高中数学竞赛

高中数学竞赛（共8篇）

高中数学竞赛篇1

二、主办单位：阿勒泰市第三中学高中部教务处

承办单位：高中部数学

三、竞赛各项人员安排：

1、出卷人：张志强

2、监考人员：各班班主任

3、阅卷组：数学组

四、竞赛时间：统一于周日(12月XX日)第九节课在各班教室同时进行，有各班班主任监考。于12月X日公布获奖名单。

五、参赛对象：高一、高二全体学生

六、竞赛方式以及竞赛题范围：竞赛以答试卷的方式进行，教师下发相应的试题，学生在规定的时间内答完，并上交答卷。范围是：

七、奖项设定及发放时间

1、一等奖1名、二等奖2名、三等奖3名、优秀奖6名

2、20XX年12月日颁发奖品

高中数学竞赛篇2

中学数学中的方差公式在数学解题中有着极其广阔的应用价值, 然而由于统计初步列入中学数学时间不长, 因而有关方差公式在数学解题中的应用资料甚少. 为延伸教材内容、紧跟素质教育和新课程改革的步伐, 下面我们将方差公式在解高中数学竞赛题中的应用举例介绍如下, 供师生参考.

1 方差公式引理

如果 $\bar{x}$ 为一组数据x1, x2, …, xn的平均数, S2为这组数据的方差, 则有

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{n} [(x_{1} - \bar{x})^{2} + (x_{2} - \bar{x})^{2} + \dots \\ + (x_{n} - \bar{x})^{2}] \\ = \frac{1}{n} [(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}) - n \bar{x}^{2}] \\ = \frac{1}{n} [\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \bar{x}^{2}] . \end{array}$

2 典型例题解析

本文以竞赛试题为例, 谈谈如何利用方差公式解高中竞赛题.

2.1 求最大值

例1 (1993年全国高中数学联赛题) 实数x, y满足4x2-5xy+4y2=5, 设S=x2+y2, 则 $\frac{1}{S_{\max}} =$ __.

解设x2+y2=t, 则视x, y为一组数据, 由方差公式, 得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{2} [(x^{2} + y^{2}) - 2 \cdot (\frac{x + y}{2})^{2}] \\ = \frac{1}{2} [(x^{2} + y^{2}) - \frac{x^{2} + 2 x y + y^{2}}{2}] \\ = \frac{(x^{2} + y^{2}) - 2 x y}{4} = \frac{t - 2 x y}{4} . (1) \end{array}$

因为4x2-5xy+4y2=5, 所以

$x y = \frac{4}{5} (x^{2} + y^{2}) - 1 = \frac{4}{5} t - 1 .$

代入 (1) 中, 得

$S^{2} = \frac{t - \frac{8}{5} t + 2}{4} = \frac{- 3 t + 10}{20} \geq 0,$

所以 $3 t - 10 \leq 0, t \leq \frac{10}{3} .$

即 $S_{\max} = \frac{10}{3}, \frac{1}{S_{\max}} = \frac{3}{10} .$

2.2 求最小值

解视s+5-3|cos t|, 2|sin t|-|s|为一组数据, 由方差公式得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{2} [(s + 5 - 3 | \cos t |)^{2} \\ + (s - 2 | \sin t |)^{2} \\ - \frac{1}{2} (s + 5 - 3 | \cos t |) \\ + 2 | \sin t | - s)^{2}] \\ \geq 0, \end{array}$

$\begin{array}{l} 即 (s + 5 - 3 | \cos t |)^{2} + (s - 2 | \sin t |)^{2} \\ \geq \frac{1}{2} (s + 5 - 3 | \cos t | + 2 | \sin t |) - s)^{2} \\ = \frac{1}{2} (5 - 3 | \cos t |) + 2 | \sin t |)^{2} \\ = \frac{1}{2} (5 + 2 \sin θ - 3 \cos θ)^{2} \\ = \frac{1}{2} [5 + \sqrt{13} \sin (θ - φ)]^{2}, \end{array}$

其中 $θ \in [0, \frac{π}{2}], \sin θ = | \sin t |, \cos θ = | \cos t |, \sin φ = \frac{3 \sqrt{13}}{13}, \cos φ = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$ .显然当θ=0 (此时t=kπ, k∈Z, s可取任意实数) 时, 原式可达到最小值2.

2.3 解方程

例3 (南昌市高中数学竞赛题) 解方程 $4 (\sqrt{x} + \sqrt{y - 1} + \sqrt{z - 2} = x + y + z + 9 .$

解设 $\sqrt{x} = a, \sqrt{y - 1} = b, \sqrt{z - 2} = c$ , 则x=a2, y=b2+1, z=c2+2.原方程化为

4 (a+b+c) =a2+b2+c2+12,

即 a2+b2+c2=4 (a+b+c) -12.

视a, b, c为一组数据, 由方差公式得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{3} [(a^{2} + b^{2} + c^{2}) - \frac{1}{3} (a + b + c)^{2}] \\ = \frac{1}{3} [4 (a + b + c) - 12 - \frac{1}{3} (a + b + c)^{2}] \\ = - \frac{1}{9} (a + b + c - 6)^{2} . \end{array}$

因为S2≥0, 所以

$- \frac{1}{9} (a + b + c - 6)^{2} \geq 0$ ,

从而 (a+b+c-6) 2=0,

即 a+b+c=6.

故有S2=0, 从而a=b=c=2.

故x=4, y=5, z=6.经检验是方程的解.

2.4 解方程组

例4 (法国高中数学竞赛题) 解方程组

${\begin{cases} x + y + z = 1, \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{1}{3} . \end{cases}$

解视x, y, z为一组数据, 则由方差公式, 得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{3} [(x^{2} + y^{2} + z^{2}) - 3 (\frac{x + y + z}{3})^{2}] \\ = \frac{1}{3} [\frac{1}{3} - 3 (\frac{1}{3})^{2}] = \frac{1}{3} \times 0 = 0 . \end{array}$

而由方差公式的推导可知:若 $(x_{1} - \bar{x})^{2} + (x_{2} - \bar{x})^{2} + \dots + (x_{n} - \bar{x})^{2} = n S^{2} = 0$ , 则有 $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n} = \bar{x}$ .本题中, $x_{1} = x, x_{2} = y, x_{3} = z, n = 3, S = 0, \bar{x} = \frac{x + y + z}{3} = \frac{1}{3}$ , 故有

$(x - \frac{1}{3})^{2} + (y - \frac{1}{3})^{2} + (z - \frac{1}{3})^{2} = 0,$

即 $x = y = z = \frac{1}{3} .$

2.5 求最值范围

例5 (美国第七届IMO试题) 设实数a, b, c, d, e适合a+b+c+d+e=8, a2+b2+c2+d2+e2=16, 试确定e的取值范围.

解由已知得

视a, b, c, d为一组数据, 则由方差公式,

所以 $0 \leq e \leq \frac{16}{5} .$

2.6 证明不等式

例6 (1988年四川省高中数学联赛题) 已知:实数xi (i=1, 2, …, n) 满足 $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} = a (a > 0), \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} = \frac{a^{2}}{n - 1}, n \geq 2, n \in Ν$ .求证 $0 \leq x_{i} \leq \frac{2 a}{n} (i = 1, 2, \dots, n) .$

证明由题意知

$\begin{array}{l} x_{2} + \dots + x_{n} = a - x_{1}, \\ x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2} = \frac{a^{2}}{n - 1} - x_{1}^{2} . \end{array}$

则由方差公式, 得

由S2≥0得

$\frac{- n x_{1}^{2} + 2 a x_{1}}{(n - 1)^{2}} \geq 0$ ,

解得 $0 \leq x_{1} \leq \frac{2 a}{n} .$

同理可证 $0 \leq x_{i} \leq \frac{2 a}{n} (i = 1, 2, \dots, n) .$

如果在这道竞赛题中, 令a=8, n=5, 则成为美国第七届IMO试题, 见例5.

