数学弦教学设计案例（共10篇）
课题名称：余弦定理 教学年级：高一年级（下）
（一）教学内容分析 1．教学主要内容
本节课是“正弦定理、余弦定理”教学的第二节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。余弦定理是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。2．我的思考
《余弦定理》一课教学模式和策略设计就是想让素质教育如何落实在课堂教学的每一个环节上进行一些探索和研究。旨在通过学生自己的思维活动获取数学知识，提高学生基础性学力(基础能力)，培养学生发展性学力(培养终身学习能力)，诱发学生创造性学力(提高应用能力)，最终达到素质教育目的。为此，我在设计这节课时，采用问题开放式课堂教学模式，以学生参与为主，教师启发、点拨的课堂教学策略。通过设置开放性问题，问题的层次性推进和教师启发、点拨发展学生有效思维，提高数学能力，达到上述三种学力的提高、培养和诱发。以学生参与为主，教师启发、点拨教学策略是体现以学生发展为本的现代教育观，在开放式讨论过程中，提高学生的数学基础能力，发展学生的各种数学需要，使其获得终身受用的数学基础能力和创造才能。
为此我们根据“问题教学”模式，沿着“设置情境--提出问题--解决问题--反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为主线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境--问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。根据上述精神，做出了如下设计：①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景；②启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决问题时需要使用余弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和他们的夹角，求第三边。③为了解决提出的问题，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验，通过作边BC的垂线得到两个直角三角形，然后利用勾股定理和锐角三角函数得出余弦定理的表达式，进而引导学生进行严格的逻辑证明。
（二）教学目的
1．掌握余弦定理及其证明方法．体会向量的工具性.2．通过对余弦定理的研究和初步应用,培养观察发现、合作交流能力和探索精神.（三）教学重难点
教学重点：余弦定理及其应用 教学难点：证明余弦定理
（四）教学过程
一、复习
提问1：上节课，我们学习了正弦定理，解决了有关三角形的两类问题：已知两角和任意一边；②已知两边和其中一边的对角.三角形中还有怎样的问题没有解决？
已知两边和夹角；已知三边.首先分析最特殊的三角形——直角..已知两边a,b及夹角C90，能否求第三边？
勾股定理c2a2b2
二、引入
提问2：在斜三角形中边和角有怎样的关系？ 在△ABC中，当C90时，有c2a2b2．
实验：若a,b边的长短不变，C的大小变化,c2与a2b2有怎样的大小关系呢？
三、定理证明
探求c2与a2b2及∠C的大小关系.提问3：如何利用向量解决：（1）探求c2与a2b2及∠C的大小关系.边a,b与∠C有怎样的位置关系？（2）边c的所在直线向量怎样用a,b所在直线向量表示出来？
如图，向量的点乘公式：CBCAabcosC（引导学生选择合适的向量方向）
向量的减法法则：ABCBCA.2222cAB(CBCA)CB2CBCACA2ab2abcosC.22
c2a2b22abcosC.同理可得
a2b2c22bccosA.b2c2a22accosB.图4 这就是余弦定理.它在实际测量中有很好的作用.16世纪，法国数学家韦达利用三角法证明余弦定理.一些教材还介绍了利用解析法证明.事实上还可以利用几何法证明.对勾股定理的证明目前有40多种，而对余弦定理的证明方法却不多见，这正我们同学积极思考和创造的机会.留给同学课后研究.四、定理研究
提问4：余弦定理中有什么特点、规律？蕴藏什么秘密？等待着我们探索发现，分4人一小组合作完成.小组代表发言，一组一条不重复.学生对定理的研究： 表示关系：1．边角关系
2．三边和一角
文字表述：3．三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.公式作用：4．已知两边和它们的夹角的大小，可求第三边的大小；
5．已知三边，求三个角.基本练习：（1）a2,b3,C60，求c.定理推广：6．勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.当c90时，c2a2b2.定理推广：7．直角三角形中的锐角三角比是余弦定理的特例
b2c2a22b2b 当c90时，cab，cosA2bc2bcc定理联系：8．若①+②得：cbcosAacosB.这是三角形中的射影定理.222判断三角形的形状：
9．判断钝角三角形的充要条件：有一边的平方大于另两边的平方和.10．判断锐角三角形的充要条件：任意两边的平方和大于第三边的平方.„„
五、定理应用
例1．（课本p33例题）在ABC中，已知a2.730,b3.696,C8228,解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到1）
