高二数学上学期复习

高二数学上学期复习

高二数学上学期复习 篇1

：同学们马上就要引来本学期的期中考试，在考试以前请大家跟着精品的小编温习高二上学期化学期中考试复习计划，希望帮助高二年级的同学们在期中考试中取得理想成绩，为期末考试打好基础!

1、制定计划：

我们应该制订一个详细的计划表，将每天要复习的各门学科的内容详细地画在一张表格上，每天给自己一定的复习任务，同时对于复习制订一定的保证措施，如果不完成任务，对自己有什么样的惩罚措施。制订复习计划，必须从自己的学习实际出发。每个人都有自己的学习特点，对于复习，我们应该根据自己的学习特点进行，如果自己在理科方面欠缺，我们在制订计划时，应该在理科方面多花点时间，在某一学科上自己的成绩还不错，我们就应该少花一点时间，争取更多的时间复习自己的弱科。

2、认真读课本：

现在的孩子大多数比较浮躁，没有读课本的习惯。其实，所有的考试都是从课本知识中发散来的，所以在复习时就必须读课本，反复的读，细节很重要，读书你一定要很仔细的阅读，最好读出声，这样子，一些细节就在不经意中记得了。读完之后，应该能够对本单元的内容有个清晰的思路，并且用自己的方式构建出一个知识框架，并且对照着框架能够复述本章节的内容。这样就可以在整体上把握书本知识。从整体上把握书本知识有利于我们对于试卷中的一些基本的题目有一个宏观的把握，对于试卷中的问答题，可以从多角度去理解和把握，这样就能够做到回答问题的严密性。

另外，期中考试不会很难，着重考基本知识以书为主，所以回答简答题时最好用书中的语言，这样子得分率比较高，老师改简答题，都是看关键字答到没有，关键的几条有没有，没有时间完整的浏览你的答案。

3、复习要讲究科学性

复习也是一门科学，复习时应该注意反复性、体系性、理解性，学会尝试回忆、学会整体安排等。

根据人脑的记忆特点，我们在复习时，不要希望能够通过一遍复习就能够掌握书本的基础知识，一般地认为，人们对于某一知识的完全掌握，至少需要六至七遍，这样，希望通过一遍复习就能够掌握书本知识是不可能的。

记忆是建立在理解的基础上的，感觉到了东西我们不能够理解它，只有理解了的东西我们才能够更深刻地感觉它。学习书本知识需要我们加以理解，比如，我们在学习化学时，我们是否思考过化学的例题为什么选四条而不选八条，这四条例题各有什么特点?具有什么典型性?它们有什么共性的东西?我们在复习时，越是思考就越能够理解书本，就越能够掌握知识。

记忆是一个复杂的过程，在复习时，不能眼睛只盯着书本，在我们看一段书后，应该抬起头来，好好思考，尝试回忆，看我们刚才看的书本的内容是否记住了，是否理解了。也可以张开嘴大声的讲给自己听，只要你能把知识点讲出来，就说明你背过了。所以，在复习的过程中，我们是脑筋动得最快的时期。

4、复习小技巧

该背的一定要背，比如说单词、短语固定搭配、语文的文学常识、易错的字词、古文翻译。答题时，字迹一定要工整，其实很多题目是主观题，你字迹工整，老师心情就好些，给的分也就高一些。最省事的复习方法是看错题(你的错题本，或者是上课时错了，用红笔改过的地方)，这样很快就可以看完，而且效果不错，唯一的缺点是，较久前的知识，会有些没复习到，在考试前，要背的、要默的一定要搞定。

5、复习注意事项：

在复习的过程中，应该注意调整我们的身体和注意休息，一般地说，我们的大脑集中于某一学科的时间不是很长的，时间一长，我们的思维就可能处于停滞的状态，所以我们应该合理地安排时间，争取在晚上复习时将所学的几门学科 都能够安排一定的时间，这样保证大脑的高效率。同时，还应该注意休息。

考试期间的复习效率很低，那时看看书就行，再搞什么别的基本上也学不进去了。考前注意保持充足的睡眠，现在很多孩子在期中考试前和期中考试中点灯熬夜，晚上不注意休息，考试没有精神，甚至睡着了，很容易的题目也没有时间做了。

高二数学上学期复习 篇2

一、选择题

1.已知M⊆{1, 2, 3, 4}, 且M∩{1, 2}={1, 2}, 则集合M的个数是 ( ) .

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

2.设集合P={3, log2a}, Q={a, b}, 若P∩Q={0}, 则P∪Q= ( ) .

(A) {3, 0} (B) {3, 0, 1}

(C) {3, 0, 2} (D) {3, 0, 1, 2}

3.设M={x|x<4}, N={x|x2<4}, 则 ( ) .

(A) M⊆N (B) N⊆M

(C) M⊆∁RN (D) N⊆∁RM

4.已知集合A={y|y=x2-1, x∈R}, B={x|y=lg (1-x) }, 则A∩B= ( ) .

(A) [-1, 1] (B) [-1, 1)

(C) (-1, 1) (D) (-∞, +∞)

5.已知E, F, G, H是空间四点, 命题甲:E, F, G, H四点不共面, 命题乙:直线EF和GH不相交, 则甲是乙的 ( ) .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(C) 充要条件

(D) 既不充分也不必要条件

6.已知全集U=R, 集合$A=\left\{1,2,3,4,5\right\},B=\{x\in \mathbf{R}|x\ge 2\}$, 则图1中阴影部分所表示的集合为 ( ) .

(A) {1} (B) {0, 1}

(C) {1, 2} (D) {0, 1, 2}

7.已知条件p:x≤1, 条件q:$\frac{1}{x}\le 1$, 则q是¬p成立的 ( ) .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(C) 充要条件

(D) 既非充分也非必要条件

8.以下有关命题的说法错误的是 ( ) .

(A) 命题“若x2-3x+2=0, 则x=1”的逆否命题为“若x≠1, 则x2-3x+2≠0”

(B) “x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件

(C) 若p∧q为假命题, 则p, q均为假命题

(D) 对于命题p:∃x∈R, 使得x2+x+1<0, 则p:∀x∈R, 则x2+x+1≥0

9.a, b为非零向量, “函数f (x) = (ax+b) 2 为偶函数”是“a⊥b”的 ( ) .

(A) 充分但不必要条件

(B) 必要但不充分条件

(C) 充要条件

(D) 既不充分也不必要条件

10.已知全集U=R, 集合$A=\{x|2{}^x>1\}‚B=\{x|\frac{1}{x-1}>0\}$, 则A∩ (∁UB) = ( ) .

(A) {x|x>1} (B) {x|0<x<1}

(C) {x|0<x≤1} (D) {x|x≤1}

11.命题“函数y=f (x) (x∈M) 是偶函数”的否定是 ( ) .

(A) ∀x∈M, f (-x) ≠f (x)

(B) ∃x∈M, f (-x) ≠f (x)

(C) ∀x∈M, f (-x) =f (x)

(D) ∃x∈M, f (-x) =f (x)

12.已知集合${\rm M}=\{(x,y)|x{}^2+y{}^2=1,x\in \mathbf{{\rm Z}},y\in \mathbf{{\rm Z}}\}‚{\rm N}=\{(x,y)|(x-1){}^2+y{}^2=1\}$, 则M∩N的元素个数为 ( ) .

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4

13.集合A={ (x, y) |y=a}, 集合B={ (x, y) |y=bx+1, b>0, b≠1}, 若集合A∩B=∅, 则实数a的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})(-\infty ,1)(\text{B})\left(-\infty ,1\right]\\ (\text{C})(1,+\infty )(\text{D})\mathbf{R}\end{array}$

14.设P, Q为两个非空实数集合, 定义集合P+Q={a+b|a∈P, b∈Q}, 若P={0, 2, 5}, Q={1, 2, 6}, 则P+Q中元素的个数为 ( ) .

(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6

15.已知N是自然数集, 常数a, b都是自然数, 集合M={x|2x-a≤0}, 集合P={x|3x-b>0}, 如果M∩P∩N={2, 3, 4}, 那么以 (a, b) 为坐标的点一共有 ( ) .

(A) 1个 (B) 6个 (C) 10个 (D) 12个

16.对于集合M, N, 定义M-N={x|x∈M且$x\notin {\rm N}\}‚{\rm M}\oplus {\rm N}=\left({\rm M}-{\rm N}\right){\displaystyle \cup \left({\rm N}-{\rm M}\right)}$.设$A=\{y|y=3{}^x,x\in \mathbf{R}\}‚B=\{y|y=-\left(x-1\right){}^2+2,x\in \mathbf{R}\}$, 则

$\begin{array}{l}A\oplus B=().\\ (\text{A})[0,2)(\text{B})(0,2]\\ (\text{C})(-\infty ,0]{\displaystyle \cup \left(2,+\infty \right)}(\text{D})\left(-\infty ,0\right){\displaystyle \cup [}2,+\infty )\end{array}$

17.在△ABC中, “sinA>sinB”是“cosA<cosB”的 ( ) .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(C) 充要条件

(D) 既不充分也不必要条件

二、填空题

18.已知命题p:∃x∈R, x2+2ax+a≤0, 则命题p的否定是;若命题p为假命题, 则实数a的取值范围是.

19.已知全集$U=\left\{-2,-1,0,1,2\right\}$, 集合$A=\left\{x|x=\frac{2}{n-1},x‚n\in \mathbf{{\rm Z}}\right\}$, 则∁UA=.

20.若x∈A, 且$\frac{1}{x}\in A$, 则称A是“伙伴关系集合”.在集合${\rm M}=\{\frac{1}{2},1,2,3\}$的所有非空子集中任选一个集合, 则该集合是“伙伴关系集合”的概率为.

21.给出下列命题:

①A=1是幂函数;

②函数f (x) =2x-log2x的零点有2个;

$③\sqrt{x-1}(x-2)\ge 0$的解集为$\left[2,+\infty \right)$;

④“x<1”是“x<2”的充分不必要条件;

⑤函数y=x3在点O (0, 0) 处的切线是x轴.

其中真命题的序号是 (写出所有正确命题的编号) .

22.当一个非空数集F满足条件“如果a, b∈F, 则a+b, a-b, a·b∈F, 并且当b≠0时, $\frac{a}{b}\in F$”时, 我们就称F为一个数域.以下四个关于数域的命题:①0是任何数域的元素;②若数域F中有非零元素, 则2011∈F;③集合${\rm P}=\left\{x|x=3k,k\in \mathbf{{\rm Z}}\right\}$是一个数域;④有理数集是一个数域.其中正确命题的序号为.

23.在实数集R中定义一种运算“*”, 具有性质:

①对任意a, b∈R, a*b=b*a;

②对任意a∈R, a*0=a;

③对任意a, b, c∈R, (a*b) *c=c* (ab) + (a*c) + (b*c) -2c.

则0*2=, 函数$f(x)=x*\frac{1}{x}(x＞0)$的最小值是.

三、解答题

24.设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0, 其中a<0, q:实数x满足x2+2x-8>0, 且¬p是¬q的必要不充分条件, 求a的取值范围.

25.设$U=\mathbf{R}‚f\left(x\right)=x{}^2+3x+2‚g\left(x\right)=x{}^2+(m+1)x+m,m\in \mathbf{R}.$

(1) 设集合$A=\left\{x|f\left(x\right)=0\right\}‚B=\left\{x|g\left(x\right)=0\right\}$.若 (∁UA) ∩B=∅, 求m的值.

(2) 设集合${\rm P}=\left\{y|y=f\left(x\right)\right\},Q=\left\{m|g\left(x\right)\text{在}\text{区}\text{间}\left[-1‚+\infty \right)\text{上}\text{是}\text{增}\text{函}\text{数}\right\}$, 求P∩Q.

26.已知集合A={-2, 0, 2}, B={-1, 1}.

(1) 若M={ (x, y) |x∈A, y∈B}, 用列举法表示集合M;

(2) 在 (1) 中集合M内随机取出一个元素 (x, y) , 求以 (x, y) 为坐标的点位于区域

内的概率.

27.设命题p:函数f (x) =x3-ax-1在区间[-1, 1]上单调递减;命题q:函数y=ln (x2+ax+1) 的值域是R.如果命题p或q为真命题, p且q为假命题, 求a的取值范围.

参考答案

1.D.由题意可得1, 2∈M, 有M={1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 3, 4}, 共4个.

2.B.由题意知, log2a=0, ∴a=1, 从而

4.B.A={y|y≥-1}, B={x|x<1}, ∴A∩B=[-1, 1) .

5.A.若E, F, G, H四点不共面, 则该四点组成一个三棱锥, ∴直线EF和GH不相交, 反之, 若直线EF和GH不相交, 当EF//GH时, E, F, G, H四点共面.

6.A.阴影部分为A的元素除去A∩B={2, 3, 4, 5}中的元素, 即$\left\{1\right\}.$

7.B.¬p:x>1, q:$\frac{1}{x}<1\iff x<0$或x>1, 故q是¬p成立的必要不充分条件.

8.C.“若p, 则q”的逆否命题为“若¬q, 则¬p”, ∴A正确.“x=1”⇒“x2-3x+2=0” (即x=1或x=2) , 而“x2-3x+2=0” /⇒“x=1”, ∴B正确.若p∧q为假命题, 说明p, q中至少有一个为假命题, ∴C错.命题“∃x, 使p”的否定为“∀x, 使¬p”, ∴D正确.

9.C.f (x) =a2x2+2a·bx+b2, 若f (x) 为偶函数, 则a·b=0⇒a⊥b, 反之也成立.

10.C.由2x>1=20, 得A={x|x>0}.由$\frac{1}{x-1}>0$, 得x-1>0, 即B={x|x>1}, ∁UB={x|x≤1}, 即A∩ (∁UB) ={x|0<x≤1}.

11.B.原命题为“∀x∈M, f (-x) =f (x) ”, 其否定为“∃x∈M, f (-x) ≠f (x) ”.

12.A.M={ (0, 1) , (0, -1) , (1, 0) , (-1, 0) }, M∩N=∅.

13.B.由A∩B=∅知, 函数y=bx+1的图象与直线y=a没有交点, ∴a≤1.

14.B.当a=0时, b=1, 2, 6, a+b=1, 2, 6;当a=2时, b=1, 2, 6, a+b=3, 4, 8;当a=5时,

, 由M∩P∩N={2, 3, 4}, 得

$\{\begin{array}{l}1\le \frac{b}{3}<2‚\\ 4\le \frac{a}{2}<5‚\end{array}\therefore \{\begin{array}{l}3\le b<6‚\\ 8\le a<10.\end{array}$

又a, b∈N, 当a=8时, b=3, 4, 5, 当a=9时, b=3, 4, 5, 共6组.

$\begin{array}{l}16.\text{C}.A=\{y|y>0\}‚B=\{y|y\le 2\}‚A-B=\{y|x>2\}‚B-A=\{x|x\le 0\}‚\\ \therefore A\oplus B=\{y|x>2\}{\displaystyle \cup \{}x|x\le 0\}=(-\infty ,0]{\displaystyle \cup (}2,+\infty ).\end{array}$

17.C.由$\frac{a}{\text{s}\text{i}\text{n}A}=\frac{b}{\text{s}\text{i}\text{n}B}$, 得sinA>sinB⇔a>b.

由$\cos A=\frac{b{}^2+c{}^2-a{}^2}{2bc}‚\cos B=\frac{a{}^2+c{}^2-b{}^2}{2ac}$,

$\begin{array}{l}\text{得}\cos A<\cos B\\ \iff \frac{b{}^2+c{}^2-a{}^2}{2bc}<\frac{a{}^2+c{}^2-b{}^2}{2ac}\\ \iff ab{}^2+ac{}^2-a{}^3<ba{}^2+bc{}^2-b{}^3\\ \iff a{}^3-b{}^3+ba{}^2+bc{}^2-ab{}^2-ac{}^2>0\\ \iff (a-b)(a+b-c)(a+b+c)>0\iff a>b.\end{array}$

于是sinA>sinB⇔cosA<cosB.

18.∀x∈R, x2+2ax+a>0, (0, 1) .

由p为假命题知, ¬p为真命题,

则Δ= (2a) 2-4a<0, ∴0<a<1.

19.{0}.由x, n∈Z, 得n-1=-2, -1, 1, 2, 即

的非空子集有24-1=15个, 其中“伙伴关系集合”有:$\{1\}‚\left\{\frac{1}{2},2\right\},\left\{\frac{1}{2},1,2\right\}$, 共3个, 所求的概率为$\frac{3}{15}=\frac{1}{5}.$

21.④⑤.A不能写成y=xα (x≠0) 的形式, ①假.y=2x与y=x2的图象有3个交点, 得函数f (x) =2x-x2的零点有3个, ②假.③的解集应为$\{x|x\ge 2$或x=1}.x<1⇒x<2, 但x<2⇒x<1, ④真.$y^{\prime }=3x{}^2‚y^{\prime }|{}_{x=0}=0$, 切线为y=0, ⑤真.

22.①②④.设a∈F, 则a-a=0∈F;若数域F中有非零元素a, 则$\frac{a}{a}=1\in F‚1+1=2\in F‚\cdots ‚2010+1=2011\in F$;3, 6∈F, 但$\frac{6}{3}=2\ne 3k$, 即2∉F;有理数加、减、乘、除还是有理数, 故有理数集是一个数域.

$\begin{array}{l}23.2,3.0*2=2*0=2.\\ f(x)=x*\frac{1}{x}=(x*\frac{1}{x})*0=0*(x\cdot \frac{1}{x})+(x*0)+(\frac{1}{x}*0)-2\times 0=0*1+x+\frac{1}{x}=1*0+x+\frac{1}{x}=1+x+\frac{1}{x}\ge 3.\end{array}$

$\begin{array}{l}24.\text{解}:\text{设}A=\left\{x|x{}^2-4ax+3a{}^2<0,a<0\right\}\\ =\left\{x|3a<x<a,a<0\right\}‚B=\left\{x|x{}^2+2x-8>0\right\}\\ =\left\{x|x<-4\text{或}x>2\right\}‚\end{array}$

∵¬p是¬q的必要不充分条件,

∴q是p的必要不充分条件,

∴A⊂≠B, 于是a≤-4或3a≥2,

即a≤-4或$a\ge \frac{2}{3}.$

又a<0, ∴a的取值范围是 (-∞, -4].

25.解: (Ⅰ) 由题意知, $A=\left\{-1,-2\right\}$.当m=1时, $B=\left\{-1\right\}$, 此时 (∁UA) ∩B=∅, ∴m=1适合;当m≠1时, $B=\left\{-1,-m\right\}$, 又 (∁UA) ∩B=∅, ∴m=2.综上, m=1或2.

$(\mathrm{Ⅱ}){\rm P}=\left[-\frac{1}{4},+\infty \right)‚g\left(x\right)=x{}^2+(m+1)x+m=(x+\frac{m+1}{2}){}^2-\frac{(m+1){}^2}{4}+m$,

由题意知, $-\frac{m+1}{2}\le -1$, 即

$\begin{array}{l}m\ge 1‚\\ \therefore Q=\left[1,+\infty \right)‚\\ \therefore {\rm P}{\displaystyle \cap Q}=\left[1,+\infty \right).\end{array}$

26.解: (Ⅰ) 由题意知, M={ (-2, -1) , (-2, 1) , (0, -1) , (0, 1) , (2, -1) , (2, 1) }.

(Ⅱ) 区域D如图所示, 在集合M内随机取出一个元素 (x, y) , 共有 (-2, -1) , (-2, 1) , (0, -1) , (0, 1) , (2, -1) , (2, 1) , 共6种, 而位于区域D内的点有 (-2, -1) , (0, -1) , (0, 1) , (2, -1) , 共4种, ∴所求的概率$p=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$

27.解:当命题p为真时, f ′ (x) =3x2-a≤0在[-1, 1]上恒成立,

∴a≥3x2, 又当x∈[-1, 1]时, (3x2) max=3,

于是a≤3.

当命题q为真时, 由函数y=ln (x2+ax+1) 的值域为R知, x2+ax+1能取到任何的正实数, 即函数y=x2+ax+1的图象至少与x轴有1个交点,

∴Δ=a2-4≥0, 解之, 得a≤-2或a≥2.

由p或q为真命题, p且q为假命题, 得p, q必一真一假.

当p真q假时, 无解;

当p假q真时,

$\{\begin{array}{l}a<3,\\ a\le -2\text{或}a\ge 2‚\end{array}$

解之, 得a≤-2或2≤a<3.

∴a的取值范围是 (-∞, -2]∪[2, 3) .

二、函数与微积分部分 (1)

一、选择题

1.函数$y=\sqrt{2-x}+gx$的定义域是 ( ) .

(A) (0, 2] (B) (0, 2)

(C) [0, 2] (D) [1, 2]

2.已知两个函数f (x) 和g (x) 的定义域和值域都是集合$\left\{a,b,c\right\}$, 其定义如下表:

则g[f (a) ]的值为 ( ) .

(A) a (B) b

(C) c (D) 以上都不对

3.已知函数$f(x)=(\frac{1}{2})-x{}^{\frac{1}{3}}$, 那么在下列区间中含有函数f (x) 零点的是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})(0,\frac{1}{3})(\text{B})(\frac{1}{3},\frac{1}{2})\\ (\text{C})(\frac{1}{2},\frac{2}{3})(\text{D})(\frac{2}{3},1)\end{array}$

4.已知定义在 (-1, 1) 上的函数f (x) =x-sinx, 若f (a-2) +f (4-a2) <0, 则a的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})(-\infty ,-1){\displaystyle \cup (}2,+\infty )\\ (\text{B})(\sqrt{3},\sqrt{5})\\ (\text{C})(2,\sqrt{5})\\ (\text{D})(0,2)\end{array}$

5.已知函数若f (2-x2) >f (x) , 则实数x的取值范围是 ( ) .

(A) (-∞, -1) ∪ (2, +∞)

(B) (-∞, -2) ∪ (1, +∞)

(C) (-1, 2)

(D) (-2, 1)

6.在同一个坐标系中画出函数y=ax, y=sinax的部分图象, 其中a>0且a≠1, 则下列所给图象中可能正确的是 ( ) .

7.为了得到函数$y=\log {}_2\frac{x+3}{2}$的图象, 只需把函数y=log2x的图象上所有的点 ( ) .

(A) 向左平移3个单位长度, 再向上平移1个长度单位

(B) 向右平移3个单位长度, 再向上平移1个长度单位

(C) 向左平移3个单位长度, 再向下平移1个长度单位

(D) 向右平移3个单位长度, 再向下平移1个长度单位

8.已知函数f (x) =ax+x-b的零点x0∈ (k, k+1) (k∈Z) , 且常数a, b分别满足2a=3, 3b=2, 则k= ( ) .

(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

9.已知图象不间断的函数f (x) 是区间[a, b]上的单调函数, 且在区间 (a, b) 上存在零点.图1是用二分法求方程f (x) =0近似解的程序框图, 判断框内可以填写的内容有如下四个选择:

①f (a) f (m) <0; ②f (a) f (m) >0;

③f (b) f (m) <0; ④f (b) f (m) >0.

其中正确的选择是 ( ) .

(A) ①② (B) ②③

(C) ①④ (D) ③④

10.已知函数f (x+1) 是定义在R上的奇函数, 若对于任意给定的不等实数x1, x2, 不等式 (x1-x2) [f (x1) -f (x2) ]<0恒成立, 则不等式f (1-x) <0的解集为 ( ) .

