数学 - 斜三角形的“一题多解”（精选14篇）
——读《初中数学一题多解》
殷锐
摘要数学充满着浓厚的趣味性和挑战性，数学教学应体现其科学性，尊重学生的个体差异，尽可能满足学生的多样化学习需求，让学生根据自己的实际感受不同层次的学科味，实施多样化学习，选择不同层次的练习，同一练习对学生提出不同层次的要求，适时进行“一题多解”训练培养发散思维。课堂教学中问题情境的设计，教学过程的展开，练习的安排要尽量体现发散思维，让学生真正在几何数学的思维上有所提高。
初中几何教学“添加适当的辅助线”至关重要，在教学过程中，根据学生的实际情况，要求每位学生收集3—5题有关三角形添加辅助线的典型练习，汇集到各组小组长处，各组组长组织小组成员互相讨论选择出3题具有代表性的题目课前上报到老师处，老师适当选择几个有层次性的展示出来作为课外作业，小组根据课外作业讨论寻找不同辅助线的添加方法，以达到“一题多解”，再通过课堂组织学生共同探讨何种 “辅助线”的添加方法最有效。这样，让学生来选教材，根据学生的需要来选教材，有利于调动学生课外学习数学的积极性与主动性。更增加了学生的数学交流，其中学生敏捷的思路很令我折服。其中一题给我留下了深刻的印象：
八年级学习矩形性质时学到：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”关于这一定理逆命题的证明学生通过添加不同的辅助线得出各种证明方法，还有的学生利用折纸的方法进行说理，学习过《圆》以后我们还可以给出下面的证明方法：
首先, 一题多解是同学们巩固基础知识, 培养基本能力, 特别是提高综合分析与创新能力的基本途径。高三复习如果对一些内涵和外延比较丰富的题目不作适当引申、拓展组织教学, 很多学生的学习会处于“知其然而不知所以然”的状况, 对知识的掌握缺乏系统性, 很难对付“能力立意”的高考试题。因此, 在紧张的高三复习中, 有必要提倡以“一题多变”的形式组织教学, 从“变”中总结解题方法, 从“变”中发现解题规律, 从“变”中发现“不变”, 引导学生多思多想, 养成在学中求异, 学中求变得习惯, 使学生学一道题, 会一类题, 加深对问题实质的理解和掌握, 增强应变能力, 建构知识的条理性和系统性。
一、引导学生从不同的角度思考和解决问题, 培养学生的创新思维。
数学本身是一种运用思维的学科, 教学中引导学生多角度、全方位地观察问题, 思考问题, 可以充分调动学生思维的积极性, 开阔学生的思路, 发散学生的思维, 有利于培养学生灵活处理数学问题的能力。
可见转化思想在数学中的地位非常重要, 同时要求学生认真比较四种解法的利弊与依据, 然后启发学生:一道好题能激发人的兴趣, 引导人的思想, 启迪人的思维, 在平时的学习中应养成探索不同的方法解题的习惯, 这样才能更好地提高解题的能力。通过一题多解, 既能促使学生沟通知识点间的联系, 又培养了学生的思维能力, 同时也让学生通过对比、小结, 得出自己的体会, 充分发掘自身的潜能, 从而提高自己的解题能力, 也极大地激发学生学习数学的积极性和浓厚的兴趣, 从而在很大程度上培养了学生思维的广阔性。
对于同一数学问题, 从不同的角度进行分析处理往往会导出许多不同的解法, 引导学生用多种思路解题, 既能使学生灵活地运用知识和思路, 形成立体的思维网络;又能通过比较选择最合理、最简捷的思路, 培养思维的灵活性。
二、一题多变在课堂教学中作用
首先, 在例题教学和习题讲解时, 不宜就题论题, 而应该启发引导学生将思路延续下去, 列出同类问题的不同解决办法, 从题目的各个方面联想, 类比, 通过条件变式, 变换条件, 引入新问题, 促进学生积极思考。这样, 一方面可以充分揭示数学问题固有的思维层次, 另一方面, 又可以充分暴露学生思维层次, 让学生在两种思维的层次比较中, 了解自己, 吸取数学思维的营养。下面通过立体分析加以分析理解
题目:将函数的图象向左平移1个单位, 再向上平移1个单位, 求所得图象的函数表达式。
变题1:求函数的单调递增区间
变题2:求函数的单调递增区间
变题3:求函数的单调递增区间
变题4:函数的反函数的图象的对称中心为 (-1, 3) , 求实数a
变题5:函数的图象关于y=x对称求a的值
变题6:讨论函数在 (-2, +∞) 上的单调性。
纵观高中数学, 很多知识之间存在联系, 引导学生对典型例题解法的总结、回味与“提炼”, 能使学生“变重解题的数量为重解题的质量和解题后的反思。力求做到吃透一道题, 掌握一类题, 悟出一些方法、道理, 让学生从题海中解放出来。”
总之“一题多变与一题多解”的研究与总结, 相信我们会在数学教学过程中感受到无穷乐趣的同时, 发现问题、分析问题和解决问题的能力也会不断提高。通过“一题多变与一题多解”, 启发教学, 体现了新的课程标准所强调的, “教师要让学生感受和体验数学知识产生、发展和应用的过程;启发学生发现问题和提出问题, 使数学学习成为再创造、再发现的过程。”教会学生数学地思考问题的方法, 为学生发展数学思维能力提供了有效的途径。
摘要：高中数学新课程标准中指出:培养和发展学生的数学思维能力是发展智力, 全面培养数学能力的主要途径。因此, 高中数学课程应该注重提高学生的数学思维能力, 这也是数学教育的基本目标之一。
关键词：中考数学 压轴题 一题多解
在每年的初中升学数学复习时，教师总编较多的数学压轴题让学生练习，其目的是让学生从练习中巩固知识，寻求规律，同时摸索解题思路和方法，积累解答数学的技能。我认为教师编的习题不在于多而在于精，并在精题上通过教师的有效点拨，使学生融会贯通，举一反三。其中一题多解会起到重要的作用：加强一题多解的训练，可以帮助学生从不同的角度来思考问题，活跃学生的解题思路，开阔视野，煅炼学生思维的敏捷性，提高学生的思维能力和灵活运用各种知识解决问题的能力，同时还可以加深对数学过程的理解，激发学生的学习兴趣，从而在复习过程中达到事半功倍之效。下面我就2011年遵义初中第27题用不同的方法简单分析。
27．（14分）如图，已知抛物线 的顶点坐标为Q ，且与 轴交于点C ，与 轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥ 轴，交AC于点D．
(1)求该抛物线的函数关系式；
(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)在问题(2)的结论下，若点E在 轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）（3分）
∵抛物线的顶点为Q（2，-1）
∴设
将C（0，3）代入上式，得
∴ ， 即
（2）（7分）分两种情况：
①(3分)当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)令 =0, 得
解之得 ,
∵点A在点B的右边,
∴B(1,0), A(3,0) ∴P1(1,0)
②(4分)解:当点A为△APD2的直角顶点是(如图)
∵OA=OC, ∠AOC= , ∴∠OAD2=
当∠D2AP2= 时, ∠OAP2= ,∴AO平分∠D2AP2
又∵P2D2∥ 轴, ∴P2D2⊥AO, ∴P2、D2关于 轴对称.