提问5：已知什么条件，求什么，先求什么，再求什么.（1）已知两边及夹角，先求第三边；（2）通过三边，求角A；（3）求角B180AC.六、小结
提问6：这节课我们学习了什么知识、它有什么作用、利用了什么数学思想或方法.（1）本节课我们研究余弦定理.它有两种表现形式，一种是用两边及夹角的余弦表示第三边，另一种是三边表示角．
（2）余弦定理的作用通过它的两种形式直接表现：已知两边及夹角求第三边；已知三边求三内角．它和正弦一起解决了解三角形中各类问题.（3）本节课我们利用向量法证明定理，体现向量法的灵活运用.七、作业
基础性巩固练习1．课本p133, 3.4.2．在△ABC中，已知下列条件,求解三角形（1）a1,b32,C150．（2）b42,a5,A45．（3）a16,c19,C120.独立性探求问题
3．写出三角形为锐角三角形的一个充要条件.合作性研究问题
研究利用几何法、三角法、解析法或创造新的方法证明余弦定理.教学课后反思与总结
在下面几个方面很好地完成教学任务和实现教学目标：
教学目标
1）朗读课文，背诵课文。
2）了解祖国悠久灿烂的古代文化，感受文言文的和魅力，激发学生学习文言文的兴趣。
课时安排 ：一课时
教具：多媒体课件
课前谈话：
师：我们来做一个文字游戏，老师说一个“袅袅炊烟”，你们也说几个这样的词。
师：老师再说几个这样的词。课件出示：
徐徐清风淙淙流水依依杨柳萋萋芳草皎皎明月灼灼霞光皑皑白雪绵绵春雨
师：这些词都是描写美丽的景物。平时如果有意识地积累这些词语，对写作一定有帮助。
一、揭题导入
有一个故事千古流传，令人吟诵至今，它就是我们今天将要学的《伯牙绝弦》。希望通过今天的学习，同学们能进一步了解文言文，喜欢文言文。这篇课文只用了77个字，却向我们讲述了一个千古流传的感人故事，现在我们就一同走进这个故事。
二、初读感知，体会韵味
1．自由读课文，把字音读准确，句子读通顺。
2．指名读文，其他同学仔细听，也可以跟着默读。
（教师正音，“哉”平舌音；“得”是多音字读“dé”。还有哪些字要注意呢？你在读书时有没有读不好的句子？）
伯牙／善／鼓琴，钟子期／善听。伯牙鼓琴，志在高山，钟子期曰：“善哉，峨峨兮／若／泰山！”志在流水，钟子期曰：“善哉，洋
洋兮／若／江河！”伯牙／所念，钟子期／必得之。子期死，伯牙／谓／世／再无知音，乃／破琴／绝弦，终身／不复鼓。
3．齐读课文。
小结：有进步，看来古文多读几遍就不难了。古文要读出节奏和韵味来也不难，只要我们在读的时候注意停顿就能读好。可以用“/”画出停顿。我想如果你们理解了课文内容，会读的更好的。
三、初解绝弦
1．读课题，你是怎么理解的？理解“绝”和“绝弦”的意思。
2．课文中还有哪些地方提到了“伯牙绝弦”？（预设答案：乃擗琴绝弦，终身不复鼓。）
3．总结学习方法：借助注释、联系上下文以及不能机械的翻译应该学会变通）
4．伯牙为谁而绝弦？
（板书：钟子期 介绍：俞伯牙和钟子期都是春秋时期的楚国人）
5．篇古文主要讲了什么事？（自学、交流）
6．全班汇报：
A、理解“善哉”表示感叹，用现在的话还可以怎么说？
1）前面的两个“善”是什么意思？后面的两个“善”可以怎么说？（预设答案：啊！好啊！）
2）“善哉”相当于现代的什么？用现代的表达方式除了说“好啊”还可以怎么说？（预设答案：真棒啊！了不起！真厉害！……）由此可以看这里的“善哉”表示赞叹。
B、“哉和兮”都是语气助词，没有具体的解释。
C、“善”在课文中出现几次，意思一样吗？（4次 理解同字不同意的现象，体会擅长说明什么）
D、刚才他说伯牙弹琴时心里想到高山，就能弹出来，哪个字是心里想到的意思？（板书：志）体会二人心灵相通
E、还有哪个字也是这个意思的？（板书：念）
（小结同意不同字的现象，说明中国的汉字多么丰富）
7．把这个故事用自己的话讲一讲，看谁讲的生动。
四、感悟知音
（一）何为知音
1）伯牙为什么绝弦呢？
2）他们是什么关系？（好朋友，知音）从哪儿能感受到他们是知音呢？
看图 ：此时两个人完全沉浸在美妙的音乐中了。他们互相的欣赏着，互相的赞美着。
伯牙所念，钟子期必得之。
3）从何处可以看出伯牙善鼓琴，钟子期善听？
4）善听的子期不仅仅从伯牙的音律中听出高山流水，还听出了伯牙像山一样的志向，像海一样的胸怀。
5）想象说话
既然说伯牙善鼓琴，那善弹的伯牙一定不仅能用音乐表现出高山流水，还能表现很多美好的景物。除了峨峨泰山、洋洋江河，他的琴声还会表现哪些动人的场景呢？
（引导学生想象回答：皎皎明月、徐徐清风、袅袅炊烟、潇潇春雨……）
6）这正是：“伯牙所念，钟子期必得之。”我心有所念，我的好朋友必能领会，这不是一般的朋友啊！这就叫──知音。而不论伯牙志在高山、志在流水，还是志在明月、志在清风，凡伯牙所念，子期必得之，这就是真正的知音！
（二）相遇相知。
1．伯牙当时已经是楚国著名的音乐家，你说他还会缺少赞美吗？他为什么独独把子期看作知音？（预设答案：因为其他人听不懂，而钟子期能听懂他的琴声。……）
2．那么，别人对他的赞美是什么样的？（学生自由说）你能想象别人那种空虚的赞美吗？（学生自由说）当伯牙听见别人那些不着边际的赞美的时候，你能体会到什么心情吗？
3．那时的伯牙心中一定有一种渴望，渴望什么？他一定忍不住在心里无数次地发出呼唤，他呼唤什么？
4．终于有一天，伯牙遇到了自己的知音钟子期！面对如此善听的子期，面对这样难得的知音，伯牙又是一种怎样的心情？（预设答案：快乐。激动。充满希望。欣慰。……）他一定会对子期说什么？
5．知我者，子期也！这时的伯牙与子期，你觉得他们还仅仅是一对音乐方面的知音吗？（预设答案：他们还是生活上的知音。是人生的知音。）
6．知音的相遇是心灵的交融，是快乐的，幸福的。但是，人间的知音，真是太少了，让我们通过读书再来感受知音相遇的那份感受和那份柔情。（练读课文，感受知音欢聚的融洽与欢乐。）