(A) (1, +∞) (B) (0, +∞)

(C) (-∞, 0) (D) (-∞, 1)

11.定义一种运算:已知函数f (x) =2x⨂ (3-x) , 那么函数y=f (x+1) 的大致图象是 ( ) .

12.已知f (x) 在R上是奇函数, 且满足f (x+3) =-f (x) , 当x∈ (-3, 0) 时, f (x) =2x2, 则f (2011) 等于 ( ) .

(A) -2 (B) 2 (C) -98 (D) 98

13.当x∈[0, 2]时, 函数f (x) =ax2+4 (a-1) x-3在x=2时取得最大值, 则a的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})[-\frac{1}{2},+\infty )(\text{B})[0,+\infty )\\ (\text{C})[1,+\infty )(\text{D})[\frac{2}{3},+\infty )\end{array}$

14.右图所示的是某一容器的三视图, 现向容器中匀速注水, 容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是 ( ) .

15.已知是 (-∞, +∞) 上的增函数, 那么a的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})(1‚+\infty )(\text{B})(0‚3)\\ (\text{C})(1‚3)(\text{D})[\frac{3}{2}‚3)\end{array}$

16.已知集合M={1, 2, 3, m}, N={4, 7, n4, n2+3n}, m, n∈N, 映射f:y→3x+1是从M到N的一个函数, 则m-n的值为 ( ) .

(A) 2 (B) 3

(C) 4 (D) 5

17.若一系列函数的解析式相同, 值域相同但定义域不同, 则称这些函数为“孪生函数”.那么函数解析式为y=2x2+1, 值域为$\left\{3,19\right\}$的“孪生函数”共有 ( ) .

(A) 15个 (B) 12个

(C) 9个 (D) 8个

18.若函数f (x) = (k-1) ax-a-x (a>0, a≠1) 在R上既是奇函数, 又是减函数, 则g (x) =loga (x+k) 的图象是 ( ) .

19.已知函数f (x) =x2-2x, g (x) =ax+2 (a>0) , 若∀x1∈[-1, 2], ∃x2∈[-1, 2], 使得f (x1) = g (x2) , 则实数a的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})(0,\frac{1}{2}](\text{B})[\frac{1}{2},3]\\ (\text{C})(0,3](\text{D})[3,+\infty )\end{array}$

20.设a (0<a<1) 是给定的常数, f (x) 是R上的奇函数, 且在 (0, +∞) 上是增函数, 若$f(\frac{1}{2})=0‚f(\log {}_{a}t)＞0$, 则t的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})(0,\sqrt{a})(\text{B})(1,\frac{1}{\sqrt{a}})\\ (\text{C})(0,\frac{1}{\sqrt{a}})(\text{D})(1,\frac{1}{\sqrt{a}}){\displaystyle \cup (}0,\sqrt{a})\end{array}$

21.已知$f(x)=\ln (x{}^2+1),g(x)=(\frac{1}{2}){}^x-m$, 若∀x1∈[0, 3], ∃x2∈[1, 2], 使得f (x1) ≥g (x2) , 则实数m的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})[\frac{1}{4}‚+\infty )(\text{B})(-\infty ‚\frac{1}{4}]\\ (\text{C})[\frac{1}{2}‚+\infty )(\text{D})(-\infty ‚-\frac{1}{2}]\end{array}$

22.定义在R上的函数f (x) 满足则f (2011) 的值为 ( ) .

(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

23.已知函数f (x) 满足:①∀x, y∈R, f (x+y) =f (x) +f (y) , ②∀x>0, f (x) >0, 则 ( ) .

(A) f (x) 是偶函数且在 (0, +∞) 上单调递减

(B) f (x) 是偶函数且在 (0, +∞) 上单调递增

(C) f (x) 是奇函数且单调递减

(D) f (x) 是奇函数且单调递增

二、填空题:

24.已知函数为奇函数, 则a+b=.

25.已知定义在R上的函数f (x) 满足:f (x) ·f (x+2) =13, 若f (1) =2, 则f (2011) =.

26.已知奇函数f (x) 在 (-∞, 0) 为减函数, 且f (2) =0, 则不等式 (x-1) ·f (x-1) <0的解集为.

27.已知函数f (x) 对任意的x∈R都有f (1+x) =f (1-x) , 函数$f(x+\frac{1}{2})$是奇函数, 当0≤x≤1时, f (x) =2x-1, 则方程$f(x)=-\frac{1}{3}$在[-3, 4]内的所有根之和等于.

三、解答题

28.已知函数f (x) =|x|· (a-x) , a∈R.

(Ⅰ) 当a=4时, 画出函数f (x) 的大致图象, 并写出其单调递增区间;

(Ⅱ) 若函数f (x) 在x∈[0, 2]上是单调递减函数, 求实数a的取值范围;

(Ⅲ) 若不等式|x|· (a-x) ≤6对x∈[0, 2]恒成立, 求实数a的取值范围.

29.已知函数$f(x)=\ln \frac{x+1}{x-1}.$

(Ⅰ) 求函数的定义域, 并证明$f(x)=\ln \frac{x+1}{x-1}$在定义域上是奇函数;

(Ⅱ) 对于$x\in [2,6]‚f(x)=\ln \frac{x+1}{x-1}>\ln \frac{m}{(x-1)(7-x)}$恒成立, 求实数m的取值范围.

30.某销售商销售某品牌手机, 该品牌手机进价为每部1580元, 零售价为每部1880元.为促进销售, 拟采用买一部手机赠送一定数量礼物的方法, 且赠送礼物的价值不超过180元.统计表明:在促销期间, 礼物价值每增加15元 (礼物的价值都是15元的整数倍, 如礼物价值为30元, 可视为两次增加15元, 其余类推) , 销售量都增加11%.

(Ⅰ) 当赠送礼物的价值为30元时, 销售的总利润变为原来不赠送礼物时的多少倍?

(Ⅱ) 试问赠送礼物的价值为多少元时, 商家可获得最大利润?

31.已知函数$f(x)=\log {}_a\frac{2m-1-mx}{x+1}(a＞0,a\ne 1)$是奇函数, 定义域为区间D.

(Ⅰ) 求实数m的值, 并写出区间D;

(Ⅱ) 当a>1时, 试判断函数y=f (x) 在定义域D内的单调性, 并说明理由;

(Ⅲ) 当x∈A=[a, b]⫋D (a是底数) 时, 函数值组成的集合为[1, +∞) , 求实数a, b的值.

32.某地区的农产品A第x天$\left(1\le x\le 20\right)$的销售价格$p=50-\left|x-6\right|$ (元∕百斤) , 一农户在第x天$\left(1\le x\le 20\right)$农产品A的销售量$q=40+\left|x-8\right|$ (百斤) .

(Ⅰ) 求该农户在第7天销售农产品A的收入;

(Ⅱ) 问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大?

33.某企业投入81万元经销某产品, 经销时间共60个月, 市场调研表明, 该企业在经销这个产品期间第x个月的利润 (单位:万元) .

为了获得更多的利润, 企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中.记第x个月的利润率为$g(x)=\frac{\text{第}x\text{个}\text{月}\text{的}\text{利}\text{润}}{\text{第}x\text{个}\text{月}\text{前}\text{的}\text{资}\text{金}\text{总}\text{和}}$, 例如, $g(3)=\frac{f(3)}{81+f(1)+f(2)}.$

(Ⅰ) 求g (10) ;

(Ⅱ) 求第x个月的当月利润率;

(Ⅲ) 求该企业经销此产品期间, 哪一个月的当月利润率最大, 并求出该月的当月利润率.

参考答案

1.B.由得0<x<2.

2.C.由题中表格可知, g[f (a) ]=g (b) =c.

3.B.观察知f (x) 单调递增, $f(0)=1>0‚f(\frac{1}{2})=\sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}=\sqrt[6]{\frac{1}{8}}-\sqrt[6]{\frac{1}{4}}<0$, 零点在$(0,\frac{1}{2})$内, 又$f(\frac{1}{3})=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}-\sqrt[3]{\frac{1}{3}}>0$, 故零点在$(\frac{1}{3},\frac{1}{2})$内.

4.C.f (x) 在 (-1, 1) 上为奇函数, f′ (x) =1-cosx≥0, 当且仅当x=0时取等号, 于是f (x) 在 (-1, 1) 上单调递增, 由f (a-2) +f (4-a2) <0, 得

$\begin{array}{l}f(a-2)<-f(4-a{}^2)=f(a{}^2-4)‚\\ \therefore \{\begin{array}{l}-1<a-2‚\\ a{}^2-4<1‚\\ a-2<a{}^2-4‚\end{array}\text{解}\text{之}‚\text{得}2<a<\sqrt{5}.\end{array}$

5.D.f (x) 在 (-∞, 0]上递增, 在 (0, +∞) 也递增, 且在x=0处连续, ∴f (x) 在 (-∞, +∞) 上递增, 由f (2-x2) >f (x) , 得2-x2>x, 解之, 得-2<x<1.

6.D.由A, C中的图象得a>1, 则y=sinax周期${\rm T}=\frac{2\text{π}}{a}<2\text{π}‚\therefore \text{A},\text{C}$均错, 由B, D的图象得0<a<1, 则y=sinax周期${\rm T}=\frac{2\text{π}}{a}>2\text{π}‚\therefore \text{B}$错, 故选D.

$7.\text{C}.\because y=\log {}_2\frac{x+3}{2}=\log {}_2(x+3)-1‚\therefore$将y=log2x的图象向左平移3个单位, 再向下平移1个单位即可.

8.A.由2a=3, 3b=2, 得a>1, 0<b<1, 且a=log23, b=log32, ab=1, f (x) =ax+x-b单调递增, f (0) =1-b>0, f (-1) =a-1-1-b=-1<0,

∴x0∈ (-1, 0) , 即k=-1.

9.C.由题图所给的框图知, 当零点在 (a, m) 时, 输出的a, 零点在 (m, b) 时, 输出的a=m, 于是可填f (a) f (m) <0或f (b) f (m) >0.

10.C.由题意知, f (x) 关于点 (1, 0) 对称, 由 (x1-x2) [f (x1) -f (x2) ]<0知, x1-x2与f (x1) -f (x2) 异号, 即f (x) 为减函数, 且f (1) =0, 而f (1-x) <0=f (1) , ∴1-x>1, 即x<0.

11.B.由所给的定义得又函数g (x) =2x+x-3单调递增, 且f (1) =0, 所以当x<1时, g (x) <0, 即2x<3-x, 当x≥1时, g (x) ≥0, 即把其图象向左平移1个单位得f (x+1) 的图象.

12.A.由f (x+6) =-f (x+3) =-[-f (x) ]=f (x) , f (x) 是以6为周期的周期函数, f (2011) =f (335×6+1) =f (1) =-f (1) =-2.

13.D.当a=0时, f (x) =-4x-3在[0, 2]上递减, 不能在x=2处取得最大值;当a>0时, 二次函数f (x) 的开口方向向上, 对称轴为$x=-\frac{4(a-1)}{2a}=-2+\frac{2}{a}$, 要在x=2处取得最大值, 则$-2+\frac{2}{a}\le 1$, 解之, 得$a\ge \frac{2}{3}$;当a<0时, $x=-2+\frac{2}{a}<0$不能在x=2处取得最值, $\therefore a\ge \frac{2}{3}.$

14.B.由三视图知该容器为开口向上的圆锥, 则水面的高度h随时间t的增加, h的升高的速度越来越慢, 只有B正确.

15.D.由f (x) 在R上单调递增知, 解之, 得$\frac{3}{2}\le a<3.$

16.B.由题意可得或又m, n∈N, 解之, 得

17.C.由3=2x2+1, 得x=±1, 由19=2x2+1, 得x=±3, 要得到值域为$\left\{3,19\right\}$, 则定义域可能为{-1, -3}, {-1, 3}, {1, -3}, {1, 3}, {-1, 1, -3}, {-1, 1, 3}, {-1, -3, 3}, {1, -3, 3}, {-1, 1, -3, 3}.

18.A.由f (x) 是R上的奇函数, 则f (0) =0,

∴ (k-1) -1=0, 即k=2.

又$f(x)=a{}^x-a{}^{-x}=a{}^x-\frac{1}{a{}^x}$为减函数, ∴0<a<1, 则g (x) =loga (x+2) 的图象由y=logax的图象向左平移2个单位得到, 故选A.

19.D.当x∈[-1, 2]时, f (x) = (x-1) 2-1∈[-1, 3], 又a>0, g (x) =ax+2递增,

∴当x∈[-1, 2]时, g (x) ∈[-a+2, 2a+2].

$\begin{array}{l}\text{由}\text{题}\text{意}\text{知},[-1,3]\subseteq [-a+2,2a+2]‚\\ \therefore \{\begin{array}{l}-a+2\le -1,\\ 2a+2\ge 3,\end{array}\text{即}a\ge 3.\end{array}$

20.D.由题意可得f (x) 的图象如图所示, 由f (logat) <0, 得$-\frac{1}{2}<\log {}_{a}t<0$或$\log {}_{a}t>\frac{1}{2}$.由$-\frac{1}{2}<\log {}_{a}t<0$, 得$\log {}_a\frac{1}{\sqrt{a}}<\log {}_{a}t<\log {}_{a}1$, 而$0<a<1,\therefore 1<t<\frac{1}{\sqrt{a}}$;由$\log {}_{a}t>\frac{1}{2}$, 得$\log {}_{a}t>\log {}_a\sqrt{a}$, 则

21.A.当x∈[0, 3]时, f (x) ∈[0, ln10], 当x∈[1, 2]时, $g(x)\in [\frac{1}{4}-m,\frac{1}{2}-m]$, 由于∀x1∈[0, 3], ∃x2∈[1, 2], 使得f (x1) ≥g (x2) , 则$f(x){}_{\min }\ge g(x){}_{\min },\therefore \frac{1}{4}-m\le 0$, 即$m\ge \frac{1}{4}.$

22.由题意可得f (-1) =1, f (0) =0, f (1) =f (0) -f (-1) =-1, f (2) =f (1) -f (0) =-1, 于是f (1) , f (2) , f (3) , …依次为-1, -1, 0, 1, 1, 0, -1, -1, 0, 1, 1, 0, …其周期为6, 而2011=6×335+1, 有f (2011) =f (1) =-1.

23.D.令x=y=0, 有f (0) =f (0) +f (0) , 则f (0) =0.令y=-x, 有f (0) =f (x) +f (-x) , 即f (-x) =-f (x) , ∴f (x) 为奇函数.

设0<x1<x2, 令x2=x1+t, t>0, 则f (t) >0, 有f (x2) -f (x1) =f (x1+t) -f (x1) =f (x1) +f (t) -f (x1) =f (t) >0, ∴f (x2) >f (x1) , 即f (x) 在 (0, +∞) 上单调递增.

又f (x) 为奇函数, 且在x=0处连续不断, 故f (x) 在R上为增函数.

24.0.当x<0时, 则-x>0, ∴f (x) =x2+x, f (-x) =ax2-bx, 而

$\begin{array}{l}f(-x)=-f(x),\therefore -x{}^2-x=ax{}^2-bx,\therefore a=-1,b=1.\therefore a+b=0.\\ 25.\frac{13}{2}.f(x+4)=\frac{13}{f(x+2)}=\frac{13}{\frac{13}{f(x)}}=f(x).\\ \therefore f(2011)=f(4\times 502+3)=f(3)=\frac{13}{f(1)}=\frac{13}{2}.\end{array}$

26. (-∞, -1) ∪ (3, +∞) .由题意知, f (x) 的大致图象如图所示.

当x>1时, 有f (x-1) <0, ∴x-1>2, 即x>3;

当x<1时, 有f (x-1) >0,

这时x-1<0, 则x-1<-2, 即x<-1.

$\therefore x<-1\text{或}x>3.$

.由$f(x+\frac{1}{2})$是奇函数, 得$f(-x+\frac{1}{2})=-f(x+\frac{1}{2})$,

以$x-\frac{1}{2}$代x得f (1-x) =-f (x) ,

又f (1+x) =f (1-x) ,

于是f (x+1) =-f (x) , 则f (x+2) =f (x) ,

∴f (x) 是以2为周期的周期函数,

由f (1+x) =f (1-x) 知, f (x) 的图象关于x=1对称.

又0≤x≤1时, f (x) =2x-1, 设点P (x, y) 是f (x) 在[1, 2]上任意一点, 则点P关于x=1的对称点为P′ (2-x, y) , 有y=2 (2-x) -1=-2x+3, 即

$f(x)=\{\begin{array}{l}2x-1,0\le x\le 1,\\ -2x+3,1<x\le 2.\end{array}$

设方程$f(x)=-\frac{1}{3}$在[0, 2]的2个实根为x1, x2, 则x1与x2关于x=1对称, 则x1+x2=2.

设方程$f(x)=-\frac{1}{3}$在[-2, 0]上的2个实根为x3<x4, 在[2, 4]上的2个实根为x5<x6,

则x4+x5=2, x3+x6=2.

设x∈[-3, -2], 则x+4∈[1, 2], 有

f (x) =f (x+4) =-2 (x+4) +3=-2x-5.

令$f(x)=-2x-5=-\frac{1}{3}$, 解之, 得$x=-\frac{7}{3}.$

故所有实根之和为$2\times 3+(-\frac{7}{3})=\frac{11}{3}.$

28.解: (Ⅰ) a=4时, 的图象如图所示,

∴f (x) 的单调递增区间为[0, 2].

(Ⅱ) x∈[0, 2]时, $f(x)=x(a-x)=-x{}^2+ax=-(x-\frac{a}{2}){}^2+\frac{a{}^2}{4}$,

若函数f (x) 在x∈[0, 2]上是单调递减函数, 则$\frac{a}{2}\le 0$, 所以a≤0.

(Ⅲ) 当x=0时, 0≤6成立, 所以a∈R.

当$0＜x\le 2‚a-x\le \frac{6}{x}$, 即$a\le x+\frac{6}{x},$

只要$a\le (x+\frac{6}{x}){}_{\min }$,

设$g(x)=x+\frac{6}{x},g(x)$在$(0,\sqrt{6}]$上递减, 在$[\sqrt{6},+\infty )$上递增,

当0<x≤2时, g (x) min=g (2) =5, 所以a≤5.

综上, |x| (a-x) ≤6对x∈[0, 2]恒成立的实数a的取值范围是 (-∞, 5].

29.解: (Ⅰ) 由$\frac{x+1}{x-1}>0$, 解之, 得x<-1或x>1, 即函数的定义域为 (-∞, -1) ∪ (1, +∞) .

当x∈ (-∞, -1) ∪ (1, +∞) 时,

$\begin{array}{l}f(-x)=\ln \frac{-x+1}{-x-1}=\ln \frac{x-1}{x+1}=\ln (\frac{x+1}{x-1}){}^{-1}\\ =-\ln \frac{x+1}{x-1}=-f(x)‚\\ \therefore f(x)=\ln \frac{x+1}{x-1}\text{在}\text{定}\text{义}\text{域}\text{上}\text{是}\text{奇}\text{函}\text{数}.\end{array}$

(Ⅱ) 由x∈[2, 6]时, $f(x)=\ln \frac{x+1}{x-1}>\ln \frac{m}{(x-1)(7-x)}$恒成立,

$\begin{array}{l}\therefore \frac{x+1}{x-1}>\frac{m}{(x-1)(7-x)}>0.\\ \because x\in [2,6]‚\therefore 0<m<(x+1)(7-x)\text{在}x\in [2,6]\text{恒}\text{成}\text{立}.\end{array}$

令g (x) = (x+1) (7-x) =- (x-3) 2+16, x∈[2, 6], 由二次函数的性质可知,

x∈[2, 3]时函数单调递增, x∈[3, 6]时函数单调递减,

x∈[2, 6]时, g (x) min=g (6) =7,

∴实数m的取值范围 (0, 7) .

30.解:设该品牌手机在不赠送礼物的条件下销售量为m部,

(Ⅰ) 原来利润为 (1880-1580) m=300m元,

当赠送礼物的价值为30元时, 销售的总利润为

$(1880-1580-30)m(1+11\%){}^2=1.2321\times 270m‚$

=1.10889,

答:当赠送礼物的价值为30元时, 销售的总利润变为原来不赠送礼物时的1.1倍.

(Ⅱ) 当赠送礼物的价值为15x元时, 销售的总利润为f (x) 元, 则

f (x) = (1880-1580-15x) ·m· (1+11%) x=15m (20-x) ·1.11x, (x∈N, 且x≤12)

f (x+1) -f (x) =15m (1.09-0.11x) ·1.11x,

令f (x+1) -f (x) ≥0, 得$x\le 9\frac{10}{11}.$

∵x∈N, 且x≤12,

∴当x≤9时, f (x+1) >f (x) ;

当9<x≤12时, f (x+1) <f (x) ,

答:当赠送礼物的价值为150元时, 可以获得最大利润.

31.解: (Ⅰ) ∵y=f (x) 是奇函数,

∴对任意x∈D, 有f (x) +f (-x) =0,

即$\log {}_a\frac{2m-1-mx}{1+x}+\log {}_a\frac{2m-1+mx}{1-x}=0$,

化简此式, 得 (m2-1) x2- (2m-1) 2+1=0.

又方程有无穷多解 (D是区间) ,

$\begin{array}{l}\therefore \{\begin{array}{l}m{}^2-1=0,\\ (2m-1){}^2-1=0.\end{array}\text{解}\text{之}‚\text{得}m=1‚\\ \therefore f(x)=\log {}_a\frac{1-x}{1+x},D=(-1,1).\end{array}$

(Ⅱ) 当a>1时, 函数$f(x)=\log {}_a\frac{1-x}{1+x}$在D= (-1, 1) 上是单调减函数.

理由:令$t=\frac{1-x}{1+x}=-1+\frac{2}{1+x}.$

易知1+x在D= (-1, 1) 上是随x增大而增大, $\frac{2}{1+x}$在D= (-1, 1) 上是随x增大而减小,

故$t=\frac{1-x}{1+x}=-1+\frac{2}{1+x}$在D= (-1, 1) 上是随x增大而减小,

于是, 当a>1时, 函数$f(x)=\log {}_a\frac{1-x}{1+x}$在D= (-1, 1) 上是单调减函数.

(Ⅲ) ∵A=[a, b) ⊂≠D, ∴0<a<1, a<b≤1,

∴依据 (Ⅱ) , 当0<a<1时, 函数$f(x)=\log {}_a\frac{1-x}{1+x}$在A上是增函数, 即$f(a)=1,\log {}_a\frac{1-a}{1+a}=1$, 解之, 得$a=\sqrt{2}-1$ (舍去$a=-\sqrt{2}-1)$, 若b<1, 则f (x) 在A上的函数值组成的集合为$[1,\log {}_a\frac{1-b}{1+b})$, 不满足函数值组成的集合是[1, +∞) 的要求, ∴必有b=1.

因此, 所求实数a, b的值是$a=\sqrt{2}-1‚b=1.$

32.解: (Ⅰ) 由已知第7天的销售价格p=49, 销售量q=41. ∴第7天的销售收入W7=49×41=2009 (元) .

(Ⅱ) 设第x天的销售收入为Wx,

则

$W{}_x=\{\begin{array}{l}(44+x)(48-x)‚1\le x\le 6\\ 2009‚x=7‚\\ (56-x)(32+x)‚8\le x\le 20.\end{array}$

当1≤x≤6时, $W{}_x=(44+x)(48-x)\le [\frac{(44+x)+(48-x)}{2}]{}^2=2116$, 当且仅当x=2时取等号, ∴当x=2时取最大值W2=2116;

当8≤x≤20时, $W{}_x=(56-x)(32+x)\le [\frac{(56-x)+(32+x)}{2}]{}^2=1936$, 当且仅当x=12时取等号, ∴当x=12时取最大值W12=1936,

由于W2>W7>W12,

∴第2天该农户的销售收入最大.

