等比数列求和教学设计

等比数列求和教学设计（通用15篇）

等比数列求和教学设计 篇1

甘天威

一：教学背景

1.面向学生： 中学 学科： 数学 2.课时： 2个课时 3.学生课前准备：（1）预习书本内容

（2）收集等比数列求和相关实际问题。

二：教学课题

教养方面：

1了解等比数列求和问题，感受数学问题的趣味性。

2尝试用不同的方法解决等比数列求和问题，体会错位相减法的应用 3 能准确地解决等比说列求和有关的实际问题。教育方面：

1培养学生积极探索解决问题的良好习惯。

2感受到我国数学文化历史的悠久与魅力，增强民族自豪感，激发学生努力学习数学的热情

发展方面：

培养学生的逻辑推理能力、分析问题能力、解决问题能力。

三：教材分析 教学目标

知识目标：理解等比数列的前n项和公式及简单应用,掌握等比数列前n项和公式的推导方法。

能力目标：培养学生观察、思考和解决问题的能力；加强特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想的培养。

情感目标：培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质；以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

教学重点、难点

教学重点：公式的推导和公式的运用．

教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用． 公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。

教学方法：

对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系．在教学中，我采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．

四：教学过程

学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学 生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，设计了如下的教学过程： 1.创设情境，提出问题

引导学生写出麦粒总数 1+2+22+23++263．带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和．这时我对他们的这种思路给予肯定．

设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍．同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔.2.师生互动，探究问题

在肯定他们的思路后，我接着问：1，2，22，„，263是什么数列？有何特征？ 应归结为什么数学问题呢？

一般的这就是一个等比数列前n项求和的问题，那么一个等比数列

如何求前n项和sn？公比为q，类似等差数列前n项和的表示，等比数列前n项和能否用a1,q,n,an来表示呢？此时要引导学生发现需要构造一个新的等式包含Sn，并且与第一个等式有许多相同的项，从而引导学生发现并利用错位相减法求出Sn。

sn=a1+a1q+a1q2+

qs=aq+aq2+n11

a1-a1qnn 在学生推导完成后,我再问:由(1-q)sn=a1-a1q 得sn=1-q

对不对？这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时sn=？（这里引导学生对q进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础．）

再次追问：结合等比数列的通项公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）

设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力．这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用． 3.公式运用，加深认识 例1在等比数列an中，11已知a4,q,求S10;12 2已知a11,ak243,q3,求Sk.例2在等比数列an中,S37,S663,求an.变式训练： 1：在上题中，已知S3=7,S663求S9.+a1qn-1+a1qn-1a1qn2:已知a24,a532，求S102

首先，学生独立思考，自主解题，然后师生共同进行总结．

设计意图：采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识．

4.例题讲解，形成技能

例3：求和 1+a+a2+a3++an-1.设计意图：解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想． 联系实际

5.总结归纳，加深理解

以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结．

设计意图：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力． 6.故事结束，首尾呼应

最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小麦约为1.84×1019粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，显然国王兑现不了他的承诺．

设计意图：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维．

7.课后作业，分层练习

必做： P129练习1、2、3、4 思考题(1):求和 x+2x2+3x3++nxn.选作：

2）若数列{an}是等比数列,Sn是前n项的和，那么S3,S6S3,S9S6成等比数列吗？设k∈N*那么Sk,S2kSk,S3kS2k成等比数列吗？

等比数列求和教学设计 篇2

题型一公式法求和

利用等差数列求和公式:, 和等比数列求和公式:求和, 比较简单, 不作例题讲解, 在后面的题型中强化公式的应用.

题型二分组求和法

有一类数列, 既不是等差数列, 也不是等比数列, 但可以拆分为几个等差、等比或常见的数列的和、差, 对拆开后的数列分别求和, 再相加即可求出原数列的和.

题型三裂项相消法

有些数列的通项公式可以通过变形写成两项的差, 数列每一项的被减数一定是后面某项的减数, 从而相互抵消, 化多为少剩下有限项. 常见的拆项公式有;

题型四错位相减法求和

若数列{ cn} 的通项公式为cn= anbn, 其中{ an} , { bn} 中有一个是等差数列, 另一个是等比数列, 求和时可用错位相减法. 它在推导等比数列的前n项和公式时曾用过.

等比数列求和教学设计 篇3

关键词： 数列求和 公式求和 分项求和

数列是高中代数的重要内容，同时数列求和问题是高考的重要考点。近几年高考中数列求和问题的出题形式越来越灵活，且很有可能结合导数相关知识让学生进行不等式证明，作为整张试卷的压轴题，这种题目的难度不言而喻。尽管数列求和有很多种方法，有些学生可能觉得无从下手，但是只要分清每种求和方法的适用题目类型，那么数列求和这个难题便会很快被攻克，下面我将对数列求和方法进行总结。

一、公式求和，熟练记忆

等差数列和等比数列这两类是两种最基本数列，其他一些较复杂的数列往往是在这两种数列基础上变形、转化得来的，所以说掌握这两种数列求和方法是学好数列求和基本条件。

这两种数列的求和都有固定的公式，并不需要学生耗费太多精力。如等差数列的求和公式：Sn= =a n+ n（n-1）d。等比数列的求和公式：Sn= （q≠1）。除此之外，数列求和还有其他固定公式，如Sn=1+2+3+…n= n（n+1），Sn=1 +2 +3 +…n = n（n+1）（2n+1），Sn=1 +2 +3 +…n =[ n（n+1）] 。这些公式都是学生进行复杂数列求和的基础，所以一定要熟练记忆。

对于有些题目来说，可能题干中并没有明确指出数列类型，但是经过对数列的深入分析后便可以得出该数列等差数列或是等比数列这样的结论，就可以套用公式求和。所以我们要引导学生在做题过程中仔细思考、沉着应对，努力使题目向所学知识靠拢。

二、整体求和，分清类型

对数列进行求和时，有些数列既不是等差数列又不是等比数列，无法用公式求和，这时就需要学生采用其他方法求和。有些数列通过对数列整体进行变形和运算巧妙求出数列的和，如数列求和中的错位相减法和倒序相加法就运用这种思想。