（三）知音之死。
无奈世事难料，子期不幸去世。出示句子，学生读：“子期死，伯牙谓世再无知音，乃破琴绝弦，终身不复鼓。”
1．子期死，伯牙怎么就会认为世上再无知音了呢？能够感受到什么？
（预设答案： 1．因为子期能听懂伯牙的琴声。2．因为他们之间就像亲人一样。3．感情深厚……）
2．可以想象，当善鼓琴的伯牙，志在高山，没有人会像子期说──峨峨兮若泰山。
当伯牙志在流水。没有人会像子期说──洋洋乎若江河。当他听不到子期的赞美时，心情会是怎样的？
（预设答案：1．失望。2．寂寞。3、忧虑。生4．渴望。……）
3．子期死了，没有知音，无人理解的日子，他已经不堪承受。这种无人能够倾诉的痛苦，最后以一种极端的方式表现了出来：破琴绝弦，终身不复鼓！在这里伯牙“绝”的仅仅是“弦”吗？他在断绝琴弦的同时也断绝了什么？
（预设答案：1．断了他的前程。2．断了他的心弦。3．断了他的希望。……）
4．这句话是故事的结果，也点明了中心思想。当你理解了伯牙此时的心情，请再读这句话。
（指导朗读）
五、深悟绝弦
1、明代小说家冯梦龙在《警世通言》这一本书中，用生动的笔触描述了这个动人的故事。在子期墓前，伯牙曾经写下了一首短歌，来追悼自己的知音钟子期。出示诗歌学生读：
忆昔去年春，江边曾会君。今日重来访，不见知音人。
但见一杯土，惨然伤我心！伤心伤心复伤心，不忍泪珠纷。来欢去何苦，江畔起愁云。子期子期兮，你我千金义；
三尺瑶琴为君死，此曲终兮不复弹！
摔碎瑶琴凤尾寒，子期不在对谁言！
春风满面皆朋友，欲觅知音难上难。
2．从这首短歌中，你能体会出什么？
3．子期一死，俞伯牙又要回到以前那无人能理解的生活中去了，那一曲高山流水又弹给何人听？于是摔琴断弦，决心再也不弹琴，留下了这一段动人的故事千古流传！（出示课文）
六、回味绝弦
1．人们根据这个动人的故事，编写了一首同样动人的乐曲：《高山流水》。
（播放《高山流水》乐曲，请学生欣赏）
2．伴着那一曲动人的《高山流水》再读读这个故事。面对伯牙的痛苦与绝望，你想对他说什么？
3．老师忍不住在想，其实，我们每个人难道不是在苦苦寻觅吗？有道是“千古知音最难觅”，如果遇到了知音，我们应该珍惜……也许一无所获，但是事情不在于结果，而在于追求。愿你们能从这个故事中感受到人生的温暖。让我们再一次深情地朗读课文。（学生再读课文，试着背诵）
七、扩展
1．出示关于知音难觅或乐曲高妙的诗文，如“摔破瑶琴凤尾寒，子期不在对谁弹。春风满面皆朋友，欲觅知音难上难。”宋代王安石《伯牙》诗：“千载朱弦无此悲，欲弹孤绝鬼神疑。故人舍我归黄壤，流水高山深相知。”再如唐代孟浩然《夏日南亭怀辛大》诗：“欲取鸣琴弹，恨无知音赏。感此怀故人，中宵劳梦想。”这些诗都是写琴曲的高妙，听琴的乐趣，或者比喻高妙的作品或知音、知己等。
2．出示古今交友的名言名句“有朋自远方来，不亦乐乎”“四海之内，皆兄弟也”“君子之交淡如水”“莫逆之交”“士为知己者死”“管（仲）鲍（叔牙）之交”“刎颈之交”“海内存知己，天涯若比邻”“忘年之交”“患难之交”“人生得一知己足矣，斯世当以同怀视之”“酒逢知己千杯少”等。
3．学了这篇古文你有什么感受。如：你是否有知音，为什么把他作为知音？
当你感到沮丧、孤独、忧郁、快乐亦或是处于危难的时候，最需要的就是能有一两个知音相伴左右。所以，如果你寻到了与自己情趣相投的知音时，请大家一定要珍惜。世界上最难寻觅而又最易失去的是朋友（知音）。
作业
本课的学习主体是六年级上学期的学生。这个学段的学生个性较强，看待事物的主观性也很强，面对学习内容时会因个人的喜好决定学习兴趣度。在口语表达和写作方面已有了较强的能力。因此，在教学时，要注重学生兴趣的激发，将“自主、合作、探究”的方法引入课堂，给学生充分表达观点的机会。还要利用充分利用教学资源，运用多媒体课件更为直观的展示学习内容。
【教学目标】
1、朗读课文。背诵课文
2、能根据注释和课外资料理解词句意思，能用自己的话讲讲这个故事。
3、积累中华经典诗文，感受朋友间真挚的友情。
【设计理念】
如何优化小学文言文传统教学方法是小学文言文教学急需解决的问题。小学生的学习兴趣是决定学习成果的一大因素。面对艰涩难懂的文言文，怎样才能激发学生的兴趣?在《伯牙绝弦》的教学中，我采用情感教学的方式，让学生在学习时入情入境，理解文意和体会感情双线并行，一改以往文言文串讲的方式，让学生在情感引导中完成学习内容。
【重难点】
能凭借注释和工具书读通、读懂课文内容;感受朋友间相互理解、相互欣赏的纯真友情。
【教学准备】
1、教师准备：
多媒体课件：
划分好节奏的课文、《警世通言》中伯牙写给子期的挽歌、音乐《高山流水》。
2、学生准备：
搜集了解伯牙的相关资料。
【教时安排】
1课时。
【教学过程】
一、课前谈话、揭题导入
1、谈话：
同学们，今天我们来做一个游戏，老师说一个词，你们也说几个类似的词(出示：杨柳依依)引导学生说词。
2、老师这里也收集了一些这样的词。
课件出示：
清风徐徐、明月皎皎、炊烟袅袅、芳草萋萋、……
3、仔细看看，这些词语都是描写什么的呢?引导学生归纳总结出描写的都是美丽的自然景物。
4、过渡：
平时如果有意识的积累这些词语，对提高写作一定有帮助。美丽的景色不但能用语言表现出来，而且古人还能用音乐表现。有一个故事千古流传，令人吟咏至今，它记载了两个朋友间深厚的情谊，它就是我们今天将要学习的一篇文言文《伯牙绝弦》。
板书课题：
二、整体读文
1、师：同学们把课文自由、大声读几遍，注意文言文的节奏，别读破句子。
教师评价。
2、指名学生读，教师评价、指导、范读。
3、学生齐读。要求：
声音是否响亮、节奏是否抑扬顿挫。
4、师：你们觉得文言文难读吗?
