二次函数的最值问题教案

二次函数的最值问题教案（推荐17篇）

二次函数的最值问题教案 篇1

班级：莘庄职校03级（4）班

2003/12/4 [教学目标]1、2、3、4、使学生掌握二次函数在给定区间上最值的理论和方法。引入数形结合和分类讨论的思想。

培养学生敏锐的观察能力，运算准确性，思维的灵活性，培养学生发现问题的创新意识，探索问题的创新精神以及多层次，多角度思考问题的创新思维。[教学重点、难点] 重点：当区间端点不定时，讨论二次函数最值问题。难点：分类讨论思想的正确运用。[教学过程]

一、知识回顾

1、二次函数概念：形如yax2bxc(a0)的函数叫一元二次

函数。

bb4acb2)

其中对称轴为x，顶点坐标为(,2a2a2a2、图象性质

（动画演示）

（1）单调性（2）最值

二、问题探究

例题：求函数f(x)x22x1在下列区间最大值和最小值。（动画演示）

（1）R

f(x)minf(1)

（2）[-2，2]

f(x)minf(1)

f(x)maxf(2)

（3）[1，3]

f(x)minf(1)

f(x)maxf(3)

5（4）[-2，]

45f(x)minf()

f(x)maxf(2)

41f(2)

[-2，]

f(x)minf(1)

f(x)max31[-2，]

3f(x)minf(1)

f(x)ma1f()x3（5）[-2，a]

（学生观察，讨论）

f(2)f(a)

f(x)max①当-2≤a＜-1时

f(x)minf(2)f(1)

f(x)max②当-1≤a＜0 时

f(x)minf(a)③当a≥0时

f(x)minf(1)

f(x)max

三、问题引申

求函数f(x)x22x1在区间[m，m+2]上的最大值和最小值。

（动画演示）

f(m)解：当m＜-3时

f(x)minf(m3)

f(x)maxf(m)f(1)

f(x)max当-3＜m＜-2时

f(x)minf(m2)f(1)

f(x)max当-2＜m＜-1时

f(x)minf(m2)当m＞-1时

f(x)minf(m)

f(x)max

四、总结归纳

五、开拓思维

当二次函数对称轴变化时，在指定区间内求最值

二次函数的最值问题教案 篇2

掌握二次函数最值问题.

学习目标 (一)

二次函数y=ax2+bx+c在自变量取任意实数时的最值情况:

当a>0时, 函数在x=处取得最小值

当a<0时, 函数在x=处取得最大值

练习:

1. 抛物线y=2 (x+4) 2+7的开口方向是____, 顶点坐标为____, 对称轴是直线____, 当x=_____时, y有最____值为_____.

2. 抛物线y=-x2+6x+5的开口方向是________, 顶点坐标为_____, 当x=____时, y有最____值为____.

3.抛物线y=中, 当x=____时, y有_______值是________.

4. 二次函数y=-x2+mx中, 当x=2时, 函数值最大, 则其最大值是_______.

5. 已知二次函数y=x2-2x+c的最小值是-4, 则c=_______.

6. 二次函数y=ax2-4x+a的最大值是3, 则a=______.

学习目标 (二)

当自变量x在某个范围内取值时, 函数的最值问题.

练习:

7. 已知二次函数的图像 (0≤x≤3) 如图所示.关于该函数在所给自变量取值范围内, 下列说法正确的是 () .

A.有最小值0, 有最大值3

B.有最小值-1, 有最大值0

C.有最小值-1, 有最大值3

D.有最小值-1, 无最大值

8. 已知抛物线y=当1≤x≤5时, y的最大值是______, 最小值是______.

学习目标 (三)

二次函数的最值问题在实际生活中的应用.

练习:

9. 某学校要在围墙旁建一个长方形的生物苗圃园, 苗圃的一边靠围墙 (墙的长度不限) , 另三边用木栏围成, 建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD.已知木栏总长为120米, 设AB边的长为x米, 长方形ABCD的面积为S平方米.

(1) 求S与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围.

(2) 当x为何值时, S取得最大值?并求出这个最值.

10. 某工艺厂设计了一款成本为每件20元的工艺品, 投放市场进行试销后发现每天的销售量y (件) 是售价x (元/件) 的一次函数y=-10x+1000.

(1) 设该工艺品每天获得的利润为w元, 求出w与x的函数关系式.

(2) 如果该工艺品售价最高不能超过每件30元, 那么售价定为每件多少元时, 工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少元?

二次函数在闭区间上的最值问题 篇3

类型1定轴定区间

例1已知函数[f(x)=x2-2x]，求[f(x)]的最小值.

解[f(x)=x2-2x=(x-1)2-1]，

由图1可知，当[x=1]时，[f(x)min=-1].

变式1已知函数[f(x)=x2-2x]，[x∈[2,4]]，求[f(x)]的最小值.

解析由图1可知，函数[f(x)]在[[2,4]]为增函数，

[∴f(x)min=f(2)=0.]

变式2已知函数[f(x)=x2-2x]，[x∈[0,3]]，求[f(x)]的最大值.

解析由图1可知，函数[f(x)]在[[0,1]]上递减，在[[1,3]]上递增，且3离对称轴的距离大于0离对称轴的距离.

[∴f(x)max=f(3)=3.]

例2已知二次函数[f(x)=ax2+4ax+a2-1]在区间[-4，1]上的最大值为5，求实数[a]的值.

解将二次函数配方得[f(x)=a(x+2)2+a2-][4a-1]，函数图象对称轴方程为[x=-2]，顶点坐标为[(-2，a2-4a-1)]，图象开口方向由[a]决定.很明显，其顶点横坐标在区间[-4，1]内.

①若[a<0]，函数图象开口向下，如下图2所示.当[x=-2]时，函数[f(x)]取得最大值5.

即[f(-2)=a2-4a-1=5]，解得[a=2±10].

故[a=2-10(a=2+10舍去)].

②若[a>0]，函数图象开口向上，如上图3所示，当[x=1]时，函数[f(x)]取得最大值5.

即[f(1)=5a+a2-1=5]，解得[a=1或a=-6]，故[a=1(a=-6舍去)].

综上可知：函数[f(x)]在区间[-4，1]上取得最大值5时，[a=2-10或a=1].

点拨求解有关二次函数在闭区间上的最值问题，应先配方，作出函数图象，然后结合其图象研究，要特别注意开口方向、对称轴和区间的相对位置.在例1中，二次函数图象的开口、对称轴和区间都是固定的. 需注意的是，当函数的最值的取得在区间两个端点都有可能的时候，要比较端点与对称轴距离的大小.在例2中，二次函数图象的对称轴和区间是固定的，但图象开口方向是随参数[a]变化的，要注意讨论.二次函数[f(x)=a(x-k)2+h][(a>0)]在区间[[m,n]]最值问题：

①若[k∈[m,n]]，则[f(x)min=f(k)=h]，[f(x)max=max{f(m),f(n)}].

②若[k∉[m,n]]，当[k

当[k>n]时，[f(x)min=f(n)]，[f(x)max=f(m)].

类型2定轴动区间

例3已知函数[y=x2-2x,x∈[-2,a]]，求函数的最小值[g(a).]