答: (Ⅰ) 第7天的销售收入2009元; (Ⅱ) 第2天该农户的销售收入最大.

$\begin{array}{l}33.\text{解}:(\mathrm{Ⅰ})\text{依}\text{题}\text{意}\text{得}f(1)=f(2)=f(3)=\cdots =f(9)=f(10)=1.\\ \therefore g(10)=\frac{f(10)}{81+f(1)+f(2)+\cdots +f(9)}=\frac{1}{90}.\end{array}$

(Ⅱ) 当x=1时, $g(1)=\frac{1}{81}.$

当1<x≤20时, f (1) =f (2) =…=f (x-1) =f (x) =1.

则$g(x)=\frac{f(x)}{81+f(1)+f(2)+\cdots +f(x-1)}=\frac{1}{x+80}‚x=1$也符合上式.

故当1≤x≤20时, $g(x)=\frac{1}{x+80}$,

$\begin{array}{l}\text{当}21\le x\le 60\text{时}‚g(x)=\\ \frac{f(x)}{81+f(1)+f(2)+\cdots +f(21)+\cdots +f(x-1)}\\ =\frac{\frac{1}{10}x}{81+20+f(21)+\cdots +f(x-1)}\\ =\frac{\frac{1}{10}x}{101+\frac{(x-21)(x+20)}{20}}=\frac{2x}{x{}^2-x+1600},\end{array}$

所以第x个月的当月利润率为

$g(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{x+80},1\le x\le 20‚\\ \frac{2x}{x{}^2-x+1600},21\le x\le 60.\end{array}$

(Ⅲ) 当1≤x≤20时, $g(x)=\frac{1}{x+80}$是减函数, 此时g (x) 的最大值为$g(1)=\frac{1}{81}$,

当21≤x≤60时, $g(x)=\frac{2x}{x{}^2-x+1600}=\frac{2}{x+\frac{1600}{x-1}}\le \frac{2}{79}$, 当且仅当$x=\frac{1600}{x}$,

即x=40时, g (x) 有最大值$\frac{2}{79}.$

因为$\frac{2}{79}＞\frac{1}{81}$, 所以, 当x=40时,

g (x) 有最大值$\frac{2}{79}.$

答:该企业经销此产品期间, 第40个月的当月利润率最大, 其当月利润率为$\frac{2}{79}.$

三、函数与微积分部分 (2)

一、选择题

1.已知函数f (x) 的导函数为f′ (x) , 且满足f (x) =2xf′ (1) +lnx, 则f′ (1) = ( ) .

(A) -e (B) -1 (C) 1 (D) e

2.直线l为曲线$y=\frac{1}{3}x{}^3-x{}^2+2x+1$的切线, 则l的斜率的取值范围是 ( ) .

(A) (-∞, 1]

(B) [-1, 0]

(C) [0, 1]

(D) [1, +∞)

3.从如图1所示的正方形OABC区域内任取一个点M (x, y) , 则点M取自阴影部分的概率为 ( ) .

$(\text{A})\frac{1}{2}(\text{B})\frac{1}{3}(\text{C})\frac{1}{4}(\text{D})\frac{1}{6}$

4.设函数f (x) 在定义域内可导, y=f (x) 的图象如图2所示, 则导函数y=f′ (x) 的图象可能为 ( ) .

5.下列图象中, 有一个是函数$f(x)=\frac{1}{3}x{}^3+ax{}^2+(a{}^2-1)x+1(a\in \mathbf{R},a\ne 0)$的导数f′ (x) 的图象, 则f (-1) 的值为 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})\frac{1}{3}(\text{B})-\frac{1}{3}\\ (\text{C})\frac{7}{3}(\text{D})-\frac{1}{3}\text{或}\frac{5}{3}\end{array}$

6.若曲线y=x2+ax+b在点 (0, b) 处的切线方程是x-y+1=0, 则 ( ) .

(A) a=-1, b=1 (B) a=-1, b=-1

(C) a=1, b=-1 (D) a=1, b=1

7.已知函数f (x) =x3+ax与g (x) =2x2+b的图象在x=1处有相同的切线, 则a+b= ( ) .

(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

8.函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})\frac{1}{2}(\text{B})1\\ (\text{C})2(\text{D})\frac{3}{2}\end{array}$

9.已知函数f (x) =x2-cosx, 则f (-0.5) , f (0) , f (0.6) 的大小关系是 ( ) .

(A) f (0) <f (-0.5) <f (0.6)

(B) f (-0.5) <f (0.6) <f (0)

(C) f (0) <f (0.6) <f (-0.5)

(D) f (-0.5) <f (0) <f (0.6)

10.若a=∫${}_0^1$xdx, b=∫${}_0^1$$\sqrt{1-x}dx,c=$∫${}_0^1$$\sqrt{1-x{}^2}dx$, 则a, b, c的大小关系是 ( ) .

(A) a<b<c (B) a<c<b

(C) b<a<c (D) c<b<a

11.已知α, β是三次函数$f(x)=\frac{1}{3}x{}^3+\frac{1}{2}ax{}^2+2bx$的两个极值点, 且α∈ (0, 1) , β∈ (1, 2) , 则$\frac{b-2}{a-1}$的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})(\frac{1}{4},1)(\text{B})(\frac{1}{2},1)\\ (\text{C})(-\frac{1}{2},\frac{1}{4})(\text{D})(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})\end{array}$

12.定义在R上的函数f (x) 满足f (4) =1, f′ (x) 为f (x) 的导函数, 已知y=f′ (x) 的图象如图2所示, 若两个正数a, b满足f (2a+b) <1, 则$\frac{b+1}{a+1}$的取值范围是 ( ) .

13.函数的零点个数为 ( ) .

(A) 4 (B) 3

(C) 2 (D) 无数个

14.定义在R上的函数f (x) 满足 (x+2) f′ (x) <0 (其中f′ (x) 是函数f (x) 的导数) , 又$a=f(\log {}_{\frac{1}{3}}3),b=f[(\frac{1}{3}){}^{0.1}],c=f(\ln 3)$, 则 ( ) .

(A) a<b<c (B) b<c<a

(C) c<a<b (D) c<b<a

15.已知非零向量a, b满足$|\mathit{a}|=\sqrt{3}|\mathit{b}|$, 若函数$f(x)=\frac{1}{3}x{}^3+|\mathit{a}|x{}^2+2\mathit{a}\cdot \mathit{b}x+1$在R上有极值, 则〈a, b〉的取值范围是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})[0,\frac{\text{π}}{6}](\text{B})\left(0,\frac{\text{π}}{3}\right]\\ (\text{C})\left(\frac{\text{π}}{6},\frac{\text{π}}{2}\right](\text{D})\left(\frac{\text{π}}{6},\text{π}\right]\end{array}$

二、填空题

16.已知函数f (x) =xex, 则f′ (x) =___, 函数f (x) 图象在点 (0, f (0) ) 处的切线方程为___.

17.曲线y=3-3x2与x轴所围成的图形面积为___.

18.若x∈[0, 2π], 则函数y=sinx-xcosx的单调递增区间是___.

19.已知函数f′ (x) , g′ (x) 分别是二次函数f (x) 和三次函数g (x) 的导函数, 它们在同一坐标系下的图象如图3所示:

①若f (1) =1, 则f (-1) =___;

②设函数h (x) =f (x) -g (x) , 则h (-1) , h (0) , h (1) 的大小关系为___ (用“<”连接) .

三、解答题

20.已知函数f (x) =ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值, 且在x=0处的切线的斜率为-3.

(Ⅰ) 求f (x) 的解析式;

(Ⅱ) 若过点A (2, m) 可作曲线y=f (x) 的三条切线, 求实数m的取值范围.

21.某公司生产陶瓷, 根据历年的情况可知, 生产陶瓷每天的固定成本为14000元, 每生产一件产品, 成本增加210元.已知该产品的日销售量f (x) 与产量x之间的关系式为

$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{625}x{}^2,0\le x\le 400‚\\ 256,x＞400,\end{array}$

每件产品的售价g (x) 与产量x之间的关系式为

$g(x)=\{\begin{array}{l}-\frac{5}{8}x+750,0\le x\le 400‚\\ 500,x＞400.\end{array}$

(Ⅰ) 写出该陶瓷厂的日销售利润Q (x) 与产量x之间的关系式;

(Ⅱ) 若要使得日销售利润最大, 每天该生产多少件产品, 并求出最大利润.

22.设函数f (x) =ex, 其中e为自然对数的底数.

(Ⅰ) 求函数g (x) =f (x) -ex的单调区间;

(Ⅱ) 记曲线y=f (x) 在点P (x0, f (x0) ) (其中x0<0) 处的切线为l, l与x轴, y轴所围成的三角形面积为S, 求S的最大值.

23.已知函数f (x) =ex, 直线l的方程为y=kx+b.

(Ⅰ) 求过函数图象上的任一点P (t, f (t) ) 的切线方程;

(Ⅱ) 若直线l是曲线y=f (x) 的切线, 求证:f (x) ≥kx+b对任意x∈R成立;

(Ⅲ) 若f (x) ≥kx+b对任意x∈[0, +∞) 成立, 求实数k, b应满足的条件.

24.设函数f (x) =lnx+ (x-a) 2, a∈R.

(Ⅰ) 若a=0, 求函数f (x) 在[1, e]上的最小值;

(Ⅱ) 若函数f (x) 在$[\frac{1}{2},2]$上存在单调递增区间, 试求实数a的取值范围;

(Ⅲ) 求函数f (x) 的极值点.

25.已知函数f (x) =-cosx, g (x) =ax-π.

(Ⅰ) 若函数h (x) =g (x) -f (x) 在$x=\frac{\text{π}}{3}$时取得极值, 求h (x) 的单调递减区间;

(Ⅱ) 证明:对任意的x∈R, 都有

$\left|f^{\prime }(x)\right|\le \left|x\right|$;

(Ⅲ) 若a=2, x1∈[0, π], g (xn+1) =f (xn) ,

求证:$\left|x{}_1-\frac{\text{π}}{2}\right|+\left|x{}_2-\frac{\text{π}}{2}\right|+\cdots +\left|x{}_{n+1}-\frac{\text{π}}{2}\right|＜\text{π}(n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*}).$

26.设函数$f{}_n\left(x\right)=1-x+\frac{x{}^2}{2}-\frac{x{}^3}{3}+\cdots -\frac{x{}^{2n-1}}{2n-1}\left(n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*}\right).$

(Ⅰ) 研究函数f2 (x) 的单调性;

(Ⅱ) 判断fn (x) =0的实数解的个数, 并加以证明.

27.已知f (x) =ln (1+ex) -mx (x∈R) .

(Ⅰ) 已知对于给定区间 (a, b) , 存在x0∈ (a, b) 使得$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(x{}_0)$成立, 求证:x0唯一;

(Ⅱ) 若x1, x2∈R, x2≠x2当m=1时, 比较$f\left(\frac{x{}_1+x{}_2}{2}\right)$和$\frac{f(x{}_1)+f(x{}_2)}{2}$大小, 并说明理由;

(Ⅲ) 设A, B, C是函数f (x) =ln (1+ex) -mx (x∈R, m≥1) 图象上三个不同的点, 求证:△ABC是钝角三角形.

参考答案

$1.\text{B}.f^{\prime }(x)=2f^{\prime }(1)+\frac{1}{x}$, 令x=1, 得f′ (1) =2f′ (1) +1, ∴f′ (1) =-1.

2.D.y′=x2-2x+2= (x-1) 2+1≥1, 即l的斜率的取值范围是[1, +∞) .

3.B.阴影部分的面积S=∫${}_0^1$

∴所求的概率${\rm P}=\frac{\frac{1}{3}}{1}=\frac{1}{3}.$

本题也可由对特性求出阴影部分的面积

2∫${}_0^1$$(x-x{}^2)=\frac{1}{3}.$

4.D.由y=f (x) 的图象知, 当x<0时, f (x) 单调递增, f′ (x) >0, 导函数y=f′ (x) 的图象在x轴上方, 排除A, C, 当x>0时, f (x) 先递增, 再递减, 后递增, 有两个极值点, 只有D适合.

5.B.f′ (x) =x2+2ax+ (a2-1) =[x+ (a+1) ][x+ (a-1) ], 于是只有第三个图象可能是y=f′ (x) 的图象, 由其图象的对称轴x=-a>0, 小根-a-1=0, 解之, 得

$\begin{array}{l}a=-1‚\\ \therefore f(x)=\frac{1}{3}x{}^3-x{}^2+1‚\text{即}f(-1)=-\frac{1}{3}.\end{array}$

6.D.y′=2x+a, 由题意得$y^{\prime }|{}_{x=0}=a=1$, 而切点 (0, b) 在切线x-y+1=0上, ∴b=1, 即a=1, b=1.

7.C.f′ (x) =3x2+a, g′ (x) =4x, 由题意得f′ (1) =g′ (1) , ∴3+a=4, 即a=1, 于是f (x) =x3+x, f (1) =2, 则切点为 (1, 2) , 它在g (x) =2x2+b上, ∴2=2+b, 得b=0, ∴a+b=1.

8.D.所求的面积S=∫${}_{-1}^0$ (x+1) dx+${\displaystyle \int }{}_0^{\frac{\text{π}}{2}}$

, 当x∈[0, 1) 时, f′ (x) =2x+sinx≥0, 当且仅当x=0时取等号, ∴f (x) 在[0, 1) 上单调递增, 得f (0) <f (0.5) <f (0.6) , 又f (x) 为偶函数, 故只有A正确.

$10.\text{B}.a=(\frac{1}{2}x{}^2)|\begin{array}{l}x=1\\ x=0\end{array}=\frac{1}{2}‚b=[-\frac{3}{2}(1-x){}^{\frac{3}{2}}]|\begin{array}{l}{}^{x=1}\\ x=0\end{array}=\frac{3}{2}$

.令$y=\sqrt{1-x{}^2}$, 则x2+y2=1, 有0≤x≤1, 0≤y≤1, 于是c表示四分之一圆x2+y2=1的面积, 即

, 而α, β是方程f′ (x) =0的两实根, 且α∈ (0, 1) , β∈ (1, 2) ,

其表示的区域如图所示, $\frac{b-2}{a-1}$表示点 (a, b) 与点 (1, 2) 之间的斜率.

在1+a+2b=0中令b=0, 得a=-1, 即B (-1, 0) , 由解之, 得即$A(-3,1)‚k{}_{{\rm P}B}=1‚k{}_{{\rm P}A}=\frac{1}{4}‚\therefore \frac{b-2}{a-1}\in (\frac{1}{4},1).$

12.C.由y=f′ (x) 的图象知, 当x>0时, f′ (x) >0, f (x) 在 (0, +∞) 上递增, 又正数a, b满足f (2a+b) <1=f (4) , 得0<2a+b<4, 画出可行域如图所示, 可得A (2, 0) , B (0, 4) , 而${\rm P}(-1,-1)‚k{}_{{\rm P}A}=\frac{1}{3}‚k{}_{{\rm P}B}=5‚\therefore \frac{b+1}{a+1}\in [\frac{1}{3},5].$

13.B.当x≤0时, f′ (x) =1-sinx≥0, 当且仅当$x=2k\text{π}-\frac{3\text{π}}{2}\left(k\in \mathbf{{\rm Z}},k\le 0\right)$时取等号, 于是f (x) 在 (-∞, 0]上单调递增, 而$f\left(-\frac{\text{π}}{2}\right)=-\frac{\text{π}}{2}＜0‚f(0)=1＞0$, 故f (x) 在 (-∞, 0]上仅有1个零点.当x>0时, f′ (x) =x2-4= (x+2) (x-2) , 令f′ (x) =0得x=2或x=-2 (舍) , 当0<x<2时, f′ (x) <0, f (x) 递减, 当x>2时, f′ (x) >0, f (x) 递增, f (x) 在x=0处连续, $f(2)=\frac{8}{3}-4+1＜0‚f(10)＞0$, 故f (x) 在 (0, 2) , (2, +∞) 上各仅有1个零点, 共3个零点.

14.D.当x>-2时, x+2>0, 由 (x+2) f′ (x) <0, 得f′ (x) <0, f (x) 在 (-2, +∞) 单调递减, 而$\log {}_{\frac{1}{3}}3=-1,0＜(\frac{1}{3}){}^{0.1}＜1,\ln 3＞1$, 有a>b>c.

15.D.三次函数f (x) 在R上有极值, 则必有两个极值, 即方程f′ (x) =0有两个不相等的实根, 又f′ (x) =x2+2|a|x+2a·b, 有$\text{Δ}=(2\left|\mathit{a}\right|){}^2-4\times 2\mathit{a}\cdot \mathit{b}＞0$, 记θ=〈a, b〉, 则$\left|\mathit{a}\right|{}^2＞2\left|\mathit{a}\right|\cdot \left|\mathit{b}\right|\cos \theta$, 而$|\mathit{a}|=\sqrt{3}|\mathit{b}|‚\therefore \cos \theta ＜\frac{\sqrt{3}}{2}$.又θ∈[0, π], 则

, 则f′ (0) =1, 且f (0) =0, 切点为 (0, 0) , 切线方程为y-0=1× (x-0) , 即y=x.

17.4.由3-3x2=0, 得x=±1,

18. (0, π) (开闭均可) .y′= (sinx) ′- (xcosx) ′=cosx- (cosx-xsinx) =xsinx, 又x∈[0, 2π], 令y′>0, 得xsinx>0, 有sinx>0, ∴0<x<π.

19.①1, ②h (0) <h (1) <h (-1) .

由所给的图象得f′ (x) =x, g′ (x) =x2,

于是$f(x)=\frac{1}{2}x{}^2+a‚g(x)=\frac{1}{3}x{}^3+b$,

由f (1) =1, 得$\frac{1}{2}+a=1$, 即

$\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}‚\\ \therefore f(-1)=\frac{1}{2}(-1){}^2+\frac{1}{2}=1‚\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{而}h(x)=f(x)-g(x)=(\frac{1}{2}x{}^2+\frac{1}{2})-(\frac{1}{3}x{}^3+b)‚\\ h(-1)=\frac{4}{3}-b‚h(0)=\frac{1}{2}-b‚h(1)=\frac{2}{3}-b‚\therefore h(0)＜h(1)＜h(-1).\end{array}$

本题也可由函数及其导数的奇偶性角度考虑.由题图可知, f′ (x) 是奇函数, g′ (x) 是偶函数,

∴f (x) 是偶函数, g (x) 是奇函数,

∴f (-1) =f (1) =1.

又f′ (x) -g′ (x) =h′ (x) , 当x≤0时, h′ (x) <0,

h (x) 递减, 0≤x≤1时, h′ (x) ≥0, h (x) 递增,

∴h (x) min=h (0) .又g′ (x) ≥0, ∴g (x) 递增,

∴h (1) =f (1) -g (1) , h (-1) =f (-1) -

g (-1) =f (1) +g (1) >h (1) ,

∴h (0) <h (1) <h (-1) .

20.解: (Ⅰ) f′ (x) =3ax2+2bx+c, 依题意知,

$\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(1)=3a+2b+c=0,\\ f^{\prime }(-1)=3a-2b+c=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}b=0,\\ 3a+c=0.\end{array}$

又f′ (0) =-3, ∴c=-3, ∴a=1,

∴f (x) =x3-3x.

(Ⅱ) 设切点为 (x0, x${}_0^3$-3x0) .

∵f′ (x) =3x2-3,

∴f′ (x0) =3x${}_0^2$-3.

∴切线方程为y- (x${}_0^3$-3x0) = (3x${}_0^2$-3) (x-x0) , 又切线过点A (2, m) ,

∴m- (x${}_0^3$-3x0) = (3x${}_0^2$-3) (2-x0) ,

∴m=-2x${}_0^3$+6x${}_0^2$-6.

令g (x) =-2x3+6x2-6,

则g′ (x) =-6x2+12x=-6x (x-2) .

由g′ (x) =0, 得x=0或x=2,

g (x) 极小值=g (0) =-6, g (x) 极大值=g (2) =2,

画出草图知, 当-6<m<2时, m=-2x3+6x2-6有三解,

∴m的取值范围是 (-6, 2) .

21.解: (Ⅰ) 由题意知, 总成本为c (x) =14000+210x, 所以日销售利润

$Q(x)=f(x)g(x)-c(x)=\{\begin{array}{l}-\frac{1}{1000}x{}^3+\frac{6}{5}x{}^2-210x-14000,0\le x\le 400‚\\ -210x+114000,x＞400.\end{array}$

(Ⅱ) ①当0≤x≤400时,

$Q^{\prime }(x)=-\frac{3}{1000}x{}^2+\frac{12}{5}x-210.$

令Q′ (x) =0, 解之, 得x=100或x=700 (舍) .

于是Q (x) 在区间[0, 100]上单调递减, 在区间[100, 400]上单调递增, 所以Q (x) 在x=400时取到最大值, 且最大值为30000;

②当x>400时, Q (x) =-210x+114000<30000.

答:若要使得日销售利润最大, 每天该生产400件产品, 其最大利润为30000元.

22.解: (Ⅰ) 由已知g (x) =ex-ex,

∴g′ (x) =ex-e.

由g′ (x) =ex-e=0, 得x=1, 则在区间 (-∞, 1) 上, g′ (x) <0, 函数g (x) 在区间 (-∞, 1) 上单调递减;在区间 (1, +∞) 上, g′ (x) >0, 函数g (x) 在区间 (1, +∞) 上单调递增.

∴函数g (x) 的单调递减区间为 (-∞, 1) , 单调递增区间为 (1, +∞) .

(Ⅱ) 因为f′ (x) =ex, ∴曲线y=f (x) 在点P处切线为l:y-ex0=ex0 (x-x0) .

切线l与x轴的交点为 (x0-1, 0) , 与y轴的交点为 (0, ex0-x0ex0) .

$\begin{array}{l}\text{因}\text{为}x{}_0＜0‚\text{所}\text{以}S=\frac{1}{2}(1-x{}_0)(1-x{}_0)\text{e}{}^{x{}_0}\\ =\frac{1}{2}(1-2x{}_0+x{}_0^2)\text{e}{}^{x{}_0}‚\\ S^{\prime }=\frac{1}{2}\text{e}{}^{x{}_0}(x{}_0^2-1)\end{array}$

, 在区间 (-∞, -1) 上, 函数S (x0) 单调递增, 在区间 (-1, 0) 上, 函数S (x0) 单调递减.∴当x0=-1时, S有最大值, 此时$S=\frac{2}{\text{e}}.$

∴S的最大值为$\frac{2}{\text{e}}.$

23.解: (Ⅰ) ∵f′ (x) =ex, 记切点为T (t, et) ,

记切点为T (t, et) ,

∴切线l的方程为y-et=et (x-t) ,

即y=etx+et (1-t) .

(Ⅱ) 由

$(\mathrm{Ⅰ})\{\begin{array}{l}k=\text{e}{}^t,\\ b=\text{e}{}^t(1-t),\end{array}$

记函数F (x) =f (x) =kx-b, ∴F (x) =ex-etx-et (1-t) ,

∴F′ (x) =ex-et, 于是F (x) 在x∈ (-∞, t) 上单调递减, 在x∈ (t, +∞) 为单调递增,

故F (x) min=F (t) =et-ett-et (1-t) =0,

故F (x) =f (x) -kx-b≥0,

即f (x) 对任意x∈R成立.

