简易
第05课时：
第一章 集合与简易逻辑——简易逻辑
一．课题：简易逻辑
二．教学目标：了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其互相关系；反证法在证明过程中的应用． 三．教学重点：复合命题的构成及其真假的判断，四种命题的关系． 四．教学过程：
（一）主要知识：
1．理解由“或”“且”“非”将简单命题构成的复合命题； 2．由真值表判断复合命题的真假； 3．四种命题间的关系．
（二）主要方法：
1．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比；
2．通常复合命题“p或q”的否定为“p且q”、“p且q”的否定为“p或q”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；
3．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若p，则q”的形式；
4．反证法中出现怎样的矛盾，要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、公理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾．
（三）例题分析：
例1．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假：（1）菱形对角线相互垂直平分．（2）“23”
解：(1)这个命题是“p且q”形式，p:菱形的对角线相互垂直；q:菱形的对角线相互平分，∵p为真命题，q也是真命题 ∴p且q为真命题．（2）这个命题是“p或q”形式，p:23；q:23，∵p为真命题，q是假命题 ∴p或q为真命题．
注：判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式，然后判断构成它的简单命题的真假，再由真值表判断复合命题的真假．
例2．分别写出命题“若x2y20，则x,y全为零”的逆命题、否命题和逆否命题．
解：否命题为：若x2y20，则x,y不全为零 逆命题：若x,y全为零，则x2y20 逆否命题：若x,y不全为零，则x2y20 注：写四种命题时应先分清题设和结论．
例3．命题“若m0，则x2xm0有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．
解：方法一：原命题是真命题，∵m0，∴14m0，因而方程x2xm0有实根，故原命题“若m0，则x2xm0有实根”是真命题；
又因原命题与它的逆否命题是等价的，故命题“若m0，则x2xm0有实根”的逆否命题是真命题．
方法二：原命题“若m0，则x2xm0有实根”的逆否命题是“若x2xm0无实根，则m0”．∵x2xm0无实根
∴14m0即m0，故原命题的逆否命题是真命题．
例4．（考点6智能训练14题）已知命题p：方程x2mx10有两个不相等的实负根，命题q：方程4x24(m2)x10无实根；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．
分析：先分别求满足条件p和q的m的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与讨论．
m240解：由命题p可以得到： ∴m2
m014由命题q可以得到：[4(m2)]2160 ∴2m6 ∵p或q为真，p且q为假 p,q有且仅有一个为真 当p为真，q为假时，当p为假，q为真时，m2m6
m2,orm6m22m2
2m6所以，m的取值范围为{m|m6或2m2}．
例5．（《高考A计划》考点5智能训练第14题）已知函数f(x)对其定义域内的任意两个数a,b，当ab时，都有f(a)f(b)，证明：f(x)0至多有一个实根． 解：假设f(x)0至少有两个不同的实数根x1,x2，不妨假设x1x2，由方程的定义可知：f(x1)0,f(x2)0 即f(x1)f(x2)
由已知x1x2时，有f(x1)f(x2)这与式①矛盾 因此假设不能成立 故原命题成立．
注：反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．
例6．（《高考A计划》考点5智能训练第5题）用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程：ax2bxc0(a0)有有理根，那么a,b,c中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（）
A.假设a,b,c都是偶数 B.假设a,b,c都不是偶数 C.假设a,b,c至多有一个是偶数 D.假设a,b,c至多有两个是偶数
（四）巩固练习：
1．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是（）A.若q不正确，则p不正确 B.若q不正确，则p正确 C 若p正确，则q不正确 D.若p正确，则q正确
2．“若b24ac0，则ax2bxc0没有实根”，其否命题是（）A 若b24ac0，则ax2bxc0没有实根 B 若b24ac0，则ax2bxc0有实根
现象人教版五上P59做一做1.列方程解答.
有学生这样解答:
师:对于这名同学的解法你有什么想说的?
生1:老师, 一共才8.4元, 一瓶墨水怎么比三瓶都贵啊!
师:是啊, 一瓶墨水的价格怎么比三瓶还贵了呢!那问题可能出在哪呢?
生2:老师, 我知道她算错了, 方程两边不应该同时乘8.4, 应该同时除以8.4.
生3:但同时除以8.4也不对啊!
(此时, 我被学生的讨论震住了!但我只能故作镇定.)
师:那其他同学是怎么列方程的?
生4:3x=8.4, x=2.8.
师:首先, 我们要肯定刚才同学列的方程是对的, 他是用除法列方程, 而生4是用乘法列方程.一般来说, 同一数量关系, 用乘法列方程比用除法列方程更容易, 在解答上也更简便.因此, 今后遇到这种情况, 应选择乘法方程进行解答, 对于8.4÷x=3的解法现在我们暂不学习, 以后大家会接触到.
当时, 我只能按照《教师教学用书》所指的“形如a÷x=b的方程, 本质上是分式方程, 依据等式的基本性质解方程需要先去分母, 不适合在小学阶段学习”来回避了学生出现的问题.
课后, 笔者一直不能从学生出现的问题中“解脱”出来, 难道当学生出现a÷x=b这类方程时, 我们只能“回避”吗?静下心来分析该生的思路, 我们不难看到她应用的是逆思考的方法, 由于这类方程在变形解释上比较麻烦, 所以在小学阶段暂不出现, 而是采用“以乘代除”的方法来列方程解答.因此, 笔者认为根据现实情境列方程解决问题, x当作减数、当作除数, 应当是很常见、很必要的现象, 不能再回避, 否则, 我们的教学就会显得片面和狭隘.如何在教学中找到解决这类方程的平衡点呢?
一、调整教材解方程的单一方法, 让新旧方法“各显其职”
运用等式基本性质解方程体现了代数思维, 关注的是方程的结构和关系, 与中学的方法是一致的.运用“逆运算”方法解方程, 根据法则去处理各部分之间的关系, 本质上仍然是算术思维.笔者认为在小学不宜规定统一的方法, 应允许学生用不同的方法解方程.
对于a-x=b或a÷x=b这类方程, 它的原型是在第一学段已经学习的图形表示数与图形等式推算, 因此教学此类方程时要充分考虑到学生的学习基础, 用图形等式推算与解方程进行过渡, 如用72÷●=9, 15-●=8, 帮助学生理解方程的含义, 感悟和体验方程的真正含义, 从而进一步帮助学生掌握解方程的另一种方法.让两种方法彰显其彩, 一方面有利于加强中小学数学教学的衔接, 另一方面培养了学生用方程解决实际问题的能力和意识.
二、调整“天平游戏”的内容, 将a-x=b或a÷x=b类方程渗透在天平游戏中
在教学中, 对于x+a=b与x-a=b一类的方程, 可把“天平游戏”的内容进行调整, 将“加 (减) 一个未知数量和乘 (除) 一个未知数量”作为游戏的一个内容, 引导学生在反复操作中理解加、减一个数 (未知数) 的目的和依据, 而对同时加减或扩大、缩小一个数 (未知数) 进行了直观感知和理解.以教学x-a=b为例, 如图1, 2.
10克:△15克:□
师:如果天平的两边都加10克会出现什么情况? (图1)
师:如果都加15克呢? (图2)
通过以上的活动, 学生很顺利地得出结果:天平的两侧都加上相同的质量, 天平仍平衡.
师:如果我们把现在的天平作为一个等式 (天平平衡) 的话, 等式的两边都减去同一个未知数, 等式成立吗?
生:思考.