2.7 求整式值

例7 (2008年合肥市高中数学竞赛题) 已经△ABC的三边a, b, c满足 (1) a>b>c; (2) 2b=a+c; (3) b是正整数; (4) a2+b2+c2=84.求b的值.

解因为2b=a+c, 所以a+b+c=3b.视a, b, c为一组数据, 则由方差公式, 得

因为S2≥0, 所以28-b2≥0, 得b2≤28.

又由2b=a+c, 有

4b2=a2+c2+2ac=84-b2+2ac.

而a>0, c>0, 所以4b2>84-b2, 得

$16 \frac{4}{5} < b^{2} \leq 28 .$

因为b是正整数, 所以b=5.

2.8 求根式值

例8 (2008年庆阳市高中数学竞赛题) 已知实数a, b, c, d满足a+b+c+d=4, a2+b2+c2+d2=4, 求 $\sqrt{a b c d}$ 的值.

解 $\bar{x} = \frac{1}{4} (a + b + c + d) = \frac{1}{4} \times 4 = 1,$

视a, b, c, d为一组数据, 由方差公式得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{4} [(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) - 4 (\bar{x})^{2}] \\ = \frac{1}{4} (4 - 4 \times 1) = 0, \\ (a - 1)^{2} + (b - 1)^{2} + (c - 1)^{2} + (d - 1)^{2} \\ = 4 S^{2} = 0, \end{array}$

故由非负数性质得

a=b=c=d=1,

所以 $\sqrt{a b c d} = 1 .$

2.9 求对数值

例9 (2007年南京市高中数学竞赛题) 已知x, y, z均为实数, 且满足x+y+z=2, x2+y2+z2=4, 求 $\log_{\frac{3}{8}} (z_{\max} - z_{\min}) =$ __.

解视x, y为一组数据, 则由方差公式, 得

$S^{2} = \frac{1}{2}$ $(x^{2} + y^{2}) - 2 (\frac{x + y}{2})^{2}$

$= \frac{1}{2}$ $(4 - z^{2}) - (\frac{2 - z}{2})^{2}$

$\begin{array}{l} = \frac{8 - 2 z^{2} - 4 + 4 z - z^{2}}{4} \\ = \frac{4 - 3 z^{2} + 4 z}{4} \geq 0, \end{array}$

所以 3z2-4z-4≤0,

解之得

$\begin{array}{l} - \frac{2}{3} \leq z \leq 2 ‚ 即 z_{\max} = 2, z_{\min} = - \frac{2}{3}, \\ \log_{\frac{3}{8}} (z_{\max} - z_{\min}) = \log_{\frac{3}{8}} \frac{8}{3} = - 1 . \end{array}$

2.10 证明几何题

例10 (2008年昆明市高中数学竞赛题) 设△ABC的三边a, b, c满足:b+c=8, bc=a2-12a+52.求证:△ABC是等腰三角形.

证明由已知, 得

b2+c2=64-2bc=-2a2+24a-40.

视b, c为一组数据, 由方差公式得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{2} [(b^{2} + c^{2}) - \frac{1}{2} (b + c)^{2}] \\ = \frac{1}{2} [(- 2 a^{2} + 24 a - 40) - \frac{1}{2} \times 8^{2}] \\ = - (a - 6)^{2} \geq 0 . \end{array}$

因为S2≥0, 所以

- (a-6) 2≥0, (a-6) 2=0, a=6.

所以S2=0, b=c=4.故△ABC是以a为底, b, c为腰的等腰三角形.

综上所述可知:应用方差公式解高中数学竞赛题, 其关键在于根据题设, 寻找出一组数据, 再运用方差公式写出 $S^{2} = \frac{1}{n} [(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}) - n \bar{x}^{2}] = \frac{1}{n}$ $\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \bar{x}^{2}$ 的等式, 然后通过化简运算解不等式, 去求解.

此法富有新意, 具有规律, 解题明晰, 易于理解, 值得重视.

总之, 加强方差公式的研究, 符合新课程改革关于“以课程标准为指导, 以教材为基础, 合理使用课本, 加强教学科研”的理念要求, 有利于培养学生的探索精神和创新意识, 有利于指导学生启迪思维、开拓视野, 有利于学生数学思维能力和综合运用知识的解题能力的提高, 有利于培养学生感悟数学、掌握基础知识和基本技能及方法, 提高综合解题水平, 有利于培养学生的思维品质, 有利于调动学生学习的积极性, 有利于提高学生的专题总结水平.故笔者认为:在今后的教学过程中, 适当引导学生进行这样的专题研究是很有必要的.

3 练习题

1. (上海市高中数学竞赛题) 已知实数x, y, z满足试求x2y+z的值.

提示:视x, 3y为一组数据.答案:9

2. (前苏联奥尔德荣尼基市中学竞赛题) 已知x+y+z=1, 求证: $x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq \frac{1}{3} .$

提示:视x, y, z为一组数据, 结合S2≥0得证.

3. (2005年贵州省安顺市高中数学竞赛题) 已知实数x, y, z, 且 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, x + y + z = \frac{3}{2}$ , 则 $\sqrt{y_{最大值} + y_{最小值}} =$ __.

提示:视x, z为一组数据, 由方差公式得12y2-12y+1≤0, 解得

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{6}}{6} \leq y \leq \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{6}, \\ \sqrt{y_{最大值} + y_{最小值}} \\ = \sqrt{(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{6}) + (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{6}}{6})} = 1 . \end{array}$

4. (吉林省高中数学竞赛题) 设实数a, b, c满足

${\begin{cases} a^{2} - b c - 8 a + 7 = 0, (1) \\ b^{2} + c^{2} + b c - 6 a + 6 = 0 . (2) \end{cases}$

则a的取值范围是__.

提示: (1) + (2) , 得

b2+c2=-a2+14a-13.

(2) - (1) , 得

(b+c) 2= (a-1) 2.

由方差公式, 得实数b, c的方差为

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{2} [(b^{2} + c^{2}) - \frac{1}{2} (b + c)^{2}] \\ = - \frac{3}{4} (a^{2} - 10 a + 9) . \end{array}$

而S2≥0, 所以a2-10a+9≤0, 即1≤a≤9.

5. (第二届美国数学奥林匹克试题) 解方程组

${\begin{cases} x + y + z = 3, \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3, \\ x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3 . \end{cases}$

提示:视x, y, z为一组数据, 由方差公式得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{3} [(x^{2} + y^{2} + z^{2}) - \frac{1}{3} (x + y + z)^{2}] \\ = \frac{1}{3} (3 - \frac{1}{3} \times 3^{2}) = 0 . \end{array}$

故原方程组有唯一实数解x=1, y=1, z=1.

参考文献

[1]于志洪.用方差公式求值[J].数学学习, 2001, (4) :6-7.

[2]于志洪, 樊增华.利用方差公式求最大值[J].中学数学, 2004, (9) :20-21.