(学生回答。)
师：是啊，文言文之所以难度是因为我们平常接触文言文太少，并且对文意不理解。老师这有划好节奏的课文，你们再来读读看。
(幻灯出示。)
5、指名读，齐读。
三、初解绝弦
1、师：标题往往是文章内容的集中体现，学习课文前，我们先来看看标题吧!“伯牙绝弦”是什么意思?
(学生回答。)
2、引导学生体会学习文言文的方法。
(结合注释、结合上下文、学会变通。)
3、师：除了标题提到了伯牙不再弹琴，还在哪里也提到了?
(生答。)
这里的“绝弦“意味着什么，向世人宣告了什么?
(生答。)
四、再解绝弦
过渡：为什么子期死了伯牙就再也不弹琴呢?我们带着这个问题来学习文章。
1、何为知音：
师：将文章再读一遍，看看哪些地方读懂了，哪谢地方没读懂?分别标注出来，我们一起来交流。
(全班交流。)
⑴四个“善”字的不同用法：
“善鼓”、“善听”中的“善”解释为“擅长、善于”。
两个“善哉”中的“善”解释为“太好、太妙”。
⑵师：从何处可以看出伯牙善鼓琴，子期善听?
(生答。)
当我深情地凝望着大家的时候，你们却深情地凝望着大屏幕。看来我设计的课件比我穿得新衣服还好看啊?
我这天特意穿了一件花衣服。
我有一个问题，深深地埋藏在我心里已有两天，你们学校有那么多的六年级，为什么独独选了六零七班?
生：这还用说吗?当然是我们班优秀了!
师：应对全体老师再说一遍。
既然是明星班级，让我想到了明星的演唱会。
说说周杰仑。喜欢周杰仑的歌词。方文山
听音乐
当你听到了这样的音乐的时候，你眼前浮现了怎样的情景。
大自然的天籁之音。
上课
1、这是发生在两千多年前的春秋时的故事，谁来读一读课题
伯伢绝弦
2、自读课文
说说你的感觉
这些词语不是我们常见的，特难读。很不顺口，要理解意思，如果不理解意思就不好读了。
3、跟老师一齐读这篇古文
一句一句跟老师读
伯伢善古琴，钟子期善听……老师读一句，学生跟读一句。
最后一句再读一遍：子期死，伯伢谓世再无知音，乃破琴绝弦，终身不复鼓。
4、自己再读课文。
请一生读课文。
第一次读古文就能读得如此通顺、正确，真让我叹为观止。谁再来读。
第二名学生在读的时候，老师打断了一下，因为洋洋兮若江河没有停顿好，请其他学生能正确地读一读，读后再请那位同学继续读。
读正确还不算，还读出了古文的味道来了。
5、请学生再练读，读出古文的停顿来。
再次齐读课文。
三、理解课文
课文主要写了两个人：伯伢、钟子期
读句子：伯伢善古琴，钟子期善听
你了解了他们的什么状况?
伯伢喜欢弹奏古琴，钟子期喜欢听。
你怎样看出了他们的喜欢?(善)
善仅仅是喜欢吗?(善于)
再读课文，课文中哪些句子能够看出“伯伢善古琴，钟子期善听。”
边读边划
交流：
第二、三两句话。
读读第一句，从哪里能够看出
心中所想，全部意念，你从哪个字当中能够看到?(志)
读一读这句话。
钟子期心中浮现了怎样的高山?
峨峨之泰山
谁来读读这句，读出这巍峨峻跋的高山。(善哉，峨峨兮若泰山。)
请学生朗读
跟老师读。
古人用一个峨峨兮若泰山，写出了那巍峨的感觉。
善哉之哉表示一个赞叹的语气。
谁来赞叹一下。读：善哉，峨峨兮若泰山。
我觉得你泰山这个词读得个性有味道，能说说这个词吗?
泰山十分高，孔子曾登泰山而小天下，能够看出泰山是很高大的。
谁来读一读这五岳之尊的气势。
其实这句话当中，能体会这样情感的语气词不止一个哉字，还有哪个字?(兮)
短短的一句话，为什么用了两个语气词呢?
情不自禁地用了两个语气词!强烈地感叹
谁来读一读，读好这两个语气词。
关注“善”，课文中的两个善一样吗?
