全国卷数学理科真题

全国卷数学理科真题（共4篇）

全国卷数学理科真题 篇1

2015年6月7日的17:00，2015年数学高考的考试已经正式结束，对于今年的高考数学试题的整体情况，以及与往年相比有哪些特点和变化，今后的命题有何趋势，天星教育数字教育研究中心第一时间邀请到了著名特级教师尧秋元老师，为各位师生和家长做精彩点评。

尧老师谈到，今年全国Ⅱ卷有如下特点：

一、试卷难度适中，凸显对能力的考查

2015高考数学新课标卷Ⅱ(理科)试题紧扣2015年《考试大纲》，全卷设计合理、难度适中、覆盖面广、适度求新，既注重对基础知识与基本技能的考查，又突出考查数学思想与综合能力。与2014年全国新课标II卷试题相比，整体难度类似，体现出较好的区分度与选拔性。

与2014年全国新课标II卷相同，全卷的突出对运算能力的考查，几乎每个题目都需要一定的运算才能解答，尤其是第18题，虽然不要求计算出具体数值，但是对画出茎叶图后的估算能力要求较高，这是继2014年高考卷后又一次在理科卷中对统计知识的重点考查。当然试题不仅要求学生“能算”，具有认真、细致和及时检验的运算习惯，还要求学生“会算”，即在运算中讲究一定的策略、方法与技巧。这就需要在平常的复习和备考中加强数学思想方法方面的训练，掌握通性通法的同时还要掌握一些常用方法、技巧。

二、考点分布合理，稳中有变

与2014年全国新课标II卷，考点上最突出的变化是第18题，对统计中的茎叶图、均值、方差的知识做了考查，而且题目不要求计算出具体数值，体现高考避免对考生大数值运算的考查。通过这两年高考，启示我们在复习中对统计中的相关关系、线性回归、独立性检验等知识要给予足够的重视。

其次是第17题，题目考查三角函数、解三角形的相关知识，体现了高考的多变性，而不是还像去年一样考查数列。

三、题目考查合理，体现创新性，亮点较多

题目整体上考查合理，稳中求新，具体来看今年的试卷，比如第3、6、10、18都体现了一定的新意，是难得的好题。

数学(文)>>>

不偏不怪入手容易计算量适中

点评人：福州三中高三文科数学集备组组长 林珍芳

今年数学文科卷结构稳定，层次分明，突出双基，重视能力，难易有度，较好地考查了基础知识、基本技能和基本方法，而且绝大多数的解答计算过程不繁杂，计算量适中。六个解答题类型稳定，题序依次为：数列、三角函数、立体几何、概率统计、解析几何、函数与导数。

试卷题型背景是学生熟悉、常见的，强调通性通法，不偏不怪，解题入手容易，有利于学生正常发挥。即使是作为区分题的第12题、第16题，一般学生也能入手。解答题的前三题均比较常规，入口较低，有利于学生树立考试信心。如第17题考查数列的基本运算，属于容易题;第18题考三角函数，模式传统，一般学生已经训练有素;第19题图形模型熟悉，所考查的“证明线面垂直”和“求体积”，都是基本问题，难度较小，易得分。

比较有区分度的是第21题，考查解析几何，入口宽，落点高，第二问设问方式开放，以圆和抛物线为背景，对学生的综合能力要求较高，特别是要求利用图形的几何性质解决问题的能力，体现了“多思少算”的思想。第22题背景函数是学生熟悉的指数函数，设问明了，求函数极值也是学生熟悉的题型;第2、第3小题，学生要通过构造新函数，运用数形结合、分类整合等思想方法，体现了对学生能力的高要求。

今年高考数学文科卷，在解题过程的认真程度、答题规范与否方面，会使考生的成绩拉开。而今年试题对今后教学的启示是，要注重通性通法，回归课本，强化基础训练，不要一味追求难题。要关注数学本质，尽可能吃透课本中所呈现的数学思想方法，以不变应万变。

数学(理)>>>

没有“秒杀”题细微之处见真功

点评人：福州三中高三理科数学集备组组长 林风

今年高考数学理科卷可以用一句话来概括：平淡中考基础，常规中考能力。可谓“细微之处见真功，应变之中显能力”。

试卷难易度合理，充分贯彻了课标精神，充分体现了“以人为本”的精神。试卷结构稳定，题型常规常矩，符合教情、学情、考情，大多数考生能完成大部分试题，不同的考生都能通过考卷展现出高中三年数学学习的收获，充分展示不同学生在数学学习中的基础性、独特性和灵活性，能够较好地全面考查学生的数学基础、能力和素质。

试卷立足基础，考查学生的基础知识、基本技能和基本方法，强调通性通法，没有出现考生最害怕的“秒杀”题。不少试题看似平淡却显基础和功力，如第14题、17(2)题、18题、19题，在强调基础的同时，更强调应用知识的灵活性。

全国卷数学理科真题 篇2

回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3443，94249等.显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99. 3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.则（Ⅰ）4位回文数有 个；（Ⅱ）2n+1（n∈N*）位回文数有 个.

