含参函数的单调性问题

含参函数的单调性问题（精选8篇）

含参函数的单调性问题篇1

我说课的课题是《普通高中课程标准实验教科书必修1》第二章第三节——函数的单调性。我将根据新课标的理念和高一学生的认知特点设计本节课的教学。我从下面三个方面阐述我对这节课的理解和教学设计。

一、教材分析

1、教材内容

本节课是北师大版(必修一)第二章函数第三节——函数的单调性，本节课内容教材主要学习函数的单调性的概念，依据函数图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性。

2、教材的地位和作用

函数是本章的核心概念，也是中学数学中的基本概念，函数贯穿整个高中数学课程。在历年的考题中常考，函数的思想也是我们学习数学中的重要思想。在这一节中利用函数图象研究函数性质的数形结合思想将贯穿于整个高中数学教学。

函数的基本性质包括单调性、奇偶性、周期性、对称性、有界性。而我们今天学习的内容就是函数基本性质中的一种——单调性。函数的单调性是用代数方法研究函数图象局部变化趋势的。函数的单调性是学生初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识，是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础，对进一步探索、研究函数的其他性质有着示范性的作用，对解决各种数学问题有着广泛作用。此外在比较数的大小、极限、导数以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一。通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的概念、掌握证明函数单调性的步骤，并能运用单调性知识解决一些简单的实际问题。通过上述活动，加深对函数本质的认识。更主要本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。

根据函数单调性在整个教材内容中的地位和作用，并结合学生的认知水平，本节课教学应实现如下教学目标。

3、教学目标

知识与技能:理解函数单调性和单调函数的意义;会判断和证明简单函数的单调性。

过程与方法:培养从概念出发，进一步研究其性质的意识及能力;体会感悟数形结合、分类讨论的数学思想。

情感态度与价值观:领会用运动的观点去观察分析事物的方法，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯;由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习的兴趣。

4(教学的重点和难点教学重点: 函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性;1 函数单调性说课稿教学难点: 根据定义证明函数的单调性和利用函数图像证明单调性。

二、教法与学法 1(教学方法本节课是函数单调性的起始课，根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，本节课主要采用“创设情景、问题探究、合作交流、归纳总结、联系巩固”的教学方式，这样既增加了教师与学生、学生与学生之间的交流，又能激发学生的求知欲，调动学生积极性，使他们思路更加开阔，思维更加敏捷。

2(教学手段

教学中使用多媒体辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。

3(学法

高一学生知识上已经掌握了一次函数、二次函数、反比例函数的图象和基本性质等内容，但对知识的理解和方法的掌握上不完备，反应在解题中就是思维不严密，过程不完整;能力上具备了一定的观察、类比、分析、归纳能力，但知识整合和主动迁移的能力较弱，数形结合的意识和思维的深刻性还需进一步培养和加强，所以应从下面两方面来提高学生的水平。

(1)让学生利用图形直观感受;(2)让学生“设问、尝试、归纳、总结、运用”，重视学生的主动参与，注重信息反馈，通过引导学生多思、多说、多练，使认识得到深化。

三、教学过程

本节课的教学过程包括:创设情境，引入课题;归纳探索，形成概念;巩固提高，深化概念;归纳小结，提高认识.具体过程如下:(一)创设情境，引入课题

我们知道，函数是刻画事物变化的工具。在2003年抗击非典型肺炎时，卫生部门对疫情进行了通报。如下图是北京从4月21日到5月19日期间每日新增病例的变化统计图。

思考如何用数学语言刻画疫情变化, [设计意图]:通过实际生活中的例子让学生对图像的上升和下降有一个初步感性认识，为下一步对概念的理性认识作好铺垫。同时通过多媒体展示，能够提高学生的兴趣，增强直观性，拉近数学与实际的距离，感受数学源于生活,让学生学会用数学的眼光去关注生活。函数单调性说课稿(二)归纳探索，形成概念

在本阶段的教学中，为使学生充分感受数学概念的形成与发展过程和数形结合的数学思想，加深对函数单调性的本质的认识，我设计了几个环节,引导学生分别完成对单调性定义的认识.1、提出问题，观察变化

12问题:分别做出函数的图像，指出上面四yxyxyxy,，，，，2,1， x 个函数图象在哪个区间是上升的，在哪个区间是下降的, 8 688 86466 44422 22-10-5510-10-5510-10-5510-10-5510-2-2-2-2-4-4-4-6-4-6-6-8-6-8-8-8 12 yx,，2yx，，1yx,y,x 通过学生熟悉的图像，及时引导学生观察，函数图像上A点的运动情况，引导学生能用自然语言描述出，随着增大时图像变化规律。让学生大胆的去说，x 老师逐步修正、完善学生的说法，最后给出正确答案。

【设计意图】新课标十分注重初中与高中的衔接，注重通过函数的图像，研究函数的基本性质。以学生们熟悉的函数为切入点，尽量做到从直观入手，顺应同学们的认知规律。第三个、第四个函数图像的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质（2、步步深化，形成概念 2观察函数y=x随自变量x 变化的情况，设置启发式问题:(1)在y轴的右侧部分图象具有什么特点,(2)如果在y轴右侧部分取两个点(x，y)，(x，y)，当x

