线性代数知识点全归纳

线性代数知识点全归纳（精选6篇）

线性代数知识点全归纳 篇1

归纳整理

学生

编

01、余子式与代数余子式

02、主对角线

03、转置行列式

04、行列式的性质

05、计算行列式

06、矩阵中未写出的元素

07、几类特殊的方阵

08、矩阵的运算规则

09、矩阵多项式

10、对称矩阵

11、矩阵的分块

12、矩阵的初等变换

13、矩阵等价

14、初等矩阵

15、行阶梯形矩阵

与

行最简形矩阵

16、逆矩阵

17、充分性与必要性的证明题

18、伴随矩阵

19、矩阵的标准形：

20、矩阵的秩：

21、矩阵的秩的一些定理、推论

22、线性方程组概念

23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）

24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念

25、线性方程组的向量形式

26、线性相关

与

线性无关的概念

27、向量个数大于向量维数的向量组

必然线性相关

28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩

这三者的关系及其例题

29、线性表示

与

线性组合的概念

30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩

这三者的关系其例题

31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理

32、最大线性无关组与向量组的秩

33、线性方程组解的结构

01、余子式与代数余子式

（1）设三阶行列式D＝，则

①元素，的余子式分别为：M11＝，M12＝，M13＝

对M11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式，这个

行列式即元素的余子式M11。其他元素的余子式以此类推。

②元素，的代数余子式分别为：A11＝(－1)1＋1M11，A12＝(－1)1＋2M12，A13＝(－1)1＋3M13

.对Aij的解释（i表示第i行，j表示第j列）：Aij＝(－1)i＋j

M

ij

.（N阶行列式以此类推）

（2）填空题求余子式和代数余子式时，最好写原式。比如说，作业P1第1题：

M31＝，A31＝(-1)3+1

（3）例题：课本P8、课本P21-27、作业P1第1题、作业P1第3题

02、主对角线

一个n阶方阵的主对角线，是所有第k行第k列元素的全体，k=1,2,3…

n，即从左上到右下的一条斜线。与之相对应的称为副对角线或次对角线，即从右上到左下的一条斜线。

03、转置行列式

即元素与元素的位置对调（i表示第i行，j表示第j列），比如说，与的位置对调、与的位置对调。

04、行列式的性质

详见课本P5-8（性质1.1.1~

1.1.7）

其中，性质1.1.7可以归纳为这个：

＋＋

…

＋

（i表示第i行，k表示第k列）

熟练掌握行列式的性质，可以迅速的简化行列式，方便计算。

例题：作业P1第2题

05、计算行列式

（1）计算二阶行列式：

①方法（首选）：＝（即，左上角×右下角－右上角×左下角）

②方法：＝＝

例题：课本P14

（2）计算三阶行列式：

＝＝(－1)1＋1M11

＋(－1)1＋2M12

＋(－1)1＋3M13

N阶行列式的计算以此类推。通常先利用行列式的性质对行列式进行转化，0元素较多时方便计算.（r是row，即行。c是column，即列）

例题：课本P5、课本P9、课本P14、作业P1第4题、作业P2第3小题

（3）n阶上三角行列式（0元素全在左下角）与n阶下三角行列式（0元素全在右上角）：

D＝…（主对角线上元素的乘积）

例题：课本P10、作业P3第4小题

有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”转化成上三角行列式

例题：课本P11

（4）范德蒙行列式：详见课本P12-13

（5）有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”提取出“公因式”，得到

元素全为1的一行，方便化简行列式。

例题：作业P2第1小题、作业P2第2小题

06、矩阵中未写出的元素

课本P48下面有注明，矩阵中未写出的元素都为007、几类特殊的方阵

详见课本P30-32

（1）上（下）三角矩阵：类似上（下）三角行列式

（2）对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其他元素都为0

（3）数量矩阵：主对角线上的元素都相同

（4）零矩阵：所有元素都为0，记作O

（5）单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其他元素全为0，记作E或En

（其行列式的值为1）

08、矩阵的运算规则

（1）矩阵的加法（同型的矩阵才能相加减，同型，即矩阵A的行数与矩阵B的行数相同；

矩阵A的列数与矩阵B的列数也相同）：

①课本P32“A＋B”、“A－B”

②加法交换律：A＋B＝B＋A

③加法结合律：A＋（B＋C）＝（A＋B）＋C

（2）矩阵的乘法（基本规则详见课本P34阴影）：

①数与矩阵的乘法：

I.课本P33“kA”

II.＝kn（因为k只等于用数k乘以矩阵A的一行或一列后得到的矩阵的行列式）

②同阶矩阵相乘（高中理科数学选修矩阵基础）：

×＝

描述：令左边的矩阵为①，令右边的矩阵为②，令计算得到的矩阵为，则

A的值为：①中第1行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。

即A＝×＋×

B的值为：①中第1行的每个元素分别乘以②中第2列的每个元素，并将它们相加。

即B＝×＋×

C的值为：①中第2行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。

即C＝×＋×

D的值为：①中第2行的每个元素分别乘以②中第2列的每个元素，并将它们相加。

即D＝×＋×.×＝

描述：令左边的矩阵为①，令右边的矩阵为②，令计算得到的矩阵为，则

A的值为：①中第1行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。

即A＝×＋×＋×

B、C、D、E、F、G、H、I的值的求法与A类似。

③数乘结合律：k（lA）＝（kl）A，（kA）B＝A（kB）＝k（AB）

④数乘分配律：（k＋l）A＝kA＋lA，k（A＋B）＝kA＋kB

⑤乘法结合律：（AB）C＝A（BC）

⑥乘法分配律：A（B＋C）＝AB＋AC，（A＋B）C＝AC＋BC

⑦需注意的：

I.课本P34例题两个不等于零的矩阵的乘积可以是零矩阵

II.课本P34例题数乘的消去律、交换律不成立

III.一般来讲，（AB）k

≠

A

k

B

k，因为矩阵乘法不满足交换律

IV.课本P40习题第2题：（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2，（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2，（A＋B）（A－B）不一定等于A2－B2

