勾股定理的多种证明方法

勾股定理的多种证明方法（精选16篇）

勾股定理的多种证明方法 篇1

在同学们整个中学的学习生活和实际生活中，我们都会遇到有关直角三角形的计算和测量，那就是勾股定理的运用。我们老师不仅要教会同学们学会勾股定理数学文化知识，更重要的是要让我同学们在日常生活中去灵活运用以及有关它存在的各种数学模型中。还要能感受我们今天的学习都是古代数学家们经过大量的实践与证明的得到的东西，探索数学知识从无到有的文化。勾股定理的发现与证明都是十分精彩的，在历史长河中，勾股定理是全世界人的伟大发现。

今天我们教科书上的多种证明，在此一一列举出来，可能对同学们学习数学以及培养数学兴趣有所帮助。并在今后的学习中铺平道路，对勾股定理有趣的文化有一个更加深刻的认识。

一、勾股世界

我国是最早了解勾股定理的国家之一，在我国最古老的数学经典著作《周髀算经》上记载着这样一段历史：西周开国之初(约公元前一千多年)有一个叫商高的数学家对周公(周武王的弟弟，封在鲁国当诸候)说：把一根直尺折成直角，两端连结起来构成一个直角三角形.它的短直角边称为勾，长直角边称为股，斜边称为弦。发现如勾为3，股为4，那么弦必为5。这就是勾股定理，又称商高定理。

在西方公元前六世纪到公元前五世纪希腊数学家毕达哥拉斯也发现这一定理，并给出了证明，但他的证明也已失传。后来欧几里得写《几何原本》时，给出一个证明留传至今(后文我们再补充，丰富同学们的视野)。因而西方称这一定理为毕达哥拉斯定理。这一定理在数学上有广泛的应用，而且工程技术，测量中也有许多应用。它在人类文明史上有重要的地位。

而在中国的有一位古代数学家赵爽在继商高之后证明了勾股定理。他这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系(与我们今天教科书上一些证明方法的大致类似)。既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且有所发展。稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。

二、勾股定理的多种证明方法(以教科书编排为序)：

第一种证明：教科书P3，通过直接数出正方形A、B、C的小方格数，将不足一格的方格算半个。结果来看它们之间的关系。小方格数即为面积。由此方法可以得出正方形A、B的面积与正方形C的面积相等。

第二种证明：教科书P8，如图所示：

分析：正方形EFGH的面积=正方形ABCD-周围四个小三角形的面积。

计算：正方形ABCD边长为a+b，则面积为(a+b)2，小三角形的面积为，代入分析里面的公式得：(a+b)2-4?a2+b2而正方形EFGH的面积也可表示为：c2，所以：a2+b2=c2

第三种证明：教科书P8，如图所示：

分析：正方形ABCD=正方形EFGH+小正方形EFGH周围的四个小三角形的面积。

计算：正方形EFGH的边长为b-a，则面积为(b-a)2，小三角形的面积为，代入分析里面的公式得：(b-a)2+4祝ǎ?a2+b2，而正方形ABCD的面积也可表示为：c2，所以：a2+b2=c2

这里验证勾股定理的方法，据载最早是由三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的。我国历史上将图中弦上的正方形称为弦图。这也是世界数学家大会(ICM-)在北京召开的会标。如右图所示中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们!

第四种证明：教科书P11，是美国总统Garfield(伽菲尔德总统)于1876年给出的一种验证勾股定理的办法。整个事情经过是这样的：在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是，伽菲尔德便问他们在干什么?只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答道：“是5呀。小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

如图所示：

分析：四边形ABED是直角梯形，可通过求梯形的面积减掉两个小三角形的面积而得出△ACB的面积。

计算：由梯形面积公式得梯形面积为[(a+b)祝╝+b)]?，△ADC与△BEC的面积和为：ab，所以△ACB的面积=梯形的面积-△ADC与△BEC的面积和，代入以上数据进行化简得：，由图中可知△ACB的面积也可以表示为。因此=，最后得出：a2+b2=c2

第五种证明：教科书P13，是历史上有名的“青朱出入图”如图所示。刘徽在他的《九章算术注》中给出了注解，大意是：△ABC直角三角形，以勾为边的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方，以盈补虚，将朱、青二方并成弦方。依其面积关系有2+b2=c2。“青朱出入图不用运算，单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理，真是“无字证明”!

第六种证明：教科书P15-16，

意大利文艺复兴时代的著名画家达·芬奇对勾股定理也曾进行了研究。他的验证勾股定理的方法可以从下面的实验中得到体现。

(1)在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a、b正方形，并连接BC、FE(如图①示)。

(2)沿ABCDEFA剪下，得到两个大小相同的`纸板Ⅰ，Ⅱ，如图②所示。

(3)将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼成如图③所示的图形。

(4)比较图①，图③中两个多边形ABCEEF和A’B’C’D’E’F’的面积，发现两个的面积是一样的。就能得出勾股定理的存在。

本种证明补充说明一下：同样两个纸板翻了下，就能证明，很明显，原图中剪掉的两个小三角形面积都在，翻一下只不过将剪掉的两个小正方形合并为一个正方形了，从而得出勾股定理的存在。

第七种证明：教科书P16，也是“无字证明”如图所示，过较大正方形的中心，作两条互垂直的线，将其分成4份，然后，将这四个部分围在四周，小正方形填在中间，恰好得到大正方形。

第八种证明(书本上没有列出)：

欧几里德对直角三角形三边关系上有着独特的方法进行了论证，证明过程如图所示：

证明：在Rt△ABC中，∠BAC=90埃訟B、AC、BC为边向外有三个正方形：正方形ABDE，正方形ACGF，正方形BCHJ。连接DC、AJ。过A点作AN⊥JH，垂足为N，交BC于M。先通过SAS，可得△ABJ≌△DBC，因此它们的面积相等。而正方形ABDE的面积=2△DBC的面积，长方形BMNJ的面积=2△ABJ的面积。因此，正方形ABDE的面积=长方形BMNJ的面积。同理可得正方形ACGF的面积=长方形CMNH的面积。从而：BC2=AB2+AC2，即：a2+b2=c2。

三、结束语

勾股定理的多种证明方法 篇2

勾股定理是几何学中的明珠, 充满魅力, 于是千百年来, 人们对它的证明趋之若鹜, 其中有著名的数学家, 也有业余数学爱好者, 有普通百姓, 也有尊贵的政要权贵, 甚至有国家总统.也许是因为勾股定理既重要又简单, 更容易吸引人, 才使它成百次地反复被人炒作, 反复被人论证.1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑, 其中收集了367种不同的证明方法.实际上还不止这些, 有资料表明, 关于勾股定理的证明方法已有500余种, 仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法.这是任何定理无法比拟的.下文选取部分较为精彩的证明方法, 供同学们参考.

方法1:课本方法:直接在直角三角形三边上画正方形, 如图.