【设计意图】通过启发式提问，实现学生从“图形语言”到 “文字语言”到 “符号语言”认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换。另外，对“任意性”的理解，我特设计了问题(2)、(3)，达到步步深入，从而突破难点，突出重点的目的。通过对以上问题的分析，从正、反两方面领会函数单调性。师生共同总结出单调增函数的定义，并解读定义中的关键词，如:区间内，任意，当<时，xx12都有<。f(x)f(x)12 仿照单调增函数定义，由学生说出单调减函数的定义。3 函数单调性说课稿

教师总结归纳单调性和单调区间的定义。

注意强调:函数的单调性是函数在定义域某个区间上的局部性质，也就是说，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性。

【设计意图】通过问题的分解，引导学生步步深入，直至找到最准确的数学语言来描述定义。体现从简单到复杂、具体到抽象的认知过程。在课堂教学中教师引导学生探索获得知识、技能的途径和方法。通过探索，培养学生的观察能力和运动变化的观点，同时充分利用图形的直观性，渗透了数形结合的思想，学生在探索的过程中品尝到了自己劳作后的甘甜，感受到耕耘后的丰收喜悦，更激起了学生的探索创新意识。

3(巩固提高，深化概念

本环节在前面研究的基础上，加深学生进一步理解函数单调性定义本质，完成对概念的再一次认识.练习1:如下图给出的函数，你能说出它的函数值随自变量值的变化情yx况吗?

怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢? 1f(x),例1 说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性.x 练习2:判断下列说法是否正确

(1)定义在R上的函数满足，则函数是R上的增函数。f(x)f(2),f(1)(2)定义在R上的函数满足，则函数是R上不是减函数。f(x)f(2),f(1)1(3)已知函数，因为是增函数。所以函数fx()y,ff(1)(2)，，x，，(4)定义在R上的函数在，,0,上是增函数，在0,，,上也是增函数，f(x)则函数是R上的增函数。

(5)函数在上都是减函数，所以在

上是减函数。

例2 画出函数的图像，判断它的单调性，并加以证明。f(x),3x，2 通过对上述几题讨论，加深学生对定义的理解。强调以下三点，完成本阶段的教学: ?单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性。函数单调性说课稿

?有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)。

?函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在上是增(或减)函数。

【设计意图】函数单调性定义产生是本节课的难点，难在:如何使学生从描述性语言过渡到严谨的数学语言。而对严谨的数学语言的准确理解及正确应用更是学生薄弱环节，这里通过问题研讨体现了以学生为主体，师生互动合作的教学新理念。例1主要是从图形上判断函数的单调性;例2主要对数形结合，定义法证明函数的单调性的只是巩固与应用.(四)归纳小结，提高认识

归纳小结是巩固新知识不可或缺的环节之一，本节课我采用组织和指导学生自己谈学习收获的方式对所学知识进行归纳，深化对数学思想方法的认识，为后续学习打好基础(1(本节小结

函数单调性定义，判断函数单调性的方法(图像、定义)在方法层面上，引导学生回顾判断，证明函数单调性的方法和步骤;引导学生体会探究过程中用到的思想方法和思维方法，如数形结合，等价转化，类比等。

2(布置作业

课后作业实施分层设置，书面作业、课后思考.作业布置:教材第38页的第2，3，5题思考交流:问题如果可以证明对任意的，且，有xxab,(,),xx,1212fxfx()(),21，能断定函数在上是增函数吗? fx()(,)ab,0xx,21 【设计意图】:目的是加深学生对定义的理解，让学生体会这种叙述与定义的等价性，而且这种方法进一步发展可以得到导数法，为今后用导数方法研究函数单调性埋下伏笔。

以上各个环节，环环相扣，层层深入，注意调动学生自主探究与合作交流，努力实现教学目标，也使新课标理念能够得到很好的落实。

各位评委，本节课我在概念教学上进行了一些尝试.在教学过程中，我努力创设一个探索数学的学习环境,通过设计一系列问题,使学生在探究问题的过程中，亲身经历数学概念的发生与发展过程，从而逐步把握概念的实质内涵,深入理解概念。函数单调性说课稿附一:板书设计函数的单调性

一、函数单调性的概念

三、例题讲解

四、课堂练习

二、证明函数单调性的步骤例1:

含参函数的单调性问题篇2

一、定义

从单调性定义出发是解决单调性问题的基本方法, 含参数问题的处理也不例外.

【例1】已知f (x) =x2+c, 且f[f (x) ]=f (x2+1) .

(1) 设g (x) =f[f (x) ], 求g (x) 的解析式;

(2) 设F (x) =g (x) -λf (x) .问:是否存在实数λ, 使得F (x) 在 (-∞, -1) 上是减函数, 并且在 (-1, 0) 上是增函数.

解析: (1) ∵f (x) =x2+c, 得

f[f (x) ]= (x2+c) 2+c,

∵f (x2+1) = (x2+1) 2+c且

f[f (x) ]=f (x2+1) ,

∴ (x2+c) 2+c= (x2+1) 2+c.

∴c=1, ∴f (x) =x2+1.故

g (x) = (x2+1) 2+1=x4+2x2+2.

(2) ∵F (x) =g (x) -λf (x)

=x4+2x2+2-λ (x2+1)

=x4+ (2-λ) x2+2-λ,

∴F (x2) -F (x1) = (x $_{2}^{4}$ -x $_{1}^{4}$ ) + (2-λ) (x $_{2}^{2}$ -x $_{1}^{2}$ )

= (x $_{2}^{2}$ -x $_{1}^{2}$ ) (x $_{1}^{2}$ +x $_{2}^{2}$ +2-λ) .

