因数（推荐11篇）
【教学目标】
1．通过解决实际问题的活动，进一步理解公因数，最大公因数和素因数的意义，掌握求两个数的公因数，最大公因数的基本方法。
2．经历对问题的分析，观察，找规律，讨论的过程，进一步加深对公因数，最大公因数和素因数意义的理解，体会选择适当方法解决问题的优化思想，锻炼分析问题和解决问题的能力。3．在积极思考、积极参与讨论的活动中，自觉改进学习，促进良好学习习惯的养成和沟通、交流能力的提高。
【教学重点与难点】理解公因数，最大公因数和素因数的意义，并会求两个数的公因数，最大公因数，知道互素和素数有什么区别.教学过程设计
一、情景引入
练习：请大家拿出练习本，分别写出 6 的因数，8 的因数 6 的因数： 1、2、3、6 8 的因数： 1、2、4、8 教师：太好了，我们已经学会找一个数的因数 那么请你们仔细看一看，学生不难答出6 和 8 的公有的因数是1和2 猜想：这样老师就可以让学生猜想几个数的公因数的定义：几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个数叫做这几个数的最大公因数
二、学习新课
问题的提出：植树节这天，老师带领24名女生和32名男生到植物园种树，老师把这些学生分成人数相等的若干个小组，每个小组的男生人数都相等，请问，这56名同学最多分成几组？ 问题的分析：
1．24和32的因数是多少？ 2．24和32的公因数是多少？ 3．24和32的最大公因数是多少？ 问题的答案：
24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24 32的因数有：1，2，4，8，16，32 24和32的公因数是1，2，4，8
812412363,6,12,241,2,4,816,32
可以看出，18和30全部共有的素因数是2和3，因此2和3的乘积6就是18和30的最大公因数
求几个整数的最大公因数，只要把它们所有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数 解法3 为了简便，也可以用短除法计算
18和30的最大公因数是2×3=6 例题4 求48和60的最大公因数
解：
48和60的最大公约数是2×2×3=12[]
三、巩固练习1．口答填空：
12的因数是（）； 18的因数是（）； 12和18的公因数是（）； 12和18的最大公因数是（）2．把15和18的因数、公因数分别填在下面的圈里，再找出它们的最大公因数
请找出下面各组数的公因数：
5和7
8和9
1和12 9和15
7和9 16和20 答案：学生口答后老师在每组后面标出公因数。
5和7(1)
8和9(1)
1和12(1)9和15(1，3)
7和9(1)
16和20(1，2，4)3．快速回答：
随着电力电子技术的发展, 从20世纪60年代开始, 电力电子装置大量出现和工业及生活领域。如整流装置、电子整流器等接到电网时, 电网电流将产生非正弦畸变, 导致电网电压产生畸变和高次谐波, 影响其他用电设备、通信的正常运行, 严重时还影响到发电设备的安全运行。因此, 如何改善电力电子装置的输入电流波形和功率因数, 成为电力电子产品开发需要考虑的重要因素。本文介绍一种基于有源功率因数校正 (APFC) 的高功率因数电源设计方案。
1 方案设计
1.1 理论分析
图1为单相升压型PFC基本电路[1]。PFC工作方式分为不连续电流模式 (DCM) 和连续电流模式 (CCM) , DCM缺点较为明显。该设计采用CCM方式。电压外环和电流内环的双闭环控制[2]。电压控制器的输出是输入电流幅值指令Im, 该指令与电网电压的整流信号相乘作为电流给定。因为电流给定是和电网电压信号波形成比例, 所以电流给定信号与输入电压同相。电流内环使输入电流尽可能跟踪电流指令, 最终的PWM驱动波形由电流控制器决定。由于电流内环的存在, 驱动波形的占空比按正弦规律变化, 使电感电流的平均值为正弦。故有时CCM方式也被称为平均电流控制方式。CCM的输入电流畸变很小, 动态响应也比DCM快得多。由于CCM方式的输入电流连续, 所以同等输入功率时, CCM方式比DCM的平均输入电流小, 不像DCM那样有很高的峰值电流。相比较而言, CCM的开关管电流应力小, 适用的功率范围比DCM大。经过上述分析后, 该系统采用CCM方式的升压型PFC电路。
1.2 方案设计
根据设计要求, 输出电压范围在30～36 V之间稳定可调, 输入电压低于输出电压, 故系统前级采用Boost斩波电路升压, 实现逆变器输入电压稳定。为降低网侧EMI, 在隔离变压器副边与整流桥之间接入EMI抑制网络。
系统控制采用TI专用APFC芯片UCC28019, 该控制系统包括电流内环和电压外环, 其中电流内环的作用是控制网侧输入电流的波形和相位, 使输入电流波形畸变小、功率因数高;电压外环的作用是控制输入电流的幅值, 以使输出直流电压在各种扰动下保持期望值。
为实现输出电压的连续可调和系统参数的显示, 采用Atmel公司ATmega16单片机进行系统监控。为使输出电压可调, 由PS2键盘设定输出值, 送入单片机。采用8803驱动的240128液晶显示器显示系统信息。
系统保护拟采用单片机控制的继电器过流保护与控制芯片的封锁保护双重保护方案。在检测到输出电流超过2.5 A时, 单片机发出控制电平对UCC28019进行封锁并通过继电器断开主电路;当检测到输出电流正常时, 电路恢复正常运行。
2 系统实现
2.1 控制方案分析及实现
主电路的输出直流电压信号Vout和基准电压Vr比较后, 送入电压误差放大器VEA, 得到Vcomp引脚电压, 该电压决定了GMI网络的增益和PWM比较器的参考三角波的斜率[3]。输入电流经采样电阻转化为电压信号, 此信号经放大器放大送入GMI网络以实现输入平均电流的采样, 得到的信号与三角波进行比较得到特定占空比的PWM波。特定占空比的PWM波保持输出电压稳定。UCC28091的控制框图如图2所示。
2.2 主回路器件的选择及参数计算
2.2.1 开关管的选择