上面的善是指善于，很会做某种事情，下面是指他琴弹得十分好。
像子期一样来赞美一样伯伢，再读这句话。
出示另外一句：志在流水，钟子期曰：善哉，洋洋兮若江河。
谁来读一读。
一生读后：听出了那种江河的气概，谁再来读一读。
再请一生来读。
关注学生读得比较好的地方，讲讲你是怎样理解的。
请了好几个学生来读。
小结：伯伢弹什么，钟子期都能听懂，这真是——伯伢所念，钟子期必得之。
你有何理解?
从学生的回答中，回归到文中的“字”。如果，伯伢所想到的。你是从哪里看出来是伯伢所想到的?——引到“念”字。
出示课文第二、三两句。
读一读。
其实他俩人是偶然的相遇，读读大屏幕中的资料，你会有更多的了解。
(补充他俩人相遇时的资料，配古琴和萧的音乐)
你觉得伯伢此时情绪怎样?(十分激动，十分高兴……)
如果你是伯伢，此时你会向钟子期说什么?把想说的写在纸上。
交流：
子期啊，你真可谓是我的知音啊，只有你能够听懂我的琴声和心声啊!
知我者，莫过于子期啊!
你真是我的知音啊!(一个知音足矣啊!)
……
再来读读这高山流水，体会伯伢的志向和胸怀。
指名读。
古人常说，仁者见山，智者见水，你分明读出了一个大人大致的伯伢。
齐读
伯伢的心声钟子期真的都听懂了吗?(听懂了)为什么如此的肯定。
关注：钟子期必得之。(必)
胸怀也懂，志向也懂，音乐也懂，这才是真正的知音啊!
他们多想永远这样相互理解，他们约定来年再次相会。然而当他再次来到那里的时候，等到的不是钟子期的人，而是冰冷的墓碑。此刻他多想在坟前再为钟鼓一段啊，他内心的痛楚全都化为了琴声。(课件随即播放鼓琴的音乐——显得杂乱，最终断弦而绝)
你从琴声中听出了什么?
虽然不如从前好听了，但是我能听出了他好像在说，你为什么不等等我呢?
我听出了他对钟的思念
听到了他对钟的诀别!
师：伯伢再也见不到自己的知音了了，能把伯伢当时的情绪读出来吗?
生读最后一句。
断的只是弦吗?绝的只是琴吗?
《伯牙绝弦》是小学六年级唯一的一篇文言文，故事感人至深，却只有5句话,77个字，而这77个字里却讲述了一个千古流传、感人肺腑的故事。它是知音难求的人生写照，是人们在孤独中寻求温暖的见证，是心存美好、渴望美好、珍惜美好的心灵的呼唤。
本文是文言文，是学生第二次碰到文言文，对于文言文的特点和理解方法还存在一定的难度，因此我把重点放在让学生凭借注释和工具书读通、读懂内容，先把课文的字词理解了,在此基础上记诵积累,再进行对“知音”的解读。
理解课文开始，我就引导学生就课题的“绝弦”展开思考，理解其含义，告诉学生翻译文言文要学会变通，用熟悉的表达方式把意思表述清楚。然后花了一定时间对课文进行熟读，了解故事的大概，在这基础上，引出问题，从而探索课文。
古文教学，本人觉得朗读是一大特点，因此，教学中，注重了朗读。理解课文我首先指导学生把文章读正确、流利，特别是对难读的三句话:“峨峨兮/若/泰山 洋洋兮/若/江河 伯牙/谓/世/再无知音”进行了指导，目的是为了学生在朗读古文时能注意停顿恰当，读出古文的韵味来。在理解课文时我把理解与朗读相结合，在感悟文章的每一句话的同时，也注重了指导朗读。文章的前半部分，要读出称赞的语气，读出知音欢聚的那份融洽与幸福；文章的后半部分，指导学生带着对伯牙寂寞、孤独，绝望和心灰意冷的心情的理解有感情朗读。在教学尾声之时通过播放《高山流水》音乐，让典雅流畅的琴音款款地浸润学生的心灵，再让学生在音乐声中试着背诵课文，会更好地增强课文的表现力，让文言文那优美的韵味深深地植根在学生心中。
志
知音 千古绝唱
① “组合阅读”是组合阅读教学的简称。指为实现一定的阅读教学目标，从文体、文本、作家、时代等不同层面选择多篇与教材相关的文章，以不同的方式进行组合。引导学生构建课内外文本之间的联系。使学生以发现性的思维方式感受语言文字表达的情感，探讨解决阅读中的问题。进而促进学生的阅读力和阅读品质的提升。激发学生的阅读兴趣，培养学生积极的阅读态度，使学生在阅读中经历有意义的阅读过程，感受阅读的快乐，提升学生的阅读素养。
12、任意角的三角函数（1）
一、教学内容分析：
高一年《普通高中课程标准教科书·数学（必修4）》（人教版A版）第12页1.2.1任意角的三角函数第一课时。
本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。
二、学生学习情况分析
我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣。我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味。所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的教学设计就很值得思考探索。如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中？ 《普通高中数学课程标准(实验)解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：
第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象（周期振荡现象），解决一些实际问题，这也是《课程标准》在三角函内容处理上的一个突出特点。
根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：
其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；
其二：借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号。
三、设计理念：
本节课通过多媒体信息技术展示摩天轮旋转及生成的图像，让学生感受到数学来源于生活，数学应用于生活，激发同学们学习的乐趣。并通过问题的探究，体验“数学是过程的思想”，改变课程实施过程于强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生学生收集和处理信息的能力，获得新知识的能力，分析与解决问题的能力以及交流合作的能力。
四、教学目标：
1.借助摩天轮的情景问题很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义； 2.从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号； 3.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。
五、教学重点和难点：
1.教学重点：任意角三角函数的定义.