回文“palindrome”一词来源于希腊语的“palindromo”，意为“running back again”，是指无论顺拼（写）或倒拼（写）都完全一样的词、诗歌、句子或数字等.如我国清代著名女词人吴绛雪曾有咏四季的四首回文诗《春夏秋冬》，其中的《夏》为：

香莲碧水动风凉，水动风凉夏日长.

长日夏凉风动水，凉风动水碧莲香.

诗词描绘了一副卷卷夏日凉风吹拂湖面，水波荡漾，荷花飘香的美景，读来音韵优美，意境清新，形式奇妙，可为佳作.而在中国诗坛上这样的回文诗句举不胜举.

北京“天然居”餐馆，迎面有对联：

客上天然居，居然天上客.

客人看了心境特好，而且上、下联为回文联.据说乾隆皇帝别出心裁，把两句并成新的上联，征求下联.大臣纪昀机敏过人，对出下联：

人过大佛寺，寺佛大过人.

对仗工整，体现了对称、和谐、高雅美！

再如英语中有回文单词：radar（雷达），level（水平，水平面），rotator（旋转体），pop（流行音乐），deed（行动），civic（市民的）等等；还有回文句，如：Able was I ere I saw Elba（不见厄尔巴岛，我不倒.这是拿破仑被问及是否已入侵英格兰时的回答）；Ma is as selfless as I am（妈妈和我一样无私）；A man，a plan，a canal，Panama！（伟大的人，伟大的计划，伟大的巴拿马运河），等等，这样的回文单词和回文句子在英语中同样举不胜举.

随着时代的发展，现在各种广告中还出现一些回文商标，如101生发水、505神功元气袋、414毛巾、555香水、999胃药等，其中的数字都是回文数，就连常见的呼救信号SOS也都是回文.可见，“回文”现象无处不在.而在数学中，最有趣的就是回文数了.下面我们谈谈数学中回文数的一些有趣问题.

1. 回文数的个数

显然两位数的回文数有11，22，…，99，共9个；三位数的回文数有1i1，2i2，…，9i9，i=0，1， …，9，共90个；四位数的回文数有1ii1，2ii2， ……，9ii9，i=0，1， …，9，共90个；相应的，五位数的回文数有900个，六位数的回文数也有900个，…，由此可归纳猜想一般结论：

命题1 n位数的回文数的个数，当n=2k（k∈N*）时有9×10k—1个；当n=2k+1（k∈N*）时有9×10k个，其中k∈N*.

证明 设回文数为a1a2…an—1an，当n=2k（k∈N*）时，必有a1=a2k，a2=a2k—1，…，ak=ak+1，显然，a1与a2k可取1，2，…，9；a2与a2k—1可取0，1，…，9；…；ak与ak+1可取0，1，…，9，故根据乘法原理，当n=2k（k∈N*）时的回文数个数为1个9与（k—1）个10相乘，即9×10k—1个.

当n=2k+1（k∈N*）时，必有a1=a2k+1，a2=a2k，…，ak=ak+2，ak+1=ak+1，显然，a1与a2k+1可取1，2，…，9；a2与a2k可取0，1，…，9；…；ak与ak+2可取0，1，…，9；ak+1可取0，1，…，9，故根据乘法原理，当n=2k+1（k∈N*）时的回文数个数为1个9与k个10相乘，即9×10k个.

由此知高考题的答案是：（1）90；（2）9×10k.

2. 回文数的几个性质

回文数与11有特别的关系：

命题2 从1到9的任何一个数乘以11，总能得出回文数，如2×11=22，7×11=77等.

如果一个回文数的位数是双数，那么它总能被11除尽，如6556÷11=596；32523÷11=29593等.我们将这个性质叙述为如下的命题

命题3 每一个偶位数回文数均可被11整除.