利用三个正方形面积之间的关系, 从而得到直角三角形三边之间的关系.基于完全可以接受的朴素观念, 既直观又简单, 任何人都看得懂.

方法2:在中国古代的数学家中, 最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅“勾股圆方图”, 用数形结合的方法, 给出了勾股定理的详细证明.

方法3:美国第十七任总统J·A·加菲尔德 (1831~1888) 在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能, 在1876年 (当时他是众议院议员, 5年后当选为美国总统) , 给出了勾股定理一个漂亮的证明, 证明的思路是利用等积思想, 如下图.

这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式, 从而使证明相当简洁.

从勾股定理还推广出很多新的定理和应用, 有兴趣的同学可以尝试证明.如:

欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理:“直角三角形斜边上的一个直边形, 其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和.”

从上面这一定理可以推出下面的定理:“以直角三角形的三边为直径作圆, 则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和.”

勾股定理还可以推广到空间:以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体, 则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和.

若以直角三角形的三边为直径分别作球, 则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作两球表面积之和.

勾股定理的多种证明方法 篇3

勾股定理是几何学中的明珠，充满魅力，于是千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统. 也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证. 1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法. 实际上还不止这些，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法. 这是任何定理无法比拟的. 下文选取部分较为精彩的证明方法，供同学们参考.

方法1：课本方法：直接在直角三角形三边上画正方形，如图.

利用三个正方形面积之间的关系，从而得到直角三角形三边之间的关系. 基于完全可以接受的朴素观念，既直观又简单，任何人都看得懂.

方法2：在中国古代的数学家中，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽. 赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.

在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到的正方形ABDE是由4个相同的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的. 每个直角三角形的面积为■；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2. 于是便可得如下的式子：4×■+（b-a）2=c2，化简后便可得：a2+b2=c2. 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识. 他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一，代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.

方法3：美国第十七任总统J·A·加菲尔德（1831～1888）在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能，在1876年（当时他是众议院议员，5年后当选为美国总统），给出了勾股定理一个漂亮的证明，证明的思路是利用等积思想， 如下图.

S梯形ABCD=■（a+b）2=■. ①

又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED=■=■. ②

比较以上两式，便得a2+b2=c2.

这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁.

从勾股定理还推广出很多新的定理和应用，有兴趣的同学可以尝试证明. 如：

欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和.”

从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和.”

勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和.

若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作两球表面积之和.

正弦定理证明方法 篇4

证明：任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

方法2:用直角三角形

证明：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

在直角三角形中,在钝角三角形中(略)。

方法3：用向量

证明：记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c∴a+b+c=0则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0∴a/sinA=c/sinC(b与i垂直,i·b=0)

方法4：用三角形面积公式

证明：在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CD⊥AB垂足为点D，作BE⊥AC垂足为点E，则CD=a·sinB，BE=csinA,由三角形面积公式得：AB·CD=AC·BE

即c·a·sinB=b·csinA∴a/sinA=b/sinB同理可得b/sinB=c/sinC

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2

COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

SINc^2=1-COSc^2

SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

=/4a^2*b^2*c^2

同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

得证

正弦定理：三角形ABC中BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC

证明如下：在三角形的外接圆里证明会比较方便

例如，用BC边和经过B的直径BD，构成的直角三角形DBC可以得到：

2RsinD=BC(R为三角形外接圆半径)

角A=角D

得到：2RsinA=BC

同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB

这样就得到正弦定理了

一种是用三角证asinB=bsinA

用面积证

用几何法，画三角形的外接圆

听说能用向量证，咋么证呢?

三角形ABC为锐角三角形时，过A作单位向量j垂直于向量AB，则j与向量AB夹角为90，j与向量BC夹角为(90-B),j与向量CA夹角为(90+A),设AB=c,BC=a,AC=b,因为AB+BC+CA=0

即j*AB+J*BC+J*CA=0

|j||AB|cos90+|j||BC|cos(90-B)+|j||CA|cos(90+A)=0

所以asinB=bsinA

用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2

COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

SINc^2=1-COSc^2

SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

=/4a^2*b^2*c^2

同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

得证用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2COSc=(a^2+b^2-c^2)/2abSINc^2=1-COSc^2SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2=/4a^2*b^2*c^2同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2得证

满意答案好评率：100%

正弦定理

步骤1.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC

步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R类似可证其余两个等式。

余弦定理

平面向量证法：

∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

(以上粗体字符表示向量)

又∵Cos(π-θ)=-CosC

∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)

再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。

平面几何证法：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根据勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=sinB²·c²+a^2+cosB²·c^2-2ac*cosB

b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

勾股定理的多种证明方法 篇5

以下内容作者为：青岛第四中学杨瀚书老师一、三角形中位线定理的几种证明方法 法1： 如图所示，延长中位线DE至F，使，有AD

FC，所以FC，连结CF，则

BD，则四边形BCFD是平行四边

12形，DF BC。因为，所以DE

BC．

法2：如图所示，过C作 有FC AD，那么FC

交DE的延长线于F，则，BC。

BD，则四边形BCFD为平行四边形，DF

12因为，所以DE

BC．

法3：如图所示，延长DE至F，使 ADCF为平行四边形，有AD，连接CF、DC、AF，则四边形

BD，那么四边形BCFD为平

12CF，所以FC 行四边形，DF BC。因为，所以DE

BC．

法4：如图所示，过点E作MN∥AB，过点A作AM∥BC，则四边形ABNM为平行四边形，易证AEMCEN，从而点E是MN的中点，易证四边形ADEM和BDEN都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN，DE∥BC，即DE

12BC。

法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．

二、教学说明

1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”

在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC的中点，线段DE与BC有什么关系？

ABDEC

图⑴：

⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?

ADEBC图⑵：

说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC的顶点A运动到直线BC上时,中位线DE也运动到BC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜.2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。第一，要知道中位线定理的作用：可以证明两条直线平行及线段的倍分关系，计算边长或中位线的长。

第二，要知道中位线定理的使用形式，如：

∵ DE是△ABC的中位线

∴ DE∥BC，DE

第三，让学生通过部分题目进行训练，进而掌握和运用三角形中位线定理。题1 如图4.11-7，Rt△ABC，∠BAC＝90°，D、E分别为AB，BC的中点，点F在CA延长线上，∠FDA＝∠B.(1)求证：AF＝DE；(2)若AC＝6，BC＝10，求四边形AEDF的周长.12BCA

DEBC

分析 本题是考查知识点较多的综合题，它不但考查应用三角形中位线定理的能力，而且还考查应用直角三角形和平行四边形有关性质的能力。

(1)要证AF＝DE，因为它们刚好是四边形的一组对边，这就启发我们设法证明AEDF是平行四边形.因为DE是三角形的中位线，所以DE∥AC.又题给条件∠FDA＝∠B，而在Rt△ABC中，因AE是斜边上的中线，故AE＝EB.从而∠EAB＝∠B.于是∠EAB＝∠FDA.故得到AE∥DF.所以四边形AEDF为平行四边形.(2)要求四边形AEDF的周长，关键在于求AE和DE，AE＝2BC＝5，DE＝2AC＝3.证明：(1)∵D、E分别为AB、BC的中点，∴DE∥AC，即DE∥AF

∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BE＝EC 1∴EA＝EB＝2BC，∠EAB＝∠B 又∵∠FDA＝∠B，∴∠EAB＝∠FDA

∴EA∥DF，AEDF为平行四边形 ∴AF＝DE(2)∵AC＝6，BC＝10，11∴DE＝2AC＝3，AE＝2BC＝5 ∴四边形AEDF的周长＝2(AE+DE)＝2(3+5)＝16 题2 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，延长BA和CD分别与EF的延长线交于K、H。求证：∠BKE＝∠CHE.分析 本题考查三角形中位线的构造方法及应用、平行线的性质.由中点想到中位线，又要把结论联系起来，既要使中位线的另一端点处一理想的位置，又使需证明的角转移过来，可考虑，连BD，找BD中点G，则EG、FG分别为△BCD、△DBA的中位线，于是得到了解题方法.考虑到结论辅助线不要乱作，取中点比作平行线好.证明：连BD并取BD的中点G，连FG、GE 在△DAB和△BCD中

∵F是AD的中点，E是BC的中点

11∴FG∥AB且FG＝2AB，EG∥DC且EG＝2DC ∴∠BKE＝∠GFE，∠CHE＝∠GEF ∵AB＝CD ∴FG＝EG ∴∠GFE＝∠GEF ∴∠BKE＝∠CHE

题3 如图，ABCD为等腰梯形，AB∥CD，O为AC、BD的交点，P、R、Q分别为AO、DO、BC的中点，∠AOB＝60°。求证：△PQR为等边三角形.分析 本题考查三角形中位线定理、等边三角形判定方法、直角三角形斜边

1中线定理。利用条件可知PR＝2AD，能否把PQ、RQ与AD(BC)联系起来成为解题的关键，由于∠AOB＝60°，OD＝OC，则△ODC为等边三角形，再由R为OD中点，则∠BRC＝90°，QR就为斜边BC的中线.证明：连RC，∵四边形ABCD为等腰梯形且AB∥DC ∴AD＝BC ∠ADC＝∠BCD

又∵DC为公共边 ∴△ADC≌△BCD ∴∠ACD＝∠BDC ∴△ODC为等腰三角形 ∵∠DOC＝∠AOB＝60° ∴△ODC为等边三角形 ∵R为OD的中点

∴∠ORC＝90°＝∠DRC(等腰三角形底边上的中线也是底边上的高)

11∵Q为BC的中点 ∴RQ＝2BC＝2AD 11同理PQ＝2BC＝2AD 在△OAD中 ∵P、R分别为AO、OD的中点

1∴PR＝2AD ∴PR＝PQ＝RQ 故△PRQ为等边三角形

3、教学难点：本课难点是三角形中位线定理的证明，证明方法的关键在于如何添加辅助线． 教师可以在证明思路上进行引导、启发，避免生硬地将辅助线直接作出来让学生接受。例如，教师可以启发学生：要证明一条线段的长等于另一条线段的长的一半，可将较短的线段延长一倍，或者截取较长的线段的一半。

上面的这种辅助线的作法可以概括为“短延长、长截短”，这种辅助线的作法还可以用于证明线段和、差、倍、分等方面。证明线段的和、差、倍、分常用的证明策略：

1，长截短：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可在长线上截取一部分等于另两条线段中的一条，然后再证明另一部分等于剩下的一条线段的长。（角也亦然）

2，短延长：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可先延长较短的一条线段，得到两条线段的和，然后再证明其与长的线段相等。（角也这样）3，加倍法：要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2，可加倍延长线段，延长后使之为其2倍，再证明与另一条线段相等。（角也这样）

4，折半法：要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2，也可取长线段的中点，再证明其中之一与另一条线段相等。（角也可用）

5，代数运算推理法：这种方法是利用代数运算证明线段或角的和、差、倍、分。

6，相似三角形及比例线段法：利用相似三角形的性质进行推理论证。

题1（短延长）：如图所示，在正方形ABCD中，P、Q分别为BC、CD上的点。

（1）若PAQ=45°，求证：PB+DQ=PQ。

（2）若△PCQ的周长等于正方形周长的一半，求证：PAQ=45°

A D Q B P C

证明：（1）延长CB至E，使BE=DQ，连接AE。

∵四边形ABCD是正方形

∴ABE=ABC=D=90°，AB=AD 在△ABE和△ADQ中

∵AB=AD，ABE=D，BE=DQ ABEADQAEAQ，BAEQADPAQ45°BAPQAD45°BAPBAE45°，即EAPPAQ45°在AEP和AQP中

AEAQ，EAPPAQ，APAPAEPAQPEPPQEPEBBPDQBPPQ 即PBDQPQ

A D Q E B P C

（2）延长CB至E，使BE=DQ，连接AE 由（1）可知ABEADQ

AEAQ，BAEQADDAQBAQBAEBAQ90°PCQ的周长等于正方形周长的一半PCQCQPBCCDPQ(BCPC)(CDQC)BPDQBPEBEP在AEP和AQP中AEAQ，EPPQ，APAPAEPAQP EAPPAQ45°

题2（长截短）：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，∠A的平分线AD交BC于D。求证：AC=AB+BD

勾股定理的多种证明方法 篇6

关键词：凸凹性判定定理,泰勒公式,拉格朗日中值定理

一、函数凸凹性定义

定义:设函数f (x) 在区间I上连续, x1, x2∈I, 恒有

(1) , 则称f (x) 的图形是凹的;

(2) , 则称f (x) 的图形是凸的.

连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点.

二、函数凸凹性判定定理

设函数f (x) 在区间I上有二阶导数.

(1) 在I内有f″ (x) >0, 则f (x) 在I内图形是凹的;

(2) 在I内有f″ (x) <0, 则f (x) 在I内图形是凸的.

证明一利用一阶泰勒公式可得

两式相加得

当f″ (x) >0时, , 由定义可知f (x) 在I内图形是凹的.

同理可证 (2) 成立.

证明二设x1, x2为I内任意两点, 且x1

记

并记x2-x0=x0-x1=h,

则x1=x0-h, x2=x0+h, 由拉格朗日中值定理得

其中0<θ1, θ2<1, 上面两式相减得

f (x0+h) +f (x0-h) -2f (x0) =[f' (x0+θ1h) -f' (x0-θ2h) ]h.

对f' (x) 在区间[x0-θ2h, x0+θ1h]上应用拉格朗日中值定理得

f' (x0+θ1h) -f' (x0-θ2h) =f″ (ξ) (θ1+θ2) h2, (x0-θ2h<ξ

因为f″ (ξ) >0, 故有f (x0+h) +f (x0-h) -2f (x0) >0, 即

由定义可知f (x) 在I内图形是凹的.同理可证 (2) 成立.