设直线AC的函数关系式为
将A(3,0), C(0,3)代入上式得
, ∴
∴
∵D2在 上, P2在 上,
∴设D2( , ), P2( , )
∴( )+( )=0
, ∴ , (舍)
∴当 =2时,= =-1
∴P2的坐标为P2(2,-1)(即为抛物线顶点)
∴P点坐标为P1(1,0), P2(2,-1)
(3)(4分)解: 由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形；当点P的坐标为P2(2,-1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交 轴于点E,交抛物线于点F.当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形∵P(2,-1), ∴可令F( ,1)∴
解之得:,
∴F点有两点,即F1( ,1), F2( ,1)。
点评：
1、本题以平面直角坐标系为背景，考查了学生对二次函数的理解，主要考查用待定系数法求二次函数的解析式等基础知识、基本技能。此题第一问入口容易，易上手得分。
2、第二问以动带静，考查数型结合思想、分类讨论等。
3、第三问要在第二问的基础上再分类讨论。
4、本题解法多，思路宽，入手易。
下面我们再研究第二问的不同解法。
解法二：①显然，当P与点B重合时
P的坐标为P1（2，-1）；
②又AB=2，∠OAD2= ,Q(2，-1)，
作QH⊥AB于H，∴QH=1，
QH=1/2AB=AH=1, ∴∠QAD= ,
∴当点P与点Q重合时
△PAD是直角三角形，
∴P的坐标为P2（2，-1）
解法三：①显然，当P与点B重合时
P的坐标为P1（2，-1）；
②连接CQ、AQ，可得
,
∵
∴∠CAQ= ,(勾股定理逆定理)，
即当点P移动到点Q（顶点）时，
有∠CAP(Q)=,
∴△PAD是直角三角形，
∴P的坐标为P2（2，-1）
解法四：①显然，当P与点B重合时
P的坐标为P1（2，-1）；
②若∠DAP= ，设DP与OA交于点H，
∵∠OAD= ，∴∠OAP= ,
设AH=HP=x，
∴OH=3-x，则P（3-x,-x）,
点P在抛物线 上，
∴有 ，
解之得
当 时，P（3，0），
与点A重合（舍）；
当 时，P2（2，-1），与Q重合…
解法五：①显然，当P与点B重合时
P的坐标为P1（2，-1）；
②过点A作AP⊥CA，交抛物线
于点P，作PD∥ 轴,交OA于H，
设HB= ,AH= ,
显然，DH=AH=PH= ，
OH= ，
∴P（ ， ），
将点P坐标代入 ，
得 ，
解之得，
当 时，P2（2，-1）与Q重合；
当 时，P（3，0）与A重合（舍）
解法六：（利用相似求解）
直线AC:, D(x,-x+3),
DP=-x+3-(x2-4x+3)=-x2+3x,
延长DP交OA于点E，
∵A（3,0），E（x,0）
∴AE=DE=OA-OE=3-x,AD=
①当∠DPA=∠COA= 时，
∵PD∥ 轴,
∴△PAD∽△COA, ,
即 ，解之得，
∴P（1，0）与B重合，P（3，0）与A重合（舍）
②当∠DAP=∠COA= 时,
△PAD∽△COA, ,
即 ，解之得，
∴P（2，-1）与Q点(顶点)重合，
∴P1（1，0），P2（2，-1）
作者：西安市长安南路小学：牧马人。
来源：北师大版四年级数学下册第72页练一练第3题的第（4）小题。
原题：
3、王奶奶从冷饮批发部买回两箱冰棍。
批发价：水果冰棍30枝一箱，22.5元。
奶油冰棍20枝一箱，17.2元。
零售价：奶油冰棍每枝1.5元。
水果冰棍每枝1.2元。
（4）王奶奶按零售价卖两箱冰棍，各卖完一箱，一共赚多少钱？
解法一
1.5×20＋1.2×30
＝30＋36
＝66（元）
66－（22.5＋17.2）
＝66－39.7
＝26.3(元）
答：一共赚了26.3元。
解法二
22.5÷30＝0.75（元）
17.2÷20＝0.86（元）
(1.5－0.86)×20＋(1.2－0.75)×30
＝0.64×20＋0.45×30
＝12.8＋1305
＝26.3(元)
答：一共赚了26.3元。
题目特点：
本题是利用小数除法解决现实生活中的实际问题。学生对“批发价”、“零售价”以及“赚钱”这些概念十分熟悉，该题目内容与学生的日常生活很贴近，可以激发学生的学习兴趣，使他们感受到数学与日常生活的密切联系，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。该题体现了解题方法的多样性，给学生的思维提供了弹性和空间，需要学生多角度的理解和探索题目。教师可以先让学生独立探索，然后反馈交流，在探索交流的基础上总结此类型题的解题思路。
教师评价：
武汉市汉南一中 张大勇
一题多解在理科学习中经常用到，而在文科学习中却殊为少见。实际上，在语文等人文学科中一题多解同样大有用武之地，试以实例证之。
阅读下面一段文言文，根据要求答题。
郡民赵颍曾为乐陵太守，八十致事归。……天宝中，郡界大水，人灾，绝食者千余家。琼普集部中有粟家，自从贷粟以给付饥者。州计户征租，复欲推其贷粟。纲纪谓琼曰：“虽矜饥馁，恐罪累府君。”琼曰：“一身之罪，且活千室，何所怨乎?”