错位相减求和适用于通项公式为等差数列乘以等比数列的形式：如“a =3n-1，b =2 ，c =a b ，求c 的前n项和Tn”。仔细观察之后不难发现，a 为等差数列，b 为等比数列，c 为等差数列与等比数列的积，所以这道题毫无疑义要用错位相减法。需要让学生写出Tn的展开式，然后写出2Tn的展开式，两式相减可得-Tn的展开式，而这时-Tn的和正好可以用等比数列的求和公式，就可以得到Tn=8+（3n-4）2 。而对于倒序相加法来说，有着很广的应用范围，如可以用来推导等差数列的求和公式：Sn=a +a +a +…a ，Sn=a +a +a +…a ，因此将二者相加可得2Sn=（a +a ）n，则Sn= 。这种求和适用于第k项与第（n+1-k）项的和为定值的情况。

因此，需要让学生分清整体求和中每种方法适用的题目类型。有效引导学生做题时仔细观察题干中数列的特点，争取将每种类型典型例题和解题思路都铭记于心，这样做起题目来才会得心应手。

三、分项求和，对症下药

这里所说的分项求和有两重含义，一个是将每项拆分成多项求和，这种思路对应的是裂项相消求和法。而另一种则是将数列中所有项的同一类型的项分为一类，这种思路对应的则是分组求和法。

对于裂项相消求和法，针对不同项往往会有不同裂项方法，下面我总结了一些比较常见的裂项方式： = - ， = （ - ）， = （ - ），那么裂项之后又是如何求和的呢？通过观察可以发现，裂项之后的每一项的减数部分与其下一项的被减数部分正好相同，所以相加之后两者相消，这样的话中间相都被消去，只需用首项和末项的剩余部分进行求解即可。而分组求和这种方法则相对来说比较简单，通过对数列进行观察将数列中同类型的数归为一组，然后分别求和即可，如对于数列“Sn=0.9+0.99+0.999+…0.9…9（n个9）”的求和，可以让学生将0.9拆分成1-0.1，将0.09拆分成1-0.01并以此类推，该数列最后就可以变形成一个全1数列的和与一个等比数列的差，这道题解答时充分利用分组求和思想。

总之，要让学生充分掌握分组求和要领，仔细区分每一种方法对应的数列特点，然后对症下药，确保每种方法的应用过程都了然于胸，这样学生做题时才能心中有数、万无一失。

四、其他求和，活学活用

除了以上这些数列求和方法之外，还有一种比较常用的方法就是构造求和法。这种方法应用得十分广泛，出题方式灵活多变，更需要灵活掌握。

构造求和法的出题形式一般都是给出一个递推公式，学生刚接触可能觉得和之前介绍的哪种方法都靠不上，因此可能感觉有些力不从心。其实，这种类型的题目并不难做，需要让学生依据题干给出的关系式进行变形和构造，争取将其改造成我们熟悉的等差和等比数列，这样就可以选择套用公式进行求解。比如：“数列a 中a =1，a =0.5a +1（n>1），求Sn。”通过对a =0.5a +1进行变形可得a -2=0.5（a -2），这样将（a -2）构造成了一个等比数列，根据公式可以求出a 的通项，进而求出Sn。这种方法的出题方式非常灵活，很难像之前介绍的那些方法一样有固定的解题套路，那么我们能做的就只有掌握好最基础的部分，以不变应万变。

此外，还有一些数列求和方法如导数求和法、数学归纳法及通项分析法等，由于其并不太常见因此这里不再详细介绍，但前面提到的构造法是需要学生重点掌握的，教学中要有意识地让学生对此方法多加练习，争取做题时将该方法应用得炉火纯青。

总之，数列求和问题是高中教学的一大重点也是一大难点，要让学生们克服畏难情绪，认真分析每一种求和方法适用的题目类型，然后做题时针对数列的具体特点选择合适的方法求解。相信在老师和学生的共同努力下，数列求和这个难关一定会被攻克，数列求和这个“重头戏”一定会被唱得异常精彩。

参考文献：

[1]王建文.数列求和方法总结[J].新校园，2011（01）.

等比数列求和教学设计 篇4

教学目标：

让学生能够理解错位相减法，并能够应用错位相减法求数列的前n项和。教学重点： 错位相减法的应用 教学难点：

错位相减法的计算过程 教学内容：

一、课前复习

回顾等比数列前n项和的求和公式：

设计意图：由于应用错位相减法解题时必定会使用等比数列前n项和的通项公式求和，因此有必要做好复习铺垫工作。

二、问题探究

数列{an}的通项公式ann，数列{bn}的通项公式bn2n，求数列{anbn}的前n项和。设计意图：由具体问题引入课题，引导学生观察题目中所求数列通项的特点，即“等差×等比”型。

解决方法：展示并叙述“错位相减法”的具体操作步骤，具体如下：

由此归纳“错位相减法”核心要领：乘公比，错位，相减。设计意图：整个过程的完整展示，帮助学生建立一个清晰的计算步骤，以此学会解决此类型的数列求和问题，主要体现设计的实用性。

三、当堂练习

设计意图：为了巩固复习错位相减法，让学生对不同“长相”，但都属于“等差×等比”型题目能熟悉，从而确信并有意识强化学习。

四、归纳小结

1、首先进行使用“错位相减法”时易出错的4点进行归纳强调。

2、再整体上对此段的学习进行小结，再次提升

设计意图：有学习必有总结。任何一种解题方法都有其使用条件、适用范围，以及易错点等等。学生通过学习，也能自觉感知并总结，由此深化数学解题方法的学习。

五、作业布置

山东省等比数列求和教案 篇5

1.知识与技能目标: 1)掌握等比数列求和公式,并能用之解决简单的问题。2)通过对公式的推导,对学生渗透分类讨论思想以。2过程与方法目标：

通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的数学思想。3.情感与态度目标：

通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。二 教学重点：

等比数列项前n和公式的推导与简单应用。三 教学难点：

等比数列n项和公式的推导。

四、教学过程分析 复习等比数列的相关知识：

（1）等比数列的定义以及数学表达式（2）等比数列的通项公式（3）等比中项以及各项之间的关系 创设情境，提出问题在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大舍罕为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．国王觉得太容易了，就同意了他的要求。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊．为什么呢？大家想一下，这个国王能够满足宰相的要求吗？