三、联系

凸凹判别定理使我们很容易判别出函数的凸凹性.通过从多个角度对定理的证明, 能够让学生充分理解定理, 更自如地运用定理.

参考文献

[1]刘春凤.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2009:120-130.

几何定理的机器证明 篇7

几千年来，人们解几何题的招数，层出不穷，争奇斗艳，概括起来，不外这4类：检验、搜索、归约和转换，50多年来，数学家和计算机科学家费尽心思，循循善诱，把个中奥秘向计算机传授，使得计算机解几何题的能力日新月异，大放光彩，除了灵机一动加辅助线，或千变万化的问题转换之外，前3种方法计算机都学得十分出色了，用机器帮助，以至在某种程度上代替学者研究几何，帮助乃至代替老师指导学生学习几何，已经从古老的梦想变为现实。

在几何定理机器证明中，采用代数方法，引进坐标，将几何定理的叙述用代数方程的形式重新表达，证明问题就转化成判定是否能从假设的代数方程推出结论的代数方程的问题，这样把几何问题代数化，自笛卡尔以来已是老生常谈，并无实质困难，然而代数化的过程，坐标点的选取和方程引进的次序都可能影响到后续证明的难度，甚至由于技术条件的限制，影响到证明是否可能完成，也就是说，几何问题化成纯代数问题之后，也并不见得一定容易，更不能说就能实现机械化了，这不仅是因为解决这些代数问题的计算量往往过大，令人望而却步，还因代表几何关系而出现的那些代数等式或不等式常常杂乱无章，使人手足无措，从这些杂乱无章的代数关系式中要找出一条途径，以达到所要证的结论，往往要用到高度的技巧，换句话说，即使你不怕计算，会用计算机来算，也不知道从何算起。

解几何题是思维的体操，是十分有吸引力的智力活动之一，图形的直观简明，推理的曲折严谨，思路的新颖巧妙，常给人以美的享受，许多青少年数学爱好者，往往首先是对几何有了浓厚的兴趣，用计算机证明几何问题，如果仅限于用平凡而繁琐的数值计算代替巧妙而难于入手的综合推理，则未免大煞风景，通过计算机的大量计算判断命题为真，确实是证明了定理，这是有严谨理论基础的，但这样的证明写出来只是一大堆令人眼花缭乱的算式、数字或符号，既没有直观的几何意义，又难于理解和检验，这跟几何教科书上十行八行就说得明明白白的传统风格的证明大相径庭，如果计算机给出的这一堆难于理解和检验的数据也算是几何问题的解答，这种解答只能叫做不可读的解答。

勾股定理的10种证明范文 篇8

1.传说中毕达哥拉斯的证法

将一个大正方形分成一个边长为a正方形，一个边长为b的正方形和四个全等三角形（如上图），再讲这些图形拼接成一个新的正方形。

勾股定理的证明及简单计算说课稿 篇9

马正平

各位老师、评委：

大家好!我叫马正平，今天我说课的题目是<<勾股定理的证明及简单计算>>。我将从以下几个方面对本节课进行阐述：

一、教材分析

勾股定理是中学数学几个重要定理之一。它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途很大。勾股定理的验证和应用在理论上占有重要地位，学好本节至关重要。

二、教学目标

知识与技能：理解和掌握勾股定理的证明方法。能够灵活地运用勾股定理进行计算。

过程与方法：让学生经历“观察－猜想－归纳－验证”的数学过程，并从中体会数形结合及从特殊到一般的数学思想。培养学生观察、比较、分析、推理的能力。

情感态度与价值观：培养学生的合作交流意识和探索精神。

三、教学重点及难点 重点：勾股定理及应用

难点：用拼图方法、面积法证明勾股定理

四、教法和学法 教法指导:

针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课采取自主探究发现式教学，它有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。让学生通过观察、分析、讨论、操作、归纳，理解定理，提高学生动手操作能力，以及分析问题和解决问题的能力。并利用教具与多媒体进行教学。

学法指导:

在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。

五、教学过程设计

根据学生的认知规律和学习心理对于本节课的教学设计如下：

（一）复习引入

以提问的形式辅助回顾勾股定理的内容，唤醒学生的储备知识，然后顺势介绍勾股定理的证明方法的探究是一个古老而又永恒的话题，激发学生的 学习热情及探究欲望。

（二）探究新知 拼图法验证勾股定理

教师引导学生按要求拼图，观察与分析，组织学生分组讨论调动全班学生的积极性，达到人人参与的效果。接着全班交流，小组代表发言，其他小组作出评价和补充，教师及时进行启发性点拨。最后师生共同归纳，达成一致意见，最终解决疑难。通过这些实际操作，让学生加深数形结合的思想的理解，拼图也能产生感性认知。给学生充分的时间和空间参与到教学活动中来，发挥他们的主观能动性，进一步提高学生的学习兴趣，利用分组讨论加强学生的合作意识。

（三）综合探究 勾股定理的应用

这一环节中我设计了一个与生活实际密切相关的题目，再次加深对勾股定理的理解及应用，使学生深切体会到勾股定理与我们的生活密切相关。采用合作探究的方法小组内探究解法并派代表讲解自己的思路，在互评互议中得到共同提高。

（四）巩固练习

采用小组抢答的形式小组内合作交流，小组间公平竞争的形式，小组结果全班展示，小组代表板演或说明理由。

（五）总结

让学生谈一谈本节课的收获，畅所欲言。通过小结培养学生的归纳概括能力，引导学生对知识要点进行总结，梳理学习思路。

（六）作业布置

针对学生认知水平的差异设计有层次有弹性的作业，既能巩固知识，又能使学有余力的同学获得更大发展。

六、教学反思

证明三角形角平分线定理的六法 篇10

定理：在ΔABC中，∠A的平分线AD交BC边于点D，则： 。

证明：

一、构造平行线法

如图，过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，

∴ ∵ AD平分∠A ∴ ∠BAD=∠CAD

∵AD∥CE ∴ ∠E=∠BAD ∠ACE=∠CAD ∴ ∠E=∠ACE

∴AC=AE ∴

二、构造相似三角形法

如图，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，

过点C作CF⊥AD于F，则BE∥CF，∴ΔBDE∽ΔCDF

∴ ∵ ∠BAD=∠CAD，∠AEB=∠AFC=90°

∴ΔAEB∽ΔAFC ∴ ∴

三、面积法

如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，

∵ ∠BAD=∠CAD ∴ DE=DF ∴

∴ 又∵ΔABD和ΔACD同高

∴ ∴

四、构造圆法

如图，作ΔABC的外接圆，延长AD交圆于点E，

连接BE、CE，∵ ∠BAD=∠CAD ∴ BE=CE

∴∠EBD=∠BAE ∠AEB=∠BED ∴ ΔAEB∽ΔBED

∴ 同理ΔAEC∽ΔCED ∴

∴ ∴

五、应用正弦定理

如图，∵ ∠BAD=∠CAD ∴ sin ∠BAD=sin∠CAD

∵∠BDA+∠CDA=180° ∴ sin∠BDA=sin（180°-∠CDA）=sin∠CDA

在ΔABD中， （1）；在ΔACD中， （2）

（1）÷（2） ∴

六、解析法

如图，以点A为坐标原点，AD为x轴建立平面直角坐标系，设AB=m，AC=n，∠BAD=∠CAD=

则点B的坐标为（mcos ，msin ），点C的坐标为（ncos ，-nsin ）

设直线BC为： y=kx+b 则

解之得： b= -

∴ 直线BC为： y= x-- ∴ 点D的坐标为（ ，0）

《勾股定理》证明的一个案例 篇11

按正常的教学顺序, 勾股定理的学习应该是在整式乘除和实数两章后面学习, 这样能用多项式的乘法公式和求算术平方根的方法学习勾股定理这一章.