.当AB＝BA时，以上三个等式均成立

（3）矩阵的转置运算规律：

①

(AT)T＝A

②

(A±B)T＝A

T±B

T

③

(kA)T＝kAT

④

(AB)T＝B

TAT

⑤

(ABC)T＝CTB

TAT

⑥

(ABCD)T＝DTCTB

TAT

（4）同阶方阵相乘所得的方阵的行列式等于两个方阵的行列式的乘积：（详见课本P46）

＝

（5）例题：课本P35、课本P36-37、课本P40第4大题、课本P40第5大题、课本P51第1

大题、课本P51第4大题、课本P60第4大题、作业P5全部、作业P5第3大题、作业

P5第4大题

09、矩阵多项式

详见课本P3610、对称矩阵

（1）对称矩阵、实对称矩阵、反对称矩阵的概念（详见课本P37）

（2）①同阶对称（反对称）矩阵的和、差仍是对称（反对称）矩阵

②数

与

对称（反对称）矩阵的乘积仍是对称（反对称）矩阵

③对称（反对称）矩阵的乘积不一定是对称（反对称）矩阵

11、矩阵的分块

线代老师说这部分的内容做了解即可。

详见课本P38-4012、矩阵的初等变换

三种行变换与三种列变换：详见课本P

例题：作业P6全部

13、矩阵等价

若矩阵A经过若干次初等变换后变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记为AB14、初等矩阵

（1）是由单位矩阵经由一次初等变换而得到的矩阵。详见课本P48-49

（2）设A为m×n矩阵，则对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘上一个相应的m阶初等矩阵；A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘上一个相应的n阶初等矩阵.详见课本P50-51

（3）课本P51第3大题

15、行阶梯形矩阵

与

行最简形矩阵

（1）对任意一个非零矩阵，都可以通过若干次初等行变换（或对换列）化为行阶梯型矩阵

（2）行阶梯形矩阵与行最简形矩阵：

若在矩阵中可画出一条阶梯线，线的下方全为0，每个台阶只有一行（台阶数即是非零行的行数），阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元素，也就是非零行的第一个非零元素，则称该矩阵为行阶梯矩阵。在此基础上，若非零行的第一个非零元素为都为1，且这些非零元素所在的列的其他元素都为0，则称该矩阵为行最简形矩阵。例题：课本P45、作业P6全部、课本P51第2大题

16、逆矩阵

（1）设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB＝BA＝E，则称方阵A是可逆的，并称B为A的逆矩阵.（由逆矩阵的定义可知，非方阵的矩阵不存在逆矩阵）

（2）如果方阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的，并将A的逆矩阵记作A－1，AA－1＝E

（3）n阶方阵A可逆的充要条件为≠0，并且，当A可逆时，A－1＝

（证明详见课本P54）

例题：课本P59第1大题

（4）可逆矩阵也称为非奇异方阵（否则称为奇异方阵）

（5）性质：设A，B都是n阶的可逆方阵，常数k≠0，那么

①

(A－1)－1＝A

②

AT也可逆，并且(AT)-1＝(A-1)T

③

kA也可逆，并且

(kA)-1＝A-1

④

AB也可逆，并且(AB)

-1＝B-1A-1

⑤

A＋B不一定可逆，而且即使A＋B可逆，一般(A＋B)-1≠A-1＋B-1

⑥

AA-1＝E

AA-1＝E＝1

AA-1＝1

A-1＝

例题：课本P58例2.3.7、作业P7第1题

（6）分块对角矩阵的可逆性：课本P57

（7）由方阵等式求逆矩阵：课本P58例2.3.6

（8）单位矩阵、所有初等矩阵都是可逆的（初等矩阵是由单位矩阵经由一次初等变换而得到的，即初等矩阵可以通过初等变换再变回单位矩阵，而单位矩阵的行列式=1≠0可逆，所

以初等矩阵可逆）

（9）初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵

（10）任一可逆方阵都可以通过若干次初等行变换化成单位矩阵

（11）方阵A可逆的充要条件是：A可以表示为若干个初等矩阵的乘积（证明：课本P67）

（12）利用初等行变换求逆矩阵：A-1（例题：课本P68、课本P71）

（13）形如AX＝B的矩阵方程，当方阵A可逆时，有A-1

AX＝A-1B，即X＝A-1B.此时有：

矩阵方程的例题：课本P35、课本P69、课本P41第6大题、课本P56、课本P58、课本P59第3大题、课本P60第5大题、课本P60第7大题、课本P71第3大题

矩阵方程计算中易犯的错误：课本P56“注意不能写成……”

17、充分性与必要性的证明题

（1）必要性：由结论推出条件

（2）充分性：由条件推出结论

例题：课本P41第8大题、作业P5第5大题

18、伴随矩阵

（1）定义：课本P52

定义2.3.2

（2）设A为n阶方阵（n≥2），则AA*＝A*A＝En（证明详见课本P53-54）

（3）性质：（注意伴随矩阵是方阵）

①

A*＝A－1

②

(kA)*

＝

·(kA)-1

＝

k

n·A-1

＝

k

n

·A-1

＝

k

n-1A*（k≠0）

③

|A*|

＝

|

A－1

|

＝n·|

A－1|

＝

n·（因为存在A－1，所以≠0）＝

n-1

④

(A*)*

＝

(A－1)*

＝

|

A－1

|·(A－1)－1

＝

n

|

A－1|·(A－1)－1

＝

n·A

＝

n-2A

（因为AA－1

＝

E，所以A－1的逆矩阵是A，即(A－1)－1）

⑤

(AB)

*＝B*A*

⑥

(A*)-1＝(A-1)

*＝

（4）例题：课本P53、课本P55、课本P58、课本P60第6大题、作业P7第2题、作业P8全部

19、矩阵的标准形：

（1）定义：课本P61-62

（2）任何一个非零矩阵都可以通过若干次初等变换化成标准形

20、矩阵的秩：

（1）定义：课本P63

（2）性质：设A是m×n的矩阵，B是p×q的矩阵，则

①

若k是非零数，则R

(kA)＝R

(A)

②

R

(A)＝R

(AT)

③

等价矩阵有相同的秩，即若AB，则R

(A)＝R

(B)

④

0≤R

(Am×n)≤min

⑤

R

(AB)≤min

⑥

设A与B都是m×n矩阵，则R

(A＋B)≤R

(A)＋R

(B)

（3）n阶方阵A可逆的充要条件是：A的秩等于其阶数，即R

(A)＝n

（4）方阵A可逆的充要条件是：A可以表示为若干个初等矩阵的乘积。（证明：P67）

（5）

设A是m×n矩阵，P、Q分别是m阶与n阶可逆方阵，则R

(A)＝R

(PA)＝R

(AQ)＝R

(PAQ)