高中数学竞赛篇3

（重庆师范大学刘凯年教授供题）

如图1，给定凸四边形ABCD，∠B+∠D<180°，P是平面上的动点，令f（P）＝PA·BC＋PD·CA＋PC·AB．

[A][D][P][C][O][E][B]

图1

（Ⅰ）求证：当f（P）达到最小值时，P，A，B，C四点共圆；

（Ⅱ）设E是△ABC外接圆O的上一点，满足：=，=－1，∠ECB=∠ECA，又DA，DC是⊙O的切线，AC=，求f（P）的最小值．

解析：解法1，（Ⅰ）如图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P，有

PA·BC+PC·AB≥PB·AC．

因此f（P）＝PA·BC＋PC·AB＋PD·CA≥PB·CA+PD·CA＝（PB＋PD）·CA．

因为上面不等式当且仅当P，A，B，C顺次共圆时取等号，因此当且仅当P在△ABC的外接圆且在上时，f（P）＝（PB＋PD）·CA．又因PB+PD≥BD，此不等式当且仅当B，P，D共线且P在BD上时取等号．因此当且仅当P为△ABC的外接圆与BD的交点时，f（P）取最小值f（P）min＝AC·BD．

故当f（P）取最小值时，P，A，B，C四点共圆．

（Ⅱ）记∠ECB=α，则∠ECA=2α，由正弦定理有==，从而sin3α=2sin2α，即（3sinα－4sin3α）=4sinαcosα，所以

3－4（1－cos2α）－4cosα=0，整理得4cos2α－4cosα－=0，解得cosα=或cosα=－（舍去），故α=30°，∠ACE=60°．由已知=－1=,有sin（∠EAC－30°）=（－1）sin∠EAC，即sin∠EAC－cos∠EAC=（－1）sin∠EAC，

整理得

sin∠EAC=cos∠EAC，

故tan∠EAC==2+，可得∠EAC=75°，

从而∠E=45°，∠DAC=∠DCA=∠E=45°，△ADC为等腰直角三角形．因AC=，则CD=1．

又△ABC是等腰直角三角形，故BC=，BD2=1+2－2·1··cos135°=5，BD=．

故f（P）min＝BD·AC=·=．

解法2，（Ⅰ）引进复平面，仍用A，B，C等代表A，B，C所对应的复数．

由三角形不等式，对于复数z，z，有

（1）式取等号的条件是

复数（A－P）（C－B）与（C－P）（B－A）同向，故存在实数λ>0，使得

（A－P）（C－B）＝λ（C－P）（B－A），

=λ，

向量旋转到所成的角等于旋转到所成的角，

从而P，A，B，C四点共圆．

（2）式取等号的条件显然为B，P，D共线且P在BD上．

故当f（P）取最小值时，P点在△ABC之外接圆上，P，A，B，C四点共圆．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（P）min＝BD·AC．

以下同解法1.

二、（本题满分50分）

（西南大学唐春雷教授供题）

设f（x）是周期函数，T和1是f（x）的周期且0

（Ⅰ）若T为有理数，则存在素数p，使是f（x）的周期；

（Ⅱ）若T为无理数，则存在各项均为无理数的数列｛an｝满足1＞an＞an＋1＞0（n=1，2，…），且每个an（n=1，2，…）都是f（x）的周期．

证明：（Ⅰ）若T是有理数，则存在正整数m，n使得T=且（m，n）=1，从而存在整数a，b，使得

ma+nb=1．

于是

==a+bT=a·1+b·T

是f（x）的周期．

又因0

设p是m的素因子，

则m=pm′，m′∈N∗，从而

=m′·

是f（x）的周期．

（Ⅱ）若T是无理数，令

a1=1－

T，

则0

由数学归纳法易知an均为无理数且0

因此｛an｝是递减数列．

最后证每个an是f（x）的周期．事实上，因1和T是f（x）的周期，故a1=1－

T亦是f（x）的周期．假设ak是f（x）的周期，则ak+1=1－

ak也是f（x）的周期．由数学归纳法，已证得an均是f（x）的周期．

三、（本题满分50分）

（西南大学李扬荣教授供题）

设ak>0，k=1，2，…，2008．证明：当且仅当ak>1时，存在数列｛xn｝满足以下条件：

（ⅰ）0=x0

（ⅱ）xn存在；

（ⅲ）xn－xn－1=akxn+k－ak+1xn+k，n=1，2，3，…．

证明：必要性. 假设存在｛xn｝满足（ⅰ），（ⅱ），（iii）．注意到（ⅲ）中式子可化为

xn－xn－1=ak（xn＋k－xn＋k－1），n∈N∗，

其中x0=0．

将上式从第1项加到第n项，并注意由x0=0得

xn=a1（xn＋1－x1）＋a2（xn＋2－x2）＋…＋a2008（xn＋2008－x2008）．

由（ⅱ）可设b=xn，将上式取极限得

b=a1（b－x1）＋a2（b－x2）＋…+a2008（b－x2008）=b·ak－（a1x1+a2x2+…+a2008x2008）

因此ak>1．

充分性. 假设ak>1．

定义多项式函数如下，

f（s）＝－1+aksk，s∈［0，1］，

则f（s）在［0，1］上是递增函数，且

f（0）＝－1＜0，f（1）＝－1＋ak＞0．

因此方程f（s）=0在［0，1］内有唯一的根s=s0，且0

下取数列｛xn｝为xn=s，n=1，2，…，｛xn｝明显地满足题设条件（ⅰ），且

xn=s=．

因0

最后验证｛xn｝满足（ⅲ），因f（s0）=0，即aks=1，从而

xn－xn－1=s=

高中数学竞赛篇4

三角恒等式与三角不等式

一、基础知识

定义1

角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。

若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。

定义2

角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。

弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=

L,其中r

是圆的半径。

定义3

三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x

轴的正半轴重合，在角的终边上任意取

一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数s

α=r

y,余弦函数co

α=r

x,正切函数tan

α=

y，余切函数cot

α=y

x，正割函数se

α=x

r,余割函数c

α=.y

定理1

同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan

α=αcot

1,s

α=αcsc

1，co

α=αsec

1；

商数关系：tan

α=α

αααsin

cos

cot,cos

sin

=；

乘积关系：tan

α×co

α=s

α,cot

α×s

α=co

α；

平方关系：s

2α+co

2α=1,tan

2α+1=se

2α,cot

2α+1=c

2α.定理2

诱导公式（Ⅰ）s

(α+π)=-s

α,co

s(π+α)=-co

α,tan

(π+α)=tan

α,cot

(π+α)=cot

α;

（Ⅱ）s

(-α)=-s

α,co

s(-α)=co

α,tan

(-α)=-tan

α,cot

(-α)=cot

α;

（Ⅲ）s

(π-α)=s

α,co

s(π-α)=-co

α,tan

=(π-α)=-tan

α,cot

(π-α)=-cot

α;

（Ⅳ）s

???

??-απ2=co

α,co

???

??-απ2=s

α,tan

???

??-απ2=cot

α（奇变偶不变，符号看象限）。

定理3

正弦函数的性质，根据图象可得y

inx

（x

∈R）的性质如下。

单调区间：在区间??

22,2

2πππ

πk

上为增函数，在区间??

?++

πππ

π232,22k

上为减函数，最小正周期：2π.奇偶性：奇函数

有界性：当且仅当x

=2kx

+2π时，y

取最大值1，当且仅当x

=3k

π-2

时,y

取最小值-1，值域为[-1，1]。

对称性：直线x

π+

均为其对称轴，点（k

π,0）均为其对称中心。这里k

∈Z

.定理4

余弦函数的性质，根据图象可得y

=co

∈R)的性质。

单调区间：在区间[2k

π,2k

π+π]上单调递减，在区间[2k

π-π,2k

π]上单调递增。

最小正周期：2π。

奇偶性：偶函数。

有界性：当且仅当x

=2k

π时，y

取最大值1；当且仅当x

=2k

π-π时，y

取最小值-1。值域为[-1，1]。

对称性：直线x

π均为其对称轴，点??

0,2π

πk

均为其对称中心。这里k

∈Z

.定理5

正切函数的性质：由图象知奇函数y

=tanx

≠k

π+

2π)在开区间(k

π-2π,k

π+2

π)上为增函数,最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k

π，0），（k

π+2

π，0）均为其对称中心。

定理6

两角和与差的基本关系式：co

s(α±β)=co

αco

αs

β,s

(α±β)=s

αco

β±co

αs

β;

tan

(α±β)=

tan

1()

tan

(tan

βαβα

两角和与差的变式：2222

sin

cos

sin()sin()αββααβαβ-=-=+-

2222

cos

sin

cos

sin

cos()cos()αββααβαβ-=-=+-

三角和的正切公式：tan

tan

tan()1tan

tan

αβγαβγ

αβγαββγγα

++-++=

---

定理7

和差化积与积化和差公式:

α+s

β=2s

???

??+2βαco

???