在教学中, 只要学生能用全等的四个直角三角形拼出如左图所示的赵爽弦图, 再引导学生用两种方法求它的面积即大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积, 可以很快得到, 用完全平方公式展开得到c2=a2+b2.这样, 勾股定理的证明并不是较难的问题.

2010年的比武课进行时, 多项式的乘法公式即完全平方公式未学习, 给勾股定理的证明带来了新的难度.当时有两种初步的想法如下:

(一) 按书本顺序进行

让学生用两个全等的长方形 (矩形还未学习) 拼出一个L形 (如图 (1) ) , 再给两个完全一样的长方形沿着对角线剪开得到全等的直角三角形, 拼出一个大正方形 (如图 (2) ) , 找出什么量没有变, 引导学生得到面积不变, 从而引导得到勾股定理的成立.

但是仔细想:拼图虽然花费时间但不难, 难点有两个:第一, 小正方形 (边长是b-a的正方形) 在图 (1) 中是怎么出现的, 假如是引导学生找边长是b的正方形和边长是a的正方形, 为什么边长是b的正方形一定出现在左边而边长是a的正方形在右边, 这样导致想法和图形有多样性, 不一定是勾股定理的证明方向;第二, 在学生的拼图L形中, 没有边长是b-a的小正方形, 对于面积不变的直观感受学生是不认同的, 有点牵强附会.

(二) 改变想法进行

先拼L形, 就在L形上将长方形剪开, 保持相邻的两个直角三角形不动, 移动另外两个直角三角形拼成大正方形, 这样的方法解决了小正方形是怎样出现的问题, 但是对于勾股定理中出现的a2, b2依然没解决是怎么出现的, 另外移动后小正方形消失了, 但是优点是解决了前后两个图形拼图之间的关系:有了运动变化的变与不变的直接感受;后来又增进了想法, 既然c2代表图 (3) 中正方形的面积, 那么a2, b2代表图 (1) 中什么图形的面积 (用长方形和大正方形中间空缺部分的面积拼出a2, b2) ?但仍然未解决空缺部分即边长是b-a小正方形的实际缺失的直观问题.

(三) 经过几天的思考, 有了第三种想法, 虽然不够成熟, 但是基本能解决问题

用全等的四个直角三角形拼出一个正方形, 如下面的图 (3) (空白部分用边长是b-a的小正方形填空, 教师可以预先准备, 让学生填入空白处, 并提问边长是多少) .

再用完全一样全等的四个直角三角形可以拼出一样的两个长方形, 用两个长方形拼出L形, 最后用全等的四个直角三角形拼出L形, 即图 (4) . (此时拼图中没有空白部分即边长是b-a的小正方形)

拼图中拿去第二个拼图 (两个长方形拼出的L形) , 只剩图 (3) 和 (4) , 提出问题:图 (3) 中两个直角三角形不动, 移动其余两个直角三角形得到图 (4) , 学生很快得到书本的图 (1) ——如图 (5) , 这样解决了图形面积的缺失问题, 把学生动手做的与Flash动画中展示的完美结合, 解决了学生想法与实际拼图的断层问题.

第二个难点可以顺便解决问题:在 (3) 和 (4) 哪些图形的面积可以表示为结论中的c2, a2, b2?变化前后的面积改变了吗?其中图 (3) 中的面积有哪些不同的表示方法?图 (4) 中的面积有哪些不同的表示方法?图 (3) :大正方形的面积c2=4个全等直角三角形的面积和+中间小正方形的面积;图 (4) :两个正方形的面积和b2+a2=4个全等直角三角形的面积和+同样的小正方形的面积.用两个等式等量代换就证明了勾股定理.

教学过程回顾:教学过程一还是最简洁的, 在教学过程二当中, 虽然多花了些时间, 但是依照“从学生中来, 到学生中去”的原则, 还是在知识的局限性下, 很好地解决了学生的认知困难, 从学生最近的知识方法区域出发, 用学生易于接受的过程和方法, 让多数学生找到动手动脑的乐趣而且乐于接受, 从而产生共鸣, 方便学生深刻记忆和进一步加深理解;在学生动手操作的过程中会遇到挫折, 小组合作会有较好的帮助作用, 能互相促进, 对图形的位置、边长的长短等等有大概的判断, 最后大多数小组都能拼出图形, 并能进行教学二之 (三) 的图形 (3) 向 (4) 的变换, 再结合动画演示, 绝大多数学生能理解在拼图的基础上用面积法证明勾股定理的过程.

教学反思:1.本节课根据一般的认知结构采用“观察—猜想—实验—归纳—验证—应用”的教学方法, 而其中验证的过程, 无论是国内还是国外, 都经历了很长一段时间, 而且方式、方法多样, 要学生在较短时间内主动接受验证过程这一信息, 除了动手动脑, 没有更好的办法.这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程, 从学生的原有认知出发, 在教师的刻意安排下, 让学生在自己的意识里, 既能找到合情合理的图形变换, 又能数形结合, 自我推理不是被人强加的知识, 符合学生的认知心理, 同时为学生提供参与数学活动的时间和空间, 发挥学生的主体作用, 培养学生的空间想象能力及探索问题的能力, 使学生在相互讨论、启发的小组合作中得到提高.

2. 本节课始终体现“以学生为主体”的教育理念, 试图让学生经历自我观察、归纳、猜想、验证的数学发现过程, 发展学生的合情合理推理能力, 体验数学家们探求新知的乐趣.在此过程中, 探索拼图的方式采用面积法, 引导学生利用实验证明一般的规律, 对直角三角形三边关系加以探究, 得出结论.这种方法是认识事物规律的重要方法之一, 通过教学让学生初步掌握这种方法, 对于学生良好数学思维品质的形成有重要作用, 对学生的终身发展也有一定的作用.