（6）例题：课本P64、课本P66、课本P71、作业P7第3题、作业P9全部

21、矩阵的秩的一些定理、推论

线代老师说这部分的内容做了解即可。详见课本P7022、线性方程组概念

线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组。

线性方程组经过初等变换后不改变方程组的解。

23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）

（1）定义：课本P81

（2）方程组的解集、方程组的通解、同解方程组：课本P81

（3）系数矩阵A、增广矩阵、矩阵式方程：课本P82

（4）矛盾方程组（方程组无解）：课本P85例题

（5）增广矩阵的最简阶梯形：课本P87

（6）系数矩阵的最简阶梯形：课本P87

（7）课本P87下面有注明：交换列只是交换两个未知量的位置，不改变方程组的解。为了方

便叙述，在解方程组时不用交换列。

（8）克莱姆法则：

①初步认知：

已知三元线性方程组，其系数行列式D＝.当D≠0时，其解为：x1＝，x2＝，x3＝.（其中D1＝，D2＝，D3＝）（Dn以此类推）

②定义：课本P15

③使用的两个前提条件：课本P18

④例题：课本P3、课本P16-17、课本P18、作业P3第7题

（9）解非齐次线性方程组（方程组施行初等变换实际上就是对增广矩阵施行初等行变换）例题：

课本P26、课本P42、课本P82、课本P84、课本P85、课本P86第1大题、课本P88、课本P91、作业P10第1题

（10）解齐次线性方程组例题：课本P17、课本P18、课本P85、课本P86、课本P90、课本

P91、作业P1第5题、作业P10第2题

（11）n元非齐次线性方程组AX＝b的解的情况：（R

(A)

不可能＞

R

()）

R

(A)

＜

R

()

无解

＜

n

有无穷多个解

R

(A)

＝

R

()

有解

＝

n

有唯一解

特别地，当A是

≠0

有唯一解

n阶方阵时，可

R

(A)

＜

R

()

无解

由行列式来判断

R

(A)

＝

R

()

有解

当＝0

有无穷多个解

例题：课本P86第2大题、课本P88、课本P92、作业P11第三题

（12）n元齐次线性方程组AX＝O的解的情况：（只有零解和非零解两种情况，有唯一解的充

要条件是只有零解，有无穷多个解的充要条件是有非零解）

R

(A)

＝

n

只有零解（有唯一解，为0）

R

(A)

＜

n

有非零解（有无穷多个解）

特别地，当A是n阶方阵

≠0

只有零解（有唯一解，为0）

时，可由行列式来判断

＝0

有非零解（有无穷多个解）

例题：课本P24、课本P90-91、作业P11全部

24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念

详见课本P92-93

将列向量组的分量排成矩阵计算时，计算过程中只做行变换，不做列变换。

初等行变换与初等行列变换的使用情况：矩阵、线性方程组、向量涉及行变换；列变换只在矩

阵中用。（行列式的性质包括行与列的变换）

手写零向量时不必加箭头。

25、线性方程组的向量形式

详见课本P9326、线性相关

与

线性无关的概念

详见课本P93-94

例题：课本P101第6大题、作业P14第五大题

27、向量个数大于向量维数的向量组

必然线性相关

线代老师课上提到的结论。

28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩

这三者的关系及其例题

详见课本P94

定理3.3.1、定理3.3.2

例题：课本P94-95

例3.3.2、课本P101第3大题、课

22本P101第5大题、作业P12第3小题、作业P12第二大题、作业P13第三大题、作业P13第四大题

29、线性表示

与

线性组合的概念

详见课本P9530、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩

这三者的关系其例题

详见课本P95-96

定理3.3.3

例题：课本P95-96

例3.3.431、线性相关（无关）与线性表示的3个定理

详见课本P96

定理3.3.4、课本P97定理3.3.5、课本P98定理3.3.632、最大线性无关组与向量组的秩

详见课本P98-100

定义3.3.5、定义3.3.6、定3.3.7

单位列向量，即“只有一个元素为1，且其余元素都为0”的一列向量（求最大线性无关组

用）

例题：课本P100

例3.3.5、课本P101第4大题、作业P14第六大题

33、线性方程组解的结构

看此内容之前，最好先复习下“n元非齐次线性方程组AX＝b的解的情况”与“n元齐次线性

方程组AX＝O的解的情况”。

（1）n元齐次线性方程组AX＝O解的结构

①

定理3.4.1：详见课本P101-102

②

定义3.4.1（并理解“基础解系、通解、结构式通解、向量式通解”）：详见课本P102

③

定理3.4.2：详见课本P102

④

解题步骤（“注”为补充说明）（以课本P104例3.4.1为例）：

（I）A

＝

…

…

注：往“行最简形矩阵”方向转化（因为在解方程组时不用列变换，所以一般没法

真正转化成行最简形矩阵，所以说“往……方向转化”）。

（II）得到同解方程组

注：由得到同解方程组

（III）∴

此方程组的一组解向量为：＝，＝，＝

注：在草稿纸上写成以下形式，其中未写出的系数有的是1有的是0，一看便知

（IV）显然，线性无关。

注：根据课本P93-94

定义3.3.3

得出线性无关，注意，下面分别是：、、，令它们分别为、、，则显然＝0×＋0×，＝0×＋0×，＝0×＋0×，可想而知，线性无关。

（V）∴，为方程组的基础解系，方程组的通解为：k1＋k2＋k3（k1，k2，k3可取任意值）

注：根据课本P102

定义3.4.1

得出该方程组的通解。

⑤

其他例题：课本P109

第1大题、课本P109第3大题、课本P109第4大题、作业

P15第一大题第1小题、作业P15第一大题第3小题

（2）n元非齐次线性方程组AX＝b解的结构

①

导出方程组：非齐次线性方程组AX＝b对应的齐次线性方程组AX＝O（详见课本P105）

②

定理3.4.3：详见课本P105

③

定义3.4.4：详见课本P105

④

定义3.4.5：详见课本P105

⑤

课本P105

“上述定理表明，……（3.4.6）的形式”这段内容

⑥

解题步骤（“注”为补充说明，做题时不用写在卷上）（以课本P106例3.4.2为例）：

（I）＝

……

…

…

（II）得到同解方程组

注：由

得到同解方程组

（III）令＝0，得到原方程组的特解X0＝

注：在草稿纸上写成以下形式，其中未写出的系数有的是1有的是0，一看便知。得到原方程组的特解即以下形式的常数部分。

（IV）导出方程组的同解方程为：

注：导出方程组，即非齐次线性方程组AX＝b对应的齐次线性方程组AX＝O，即步骤（III）“注”的“形式”的系数部分。

（V）令＝1，得到方程组的基础解系＝，则原方程组的通解为：

X0

＋

k（k可取任意值）

⑦

其他例题：

（I）课本P107

例3.4.3（之前先复习“n元非齐次线性方程组AX＝b的解的情况”）

要将含有参数的式子作为分母时，得注意该式子是否≠0

（II）课本P109

线性代数知识点全归纳 篇2

2018考研数学线性代数三大规律归纳

70%以上的学生认为线性代数试题难度低，容易取得高分，线性代数的得分率总体比高等数学和概率论高5%左右，而且线性代数侧重的是方法的考查，考点比较明确，系统性更强。下面就和大家分享一下线代的复习小技巧。