设x1<x2<-1, 则

x $_{2}^{2}$ -x $_{1}^{2}$ <0.x $_{1}^{2}$ +x $_{2}^{2}$ +2-λ>1+1+2-λ≥0.

∴λ≤4.

当λ≤4时, F (x) 在 (-∞, -1) 上是减函数, 同理可得:当λ≥4时, F (x) 在 (-1, 0) 上是增函数.

综合以上可知, 当λ=4时, F (x) 在 (-∞, -1) 上是减函数, 并且在 (-1, 0) 上是增函数.

点评:利用定义方法分析单调性是一种基本方法, 不可忽视.注意转化后的结论向参数逼近时, 须简洁而直观, 方可有效解决问题.

二、基本函数

利用基本常见函数如正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的图象, 根据图象很容易得出它们的单调性.

【例2】已知f (x) =x2cosθ+2xsinθ-1 (θ∈ (0, π) ) 在上是增函数, 求θ的取值范围.

解析:当cosθ=0, 即θ=π/2时, sinθ=1.

∴f (x) =2x-1满足条件.∴θ=π/2.

当cosθ≠0, 即0<θ<π/2或π/2<θ<π时,

综上所述,

点评:利用基本常见函数分析参数范围时, 须紧贴函数特点, 适度转化, 从而达到引用已有结论、解决问题的目的.

三、复合函数

复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关, 其规律如下:

若函数u=g (x) 在区间[a, b]上是单调函数, 函数y=f (u) 在区间[g (a) , g (b) ]或[g (b) , g (a) ]上也是单调函数, 那么复合函数y=f[g (x) ]在区间[a, b]上是单调函数, 且u=g (x) , y=f (u) 增减性相同时, y=f[g (x) ]在区间[a, b]上为增函数;增减性相反时, y=f[g (x) ]在区间[a, b]上为减函数.

【例3】是否存在实数a, 使函数f (x) =loga (ax2-x) 在区间[2, 4]上是增函数?如果存在, 求出a的取值范围;如果不存在, 请说明理由.

解析:设

当a>1时, 为使函数f (x) =loga (ax2-x) 在区间[2, 4]上是增函数, 只需g (x) =ax2-x在区间[2, 4]上是增函数, 故应满足解得a>1.

当0<a<1时, 为使函数f (x) =loga (ax2-x) 在区间[2, 4]上是增函数, 只需g (x) =ax2-x在区间[2, 4]上是减函数, 故应满足.此不等式组无解.

综上, 当a>1时, f (x) =loga (ax2-x) 在区间[2, 4]上是增函数.

点评:用复合函数方法分析单调性时, 要分开内外函数自身的单调性, 同时要关注函数的定义域.在有了参数后, 定义域本身的限制有时也有一定难度.

四、导数工具

导数方法为单调性问题解决提供了新的手段.若函数y=f (x) 在 (a, b) 上是增函数, 则在 (a, b) 上f′ (x) ≥0且f′ (x) 不恒为0;若函数y=f (x) 在 (a, b) 上是减函数, 则在 (a, b) 上f′ (x) ≤0且f′ (x) 不恒为0.由此可得不等式, 解出参数的范围, 再进行验证.

【例4】已知函数, 若f (x) 在区间[2, +∞) 上是增函数, 求实数a的取值范围.

解析: (导数法) ∵

∴要使函数f (x) 在区间[2, +∞) 上是增函数, 只需当x≥2时, f′ (x) ≥0恒成立即可.

即在x∈[2, +∞) 时恒成立, 则a≤2x3恒成立, 而2x3∈[16, +∞) .

故使f (x) 在区间[2, +∞) 上是增函数, 实数a的取值范围为 (-∞, 16].

点评:导数方法分析单调性问题的本质是等价转化, 准确求导化归为恒成立结构是解决问题的一般方法.此时还要关注究竟是求最大值还是最小值.

含参函数的单调性问题篇3

1. 定义法

利用定义判定（证明）函数在某个区间上的单调性的方法（步骤）：

① 设自变量的值，即在给定区间上任设两个值x1,x2，且x1＜x2；

② 作函数值的差并变形，即作差f(x1)-f(x2)，并通过因式分解、配方、分母有理化等方法，将差变形为几个最简因式的积或几个非负数的和（即向有利于判断差的符号的方向变形）；

③ 确定差的符号，即判断差f(x1)-f(x2)的符号，若不能确定，则可分类讨论；

④ 下结论，即根据差的符号，得出单调性的结论.

2. 导数法

一般地，设函数f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内f′（x）＞0，那么f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内f′（x）＜0，那么f(x)为这个区间内的减函数.

利用这一结论探求复杂函数的单调区间或在某区间上的单调性十分方便；但若要解决其逆向问题（即已知单调区间或在某区间上的单调性，探求函数，一般是探求函数解析式中的参数的值或范围），则利用函数单调性的充要条件（即定理1）更加方便.

定理1 对于可导函数f(x)，如果方程f′(x)=0在某个区间上至多有孤立(离散)的解，那么f(x)在这个区间上为增函数的充要条件是不等式f′(x)≥0在这个区间上恒成立，f(x)在这个区间上为减函数的充要条件是不等式f′(x)≤0在这个区间上

恒成立.

定理2 连续函数f(x)在闭区间[a，b]与开区间（a，b）上具有相同的单调性.

3. 复合函数法

设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若B A，则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量.