在该设计中, 最大输出电压为36 V, 开关管最大实际漏源电流为7.618 A, 但是考虑到实际电压电流尖峰和冲击[4], 电压电流耐量分别取2.5和2倍裕量, 故开关管的最大耐压应大于90 V, 最大导通电流应大于15 A。基于上述要求, 在此采用Vds=200 V, Id=30 A, Rds=85 mΩ的MOSEFT管IRF250, 这完全满足设计要求。
2.2.2 续流二极管的选择
由于该电路采用Boost拓扑结构, 因此续流二极管的选择非常重要。在电路中受输出大电容的影响, 续流二极管应满足最大整流电流大于7.618 A, 最大反向电压大于72 V, 受储能电感及开关管的影响, 续流二极管的反向恢复时间要尽量小。鉴于此要求, 这里采用MOSEFT中的反向快恢复二极管作为续流二极管, 它的反向恢复时间完全达到设计要求, 实际使用效果很好。
2.2.3 电感的参数计算
该电路采用Boost拓扑结构, Boost电路工作在电流连续工作模式 (CCM) 。根据Boost电路输出电压表达式, 可得PWM占空比:
最大占空比Dmax发生在输入直流电压最低 (18 V) 而输出直流电压最高 (36 V) 时候, 最小占空比Dmin发生在输入直流电压最高 (23 V) 而输出直流电压最低 (30 V) 时[5], 则根据电流临界连续条件求得电感值为:
式中:fsw (tye) 为UCC28019的振荡频率;IRIPPLE为输出纹波电流;Vout为最大输出电压。实际绕制储能电感为108 μH。
2.2.4 输入滤波电容的参数计算
根据Boost电路的工作特点, 输入电容的作用为滤除由储能电感、整流电路产生的高次谐波, 则有:
式中:fsw为UCC28019的振荡频率;Vin_RIPPLE (max) 输入纹波电压;IRIPPLE为输入峰值电流。实际输入电容采用2.2 μF。
2.2.5 输出电容的参数计算
考虑到输出直流电压纹波等, 滤波电容计算如下:
式中:Pout为最大输出功率, Vout为最大输出直流电压, Vout_HOLDUP (min) 为最低输出直流电压, tHOLD为交流电的周期。实际输出电容采用8 000 μF。
2.3 其他器件参数计算
2.3.1 电流取样电阻的参数计算
输入电流检测信号送到UCC28019的ISENSE脚, 其内部最低门槛电压为0.66 V, 而软过流保护要求在最大峰值电流的125%, 则取样电阻计算:
实际采用康铜丝作采样电阻, 实际取值0.055 Ω, 略小于理论计算阻值。
2.3.2 UCC28019其他外围器件参数的计算
UCC28019其他外围器件参数的计算如下:
实际采用1 000 pF, 其他器件选用如下:
其主电路电路图如图3所示。
2.4 保护电路的设计与辅助电源的设计
2.4.1 输出过流保护电路的设计
系统采用UCC28019芯片内部的封锁功能和继电器实现过流保护。当单片机检测电路过流并控制芯片Icomp引脚的电平, 使Boost电路停止工作, 但此时电路的输出电压依然为整流后23 V左右的电压, 依然可能存在大电流, 对整个系统有很大的潜在威胁。因而, 该系统在主电路中还加入继电器保护电路, 切断主回路, 达到保护自身电路和负载的功能。
2.4.2 辅助电源的设计
辅助电源对整个系统的工作十分重要, 该系统采用三端稳压芯片设计。电路设计简单, 三端稳压构成的线性电源纹波小, 输出电压稳定, 抗干扰能力强。辅助电源输出为+12 V, ±15 V, 5 V。
2.5 数字设定及显示电路设计[6]
该系统中采用PS2键盘通过PS2协议与单片机进行串行通信, 接口简单, 易于实现。为了更好的美化显示界面, 采用控制器为RA8803的240×128带国标字库液晶显示器。液晶显示器通过并行数据总线与单片机进行通信。
3 软件设计
软件部分采用Atmel公司生产的AVR系列单片机ATmega16作为主控芯片。对硬件电路的相关参数进行测量同时参与输出电压的调节[7], 实现数控可调电压输出。对于功率因素等相关参数的测量, 采用霍尔元件感器为主要检测器件的硬件检测电路, 得到相关数据通过A/D送入单片机进行软件算法处理, 最终得到想要的数据送到液晶显示;对于实现输出电压可调, 这里通过键盘设置给定值, 经单片机输出PWM波后二次滤波转化为最终的给定模拟量, 再将模拟量送到电压环的外接器, 实现输出电压稳定可调, 见图4。
4 结果及性能分析
4.1 误差分析
在测试过程中, 测试电流失真度为4.7%, 同时发现实验室市电电压的失真度达到2%, 这直接导致所测的电流失真度偏高。另外, 地线干扰以及信号线过长所带来的干扰对整个系统都有一定的影响。
4.2 方案的优化与改进
电路工作时, 交流电经桥式整流后并不能得到很平滑的波形, 仍存在一定的误差。而UCC28019内部工作原理是:电流调节为平均电流采样模式, 跟踪电压波形的电流波形经滤波放大后与三角波比较, 所以整流后失真电压波形引起纹波误差, 这个误差将导致输出PWM波误差。若芯片在设计上能将此误差考虑在内, 设计效果会更佳。
5 结 语
本文介绍了一种高功率因数电源的设计方案, 其成本和效率和普通的开关电源差不多, 但实现了功率因数校正的功能, 使电流波形畸变小于5%和功率因数高达0.998。是一种较为理想的PWM整流方案。
摘要：构建有源功率因数校正 (APFC) 的高功率因数直流电源。该系统采用TI公司专用APFC整流控制芯片UCC28019作为控制核心, 构成电压外环和电流内环的双环控制。其中内环电流环作用是使网侧交流输入电流跟踪电网电压的波形与相位;外环电压环为输出直流电压控制环, 外环电压调节器的输出控制内环电流调节器的增益, 使输出直流电压稳定。系统采用ATmega16单片机进行监控, 完成输出电压的可调以及输入功率因数、输出电压、输出电流等的实时测量与显示和输出过流保护等功能。实测表明, 系统性能指标完全达到或超过设计要求。
关键词：APFC,直流电源,UCC28019,ATmega16
参考文献
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[2]李永建, 糜晓宇, 凌跃胜, 等.关于Boost型APFC电路最大功率因数的讨论[J].河北工业大学学报, 2007 (6) :32-36.