分析由于函数图象的对称轴为[x=1]，区间左端点固定，区间右端点的位置不能确定，所以需分两类讨论，即①对称轴在区间[[-2,a]]内，②对称轴在区间[[-2,a]]右侧.

解[∵]函数[y=x2-2x=(x-1)2-1],

①当[-2

②当[a≥1]时，函数在[[-2,1]]上单调递减，在[[1,a]]上单调递增，则当[x=1]时，[ymin=-1].

综上可知[g(a)=a2-2a,-2

例4已知函数[f(x)=-x22+x+6]在区间[[m,n]]上的值域是[[2m-2,2n-2]]，求[m、n]的值.

分析由于函数图象的对称轴为[x=1]，而区间左右端点值均含有参数，所以要分三类讨论，即①对称轴在区间右侧，②对称轴在区间内，③对称轴在区间左側.

解[∵f(x)=-x22+x+6=-12(x-1)2+132,]

①若[m

②若[m<1

故[2n-2=132]，得[n=174.]

由于[2m-2<0,f(n)=-12(174-1)2+132=3932>0,]

故[f(x)]在[x=m]处取最小值[2m-2.]

即[-12(m-1)2+132=2m-2]，解得[m=-1-17].

③若[1≤m

解得[m=2,n=4.]

综上可知[m=-1-17n=174]或[m=2n=4].

点拨当二次函数解析式确定，但自变量取值区间变化时，需根据对称轴和区间的位置关系，对区间参数进行讨论.

类型3动轴定区间

例5求[f(x)=x2-2ax-1]在区间[[0,2]]上的最大值和最小值.

分析因为有自变量有限制条件，要求函数最值，最好是先作出函数图象，作二次函数图象时先看开口方向，再看对称轴的位置，因为此函数图象对称轴[x=a.]位置不定，并且在不同的位置产生的结果也不同，所以要以对称轴的位置进行分类讨论.

解[f(x)=(x-a)2-1-a2]，对称轴为[x=a.]

①当[a<0]时，由图4可知，[f(x)min=f(0)=-1]，[f(x)max=f(2)=3-4a.]

②当[0≤a<1]时，由图5可知，[f(x)min=f(a)=-1-a2,][f(x)max=f(2)=3-4a.]

③当[1≤a≤2]时，由图6可知，[f(x)min=f(a)=-1-a2,][f(x)max=f(0)=-1.]

④当[a>2]时，由图7可知，[f(x)min=f(2)=3-4a,][f(x)max=f(0)=-1.]

例6已知二次函数[f(x)=-x2+2ax+1-a]在[[0，1]]上有最大值2，求[a]的值．

解[f(x)=-(x-a)2+a2-a+1]．

①当[a<0]时，[f(x)max=f(0)=2，]得[a=-1]．

②当[0≤a≤1]时，[f(x)max=f(a)=2]，解得[a=1±52∉[0，1]]，故该方程在[[0，1]]上无解．

③当[a>1]时，[f(x)max=f(1)=2]，得[a=2]．

综上可知：[a=-1]或[a=2]．

点拨当二次函数开口方向和给定区间固定，对称轴位置不确定时，只要讨论对称轴和给定区间的位置关系即可，结合图象需分两种或三种情况讨论.

类型4动轴动区间

例7设[a]是正实数，[ax+y=2][(x≥0,y≥0).]若[y+3x-12x2]的最大值是[M(a).]求[M(a)]的表达式.

分析该题是二元函数求最大值，应先由[ax+y=2]解出[y]代入，消元，转化为关于[x]的二次函数，再求最大值.

解设[f(x)=y+3x-12x2]，由[ax+y=2]得[y=2-ax].

[∴f(x)=(2-ax)+3x-12x2=-12[x-(3-a)]2+12(3-a)2+2.]

[∵y≥0]，[∴2-ax≥0].

又[a>0,x≥0]，[∴x∈[0,2a].]

（1）当[0<3-a<2a(a>0)]即[0

（2）当[3-a≥2a(a>0)]即[1≤a≤2]时，[M(a)=][f(2a)=-2a2+6a].

（3）当[3-a≤0]即[a≥3]时，[M(a)=f(0)=2].

[∴M(a)=12(3-a)2+2-2a2+6a2][(0

点拨当二次函数对称轴和区间都不固定时，还是应先配方，理清函数对称轴和区间的位置关系，然后对参数进行讨论.通过前面二次函数在闭区间上的最值问题的四类题型，我们可以发现二次函数的最值总是在对称轴或区间端点处取得.

例8已知函数[f(x)=ax2+(2a-1)x-3][(a≠0)]在区间[[-32,2]]上最大值为1，求实数[a]的值.

分析若按常规方法从求函数最大值直接入手，则需作如下分类讨论：

①当[a<0]时，分三种情况讨论最大值；

②当[a>0]时，分两种情况讨论最大值.

一共有五种情形，过程繁琐.若从整体角度分析，注意到函数[f(x)]的最大值只可能产生在二次函数的顶点或端点处，这样可以先求函数[f(x)]在顶点和端点的函数值，再逐一验证参数的正确性即可.

解函数[f(x)]的最大值只能在[x1=-32]，或[x2=2]，或[x3=1-2a2a]处取得．

①令[f(-32)=1]，解得[a=-103]，此时[x0=1-2a2a=-2320∈-32，2]．故[f(x)]的最大值不可能在[x1]处取得．（[a=-103]，抛物线开口向下）

②令[f(2)=1]，解得[a=34]，此时[x0=1-2a2a=-13<-32+22]．故[f(x)max=f(2)]，得[a=34]，符合题意．

③令[f1-2a2a=1]，解得[a=-3±222]．要使[f(x)]在[x0=1-2a2a]处取得最大值，必须且只须[a<0]且[x0∈[-32,2]]，经检验，只有[a=-3+222]合题意．

综上可知：[a=34]或[a=-3+222]

点拨本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法.

求解二次函数在闭区间上的最值问题，关键是抓住“三点一轴”.“三点”即区间端点与区间中点，“一轴”即二次函数的对称轴，合理进行讨论.

[【练习】]

1．已知函数[y=x2-2x+3 , x∈[0,m]]上有最大值3，最小值2，则[m]的取值范围是（ ）

A. [  [1,+∞) ]B. [ [0,2]]

C. [ [1,2]]D. [(-∞,2]]

2．已知函数[f(x)=x2－2x＋2]的定义域和值域均为[[1，b]]，则[b＝].

3．已知定义在区间[0,3]上的函数[f(x)＝kx2－2kx]的最大值為3，那么实数[k]的取值范围为．

4．若函数[f(x)=-12x2+132]在区间[[a,b]]上的最大值为[2b]，最小值为[2a]，求区间[[a,b]].