【教师提问】

同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数．带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和．这时我对他们的这种思路给予肯定． 3学生探究，解决情境 应归结为什么数学问题呢？

探讨1：

设

s

2 +3 + 

63，记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联=1+2++ 264在肯定他们的思路后，我接着问：1，2，22，…，263是什么数列？有何特征？

系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）

探讨2： 如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以2则

64有s 6

4= 2+

2 + 2 3 +



+ 2 6

3+，记为（2）式．比较（1）(2）两式，你有什么发现？

【设计意图】留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是很显然的事，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而培养学生的辩证思维能力．

解决情境问题：经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式

s641相减，相同的项就可以消去了，得到：

64。老师强调指出：这就是错位相减法，并要 求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？

【设计意图】经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了，让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心，同时也为推导一般等比数列前n项和提供了方法。4类比联想，解决问题

这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列为项和？让学生自主完成，然后对个别学生进行指导。

an，公比为q，如何求它的前n

Sa1a2a3an1an?一般等比数列前n项和：n

2n2n1Saaqaqaqaq? n11111即

错位相减法

2n2a1qn1Sna1a1qa1qa1q23n1a1qnqSna1qa1qa1qa1q

na1(1qn)(1q)Sna1a1q1q

这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时sn=？

a1(1qn)Sn1qna1q1q1a1a1qnSnn(1q)Saaq1q n11在学生推导完成之后，我再问：由得【设计意图】在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。5例题讲解，形成技能

例1．求和

1aaaa

1111，，2例2．求等比数列4816的第5项到第10项的和．

610104． 方法1： 观察、发现：5方法2： 此等比数列的连续项从第5项到第10项构成一个新的等比数列：首项为

23n

aaaSSa516，公比为q2，项数为n6．

111111，2,3,4,5变式1：求2481632的前n项和．

12345，，2变式2：求481632的前n项和．

【设计意图】采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形 2 成．通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生自主学习的意识．解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨。6总结归纳，加深理解

以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。

【设计意图】以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。7课后作业，分层练习

等比数列求和教学设计 篇6

【摘要】本文以应用C语言循环结构解决等差数列求和问题作为微课主要内容，阐述了对微课设计进行的研究与探索。

【关键词】C语言；循环结构；微课

当今，信息化高速发展，数字技术正在影响和改变着我们生活中的各个领域，其中也包括教学模式的改变。微课作为数字时代的一种新型课程表现形式，以其主题明确、短小精悍、交互效果好等优点，在各个学科的教学中正被积极地推广和应用。在我院的C语言课程教学中，微课设计被应用于很多较难理解的知识点讲解中，经过实践发现教学效果良好。本文以应用C语言循环结构解决等差数列求和问题作为微课主要内容，对微课设计进行研究与探索。

一、微课的介绍

1.微课的定义。

微课是以视频为主要载体，记录教师在课堂内外教育教学过程中围绕某个知识点（重点难点疑点）或技能点的教学环节开展的精彩教与学活动全过程，具有目标明确、针对性强和教学时间短的特点。

2.微课的组成。

（1）围绕某个知识点或技能点的教学视频和微课设计脚本；

（2）微课教学相关的教学设计方案和教学课件；

（3）微课相关素材、练习题、测试题、教学反思等辅助性教学资源。

3.微课的主要特点。

（1）教学时间较短：时长一般为8―10分钟。

（2）教学内容较少：主要是突出课堂教学中某个知识点，内容十分精简。

（3）资源容量较小：学生可以在线观看视频学习，也可查看相应教学资料。

（4）主题突出：一个微课就只包含一个主题任务，内容明确。

（5）自主学习为主：学生可以使用微课完成自主的、一对一的学习。

二、应用C语言循环结构解决等差数列求和问题微课设计

1.微课名称：应用C语言循环结构解决等差数列求和问题。

2.所属专业：软件技术专业。

3.所属年级：高职一年级。

4.所属课程：C语言。

5.知识点。

（1）掌握while循环语句的格式和执行过程；

（2）学会分析循环结构程序的设计思路；

（3）熟练应用while循环语句来编写程序。

6.技能点：能够通过while循环语句编写程序来解决实际问题。

7.教学类型：讲授型。

8.设计思路。

（1）微课设计目标：通过微课交代出课程的基本知识点（包括理论部分与实践部分）、课程的整个教学环节以及所实现的具体任务。

（2）教学情境设计：在现实生活中，我们会遇到很多需要重复操作的事情。比如，在数学课中曾经接触过的等差数列求和问题。因为等差数列中的数据都是有规律的，而且加法的计算也是重复的，所以完全可以用循环程序来帮助我们完成这个看似复杂的计算。

（3）微课基本思路：在微课设计中，通过教学情境的引入，向学生交代本次课的主要内容是用循环结构程序来解决等差数列求和问题，学生首先聆听教师讲解有关循环结构的相关知识点，教师做好相关的技术指导，之后教师将学生带入到具体任务的实现过程中，包括本次课中主要学习的while循环结构的特点、语法格式、流程图和执行过程，再根据等差数列的特点分析出用程序解决该问题的设计思路和所需变量，然后结合while循环的语法格式将循环语句书写出来。在具体编程设计工作之前要将整个程序的流程分析清楚，再动手写出具体程序，这样才能避免问题的产生，还能够培养学生良好的程序设计书写习惯。学生在分组完成具体任务后要进行讨论，能够总结出while循环应用于实际问题中的设计思路和分析方法，之后能够举一反三合理解决其它问题。本次课程结束前，要求各项目组对项目成果进行演示和阐述，并进行评分。最后总结归纳本次课的主要内容。