1，如家里没有卫生间，但厨房面积较大，可以采用布帘、百叶门等隔断方法，辟出长宽各1平方米左右的空间作淋浴式卫生间。没有下水道者，有条件时可以铺下水道，无条件则在脚下放个圆木盆也可以。烧液化气的家庭还可装上简易热水器，和烧饭共用液化气。热水器的进口与自来水管接通，燃烧器点燃后3分钟即可有40℃左右的热水可供洗澡用。这种采用液化器为能源的热水器，市场价格为100元左右。安装比较简单，算下来每洗一次澡花4分钱。
2。如家里的卫生间面积较小，只装有一个蹲式马桶，设置固定浴池面积不够，可以装上淋浴设备，下水道就利用蹲式马桶。为防止水的四溢飞溅，可将蹲式马桶四周地面用水泥砂浆砌成斜坡状。
3，如家里有一个较大的卫生间，长宽度各在1米以上，室内仅有一个蹲式马桶，那就可以设立固定浴池。在固定浴池外侧边沿可设置折叠式百叶门或塑料帘幔等予以隔断。平日它能够起到隔绝便池和淋浴者的作用；在盛夏之际，可以打开卫生间门，利用此避开他人视觉，以使空气流通，免受酷热窒息之苦。
浴池的施工方法如下：
(1)采用砖头和1：2.5的水泥黄砂砂浆砌浴池，浴池外侧预留8公分直径排水孔，浴池下部呈倒梯形状，可以节省用水。砌砂浆时要饱满密实。
(2)待砂浆干后，再用1：2的水泥黄砂砂浆在浴池的表面粉2公分厚，压光。如贴瓷砖，则粉面不需压光，只要用纯水泥将瓷砖从下至上平整贴好即可。
(8)采用水泥砂浆砌防滑槽，使浴池内的水可以通过此档流入蹲式马桶。
固定式浴室所需要的材料一般为标准砖120块、d00号水泥1包(50公斤)、黄砂100公斤，造价约15元左右；如贴瓷砖约需要152×152×5的瓷砖100块，总造价约35元。
甲方：
乙方：
***********************工程由乙方施工，为确保工程顺利进行，保证质量、安全，按期竣工，双方达成如下协议：
一、承包方式及价格：
承包方式：包工包料（木模板、木支撑36.6米以上使用钢管支撑，费用
由甲方负责。）单价：45元/㎡，配两套模板。
计算方式：按砼接触面积计算。
支付方式：11月10日前支付10月份工程进度款的70%，12月10日前
支付至工程进度款的80%，封顶后支付至工程进度款的95%
作业工程：所有模板分项应在项目部规定的合理工期内完成，除不可抗力
影响外，不得因任何原因影响下一道工序实施。若因班组原因
造成工期延误，每超过一天罚款两千元，从工程进度款中扣取。
由于停电或天气原因，工期由甲乙双方协商后顺延。
二、施工依据：按************设计院设计的*******社区施工图、图纸
会审、设计变更通知施工。
三、工期：2011年10月26日开工，2011年12月20日竣工
四、工程质量及保修要求：
1、本分部分项工程按国家颁发的《施工及验收规范》、《质量检验评定标
准》和甲方制定的《建安工程质量管理办法》进行施工、管理、检查、评定及验收。
2、工程质量要求达到合格，如发生工程质量不合格时由乙方返修至合格，并承担全部费用，且工期不得顺延。
五、安全生产、文明施工
（一）承包期间，乙方实现的安全生产指标
1、杜绝和消灭伤亡事故、火灾、爆炸事故
2、施工现场安全检查合格率必须达到100%
3、创建文明工地
（二）双方责任
1、甲方责任：
（1）甲方必须定期和不定期对工地进行检查、指导，定期召开安全生
产会议，布置、总结、评比本工程的安全生产工作。
（2）甲方负责对本工程施工人员进行公司一级的安全教育，指派专项
安全员参加工地的井架、外架、安全网、防护栏（棚）施工工地
用电等设施验收。
2、乙方责任：
（1）乙方在施工中必须遵守国家颁布的各项安全技术操作和本公司制
定的各项安全生产管理制度，在承包期间必须实现本合同第五条
第一款规定的安全生产目标，指定一名对工作负责的人为安全员，以加强工地安全监督管理。
（2）施工现场应安全生产、文明施工，随时保持工地整洁，材料堆放
整齐，做到工完料净地清。
（3）对违章指挥、违章操作或自身安全措施不力造伤亡事故的，其责
任及费用均由乙方承担。
六、社会治安综合治理
1、乙方使用外来劳务人员应向有关部门办理临时户口、外来劳务证、临时用工手续，不得使用无证人员上岗，违者后果自负。
2、严禁赌博，不得斗殴闹事，遵守治安条例，工地不得寄宿外来无证人员，认真做好防火防盗工作，确保工地的安全生产。
3、认真做好计划生育工作，严禁计划外生育。
本协议壹式两份，甲、乙双方各执壹份，经甲、乙双方签字或盖章生效，待工程竣工验收双方条款履行完毕终止。
甲方：乙方：
设计委托方（简称甲方）：
项目地址：联系电话：
设计方（简称乙方）：江苏百思特装饰安装工程有限公司
地址：泰兴市中兴大道1号华泰大厦601-3室联系电话：0523-89700999
甲方委托乙方承担的施工方案设计任务，经双方友好协商，根据现场实际情况，并以国家相关法律、法规为准则签订本合同，作为共同遵守的依据。
一、甲方责任：
1、本合同签订时，甲方应提供给乙方进行设计所需要的工程名称、地址等概况，原建
筑有关图纸资料，同时向乙方出具设计要求（如无建筑图纸，进行现场测绘）。
2、在接到乙方初步设计方案后，向乙方提出对设计方案的意见，并约定修改设计方案的范围，直至最终确定设计方案。
二、乙方责任：
1、完成设计服务的责任，履行本设计服务合同所约定的义务。
2、在约定的期限内完成初步设计方案，并向甲方做方案讲解。根据甲方的意见进行方
案修改，直至甲方满意，并签字确认最终设计方案。
3、乙方应确保设计方案准确无误并承担相关责任。
4、乙方应为甲方提供技术服务，并在甲方规定的时间内作出答复，费用由双方协商。
5、需要完成设计内容：
三、设计费用：建筑面积约㎡，单价元/㎡，总价
四、付款方式：乙方交付全部设计方案后三天内，甲方结清设计费，不留尾款。
五、增加服务的收费标准：/
六、特别约定：
1、甲、乙双方在初步设计构思阶段，应充分沟通。初步设计方案需经甲方确认后，乙
方再继续深化设计。
2、乙方对本合同所列的设计方案和施工图拥有著作权，仅供甲方作为本合同所指工程项目专用，如甲方对上述图纸另作其它用途或公开发表，须事先征得乙方同意。
3、甲方安排人员配合乙方现场勘察和因设计需要而做的局部拆改工作。
七、违约责任：
此协议一经签字，双方均需严格执行，协议一式两份，甲乙双发各执一份，未尽事宜，双方协商解决。
设计周期：至
甲方（盖章）：乙方（盖章）：
法定代表人：法定代表人：
或委托代理人：或委托代理人：
单位地址：单位地址：泰兴市中兴大道1号
电话：电话：0523-89700999
传真：传真：0523-87666685
“数学是锻炼思维的体操”。思维是大脑对事物的性质、它们之间的关系的认识过程。因为客观事物不是孤立存在的，是互相关联、互相影响的，往往具有某种因果关系，所以思维使我们能够知道并没有直接感觉到的事物，预见事情的进程和发展结果。就是从一些已知事实，推断出一些合理的结论。
正确的思维，应该是确定的，首尾一贯的，无矛盾的和有根据的。“逻辑”就是思维的规律。本讲讨论的“逻辑问题”，主要是判断推理问题。
例1 现有红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，用纸包着，在桌子上排成一行，由甲、乙、丙、丁、戊五人，猜各包内珠子的颜色，每人只许猜两包。
甲猜：第二包是紫的，第三包是黄的；
乙猜：第二包是蓝的，第四包是红的；
丙猜：第一包是红的，第五包是白的；
丁猜：第三包是蓝的，第四包是白的；
戊猜：第二包是黄的，第五包是紫的。
事后，打开纸包，发现每人都只猜对了一包，并且每包都只有一人猜对。问他们各猜对的是哪一种颜色的珠子。解：根据题意我们列一个表：
因为每包都只有一人猜对，第一包只有丙猜，所以丙猜第一包是红的猜对了。又因为每人只猜对一包，因此页第五包猜错了；而第五包由丙、戊两人猜，戊猜对了第五包是紫的。
由于第一包是红的，第四包只能是白的，因此，丁猜对了第四包，甲猜对了第三包。甲、戊都猜错了第二包，只有乙猜对了第二包是蓝的。综上所述，甲猜对了第三包是黄的，乙猜对了第二包是蓝的，丙猜对了第一包是红的，丁猜对了第四包是白的，戊猜对了第五包是紫的。
说明：由于第一包只有一人猜，一定是猜对了。因此，确定第一包的颜色，是解决这道题的突破口。解决问题，找到突破口是很重要的。用“列表方法”把繁杂的条件更加条理化，是解决“罗辑问题”的有效手段。
例2 刘毅、马明、张健三个男同学都各有一个妹妹，六人在一起举行乒乓球混合双打练习。规定兄妹不许搭伴。第一盘是刘毅和小萍对张健和小英；第二盘是张健和小红对刘毅和马明的妹妹。推断刘毅、马明、张健的妹妹各是谁？
解：先列表分析，非兄妹关系画“×，兄妹关系画“√”，暂不能肯定画“？”。
由表中可看出张健的妹妹是小萍。刘毅、马明的妹妹分别是谁只有两种可能：
第一，刘毅的妹妹是小英，马明的妹妹是小红。第二，刘毅的妹妹是小红，马明的妹妹是小英。
对第一种可能，第二盘练习就是张健和小红对刘毅和小红（马明的妹妹）。不合理。对第二种可能，第二盘练习就是张健和小红对刘毅和小英。合理。
