《高等代数》教学工作总结（共11篇）
数理学院陈金萍
一、教学基本情况
1.1教学要求
2010—2011学年主要教授了信息工程学院计算机专业试点班的《高等代数》，教材由北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组的老师（高等教育出版社）编写。教学规定为144学时，第一学期80学时，第二学期64学时。考核方法是平时成绩和表现与期末考试成绩的综合。教学上要求，注意讲清每一个数学概念及应用的实际意义；注重学生基本运算能力和分析问题能力、解决问题能力的培养；重视理论联系实际，为该专业的学生学习专业知识打下良好的数学和逻辑思维的基础。
1.2教学内容
教材上第一至第十章的内容，包括多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、—矩阵、欧几里德空间、双线性函数等。根据教学实践的要求及学时的限制，部分内容稍作删减，如教材上带号以及第十章的内容。
1.3教学情况
1.3.1教材处理上比较适度
按教学计划和计算机专业的培养目标的要求，合理安排教学内容。合理选取理论体系适当降低课程内容的理论难度，在保证课程内容科学性的前提下对传统课程内容中的一些部分作处理：例如，课程内容中可以不包括行列式的拉普拉斯定理、二元高次方程组、酉空间、双线性函数与辛空间等内容；多元多项式部分只介绍多元多项式及其次数等简单概念，然后通过实例直接介绍用初等对称多项式表示齐次对称多项式的方法。同时根据一般本科院校教学的实际需要，结合各章节内容增设一定数量例题，帮助学生理解内容；在习题选取方面采取少而精原则，尽量避免偏题难题。
1.3.2教学时注意化解抽象理论的难度
我们叙述一些抽象的数学概念或定理前，总是要给出一些学生易于理解的引例，或者作较充分的文字或记号的铺垫工作。我们还根据理论体系展开的需要，构作了一些新的引理或定理，不少定理的证明也是很简便的。对于一些比较困难的定理证明做了细化处理，指出所使用的基础知识，增添一些推导细节，使学生
易于理解。在第三章行列式的内容处理也有一些特点，一方面n阶行列式仍用排列逆序数来定义，但另一方面紧接着这一定义后，就证明了行列式按一行（列）展开的公式。
1.3.3注重各种教学思想方法的运用
针对课程中抽象内容较多而学生在这方面的知识基础较差的教学实际，我们在讲授抽象概念之前，尽可能的介绍它们的应用背景或简单例子，启发学生思维从具体到抽象升华，帮助他们理解教学内容。
代数学的一些重要内容，例如集合的线性运算及其八条运算规则、等价关系等经常出现的内容，我们采用类比的方法进行讲授，使学生能触类旁通，举一反三；同时也使他们初步认识到这些都是本课程的本质内容。
对于一些难于理解的少数几个定理的证明，我们着重介绍证明思想以及每个证明阶段的技巧与预备知识，并要求学生课后复习。学生反映这种做法可以帮助他们较好地理解定理的证明。
二、教学中存在的问题
2.1部分学生学习目的不明确
虽然是试点班的学生，大部分学生对高等代数课的重视程度很高，害怕自己学不好，但是他们多数只是从考试毕业的角度去认识高等代数的重要性，而对于数学及数学思维对一个人将来的发展的影响，却很少有人能说清楚。这说明没有解决好学生对学习数学的人生、社会意义的认识。
2.2少部分学生学习兴趣不高，要化繁为简，学以致用
在教学过程中，通过与学生的交谈发现，多数学生认为高等代数具有极强的抽象性，感觉学习数学干燥枯涩乏味，体会不到学习的乐趣，认为学习数学是一个痛苦的过程。激发学生的学习兴趣是我们要探索解决的问题。
2.3部分学生不注重本质的学习，要重视数学思想方法
许多学生学习是为了考试过关，所以在学习过程中不注重课程本质的学习，而只是忙于做题，把学习的标准仅定位于会做课后题上。不领会数学知识形成发展过程中体现的数学方法，只关心具体解题的操作步骤，不是理解数学，而是记忆数学模仿解题。这样不利于学生抽象思维的发展和数学理念的运用。我想，应当研究进一步提高学生的数学思维方式。
三、今后教学工作的几点改进意见
首先，作为教师我本人要不断提高自身素质，从思想上重视高等代数教育中的数学人文教育，既要圆满完成本课程的教学又要育好人，初进大学学习的学生在思想上都有一定波动，如何通过数学教学教育好学生树立正确的学习目的，掌握好向科学进军的必备知识，这是每一个教师的头等重要任务。
其次，加强教学管理是学好高等代数的关键，我除了在教学上严格要求自己，认真备课、讲课，细心批改作业外，严格要求学生从出勤到作业完成情况按学校要求均列入平时成绩之内，对于平时的作业及时进行讲评，对于差的作业一般都做到面批指出错的原因。
最后，要指导学生加强自学的能力，大学中一项基本的任务就是培养人的自学能力，不仅要指导他们学的本学科的内容，还要教他们学好高等代数的方法，让学生在老师的指导下加强自已的自学能力、多学、多练。增强学生学习好数学的信心。
关键词：高等代数,代数思想方法,教学过程
高等代数作为数学专业的一门重要基础课, 其主要内容为代数的基本知识与基本理论, 目的是培养学生的抽象思维能力与逻辑推理能力。学生在数学系的基础课程中,对高等代数的学习是比较困难的。其原因一方面在于这门课本身很抽象,另一方面是这门课在大一开设,而学生的学习习惯、思维方式还是中学期间固有的方式,所以面对高等代数内容的高度抽象性,学生在学习方法、思维方式上存在诸多不适应,因此教学方法与技巧是很重要的。教师应努力钻研教法 ,注重数学 思想、数学 方法的渗 透 ,引导学生 尽快适应高等代数的学习, 逐步培养他们的抽象思维及逻辑推理能力。
一、介绍代数学的基本思想,优化教学效果,达到教学目的。
在高等代数教学中,注重介绍代数学的基本思想方法。数学方法有技巧性的数学方法,有逻辑性的数学方法,还有宏观性的数学方法,本文主要讨论的是这种宏观性的方法。这种方法是影响代数学发展的全局性方法,主要包括公理化方法、结构化方法等,简单介绍如下:公理化方法:高等代数从数、多项式、矩阵、几何向量、函数等具体的数学对象中,抽象出它们关于各自加法和数乘共同满足的八条运算律, 把八条运算律作为公理给出线性空间的定义, 从而线性空间这一概念就不是一个任何具体形式的数学对象, 而是满足八条公理的抽象的代数系统,再由线性空间的定义以八条公理为唯一的依据,推出线性空间的其他性质和定理, 由于公理系统是一个逻辑演绎系统, 因此对培养学生的逻辑思维能力和演绎推理能力都有其重要意义。线性空间是学生遇到的第一个公理化的定义,在这之后,高等代数中的线性变换、欧氏空间、双线性变换等概念都是用公理化的方法引进的。结构化方法:结构思想方法是在集合论的基础上从数学的整个全局出发, 把数学看成一个大系统,在当代数学思想理论的指导下,利用现代形式的公理方法,对整个数学依其结构的特征做了重新整理,从宏观上使其系统化和条理化。由此可见,结构思想方法的提出,把公理化方法推向更高的阶段, 从而为数学方法论揭开了新的一页,高等代数在线性空间“欧氏空间”等章节中都用到结构化方法。所谓高等代数中的结构化方法是, 依据代数系统的公理、研究系统中元素之间的关系、系统的生成方法、系统和子系统的关系、系统的分类等。例如:在线性空间一章中,除了从公理出发研究加法与数乘的运算性质外, 还借助由加法和数乘两种运算确定的线性相关性研究向量之间的关系, 向量组之间的关系,线性空间的生成,基和维数;研究子空间及其交、并、和与直和,最后引入同构映射,介绍向量空间的比较办法和按维数分类办法。
二、对课程作适当调整,强化教学效果。
近世代数作为高等代数的后继课是由历史演变形成的,不是由课程的难易程度决定的,事实上,高等代数中许多内容并不比近世代数容易,比如,群、环、域是抽象的代数体系,线性空间也是抽象的代数体系,而且它是特殊的模;从授课内容上看,近世代数只讲到一些群、环、域的基本概念、基本性质、子体系、商体系,而高等代数中讲到线性空间时所研究的内容深入得多,比如线性空间的分解、线性变换的标准形等理论。而从方法论的角度看, 任何数学知识中都包含一定的数学方法,在获得知识的同时,必然会接触数学方法。从学生认识的角度看,认识规律为从易到难,从简到繁。综合上述理由,设想对高代的课程安排,可进行适当调整,把近世代数中讲到的基本概念和群、环、域的基本知识安排在线性空间、线性变换等内容的前面,用公理化思想方法进行统一的组织安排,系统地介绍代数学的基本思想方法, 然后用统一的代数学思想方法讲授高等代数中的线性空间等抽象的代数系统, 才能真正理解高等代数中的线性空间等抽象的内容。
三、补充典型例题,提倡一题多解。
