案

【预习达标】

bcbcbca1．a,b,.2.bsinAasinB ， ,=.sinBsinCsinBsinAsinCsinBsinC

bbc3..bsinAasinB ， =.sinBsinBsinC

【典例解析】

例1(1)C=750，000(2)B≈41.80,C≈108.8,c≈5.7或B≈138.2，C

00≈11.8，c≈1.2(3)无解（4）C=45，A=15，a≈2.2

例2证明：如图在ΔABD和ΔCAD中，由正弦定理，得BDABDCACAC，sinsinsinsin(1800)sinβB 0 D BDAB两式相除得 DCAC【双基达标】

1．（1）C=90，,c=00

(3)B=60,C=902．证明：设00

abck，则aksinA,bksinB,cksinC sinAsinBsinC

abksinAksinBsinAsinB cksinCsinC

00

00003．(1)设A>B，若A≤90,由正弦函数的单调性得sinA≥sinB,又由正弦定理得a≥b；若A>90，有A+B<180,即90>180-A>B, 由正弦函数的单调性得sin(180-A)>sinB,即sinA>sinB, 又

由正弦定理得a>b.(2)设a>b, 由正弦定理得sinA>sinB,若B≥90,则在ΔABC中A<90, 有sinA>sin（180-B）由正弦函数的单调性得A>180-B,即A+B>180,与三角形的内角和为180相矛盾；若A≥90,则A>B；若A<90,B<90, 由正弦函数的单调性得A>B.综上得，在ΔABC中,大角对大边，大边对大角.4．略

北师大数学勾股定理题 篇5

1、怎样简便就怎样算。（1）3－

（4）18×（+）

（5）×7+×5

（6）（－75535585510－

（2）×+×

（3）×+÷ 12127887***23231614）×24－ 125

（7）（57×47+47）÷47

（8）12115÷[（3+5）×13]