9.教学过程。

（1）片头（20秒以内）

通过画面展示“微课”名称、“微课”所支持的课程名称、“微课”教学内容简介、“微课”主讲教师简介。可以添加适当的背景音乐。

（2）正文（8分钟）

①画面1：通过课件展示教学情境，引入具体研究任务。（30秒）

具体展示内容：各位同学，在现实生活中，我们会遇到很多需要重复操作的事情。比如，在数学课中曾经接触过的等差数列求和问题。因为等差数列中的数据都是有规律的，而且加法的计算也是重复的，所以完全可以用循环程序来帮助我们完成这个看似复杂的计算。

②画面2：讲解循环结构的特点、while循环的语法格式和执行过程。（220秒）

具体技术指导内容：学生首先聆听教师讲解有关循环结构的相关知识点，教师做好相关的技术指导，之后教师将学生带入到具体任务的实现过程中，包括本次课中主要学习的while循环结构的特点、语法格式、流程图和执行过程。

③画面3：分析等差数列求和问题中所使用的变量、设计流程，并进行程序编写。（300秒）

具体操练内容：向学生交代本次课的主要内容是用循环结构程序来解决等差数列求和问题，再根据等差数列的特点分析出用程序解决该问题的设计思路和所需变量，然后结合while循环的语法格式将循环语句书写出来。在具体编程设计工作之前要将整个程序的流程分析清楚，再动手写出具体程序，这样才能避免问题的产生，还能够培养学生良好的程序设计书写习惯。

（3）小结（20秒）

通过画面展示总结本微课重点。

（4）片尾（10秒）

通过画面展示“微课”制作者信息、相关“微课”信息、“微课”应用信息和必要的内容注解。

三、结语

本微课在C语言教学中已经应用，并取得了较好的教学效果，学生通过微课的学习对C语言循环结构的理解更加深刻了。张一春教授认为，对于老师而言，最关键的是要从学生的角度去制作微课，而不是在教师的角度去制作，要体现以学生为本的教学思想。因此，在今后的微课设计中，我们还要不断地探索，真正使微课成为学生自主学习的重要资源。

参考文献：

数列求和举例 篇7

数列求和的常用方法有:公式法、分组求和、裂项相消法、倒序求和、错位相减法等, 这些方法具有一定的通性, 是必须掌握的, 下面笔者举例谈几点数列求和的方法:

例1:求和, 1+2·2+3·22+……+n·2n-1

解析:本题是典型的运用错位相减法的题型, 大多数学生看到此结构, 均会用错位相减进行求和, 还有其它方法吗?从形式上看, n·2n-1= (xn) 1 (x=2) , 由此得到另一种解法。

点评:本例运用导数, 进行数列求和, 其方法具有一定的迁移性, 对学生数学思维的提高有一定的帮助。

例2:求和, Sn=1-3+5-7+……+ (-1) n-1 (2n-1)

解析:本题解法多种多样, 由 (-1) n-1不难想到, 对n进行奇、偶性的讨论, 在教学发现大多数的学生, 分别计算n为奇数及偶数的情形, n为偶数, 计算不易出错, 但n为奇数时, 求和时次数是易错点。若能利用n为偶数时, n-1为奇数, 计算量会降低许多。

解:n为偶数时:

n为奇数时, Sn=Sn-1+an=- (n-1) + (-1) n-1 (2n-1) =n (n≥3)

例3:在一个圆直径的两端写上自然数1, 将此直径分得的两个半圆都对分, 在每一个分点上, 写上该点相邻两数之和, 然后把分得的四个1/4圆周各自对分, 在所得分点上写上该点相邻两数之和, 如此继续下去, 问这样做第几步后, 圆周所胡分点上数字之和Sn是多少?

解析:本题在实际教学中, 学生做对的人数极少, 大多数学生关注于分点的数字, 想将其通项写出, 但又不得其法, 若能注意到求Sn, 即其通项这一基本方法思想, 运用求通项公式中, 寻找递推式的方法可得下面的解法。

解:设第n步之后, 圆周所有分点上数字之和为Sn, 则第n-1步之后, 圆周所有分点之数字之和为Sn-1 (n≥2) 显然n=1时S1=2,

又Sn=Sn-1+2Sn-1=3Sn-1

∴{Sn}是以2为首项, 3为公比的等比数列

例4:推导等比数列求和公式

已知数列{an}为等比数列, 分比为q, 其前几项和为Sn, 求Sn

解析:教材中运用的是错位相减法, 求和, 在这里本文给出另一种常用方法, 裂项求和。

解:∵{an}是等比数列, 首项为a1, 公比为q

数列求和方法 篇8

数列是一个古老的数学问题。在我国古代，数学家对数列的认识特别早，《易经》中有这样的记载“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”[1]，这在世界数学史上都算得上是最早的相关等差数列记载。在国外，古印度宰相西萨发明国际象棋的故事就初步涉及到等比数列求和的问题；古巴比伦人很早就计算出了具体的等比数列之和；欧几里得在著作《几何原本》中对等比数列之和给出了具体的证明。固数列有着非常悠久的历史。

本文总结出高中教材涉及的几种数列求和方法：公式法，倒序相加法，错位相减法。这几种最为基础的求和方法一般用来解决规律性强的数列。对于以上的每种数列求和方法，在介绍、总结了计算法则之后，都用比较具有代表性的计算题或证明题来进行了例题示范。使用以上这些数列求和方法，可以解决生活中常见的比较多的数列求和问题。

2. 数列求和方法

生活中遇到的有关数列的问题，如果数列的规律性较强，比如等差数列、等比数列、等差与等比相乘的数列，如果对这类数列进行求和，可以用高中教材涉及的方法来计算，下面介绍中学教材中涉及的四种基础性的数列求和方法。

2.1 直接求和法

對于数列求和的题目，如果题目是对于等差或等比数列进行求和，可直接根据公式来进行求和。

直接求和法常用公式有：

，

，

，

等差数列前 项和公式：

，

等比数列前 项和公式：

.