基本概念的理解、吃透、基本理论的掌握及应用都可通过做题实现。为此,教师可选择一些有代表性的,典型的综合试题作为例题介绍给学生,最好是一题多解。每道数学题总含有一些数学概念, 解题过程就是深入理解有关基本概念和基本定理,运用一些基本方法,从已知推向未知的过程。因此,讲解时应注意讲清解题的思路、想法、把自己的分析过程也一并讲给学生听。解题之后,再有意识地对例题进行剖析,如这个题包含哪些概念,运用哪些基本定理或公式,有没有其他解法,应注意哪些问题。这样做不但能加深对原题的印象,对巩固概念、定理和基本方法也是很有帮助的。一题多解,还可使学生从不同角度认识一个问题,对学生开阔思路,掌握更多解题技巧,逐步提高解题能力等都有好处。这种方式如果在一个单元结束后进行,则效果更为显著。
四、教学中应加强代数思想方法的渗透与培养。
高等代数内容中体现了很多数学思想方法。如利用等价关系进行分类的思想方法,同构的观点和方法,化标准形的方法,构造性证明,以及存在性证明的思想方法。这些数学思想方法要在教学中有意识地加以渗透, 提醒学生注意整理、比较,做到潜移默化,使学生逐步理解这些思想方法并会加以应用。如利用等价关系进行分类的思想方法在高等代数中反复出现,矩阵在初等变换下的等价关系,在合同变化下的合同关系,在相似变化下的相似关系都是等价关系。利用合同关系还可对复数域及实数域上的二次型进行分类。又如同构的观点和方法,它是代数学中一种重要的思想方法。在高等代数中多次出现,一般数域p上的n维向量空间v与pn同构,从而把一般n维向量空间向量间的线性关系问题转化为讨论pn中n维向量的线性关系。这种抓住特例推广到一般的方法, 以及把复杂问题转化为简单问题的方法是代数以致整个数学的基本思想和方 法之一。 数域p上n维向量空 间V的所有线 性变换所 成集合L(V)与p上全体n阶矩阵所 成集合Mn(P ) 在给定基 之下是同 构的 , 这样线性 变换与矩 阵就可看做是同一事物的两种表现形式, 在相关的讨论中二者可相互替代。
五、充分利用高等代数的特点,培养学生的数学能力。
【关键词】 高等代数；教学方法；学习过程；抽象思维
【中图分类号】 G64.23【文献标识码】 A【文章编号】 2095-3089（2016）31-0-01
高等数学专业教育中进行高等代数教学，主要培养学生抽象思维能力以及逻辑推理能力。由于学生高等代数学习还保持着中学数学学习方式，导致学生在面对高等代数学习显得力不从心，因此教师进行高等代数教学过程中，需要对学生采取一定的措施，改变学生固有的思维方式，以便满足学生学习高等代数要求[1]。这就需要教师进行高等代数教学方法的研究，从而使得学生能够有效进行高等代数学习，为培养学生的抽象思维能力以及逻辑思维能力提供有效的保障。本文将对高等代数教学方法进行有效探讨，以此提高学生高等代数学习能力。
1.针对基本概念设计适当问题
高等代数具有概念多以及抽象等特点，目前所用的高等代数教材，一般都是在进行高等代数概念讲解，之后附上一系列性质、定理的证明[2]。但是对高等代数概念的理解讲解较少，从而导致学生在理解掌握高等代数有一定的难度，因此需要教师教学针对这一问题，进行一系列教学方式的改变，在进行高等代数概念讲解过程中，有必要进行设计概念相关的例题进行针对性讲解，题目设计要保证简单明了，同时能紧扣高等代数基本概念。在此基础上才能使得学生对高等代数概念能够进行有效的理解掌握，从而为以后的高等代数学习奠定夯实的基础。
例如，教师进行讲解定理2.3.1时：F[x]的任意两个多项式f（x）与g（x）二者之间存在最大公因式，在一个零次因式之外，f（x）与g（x）还存在一个最大公因式，换一种说法，就是d（x）是f（x）与g（x）的最大公因式，因此F的任何一个不为零数域的数，并且有且只有一个乘积符合f（x）与g（x）的最大公因式。
证：先进行证明定理的前半部分，如果f（x）等于g（x）且都等于0，因此根据题目定义得知，f（x）以及g（x）的最大公因式就是0；
如果f（x）与g（x）相等且都不等于0，举个例子说：g（x）不等于0，应用带余除法进行以下步骤，用g（x）去除f（x），得到结果式子为Q1（x）以及余式R1（x）；
如果R1（x）不等于0，然后通过再以R1（x）去除g（x），得到结果式子Q2（x）及余式R2（x）；
如果R2（x）不等于0，再通过R2（x）除R1（x），一直不为0，就一直循环除法，由于余式的次数每一次都得到了降低，因此进行了有限次循环除法之后，就必定会得出这样一个余式Rk（x），它整除前一个余式R1k（x），通过统计循环运算，我们得到一串等式：
f（x）=g（x）q1（x）+r1（x），
g（x）=r1（x）q2（x）+r2（x），R1（x）=R2（x）q3（x）+R3（x）……（1）
R3k（x）=R2k（x）q1，k（x）+R1（x），R2k（x）=R1k（x）qk（x）+Rk（x），R1k（x）=Rk（x）q，1k（x）=R2（x），在此基础上就可以进行说明Rk（x）就是f（x）与g（x）的一个最大公因式。
通过（1）的最后一个等式说明rk（x）整除R1k（x）；因此得，rk（x）整除倒数第二个等式右端的两项，因而也就整除R2k（x）；同理，由倒数第三个等式看出rk（x）也整除R3k（x）。如此逐步往上推，最后得出Rk（x）能整除g（x）与f（x）；这就是说，Rk（x）是f（x）与g（x）的一个最大公因式；其次，假设h（x）是f（x）与g（x）的其中任意一个公因式，由此通过（1）的第一个等式知道，h（x）也一定能整除R1（x），同种方法下，由第二个等式，h（x）也能整除R2（x）
经过循环计算往下推，可以得到h（x）能整除Rk（x）。Rk（x）的确是f（x）与g（x）的一个最大公因式。在此过程中，证明了任意两个多项式都存在一个最大公因式，同时在进行教学过程了解到一种新的最大公因式求法，这种方法叫做辗转相除法[3]。
2.补充典型例题，鼓励一题多解
对于一些高等代数基本概念的理解掌握以及实际解题应用，一般情况下学生通过大量做题巩固对知识的理解掌握。因此教师可以在书本上原有例题基础上，进行补充综合性较强例题进行讲解，同时鼓励学生使用多种方法进行解答。此外，教师在进行经典题型讲解过程中，要注重详细讲解解题思路，同时将个人的题目分析过程讲解给学生。在解题之后，对例题进行综合性分析，主要包括例题涉及的概念、公式以及解题步骤[4]。如此能够有效使得学生加强对例题的理解掌握，同时对高等代数概念能够进行有效复习巩固。
例如：教师进行n（n>2）个多项式互素的情形讲解，如果多项式h（x）能够进行整除多项式f1（x），f2（x），……fn（x）中的任意一个，由此就可以说明h（x）是这n个多项式的一个公因式。
如果是f1（x），f2（x），……，fn（x）的公因式d（x）都能够被n个多项式的任意一个公因式进行整除，由此d（x）叫f1（x），f2（x），……，fn（x）中的一个最大公因式。
根据以上就可以简单推导出，如果d0（x）是多项式假设是f1（x），f2（x），……，fn-1（x）的一个最大公因式，因此d0（x）与fn（x）多项式的最大公因式也是多项式，如果是f1（x），f2（x），……，fn-1（x），fn（x）的最大公因式。
根据相关证明可得，两个多项式的最大公因式一定是存在的，因此n个多项式也一定是存在最大公因式的，同时在进行求多项式最大公因式过程中，可以通过累次应用辗转相除法进行求出多项式的最大公因式。与两个多项式的求法一致，n个多项式的最大公因式也只有常数因子的差别。n个不全为零的多项式的最大公因式指的是最高次项数是1的那一个。那么n个多项式f1（x），f2（x），……，fn（x）是最大公因式就是唯一确定的。我们用符号（f1（x），f2（x），……，fn（x））表示这样确定的最大公因式。
最后，若是多项式f1（x），f2（x），……，fn（x）除零次多项式外，没有其它公因式，就说这一组多项式互素。教师在进行证明过程中需要注意，n（n>2）个多项f1（x），f2（x），……，fn（x）互素时，它们并不一定两两互素。例如，多项式f1（x）=x2-3x+2，f2（x）=x2-5x+6，f3（x）=x2-4x+3是互素的，但（f1（x），f2（x））=x-2。
3.结语
綜上所述，高等代数作为高等院校数学专业一门基础性课程，高等代数的教学目的主要培养学生的逻辑思维能力以及推理能力，然而高等代数课程概念十分抽象，同时学生又保持中学时段的思维模式，导致高等代数教学变得困难。因此在教师教学过程中需要针对基本概念设计适当问题及补充典型例题，鼓励一题多解等教学方法探讨，以此为高等代数教学质量奠定夯实的基础。
参考文献：
[1]汪国军，徐清舟.基于问题探究式方法在高等代数教学中的应用——以浙江大学为例[J].许昌学院学报，2014，05：120-123.