(Ⅲ) 设H (x) =f (x) -kx-b=ex-kx-b, x∈[0, +∞) , ∴H′ (x) =ex-k, x∈[0, +∞) .

①当k≤1时, H′ (x) ≥0,

则H (x) 在x∈[0, +∞) 上单调递增,

∴H (x) min=H (0) =1-b≥0,

∴b≤1, 即符合题意.

②当k>1时, H (x) 在x∈[0, lnk) 上单调递减, x∈[lnk, +∞) 上单调递增,

∴H (x) min=H (lnk) =k-klnk-b≥0,

∴b≤k (1-lnk) .

综上所述, 满足题意的条件是

24.解: (Ⅰ) f (x) 的定义域为

$\begin{array}{l}(0,+\infty )‚\\ f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+2x＞0‚\end{array}$

∴f (x) 在[1, e]上是增函数, 当x=1时, f (x) 取得最小值f (1) =1.

∴f (x) 在[1, e]上的最小值为1.

$(\mathrm{Ⅱ})f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+2(x-a)=\frac{2x{}^2-2ax+1}{x}$,

设g (x) =2x2-2ax+1.

依题意, 在区间$[\frac{1}{2},2]$上存在子区间使得不等式g (x) >0成立.

注意到抛物线g (x) =2x2-2ax+1开口向上, 所以只要g (2) >0, 或$g(\frac{1}{2})＞0$即可.

由g (2) >0, 即8-4a+1>0, 得$a＜\frac{9}{4}$,

由$g(\frac{1}{2})＞0$, 即$\frac{1}{2}-a+1＞0$, 得

$\begin{array}{l}a＜\frac{3}{2}.\\ \therefore a＜\frac{9}{4}\end{array}$

, 即实数a的取值范围是

$\begin{array}{l}(-\infty ,\frac{9}{4}).\\ (\mathrm{Ⅲ})\because f^{\prime }(x)=\frac{2x{}^2-2ax+1}{x}‚\end{array}$

令h (x) =2x2-2ax+1.

①显然, 当a≤0时, 在 (0, +∞) 上h (x) >0恒成立, 这时f′ (x) >0, 此时, 函数f (x) 没有极值点.

②当a>0时,

(ⅰ) 当Δ≤0, 即$0＜a\le \sqrt{2}$时, 在 (0, +∞) 上h (x) ≥0恒成立, 这时f′ (x) ≥0, 此时, 函数f (x) 没有极值点.

(ⅱ) 当Δ>0, 即$a＞\sqrt{2}$时,

当$\frac{a-\sqrt{a{}^2-2}}{2}＜x＜\frac{a+\sqrt{a{}^2-2}}{2}$时,

易知h (x) <0, 这时f′ (x) <0;

当$0＜x＜\frac{a-\sqrt{a{}^2-2}}{2}$或$x＞\frac{a+\sqrt{a{}^2-2}}{2}$时, h (x) >0, 这时f′ (x) >0.

∴当$a＞\sqrt{2}$时, $x=\frac{a-\sqrt{a{}^2-2}}{2}$是函数f (x) 的极大值点;

$x=\frac{a+\sqrt{a{}^2-2}}{2}$是函数f (x) 的极小值点.

综上, 当$a\le \sqrt{2}$时, 函数f (x) 没有极值点;当$a＞\sqrt{2}$时, $x=\frac{a-\sqrt{a{}^2-2}}{2}$是函数f (x) 的极大值点, $x=\frac{a+\sqrt{a{}^2-2}}{2}$是函数f (x) 的极小值点.

25.解: (Ⅰ) 由f (x) =-cosx, g (x) =ax-π,

得h (x) =g (x) -f (x) =ax+cosx-π,

∴h′ (x) =a-sinx, 而h (x) 在$x=\frac{\text{π}}{3}$处取得极值, 则$h^{\prime }(\frac{\text{π}}{3})=a-\sin \frac{\text{π}}{3}=0$, 即$a=\frac{\sqrt{3}}{2}$,

于是$h^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\sin x$,

由$h^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\sin x＜0$, 得

$\sin x＞\frac{\sqrt{3}}{2}‚2k\text{π}+\frac{\text{π}}{3}＜x＜2k\text{π}+\frac{2\text{π}}{3}‚$

∴h (x) 的单调递减区间为$(2k\text{π}+\frac{\text{π}}{3},2k\text{π}+\frac{2\text{π}}{3}),k\in \mathbf{{\rm Z}}.$

(Ⅱ) 证明:可得f′ (x) =sinx, 令$m(x)=\left|x\right|-\left|\text{s}\text{i}\text{n}x\right|‚x\in \mathbf{R}$, 则m (x) 为偶函数.

①当x≥0时,

若$0\le x\le \frac{\text{π}}{2}‚m(x)=x-\sin x‚m^{\prime }(x)=1-\cos x\ge 0$, 当且仅当x=0时取等号,

∴m (x) 在$[0,\frac{\text{π}}{2}]$上单调递增,

于是m (x) ≥m (0) =0, 即sinx≤x.

若$x＞\frac{\text{π}}{2}‚\left|\text{s}\text{i}\text{n}x\right|\le 1＜\frac{\text{π}}{2}＜x$,

即当x≥0时, $\left|\text{s}\text{i}\text{n}x\right|\le \left|x\right|.$

②当x<0时, 由m (x) 为偶函数, 得m (x) =m (-x) ≥0, 即$\left|\text{s}\text{i}\text{n}x\right|\le \left|x\right|‚$

∴对任意的x∈R, 都有$\left|f^{\prime }(x)\right|\le \left|x\right|.$

(Ⅲ) 证明:∵a=2, g (xn+1) =f (xn) ,

∴2xn+1-π=-cosxn,

即$x{}_{n+1}-\frac{\text{π}}{2}=-\frac{1}{2}\cos x{}_n.$

$\begin{array}{l}\text{由}(\mathrm{Ⅱ})\text{知}‚\left|x{}_{n+1}-\frac{\text{π}}{2}\right|=\frac{1}{2}\left|\text{c}\text{o}\text{s}x{}_n\right|\\ =\frac{1}{2}\left|\sin (x{}_n-\frac{\text{π}}{2})\right|\le \frac{1}{2}\left|x{}_n-\frac{\text{π}}{2}\right|‚\\ \therefore \left|x{}_{n+1}-\frac{\text{π}}{2}\right|\le \frac{1}{2}\left|x{}_n-\frac{\text{π}}{2}\right|\\ \le \frac{1}{2{}^2}\left|x{}_{n-1}-\frac{\text{π}}{2}\right|\le \cdots \le \frac{1}{2{}^n}\left|x{}_1-\frac{\text{π}}{2}\right|‚\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{则}\left|x{}_1-\frac{\text{π}}{2}\right|+\left|x{}_2-\frac{\text{π}}{2}\right|+\cdots +\left|x{}_{n+1}-\frac{\text{π}}{2}\right|\le \left|x{}_1-\frac{\text{π}}{2}\right|+\frac{1}{2}\left|x{}_1-\frac{\text{π}}{2}\right|+\cdots +\frac{1}{2{}^n}\left|x{}_1-\frac{\text{π}}{2}\right|=(1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{2{}^n})\left|x{}_1-\frac{\text{π}}{2}\right|=\frac{1\times [1-(\frac{1}{2}){}^{n+1}]}{1-\frac{1}{2}}\left|x{}_1-\frac{\text{π}}{2}\right|\\ =2[1-(\frac{1}{2}){}^{n+1}]\left|x{}_1-\frac{\pi }{2}\right|＜2\left|x{}_1-\frac{\text{π}}{2}\right|.\end{array}$

又x1∈[0, π], 得$x{}_1-\frac{\text{π}}{2}\in [-\frac{\text{π}}{2},\frac{\text{π}}{2}]$,

$\begin{array}{l}\text{即}\left|x{}_1-\frac{\text{π}}{2}\right|\le \frac{\text{π}}{2}‚\text{于}\text{是}2\left|x{}_1-\frac{\text{π}}{2}\right|\le \text{π}.\\ \therefore \left|x{}_1-\frac{\text{π}}{2}\right|+\left|x{}_2-\frac{\text{π}}{2}\right|+\cdots +\left|x{}_{n+1}-\frac{\text{π}}{2}\right|＜\text{π}(n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*}).\end{array}$

$\begin{array}{l}26.\text{解}:(\mathrm{Ⅰ})f{}_2(x)=1-x+\frac{x{}^2}{2}-\frac{x{}^3}{3},\\ f^{\prime }{}_2(x)=-1+x-x{}^2=(x-\frac{1}{2}){}^2-\frac{3}{4}＜0‚\end{array}$

∴f2 (x) 在 (-∞, +∞) 单调递减.

(Ⅱ) f1 (x) =1-x有唯一实数解x=1,

当n≥2时, 由$f{}_n(x)=1-x+\frac{x{}^2}{2}-\frac{x{}^3}{3}+\cdots -\frac{x{}^{2n-1}}{2n-1},n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*}$, 得

f′n (x) =-1+x-x2+…+x2n-3-x2n-2.

(i) 若x=-1, 则

f′n (x) =f′n (-1) =- (2n-1) <0.

(ii) 若x=0, 则f′n (x) =-1<0.

(iii) 若x≠-1且x≠0时,

则$f^{\prime }{}_n(x)=\frac{x{}^{2n-1}+1}{x+1}.$

①当x<-1时, x+1<0, x2n-1+1<0,

f′n (x) <0.

②当x>-1时, x+1>0, x2n-1+1>0,

f′n (x) <0.

综合 (i) , (ii) , (iii) , 得f′n (x) <0, 即fn (x) 在 (-∞, +∞) 单调递减.

$\begin{array}{l}\text{又}f{}_n(0)=1＞0‚\\ f{}_n(2)=(1-2)+(\frac{2{}^2}{2}-\frac{2{}^3}{3})+(\frac{2{}^4}{4}-\frac{2{}^5}{5})+\cdots +(\frac{2{}^{2n-2}}{2n-2}-\frac{2{}^{2n-1}}{2n-1})\\ =-1+(\frac{1}{2}-\frac{2}{3})2{}^2+(\frac{1}{4}-\frac{2}{5})2{}^4+\cdots +\\ (\frac{1}{2n-2}-\frac{2}{2n-1})2{}^{2n-2}\\ =-1-\frac{1}{2\cdot 3}2{}^2-\frac{3}{4\cdot 5}2{}^4-\cdots -\frac{2n-3}{(2n-2)(2n-1)}2{}^{2n-2}＜0‚\end{array}$

所以fn (x) 在 (0, 2) 有唯一实数解, 从而fn (x) 在 (-∞, +∞) 有唯一实数解.

综上, fn (x) =0有唯一实数解.

27.解: (Ⅰ) 证明:假设存在x′0, x0∈ (a, b) , 且x′0≠x0, 使得

$\begin{array}{l}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(x{}_0)‚\\ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(x^{\prime }{}_0)\end{array}$

, 即

$\begin{array}{l}{f}^{\prime }(x{}_0)=f^{\prime }(x^{\prime }{}_0).\\ \because f^{\prime }(x)=\frac{\text{e}{}^x}{1+\text{e}{}^x}-m‚\text{记}g(x)=f^{\prime }(x)‚\end{array}$

$\therefore g^{\prime }(x)=\frac{\text{e}{}^x}{(1+\text{e}{}^x){}^2}＞0,$

f′ (x) 是[a, b]上的单调增函数 (也可通过复合函数的单调性说明f′ (x) 的单调性) .

∴x0=x′0, 这与x′0≠x0矛盾,

即x0是唯一的.

$(\mathrm{Ⅱ})f(\frac{x{}_1+x{}_2}{2})＜\frac{f(x{}_1)+f(x{}_2)}{2}.$

原因如下:

设$F(x)=f(\frac{x+x{}_2}{2})-\frac{f(x)+f(x{}_2)}{2}$, 则

$F^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{f}^{\prime }(\frac{x+x{}_2}{2})-\frac{f^{\prime }(x)}{2}.$

由 (Ⅰ) 知, f′ (x) 单调递增,

所以当x>x2, 即$\frac{x+x{}_2}{2}＜x$时,

有$F^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{f}^{\prime }(\frac{x+x{}_2}{2})-\frac{f^{\prime }(x)}{2}＜0$,

所以x>x2时, F (x) 单调递减;

当x<x2, 即$\frac{x+x{}_2}{2}＞x$时,

有$F^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{f}^{\prime }(\frac{x+x{}_2}{2})-\frac{f^{\prime }(x)}{2}＞0$,

所以x<x2时, F (x) 单调递增.

所以F (x) <F (x2) =0,

所以$f(\frac{x{}_1+x{}_2}{2})＜\frac{f(x{}_1)+f(x{}_2)}{2}.$

(Ⅲ) 证明:设A (x1, y1) , B (x2, y2) , C (x3, y3) , 且

$\begin{array}{l}x{}_1＜x{}_2＜x{}_3‚\because m\ge 1‚\\ f^{\prime }(x)=\frac{\text{e}{}^x}{1+\text{e}{}^x}-m=1-m-\frac{1}{\text{e}{}^x+1}＜0‚\end{array}$

∴f (x) 是x∈R上的单调递减函数,

$\begin{array}{l}\therefore f(x{}_1)＞f(x{}_2)＞f(x{}_3).\\ \because \overrightarrow{BA}=\left(x{}_1-x{}_2,f(x{}_1)-f(x{}_2)\right),\\ \overrightarrow{BC}=\left(x{}_3-x{}_2,f(x{}_3)-f(x{}_2)\right),\\ \therefore \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=(x{}_1-x{}_2)(x{}_3-x{}_2)+[f(x{}_1)-f(x{}_2)][f(x{}_3)-f(x{}_2)].\\ \because x{}_1-x{}_2＜0,x{}_3-x{}_2＞0,\\ f(x{}_1)-f(x{}_2)＞0,\\ f(x{}_3)-f(x{}_2)＜0.\end{array}$

$\therefore \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}＜0,\therefore \cos B＜0,\angle B$为钝角.

故△ABC为钝角三角形.

四、三角函数与解三角形部分

一、选择题

1.下列各选项中, 与sin2011°最接近的数是 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})-\frac{1}{2}(\text{B})\frac{1}{2}\\ (\text{C})\frac{\sqrt{2}}{2}(\text{D})-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$

2.已知$\sin \theta =\frac{3}{4}$, 且θ在第二象限, 那么2θ在 ( ) .

(A) 第一象限 (B) 第二象限

(C) 第三象限 (D) 第四象限

3.已知$\tan \alpha =\frac{1}{4},\tan (\alpha -\beta )=\frac{1}{3}$, 则

$\begin{array}{l}\tan \beta =().\\ (\text{A})\frac{7}{11}(\text{B})-\frac{11}{7}(\text{C})-\frac{1}{13}(\text{D})\frac{1}{13}\end{array}$

4.函数$y=\cos {}^2(x+\frac{\text{π}}{4})-\sin {}^2(x+\frac{\text{π}}{4})$的最小正周期为 ( ) .

$(\text{A})\frac{\text{π}}{4}(\text{B})\frac{\text{π}}{2}(\text{C})\text{π}(\text{D})2\text{π}$

5.若把函数y=f (x) 的图象沿x轴向左平移$\frac{\text{π}}{4}$个单位, 沿y轴向下平移1个单位, 然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍 (纵坐标保持不变) , 得到函数y=sinx的图象, 则y=f (x) 的解析式为 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})\text{y}=\sin \left(2x-\frac{\text{π}}{4}\right)+1\\ (\text{B})\text{y}=\sin \left(2x-\frac{\text{π}}{2}\right)+1\\ (\text{C})\text{y}=\sin \left(\frac{1}{2}x+\frac{\text{π}}{4}\right)-1\\ (\text{D})\text{y}=\sin \left(\frac{1}{2}x+\frac{\text{π}}{2}\right)-1\end{array}$

6.在△ABC中, 已知a, b, c分别为∠A, ∠B, ∠C所对的边, 且$a=4‚b=4\sqrt[]{3}‚\angle A=30°$, 则∠B等于 ( ) .

(A) 30° (B) 30°或150°

(C) 60° (D) 60°或120°

7.如图1, 某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数:y=Asin (ωx+φ) +B, 则中午12点时最接近的温度为 ( ) .

(A) 26℃ (B) 27℃

(C) 28℃ (D) 29℃

8.已知α为锐角, 且$\cos (\alpha +\frac{\text{π}}{6})=\frac{4}{5}$, 则cosα的值为 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})\frac{4-3\sqrt[]{3}}{10}(\text{B})\frac{4+3\sqrt[]{3}}{10}\\ (\text{C})\frac{4\sqrt[]{3}-3}{10}(\text{D})\frac{4\sqrt[]{3}+3}{10}\end{array}$

9.函数y=sin (πx+φ) (φ>0) 的部分图象如图2所示, 设P是图象的最高点, A, B是图象与x轴的交点, 则tanAPB= ( ) .

$\begin{array}{l}[{\rm T}S(]\text{图}2[{\rm T}S)](\text{A})10(\text{B})8\\ (\text{C})\frac{8}{7}(\text{D})\frac{4}{7}\end{array}$

10.△ABC的外接圆半径R和△ABC的面积都等于1, 则

$\begin{array}{l}\sin A\sin B\sin C=().\\ (\text{A})\frac{1}{4}(\text{B})\frac{\sqrt{3}}{2}(\text{C})\frac{\sqrt{3}}{4}(\text{D})\frac{1}{2}\end{array}$

11.已知函数$f(x)=\sin x-\frac{1}{3}x,x\in [0,\text{π}]$, 且$\cos x{}_0=\frac{1}{3}‚x{}_0\in [0,\text{π}]$.那么下列命题中真命题的序号是 ( ) .

①f (x) 的最大值为f (x0) ;

②f (x) 的最小值为f (x0) ;

③f (x) 在[0, x0]上是减函数;

④f (x) 在[x0, π]上是减函数.

(A) ①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④

12.设函数$f(x)=\sin \left(2x+\frac{\text{π}}{3}\right)$, 则下列结论正确的是 ( ) .

(A) f (x) 的图象关于直线$x=\frac{\text{π}}{3}$对称

(B) f (x) 的图象关于点$\left(\frac{\text{π}}{4},0\right)$对称

(C) 把f (x) 的图象向左平移$\frac{\text{π}}{12}$个单位, 得到一个偶函数的图象

(D) f (x) 的最小正周期为π, 且在$\left[0,\frac{\text{π}}{6}\right]$上为增函数

二、填空题

13.如图3所示, 在平面直角坐标系xOy中,

角α的终边与单位圆交于点A, 点A的纵坐标为$\frac{4}{5}$, 则cosα=______.

14.若$\cos \alpha =\frac{1}{3}$, 则$\frac{\cos (2\text{π}-\alpha )\cdot \sin (\text{π}+\alpha )}{\sin (\frac{\text{π}}{2}+\alpha )\cdot \tan (3\text{π}-\alpha )}$的值为______.

15.如图4, 一艘船上午8:00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,

之后它继续沿正北方向匀速航行, 上午8:30到达B处, 此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处, 且与它相距$4\sqrt[]{2}n$mile, 则此船的航行速度是______n mile/h.

16.已知a, b, c分别是△ABC的三个内角A, B, C所对的边, 若$\frac{\text{c}\text{o}\text{s}B}{\text{c}\text{o}\text{s}C}=-\frac{b}{2a+c}$, 则B=______.

17.设定义在区间$\left(0,\frac{\text{π}}{2}\right)$上的函数y=4tanx的图象与y=6sinx的图象交于点P, 过点P作x轴的垂线, 垂足为P1, 直线PP1与函数y=cosx的图象交于点P2, 则线段P1P2的长为______.

18.已$0<\alpha <\frac{\text{π}}{2},-\frac{\text{π}}{2}<\beta <0,\cos (\alpha -\beta )=\frac{3}{5}$, 且$\tan \alpha =\frac{3}{4}$, 则sinβ=______.

19.如图5, 线段DE把边长为2a的等边△ABC分成面积相等的两部分, D在AB上, E在AC上, 则线段DE长度的最小值为______.

20.若函数$f(x)=\cos (\frac{x}{3}+\phi )(0<\phi <2\text{π})$在区间 (-π, π) 上是单调递增函数, 则实数φ的取值范围为______.

三、解答题

21.已知函数$f(x)=2\sin x\cdot \sin (\frac{\text{π}}{2}+x)-2\sin {}^{2}x+1(x\in \mathbf{R}).$

(Ⅰ) 求函数f (x) 的最小正周期及函数f (x) 的单调递增区间;

(Ⅱ) 若$f\left(\frac{x{}_0}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{3}‚x{}_0\in \left(-\frac{\text{π}}{4},\frac{\text{π}}{4}\right)$, 求cos2x0的值.

22.在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 已知$\tan B=\frac{1}{2}‚\tan C=\frac{1}{3}$, 且c=1.

(Ⅰ) 求tanA;

(Ⅱ) 求△ABC的面积.

23.在△ABC中, 已知$A=45°‚\cos B=\frac{4}{5}.$

(Ⅰ) 求cosC的值;

(Ⅱ) 若BC=10, D为AB的中点, 求CD的长.

24.在△ABC中, 角A, B, C的对边分别为a, b, c, 且满足$\frac{2c-b}{a}=\frac{\text{c}\text{o}\text{s}B}{\text{c}\text{o}\text{s}A}.$

(Ⅰ) 求角A的大小;

(Ⅱ) 若$a=2\sqrt[]{5}$, 求△ABC面积的最大值.

25.在△ABC中, 角A, B, C所对应的边分别为a, b, c, 且$4\sin {}^2\frac{A+B}{2}-\cos 2C=\frac{7}{2}.$

(Ⅰ) 求角C的大小;

(Ⅱ) 求sinA+sinB的最大值.

26.如图6, 正在海上A处执行任务的渔政船甲和在B处执行任务的渔政船乙, 同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号, 此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70km的C处, 渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B处, 两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC航行前去救援, 渔政船乙仍留在B处执行任务, 渔政船甲航行30km到达D处时, 收到新的指令另有重要任务必须执行, 于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙 (渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙) , 此时B, D两处相距42km, 问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救?

27.已知$-\frac{\text{π}}{4}$和$\frac{\text{π}}{4}$是函数f (x) =sin (ωx+φ) (ω>0, 0<φ<π) 的相邻的两个零点.

(Ⅰ) 求f (x) 的解析式;

(Ⅱ) 在△ABC中, 若sinBsinCcosA=sin2A, 求函数f (A) 的值域.

28.如图7, 在△ABC中, $\sin \frac{\angle ABC}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, AB=2, 点D在线段AC上, 且$AD=2DC‚BD=\frac{4\sqrt[]{3}}{3}.$

(Ⅰ) 求BC的长;

(Ⅱ) 求△BCD的面积.

参考答案

1.A.sin2011°=sin (5×360°+180°+31°) ≈-sin30°=.

本题的常规解法:θ为第二象限角,

9.B.作PQ⊥x轴于点Q, 由

11., 由f′ (x) >0, 得0≤x<x0, f (x) 单调递增, 由f′ (x) <0, 得x0<x≤π, f (x) 单调递减, ∴只有 (1) (4) 正确.