2.2 倒序相加法

对于已知的数列 ，如果首尾两项之和等于所有与前后距离相等的项数之和，那么这样的数列 求和就可以采用倒序相加法，其具体操作就是：第一，把数列前 项和按顺序依次展开；第二，把数列的前 项和展开再按倒叙排列；第三，把两个式子对应相加，会发现相加后的数列每一项都相等，即转化为常数列，此时问题就可以迎刃而解了。

例2.2.1 假设已知有一个等差数列 ，此数列的首项和公差都为1，计算出这个数列的前100项之和。

解：由倒叙相加法可得：

由

，

，

.

2.3 错位相减法

给定一个数列 ，该数列的通项公式可以分解，分解后通项成等差与等比的乘积 ，中间 代表等差数列， 代表等比数列，那么求数列 的前 项和的时候可以采用错位相减法。

例2.3.1 已知数列 ， ，求

解： 时，该数列从第二项起都为零，

时，数列是一个常数列， ；

时，数列是一个合成数列，可拆为等差数乘以等比数列的形式

，其中， ，采用错位相减法可以得到如下结果：

，

，

，

.

等比数列求和教学设计 篇9

一、[要点梳理]：

1、等比数列的前n项和公式：

2、等比数列的前n项和的性质

二、基础练习：

1、等比数列an中，已知a14,q

1则s10=__________________；

2、等比数列

an

中，已知a11,ka24q3则,Sk=___________________；

3、设等比数列{an}的前n项和为sn，若sm=10，s2m=30，则

s3m=_________________；

4、设等比数列{aS6S9

n}的前n项和为SnS＝3，则＝________；

3S65、等比数列an共有偶数项，且所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为45，则公比

q

三、典型例题：

例

1、等比数列{an}的前n项和为sn，已知a1an66，a2an1128，sn126，求n和公比q的值。

变式1：等比数列an的公比q1，前n项和为Sn，已知a32,S45S2，求an的通项公式。

变式2：等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则｛an｝的公比为。

例

2、设数列an前n项和为Sn

naqb(a,b为非零实数，q0,q1)。（1）a,b满足什么关系时，an是等比数列；

（2）若an是等比数列，证明：(an,Sn)为坐标的点都落在同一条直线上。

变式：设数列an前n项和为Snn2an2.（1）求a3,a4；（2）证明：an12an是等比数列；

（3）求an的通项公式。3

例

3、已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，a11,a2b12，bn2bn1，（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设数列cnanbn的前n项和为Tn，求Tn。

变式：求和：sn12x3x2nxn

1四、巩固练习：

1、已知x≠0，则1+x+x2+…+xn。

2、设Sn是等差数列an的前n项和，S636,Sn324,Sn6144(n6)，则n=_______。

3、设等比数列{an}的前n项和为sn，s41,s817,则an=______________。

4、在等比数列{an}中，已知sn48，s2n60，则

s3n=_________________。

5、如果数列的前n项和sn

数列求和不等式的证明 篇10

题目 已知数列[an]的通项公式是[an=3n-2n].求证：对一切正整数[n]，有[1a1+1a2+???+1an<32].

思路1：放缩为可求和的等比（等差）数列

证明 因为[3n-3n-1=2?3n-12?2n-1=2n]，

所以[3n-2n3n-1]，所以[1an13n-1].

于是[1a1+1a2+…+1an1+13+…+13n-1]

[=1-13n1-13][=321-13n<32].

思路2：放缩后能裂项相消

证明 当[n=1]时，[1a1=1<32]；

当[n=2]时，[1a1+1a2=1+15<32]，显然成立.

当[n3]时，[an=3n-2n=1+2n-2n]

[=1+C1n?2+C2n?22+…+Cn-1n?2n-1+2n-2n]

[=1+C1n?2+C2n?22+…+Cn-1n?2n-1>C2n?22]

[=2nn-1]，

又因为[a2=5>2×2×2-1]，

所以[an>2nn-1]（[n2]），

所以[1an<12nn-1=121n-1-1n]（[n2]），

所以[1a1+1a2+1a3+…+1an]

[<1+121-12+13-14+…+1n-1-1n=1+121-1n<32.]

思路3：构造加强不等式，借助数学归纳法

①当[n=1]时，左边[=1a1=1]，右边[=32]，命题成立.

②假设当[n=k]（[k2]，[k∈][N]）时成立，即[i=1k13i-2i<32]成立.为了证明当[n=k+1]时命题也成立，我们首先证明不等式：[13i+1-2i+1<13?13i-2i]（[i1]，[i∈][N]）.

要证[13i+1-2i+1<13?13i-2i]，

只需证[13i+1-2i+1<13i+1-3?2i]，

只需证[3i+1-2i+1>3i+1-3?2i]，

只需证[-2i+1>-3?2i]，

只需证[-2>-3]，该式子明显成立，

所以[13i+1-2i+1<13?13i-2i].

于是当[n=k+1]时，[i=1k+113i-2i=13-2+i=2k+113i-2i][<1+13i=1k13i-2i<1+13×32=32]，

所以在[n=k+1]时命题也成立.

浅谈数列求和的方法 篇11

一、用通项公式法

规律:能用通项公式写出数列各项, 从而将其和重新组合为可求数列和.

例1 求undefined之和.

解:由于undefined

undefined

二、错位相减法

一般地形如undefined的数列, {an}为等差数列, {bn}为等比数列, 均可用错位相减法求和.

例2 求数列undefined前 n 项的和.

解:由题可知, undefined的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列undefined的通项之积.

①-②得undefined,

所以undefined

三、裂项抵消法

这一类数列的特征是:数列各项是等差数列某相邻两项或几项的积, 一般地, {an}是公差为 d 的等差数列, 则:

undefined

即裂项抵消法, 多用于分母为等差数列的某相邻 k 项之积, 而分子为常量的分式型数列的求和, 对裂项抵消法求和, 其裂项可采用待定系数法确定.

