统计学的概率（通用10篇）
1简介概率统计与信息科学的发展
1.1关于概率统计学
概率与统计是一门从数量方面研究随机现象规律性的数学学科，概率与统计的概念被广泛运用到各个领域及部门。概率统计学的运用及其广泛，随机事件的研究结果对于当代各类数据分析整合都有着重要的作用。与此同时，概率与统计的学科特点也决定了其研究的难度较大，概率与统计的结论得出往往建立在大量的实验与实践基础上。作为一门应用型数学学科，其广泛性必将为未来科学技术和人们生活水平带来不可估量的影响，而其自身研究条件的局限性，尤其是实验条件的不足，将直接影响到未来自然科学发展，也势必会减慢人类在科技创新之路的发展进程。
1.2关于信息科学
信息科学主要包含信息论、控制论、计算机理论、人工智能理论和系统论，其中，信息论、控制论和系统论在信息科学中占有主要地位，而计算机理论是数学研究中的应用重点。信息科学的兴起直接带领人类走向了信息化时代，对于人类文明的有着不可估量的作用。信息科学发展到今天，其作用已经不仅仅针对于学科本身以及信息行业，在信息化趋于高度发达的今天，将会为人们的生活带来质的飞跃，对于不同的行业领域，都将有信息科学的推动，信息化带来的是未来自动化和智能化的飞速前进。而信息科学自身也在不断地发展完善，数学学科作为自然科学的基础理论学科，对于信息科学的发展也不例外，只有从基础上进行完善和补充，才能帮助信息科学走上更加成熟更加美好的未来之路。
2信息科学与概率统计学的内在联系
概率统计是用数学的方法处理和解释信息并作出判断和决策的科学, 它的研究对象往往是随机的, 问题的结果是不确定的, 但解决问题的方法却离不开确定性的数学, 它的内容虽然在本质上是模式的数学, 但却与日常生活、自然知识、社会生产实践直接联系。因此, 在利用概率统计知识解题时, 教师应尽可能地引导学生联系日常生活、自然知识、社会实践中的实际情况。如, 2004年重庆卷文史类概率题: (18) 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。 (Ⅰ) 若三人各向目标射击一次, 求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率; (Ⅱ) 若甲单独向目标射击三次, 求他恰好命中两次的概率。在该题中, 应让学生切实理解{至少一人命中目标}、{没有人命中目标}、{恰有两人命中目标}、{射击三次恰有两次命中目标}的实际意义, 这样学生才能理解相互独立事件同时发生、互斥事件有一个发生和n次独立重复事件恰好发生k次时所选择的概率模型的合理性。
二、从思维方式方面提高学生的数学随机意识
概率统计中包含了大量的逻辑推理, 如描述样本数据趋势的平均数、中位数、众数, 描述样本数据离散程度的方差、标准差等, 以及根据具体问题选择适当的统计量表示数据的不同特征的过程中, 都包含了许多的逻辑推理。在概率中特定事件的发生虽然不能预测, 但结果的规律却可以通过观察、归纳、类比、联想、猜想等进行预测, 估算概率时几乎处处运用合情推理。因此, 在概率统计教学过程中, 教师应有意识地培养学生合情推理的能力, 注重逻辑推理和合情推理的共同参与、综合应用, 使学生的思维结构更合理, 更完善。
如, 一个家庭中有若干小孩, 假定生男孩和生女孩的概率是等可能的, 令A={一个家庭中有男孩, 又有女孩}, B={一个家庭中至多有一个女孩}。 (Ⅰ) 假设家庭中有两个小孩, 问事件A与事件B是否独立? (Ⅱ) 假设家中有三个小孩, 问事件A与事件B是否独立?解答该题时, 应让学生首先充分理解事件A与事件B独立的充要条件是P (A·B) =P (A) ·P (B) 及一个家庭中孩子是有大小顺序的, 再让学生根据孩子的个数列出基本事件总体。
(Ⅰ) 基本事件总体为{ (男, 男) , (男, 女) , (女, 男) , (女, 女) }, 此时A={ (男, 女) , (女, 男) }, 故P (A) =, B={ (男, 男) , (男, 女) , (女, 男) }, 故P (B) =, A·B={ (男, 女) , (女, 男) }, 故P (A·B) =, P (A·B) ≠P (A) ·P (B) , 即事件A和事件B不独立。
(Ⅱ) 基本事件总体为{ (男, 男, 男) , (男, 男, 女) , (男, 女, 男) , (女, 男, 男) , (男, 女, 女) , (女, 男, 女) , (女, 女, 男) , (女, 女, 女) }, 此时A={ (男, 男, 女) , (男, 女, 男) , (女, 男, 男) , (男, 女, 女) , (女, 男, 女) , (女, 女, 男) }, 此时P (A) =, B={ (男, 男, 男) , (男, 男, 女) , (男, 女, 男) , (女, 男, 男) }, 故P (B) =, A·B={ (男, 男, 女) , (男, 女, 男) , (女, 男, 男) }, 故P (A·B) =, P (A·B) =P (A) ·P (B) , 即事件A与事件B独立。
三、从学习方式方面强化学生的数学随机意识
1. 袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个：①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球. 在上述事件中，是对立事件的为（ ）
A. ① B. ②
C. ③ D. ④
2. 在正方体的顶点中任选3个顶点连成的所有三角形中，所得的三角形是直角三角形但非等腰直角三角形的概率是（ ）
A.[17] B.[27]
C.[37] D.[47]
3. 某射手射击一次，击中10环、9环、8环的概率分别是0.24，0.28，0.19，则这名射手在一次射击中，击中的环数不够9环的概率是（ ）
A. 0.29 B. 0.71
C. 0.52 D. 0.48
4. 点[P]在边长为1的正方形[ABCD]内运动，则动点[P]到定点[A]的距离[|PA|<1]的概率为（ ）
A. [14] B. [12]
C. [π4] D. [π]