15.16.∠S=45°, BS=, 由正弦定理得

16.由正弦定理得2cos BsinA+cos BsinC=-sinBcosC, 则2cos BsinA+ (cos BsinC+sinBcosC) =0, 有2cos BsinA+sin (C+B) =0, 即2cos BsinA+sinA=0.又sinA>0, 故

17..设P (x0, y0) , 则P1 (x0, 0) , P2 (x0, cosx0) , |P1P2|=cosx0, 由4tanx0=6sinx0, 得

本题的常规解法:的单调递增区间是-3π-3φ≤x≤6kπ-3φ.∵φ∈ (0, 2π) , ∴要使f (x) 在 (-π, π) 上单调递增, 此时令k=1, 即3π-3φ≤x≤6π-3φ, ∴3π-3φ≤-π, π≤6π-3φ,

(Ⅱ) 由已知得

两边平方, 得, 所以sin2x0=.

因为x0∈ () , 所以2x0∈ () .

因为A=180°-B-C,

所以tanA=tan[180°- (B+C) ]=-tan (B+C) =-1.

(Ⅱ) 因为0°<A<180°, 由 (Ⅰ) 中结论知, A=135°.

因为

所以0°<C<B<90°.

所以

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可得

解之, 得AB=14.

在△BCD中, BD=7,

所以

24.解: (Ⅰ) 因为, 所以 (2c-b) ·cos A=a·cos B.

由正弦定理, 得 (2sinC-sinB) ·cos A=sinA·cos B.

整理得2sinC·cos A=sin (A+B) =sinC.在△ABC中, sinC≠0, 所以

(Ⅱ) 由余弦定理知,

所以b2+c2-20=bc≥2bc-20,

所以bc≤20, 当且仅当b=c时取等号.

所以三角形的面积

所以三角形面积的最大值为

25.解: (Ⅰ) ∵A, B, C为三角形的内角, ∴A+B+C=π.

26.解:设∠ABD=α, 在△ABD中, AD=30, BD=42, ∠BAD=60°.

由正弦定理得

在△BDC中, 由余弦定理得

BC2=DC2+BD2-2 DC·BDcos BDC=402+422-80×42cos (60°+α) =3844, ∴BC=62 (km) .

答:渔政船乙要航行62km才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救.

27.解: (Ⅰ) 依题意知, 函数f (x) 的周期T=

(Ⅱ) ∵sinBsinCcos A=sin2 A,

由正弦定理和余弦定理知,

28.解: (Ⅰ) 因为

所以

在△ABC中, 设BC=a, AC=3b, 由余弦定理可得

在△ABD和△DBC中, 由余弦定理可得

因为cos ADB=-cos BDC, 所以有

所以3b2-a2=-6. (2)

由 (1) (2) 可得a=3, b=1, 即BC=3.

另解:在△ABD和△ABC中,

∴3b2=a2-b. (2) 下同, 余略.

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知,

∴△ABC的面积为所以△DBC的面积为

五、平面向量部分

一、选择题

1.已知a= (1, 2) , b= (-2, m) , 若a//b, 则|2a+3b|等于 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})\sqrt{70}(\text{B})4\sqrt[]{5}\\ (\text{C})3\sqrt[]{5}(\text{D})2\sqrt[]{5}\end{array}$

2.已知P={a|a= (1, 0) +m (0, 1) , m∈R}, Q={b|b= (1, 1) +n (-1, 1) , n∈R}是两个向量集合, 则P∩Q= ( ) .

(A) { (1, 1) } (B) { (-1, 1) }

(C) { (1, 0) } (D) { (0, 1) }

3.在Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=3, 则

$\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=().\\ (\text{A})-9(\text{B})9(\text{C})-16(\text{D})16\end{array}$

4.已知平面上不重合的四点P, A, B, C满足$\overrightarrow{{\rm P}A}+\overrightarrow{{\rm P}B}+\overrightarrow{{\rm P}C}=0$, 且$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=m\overrightarrow{A{\rm P}}$, 那么实数m的值为 ( ) .

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

5.直线l:y=k (x-2) +2将圆C:x2+y2-2x-2y=0平分, 则直线l的一个方向向量是 ( ) .

(A) (2, -2) (B) (2, 2)

(C) (-3, 2) (D) (2, 1)

6.已知方程ax2+bx+c=0, 其中a, b, c是非零向量, 且a, b不共线, 则该方程 ( ) .

(A) 至多有一个解 (B) 至少有一个解

(C) 至多有两个解 (D) 可能有无数个解

7.在△ABC中, “$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}>0$”是“△ABC为钝角三角形”的 ( ) .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(C) 充要条件

(D) 既不充分又不必要条件

8.△ABC的外接圆的圆心为O, 半径为1, 若$\overrightarrow{{\rm O}A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{{\rm O}C}=0$, 且$|\overrightarrow{{\rm O}A}|=|\overrightarrow{AB}|$, 则$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}$等于 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})\frac{3}{2}(\text{B})\sqrt{3}\\ (\text{C})3(\text{D})2\sqrt[]{3}\end{array}$

9.设M={平面内的点 (a, b) }, N={f (x) |f (x) =acos2x+bsin2x}, 给出M到N的映射f: (a, b) →f (x) =acos2x+bsin2x, 若点$(1,\sqrt{3})$的像f (x) 的图象可以由曲线y=2sin2x按向量m平移得到, 则向量m的坐标为 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})(\frac{\text{π}}{6},0)(\text{B})(-\frac{\text{π}}{6},0)\\ (\text{C})(-\frac{\text{π}}{12},0)(D)(\frac{\text{π}}{12},0)\end{array}$

10.设D, E, F分别是△ABC的三边BC, CA, AB上的点, 且$\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{BD}‚\overrightarrow{CE}=2\overrightarrow{EA}‚\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$, 则$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}$与$\overrightarrow{BC}().$

(A) 同向平行 (B) 反向平行

(C) 互相垂直 (D) 既不平行也不垂直

11.已知A, B, C是圆O:x2+y2=1上的三点,

$\begin{array}{l}\overrightarrow{{\rm O}A}+\overrightarrow{{\rm O}B}=\overrightarrow{{\rm O}C}‚\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{{\rm O}A}=().\\ (\text{A})\frac{3}{2}(\text{B})-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ (\text{C})-\frac{3}{2}(\text{D})\frac{1}{2}\end{array}$

12.如图1, 在△ABC中, $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{ED}$, 若$\overrightarrow{AB}=\mathit{a},\overrightarrow{AC}=\mathit{b}$, 则$\overrightarrow{BE}=().$

13.设向量a, b, c均为单位向量, 且a·b=0, 则 (a-c) · (b-c) 的最小值为 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})-2(\text{B})\sqrt{2}-3\\ (\text{C})-1(\text{D})1-\sqrt{2}\end{array}$

14.在平面向量中有如下定理:设点O, P, Q, R为同一平面内的点, 则P, Q, R三点共线的充要条件是:存在实数t, 使$\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}=(1-t)\overrightarrow{{\rm O}Q}+t\overrightarrow{{\rm O}R}$.如图2, 在△ABC中, 点E为AB边的中点, 点F在AC边上, 且CF=2FA, BF交CE于点M, 设$\overrightarrow{A{\rm M}}=x\overrightarrow{AE}+y\overrightarrow{AF}$, 则 ( ) .

二、填空题

15.已知向量a= (x-1, 2) , b= (4, y) .若a⊥b, 则16x+4y的最小值为______.

16.若|a|=2, |b|=4, 且 (a+b) ⊥a, 则a与b的夹角是______.

17.以O为起点作向量a, b, 终点分别为A, B.

已知|a|=2, |b|=5, a·b=-6, 则△AOB的面积等于______.

18.如图3, 在平面直角坐标系中, 正方形OABC的边长为1, E为AB的中点, 若F为正方形内 (含边界) 任意一点, 则$\overrightarrow{{\rm O}E}\cdot \overrightarrow{{\rm O}F}$的最大值为______.

19.如图4, 过抛物线x2=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+ (y-1) 2=1于点A, B, C, D, 则$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}$的值是______.

20.已知Sn是{an}的前n项和, 向量a= (an-1, -2) , b= (4, Sn) 满足a⊥b, 则$\frac{S{}_4}{S{}_2}=$______.

21.在平面直角坐标系中, O是坐标原点, 已知点$A(3,\sqrt{3})$, 点P (x, y) 的坐标满足

$\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-y\le 0‚\\ x-\sqrt{3}y+2\ge 0‚\\ y\ge 0‚\end{array}$

设z为$\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}$在$\overrightarrow{{\rm O}A}$上的投影, 则z的取值范围是______.

三、解答题

22.已知向量$\mathit{a}=(\sin x‚1)‚\mathit{b}=(\cos x‚-\frac{1}{2}).$

(Ⅰ) 当a⊥b时, 求x的取值集合;

(Ⅱ) 求函数f (x) =a· (b-a) 的单调递增区间.

23.设集合A={1, 2}, B={1, 2, 3}, 分别从集合A和B中随机取一个数a和b.

(Ⅰ) 若向量m= (a, b) , n= (1, -1) , 求向量m与n的夹角为锐角的概率;

(Ⅱ) 记点P (a, b) , 则点P (a, b) 落在直线x+y=n上为事件Cn (2≤n≤5, n∈N) , 求使事件Cn的概率最大的n.

24.设锐角△ABC的三内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 向量$\mathit{m}=(1‚\sin A+\sqrt{3}\cos A)‚\mathit{n}=(\sin A‚\frac{3}{2})$, 且m与n共线.

(Ⅰ) 求角A的大小;

(Ⅱ) 若$a=2‚c=4\sqrt[]{3}\sin B$, 且△ABC的面积小于$\sqrt{3}$, 求角B的取值范围.

25.已知函数$f(x)=\sqrt{3}\sin \text{π}x+\cos \text{π}x‚x\in \mathbf{R}.$

(Ⅰ) 求函数f (x) 的最大值和最小值;

(Ⅱ) 设函数f (x) 在[-1, 1]上的图象与x轴的交点从左到右分别为M, N, 图象的最高点为P, 求$\overrightarrow{{\rm P}{\rm M}}$与$\overrightarrow{{\rm P}{\rm N}}$的夹角的余弦值.

26.已知向量a= (sinx, cosx) , b= (sinx, sinx) , c= (-1, 0) .

(Ⅰ) 若$x=\frac{\text{π}}{3}$, 求向量a, c的夹角θ;

(Ⅱ) 若$x\in \left[-\frac{3\text{π}}{8}‚\frac{\text{π}}{4}\right]$, 函数f (x) =λa·b的最大值为$\frac{1}{2}$, 求实数λ的值.

27.已知A, B, C分别为△ABC的三边a, b, c所对的角, 向量m= (sinA, sinB) , n= (cosB, cosA) , 且m·n=sin2C.

(Ⅰ) 求角C的大小;

(Ⅱ) 若sinA, sinC, sinB成等差数列, 且$\overrightarrow{CA}\cdot (\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=18$, 求c的值.

28.已知两点M (-1, 0) , N (1, 0) , 且点P使$\overrightarrow{{\rm M}{\rm P}}\cdot \overrightarrow{{\rm M}{\rm N}}‚\overrightarrow{{\rm P}{\rm M}}\cdot \overrightarrow{{\rm P}{\rm N}}‚\overrightarrow{{\rm N}{\rm M}}\cdot \overrightarrow{{\rm N}{\rm P}}$成公差小于零的等差数列.

(Ⅰ) 点P的轨迹是什么曲线?

(Ⅱ) 若点P坐标为 (x0, y0) , θ为$\overrightarrow{{\rm P}{\rm M}}‚\overrightarrow{{\rm P}{\rm N}}$的夹角, 求θ的取值范围.

参考答案

∴m=-4, 2a+3b= (-4, -8) ,

$\begin{array}{l}\text{则}|2\mathit{a}+3\mathit{b}|=4\sqrt[]{5}.\\ 2.\text{A}.\mathit{a}=(1‚m)‚\mathit{b}=(1-n‚1+n)\end{array}$

, 由a=b, 得

$\{\begin{array}{l}1=1-n‚\\ m=1+n‚\end{array}$

解之, 得

$\{\begin{array}{l}n=0‚\\ m=1‚\end{array}$

即

$\begin{array}{l}{\rm P}{\displaystyle \cap Q}=\{(1‚1)\}.\\ 3.\text{B}.\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AC}|{}^2=9\end{array}$

, 或$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cos A=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|}=|\overrightarrow{AC}|{}^2=9.$

4.B.由$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=m\overrightarrow{A{\rm P}}$, 得$(\overrightarrow{{\rm P}B}+\overrightarrow{A{\rm P}})+(\overrightarrow{{\rm P}C}+\overrightarrow{A{\rm P}})=m\overrightarrow{A{\rm P}}$, 即$(2-m)\overrightarrow{A{\rm P}}+\overrightarrow{{\rm P}B}+\overrightarrow{{\rm P}C}=0$, 又$\overrightarrow{{\rm P}A}+\overrightarrow{{\rm P}B}+\overrightarrow{{\rm P}C}=0‚\therefore 2-m=-1$, 即m=3.

另解:$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A{\rm P}}+\overrightarrow{{\rm P}B}‚\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A{\rm P}}+\overrightarrow{{\rm P}C}‚\therefore \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{A{\rm P}}+\overrightarrow{{\rm P}B}+\overrightarrow{{\rm P}C}=2\overrightarrow{A{\rm P}}-\overrightarrow{{\rm P}A}=3\overrightarrow{A{\rm P}}‚\therefore m=3.$

5.B.由题知直线l过所给圆的圆心 (1, 1) , ∴1=k (1-2) +2, 即k=1, 直线l的方向向量为 (1, k) = (1, 1) , 向量 (2, 2) 与 (1, 1) 同向, 故选B.

6.A.由于a, b不共线, 所以c=ma+nb, m, n∈R, 且m, n是唯一的,

则

$\{\begin{array}{l}x{}^2=-m‚\\ x=-n‚\end{array}$

故该方程至多有一个解, 选A.

$7.\text{A}.\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}>0\iff |\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|\cos (\text{π}-B)>0\iff \cos B<0\iff B$为钝角, 但△ABC为钝角三角形 /⇒B为钝角.

8.C.如图, 由已知得$\overrightarrow{{\rm O}A}+\overrightarrow{{\rm O}C}=-\overrightarrow{AB}$, 以$\overrightarrow{{\rm O}A}‚\overrightarrow{{\rm O}C}$为邻边作平行四边形AOCM, 则$\overrightarrow{{\rm O}{\rm M}}=-\overrightarrow{AB}$, 得四边形ABOM平行四边形, 于是点O在BC上, 即△ABC为直角三角形, 又$|\overrightarrow{{\rm O}A}|=|\overrightarrow{AB}|$, 故△ABO为等边三角形, 且圆O的半径为1, 则$|AB|=1‚|BC|=2‚|AC|=\sqrt{3}$,

$\begin{array}{l}\therefore \overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=\sqrt{3}\times 2\times \cos 30°=3.\\ 9.\text{C}.f(x)=\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x=2\sin (2x+\frac{\text{π}}{6})=2\sin [2(x+\frac{\text{π}}{12})]\end{array}$

, 将y=2sin2x的图象向左平移$\frac{\text{π}}{12}$个单位即得f (x) 的图象, 故

$\begin{array}{l}\mathit{m}=(-\frac{\text{π}}{12}‚0).\\ 10.\text{B}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE})+(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF})=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}‚\text{故}\text{选}\text{B}.\end{array}$

11.C.由题意知, 四边形OACB是边长为1的菱形, 可得$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3}‚|\overrightarrow{{\rm O}A}|=1$, 则

$\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{{\rm O}A}=\sqrt{3}\times 1\times \cos (180°-30°)=-\frac{3}{2}.\\ 12.B.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\mathit{b}-\mathit{a}‚\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}\mathit{b}-\frac{1}{3}\mathit{a}‚\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\mathit{a}+\frac{1}{3}\mathit{b}‚\overrightarrow{AE}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\mathit{a}+\frac{1}{4}\mathit{b}‚\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\mathit{a}+\frac{1}{4}\mathit{b}-\mathit{a}=-\frac{1}{2}\mathit{a}+\frac{1}{4}\mathit{b}.\end{array}$

13.D.由a, b, c均为单位向量, 且a·b=0, 得 (a-c) · (b-c) =a·b- (a+b) ·c+c2=- (a·c+b·c) +1.设a与c的夹角为θ, b与c的夹角为φ.由a⊥b, 得$\phi =\frac{\text{π}}{2}-\theta$或$\theta -\frac{\text{π}}{2}$或$\theta +\frac{\text{π}}{2}$, 对于前两者有$-(\mathit{a}\cdot \mathit{c}+\mathit{b}\cdot \mathit{c})+1=-(\cos \theta +\sin \theta )+1=-\sqrt{2}\sin (\theta +\frac{\text{π}}{4})+1\ge 1-\sqrt{2}$, 对于后者也有$-(\mathit{a}\cdot \mathit{c}+\mathit{b}\cdot \mathit{c})+1=-(\cos \theta -\sin \theta )+1=\sqrt{2}\sin (\theta -\frac{\text{π}}{4})+1\ge 1-\sqrt{2}.$

14.A.因为点B, M, F三点共线, 则存在实数t, 使$\overrightarrow{A{\rm M}}=(1-t)\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AF}.$

又$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AE}‚\overrightarrow{AF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$,

则$\overrightarrow{A{\rm M}}=2(1-t)\overrightarrow{AE}+\frac{t}{3}\overrightarrow{AC}.$

因为点C, M, E三点共线,

则$2(1-t)+\frac{t}{3}=1$, 所以$t=\frac{3}{5}.$

故$x=\frac{4}{5}‚y=\frac{3}{5}.$

15.8.由a⊥b知, 4 (x-1) +2y=0, 于是

$\begin{array}{l}2x+y=2‚\\ \therefore 16{}^x+4{}^y=4{}^{2x}+4{}^y\ge 2\sqrt{4{}^{2x+y}}=2\sqrt{4{}^2}=8.\\ 16.\frac{2\text{π}}{3}\end{array}$

.由 (a+b) ⊥a, 得 (a+b) ·a=0,

则a2=-a·b, 又|a|=2, |b|=4,

∴4=-2×4cosθ, 得$\cos \theta =-\frac{1}{2}$,

而θ∈[0, π], 于是$\theta =\frac{2\text{π}}{3}.$

17.4.由题意知, 2×5×cosθ=-6, 得

$\begin{array}{l}\cos \theta =-\frac{3}{5}‚\text{则}\sin \theta =\frac{4}{5}‚\\ \therefore S{}_{△A{\rm O}B}=\frac{1}{2}|\mathit{a}||\mathit{b}|\sin \theta =4.\end{array}$

$18.\frac{3}{2}$.可得$\overrightarrow{{\rm O}E}=(1‚\frac{1}{2})$, 设F (x, y) , 则$\overrightarrow{{\rm O}F}=(x‚y)‚0\le x\le 1‚0\le y\le 1$, 而$\overrightarrow{{\rm O}E}\cdot \overrightarrow{{\rm O}F}=x+\frac{1}{2}y$, 当x=1, y=1时, $(x+\frac{1}{2}y){}_{\max }=\frac{3}{2}$, 即$\overrightarrow{{\rm O}E}\cdot \overrightarrow{{\rm O}F}$的最大值为$\frac{3}{2}.$

19.1.设A (x1, y1) , D (x2, y2) , 由抛物线的定义知, $|\overrightarrow{AB}|=y{}_1,|\overrightarrow{CD}|=y{}_2$.设直线的方程为y=kx+1, 与抛物线联立, 消去x, 整理得

y2- (2+4k2) y+1=0, 则$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=y{}_{1}y{}_2=1.$

20.5.由a⊥b, 得4 (an-1) -2Sn=0, 即Sn=2 (an-1) , 当n=1时, S1=a1=2 (a1-1) , 则a1=2, 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=2 (an-1) -2 (an-1-1) , 则an=2an-1, 故{an}是以2为首项, 公比为2的等比数列,

$\begin{array}{l}\therefore \frac{S{}_4}{S{}_2}=\frac{\frac{2(1-2{}^4)}{1-2}}{\frac{2(1-2{}^2)}{1-2}}=5.\\ 21.[-\sqrt{3}‚\sqrt{3}].z=|\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}|\cos \theta =|\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}|\frac{\overrightarrow{{\rm O}A}\cdot \overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}}{|\overrightarrow{{\rm O}A}|\cdot |\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}|}=\frac{\overrightarrow{{\rm O}A}\cdot \overrightarrow{{\rm O}{\rm P}}}{|\overrightarrow{{\rm O}A}|}=\frac{3x+\sqrt{3}y}{2\sqrt[]{3}}=\frac{\sqrt{3}x+y}{2}\end{array}$

, 即$y=-\sqrt{3}x+2z$, 画出可行域

$\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-y\le 0‚\\ x-\sqrt{3}y+2\ge 0‚\\ y\ge 0‚\end{array}$

, 当直线$y=-\sqrt{3}x+2z$经过点$(1‚\sqrt{3})$时, 2z有最大值, 即$\sqrt{3}=-\sqrt{3}\times 1+2z{}_{\max }$, 有$z{}_{\max }=\sqrt{3}$, 当直线$y=-\sqrt{3}x+2z$经过点 (-2, 0) 时, 2z有最小值, 即$0=-\sqrt{3}\times (-2)+2z{}_{\min }$, 有$z{}_{\min }=-\sqrt{3}$, 即$z\in [-\sqrt{3}‚\sqrt{3}].$

22.解:$(\mathrm{Ⅰ})\because \mathit{a}=(\sin x‚1)‚\mathit{b}=(\cos x‚-\frac{1}{2})‚\mathit{a}\perp \mathit{b}‚\therefore \sin x\cos x-\frac{1}{2}=0$, 则sin2x=1,

故$2x=2k\text{π}+\frac{\text{π}}{2}$, 即$x=k\text{π}+\frac{\text{π}}{4}‚$

$\begin{array}{l}\therefore x\text{的}\text{取}\text{值}\text{集}\text{合}\text{为}\left\{x|x=k\text{π}+\frac{\text{π}}{4}‚k\in \mathbf{{\rm Z}}\right\}.\\ (\mathrm{Ⅱ})f(x)=\mathit{a}\cdot (\mathit{b}-\mathit{a})\\ =\sin x(\cos x-\sin x)-\frac{3}{2}\\ =\sin x\cos x-\sin {}^{2}x-\frac{3}{2}\\ =\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1-\cos 2x}{2}-\frac{3}{2}\\ =\frac{\sqrt{2}}{2}\sin (2x+\frac{\pi }{4})-2‚\end{array}$

当$2k\text{π}-\frac{\text{π}}{2}\le 2x+\frac{\text{π}}{4}\le 2k\text{π}+\frac{\text{π}}{2}$,

即$k\text{π}-\frac{3\text{π}}{8}\le k\text{π}+\frac{\text{π}}{8}$时, 函数f (x) 单调递增,

∴f (x) 的单调递增区间为$[k\text{π}-\frac{3\pi }{8}‚k\text{π}+\frac{\text{π}}{8}](k\in \mathbf{{\rm Z}}).$

23.解: (Ⅰ) 设向量m与n的夹角为θ.

因为θ为锐角, $\therefore \cos \theta =\frac{\mathit{m}\cdot \mathit{n}}{|\mathit{m}||\mathit{n}|}>0$, 且向量m与n不共线, 因为a>0, b>0, n= (1, -1) , 显然m与n不共线, 所以, m·n=a-b>0, a>b,

分别从集合A和B中随机取一个数a和b的基本事件有: (1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , (2, 1) , (2, 2) , (2, 3) , 共6种, 其中满足a>b只有 (2, 1) ,

∴向量m与n的夹角为锐角的概率${\rm P}=\frac{1}{6}.$

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知,

当n=2时, 满足条件的概率${\rm P}{}_2=\frac{1}{6}$,

当n=3时, 满足条件的概率${\rm P}{}_3=\frac{1}{3}$,

当n=4时, 满足条件的概率${\rm P}{}_4=\frac{1}{3}$,

当n=5时, 满足条件的概率${\rm P}{}_5=\frac{1}{6}‚$

∴使事件Cn的概率最大的n为3或4.