3. 在教学中应该关注学生在想什么, 想对了还是错了, 为什么是对的和错的, 是不是与教师的思维同步, 不同步应该怎么做, 如何在教学中或教学后适时调整教学策略、教学方法、教学难度:拼图、图形变换与面积法的证明学生肯定不是全部都会的, 要及时倾听、交流、引导、改正;教师的课前预设不一定都能按理想状态完成, 教师当时的教学智慧如何适时切入, 这些都要通过实践去实施, 不断改善, 以期达到新的高度.另外, 肯定会有另外的好方法来完成勾股定理证明的课堂教学, 希不吝赐教.

阿波罗尼定理之逆定理的一个证明 篇12

宁夏回族自治区固原市五原中学马占山(756000)

阿波罗尼定理之逆定理 如果一个凸四边形的四边的平方和等于对角线的平方和，那么这个四边形是平行四边形．

笔者在数学中国几何天地网站论坛中得知该定理历史悠久，2004年李明波先生给出了证明． 本文给出这个定理的证明.为证定理,在此首先给出一个几何命题.命题在ABC中,点D是边BC的中点,则 ABAC2(AD

证明:过点D作DFBC于点F.在RtABE,RtADE,RtACE中

由勾股定理可得:AD2AE2DE2AB2BE2DE2AB2(BDDE)2DE2 2221BC2).4AB2BD22BDDE(1)

同样有:AD2AE2DE2AC2CE2DE2AC2(CDDE)2DE2 AC2CD22CDDE(2)

(1)+(2)得

2AD2AB2AC2(BD2CD2)AB2AC22(AD2

下面证明给出定理的证明.1BC2)4

勾股定理的多种证明方法 篇13

第一课时

一二八团中学——王贞

一、教学目标

1、知识目标

（1）能说出勾股定理的内容

（2）会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。

（3）经历综合运用已有知识解决问题的过程，在此过程中加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。

2、能力目标

（1）经历不同的验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾

股定理的文化价值。

（2）在探索勾股定理的过程中，让学生体会数形结合和特殊到一般的思想方法。

3、德育目标

（1）通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心，增强对数学学习的 兴趣。

（2）通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思

想，激励学生发奋学习。

二、学情分析

勾股定理”这节内容主要讲述了直角三角形三边间的一种关系定理。它是建立在三角

形、全等三角形、等腰三角形等有关知识的基础之上。同时，也是初三几何中解直角三角

形及圆中有关计算的必备知识。更重要的是，纵观初中数学，勾股定理架起了代数和几何

间的桥梁。勾股定理是几何中一颗美丽的奇葩，可谓家喻户晓。它在数学理论体系中的地

位举足轻重，在日常生活、工农业生产中，应用极为广泛。从学生的角度来看，对勾股定

理学习的好坏直接影响他们的后续数学学习。同时还能对学生进行爱国主义教育！

三、重点难点

教学重点：勾股定理

教学难点：通过探索得出勾股定理并掌握勾股定理。

四、教学手段

多媒体辅助教学

五、教学方法

动手演示、拼图、归纳、猜想

六、教学过程

17.1第一学时

教学活动

活动1【导入】“赵爽弦图”

你见过这个图案吗？这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被

称为“赵爽弦图”．

两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外

人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发

行了一枚纪念邮票。

我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将

一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾

三、股

四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。

活动2【讲授】邮票的秘密

这是1955年希腊为纪念一位数学家曾经发行的邮票。

观察这枚邮票图案小方格的个数，你有什么发现?

三的平方加四的平方等于五的平方

活动3【活动】割补法探究直角三角形三边关系

课件展示

活动4【活动】总结勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

∵Rt△ABC中，∠C =90°

∴a2+b2=c2

（勾股定理）

在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为 “股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称

为“弦”.活动5【练习】勾股定理应用

１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为

（）

A.3 米

B.4 米

C.5米

D.6米

２.回归生活之学以致用

在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高出水面1米,一阵大风吹过,红莲被吹

至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问这里水深多少? 3.巩固提高之灵活运用

如图，将长为10米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为6米。

(1)求梯子上端A到墙的底端B的距离AB。

（2）若梯子下部C向后移动2米到C1点，那么梯子上部A向下移动了多少米？

4.应用知识之学海无涯

一个长方形零件（如图）,根据所给的尺寸(单位mm),求两孔中心A、B之间的距离.解：

过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则

∠ACB=90°，AC=90-40=50（mm）

BC=160-40=120（mm)

由勾股定理有：

AB2=AC2+BC2=502+1202 =16900（mm2)

∵AB＞0，∴AB=130(mm)答：两孔中心A，B的距离为130mm 活动6【活动】谈谈你的收获！

谈谈你的收获，１.这节课你的收获是什么？

２.理解“勾股定理”应该注意什么问题？

３.你觉得“勾股定理”有用吗？ 教师寄语，要养成用数学的思维去解读世界的习惯。

只有不断的思考，才会有新的发现；只有量的变化，才会有质的进步。

其实数学在我们的生活中无处不在, 只要你是个有心人,就一定会发现在我们的身边, 我们的眼前, 还有很多象 “勾股定理”那样的知识等待我们去探索，等待我们去发现„„

小结，如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。活动7【作业】作业快餐

1.完成课本习题１、2、3（必做）

2.课后小实验：如图,分别以直角三角形的三

边为直径作三个半圆,这三个半圆的面积之

间有什么关系?为什么?（必做）

四色定理的简便证明 篇14

一、没有公共边界的不同地区

没有公共边界的不同地区, 只需要使用同一种颜色就可以区别开来.例如, 山东省与黑龙江省没有公共边界, 这两个省可以使用同一种颜色;再如, 海南省、台湾省以及海域中的诸岛等也可以使用同一种颜色.

二、含有公共边界的不同地区

含有公共边界的不同地区, 着有颜色的种数多少与不同地区两两彼此有公共边界的多少有关, 两两彼此有公共边界的不同地区越多, 着有颜色的种数就越多.

两两彼此有公共边界的含义是指每两个地区都含有公共边界.例如, 甲、乙、丙三个不同的地区两两彼此有公共边界, 就是说, 甲地与乙地有公共边界, 甲地与丙地有公共边界, 乙地与丙地有公共边界;甲、乙、丙、丁四个不同的地区两两彼此有公共边界, 就是说, 甲地与乙地有公共边界, 甲地与丙地有公共边界, 甲地与丁地有公共边界, 乙地与丙地有公共边界, 乙地与丁地有公共边界, 丙地与丁地有公共边界.

地图上的不同地区, 我们可以分别用点A, B, C, D, E…来表示;不同地区所着用的不同的颜色分别用a, b, c, d…来表示;相邻不同地区的公共边界, 用连接两点 (表示该相邻的地区) 之间的一条线段来表示, 并且每条线段的两个端点所表示不同的地区所使用的颜色是不同的, 这样, 不同地区的着色问题可以看做是不同点的着色问题.

规定1:每两个有公共边界的不同地区, 有且只有一条公共边界线, 即不存在有三个或三个以上的不同地区共有一条边界线 (共用连接点除外) , 也就是说, 两点之间用且只用一条线段来连接.