[【参考答案】]

1. C 2. 23. {1，－3}

二次函数在闭区间上的最值问题 篇4

1.课件的教学设计要点

⑴ 教材的知识脉络和学生原有的知识经验分析

二次函数是最简单的非线性函数之一，自身性质活跃，同时经常作为其他函数的载体。二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续和发展，随着区间的确定或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为高考数学中的热点。但学生受一次函数的最值求法的影响，总是把边界值代进函数就可以得出最大或最小值了，为了让学生掌握二次函数在闭区间上的最值问题，必须经过其主动的探究，体会探究过程的每个环节，才能对问题有深刻地认识，只有充分的调动学生的认知准备，特别是对数形结合的思想方法的学习，更需要学生自己在探究过程中深刻体会，以学生的亲身体验主动建构新知识，才能使其使用这一思想方法成为一种自觉的行为，这种学习才是有效的。所以，本堂课更加注重学生运用数形结合数学思想方法的体验，情感目标是通过学生自己的探索解决问题，增强其学习数学的兴趣和信心。

学生已经了解一元二次函数的性质（图像），要让学生先了解给定具体区间（不含参数）的最值问题知识之后，勇于自己尝试对含参数的此类问题的研究解答。从运动的观点来体会参数值的变化导致图象的变化，从而引起函数单调性的变化，才使得函数的最值有不同的情况。

⑵ 教学策略和方法设计

复习提问，让学生探究例1完成后，然后把区间改变，既探究例2，然后用多媒体课件的动态演示，让学生有更直观的体会，对基础教差学生的理解起到的积极的辅助作用，由原来的知识掌握，确定为让学生加深运用数形结合的数学思想方法的体验。然后再研究例题3，以运动的观点来体会参数值的变化导致图象的变化，从而引起函数单调性的变化，才使得函数的最值有不同的情况。例题的难度作了梯度变更（由易到难），制作课件等。2.课件设计的技术要点

⑴设计问题情境及技术要点：

我们已学习了哪些一元二次函数的性质？学生再回顾一元二次函数的性质（图像），在闭区间的最值是怎样的呢？完成例题1；研究例2，然后反问，为什么要这样做，这样做的依据是什么，为什么必须这样做。然后再提问参数对图象分别有什么影响？ 技术要点：

① 建立“复习引入”页面，把复习引入的文本和新课说明复制到该页面中，并用【显示/隐藏】按钮控制。

② 建立“具体二次函数最值”页面，利用自动吸附网格功能，快速制作二次函数图象，动态变化区间[a，b]，用多媒体课件的动态演示，让学生有更直观的体会。

③ 建立“含参数二次函数最值”页面，利用自动吸附网格功能，制作二次函数的图象，在利用a、b、c三个参量分别变化，引起函数

二次函数最值问题 篇5

大河镇 件，设所获利润为y元，则y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，这样，一个二元二次方程就列出，这也为后面学习二次函数与一元二次方程的关系奠定了基础，针对上述分析，把所列方程整理后，并得到y＝－200x2＋3700x-8000，这里再利用二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小来确定问题的最值。把问题转化怎样求这个函数的最值问题。

b4acbb4acb根据a>0时，当x=－，y最小＝；a<0时，当x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利润。

例2是面积的最值问题（下节课讲解）

教学反馈：讲得丝丝入扣，大部分学生能听懂，但课后的练习却“不会做”。反思一：本节课在讲解的过程中，不敢花过多的时间让学生争辩交流，生怕时间不够，完成了不教学内容，只能按照自己首先设计好的意图引领学生去完成就行了。实际上，这节课以牺牲学生学习的主动性为代价，让学生被动地接受，去听讲，体现不了学生是学习的主人这一关键环节。

反思二：数学教学的目标不仅是让学生学到一些知识，更重要的是让学生学会运用知识去解决现实问题，让学生“从问题的背景出发，建立数学模型”的基本流程，如例题中，可让学生从“列方程→转化为二次函数解析式→

b4acb当x＝－时，y最大（小）＝→解决问题”，让学生在实践中发现数2a4a学，掌握数学。

二次函数的最值问题教案 篇6

二次数学的实际运用

——图形面积的最值问题

【知识与技能】：通过复习让学生系统性地掌握并认识如何用函数的思想解决几何问题中面积最值问题，培养其整体性思想。【过程与方法】：能通过设置的三个问题，概括出二次函数解决这类问题的基本思路和基本方法，并学会用数学问题的结论，分析是否是实际问题的解，掌握类比的数学思想方法。

【情感态度与价值观】：体会函数建模思想的同时，体会数学与现实生活的紧密联系，培养学生认真观察，不断反思，主动纠错的能力和乐于思考，认真严谨、细心的好习惯。感受多媒体的直观性和愉悦感。【重点】：如何利用二次函数的性质解决实际问题——图形面积的最值问题 【难点】：如何探究在自变量取值范围内求出实际问题的解 【教学过程】 【活动1】：导入引言：

二次函数在实际问题中的应用常见类型有抛物线形问题和最值问题。而最值问题考试类型有两类（1）利润最大问题；

（2）几何图形中的最值问题：面积的最值，用料的最佳方案等，本节课，我们学习如何用二次函数解决实际问题中图形面积的最值问题。

【活动2】：师生互动，合作学习

我们来看一道简单的例题

例1：李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD，用篱笆围成的另外三边总长为24米，则矩形的长宽分别为多少时，围成的矩形面积最大？

师（让学生思考）：题目中已知量是什么？ 未知量是什么？如何理解“矩形面积最大”问题？是什么影响了矩形面积的变化呢？我们一起来看下面的动画演示（通过动画演示，让学生感受量的变化）师：在演示中你们看到了什么？想到了什么？你能列出函数解析式吗？

学生解决：若设矩形一边长为X，当X在变长时，另一边变短，当X变短时，另一边变长，则面积S也随之发生了变化；设宽AB为X米，则长为24-2X(m)所以 面积S=X(24-2X)=-2X2+24X=-2(X-12)2 +288 师：分析归纳解函数问题的一般步骤是什么？

（板书: 第一步，正确理解题意,分析问题中的常量和重量；

第二步，巧设未知数，用未知数表示已知量和未知量，列二次函数解析式表示它们的关系； 第三步，计算，将一般式转化为顶点式，求出数学问题的最值。）

师：请问这时解出的数学问题的解是不是实际问题的解，如何检验呢？（在师生共同研讨的过程中找出计算中学生容易犯的错误，分析解答是否符合实际问题）

小结：求解完答案后，我们要善于检查，分析，反思数学问题的解是否是实际问题的解。活动3：变式训练，巩固应用。

师：如果我们在图形中再加一个“竖道”，请问刚才的问题中，什么量在变化，什么量不变化？是否影响面积的变化？

师生共同总结得出：AB不变而BC在变，BC表示时要考虑竖道的个数。

师：请大家看下面的中考题，这个问题中涉及的是方程的思想还是函数的思想？ 一题多变1：

要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB,BC各为多少米？

学生自主探究问题并解答（引导学生分析讨论如何舍去方程的根，获得实际问题的解）

师： 问题中面积是否由“400”可以改为“500”

“600”

“700”呢？面积是否可以取一个任意大的数值呢？

生：不可以，x受墙长的影响，围栏长度的影响，面积不能超过一个最大值。师：引导利用函数的思想解决下面的问题。活动4：深入探究，设疑激趣 一题多变2：

师：请大家仔细阅读下面的例题，分析问题中的已知条件又作了哪些变化？ 如图所示，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB＝xm，面积为ym2.(1)求y与x的函数关系式；（2）y是否有最大值？若有，求出y的最大值。

学生互学，师生共同总结：师：利用函数的思想解决实际问题时，要考虑自变量的取值范围，要在自变量范围内 求出最大值，要学会检验数学问题的解是否是实际问题的解。利用函数解决实际问题，我们在后面的学习中还要继续探究。

【活动4】归纳小结:（1）

利用函数思想解决实际问题的一般步骤是什么？（2）

三角函数的最值问题 篇7

一、 可转化为利用正、余弦函数的有界性 (|sinx|≤1, |cosx|≤1) 求解的最值问题

1.可将函数式化为y=Asin (ωx+φ) +k的形式求解的问题

(1) 形如y=asinx+b (或y=acosx+b)

【例1】 求函数y=2sinx+1的最值.