??-2βα,s

α-s

β=2s

???

??+2βαco

???

??-2βα,co

α+co

β=2co

???

??+2βαco

???

??-2βα,co

α-co

β=-2s

???

??+2βαs

???

??-2βα,s

αco

β=21[s

(α+β)+s

(α-β)],co

αs

β=21

(α+β)-s

(α-β)],co

αco

β=21[co

s(α+β)+co

s(α-β)],s

αs

β=-2

[co

s(α+β)-co

s(α-β)].定理8

二倍角公式：s

2α=2s

αco

α,co

s2α=co

2α-s

2α=2co

2α-1=1-2s

2α,tan

2α=

tan

1(tan

22αα

三倍角公式及变式：3

sin

33sin

4sin

ααα=-，3

cos34cos

3cos

ααα=-

(60)s

34α

ααα-+=，1

cos(60)cos

cos(60)cos34

αααα-+=

定理9

半角公式:

2α=2)cos

1(α-±,co

=2)cos

1(α+±,tan

2α=)cos

1()

cos

1(αα+-±=

.sin)cos

1()

cos

1(sin

αααα-=+

定理10

万能公式:

??+?

??=

2tan

12tan

2sin

2ααα,???

??+???

??-=2tan

12tan

1cos

22ααα,.2tan

12tan

2tan

2???

??-???

??=ααα

定理11

辅助角公式：如果a,b

是实数且a

2+b

2≠0，则取始边在x

轴正半轴，终边经过点(a,b)的一个角为β，则s

β=22b

+,co

β=2

+，对任意的角α.a

α+bco

α=)(22b

(α+β).定理12

正弦定理：在任意△ABC

中有R

2sin

sin

===，其中a,b,c

分别是角A，B，C的对边，R

为△ABC

外接圆半径。

定理13

余弦定理：在任意△ABC

中有a

2=b

2+c

2-2bco

A，其中a,b,c

分别是角A，B，C的对边。

定理14

射影定理：在任意△ABC

中有cos

cos

=+，cos

cos

=+，cos

cos

定理15

欧拉定理：在任意△ABC

中，2

2OI

=-，其中O,I

分别为△ABC的外心和内心。

定理16

面积公式：在任意△ABC

中，外接圆半径为R,内切圆半径为r，半周长2

++=

则211sin

2sin

sin

(sin

sin

sin)224a

abc

=====++

222

1)(c

t)4

==++

定理17

与△ABC

三个内角有关的公式：

（1）sin

sin

4cos

cos

;222

++=

（2）cos

cos

14sin

sin

;222

++=+

（3）tan

tan

++=

（4）tan

tan

1;222222

++=

（5）cot

cot

1;A

++=

（6）sin

2sin

24sin

sin

++=

定理18

图象之间的关系：y

inx的图象经上下平移得y

inx

+k的图象；经左右平移得y

+?)的图象（相位

变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的ω

1，得到y

ω(0>ω)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A

倍，得到y

inx的图象（振幅变换）；y

(ωx

+?)(ω>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A

倍，得到y

inx的图象（振幅变换）；y

(ωx

+?)(ω,?>0)(|A

叫作振幅)的图象向右平移ω

个单位得到y

ωx的图象。

定义4

函数y

inx

???-∈2,2ππx的反函数叫反正弦函数，记作y

inx

∈[-1,1])，函数y

=co

∈[0,π])的反函数叫反余弦函数，记作y

cco

∈[-1,1]).函数y

=tanx

∈2,2ππx的反函数叫反正切函数。记作y

ctanx

∈[-∞,+∞]).函数y

=co

∈[0,π])的反函数称为反余切函数，记作y

ccotx

∈[-∞,+∞]).定理19

三角方程的解集，如果a

∈(-1,1)，方程s

inx

=a的解集是{x

π+(-1)n

ina,n

∈Z

}。

方程co

=a的解集是{x

=2kx

±a

cco

a,k

∈Z

}.如果a

∈R，方程tanx

=a的解集是{x

π+a

ctana,k

∈Z

}。

恒等式：a

ina

cco

2π；a

ctana

ccota

π.定理20

若干有用的不等式：

（1）若???

?∈2,0πx，则s

inx

（2）函数sin

=在(0,)π上为减函数；函数tan

=在(0,)2

上为增函数。

（3）嵌入不等式：设A+B+C=π，则对任意的x,y,z

∈R，有2

2cos

++≥++

等号成立当且仅当yzsinA=zxsinB=xysinC.二、方法与例题

1．结合图象解题。

例1

求方程s

inx

=lg

|的解的个数。

【解】在同一坐标系内画出函数y

inx

与y

=lg

|的图象，由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。

2．三角函数性质的应用。

例2

设x

∈(0,π),试比较co

s(s

inx)与s

(co

x)的大小。

【解】

若??

??∈ππ,2x，则-1所以s

(co

≤0,又02x

π?

∈

?，则因为s

inx

+co

=2s

4π)≤2π，所以co

s(s

inx)>co

s（2

-co

x)=s

(co

x).综上，当x

∈(0,π)时，总有co

s(s

inx)3．最小正周期的确定。

例3

求函数y

(2co

s|x

|)的最小正周期。

【解】

因为co

s(-x)=co

x，所以cos

|=co

x,所以T

=2π是函数的周期；

4．三角最值问题。

例4

已知函数y

inx

2cos

1+，求函数的最大值与最小值。

【解法一】

令s

inx

=???

??≤≤=

+ππ

θθ4304

sin

2cos

1,cos

x,则有y

=).4

sin(2sin

2cos

2π

θθθ+

因为

ππ

4304≤≤，所以ππθπ≤+≤42，所以)4

sin(0π

θ+≤≤1，所以当πθ43=，即x

=2k

π-2π(k

∈Z)时，y

=0，当4πθ=，即x

=2k

π+2

∈Z)时，y

=2.【解法二】

因为y

inx

+)cos

1(sin

2cos

1222

++≤

+=2（因为(a

+b)2≤2(a

2+b

2)），且|s

inx|≤1≤x

2cos

1+，所以0≤s

inx

2cos

1+≤2，所以当x

2cos

1+=s

inx，即x

=2k

π+2

∈Z)时,y

=2，当x

2cos

1+=-s

inx，即x

=2k

π-2

∈Z)时,y

=0。

5．换元法的使用。

例5

求x

cos

sin

1cos

sin

++=的值域。

【解】

设t

inx

+co

=).4sin(2cos

22sin

222π+=???

??+x

因为,1)4

sin(1≤+

≤-π

所以.22≤≤-t

又因为t

=1+2s

inxco

x,所以s

inxco

=212-t，所以2

1121

2-=+-=t

y，所以

.212212-≤≤--y

因为t

≠-1，所以121-≠-t，所以y

≠-1.所以函数值域为.212,11,212??

??--???-+-∈

6．图象变换：y

inx

∈R)与y

(ωx

+?)(A,ω,?>0).例6

已知f

(x)=s

(ωx

+?)(ω>0,0≤?≤π)是R

上的偶函数，其图象关于点???

??0,43πM

对称，且在区间??

???2,0π上是单调函数，求?和ω的值。

【解】

由f

(x)是偶函数，所以f

(-x)=f

(x)，所以s

(ωx+?)=s

(-ωx

+?)，所以co

inx

=0，对任意x

∈R

成立。又0≤?≤π，解得?=2

π，因为f

(x)图象关于??

??0,43πM

对称，所以)43()43(x

++-ππ=0。

取x

=0，得)4

3(πf

=0，所以sin

.024

3=???

??+πωπ

所以243ππωπ+=k

∈Z)，即ω=32(2k

+1)

∈Z).又ω>0，取k

=0时，此时f

(x)=sin

(2x

2π)在[0，2

]上是减函数；

取k

=1时，ω=2，此时f

(x)=sin

(2x

+2π)在[0，2

]上是减函数；

取k

=2时，ω≥310，此时f

(x)=sin

(ωx

+2π)在[0，2

]上不是单调函数，综上，ω=3

或2。

7．三角公式的应用。

例7

已知sin

(α-β)=

135，sin

(α+β)=-

135，且α-β∈???