[2]陈静.初中起点六年制本科小学教育专业（数学方向）高等代数课程的教学探索[J].湖南第一师范学院学报，2014，03：18-20.
[3]刘心，李敏.《高等代数与解析几何》课程一体化教学内容与方法的优化研究[J].大连大学学报，2015，03：135-137.
1。书：课本+习题集(必备)，因为学好数学绝对离不开多做题(跟高中有点像，呵呵);建议习题集最好有本跟考研有关的，这样也有利于你将来可能的考研准备。
2。笔记：尽量有，我说的笔记不是指原封不动的抄板书，那样没意思，而且不必非单独用个小本，可记在书上。关键是在笔记上一定要有自己对每一章知识的总结，类似于一个提纲，(有时老师或参考书上有，可以参考)，最好还有各种题型+方法+易错点。
3。上课：建议最好预习后听听。(其实我是从来不听课的，除非习题课)，听不懂不要紧，很多大学的课程都是靠课下结合老师的笔记自己重新看。但remember，高数千万别搞考前突击，绝对行不通，所以平时你就要跟上，步步尽量别断层。
4。学好高数=基本概念透+基本定理牢+基本网络有+基本常识记+基本题型熟。数学就是一个概念+定理体系(还有推理)，对概念的理解至关重要，比如说极限、导数等，小弟你既要有形象的对它们的理解，也要熟记它们的数学描述，不用硬背，可以自己对着书举例子，画个图看看(形象理解其实很重要)，然后多做题，做题中体会。建议你用一只彩笔专门把所有的概念标出来，这样看书时一目了然(定理用方框框起来)。
基本网络就是上面说的笔记上的总结的知识提纲，也要重视。
基本常识就是高中时老师常说的“准定理”，就是书上没有，在习题中我们总结的可以当定理或推论用的东西，还有一些自己小小的经验。这些东西不正式但很有用的。
题型都明白了，比如各种极限的求法。
好了，这些都做到了，高数应该学得不会差了，至少应付考试没问题。如果你想提高些，可以做些考研的数学题，体会一下，其实也不过如此若时间充裕还可以学习一下数学软件,如matlab、mathematic，比如算积分都有现成的函数，通过练习可以加强对概念的掌握;此外还看些关于高数应用的书，其实数学本来就是从应用中来的，你会知道真的很有用(不知你学的什么专业)
最后再说说怎么提高理解能力的问题(一家之言)
1。举例具体化。如理解导数时，自己也举个例子，如f(x)=X^2+8。
2。比喻形象化。就是打比方,比如把一个二元函数的图形想成邻家女孩的头上的草帽。
3。类比初级化。比如把二元函数跟一元函数类比，泰勒公式想成二次函数，好理解。
4。多书参考法。去你们图书管借几本不是一个作者写的高数教材，虽然讲的内容都一样，但不同的作者往往对同一个问题从不同的角度表述，对你来说，从很多不同的角度、例子理解同一个问题，往往就容易多了。Just have a try!
课程：高等代数
高等代数 北京大学数学系几何与代数教研室 高等教育出版社 1978 高等代数 丘维声 高等教育出版社 1996 高等代数 张禾瑞 郝炳新 高等教育出版社 1983 高等代数习题课教材 钱芳华 黎有高 卜淑云 邓培民 广西师范大学出版社 1997 高等代数解题方法 许甫华 张贤科 清华大学出版社 2001 高等代数习题课参考书 张均本 高等教育出版社 1991 线性代数试题选解 魏宗宣 中南工业大学出版社 1986 用MAPLEV学习线性代数 丘维声（译）高等教育出版社 施普林格出版社 2001
高等代数教学大纲
数学与应用数学专业《高等代数》教学大纲
一、课程说明：《高等代数》是河北师范大学数学与应用数学专业（数学系）的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间等方面的系统知识。它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力等重要作用。
二、教学目的及要求：通过本课程教学的主要环节（讲授与讨论，习题课，作业，辅导等），使学生对多项式理论、线性代数的“解析理论”、与“几何理论”及其思想方法有较深的认识和理解，从而有助于学生正确理解高等代数的基本概念和论证方法及提高分析问题解决问题的能力。
三、教学重点及难点：带余除法、最大公因式的性质、不可约多项式的定义及性质、重因式、多项式的有理根等；计算行列式的一些方法；线性方程组及其相关理论的理解及应用；矩阵理论的灵活应用；正定二次型的等价条件及二次型的标准形；向量空间一些基本概念的理解及相关理论的灵活应用；线性变换与矩阵的联系、矩阵相似、线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特征值、特征向量及子空间理论；一些基本概念(内积空间、欧氏空间、正交矩阵、酉空间)的理解。
四、与其它课程的关系：本课程为一门基础课，是学习习近平世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析等课程的基础。
五、学时、学分：142学时，8学分
六、教学内容：
第1章 多项式（27学时）本章主要教学内容：１．１ 数域 １．２ 一元多项式 １．３ 整除的概念 １． ４ 最大公因式 １． ５ 因式分解定理 １． ６ 重因式 １． ７ 多项式函数
１． ８ 复系数与实系数多项式的因式分解 １． ９ 有理系数多项式 １． １０ 多元多项式 １．１１ 对称多项式 本章教学目的及要求：
1．1 掌握数域的定义,并会判断一个代数系统是否是数域。
1．2 正确理解数域P上一元多项式的定义,多项式相乘,次数,一元多项式环等概念。掌握多项式的运算及运算律。
1．3 正确理解整除的定义,熟练掌握带余除法及整除的性质。
1．4 正确理解和掌握两个(或若干个)多项式的最大公因式,互素等概念及性质。能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。
1．5 正确理解和掌握不可约多项式的定义及性质。深刻理解并掌握因式分解及唯一性定理。掌握标准分解式。
1．6 正确理解和掌握k重因式的定义。
1．7 掌握多项式函数的概念,余数定理,多项式的根及性质。正确理解多项式与多项式函数的关系。1．8 理解代数基本定理。熟练掌握复（实）系数多项式分解定理及标准分解式。
1．9深刻理解有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系。掌握本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein判别法。
1．10 理解多元多项式、对称多项式的定义，掌握对称多项式基本定理。
本章教学重点及难点：整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、k重因式与k重根的关系、复（实）系数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein判别法。第2章 行列式（15学时）本章主要教学内容： ２．１ 引言 ２．２ 排列 ２．３ n级行列式 ２．４ n级行列式的性质 ２．５ 行列式得计算
２．６ 行列是按一行（列）展开 ２．７ 克兰姆法则 本章教学目的及要求：
2．1理解并掌握排列、逆序、逆序数奇偶排列的定义。掌握排列的奇偶性与对换的关系。2．2 深刻理解和掌握n级行列式的定义,能用定义计算一些特殊行列式。2．3 熟练掌握行列式的基本性质。
2．4 正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行列式性质计算一些简单行列式。2．5 正确理解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌握行列式按一行（列）展开的公式。掌握“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计算行列式的技巧。2．6 熟练掌握克莱姆(Cramer)法则。
2．7 正确理解和掌握行列式的一个k级子式的余子式等概念、熟练掌握拉普拉斯(Laplace)定理.理解行列式的乘法规则。
本章教学重点及难点：n级行列式的定义、行列式的基本性质、矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换、行列式按一行（列）展开的公式、克莱姆(Cramer)法则、拉普拉斯(Laplace)定理。第3章 线性方程组（13学时）本章主要教学内容：３．１ 消元法 ３．２ n维向量组 ３．３ 线性相关性 3． 4 矩阵的秩
２． ５ 线性方程组有解判别定理 ３．６ 线性方程组解的结构 本章教学目的及要求：
3．1 正确理解和掌握一般线性方程组,方程组的解,增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求线性方程组的一般解。
3．2 理解和掌握n维向量及两个n维向量相等的定义。熟练掌握向量的运算。深刻理解n维向量空间的概念。
3．3 正确理解和掌握线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。掌握两个向量组等价的定义及等价性质定理。深刻理解向量组的极大无关组、秩的定义，会求向量组的一个极大无关组。3．4 深刻理解和掌握矩阵的行秩、列秩、秩的定义。掌握矩阵的秩与其子式的关系。3．5 熟练掌握线性方程组的有解判别定理。理解和掌握线性方程组的公式解。
3．6 正确理解和掌握齐次线性方程组的基础解系,解空间的维数与概念。熟练掌握基础解系的求法、线性方程组的结构定理。会求一般线性方程组有解的全部解。