5. 一个袋中装有大小相同的3个红球，1个白球，从中随机取出2个球，则取出的两个球不同色的概率是（ ）
A.[23] B.[13]
C.[12] D.[14]
6. 有5条长度分别为1，3，5，7，9的线段，从中任意取出3条， 所取3条线段可构成三角形的概率是（ ）
A. [35] B. [310]
C. [25] D. [710]
7. 盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球. 那么取球次数恰为3次的概率是（ ）
A. [18125] B. [36125]
C. [44125] D. [81125]
8. 某学习小组有[3]名男生和[2]名女生，从中任取[2]人去参加演讲比赛，事件[A=]“至少一名男生”，[B=]“恰有一名女生”，[C=]“全是女生”，[D=]“不全是男生”，那么下列运算结果不正确的是（ ）
A. [A?B=B] B. [B?C=D]
C. [A?D=B] D. [A?D=C]
9. 在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从到会教师中随机挑选一人表演节目. 如果每位教师被选到的概率相等，而且选到男教师的概率为[920]，那么参加这次联欢会的教师共有（ ）
A. 360人 B. 240人
C. 144人 D. 120人
10. 在区间[0，1]上任取三个数[a]，[b]，[c]，若点[M]在空间直角坐标系[Oxyz]中的坐标为[（a，b，c）]，则[|OM|<1]的概率是（ ）
A. [π24] B. [π12]
C. [3π32] D. [π6]
二、填空题（每小题4分，共16分）
11. 一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字. 若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是 .
12. 已知一颗粒子等可能地落入如右图所示的四边形[ABCD]内的任意位置，如果通过大量的实验发现粒子落入[△BCD]内的频率稳定在[25]附近，那么点[A]和点[C]到直线[BD]的距离之比约为 .
13. 在面积为1的正方形[ABCD]内部随机取一点[P]，则[△PAB]的面积大于等于[14]的概率是 .
14. 过三棱柱任意两个顶点作直线，在所有的这些直线中任取其中两条，则它们成为异面直线的概率是 .
三、解答题（共4小题，44分）
15. （10分）一射击测试每人射击三次，甲每击中目标一次记10分，没有击中记分0分，每次击中目标的概率[23]. 乙每击中目标一次记20分，没有击中记0分，每次击中目标的概率为[13].
（1）求甲得20分的概率；
（2）求甲、乙两人得分相同的概率.
16. （10分）某班拟选派4人担任志愿者，经过初选确定5男4女共9名同学成为候选人，每位候选人当选志愿者的机会均等.
（1）求女生1人，男生3人当选时的概率？
（2）设至少有[n]名男同学当选的概率为[Pn]，当[Pn≥34]时，[n]的最小值？
17. （12分）已知实数[a，b∈{-2，-1，1}].
（1）求直线[y=ax+b]不经过第一象限的概率；
（2）求直线[y=ax+b]与圆[x2+y2=1]有公共点的概率.
18. （12分）设关于[x]的一元二次方程[x2+2ax+b2][=0].
（1）若[a]是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，[b]是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
（2）若[a]是从区间[0，3]上任取的一个数，[b]是从区间[0，2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
一、统计
统计知识在生产和生活中，特别是进行科学研究时，应用非常广泛。小学阶段，学习内容是统计学中最初步的知识，它包括单式、复式统计表和条形、折线、扇形统计图的用途、结构及绘制方法等问题。在这里我谈谈自己对在《统计与概率》的认识，以求抛砖引玉。复习内容：
1、数据的收集 整理 统计图表
2、对图表进行分析，解决问题。
3、条形(单式，复式)，折线(单式，复式)，扇形统计图的特点及选择方法。
4、统计图的选用与制作。复习目标:
1、通过复习已学过的统计的初步知识，加深学生对统计的意义及其应用的理解。
2、培养学生会看、会分析、会制作简单统计图表的能力和综合运用统计知识解决实际问题的能力。
3、通过复习使学生进一步感受、了解数学在生活中的实际应用，以提高学生学数学、用数学的意识。复习重难点： 重点：
1、体会统计在实际生活中的应用，发展统计观念。
2、用自己的语言描各种统计图的特点。难点：
用自己的语言描述各种统计图的特点。复习要点：
1、统计表：把统计数据填写在一定的表格内，用来反映情况 说明问题。
种类：单式统计表、复式统计表、百分数统计表。
2、统计图：用点、线、面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形。
分类:（1）条形统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画 成长短不同的直条，然后把这些直条按照一定的顺序排列起来。优点：很容易看出来各种数量的多少。
注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区分开，并在制图日期下面注明图列。
（2）折线统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次联系起来。
优点：不但可以表示数量的多少而且能够清楚表示出数量增减变化的情况。
注意：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间，不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。