解:∵-1≤sinx≤1, ∴-1≤2sinx+1≤3, 故有ymax=3, ymin=-1.

(2) 形如$y=\frac{a\text{s}\text{i}\text{n}x+b}{c\text{s}\text{i}\text{n}x+d}$ (或$y=\frac{a\text{c}\text{o}\text{s}x+b}{c\text{c}\text{o}\text{s}x+d})$, 从函数式中将sinx (或cosx) 反解出来, 再利用|sinx|≤1 (或|cosx|≤1) 求解, 或用分离常数的方法求解.

【例2】 求函数$y=\frac{3\text{s}\text{i}\text{n}x-1}{\text{s}\text{i}\text{n}x+2}$的最大值和最小值.

解:由$y=\frac{3\text{s}\text{i}\text{n}x-1}{\text{s}\text{i}\text{n}x+2}$得$y\sin x+2y=3\sin x-1\Rightarrow \sin x=\frac{-1-2y}{y-3}(y\ne 3)$.又$|\sin x|\le 1\Rightarrow |\frac{-1-2y}{y-3}|\le 1\Rightarrow -4\le y\le \frac{2}{3}\Rightarrow y{}_{\max }=\frac{2}{3},y{}_{\min }=-4.$

2.可将函数式化为sin (ωx+φ) =f (y) 的形式求解的问题

形如$y=\frac{a\text{s}\text{i}\text{n}x+b}{c\text{c}\text{o}\text{s}x+d}$ (或$y=\frac{a\text{c}\text{o}\text{s}x+b}{c\text{s}\text{i}\text{n}x+d})$, 可化归为sin (ωx+φ) =f (y) , 利用|sin (ωx+φ) ≤1|去处理;或用万能公式换元后再用判别式去处理;当a=c时, 还可利用数形结合的方法去处理.

【例3】 求函数$y=\frac{\sin \theta -1}{\cos \theta -2}$的最值.

解:由$y=\frac{\sin \theta -1}{\cos \theta -2}$去分母得

$\sin \theta -y\cos \theta =1-2y\Rightarrow \sqrt{1+y{}^2}\sin (\theta -\phi )=1-2y(\tan \phi =y),|\sin (\theta -\phi )|=\left|\begin{array}{c}\frac{1-2y}{\sqrt{1+y{}^2}}\end{array}\right|\le 1\Rightarrow 0\le y\le \frac{4}{3}.$

故函数的最大值为$\frac{4}{3}$, 最小值为0.

二、 可转化为求二次函数y=at2+bt+c在闭区间[-1, 1]上的最值问题

1.形如y=asin2x+bsinx+c (或y=acos2x+bcosx+c) , 其中a≠0, 可令t=sinx (或t=cosx) , -1≤t≤1, 化归为闭区间上二次函数的最值问题求解.

【例4】 求函数f (x) =cos2x+sinx在区间$[-\frac{\text{π}}{4},\frac{\text{π}}{4}]$上的最小值.

$$

, 当$t=-\frac{\sqrt{2}}{2}$时, $[f(x)]{}_{\min }=\frac{1-\sqrt{2}}{2}.$

2.形如y=A (sinx±cosx) +Bsinxcosx, 可令sinx±cosx=t, 则$t=\sqrt{2}\sin (x\pm \frac{\text{π}}{4})(|t|\le \sqrt{2})$, 将sinxcosx转化为t的函数关系式, 从而化为二次函数的最值问题.

【例5】 求函数$y=\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x\text{c}\text{o}\text{s}x}{\text{s}\text{i}\text{n}x-\text{c}\text{o}\text{s}x+1}(0＜x＜\text{π})$的值域.

解:令sinx-cosx=t, 则$\sin x\cos x=\frac{1-t{}^2}{2},\therefore y=\frac{\frac{1-t{}^2}{2}}{t+1}=\frac{1-t}{2}$, 又∵x∈ (0, π) , 则$t=\sqrt{2}\sin (x-\frac{\text{π}}{4})\in (-1,\sqrt{2}]$, 故$y\in [\frac{1-\sqrt{2}}{2},1).$

评:关于sinx±cosx与sinxcosx的问题应充分注意 (sinx±cosx) 2=1±2sinxcosx的关系.

三、转化为可利用均值不等式求解的最值问题

形如$y=\sin x+\frac{a}{\text{s}\text{i}\text{n}x}$ (或$y=\cos x+\frac{a}{\text{c}\text{o}\text{s}x})$, 其中a∈R+.

【例6】 求函数$y=\sin x+\frac{1}{2\text{s}\text{i}\text{n}x}(0＜x＜\text{π})$的最小值.

解:$\because 0＜x＜\text{π},\therefore 0＜\sin x\le 1‚y=\sin x+\frac{1}{2\text{s}\text{i}\text{n}x}\ge 2\sqrt{\text{s}\text{i}\text{n}x\cdot \frac{1}{2\text{s}\text{i}\text{n}x}}=\sqrt{2},$

当且仅当$\sin x=\frac{1}{2\text{s}\text{i}\text{n}x}\Rightarrow \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x=\frac{\text{π}}{4}$或$\frac{3\text{π}}{4}$时, $y{}_{\min }=\sqrt{2}.$

二次函数最值问题分类剖析 篇8

二次函数在某区间上的最值问题是高考命题中经久不衰的“热点”，二次函数的最值与它的图象的对称轴密切相关，这类问题的求解，其关键是运用二次函数的图象，研究函数图象的对称轴与区间的相对位置关系，当含有参数时，在不同的情况下，函数的单调性不一，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论，本文就二次函数图象的对称轴与所给区间的“定”和“动”，将此类常见的问题分为四种类型，并分别举例加以深度剖析。endprint

二次函数在某区间上的最值问题是高考命题中经久不衰的“热点”，二次函数的最值与它的图象的对称轴密切相关，这类问题的求解，其关键是运用二次函数的图象，研究函数图象的对称轴与区间的相对位置关系，当含有参数时，在不同的情况下，函数的单调性不一，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论，本文就二次函数图象的对称轴与所给区间的“定”和“动”，将此类常见的问题分为四种类型，并分别举例加以深度剖析。endprint

二次函数在某区间上的最值问题是高考命题中经久不衰的“热点”，二次函数的最值与它的图象的对称轴密切相关，这类问题的求解，其关键是运用二次函数的图象，研究函数图象的对称轴与区间的相对位置关系，当含有参数时，在不同的情况下，函数的单调性不一，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论，本文就二次函数图象的对称轴与所给区间的“定”和“动”，将此类常见的问题分为四种类型，并分别举例加以深度剖析。endprint