综合以上推断，刘毅的妹妹是小红，马明的妹妹是小英，张健的妹妹是小萍。说明：本题推断过程中，对可能的两种情况，进行－一检验，排除不合理的情况，肯定合理的情况。这是采用了“穷举法”。下面我们用穷举法再讨论一道题。例3 王红、李智、张慧三名同学中，有一人在教室没其他同学的时候，把教室打扫得干干净净。事后，老师问他们三人，是谁做的好事。王红说：“是李智干的”；李智说：“不是我干的”；张慧也说：“不是我干的”。后来知道他们三人中，有两人说的是假话，有一人说的是真话。你能断定教室是谁打扫的吗？ 解：由题意知只有三种可能，如果是王红干的，那么王红说的“是李智干的”是假话；李智说的“不是我干的”是真话；张慧说的“不是我干的”也是真话。不符合题意中“两假一真”条件。
如果是李智干的，那么王红说的“是李智干的”是真话；李智说的“不是我干的”是假话；张慧说的“不是我干的”是真话。也不符合“两假一真”条件。
只能是张慧干的。这样王红、张慧说的是假话，李智说的是真话。符合“两假一真”。例4 A、B、C、D、E五个球队进行单循环赛（每两个队之间都要比赛一场），进行到中途，发现A、B、C、D、比赛过的场次分别是4，3，2，1。问这时E队赛过几场？E队和哪个队赛过？
解：用图12－1表示各队之间是否比赛过。用平面上的点表示A、B、C、D、E队，两队比赛过，用两点连线表示，没有比赛过，则不连线。
A赛过4场，A与B、C、D、E均连线；B赛过三场，除与A赛过，还赛过2场，因为D只赛过1场（和A队赛），因此B只能和C、E赛过；这样正好符合C赛过2场，D赛过1场。由图看出这时E队赛过2场，E队和A、B队赛过。解法二：因为比赛一场，双方各计一次，因此，比赛过程中任何阶段，各队比赛的场次数总是偶数。A，B，C，D的场次数之和是4＋3＋2＋1＝10，是偶数，这时E赛过场次数一定也是偶数，有三种可能：0，2，4，因为A赛过4场，一定和E赛过。E不可能赛0场；又D只赛过一场，和A赛过，还没和E赛过，E不会赛过4场。只能是赛过2场。E和A赛过，B赛过3场，而B和D没赛过，B一定和E赛过。
综合以上分析，E赛过2场，和A、B各赛一场。说明：用图表示所研究对象及其关系，是讨论逻辑问题的又一个重要手段。用点表示所研究对象，用连线表示对象之间的某种关系。充分利用图形的直观性，便于说明问题。
例5 老师要从甲、乙、丙、丁四名同学中选派两人去参加某项活动，征求他们的意见，甲说：“我服从分配”；乙说：“如果甲去，那么我就去”；丙说：“如果我不去，那么乙也不能去”；丁说：“我和甲，要去都去，要不去就都不去”。老师要都满足他们的要求，应选派谁去？
分析：我们把命题“如果具有条件A，那么就有结论B，”表示成：AB，符号“”读作“推出”。根据题意老师应满足的条件是：
甲乙（乙说），丙非非乙，（丙说）这句话相当于乙丙，甲丁（丁说）。把这些关系联系起来，很容易得出结论。解 题目所要求的条件如下：
显然，如果甲去或乙去，按条件四人都得去。不符合只派两人去的要求。所以甲、丁不去，派乙、丙二人去参加符合题意。
例6 某参观团根据下列条件从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点：①若去A地，也必须去B地；②若去E地，A、D两地也必须去；③D、E两地至少去一地；④B、C两地只去一地；⑤C、、D两地都去或都不去。问参观团最多去哪几个地方？
解：用符号表示题意得，从以上用符号“”所表示的逻辑关系可以看出，如果去E或去A或去B，都推出非D且D。（既去D地，又同时不能去D地）矛盾。因此A、B、E三个地方不能去。
去C、D两地，与题意不矛盾。所以参观团最多可以去C、D两地。
说明：用推出符号“”表示题目中的逻辑关系，是很简明的。解题中经常练习使用是大有益处的。
例6甲、乙、丙、丁四人对A先生的藏书数目作了一个估计，甲说：“A先生有500本书”；乙说：“A先生至少有1000本书”；丙说：“A先生的书不到2000本”；丁说：“A先生最少有1本书”，这四个人的估计中，只有一句是对的。问A先生究竟有多少本书？ 解：把四人的估计列一个表：
我们采用“穷举法”讨论：
如果甲说的对，那么丙、丁说的都对，与题意（只有一句对）不符合。
如果乙说的对，那么丁说的也对，与题意不符。
如果丙说的对X＜200O，若1000≤x＜2000，则乙和丁说的也对；若1≤x＜1000，则丁说的也对，不符合题意。当x＜1时即x=0时，只有丙说的对，x=0合理。
如果丁说的对，x≥1，若1≤x＜2000，则丙说的也对；若x≥2000，则乙说的也对，不符合题意。
综合以上推断，A先生藏书是零。例7在神话传说的某国内，居民不是骑士就是无赖，骑士不说谎，无赖永远说谎。我们遇到该国居民A、B、C，A说：“C是骑士，B是无赖”。C说：“A和我不同，一个是骑士，一个是无赖”。问这三个人中谁是骑士，谁是无赖？ 解：对于A来说，不是骑士，就是无赖。
如果A是骑士（说真话）C是骑士，B是无赖C说真话A和C不同，一个是骑士，一个是无赖，与A、C均为骑士矛盾。这样A一定是无赖，说谎话“C是骑士，B是无赖”是假话。C是无赖，B是骑士。C说谎话“A与C不同”是假话，合乎题意。因此A、C是无赖，B是骑士。
例8把—8这八个号码，贴在四个小伙子小张、小赵、小王、小李和他们四个人的妹妹小敏、小珍、小兰、小英的背后，根据以下条件判断这八个人各贴的几号？并判断出谁是谁的妹妹？
①兄妹号码不相邻，男的与男的号码不相邻；②小张是1号，小敏是8号；③小王与小珍的号码相邻；④小李是小敏的哥哥；⑤小英是2号，小王的号码与小英相邻。
解：问题是要求出号码与八个人的对应关系和兄妹的对应关系。先把已知的条件列出（兄妹关系用连线表示）：
因为小王的号码与小英相邻，故小王的号码是1或3；又小王与小珍的号码相邻，因此小王的号码只能是3；小珍号码是4号。由于男的与男的号码不相邻，因此6号一定不是男的号码。因为如果6号是男的号码，还没有确定的号码还有5、7，不论哪个号码标在男背上，都与6相邻，不合题意，所以6号一定是女孩小兰的号码。小李与他的妹妹小敏号码不能相邻，不能是7号，只能标5号。小赵标7号。根据兄妹号码不相邻。小王（3号）的妹妹只能是小兰（6号）；小张（1号）的妹妹不能小英（2号），只能是小珍，小赵的妹妹是小英。答案如下表：
例9在一次国际会议上，甲、乙、丙、丁四人交谈，其中每人只会英、法、日、中四种语言中的两种语言，没有四人都会的一种语言，只有一种语言三人会。
①乙不会英语，甲、丙交谈请他当翻译；
②甲会日语，丁不会，但他们能对话；
③乙、丙、丁可以不用翻译交谈，但没有三人都会的语言；
④没有人既会日语、又会法语；
问四人各会哪两种语言？
解：由②知，甲会日语；由④知甲不会法语，那么甲一定会英、中文的一种。
如果甲会英语，由①，丙会法语和中文，（因为甲、丙交谈需要翻译，没有共同语言），由乙作甲、两对话的翻译，乙不会英语，一定会日语与甲交谈，又由④，乙不会法语，乙一定会中文。
由②丁不会日语，而与甲能对话，丁一定会英语，假设丁会中文，则乙、丙、丁都会中文，与③矛盾。因此，丁一定会法语。
把以上推断结果列表如下：
此表反映的结果又与③矛盾（乙、丙、丁三人可以不用翻译交谈），乙与丁不能交谈。此结论不合题意。
那么只有甲会中文；丙会英、法语；乙会中文、法语；又知丁不会日语，假设丁会法语，则乙、丙、丁都会法语，与③矛盾（没有三人共同会的语言），那么丁一定会英语。
最后结论如下表：
此结论满足题目中的所有条件。
说明：此题推断过程中，首先从甲会日语进行突破。又对甲会英语、中文两种情况用“穷举法”进行讨论。排除与题意相矛盾的情况。肯定与题意相符合的结论。
例10体育馆里正进行一场精彩的羽毛球双打比赛，两位观众互相议论：
①“吴超比李明年轻”；
②“赵奇比他的两个对手年龄都大”；
③“吴超比他的伙伴年龄大”；
④“李明与吴超的年龄差距比赵奇与张辉的差距更大些”
请你写出他们四人的年龄大小顺序，（从小到大排）
解：设吴超年龄为x岁，李明为y岁，赵奇为z岁，张辉为w岁；
由①，y＞x；
由①，③可知，吴超的伙伴不是李明，只能是赵奇或张辉。
如果吴超的伙伴是赵奇，由③x＞z，那么y＞x＞z。由②，z＞y，z＞w，由此可得：
y＞x＞z＞y，推出y＞y，不合理，所以吴超的伙伴不会是赵奇。
吴超的伙伴只能是张辉。比赛是吴超、张辉对李明、赵奇。因此y＞x＞w
又由②，z＞x，z＞w。
z对y有两种可能，z≥y或z＜y。即z≥y＞x＞w或y＞z＞x＞w。
对于z≥y＞x＞w，z-w＞y-x。与④不符合。只有y＞z＞x＞w成立。
即四人年龄从小到大排是：张辉，吴超，赵奇，李明。
说明：此题是讨论大小关系，用到了大小关系的“传递性”。就是说，如果a＞b，b＞c，那么a＞c。
例11如图2—l，一个正六边形ABCDEF，在六条边AB，BC，CD，DE，EF，FA上随意写上—6这六个数字，每个数字写一次，同时又在OA，OB，OC，OD，OE，OF上也写上—6这六个数字，一个数字用一次。判断是否存在一种写法，使三角形OAB，OBC，OCD，ODE，OEF，OFA的三边上各数之和相等？为什么？