[3]施保华.计算机控制技术[M].武汉:华中科技大学出版社, 2007.
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[7]黄志伟.全国大学生电子设计竞赛系统设计[M].北京:北京航空航天大学出版社, 2006.
《公因数和最大公因数》这节课的内容，是在学生已经理解和掌握因数的含义、初步学会找一个数的因数、知道一个数因数的特点的基础上进行教学的。这部分内容是“数与代数”领域基础知识的重要组成部分，对于学生的后续学习和发展，具有举足轻重的作用。
二、教学目标
课标对这部分知识的要求非常明确，让学生在解决问题的过程中理解公因数和最大公因数的意义，探索找公因数的方法，会正确找出两个数的公因数与最大公因数。
本单元的教学重点：在解决实际生活问题的过程中抽象出公因数和最大公因数的意义，探索找两个数的最大公因数的方法。
难点为：能选择正确的思维方法快速地找出两个数的公因数和最大公因数。
三、学情分析
从学生在学习本部分知识之前与之相关的已有知识经验和已有生活经验两部分来进行分析：小学四年级学生对因数和找一个数的因数已经非常熟悉，本节课是这部分知识的一个延伸，有了前面的那些知识经验学生在学习本节课时就不会感到困难，这是学生获得的知识经验；本节课内容与生活实际紧密联系，利用生活中的铺瓷砖活动等课外资源来学习公因数和最大公因数，可行又具有趣味性和挑战性，学生的学习积极性会非常高。
四、教学过程
本节课采取“四步概念教学过程”：体验感受，引入概念——抽象概括，形成概念——互动操作，巩固概念——拓展延伸，发展概念。
（1）体验感受，引入概念：说反话引起学生的思考，最终归结到“公”，感受公字的意义。
（2）抽象概括，形成概念：直接引入找12和20的公因数，自主探索其中的方法，还是从学生原有的知识入手，让学生在经历、体验中加深对概念本质属性的理解，注重引导学生自主体会，忌空洞的讲解。
（3）互动操作，巩固概念：只有真正让学生的手动起来，他们的思想才能动起来，实践出真知，铺砖就是最典型的动起来的操作。
（4）拓展延伸，发展概念：就是一个概念提升的过程，通过综合性、开放性的练习，提升学生的思维能力。
五、教学设计
（一）创设问题情境，“说反话”引起学生学习的兴趣，最终归结到“公”，引起学生的思考。针对公字作文章，对应的“私”，找到了私的，公自然呈现。在ForClass系统下设计说反话的选择题，学生利用平板操作，通过对统计结果的查看，发现对“公”的探究和感性认识；紧接着通过“公”理解对这几个词语的认识“母”、“私”、“公敌”、“老鼠是庄稼和人类的公敌”；再利用几个词语加深对公的理解，词语的意思深入到学生对公字的理解上，继续让学生理解公园、公交车、公物，在反复的理解中，让学生提炼出X既是你的，也是我的，是大家公有的。为下面的“4是12和20的公因数”这句话的引入做铺垫，学生无形当中提炼出：4既是12的因数也是20的因数，让公因数概念的呈现水到渠成。
（二）让学生主动探索，经历数学概念的形成过程。让学生自主找到12和20的公因数，充分利用学生已有的知识，感知公因数，体现自主探索的方法，概念自然呈现。在？ForClass系统下让学生不仅听到而且看到，对比中进行互动。通过动手操作铺砖的过程，小组合作、交流汇报体验铺砖的过程，ForClass实时呈现学生的操作过程，利用分屏展示对比，这样把抽象的概念实际化，体验公因数的真正意义。把抽象变为具体，从学生解决问题、发现规律的过程中，有效地引导学生发现公因数的意义。最后，利用白板的互动操作，与学生一起提炼方法。
（三）尝试练习，合作探究，总结方法。体验实际生活中公因数的存在感，铺砖操作，合作探索。在实际生活中体验公因数的现实意义，铺砖这项活动，学生肯定见过，但是没有亲自实践过，因此，可以作为亮点设计，让学生自己操作，通过亲自动手铺砖去感知公因数在现实生活中的作用。只有学生自己动手了，学生的脑子才能动起来。利用ForClass平台设计学生动手操作的版块，让学生有身临其境的体验，能收到良好的教学效果。最后，学生通过发现铺砖里面的奥秘，发现生活与数学紧密的联系，发现蕴藏在生活中的数学知识，那就是“找长和宽的公因数”。
（四）巩固练习，体验成功。利用ForClass里面设计的拖拽填空，统计学生的具体答案，不但呈现及时，而且提高了教学效率。学生通过反复练习，不断地体验成功的喜悦，增强学习的兴趣和自信心，从而提高学生的综合学习能力。
六、教学反思
课标中指出，要大力开发和利用课程资源，让学生获得丰富的学习资源，这样便于学生的学习和发展。课堂上，教师与学生人手一台学习终端，教师穿行在学生中间，通过教师的终端，随时操控电子白板；学生通过学生终端参与交互活动，完成小组讨论。“ForClass知慧课堂”以课堂互动为核心，“为教师和学生创建有效互动活动机会，全面支持知识建构和智慧发展”， ForClass的这一理念受到广大师生的支持和赞同。
3、例
4、“练一练”、“练习五”的第1~5题。
目标预设：
1、理解公因数的含义，掌握求两个公因数和最大公因数的方法。
2、经历“猜测——验证”的数学学习过程，感受科学探究的一般方法，培养抽象思维能力，积累数学活动经验。
3、感受数学的奇妙，培养对数学的积极情感。