隐含在不等式中的最值问题 篇9

这是求函数最值中比较复杂的一类问题，它往往与恒成立问题有联系，换元与整体思维在解决问题的过程中起主导作用，通过对以下两个问题的探讨，我们可以从中发现解决这类题目的方法规律。

例1.若不等式22x2x1t10对一切实数x都成立，求实数t的最大值。解：原不等式可化为t(21)2

令a2，f(a)(a1)2(a0)

则f(a)的值域为(1，)

t1时原不等式对xR都成立，故t的最大值是1

注：tf(x)恒成立，应考虑f(x)的最小值，而tf(x)恒成立应考虑f(x)的最大值。

x2x2

11m 0总能成立。abbcca

acac解：将m与a，b，c分离并整理得m。abbc例2.已知abc，求实数m的最大值，使不等式

要使此不等式成立，只需m不大于右边式子的最小值。

ab0，bc0

abbcabbcabbc

bcabbcab222·4 abbcabbc

m4可使原不等式当abc时恒成立右边

m的最大值是4

练一练

已知对任意实数x，二次函数f(x)axbxc恒非负，且ab，求

小值。2abc的最ba

bt1 a

t2

二次函数的最值问题教案 篇10

教案

函数最值求法及运用

一经验系统梳理:)问题思考的角度:1几何角度；2代数角度

2)问题解决的优化策略:

Ⅰ、优化策略代数角度:

消元

2换元

3代换

4放缩

①经验放缩，②公式放缩③条放缩]

Ⅱ、几何角度:

经验特征策略分析问题的几何背景线性规划、斜率、距离等

3)核心思想方法:

划归转化思想;等价转化思想

若

，则

二、体验训练：

线性规划问题

已知双曲线方程为求的最小值

2斜率问题

已知函数的定义域为，且

为的导函数，函数的图像如图所示若两正数满足，则的取值范围是

．

3距离问题

3、由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为

．

练习1已知点是直线上动点，、是圆 的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是，则

．

练习2已知实数满足不等式组，则的最小值为

；

4消元法

已知函数，若且则的取值范围为

练习：设函数，若且则的取值范围为

换元法

求下列函数的最大值或最小值：

（1）

；

（2）

；

（3）若函数的最大值是正整数，则=_______

解：（1）

，由得，∴当时，函数取最小值，当时函数取最大值．

（2）令，则，∴，当，即时取等号，∴函数取最大值，无最小值．

2已知,且夹角为如图点在以为圆心的圆弧上动若则求的最大值

6代换法

设为正实数，满足，则的最小值是

【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由得，代入得，当且仅当＝3

时取“＝”．

设正实数满足则的最大值为

▲1

．

7公式放缩法

函数，的最小值为：_________

错解：∵

∴，又为定值故利用基本不等式得

即的最小值为4

点评：利用基本不等式必须满足三个条：即“一正、二定、三等”，而本题只满足前两个条，不满足第三个条，即不成立。

设为实数，若则的最大值是。

8放缩法、换元法

已知二次函数的值域是那么的最小值是

．

9综合探讨：

满足条的三角形的面积的最大值

【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设B＝，则A＝

，根据面积公式得=，根据余弦定理得

，代入上式得

=

由三角形三边关系有解得，故当时取得最大值

解析2：若，则的最大值。

【解析】本小题考查三角形面积公式及函数思想。

因为AB=2（定长），可以以AB所在的直线为轴，其中垂线为轴建立直角坐标系，则，设，由可得，化简得，即在以（3，0）为圆心，为半径的圆上运动。又。

答案

7、设，则函数

时，;

（3）=

设

则

由于，所以

在内单调递减，于是当时时

的最大值米

二次函数的最值问题教案 篇11

苏科版九年级（下）教材中6.4《二次函数的应用》中，有两个利用二次函数求最值的实际运用问题：

问题一：某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划多承租100—150亩稻田，预计原360亩稻田今年每亩可收益440元，新增稻田x亩，今年每亩的收益为（440—2x）元。试问：该种粮大户今年要承租多少亩稻田，才能使总收益最大？最大收益是多少？

书本解答（分析过程略去）：

因为y=—2（x2—220x）+158400

=—2（x2—220x+1102—1102）+158400

=—2（x—110）2+182600

所以，当x=110时，y有最大值182600。

该种粮大户要多种110亩水稻，才能使今年的总收益最大，最大收益为182600元。

该问题的解答，没有考虑自变量取值范围对最值的影响，故应先判断函数最值是否出现在自变量范围内，原解答过程在配方后应加上：

因为x=110在自变量取值范围100≤x≤150内，所以当x=110时，y有最大值182600。

问题二：室内通风和采光主要取决于门窗的个数和每个门窗的透光面积，如果计划用一段长12m的铝合金型材，制作一个上半部是半圆，下半部是矩形的窗框，那么当矩形的长、宽分别为多少时，才能使该窗户的透光面积最大（精确到0.1m且不计铝合金型材的宽度）？

书本解答：设矩形窗框的宽度为2xm，则半圆形窗框的半径为xm，半圆周长为πxm，矩形窗框的高为（12—2×2x—πx）m即（6—2x—πx）m。

设窗户的透光面积为Sm2，则

S=πx2+2x（6—2x—πx）=—（π+4）x2+12x

当x=—=≈1.1时，S的值最大，即当矩形窗框宽约为2.2m、高约为2.1m时，该窗户的透光面积最大。

同样，该题的解法中也忽视了自变量的取值范围，不过此问题中自变量的取值范围没有直接给出，需要我们根据题目实际意义求得，即：

4x+πx<12，解得x<≈1.68，所以自变量x的取值范围为0

故该题在配方后仍要加上自变量的取值范围，判断x的取值在自变量的取值范围内，然后才能判断当x≈1.1时，S取得最大值。

实际问题中求二次函数的最值，属于有“条件约束”最值问题，此类问题对于学生来说有一定的思维难度。苏科版教材在介绍二次函数最值求法时，并没有涉及到该类问题，所以，当涉及到在实际问题中求二次函数的最值问题时，教材采取了回避求函数自变量取值范围的做法，默认了实际问题中自变量的取值都在其取值范围内。

从数学严谨性的角度，笔者提出商榷意见，是否可在前面学习求二次函数最值的基础上，渗透有“条件约束”最值问题的基本求法，或结合函数图像渗透有“条件约束”的二次函数图像画法，那么学生在接触到实际问题时，不会因为思维跳跃过大而难以理解，这样也可以让学生从根本上理解二次函数，大大提升他们对函数整体性和连贯性的认识。

谈三角函数的最值求法 篇12

在数学教学中三角函数是学习章程中独立的一章, 也是在历年的考试中重要的考点之一, 要想把三角函数学好, 首先必须要对之前所学的三角公式灵活运用, 能快速的看出需要变形的恒等。三角函数的最值运算是结合了许多数学知识和运算方法, 所以在解题的过程中很可能会因为变形错误、问题理解错误等诸多问题而最后影响了运算结果。所以在学习三角函数最值的时候, 同学们应有针对性的学习, 对教学的重点、难点提前预习, 理解渗透三角函数的应用公式, 学习的时候注意听老师的思维方法和解题步骤, 这样会对学习三角函数最值有很大的帮助。