（3）扇形统计图：用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。优点：很清楚的表示出各部分同总数之间的关系。例
一、填空、选择、判断题各一例。
1、常用的统计图有 条形 统计图，折线 统计图和 扇形 统计图。
2、为了清楚地表示出数量的多少，常用（A）统计图，为了表示出数量的增减变化情况，用（B）统计图比较合适，而（C）统计图却能清楚地表示出部分量与总体的关系。A.条形统计图 B.折线统计图 C.扇形统计图
3、用统计表表示的数量不能用统计图表示。（）例
二、下面是淘淘一天的活动情况统计图。（1）算出淘淘各种活动占用的时间。
（2）你对淘淘关于时间的安排有何看法？你能提出什么建议？
二、概率
表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。它是随机事件出现的可能性的量度，同时也是概率论最基本的概念之一。人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实列。但如果意见事情发生的概率是1/n，不是指n次事件里必有一次发生该事件，而是指此事件发生的概率接近于1/n这个数值。复习内容：
可能性的大小。（语言描述，分数表示，预测），根据要求设计方案。复习目标:
1、通过复习使学生能进一步熟练地判断简单事件发生的可能性。
2、通过复习使学生能熟练地用分数表示事件发生的概率，并且会用概率的思维去观察、分析和解释生活中的现象。复习重难点： 重点：
体验不确定现象，复习如何计算事件发生的可能性。难点：
体验不确定现象，复习如何计算事件发生的可能性。复习要点：
1、可能性分为能确定的和不能确定的两种。事件发生的可能的结果数
2、可能性大小的求法:可能性大小= 所有可能的结果总数，即可能性就是用一定能出现的次数与可能出现所有次数的最简整数比。例
一、填空、选择、判断题各一例。
1、箱子里装有大小相同的4个白球，1个黄球，任意摸出1个，摸到黄球的可能性是 1/5。
2、某地的天气预报中说：“明天的降水概率中80%。”根据这个预报，下面说法正确的是（）
A 明天一定下雨 B 明天不可能下雨 C 明天下雨的可能性很大
3、掷硬币10次，恰好出现5次正面朝上，5次反面朝上。（）例
二、试一试。
桌子上摆着9张卡片，分别写着2-10这几个数，如果摸到单数小明赢，如果摸到双数红的赢。
① 这个游戏公平吗？ ②小明一定会输吗？
③怎样增加一张或减少一张卡片使游戏公平
三、近年考试题的考点及分值情况： 2009年: 这部分知识在总分12分。
1、填空题1道，可能性，分值2分；
2、选择题1道，统计图的概念，分值1分；
3、解决问题1道，统计的综合应用，分值9分。2010年：这部分知识在总分3分。
1、填空题1道，可能性，分值2分；
2、选择题1道，可能性，分值1分；
2011年：这部分知识在总分9分。
1、判断题2道，统计图的概念和可能性，分值2分；
2、选择题1道，可能性，分值1分；
3、填空题1道，可能性，分值1分；
4、解决问题1道，对复式统计表进行分析，解决问题分值5分。
四、复习建议：
小学数学“统计与概率”领域包含四个方面的基本内容:收集、整理和描述数据,包括整理调查数据、绘制统计图表等;处理数据;从数据中提取信息并进行简单的判断与预测;简单随机事件及其发生的概率。复习的一般任务大体上包括以下几个方面:查漏补缺,展开认知矫正;系统梳理,优化认知结构;综合训练,提高学习能力;激发探究,拓展学习空间。因而,本领域的复习需要帮助学生进一步澄清概念、掌握方法,以提高学生分析数据、提取信息、进行预测和决策的能力,并通过学习进一步深化统计活动体验,为后续的中学数学学习奠定扎实的基础。以上都是我个人的观点，还有汗多不全面和不妥之处，望各位老师加以指正，谢谢大家！
五、今年考点及分值预测： 这部分知识在总分9分左右。
1、填空题1道，可能性，分值2分；
2、选择题1道，统计图，分值1分；
3、解决问题1道，统计的综合应用，分值6分。
六、附检测题一套： 小学六年级数学总复习资料 〖统计与概率〗检测题 班级： 姓名： 评价等级 优 良 达标 待达标 在相应等级上划“√”
一、填空题：
1、抛出一枚硬币，落下后有（）种结果。出现反而的可能性有（）
2、李明和高飞下跳棋，他们用掷骰子的方式决定谁走几步，骰子各面分别写着1、2、3、4、5、6，抛出每个数字的可能性是（）。
3、一个装满白球的盒子里，（）摸出红球，（）摸出白球。
4、商业大厦电梯的载重限额是1250千克，那么电梯最多可以运送（）个75千克的人而不超载。
5、医生想用统计图记录病人24小时的体温变化情况，他选用（）统计图比较合适。
6、要表示本校三至六年级各年级的人数，用（）统计图表示比较合适。
7、根据统计图填空
东风机械厂2001年全年产值统计图
⑴平均每个季度产值（）万元。⑵全年平均每月产值约（）万元。⑶第四季度比第一季度增产（）%。⑷第三季度比第四季度少产（）%。⑸下半年的产值占全年产值的（）%。
8、完成统计表。
东新村总收入和村办企业收入统计表 2004年3月制 项目 金额（元）
全村总收入 其中村办企业 收入 村办企业收入占总收入的百分数 2001年 750万 420万 2002年 875万 530万 2003年 1800万 1439万 合计
9、小明从家去相距4千米远的图书馆看书和借书。从所给的折线图中可以看出小明在图书馆呆了（）分钟，去时平均速度是每小时（）千米，返回时平均速度是每小时（）千米。
10、下面是2006年4月某地三个药店中西药销售情况统计图，请看图填空。（1）这是（）统计图。
（2）中药销售额最多的是（），最少的是（）。（3）西药销售额最多的是（），最少的是（）。（4）康复药店中西药销售总额是（）万元。
（5）东方药店西药销售额比风华药店销售额多（）%。
11、下面是程苏六年级第一学期四次数学平时成绩和数学期末测试成绩统计图。
⑴程苏四次平时成绩的平均分是（）分。
⑵数学学期成绩是这样算的：平时成绩的平均分×60%＋期末测验成绩×40%。程苏六年级第一学期的数学学期成绩是（）分。