教学重点和难点：理解公因数的含义，掌握求两个数最大公因数的方法。
课程实施：
一、自主构建公因数意义
1、出示边长6厘米、边长4厘米的小正方形个若干以及一个长18厘米、宽12厘米的长方形。
猜一猜：你觉得哪一种正方形可以将这个正方形铺满。
2、组织学生同桌合作，摆放小正方形，教师要帮助学有困难的小组完成活动任务。
3、交流：边长6厘米的正方形纸可以正好铺满这个长方形。
为什么边长6厘米的正方形正好铺满这个长方形？
结合刚才的操作活动体验，学生明白：因为12÷6=2（竖排放2行），18÷6=3（横排放3列），也就是6既是12的因数，也是18的因数，所以可以正好摆满。
4、讨论：还有哪些边长是整厘米的正方形纸片也能正好铺满这个长方形？简单地解释自己推测的理由。
5、只要边长的厘米数既是12的因数，又是18的因数，就能正好铺满这个长方形吗？
6、提问：4是12和18的公因数吗？
7、通过刚才的学习，你有什么话想说吗？
二、独立探索找公因数的方法。
1、8和12的公因数有哪些？最大公因数是几？
放手让学生自己探索解决问题的方法。
2、交流：学生出现的方法：
（1）、分别写出8和12的因数，再找一找他们的公因数；
（2）、先找8的因数，再从8的因数中找12的因数；
……
交流时结合自己的方法说说这样找的理由，3、“集合圈”
我们同样也可以用集合圈表示8和12的公因数。
出示集合圈，先让学生自己填写，再说说每一部分表示的含义。
4、观察比较，感受公因数的有限性，公因数的集合圈与公倍数有什么不同的地方？为什么公因数集合圈中不需要省略号？引导学生从“因数的有限性”推想出“两个数的公因数的个数是有限的”。
5、练一练
先让学生根据要求完成。通过交流，进一步理解找两个数公因数和最大公因数的方法，感受两者的联系与区别，三．促进知识向技能的转化
1、“练习五”第1题
让学生独立完成，进一步理解集合圈的表示方法，深化对求两个数最大公因数的方法的认识。
2、“练习五”第4题
⑴先让学生自主判断第一组数，然后交流各自的方法，比较得出“利用2.3.5倍数的特征”进行判断，可以提高正确率。
⑵出示其他几组让学生选择合理的方法进行判断，同时提醒两个数的公因数可以有2.3.5中的多个，为后面学习月份积累策略。
3、“练习五”第5题
要启发学生用不同的方法找出每组数的最大公因数，提倡灵活运用各种策略快速解题，四、通过本节课的学习，你有哪些收获？
五．作业布置
“练习五”第2.3题
课后反思：
这部分内容的结构与“公倍数和最小公倍数”基本相同，结合具体的情境，引导学生通过观察、操作、分析、比较、抽象和概括等活动，探索并理解公因数、最大公因数的含义，掌握求两个数的最大公因数的方法。
1、我让学生依托动手操作，加强对比观察，沟通新旧知识的联系，优化概念引进的过程。在教学例3时，我分四步组织学生的活动。第一步，让学生“分别用边长6厘米和4厘米的正方形纸片铺长18厘米、宽12厘米的长方形”，铺前先思考：边长是多少的正方形可以铺满这个长方形？通过操作，学生都知道边长6厘米的正方形可以铺满长18厘米、宽12厘米的长方形。引导学生具体感知公因数的含义。第二步，组织讨论“还有哪些边长是整厘米数的正方形纸片也能正好铺满这个长方形”，通过思考，学生明白：“只要边长的厘米数既是12的因数，又是18的因数，就能正好铺满”这个长方形。第三步，可以先让学生说一说1、2、3和6的共同特征，再告诉学生1、2、3和6的共同特征，再告诉学生“1、2、3和6既是12的因数，又是18的因数，它们是12和18的公因数。第四步，让学生说一说4为什么不是12和18的公因数，使学生加深对公因数含义的理解，知道4是12的因数，但不是18的因数，所以4就不是12和18的公因数。通过正、反两方面的比较，优化概念的形成。
2、着眼于问题的解决，鼓励学生自主探索，逐步形成概念结构。教学例4是，我让学生先独立思考，用自己的方法找出8和12的公因数和最大的公因数。再通过交流，使学生在相互启发的过程中进一步打开思路，明确方法。由于学生已经积累了较为丰富的求两个数的最小公倍数的方法，因而这里的重点是让学生在自主探索的基础上合乎逻辑地表达自己的思考过程，并体会不同方法的内在一致性。这时，我适时引导学生建立概念结构：因数——公因数——最大公因数，并且辨析这些概念的联系与区别。此外，考虑到学生也已经初步认识了用集合图表示两个相交的集合圈，所以我让学生根据对有关概念的理解，独立把8和12的因数分别填在集合图中的合适部分，然后再看图说说各自的想法，说说每一个区域内的数分别表示什么，把静态的集合图转化成动态的探索对象，让学生加深对集合图的理解，也使集合思想的渗透落到实处。
朔州市怀仁县吴家窑寄宿制小学校
王存祥 教材内容：
《因数和倍数》是人教版小学数学五年级下册第二单元中的第一课时 教学目标：
1、从操作活动中理解因数和倍数的意义，会判断一个数是不是另一个数的因数或倍数，知道因数、倍数的相互依存关系。
2、培养学生抽象、概括的能力，渗透事物之间相互联系、相互依存的辩证唯物主义的观点。
3、培养学生的合作意识、探索意识，以及热爱数学学习的情感。教学重点
理解因数、倍数概念模型内涵，掌握找一个数因数的方法。教学难点
理解因数、倍数的相互依存的关系。教学过程