??ππ,2，α+β∈??

??ππ2,23，求sin

2α,cos

2β的值。

【解】

因为α-β∈??

??ππ,2，所以cos

(α-β)=-.1312)(sin

-=--βα

又因为α+β∈??

??ππ2,23，所以cos

(α+β)=.1312)(sin

12=+-βα

所以sin

2α=sin

[(α+β)+(α-β)]=sin

(α+β)cos

(α-β)+cos

(α+β)sin

(α-β)=169

120,cos

2β=cos

[(α+β)-(α-β)]=cos

(α+β)cos

(α-β)+sin

(α+β)sin

(α-β)=-1.例8

已知△ABC的三个内角A，B，C

成等差数列，且B

cos

2cos

1cos

1-=+，试求2

cos

-的值。

【解】

因为A

=1200-C，所以cos

-=cos

(600-C)，又由于)

120cos(cos

cos)120cos(cos

1)120cos(1cos

1cos

00C

-+-=+-=+

222

1)2120cos()

60cos(2)]2120cos(120[cos

21)60cos(60cos

2000000-=---=-+-C

C，所以232

cos

22cos

242--+-C

=0。解得222cos

=-C

或8232cos

-=-C

A。

又2

cos

->0，所以222cos

=-C

A。

例9

求证：tan

20?+4cos

70?

【解】

tan

20?+4cos

70?=??20cos

20sin

+4sin

20?

??+=+=20cos

40sin

220sin

20cos

20sin

420sin

???+=++=20

cos

40sin

10cos

30sin

220cos

40sin

20sin

.320cos

20cos

60sin

220cos

40sin

80sin

==+=?

例10

证明：7

cos77cos521cos335cos

64cos

+++=

分析：等号左边涉及角7x、5x、3x、x

右边仅涉及角x，可将左边各项逐步转化为x

sin、x

cos的表达式，但相对较繁.观察到右边的次数较高，可尝试降次.证明：因为,cos

33cos

cos

4,cos

3cos

43cos

+=-=所以

从而有x

226cos

9cos

3cos

63cos

cos

16++=

=)2cos

1(2

9)2cos

4(cos

326cos

+++++

cos

20cos

2cos

30cos

4cos

12cos

6cos

2cos

64,2cos

992cos

64cos

66cos

1cos

327

6+++=+++++=

.cos

353cos

215cos

77cos

cos

20cos

153cos

65cos

7cos

+++=++++++=

评述：本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷.另本题也可利用复数求解.令

77)1

(cos

128，1cos

2,sin

cos

+=+=+=αααα从而则，展开即可.例11

已知.20012tan

2sec

:,2001tan

1tan

1=+=-+αααα求证

证明：)4tan()22

sin()22cos(12cos

2sin

12tan

2sec

απαπαπ

αααα+=++-=+=+.2001tan

1tan

1=-+=αα.2001tan

1tan

1=-+=

αα

例12

证明：对任一自然数n

及任意实数m

k，,2,1,0(2

=≠

π为任一整数），有

.2cot

cot

2sin

14sin

12sin

-=+++

思路分析：本题左边为n

项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多

中间项.证明：,2cot

cot

2sin

2cos

cos

sin

2cos

22sin

2cos

cos

22sin

122x

-=-=-=

同理

4cot

2cot

4sin

1-=

……

2cot

2sin

11-=-

评述：①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：

-+++α

ααααααtan

tan

tan)1tan(3tan

2tan

tan

.1cot

1cos

cos

88cos

12cos

1cos

11cos

0cos

1.2cot

2cot

2tan

22tan

2tan

1122=+++-=++++++ααααααn

例13

设ABC

?的内角A

C，所对的边，a

成等比数列，则

sin

cot

cos

sin

cot

cos

++的取值范围是（）

A.(0,)+∞

B.C.D.)+∞

[解]

设，a

c的公比为q，则2,b

==，而sin

cot

cos

sin

cos

sin

cot

cos

sin

cos

sin

++=

sin()sin()sin

ππ+-=

====+-．

因此，只需求q的取值范围．

因，a

成等比数列，最大边只能是a

或c，因此，a

要构成三角形的三边，必需且只需a

+>且

+>．即有不等式组

22,a

?+>??+>??即22

10,10.q

?--解得q

q，因此所求的取值范围是．故选C

例14

△ABC

内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C

1，则C

sin

2cos

111++?+?+?的值为（）

．2

．4

．6

．8

解：如图，连BA

1，则AA

1=2sin(B+)2

2cos(2)222sin(2)2C

-=-+++=)2

cos(2cos

2cos

2cos)22cos(22cos

-=-++-+=-=∴π,sin

sin)2cos(B

+=-+π

同理,sin

sin

2cos

+=,sin

sin

cos

+=),sin

sin

(sin

22cos

2cos

111C

++=++∴原式=.2sin

sin

sin)

sin

(sin

2=++++C

选A.例15

若对所有实数x，均有sin

sin

cos

?+?=，则k

=（）.A、6；

B、5；

C、4；

D、3．

解：记()s

=?+?

-，则由条件，()f

恒为0，取2

=，得

()s

12k

π=-，则k

为奇数，设21k

=-，上式成为sin

12n

ππ?

?-=-

???，因此n

为偶数，令2n

=，则

41k

=-，故选择支中只有3k

=满足题意．故选D

例16

已知()()

2222212f

=++-++-是偶函数，则函数图象与y

轴交点的纵坐标的最大值是

B.2

C.解：由已知条件可知，2

10a

+-=，函数图象与y

轴交点的纵坐标为2

+-。令,s

cos

θθ==，则2222

2sin

cos

sin

cos

2sin

θθθθθθ+=+=--+≤

选

A。

例17

已知,R

αβ∈，直线

1sin

sin

cos

αβαβ+=++与1cos

sin

cos

αβαβ

+=++的交点在直线y

=-上，则cos

sin

ααββ+++=。

解：由已知可知，可设两直线的交点为00(,)x

-，且,in

αα为方程

1sin

cos

ββ

-+=++，的两个根，即为方程2

0sin

(cos)sin

(cos)i

ββββββ-++-=+的两个根。

因此cos

(sin

sin

cos)ααββ+=-+，即cos

sin

ααββ+++=0。

1、＝。

2、已知函数)45

41(2)cos()sin()(≤≤+-=

πx

f，则f

(x)的最小值为_____。

3、已知

3sin)2sin(=+αβα，且),(2,21Z

∈+≠+≠π

πβαπβ。则

ββαtan)tan(+的值是_

__.4、设函数f

(x)=3sin

+2cos

+1。若实数a、b、c

使得af

(x)+bf

?c)=1对任意实数x

恒成立，则a

cos

5、设0)cos

1(2

θθ

+的最大值。

6、求证：.112tan

312tan

18tan

3=++

7、已知a

0=1,a

-(n

∈N

+)，求证：a

2+n

.8、已知.cos

sin)tan(:,1||),sin(sin

-=+>+=ββ

βαβαα求证

9、若A，B，C

为△ABC

三个内角，试求s

inA

inB

inC的最大值。

10、证明：.2

sin

21sin)2sin()sin()2sin()sin(sin

ββαβαβαβαα++

+++++++n

n11、已知α，β为锐角，且x

·（α+β-2π）>0，求证：.2sin

cos

sin

cos

??+?

??x

αββα

12、求证：①16

78cos

66cos

42cos

6cos

②sin1°sin2°sin3°…sin89°=.10641(45?