下列句子中加点的词语的意义，与现代汉语不同的一项是：
A密走私访，别获盗者 B资产巨富，在郡多有出息
C每见则谈问玄理，应对肃敬 D人灾，绝食者千余家
解法一：从词语本身着眼，抓语素，断词义。“私访”与“密走”相参照，“私”即“密”，“访”即“走”，合义“私下走访”古今无差异;“资”义“资财”，“产”义“产业”，“资产”为“资财产业”之义，古今同义;“应”与“对”均“答”义，“应对”一词今使用频率仍高，义未变;“绝”乃“断绝”义，“食”乃“饮食、食物”义。“绝食”文中义为“断绝食物”，今“绝食”字面义仍如此。但是，词义的范畴除了词语的文面意义外，还包含色彩、倾向等附加意义。今“绝食”的附加意义多表示抗议或自杀，此义于文中显然不合，故答案应选D。
解法二：立足文本，语境释义。可以将四个选择肢还原到文本之中，瞻前顾后，左右钩连，以境现义。“绝食者千余家”之前，有“郡界大水，人灾”之语，显然，食物断绝的原因是“天灾”，“千余家”是受害者;今之“绝食”当事者多是有目的、主动的，而非被动承受，“绝食”在这一点上古今差异是很明显的，故亦可断定答案应选D。
解法三：从答题技巧方面寻求答案。单选题答案具有唯一性和排他性，四个选项中只要对其中任何三项作出判断，整题的答案实际已明确。就本题而言，选择肢前三项相对容易判断，第四项即使拿不定主意，也无关大局，答案业已敲定(当然，第四项如能搞清楚心里会更有把握)。
上例一题多解主要是从单一角度着眼的，或从选项本身入手，或从文本本身入手，或从选择技巧方面入手。若在一题多解过程中作通盘考虑，灵活地借助多角度、多途径的结合，将使同一问题的解决呈现更广的思路，更多的.形式。仍以试题说明之。
依次填入下列两句中横线处的语句，与上下文连贯、音节和谐的一组是：
(1)每逢深秋时节， 松竹山茶，色彩绚丽，美景尽览。
(2)远眺群山环抱，近看小河流水，茶园葱绿，松竹并茂。
①置身山顶，俯瞰槐榆丹枫， ②置身山顶俯瞰，槐榆丹枫，
③白云缭绕，层林叠翠; ④层林叠翠，白云缭绕;
A①③ B①④ C②③ D②④
解法一：语意和音韵相结合求解。题目所给出的两句话尽管不完整，但从其局部字数相等、句式对称等特征判断，这两句应是整句。整句除在字数、句式方面有要求外，还要求音韵和谐，而音韵和谐常常表现为两个方面：一是音节协调，二是合辙押韵。以这样的标准来审视这两句，第一句，应填入“置身山顶俯瞰，槐榆丹枫”，这样，“置身山顶俯瞰”与“每逢深秋时节”均为六字，“槐榆丹枫”与之后的“松竹山茶，色彩绚丽，美景尽览”均为四字，前后不仅字数整齐，句式对称，而且“瞰”“览”押韵，语句畅通。第二句，若填入“白云缭绕，层林叠翠”，则全句的韵脚分别是“抱”、“翠”、“水”、“茂”，押韵不好;若填入“层林叠翠，白云缭绕”，韵脚则变为“抱”、“绕”、“水”、“茂”，音韵和谐，表达流畅。综上，答案应选D。
解法二：语意和逻辑相结合求解。第一句，可抓住结尾处“美景尽览”四字作点文章。空白处若填入“置身山顶，俯瞰槐榆丹枫”就会出现一个问题，“俯瞰槐榆丹枫”是一动宾短语，强调的是动作，这样，它就与收束全句的“美景”产生抵触，即“俯瞰槐榆丹枫”不是“美景”--“槐榆丹枫”才是“美景”;另从语意上看，“俯瞰槐榆丹枫”与“美景尽览”雷同，有必要让“俯瞰”与“槐榆丹枫”脱离接触，在大的意义上让“俯瞰”与“尽览”、“槐榆丹枫”与“美景”产生照应。第二句，从小河、茶园、松竹的地理位置判断，近看的空间顺序是由低到高，根据整句对称的特点，远眺的顺序也应如此，这样才合逻辑。至此，答案已水落石出。
解法三：音韵和逻辑相结合求解。
解法四：句式和逻辑相结合求解。
三、四两种解法实质上是一、二两种解法的分拆重组，不赘述。多管齐下式的一题多解能够在短时间内找到问题的突破口，并能提高答案的正确系数。
通过以上两例不难看出，语文试题一题多解的运用面相当宽广，一题多解的方式、角度也是相当灵活多样的。语法、修辞、逻辑、文本以及题目本身透露的要求、暗示等均可作为一题多解的凭借，视具体情形，可选择单用或联用。
一题多解益处多多，首先有利于培养应变能力和立体审视问题的能力。“能力立意”已成为各类考试命题的指导思想，有备方能无患，备考只有以能力为本，才能以不变应万变。事实证明，有意识地进行一题多解的训练是提高备考含金量、特别是能力含金量的便捷途径。其二，有利于知识的整合，可以打通各种知识、各种能力的关联。一题多解往往需要全方位调动诸种知识和能力，知识和能力的分拆、联用、换位等经常被用到，一题多解的过程既是知识得以梳理、能力重新整合的过程，又是知识、能力水准得到融合提升的过程。其三，有利于培养处变不惊、出奇制胜的心理品质和宽广的视野。
安徽省太湖县小池镇中心学校唐公卿
新课标指出：“重视发展智力，培养能力”;“要启发学生动脑筋想问题”;“逐步培养学生能够有条理有根据地进行思考，比较完整地叙述思考过程”。数学教学重在优化学生的思维结构，培养学生的思维品质和创新意识，促进学生思维的敏捷性和灵活性。
一题多解能克服学生的定势思维，发展学生的多向思维，拓宽学生的解题思路;又能把各种数学知识有条理有规律地进行整合，优化解题策略，寻找最佳解题方法。
例题：甲乙两人分别从AB两地同时出发，相向而行。如果两人都按原定速度，4小时相遇;现在两人都比原计划每小时少行1千米，那么5小时相遇。AB两地相距多少千米?