本章教学重点及难点：线性方程组的初等变换、求线性方程组的一般解、n维向量、线性组合、线性相关、线性无关、两个向量组等价、极大无关组、向量组的秩、求向量组的一个极大无关组、矩阵的秩、线性方程组的有解判别定理、线性方程组的公式解、齐次线性方程组的基础解系、基础解系的求法、线性方程组的结构定理、求一般线性方程组有解的全部解。第4章 矩阵（15学时）本章主要教学内容：４．１ 矩阵的概念 ４．２ 矩阵的运算
４．３ 矩阵乘积的行列式与秩 ４．４ 矩阵的逆 ４．５ 矩阵得分块 ４．６ 初等矩阵
４．７ 分块矩阵的初等变换及应用举例 本章教学目的及要求：
4．1 了解矩阵概念产生的背景。
4．2 掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算及其计算规律。
4．3 掌握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。
4．4 正确理解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌握一个n阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。
4．5 理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。
4．6 正确理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系，熟练掌握一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件；会用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵。
4．7 理解分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，会求分块矩阵的逆。本章教学重点及难点：矩阵的运算、矩阵乘积的行列式定理、矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系、可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵、n阶方阵可逆的充要条件、用公式法逆矩阵、分块矩阵的意义及运算、初等矩阵、用初等变换的方法逆矩阵、分块矩阵的逆。第5章 二次型（12学时）
本章主要教学内容：５．１ 二次型的矩阵表示 ５．２ 标准形 ５．３ 唯一性 ５．４ 正定二次型 本章教学目的及要求：
5．1 正确理解二次形和非退化线性替换的概念；掌握二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的一一对应关系；掌握矩阵的合同概念及性质。
5．2 理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准型的方法（配方法、初等变换法）。5．3 正确理解复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性；掌握惯性定理。
5．4 正确理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念；熟练掌握正定二次型及半正定二次型的等价条件。
本章教学重点及难点：非退化线性替换、二次型的矩阵、二次型与其矩阵的一一对应关系、矩阵的合同、化二次型为标准型、复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性、惯性定理、正定二次型的判别条件、半正定二次型的等价条件。第6章 线性空间（16学时）本章主要教学内容：６．１ 集合 映射 ６．２ 线性空间的定义与简单性质 ６．３ 维数，基与坐标 ６．４ 基变换与坐标变换 ６．５ 线性子空间 ６．６ 子空间的交与和 ６．７ 子空间的直和 ６．８ 线性空间的同构 本章教学目的及要求：
6．1 掌握映射、单射、满射（映上的映射）、一一映射、逆映射等概念。
6．2 正确理解和掌握线性空间的定义及性质；会判断一个代数系统是否是线性空间。
6．3 理解线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念；正确理解和掌握n维线性空间及的概念及性质。
6．4 正确理解和掌握基变换与坐标变换的关系。
6．5 正确理解线性子空间的定义及判别定理；掌握向量组生成子空间的定义及等价条件。6．6 掌握子空间的交与和的定义及性质；熟练掌握维数公式。6．7 深刻理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。
6．8 理解和掌握线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。
本章教学重点及难点：线性空间、判断一个代数系统是否是线性空间、n维线性空间及的概念及性质、基变换与坐标变换的关系、线性子空间的定义及判别定理、向量组生成子空间的定义及等价条件、子空间的交与和、维数公式、子空间的直和、线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。第7章 线性变换（23学时）
本章主要教学内容：７．１ 线性变换的定义 ７．２ 线性变换的运算 ７．３ 线性变换的矩阵 ７．４ 特征值与特征向量 ７．５ 对角矩阵
７．６ 线性变换的值域与核 ７．７ 不变子空间 ７．８ 若当标准形介绍 ７．９ 最小多项式
本章教学目的及要求：
7．1 理解和掌握线性变换的定义及性质。
7．2 掌握线性变换的运算及运算规律，理解线性变换的多项式。
7．3 深刻理解和掌握线性变换与矩阵的联系；掌握矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质。
7．4 理解和掌握矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质；会求一个矩阵的特征值和特征向量；掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密尔顿-凯莱定理。
7．5 掌握n 维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件。
7．6 掌握线性变换的值域、核、秩、零度等概念；深刻理解和掌握线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系。
7．7 掌握不变子空间的定义；会判定一个子空间是否是A-子空间；深刻理解不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系；掌握将空间V按特征值分解成不变子空间的直和表达式。7．8 掌握标准型的定义。
7．9 正确理解最小多项式的概念；掌握一个矩阵相似于一个对角阵与它的最小多项式的关系。本章教学重点及难点：线性变换的定义及性质、线性变换的运算、线性变换与矩阵的联系、矩阵相似、线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特征值、特征向量、特征多项式、求矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵与它们的特征多项式的关系、哈密尔顿-凯莱定理、线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件、线性变换的值域、核、秩、零度、线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系、不变子空间的定义、判定一个子空间是否是A-子空间、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系、将空间V按特征值分解成不变子空间的直和表达式、标准型的定义、最小多项式。第8章 －矩阵（3学时）本章主要教学内容：8.1 矩阵
8.2 矩阵在初等变换下的标准形不变因子 8.3 不变因子 8.4 矩阵相似的条件 8.5 初等因子
本章教学目的及要求：只介绍一些基本概念,一些简单结论，对定理的证明不作要求。本章教学重点及难点： 矩阵及其标准形、行列式因子、不变因子、初等因子及其之间关系。第9章 欧几里得空间（18学时）本章主要教学内容：９．１ 定义与基本概念
９．２ 标准正交基
９．３ 同构
９．４ 正交变换
９．５ 子空间
９．６ 对称矩阵的标准形
９．７ 向量刀子空间的距离，最小二乘法
９．８ 酉空间介绍 本章教学目的及要求： 9．1 深刻理解欧氏空间的定义及性质；掌握向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质，使学生掌握各种概念之间的联系和区别。
9．2 正确理解正交向量组、标准正交基的概念，掌握施密特正交化过程，并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。
9．3 深刻理解两个欧氏空间同构的定义。掌握两个欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系。9．4 正确理解和掌握正交变换的概念及几个等价关系，让学生掌握正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系。
9．5 正确理解和掌握两个子空间正交的概念，掌握正交与直和的关系，及欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质。
9．6 深刻理解并掌握任一个对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，并掌握求正交阵的方法。能用正交变换化实二次型为标准型。