全国高中数学竞赛专题-三角恒等式与三角不等式

实战演练答案

1、解：根据题意要求，2

605x

+≥+，2

0571x

+≤+≤。于是有2

715x

+=+。因此

cos01==。因此答案为

1。

2、解：实际上)4541(2)4sin(2)(≤≤+-=x

πx

f，设)4541)(4sin(2)(≤≤-=x

ππx

g，则g

(x)≥0，g

(x)在]43,41[上是增函数，在]4

5,43[上是减函数，且y

(x)的图像关于直线43=x

对称，则对任意]43,41[1∈x，存在]45,43[2∈x，使g

2)=g

1)。于是)(2)(2)(2)()(22

212111x

=+≥+=+=，而f

(x)在]45,43[上是减

函数，所以554)4

()(=

≥f

f，即f

(x)在]4

5,41[上的最小值是554。

3、解：

.213131sin)2sin(1sin)2sin(]sin)2[sin(21]

sin)2[sin(21

sin)cos(cos)sin(tan)tan(=-+=-+++=-+++=?+?+=+α

βααβααβααβαβββαββαb

a4、解：令c=π，则对任意的x

∈R，都有f

(x)+f

?c)=2，于是取2

==b

a，c=π，则对任意的x

∈R，af

(x)+bf

?c)=1，由此得1cos

-=a

b。

一般地，由题设可得1)sin(13)(++=?x

f，1)sin(13)(+-+=-c

?，其中20π2

tan

=?，于是af

(x)+bf

?c)=1可化为1)sin(13)sin(13=++-+++b

??，即

0)1()cos(sin

13cos)sin(13)sin(13=-+++-+++b

???，所以0)1()cos(sin

13)sin()cos

(13=-+++-++b

??。

由已知条件，上式对任意x

∈R

恒成立，故必有??

??=-+==+)3(01)2(0

sin)1(0cos

a，若b

=0，则由(1)知a

=0，显然不满足(3)式，故b

≠0。所以，由(2)知sin

=0，故c=2k

π+π或c=2k

π(k

∈Z)。当

c=2k

π时，cos

=1，则(1)、(3)两式矛盾。故c=2k

π+π(k

∈Z)，cos

=?1。由(1)、(3)知21

a，所以1cos

-=a

b。

5、【解】因为020π

θ，所以s

2θ>0,co

θ>0.所以s

2θ（1+co

θ）=2s

2θ·co

=2cos

2cos

2sin

22222θθ

θ???

≤3

22232cos

2cos

2sin

22??

???

?θθθ=.9342716=

当且仅当2s

2θ=co

22θ,即tan

2θ=22,θ=2a

ctan

22时，s

(1+co

θ)取得最大值934。

6、思路分析：等式左边同时出现

12tan

18tan、12tan

18tan

+，联想到公式β

αβ

αβαtan

tan

1tan

tan)tan(-+=+.证明：

12tan

312tan

18tan

3++

112tan

18tan)12tan

18tan

1)(1218tan(312tan

18tan)12tan

18(tan

3=+-+?=++=

112tan

18tan)12tan

18tan

1)(1218tan(312tan

18tan)12tan

18(tan

3=+-+?=++=

18tan(3

18(tan

3=+?=+=

评述：本题方法具有一定的普遍性.仿此可证)43tan

1()2tan

1)(1tan

1（+++22

2)44tan

1(=+

等.7、【证明】

由题设知a

>0，令a

=tana

n,a

∈??

??2,0π，则a

.tan

2tan

sin

cos

1tan

1sec

tan

1tan

1111

12n

==-=-=

-+-------

因为21-n

a，a

∈???

??2,0π，所以a

=121-n

a，所以a

=.210a

又因为a

0=tana

1=1，所以a

0=4π，所以n

??=21·4π。

又因为当0时，tanx

>x，所以.2

2tan

22++>=n

ππ

注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当x

∈??

??2,0π时，有tanx

inx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。

8、分析：条件涉及到角α、βα+，而结论涉及到角βα+，β.故可利用αβαβββαα-+=-+=)()(或消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A

”入手.证法1：),sin(sin

βαα+=A),sin()sin(βαββα+=-+∴A),cos(sin))(cos

sin(),sin(sin)cos(cos)sin(βαβββαβαββαββα+=-++=+-+A

cos

sin)tan(,0)cos(,0cos,1||A

-=+≠+≠-∴>βββαβαβ从而

cos

sin)tan(,0)cos(,0cos,1||A

-=+≠+≠-∴>βββαβαβ从而

cos

sin)tan(,0)cos(,0cos,1||A

-=+≠+≠-∴>βββαβαβ从而

.cos

sin)tan(,0)cos(,0cos,1||A

-=+≠+≠-∴>βββαβαβ从而

证法2：αβαβββαβααββββsin)sin(cos

sin)sin()sin(sin

cos

sin

-++=+-=-A).tan(sin)cos(sin)sin(])sin[()sin(cos

sin)sin(βαββαββαββαβαβββα+=++=-+-++=).tan(sin)cos(sin)sin(])sin[()sin(cos

sin)sin(βαββαβ

βαββαβαβββα+=++=-+-++=).tan(sin)cos(sin)sin(])sin[()sin(cos

sin)sin(βαββαββαββαβαβββα+=++=-+-++=

9、【解】

因为s

inA

inB

=2s

+co

2sin

22B

+≤-,①

inC

3sin

3cos

3sin

+≤-+=C

C,②

又因为3

sin

3cos

43sin

3sin

sin

ππ

≤-

-++

++=+++C

A，③

由①，②，③得s

inA

inB

inC

3π≤4s

π,所以s

inA

inB

inC

≤3s

3π=233,当A

时，（s

inA

inB

inC）m

=233.注：三角函数的有界性、|s

inx

|≤1、|co

|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调

性等是解三角最值的常用手段。

10、证明：)],2

cos()2[cos(212sin

sin

βαβαβ

α--+-=)]sin()2sin()sin([sin

sin，)]2

2cos()212[cos(212sin)sin(,)]2

cos()25[cos(212sin)2sin()],2cos()23[cos(212sin)sin(βαβαβααβ

βαβαββαβαβαββαβ

αβαβ

βαn

+++++++-+-++-=++-+-=++-+-=+

各项相加得类似地

sin)2sin()]2cos()212[cos(21ββαβαβα++=--++-=n

1sin)2sin()]

2cos()212[cos(21ββαβαβα++=--+

+-=n

所以，.2

sin

sin)2sin()sin()sin(sin

βββαβαβαα++=+++++n

评述：①类似地，有.2

sin)2cos(21sin)cos()cos(cos

βαββαβααn

++=

+++++

②利用上述公式可快速证明下列各式：2sin

cos

2sin

cos

3cos

2cos

cos

θθθθθθ+=++++n

.21

97cos

95cos

93cos

9cos

75cos

73cos

9cos

等=+++=++ππ

πππππ.2197cos

95cos

93cos

9cos

175cos

73cos

cos

等=+++=++πππππππ

11、【证明】

若α+β>2π，则x

>0，由α>2π-β>0得co

απ-β)=s

β,所以0又s

α>s

(2π-β)=co

β,所以0β

sin

cos

0,所以βαsin

cos

>1。

又0β

sin

cos

>1，所以2sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

=???

?+?

??x，得证。

注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。

12、证明：①cos6°cos42°cos66°cos78°=cos6°cos54°cos66°

54cos

78cos

42cos

.16154cos

4)183cos(4154cos

478cos

42cos

18cos

=?==

.16154cos

4)183cos(4154cos

478cos

42cos

18cos

=?==

.16

154cos

183cos(4154cos

478cos

42cos

18cos

=?=

②sin1°sin2°sin3°…sin89°

=(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60°

387sin

6sin

3sin)41(29?