一、创设情境，引入新课
师：人与人之间存在着许多种关系，你们和爸爸（妈妈）的关系是„„？
生：父子（父母、母子、母女）关系。
师：我和你们的关系是„„？
生：师生关系。
师：对，我是你们的老师，你们是我的学生，我们的关系是师生关系。在数学中，数与数之间也存在着多种关系，这一节课，我们一起探讨两数之间的因数与倍数关系。（板书课题：因数与倍数）
二、探究新知
（一）学习因数和倍数的概念
1、出示主题图，让学生各列一道乘法算式。
2、师：看你能不能读懂下面的算式？
出示：因为2×6=12 所以12÷2=6，12÷6=2 因此2是12的因数，6也是12的因数； 12是2的倍数，12也是6的倍数。
3、师：你能不能用同样的方法说说另一道算式？
（指名生说一说）
4、师：你有没有明白因数和倍数的关系了？
那你还能找出12的其他因数吗？
现在，请同学们小组合作小结一下因数和倍数的概念。（小组合作探索，教师引导）最后让一名学生代表在黑板上写出：如果数a能被数b整除，a就是b的倍数，b就是a的因数。
（二）、学习求一个的因数或倍数的方法。
A、找因数：
1、出示例1：18的因数有哪几个？
从12的因数可以看得出，一个数的因数还不止一个，那我们一起找找看18的因数有哪些？ 学生尝试完成：汇报
（18的因数有： 1，2，3，6，9，18）
师：说说看你是怎么找的？（生：用整除的方法，18÷1＝18，18÷2＝9，18÷3＝6，18÷4＝„；用乘法一对一对找，如1×18＝18，2×9＝18„）
师：18的因数中，最小的是几？最大的是几？我们在写的时候一般都是从小到大排列的。
2、用这样的方法，请你再找一找36的因数有那些？
汇报36的因数有： 1，2，3，4，6，9，12，18，36
师：你是怎么找的？
老师举错例（1，2，3，4，6，6，9，12，18，36）后提问：这样写可以吗？为什么？
指名回答（不可以，因为重复的因数只要写一个就可以了，所以不需要写两个6）
仔细看看，36的因数中，最小的是几，最大的是几？
看来，任何一个数的因数，最小的一定是（），而最大的一定是（）。
3、你还想找哪个数的因数？（18、5、42„„）请你选择其中的一个在自练本上写一写，然后汇报。
4、其实写一个数的因数除了这样写以外，还可以用集合表示。
小结：我们找了这么多数的因数，你觉得怎样找才不容易漏掉？
从自然数1找起，也就是从最小的因数找起，一直找到它的本身，找的过程中一对一对找，写的时候从小到大写。
B、找倍数：
1、我们一起找到了18的因数，那2的倍数你能找出来吗？ 汇报：2、4、6、8、10、16、„„
师：为什么找不完? 你是怎么找到这些倍数的?
(生：只要用2去乘
1、乘
2、乘
3、乘
4、„)那么2的倍数最小是几?最大的你能找到吗?
2、让学生完成做一做1、2小题：找3和5的倍数。
汇报
3的倍数有：3，6，9，12
改写成：3的倍数有：3，6，9，12，„„
你是怎么找的？（用3分别乘以1，2，3，„„倍）
5的倍数有：5，10，15，20，„„
师：通过上面的学习，我们知道一个数的因数的个数是有限的，那么一个数的倍数的个数是怎么样的呢？同学们能回答吗？
生答：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
投影出示：
1、说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。
36和9
28和4
7和49
5和40
72和8
10和4
2、判断。
（1）3是因数，9是倍数。（）
（2）8是16的因数。（）
（3）4.2是0.6的倍数。（）
（4）15的因数有3和5两个。（）
（5）13的因数只有1和13。（）
（6）在1~40的数中，36是4的最大倍数。（）
3、游戏。（学生拿出老师发给的学号卡片）规则：老师说一个数，同学们看自己卡片上的数是否符合下面的条件，符合的请举起自己的卡片，其他同学互相评判。①老师：4，谁是我的倍数？我是你们的什么数？
②老师：18，我找我的因数。③老师：请1~8号的学生举起卡片，让6号同学指出自己的因数。④1，我是谁的因数？
三、课堂小结
我们一起来回忆一下，这节课我们重点研究了一个什么问题？你有什么收获呢？
板书设计：
因数与倍数
如果数a能被数b整除，a就是b的倍数，b就是a的因数。
一个数因数的个数是有限的，最小的因数是1最大的因数是它本身。
一个数倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
教学反思:
1、教材上，探究因数这部分的例题比较少，只有一个：找18的因数。根据学生的实际情况，我进行了重组教材，先让学生根据乘法算式“一对对”地找出15的因数，在此基础上再让学生探究18的因数。通过“质疑”：有什么办法能保证既找全又不遗漏呢？让学生思考并发现：按照一定的顺序一对对的找因数，能既找全又不遗漏。
2、采用小组合作的学习模式，激发了学生主动学习和参与的兴趣，引导学生感悟到生活中处处有数学，数学就在身边。
【课题】因数和倍数
（一）【教学内容】教材第12页 【学情与教材分析】