24.解: (Ⅰ) ∵m//n, 则$\sin A(\sin A+\sqrt{3}\cos A)=\frac{3}{2}$, 即

$\begin{array}{l}\sin {}^{2}A+\sqrt{3}\sin A\cos A=\frac{3}{2}‚\\ \therefore \frac{1-\cos 2A}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2A=\frac{3}{2}‚\end{array}$

即$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2A-\frac{1}{2}\cos 2A=1‚\therefore \sin (2A-\frac{\text{π}}{6})=1.$

∵A是锐角, $\therefore 2A-\frac{\text{π}}{6}=\frac{\text{π}}{2}$, 故$A=\frac{\text{π}}{3}.$

(Ⅱ) 因为$a=2‚c=4\sqrt[]{3}\text{s}\text{i}\text{n}B$, 则

$\begin{array}{l}S{}_{△ABC}=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\times 2\times 4\sqrt[]{3}\sin {}^{2}B\\ =4\sqrt[]{3}\sin {}^{2}B\\ =4\sqrt[]{3}\times \frac{1-\cos 2B}{2}=2\sqrt[]{3}-2\sqrt[]{3}\cos 2B‚\\ \therefore 2\sqrt[]{3}-2\sqrt[]{3}\cos 2B<\sqrt{3}‚\text{即}\cos 2B>\frac{1}{2}.\end{array}$

因为B是锐角, 所以$0<2B<\frac{\text{π}}{3}$,

即$0<B<\frac{\text{π}}{6}$, 故角B的取值范围是$(0‚\frac{\text{π}}{6}).$

$\begin{array}{l}25.\text{解}:(\mathrm{Ⅰ})\because f(x)=\sqrt{3}\sin \text{π}x+\cos \text{π}x\\ =2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \text{π}x+\frac{1}{2}\cos \text{π}x)\\ =2\sin (\text{π}x+\frac{\text{π}}{6})‚x\in \mathbf{R}‚\therefore -1\le \sin (\text{π}x+\frac{\text{π}}{6})\le 1‚\end{array}$

∴函数f (x) 的最大值和最小值分别为2, -2.

(Ⅱ) 令$f(x)=2\sin (\text{π}x+\frac{\text{π}}{6})=0$, 得

$\begin{array}{l}\text{π}x+\frac{\text{π}}{6}=k\text{π}‚k\in \mathbf{{\rm Z}}.\\ \because x\in [-1‚1]‚\therefore x=-\frac{1}{6}\text{或}\frac{5}{6}‚\end{array}$

$\therefore {\rm M}(-\frac{1}{6}‚0)‚{\rm N}(\frac{5}{6}‚0)$,

由$\sin (\text{π}x+\frac{\text{π}}{6})=1$, 且x∈[-1, 1], 得

$\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}‚\therefore {\rm P}(\frac{1}{3}‚2)‚\\ \therefore \overrightarrow{{\rm P}{\rm M}}=(-\frac{1}{2}‚-2)‚\overrightarrow{{\rm P}{\rm N}}=(\frac{1}{2}‚-2),\end{array}$

从而$\cos \langle \overrightarrow{{\rm P}{\rm M}}‚\overrightarrow{{\rm P}{\rm N}}\rangle =\frac{\overrightarrow{{\rm P}{\rm M}}\cdot \overrightarrow{{\rm P}{\rm N}}}{|\overrightarrow{{\rm P}{\rm M}}|\cdot |\overrightarrow{{\rm P}{\rm N}}|}=\frac{15}{17}.$

26.解: (Ⅰ) 当$x=\frac{\text{π}}{3}$时, $\mathit{a}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}‚\frac{1}{2}\right)$, 则

$\begin{array}{l}\cos \theta =\frac{\mathit{a}\cdot \mathit{c}}{|\mathit{a}|\cdot |\mathit{c}|}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1\times 1}=-\frac{\sqrt{3}}{2}‚\therefore \theta =\frac{5\text{π}}{6}.\\ (\mathrm{Ⅱ})f(x)=\lambda (\sin {}^{2}x+\sin x\cos x)\\ =\frac{\lambda }{2}(1-\cos 2x+\sin 2x)‚\\ f(x)=\frac{\lambda }{2}\left[1+\sqrt{2}\sin (2x-\frac{\text{π}}{4})\right].\end{array}$

因为$x\in \left[-\frac{3\text{π}}{8}‚\frac{\text{π}}{4}\right]$,

所以$2x-\frac{\text{π}}{4}\in \left[-\text{π}‚\frac{\text{π}}{4}\right]$,

当λ>0时, $f{}_{\max }(x)=\frac{\lambda }{2}(1+1)=\frac{1}{2}$,

即$\lambda =\frac{1}{2}$,

当λ<0时, $f{}_{\max }(x)=\frac{\lambda }{2}(1-\sqrt{2})=\frac{1}{2}$,

即$\lambda =-1-\sqrt{2}$,

所以$\lambda =\frac{1}{2}$或$\lambda =-1-\sqrt{2}.$

27.解: (Ⅰ) m·n=sinAcosB+sinBocsA

=sin (A+B) =sin (π-C) =sinC,

又∵m·n=sin2C,

∴sinC=sin2C, sinC=2sinCcosC,

而sinC≠0, 则$\cos C=\frac{1}{2}$,

由0<C<π, 得$C=\frac{\text{π}}{3}.$

(Ⅱ) 由sinA, sinC, sinB成等差数列, 得

2sinC=sinA+sinB.

$\begin{array}{l}\text{由}\text{正}\text{弦}\text{定}\text{理}\text{得}2c=a+b.\\ \because \overrightarrow{CA}\cdot (\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=18‚\\ \therefore \overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=18‚\text{即}ab\cos C=18‚\end{array}$

由 (Ⅰ) 知, $\cos C=\frac{1}{2}$, 得ab=36,

由余弦定理得

c2=a2+b2-2abcosC= (a+b) 2-3ab,

∴c2=4c2-3×36, 则c2=36, ∴c=6.

28.解: (Ⅰ) 设P (x, y) , 则

$\begin{array}{l}\overrightarrow{{\rm M}{\rm P}}=(x+1‚y)‚\overrightarrow{{\rm M}{\rm N}}=(2‚0)‚\overrightarrow{{\rm N}{\rm M}}=(-2‚0)‚\overrightarrow{{\rm P}{\rm M}}=(-1-x‚-y)‚\overrightarrow{{\rm N}{\rm P}}=(x-1‚y)‚\overrightarrow{{\rm P}{\rm N}}=(1-x‚-y)‚\\ \therefore \overrightarrow{{\rm M}{\rm P}}\cdot \overrightarrow{{\rm M}{\rm N}}=2x+2‚\overrightarrow{{\rm P}{\rm M}}\cdot \overrightarrow{{\rm P}{\rm N}}=x{}^2+y{}^2-1‚\overrightarrow{{\rm N}{\rm M}}\cdot \overrightarrow{{\rm N}{\rm P}}=-2x+2‚\end{array}$

由$\overrightarrow{{\rm M}{\rm P}}\cdot \overrightarrow{{\rm M}{\rm N}}‚\overrightarrow{{\rm P}{\rm M}}\cdot \overrightarrow{{\rm P}{\rm N}}‚\overrightarrow{{\rm N}{\rm M}}\cdot \overrightarrow{{\rm N}{\rm P}}$成公差小于零的等差数列, 得

2 (x2+y2-1) = (2x+2) + (-2x+2) ,

即x2+y2=3.

又$\overrightarrow{{\rm M}{\rm P}}\cdot \overrightarrow{{\rm M}{\rm N}}>\overrightarrow{{\rm N}{\rm M}}\cdot \overrightarrow{{\rm N}{\rm P}}$,

则2x+2>-2x+2, 有x>0,

∴P的轨迹方程是x2+y2=3 (x>0) .

故点P的轨迹是以原点为圆心, $\sqrt{3}$为半径的右半圆.

$\begin{array}{l}(\mathrm{Ⅱ})\text{由}\text{题}\text{意}\text{知}‚\cos \theta =\frac{\overrightarrow{{\rm P}{\rm M}}\cdot \overrightarrow{{\rm P}{\rm N}}}{|\overrightarrow{{\rm P}{\rm M}}|\cdot |\overrightarrow{{\rm P}{\rm N}}|}\\ =\frac{x{}_0^2+y{}_0^2-1}{\sqrt{(x{}_0+1){}^2+y{}_0^2\cdot \sqrt{(x{}_0-1){}^2+y{}_0^2}}}.\end{array}$

由 (Ⅰ) 知, x${}_0^2$+y${}_0^2$=3, 则$\cos \theta =\frac{1}{4-x{}_0^2}$,

而$0<x{}_0\le \sqrt{3}$, 得$\cos \theta \in (\frac{1}{2}‚1]‚\therefore \theta \in [0‚\frac{\text{π}}{3})‚$

∴θ的取值范围是$[0‚\frac{\text{π}}{3}).$

高二上学期语文期末检测试卷 篇3

1. 下列加线字注音全部正确的一组是（）（3分）

A. 曩者（nǎng） 低徊（huái） 应时（yìng） 茕茕孑立（qióng）

B. 日笃（dǔ） 谂知（niǎn） 澄清（chéng） 呱呱坠地（ｇū）

C. 余荫（yìn） 乳媪（ǎo） 筵席（yán） 冠盖相属（zhǔ）

D. 黯然（àn） 揾泪（wèn） 泠泠（lín） 噤若寒蝉（jìn）

2. 下列句子中加线的词语，使用正确的一项是（)（3分）

A. 也许幔外边有的是风，但我们罩在这幔里的，把鸡毛从桥头抛下去，也没见它飘飘洒洒踱方步。

B. 那花朵有些堕下来的，半掩在雪花里，红白相映，色彩灿然，使我们感到清而不俗，华而不寒。

C. 因而色彩驳杂、深浅不一，缺乏某种统一的调子，它们的丰富使“落叶”这个词显得无比空洞。

D. 2010年11月17日，中国选手陆永在比赛中凭借其扛鼎之举，以抓举173公斤、挺举203公斤，总成绩376公斤获得冠军。

3. 下列句式不同于其他的一项是（）（3分）

A. 而刘夙婴疾病

B. 文王拘而演《周易》

C. 得不焚，殆有神护者

D. 生孩六月，慈父见背

4. 下列各项中关于作者作品理解错误的一项是（）（3分）

A. 陈，陈述。表，古代奏章中的一种文体，多用于臣子向君王陈情谢贺。《陈情表》是李密请求晋武帝允许他终养祖母所上的表章。

B. 归有光（1502-1571），字熙甫，号震川，江苏昆山人。归有光是明代杰出的散文家，在散文创作方面有很深的造诣。他反对拟古主义，提倡独抒胸臆，强调真情实感。

C. 王实甫，名得信，大都人，元代著名杂剧作家。他的杂剧大都以青年女性反抗封建礼教为题材，塑造了崔莺莺、红娘、刘月娥等不同妇女的典型形象，曲词以粗犷豪放著称。

D. 《报任安书》是司马迁留给后世的唯一书信。正是他将峻洁的人品、伟大的精神自现于后世的力作，这封信也是一篇研究《史记》和司马迁的生活、思想的重要文章。

5. 把下面五句话按恰当的顺序填入横线处，使之与前面语意连贯。（4分）

司马迁是民族的脊梁，他_________。他的存在是中华文化史上的一座无法撼动的坐标。

① 紧握如椽大笔为后人留下了不可复制的文化精品

② 没有低下高贵的头颅

③ 不饰帝王之功

④ 没有屈下正直的脊梁

⑤ 不隐权贵之恶

6. 依据材料提示，按照要求回答问题。（5分）

生命是一种存在形态，每个生命个体都应该是独立的存在，都应该有自己的展示方式，伟人有伟人的生命价值，我们也应该有自己的生存追求！莫里哀认为：“一个人应当为活着而吃饭，而不是为吃饭而活着。”杰克·伦敦认为，人的正当作用是生活，而不是生存。苏格拉底认为，未经思索的人生是不值一过的……

请以简洁的话谈谈你对生命价值的认识，不要少于80字。（不可以再用所给的材料）

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二、 文言文阅读（16分）

阅读下面的文言文，完成15～20题。

先君子尝言，乡先辈左忠毅公视学京畿。一日，风雪严寒，从数骑出，微行入古寺。庑下一生伏案卧，文方成草。公阅毕，即解貂覆生，为掩户。叩之寺僧，则史公可法也。及试，吏呼名至史公，公瞿然注视，呈卷，即面署第一。召入，使拜夫人，曰：“吾诸儿碌碌，他日继吾志事，惟此生耳。”

及左公下厂狱，史朝夕狱门外。逆阉防伺甚严，虽家仆不得近。久之，闻左公被炮烙，旦夕且死，持五十金，涕泣谋于禁卒，卒感焉。一日，使史更敝衣，草屦，背筐，手长镵，为除不洁者，引入。微指左公处，则席地倚墙而坐，面额焦烂不可辨，左膝以下筋骨尽脱矣。史前跪抱公膝而呜咽。公辨其声，而目不可开，乃奋臂以指拨眦，目光如炬，怒曰：“庸奴!此何地也，而汝来前!国家之事糜烂至此，老夫已矣，汝复轻身而昧大义，天下事谁可支拄者？不速去，无俟奸人构陷，吾今即扑杀汝!”因摸地上刑械作投击势。史噤不敢发声，趋而出。后常流涕述其事以语人，曰：“吾师肺肝，皆铁石所铸造也。”

崇祯末，流贼张献忠出没蕲、黄、潜、桐间，史公以凤庐道奉檄守御。每有警，辄数月不就寝，使将士更休，而自坐幄幕外。择健卒十人，令二人蹲踞而背倚之，漏鼓移则番代。每寒夜起立，振衣裳，甲上冰霜迸落，铿然有声。或劝以少休，公曰：“吾上恐负朝廷，下恐愧吾师也。”

史公治兵，往来桐城，必躬造左公第，候太公、太母起居，拜夫人于堂上。

余宗老涂山，左公甥也，与先君子善，谓狱中语乃亲得之于史公云。（节选自方苞《左忠毅公逸事》）

7. 下列句子中加线的词语在文中的意思，解释不正确的一项是（）（3分）

A. 风雪严寒，从数骑出从：跟从

B. 叩之寺僧叩：问

C. 乃奋臂以指拨眦眦：眼眶

D. 史噤不敢发声，趋而出趋：小步快走

8. 下列各组句子中，全部体现左光斗识才爱才品质的一组是（)（3分）

① 微行入古寺 ② 解貂覆生，为掩户 ③ 席地倚墙而坐 ④ 奋臂以指拨眦，目光如炬 ⑤ 摸地上刑械作投击势 ⑥ 即面署第一

A. ①②⑥B. ②④⑤

C. ①③⑤D. ③④⑥

9. 下列对原文内容分析和概括，不正确的一项是（)（３分）

A. “风雪严寒”、“解貂覆生”、“叩之寺僧”、“瞿然注视”，分别运用环境、动作、细节、语言等描写方法刻画人物。

B. 文章构思注重前后照应，史可法的“数月不就寝”照应左光斗在“严寒天”视学，史可法坐帐外看着士卒睡觉，照应左光斗对古寺中寒士的爱护。

C. 作者以确凿的事实为线索，将材料编排得井井有条，环环相接。语言简洁有力，不在文字上过分雕琢、修饰。

D. 文章运用反衬的方法，明写史可法，暗写左公，写史可法的忠于职守，实则表现左光斗的言传身教对其产生的影响，从侧面丰富了左公的形象。

10. 把下列句子翻译成现代汉语。（7分）

（1） 吾师肺肝，皆铁石所铸造也。（2分）

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（2） 安能以身之察察，受物之汶汶者乎？（《楚辞·渔父》）（2分）

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（3） 古者富贵而名摩灭，不可胜记，唯倜傥非常之人称焉。（《报任安书》）（3分）

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三、 古诗词鉴赏（10分）

11. 阅读下面一首唐诗，然后回答问题。

陇 头 吟

王 维

长安少年游侠客，夜上戍楼看太白。

陇头明月迥临关，陇上行人夜吹笛。

关西老将不胜愁，驻马听之双泪流。

身经大小百余战，麾下偏裨①万户侯。

苏武才为典属国②，节旄落尽海西头。

注：①偏将，裨将，将佐的通称。古代佐助大将的将领称偏裨，亦称副将。②典属国来源于秦汉，负责少数民族事务。汉朝权力机关职能转换过程中，典属国的权力日益削弱。

（1） 有人说诗歌最后引用了苏武的典故，是颇含深意的，仔细阅读诗歌，说说引用苏武的典故作用。（4分）

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（2） 作者在“陇头”吟出了现实与历史的悲歌，就前三联而言，写了几类人？他们之间有怎样的内在联系？（6分）

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四、 名句名篇默写（8分）

12. 补写出下列名篇名句中的空缺部分。

（1） 举世混浊而我独清，___________，是以见放。（屈原《渔夫》）

（2） 鹏之徙于南冥也，___________ ，___________。（《庄子·逍遥游》）

（3）___________，衣食足而知荣辱。（司马迁《管仲列传》）

（4） 有志者，事竟成。___________，___________。苦心人，天不负。___________，__________。（蒲松龄）

五、 课本阅读（15分）

阅读下面的材料，完成13题。（5分）

第二步工作叫掐丝，就是将扁铜丝（横断面是长方形的）粘在铜胎表面上。这是一种非常精细的工作。掐丝工人心里有谱，不用在铜胎上打稿，就能自由自在地粘成图画。譬如粘一棵柳树吧，干和枝的每条线条该多长，该怎么弯曲，他们能把铜丝恰如其分地剪好曲好，然后用钳子夹着，在极稠的白芨浆里蘸，粘到铜胎上去。柳树的每个枝子上长着好些叶子，每片叶子两笔，像一个左括号和一个右括号，那太细小了，可是他们也要细磨细琢地粘上去。他们简直是在刺绣，只不过是绣在铜胎上而不是绣在缎子上，用的是铜丝而不是丝线、绒线。他们能自由地在铜胎上粘成山水、花鸟、人物种种图画，当然也能按照美术家的设计图样工作。反正他们对于铜丝好像画家对于笔下的线条，可以随意驱遣。美术家和掐丝工人的合作，将景泰蓝器物推陈出新，博得多方人士的青睐。

13. 上述材料是抓住了对象的什么特征来说明的？请结合文段内容，说说本段运用了哪些说明方法。（说出两个即可，要求有方法，有解说）

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阅读下面《长亭送别》中的三支曲子，回答14～16题。（10分）

【正宫】【端正好】碧云天，黄花地，西风紧，北雁南飞。晓来谁染霜林醉？总是离人泪。

【滚绣球】恨相见得迟，怨归去得疾。柳丝长玉骢难系，恨不倩疏林挂住斜晖。马儿迍迍的行，车儿快快的随，却告了相思回避，破题儿又早别离。听得道一声“去也”，松了金钏；遥望见十里长亭，减了玉肌。此恨谁知？

（红云）姐姐今日怎么不打扮？（旦云）你那知我的心里呵！

【叨叨令】见安排着车儿、马儿，不由人熬熬煎煎的气；有甚么心情花儿、靥儿，打扮得娇娇滴滴的媚；准备着被儿、枕儿，只索昏昏沉沉的睡；从今后衫儿、袖儿，都揾做重重叠叠的泪。兀的不闷杀人也么哥！兀的不闷杀人也么哥！久已后书儿、信儿，索与我凄凄惶惶的寄。

14. 下面对【端正好】理解不正确的一项是：

（）（3分）

A. 本曲为全折唱曲的领起，是莺莺去十里长亭的路上所唱，以抒情为主，直接抒发了莺莺当时的心情。

B. 曲中选取了“蓝天”、“白云”、“黄花”、“西风”、“大雁”、“红叶”六个具有深秋季节特征的意象，组成了一幅萧瑟黯然的凄美画面。

C. 以具有深秋时令特征的景物，点染出莺莺为离别所烦恼的痛苦压抑之情。

D. 这首曲词巧妙地化用了范仲淹的《苏幕遮》和李清照的《声声慢》的语句，融情于景，渲染出了整折戏的情感氛围，奠定了全折的情感基调。

15. 【滚绣球】一曲中“听得道一声‘去也’，松了金钏；遥望见十里长亭，减了玉肌”在写法上有什么特点？作用是什么？（3分）

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16. 【叨叨令】一曲在语言运用上有哪些特点？分别说说它们的作用。（4分）

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六、 拓展阅读（20分）

阅读下面的作品，完成17～20题。

火车窗口上的乡村民谣

薛?摇峰

火车拐过这个弯后驶入了野花四溢的景象里。

我所看见的野花赋予了这片山梁一种特异的迷人的色彩和气息。苜蓿紫色的花瓣轻轻摇曳在风里，油菜花起伏着它的一大片金黄的面庞，葵花静静地品味着日光在风里流动的眼神，野菊花则清唱着一支流传了无数岁月的民谣，这民谣甜蜜而忧伤。我想山梁上的野花，都在注视着火车轰隆隆地拐过一个又一个大大小小的弯。它们的眼里，跳动着一丛丛明亮的火焰，使火车在它们的光焰中成为一个流动的神秘预言。我想火车在野花的眼中，肯定是极其缓慢的，它可能像一片长条的黑色的云彩，以一种深入时间内部的姿势，探寻着身前身后的各种秘密和气息。过去曾有过巨大的苦楚？未来可能会跃然于繁华城市的舞台上？抑或只会成为一场传奇倾城的流言？我想野花们的前世可能会是一头矫捷的豹子，飞奔在深远无垠的广阔草原上。它们也许是感觉一直追逐的姿势实在是太累了，所以选择在此刻做一朵寂静摇曳的野花，一朵在流云的阴影下，寂静地翻腾着自己巨大心灵往事的野花，而别人则永远无法看到它们的心事。

夏虫此起彼伏的鸣叫贴近了火车的窗口，钻进了羁旅之人的耳朵，抵达他们此刻若隐若现的乡愁里。河流曲曲弯弯地淌过山梁下面的一片平地，两岸茂密生长的庄稼安静得仿佛要开口说话。古老。忧伤。一种暗暗的清澈的气息在庄稼地里流动，它拂过玉米的躯体，拂过谷子的额头，拂过荞麦的衣袖，向广阔的无声的远处掠去，仿佛一个精美原始的电影镜头。许多年前的事情，此刻想起，依然像刻录在碟片上的谣曲一样清晰深刻。那时，我经常会在庄稼地里摘一些野菜，拔一些青草，这些野菜和青草，会出现在我家的碗里和那头小毛驴的槽中。我喜欢吃那些野菜，它们清苦的滋味像少年时的暗恋和想念。少年时的暗恋是一个人导演的无声的戏剧。它最美丽的地方在于能使一个少年在某个突然的时刻莫名地微笑或叹息，那也许是他想起了某个女孩微笑的面庞或冷淡的眼神。而这样的微笑或叹息，长大后却不可能常有了。青涩少年时的心思，便是像野菜一样苦涩却又绵长。而那些青草我有时却并不想给那头小毛驴吃，因为有几次我骑上它的脊背时，它竟然把我摔下来了，有一次我还差点没晕过去。虽然之后我狠狠地给了它一顿皮鞭，但心里的怨意还是绵延了那个漫长的夏季。可我知道，我的怨意却难以深刻，因为它毕竟日日为我家劳作着，况且它还是父亲最钟爱的心腹呢。