分析：按题意进行试验情况太多。我们用字母表示各边上标上的数字，如果六个三角形三边上各数之和都相等，看应该满足什么关系或有什么不合理情况。解：设AB，BC，CD，DE，EF，FA上写的数为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a1+a2+a3+a4+a5+a6=1+2+3+4+5+6=21。
设OA，OB，OC，OD，OE，OF边上写的数是b1，b2，b3，b4，b5，b6，b1+b2+b3+b4+b5+b6=l+2+3+4+5+6=21。
假设六个三角形三边上各数之和都相等，设三个数之和为S。六个三角形各边上的数的和为6S。那么在取和中，六边形六条边上各数a1，a2，a3，a4，a5，a6各出现一次b1，b2，b3，b4，b5，b6各出现两次。所以有以下关系：
6S=(a1+a2+a3+a4+a5+a6)×(b1+b2+b3+b4+b5+b6）
6S=21+2×21
6S=63（63是6的倍数）不合理
所以不存在一种写法使六个三角形中，每个三角形三边上三个数之和都相等。
说明：要说明某一结论的正确性，直接说明比较困难。可以先假设结论的反面正确，然后推出与题意或与某一个正确结论相矛盾的结果。上面的假设不正确，从而肯定要证明的结论的正确性。这种数学方法，就叫“反证法”，例6采用了反证法思想。
例12在数学晚会上，张华表演了一个数学猜谜节目。首先把35枚棋子中的2枚，3枚，4枚分别给甲、乙、丙三人，其余26枚放在桌子上。另外在桌上还有标有1、2、3号的竹签各一根。甲、乙、丙三个背着张华随意各取一根竹签。让张华猜，谁持有几号竹签。张华说“持有1号竹签的，从桌子上再取和自己一样多的棋子；持2号竹签的，从桌子上再取自己原有棋子的2倍；持3号竹签的，从桌子上再取自己原有棋子的4倍。谁又从桌子上取多少棋子，张华并不知道。事后张华见到桌子上还只剩3枚棋子。马上猜出甲持2号签，乙持1号签，丙持3号签，请你说明张华根据什么猜的？
解：三人持签只有六种可能，对每种可能情况，分别计算棋子余数。
从以上表中可以看出，只有甲持2号签，乙持1号签，丙持3号签时，余数才是3枚。
从持签不同情况，余数均不相同，就可以从余数确定持签的情况。习题十四-1
1．地理课上，老师挂出一张空的中国地图，其中有五个省分别编上了1～5号。让大家写出每个编号是哪一省。A答：2号是陕西，5号是甘肃；B答：2号是湖北，4号是山东；C答：1号是山东，5号是吉林；D答：3号是湖北，4号是吉林；E答：2号是甘肃，3号是陕西。这五名同学每人都只答对了一个省，并且每个编号只有一人答对，问1～5号各是哪个省？
2．在甲、乙、丙三人中，有一位教师，一位工人，一位战士。知道丙比战士年龄大，甲和工人不同岁，工人比乙年龄小。请你推断谁是教师？谁是工人？谁是战士？
3．田径场上进行百米决赛，参加决赛的有A、B、C、D、E、F六个人。对于谁是冠军，看台上甲、乙、丙、丁四人有以下猜测：
甲说：“冠军不是A就是B。”
乙说：“冠军不是C。”
丙说：“D、E、F都不可能是冠军。”
丁说：“冠军是D、E、F中的一人。”
比赛后发现，这四人中只有一人的猜测是正确的。你能断定谁是冠军吗？
4．五年级的1，2，3，4班举行接力比赛，请甲，乙，丙三位小朋友猜测四个班的比赛名次：
甲说：“我看1班只能得第三，3班是冠军。”
乙说：“3班只能得第二，至于第三，我看是2班。”
丙说：“4班第二，1班第一。”
比赛结束后发现，三人的预测都只对了一半。请你判断四个班的名次。
5．某学校召开田径运动会，五名运动员赛跑，赛后有五名观众介绍比赛结果：
第一人说：A是第二，B是第三；
第二人说：C是第三，D是第五；
第三人说：D是第一，C是第二；
第四人说：A是第二，E是第四；
第五人说：B是第一，E是第四。
介绍后，他们都补充说“我的话半真半假”。请你判断五名运动员的名次。
6．有三个箱子，分别涂上红、黄、蓝三种颜色，一个苹果放入其中某个箱子里。
①在红箱子盖上写着：“苹果在这只箱子里”；
②在黄箱子盖上写着：“苹果不在这只箱子里”；
③在蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里”。
已知以上三句话中，只有一句是真的。问苹果在哪个箱子里？ 参考答案：
1．1——山东，2——湖北，3——陕西，4——吉林，5——甘肃
2．乙是教师，丙是工人，甲是战士。
3．冠军是C。
4．3班是冠军，4班第二，2班第三。
5．A是第一名，C是第二名，B是第三名，E是第四名，D是第五名。
6．苹果在黄箱子里。习题十四-2
1.小张、小王、小李、小赵四位同学住在一个宿舍里，规定每晚最后一个回宿舍的同学把室外路灯关上。有一天晚上，他们中间最晚回来的那位同学忘了关灯，第二天宿舍管理员查问谁回来的最晚？
小张说：“我回来的时候，小李还没回来；”
小王说：“我回来的时候，小赵已经睡了，我也就睡了；”
小李说：“我进门的时候，小王正在上床；”
小赵说：“我回来就睡了，别的没有注意。”
四位同学说的都是实话，你知道谁回来的最晚吗？
2.在一个国际学生联欢会上，一个圆桌周围坐着五个人。甲是中国人，会说英语；乙是法国人，会说日语；丙是美国人，会说法语；丁是日本人，会说汉语；戊是法国人，会说西班牙语，问他们怎样坐，才能彼此间都能交谈。
3.小张、小王、小李谈年龄，每人都说三句话，并且有两句真话，一句假话。
小张说：“我今年才22岁”，“我比小王还小两岁”；“我比小李大1岁”。
小王说：“我不是年龄最小的”；“我和小李相差3岁”；“小李25岁了”。
小李说：“我比小张小”；“小张23岁了”；“小王比小张大3岁”。
请你推断他们三人的年龄。
4.少先队员要去采访一位电子科学家，可是不知道这位科学家姓什么，看门的老爷爷说了下面一段话：二楼住着姓李、姓王、姓张的三位科技会议代表，其中有一位科学家，一位技术员，一位编辑，同时还有三位来自不同地方的旅客，也是姓王、姓李、姓张各一位。并且知道：
①姓李的旅客来自北京；
②技术员在广州一家工厂工作；
③姓王的说话有口吃毛病，不能做教师；
④与技术员同姓旅客来自上海；
⑤技术员和一位教师旅客来自同一个城市；
⑥姓张的代表赛乒乓球总是输给编辑。
请判断科学家姓什么？
5.一个国家的珠宝店发生了一起盗窃案，经过侦破，作案人肯定是A、B、C、D中的一人，把这四人作为重大嫌疑人讯问。
A说“珠宝被盗那天，我在别的城市；
B说：D是罪犯；
C说：B是盗窃犯；
D说：B与我有仇，有意诬谄我。
经过调查，四人中只有一人说的是真话，你能断定谁是罪犯吗？
参考答案
1.最晚回来的是小李。
2.只有一人会西班牙语，不能用西班牙语交谈；会西班牙语的法国人（戊）两边只能坐法国人乙和懂法语的英国人丙；再确定中国人甲和日本人丁的位置，甲与丙相邻，丁与乙相邻。
3.先从小张年龄想起，若小张22岁，推出小王说的有两句假语，不合题意。正确结果是小张23岁，小王25岁，小李22岁。
4.列表分析，科学家姓张。
5．A是罪犯。数学故事：
准备材料:
回形针2枚、导线2段、漆包线1.5米(不是普通铜线)、环形或圆形磁铁1块、小木块1块、图钉2枚、可乐瓶盖1个、小刀1把。
制作过程:
①将1.5米长的漆包线绕在可乐瓶盖上,两端分别露出一小段;
②用小刀将露出的那两段漆包线的油漆刮净;
③将漆包线展开,在其中一头绕一个小圈;
④回形针从上面的小圈往下3.5厘米处折弯,用图钉固定在木板上,做成架子,并在两枚回形针上连接两根导线;
⑤把绕好的线圈放在架子上的两个圆圈内;
⑥在线圈下方放一块环形磁铁,接通电源,轻轻用手转动一下线圈,线圈就会像电动机的转子一样转动起来了。
实验揭秘:
电动机利用的是电磁转化原理。通电后,电动机转子上的线圈就变成了电磁铁。由于磁铁具有同极相斥和异极相吸的性质,线圈做成的电磁铁磁极和线圈外的磁铁磁极就会相互排斥。这一排斥,就推动了转子做圆周运动。当转动半圈后由于电流方向的变换,电磁的磁极方向就发生变化,对面的一块磁铁又推动了转子的运动,这样只要持续不断的供电,就能让转子不停地转动了。
原料：
洋葱 100克
番茄 200克
马铃薯 100克
胡萝卜 50克
西芹 60克
大蒜 1瓣
培根 100克
橄榄油 2大匙
高汤 适量
豌豆 50克
九层塔 少许
盐、胡椒粉 少许
做法：
1.将所有蔬菜都切成丁状，大蒜切末，培根切成小段。
2.将锅预热，放入橄榄油，爆香大蒜末及洋葱丁，加入调料，略炒一下，再倒进高汤、蔬菜丁、豌豆及培根段。
3.用大火煮沸后，将浮沫捞除干净，转小火续煮约20分钟，即可盛入汤盘中，上面再放上九层塔装饰即完成。
食用此道汤品时可洒上少许的芝士粉，别有一番风味。
在熬煮时放入适量意大利通心粉，与汤一起煮软，又是另一种不一样的美味。
意大利生菜沙拉
原料：
生菜 1/2棵
番茄 1个
秋葵 6条
洋葱圈 适量
小玉米 6根
黑橄榄 5个
全麦面包丁 适量
杏仁片 适量
沙拉酱 1/2杯
盐 少许