二、判断题。正确的在（）打“√”，错误的在（）打“×”。
1、体检时学生的体重记录是一份原始数据单。（）
2、为了清楚地表示各个课外兴趣小组人数的多少，选用扇形统计图比较合适。（）
3、掷硬币10次，恰好出现5次正面朝上，5次反面朝上。（）
4、画线条统计图时，应该注意直条的宽窄必须一样。（）
5、小明的身高是1.4米，在平均水深1.2米的游泳池中游泳没有危险。（）
三、选择题。新-课-标-第-一-网
1、省疾控中心为做好甲型H1N1流感防控工作，每天都进行疫情统计。既反映出每天患病人数，又反映出疫情变化的情况和趋势，他们应选用（）统计图。A 条形 B 折线 C 扇形
2、下面的信息资料中，适合用扇形统计图表示的是（）A 学校各年纪的人数 B 6月份气温变化情况 C 学校各年纪学生人数占学生总数的情况
3、六
（一）班同学到社区参加公益活动，社区主任问班长出勤的情况，班长说：“我们班共有50人，没有全部到齐，但大部分来了。”出勤率可能是（）。A 50% B 48% C 96%
4、某地的天气预报中说：“明天的降水概率中80%。”根据这个预报，下面说法正确的是（）
A 明天一定下雨 B 明天不可能下雨 C 明天下雨的可能性很大
四、解决问题。
1、由2、3、5、6这四个数字组成任意三位数，这个三位数末尾是5的可能性是多少？
2、下面记录的是某班一次数学测验的成绩。将整理数据的结果填写在表格里。甲组：98 76 80 94 88 94 75 96 87 95 98 58 100 100 95 53 92 乙组：78 92 97 82 85 89 96 79 96 95 92 86 80 94 89 84 76 分数 100 90~99 80~89 70~79 60~69 60以下 甲组 乙组
你认为本次测验甲组和乙组哪个情况要好一些？写出你的理由？
3、李军、张明、陆强、王宏四人参加100米跑和推铅球两项体育测验，成绩在下面表中。
李军 张明 陆强 王宏
100米跑 17秒 15秒 16秒 19秒 推铅球 6米 4米 9米 7米
根据他们两项测试的成绩排一排名次，把各的姓名填入下表
第一名 第二名 第三名 第四名 100米跑 推铅球
综合两项测试的名次，谁的成绩最好？你是怎样想的？
4、下表是“十一”黄金周期间，我国龙丰景区每天游客人数变化情况。（数字前的“十”和“一”号分别表示当天比前一天多和少的人数）
日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数
变化 +160 +80 +40 —40 —80 +20 —30
（1）若9月30日的游客人数为A，请用含有字母A的式子表示10月2日的游客人数。
（2）请判断哪一天人数最多？哪一天人数最少？它们相差多少人？（3）假定9月30日游客人数为120人，请在上表第三行填出每天的人数。
5、下表是某菜场1—12月份每500克西红柿售价情况统计表： 月 份 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二
售 价（元）2.00 3.50 3.00 2.00 1.50 1.00 1.50 1.00 1.00 2.00 2.50 3.00 请根据上表中的数据，制成折线统计图，并回答问题：
某菜场1—12月份西红柿售价情况统计图 2005年6月制 单位：元
(Ⅰ)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人?
(Ⅱ)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组(1)在乙班样本中的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的
概率;
附：
,其中n=a+b+c+d.)
已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的`概率为. (1)请将上面的列联表补充完整;
(2)是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由;
参考公式：35.
其中
一纸箱中放有除颜色外，其余完全相同的黑球和白球，其中黑球2个，白球3个. (1)从中同时摸出两个球，求两球颜色恰好相同的概率;
(2)从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率. 详细替换删除上移 36.
佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有是:分别是:
、
、、
、、
、、
、、
名同学,现测得排球队、、
、、
、、
、、
人的身高(单位:,篮球队、
.
)分别
)
人的身高(单位:
(Ⅰ)请把两队身高数据记录在如图所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算); (Ⅱ)现从两队所有身高超过的概率是多少?
教材选择了两个事例，一是某旅游景点“十一”长假期间的游客情况，用条形统计图和折线统计图表示出同一组数据的不同特征;二是某城市——的人口数量统计结果，要求用折线统计图表示出数据的基础上，对该城市的人口变化情况进行分析，并预测5年后该城市的人口数量。
本节课，在整个的教学过程中没有出现什么困难，学生的学习状态不错，教学效果也不错。在完成书上教学内容的基础上，我又增加了扇形统计图的教学，把三种统计图放在一起进行了比较，使学生能够更清楚地了解到三种统计图的特征，从而会有选择地应用。
按新的课程标准要求, 小学阶段的儿童学习统计知识, 从数学活动看, 主要应经历如下一些学习:对数据的统计活动有初步的体验;解读和制作简单的统计图表;在活动中获得对一些简单的统计量 (如平均数、众数、中数等) 的意义理解等.在概率知识方面, 主要应经历如下一些学习:对不确定现象有初步的体验;知道事件发生的可能性有大小, 并能体验事件发生的等可能性和游戏规则的公平性;能在活动中计算一些简单事件发生的可能性等.