2018考研数学线性代数三大规律探究

▶考研数学线性代数相比较高等数学和概率论而言，呈现明显不同的学科特点——概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容纵横交错以及知识点前后紧密联系。

如果说高等数学的知识点算“条”的话，那么概率论就应该算“块”，而线性代数就是“网”!具体来看，线性代数这整张网，又是由行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值与特征向量以及二次型这6张小网相互交叉联结而成。而其中向量和线性方程组这两张网又在其中起着承前启后、上下衔接的关键作用。

通过上面的分析，大家是不是发现——向量和线性方程组是线性代数的重难点内容，也是考研的重点和难点之一?这一点也可以从历年真题的出题规律上得到验证。

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组的线性相关性(无关性)的一些重要性质和定理结合反证法来做。同时会考虑用向量组的线性相关性(无关性)与齐次线性方程组有非零解(只有零解)之间的联系和用矩阵的秩与向量组的秩之间的联系来做。

▶线性方程组——解的结构和(不)含参量线性方程组的求解

要解决线性方程组解的结构和求法的问题，首先应考虑线性方程组的基础解系，然后再利用基础解系的线性无关性、与矩阵的秩之间的联系等一些重要性质来解决线性方程组解的结构和含参量的线性方程组解的讨论问题，同时用线性方程组解结构的几个重要性质求解(不)含参量线性方程组的解。

单元知识点归纳 篇3

1.comfortable adj.舒适的，舒服的，安逸的

比较级：more comfortable 最高级：the most comfortable 副词：comfortably 2.seat n.座位 take a seat = have a seat 坐下

v.作及物动词用，be seated 就座 seat oneself 坐

e.g.(1)He seated himself comfortably on his chair.(2)They are seated there.3.sound n.声音，指自然界的一切声音（sound/ voice/ noise）

v.作为连系动词，sound + 形容词，听起来…… voice 人的“嗓音”。

noise 不悦耳的噪音

4.close adj.接近的，亲密的 v.关闭

be close to… 离…近be far from… 离… 远

closed adj.关着的 反义词：open 5.ticket n.票，券 a ticket to/ for sth.一张…的票

相似地：a key to the door 门的钥匙； the way to… 去某地的路

6.waiting time 等候时间 动词的-ing形式作定语，修饰名词，表示被修饰词的某种用途。类似地：read-ing + room= reading room 阅览室

阅读 房间

swim-ming + pool= swimming pool 游泳池

游泳 水池

wait 不及物动词 wait for sb.等待某人

can’t wait to do sth.迫不及待做某事 7.choose v.选择，挑选 过去式：chose choose(not)to do sth.决定（不）做某事 choice n.选择 make a choice 做选择

have no choice but to do sth.除了做…外别无他法 8.carefully adv.细致地，小心地 care n.小心 v.在乎，关心

careful adj.小心的，认真的 反义词：careless 粗心的，马虎的 carelessly adv.疏乎地

9.so far 到目前为止。本意可以理解为用so加强far的意思，表示“如此远”。10.service n.接待，服务 serve v.服务 servant n.仆人

serve sb.为某人服务 serve sb.sth.为某人服务…

11.pretty adv.很，十分，相当 pretty good 相当好 只修饰形容词的原级

adj.漂亮的 e.g.She looks pretty.12.act v.扮演（角色）n.行动

action n.行动，活动 take action 采取行动

actor/ actress n.男/ 女演员 active adj.积极的 take an active part in 积极参与

actively adv.积极地 activity n.活动

13.meal n.早（或午，晚）餐；一餐所吃的食物 3meals a day cook a meal 14.creative adj.有创造力的，创造性的

比较级：more creative 最高级：the most creative create v.创造，创作 creation n.创造，创造物

15.talent n.天资，天赋 have a talent for sth./ doing sth.有某方面/ 做某事的天赋

Talented adj.有才能的，有才干的 be talented in … 16.performer n.表演者，演员

perform v.执行，表演 performance n.行为表演 17.common n.与…相同 adj.普遍的，共同的 have sth.in common 在某方面（嗜好或观念）有共同点 have nothing in common 无共同点

18.join v.加入，参加（加入人群、团体、组织和机构等）

join in 参加竞赛、娱乐和游戏等活动

Take part in 参加群众性活动、会议、劳动和游街等，并起一定作用 19.be up to 是……的责任，由……决定

(1)Protecting the environment is up to us.保护环境是我们的责任。

(2)This product is up to the standard.这个产品达标了。

(3)What is she up to these days? 她这些天忙什么呢？（忙于做某事）

(4)I can take up to six people in my car.我的汽车最多能带六个人。

20.play an important role in sth./ doing sth.在某事当中扮演重要角色；在做某事当中发挥重要作用

leading role 主角 role play 角色扮演

21.life n.生命，生活 复数：lives live /liv/ v.居住 第三人称单数: lives（live /laiv/ 作形容用，指现场直播）22.make up 编造（故事，谎言等）make up lies 编造谎言

补上 make up the time 补上这段时间

组成 make up a team 组建一个团队

化妆 make up your face 给你的脸化妆

被动语态： be made up 被编造； be made up of 由……组成make up one’s mind to do sth.下决心做某事 23.poor adj.贫穷的，可怜的，差的，不擅长的 the poor 表示贫穷的一类人（the+形容词）24.seriously adv.严重地；严肃地；认真地

take sth.seriously 认真对待某事

25.fun n.& adj.有乐趣be fun to do sth.做某事有乐趣

have fun in doing sth.做某事很愉快

make fun of 与某人开玩笑 26.give v.给予 可接两个宾语，成为双宾语

give sb.sth.= give sth.to sb.常在中考中出现的可接双宾语的动词主要有： tell, hand, pass, give, teach, bring, send, lend, show 等 v.sb.sth.= v.sth.to sb.buy, cook, get, make, draw 等 v.sb.sth.= v.sth.for sb.27.crowded adj.拥挤的 be crowded with 挤满……

crowd n.群 a crowd of… 一群…

单元重点语法详解

一、形容词和副词最高级构成1.规则变化：

(1)单音节和少数双音节词

a.多在词尾加-est，如：tallest b.以不发音的e结尾，直接加-st，如：nicest c.以辅音字母加y结尾，把y变i，再加-est，如：funniest d.以一个辅音字母结尾而前面只有一个元音的词，双写辅音字母再加-est，如：biggest, hottest等