乍一看，似曾相识却又无从下手。认真推敲，还是有规律可循的，并且有多种解法，分析如下：
1、用假设法解：
A、从题中可知，现在两人比原计划每小时共少行1×2千米，假设两人以现在的速度只行4小时，那么4小时共少行2×4千米。即行4小时后还相距8千米。而现在是用5小时行完全程，也就是说这相距的8千米是现在(5-4)小时行完的，即现在两人每小时行8千米。这样可列综合算式为：1×2×4÷(5-4)×5
B、以现在的速度两人每小时行了全程的1/5，假设只行4小时，就行了全程的4/5。又从上面的分析可知他们还相距8千米，也就是全程的(1-4/5)。又可列综合算式为：1×2×4÷(1-4/5)
2、用工程问题解：
A、把AB两地路程看作单位“1”。两人原计划每小时行全程的1/4，现在每小时行全程的1/5，按原速度行驶的路程比按现速度行驶的路程多出一个全程所作的时间是1÷(1/4-1/5)小时，又知道两人原计划每小时比现在每小时多行1×2千米。这样AB两地距离可列综合算式为：1×2×[1÷(1/4-1/5)]
B、把AB两地路程看作单位“1”。两人原计划每小时比现在每小时多行全程的(1/4-1/5)，而两人原计划每小时比现在每小时多行1×2千米，量率对应，全程为：1×2÷(1/4-1/5)
3、用分数知识解：
A、两人现在每小时行的路程是原计划每小时行的路程的(1/5÷1/4=4/5)，这里把两人原计划每小时行的路程看作单位“1”，现在每小时行的路程与原计划每小时行的路程相差1×2千米，而现在每小时行的路程比原计划每小时行的路程少(1-4/5)，量率对应，可知原计划每小时行1×2÷(1-4/5)千米。AB两地距离可列综合算式为：1×2÷(1-4/5)×4
B、两人原计划每小时行的路程是现在每小时行的路程的5/4，依照上面的方法类推，可知现在每小时行1×2÷(5/4-1)千米。AB两地距离又可列综合算式为：1×2÷(5/4-1)×5
4、用比和比例知识解：
A、两人原计划每小时的路程与现在每小时的路程的比是1/4：1/5=5：4，这样可以把两人原计划每小时行的路程看作5份，把现在每小时行的路程看作4份，相差(5-4)份，相差1×2千米，可知每份为2千米。那么两人原计划每小时行2×5千米，现在每小时行2×4千米，从而可以列综合算式为：1×2÷(5-4)×5×4或1×2÷(5-4)×4×5
B、两人原计划每小时行的路程与现在每小时的路程的比是5：4。
解：设AB两地相距X千米，那么两人原计划每小时行X/4千米，两人现在每小时行X/5千米，根据比相等的原则可列比例为：X/4：(1×2)=5：(5-4)或X/5：(1×2)=4：(5-4)
5、用方程法解：
解：设AB两地相距X千米，两人原计划每小时行X/4千米，两人现在每小时行X/5千米，相差1×2千米，可列方程为：X/4-X/5=1×2
6、求最小公倍数法解：
转换思维方式：把AB两地可以看作一条封闭的曲线，两人原行驶方式和现行驶方式可以看作两种物体的运动形式。两种物体进行一个周期性(多行一个全程)的重合，需要多长时间，也就是求4和5的最不公倍数：4×5小时，即20小时，原计划比现在多行1×2×20千米，即AB两地的距离。
这个定理是任意一个三角形的一个重要性质, 在理论上和实践中都有广泛的应用, 因此学好它并了解它的一些证明方法是很有必要的。
证明这个定理的关键是如何添加辅助线, 而画辅助线的目的是通过做平行线把三角形的三个角移到一起, 这就使辅助线的画法很多, 因此证明方法也很多, 下面就介绍几种这个定理的证明方法:
首先根据定理的内容, 画出图形, 写出已知, 求证。
已知:如图, △ABC求证:∠A+∠B+∠C=180° (下面五种证明方法中的已知, 求证均同上) 。
证法1:分析:如图1, 可以延长一边BC得到一个平角△∠BCD, 然后以CA为一边, 在△ABC的外部画∠ACE, 所画∠ACE=∠B, 即可证明。
证明:作BC的延长线CD, 在△ABC的外部, 以CA为一边, CE为另一边, 画∠1=∠A, 于是, CE∥BA (内错角相等, 两直线平行) 。
∠B=∠2 (两直线平行, 同位角相等)
又∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定义)
∠A+∠B+∠ACB=180°
证法2:
分析:如图2, 可过点A画DE∥BC, 从而证明∠B=∠1、∠C=∠2。
证明:过点A画DE∥BC, 于是∠1=∠B, ∠2=∠C (两直线平行, 内错角相等) .