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乡村的夏日里，少年们像水草一样疯长在河流的各个隐蔽的角落里。少年们在河水中赤裸着彼此打闹，夏季水中的清凉让他们感觉到了透心的舒适，所以他们整日像水獭一样凫游在河水中。少年们在那个年龄里的心思普遍缺少成熟后对事物冷静的认识，等他们长大后再回头想想，对那时在河水中放浪的深游就会感到很深很深的后怕。其实，光水底那一层厚厚的淤泥就足以对他们构成威胁，淤泥其实就是一种实实在在的河妖，随时会把他们拖到一个可怕的死寂的世界中。

在那个夏日长长的午后，我乘坐了一辆从异乡缓缓开回故土的老式列车。它停靠的小站有很多很多，这让我想到它仿佛是一台调频收音机。它停靠的每一个小站，都像是转动它的旋钮停顿下来的一个频道。那个夏日午后，我仿佛是以一个火车旅行者的目光和思维，打量到了故土深处悠远的风物，野花、河流、庄稼、少年，它们像一张乡村民谣的老唱片，在长长火车的一个窗口上，孤独地播放着风情万种的动人谣曲。

（选自《文苑·经典美文》，2008年第10期）

17. 作者是从哪些角度描写火车拐过这个弯后驶入了野花四溢的景象的？（4分）

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18. 品味“青涩少年时的心思，便是像野菜一样苦涩却又绵长”的妙处。（4分）

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19. 文章是以怎样的态度来写夏日少年的水中嬉戏场面的，请分析文段相关内容，谈谈理由。（6分）

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20. 本文以“火车窗口上的乡村民谣”为题，请结合文本内容探究“乡村民谣”的文化内涵。（6分）

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七、 作文题（70分）

姿态就是物体呈现的样子，既指体态、姿势，也可为风格、气度。前者，从中国传统的审美角度来看，人们推崇的姿态之美高于容貌之美；后者，有高姿态之说，即对自己要求严格，而对别人表现出宽容、谅解的态度。

你在生活中追求怎样的姿态？你心目中最美丽的姿态是什么样子的？请以“姿态”为题，写一篇不少于800字的文章。

注意：①所写内容必须在话题范围之内，②立意自定，③文体自选，④题目自拟，⑤不得抄袭。

参 考 答 案

1. C（A徊huí；B谂shěn；D泠líng）

2. C（A“飘飘洒洒”不能与“踱”连用，应改为“飘飘扬扬”；B“清而不俗，华而不寒”不符合语境，改为“华而不俗，清而不寒”；D“扛鼎”有“分量重、地位高”之比喻义，多用于指物，不指动作）

3. D（D不是被动句，其余为被动句）

4. C（曲词以“粗犷豪放”著称不对，应该是“婉约俊丽”）

5. ②④③⑤①（根据句式特点，可确定②④（头颅→脊梁）、③⑤（帝王→权贵）各为一组；①对上面四句作小结，并揭示下一句的原因）

6. 要求：（1）生命的价值要有积极意义；（2）可以为自己也可以为他人；（3）答案要有层次性；（4）主要内容：生命短暂宝贵+积极追求（有目标、有方向）+有意义有价值。

7. A（A率领，使……跟随）

8. B（①是说明其简朴，③是其受难）

9. D（是正面衬托）

10. （1）我老师的肺肝都是铁石铸成的啊。（2分。意思与句式各1分）

（2）哪里能让洁白的身体去接触污浊的外物呢？（2分。意思与句式各1分）

（3）古时候虽富贵而名声却泯灭不传的人，是无法都被记载下来的，只有卓越不凡的特殊人物才能名扬后世。（3分。得分点为“胜”、“倜傥”、“非常”）

11. （1）苏武出使匈奴如此尽忠于朝廷，报效于国家，回来以后，也不过只做了个典属国那样的小官，与关西老将的经历类比。（2分）说明了关西老将的遭遇不是偶然的、个别的；功大赏小，功小赏大，朝廷不公，古来如此，深化了主题。（2分）

（2） 长安少年、陇上行人、关西老将。（3分）今日的长安少年，安知不是明日的陇上行人，后日的关西老将？而今日的关西老将，又安知不是昨日的陇上行人，前日的长安少年？（3分）

12. （1）众人皆醉而我独醒 （2）水击三千里/抟扶摇而上者九万里 （3）仓廪实而知礼节 （4）破釜沉舟 百二秦关终属楚 卧薪尝胆 三千越甲可吞吴。

13. ①精细（1分）②下定义：简要说明什么是掐丝。举例子：以柳树为例，具体说明掐丝的操作方法。打比方：如举柳树来说明掐丝时，作者说柳叶像一个左括号，一个右括号。作比较：与刺绣比较，说明都是细致的工作。（说出两个即可，每个方法1分，每个解说1分）

14. A（以写景为主，间接抒发了莺莺的心情）

15. 特点：运用了夸张的手法。（1分）作用：表现了由于离别的极度悲哀而身心交瘁。（2分）

16. 运用了“儿化”，口语入曲，更贴近人的情感；运用了排比，气势贯通，使所抒悲愤之情更加强烈；运用了叠词，增加了节奏感，产生了一唱三叹的抒情效果。（答出两点即可，每点2分）

17. 色彩和气息；借助于野花的视角；“我”的想象。（每点2分，答出两点即可）

18. 把抽象的少年心思形象化；（2分）借助于熟悉的野菜生长，表达复杂的少年心思，野菜的苦涩意味着心中的怨意，绵长意味着苦涩岁月的漫长。（2分）

19. 欣赏与担忧；（2分）欣赏少年们的活泼与戏水的自由与快乐；（2分）担忧少年们不谙世事，厚厚的淤泥是河妖，足以构成对少年们的生命威胁。（2分）

20. 野花的甜蜜而又忧伤；河流、庄稼的古老与忧伤；少年苦涩却又绵长的心思；少年戏水的快乐与后怕。（每点2分，答三点即可）

文言参考译文：

先父曾经说过，同乡的前辈左忠毅公曾在京城一带担任主考。一天，风雪交加气候寒冷，（他）带着几个骑马的士卫，打扮成平民出去访察，进入一座古庙，廊下小屋里一个书生伏在书桌上睡着了，他的文章刚写成草稿。左公看完了，就脱下貂皮袍子盖在书生身上，又给他掩上门。（他）问庙里的和尚，才知道书生叫史可法。到考试时，官吏喊到史公的姓名，左公睁大眼睛注视着，等交上考卷，就当面批他为第一名。又召到内宅，让他拜见左夫人，说：“我的几个儿子都平庸无能，日后继承我的志向和事业，只有这个年轻人了。”

左公被关进东厂的监狱时，史可法从早到晚守在狱门外，逆贼太监（魏忠贤）防守监视得很严，即使是家里的仆人都不得接近。过了一段时间，听说左公受了烙铁烧烤的酷刑，早晚间即将死去，（史公就）拿了五十两银子，哭着找狱卒商量，狱卒被感动了。一天，（狱卒）让史可法换上破衣服，穿上草鞋，背着筐子，手拿长铲，装成清扫垃圾的人，把史公带进去，悄悄地指点左公所在的地方。（左公）正靠着墙坐在地上，面部、额头都烧得焦烂辨不清模样，左膝以下的筋骨都脱落了。史公上前跪下抱着左公的膝盖呜呜咽咽地哭着。左公辨出他的声音，但是眼睛却睁不开，于是使劲抬起手臂，用手指拨开眼眶，眼光如火炬一般，怒声喝道：“无能的奴才！这是什么地方？你却跑来！国家的事情糟糕到如此地步，我老头子已经完了，你再轻生不明大义，国家的事谁能支撑？还不赶快离开，不要等坏人来了设计罪名陷害，我现在就打死你！”于是摸索着地上的刑具，做出要投击的姿势。史公闭口不敢作声，快步走了出去。后来他常常流着眼泪把这件事告诉别人，说：“我老师的肺肝都是铁石铸成的啊。”

崇祯末年，流贼张献忠在蕲州、黄州、潜山、桐城一带出没，史公以凤庐道的身份奉命守卫这一带。每当有了警报，（他）就几个月不睡觉，让将士们轮流休息，自己却坐在帐幕外，选择十几个健壮的士兵，让两个人蹲着，自己靠着他们的背，过一段时间再轮换。每当在寒冷的夜晚站起身来，抖动衣裳，战甲上的冰霜散落地上，发出清脆的响声。有人劝他稍加休息，史公说：“我上怕对不起朝廷，下怕对不起我的老师啊！”

史可法统率军队经过桐城，一定要亲自到左公家中，向左公的父母请安，到堂上拜见左夫人。

我的同族老前辈方涂山，是左公的女婿，与我父亲要好，（他说）关于狱中的一些话，是亲自听史公讲的。

高二数学上学期复习 篇4

第Ⅰ卷（选择题 共50分）（编者:吴时瑜 2013.6.27）

一、选择题（本大题共25小题，每小题2分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）

1.党的十八大报告强调，解决好农业农村农民问题是全党工作的重中之重，城乡发展一体化是解决“三农”问题的根本途径。从政治的角度看，促进城乡一体化()

A.凸显了国家政权性质的首要标志 B.巩固了国家政权的阶级基础 C.扩大了国家政权的社会基础 D.彰显了国家政权的最大特点

2.如果要设计和提交一份公民依法参与民主决策的方案,下列选项中比较合理和正确的步骤是()

①通过媒体、网络等平台，了解民众对政府工作的批评、意见和建议 ②选择一两件与百姓生活关系密切的政府决策，写出自己的评论或意见 ③直接交给政府有关部门组织实施

④将评论或意见通过人大代表向人代会提出相关提案

A.①②③ B.①②④ C.②③ D.②④

3.我国于1991年发表第一份《中国的人权状况》白皮书，2004年将“尊重和保障人权”写入宪法，2012年将“尊重和保障人权”写入刑事诉讼法。我国人权发展的事实充分证明()①人民民主的主体和权利不断扩大 ②人民民主的真实性日益充分实现 ③社会主义民主政治逐步发展完善 ④公民的权利与义务是完全统一的 A.①②

B.①③

C.②③

D.②④

4.人口老龄化是困扰世界的一个难题。说到中国未来可能出现的“未富先老”问题，有人认为，政府只要是为了维护公民权益，并且严格执行专家讨论等程序，那么出台的化解老龄化危机的决策结果，就是无可厚非的。这种想法的片面性在于，没有认识到()A.构建服务型政府需要设置公民参与的途径 B.政府必须倾注服务的热情和善意 C.政府是公共服务和公共产品的提供者

D.公众可以在参与中增强对政府决策的理解和信任

5.中共中央政治局会议决定从今年下半年开始，用一年左右时间，在全党自上而下分批开展党的群众路线教育实践活动。这一活动的开展（）

①引导党员牢固树立全心全意为人民服务的宗旨 ②是发展党内民主带动人民民主的重大举措 ③确立人民主体地位，保证人民当家作主 ④夯实党的执政基础，巩固党的执政地位

A.①② B.③④ C.①④ D.②③

6.2013年3月14日，出席十二届全国人方一次会议的近三千名代表经过投票，选举习近平为中华人民共和国国家主席。根据宪法和有关法律规定,选举国家机构领导人员的程序包括:推荐候选人、讨论酝酿候选人、确定正式候选人、投票选举等几个步骤。这表明（）

①人民代表大会实行民主集中制原则

②国家领导人通过间接选举方式产生 ③全国人民代表大会行使最高决定权

④我国选举方式与社会进步状况相适应 A.①② B.③④

C.①④ D.②③

7.如果经过法定程序证明政府权力的行使侵犯了公民的合法权利，那就应该按照法律的规定给予赔偿。这一做法体现了行政管理体制的要求是()A.高效便民 B.执行顺畅 C.权责一致 D.监督有力 8.截至3月7日，参加全国政协十二届一次会议的政协委员，共提交提案5641件，内容涉及关注民生、经济建设、生态环境保护、文化建设等多方面，为有关部门的科学决策提供了重要参考。这一事实主要说明人民政协（）

A.是多党合作的重要机构 B.充分履行了参政议政职能 C.是各民主党派合作的组织 D.是最广泛的爱国统一战线

9.面对国际风云变化，中国政府明确表示，中国将高举和平、发展、合作的旗帜，奉行独立自主的和平外交政策。决定我国外交政策的因素是（）

A.国家性质和国家利益 B.国家主权和民族尊严 C.国家职能和国家机构 D.国家力量和国家安全 10.关于我国的宗教政策，说法正确的是（）

A.我国实行宗教信仰自由 B.国家鼓励公民信仰宗教 C.要禁止青少年上学期间信仰宗教 D.国家要消灭宗教现象 11.最近有一些西方媒体声称他们的互联网受到了源自中国的黑客攻击。“美国已把手套摘掉，准备动真格的了”，美国《时代》周刊网站这样形容美国对所谓“中国黑客攻击”的态度。针对上述现象，下列说法符合我国主张的是（）

①强化网络安全能力建设，承担网络安全国家责任

②建立和平、安全、公正、开放的信息和网络空间

③发挥我国在国际社会中的主导作用维护网络安全

④严格限制国际间交流与合作，消除网络安全隐患

A.①② B.②④ C.①③ D.③④ 12.PM2.5被写入我国《环境空气质量标准》，经历了“从民众感知灰霾困扰，到微博呼吁推动，再到《环境空气质量标准》向全社会公开征求意见”的过程。这是一次国家环保政策与公众民意的良性互动，表明（）

①政府树立求真务实的工作作风 ②政府坚持民主决策科学决策 ③政府是为了树立政府权威 ④人民真正成为社会的主人 A.①② B.②③ C.③④ D.①④

13.2013年2月28日，中共中央在中南海怀仁堂举行民主协商会，就国务院机构改革和职能转变等事宜，向各民主党派人士通报情况，听取意见。这样做（）

①是尊重各民主党派参政权和决策权的体现 ②表明中国共产党和各民主党派共同执政 ③是多党合作和政治协商制度的内在要求 ④是我国社会主义民主的具体体现 A.①③ B.②④ C.①② D.③④

14.有一种节约叫光盘，有一种公益叫光盘，有一种习惯叫光盘！所谓光盘，就是吃“光”你“盘”子里的东西。网友自发发起不剩饭菜、晒吃光后餐具的“光盘行动”，厉行节约，拒绝舌尖上的浪费，引起众多媒体和网友的热烈反响。公民参与光盘行动，节约粮食、从我做起表明。这说明（）

①公民应履行维护国家安全、荣誉的义务 ②公民意识包含公民对国家和社会的责任感和使命感 ③光盘是公民必须履行的义务 ④公民应坚持个人利益与国家利益相结合的原则

A.②④ B.①④ C.②③ D.③④

15.H7N9型禽流感是一种新型禽流感，于2013年3月底在上海和安徽两地率先发现。H7N9型禽流感是全球首次发现的新亚型流感病毒，我国各地区各部门采取各种措施，严密监测甲型H7N9流感疫情动向，全力救治甲型流感患者，保障公共卫生安全。这体现了我国政府（）

A.保障人民民主和维护国家长治久安的职能 B.组织社会主义经济建设的职能 C.组织社会主义文化建设的职能 D.提供社会公共服务的职能 16.在南海问题上，我们历来倡导以和平对话的方式解决争端。这是因为（）

A.消除国际竞争的前提是国家间有共同利益 B.对话是化解国家间矛盾的唯一途径 C.维护国家主权是我国外交政策的宗旨和立场 D.和平与发展仍然是时代的主题 17.身着民族服装的少数民族代表在参加全国人民代表大会时总会引起人们的关注。目前，我国各少数民族都有全国人大代表，并且少数民族代表占全国人大代表总数的比例，均高于同期少数民族人口占全国总人口的比例。这直接体现了我国在处理民族关系问题上（）

A.坚持民族平等的原则 B.坚持民族团结的原则 C.坚持各民族共同繁荣的原则 D.实行民族区域自治制度

18.党的十八大代表中，生产和工作第一线党员所占比例超过32%,20万大学生村官首次有了党代表，农民工党员代表和新经济组织的党员代表人数大幅增加。这表明中国共产党（）

A.作为国家权力机关，其组成人员是民主选举产生的 B.主要由大学生村官、农民工和新经济组织人员组成

C.坚持民主执政，代表的产生充分与各民主党派进行磋商

D.是中国工人阶级的先锋队，同时是中国人民和中华民族的先锋队

19.中共中央、国务院在国家大政方针、重要人事安排和有关重要问题出台之前，都要及时同各民主党派中央、全国工商联和无党派人士协商，听取意见。这表明（）

A.中国共产党和各民主党派共同执掌国家政权 B.中国共产党同各民主党派的地位是一样的

C.我国的政党制度是中国共产党领导的多党合作和政治协商制度 D.中共中央、各民主党派中央和人民政协都是国家权力机关

20.在新一轮的海洋竞争中，我们既要保卫我国的海洋国土、捍卫我国的海洋权益，又要处理好与周边国家的关系、维护地区的和平与稳定。这表明（）

①我国奉行独立自主的和平外交政策 ②国家利益是国际关系的决定因素 ③对国际问题自主地决定自己的态度和主张 ④当前国际竞争的实质是以经济实力的较量

A.①②

B.①④

C.②③

D.③④

21.国务院于2012年6月21日批准设立三沙市，进一步加强对西沙群岛、中沙群岛、南沙群岛的岛礁及其海域的行政管理和开发建设，保护南海海洋环境。这是我国（）

①加强基层政权发展基层民主的生动实践 ②加强国土管控、维护海洋权益的有效举措

③行使国家主权发展国民经济的客观要求

④调整外交战略、协调国际关系的具体表现 A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 22.2012年9月11日起，中央气象台把钓鱼岛及周边海域的天气预报纳入到国内城市预报中，并将在新闻联播《天气预报》节目里播出，内容包括温度、湿度、风速、风向、降雨量等气象要素。这体现了我国政府()①对钓鱼岛及周边海域行使管辖权

②履行公共服务职能 ③履行组织经济建设职能

④依法行政高效廉洁

A.①②

B.①③

C.②④

D.③④ 23.2012年9月25日，我国第一艘航空母舰“辽宁舰”顺利交付海军。“辽宁舰”交接入列后将继续开展相关科研试验和军事训练等工作。建造航母有利于（）

①促进国防科技工业技术进步和建设创新型国家 ②增强国防实力、提高综合国力

③发挥我国在国际事务中的主导作用，促进国际关系民主化 ④我国在军备竞赛中撑握主动权，维护国家安全

A.①②

B.①④

C.②③

D.③④

24.新医改带给人们更多希望，百姓看病难、看病贵的坚冰，在新医改中逐步消融。为进一步深化改革，扩大医改成果，国务院办公厅颁布了《关于巩固完善基本药物制度和基层运行新机制的意见》。国务院高度重视医改，其目的是（）

①提高立法水平，建设法治政府 ②进一步提高为人民服务的能力和水平③履行社会公共服务职能 ④实现和维护广大人民的根本利益

A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 25.十八大报告提出，积极推动农民工子女平等接受教育。“教育”一词前面取消了“义务”二字，意味着今后学前教育和高中阶段乃至高等教育阶段的大门，都要向进城务工人员子女平等敞开，异地高考是大势所趋。推动农民工子女平等接受教育（）

①是推动社会公平的重要体现 ②体现了国家对公民基本权利的尊重 ③是社会主义民主最广泛而深刻的实践 ④扩大了农民工子女的民主权利 A.①② B.①③ C.②④ D.③④

第Ⅱ卷（非选择题 共50-分）

二、非选择题（本大题共5小题，共50分）

26.2013年初，我国中东部地区遭遇了“四面霾伏”。据中科院大气物理研究所监测的数据统计，今年1月份京津冀共发生5次强霾天气，给人们的生活和出行造成了严重影响，华北成为全球污染最严重的地区之一。有环保专家认为，导致雾霾的主要人为因素是燃煤、机动车尾气、扬尘以及工业污染等。建设美丽中国，健康从呼吸做起，既然同呼吸，就当共责任、强力攻坚、全民参与，才能打赢这场防治大气污染的大会战。

运用政治生活知识，说明政府和公民在战胜雾霾的大会战中应如何发挥作用。(12分）

27.中国共产党第十八次全国代表大会审议通过了《坚定不移沿着中国特色社会主义道路前进 为全面建成小康社会而奋斗》的报告。报告起草工作是在中央政治局常委会直接领导下进行的，起草组组成7个调研组，分赴12个省区市进行专题调研，初稿形成后，广泛征求了各方面意见，还召开座谈会专门听取了各民主党派中央、全国工商联领导人和无党派人士的意见。

结合材料，说明报告的起草过程蕴涵了哪些政治生活的道理？（10分）

28.材料：为了引导产业健康发展，我国政府发布国家产业政策和行业发展规划，严格市场准入，强化环境监管，实行严格的有保有控的金融政策，建立信息发布制度，适时向社会发布产业政策导向及产业规模、社会需求等信息，深化改革，从体制上解决产能过剩的深层次问题。

结合材料，在抑制部分行业产能过剩和重复建设的过程中，我国政府是如何履行经济职能的？（8分）

29.材料一：“食品安全是关乎人人的重大基本民生问题。”2012年7月15日“浙江食品安全百日大整治"正式启动，整治行动号称史上最严厉：最严格的准入、最严格的管理、最严厉的处罚、最严厉的问责。整治的重点是非法添加和滥用食品添加剂的违法行为。

材料二：尽管我国《食品安全法》颁布多年，但近年食品安全事件屡有发生，“毒奶粉”染色馒头、“瘦肉精”猪羊肉、“地沟油”„„诚信缺失、道德滑坡已到严重地步，严重影响了消费者健康。为此，国家工商总局、国家质检总局和食品药品监督管理总局等部门加大食品安全重点整治力度，确保食品安全。

根据材料，请从政府职能的角度，说明政府应如何确保食品安全。(10分)

30.材料:W省委在推进城镇化过程中，注意听取各领域专家的建议，充分发挥人民政协作为协商民主重要渠道的作用，启动城乡户籍改革，实现教育、医疗、社保等基本公共服务覆盖全部城镇常住人口，有序推进农业转移人口市民化。

结合材料，分析W省委的做法体现了哪些政治生活道理。(10分)2013年上学期高二期末复习政治（必修2）综合测试题

1-5 BDCDC 6-10 ACBAA 11-15 AADCD 16-20 DADCA 21-25 BAADA 26.运用政治生活知识，说明政府和公民在战胜雾霾的大会战中应如何发挥作用。(12分）政府：①履行社会公共服务职能、经济建设职能、文化建设职能，加强市场监管和宣传教育，引导企业、公民树立正确观念，治理环境污染；

②政府要依法行政，完善相关行政法规，加强行政执法队伍建设，严格公正执法； ③政府应对人民负责，率先垂范，发挥示范带头作用，自觉接受社会监督。（6分）公民：①应坚持权利和义务相统一、个人利益和国家利益相结合的原则，增强公民意识，树立正确的消费观念，保护环境，绿色出行；

②公民通过信访举报制度、人大代表联系群众制度和舆论监督制度等途径进行监督，推进环境的治理；

③积极参与民主决策，为治理雾霾献言献策。（6分）

27.结合材料，说明报告的起草过程蕴涵了哪些政治生活的道理？（10分）

3分 ①政治局常委直接领导报告的起草工作说明了中国共产党是我国的执政党，是社会主义事业的领导核心。

②专题调研，社会调查，听取各方意见，说明中国共产党科学执政，民主执政，科学民主决策。

③召开座谈会专门听取了各民主党派中央、全国工商联领导人和无党派人士的意见体现了我国实行中国共产党领导的多党合作政治协商制度，协商民主是我国民主的重要形式，各民主党派是参政党，参政议政。（每点2分）28.结合材料，在抑制部分行业产能过剩和重复建设的过程中，我国政府是如何履行经济职能的？（8分）

①进行经济调节。实行严格的有控有压的金融政策等措施，落实国家产业政策和行业发展规划，引导产业健康发展。

②进行市场监管。严格市场准入，规范市场行为和秩序，保障合法权益。③加强社会管理。通过出台系列政策措施和深化改革推动结构调整，不断解决产能过剩的深层次问题。

④搞好公共服务。建立信息发布制度，适时向社会发布相关信息。（每点 2 分）29.根据材料，请从政府职能的角度，说明政府应如何确保食品安全。(10分)

①履行保障人民民主和维护国家长治久安的职能。依法打击食品安全违法犯罪活动。②履行组织社会主义经济建设的职能。全面监管，做好社会管理和公共服务，维护食品市场秩序。

③履行组织社会主义文化建设的职能。发展教育、卫生事业，提高公民思想道德素质； ④履行提供社会公共服务的职能。做好食品安全方面的信息公开，为公民提供相关服务。30.结合材料，分析W省委的做法体现了哪些政治生活道理。(10分)

①注意听取各领域专家的建议，体现了中国共产党坚持民主执政、科学执政； ②充分发挥人民政协作为协商民主重要渠道的作用，体现了坚持中国共产党领导的多党合作和政治协商制度，人民政协充分行使政治协商、民主监督、参政议政等职能；

人教版高二上学期数学教案 篇5

基本不等式又称为均值不等式，选自北京师范大学出版社普通高中课程标准实验教科书数学必修5第3章第3节内容。教学对象为高二学生，本节课为第一课时，重在研究基本不等式的证明及几何意义。本节课是在系统的学习了不等关系和掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题奠定基础。因此基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。

【教学目标】

依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：

知识与技能目标：理解掌握基本不等式，理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;

过程与方法目标：通过探究基本不等式，使学生体会知识的形成过程，培养分析、解决问题的能力;

情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

【教学重难点】

重点：理解掌握基本不等式，能借助几何图形说明基本不等式的意义。

难点：利用基本不等式推导不等式.