例3 求数列undefined的前 n 项和.

解:设undefined,

undefined

四、分组法

某些数列, 通过适当分组, 可得出两个或几个等差数列或等比数列, 从而可利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和, 从而得出原数列之和.

例4 求数列的前 n 项和:undefined

解:设undefined

将其每一项拆开再重新组合得

undefined

undefined

undefined

五、倒序相加法

等差数列前 n 项和公式的推导, 是先将和式中各项反序编排得出另一个和式, 然后再与原来的和式对应相加, 从而解得等差数列的前 n 项和公式, 利用这种方法也可以求出某些数列的前 n 项和.利用这种方法求和要求第一项与最后一项的和等于第二项与倒数第二项的和, 即要满足当 m+n=p+q 有 am+an=ap+aq.

例5 求证:Cundefined+3Cundefined+5Cundefined+…+ (2n+1) Cundefined= (n+1) 2n.

证明:设Sn=Cundefined+3Cundefined+5Cundefined+…+ (2n+1) Cundefined, ①

把①式右边倒转过来得

Sn= (2n+1) Cundefined+ (2n-1) Cundefined+…+3Cundefined+Cundefined.

又由Cundefined=Cundefined可得

Sn= (2n+1) Cundefined+ (2n-1) Cundefined+…+3Cundefined+Cundefined. ②

①+②得2Sn= (2n+2) (Cundefined+Cundefined+…+Cundefined+Cundefined) =2 (n+1) ·2n,

所以Sn= (n+1) ·2n.

六年级奥数之数列求和测试题 篇12

1.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。

2.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。

3.某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位?

4.某建筑工地堆放着一些钢管，最上面一层有3根，最下面一层有29根，而且下面的每一层比上面的一层多2根，这些钢管一共多少根?

5.巧算下题：5000-2-4-6-…-98-100

6.已知：a=1+3+5+……+99+101，b=2+4+6+……+98+100，则a、b两个数中，较大的数比较小的数大 .

1.求首项是13，公差是5的`等差数列的前30项的和。

2.某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位?

3.巧算下题：5000-2-4-6-…-98-100

4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟敲一下。问：时钟一昼夜打多少?

5.已知：a=1+3+5+……+99+101，b=2+4+6+……+98+100，则a、b两个数中，较大的数比较小的数大 .

6.将自然数如下排列，

1 2 6 7 15 16 …

3 5 8 14 17 …

4 9 13 18 …

10 12 …

11 …

…

在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，问：1993排在第几行第几列?

7.(第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛初赛)在11-45这35个数中，所有不被3整除的数的和是多少?

8.(第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛预赛B卷)下面的数的总和是 ____ .

0 1 2 …49

1 2 3 … 50

48 49 50 …98

《求和》教学设计 篇13

(三)巩固提高

教师布置练习任务：打开“班费支出表”，计算表中数据之和。在此过程注意观察学生操作情况，给予适当帮助，尽可能让全部学生都完成操作，对于又快又准的同学给予表扬。

(四)小结作业

小结：老师提问，学生回答总结“自动求和”的方法。

作业：用今天学到的知识帮妈妈设计一个“家庭日常支出表”，计算每个月的家庭总支出，看看谁是妈妈的好帮手。

数列求和的基本方法和技巧 篇14

1利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是求和的最基本最重要的方法.

1) 等差数列求和公式:

2) 等比数列求和公式:

例1已知的前n项和.

由等比数列求和公式及常用公式得

2错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法, 这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和, 其中{an}, {bn}分别是等差数列和等比数列.

例2求和:

解由题可知, { (2n-1) xn-1}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{xn-1}的通项之积.设制错位

(1) - (2) (错位相减) 得

再利用等比数列的求和公式得

所以

3倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法, 就是将一个数列倒过来排列 (反序) , 再把它与原数列相加, 就可以得到n个 (a1+an) .

例3求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的值.

解设

将 (1) 式右边反序得

又因为

(1) + (2) (反序相加) 得

所以S=44.5.

4分组法求和

有一类数列, 既不是等差数列, 也不是等比数列, 若将这类数列适当拆开, 可分为几个等差、等比或常见的数列, 然后分别求和, 再将其合并即可.

例4求数列{n (n+1) (2n+1) }的前n项和.

解设

5裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项 (通项) 分解, 然后重新组合, 使之能消去一些项, 最终达到求和的目的.通项分解 (裂项) 如:

例5求数列的前n项和.

解设 (裂项)

例6求证:

解因为 (裂项)

所以

所以原等式成立.

6合并法求和

针对一些特殊的数列, 将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质, 因此, 在求数列的和时, 可将这些项放在一起先求和, 然后再求Sn.

例7求cos 1°+cos 2°+cos 3°+…+cos 178°+cos 179°的值.

解设

因为 (找特殊性质项)

所以 (合并求和)

7利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析, 找出数列的通项及其特征, 然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和, 是一个重要的方法.

例8已知数列{an}:的值.

解因为 (找通项及特征)

所以

等比数列求和教学设计 篇15

关键词：数列性质 通项 求和

类型一：数列性质

（一）等差数列性质

例1.已知a■为等差数列，若a1+a5+a9=8π，则cos（a3+a7）的值为（ ）。

A.■ B.-■ C.■ D.-■

解析：因为a1+a5+a9=8π，所以a5=■π，所以a3+a7=2a5=■π，所以cos（a3+a7）=cos■π=-■。

考点：等差数列的性质。

变式：设等差数列a■的前n项和为Sn，且S5=10，S10=30，则S15=（ ）。

A.60 B.70 C.90 D.40

解析：因为数列a■为等差数列，所以S5，S10-S5，S15-S10成等差数列，设S15=x，则10，20，x-30成等差数列，所以2×20=10+（x-30），所以x=60，即S15=60。

考点：等差数列的性质，等差中项。

变式：已知两个等差数列a■和b■的前n项和分别为An和Bn，且■=■，则使得■为整数的正整数的个数是（ ）。

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：在等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。