又∠1+∠2+∠BAC=180° (平角的定义) 。
∠C+∠B+∠BAC=180°。
证法3:
分析:如图3, 可以过点C作CD∥BA, 利用两直线平行、同旁内角互补证明。
证明:过点C作CD∥BA, 于是∠ACD=∠A (两直线平行内错角相等) 。
而∠B+∠BCD=180 (两直线平行, 同旁内角互补) 。
∠BCD=∠BCA+∠ACD,
∠B+∠BCA+∠ACD=180°,
即∠A+∠B∠BCA=180。
证法4:
分析:如图4, 可以在边BC上取一点D, 过点D画DE∥BA、DF∥CA利用平行线的性质可证。
证明:在BC上取一点D, 过点D分别作DE∥BA、DF∥CA, 于是,
DE∥BA (辅助线作法) ,
∠B=∠2 (两直线平行, 同位角相等) ,
∠3=∠BFD (两直线平行, 内错角相等) ,
又DF∥CA (辅助线作法) ,
∠1=∠C, ∠A=∠BFD (两直线平行, 同位角相等) ,
∠3=∠A (等量代换) ,
又∠1+∠2+∠3=180° (夹角的定义) 。
∠A+∠B+∠C=180°。
证法5:
分析:如图5, 可延长边BC到D, 过点C作CE∥BA, 利用平行线的性质, 得∠B=∠1、∠A=∠2。
证明:延长边BC到D, 过点C作CE∥BA, 于是
∠B=∠1 (两直线平行同位角相等) ,
∠A=∠2 (两直线平行, 内错角相等) ,
又∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定义) ,
关键词：一题多解；视图；投影
在机械制图中，我们不允许一张图纸的结果看起来有多个答案，但在实际机械制图课程中，确实存在着视图补充不全，而导致答案有多种的现象。一般来说，只给一个视图或者两个视图产生的多解现象比较普遍，三个视图产生的多解现象很少。但是在一些练习题中，经常出现补画第三视图的题型，而这种题型又有可能产生多解现象，（如图1）
一题多解试题当中，一般是所求的视图为反映形体特征的视图。所以在想象第三投影时，一般是先将已有的视图结合起来想象、识别各形体的形状和形体间的位置关系。产生多解现象的原因有以下几种情况：
一、利用虚线、实线重合特性
在机械制图中规定，当实线与虚线重合的时候，只画实线而不画虚线。也就是当可见轮廓与不可见轮廓重合的时候，只画可见轮廓，如图2。
图4中的投影1、投影2、投影3、投影4都是这种情况。
二、利用相似面投影特性
在面的投影中，往往可以利用投影中的曲面经过投影之后，在投影面上的投影还是仍然是相似面。如图3，A面为水平面、B面为侧垂面、C面为曲面、D为两个相切的圆弧面，经过投影后，投影都为d面。其中C面为曲面，在三视图中经过投影后仍然类似为面，而没有其他的线性。如图4，已知主视图和俯视图，补画左视图，主视图和俯视图在经过投影后左视图的答案有多种，有时圆弧也可以用椭圆弧代替，因为椭圆弧经过投影之后中间也是没有任何交线的。此题的答案不只是给出的这几个，只要顺着这个思路想下去，你就会觉得答案的趣味性和思路的开阔性，让你继续在制图的海洋里遨游。还有一种情况是，当面为垂面的时候，在投影面上面积聚为直线，这种情况也是多面积聚为一个平面的例子。根据图2的延展，还可以利用两个或者两个以上的面重合而积聚为一个面。注意：当两圆弧的圆心在同一水平直线上时有交线，反之则没有交线。因此我们平时在做作业的时候要多留一个心眼，不应死扣公式，还要结合实际情况进行全方位的考虑。
三、利用线面的积聚性
当空间直线或者平面垂直于某一投影面时，则线将在这个投影面上积聚为一个点，面将积聚为一直线。如图5：
ABCD平面垂直于H投影面，投影后积聚为一直线；EF为铅垂线，投影后积聚为一点。在图4中的投影5就是利用了正平面在水平投影面上具有积聚性的特点得出的答案。其中图5为延展开后的部分答案。
要从已知的两个视图中入手，结合线、面重合特点。
要认真分析已知视图中的线框、识别形体表面间的位置关系。将想象中的形体与视图反复对照，检查所给的第三视图是否符合已给定的两个视图的投影。
四、特殊组合投影
在制图中往往会出现特殊的组合投影见图7所示：而这些组合投影的形体不同，它们有时候是可以互相组合，但在组合的時候要注意，主视图中间那条竖线的存在，如果两个面相切，则主视图中间的竖线不存在，要想中间的竖线存在，则有两种情况。第一是中间的竖线为侧平面积聚的；第二种情况是中间的竖线为两不相切的曲面相交所形成的，见图8所示：
第一个由正圆锥切割一半形成的；第二为斜圆锥切割一部分形成的；第三个直圆柱切割形成的；第四个为“牙膏”状形体；第五个为椭圆柱经过两次切割所形成如图9所示：
因为椭圆柱经过斜切后，使得截交面的短半轴和长半轴相等，从而形成圆面。这五种情况可以相互颠倒后组合，也可以自生颠倒后组合，形成图7的左视图答案。其中，图8中的2和5的投影类似，但是它们的形成基本体和投影的曲线是有区别的。注意，有一种情况必须排除，就是第三个与自身的组合不符合要求，因为圆柱与圆柱颠倒组合后，圆弧与圆弧相接，中间没有交线，这种情况不符合投影要求。
关键词：一题多解；初中数学；策略；思考；训练；反思
所谓“一题多解”是指对同一试题提出不同的解题思路，这样不仅能够凸显学生的课堂主体性，锻炼学生的自主解题能力，而且对学生知识综合利用能力的提高也有着密切的联系。因此，本文就从以下几个方面入手对一题多解的训练策略进行论述，以确保学生在主动探究、主动解答中养成良好的学习习惯。
一、锻炼独立解题能力
独立解题能力的培养是学生进行一题多解的基础，也是保障。因此，在提高学生一题多解的能力时，我们第一步要做的就是培养学生的独立解题能力，才能使学生在自主交流和主动求知中树立探究学习的意识，进而为学生一题多解能力的提高做好保障性工作。那么，在初中数学解题时，我们该如何锻炼学生的独立解题能力呢？笔者看来，我们可以采取“小老师”的解题方法来锻炼学生的独立思考能力和知识灵活能力，以确保学生在试题的解答和思考中养成自主学习的良好习惯。
例如：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，M是BC的中点，CD⊥AM于E，交AB于D，求证：∠CMA=∠BMD。
为了锻炼学生的自主解题能力，提高学生的独立解题能力，更为了能够帮助学生树立一题多解的意识，在解题时，我组织学生进行了“小老师”教学活动。首先，引导学生对该题进行自主分析和解答，之后组织学生以小老师的身份自主走向讲台将自己的分析过程、解题思路以及解题步骤进行展示，简单地说就是仿照教师进行讲解，这样不仅能够锻炼能力，树立自主解题意识，同时能对学生一题多解能力的培养做好奠基工作，最后也促使学生的数学素养获得相应程度的提升。