规定2:连接的所有线段除端点外, 既不能重合, 也不能相交.

这样我们将上述四色问题可以转化为:

在同一个平面上有m个不同的点, 从中任取一个点Pi (i=1, 2, …, m) 与其余 (m-1) 个点连接, 并且连接任意两点之间的线段除端点外, 既不能重合, 也不能相交, 则在这m个不同的点中, 能够两两彼此相连接的点最多有4个.下面我们给出证明.

证明:一个点或多个孤立 (互不相连接) 的点均可以使用同一种颜色;一条线段有两个端点, 这两个端点表示不同的两个地区, 该线段表示有公共边界, 这样的两个地区, 只需要两种不同的颜色即可区别开来.

现在, 我们来研究由线段组成的图形.

1.由n (n为正整数) 条线段组成的一条或多条没有封闭的图形

我们知道, 每一个端点 (或拐点) 表示不同的地区, 两个相邻的不同地区的公共边界用一条线段来表示, 由n (n为正整数) 条线段组成的一条或多条没有封闭的图形, 其所有端点 (所表示的不同地区) , 可以需要使用a和b两种不同的颜色即可区别开来.如图1和图2所示.

需要特别指出的是在同一条线段 (或直线) 上的点, 如图3所示, 当A, B, C三点在同一条线段上时, 线段AC与线段AB, BC重合, 这意味着它们有两条公共边界线, 这与“不同地区有且只有一条公共边界线”矛盾, 因此, 我们说“连接AB, BC”, 此时不能说“连接AC”.不能说“连接AC”的意思是说地区A和C没有公共边界, 它们可以取同一种颜色.

2.由n (n≥3) 条线段组成的一条封闭的图形

(1) 当n为奇数时, 该图形中的所有顶点 (所表示的不同地区) , 可以需要使用a, b, c三种不同的颜色即可区别开来, 如图4所示.

(2) 当n为偶数时, 该图形中的所有顶点 (所表示的不同地区) , 可以需要使用a, b两种不同的颜色即可区别开来, 如图5所示.

三、在三角形的基础上, 增加一个点所构成的图形

从上面的分析来看:一个点只使用一种颜色;一条线段有两个端点, 该端点需要使用两种不同的颜色;一个三角形有三个顶点, 该顶点需要使用三种不同的颜色.

设存在有三个不同的地区两两彼此有公共边界, 即存在不共线的三个点A, B, C连接成一个三角形, 如图6所示, 在这个平面上增加一个点D, 有如下情况:

由于不同的点表示不同的地区, 所以点D与三角形的顶点不能重合, 即点D不能在三角形的顶点处;当点D在△ABC的任一条边上时, 不妨假设点D在边AC上, 如图7所示, 由于线段AC与线段AD, CD重合, 这与规定“所有线段不能重合”矛盾, 所以点D不能在△ABC的任一条边上.

显然, 如果有4个不同的点, 其中有三个点A, B, D两两彼此相连接 (即A, B, D三点所表示的地区两两彼此有公共边界) , 也就是说点B与A连接、点B与D连接、点D与A连接;第4个点C与点B连接, 与点D连接, 而点C与A不连接 (此时, 点A, C所表示的两个不同地区没有公共边界线) , 且A, D, C三点共线, 此时, 点A与C可以取同一种颜色 (我们可以看做点C在△ABD的外部如图7所示) , 那么这样的4个点所表示的不同地区, 可以使用a, b, c三种不同的颜色就可以区别开来.这样, 我们只研究点在三角形的内部和外部两种情况就可以了.

1.当点D在△ABC内部时, 如果第4个点D与三角形的三个顶点A, B, C两两彼此相连接, 如图8所示, 那么所有顶点所表示的不同地区, 需要使用a, b, c, d四种不同的颜色就可以区别开来.

2.当点D在△ABC外部时, (1) 不妨假设点D在线段AC所在的直线上, 即点D, A, C三点共线, 如果能够连接DB, DA, 那么所有顶点或端点所表示的不同地区, 需要使用a, b, c三种不同的颜色就可以区别开来, 如图9所示.

(2) 不妨假设点D不在线段AC所在的直线上, 且点D与B在线段AC所在直线的两侧, 如果能够连接DA, DB, DC, 且线段DB与线段AC不相交, 那么所有顶点 (或端点) 所表示的不同地区, 需要使用a, b, c, d四种不同的颜色即可区别开来, 如图10所示;若能够连接DA, DC, 当连接DB时, 线段DB与线段AC有可能“相交”, 则所有顶点 (或端点) 所表示的不同地区, 需要使用a, b, c三种不同的颜色即可区别开来, 如图11所示.

(3) 不妨假设点D不在线段AC所在的直线上, 且点D与B在线段AC所在直线的同侧, 如图12和图13所示, 此时, 结果与②类似, 不必赘述.

由上述所知, 如果每4个点满足两两彼此相连接, 且连接的所有线段除端点外, 既不能重合, 也不能相交, 那么这样的4个点所表示的不同地区, 只需要使用a, b, c, d四种不同的颜色即可区别开来.

四、在如图8所示的基础上, 增加一个点所构成的图形

我们从上面的分析可以得到一般结论:在同一个平面上, 存在3个点, 如果满足两两彼此相连接, 且连接的所有线段除端点外, 既不能重合, 也不能相交, 那么这样的3个点所表示的不同地区, 需要使用三种不同的颜色;在同一个平面上, 存在4个点, 如果满足两两彼此相连接, 且连接的所有线段除端点外, 既不能重合, 也不能相交, 那么这样的4个点所表示的不同地区, 需要使用四种不同的颜色.

我们自然要问:在同一个平面上, 存在5个点或5个以上的点, 如果满足两两彼此相连接, 且连接的所有线段除端点外, 既不能重合, 也不能相交, 那么这样的5个点或5个以上的点所表示的不同地区, 就需要使用五种或更多种不同的颜色吗?回答是不可能的.这是因为, 在同一个平面上, 有5个点或5个以上的不同点是不可能存在两两彼此相连接, 且连接的所有线段除端点外, 既不能重合, 也不能相交的, 从而说明, 在同一个平面上, 不存在超过四种不同的颜色.我们给出如下推理:

在如图8所示的基础上, 再增加一个点E, 共计5个点, 有如下几种情况:

(1) 如果第5个点E落在△ABC的外部, 那么点E与△ABC内部的点D不能够连接.假设点E与D能够连接, 由于△ABC是一个封闭的图形, 一个点E在△ABC的外部, 一个点D在△ABC的内部, 当连接ED时, 必然与△ABC中的某一条边相交, 这与规定 (所有的线段不相交) 矛盾, 所以说尽管点E能够与点A, B, C两两彼此相连接, 但点E与点D不能够连接, 因此, 5个不同的点两两彼此不能够相连接.此时, 点E和点D可以使用同一种颜色着色, 这样的5个不同点所表示的不同地区, 可以需要使用a, b, c, d四种不同的颜色就可以区别开来, 如图14所示.