证明 设回文数为a1a2…an—1an，当n=2k（k∈N*）时，a1a2…a2k—1a2k=a1a2…akak+1…a2a1，显然，a1可取1，2，…，9；a2，a3，…，ak可取0，1，…，9，故a1a2…akak+1…a2a1=a1+10a2+…+10k—1ak+1+10kak+…+102k—2a2+102k—1a1，而10≡

—1（mod 11），102≡1（mod 11），103≡—1（mod 11），…，102k—1≡—1（mod 11），故a1a2…akak+1…a2a1≡a1—a2+a3—…—a3+a2—a1≡0（mod 11）.

注 命题3中，当回文数的位数是4时即为1992年云南初二年级数学竞赛题，题目如下：

把一个正整数的数码按顺序倒写后所得的数与原数相同称为回文数，例如：22，101，342243，…

（1）将任意两个四位回文数的差记为x，求x的最小正值m；

（2）证明：每一个四位回文数都能m被整除.

命题4 如果一个回文数的位数是双数，并且越往中间数字越大，越靠两头数字越小，那么用它除以11的商一定是回文数，如2456886542÷11=223353322，2558998552÷11=232636232等.证明留给读者.

除此之外，还有许多有关回文数的有趣性质，如

命题5 任意两个凡是由1组成的数位不超过9的回文数相乘时结果一定也是回文数，如11×11=121，111×1111=123321，1111×11111=12344321等.这是有限个式子，读者完全可以一一验证，但有没有具体的证明方法，笔者还未找到.

在命题5中，我们考虑特殊情形，即任意由1组成的数位不超过9的回文数与其自身相乘时结果一定也是回文数，我们暂且称为回文平方数，如112=121，1112=12321，11112=12344321，…；类似地，回文立方数也有类似情况，如113=1331，1113=1367631，…但人们借助电子计算机迄今未能找到四次方、五次方以及更高次幂的回文数，于是数学家们猜想：

不存在nk（n；k∈N*，k≥4）型的回文数.

命题6 任取一个数（两位及以上），把它倒过来，并将这两个数相加，然后把这个和数再倒过来与原数相加，重复这个过程，在有限的步骤内，一定会得到一个回文数.

如46+64=110，110+11=121（注：110倒过来是011，但对应的数应该是11），通过两次运算就得到回文数121；59+95=154，154+451=605，605+506=1111，通过三次运算就得到回文数1111；再如197+791=988，988+889=1877，1877+7781=9658，9658+8569=18227，18227+72281=90508，90508+80509=171017，171017+710171=881188，经过七次运算得到881188这个回文数.等等，这样的例子也不胜枚举，但这也仅是一个猜测，到目前为止还无一人给出证明或否定.不过，细心的科学家还是找到了一个“意外”， 这就是 196.为了给196 找到自己的回文，加拿大的科学家在前些年曾经连续奋战了289天， 他们在计算机上加了几百万次，已经得出一个1300万位数， 可仍旧不是回文.科学家们只好死心了， 但他们也没法证明196就一定没有回文.196这个“谜”使很多数学家彻夜未眠！也许这个猜想与哥德巴赫猜想一样将成为世界级的数学难题！

不过关于一开始取出的数是两位数的情形，下面我们给出证明.

设取出的两位数为ab=10a+b（a，b=1，2，…，9），则（10a+b）+（10b+a）=11（a+b）.

（1）若a+b≤9，则11（a+b）显然就是一个回文数；

（2）若a+b=10，则11（a+b）=110，110+011=121，作两次加法运算即得回文数；

（3）若a+b=11，则11（a+b）=121是回文数；

（4）若a+b=12，13，14，15，16，17，18时，分别经过两次、两次、三次、四次、六次、二十四次、六次加法运算就得到回文数，其中当a+b=17时，经过二十四次加法运算的回文数是8813200023188.

综上所述，对两位数的情形，命题6是正确的.

笔者在研究回文数性质时还发现一个有趣的现象，以命题给出：

命题7 两个由具有相同数字任意排列组成的回文数之差一定能被81整除.

如5142415—1452541=3689874=45554×81；5142415—1542451=3599964=44444×81；5142415—4152514=989901=12221×81；5142415—4512154=630261=7781×81…

更有趣的是它们的商也有的是回文数，是否也有规律可循呢？

由于笔者水平有限上述命题没有能给出证明，请有兴趣的读者自行研究.