在求最值的问题的时候首先要了解求什么类型的最值, 其中三角函数的的最值是利用三角函数性质来解决, 如果是求一般的最值问题, 现在普遍运用的方法一种是利用函数的单调性, 另一种是利用导数, 在学习三角函数之前可以把曾经做过的有关最值问题进行细致总结, 分析题目中所给出的几个方向, 方向的选择是通过读题, 如果出现多套思路, 只要灵活运用所学到的数学方法去处理问题就行。

1 求三角函数最值的方法

求三角函数最值的方法有很多, 其中最常用的有配方法、反求法、分离常数法、辅助角法、换元法、不等式法等方法, 但是在学习三角函数最值的时候, 如果让学生学习如此多的方法, 会使他们造成公式混乱更加难以理解学习的内容, 学到最后连最基本的方法都没有掌握, 出现“丢西瓜捡芝麻”的情况。所以在学习三角函数最值的时候, 重点掌握三种方法, 它们是所有方法当中最基本也是最常用的, 有配方法、反求法、辅助角法, 其中反求法的应用范围与分离常数法是异曲同工之妙, 它们都要在掌握变形的是同时又需要灵活运用, 这种方法通俗易懂、化繁为简, 但是分离常数法不能像反求法一样作为重点学习。

在对运算公式和方法融会贯通之后, 就要运用实例来测试自己的学习成果, 但不是所有的例题都能反映出学习效果, 要做有特点的例题, 因为这种例题能够很好的反映和体现三角函数最值的求法和变形, 还能通过这种例题反映出在做题过程中应注意的细节问题和容易出错的地方, 通过做题更深入的了解这三种运算三角函数最值的方法。三角函数最值的学习还是要通过老师得讲解和同学的实际运算相结合, 因为三角函数最值的方法是固定的, 只有在老师讲解完学生理解之后才能自己独立做练习题, 只有充分发挥这三种方法, 并多加练习, 才能提高三角函数最值的学习效率。

2 三角函数最值的解题思路

如果是属于三角函数方向的题目, 在解题思路上不应该出现不容易把握的状况, 那么在三角变换这个方向上, 三角题目的解题方向有的同学在学习过程中把握不好, 其中有很多原因, 比如在答题时看到题目, 套用一个公式写上去, 答完之后发现所用的公式不对, 然后重新再换一个公式答题。总是这样的反复套用, 就显得思路混乱, 对公式的掌握程度不够, 往往有的时候, 第一次考虑一个公式往上一用, 题目解的很顺, 就会认为已经对三角函数掌握的很好, 但是当下一次依然运用这个公式的时候, 问题没有解开, 然后又选择第二个甚至第三个公式, 依旧解不开, 于是会对心里就会产生影响, 这是学生在学习三角变换中很常见的现象。主要原因就是因为三角函数的公式很多, 变换的形式多变, 这就好像走到了十字路口, 然后站在中间, 接下来还有许多条路, 但是我们只需要选择最短最快的一条路, 而我们站在路中间看不清楚, 这跟解答三角函数最值问题是相似的, 所以就要求在解答三角函数最值的时候对已知条件仔细研究, 准确分析, 根据具体的题目, 考虑是先从和角公式还是差角公式着手, 然后在分析两角之间存在的必然关系, 函数与函数的关联, 题目分析准确之后掌握好解题方向, 把应该用到的公式结合起来, 按照解题步骤一步一步的解答。只有按照以上方法进行分析三角函数最值才是合理的、准确的。

2.1 给角求值

三角函数中最值问题应熟练掌握三角函数中的套用公式、和角公式、差角公式、倍角公式, 还要具有逆向思维的头脑, 将非特殊角转化为特殊角例如:30°、60°、90°, 写明求值的过程, 然后进行解析, 总体来讲就是先将角度转换在利用切割化弦运算依次是化为特殊角最后是约去部分, 解决这类问题的关键就是特殊角转换, 然后约去非特殊角。

2.2 给值求值

给值求值这种三角函数求值法的运算过程中, 经常会遇到同角之间的运算关系和推论方法, 给值求值的关键就在于利用已经给出的条件与要求得的值之间角的运算, 对于已知条件和未知条件之间进行转换或者是变形, 达到求解的目的。

3 三角函数问题中常见错误分析

三角函数作为数学章程中独立的一部分, 它的特点鲜明, 其中需要熟悉掌握的公式比较多, 需要灵活的变换公式, 往往一道问题会有多个答案出现的情况, 所以导致了在解题的过程中会因为思维混乱而陷入误区, 但还是因题而异。

3.1 定义域

三角函数中的恒等之间变换必须要使三角函数是有意义的, 在区间内的任意角范围不能改变的情况下, 对于切角和割角的定义域范围就显得尤为重要, 要仔细分析研究切割角两类函数, 否则很容易造成运算失误, 最终导致答案错误。

3.2 单调性

三角函数运算过程中会给出一部分已知条件, 利用已知条件去求某一项, 这个时候很多人在答题时经常性的忽略单调性, 如果是在某一区间上的角, 这样就会使答案增加。

4 三角函数求值域的类型

在解决三角函数的时候, 还有可能会遇到求值域的问题, 在解决值域问题的时候, 一定要熟练运用三角之间的代换, 看到题目的时候不要急于解答, 要先仔细观察, 分析研究给出的已知条件, 大多情况下都是利用数形结合的运算技巧。

例如:f (x) =asinx+b, 这种函数我们可以把它看作是定义中的某个函数, 那么这种函数的最值就是[f (x) ]max=+b;[f (x) ]min=+b

4.1 双曲线型

例如:f (x) , 这样的函数就可以把它看作是双曲线函数在某个区间上的图形, 函数值有可能在双曲线的一支上, 也有可能函数值分别在双曲线的两支上。

4.2 抛物线型

例如:f (x) =asin2x+bsinx+c (a≠0) , 这样的函数可以把它看成是抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 在x (-1, 1) 时的函数值范围, 当这个函数值在一定区间下, 达到一个最值, 而另一个最值, 在另一个区间, 如果函数是在某个区间上单调, 那么它的最值应该是在两端点处。

结论

综上所述, 三角函数在惯例考试中是经常出现的数学题目, 通常试卷中除了考察和角公式、差角公式、倍角公式以及半角公式等三角函数之间的关系, 还有三角函数的恒等变形的灵活运用程度。三角函数覆盖了丰富的数学公式, 复杂的运算步骤, 需要注意的是在学习三角函数的时候, 必须要准确的牢记三角函数所有公式, 熟练的使用变换方法, 根据不同的问题思维要灵活, 把所学到的公式融会贯通, 这样就会顺利的解决问题

摘要：三角函数是数学学习中最常见的概念, 在整个数学学习中也是最重要的组成部分, 三角函数的公式复杂多变, 需要解题人员具有扎实的学习基础和对公式灵活运用的头脑, 此外, 三角函数的内容具有抽象性、综合性、技巧性, 这样增加了理解难度和学生对于知识的掌握程度, 本文通过举例说明介绍了三角函数最值求法中常见错误和解题技巧。

关键词：三角函数,最值,题解

参考文献

[1]李玉萍.用数形结合的思想求函数的极值[J].数学教学研究, 2004, (1) .