“因数与倍数”是义务教育课程标准实验教科书五年级下册第二单元的起始课，后面还将学习“2、5、3的倍数的特征”和“质数和合数”。本单元的内容是在学生学过整数的计数和整数四则运算计算的基础上进行教学的，它是今后学习约分、通分、分数运算的基础。由于内容比较抽象，学生理解和掌握概念有一定困难，因此，在教学时借助了学生熟悉的乘法算式、除法算式和生活实际等具体事例，帮助学生建立“因数与倍数”这一基础概念。【教学目标】
1、理解因数和倍数的概念，为求一个数的因数、倍数打基础。
2、在数形结合的基础上，通过实践、观察、比较、探究等活动，培养抽象概括能力和运用知识解决问题的能力。
3、理解、感悟事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点，体验数学学习的快乐，获得积极的情感体验。
教学重点：掌握找一个数的因数和倍数的方法。教学难点：能熟练地找一个数的因数和倍数。【教学准备】课件、练习纸 【教学过程】
一、在观察、思考中建立概念
1、谈话：
师：我们都知道数学知识主要包括两类，一类是数，一类是图形，它们之间其实有着非常密切的联系，这节课我们就在“图形”的基础上来研究“因数与倍数”。
师：请看大屏幕，一个长方形，它的面积是12平方厘米，如果长和宽都是整数，请你猜一猜长和宽可能各是多少厘米？（学生猜测）
师：如果用边长是1厘米的小正方形，把这个长方形摆出来，想一想每排要摆几个这样的正方形？要摆这样的几排？
课件演示摆法，用算式表示长方形的面积？
2、师：下面我们就用刚才的长和宽来研究“因数与倍数”，就2×6=12来说吧，我们就说2是12的因数，6也是12的因数；反过来说，12是2的倍数，12也是6的倍数。
师：你能说说3×4=12这个算式中，谁是谁的因数，谁是谁的倍数吗？（指明学生回答）师：再从12×1=12中找一找，谁是谁的因数，谁是谁的倍数？说给同位听！师：谁能说出12的全部因数？
二、在运用中深化概念
1、在0、3、4、7、15、16、77、3.1中，选择两个数，说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数？
师：为什么没有人选0和3.1？其实是有道理的，为了方便，我们在研究因数和倍数的时候，我们所说的都是自然数，不包括0和小数。
2、游戏：抢桃子
游戏规则：桃子上如果出现的是24的倍数，女生就大声喊“女生要”！如果出现的是24的因数，男生就大声喊“男生要”！
准备开始：6、3、48、4、24、8、1、12、72、2
3、生活中的因数和倍数。
如北京故宫的角楼，相传角楼内有9梁、18柱、72条脊。那么9、18和72之间有没有因数和倍数关系呢？
4、师：一年级一班有30名同学要去春游，老师决定分成几个小组进行活动，如果每组的人数都相同可以怎样分组呢？
5、解决问题：有这样一种砖，可以横放，也可以竖放。如果横放，它的长是8厘米，宽是5厘米。如果竖放，它的长是5厘米，高是8厘米，横放的砖矮，那么我们继续往上摞，什么时候这两摞砖就一样高了呢？
6、介绍完全数知识http://baike.baidu.com/view/19074.htm
7、介绍相亲数的知识http://baike.baidu.com/view/1233180.htm#2
三、全课总结 你今天有什么收获？
四、当堂检测
１、25的因数有（），它的最小倍数是（）。
2、一个数的最大因数和它的最小倍数之间的关系是（）。3、9的因素有（），从小到大写出9的5个倍数分别是（）。4、50以内8的倍数有（）。
1.从具体实例中理解因数和倍数的意义, 掌握“求一个数的因数”的方法。
2.经历“求一个数的因数”的过程, 归纳出“求一个数的因数”的特点, 体现从具体到抽象的推理过程。
3.培养学生抽象、概括的能力, 渗透事物之间相互联系、相互依存的辩证唯物主义观点。
【教学流程】
活动一:自学课本
师:什么是因数?什么是倍数?自学课本, 仔细看图, 认真读书, 边读边想。
(全班展示交流“12的因数和倍数”)
生1:因为2×6=12, 所以2和6是12的因数, 12是2的倍数, 也是6的倍数。
生2:因为3×4=12, 所以3和4也是12的因数, 12是3和4的倍数。
生3:因为1×12=12, 所以1和12也是12的因数, 12是1和12的倍数。
生4:12的因数有1、2、3、4、6、12。
生5:12是1、2、3、4、6、12的倍数。
生6:为了方便, 在研究因数和倍数的时候, 我们所说的数指的是整数, 一般不包括0。
活动二:尝试练习
师:18的因数有哪几个?独立思考, 18可以由哪两个整数相乘得到?
(小组讨论, 全班交流分享)
生1:因为2×9=18, 所以2和9是18的因数, 18是2的倍数, 也是9的倍数。
生2:因为3×6=18, 所以3和6也是18的因数, 18是3和6的倍数。
生3:因为1×18=18, 所以1和18也是18的因数, 18是1和18的倍数。
生4:18的因数有1、2、3、6、9、18。
生5:18是1、2、3、6、9、18的倍数。
生6:18的因数还可以表示为1、2、3和6、9、18。
活动三:巩固练习
师:30的因数有哪些?36呢?
师:独立思考30和36可以分别由哪些整数相乘得到?分别写出30和36的所有因数, 在观察中你发现了什么?