关于回文数的奥妙无穷尽，比如回文素数等问题也很有趣，大家继续探讨吧！

（作者单位：深圳市南头中学）

全国卷数学理科真题 篇3

数学答题技巧

掌握答题规律

有些考生书写没条理，卷面涂改太多，阅卷老师甚至找不到答案在哪里，这样就很容易被错判。有些考生在没有把握的情况下，就把已作答的内容划掉，其实还有得分点，这是很可惜的。有些考生解答题不写出关键步骤，或分类讨论最后不总结，虽然答案对了，但没踩到得分点，仍会被扣分。

有时前面的结论对后面的解法有提示或暗示作用，考生要抓住这样的机会。在解答题中，后一题有时要用到前一题的结论，这时考生即使前一题不会做，也可以把它作已知，先做后一题。

遇到困难的问题，一个聪明做法是将它们分解为一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，每进行一步都可能得分，这叫大题拿小分。

中低档题是大多数学生的主要得分点，考试时的主要精力要用在这些题上。那些难题对不少考生来说，即使带回家也不一定做得出，因此要学会放弃，有所不为才能有所为。

数学考场答题要注意什么

1、答题先易后难

原则上应从前往后答题，因为在考题的设计中一般都是按照先易后难的顺序设计的。先答简单、易做的题，有助于缓解紧张情绪，同时也避免因会做的题目没有做完而造成的失分。如果在实际答卷中确有个别知识点遗忘可以“跳”过去，先做后面的题。

2、答卷仔细审题稳中求进

最简单的题目可以看一遍，一般的题目至少要看两遍。考试时间对于大多数学生来说，答题时间比较紧，尤其是最后两道题占用的时间较多，很多考生检查的时间较少。所以得分的高低往往取决于第一次的答题上。另外，像解方程、求函数解析式等题应先检查再向后做。

高中数学解题有效方法

一、数形结合法

数形结合法主要是指将题目中的数量关系转化为图形，或者将图形转化为数量关系，从而将抽象的结构和形式转化为具体简单的数量关系，帮助我们更好解决数学问题。

高中数学题目对我们的逻辑思维、空间思维以及转换思维都有着较高要求，其具有较强的推证性和融合性，所以我们在解决高中数学题目时，必须严谨推导各种数量关系。很多高中题目都并不是单纯的数量关系题，其还涉及到空间概念和其他概念，所以我们可以利用数形结合法理清题目中的各种数量关系，从而有效解决各种数学问题。

二、排除解题法

排除解题法主要用于缩小答案范围，从而简化我们的解题步骤，提高接替效率，这样方法具有较高的准确率。

全国卷数学理科真题 篇4

高考数学答题窍门

一、选择题十大速解方法

排除法、增加条件法、以小见大法、极限法、关键点法、对称法、小结论法、归纳法、感觉法、分析选项法;

填空题四大速解方法

直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法。

二、解三角形问题

1、解题路线图

(1) ①化简变形;②用余弦定理转化为边的关系;③变形证明。

(2) ①用余弦定理表示角;②用基本不等式求范围;③确定角的取值范围。

2、构建答题模板

①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。

②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。

③求结果。

④再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系;二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。

三、数列的通项、求和问题

1、解题路线图

①先求某一项，或者找到数列的关系式。

②求通项公式。

③求数列和通式。

2、构建答题模板

①找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。

②求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式。

③定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)。

④写步骤：规范写出求和步骤。

⑤再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范。

四、利用空间向量求角问题

1、解题路线图

①建立坐标系，并用坐标来表示向量。

②空间向量的坐标运算。

③用向量工具求空间的角和距离。

2、构建答题模板

①找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线。

②写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标。

③求向量：求直线的方向向量或平面的法向量。

④求夹角：计算向量的夹角。

⑤得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角。

五、圆锥曲线中的范围问题

1、解题路线图

①设方程。

②解系数。

③得结论。

2、构建答题模板

①提关系：从题设条件中提取不等关系式。

②找函数：用一个变量表示目标变量，代入不等关系式。

③得范围：通过求解含目标变量的不等式，得所求参数的范围。

④再回顾：注意目标变量的范围所受题中其他因素的制约。

高考数学考试技巧

1、审题要慢，答题要快

有些考生只知道一味求快，往往题意未清，便匆忙动笔，结果误入歧途，即所谓欲速则不达，看错一个字可能会遗憾终生，所以审题一定要慢，有了这个“慢”，才能形成完整的合理的解题策略，才有答题的“快”。

2、运算要准，胆子要大