因为，两个等差数列a■和b■的前n项和分别为An和Bn，且■=■，所以，■=■=■=■=■=■=7+■，为使■为整数，需n+1为2，3，4，6，12，共5个，故选D。

考点：等差数列的性质，等差数列的求和公式。

点评：中档题，在等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。本题较为典型。

（二）等比数列性质

例2：在正项等比数列a■中，lga3+lga6+lga9=3，则a1a11的值是 （ ）。

A.10000 B. 1000 C. 100 D. 10

解析：因为lga3+lga6+lga9=3，同底对数相加得a3a6a9=103，用等比数列的性质得，a63=103，所以a6=10，所以a1a11=a62=100。

考点：对数的运算，等比数列的性质。

变式：等比数列a■的各项均为正数，且a3+a8+a5+a6=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（ ）。

A.12 B.10 C.8 D.2+log35

解析：∵a3+a8+a5+a6=18，∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9，∴log3a1+log3a2+…loga3a10应为log■a■■a■■...a■=log■9■=10。故选B。

考点：本题考查了等比数列的性质及对数的运算。

点评：解决此类问题是利用等比数列的性质m+n=p+r，故a■·a■=a■·a■，特别地，当m+n=2k，则am·an=a■■，然后利用对数的运算法则即可。

类型二：数列通项与求和的应用

例3：已知等比数列a■中，a1=2，且a1，a2+1，a3成等差数列，

（1）求数列a■的通项公式；

（2）求数列na■的前n项的和。

解析：（1）根据a1，a2+1，a3成等差数列，建立公比q的方程，确定得到等比数列的通项公式。

（2）较为典型。应用“错位相减法”确定数列的前n项的和。

试题解析：（1）设数列a■的公比为q，a2=2q，a3=2q2，由题设知，a1+a3=2（a2+1）∴2+2q2=4q+2，q=2或0，∵q≠0，∴q=2，an=2n 。

（2）设数列na■的前n项的和为Sn，

sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n（1）

2sn=1×22+2×23+…+（n-1）2n+n×2n+1（2）

（1）—（2）得：-sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=■-n×2n+1

sn=（n-1）×2n+1+2

考点：等差数列，等比数列，“错位相减法”求和。

变式：已知数列{an}的前n项和Sn=-■n■+kn（k∈N*），且Sn的最大值为8。

（1）确定常数k，求an；

（2）求数列■的前n项和Tn。

解析：（1）当n=k∈N*时，Sn=-■n■+kn取最大值，即8=-■k■+k2=■k■，故k=4，从而an=Sn-Sn-1=■-n（n≥2），又a1=S1=■，所以an=■-n。

∵bn=■=■，Tn=b1+b2+…+bn=1+■+■+…+■+■，

∴Tn=2Tn-Tn=2+1+■+…+■-■=4-■-■=4-■。

考点：本题主要考查等差数列、等比数列的概念及其通项公式，数列的求和。

点评：典型题，本题首先由Sn，an的关系，确定数列的通项公式是关键。求和过程中应用了“错位相减法”。在数列问题中，“分组求和法”“裂项相消法”也常常考到。

（责编 金 东）

摘要：数列的基本性质、通项及求和是高考考查的基本内容，属于基础题，一般情况下客观题型小而巧，主要考查等差、等比数列的性质，难度中等。熟练掌握等差、等比数列的有关概念、公式与性质，这是解决数列通项与求和问题的基础。对于常见的数列的求通项、求和的类型题要善于分类归纳整理，掌握各种类型的通解通法。

关键词：数列性质 通项 求和

类型一：数列性质

（一）等差数列性质

例1.已知a■为等差数列，若a1+a5+a9=8π，则cos（a3+a7）的值为（ ）。

A.■ B.-■ C.■ D.-■

解析：因为a1+a5+a9=8π，所以a5=■π，所以a3+a7=2a5=■π，所以cos（a3+a7）=cos■π=-■。

考点：等差数列的性质。

变式：设等差数列a■的前n项和为Sn，且S5=10，S10=30，则S15=（ ）。

A.60 B.70 C.90 D.40

解析：因为数列a■为等差数列，所以S5，S10-S5，S15-S10成等差数列，设S15=x，则10，20，x-30成等差数列，所以2×20=10+（x-30），所以x=60，即S15=60。

考点：等差数列的性质，等差中项。

变式：已知两个等差数列a■和b■的前n项和分别为An和Bn，且■=■，则使得■为整数的正整数的个数是（ ）。

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：在等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。

因为，两个等差数列a■和b■的前n项和分别为An和Bn，且■=■，所以，■=■=■=■=■=■=7+■，为使■为整数，需n+1为2，3，4，6，12，共5个，故选D。

考点：等差数列的性质，等差数列的求和公式。

点评：中档题，在等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。本题较为典型。

（二）等比数列性质

例2：在正项等比数列a■中，lga3+lga6+lga9=3，则a1a11的值是 （ ）。

A.10000 B. 1000 C. 100 D. 10

解析：因为lga3+lga6+lga9=3，同底对数相加得a3a6a9=103，用等比数列的性质得，a63=103，所以a6=10，所以a1a11=a62=100。

考点：对数的运算，等比数列的性质。

变式：等比数列a■的各项均为正数，且a3+a8+a5+a6=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（ ）。

A.12 B.10 C.8 D.2+log35

解析：∵a3+a8+a5+a6=18，∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9，∴log3a1+log3a2+…loga3a10应为log■a■■a■■...a■=log■9■=10。故选B。

考点：本题考查了等比数列的性质及对数的运算。

点评：解决此类问题是利用等比数列的性质m+n=p+r，故a■·a■=a■·a■，特别地，当m+n=2k，则am·an=a■■，然后利用对数的运算法则即可。

类型二：数列通项与求和的应用

例3：已知等比数列a■中，a1=2，且a1，a2+1，a3成等差数列，

（1）求数列a■的通项公式；

（2）求数列na■的前n项的和。

解析：（1）根据a1，a2+1，a3成等差数列，建立公比q的方程，确定得到等比数列的通项公式。

（2）较为典型。应用“错位相减法”确定数列的前n项的和。

试题解析：（1）设数列a■的公比为q，a2=2q，a3=2q2，由题设知，a1+a3=2（a2+1）∴2+2q2=4q+2，q=2或0，∵q≠0，∴q=2，an=2n 。