定理3 已知函数y=f[g(x)].若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d)，又y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么复合函数y=f[g(x)]

在区间(a,b)上是增函数.

定理4 已知函数y=f[g(x)].若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么复合函数y=f[g(x)]

在区间(a,b)上是增函数.

……

用表格来表示可以看得更清晰：

u=g(x)

增 ↗减 ↘增 ↗减 ↘

y=f(u)增 ↗减 ↘减 ↘增 ↗

y=f[g(x)]增 ↗减 ↘

规律总结：若内外层函数的单调性相同，则复合函数为增函数；若内外层函数的单调性相反，则复合函数为减函数.即“同增异减”.

二、复合函数单调性中的参数取值问题

研究复合函数的单调性时，首先要确定函数的定义域，然后应借助复合函数单调性的判断方法来确定函数的单调性.对于含参数函数的单调性问题，应注意恰当地对参数进行分类讨论，才可以顺利地解决问题.下面举几个典型的客观题进行解析，供同学们参考.

例1 已知函数f(x)=a•2x-4x(x∈R)的单调增区间为(-∞,1]，则实数a的取值为 .

解析令t=2x，y=at-t2，则y=f（x）.

于是y是关于t的二次函数，其图像开口向下，对称轴为t=a2，其单调增区间为-∞，a 2；t为关于x的指数函数，其单调增区间为R.

根据函数f(x)的单调增区间为(-∞,1]，可知a2=21=2，即a=4.

评注函数在某区间上单调递增（或递减）与函数的单调递增（或递减）区间是两个容易混淆的概念.事实上，函数在某区间上单调递增（或递减）中的“某区间”应该是的该函数的单调递增（或递减）区间的子区间.这里，含参数函数的单调区间是确定的，因此参数的值也应该是确定的.

例2 若函数f(x)=ax(ax-3a2-1)(a＞0,a≠1)在区间[0,+∞)上为增函数，则实数a的取值范围是 .

解析令t=ax(a＞0,a≠1)，y=t2-(3a2+1)t，则y=f（x）.

于是y是关于t的二次函数，其图像开口向上，对称轴为t=3a2+12＞12，其单调减区间为-∞,3a2+12,单调增区间为3a2+12,+∞;t为关于x的指数函数.

① 若0＜a＜1，当x∈[0,+∞)时，t关于x单调减且0＜ax≤1，欲使f(x)在[0,+∞)上为增函数，只需3a2+12≥1，解得a≥33，于是33≤a＜1.

② 若a＞1时，当x∈[0,+∞)时，t关于x单调增且ax≥1，欲使f(x)在[0,+∞)上为增函数，只需3a2+12≤1，解得a2≤13，与a＞1相矛盾.

综上,可知33≤a＜1.

评注判断函数的单调性往往可以利用复合函数法，这时一般要借助于已知的基本初等函数（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数（正、反比例函数）、三角函数等）的单调性进行判断.这里，应注意对指数函数t=ax(a＞0,a≠1)中的底数a分0＜a＜1和a＞1两种情况进行讨论.

例3 若函数f(x)=logax2+ax+13a(a＞0,a≠1)在区间-12,0内单调增，则实数a的取值范围是.

解析设u=x2+ax+13a，则其图像开口向上，对称轴为x=-a2，且u-12=14-a6，u（0）=a3.

① 当0＜a＜1时，logau在u∈(0,+∞)上为减函数，则u=x2+ax+13a在x∈-12,0内恒为正且单调减，则-a2≥0且a3≥0，无解.

② 当a＞1时，logau在u∈(0,+∞)上为增函数，则u=x2+ax+13a在x∈-12,0内恒为正且单调增，则-a2≤-12且14-a6≥0，解得1≤a≤32，于是1＜a≤32.

综上，可知1＜a≤32.

评注这里，切记不要忽略对数有意义（比如真数应该恒为正数）对相关的变量的限制.

例4 若函数f(x)=ln(-x2+4x)在其定义域的一个子区间k-12,k+12上不是单调函数，则实数k的取值范围是 .

解析由-x2+4x＞0，得f(x)的定义域为(0,4)，故k-12,k+12(0,4)，

即k-12≥0，k+12≤4，解得12≤k≤72.

令u=-x2+4x,y=lnu,则y=f(x)，且u是关于x的二次函数，其图像的对称轴为x=2.

由y=lnu在u∈(0,+∞)内为增函数，可知要使f(x)在x∈k-12,k+12上不单调，只需u=-x2+4x在x∈k-12,k+12上不单调，只需k-12＜2＜k+12，即32＜k＜52.

综上，可知32＜k＜52.

评注要使函数在某区间上不单调,只需函数在该区间内的一部分上单调递增，另一部分上单调递减（涉及二次函数时，只需其对称轴在该区间内即可），同时应注意所给区间在所给函数的定义域内.

例5 已知定义在正整数集N*上的函数f(n)=(3-a)n-3,n≤7,an-6,n＞7为增函数，则实数a的取值范围是（）

A. (1,3) B. (2,3)

C. 94,3D. 94,3

解析要使函数f(n)在正整数集N*上单调增，只需3-a＞0，a＞1且f(7)=18-7a＜f(8)=a2，即1＜a＜3且a2+7a-18＞0，解得2＜a＜3.

故应选B.

评注这里，所研究的函数是定义在正整数集上的增函数，其定义域的特殊性导致对其单调性的判断有别于对定义在实数集上的函数的单调性的判断.研究分段函数的单调性时，应先分别确定函数在每一分段上的单调性，再综合确定其在整个定义域上的单调性.