关键是对基本不等式的理解掌握.

二、教法分析

本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究;启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率.

三、学法指导

新课改的精神在于以学生的发展为本，把学习的主动权还给学生，倡导积极主动，勇于探索的学习方法，因此，本课主要采取以自主探索与合作交流的学习方式，通过让学生想一想，做一做，用一用，建构起自己的知识，使学生成为学习的主人。

四、教学过程

教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。

具体过程安排如下：

(一)基本不等式的教学设计创设情景，提出问题

设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实.基于此,设置如下情境:

上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

[问题1]请观察会标图形，图中有哪些特殊的几何图形?它们在面积上有哪些相等关系和不等关系?(让学生分组讨论)

(二)探究问题，抽象归纳

基本不等式的教学设计1.探究图形中的不等关系

形的角度----(利用多媒体展示会标图形的变化,引导学生发现四个直角三角形的面积之和小于或等于正方形的面积.)

数的角度

[问题2]若设直角三角形的两直角边分别为a、b,应怎样表示这种不等关系?

学生讨论结果：。

[问题3]大家看，这个图形里还真有点奥妙。我们从图中找到了一个不等式。这里a、b的取值有没有什么限制条件?不等式中的等号什么时候成立呢?(师生共同探索)

咱们再看一看图形的变化，(教师演示)

(学生发现)当a=b四个直角三角形都变成了等腰直角三角形，他们的面积和恰好等于正方形的面积，即.探索结论：我们得到不等式，当且仅当时等号成立。

设计意图：本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式基本不等式的教学设计。在此基础上，引导学生认识基本不等式。

2.抽象归纳：

一般地，对于任意实数a,b，有，当且仅当a=b时，等号成立。

[问题4]你能给出它的证明吗?

学生在黑板上板书。

[问题5]特别地，当时，在不等式中，以、分别代替a、b，得到什么?

学生归纳得出。

设计意图：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.

【归纳总结】

如果a,b都是非负数，那么，当且仅当a=b时，等号成立。

我们称此不等式为基本不等式。其中称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数。

3.探究基本不等式证明方法：

[问题6]如何证明基本不等式?

设计意图：在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。

方法一：作差比较或由基本不等式的教学设计展开证明。

方法二：分析法

要证

只要证2

要证,只要证2

要证,只要证

显然,是成立的。当且仅当a=b时,中的等号成立。

4.理解升华

1)文字语言叙述：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

2)符号语言叙述：

若，则有，当且仅当a=b时，。

[问题7]怎样理解“当且仅当”?(学生小组讨论，交流看法，师生总结)

“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：

当a=b时，取等号，即;

仅当a=b时，取等号，即。

3)探究基本不等式的几何意义：

基本不等式的教学设计借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式的几何解释，通过数形结合，赋予不等式几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。

如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，

CD⊥AB，AC=a,CB=b，

[问题8]你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗?

(教师演示，学生直观感觉)

易证RtACDRtDCB，那么CD2=CA·CB

即CD=.

这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.

因此：基本不等式几何意义可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦(直径是最长的弦);或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高.

4)联想数列的知识理解基本不等式

从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义;从数的角度来看，基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系.

[问题9]回忆一下你所学的知识中，有哪些地方出现过“和”与“积”的结构?

归纳得出:

均值不等式的代数解释为:两个正数的等差中项不小它们的等比中项.

基本不等式的教学设计(四)体会新知，迁移应用

例1：(1)设均为正数，证明不等式：基本不等式的教学设计

(2)如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，设AC=a,CB=b，

，过作交于，你能利用这个图形得出这个不等式的一种几何解释吗?

高二数学上学期复习 篇6

2020高二数学教师上学期工作总结【一】

本学期我担任高二(13)、(14)两班的数学教学，完成了选修1-2、4-4、4-5内容的教学。现将本学期的教学总结如下：

由于所带的班级是文科班，学生基础普遍较差，接受比较慢的实际情况，我采取了低起点，小步子的教学方法，根据教材的内容设计课的类型，并对教学过程的程序及时安排，认真写好每一篇教案。每一节课都做到有备而来，每堂课都在课前做好充分准备，课后及时对课上出现的情况进行总结，并认真搜集每节课的知识要点，归纳在一起。在准备课堂练习时，需查阅大量的资料，给学生高质量的习题，使每个题都有针对性。具体采取的教学措施是：

1、教学中要传授知识与培育能力相结合，充分调动学生学习的主动性，培育学生的概括能力，是学生掌握数学基本方法、基本技能。

2、以五大数学思想为主线，有目的、有计划、有重点，避免面面俱到，减轻学生的学习负担。

3、加强教育教学研究，坚持学生主体性原则，坚持循序渐进原则，坚持启发性原则。研究并采用以“五段发现式教学”模式为主的教学方法，全面提高教学质量。

4、积极参加集体备课，共同研究，努力提高授课质量

5、坚持向同行听课，取人所长，补己之短。相互研究，共同进步。

6、坚持学法研讨，加强个别辅导(差生与优生)，提高全体学生的整体数学水平，培育尖子学生。

社会对教师的素质要求更高，在今后的教育教学工作中，我将更严格要求自己，多方面提高自己的素质，努力工作，争取在多领域贡献自己的力量，发扬优点，改正缺点，开拓前进，不断地奉献自己的力量。一份耕耘，一份收获。教学工作苦乐相伴。我将本着“勤学、善思、实干”的准则，一如既往，再接再厉，把工作搞得更好。

2020高二数学教师上学期工作总结【二】

紧张有序的高二教学工作第一学期已经结束了。本学期我认真钻研数学中的每一个知识点，精心设计每一节课，虚心向教学经验丰富的教师请教，同时积极主动的学习其他教师的实际教学方法，与此同时，我努力做好教学的各个环节，做好学生的课后辅导工作，注意学生的心理素质的提高。尽管我在教学中小心谨慎，但还是留下了一些遗憾。下面就本学期的工作总结如下：

一、积极参加集体备课，优化课堂教学

新的课改形势下，高二数学怎么去教，学生怎么去学?无论是教师还是学生都感到压力很大，针对这一问题数学备课组制定了严密的教学计划，提出了优化课堂教学，强化集体备课，培养学生素质的具体要求。即优化课堂教学目标，规范教学程序，提高课堂效率，全面发展、培养学生的能力，为其自身的进一步发展打下良好的基础。在集体备课中，注重充分发挥各位教师的长处，集体备课把握住了正确的方向和统一了教学进度，对于各位教师来讲，又能发挥自己的特长，因材施教。

二、立足课本，夯实基础

教学过程中，不仅要展现教师的分析思维，还要充分展现学生的思考思维，把教学活动体现为思维活动;同时还适当增加难度，教学起点总体要高，注重提优补差，新课改将更加注重对学生能力的考查，适当增加教学的难度，为更多优秀的学生脱颖而出提供了更多的机会和空间，有利于优秀的学生限度发挥自己的潜能，取得更好的成绩;对于基础差的学生充分利用辅导课的时间帮助他们分析学习上存在的问题，解决他们学习上的困难，培养他们学习数学的兴趣，激励他们勇于迎接挑战，不断挖掘潜力，限度提高他们的数学成绩。

三、因材施教，全面提高

由于学生的整体情况不一样，同一班级的学生，层次差别也较大，给教学带来很大的难度，这就要求自己要从整体上把握教学目标，又要根据各班实际情况制定出具体要求，对不同层次的学生，应区别对待，这样，对课前预习、课堂训练、课后作业的布置和课后的辅导的内容也就因人而异，对不同班级、不同层次的学生提出不同的要求。在课堂提问上也要分层次，基础题一般由学生来做，以增强他们的信心，提高学习的兴趣，对能力较强的学生要把知识点扩展开来，充分挖掘他们的潜力，提高他们逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。课后作业的布置，既有全体学生的必做题也有针对较强能力的学生的思考题，课后对学生的辅导的内容也因人而异，让所有的学生都能有所收获，使不同层次的学生的能力都能得到提高。

四、把握教材，注重通性通法的教学、做好学习方法的指导工作

近几年高考数学试题坚持新题不难、难题不怪的命题方向，强调“注意通性通法，淡化特殊技巧”。就是说高考最重视的是具有普遍意义的方法和相关的知识。尽管复习时间紧张，但我们仍然要注意回归课本。回归课本，不是要强记题型、死背结论，而是要抓纲悟本，对着课本目录回忆和梳理知识，把重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上，选择一些针对性极强的题目进行强化训练，这样复习才有实效。

在自己解题时有意识的找出方法，尽量不要有较大的思维跳跃，同时对题目加以取舍，也可以把精彩之处或做错的题目做上标记。查漏补缺的过程就是反思的过程。除了把不同的问题弄懂以外，还要学会“举一反三”，及时归纳。学生的心理素质极其重要，以平和的心态参加考试，以实事求是的科学态度解答试题，培养锲而不舍的精神。考试是一门学问，高考要想取得好成绩，不仅取决于扎实的基础知识、熟练的基本技能和过硬的解题能力，而且取决于临场的发挥。我们要把平常的考试看成是积累考试经验的重要途径，把平时考试当做高考，从心理调节、时间分配、节奏的掌握以及整个考试的运筹诸方面不断调试，逐步适应。教师需要针对学生存在的问题调整复习策略，使复习更有重点、有针对性。

五、加强考法、心理等方面的指导

培养非智力因素充分利用每一次练习、测试的机会，培养学生的应试技巧，提高学生的得分能力，如对选择题、填空题，要注意寻求合理、简洁的解题途经，要力争“保准求快”，对解答题要规范做答，努力作到“会而对，对而全”，减少无谓失分，指导学生经常总结审题答题顺序、技巧，力争找到适合自己的心理调节方式和临场审题、答题的具体方法，逐步提高自己的应试能力;帮助学生树立信心、纠正不良的答题习惯、优化答题策略、强化一些注意事项。

总之，教学工作不仅仅要落实常规，还要因地制宜，与时俱进，针对学生的具体情况采取相应的措施与办法，有计划有落实有检查，关注每一个学生，关注每一个课堂，关注每一个环节，从小处着眼，从细处着手。只有这样才有利于教学质量的提高，有利于学生身心的健康发展。

2020高二数学教师上学期工作总结【三】

时光飞逝，转眼间一学期已经结束，我所教的班级高二(12)班教学工作也到了做总结的时候了，回想2019年的工作，有付出，有收获，有憧憬，有彷徨。一学期来，本人热爱本职工作，认真学习新的教育理论，广泛涉猎各种知识，形成比较完整的知识结构，严格要求学生，尊重学生，发扬教学民主，使学生学有所得，不断提高，从而不断提高自己的教学水平和思想觉悟，为了下一学年的教育工作做的更好，下面是本人的本学期的教学经验及教训。

一、政治思想方面：

认真学习新的教育理论，及时更新教育理念。积极参加课改培训和校本培训，并做了大量的探索与反思。在教学中我不但注重集体的理论学习，还注意从书本中汲取营养，认真学习仔细体会新形势下怎样做一名好教师。

二、教育教学方面：

在新课标下，要学会用教材，理解课标，提高教学质量，关键是上好课。为了上好课，我做了下面的工作：

1、备教材备课标。认真钻研课程标准和教材，对教材的基本思想、基本概念吃透，了解教材的结构，重点与难点，掌握知识的逻辑，能运用自如，知道应如何处理教材和补充哪些资料，才能教好。

2、备教法。考虑教法，解决如何把已掌握的教材传授给学生，包括如何组织教材、如何安排每节课的活动。本学期结合以前的教学，采用培养学生的自学能力和探究能力为主，如何让学生掌握课堂内容，不费功夫是很难达到的。

3、课堂上的情况。组织好课堂教学，关注全体学生，注意信息反馈，调动学生的有意注意，使其保持相对稳定性，同时，激发学生的情感，使他们产生愉悦的心境，创造良好的课堂气氛，克服了以前重复的毛病，课堂提问面向全体学生，注意引发学生学数学的兴趣，课堂上讲练结合，布置好家庭作业，作业少而精，减轻学生的负担。

4、要提高教学质量，还要做好课后辅导工作，虽然学生已是高中生了，但他们还很爱好玩，缺乏自控能力，常在学习上不能按时完成作业，有的学生抄袭作业，学习不自觉，针对这些问题，就要抓好学生的思想教育，并使这一工作惯彻到对学生的学习指导中去，还要做好对学生学习的辅导和帮助工作，提高教学水平。

三、工作考勤方面：

我热爱自己的事业，从不因为个人的私事耽误工作的时间。并积极运用有效的工作时间做好自己分内的工作。在今后的教育教学工作中，我将更严格要求自己，多方面提高自己的素质，不断地奉献自己的力量。一份耕耘，一份收获。教学工作苦乐相伴。我将本着“勤学、善思、实干”的准则，一如既往，再接再厉，把工作做得更好!

2020高二数学教师上学期工作总结【四】

回顾一学期的教学工作，在校各级领导的大力支持下，在高二数学组全体教师的团结协作和奋力拼搏下，圆满完成了各项任务，达到了预期的目的.有成功的喜悦，也有不足的遗憾。下面就本学期的工作总结如下：

一、加强集体备课 优化课堂教学

新的课改形势下，高二数学怎么去教，学生怎么去学?无论是教师还是学生都感到压力很大，针对这一问题备课组制定了严密的教学计划，提出了优化课堂教学，强化集体备课，培养学生素质的具体要求。即优化课堂教学目标，规范教学程序，提高课堂效率，全面发展、培养学生的能力，为其自身的进一步发展打下良好的基础。

在集体备课中，注重充分发挥各位教师的长处，集体备课把握住了正确的方向和统一了教学进度，对于各位教师来讲，又能发挥自己的特长，因材施教。

二、立足课本 夯实基础

教学过程中，不仅要展现教师的分析思维，还要充分展现学生的思考思维，把教学活动体现为思维活动;同时还适当增加难度，教学起点总体要高，注重提优补差。

新课改将更加注重对学生能力的考查，适当增加教学的难度，为更多优秀的学生脱颖而出提供了更多的机会和空间，有利于优秀的学生最大限度发挥自己的潜能，取得更好的成绩;对于基础差的学生充分利用辅导课的时间帮助他们分析学习上存在的问题，解决他们学习上的困难，培养他们学习数学的兴趣，激励他们勇于迎接挑战，不断挖掘潜力，最大限度提高他们的数学成绩。

三、因材施教 全面提高

由于学生的整体情况不一样，同一班级的学生，层次差别也较大，给教学带来很大的难度，这就要求自己要从整体上把握教学目标，又要根据各班实际情况制定出具体要求，对不同层次的学生，应区别对待，这样，对课前预习、课堂训练、课后作业的布置和课后的辅导的内容也就因人而异，对不同班级、不同层次的学生提出不同的要求。

在课堂提问上也要分层次，基础题一般由学生来做，以增强他们的信心，提高学习的兴趣，对能力较强的学生要把知识点扩展开来，充分挖掘他们的潜力，提高他们逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。课后作业的布置，既有全体学生的必做题也有针对较强能力的学生的思考题，课后对学生的辅导的内容也因人而异，让所有的学生都能有所收获，使不同层次的学生的能力都能得到提高。

四、优化练习提高练习的有效性

知识的巩固，技能的熟练，能力的提高都需要通过适当而有效的练习才能实现;首先，练习题要，题量要适度，注意题目的典型性和层次性，以适应不同层次的学生;对练习要全批全改，做好学生的错题统计，对于错的较多的题目，找出错的原因。

练习的讲评是高二数学教学的一个重要的环节，为了最大限度地发挥课堂教学的效益，课堂的讲评要科学化，要注重教学的效果，不该讲的就不讲，该点拨的要点拨，该讲的内容一定要讲透;对于典型问题，要让学生板演，充分暴露学生的思维过程，加强教学的针对性。多做限时练习，有效的提高了学生的应试能力。

五、加强考法、心理等方面的指导 培养非智力因素

充分利用每一次练习、测试的机会，培养学生的应试技巧，提高学生的得分能力，如对选择题、填空题，要注意寻求合理、简洁的解题途经，要力争“保准求快”，对解答题要规范做答，努力作到“会而对，对而全”，减少无谓失分，指导学生经常总结审题答题顺序、技巧，力争找到适合自己的心理调节方式和临场审题、答题的具体方法，逐步提高自己的应试能力;帮助学生树立信心、纠正不良的答题习惯、优化答题策略、强化一些注意事项。

在这一学期中，虽然取得了一些成绩，但还有很多不足，在今后的工作中还要努力向各位学习，不断提高自己的教育教学水平。

2020高二数学教师上学期工作总结【五】

学期我任高二两个班的数学课，高二、三班总人数是68人，高二、四班69人，总体来看，这两个班的基础不太好，学习习惯也不太好，两极分化严重，文科生对数学不太感兴趣，特别是我对教材不熟悉，导致我在这学期的备课、上课、备学生等方面很吃力。虽然是这样，通过我的努力，依据学期初制定的教学计划，已经圆满完成了这学期的教学任务，下面我对这学期的工作进行一下总结。

一、在备课方面，我认真钻研教材，注意了解学生，潜心研究教法。

这学期的教学内容包括，简单几何体，排列、组合、二项式定理，概率，导数。针对学生基础普遍较差，接受比较慢的实际情况，我采取了低起点，小步子的教学方法，根据教材的内容设计课的类型，并对教学过程的程序及时安排，认真写好每一篇教案。每一节课都做到有备而来，每堂课都在课前做好充分准备，课后及时对课上出现的情况进行总结，并认真搜集每节课的知识要点，归纳在一起。

在准备课堂练习时，由于我的教学经验不足，备课时需查阅大量的资料，给学生高质量的习题，使每个题都有针对性。由于我是今年才接四班，对于四班的情况不了解，一年以来，我注重和他们的沟通，多和他们谈心，了解他们的学习情况，由于学生对我不太适应，所以在期中考试时成绩不太理想，他们对我的评价不太好，虽然我没有看到最近的学生评价教师的结果，但是我知道他们已经接受了我，并且我也真正的了解了他们。

二、增强上课的技能，提高教学质量。

在讲课时，尽量使讲解清晰化，使课堂教学的内容条理化，做到课堂结构清晰，重点、难点突出。在课堂上，特别注意调动学生的主观能动性，加强师生交流，充分体现学生的主体作用和老师的主导作用。尽量让学生学得容易，学得轻松愉快;注意习题的数量和质量，精讲精练，在课堂上老师尽量讲的少，学生思考和练习的多。同时在每一堂课上都充分考虑每个层次的学生的学习需求和学习能力，让每个层次的学生都得到提高。

组织好课堂教学，关注全体学生，注意信息反馈，调动学生的有意注意，使其保持相对稳定性，同时，激发学生的情感，使他们产生愉悦的心境，创造良好的课堂气氛，课堂语言简洁明了，克服了以前重复的毛病，课堂提问面向全体学生，注意引发学生学数学的兴趣，课堂上讲练结合，布置适量的课下作业。

三、批改作业、辅导学生与考试评价方面

我们知道“批改作业、辅导学生与考试评价方面”是六项教学常规中的三项，也是我们平时教学工作的重点。多年来，我一直很注重这几方面的工作。这学期我按着学校的要求每星期让学生做一次作业。在教学中，我要求学生把在做作业中，犯下的错误一一记录下来，然后再一个个整理在错题本上，我很明白地告诉学生，如果你要抄袭作业的话，请你不要上交。

因为我们让学生作业的目的是让学生把学习中的问题暴露无遗，否则你的教学辅导就没有了针对性。在布置课下练习方面，我一直坚持要求学生每天做一页练习，并且不定时检查，因为我发现我们的学生太不注重课后的复习和巩固，这样强制性的要求会使中等的学生有所提高，效果很好。要提高教学质量，还要做好课后辅导工作，利用每周的晚自习，进行集体辅导，在第八节课和课活时间进行个别辅导。我们的学生基础差，缺乏自控能力，常在学习上不能按时完成作业，有的学生抄袭作业，针对这种问题，就要抓好学生的思想教育，并使这一工作惯彻到对学生的学习指导中去，还要做好对学生学习的辅导和帮助工作，尤其在后进生的转化上，对后进生努力做到从友善开始，比如，多和他们交流，课下找他们了解学习情况等。

从鼓励着手，所有的人都渴望得到别人的理解和尊重，所以，和差生交谈时，对他的处境、想法表示深刻的理解和尊重，但是对于不能按质按量完成练习和作业的学生，做到惩罚有度。在复习备考这段时间内，利用有限的时间，给学生准备了大量的复习题，并且精讲精练，使学生有很大的提高，在复习课上学生学习热情很高，学习氛围很浓，很多学生都有所提高。

四、虚心向有经验的教师请教。

这学期我按着学校的要求，听课15节，积极的向有经验的老师学习，向他们请教，使得我的教学工作有了新的提高，在此要向给予帮助的老师表示感谢，在今后的工作中继续这样做，使我的教学工作再上新台阶。

五、在工作中存在的不足。

在工作中存在着一些不尽如人意的地方，如对教材不够熟悉，对教材中的重点和难点把握的不好，对于学生也不够有耐性，在辅导中还缺乏经验。