(2)多音节词和少数双音节词，在词前加most, 如：most beautiful 2.不规则变化：

good/well-----best bad/ ill-----worst many/ much-----most little----least far----farthest/ furtheat

二、形容词最高级的几种句型

1.在最高级句子中常含有表示比较范围的介词in 或 of；of后面一般接表示一群人或事物的代词或名词，in 后面一般接表示单位或场所的名词。

e.g.The seats in the middle of the cinema are the best of all.Lin Hong is the cleverest student in our class.2.one of + the +形容词最高级 + 名词复数 最…的…之一

e.g.Tom is one of the cleverest students in our class.3.the + 序数词 + 形容词最高级 + 可数名词单数 + in 短语 第几（长，大，远）…

e.g.The Yellow River is the second longest river in China.4.形容词最高级用在选择疑问句中，Which/ Who … A, B or C?

e.g.Which city is the biggest, Beijing, Shanghai or Linyi?

5.the + 形容词最高级 + 可数名词单数 + of(in)短语 = than the other + 名词复数 比较级 + than any other + 可数名词单数（第三单元已学）

6.当形容词最高级有形容词性的物主代词或名词所有格修饰时，最高级前的 定冠词 the 省略。

仪器分析知识点归纳 篇4

1.物质吸收红外光的必要条件 ①分子的振动必须能与红外辐射产生耦合作用，即分子振动时必须伴随瞬时偶极矩的变化。②只有当照射分子的红外辐射光子的能量与分子振动能级跃迁所需的能量相等，才能实现振动与辐射的耦合，从而使分子吸收红外辐射能量产生振动能级的跃迁。即 △Ev＝Ev2－Ev1＝hυ。

2.红外光谱法的缺点：①色散型仪器的分辨率低，灵敏度低，不适于弱辐射的研究。② 不能用于水溶液及含水物质的分析。③对某些物质不适用：如振动时无偶极矩变化的物质；左右旋光物质的IR谱相同；长链正烷烃类的IR谱近似等。复杂化合物的光谱极复杂，难以作出准确的结构判断，往往需与其它方法配合。

3.红外光谱的吸收峰：①泛频峰：倍频、合（组）频峰。②倍频峰：由基态（v=0）跃迁到v=2，3，4，„激发态产生的。③合频峰：在两个以上基频峰波数之和或差处出现的吸收峰。

4.简正振动：把多原子分子的振动分解成许多简单的基本振动。简正振动的特点：① 振动的运动状态可以用空间自由度（空间三维坐标）来表示，体系中的每一质点（原子）都具有三个空间自由度。② 分子的质心在振动过程中保持不变，分子的整体不转动。③ 每个原子都在其平衡位置上作简谐振动，其振动频率及位相都相同，即每个原子都在同一瞬间通过其平衡位置，又在同一时间到达最大的振动位移。④ 分子中任何一个复杂振动都可以看成这些简正振动的线性组合。

5.影响吸收峰强度的因素① 振动能级的跃迁几率和振动过程中偶极距的变化是影响红外吸收峰强度的两个主要因素，基频吸收带一般较强，而倍频吸收带较弱。② 基频振动过程中偶极矩的变化越大，其对应的峰强度也越大；振动的对称性越高（即化学键两端连接的原子的电负性相差越小），振动中分子偶极矩变化越小，谱带强度也就越弱。因而，一般来说极性较强的基团振动吸收强度较大，极性较弱的基团振动吸收较弱。③ 一般来说，反对称伸缩振动的强度大于对称伸缩振动的强度，伸缩振动的强度大于变形振动的强度。6.傅里叶变换红外分光光度计的特点（1）多路优点 导致其扫描速度较色散型快数百倍，有利于光谱快速记录，使FI-IR特别适用于与GC、HPLC联用，也可用来观测瞬时反应。（2）辐射通量大 导致高灵敏度，检出限达10-9~10-12g；特别适用于测量弱信号光谱，且对研究催化剂表面的化学吸附物具有很大的潜力。（3）波数准确度高

波数精度可达0.01cm-1。（4）杂散光低 在整个光谱范围内杂散光低于0.3%。（5）可研究很宽的光谱范围 1000~10cm-1，这对测定无机化合物和金属有机化合物十分有利。（6）具有高的分辨能力 一般达0.1cm-1，甚至可达0.05cm-1，可以研究因振动和转动吸收带重叠而导致的气体混合物的复杂光谱。（7）FT-IR适用于微少试样研究。紫外可见分光光度法 1.朗伯比耳定律的局限性（1）比耳定律本身的局限性:Ⅰ所有的吸光质点之间不发生相互作用.Ⅱ比耳定律只适用于稀溶液（<0.01 mol/L）.（2）化学偏离:主要是指分析物质涉及到任何平衡反应时，如分析物质与溶剂发生缔合、离解及溶剂化反应，产生的生成物与被分析物质具有不同的吸收光谱，出现化学偏离。（3）非均相体系偏离:溶液必须是均相体系。胶体、乳胶、悬浮物、沉淀等非均相体系产生的光散射（4）仪器偏离:生色团：广义地说，分子中可以吸收光子而产生电子跃迁的原子基团；严格地说，不饱和吸收中心。助色团：带有非键电子对的基团（如-OH、-OR、-NHR、-SH、-Cl、-Br、-I等），它们本身不能吸收大于200 nm的光，但是当它们与生色团相连时，会使其吸收带的最大吸收波长λmax发生移动，并增加其吸收强度。红移和紫移：在有机化合物中，常常因取代基的变更或溶剂的改变，使其吸收带的最大吸收波长λmax发生移动。向长波方向移动称为红移；向短波方向移动称为紫移。增色效应和减色效应：由于化合物的结构发生某些变化或外界因素的影响。使化合物的吸收强度增大的现象，叫增色效应；使吸收强度减小的现象，叫做减色效应。

2.有机化合物的紫外可见光谱 A.饱和烃及其取代衍生物 饱和烃分子中只含σ键，只有σ→σ*跃迁

饱和烃的取代衍生物的杂原子上存在n电子，可以产生n→σ*和σ→σ*跃迁。B.不饱和烃及共轭烯烃 不饱和烃类分子中含有σ和π键，可以产生σ→σ*和π→π*跃迁。C.羰基化合物 羰基化合物含有>C=O基团，可以产生n→σ*，n→π*和π→π*三个吸收带。