60sin

30sin)87sin

33sin

27(sin)66sin

54sin

6)(sin

63sin

57sin

3(sin

3)4

(30=

45)54sin

36)(sin

63sin

27)(sin

72sin

18)(sin

18sin

9(sin

3)41(81sin

18sin

9sin

3)41(4040???=??=

45sin)54sin

36)(sin

63sin

27)(sin

72sin

18)(sin

18sin

9(sin

3)41(81

sin

18sin

9sin

3)41(4040???=??=

又)72cos

1)(36cos

1(41)36sin

18(cos

-+=

165)72cos

36cos

1(4

1)72cos

36cos

72cos

36cos

1(41=+=--+=

165)72cos

36cos

1(4

1)72cos

36cos

72cos

36cos

1(41=+=--+=

165)72cos

36cos

1(4136cos

72cos

36cos

1(41=+=--+=

即

.45

36sin

18cos

所以

.106)4

(89sin

2sin

1sin

45?=

36sin

18cos

3)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

223)41(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin

18cos

223)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

223)41(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin

18cos

223)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

223)41(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin

18cos

223)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

223)41(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin

18cos

223)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

223)4(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin

18cos

223)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

高中数学竞赛篇5

竞赛中常用的重要不等式

【内容综述】

本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用

【要点讲解】

目录 §1 柯西不等式

§2 排序不等式

§3 切比雪夫不等式

★ ★ ★

§1。柯西不等式

定理1 对任意实数组

恒有不等式“积和方不大于方和积”，即

等式当且仅当

本不等式称为柯西不等式。

时成立。

思路一证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。

证明1

∴右-左=

当且仅当思路2 注意到证明2

当

当定值时，等式成立。时不等式显然成立，当

时，不等式左、右皆正，因此可考虑作商比较法。

时等式成立；时，注意到

故

当且仅当

且

（两次放缩等式成立条件要一致）

即同号且常数，亦即

思路3 根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。

证明3 构造函数

由于。

恒非负，故其判别式

即有

等式当且仅当

若

常数时成立。

柯西不等式显然成立。

例1 证明均值不等式链：

调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。

证设

本题即是欲证：

本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法

(1)先证

注意到

此即

由柯西不等式,易知②成立,从而①真欲证①,即需证

②

①

(11)再证

欲证③,只需证 , ③

而④即要证

④

⑤

(注意

由柯西不等式,知⑤成立.(Ⅰ)(Ⅱ)中等式成立的条件都是)

即各正数彼此相等.说明：若再利用熟知的关系(★)

（其中，结合代换，即

当且仅当式链

时，等式成立，说明★的证明参见下节排序不证式或数学归纳法，这样就得到一个更完美的均值不等

其中等式成产条件都是

§２．排序不等式

定理２设有两组实数，．

满足

则

(例序积和)（乱序积和）（须序积和）

其中是实数组时成立。

一个排列，等式当且仅当或

说明本不等式称排序不等式，俗称

例序积和乱序积和须序积和。

证法一．逐步调整法

首先注意到数组

也是有限个数的集合，从而也只有有限个不同值，故其中必有最大值和最小值（极端性原理）。

设注意下面的两个和

注意

S（★）

由小到大的顺序排列，最小的和就对应

只要适当调整，如★所示就可越调，可见和数Ｓ中最大的和，只能是对应数组数组从大到小的依序排列，不符合如此须序的越大（小），其中ｉ＝１，２„„，n。

证法＝设

由则显见的一个k阶子集

等式当且仅当

式

即，时,成立

这就证明了乱序积和≤顺序积和

注意列

这里含义同上，于是有，仿上面证明，得

又证明了例序积和≤乱序积和

综上排序不等式成立.例2 利用排序不等式证明柯西不等式：

其中

证不失一般性，设得

（例序积和≤乱序积和)

相加即得

等式当且仅当；

为常数时成立。，则由排序不等式可

①

又∵算术平均值不大于平方平均值，（★）故

代入①，即得

平方后，即得柯西不等式

说明“算术平均≤平方平均”可用数学归纳法直接证明如下：

证（i）设n=2，则

（ii）设n=k时，显然成立

成立，即有

欲证n=k+1时，有

成立，只需证

考虑到归纳假设，只需证

（★）

而（★）是显然成立的,故n=k+1时命题成立,于是对证法就不存在循环论证之嫌，否则此证法是不宜的。

且n≥2时,命题成立，正是因为存大着不依赖柯西不等式证明“算术平均≤平方平均”的证明方法，例2的例3 利用排序不等式证明正数的算术平均数不小于几何平均数。

证设，易见

构造数列，使

则由★知于是由排序不等式,有

(乱序积和)

，(例序积和)

即

从而

其中等式当且仅当

时成立

说明这里构造了两个数列值不等式的简捷、漂亮解法。

§3契比雪夫不等式

设

(i)若数算术平均数之积：(i=1,2„，n)

和为应用排序不等式创造了条件，得列一个证明均

则顺序积和的算术平均数不小于这两组

（ⅱ）若两组数算术平均数之积：

；，则倒序积和的算术平均数不大于这

证明（i）由排序原理有

„„

迭加可得，，两边除以得

等式当且仅当

类似可证(ⅱ)成立

例4 设

证明不妨令

由切比雪夫不等式，有

；，求证，则

即

从而得证

说明大家较熟悉的美国竞赛题

1979年青海赛题

1978年上海赛题

都是本例的特殊情况或变形。

本周强化练习：

★★★1．设

求的最小值

★★★2．若a、b、c是三角形三边长，s是半周长。求证：Vn∈N，下式成立

解答或提示

1．不妨令

由切比雪夫不等式

嬗变高中作文竞赛篇6

青岛第15中学高一（3）班谭璐历史的长河不断奔流，喧嚣、曲折，淘炼着一个又一个时代的嬗变。今日回首，且由道路的变化窥视时代嬗变的略影。

道路，是一个时代发展的命脉，更是历史岁月行进的遗迹，它随时代而变，随历史而变，嬗变中沉默，沉默中深厚，叙说着往事的回忆……

古时的路，虽颠簸漫长却最为本质纯朴与美丽，它有着最真实的黄土大地、山石小道，更有着最具意境优美路景----回澜小亭、红木彩绘、琉璃飞檐、青苔石阶，一路览遍古色建筑，右有青山翠柏红叶翩飞，左有夕阳临河清风拂柳，微波粼粼中相随花香弥漫，偶有蝴蝶翩飞猿声长啼，无论是驾蓬轩古车、乘轻纱小轿，亦或是御骏马扬鞭，由此路而过，熟不神往、倍感沉醉？古时的路，就如同那个时代，虽王朝更替不断，科技落后封闭、发展漫长曲折，却最具本质与纯朴。那种源自初始、最具传统魅力的古香古色，只会让日渐沉沦于追名逐利、勾心斗角的、行尸走肉般的人们向往和迷恋，在其中寻得一份安然宁静的禅意。

近代的路，波荡纠结布满荆棘，那修平扩宽的道路上记录的不是发展，却铭刻着侵略的足迹，它的平直延长是侵略者的野心膨胀，带来的只是战争与流离，被侵略残害的、无辜的人们血染满路、横尸两旁，在中国的土地上，侵略者竟用他们的残暴与贪欲践踏出了一条又一条、充满中国人屈辱与愤怒的道路，近代的路，就如同那个屈辱的时代，随着侵略的漫延，愤怒点燃着斗争与反抗，这条路，只有让所有中国人的仇恨积聚成团结，扫除侵略成为推进历史跨越的发展的动力。

现代的路，从一开始的闭塞转瞬间发展为了畅通、宽阔与快捷，新成立的中国、贫穷而无力，闭塞的道路阻挡了它迈向发展、迈向世界的步伐。于是，几代人开始了开拓、开始了拼搏、开始了用汗水建造中国未来的艰辛历程，终于在改革开放的一声号令下，中国的路，真正中国的路开始铺陈开来，它如行云流水、如蛟龙出游，连通起中国的每一个角落，油柏公路交错纵横，形成巨大交通网络，像一串中国结，连起了几代人的梦想、企盼与汗水，将中国引向了世界的舞台，让自由、平等、繁荣、富强进驻了中国大地，随畅通、宽阔、快捷的油柏大道传向中国四面八方，现代的路，是改革开放的路、是真正中国的路，它畅通平坦、开阔大气、快捷繁忙，展示着中国科技的发达，经济的繁盛、国际地位的不断攀升。这条路，必将不断绵延，篆刻美好未来。

高中数学竞赛篇7

物理学中的极值问题就是融物理知识与数学知识为一体的一类典型问题.在物理状态发生变化的过程中,某一个物理量的变化函数可能不是单调的,它可能有最大值或最小值,此类题综合性较强,技巧性较高,难度较大的一类专题.