P2.教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域.OA图1 具体设计如下：
六、教学过程
第一部分——情景引入
问题1:如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为ho，它的直径为2R，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发（如图1所示），过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？
【设计意图】：高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解。这个数学模型很好融合初中对三角函数的定交，也能放在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角三角函数过渡，揭示函数的本质。
第二部分——复习回顾锐角三角函数
让学生自主思考如何解决问题：“过了30秒后，你离地面的高度为多少？”
【分析】：作图如图2很容易知道：从起始位置OA运动30秒后到达P点位置，由题意知AOP300，作PH垂直地面交OA于M，又知MH＝ho，所以本问题转变成求PH再次转变为求PM。要求PM就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数。
问题2：锐角的正弦函数如何定义？ 【学生自主探究】：学生很容易得到
sin|MP||MP||MP|Rsin|PH|h0Rsin |OP|R图2 POMABNHPOaMhh0Rsin
所以学生很自然得到“过了30秒后，过了45秒,你离地面的高度h为多少？”
h1h0Rsin300 h2h0Rsin450
Y【教师总结】：t在锐角的范围中，0POMAXhh0Rsint0
第三部分——引入新课
问题3：请问t的范围呢？随着时间的推移，你离地面的高度h为多少？能不能猜想hh0Rsint0？
B【分析】：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦。今天我们就要来学习任意角的三函数角函数。
问题4：如图建立直角坐标系，设点P(xP,yP)，能你用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角的正弦函数的定义吗？能否也定义其它函数（余弦、正切）？
【学生自主探究】：sin|MP|yP R|OP|cos|MP|yP|OM|xP，tan |OM|xP|OP|R问题5：改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？ 【分析】：先由学生回答问题，教师再引导学生选几个点，计算比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质证明。
【设计意图】：让学生深刻理解体会三角函数值不会随着终边上的点的位置的改变而改变，只与角有关系。
通过摩天轮的演示，让学生感受到第一象限角的正弦可以跟锐角正弦的定义一样。
问题6：大家根据第一象限角的正弦函数的定义，能否也给出第二象限角的定义呢？
【学生自主探究】：学生通过上面已知知识得到sin|MP|yP R|OP|PxyO学生定义好第二象限角后，让学生自己算出摩天轮座舱在第150秒时，离地面的高度h？
通过摩天轮知道：hh0Rsin1500h1h0Rsin300 由此得到：sin1500
|MP|yP在第二R|OP|12图3【设计意图】：通过这个，让学生检验sin象限角是否正确？
问题7：sin|MP|在第三象限角或第四象限能成立吗？ |OP|【设计意图】：让学生通过模型，检验定义是否正确，从中让学生自己发现正、负符号的偏差。（可以让学生取t210，从而hh0Rsin2100,得到sin2100＝，发现这与sin|MP||MP|不相符，实际上是sin）|OP||OP|12【教师总结】：我们通过个模型知道如何在某些范围内如何计算自已此时离地面的高度，用数学模型hh0Rsint0来表示，当摩天轮转动，角度的概念也不知不觉地推广到任意角，对于任意角的正弦不能只是依赖于角所在的直角三角形中的对边的长度比斜边长度了，我更应该用点P的横坐标来代替|MP|或|MP|，那么这样就能够很好表示出正弦的函数任意角的定义。
第三部分——给出任意角三角函数的定义
如图3,已知点P(x,y)为角终边上的点，点P到顶点O的距离为R，则
siny（R）Rx（R）Ry（k）x2costan【分析】：让学生通过刚才的模型进一步体验任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离。
问题8：当摩天轮的半径R＝1时，三角函数的定义会发生怎样的变化。
【学生自主探究】：siny，cosx，tany。x教师引导学生进行对比，学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化。教师进一步给出单位圆的定义 给出下列表格，让学生自己补充完整。三角函数 定义一：|OP|1
定义二：
|OP|R
定义域
sin
y
y Rx RR
cos x
y xR
2tan
y xk
及时归纳总结有利学生对所学知识的巩固和掌握。第三部分——例题讲解
例1.（课本P14例2）已知角终边经过点P0(3,4)，求角的正弦、余弦和正切值。
【分析】：让学生现学现卖，得用上面的定义二就可以得到答案。
例2.（课本P14例1）求
5的正弦、余弦和正切值。3【学生自主探究】：让学生自己思考并独立完成。然后与课本的解答相对比一下，发现本题的难点。
【教师讲解】：本题题意很简单，但是如何入手却是难点，关键是对本节课的三角函数定义的要点有没有领会清楚（任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离），因此本题的重点之处是如何利