3.溶剂对电子光谱的影响 π→π*跃迁谱带红移；n→π*跃迁谱带紫移

在选择测定电子吸收光谱曲线的溶剂时，注意：①尽量选用低极性溶剂；②能很好地溶解被测物，并且形成的溶液具有良好的化学和光化学稳定性；③溶剂在样品的吸收光谱区无明显吸收。

4.光电倍增管优点：高灵敏度；响应快；适于弱光测定，甚至对单一光子均可响应。缺点：热发射强，因此暗电流大，需冷却（-30oC)。不得置于强光(如日光)下，否则会永久损坏 PMT。硅二极管 特点：灵敏度介于真空管和倍增管之间

5.分光光度计的类型 ①单光束分光光度计优点：仪器简便、操作简单、成本低 缺点：要求光源和检测器有很高的稳定性，定量分析结果误差较大 ②双光束分光光度计 ③双波长分光光度计 特点：可以测定高浓度试样，多组分混合试样以及浑浊试样。④多道分光光度计

6.分析条件的选择 A．仪器测量条件 合适的吸光度范围（调节待测物浓度、选用适当厚度的吸收池等）。入射光波长和狭缝宽度。B．反应条件的选择 显色剂用量；溶液酸度的选择；显色反应时间、温度等

C．参比溶液的选择 溶剂参比；试剂参比；试样参比；平行操作溶液参比 D．干扰及消除方法 控制酸度；掩蔽剂；选择适当分析波长；分离。

色谱分析调整保留时间t’R = tRVM。相对保留值2,1 = t’R2/t’R分离因子 = t’R2/t’R1

保留因子k = ns / nm

峰面积的测量方法

峰高乘半峰宽法 A = 1.065 h Y1/2

峰高乘平均峰宽法 A = h(Y0.15+Y0.85)/2

氢火焰离子化检测器是利用氢火焰作为电离源，使有机物电离，产生微电流而响应的质量型检测器，简称氢焰检测器。最常用的检测器之一。特点：1.几乎所有的有机物均有响应2.对烃类灵敏度高且与碳原子数成正比(10-12 g/s)3.线性范围宽、结构较简单、操作方便4.死体积几乎为零，可直接与毛细管柱相联5.需要三种气源及流速控制系统。破坏性（对样品）

电子俘获检测器(ECD)是以63Ni或氚作放射源的浓度型离子化检测器。特点：1.灵敏度高：气相色谱检测器中灵敏度最高的一种(10-14 g/mL)2.选择性高：只对具有电负性的化合物有响应（含卤素、硫、磷、氮、氧的物质）3.应用广泛：仅次于 TCD 和 FID

4.线性范围较小：102--104

火焰光度检测器（FPD)又称硫磷检测器。它是利用富氢火焰使含硫、磷杂原子的有机物分解、发光建立起来的检测器。特点：1.对含硫、磷的化合物有高灵敏度和高选择性。2.对硫为非线性响应。3.也可用于有机金属化合物和其它杂原子化合物。

热离子化检测器(氮磷检测器)是一种电离型检测器(质量型）。特点：对氮磷化合物灵敏度高，选择性好。专用于痕量氮磷化合物的检测。

气相色谱与质谱联用（GC-MS)质谱法是灵敏度高、定性能力强的分析方法；色谱法是分离效率高、定量分析方便的分析方法。两者联用的优势：GC是MS的理想“进样器”。（试样经色谱分离后，以纯物质进入质谱）；MS是GC的理想“检测器”。（不仅灵敏度高，而且可提供定性结果）。

固定液的要求：①挥发性小，在操作温度下有较低蒸气压，以免流失。②热稳定好，在操作温度下呈液态但不发生分解。③对试样个组分有适当的溶解能力。④具有高的选择性。⑤化学稳定性好，不与被测物质起化学反应。

“相似相溶”原则选择固定液：分离非极性物质：一般选用非极性固定液。分离极性物质：选用极性固定液。分离非极性和极性混合物：一般选用极性固定液。分离能形成氢键的试样：一般选用极性或氢键型固定液。复杂的难分离物质：可选择两种或两种以上的混合固定液。未知样品：用几种常用固定液试验。

选择柱温的一般原则：①在使最难分离的组分有尽可能好的分离，且保留时间适宜，峰形对称的前提下，采取适当低的柱温。②柱温不能高于固定液的最高使用温度。③柱温要高于固定液的熔点。气相色谱流动相：对组分没有亲和力的惰性气体，对分离选择性几乎无影响。

高效液相色谱流动相：可选用不同极性的液体。选择余地大；对分离影响大（与组分或固定相均作用）。方法的局限性：成本高、环境污染、梯度洗脱操作复杂。缺少灵敏度高的通用型检测器。复杂样品分离，缺少总理论塔板数达数十万的色谱柱。压易分解或变性的生物样品。

光电二极管阵列检测器：可获得三维色谱-光谱图的检测器；三维色谱-光谱图：时间-波长-吸收值；波长范围：19010-13 g/cm3)；稠环芳烃、甾族化合物、酶、氨基酸、维生素、色素、蛋白质等荧光物质。

示差折光检测器：连续测定流出液折光指数的变化；通用型检测器，但灵敏度较低（10-7 g/cm3)：反射式、偏转式、干涉式。使用要点：流动相组成要恒定（变化值<10-6）；温度恒定（样品池与参比池的温差 ±10-4 C)；压力恒定（检测池不耐压）；流速稳定（流量波动<5%）；不可用于梯度洗脱。

蒸发光散射检测器：通用型检测器。不需要衍生便可检测任何不带发色基团的化合物，比示差折光检测器更佳的灵敏度及稳定性。对温度变化不敏感，可用于梯度洗脱，响应值与样品质量有关，对所有样品的检测给出近乎一样的响应因子。测定物质的纯度和定量测定未知物。

电导检测器：基于物质在某些介质中电离后所产生电导变化进行测定的检测器。主要应用于离子色谱。受温度影响较大。

八年级下册知识点归纳 篇5

第一课国家的主人广泛的权利

1.公民权利与公民的基本权利的含义

（1）公民权利：宪法和法律确认并赋予公民享有的某种权益，这种权益受国家保护，有

物质保障。

（2）公民的基本权利：宪法规定的公民权利，是公民最主要、最根本的权利。

2.我国的国家性质（是有宪法规定的国家生活中的根本问题）

我国是工人阶级领导的、以工农联盟为基础的人民民主专政的社会主义国家。

3.我国现阶段，国家的主人

在我国现阶段，国家的主人包括：工人、农民、知识分子和其他社会主义劳动者、社会主义事业的建设者、拥护社会主义的爱国者、拥护祖国统一的爱国者在内的全体人民，都是国家和社会的主人。