9．7、9．8 简单介绍，只让学生了解。
本章教学重点及难点：欧氏空间的定义及性质向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质、正交向量组、标准正交基的概念、施密特正交化、欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系、正交变换的概念及几个等价关系、正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系、两个子空间正交的概念、正交与直和的关系、正交阵、用正交变换化实二次型为标准形。
七、教材及参考书
1、教材：《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室小组 编，高等教育出版社，８８年３月。
2、教学参考书： 《高等代数》，张禾瑞，郝炳新 编，高等教育出版社，84年3月。
《高等代数》，丘维声 编，高等教育出版社，96年12月。
高等代数考试大纲
数学与应用数学专业《高等代数》考试大纲
一、课程说明：《高等代数》是河北师范大学数学系的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、二次型、线性空间、线性变换、欧氏空间等方面的系统知识。它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力等重要作用。
二、与其它课程的关系：本课程作为一门基础课，是学习习近平世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析等课程的基础。
三、学时、学分：142学时，8学分
四、考核内容及要求： 第1章 多项式（27学时）本章考核内容： １．１ 数域 １．２一元多项式 １．３ 整除的概念 １． ４最大公因式 １． ５因式分解定理 １． ６重因式 １． ７多项式函数
１． ８复系数与实系数多项式的因式分解 １． ９有理系数多项式 １． １０多元多项式 １．１１对称多项式
二、本章考核要求：考核要求：
1.1识记：数域定义，一元多项式定义，整除定义，最大公因式定义，互素定义，不可约多项式定义，k重因式定义，本原多项式定义。
1.2理解：数域P上一元多项式的定义、多项式相乘、次数、一元多项式环等概念，整除的定义，两个(或若干个)多项式的最大公因式,互素等概念及性质，不可约多项式的定义及性质，k重因式的定义，多项式与多项式函数的关系，代数基本定理，有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系，多元多项式、对称多项式的定义。
1.3简单应用：判断一个代数系统是否是数域，多项式的运算及运算律，用辗转相除法求两个多项式的最大公因式，不可约多项式的定义及性质，标准分解式，k重因式，多项式函数的概念、余数定理、多项式的根及性质，对称多项式基本定理。
1.4综合应用：带余除法及整除的性质，因式分解及唯一性定理，复（实）系数多项式分解定理及标准分解式，本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein判别法。第2章 行列式（15学时）本章考核内容： ２．１引言 ２．２排列 ２．３n级行列式 ２．４n级行列式的性质 ２．５行列式得计算
２．６行列是按一行（列）展开 ２．７克兰姆法则 本章考核要求：
2.1识记：排列、逆序、逆序数奇偶排列的定义，n级行列式的定义，矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，元素的余子式、代数余子式等概念。
2.2理解：排列的奇偶性与对换的关系，n级行列式的定义，矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，元素的余子式、代数余子式等概念，行列式的一个k级子式的余子式等概念，行列式的乘法规则。2.3简单应用：用定义计算一些特殊行列式，利用行列式性质计算一些简单行列式，行列式按一行（列）展开的公式。掌握“化三角形法”、“递推降阶法”、“数学归纳法”等计算行列式的技巧。2.4综合应用：克莱姆(Cramer)法则。第3章 线性方程组（13学时）本章考核内容： ３．１消元法 ３．２n维向量组 ３．３线性相关性 3． 4 矩阵的秩
3.５线性方程组有解判别定理 ３．６线性方程组解的结构 本章考核要求：
3.1 识记：n维向量及两个n维向量相等的定义。
3.2 理解：一般线性方程组,方程组的解,增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质，阶梯形方程组的特征及作用，线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质，两个向量组等价的定义及等价性质定理，向量组的极大无关组、秩的定义，矩阵的行秩、列秩、秩的定义。
3.3 简单应用：线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质，两个向量组等价的定义及等价性质定理，求向量组的一个极大无关组，求矩阵的秩，求齐次线性方程组的基础解系。3.4 综合应用：求一般线性方程组有解的全部解。
第4章 矩阵（15学时）本章考核内容：
４．１矩阵的概念 ４．２矩阵的运算
４．３矩阵乘积的行列式与秩 ４．４矩阵的逆 ４．５矩阵得分块 ４．６初等矩阵
４．７分块矩阵的初等变换及应用举例
本章考核要求：
4.1识记：矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算及其计算规律，可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念。4.2理解：矩阵乘积的行列式定理，分块矩阵的意义，分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系。4.3简单应用：矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系，n阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵，分块矩阵的加法、乘法的运算及性质，4.4综合应用：一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件，会用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵，求分块矩阵的逆。
第5章 二次型（12学时）
本章考核内容： ５．１二次型的矩阵表示 ５．２标准形 ５．３唯一性 ５．４正定二次型 本章考核要求：
5.1识记：二次型的矩阵表示,正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念。
5.2理解：二次形和非退化线性替换的概念, 二次型与对称矩阵的一一对应关系,合同概念及性质, 复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性。
5.3简单应用：化二次型为标准型的方法（配方法、初等变换法）, 5.4综合应用：正定二次型及半正定二次型的等价条件。第6章 向量空间（16学时）本章考核内容： ６．１集合 映射 ６．２线性空间的定义与简单性质 ６．３维数，基与坐标 ６．４基变换与坐标变换 ６．５线性子空间 ６．６子空间的交与和 ６．７子空间的直和 ６．８线性空间的同构 本章考核要求：
6.1识记：映射、单射、满射（映上的映射）、一一映射、逆映射等概念，线性空间的定义，子空间的定义，6.2理解：线性空间的定义及性质，线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念，基变换与坐标变换的关系，子空间的交与和的定义及性质，子空间的直和的概念，线性空间同构的定义。
6.3简单应用：判断一个代数系统是否是线性空间，基变换与坐标变换的关系，向量组生成子空间的定义及等价条件，维数公式。
6.4综合应用：子空间为直和的充要条件，两个有限维空间同构的充要条件。第7章 线性变换（23学时）本章考核内容：７．１线性变换的定义 ７．２线性变换的运算 ７．３线性变换的矩阵 ７．４特征值与特征向量 ７．５对角矩阵
７．６线性变换的值域与核 ７．７不变子空间 ７．８若当标准形介绍 ７．９最小多项式
本章考核要求：
7.1识记：线性变换的定义及性质，矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念，线性变换的值域、核、秩、零度等概念，不变子空间的定义，最小多项式的概念。
7.2理解：线性变换与矩阵的联系，矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质，矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质，不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系，掌握标准型的定义，最小多项式的概念。
7.3简单应用：求一个矩阵的特征值和特征向量，相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密尔顿-凯莱定理，n 维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件，线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系，判定一个子空间是否是A-子空间。