做法：
1.将蔬菜分别洗净沥干，切好备用。
2.沸水加入少许盐，汆烫秋葵、小玉米，熟后捞起泡冷水，待凉后沥干水分备用。
3.将生菜撕成小片，放入碗中，上面依序放入番茄片、秋葵、小玉米、洋葱圈，再淋上沙拉酱，最后撒上全麦面包丁及杏仁片、黑橄榄(切片)即可食用。
双味吐司批萨
原料：
厚片吐司 4片
沙拉酱 20克
番茄酱 80克
批萨用奶酪丝 适量
火腿批萨主料：
火腿丁、玉米粒、青椒圈、
红甜椒圈各适量
水果批萨主料：
柳橙丁、草莓丁、火龙果丁、
菠萝丁、猕猴桃丁各适量
做法：
1．将沙拉酱与番茄酱拌匀备用，吐司烤酥备用。
2．取2片吐司，涂上做法1的酱料，再将火腿批萨主料一一铺上，然后撒上适量的奶酪丝，放入烤箱中以180 ℃烤10分钟，即为火腿批萨。
简易方程
一、教学内容：
本单元教学方程的知识，是在五年级（下册）―用字母表示数‖的基础上编排的。第一次教学方程，涉及的基础知识比较多，教学内容分成三部分编排。第1—2页教学等式的含义与方程的意义，根据直观情境里的等量关系列方程。第3—11页教学等式的性质，解方程，列方程解答一步计算的实际问题。第12—14页全单元内容的整理与练习。本单元安排了关于等式性质的内容，分两段教学： 第一段是等式的两边同时加上或减去同一个数，结果仍然是等式；第二段是等式的两边同时乘或除以同一个不等于零的数，结果仍然是等式。在每一段教学等式的性质以后，都及时让学生运用等式的性质解方程。
二、教材分析：
教材首先结合具体的情境，认识等式和方程，了解等式与方程的关系；探索并理解―等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式‖，学会解只含有加法或减法运算的简单方程。接着探索并理解―等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得的结果仍然是等式‖，学生解只含有乘法或除法运算的简单方程；会列方程解决一步计算的实际问题。
三、学情分析：
学生已经掌握整数、小数的认识及其四则计算的学习，积累了较多的数量关系的知识，并学会了用字母表示数。我们在教学时，要让学生有效地参与学习和探索活动，通过自主探索和合作交流理解方程的含义。引导学生通过观察、分析、和比较，由具体到抽象理解等式的性质。
四、教学目标要求：
1.理解方程的含义，初步体会等式与方程的关系；初步理解等式的性质，会用等式的性质解简单的方程，会列方程解答一步计算的实际问题。
2.使学生在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中，经历将现实问题抽象成方程的过程。
五、教学重点：
理解等式的性质，能利用等式的性质解方程。
六、教学难点：
会列方程解答简单的实际问题。
七、教学准备：
多媒体、挂图、小黑板等。
八、课时安排：12课时
第一课时 方程的意义 教学内容：
教科书第1页的例
1、例2和试一试，完成练一练和练习一的第1~2题。教学目标要求：
理解方程的含义，初步体会等式与方程的联系与区别，体会方程就是一类特殊的等式。教学重点：
理解并掌握方程的意义。教学难点：
会列方程表示数量关系。教学过程：
一、教学例1 1．出示例1的天平图，让学生观察。
提问：图中画的是什么？从图中能知道些什么？想到什么？ 2．引导：
（1）让不熟悉天平不认识天平的学生认识天平，了解天平的作用。
（2）如果学生能主动列出等式，告诉学生：像―50+50=100‖这样的式子是等式，并让学生说说这个等式表示的意思；如果学生不能列出等式，则可提出―你会用等式表示天平两边物体的质量关系吗？‖
二、教学例2 1．出示例2的天平图，引导学生分别用式子表示天平两边物体的质量关系。
2．引导：告诉学生这些式子中的―x‖都是未知数；观察这些式子，说一说写出的式子中哪些是等式，这些等式都有什么共同的特点。
3．讨论和交流：写出的式子中，有几个是等式，有几个不是，而写出的等式都含有未知数，在此基础上，揭示方程的概念。
三、完成练一练
1、下面的式子哪些是等式？哪些是方程？ 2.将每个算式中用图形表示的未知数改写成字母。
四、巩固练习
1．完成练习一第1题
先仔细观察题中的式子，在小组里说说哪些是等式，哪些是方程，再全班交流。要告诉学生，方程中的未知数可以用x表示，也可以用y表示，还可以用其他字母表示，以免学生误以为方程是含有未知数x的等式。
2．完成练习一第2题
五、小结
今天，我们学习了什么内容？你有哪些收获？需要提醒同学们注意什么？还有什么问题？
六、作业 完成补充习题
第二课时 等式的性质和解方程 教学内容：
教科书第2～4页的例
3、例4和试一试，完成练一练和练习一的第3～5题。教学目标要求：
1.使学生在具体的情境中初步理解等式的两边同时加上或减去同一个数，所得的结果仍然是等式，会用等式的性质解简单的方程。
2.使学生在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中，积累数学活动的经验，培养独立思考，主动与他人合作交流习惯。教学重点：
理解―等式的两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式‖。教学难点：
会用等式的这一性质解简单的方程。教学过程：
一、教学例3 1.谈话：我们已经认识了等式和方程，今天这节课，将继续学习与等式、方程有关的知识。请同学们看这里的天平图，你能根据图意写出一个等式吗？
提问：现在的天平是平衡的，如果将天平的一边加上一个10克的砝码，这时天平会怎样？
谈话：现在天平恢复平衡了，你能在上面这个等式的基础上，再写一个等式表示现在天平两边物体质量的关系吗？
2.出示第二组天平图，说说天平两边物体的质量是怎样变化的，你能分别列出两个等式吗？ 3.出示第3、4组天平图，提问：你能分别说说这两组天平两边物体的质量各是怎样变化的吗？ 谈话：怎样用等式分别表示天平两边物体变化前的关系和变化后的关系？ 启发：这两组等式是怎样变化的？她们的变化有什么共同特点？
4.提问：刚才我们通过观察天平图，得到了两个结论，你能用一句话合起来说一说吗？ 5.做练一练的第1题
二、教学例4 1.出示例4的天平图，你能根据天平两边物体质量相等关系列出方程吗？ 2.讲解：要求出方程中未知数的值，要先写―解‖，要注意把等号对齐。3.完成试一试 4.完成练一练
提问：解这里的方程时，分别怎样做就可以使方程左边只剩下x了。
三、巩固练习1.做练习一的第3题 2.做练习一的第4题 3.做练习一的第5题
四、全课小结
提问：今天这节课我们学习了什么内容？你有哪些收获？还有什么不懂的问题？
五、作业 完成补充习题。
第三课时 等式的性质和解方程 教学内容：
教科书第p4～ P5例5～例
6、P5―试一试‖、―练一练‖P6～P7练习一第6～8题 教学目标要求：
1．使学生进一步理解并掌握等式的性质，即在等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，结果仍然是等式。
2．使学生掌握利用相应的性质解一步计算的方程。教学重点：
使学生进一步理解并掌握等式的性质，即在等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，结果仍然是等式。教学难点：
使学生掌握利用相应的性质解一步计算的方程。教学过程：
一、复习等式的性质
1．前一节课我们学习了等式的性质，谁还记得？
2．在一个等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。那同学们猜想一下，如果在一个等式两边同时乘或除以同一个数(除以一个数时0除外)，所得结果还会是等式吗？ 3．生自由猜想，指名说说自己的理由。
4．那么，下面我们就通过学习来验证一下我们的猜想。
二、教学例5 1．引导学生仔细观察P4例5图，并看图填空。2．集体核对
3．通过这些图和算式，你有什么发现？ X=20 2x=20×2 3x 3x÷3=60÷3 4．接下来，请大家在练习本上任意写一个等式。请你将这个等式两边同时乘同一个数，计算并观察一下，还是等式吗？再将这个等式两边同时除以同一个数，还是等式吗？能同时除以0吗？ 5．通过刚才的活动，你又有什么发现？
6．引导学生初步总结等式的性质(关于乘除的)乘或除以0行吗？ 7．等式性质二：
等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。8．P5―试一试‖ ⑴指名读题
⑵你是根据什么来填写的？
三、教学例6 1．出示P5例6教学挂图。
指名读题，同时要求学生仔细观察例6图 2．长方形的面积怎样计算？
3．根据题意怎样列出方程？你是怎么想的？板书：40X=960 4．在计算时，方程两边都要除以几？为什么？
5．计算出X=24后，我们怎样才能确定这个数是否正确？请大家口算检验一下。最后将例6填写完整。6．小结：在刚才计算例6的过程中，我们将方程的两边都同时除以40，这是为什么？为什么将等式两边都同时除以40，等式仍成立？ 7．P5练一练 解方程：X÷0.2=0.8 师巡视并帮助有困难的学生。