巩固练习

1. 若函数f（x）=log22x-alog2x-3的单调减区间为(0,4]，则实数a的取值为 .

2. 若函数f(x)=ex2-ax在区间(1,2]上为增函数，函数g(x)=x-ax在区间(0,1)上为减函数，则实数a的取值为 .

3. 已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是（）

A. (-∞,4]B. (-4,4]

C. (-∞,-4]∪[2,+∞）D. [-4,2)

4. 已知函数f(x)=loga(2-ax)(a＞0,a≠1)在区间[0,1]上为减函数，则实数a的取值范围是()

A. (0,1)B. (1,2)

C. (0,2)D. (2,+∞)

5. 已知f(x)=(3a-1)x+4a,x＜1,logax,x≥1是R上的减函数，那么实数a的取值范围是（）

A. (0,1)B. 0,13

C. 17,13D. 17,1

《函数的单调性》教学目标篇4

《函数的单调性》

教学目标： 1.知识目标 ①理解函数的单调性的概念，掌握判断或证明函数单调性的方法和步骤； ②会求函数的单调区间.2.能力目标 ①通过对函数单调性的证明及单调区间的求法的复习，培养学生应用化归转化和分类讨论的数学思想解决问题的能力.②通过本节课的复习，使学生体验和理解从特殊到一般的归纳推理的能力.③通过课堂的练习，提高学生分析问题和解决问题的能力.3.情感目标培养学生的逻辑推理能力和创新意识，同时，培养学生对数学美的艺术体验.教学重点：证明函数的单调性以及求函数的单调区间.教学难点：函数单调区间的求法.《简单的幂函数》

教学目标：

1．了解指数是整数的幂函数的概念;能通过观察总结幂函数的变化情况和性质;2．学会利用定义证明简单函数的奇偶性,了解用函数的奇偶性画函数图象和研究函数的方法

3．培养学生从特殊归纳出一般的意识，培养学生利用图像研究函数奇偶性的能力，引导学生发现数学中的对称美，让学生在识图和画图中获得乐趣。教学重点：幂函数的概念，奇偶函数的概念.教学难点：幂函数图像性质，研究函数奇偶性。

《正比例函数》

教学目标：知识与技能： ⑴理解正比例函数及正比例的意义；

⑵根据正比例的意义判定两个变量之间是否成正比例关系； ⑶识别正比例函数，根据已知条件求正比例函数的解析式或比例系数。

过程与方法： ⑴通过现实生活中的具体事例引入正比例关系通过画图像的操作实践，体验“描点法”； ⑵经历利用正比例函数图像直观分析正比例函数基本性质的过程，体会数形结合的思想方法和研究函数的方法

情感态度与价值观：积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲．形成合作交流、独立思考的学习习惯．

教学重点：理解正比例和正比例函数的意义

教学难点：

判定两个变量之间是否存在正比例的关系

《体积和体积单位》

☆【教学目标】

1.让学生初步建立起空间大小的概念，知道“体积”的含义，发展学生的空间观念。2.让学生通过观察、操作、实验体会并理解体积的含义，认识常用的体积单位：立方米、立方分米、立方毫米。

3.初步掌握计量物体的体积的方法，能选择恰当的体积单位估算常见物体的体积。4.培养学生的实验能力、观察能力以及合作学习的能力，扩展学生的思维，进一步发展学生的空间观念。

【教学重点】使学生感知物体的体积，初步建立1立方米、1立方分米、1立方厘米的体积观念。【教学难点】帮助学生建立1立方米、1立方分米、1立方厘米的表象，能正确应用体积单位估算常见物体的体积。

☆ 【教学目标】

1、通过实验观察，使学生理解体积的含义，认识常用的体积单位：立方米、立方分米、立方厘米。

2、使学生知道计量物体的体积，就要看它所含体积单位的个数。

3、使学生初步了解体积单位与长度单位、面积单位的区别和联系。

4、通过学生对体积意义的探索，发展学生的空间观念，培养学生的推理能力。

【教学重点】使学生感知物体的体积，掌握体积和体积单位的知识。

【教学难点】使学生建立体积是1立方米、1立方分米、1立方厘米的空间观念，能正确应用体积单位估算常见物体的体积。

《轴对称与坐标变化》

教学目标【知识目标】：

1、在同一直角坐标系中，感受图形上点的坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系．

2、经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识。【能力目标】： 1．经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握空间与图形的基础知识和基本技能，培养学生的探索能力。【情感目标】 1．丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。2．通过有趣的图形的研究，激发学生对数学学习的好奇心与求知

欲，能积极参与数学学习活动。3．通过“坐标与轴对称”，让学生体验数学活动充满着探索与创造。

教学重点：经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，明确图形坐标变化与图形轴对称之间关系。

教学难点：由坐标的变化探索新旧图形之间的变化探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识。

《倍的认识》

☆教学目的：

1、初步建立“倍”的概念，理解“几倍”与“几个几”的联系。

2、培养学生观察、推理、迁移能力及语言表达能力。

3、培养学生善于动脑的良好学习习惯和对数学的学习兴趣。

4、培养他们的创新意识和实践操作能力。

教学重点：初步建立“倍”的概念。理解和掌握：“一个数是另一个数的几倍”的含义 ☆教学目标：

1、基本目标

（1）学生紧密联系生活实际，通过操作，把“倍”的概念与学生已有的认识基础“份”联系起来，理解“倍”的含义，建立“倍”的概念。

（2）学会分析一个数是另一个数的几倍的实际问题的数量关系。（3）学生在学习过程中体会数学知识之间的内在联系，发展观察、比较、抽象、概括和合情推理能力。（4）学生在情境中探究解题的过程，体会探究带来的成功体验。