7.4综合应用：不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系，一个矩阵相似于一个对角阵与它的最小多项式的关系。
第8章 －矩阵（3学时）本章考核内容： 8.1 矩阵
8.2 矩阵在初等变换下的标准形不变因子 8.3不变因子 8.4矩阵相似的条件 8.5初等因子 本章考核要求：
2.1识记： 矩阵，行列式因子、不变因子、初等因子。
2.2理解： 矩阵的标准形、行列式因子、不变因子、初等因子及其之间关系。第9章 欧氏空间（18学时）
本章考核内容： ９．１定义与基本概念
９．２标准正交基
９．３同构
９．４正交变换
９．５子空间
９．６对称矩阵的标准形
９．７向量刀子空间的距离，最小二乘法
９．８酉空间介绍 本章考核要求： 2.1识记：欧氏空间的定义，两个欧氏空间同构的定义，向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念，正交变换的概念。
2.2理解：欧氏空间的性质，向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵的基本性质，正交向量组、标准正交基的概念，正交变换的概念及几个等价关系，正交与直和的关系。
2.3简单应用：施密特正交化过程，把一组线性无关的向量化为单位正交的向量，两个欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系，正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系，欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质。
2.4综合应用：任一个对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，求正交阵的方法，用正交变换化实二次型为标准型。
五、教材及参考书
1、教材：《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室小组编，高等教育出版社，８８年３月。
课程编号：836课程名称：高等代数（含解析几何）
一、考试的总体要求
要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，掌握代数的基本方法，要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力、综合运用所学的知识分析和解决问题的能力。
二、考试的内容及比例
1．多项式：数域，二元多项式、整除、最大公因式、互素、不可约多项式、因式分解定理、重因式、多项式、函数、复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式，多元多项式。
2．行列式：排列，n阶行列式的定义，n阶行列式的性质及计算，行列式展开（按一行(一列)展开，拉普拉斯定理）克莱姆法则。
3．矩阵：矩阵的概念，矩阵的运算，逆矩阵、矩阵乘积的行列式、分块矩阵、初等矩阵、初等变换，分块矩阵和初等变换及其应用，矩阵的秩。
4．线性方程组：n维向量空间，n维向量的线性相关性，向量组的极大线性无关组，向量组的秩和线性方程组的解法、有解的判别原理、解的结构。
5．二次型：二次型及其矩阵表示，二次型的标准型、唯一性、化二次型为标准型，正定二次型。
6．线性空间：集合、映射、线性空间的定义与性质。基、维数与坐标、基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，直和，线性空间的同构。
7．线性变换的定义及其运算，线性变交换的矩阵，特征值与特征向量，对角矩阵，线性变换的值域与核、不变子空间。
8．λ-矩阵：λ-矩阵的概念，λ的矩阵在初等变换下的标准型，行列式因子，不变因子，及初等因子，矩阵相似的条件，矩阵的若当标准型及理论推导。
9．欧几里德空间：欧几里德空间的定义与基本性质，标准正交基，欧氏空间的同构和正交变换，子空间及其正交系，正交补，对称矩阵的标准形。向量到子空间的距离，最小二乘法，酉空间。
各部分占10%左右。
三、考试的题型及比例
1．填空题15%。2．计算题40%。3．证明题45%。
四、考试形式及时间
1.概念上的抽象性教学
高等代数中的概念可谓抽象之抽象, 是建立在已有概念的抽象分析之上的概念, 这些概念与真实世界的距离是非常遥远的, 其“概念术语抽象难以记忆, 思想方法不易掌握, 解题论证入手困难”.有数据显示, 学生对高等代数中“概念的概括”基本能听懂的只有40%, 似懂非懂的占60%.这客观上要求教师必须结合生产、生活实际, 把抽象的概念具体化, 并结合已知来对比、类推.最终使学生把各个知识点融会贯通.
例1 讲述矩阵的定义时, 我们就引入田忌赛马 (赢得矩阵) 的实例:
我国古代有“齐王赛马”的事例, 说的是战国时代齐王与其大将田忌赛马, 双方约定各出上、中、下3个等级的马各一匹进行比赛, 这样共赛马3次, 每次比赛的败者付给胜者一百金.已知在同一等级马的比赛中, 齐王之马可稳操胜券, 但田忌的上、中等级的马分别可胜齐王中、下等级的马.比赛策略:
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齐王的赢得矩阵:
此实例既增加了课堂的氛围, 加强了学生对矩阵概念的形象理解, 也对矩阵的应用性方面有了一定的认识, 让学生知道了高等代数这门课程不单单是纯理论知识, 还有着广泛的生活应用.再结合行列式对比, 引导学生发现二者的异同, 使学生不仅对矩阵的认识具体化, 同时进一步升华了其对行列式的抽象性理解.
例2 讲解数域的定义, 设P是由一些复数组成的集合, 其中包括0与1, 如果P中任意两个数 (这两个数也可以相同) 的和、差、积、商 (除数不为零) 仍然是P中的数, 那么P就称为一个数域.我们教学时通过数域的定义, 再对照一些熟悉的数域, 如有理数域、实数域、复数域来增强同学们对数域的定义的感性认识.在此基础上引导学生对这个定义进行优化.
2.代数运算的抽象性教学
在已有认知结构中存在大量的“非常规”运算, 其实质上是相同的, 但是这种非常规运算很容易跟脑海中固有的常规知识相混淆.在教学中要求教学者不断地强调“非常规”运算, 区分其与“常规”运算, 形象地讲解“非常规”运算的关系, 使学生能轻松地接受这些运算, 而不至于与原有初等数学中的运算相混淆.
例3 在线性空间中的一种叫做加法和一种叫做数量乘法的运算a♁b=a·b, k·ak=ak, ∀k∈R, a, b∈R+, 跟我们普通的初等运算不同, 这种定义很难使学生的思维一下子就转换过来, 即使一开始明白了, 但在练习中还是会与初等代数运算混淆.教学者应反复跟学生强调, 要求学生在做这类代数运算时, 先把原来脑海里的加、减、乘、除运算方法撇开, 体会自己刚进幼儿园时的学习心态, 这样, 在讲解过程中, 学生就会非常谨慎地对待目前所定义的运算, 而不至于动不动就跟初等代数运算相混淆.此外, 由于我们游戏般地把自己带到童年的学习回忆中, 使得学生在学习过程中有一种新鲜感、快乐感.接着在给出了定义之后, 要注意给出实例.特别需要再反过去让同学们思考初等数学中所定义的运算跟线性空间中运算的异同.
例4 讲解同构映射, 开始学习时要理解同构这一运算概念是有难度的, 尤其是在高等代数大多数教材对线性空间的抽象讨论中, 并没有考虑线性空间的元素及其中运算的定义, 从这个观点看来同构的线性空间是抽象的, 很难理解, 教学者若能联系实际生活, 把线性空间运算有关的性质和结构, 比喻成生物学上研究脊椎动物类的身体结构时, 它们的标本与实物本身虽然组成各自的成分不相同, 但就其结构而言, 我们认为其标本与实体没有区别.要研究脊椎动物的结构, 不可能将属于脊椎动物的每只动物都解剖进行研究, 而是将该类动物中的其中一只如麻雀解剖做成标本, 只要将这一只标本研究清楚了, 则整个脊椎类的结构也就清楚了.同样的道理, 要研究某一类线性空间, 若它们在某个一一对应下关于运算的结构相同, 我们则只要研究其中的一个就行了, 这就是学习同构的意义所在.这样的比喻使学生觉得既形象又容易接受, 不仅明白了同构的含义, 而且对同构的作用也有了一定的认识.
3.高等代数中各概念之间的抽象性联系教学
高等代数本身几乎完全周旋于抽象概念关系的圈子之中, 各种相关的抽象概念织成了一张张有机的关系网络, 在高等代数知识网络连通方面, 我们通过仔细钻研教材, 翻阅各种资料, 能把高等代数的知识脉络全面把握, 使得学生在学习过程中可以深刻地感觉到, 高等代数课程不是由一个个零散的抽象内容简单组合而成, 而是通过各个关节相互关联在一起的一个整体, 在教学的过程中注意前后类比, 既及时地复习了前面的内容又消化了后面的新知识.在传授知识的同时, 培养了学生的逻辑思维能力和学习能力.
例5 矩阵的秩在高等代数中的联通教学.由于矩阵的秩密切网连着行列式是否等于零, 向量组的极大无关组与相关性、线性方程组的解的判断与基础解系、二次型的秩与正定性、线性空间的维数和线性变换的秩与零度等, 教学者根据矩阵的秩是这张网的结点的特点, 在前面课程教学中对各抽象概念具体化教学, 通过前后类比学习后面的知识, 在复习课上, 又抓住矩阵的秩这一主线让学生回顾高等代数中关于行列式是否等于零, 向量组的极大无关组与相关性、线性方程组的解的判断与基础解系、二次型的秩与正定性、线性空间的维数和线性变换的秩与零度等各个知识点, 这样学生不但进一步熟悉了高等代数中的各个知识点, 而且, 进一步融会了其各知识点间的相关联系.