练习后指名让学生说一说:你是怎样解方程的？为什么可以这样做？
四、巩固练习
1．要使下面每个方程的左边只剩下x,方程两边应同时乘或除以几？ 0.6x=7.2 方程两边应同时 x÷1.5=0.6 方程两边应同时 2．化简下列各式 8 X÷8 50+X-40 X÷9×9 X-1.4+1 3.P6第7题 教师引导学生列方程
4.p7第8题解方程带―★‖写出检验过程 X+0.7=14★ 0.9x=2.45★ 76+x=91 x÷9=90 ★ x-54=18★ 2.1x=0.84
五、课堂小结
这节课，你有什么收获？学到哪些知识？在解方程时，关键是什么？要注意什么？
六、作业 完成补充习题。
第四课时 等式的性质与解方程练习教学内容：
教科书p7练习一第9～13题 教学目标要求：
1．通过练习，使学生进一步理解方程的意义。
2．进一步理解等式性质，能根据等式性质正确地解方程。教学重点：
进一步理解等式性质。教学难点：
能根据等式性质正确地解方程。教学过程：
一、基础练习1．什么是方程？
含有未知数的等式叫做方程。
（1）说出下面的式子哪些是方程，哪些不是？为什么？ 18+17=35 x=1 12-Y=4 S+12=49 21-b＜24 x=14＋78 16＋a=27＋b a +b=6 b-8=100 X+10 4X=60 2.让学生说一说等式的性质一和等式的性质二（1）解方程。带―★‖写出检验过程。X+25=37 X-23=52 0.7X=3.5★ X÷0.5=12 48－X=25★ 4.8÷x=20★
集体订正，帮有错的同学分析错误原因，使其明白算理。3．在○运算符号，在□填数字。（1）X-20=30（2）5x=2.4 解： X=30○□ 解：x=2.4○□
X=□ x=□
（3）3.6+X=5.7（4）4.8÷x=12 解： X=5.7○□ 解：x=4.8○□
X=□ x=□
学生独立完成后指名回答，让学生说说是怎样想的。使学生明白：根据等式的性质。小结：通过把解方程的过程补充完整，启发学生简化解方程的书写，提高解方程的熟练程度。
二、指导练习1．p7第9题 学生独立完成
2．P7第11题：pp列方程求表中的未知数的值 学生看懂题意，列方程，解方程 3．P7第13题 学生口答练习4．出示小黑板
判断题
（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。……（）（2）方程一定是等式，等式不一定是方程。……（）（3）解方程的依据是等式的性质。……（）学生独立完成，说一说自己判断的理由。
三、课堂小结
通过本节课的练习，你有什么收获？你认为解决数学问题时，方程的用处大吗？
四、作业 1．P7第10题 2．P7第12
第五课时 列方程解决简单的实际问题 教学内容：
教科书P8例
7、P9练一练，P11练习二第1～5题 教学目标要求：
1．使学生在具体的情境中，根据题中数量间的相等关系，能正确列方程解决简单的实际问题，掌握列方程解决实际问题的思考方法。
2．使学生在经历将实际问题抽象成方程的过程中，积累将现实问题数学化的经验，进一步感受方程的思想方法和应用价值。
3．通过学习，进一步培养学生独立思考，主动与他人合作，自觉检验的良好习惯。教学重点： 学会列方程解决一步计算的实际问题。教学难点：掌握列方程解决实际问题的基本思考方法。教学过程：
一、新课导入
1.谈话：我们已经学习了等式的两个性质，今天这节课，我们将继续学习用不同的方法写出方程的数量关系，但不管是什么形式，其本质是一样的。2.课件出示例7：
学生读题，理解题意说说题中的条件和问题，再找出数量之间的相等关系。学生的回答可能有： ①去年的体重+=今年的体重 ②今年的体重—去年的体重=2.5米 根据学生的回答列方程解答。解：设小红去年的体重为x千克。X+2.5=36 36-X=2.5 你是怎样检验的？在小组里交流后，集体交流。3.列方程解决实际问题时要注意什么？
二、完成―练一练‖
先说说题中的数量关系，再说说怎样设未知数，然后根据数量关系列方程解答。
三、完成练习二的第1～5题。1.完成练习二的第1题
先让学生说说解方程的思路，然后让学生独立完成，集体交流。2.完成练习二的第2题
先说说题中的数量关系，再说说怎样设未知数。3.完成练习二的第3题
先让学生独立完成，再说说每题中的数量关系和解题过程。4.完成练习二的第4题
学生理解题意后独立完成，再说说每题中的数量关系和解题过程。5.完成练习二的第5题
三生板演，其余生独立完成在自备本上后集体校对，再向同桌说说解方程的注意点：写上―解‖，利用等式的性质一步一步解出x的值，最后要检验。
四、全课小结
提问：今天这节课我们学习了什么内容？要注意什么？
第六课时 列方程解决简单的实际问题（2）教学内容：
教科书P9例
8、P10练一练，P11-12练习二第6～8题 教学目标要求：
1.能准确找出问题中相等关系的量，根据其数量关系列出方程。2.使学生学会应用等式的性质解两步解的方程。3.渗透转化思想，学习解决问题的策略。4.注重联系生活实际，获得成功体验。教学重点：
使学生能熟练找出问题中相等关系的量，根据其数量关系列出方程并应用等式的性质解两步解的方程。教学难点：
渗透转化思想，学习解决问题的策略。教学过程：
一、复习导入
1． 找出下列关键句中的数量关系： 女生人数是男生人数的2倍 足球的个数比篮球多35个
鸽子的只数相当于麻雀的5倍多9只 语文书的4倍少10本正好是数学书的本数 2． 应用等式的性质说说解方程的过程： 4x = 56 x+15 = 30 x÷9 = 23 x-98 = 100 5 x – 6 = 9 你觉得这个方程和我们以前学过的有什么不同？你有什么办法解方程？
二、新授教学 1． 学习例8：
师出示题目，说说题目中的数量关系。（生自由说再指名校对）你有什么解题方法？
列方程解答的步骤是怎样的？（先找出数量关系，再设未知量为x，列出方程，根据等式的性质解方程。）你们想自己先试试看吗？（生尝试练习，两生板演后反馈）解：设小雁塔的高度为x米。
2x-22=64（数量关系：小雁塔高度的2倍少22米=大雁塔的高度）
2x-22+22=64+22（等式的性质）2x =86 x=86÷2
x=43 这样就做完了吗？（还要检验）
如何检验？（先自己检验一下，再同桌交流，最后指名检验）注意：要将x的值代入题目中检验才比较准确。答：小雁塔高43米。
2．在解方程的过程中还有什么不理解的？有没有其它想法？（为什么不利用等式的性质先将左右两边都÷2，这样做行不行？为什么？）引导同学们理解这里将2x看作一个整体的未知数来解。先求出2x的值是多少，再求出x的值是多少，要两步解。揭题：两步解的方程 3．从读题后找出数量关系到列方程、解方程、检验，你觉得哪里很关键，哪里还有些困难？
三、专项练习
1．根据关键句说说数量关系：
杭州湾大桥比香港青马大桥的16倍还多0.8千米 梨树比桃树的3倍多15棵 放养的鳊鱼比鲫鱼的4倍少80尾 猎豹比猫最快时速的2倍还多20千米 故宫比天安门广场的2倍少8公顷
一个驼鸟蛋长比一只蜂鸟体长的3倍还多1厘米 2．练习二第6题
在括号里填上含有字母的式子，生独立完成后校对。3．练习二第7题 学生独立完成，集体交流 4．练习二第8题
生独立完成，两生板演后校对。
四、总结
师：今天我们一起学习了什么知识？在脑子里回忆一下解两步方程的过程，再同桌互相交流解题的注意点。
五、作业 补充习题
第七课时 列方程解决简单的实际问题练习 教学内容：
教科书P12练习二第9～15题 教学目标要求：
1.渗透数学中的语感训练，使学生能熟练找出问题中相等关系的量，根据其数量关系列出方程。2.使学生掌握应用等式的性质解两步解的方程。3.注重联系生活实际，获得成功体验。教学重点：
学生能熟练根据其数量关系列出方程。教学难点：
注重联系生活实际，获得成功体验。教学过程：
一、复习导入
找出下列句中的数量关系： 松树和杨树一共56棵
学校的建筑面积是总面积的一半
底楼高3.4米，其余三层平均每层高2.8米，这幢楼高多少米? 小亮现在的身高比出生时的3倍高0.04米 三瓶墨水的价钱比一个文件夹便宜2.8元
二、巩固练习1.练习二第9题
指名板演，其余生独立完成在自备本上后集体校对。说说注意点和解两步方程的步骤。2.练习二第10题
先要求学生只列出方程，校对所列方程根据的等量关系后再解方程。3.练习二第11题
生理解题意，找出数量关系，独立列方程解答，集体交流。4.练习二第12题
生理解题意，并独立完成在自备本上。校对，说说题目的意思，注意要求两问。5.练习二第13题
生理解题意，让学生找准对应的量，提醒学生有2问。集体交流。6.练习二第14题
生独立完成后校对，其中12题的物品有―文件夹‖和―墨水‖，各一个与12瓶，总价25.10元。7.练习二第15题
学生利用公式独立列式计算，集体交流时让学生说说是怎样计算的？