PMOxy图4用单位圆找到这个点P，如图4可以知道POM象限，得到P(,123，又点P在第四
3)，这样就可以很容易得到本题答案。2不妨让学生取R|OP|4，能否也得到点P的坐标，得到的三角函数值是否与单位圆的一样。这样可以让学生更深刻体验三角函数的定义。
第四部分——巩固练习练习1.例2变式求
7的正弦、余弦和正切值。6练习2.问题9：通过观察摩天轮的旋转，三角函数的角的终边所在象限不同，请说说三角函数在各个象限内的三角函数值的符号?独立完成课本P15的“探究”。
【设计意图】：练习
1、练习2的设计与例
2、例3衔接，主要目的是帮助学生巩固三角函数的本质特征，引导学生从定义出发利用坐标平面内的点的坐标特征自主探究三角函数的有关问题的思想方法。并在特殊情形中体会数形结合的思想方法。
第五部分——小结与作业 学生自我总结
作业：P23习题1.2A组 1,2,3
七、教学反思
上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义： 1.教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角的三角函数的理解上。背景创设是学生熟悉的摩天轮，认知过程符合学生的认知特点和学生的身心发展规律——具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，这样有利学生的思考。
2.情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好引入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，同时能够揭示函数的本质。
3.通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在情境中活动，在活动中体验数学与自然和社会的联系、新旧知识的内在联系，在体验中领悟数学的价值，它渗透了蕴涵在知识中的思想方法和研究性学习的策略，使学生在理解数学的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。这和课程标准的理念是一致的。
翟镇镇二里头小学 刘晓敏
让爱意回荡在师生之间
一、案例主题
建立平等、融洽的师生关系，营造自由和谐的学习环境，为学生创设全面发展、和谐发展、自由发展的空间。
二、案例理念
亲其师而信其道。营造和谐的教育教学氛围，与学生平等相处，宽容以待，让学生享受到学习的乐趣，更让教师体验到为人师的幸福。让爱意回荡在师生之间。
三、案例描述
1、抓住最初的教育契机，让学生喜欢自己。
每个学生都有自己的特点和爱好。作为教师，在和学生第一次接触之前，就要从仪表、举止、说话艺术、授课艺术等方面做好充分的准备。尽可能利用第一次见面的机会，给学生留下最好的印象，以增强自身的人际吸引力，为良好师生关系的建立打下坚实的基础。
每次和新学生见面的第一节课上，我都会和很轻松地介绍一下自己，和学生聊聊自己的兴趣、爱好、习惯，同时也了解一下他们的想法，拉近师生之间的距离。然后，我会站在学生的立场说话，告诉他们我也和他们一样，不喜欢下课拖堂、不喜欢题海战术……，让学生觉得老师和自己是心贴心的（千万不要一开始就对学生提很多要求）。最后，再留下自己的联系方式，最好是QQ号，让学生可以无所顾忌地和老师说一些悄悄话、说一些真心话。正所谓得民心者得天下，只有赢得了孩子们的信任和爱戴，才能使以后的教育教学工作顺利展开。
2、用心备课，让每一节课都给学生留下深刻的印象。
数学课本来给人的感觉是枯燥、乏味的，可是，看看那些优秀的数学教师，他们的数学课堂却是那样的精彩：抽象的数学知识蕴含在有趣的故事、快乐的游戏、神奇的魔术中。这样的数学课，常常让孩子们徜徉其中，流连忘返。
尽管我只是一名普通的教师，但是通过认真钻研教材，深入了解学情，精心设计教法和学法，我的课堂同样可以唤起学生对数学的热情。上课时，我经常会
根据课堂和教学的需要，巧妙地穿插一些活动，例如猜谜语，讲故事，做游戏，搞竞赛，以及完成一些简单的肢体动作……，教学形式多种多样。我始终认为，只有让学生感觉到课堂是新鲜的、有趣的，他们才能学得轻松，对这节课的印象才会深刻。
3、课间多和学生交流，增进彼此的了解。
交往次数是建立人际关系的客观因素。一般来说，交往次数越多，了解的时间越长，彼此就会越熟悉，关系就会越密切。学生和教师的交往多数仅限于课堂上，而且每次都是以授课为内容，学生对教师很少有全面的了解。因此，我认为作为教师，我们应利用闲暇时间有意识地多接触学生，改善和密切师生关系，使学生和我们相互熟悉和理解，增加彼此的喜欢程度，从而激发学生对我们所教科目的兴趣，实现教学目标。
课间孩子们活动的积极性总是非常高。有一次，看到学生踢毽子，我走过去请求她们：“可以让我加入吗？”学生笑着点头答应，可还是有点疑惑的问：“老师，你也会踢毽子？”瞧，在他们眼中，老师是只会教书，不会玩耍的！我不动声色的踢给他们看，从眼角的余光中，我看到她们脸上的表情由怀疑变为喜悦，继而变为惊异。等我收了毽子之后，学生不约而同地发出一声惊叹：“哇！老师，你太厉害了！”然后，学生们七嘴八舌地嚷嚷开了：“老师，你怎么踢得那么多，又踢得那么好，教教我们吧！”“老师，你以后经常和我们一起踢毽子好不好？”我微笑着答应她们。很简单的一件事，让我和孩子们的关系拉近了很多，很多孩子把我当成了能和他们一起学习、一起玩耍的好朋友。后来经过仔细观察我发现:凡是下课和我一起踢过毽子的学生或是看过我踢毽子的学生，在上下一节数学课时都听得特别专心，似乎觉得不认真听讲就对不起我这个朋友。而我，也从这件事上收获了许多的快乐和幸福。
4、多鼓励，少批评，对每一个孩子都充满期望。