分析极值问题的思路有两种:一种是物理学中,描述某一过程或者某一状态的物理量,在其发展变化中,根据受到的物理规律和条件的约束、限制,其取值往往只能在一定的范围内才符合物理问题的实际,求这些量的值的问题便可能涉及到要求物理量的极值,它采用的方法是物理分析法;另一种把物理问题转化为数学问题,纯粹从数学角度去讨论或求解某一个物理函数的极值,它采用的方法也是点到直线的距离最短、两数的几何平均值小于或等于它们的算术平均值、二次函数求极值的方法、求导数、三角函数、几何作图法、有关圆的知识等数学方法.

一、物理极限分析法

物理极限分析法是把某个物理量推向极端,即极大和极小或极左和极右,并依此做出科学的推理分析,从而给出判断或导出一般结论.极限法在进行某些物理过程的分析时,具有独特作用,恰当应用极限法能提高解题效率,使问题化难为易,化繁为简,思路灵活,判断准确.因此要求解题者,不仅具有严谨的逻辑推理能力,而且具有丰富的想象能力,从而得到事半功倍的效果.例1如图1所示,一质量为m的人,从长为l、质量为M的铁板的一端匀加速跑向另一端,并在另一端骤然停止.铁板和水平面间摩擦因数为μ,人和铁板间摩擦因数为μ',且u'>>μ.这样,人能使铁板朝其跑动方向移动的最大距离L是多少?

解析:人骤然停止奔跑后,其原有动量转化为与铁板一起向前冲的动量,此后,地面对载人铁板的阻力是地面对铁板的摩擦力f,其加速度

由于铁板移动的距离,故v'越大,L越大.v'是人与铁板一起开始地运动的速度,因此人应以不会引起铁板运动的最大加速度奔跑.

人在铁板上奔跑但铁板没有移动时,人若达到最大加速度,则地面与铁板之间的摩擦力达到最大静摩擦μ(M+m)g,根据系统的牛顿第二定律得:

设v、v'分别是人奔跑结束及人和铁板一起运动时的速度

并将a1、a2代入②式解得铁板移动的最大距离

例2一系列相同的电阻R,如图2所示连接,求AB间的等效电阻RAB.

解析:无穷网络,增加或减小网络的格数,其等效电阻不变,所以RAB跟从CD往右看的电阻是相等的.因此,有解得.

例3如图3所示,一个U形导体框架,宽度L=1 m,其所在平面与水平面的夹角α=30°,其电阻可以忽略不计,设匀强磁场为U形框架的平面垂直,磁感应强度B=1 T,质量0.2 kg的导体棒电阻R=0.1Ω,跨放在U形框上,并且能无摩擦地滑动.求:

(1)导体棒ab下滑的最大速度vm;

(2)在最大速度vm时,ab上释放出来的电功率.

解析:导体棒做变加速下滑,当合力为零时速度最大,以后保持匀速运动

(1)棒ab匀速下滑时,有

(2)速度最大时,ab释放的电功率

二、数学求极值法

在求解物理极值过程中要想实际物理过程与数学知识进行灵活的结合,充分发挥数学的作用,往往要进行数学建模.数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程,对物理规律或物理概念的描述提供了最简洁、最准确的表达方式,而且在内容上能表述得深刻、精确、简捷.

利用数学解决实际物理问题的方框图如图4.

我们通过实例剖析,就解物理竞赛题中的极值问题及极限思想的数学技巧作一简要探讨.

1. 利用二次函数极值公式求极值

对于典型的一元二次函数y=ax2+bx+c,(a≠0)

若a>0,则当时,y有极小值,为;

若a<0,则当时,y有极大值,为;

例4如图5所示,在一水平面上有A、B、C三点,AB=L,∠CBA=θ,今有甲质点由A向B以速度v1做匀速运动,同时另一质点乙由B向C以速度v2做匀速运动,试求运动过程中两质点间的最小距离?

解s:建立一平面直角坐标系,令其坐标原点与A点重合,x轴沿AB方向,取两质点分别位于A、B两位置时时刻t=0,则任一时刻t,甲质点的位置坐标为:乙质点的位置坐标为:

以r表示时刻t时甲、乙两质点间的距离,则有:

当甲、乙两者间的距离最小时,r2之值也为最小,由二次函数的极值公式可知:

此过程中甲、乙两质点间的最小距离为:

2. 利用三角函数求极值

如果所求物理量表达式中含有三角函数,可利用三角函数的有界性求极值.若所求物理量表达式可化为“y=Asinαcosα”的形式,可变

为

当α=45°时,y有极值.

对于复杂的三角函数,例如y=asinθ+bcosθ,要求极值时,先需要把不同名的三角函数sinθ和cosθ,变成同名的三角函数,这个工作叫做“化一”.

因为

其中,故y的极大值为.

解析:水流做斜上抛运动,以喷口O为原点建立如图所示的直角坐标,本题的任务就是水流能通过点A(d、h)的最小初速度和发射仰角.

根据平抛运动的规律,水流的运动方程为

把A点坐标(d、h)代入以上两式,消去t,得:

3. 利用几何法求极值

几何法一般用于求极小值问题,其特点是简单、直观,把物体运动的较为复杂的极值问题,转化为简单的几何问题去解,便于学生掌握.我们熟悉的运动合成分解中“小船过河”模型,当小船在静水的速度大于水流速度求小船过河的最短位移时,我们巧用圆的切线求最小值,既简便又使学生直观易懂,就是一个典型的几何求极值的例子.

例6如图7(1)所示,船A从港口P出发去拦截正以速度v0沿直线航行的船B.P与B所在航线的垂直距离为a,A起航时与B船相距为6,b>a.如果略去A船起动时的加速过程,认为它一起航就匀速运动.则A船能拦截到B船的最小速率为多少?

分析与解:分析本题是两个运动物体求它们之间的相对位置的问题.若以地球为参照系,两个物体都运动,且运动方向不一致,它们之间的相对位置随时间变化的关系比较复杂,一时不容易做出正确的判断与解答.但如果把参照系建立在某一运动的物体上,(如B上)由于以谁为参照系,就认为谁不动,此题就简化为一个物体,(如A)在此运动参照系的运动问题了.当然解一个物体的运动问题比解两个物体都运动的问题自然容易多了.

以B为参照系,B不动,在此参照系中A将具有向左的分速度v0,如图7(2)所示.在此参照系中A只要沿着PB方向就能拦截到B.应用“点到直线的距离以垂线为最短”的结论.过O点作PB的垂线,交PB于E点,OE即为A船对地的速度的最小值vAA,在△AOE中

因为vA=v0sinθ而

所以由于灵活运用了几何知识,使较为复杂的问题,变为简单的几何问题了.

以上求极值的方法是解高中物理题的常用数学方法.在使用中,还要注意题目中的条件及“界”的范围.求最大和最小值问题,这类问题往往是物理学公式结合必要的教学知识才得出结论,这就要求学生不仅理解掌握物理概念、规律,还要具备较好的运用数学解决问题的能力.解决极值问题的关键是扎实掌握高中物理的基本概念,基本规律,在分析清楚物理过程后,再灵活运用所学的数学知识.实际上高中物理极值是高考的热点内容之一,涉及的知识广,物理过程多,综合性强,难度大,具有灵活的考查能力,能体现一个学生综合运用知识进行思维分析、解决物理问题的能力.由于学生基础知识不过硬,数学知识不扎实,从而不能灵活地进行知识迁移,加之求解方法上未能找出其一般规律,所以这类问题往往不能得心应手.