在“统计与概率”的教学中, 帮助学生逐渐建立起数据分析的观念是重要目标.为了达到这个目标, 结合本人不太成熟的教学实践, 在积极听取了诸多名师、专家的讲课, 总结、吸取教学经验, 对此单元提出教学思考.
一、选择有效生动的生活素材, 培养统计意识
数学源于生活, 现实生活是孕育数学的沃土, “统计与概率”的教学内容同样也源于人们的现实生活世界, 因此我们在教学中应致力捕捉生活背景与学习材料之间的内在联系, 帮助学生借助生活中的具体情境, 用生活中的经验和实例学习数学, 理解数学, 感受数学.
当然, 教师在选择素材时, 不仅要注意素材和知识之间的紧密联系, 也要注意所选素材的趣味性、真实性、合理性.这样选择出来的素材才能使学生体会统计与概率的必要性, 凸显统计的价值.
例如, 在教学五上的“复式统计表”时, 我是这样导入的.
(课前谈话) 师:我们学校开设了少年宫兴趣小组, 同学们都参加了自己喜欢的兴趣班, 使自己的学习生活变得更加丰富多彩.谁愿意来说说你参加了什么兴趣小组?生1:我参加的是象棋.生2:我是转魔方.生3:我是打排球.生4:我是画画……
师:刚才同学们介绍了参加兴趣小组活动的情况.今天老师也想带大家去参观青云小学的兴趣小组活动情况.出示场景图.
师:青云小学五年级现在也有4个兴趣小组在活动.你知道哪些信息?
师:在数学上我们可以用统计表来整理这些信息, 把书翻到105页, 一起来完成这四张统计表.
由于第一次给学生上课, 彼此很不熟悉, 以学生参加何兴趣小组开展师生的第一次对话, 不仅迅速拉近了师生间的距离, 也暗藏了所要教学的内容.从学生身边的活动切入, 贴合实际, 学生自然而然会产生一种亲切感.
二、重视学生多角度获取信息, 培养数据分析能力
上海的曹培英老师曾形象地把完整的统计过程比喻为一条鱼, 过去对“鱼头” (数据的采集) 、“鱼尾” (图表的解读) 重视不够, 把主要精力放在“烧中段” (图表的制作) 上, 而现在主张“烧全鱼”.
从统计表 (图) 中你可以获得那些信息?这是我们在教学中经常会问学生的一个问题, 那么到底要让学生回答到哪种程度呢?我比较困惑.在听课时这个困惑更会加深, 我们教师可能往往都不知道要让学生回答什么, 以至于问题随便就过了, 学生也没回答出个什么所以然来.那么, 这种问题是不是就索性不问了?关键是我们教师心中应该有引导学生读图表的目标.
学生的读图可以从三个层次进行引导.
第一层次, 读从统计图表中能直接看到的信息.
第二层次, 读经过简单分析后能得到的信息.包括数据间的比较 (多少、倍数、百分比、插值等) , 还包括数据的整体变化 (极端数值、平均数、变化情况等) ,
第三层次:超越数据本身的读取, 包括通过数据来进行推断预测, 能否解决统计的问题?为什么会呈现这种情况?
现在一方面是信息时代, 计算机的普及使图表制作更趋于“自动化”, 另一方面生活中充斥各种统计图表, 是名副其实的“读图时代”, 所以《数学课程标准》已降低了对图表制作的要求, 只要求以填表、涂格子、画条形图、描点、连线等形式, 帮助学生积累数据, 感知数量的变化, 更重视图表的解读.因此, 吃好“鱼头”、“鱼尾”, 适度兼顾“中段”, 在统计学习领域显得更为适宜.
三、概念为本, 增强数据分析方法
一直以来, 我们教师总认为平均数的意义很浅显, 就是“移多补少”;平均数的计算也很简单, “总数÷总份数”, 于是我们的教学落脚点就定在数量关系上, 一味在“总数”与“总份数”的变化及两者的“相对应”上动脑筋, 人为的设置审题陷阱和设计各种变式.这就造就学生解决平均数应用题的水平很高, 但是当遇到真正的数据需要分析时, 却很少想到用平均数.传统的教学侧重于从算法的水平理解平均数, 这容易将平均数的学习演变为一种简单的技能学习, 忽略平均数的统计学意义.因此, 新课程标准特别强调从统计学的角度来理解平均数.
“平均数”一课不妨可以这样上.
套圈比赛
师:小强第一次套中了5个, 第二次套中了5个, 第三次还是套中了5个.他的发挥比较稳定, 你们认为用哪个数字表示他的一分钟套圈次数?生:5个.
师:小林三次套中个数分别是3个, 4个, 5个.
三次成绩一样吗?用哪个数表示他的一分钟套圈的一般成绩呢?说说你的想法.
师:为什么用4表示?引出移多补少. (课件演示)
师:那如果他三次成绩分别是3个, 7个, 2个, 该用几来表示他的套圈水平呢?同桌讨论.