二、加强相关试题训练
训练是提高学生一题多解能力的重要环节，也是提高学生解题能力的重要方面。所以，一线数学教师要相信学生，要鼓励学生进行一题多解活动，鼓励学生在多练中锻炼能力，同时也为学生综合数学素质水平的大幅度提高做好保障工作。但需要注意的是，在加强一题多解能力的练习时，试题的设计要从易到难，这样不仅符合学生的认识规律，也能减少学生对一题多解的畏惧感，更重要的是，学生能够在一题多解中体会多思路解题带来的喜悦，进而帮助学生树立一题多解的意识，使学生在平时的解题过程中能够自主、主动地寻求不同的解题思路。
还以“在等腰Rt△ABC中，AC=BC，M是BC的中点，CD⊥AM于E，交AB于D，求证：∠CMA=∠BMD”这一题目的解答为例。
该题考查的是全等三角形的基本知识，只要学生找到全等的三角形就可以证明结论的正确性。可以说该题是综合训练中考查全等三角形的基础性知识，不属于难题，也不属于综合性试题。所以，在解答时，我鼓励学生大胆地进行创新，大胆地从多个角度进行问题思考，并提出多种解题方法。
解法一：过B作BF∥AC交CD的延长线于点F，证明△MBD≌△FBD
解法二：设H为重心，证明△CMH≌△BMD
解法三：过C作CG⊥AB于点G交AM于H，又AE⊥CE，证明△GHM≌△GDM
……
详细的解题过程略。综上可以看出，有效的一题多解试题的训练不仅能够提高学生的知识解答能力，帮助学生掌握不同的解题思路，而且对丰富学生的解题经验也有着密切的联系。所以，在培养学生进行一题多解训练时，教师要相信学生，鼓励学生在自主交流中锻炼学生的能力，进而为高效数学课堂的顺利实现做好保障工作。
三、做好及时反思工作
及时反思是提高学生解题能力和试题分析能力中不可缺少的一部分。也就是说，在素质教育下的数学教学，我们不应该是为了解题而解题，不是为了完成作业而进行解题，而是去了解和研究不同解题思路中运用的理论支撑，思考为什么应用这种方法等等，而且，这样的反思不仅能够强化学生对相关知识的印象和学生对知识的理解，而且对学生解题能力的锻炼也有着密切的联系。
还以上题为例，组织学生分析这几种解题思路都从哪些角度入手的，比如：解法一是通过证明两次三角形全等来找到两角之间的关系，进而证明出结论的正确，等等。除此之外，学生还要分析，哪种解题方法更容易，哪种更适合本题的解答，能够实现最快最准确的解答效果等等，这样才能确保一题多解活动价值的最大化实现。
总之，在新课程改革下，教师要认真贯彻落实“以生为本”的教学理念，通过应用多种策略来提高学生的一题多解能力，进而在提升学生数学素养的同时，有助于学生综合学习能力的大幅度提高。
参考文献：
一、原题再现
例1如图1所示,质量为M倾角为α的斜面体( 斜面光滑且足够长) 放在粗糙的水平地面上,底部与地面的动摩擦因数为μ,斜面顶端与劲度系数为k、自然长度L为的轻质弹簧相连,弹簧的另一端连接着质量为m的物块. 压缩弹簧使其长度为3 /4L时将物块由静止开始释放,且物块在以后的运动中,斜面体始终处于静止状态. 重力加速度为g.
( 1) 求物块处于平衡位置时弹簧的长度;
( 2) 选物块的平衡位置为坐标原点,沿斜面向下为正方向建立坐标轴,用x表示物块相对于平衡位置的位移,证明物块做简谐运动;
( 3) 求弹簧的最大伸长量;
( 4) 为使斜面始终处于静止状态,动摩擦因数应满足什么条件( 假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力) ?
试题介绍: 本题为2013年安徽高考理综第24题,也就是物理的最后一题( 压轴题) ,本题的难度系数为0. 12,此题的重点是第二问简谐运动的证明,突破第二问,前三问基本上就能拿到分数了; 此题的难点是第四问,此问是区别中等生和优等生的一问,下面我用三种方法来重点解决第四问.
点评: 此方法应该是绝大部分学生首选的解题思路,但是此过程较为复杂,要通过受力分析,找到地面对斜面体的静摩擦力的一般表达式,再进行极值的计算.
下面我将会用另外两种方法,重新对第四问μ的范围进行计算.
二、整体和隔离结合的思想,以下简称整体法
方法2: 整体法
思路: 找到物块在简谐运动的最大加速度的两个位置( 即为简谐运动的两个最大位移处) ,从而找到斜面所受到的最大静摩擦和最小支持力,分解加速度然后整体写出力学方程,计算过程较为简单!
步骤: 1. 根据简谐运动的对称性,m的加速度最大的两个位置分别在简谐运动的正向和负向最大位移处,分解加速度如图4所示.
2. 对整体受力分析,如图 5 所示.
分析: 地面对斜面体的静摩擦力提供了系统在水平方向的加速度,f = max( M在水平方向没有加速度)
于是地面对斜面的最大静摩擦力的位置,应该是ax最大的位置,也就是刚才所说的最大位移处,此时
点评: 此方法较为简单,要利用简谐运动的对称性,找到斜面体受到的静摩擦力的最大时物块的位置,对整体进行受力分析,利用系统牛顿第二定律写方程求解
三、摩擦角法
方法3: 摩擦角法
先介绍一下摩擦角的概念: 当物体即将要滑动或者已经滑动时,物体所受到的支持力和摩擦力的合力与支持力的夹角的正切等于动摩擦因数,如图6所示
先判断m在负向最大位移处,斜面体具有最大的静摩擦力f,和最小的支持力Fn,此时斜面体依然静止,合外力为零,斜面体所受到的力可以构成一个封闭的矢量图形,如图7所示: 求出tanθ即可.
试题1(2012年高考湖北卷理科第6题)设a,b,c,x,y,z是正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则a+b+c/x+y+z=
A.1/4B.1/3C.1/2D.3/4
试题2(2013年高考湖北卷理科第13题)设x,y ,z∈R,且满足:xv+y2+z2=1,,则 x+y+z=_______.
两道试题主要考查柯西不等式,考生也很容易想到要用柯西不等式.但是文“一道高考题的几种思考视角”[1]却给出试题1的5种解法,文“题不在大有魂则灵”[2]却给出试题2的8种解法,美其名曰“一题多解”.
这两道试题,有没有必要一题多解呢?
众所周知,一题多解是指对一道试题从多种不同角度进行分析与探究,进而得到多种解法,一题多解的目的在于从多种解法中,探寻最自然的解法和最简单的解法.读完文献[1][2]给出的多种解法,我们不难发现柯西不等式法既是解答这两道试题最自然的解法,又是解答这两道试题最简单的解法,是名副其实的最佳解法,所以对这两道试题完全没有必要一题多解.特别是文[1]的解法4和文[2]的解法8,就像“魔术师的帽子突然变出了兔子”一样,高中生很不容易想到;文[2]的解法6很复杂,高中生很难完成,有点无病呻吟,故弄玄虚之嫌.