三、总结
师：今天在解方程的过程中，你有哪些进步？
四、作业 补充习题
第八课时 列方程解决简单的实际问题 教学内容：
教科书P9例8 P10练一练、P11练习二第4～7题 教学目标要求：
1．使学生在解决实际问题的过程中，理解并掌握形如ax±b=c的方程的解法，会列上述方程解决两步计算的实际问题。
2．使学生在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中，经历将现实问题抽象为方程的过程，进一步体会方程的思想方法及价值。教学重点：
理解并掌握形如ax±b=c的方程的解法，会列上述方程解决两步计算的实际问题。教学难点：
理解并掌握形如ax±b=c的方程的解法，会列上述方程解决两步计算的实际问题。教学过程：
一、创设情境
1．谈话引入：（出示相应图片）今天我们研究一个与这两处建筑有关的数学问题。
二、自主探索 教学P9例8 1．提问：题目中告诉我们哪些条件？ 要我们求什么问题？
启发：你能从题目中找出大雁塔和小雁塔高度之间的相等关系吗？题目中的哪句话能清楚地表明大雁塔和小雁塔高度之间的关系？ 提出要求：
你能不能用不同的等量关系式将大雁塔和小雁塔高度之间的相等关系表示出来？ 学生想到的等量关系式：
①小雁塔高度×2-22=大雁塔的高度； ②小雁塔高度×2-大雁塔的高度=22。
根据学生回答，教师在题目中相关文字下作出标志，并要求学生进行完整地表述
2．引导学生观察第一个等量关系式，在这个等量关系式中，哪个数量是已知的？哪个数量是要我们去求的？
追问：用什么方法来解决这个问题？ 板书课题：列方程解决实际问题
3．列方程解决问题一般要经过哪几个步骤？
让学生先自主尝试设未知数，并根据第一个等量关系列出方程。
4．提问：这样的方程，你以前解过没有？运用以前学过的知识，你能解出这个方程吗？ 5．提问：还可以怎样列方程？
6．小结：刚才我们通过列方程解决了一个实际问题，你能说说列方程解决实际问题的大致步骤吗？其中哪些环节很重要？
①要根据题目中的条件寻找等量关系，②分清等量关系中的已知量和未知量，用字母表示未知量并列方程； ③解出方程后，要即使进行检验。
三、巩固练习1.做P10―练一练‖（1）先将练一练数量关系式填写完整。（2）根据等量关系式列方程解答。2.做练习二第5-6题。
四、你知道吗？
学生自主学习，了解方程的由来，了解古代数学就家李冶
五、全课总结
今天这节课我们学习了什么内容？你有哪些收获？还有没有疑惑的地方？
六、课堂作业： P11练习二第7～8题。
第九课时 列方程解决实际问题练习教学内容：
教科书P12第9～15题 教学目标要求：
1.进一步巩固形如ax+b=c的方程的解法，会列方程解决两步计算的实际问题。
2.使学生在积极参与数学活动的过程中，养成独立思考、主动与他人合作交流、自觉检验等习惯。教学重点: 进一步掌握列方程解应用题的方法 教学难点：
能熟练理解题意、分析数量关系正确找出应用题中数量间的相等关系。教学过程：
一、基础训练 1．列方程，不计算。
（1）每支钢笔x元，购买4支钢笔要60元．
（2）小明有x张邮票，小军邮票的张数比小明的3倍还少5张，小军有邮票55张．(3)修路队x天修2.4千米的公路，平均每天修0.6千米.(4）商店运来苹果a千克，运来的橘子是苹果的5倍，运来橘子200千克.2．我当包公，判一判.（1）0.5是方程3x+0.7=1.6解
（2）方程一定是等式，等式也一定是方程（3）方程3x+3=27与方程2x+2=18的解相同（4）X+2=2+x是方程 3．择优录取，选一选
（1）方程4x-2=10的解是（）A．x=2 B．x=3 C．x=32 D．x=48
（2）甲乙两地间的铁路长480千米，客车和货车同时从两地相对开出，经过4小时相遇．已知客车每小时行65千米，货车每小时行x千米．不正确的方程是（）
A．65×4+4x=480 B．4x=480-65 C．65+x=480÷4 D．（65+x）×4=480
（3）六（1）班植树68棵，比六（2）班植树棵数2倍少8棵，六（2）班植树多少棵？解：设六（2）班植数x棵，下列方程错误的是（）A．2x-8=68 B．2x=68+8 C．68=2x+8
（4）张强今年a岁，李东今年（a-7）岁，再过c年，他们的年龄相差（）岁． A．7 B．c C．c+7
（5）x=1.5不是方程（）的解。
A．5x+6x=165 B．10×5-6x=41 C．3x-1.8=2.7
二、综合训练
1．P12第9题解方程下面3条 2．解决问题，我能行
学生说一说数量关系式，列方程，独立解方程（1）P12第11-12题 小瓶容量×3=1.5 大瓶单价-3.2=1.8 此题出现了两个未知数，怎么办？
学生说一说：一个用x表示，另一个用y表示 学生独立列方程，并解方程（2）p12第14题
学生说一说数量关系式列方程，解方程 12个墨水的价格+1个文件夹价格=25.1（3）P12第15题
读题理解―华氏温度=摄氏温度×1.8+32‖
三、课堂小结
今天这节课我们学习了什么内容？你有哪些收获？
四、课堂作业
1．P12第9题上面3条。第10题。第13题.第十课时 列方程解决实际问题 教学内容：
教科书P13例9、P14―练一练‖、P16练习三第1～3题。教学目标要求：
1．使学生在解决实际问题的过程中，理解并掌握形如ax+bx=c的方程的解法，会列上述方程解决两步计算的实际问题。
2．掌握根据题意找出数量间相等关系的方法，养成根据等量关系列方程的习惯。教学重点：
掌握列方程解应用题的基本方法, 在理解题意分析数量关系的基础上正确找出应用题中数量间的相等关系。教学难点：
能正确找出应用题中数量间的相等关系。教学过程：
一、谈话导入
今天研究一个与颐和园有关的数学问题。
二、学习新知 1．P13例9
（1）指名读题，分析数量关系。用线段图表示出题目中数量之间的关系吗？ 学生尝试画图，集体交流。
根据线段图得到：水面面积+陆地面积=颐和园的占地面积 启发：这大题目中有两个未知数，我们设谁为x呢？（2）列方程并解方程
指名学生列出方程，鼓励学生独立求解。
如果用x表示陆地面积，那么可以怎样表示水面面积呢？ 追问：这道题可以怎样检验？
检验：A、72.5+72.5×3=290（公顷）B、217.5÷72.5=3（3）观察我们今天学习的方程，与前面的有什么不同？ 小结：像这样含有两个未知数的问题我们也可以列方程来解答。（4）学生独立完成P14练一练第1题
三、巩固练习1．P14练一练第2题 教师引导学生找出数量关系式 陆地面积×2.4－陆地面积=2.1 2．解方程
2x+3x=60 3.6x-2.8x=12 100x-x=198
师：这几道方程以例题中的方程有什么共同特点，解这一类方程时要先做什么？依据是什么？ 3．根据线段图列出方程
4．解决实际问题：（列方程解）
（1）柏树松数共有750棵，柏树的棵数是松树的1.5倍，两种树各多少棵？ 为什么选择松树的数量设为x呢？（2）一块梯形田的面积是90平方米，上底是7米，下底是11米，它的高是几米？ 在做这道题时你认为应注意什么呢？
四、全课小结
这节课学习了列方程解决问题？ 在解答这一类应用题时应注意什么？
五、课堂作业： P16练习三第2-3题
第十一课时 列方程解决实际问题--相遇问题 教学内容：
教科书P14～P15例
10、练一练P16第4～7题 教学目标要求：
1．使学生在解决实际问题的过程中，进一步理解并掌握形如ax+bx=c的方程的解法。结合具体事例，经历自主尝试列方程解决稍复杂的相遇问题的过程。
2．能根据相遇问题中的等量关系列方程并解答，感受解题方法的多样化。
3．体验用方程解决问题的优越性，获得自主解决问题的积极情感和学好数学的信心。教学重点：
正确地寻找数量之间的相等关系 教学难点：
掌握列方程解具有两积之和(或差)的数量关系的应用题的解法。教学过程：
一、复习导入
1．在相遇问题中有哪些等量关系? 甲速×相遇时间＋乙速×相遇时间＝路程(甲速＋乙速)×相遇时间＝路程
2、一辆客车和一辆货车从两地出发，相向而行，经过3小时相遇。客车的速度是95千米/时，货车的速度是85千米/时。两地相距多少千米？
第一种解法：用两车的速度和×相遇时间：(95+85)×3 第二种解法：把两车相遇时各自走的路程加起来：95×3+85×3 师：画出线段图，并板书出两种解法
3.揭示课题：如果我们把复习准备中的第2题改成―已知两地之间的路程、相遇时间及其中一辆车的速度，求另一辆车的速度‖，要求用方程解，又该怎样解答呢?这节课我们就来学习列方程解相遇问题的应用题。(板书课题)
二、教学新课 1.出示P14例10 一辆客车和一辆货车从相距540千米的两地出发，相向而行，经过3小时相遇。客车的速度是95千米/时，货车的速度是多少？
（1）指名读题，找出已知所求，引导学生根据复习题的线段图画出线段图。（2）根据线段图学生找出数量间的相等关系： 甲速×相遇时间＋乙速×相遇时间＝路程(甲速＋乙速)×相遇时间＝路程（1）列方程