(全班交流分享)
生1:因为1×30=30、2×15=30、3×10=30、5×6=30, 所以30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30。
生2:因为1×36=36、2×18=36、3×12=36、4×9=36、6×6=36, 所以36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。
【教学反思】
义务教育课程标准实验教科书人教版数学五年级下册第12～13页。
【课例目标】
1.从具体实例中理解因数和倍数的意义，掌握求一个数的因数的方法；
2.经历求一个数的因数的过程，归纳出一个数的因数的特点，体现从具体到抽象的推理过程；
3.培养学生抽象、概括的能力，渗透事物之间相互联系、相互依存的辩证唯物主义观点。
【课例主要流程】
活动一：自学课本
问题：什么是因数？什么是倍数？
要求：1.自学课本第12页，仔细看图，认真读书，边读边想。
2.头脑风暴：什么是因数？什么是倍数？
3.全班展示交流。
组1：因为2×6=12，所以2和6是12的因数，12是2的倍数，也是6的倍数。
组2：因为3×4=12，所以3和4也是12的因数，12是3和4的倍数。
组3：因为1×12=12，所以1和12也是12的因数，12是1和12的倍数。
组4：12的因数有1，2，3，4，6，12。
组5：12是1，2，3，4，6，12的倍数。
组6：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数。（一般不包括0）
活动二：尝试练习
问题：18的因数有哪几个？
要求：1.打开课本第13页，独立思考：18可以由哪两个整数相乘得到？
2.小组讨论：18的因数有哪几个？把它们填在13页课本上。
3.全班交流分享。
组1：因为2×9=18，所以2和9是18的因数，18是2的倍数，也是9的倍数。
组2：因为3×6=18，所以3和6也是18的因数，18是3和6的倍数。
组3：因为1×18=18，所以1和18也是18的因数，18是1和18的倍数。
组4：18的因数有1，2，3，6，9，18。
组5：12是1，2，3，6，9，18的倍数。
组6：18的因数还可以这样表示：
18的因数■
活动三：巩固练习
问题：30的因数有哪些？36呢？
要求：1.独立思考：30和36可以分别由哪些整数相乘得到？
2.分别写出30和36的所有因数，观察，你发现了什么？
3.全班交流分享。
组1：因为：1×30=30，2×15=30，3×10=30，5×6=30，所以30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30。
组2：因为：1×36=36，2×18=36，3×12=36，4×9=36，6×6=36。
所以36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36。
组3：观察30的因数和36的因数，我们发现：一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。一个数的因数的个数是有限的。
【课例简析】
本案例用三个小组合作学习活动顺利实现了预设的目标，主要是提交给小组讨论的三个关键问题：什么是因数？什么是倍数？18的因数有哪几个？和30的因数有哪些？36呢？充分体现了学生学习内容的关键点，具有开放性和思考讨论的价值，而且环环相扣，循序渐进，由易到难，学生通过自学课本、独立思考、小组讨论、交流展示、成果分享，经历因数和倍数概念的探究过程。从实际教学来看，关键问题的设计科学、合理，能突出学生学习的重点，问题表述准确、清楚，并能激发学生的学习兴趣，引发学生的思考，引导学生积极参与，引领学生主动探究，从而打造出高效的数学课堂。
“学起于思，思源于疑。”提問是课堂教学的重要环节，是发挥教师主导作用、凸显学生主体地位的重要手段。善教者，必善问，只有抓住教学重点在知识的关键处设问，用有效的问题启迪学生的思维，激发学生探究的兴趣，增强学生的主动参与意识，引领学生积极思考、动手实践、自主探索、合作交流，发展他们自觉发现、分析、解决问题的能力及自主获取知识的能力，才能打造精彩的、高效的数学课堂。
（作者单位 云南省楚雄市苍岭镇中心小学）
教学目标：
1、理解和掌握因数和倍数的概念，认识他们之间的联系和区别。
2、学会求一个数的因数或倍数的方法，能够熟练的求出一个数的因数或倍数。
3、知道一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。教学重难点：掌握找一个数的因数和倍数的方法；理解和掌握因数和倍数的概念。教学准备:课件,正方形纸片 教学过程：
一、智力竞猜，引入新课
师：这是老师国庆外出游玩拍摄的一张图片，秋高气爽的季节，公园里许多人在划船。看到这里，我想到一个脑筋急转弯：一条船上有两个父亲两个儿子，但总共只有3个人，这是怎么回事呢?(局部同学能猜出三个人分别是爷爷、爸爸、和孙子)师：同学们脑筋转的很快，一下就解决了这个问题。这三个人分别是爷爷、爸爸、和孙子。爷爷、爸爸、孙子的名字分别是韩广发、韩有才、韩韩。请同学以韩有才为中心介绍—下三个人的关系。（同学可能会说出“韩有才是爸爸”，“韩有才是儿子”的语句，这时引导同学说出“谁是谁的爸爸”“谁是谁的儿子”。）
师：上述“父子关系”是一种互相依存的关系，在表述时一定要完整。在生活中除了父子关系是相互依存关系之外，还有例如师生关系，同桌关系等都是相互依存的关系。在数学王国里，在整数乘法中也存在着这样相互依存的关系，这节课，我们一起探讨两数之间的倍数与因数关系。（板书课题：倍数与因数）
二、探究新知(一)认一认
1、师：请同学们拿出课前准备的12个同样大小的正方形，试一试能摆出几个不同的长方形，并在老师准备的草稿纸上写下相应的乘除法算式。
生独立思考，请学生汇报不同的摆法以及相应的乘除法算式。
师总结并用课件展示出学生的摆法。（向学生说明：假如一个图形经过旋转后和另一个图形一样，我们就认为这两个图形是一样的，让学生将重复的图形和算式去掉。）
2、师：好的，那现在我们一起看乘法算式3×4=12。在这个算式中3和4都是什么数？（乘数）这些乘数与积有什么关系呢？（1）师引导学生理解乘数与积的关系。
（12是3的4倍，12是4的3倍。）