（2）设数列na■的前n项的和为Sn，

sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n（1）

2sn=1×22+2×23+…+（n-1）2n+n×2n+1（2）

（1）—（2）得：-sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=■-n×2n+1

sn=（n-1）×2n+1+2

考点：等差数列，等比数列，“错位相减法”求和。

变式：已知数列{an}的前n项和Sn=-■n■+kn（k∈N*），且Sn的最大值为8。

（1）确定常数k，求an；

（2）求数列■的前n项和Tn。

解析：（1）当n=k∈N*时，Sn=-■n■+kn取最大值，即8=-■k■+k2=■k■，故k=4，从而an=Sn-Sn-1=■-n（n≥2），又a1=S1=■，所以an=■-n。

∵bn=■=■，Tn=b1+b2+…+bn=1+■+■+…+■+■，

∴Tn=2Tn-Tn=2+1+■+…+■-■=4-■-■=4-■。

考点：本题主要考查等差数列、等比数列的概念及其通项公式，数列的求和。

点评：典型题，本题首先由Sn，an的关系，确定数列的通项公式是关键。求和过程中应用了“错位相减法”。在数列问题中，“分组求和法”“裂项相消法”也常常考到。

（责编 金 东）

摘要：数列的基本性质、通项及求和是高考考查的基本内容，属于基础题，一般情况下客观题型小而巧，主要考查等差、等比数列的性质，难度中等。熟练掌握等差、等比数列的有关概念、公式与性质，这是解决数列通项与求和问题的基础。对于常见的数列的求通项、求和的类型题要善于分类归纳整理，掌握各种类型的通解通法。

关键词：数列性质 通项 求和

类型一：数列性质

（一）等差数列性质

例1.已知a■为等差数列，若a1+a5+a9=8π，则cos（a3+a7）的值为（ ）。

A.■ B.-■ C.■ D.-■

解析：因为a1+a5+a9=8π，所以a5=■π，所以a3+a7=2a5=■π，所以cos（a3+a7）=cos■π=-■。

考点：等差数列的性质。

变式：设等差数列a■的前n项和为Sn，且S5=10，S10=30，则S15=（ ）。

A.60 B.70 C.90 D.40

解析：因为数列a■为等差数列，所以S5，S10-S5，S15-S10成等差数列，设S15=x，则10，20，x-30成等差数列，所以2×20=10+（x-30），所以x=60，即S15=60。

考点：等差数列的性质，等差中项。

变式：已知两个等差数列a■和b■的前n项和分别为An和Bn，且■=■，则使得■为整数的正整数的个数是（ ）。

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：在等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。

因为，两个等差数列a■和b■的前n项和分别为An和Bn，且■=■，所以，■=■=■=■=■=■=7+■，为使■为整数，需n+1为2，3，4，6，12，共5个，故选D。

考点：等差数列的性质，等差数列的求和公式。

点评：中档题，在等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。本题较为典型。

（二）等比数列性质

例2：在正项等比数列a■中，lga3+lga6+lga9=3，则a1a11的值是 （ ）。

A.10000 B. 1000 C. 100 D. 10

解析：因为lga3+lga6+lga9=3，同底对数相加得a3a6a9=103，用等比数列的性质得，a63=103，所以a6=10，所以a1a11=a62=100。

考点：对数的运算，等比数列的性质。

变式：等比数列a■的各项均为正数，且a3+a8+a5+a6=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（ ）。

A.12 B.10 C.8 D.2+log35

解析：∵a3+a8+a5+a6=18，∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9，∴log3a1+log3a2+…loga3a10应为log■a■■a■■...a■=log■9■=10。故选B。

考点：本题考查了等比数列的性质及对数的运算。

点评：解决此类问题是利用等比数列的性质m+n=p+r，故a■·a■=a■·a■，特别地，当m+n=2k，则am·an=a■■，然后利用对数的运算法则即可。

类型二：数列通项与求和的应用

例3：已知等比数列a■中，a1=2，且a1，a2+1，a3成等差数列，

（1）求数列a■的通项公式；

（2）求数列na■的前n项的和。

解析：（1）根据a1，a2+1，a3成等差数列，建立公比q的方程，确定得到等比数列的通项公式。

（2）较为典型。应用“错位相减法”确定数列的前n项的和。

试题解析：（1）设数列a■的公比为q，a2=2q，a3=2q2，由题设知，a1+a3=2（a2+1）∴2+2q2=4q+2，q=2或0，∵q≠0，∴q=2，an=2n 。

（2）设数列na■的前n项的和为Sn，

sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n（1）

2sn=1×22+2×23+…+（n-1）2n+n×2n+1（2）

（1）—（2）得：-sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=■-n×2n+1

sn=（n-1）×2n+1+2

考点：等差数列，等比数列，“错位相减法”求和。

变式：已知数列{an}的前n项和Sn=-■n■+kn（k∈N*），且Sn的最大值为8。

（1）确定常数k，求an；

（2）求数列■的前n项和Tn。

解析：（1）当n=k∈N*时，Sn=-■n■+kn取最大值，即8=-■k■+k2=■k■，故k=4，从而an=Sn-Sn-1=■-n（n≥2），又a1=S1=■，所以an=■-n。

∵bn=■=■，Tn=b1+b2+…+bn=1+■+■+…+■+■，

∴Tn=2Tn-Tn=2+1+■+…+■-■=4-■-■=4-■。

考点：本题主要考查等差数列、等比数列的概念及其通项公式，数列的求和。

点评：典型题，本题首先由Sn，an的关系，确定数列的通项公式是关键。求和过程中应用了“错位相减法”。在数列问题中，“分组求和法”“裂项相消法”也常常考到。