既然这两道试题完全没有必要一题多解,那么湖北命题组为什么会连续两年考查同一问题呢?
我们一起来探寻这两道试题的价值.柯西不等式是新课程新增加的教学内容,因为“高考支持课程改革”,所以考查.此外,《普通高中数学课程标准实验)》已经将“体现数学的文化价值”作为高中数学课程的基本理念之一,而柯西不等式有着重要的文化价值.
柯西不等式虽然形式上比较简单,但在数学各个分支里都有着极其广泛的应用.它在不同的领域有着不同的表现形式,充分体现了数学各领域的內通性、渗透性和统一性.
柯西不等式在各领域中常见的表现形式如下:
命题2f(x),g(x)∈C[a,b],有
命题3向量α,β,有.当且仅当存在不全为零的常数k1,k2,使得k1α+k2β=0时,等号成立.
命题4随机变量ξ,η,若Eξ2,Eη2存在,则有[Eξη]2≤Eξ2·Eη2.当且仅当存在不全为零的常数k1,k2,使得P(k1ξ+k2η=0)=1时,等号成立.
命题1是高中数学形式,命题2是大学数学分析形式,命题3是大学高等代数形式,命题4是大学概率论形式,虽然问题的涉及角度不同,但表现形式极其相似,命题1~4的左右两边结构及各变量之间涉及的运算是多么地对偶、和谐、统一.
命题1~4虽涉及的数学对象不同,但其本质都反映了不同变量间的某种不等关系,且等式成立都体现了它们之间的线性关系.在不同领域,证明方式纷呈多样,但其证明均与b2-4ac≤0有着类似的地方,故构造一个非负的二次函数,利用判别式法是证明的通法.
命题1~4不仅形式对称,证法统一,而且相互之间渗透着内在联系.命题1和命题2只不过是命题3在不同向量空间中的具体表述,也只不过是命题4在不同测度空间中的具体表述,命题3和命题4更具有一般性和抽象性.它体现了代数与分析,概率与分析,高等数学与初等数学之间相互渗透,相互促进的内在联系.正如希尔伯特所说:“数学是一有机整体,它的生命力依赖于各部分的联系.”
数学家的故事是数学文化的一种重要展示形式,人教A版课本选修4-5特别安排了“阅读与思考”《法国科学家柯西》. 柯西最重要的贡献在微积分、复变函数和微分方程等方面.在微积分方面,他率先定义了级数的收敛性,数列和函数的极限,并给出了级数收敛准则和一些判别法;提出关于极限理论的ε-δ(ε-N)方法,给出了函数连续性的概念、定积分的第一个确切定义,以及广义积分的定义等等.在复变函数方面,他系统地总结了复数理论,探讨了柯西—黎曼条件,建立了柯西积分定理和公式;定义了留数,建立了留数定理.在微分方程方面,他研究了微分方程解的存在唯一性定理,开创了微分方程研究的新领域. 柯西一生共出版7部著作和800多篇论文,数学中许多公式和定理都以他的名字命名.
综上所述,上述两道试题是我们进行关于柯西不等式研究性学习的极好素材,对于我们领悟数学思想方法,认识数学文化价值有着重要意义.试题的文化价值是试题的灵魂,我们在研究高考试题时,千万不能片面追求一题多解,而忽视了试题的文化价值,否则,就会舍本逐末,得不偿失.
参考文献
[1]黄清波.一道高考题的几种思考视角[J].中学数学(高中版),2012(11):84.
关键词：数学教学；一题多解；讨论交流
随着素质教育的不断发展，小学数学教学不但要让学生掌握基本的理论知识，更应该针对学生的综合能力和素质进行有效提升。基于此，本文在此浅谈数学教学与一题多解，以期能够为相关人士提供有益参考与借鉴，促进小学数学的进一步发展与建设。
一、在数学教学中引导学生从不同角度理解题意
要在数学教学中进行一题多解，教师的首要任务就是引导学生从不同对角度理解题意，让学生从不同的层次梳理题干给出的条件，为一题多解提供强有力的支撑。
例如，在“两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，5小时后相遇。一辆汽车的速度是每小时55千米，另一辆汽车的速度是每小时45千米，甲、乙两地相距多少千米？”这道题中，学生读题后的第一反应是求出两辆汽车一共行驶的路程，最后将其相加得到最终答案。
在教师的引导下，学生会发现，该题的题意可以从多个角度进行理解。如果从时间的角度理解，就可以将两车的时速相加再乘以时间得到答案。如果以车辆的角度进行理解，就是将两辆车行驶的共同路程相加得到总路程。
二、在数学教学中引导学生进行讨论与交流
在此基础上，教师应该在数学教学中引导学生进行积极的讨论与交流，要通过讨论使学生的思维进行碰撞，在更高效率完成教学任务的同时，培养学生的一题多解能力，达到培养学生创新意识的目的。
例如，在“多边形的面积”这一章节的教学中，教师可以让学生求一任意多边形的面积，并将学生分为不同的小组。此时，教师组织学生在小组中进行交流与讨论，引导学生利用不同的方法求出面积。
在此过程中，学生就能够从自己的角度分析问题、思考问题，引导学生在交流中表达自己的观点。同时，学生可以聆听他人的观点，借鉴他人的思考角度和方式，提高学生的一题多解能力。
总的来说，一题多解是数学综合能力中的一种。它需要教师在数学教学中有意识地培养学生的意识，引导学生多角度、多方向地思考问题、分析问题，并通过交流与讨论引起学生思维的碰撞，有效提高学生的数学综合能力，帮助学生更好地成长与发展。
参考文献：
数学是一门技巧性的学科, 最新的《数学课程标准》中指出学生更需要掌握的是数学的一般思维方法和数学思想, 这样的改革要求在基础教育中更加注重学生数学思维的培养同时为了调动学生学习数学的兴趣, 使不同层次学生的数学思维能力都得到提高, 一题多解在数学教学中就起到了十分重要的作用.一题多解可以向学生展示不同的思考过程, 培养学生思维的开放性, 促进创新思维的发展, 是数学教学中十分重要的一环.