2、解方程。(20分)（1）7χ=11816

（2）χ×（3274+3）=2

4（２）６×1112－2χ＝12

3、列式计算。

（1）一个数的35是30，这个数是多少？

（2）比一个数多12%的数是112，这个数是多少？

（3）12加上23的和，等于一个数的23，这个数是多少？

（4）一个数的35比它的2倍少28，这个数是多少？

北师大数学勾股定理题 篇6

（一）1.一辆货车可运55袋化肥，每袋化肥重125千克，8辆这样的货车，一次可运化肥多少吨？

2.商店有9箱香皂，每箱25盒，每盒有8块，商店一共有多少块香皂？

3.“一百”店庆期间，规定全场帽子每顶20元，买3顶送1顶。李阿姨一次买了3顶，每顶便宜多少元？

4.一把椅子的价格是50元，桌子的价格是椅子的4倍，李伯伯要买一套桌椅，一共需要多少钱？

5.化肥厂平均每月生产化肥1200吨，已经生产了半年，化肥厂一共生产了多少吨化肥？

6.一栋大楼有20层，平均每层楼面有49个房间。这栋大楼一共有多少个房间？

7.商店一天卖出4盒钢笔，每盒10支，一共卖出多少支？每支钢笔卖24元，一共卖了多少元？

8.食堂每天用大米200千克，一个月（30天）要用多少千克大米？

9.小红每分钟能做12道口算题，7分钟能做几道？

10.东园小学体训队中，参加田径训练的有16人，参加跑步训练的人数是参加田径训练的人数的3倍，参加跑步训

练的有几人？

11.学校体育组买来5副跳棋和4副中国象棋，每副跳棋18元，每副中国象棋23元。100元钱买5副跳棋够吗？

12.学校食堂平均每天要烧制106千克猪肉，供全校师生食用，照这样计算，一个月（按31天计算），学校食堂要

准备多少千克的猪肉？

13.四年级学生的平均体重是28千克，四年级共有152名学生，他们全年级学生大约重千克？

14.学校举行图书漂流活动，四（2）班一共向同学们征集了128本书，按这样计算，全校29个班级，一共向同学

们征集了多少本书？

15.学校准备发练习本，发给21个班，每班144本，还需要留70本作为备用。学校应买多少本？

16.一场电影有观众806人，照这样计算，放映32场共有观众多少人？

17.学校要为运动员添置服装，其中上衣每件116元，裤子每条88元，如果添置12套，一共需要多少元？

18.小明每分钟打字56个，从9时到11时25分，他一共打字多少个？

19.大华水果超市 双休日共运进苹果125箱，每箱15千克，卖出1050千克，还剩多少千克？

20.超市准备用一辆载重为3吨的卡车去运220袋大米，每袋大米重15千克，一次能全部运来吗？为什么？

21.一头牛重350千克，一头大象的重量是牛的20倍，这头大象有多重？

22.一座教学楼共有24扇窗户，每扇窗户大约需要5平方米的玻璃，每平方米的玻璃20元，这座教学楼安装玻璃

大约需要多少元钱？

23.超市上午卖出大米53袋，每袋25千克，下午又卖出同样的大米47袋，这天共卖出大米多少千克？（怎样算更

简便？）

24.同学们浇树，四年级平均每人浇20棵，四（1）班有53人，四（2）班有55人，两个班一共浇树多少棵？

25.百货商店从工厂购进80台洗衣机，每台550元，以每台650元售出，卖出50台后，以每台405元降价销售。

① 百货商店从工厂购进洗衣机时应付多少钱？

② 先卖出的50台洗衣机共卖了多少钱？

③ 降价后的洗衣机还能卖出多少钱？

④ 请帮经理算一算，卖完 这批洗衣机，商店是赚了还是亏了？赚或亏多少元？

26.龙山公园有一个边长是6米的正方形花坛。公园打算每平方米种上16棵郁金香，整个花坛需要多少棵郁金香？

为了美化环境，公园管理人员打算将花坛的边长增加到12米，扩建后的花坛比原来多种了多少棵郁金香？

27.我国发射的“神舟”七号飞船，绕地球一周要105分钟，绕地球24周大约要多少时间？

28.小宣走一步的平均长度为56厘米，她从家到学校一共走了550步，小宣家离学校大约有多少米？

29.学校会议室有12排座位，每排有58个，大约能容纳多少人？

30.玲玲读一本280页的故事书，每天读29页，11天能读完吗？（用估计的方法解决）

31.一本书19元，小明准备买10本，大约要带多少钱？

32.小红每分钟大约能阅读109个字，她13分钟大约能阅读多少个字？

33.水果店运进香蕉18箱，运进苹果的箱数是香蕉的31倍，运进香蕉和苹果共多少箱？（用两种方法解决）

34.足球每个46元，篮球每个54元，买18个足球和18个篮球，应付多少元？（用两种方法解决）

35.电影院原有座位48排，每排20座，扩建后增加了84个座位，现有电影院有多少个座位？

36.小玲一家三口人准备旅游，计划每人每天支出如下：伙食费50元，住宿费75元，交通费15元，往返火车票费

用240元。如果外出6天，至少准备多少钱？

从定理证明中学习证题方法 篇7

已知:如图1, 在梯形ABCD中, AD//BC, ∠B=∠C.求证:AB=CD.

分析一:怎样证明等腰梯形的判定定理, 同学们曾经学习“等边对等角”的定理, 如果能将梯形的两腰转化到一个三角形之中, 就可以用“等边对等角”的定理加以证明;同学们学过两直线平行, 同位角相等, 内错角相等的性质, 于是, 通过添加平行线的办法可以达到目的, 现列举以下几种证法。

证法一:如图1, 过点D作DE//AB交BC点E,

则∠1=∠B.

∵∠B=∠C,

∴∠1=∠C, 故DE=DC,

又∵DE=AB, ∴AB=DC.

证法二:如图2, 过点C作CE//AB交AD的延长线于点E,

∵CE//AB, AD//BC,

∴四边形ABCE为平行四边形,

∴CE=AB, ∠B=∠E,

又∵∠BCD=∠1, ∠B=∠BCD,

∴∠1=∠E,

故DC=CE.

又∵CE=AB,

∴AB=DC.

证法三:如图3, 取AD的中点H, 过点H作HE//AB交BC于E, HF//CD交BC于F.

∵AD//BC,

∴四边形ABEH与四边形HFCD都是平行四边形,

∴HE=AB, HF=CD.

∵∠1=∠B, ∠2=∠C, ∠B=∠C,

∴∠1=∠2, 故HE=HF,

∴AB=DC.

以上几种证法都是通过添加平行线构造平行四边形与三角形, 然后利用平行四边形和三角形的性质使问题得到解答, 这里, 我们再一次看到平行线在证明中的作用。

分析二:证明两条线段相等还可以通过证明两个三角形全等而得, 如果能添加辅助线正好成为两个三角形的两边, 再设法证这两个三角形全等即可, 由这种思考途径我们可以得到以下两种证法:

证法四:如图4, 作AE⊥BC, DF⊥BC, 垂足分别为E、F,

∵AD//BC,

∴AE=DF,

又∵∠B=∠C,

∴△ABE≌△DCF. ∴AB=DC.

证法五:如图5, 过两点B、C作AD的垂线, 垂足为EF

∵BE⊥EF, CF⊥EF, AD//BC,

∴BE=CF,

又∵∠1=∠ABC=∠BCD=∠2,

∴△BAE≌△CDF,

∴AB=DC.

分析三:由等角对等边的方法还可以得到该定理的另一种证法。

证法六:如图6, 延长BA与CD相交于点P,

∵AD//BC, ∠1=∠B, ∠1=∠C,

∴∠B=∠C, ∴∠1=∠2.

∴PB=PC, PA=PD.

∴PB-PA=PC-PD.

∴AB=DC.