例6 线性方程组的变换和求解其实也一直贯穿着矩阵的各个知识点.如矩阵的性质、化简、求逆等一系列的运算实质上就是线性方程组的变换和求解过程.教学者在讲述矩阵的这些知识点时都可以先根据线性方程组的变换和求解这些过程对照讲解, 然后得出矩阵的这些性质.使学生能够很快地知其所以然.
例7 线性空间的基联通线性空间的各个知识点, 我们知道线性空间、线性变换、同构映射、基、坐标、基下矩阵等抽象概念又织出一张生动逻辑关系网络, 而基就是该网络的结点.根据这一特点, 教学者在教学过程中围绕基这一中心点在复习课上回顾线性空间、线性变换、同构映射、基、坐标、基下矩阵等.
由于高等代数课程的抽象性特点, 与大一新生早已习惯的“题型教学”有实质性区别, 往往感到抽象难懂, 面对大量的定义、引理、定理、证明感到枯燥无味, 无从下手.为此, 教师在教学上遵从循序渐进的教学原则, 在教学中尽量注意新旧知识的衔接, 注重抽象知识具体化的方式方法.笔者主要在以上几个方面作了研究, 并在实践中取得了一定的成效.
摘要：文章概述了高等代数课程在概念、代数运算以及相关联知识之间的抽象性特点, 针对各抽象概念间的关系网络连通进行教学改革研究, 培养了学生学习兴趣, 提高了学生的抽象思维能力和解决代数相关问题的能力.
关键词：抽象性,概念,代数运算,关系网络
参考文献
[1]王萼芳, 石生明.高等代数[M].高等教育出版社, 2003.
[2]蔺云.高等代数的抽象性及其育人功能.海南大学学报自然科学, 2003, (2) :190-192.21
[3]侯维民.从数学方法论看高等代数与中学数学的多种联系.数学教育学报, 2003, (3) :84-86.12
摘 要：本文针对工科应用数学专业高等代数教学中存在的问题，结合教学实践，在高等代数教学中应用MES教学法，给出教学中的具体实施方法，通过实际举例体现MES教学法的效果。
关键词：应用数学专业； MES教学法； 高等代数
中图分类号：G64
一、前言
工科院校应用数学专业的高等代数教学主要是让学生通过抽象、逻辑性的训练形成应用代数知识解决实际问题的思维方式和思维习惯。由于高等代数内容具有概念多，抽象性高，思维方式独特的特点。初学者会感到吃力，很多学生不知道学代数有什么用，学习初期跟不上，就失去了学习的动力和兴趣。而目前工科应用数学专业的基础课教学一直注重理论内容的讲解，忽视数学应用。教材和教学模式多以理论讲解为主，忽视学生的主导作用，造成学生学习积极性不高，教学效果不好的现象。
模块化教学法（MES），是20世纪70年代初由国际劳工组织研究开发出来一种教学模式，是一种新的教学理念。它一出台就在许多国家，特别在发展中国家得到了广泛应用。MES教学打破了原有的课程体系，以理论应用为主线，将理论知识与专业训练融为一体，突出学生在教学中的主体地位，突出“做”在教学中的重要作用，突出知识、技能、态度三位一体的教学目标，充分体现了“教、学、做合一”的教学理念。
结合工科院校应用数学专业的现状，考虑学生的发展，我们将 MES 应用到高等代数课程基础课程的课堂教学中，重点考虑如何有效地对高等代数教学合理得调整，并付诸实践，经过近两年的教学实践证明，教学中采取恰当的方法对教学效果的有显著影响。
二、模块化教学法在高等代数课程教学中模式和具体实践
（一）以班为单位划分学习小组
小组人数4～6人，推选组长，组与组之间大体上要平衡，细致调查学生的思想表现学习，各科的入学成绩、知识结构、认知能力、认知方式、家庭背景、性格爱好，乃至交朋结友等都考虑进去。采用互补方式分组，如成绩好的学生与成绩差的学生相搭配，既有利于差生的转化，又有利于促进优等生的灵活变通，即所谓“教学相长”；不同知识结构的学生相搭配，可以取长补短，相互借鉴；不同认知方式的学生相搭配，在各自发挥其优势的情况下，相互学习，使认知风格“相互强化”。
（二）确定教学内容
一节课的教学目标、教学内容，通过完成一项或几项具体的任务融合到教学过程中，从任务中引出教学目标，使学生产生学习知识的兴趣.教师在实践教学中认真研究、分析教材，确定教学的目标、内容、重点、难点、疑点，找准教学的切入点，考虑学生的心理特征和兴趣爱好，以便恰当地安排任务。把知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度的目标融入任务中，使任务有利于学生的发展。
（三）教学实践实施
向学生讲明要做什么，最后希望得到的结果。给学生留出探索任务的时间和空间，在此期间教师也不能采取“放鸭式”方式。教师要时刻把指挥、调度教学进度的，适时地让学生知道怎么做，指导学生想办法、找出路，特别是对有困难的学生要给予必要的指导，使每个学生都能顺利完成任务。这一阶段，教师是“指导者”身份较为明显，学生在亲切友好、和谐平等的气氛中进行知识、技能的学习和构建。
（四）评价体系重建
学生完成任务之后，教师要对其结论，进行讨论、总结、评比，使教材内容得到进一步的强化。各小组学生代表要依次对完成的任务发表见解，其他小组提问或发表自己的看法，由教师或小组负责人进行总结，最后由教师评价。评价包括学生对知识的掌握程度、运用知识解决新问题的能力以及学生在活动中的表现等，注意多褒奖，少贬低，以激发学生进行下一轮学习的兴趣。评价结果采用模糊综合评价体系，作为学习成绩的一项参考数据。
三、实践举例
模块分析法应用于一堂介绍矩阵计算的教学实践，首先确定本节课的教学目的是让学生掌握矩阵的计算，在上课之前要求各小组自己给出矩阵乘法的的定义，引导学生从数学史发展的观点和数学应用于实际的要求探讨每种定义的意义和可推广性。实践表明5个小组几乎不约而同地给出了对应元素相乘来定义矩阵乘法运算的想法，教学实践中引导学生考虑线性变换的传递如何利用矩阵的运算来实现，学生经过实际操作和运算深刻理解矩阵乘法运算的定义和意义。
四、结论
模块教学法作为围绕一个能力和素质的教育专题，在教法上强调知能一体，在学法上强调知行一致，集中开展相关的理论知识、实践经验、操作技能以及活动方式、方法、方案的同步式一体化的教与学，以实现具体能力和素质的培养目标的教学模式。经过两年的实践教学，我们发现在应用数学专业的基础理论课教学中开展模块教学法有助于提高学生的学习积极性，激发学生的学习潜力，学习效果有明显提高。
参考文献：
[1] 张禾瑞，郝灿新.高等代数 （第四版）[M ].北京： 高等教育出版社， 2002
[2] 北京大学数学系.高等代数（第三版） [M ].北京： 高等教育出版社
http:// 全国2004年1月高等教育自学考试
线性代数试题
课程代码：02198
*试卷说明：A表示矩阵A的转置矩阵，E是单位矩阵，A是方阵A的伴随矩阵。
一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题2分，共20分)T1251.设行列式D=132=0，则a=().25aA.2 B.3 C.-2 D.-3
T2.设A是k×l矩阵，B是m×n矩阵，如果ACB有意义，则矩阵C的阶数为().A.k×m B.k×n C.m×l D.l×m 3.设A、B均为n阶矩阵，下列各式恒成立的是().TTTA.AB=BA B.(AB)=BA
22222C.(A+B)=A+2AB+B
D.(A+B)(A-B)=A-B 4.A为n阶方阵，下面各项正确的是().A.|-A|=-|A| B.若|A|≠0,则AX=0有非零解
2C.若A=A,则A=E D.若秩(A)
D.若A、B均可逆，则(AB)=AB kxkyz0 7.当k满足()时，2xkyz0 只有零解.kx-2yz0A.k=2或k=-2 B.k≠2 C.k≠－2 D.k≠2且k≠－2 8.设A为n阶可逆阵，则下列()恒成立.-1-1-1TT-1A.(2A)=2A B.(2A)=(2A)