2、发展目标

（1）学生充分体验数学与日常生活的密切关系，培养生活中的数感。（2）培养学生积极探究、大胆尝试的自主学习能力和同学间协作互助的精神。

（3）学生进一步体会数学与现实生活的联系，培养学生认真观察、善于思考的良好学习习惯，增强学习数学的兴趣和信心。

教学重点：建立“倍“的概念。

函数的单调性教学设计篇5

戴氏教育高中数学组

杜剑【教材分析】

《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。【教学目标】

知识与技能：

1．通过生活中的例子帮助学生理解增函数、减函数及其几何意义。2．学会应用函数的图象理解和研究函数的单调性及其几何意义。过程与方法：

1．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的教育。2．通过探究与活动，使学生明白考虑问题要细致，说理要明确。情感与态度：

1．通过本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象。

2．通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。【重点难点】

重点：函数单调性概念的理解及应用。难点：函数单调性的判定及证明。关键：增函数与减函数的概念的理解。【教法分析】

为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了：

1．通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。

2．在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念。3．在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。【学法分析】

在教学过程中，教师设置问题情景让学生想办法解决；通过教师的启发点拨，学生的不断探索，最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终把问题解决。整个过程学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中；同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。【教学过程设计】

（一）问题情境

遵义一天的天气

设计意图：用天气的变化，让学生用朴素的生活语言描述他们对变化规律的理解，并请学生将文字语言转化为图形语言，这样做可使教学过程富有情趣，可激发学生的学习热情，教学起点的设定也比较恰当，学生的参与度较高。

（二）温故知新

1．问题1：观察学生绘制的函数的图象（实际教学中可根据学生回答的情况而定），指出图象的变化的趋势。

观察得到：随着x值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势。

2．问题2：对“图象呈逐渐上升趋势”这句话初中是怎样描述的？例如：初中研究yx2时，我们知道，当x<0时，函数值y随x的增大而减小，当x>0时，函数值y随x的增大而增大。

回忆初中对函数单调性的解释：

图象呈逐渐上升趋势数值y随x的增大而增大；图象呈逐渐下降趋势数值y随x的增大而减小。

函数这种性质称为函数的单调性。

设计意图：学生在函数单调性这一概念的学习上有三个认知基础：一是生活体验，二是函数图象，三是初中对函数单调性的认识。对照绘制的函数图象，让学生回忆初中对函数单调性的描述的定义，并在此基础上进行概念的符号化建构，与学生的认知起点衔接紧密，符合学生的认知规律。

（三）建构概念

问题3：如何用符号化的数学语言来准确地表述函数的单调性呢？

对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)。

单调增函数的定义：

问题4：如何定义单调减函数呢？可以通过类比的方法由学生给出。

设计意图：通过师生双边活动及学生讨论，可以让学生充分参与用严格的数学符号语言定义函数单调性的全过程，让他们亲身体验数学概念如何从直观到抽象，从文字到符号，从粗疏到严密。让他们充分感悟数学概念符号化的建构原则。问题4则要求学生结合图象化单调增函数的定义，通过类比的方法，由学生自己得到单调减函数的概念，在这个过程中，学生可以体会数学概念是如何扩充完善的。

（四）理解概念

1．顾名思义，对“单调”两字加深理解

汉语大词典对“单调”的解释是：简单、重复而没有变化。2．呼应引入，解决问题情境中的问题

如：y2x1的单调增区间是(,)；y3．单调性是函数的“局部”性质如：函数y上减函数？

引导学生讨论，从图象上观察或用特殊值代入验证否定结论（如取x11,x2

1在(0,)上是减函数。x11在(0,)和(,0)上都是减函数，能否说y在定义域(,0)(0,)上xx1）。

2设计意图：学生对一个概念的认识不可能一次完成，教师要善于从多个角度，通过概念变式教学和构造反例帮助学生理解概念的内涵与外延。在学习如何证明一个函数的单调性之前，先与学生一起探讨怎样才能否定一个函数的单调性对帮助学生理解函数单调性的概念尤为重要，可以加深学生对“任意”两字的理解。

（五）运用概念

通过两例，教师要向学生说明： 1．判断函数单调性的主要方法：①观察法：画出函数图象来观察；②定义法：严格按照定义进行验证；③分解法：对函数进行恰当的变形，使之变成我们所熟悉的且已知其单调性的较简单函数的组合。

2．概括出证明函数单调性的一般步骤：取值→作差→变形→定号。练习：作出函数y|x1|

1、y|x21|的图象，写出他们的单调区间。

设计意图：单调性证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证问题，通过本例，要让学生理解判断函数单调性与证明函数单调性的差别，掌握证明函数单调性的程序，并深入理解什么是代数证明，代数证明要做什么事。

（六）回顾总结

本节课主要学习了函数单调性的定义，单调区间的概念，能利用（1）图象法；（2）定义法来判定函数的单调性，从中体会了数形结合的思想，学会从“特殊到一般再到特殊”的思维方法来研究问题。【教学反思】

1．给出生活实例和函数单调性的图形语言，调动学生的参与意识，通过直观图形得出结论，渗透数形结合的数学思想。问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始。这里，通过问题，引发学生的进一步学习的好奇心。