我们都知道，如果教师喜欢某些学生，对他们抱有较高的期望，学生常常以积极态度对待教师，诱发出一种积极向上的激情，这些学生常常如教师所期望的那样进步。相反，如果教师不喜欢学生，对学生期望过低或经常受到教师的冷漠、歧视，学生也以消极的态度对待教师，不理会教师的要求，这些学生的成绩和品质就会一天天变坏。
班里有位小姑娘，刚开始数学成绩不太理想，但是从小组活动中，我发现她非常负责任，我就建议她做我们班的数学课代表。刚开始，她怀疑自己的能力，怯怯地对我说：“老师，我的数学不太好，我怕自己干不好，影响咱班的数学成绩。”我鼓励她说：“虽然你的数学成绩不是最优秀的，但你绝对是咱们班最负责人的学生，数学课代表非你莫属，老师相信你一定能行！”看似简单的一句话却给了她莫大的信心。自从当了课代表，她上课听讲比以前更专心了，做题比以前更细心了，在小组学习过程中对后进生的辅导更用心了。同时，在协助老师搞好数学教学的工作中，她也做得非常出色，每天、每周、每月各小组学习竞赛的评比、总结，她总能做得井然有序，让老师没有半点后顾之忧。
班里还有个学生，每次上课都不能认真听讲，而且总是侧着身子，随时准备和后面的同学说话。看到这种情况，我非常气愤，就狠狠地教训他几句，可是后来发现他丝毫也没有改正。后来有一次批改他的作业，我发现他做的方法非常有创意，我就抓住机会在班里表扬了他，并微笑着对他说：“如果你能在上课时稍稍再专心一些，你的数学成绩一定会突飞猛进。”没想到听了这话，他的脸一下子红了。从那以后，他上课听讲还真的比以前专心多了。看来，“好孩子都是夸出来的”这句话还真是没说错。
四、案例特点
师生关系是教育过程中最基本的最重要的人际关系。师生关系好坏直接影响教育的效果。师生间彼此真诚地接纳对方，从而达到心理相容，那么，学生在学习过程中就会热情高涨，主体作用就能发挥出来，教学目标就能实现。
西安市第三十八中学（王艳丽）
[问题]
新课程下的课堂教学应使学生真正成为学生的主体，教师只是一个指导者与合作者。正是为了很好地贯穿这一思想，在新课程的第一节课《集合的含义与表示》的课堂教学中，根据课程内容，我采取的是阅读自学与小组探究式的教学方法，课堂上，由于主要活动在学生，因而，学生思维活跃，积极主动，例题掌握也不错，教学内容完成的轻松愉快。但是，学生作业出现了我根本没有预想到的许多问题。比如，从习题1-1第3，4，5题已明显翻映出学生对集合的描述法表示并未真正理解；对集合描述法与列举法的互化也存在问题；学生的书写也很不规范。这时我才意识到：自己新课程下的第一节课是失败的。
[反思]
本节课从理念上说，应该充分地贯穿了新课程的思想，学生活跃，教师感觉也很好，为什么在知识地掌握上却如此欠缺呢？随后，通过认真反思并与学生沟通，我找到了症结所在。这节课，我过分地主注意了教学活动的形式，而在教学内容，教学目标以及我所教学生的知识层次等方面未做深的研究。新课程的教材只是教师为完成教学目标，在教学活动中使用的，供学生选择和处理的，负载知识信息的一切手段与材料。老师在使用过程中，应将个人对教材的理解，经验，知识投入到教学中，更应根据自己所带学生的具体现状灵活地处理教材，而不能不假思索地照本宣科。找到了问题的所在，在后来的教学
中，在教材的处理上，做了很多尝试。下面，就以《函数的单调性》为课例，与大家探讨。
课题《函数的单调性》
普通高中课程标准实验教科书北师大版必修1第二章第三节中，教材内容的设置是这样的：
（1）实例分析：以非典时期的函数变化图理解函数的单调性表现
（2）思考交流：以函数的一段图形引出函数单调性的有关定义
（3）例1：说出yx1的单调区间及在区间上的单调性
（4）例2：画出函数y=3x+2的图象，判断单调性并证明
本节课的重点是理解函数单调性的有关概念，能结合函数的图象写出一些函数的单调区间及在该区间上的单调性，能用函数单调性的定义证明函数在所给区间的单调性。在抓住本节课课标要求的基础上，结合自己学生的接受能力，我在教学中做了以下调整
主要教学过程：
（1）实例分析：采用书上提供的非典函数变化图理解函数的单调性
表现
（2）课堂练习：画出函数y=x的图象并填空 2
当x()时，y随的x增大而（）当x()时，y随的x增大而（）
（3）在学生初中已有的知识条件下，引导学生对上述函数性质进行
数学符号化，从而学习函数的单调递减，单调递增等概念。
（4）练一练：把书上的思考交流变成结合图象，说出函数的单调区
间，并说出各个区间上的单调性
（5）议一议：说出函数的单调区间，并说出各个区间上的单调性:y=x
2:y=-x
3:yx1
4:y=x2+2x
5:y=-x2x∈[-1,5]
（6）用函数的单调性定义证明yx1在（0，+∞）是递减的。
（6）课堂练习：用函数的单调性定义证明y=x在（0，+∞）是递增2的。
小括号
刚刚认识了小挂号能够改变原有运算顺序的规则后，突然有一位同学提出：“我认为小括号没有什么了不起的，没有它的存在，照样能够解决实际问题。”一边说一边走到黑板前把“12×(4+3)”式子改写成了“12×4+12×3”，一脸不喜欢的样貌：“反正我不喜欢小括号。”如果学生体会不到小括号的作用，这节课岂不白上了?吴教师思考着如何把这节课引向深处。突然，他看到了讲台上摆放的同学们为灾区捐的书，灵机一动，一个教学思路产生了。他不慌不忙地提出一个问题：“王红同学进取支援灾区，她有92本课外读物，自我留下32本后，把剩下的送给5个小朋友，平均每个小朋友得到几本?请列综合算术解答。”吴正宪特意请那位同学板演并讲解。过了一会儿，那位同学不好意思地说:“我在算式中画了一个小括号，表示先求92与32的差，最终再除以5。”吴正宪故意问：“这个小括号有什么了不起，不写它不是也能够解决问题吗?”“这个小括号非写不可，不然就得先算32÷5这一步了，不贴合题目要求。”那位同学着急地说。一位同学抢过话头：“你此刻是不是和大家一样也喜欢小括号了?”“小括号挺好的。”那位同学感慨地说。
点评：看似枯燥的数学知识，不再是由教师灌输给学生，而是学生自我体悟到、探索到，这是吴教师的高妙之处。
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