-1-1TT-1-1TT-1-1-1TC.［(A)］=［(A)］ D.［(A)］=［(A)］
9.设A是n阶方阵，则A能与n阶对角阵相似的充要条件是().A.A是对角阵
B.A有n个互不相同的特征向量
C.A有n个线性无关的特征向量 D.A有n个互不相同的特征值
22T10.二次型f(x1,x2)=x1+2x1x2+3x2=xAx,则二次型的矩阵表示式中的A为().12101131A. B.C.D.03231311
二、填空题(每小题2分，共28分)
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http:// 4.求向量组α1=(1,1,3,1),α2=(-1,1,-1,3),α3=(5,-2,8,-9),α4=(-1,3,1,7)的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出.5.求方程组的通解
x1x23x3x41 3x1x23x34x44
一．掌握主要计算方法
1．矩阵的基本运算
加、减、数乘、乘、幂、转置
2．矩阵的初等行变换化阶梯形矩阵
3．矩阵的秩
4．可逆矩阵
可逆性与逆矩阵
5．特殊矩阵
对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵
6．线性表出
7．线性相关性
线性无关与线性相关
8．向量组的秩与极大无关组
9．线性方程组
解的判别、求解、消元法、基础解系
10．向量空间，子空间
判别、零空间、列空间
11．基、维数与坐标
判断、过渡矩阵、坐标变换公式
12．欧氏空间
正交化、单位化、正交矩阵
13．行列式
方阵的行列式
14．特征值与特征向量
15．对角化
一般矩阵的对角化与实对称矩阵的对角化
16．化简二次型
17．判别定性
二．理解基本概念
1．矩阵
矩阵的相抵，矩阵的秩，可逆矩阵，初等矩阵
2．向量
线性组合，线性表出，线性相关与线性无关，向量组的秩，极大无关组，向量组的等价
3．线性方程组
一般解，特解，非零解，基础解系
4．向量空间
向量空间，子空间，基，维数，坐标，过渡矩
阵，内积，正交向量，单位向量，标准正交基，正交矩阵
5．行列式
余子式与代数余子式，按一行(列)展开，伴随矩阵，子式(主子式，顺序主子式)
6．特征值与特征向量
特征值与特征向量，特征值的代数重数与几何
重数，矩阵的相似，可对角化
7．二次型
二次型的矩阵，二次型的秩，可逆线性替换，矩阵的合同，二次型的标准形、规范形，实二次型与实对称矩阵的定性
三．掌握重要结论
定理1.2.3，定理1.3.2，定理1.3.5，定理1.3.7，定理1.3.8，定理1.4.1，定理1.4.2，定理1.5.2
定理2.1.1，定理2.1.2，定理2.1.3推论，定理2.2.2，定理2.2.3，定理2.2.4，定理2.2.5，定理2.3.1，定理2.3.2，定理2.4.1，定理2.4.2
定理3.2.2，定理3.2.3，定理3.3.6，定理3.4.2
定理4.4.1，定理4.4.2，例4.4.7，定理4.5.1，定理4.5.4，定理4.5.5，定理4.5.7
式5.1.1，定理5.2.1，定理5.2.2，定理5.2.5，定理5.3.2，定理5.3.4
关键词： 高等代数 中学数学 行列式 矩阵
高等代数在大学数学学习中占有重要的地位，其与数学分析、解析几何是大学数学里最基础的三门学科，三者相互联系，相互渗透。不仅如此，高等代数对中学数学也有着很重要的指导作用。高等代数中的方法和思想灵活多变，涵盖的知识面较广。在面对中学数学的问题中，联系一定的高等代数知识，往往可以分类、整理、简化中学数学中所碰到的难题。
1.高等代数与中学数学观念方面的联系
数学研究的对象有很多，单从基本研究对象来说，从简单的中学代数研究的数、代数式方程、函数、多项式等到中学几何研究的点、线、面、圆等常见图形的内容，很容易得到，初等数学中研究的绝大部分对象是现实世界的数量之间的关系和空间位置与形式。然而这种研究观念在高等代数等后继逐渐对知识的深化的课程中却发生了许多变化。例如，多项式与多项式之间的整除关系、集合元素之间的包含关系、不同向量间的线性关系、矩阵的相似、合同关系等许多高等代数中研究的关系，已不再是在中学数学中所接触到的数量关系[1]。其次，向量空间、欧氏空间也不再局限于平常的空间形式，《高等代数》和《近世代数》等许多大学里所学的课程都说明了数学是一门应用抽象化、具体化的方法研究元素之间关系和研究对象结构的科学。这一新的观念对于指导现在所提倡的中学教改是至关重要的[2]。
作为数学专业的高校教师，我们最重要的责任是致力于培养和发展学生解决问题的能力、在教学和学习中树立理论的应用意识，总结和归纳理论的应用方法。同时深入发掘最近几年大学里高等代数的教学实践，结合中学课程特点及对教师示范性的要求，突出高等代数的理论应用特点和优点，将抽象的理论概念与相应层面上的具体问题结合，加深学生对理论的理解，同时培养学生应用理论分析、解决具体问题的能力。
2.高等代数与中学数学应用方面的联系
高等代数课本中的某些知识，在指导中学数学中相对比较困难的一些问题时会发挥很好的作用，为解决问题提供捷径。首先，谈到高等代数，就不得不提到其中三个最基础的概念：行列式、矩阵、线性方程组。这些概念是高等代数中研究的主要内容和重点，它们相互联系、彼此有着重要的指引关系，且对中学数学解题有重要作用。
2.1行列式在中学数学解题中的应用
行列式是高等代数中运用比较广泛的一个概念。行列式可以应用于中学数学中的因式分解，同时也可以把行列式应用到不等式的证明上。如果能在中学数学中构造适当的行列式，就会达到事半功倍、简化问题的效果。
2.2矩阵在中学数学解题中的应用
矩阵是由方程组的系数及常数项组成的方阵，行列式和矩阵具有很多关系，矩阵是由数值组成的，而行列式的值是按可能求得的所有不同的积的代数和，即是一个实数性质和概念。根据矩阵的基本定义，可以自然想到能够利用引入矩阵的方法解决中学数学里经常碰到的问题——求数项通项。又由矩阵和行列式在概念和计算方面有很多近似的地方，类比上述利用行列式对等式因式分解，同样的，可以发现利用矩阵也可以对等式因式分解。矩阵的乘积和矩阵的逆对中学数学具有指导作用。
2.3线性方程组在中学数学解题中的应用
线性方程组无疑是高等代数知识中的另外一个重要组成部分，其与行列式、矩阵共同构成高等代数的重要部分，矩阵的出现可以解决线性方程组的求解问题，而行列式又可以看成矩阵的内部。运用线性方程组解决某些复杂的函数问题中，在对于研究中学数学中求函数的取值问题中有重要作用。
结语
随着现代教学开放性程度的提高，高等代数的思想理论方法在中学数学中渗透得越来越深[3]。作为高校教师，我认为把高等代数课程思想与中学数学相融合，从更高的角度研究中学数学中的重难点，将教会学生以更开阔的眼界看待中学数学问题，从而会提高学生对高等代数的兴趣。
参考文献：
[1]李珍珠.在高等代数习题课教学中培养学生能力的探讨[J].湖南科技学院学报，2011，10（12）：1-2.
[2]方次军.浅析高等代数与中学数学的关联[J].新校园（理论版），2013，12（4）：23-24.
[3]阮国利.高等数学方法在中学数学中的应用研究[D].内蒙古：内蒙古师范大学数学系，2008.
[4]代业明.从方法论和知识论看线性代数与中学数学的联系[J].煤炭高等教育，2011，6（5）：124-125.
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