2．给出函数单调性的数学语言。通过教师指图说明，分析定义，提问等办法，使学生把定义与直观图象结合起来，加深对概念的理解，渗透数形结合分析问题的数学思想方法。

3．有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究。

4．通过安排基本练习题，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成。

5．让学生体验数学知识的发生发展过程应该成为这节课的一个重要教学目标。函数的单调性的定义是对函数图象特征的一种数学描述，它经历了由图象直观感知到自然语言描述，再到数学符号语言描述的进化过程，这个过程充分反映了数学的理性精神，是一个很有价值的数学教育载体。

《函数的单调性》教学设计篇6

【教材分析】

【学生分析】

从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么,从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的。从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。

从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述?如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的.积极心向是学生学好本节课的情感基础。

【教学目标】

1.使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念.

2.通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力.

3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程.

【教学重点】函数单调性的概念.

【教学难点】从形与数两方面理解函数单调性的概念.

【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习.

【教学手段】计算机、投影仪.

【教学过程】教学基本流程

1、视频导入------营造气氛激发兴趣

2、直观的认识增(减)函数-----问题探究

3、定量分析增(减)函数)-----归纳规律

4、给出增(减)函数的定义------展示结果

5、微课教学设计函数的单调性定义重点强调 ------ 巩固深化

7、课堂收获 ------提高升华

(一) 创设情景，揭示课题

1.钱江潮，自古称之为“天下奇观”。“八月十八潮，壮观天下”。当江潮从东面来时，似一条银线，“当潮来时，大声如雷”。潮起潮落，牵动了无数人的心。

如何用函数形式来表示，起和落?

2.教师和学生一起回忆

如何用学过的函数图象来描绘这潮起潮落呢?

设计意图：创设钱塘江潮潮起潮落，图象的问题情境，让学生用朴素的生活语言描述他们，对变化规律的理解，并请学生将文字语言转化为图形语言，这样做可使教学过程富有情趣，可激发学生的学习热情，教学起点的设定也比较恰当，学生的参与度较高。

温故知新

(二)问题：观察学生绘制的函数的图象(实际教学中可根据学生回答的情况而定)，指出图象的变化的趋势。

观察得到：随着x值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势。

创设情景，揭示课题

1. 借助图象，直观感知

同学们能用数学语言把上面函数图象上升或下降的特征描述出来吗?

画出下列函数的图象，观察其变化规律：(学生动手)

请作出函数f(x) = x+1并观察自变量变化时，函数值的变化规律.

(学生先自己观察，然后通过多媒体----几何画板形象观察)

2. 微课教学设计函数的单调性

1 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而________ .

2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ .

3、从上面的观察分析，能得出什么结论?

学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性(引出课题)。

在区间I内

“对钩”函数的单调性及其运用篇7

一、“对钩”函数的性质.

1. 单调性

2. 极值 (最值)

由 (1) 中导函数性质可知是的两个极值点, 极值分别为

3. 奇偶性和图象

易知在定义域上为奇函数, 其图象如图1, 它关于原点成中心对称图形, 其每一支图线它不具有对称性, 而象老师批改作业时打的“钩”这也是我把它叫“对钩”函数的原因.

其实, 该“对钩”函数的应用关键在于极值点 (单调区间的分界点) 的选取.在此也可以由均值不等式辅助快速求取.具体这样做, 当x>0时, 当且仅当

即时取等号, 此时, 就是一个极值点, 由对称性, 可得另一个极值点为, 从而也就可以确定它的单调区间.

二、求函数的值域或最值

令t=3-2sinx, t∈[1, 5]

则 t∈[1, 5]

由, 此时即t=2, 可知f (t) 在 (0, 2]是单调递减在[1, 5]上单调递增, 且f (1) =4, f (2) =3, , 所以y=f (t) 的值域为

注:由于每支图象在极值点处不具有对称性因而最大值的求取要比较左、右端点值.

例2求函数, x∈[2, 3]的最大值.

解:, 令则x=71 (t2+5) ,

所以, 又因为2≤x≤3, 所以3≤t≤4.

由上述性质1、易知在区间[3, 4]上是增函数.

所以当t=3, 即x=2时, , 从而函数

此题用判别式法和基本不等式法都容易出错.

三、确定参数的取值范围

例3已知关于x的方程cos2x+2msinx-9=0有解, 求实数m的取值范围.

解:原方程可化为-2sin2x+2m·sinx-9=0.

即sin2x-m·sinx+4=0.

令t=sinx则原题意等价于关于t的方程, t2-mt+4=0 (*) 在[-1, 1]上有实数解, 求实数m的范围.

解:依题意t, 从而方程 (*) 化为

由“对钩”函数性质易知f (t) 在区间[-2, 0) 和 (0, 2]上均为单调递减, 而-1∈[-2, 0) , 1∈ (0, 2].

且f (-1) =5, f (1) =5故m∈ (-∞, -5]∪[5, +∞) .

此法比分情况求解要简单得多, 它避免上了分类讨论, 且运算简便.

四、证明不等式

例4已知a+b+c=1, 且a, b, c∈R+, 求证:

证明:令, x∈ (0, 1) .