4.人民和公民的区别与联系

（1）人民是政治概念，而公民是法律概念

（2）公民既包括人民，又包括具有我国国籍的被剥夺政治权利的人。

（3）是人民的一定是公民，是公民的不一定是人民。

5.我国法律如何保障公民的基本权利？

（1）我们的权利需要来自家庭、学校、社会和他人的保障，其中保障公民基本权利最重要，最有效的是法律

（2）权利保障体制：以宪法为核心、以立法保障和司法保障为主要内容。立法保障，就是将公民的权利以法律的形式确认下来，运用国家强制力加以维护。司法保障：是指通过法律制裁各种侵权行为，保障公民的权利。我国宪法将审判权赋予各级人民法院。

6.我国公民的基本权利有哪些？

公民的基本权利涉及政治、经济、文化等各个领域，涵盖家庭生活、学校生活、社会生活等诸多方面。包括：①平等权②政治权利和自由③宗教信仰自由④人身自由权利⑤对国家机关及其其人员的批评、建议、申诉、控告、检举权，取得赔偿权；⑥社会经济权利；⑦教育、科学、文化权利和自由；⑧妇女的权利，婚姻、家庭、儿童和老人受国家保护；⑨华侨、归侨和侨眷的合法权益受法律保护。

（宪法是公民基本权利的确认书和保证书。）

7.如何区分公民权利和公民的基本权利？

（1）含义不同：所谓公民权利，指的是宪法和法律确认并赋予公民享有的某种权益，这

种权益受国家保护，有物质保障；由于宪法规定的公民权利是公民最主要、最根本的权利，所以称之为公民的基本权利。

（2）规定的法律不同：公民权利由宪法和法律规定；公民的基本权利只能由宪法规定。

8.公民应该怎样正确行使权利？

（1）公民在行使权利时要尊重他人权利。

（2）公民在行使权利时，不得损害国家的、社会的、集体的利益。

（3）要在法律允许的范围内行使权利。

（4）要以合法方式行使权利。

9.如何行使言论自由的权利

第一，公民不得利用言论自由来侮辱、诽谤他人。

第二，公民不得利用言论自由教唆、煽动他人实施危害国家安全、破坏民族团结、破坏社会

公德、扰乱社会秩序的行为。

10.在网络上，常有人散播谣言，散播谣言的危害是什么

（1）会导致人们受到虚假信息的引导，产生恐慌心理

（2）会导致社会秩序会乱，扰乱公共秩序。

11.当谣言出现时，该怎么办

公众要理性对待媒体要及时辟谣政府要信息透明

12.发帖子是公民的自由，说什么就说什么，别人爱信不信，不应当受法律制裁[在互联网上，可以不受任何约束，随心所欲的行使权力和自由]

答：公民权利和自由的行驶必须遵守宪法和法律规定。公民依法享有宪法和法律赋予的权利，但是从来没有为所欲为的权利，公民在行使权利时，不得损害国家的、社会的、集体的利益和其他公民的合法的自由和权力，要在法律允许的范围行使权力，言论自由不是无限制的绝对自由，滥用言论是法律所不允许的。且要遵守和网络规则。超越法律规定和许可的范围行驶非法权利和自由，不仅不受到法律的保护，还要承担相应的法律责任。

13.此类事件对青少年的启示[谣言]

答：我们要珍惜来之不易的公民权利，正确行使享有的权利。依法维护自己的权利，做一个具有正确权利意识的公民。要努力学习和宣传宪法和法律关于公民权利的有关规定，自己不仅要带头严格地遵守，还要敢于和善于同侵害公民合法权利的行为做斗争，做一个爱国守法、明礼诚信、团结友爱、勤俭自强、敬业奉献······

14.我国公民权利的特点

广泛性、真实性

15.如何看待言论自由

答：言论自由不是无限制的绝对自由，言论自由不等于自由言论。

16.辨析：命题点：公民的权利与义务

甲：权利法律赋予，如何行使由我做主

乙：权利义务紧密联系，权利行使遵循法律

（1）我国宪法和法律赋予并保障公民享有各项权利。同时，宪法和法律也规定了公民应

该履行的义务。

（2）在我国，权利和义务具有一致性。我们每个人既是享有权利的主体，也是履行义务的主体。

（3）公民在行驶权利时要尊重他人的权利，不得损害国家的、社会的、集体的利益；要

在法律允许的范围内行使权利，要以合法的方式行使权利

（4）我们不仅要增强权利观念，依法行使权利，维护权利，而且要增强义务观念，依法

履行义务。

第二课我们应尽的义务

1.什么叫法定义务？

法定义务是指宪法和法律规定的公民必须履行的义务。

2.我国公民的基本义务有哪些？

（1）具体内容维护国家统一和全国各民族团结；

（2）保守国家秘密；

（3）爱护公共财物，遵守劳动纪律，遵守公共秩序，尊重社会公德；

（4）维护祖国的安全、荣誉和利益；

（5）依法服兵役和参加民兵组织；

（6）依法纳税等。

3．为什么要履行法定义务

履行法定义务是我国法律向公民提出的爱国的具体要求。自觉履行这些义务，是我们的天职，也是爱国的重要表现。我们要弘扬爱国主义精神，以履行法定义务的实际行动，表达我们的爱国之情。

4.在我国公民的权利和义务的关系怎样？

（1）在我国，公民的权利和义务具有一致性。

（2）我们每个人既是享受权利的主体，又是履行义务的主体。

（3）我们不仅要增强权利观念，依法行使权利、维护权利，而且要增强义务观念，依法履行义务。我们每个人都要以主人翁的责任感，自觉履行应尽的义务。

（4）履行法定义务是我国法律向公民提出的爱国的具体要求。自觉履行这些义务，是我们的天职，也是爱国的重要表现。

（5）我们不能只获得而不付出，不能只享受权利而不履行义务。对于法定义务，我们必须履行，因为这是宪法和法律规定的。

5.什么叫道德义务

道德义务：指社会成员依据社会道德规范，自觉自愿地承担对他人、对社会的道德责任。

6.道德义务有什么作用

广大社会成员自觉自愿地履行道德义务，既利于形成温馨、和谐的人际关系，弘扬社会主义道德，能够促进整个社会的文明进步，又有利于法定义务的履行，建设社会主义法治国家。

7.我国公民必须遵守的基本道德规范有哪些？

爱国守法、明礼诚信、团结友爱、勤俭自强、敬业奉献

8.公民如何忠实履行义务？

（1）法律鼓励做的，我们积极去做

（2）法律要求做的，我们必须去做

（3）法律禁止做的，我们坚决不做

初中数学知识点归纳：几何 篇6

初中数学几何公式大全——初中几何公式包括：线、角、圆、正方形、矩形等数学学几何的公式，以供同学们学习和理解!