生:我觉得可以用4来代表他1分钟的套圈水平.他第二次套中7个, 可以移1个给第一次, 再移2个给第三次, 这样每一次看起来好像都套中了4个.所以用4来代表比较合适. (结合学生交流, 师再次呈现移多补少过程)
师:还有别的方法吗?
生:我们先把三次套中的个数相加, 等于12, 再用12除以3等于4个.所以, 我们也觉得用4来表示小刚1分钟套圈的水平比较合适.
师:像这样先把每次套中的个数合起来, 然后再平均分给这三次 (板书:合并、平分) , 能使每一次看起来一样多吗?
生:能!都是4个.
师:能不能代表1分钟套圈的一般水平?
生:能!
师:其实, 无论是刚才的移多补少, 还是这回的先合并再平均分, 目的只有一个, 那就是———
生:使原来几个不相同的数变得同样多.
师:数学上, 我们把通过移多补少后得到的同样多的这个数, 就叫做原来这几个数的平均数. (板书课题:平均数) , 在这里, 4是3、7、2这三个数的平均数.
师:不过, 这里的平均数4能代表他第一次套中的个数吗?
生:不能!
师:能代表第二次、第三次套中的个数吗?
生:也不能!
师:奇怪, 这里的平均数4既不能代表小刚第一次套中的个数, 也不能代表他第二次、第三次套中的个数, 那它究竟代表的是哪一次的个数呢?
生:这里的4代表的是小刚三次套圈的平均水平.
生:是小刚1分钟套圈的一般水平. (师板书:一般水平) 首先要让学生理解平均数是怎么来的, 有什么作用.在求平均数的方法中不仅仅是让学生会用笔算, 还利用了统计图, 引入了“移多补少”, 画出平均数所在的那条线段, 让学生理解平均数在整个数群中的地位:在最大的数和最小的数之间, 更加形象直观, 让比较抽象的知识在学生的脑海中留下了深刻的印象.不管是平均数, 还是以后的中位数、众数, 让学生理解应有三个角度:算法理解、概念理解、统计理解.我认为, 对于统计教学, 概念理解和统计理解更为重要.
关键词：概率论与数理统计；课堂教学；举例生活化；统计软件；分阶段教学课程考核
伴随着经济的不断发展，概率论与数理统计逐渐进入人们的生活，在社会应用领域发展也愈加广泛。怎样切实提高概率论与数理统计的教学质量已经迫在眉睫。
一、系统设置教学方案，优化课堂教学
作为教师一定都明白“兴趣是最好的老师”这句话的深刻含义。兴趣可以引导学生走向正确的学习之路。在教学过程中，教师可以适当地向学生讲述有关内容的历史资料，尤其是历史上著名概率学家的生平事迹，比如，泊松、伯努利等，他们对于概率论与数理统计的发展所做出的贡献可谓是不可磨灭的。但教学中只有相关史料的引导是远远不够的，每章节开头的实例介绍往往最能使学生的兴趣变得浓郁。例如，在教学“正态分布”时，首先可以提出这样的一个有趣的问题：假如你现在有个小假期打算出游，要从家里出发前往北区的飞机场搭乘飞机，有两条线路可供选择。第一条路线是穿过市区，路程较短，但交通拥挤，第二条路线是沿环城公路走，路程较长，但意外阻塞少，它们均服从相同的分布，时间分布已具体给出，现在来计划在给定时间里自己究竟选择哪条路线才能更加节约时间呢？教师可以带领着学生一起展开讨论，在讨论的同时引入正态分布的概念和性质，以帮助大家做出正确的抉择。这必然会使学生燃起掌握新知识的渴望，唤醒学生学习的积极性，也使教学工作的开展取得良好的效果。
在传授知识的过程中，光有理论知识的论述显然是不够的，也得时不时地穿插进贴近生活的例子，也就是理论联系实际，这样学生才不会觉得书本知识与生活严重脱节。教师布置作业时，除了必要的定理证明以及例如“中彩票”“掷骰子游戏”“生日重疊”的习题外，开放灵活的题目也可适当布置，以增加学生的实践能力。例如，在一次考试后，让学生搜集成绩的相关数据，分析考试成绩是否服从某些分布以及得出全班的优秀率和合格率，亦或利用课余时间调查食堂排队买饭等候时间的长度，以此作为依据向食堂提出可行性意见来使打饭更为快捷。这样，学生主动采用数学方法解决实际生活中的问题，既巩固了从书本上学来的知识，又提高了他们学习知识并将此应用于活动的热情，可谓一举数得。
二、合理摸索教学课程的“分阶段”教学
由于不同专业对掌握课程知识的需求不同，若按照一样的教学模式来进行显然是不科学合理的。但考虑到学生基础参差不齐的问题，在制定教学时间上就要做到不尽相同。基础较好、能力较强的学生可在相对短的时间内修完课程，剩下的时间则可用于自己在这方面知识的延拓。而相对基础薄弱的学生则可在相对宽松的时间内完成课程的学习，加强基础的巩固在这一环节的凸显。这样做的好处，在完成基本教学要求的同时，更从实际出发帮助学生达到最大幅度的提高，从而优化整体的教学质量。
分阶段教学保证了不同基础的学生在概率论与数理统计方面学习的积极性，提高的远远不止是学生的基础知识，同时它也培养了学生良好的上课习惯，认真听课、做笔记、及时完成学习任务。这样互利共赢的教学模式使得师生彼此都受益无穷，提升了整体的教学氛围。
三、增加随堂练习，完善课程考核制度
过去，课程考核往往集中在期末，很多学生普遍都是在临近考试前才开始“预习”，又或者平时虽有好好看书却因没有真正理解概念而不会做题，因为种种原因导致了期末考试成绩不理想的状况。结合这样的实际状况，教师定期开展随堂练习，一方面是为了检测学生理解掌握知识的程度，另一方面也是结合学生所完成的情况调整自己的教学计划以及期末考核的难易程度。随堂练习实际上也是对之前所学内容的一个总结概括，对学生而言，若能真正理解掌握练习中所包含的知识要点，基本可以说没有大问题了，对教师而言，练习题更好地帮助学生理解知识点，正好可以带领学生回顾一遍所学的概念，让他们加强印象。
在以往的教学考核中，考试结束以后，学生就不再关注自己的试卷内容了。这往往会使学生与本已掌握的知识一点点疏离。因此，考试完成后及时的分析和总结是必不可少的。学生在教师的帮助下对自己失分的区域进行一个详尽而又系统的分析，争取在未来使用中不再有类似的错误。而教师通过成绩分布以及试卷题目的失分情况大致判断出班级的总体情况以及水平层次，为自己以后的教学过程积累更多的经验，便于调整以后的课堂教学。教师和学生相互分析总结，使得教学质量不断迈向新的台阶。
参考文献：
[1]傅丽芳，邓华玲.高等院校概率论数理统计课程分级教学的实践与思考[J].大学数学，2008（01）.