[2]沈红霞.用均值不等式求最值, 变不可能为可能[J].数学教学, 2005, (10) 30-31.

二次函数复习教案 篇13

一、备考策略：

通过研究分析近5年德州中考试题，二次函数中考命题主要有以下特点（1）二次函数的图象和性质，以选择题和填空题为主。

（2）直接考察二次函数表达式的确定的题目不是很多，大多与其他知识点相融合，以解答题居多。

（3）二次函数与方程结合考察以解答题居多，与不等式结合以选择题为主。（4）二次函数图象的平移考察以选择题和填空题为主。（5）二次函数的实际应用，以解答题为主。

二、.命题热点：

（1）二次函数的图象和性质。（2）二次函数表达式的确定。

（3）二次函数与方程和不等式的关系。

（4）抛物线型实际问题在二次函数中的应用。（5）应用二次函数的性质解决最优化问题。

三、教学目标：

1、掌握二次函数的定义、图象及性质。

2、会用待定系数法求二次函数解析式。

3、能运用二次函数解决实际问题。教学重点：

二次函数图象及其性质，并利用二次函数解决实际问题。教学难点：

二次函数性质的灵活运用，能把实际问题转化为二次函数的数学模型。

四、教学过程：

（一）基础知识之自我建构

（二）考点梳理过关

考点一、二次函数的定义 1.什么是二次函数？

2.二次函数的三种基本形式

(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；

(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标是(h，k)；

(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标．

达标练习1.(2017·百色中考)经过A(4,0),B(-2,0), C(0,3)三点的抛物线解析式是__________.考点二、二次函数的图象和性质

达标练习

2、(2017·衡阳中考)已知函数y=-(x-1)2图象上两点A(2,y1),B(a,y2),其中a>2,则y1与y2的大小关系是：y1________y2(填“<”“>”或“=”).考点三、二次函数的图象与系数a,b,c的关系

达标练习

3、(2017·烟台中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,下列结论: ①ab<0;②b2>4ac;③a+b+2c<0;④3a+c<0.其中正确的是（）A.①④

B.②④

C.①②③

D.①②③④ 考点四

二次函数图象的平移

达标练习

4、(2017·常德中考)将抛物线y=2x2向右平移3个单位,再向下平移5个单位,得到的抛物线的表达式为（）

A.y=2(x-3)2-5 B.y=2(x+3)2+5 C.y=2(x-3)2+5 D.y=2(x+3)2-5 考点五

二次函数与方程和不等式

达标练习5、1.(2017·徐州中考)若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是（）

A.b<1且b≠0

B.b>1

C.0

D.b<1 【答题关键指导】

二次函数与一元二次方程的关系

(1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点,则两个交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个解.(2)二次函数的图象与x轴交点的个数由相应的一元二次方程的根的判别式的符号确定.2、(2017·咸宁中考)如图,直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是____________.考点六

二次函数的实际应用 列二次函数解应用题的两种类型 1.未告知是二次函数

（如求最大利润,最大面积等最优化问题）2.已告知二次函数图象

(如涵洞、桥梁、投篮等抛物型问题)

五、堂清检测

4、六、作业

必做题：

二次函数数学教案 篇14

一、重视每一堂复习课 数学复习课不比新课，讲的都是已经学过的东西，我想许多老师都和我有相同的体会，那就是复习课比新课难上。

二、重视每一个学生 学生是课堂的主体，离开学生谈课堂效率肯定是行不通的。而我校的学生数学基础大多不太好，上课的积极性普遍不高，对学习的热情也不是很高，这些都是十分现实的事情，既然现状无法更改，那么我们只能去适应它，这就对我们老师提出了更高的要求

三、做好课外与学生的沟通，学生对你教学理念认同和教学常规配合与否，功夫往往在课外，只有在课外与学生多进行交流和沟通，和学生建立起比较深厚的师生情谊，那么最顽皮的学生也能在他喜欢的老师的课堂上听进一点

二次函数的最值问题教案 篇15

问题一当x∈（-2，+∞），不等式x+16x+2-a＞0恒成立，求a的取值范围.

解析：构建函数y=x+16x+2，(x∈（-2，+∞）)，只要此函数的最小值大于a即可.

由x∈（-2，+∞）知x+2＞0

y=x+16x+2=x+2+16x+2≥2(x+2)16x+2-2=6

当且仅当x+2=16x+2即x=2时取等号.

所以当x=2时y取得最小值为6.故a＜6.

点评：解此类不等式恒成立时，可将不等式适当变形，实现参数字母的变量分离，即将不等式变形为f(x)＞a（或f(x)＜a）的形式.由在某一区间上，f(x)＞a恒成立等价于函数y=f(x)在区间上的最小值m大于a；f(x)＜a恒成立等价于函数y=f(x)在区间上的最大值M小于a.因而就转化为求函数y=f(x)在区间上的最值问题.解题时要注意函数的定义域.

问题二对于x∈［0，1］的一切值，求使ax+1＞0恒成立的a的取值范围.

解析一：此题的解决可构建函数f(x)=ax+1，（x∈［0，1］）只要函数f(x)=ax+1，x∈［0，1］的最小值m＞0即可.注意由函数知，此题设及对字母a的处理，由于题中没有明确a的取值范围，需要按照a为零、正数与负数进行讨论.

当a=0时，f(x)=1，故ax+1＞0恒成立；

当a＞0时，f(x)=ax+1在［0，1］上为增函数，

在x=0时，f(x)取得最小值为1，此时1＞0恒成立，故a＞0

当a＜0时，f(x)=ax+1在［0，1］上为减函数，

在x=1时，f(x)取得最小值为a+1，由a+1＞0得a＞-1，

所以-1＜a＜0

综上所述在a＞-1时，ax+1＞0恒成立.

解析二：由x∈［0，1］知，

当x=0时，1＞0，故ax+1＞0恒成立；

当x≠0时，不等式变形为a＞-1x，设g(x)=-1x，（x∈（0，1］）由反比例函数的图象和性质可知，g(x)=-1x，（x∈（0，1］）为单调递增函数，当x=1时，g(x)取得最大值为-1，所以a＞-1.

综上所述在a＞-1时，ax+1＞0恒成立.

问题三函数f(x)=2x+a，（x∈［0，2］），g(x)=x2+2x，（x∈［0，2］），

若对于任意的x1，x2∈［0，2］，f(x1)≥g(x2)恒成立，求a的取值范围.

解析：由f(x1)与g(x2)两者之间无共同的变量知，f(x1)≥g(x2)恒成立等价于函数y=f(x)（x∈［0，2］）的最小值m大于或等于y=g(x)(x∈［0，2］)的最大值M，即m≥M.

由函数f(x)=2x+a，（x∈［0，2］）为单调递增函数知，在x=0时f(x)取得最小值m=a，

由函数g(x)=x2+2x，（x∈［0，2］）为单调递增函数知，在x=2时g(x)取得最大值M=8，所以a≥8.

点评：此类不等式求解的关键在要弄明白不等号的左右两边是否含有相同的变量，只有在不含有相同的变量时才可以.