设未知数列方程并解答。启发学生用不同方法列方程。解：设货车的速度是为x千米/时。95×3＋3x＝540（95+x）×3=540 285＋3x＝1463 95+x=540÷3
3x＝540－285 95+x=180
3x＝ 255 x=180-95
x＝255÷3 x=85
x＝85 答：货车的速度是为85千米/时.（4）检验
三、拓展应用 1．P15练一练
（1）先画线段图整理条件和问题（2）找出数量间的相等关系（3）列方程并解方程 2．P16第4题
1.5x-x=1 4x-8×5=20 0.2×2+0.4x=5 3.看图列式（1）求路程
（2）求相遇时间
(3)求乙汽车速度
4.P16练习三第7题
四、课堂小结
今天这节课我们学习了什么内容？你有哪些收获？
五、课堂作业 P16练习三第5、6题
第十二课时 列方程解决实际问题练习课 教学内容：
教科书P17第9～15题。思考题。教学目标要求：
1．通过练习，使学生进一步掌握列方程解决实际问题的思考方法，提高列方程解决问题的能力。2．在练习中，使学生进一步感受方程的思想方法和应用价值，获得成功的体验，进一步树立学好数学的自信心，产生对数学的兴趣。教学重点: 掌握列方程解决实际问题的基本思考方法。教学难点：
根据情境，学生自己提出问题、解决问题。教学过程：
一、基本练习
1．先设要求的数为X，再列出方程。（口答且不解答）（1）一个数的12倍是84，求这个数。（2）2.9比什么数少1.5？（3）什么数与2.4和是6？
2．根据题意说出等量关系式并列方程
（1）果园里有124棵梨树和桃树，梨树是桃树棵数的3倍。桃树梨树各有多少棵？（2）书架上层有36本书，比下层少8本。书架下层有多少本书？ 提问：每一题的数量关系式分别根据哪一个条件列的？ 师生交流。
二、指导练习1.P17第9题
（1）引导学生说一说数量关系式。天鹅只数+丹顶鹤只数=960（2）根据关系式列方程 X+2.2x=960（3）解方程 2.P17第10题
（1）引导学生说一说数量关系式。六年级植树棵数－五年级植树棵树=24（2）根据关系式列方程
1.5x－x=24（3）解方程 3．P17第13题
（1）引导学生说一说数量关系式。历史故事总价+森林历险记总价=83（2）根据关系式列方程
7x+12×4=83（3）解方程
三、综合练习1．P17第11～12题
（1）学生先说一说数量关系式。（2）根据关系式列方程（4）解方程（5）集体评讲
四、思考题
（1）引导学生说一说等量关系式 速度差×追击时间=路程差 甲路程－乙路程=路程差(2)列方程(280－240)x=400 280x－240x=400(3)解方程
五、课堂小结
今天这节课是练习课，有谁来简单总结一下呢？还有什么问题吗？
第十三课时 整理与练习教学内容：
教科书第18～19页―回顾与整理‖、―练习与应用‖的1～6题。教学目标要求：
1．把本单元的知识进行系统的梳理，进一步理解和掌握用等式的性质解方程的方法。2．提高学生解方程的正确率和速度。
3．在问题解决的过程中，提高学生小组合作学习的能力。教学重点: 理解和掌握根据等式的性质解方程的过程和方法。教学难点：
掌握列方程解决实际问题的思路和方法。教学过程：
一、回顾与反思
1．全班交流：这一单元我们学习了哪些内容？ ⑴ 方程：含有未知数的等式叫做方程。⑵ 等式的性质：
① 等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。
② 等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得的结果仍然是等式。⑶ 解方程：求方程中未知数的值的过程，叫做解方程。⑷列方程解决实际问题。2．出示小组讨论题：（1）像3.4x＋1.8＝8.6 5x-x＝24 这样的方程各应怎样解？
（2）在列方程解决实际问题时，可以怎样找数量之间的相等关系？举例说明。让学生围绕这两个问题进行独立思考。把各自思考的情况在小小组内进行交流。
二、练习与应用
1．完成P18―练习与应用‖第１题。全班交流时说说判断的理由 2.完成P18―练习与应用‖第2题。
全班交流：解方程的依据是什么？
学生订正。
3．完成P18―练习与应用‖第3题。
⑴ 学生想象展开的薄膜形状，说说已知这个长方形的哪些条件，要求的量与两个已知量的关系。⑵ 学生独立列方程解答。4．完成P18―练习与应用‖第4题。5.完成P19练习与应用第5题。
⑴ 让学生认真审题，独立思考后找出相关数量之间的相等关系说一说。师随机板书：
武汉长江大桥铁路桥的长度×5＋197＝南京长江大桥铁路桥的长度武汉长江大桥公路桥的长度×3-421＝南京长江大桥公路桥的长度
⑵ 问：在列方程时应该怎样表示题中的两个未知数量？ 6.完成P19练习与应用第6题。
⑴ 学生读题后，教师先结合图书的印刷过程向学生介绍―制版费‖和―每册印刷费‖的含义，从而帮助学生理解：印制画册用去的总钱数是由两个部分组成的。一部分是制版费，另一部分是印刷费，也就是每本印刷费与本数的乘积。
⑵ 再让学生独立解答，指名板演。
⑶ 交流时让学生结合所列的方程说说自己的思考过程。
三、总结延伸
本节课你有什么收获？还有什么疑问？
四、课堂作业 P19第5～6题
第十四课时 整理与练习教学内容：
教材第19～20页练习与应用第7～12题和―探索与实践‖的第13～14题及―评价与反思‖。教学目标要求：
1．提高学生列方程解决实际问题的意识和能力。
2．在解决问题的过程中培养学生发现问题、解决问题的能力。教学重点: 掌握列方程解决实际问题的步骤和方法。教学难点：
能够自觉地选择方程的策略解决简单的实际问题。教学过程：
一、练习与应用 求x的值
（1）三角形面积275cm²。（2）长方形周长9m。
学生列出的方程可能有以下几种情况：
2x+1.5×2＝9
（x+1.5）×2＝9 x+1.5＝9÷2 问：这几个方程哪些你会解了？请你说说应怎样解？（对于有困难的学生，教师要多加关注，注意个别辅导。）
交流完后，让学生解自己所列的方程，有困难的学生也可以选择自己理解的方程来解。2．完成P19―练习与应用‖第7题。
集体交流时要关注学生解这些方程的准确率，并及时引导学生总结解每一类方程的基本方法，反思解这些方程时可能遇到的问题。
3．完成P19―练习与应用‖第8题 全班交流：展示学生的解题过程，检验结果是否正确。学生订正。4．完成P19―练习与应用‖第9题。
⑴ 出示题目，全班交流：题中已知量和未知量之间有什么关系？ ⑵ 学生列方程解答。⑶ 全班交流后订正。
二、探索与实践
1．完成―探索与实践‖第13题。
⑴ 先让学生在小小组内讨论分割的方法，然后试着动手分一分，分好后同桌同学互相测量分成的两段的长度，以检验各人的操作是否正确。
⑵ 交流分割方法。教师指出：这个问题其实也就是方程在解决实际问题时的应用。2．完成―探索与实践‖第14题。学生独立在书上填写。
小组交流：观察表格，你发现什么？三个连续自然数的和与中间的一个自然数有什么关系？可用什么数量关系式表示？ 应用规律解决问题。
①如果3个自然数的和是99，中间的数是x，你能列方程求x的值吗？其余的两个数分别是几？算出结果后自主进行检验。
②如果5个连续奇数的和是55，中间的数是n，你能列方程求n的值吗？
让学生分别写出5个连续的奇数，计算出它们的和，再比较和与中间一个数，并交流自己的发现。找到规律后，各自列方程求 n 的值。
③如果9个连续自然数的和是99，中间的数是m，你能列方程求m的吗？试试看。3．完成―探索与实践‖第15题。
（1）教师先和一名学生玩这个猜数游戏，先由老师猜学生想的数。（2）由学生猜老师想的数。
（3）让学生说说是用什么方法猜出老师想的数的。（4）和同学玩这个游戏。
三、评价与反思
1．小组交流：对照评价与反思的各项指标，说说自己的收获与存在的不足？ 2．全班交流：你认为自己在学习本单元内容时，可以得几颗星？哪些地方还需改进？
四、总结延伸
本节课，你有哪些收获？还有什么疑问？
五、课堂作业
P19第10题、11题、12题。
引导学生找出题中的相等关系，然后独立列方程解答。板书设计 ：
整理与练习
数量关系式 → 列方程 等式的性质 → 解方程
b-
1、b、b+1 3个连续的自然数的和是3b。
教学反思
近一段时间，我和同学们对《简易方程》的学习，已经有很长时间了，关于解方程的研究四个信息窗都已相继学习完了，在这段时间的学习中，我有这么几点感受和思考：
1、学习了利用方程解决问题就是让未知数参与进式子，参与运算，利用顺向思维，降低了学生思考数量关系的难度。较多的学生已经开始接受了并喜欢，不过也有一部分学生仍然尤其钟爱算术法，认为利用方程很麻烦，不如算术法快。学生的选择值得尊重，但我相信随着方程在解决稍复杂的生活问题的较多应用，也会渐渐喜欢上列方程的方法，也会学会更灵活选择解题方法得。
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