[2]肖鹏，杜燕飞.概率论与数理统计教学改革的几点思考[J].数学教学研究，2009（01）.
（作者单位 安徽大学数学科学学院）
摘要：针对概率统计课程的特点，为克服传统数学教学模式局限于理论教学的弊端而倡导实践教学，在教学中开设数学实验环节，既能保证充分调动学生的学习积极性，也能一定程度上提升学生的实际解决问题的能力。
关键词：概率统计；实验教学；思考
实体的数学实验课程中，不仅要求学生能基本内化教师讲授的数学知识，也要求学生强化对于相应学习问题的综合实践能力。教师在课程中设置相应的数学实验，就是为了更好地促进学生积极参与课堂，并且强化学生配合教师完成基本的教学行为。随着信息技术的发展，社会对于人才的要求也在逐步提升，教师要通过新颖的教学模式提升学生认识问题以及实际解决问题的能力。在数学实验中，教师能渗透更多的学习思想和新型的解题思维，保证学生完成基本的知识体系建构，形成完整的数学思维导图，并且在实际的数学实验操作过程中，教师也可以进行科学化的科目综合，有效助推学生完成创造性的学习建构。近几年来，大部分高校的概率论与数理统计课程目前依然采用的是传统的黑板讲授或加电子讲稿的形式，无法满足新形势下高校人才培养的需要，有必要对概率统计课程的教学开设实验课。
一、概率统计课程的重要性
随着国民经济和科学技术的发展，概率统计已成为应用数学中重要、最活跃的一门重要公共基础课，它的概念和方法在许多学科和各行各业中都有广泛而且重要的应用，无论对自然科学还是社会科学，现代概率统计方法是必不可少的.它对培养学生的科学研究能力以及独立分析问题和解决问题的能力，是其他训练难以替代的。教师要在实际教学过程中，进一步改良相应问题的教学方法，有效提升整体的教学质量，助力教学效果的升级。另外，教师进行理论知识讲解的目的就在于培养全面素质的人才，因此，要在实际的教学过程中，强化具体的教学要求，进一步促进学生完成相应的学习行为[1]。
二、概率统计课程教学的现状和不足
从当前的教学内容上看，经典的内容多，占的比重大，现在的内容少，占的比重轻.而且概率论占的比重远大于统计.这些明显不适应现代及未来的需求。在我国高校的数学教学中，比较常见的问题就在于理论知识的强化要远远多于实践技能的提升，教师在上课过程中运用的教学手段基本上是采用注入式教学方法，教师是主动的施教者，学生是被动的接受者，忽视或较少注重学生解决实际问题能力的培养[2]。我们要培养符合21世纪需要的实用型创新人才，就必须注重对学生实操能力的提升以及基本学习技能的养成，教师要充分优化对于学生的实践能力培养，助推学生的良性学业发展。
三、数学实验在概率统计课程教学中运行的意义
在高校的数学课程教学过程中，概率统计学科的实际意义非常大，整体科目的运用范围也特别广泛。但是，在传统的教学模式中，教师更多时间是侧重于知识的讲授，却忽略了相应的实践操作能力。教师要想得到教学效果的有效升级，就要保证基本教学模式的转变，整合相应的教学手段，并将概率统计课程科学化地结合教学内容进行优化呈现[3]。并且，利用现代计算机技术和数学软件相结合，提升学生的实体操作技能。教师要在实际的教学过程中，强化教师的引导作用，鼓励学生进行自主学习意识的建立，并且通过自己的知识建构进行问题的处理。
教师教学手段的提升，可以激发学生学习积极性.因此要进行概率统计的课程教学改革，那么在课程教学中引入数学实验是很必要的。
四、概率统计教学中数学实验的使用策略
教师要想保证基本的教学手段升级，就要强化对于教学实验的基本认知。
首先，教师在实际的教学过程中，要突出学生的实践和整体课堂教学的关键地位，充分融合相应的教学情况进行相应教学行为的设置。教师要对数学中的基本讨论课和教学实验进行基本案例的分析，保证学生形成基本的思维建构和思维模式，教师要强化在实际课堂中对于学生学习行为的引导，促进学生对于数学数据进行基础模式的建立[4]。另外，教师要合理化的设置相应的社会实践活动，强化学生对于知识的内化水平，并且教师要鼓励学生进行相应数学资料的整理和收集，将相应的数据进行软件的录入，对基本的输出结果进行合理化的使用和解决。
其次，教师在进行实体化课程设计过程中，教师要优化相应的教学方式，建立新颖有效的教学框架，充分激发学生的学习积极性，保证学生积极参与教师的教学活动。教师要积极运用相应的实验软件，促进学生进行必要的实践和理论的结合，激发学生从身边的事物中发现相应的数学知识，并进行积极的实践。只有教师强化相应的教学行为，学生才能在实际生活中更好地运用概率统计[5]。