鸡兔同笼问题, 是我国古代著名趣题之一, 早在《孙子算经》中就有了记载:“今有雉兔同笼, 上有三十五头, 下有九十四足, 问:雉兔各几何?”意思是:有若干只鸡和兔同在一个笼里, 从上面数, 有35个头;从下面数, 有94只脚.问:笼中各有几只鸡和兔?这个问题经过人们多年的研究, 发现了多种解法, 下面就从中挑选比较典型的三种方法, 以说明一题多解对学生数学思维能力的锻炼.
第一种解法:列表法, 也叫“尝试法”“穷举法”, 即根据题目要求按顺序分类, 列出所有数据组, 试出答案.通过这种不断列举、尝试、调整, 最终是能解决问题的.列表法更为直接明了, 同时能从中找到规律, 这种方法是大部分学生都能掌握的.但列表法的缺点也很显而易见, 如果数据较大, 那么我们的尝试、穷举也就越多, 因此它并不具备普遍性.列表法可以更加直观地帮助学生解决问题, 对大多数学生来说是一种可以掌握的解决问题的策略.
第二种解法:假设法.假设法需要的逻辑思维水平较高, 作为实用性较强的一种解题策略, 对于有一定数学思维基础的学生来说是可以掌握的.在上面的问题中, 有鸡和兔两个未知量, 它们地位同等且相互关联, 所以我们可以任意选择一个进行假设.
如果假设35只全是兔子, 就会有140只腿, 多出了46只, 为什么会多46只腿?怎样把多的这些去掉?成为假设法解决问题的关键之处.
为了解决这多出的46只腿, 那么就需要把兔换成鸡.怎么换?换的过程中要注意什么?是在教学中要重点讲解的, 首先, 必须一一对应, 一只兔换一只鸡, 这样才能保证总数不变其次, 每换一次, 腿的数量就由4只变为2只, 少了2只, 那么减少46只腿要换多少次呢?用除法就可以解决了.
假设法最后需要强调的是求出的23和12, 谁是鸡的只数, 谁是兔的只数, 这需要学生充分理解刚刚是如何将兔换成鸡的, 换的过程中数量是如何变化的.
用假设法解题首先需要假设题中的情节发生了变化, 然后在假设的基础上推理, 调整由于假设而引起的数量变化假设法是一种重要的数学思维方法, 有着广泛的应用, 假设法能使复杂的数量关系明朗化、简单化, 从而帮助我们解决问题.假设法对逻辑思维能力要求较高, 理解上有一定难度, 但实用性较强, 可以对有一定数学能力的学生作出要求.
第三种解法:方程法.方程是代数思维最直观的体现, 也是学生进入初中以后会重点学习的一种思维方法.在小学阶段, 部分学生可以列出方程, 但难以解出方程, 限制了学生用方程解决问题.不过, 方程作为一种重要的思维方法, 也可以适当介绍给学生, 拓展学生解题思路.
用方程解决该问题有两点需要注意.第一, 设哪一个量为未知数.由于两个未知量相互关联, 所以设兔子和鸡都可以.第二就是解方程, 这也是用方程解决问题最困难的地方, 对小学生来说需要一定的代数思维能力才能解决.尤其是展开2 (35-x) 这样的式子时, 虽然学生学习过了乘法分配律, 但总会有部分学生只将2乘35, 而不乘x.但是方程思路简单, 且具有一般性, 可以为学生解决其他问题带去方法.
以上三种方法各有优劣.列表法通过逐一列举、实验、调整, 最后得到答案, 非常直观, 便于观察, 容易理解, 是一种朴素的思想方法, 也是非常实用的解决问题的策略, 是学生由形象思维过渡到抽象思维的一座桥梁, 但受到数据大小的限制, 不能广泛用之.假设法在推理时会导致思路不清, 容易出错, 这也为学生学习、使用这种方法设置了障碍.所以在假设时要使题意明朗化、简单化, 要按照题目中的已知条件进行推算, 把假设的结果加以调整, 直到符合题目条件, 得到正确答案, 此种方法使用范围更广, 更加具有一般性.在教学时教师需及时指导学生写好推导过程, 避免问题出现.方程的思想是将题目中的信息“翻译”成代数语言, 需要学生根据题中的已知条件和未知数之间的关系, 建立一个等式, 通过这个等式算出答案.方程思路比较简单, 具有一般性, 而且小学高年级的学生已有了一些方程的基础知识, 所以这个方法能理解的学生也有一些.但这方面的知识, 小学生掌握的并不多, 运用起来也不熟练, 所以使用的学生并不多.
鸡兔同笼问题很好地诠释了一题多解给学生思维带来的广阔性, 在不同的解法中蕴含了不同的数学思想, 甚至在同一种方法中也包含了不同的数学思想.通过这一典型例题可以让学生学习到这三种不同的方法, 通过对这三种方法的比较, 可以让学生掌握解题的一般步骤, 熟悉解题技巧, 更重要的是可以让不同层次的学生的数学思维能力得到提高, 而不仅仅是针对个别优秀学生.
三种方法反映了三种不同的数学思维, 从这一典型例题的学习中, 可以很好的帮助学生从多个角度观察、思考、概括, 并获得多种解题途径.一题多解在一定程度上不仅开阔了学生的视野, 也开阔了学生的数学思维, 开发了学生的创新意识, 对学生提高学习数学的兴趣有很大的帮助.
摘要：学习数学, 离不开思维, 数学中的各种内在联系和相互关系只有通过思维才能深刻理解, 牢固掌握.本文立足于开阔不同层次学生的数学思维, 培养和发挥学生的创造性.文章通过对鸡兔同笼这一经典问题的研究, 向学生展示不同的思维过程, 让不同层次学生的数学思维能力得到提高, 激发学生学习数学的兴趣.
关键词： 一题多解 高中数学 教学方法
引言
在高中数学教学中，利用新的教学模式对传统教学模式进行改革，使高中教育工作由旧的知识灌输工作转变为思维的传输工作是现阶段高中数学教学的工作要点.一题多解是很好的全面提高学生思维能力的教学方式，能培养学生多方面、多角度地思考问题.
1.“一题多解”教学方法的应用
沿着以上思路求解，学生很快就会掌握通过基本不等式求最值的“技巧”：对于具有两个以上变量条件的问题，可以使变量个数减少，将问题“简化”进行求值；也可以用“代换”方法，将代数式进行“变形”，再通过基本不等式求解.
四、结语
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