(2) 如果第5个点E落在△ABC的内部, 那么点E必然会落在△ABC内部中△ABD, △BCD和△ACD三个三角形中的某一个三角形的内部.不妨假设点E落在△ABD的内部, 如图15所示, 此时, 点C在△ABD的外部, 由 (1) 知点E与C不能够连接, 因此, 5个不同的点两两彼此不能够连接.此时, 点E与C可以使用同一种颜色着色, 这样的5个不同的点所表示的不同地区, 可以需要使用a, b, c, d四种不同的颜色就可以区别开来.

由上述所知, 5个不同的点两两彼此不能够连接, 这就是说, 在同一个平面上, 尽管由原来不同的4个点增加到5个点, 多了一个点, 但颜色的种数并没有增加, 这是因为有一对点不能连接, 该两点所表示的不同地区可以取同一种颜色, 即存在有1对点着色相同, 此时, 仍然需要使用a, b, c, d四种不同的颜色就可以区别开来.

五、在如图15所示的基础上, 增加一个点所构成的图形在如图15所示的基础上, 再增加一个点F, 共计6个点.

1.如果第6个点F在△ABC的外部, 那么点F与△ABC内部的点E或D不能够连接, 也就是说, 6个不同的点两两彼此不能够连接, 如图16所示.新增加的点F的着色可以取与点D的颜色相同 (新增加一对着色点) , 点E的着色可以取与点C的颜色相同 (原有的一对着色点) , 这样共有2对相同的着色点, 这说明颜色的种数并没有增加, 仍然需要使用a, b, c, d四种不同的颜色就可以区别开来.

2.如果第6个点F在△ABC的内部, 那么点F必然会落在△ABE, △BED, △AED, △BCD, △ACD这5个三角形中的某一个三角形的内部.不妨假设点F落在△BDC的内部, 如图17所示.显然, 新增加的点F与A不能够连接, 它们可以取相同的颜色 (新增加一对着色点) ;点E与C不能够连接, 它们可以取相同的颜色 (原有的一对着色点) , 这样存在2对相同的着色点, 因此, 6个不同的点两两彼此不能够连接.也就是说, 尽管由5个不同的点增加到6个不同的点, 又多了一个点, 但颜色的种数并没有增加, 这是因为有2对点着色相同, 此时, 仍然需要使用a, b, c, d四种不同的颜色就可以区别开来.

类似地, 第k (5≤k≤m) 个点落在如图8所示的图形中, (1) 如果第k个点落在△ABC的外部, 那么第k个点与△ABC的内部的某一点不能够连接, 因此, 有k个点两两彼此不能够连接, 同时可以看出, 第k个点可以取与△ABC的内部的某一对应点 (不能连接) 的着色的颜色相同, 这样颜色的种数没有增加, 第k个点的情形与第 (k-1) 个点的情形的着色相同; (2) 如果第k个点落在△ABC的内部, 那么必然会落在且只能落在△ABC被分割成 (2k-5) 个不重叠三角形中的某一个三角形的内部, 此时, 该点与该三角形的外部的点不能够连接, 且有 (k-4) 对点 (不能连接的) 着有对应相同的颜色, 这说明颜色的种数并没有增加.

综上所述, 在同一个平面上, 超过4个不同的点, 两两彼此不能够连接, 这就是说能够两两彼此连接的点最多有4个, 所以, 在一张地图上的所有有公共边界的不同地区, 最多使用四种不同的颜色就可以加以区别开来, 四色定理成立.证毕.

我们根据上述判定方法来诠释中国政区地图, 为何最多使用四种不同的颜色.

在《中华人民共和国地图》 (人民交通出版社, 2003年8月第3版) 上, 因为最多有4个不同地区两两彼此有公共边界, 这4个省两两彼此有公共边界的地区分别是宁夏回族自治区、内蒙古自治区、甘肃省和陕西省, 即甘肃省与内蒙古自治区有公共边界, 甘肃省与陕西省有公共边界, 甘肃省与宁夏回族自治区有公共边界;内蒙古自治区与陕西省有公共边界, 内蒙古自治区与宁夏回族自治区有公共边界;陕西省与宁夏回族自治区有公共边界.换句话说, 如果把这4个不同地区分别看成A, B, C, D四个不同的点, 由于它们两两彼此有公共边界, 也就是说这4个不同点能够两两彼此相连接.如图8所示, 甘肃省相当于点B, 内蒙古自治区相当于点A, 陕西省相当于点C, 该三点A, B, C能连接成一个三角形, 宁夏回族自治区相当于△ABC的内部的一个点D, 根据上面得到的结论, 可以判断这张《中华人民共和国地图》的着色, 最多使用a, b, c, d四种不同的颜色就可以绘制而成.见附件一:《中国政区四色地图》着色分布图.

勾股定理的多种证明方法 篇15

问题引导 在△ABC中，AM是BC边的中线，若BC=a，AC=b，AB=c，AM=t.求证：t2=12（b2+c2）-14a2.

思路点拨 如图1，将公式变形为b2+c2=2t2+212a2，其几何形式为AB2+AC2=AM2+AM2+MC2+MC2，等号右边的形式使我们想到等腰直角三角形两条直角边的平方，于是联想到能否构造直角三角形利用勾股定理来解决问题，这样就想到了我们熟知的一个几何模型：共顶点的两个直角等腰三角形.

评注 因为mn2-4m3=m（n-2m）（n+2m），根据一元三次方程有有理根理论知，±m、±（n+2m）、±（n-2m）可能是方程的根，经检验它们都不是有理数域上三次方程的根，所以满足方程的根不可能通过尺规作图，即三等分任意角尺规不能作图.

解后反思

通过以上解题过程的探究，我们知道了做题时要认真审题，仔细分析，周密思考，慎重求解，要充分挖掘隐含条件，切忌钻牛角尖，因思维定势而导致错误，要学会添加辅助线，把我们学的相似和全等的知识运用到解题中来.遇到此类问题，首先从已知条件出发，把所要求或证明的线段转移到同一特殊平面图形中，其次，要对问题深入探究，挖掘问题本质内涵，提炼升华，最后要把获得的基本结论或基本模型记录下来，并试着用它们解决其它问题，学会用“发现——解决——拓展——应用”的思维模式学习数学，达到触类旁通，灵活运用！

弦切角定理的证明 篇16

弦切角定理的证明

弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明

证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作TP的平行线交BC于D，

则∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB

证明：分三种情况：

(1)圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径，AB切⊙O于A，

∴弧CmA=弧CA

∵为半圆,

(2)圆心O在∠BAC的内部.

过A作直径AD交⊙O于D,

那么

.

(3)圆心O在∠BAC的外部,

过A作直径AD交⊙O于D

那么

2

连接并延长TO交圆O于点D，连接BD因为TD为切线，所以TD垂直TC，所以角BTC+角DTB=90因为TD为直径，所以角BDT+角DTB=90所以角BTC=角BDT=角A

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