师引出因数与倍数：因为3x4=12，所以12是4的倍数，12也是3的倍数，4是12的因数，3也是12的因数。或者说12是3和4的倍数，3和4是12的因数。也就是说：在整数乘法：乘数X乘数=积 中，积是两个乘数的倍数，两个乘数是积的因数。
2.课件出示书本第31页例图：运动会上两个班同学分别排出下面两种队形，算一算两班各有多少人？
让学生先观察，再算一算两班各有多少人。学生列式计算，汇报。
追问：你能说出哪个数的是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数吗？
学生在小组内交流。教师巡视指导学困生。
学生汇报。
教师小结：为了方便，我们在研究因数与倍数时，我们所说的数是整数，一般不包括0.特别要注意的是，我们在说倍数和因数时通常是说“（）是（）的倍数”或者说“（）是（）的因数”，所以倍数和因数是相互依存的，不能单独存在。
（二）说一说
1、师：现在大家对倍数和因数的关系了解的怎样了呢？我们一起来看两个小练习。课件出示：25x3=75，,20x5=100.生交流汇报。
2、师：看来大家对倍数和因数的关系已经有了一定的了解了，那谁来说一道乘法算式考考大家。（指名生说一说）
3、让其他学生来说一说谁是谁的因数谁是谁的倍数。（注：可以让几位学生互相说一说。）
4、看来都难不住你们，那老师来考考你们：18÷3=6在这道算式中，谁来说说谁是谁的因数谁是谁的倍数。
（三）议一议
1、师：看来大家都是学习小能手，那能不能请各位小能手帮老师解决一个小问题？
下面哪些数是7的倍数？与同桌交流你的想法。（课件出示）7、14、17、25、77 学生先独立找一找，再与同桌交流想法。学生汇报。
2、引导学生说说自己的想法。
质疑：为什么17和25不是7的倍数？
（因为：17÷7和25÷7不能整除，它们的商是整数还有余数。）
追问：那能不能再找出7的其他倍数来呢？试一试。
学生找一找在小组内交流。
引导学生归纳出：7的倍数有7、14、21、28、35、42······
3、提问：你们是怎么找出来的？（先找7的1倍，就是7x1=7,2倍就是7x2=14,3倍就是7x3=21·····）
追问：你们能找的完吗？（不能）
师明确：一个数的倍数有无限个，最小的倍数就是它本身。
质疑：一个数的倍数有无限个，那一个数的因数的个数也是无限个吗？（不是）请你找出12的所有因数。
师：根据因数的意义我们知道，如果（）X（）=12，两个数相乘的积是12，那么这两个数都是12的因数。
生独立思考，师巡视指导，并选择有代表性的作品展示。
师：怎样找才能不重复也不遗漏呢？（从1X12=12开始，一对一对的找，并从两端写起）
大家再试试找一找15和16的因数。师小结：一个数的倍数有无限个，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。因数的个数是有限的，最大的它本身，最小是1.也就是说一个数最小的倍数是它本身，最大的因数也是它本身。
三、巩固练习
1、完成教材第32页“练一练”第1题。
学生先独立完成。师巡视指导。小组内交流说一说，学生汇报。
2、完成教材第32页“练一练”第2题。
学生在小组中直接说一说，再让学生在班上说一说。
3、完成教材第32页“练一练”第5题。
学生先找出4的倍数，再找出6的倍数。
让学生理解既是4的倍数又是6的倍数的含义。
四、课堂小结：
通过今天这节课的学习，你有什么收获？
学生汇报这节课的学习所得。
师：今天我们学习了倍数与因数，知道一个数的倍数是无限的，其中最小的是它本身，没有最大的倍数，一个数的因数的个数是有限的，最大的它本身，最小是1.五、布置作业
完成教材第32页“练一练”第3、4题。复习课本第31页。板书设计
倍数与因数
1、回顾学过的数
2、明确学习主题
二、自主学习，探究新知
1、自主学习
自学指导：阅读课本P12和P13例1
(1)2x6=12，表示的意义是什么?在这个乘法算式中，谁是谁的因数，谁是谁的倍数?
(2)想一想：什么情况下，两个不是零的自然数之间是因数(倍数)的关系?
(3)怎样找出18的全部因数?你是怎样想的?
怎样表示出18的因数?
要求：
1、独立学习
2、时间6分钟
3、全班交流
问题一：初建模型
在图式结合中构建因数、倍数的概念，并从中感受因数和倍数是相互依存的，有着互逆关系的一组概念。
问题二：深化模型
明确因数与倍数的外延，进一步认识、内化因数、倍数的内涵，从中提炼出因数、倍数模型的本质意义。
ab=c(a、b、c为非零自然数)
问题三：应用模型
①交流找一个数的因数的方法及表示方法。
②找30、36的因数。
3、议一议
(1)今天学习的因数与乘法算式中的因数一样吗?倍数与倍一样吗?
(2)通过找一个数的因数，你有什么发现?
三、检测反馈，拓展运用
四、板书设计
因数和倍数
2x6=12
2和6是12的因数。
12是2和6的倍数。
3x4=12
ab=c(a、b、c为非零自然数)
【错因分析】学生对质数、奇数的概念理解不清楚。2是质数，但它是偶数。质数与奇数是不同的概念，没有对应关系。同样，偶数与合数也没有对应关系。
【正确答案】（×）
【错例2】判断：8÷4=2，4是因数，8是倍数。（√）
【错因分析】学生没有理解倍数和因数是相互依存的。不能单纯说谁是倍数或谁是因数，而要说清谁是谁的倍数或因数。应该说4是8的因数，8是4的倍数。
【正确答案】（×）
【错例3】判断：一个数的倍数一定大于它的因数。（√）
【错因分析】学生在研究问题时，只看到一般现象，忽视了特殊现象，对倍数和因数理解得比较片面。如：8的因数有1、2、4、8，8的倍数有8、16、24……从中可看出，8即是8的倍数，也是8的因数。
【正确答案】（×）
【错例4】16的因数有1、16、2、8、4、4。
【错因分析】学生在找因数时，对因数的概念理解不清楚，出现把因数重复的现象。在找因数时，要注意因数不能重复。
【正确答案】16的因数有1、2、4、8、16。
【错例5】判断：自然数按因数的个数不同，分成了质数和合数。（√）
【错因分析】没有弄清质数和合数的含义，也没弄清自然数的分类。质数只有1和它本身两个因数，合数至少有三个因数。而1只有一个因数，它既不是质数也不是合数。自然数包括0和正整数。
【正确答案】（×）
【练一练】判断正误。
1 自然数按是否是2的倍数，分成了奇数和偶数。（ ）
2 所有的偶数都是合数。（ ）
3 2是因数，12是倍数。（ ）
4 一个数的因数一定小于它的倍数。（ ）
5 36有6个因数。（
）