因为f (x) 在 (0, 1) 上是单调递减函数, 而

五、在实际问题中的应用

函数单调性在抽象函数中的应用篇8

题组讲习

【例1】已知函数f(x)是定义在R上的增函数,若f(logax)>f(x2)在x∈0,12上恒成立,则a的取值范围是．

【例2】已知定义在R上的奇函数f(x)满足在(0,+∞)单调递减,且f(2)=0,则不等式f(x+1)<0的解集是．

1. 解法一由题意得,不等式logax>x2对x∈0,12上恒成立,

当a>1时显然不成立；

图1

当0

由函数y=logax(0<a<1)的单调性可得a14≥12,

所以116≤a<1．

解法二 (数形结合法)不等式logax>x2对x∈0,12上恒成立,表示在x∈0,12时,函数y=logax的图象在y=x2图象的上方,如图1所示,当a>1时显然不成立；

当0

所以116≤a<1．

2. 解法一 (分类讨论法)由f(x+1)<0得,f(x+1)

当x+1>0,即x>-1时,有x+1>2,解得x>1;

当x+1<0,即x<-1时,-x-1>0,由f(x+1)<0得,f(-x-1)>0=f(2),

则-x-1<2,解得-3

综上,不等式f(x+1)<0的解集是(-3,-1)∪(1,+∞)．

图2

解法二 (数形结合法)由题意,画出函数y=f(x)的示意图,如图2所示,

函数y=f(x+1)的图象是由函数y=f(x)的图象向左平移一个单位得到的,

由函数y=f(x)的图象经过点(2,0)、(0,0)和(-2,0)可知,

函数y=f(x+1)的图象经过点(1,0)、(-1,0)和(-3,0),

由图可知,不等式f(x+1)<0的解集是(-3,-1)∪(1,+∞)．

点评 1. 解决抽象函数中不等式问题的关键是利用函数单调性将f(m(x))>f(n(x))转化成m(x)与n(x)的大小关系；

2. 不等式问题的实质是函数图象的高低问题,函数的单调性则反映了图象的升降.数形结合也是解决这两类问题的很好途径,如问题1,2中的解法二。

类比•拓展•延伸

1. 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意的x∈［t,t+2］,不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数t的取值范围是．

图3

解当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2=x2,

∵f(x)是定义在R上的奇函数,

∴当x<0时,f(x)=-x2,

又当x≥0时,f(x)=x2,

∴由图3可知,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,

由f(x+t)≥2f(x)=f(2x)得,x+t≥2x对x∈［t,t+2］恒成立,

即t≥(2-1)x,∴t≥［(2-1)x］max,

∴t≥(2-1)(t+2),解得t≥2．

2. 设函数y=f(x)定义在R上,对任意实数m,n恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且当x>0时,0

(1) 求证：f(0)=1,且当x<0时,f(x)>1；

(2) 求证：函数f(x)在R上单调递减；

(3) 设集合A={(x,y)|f(x2)f(y2)>f(1)},B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R},若A∩B=,求a的取值范围．

解 (1) 令x=0,y=1得f(1)=f(0)f(1),

∵0

设x<0,则-x>0,0

令m=x,n=-x,则有

f(x)f(-x)=f(0)=1,

∴f(x)=1f(-x)>1；

(2) 设x1

x2-x1>0,0

f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1)

=f(x1)-f(x2-x1)f(x1)

=f(x1)［1-f(x2-x1)］,

由题意及(1)可知,对任意实数x恒有

f(x)>0,则f(x1)>0,又1-f(x2-x1)>0,

∴f(x1)>f(x2),

∴函数f(x)在R上单调递减；

(3) 由集合A可得,f(x2+y2)>f(1),

由函数f(x)在R上单调递减得x2+y2<1,A表示单位圆内部的点的集合,

由集合B可得,f(ax-y+2)=1=f(0),则ax-y+2=0,B表示直线上的点的集合,

∵A∩B=,

∴直线ax-y+2=0与圆x2+y2=1相切或相离,

∴2a2+1≥1,解得a∈［-3,3］．

点评 1. 在问题1中用图象判断函数f(x)是定义在R上单调递增是关键,把2f(x)化成f(2x)是难点,这样就化成f(m(x))>f(n(x))形式；若将不等式两边都用解析式代入,则问题很难解决。

2. 在问题2中证明抽象函数单调性时运用了x2=(x2-x1)+x1,即减一个数再加一个数的技巧,使问题得到突破。

方法总结

从上面这些问题中我们可以看出,函数的单调性在抽象函数中的应用主要是两个方面：一是单调性的判断；二是单调性的逆向运用。判断抽象函数单调性主要运用定义法,但更应当注意x2=(x2-x1)+x1,x2=x2x1•x1的变形技巧以及题目中所给性质的运用。单调性的逆向运用,关键在于将所给的不等式两边化为函数值f(x)的形式,再利用函数单调性脱去函数的记号“f”。

实战演练

1. 已知偶函数f(x)在区间［0,+∞)单调增加,则满足f(2x-1)

2. 设函数f(x)是定义在［-1,1］上的奇函数,对任意的a、b∈［-1,1］,当a+b≠0时都有f(a)+f(b)a+b>0．

(1) 若a>b,比较f(a)与f(b)的大小；

(2) 解不等式fx-12

(3) 记P={x|y=f(x-c)},Q={x|y=f(x-c2)},且P∩Q=,求c的取值范围．

【参考答案】

1. 函数f(x)在［0,+∞)上递增,则在(-∞,0］上递减．

f(2x-1)

2. 设-1≤x10,

∵x1-x2<0,

∴f(x1)+f(-x2)<0,