问题四函数f(x)=2x+a，（x∈［0，2］），g(x)=x2+1x，（x∈［0，2］），若对于任意的x1∈［0，2］，总存在x2∈［0，2］，使f(x1)≥g(x2)恒成立，求a的取值范围.

解析：由对于任意的x1∈［0，2］，总存在x2∈［0，2］，使f(x1)≥g(x2)恒成立，结合两函数图象的相互关系可知，只要y=f(x)(x1∈［0，2］)的最小值m大于或等于y=g(x)(x∈［0，2］)的最小值n，即m≥n.

由函数f(x)=2x+a，(x∈［0，2］)为单调递增函数知，在x=0时f(x)取得最小值m=a，由函数g(x)=x2+2x，（x∈［0，2］）为单调递增函数知，在x=0时g(x)取得最大值n=0，所以a≥0.

点评：解决此类问题关键在于要弄清两函数之间的图象的相互关系，此题是最小值之间的关系，若将条件“若对于任意的x1∈［0，2］，总存在x2∈［0，2］”变为“若对于任意的x2∈［0，2］，总存在x1∈［0，2］”则是函数y=f(x)(x∈［0，2］)的最大值M大于或等于y=g(x)(x1∈［0，2］)的最大值N，即M≥N.

总之，函数的最值与不等式的关系非常密切，在解决不等式有关的问题若能够充分利用函数的有关性质将使我们的思路更加清晰，达到优化解.

初中数学二次函数教案 篇16

1.你能说出函数y=-4(x-2)2+1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

(函数y=-4(x-2)2+1图象的开口向下，对称轴为直线x=2，顶点坐标是(2，1)。

2.函数y=-4(x-2)2+1图象与函数y=-4x2的图象有什么关系?

(函数y=-4(x-2)2+1的图象可以看成是将函数y=-4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)

3.函数y=-4(x-2)2+1具有哪些性质?

(当x<2时，函数值y随x的增大而增大，当x>2时，函数值y随x的增大而减小;当x=2时，函数取得最大值，最大值y=1)

4.不画出图象，你能直接说出函数y=-x2+x-的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

[因为y=-x2+x-=-(x-1)2-2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，-2)]

5.你能画出函数y=-x2+x-的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?

二、解决问题

由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y=-x2+x-的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y=-x2+x-的图象，进而观察得到这个函数的性质。

解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表;

x … -2 -1 0 1 2 3 4 …

y … -6 -4 -2 -2 -2 -4 -6 …

(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。

(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=-x2+x-的图象，如图所示。

说明：(1)列表时，应根据对称轴是x=1，以1为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。

(2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观。

让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个函数韵性质;

当x<1时，函数值y随x的增大而增大;当x>1时，函数值y随x的增大而减小;

当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2

三、做一做

1.请你按照上面的方法，画出函数y=x2-4x+10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质吗?

教学要点

(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导;

(2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评。

2.通过配方变形，说出函数y=-2x2+8x-8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?

教学要点

(1)在学生做题时，教师巡视、指导;(2)让学生总结配方的方法;(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系?

以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。那么，对于任意一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗?

教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识;

y=ax2+bx+c

=a(x2+x)+c

=a[x2+x+ 2-()2]+c

=a[x2+x+()2]+c-

=a(x+)2+

当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下。

对称轴是x=-b/ 2a ，顶点坐标是(-，)

四、课堂练习

课本练习第1、2、3题。

五、小结

通过本节课的学习，你学到了什么知识?有何体会?

六、作业

1.同步练习

2.选用课时作业优化设计。

课时作业优化设计

1.填空：

(1)抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标是_______;

(2)抛物线y=2x2-2x-的开口_______，对称轴是_______;

(3)抛物线y=-2x2-4x+8的开口_______，顶点坐标是_______;

(4)抛物线y=-x2+2x+4的对称轴是_______;

(5)二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3，则a=_______.

2.画出函数y=2x2-3x的图象，说明这个函数具有哪些性质。

3. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

(1)y=3x2+2x; (2)y=-x2-2x

(3)y=-2x2+8x-8 (4)y=x2-4x+3

初三复习二次函数教案(九) 篇17

教学目的:

1.掌握二次函数式的应用，理解并掌握二次函数 的

应用。

2、体会并理解掌握数形结合思想在解题中的作用 ；

教学分析：

重点：理解并掌握二次函数的定义以及应用。

难点： 数形结合思想在解题中的作用 ； 教学方法: 讲练结合，以练为主．

教学过程:

一、概念复习：1、2、3、二、例题分析： 例

1、选择与填空：

1、下列函数关系中，可以看作二次函数yaxbxc(a0)模型的是（）．（A）在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系

（B）我国人口年自然增长率为1％，这样我国人口总数随年份的变化关系

（C）竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）

（D）圆的周长与圆的半径之间的关系

2、抛物线y＝－1x2－x+5的顶点坐标是。

222 A：（1,3）B：（1，－3）C：（－1，3）D：（－1，－3）

3、二次函数y=－2（x+1）2+2的图像大致是。

A： B： C: D:

2、若二次函数y=x2+bx+c的图像经过点（－4,0），（2,6），则这个二次函数的解析式是＿＿＿＿＿＿＿＿。

例

2、已知抛物线y2x123xm（m为常数）与x轴交于A,B两点，且线段AB的长为2（1）求m的值；（2）若该抛物线的顶点为P，（3）求APB的面积。（天津市2002考）

例

3、已知二次函数yxaxa2．

（1）证明：不论a取何值，抛物线yxaxa2的顶点Q总在x轴的下方；（2）设抛物线yxaxa2与y轴交于点C，如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点D，问：△QCD能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由；

（3）在第（2）题的已知条件下，又设抛物线与x轴的交点之一为点A，2221则能使△ACD的面积等于4的抛物线有几条？请证明你的结论．

例

4、已知抛物线y=

14x2和直线y=ax+1（1）求证：不论a取何值，抛物线与直线必有两个不同的交点；（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线与直线的两个交点，点P为线段AB的中点，且点P的横坐标为P的纵坐标；（3）函数A、B两点的距离d2x1x22，试用a表示点a表示d。

1a|x1x2|，试用

例

5、某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高出售价格，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价一元，其销售量将减少10件，问他将出售价定为多少元时，才能使每天所获利润最大？并且求出最大利润是多少？

三、巩固训练：

1、如图在直角坐标系xoy中，二次函数图象的顶点坐标为C（4，3），且在x轴上截得的线段长为6。（1）二次函数的解析式。（2）x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似；如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由。

2、一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下面宽度为20米，拱顶距离水面4米；（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h（米）时，桥下水面的宽度为d（米）。试求出将d表示为h的函数解析式。（3）设正常水位时桥下的水深为2米，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？

3、已知二次函数（1）结合函数y1的图象，确定当x取什么值时，y1>0, y1<0;

y212(y1y1)y1x2x32y1=0,（2）根据（1）的结论，确定函数关于x的解析式；（3）若一次函数y=kx+b(k0)的图象与函数y2的图象交于三个不同（7）点，试确定实数k与b应满足的条件。（天津市2002)考）

四、课后训练：

6、已知二次函数y＝（m2－1）xm－2m－1+m－2，则m＝。

7、函数y＝x1在 时有意义。

2x－x2

2、二次函数的图象经过A4,0,B0,4,C2,4三点：