初中几何公式：线

同角或等角的余角相等

过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

过两点有且只有一条直线

两点之间线段最短

同角或等角的补角相等

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

平行公理

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

初中几何公式：角

同位角相等，两直线平行

内错角相等，两直线平行

同旁内角互补，两直线平行

两直线平行，同位角相等

两直线平行，内错角相等

两直线平行，同旁内角互补

初中几何公式：三角形

定理

三角形两边的和大于第三边

推论

三角形两边的差小于第三边

三角形内角和定理

三角形三个内角的和等于

180°

推论

直角三角形的两个锐角互余

推论

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

推论

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

全等三角形的对应边、对应角相等

边角边公理

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

角边角公理

有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

推论

有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

边边边公理

有三边对应相等的两个三角形全等

斜边、直角边公理

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

定理

在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

定理

到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合资

初中几何公式：等腰三角形

等腰三角形的性质定理

等腰三角形的两个底角相等

推论

等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合33

推论

等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于

60°

等腰三角形的判定定理

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相

等(等角对等边)

推论

三个角都相等的三角形是等边三角形

推论

有一个角等于

60°的等腰三角形是等边三角形

在直角三角形中，如果一个锐角等于

30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

定理

线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

逆定理

和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42

定理

关于某条直线对称的两个图形是全等形

定理

如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

定理

两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

逆定理

如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这

条直线对称

勾股定理

直角三角形两直角边

a、b的平方和、等于斜边

c的平方，即

a+b=c

勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长

a、b、c

有关系

a+b=c，那么这个三角形是

直角三角形

初中几何公式：四边形

定理

四边形的内角和等于

360°

四边形的外角和等于

360°

多边形内角和定理

n

边形的内角的和等于(n-2)×180°

推论

任意多边的外角和等于

360°

平行四边形性质定理

平行四边形的对角相等

平行四边形性质定理

平行四边形的对边相等

推论

夹在两条平行线间的平行线段相等

平行四边形性质定理

平行四边形的对角线互相平分

平行四边形判定定理

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

平行四边形判定定理

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

平行四边形判定定理

对角线互相平分的四边形是平行四边形

要

平行四边形判定定理

一组对边平行相等的四边形是平行四边形

初中几何公式：矩形

矩形性质定理

矩形的四个角都是直角

矩形性质定理

矩形的对角线相等

矩形判定定理

有三个角是直角的四边形是矩形

矩形判定定理

对角线相等的平行四边形是矩形

初中几何公式：菱形

菱形性质定理

菱形的四条边都相等

菱形性质定理

菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

菱形面积=对角线乘积的一半，即

S=(a×b)÷2

菱形判定定理

四边都相等的四边形是菱形

菱形判定定理

对角线互相垂直的平行四边形是菱形

初中几何公式：正方形

正方形性质定理

正方形的四个角都是直角，四条边都相等

正方形性质定理

正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分

一组对角

定理

关于中心对称的两个图形是全等的72

定理

关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平

分

逆定理

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个

图形关于这一点对称

初中几何公式：等腰梯形

等腰梯形性质定理

等腰梯形在同一底上的两个角相等

等腰梯形的两条对角线相等

等腰梯形判定定理

在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

对角线相等的梯形是等腰梯形

初中几何公式：等分

平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段

相等，那么在其他

直线上截得的线段也相等

推论

经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

推论

经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

三角形中位线定理

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

梯形中位线定理

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半

L=(a+b)÷2

S=L×h

(1)比例的基本性质

如果

a:b=c:d,那么

ad=bc

如果

ad=bc,那么

a:b=c:d

(2)合比性质

如果

a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d

要

资料

(3)等比性质

如果

a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么

(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

推论

平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比

例

定理

如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么

这条直线平行于三角形的第三边

平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三

角形三边对应成比例

定理

平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形

与原三角形相似

相似三角形判定定理

两角对应相等，两三角形相似(ASA)

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

判定定理

两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)

判定定理

三边对应成比例，两三角形相似(SSS)

定理

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条

直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

性质定理

相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似

比

性质定理

相似三角形周长的比等于相似比

性质定理

相似三角形面积的比等于相似比的平方

任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦

值

任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切

值

初中几何公式：圆

圆是定点的距离等于定长的点的集合102

圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103

圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104

同圆或等圆的半径相等

到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

定理

不在同一直线上的三个点确定一条直线

垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

推论

①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

资料

W

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112

推论

圆的两条平行弦所夹的弧相等

113

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114

定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

115

推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一

组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116

定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117

推论

同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相

等

118

推论

半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径

119

推论

如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

120

定理

圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

121①直线

L

和⊙O

相交

d﹤

r

②直线

L

和⊙O

相切

d=r

③直线

L

和⊙O

相离

d﹤

r

122

切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123

切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径

124

推论

经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125

推论

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126

切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连

线平分两条切线的夹角

127

圆的外切四边形的两组对边的和相等

128

弦切角定理

弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129

推论

如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

130

相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

131

推论

如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中

项

132

切割线定理

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条

线段长的比例中项

133

推论

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134

如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

135①两圆外离

d﹤

R+r

②两圆外切

d=R+r

③两圆相交

R

-r﹤

d﹤

R

+r(R

﹤

r)

④两圆内切

d=R

-r(R

﹤

r)

⑤两圆内含

d﹤

R

-r(R

﹤

r)

要

资

136

定理

相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137

定理

把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正

n

边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正

n

边

形

138

定理

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

139

正

n

边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n

140

定理

正

n

边形的半径和边心距把正

n

边形分成2n

个全等的直角三角形

141

正

n

边形的面积

Sn=pnrn/2

p

表示正

n

边形的周长

142

正三角形面积√3a/4

a

表示边长

143

如果在一个顶点周围有

k

个正

n

边形的角，由于这些角的和应为

360°，因此

k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4

144

弧长计算公式：L=n∏R/180

145

扇形面积公式：S

扇形=n∏R

/360=LR

/2

146

内公切线长=

d-(R-r)

外公切线长=