最后，在教师实行数学实验前，要保证学生对于基础知识产生良好的网络建构，保证学生能充分认知相应的知识要点[6]。若是在实验中才开始强化知识，会产生大量的时间浪费。教师在数学实验推进过程中，要保证学生的实际参与，以及学生的主观认知模式，只有学生的亲身实践，才能在认知中进行自身对于知识的体悟。教师除了对基本知识进行讲解外，还要拓展相应的课外知识，从根本上提升学生的学习视野。教师在实际讲解过程中，不仅要提升学生对于基础知识的建构，还要运用分层教学法、最近发展区理论、小组合作学习教学法等比较前沿的教学模式引导学生进一步强化知识的运用和提升[7]。
总而言之，教师要提升学生对于数学实验的认知，通过合理化的引导保证学生进行知识点和实践的优化结合。教师要充分发挥学生的主观能动性，让学生领悟概率统计的基本思想，提高概率统计软件的应用技能，加强分析问题的综合能力，激发学生的学习兴趣，实现知识到能力的有效转化，使概率统计教学效果得到明显提升。
参考文献：
姓名:________
班级:________
成绩:________
小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的!
一、选择题
(共10题；共20分)
1.（2分）一股冷空气将要过来，明天（）降温。
A
.可能
B
.不可能
C
.一定
2.（2分）两人玩扑克牌比大小的游戏，每人每次出一张牌，各出三次赢两次者胜．小红的牌是“9”、“7”、“5”；小芳的牌是“8”、“6”、“3”．当小红出“5”时，小芳出（）才可能赢．
A
.8
B
.6
C
.3
D
.任意一张都行
3.（2分）某人射击一次，击中0-10环的结果的可能性都相等，那么击中8环的可能性是（）。
A
.B
.C
.D
.4.（2分）从写有1-6的6张卡片中任抽一张，抽到是2的可能性是（）。
A
.B
.C
.D
.5.（2分）袋子里有8个小球，上面分别写有数字2、3、4、5、6、7、8、9，小东和小丽玩摸球游戏，下面的游戏规则对双方公平的是（）。
A
.任意摸一球，摸到的小球上面写质数小东胜，合数小丽胜
B
.任意摸一球，2的倍数小东胜，3的倍数小丽胜
C
.任意摸一球．小于5小东胜，大于5小丽胜
D
.任意摸一球，不是3的倍数小东胜，3的倍数小丽胜
6.（2分）天气预报中“明天的降水概率为20％”，表示明天（）
A
.一定下雨
B
.不可能下雨
C
.可能下雨
7.（2分）一枚硬币投掷3次，有2次正面朝上，1次反面朝上，投第4次时，反面朝上的可能性是（）。
A
.B
.C
.D
.8.（2分）淘气和笑笑做摸球游戏，每次从袋子里任意摸出一个球，然后放回摇匀。每人摸了30次，记录如下：
红球
蓝球
黄球
淘气
笑笑
0
袋子里各种颜色球的数量，下面不可能的情况是（）。
A
.红球19个，蓝球10个，黄球1个
B
.红球18个，蓝球12个，黄球0个
C
.红球18个，蓝球10个，黄球2个
D
.红球20个，蓝球10个，黄球2个
9.（2分）下面的事情能用“可能”描述的是（）
A
.太阳绕着地球转。
B
.小明骑车经过某个十字路口时遇到红灯。
C
.地球上海洋面积大于陆地面积。
D
.李刚的生日是2月30日。
10.（2分）小红和小芹做转盘游戏，如果停在黄色的区域算小红赢，停在红色的区域算小芹赢。下面的（）转盘是公平的。
A
.B
.C
.二、判断题
(共8题；共16分)
11.（2分）盒子里有除颜色外其他都相同的100个白球和1个红球，小明任意摸出1个球，摸到红球的可能性是
。（）
12.（2分）“非典”期间与“非典”病人接触者染上“非典”的可能性是5%，意思是在与“非典”病人接触的100人中一定有5人染上“非典”．
13.（2分）把一副完整的扑克去掉大小王，混合后从中任意取出1张，按数字(或字母)分，有13种可能的结果。
14.（2分）一位数除三位数，商可能是两位数。
15.（2分）用抛硬币的方法来决定比赛的先后顺序很公平．
16.（2分）桌子上摆着9张卡片(背面完全相同)，正面分别写着1到9这九个数字，背面朝上，从中任意摸出1张，摸到单数，笑笑获胜，摸到双数，淘气获胜。这个游戏是不公平的。
17.（2分）一本刚买来的书150页，随手翻开，正好翻到第50页的可能性是。
18.（2分）一次抽奖活动的中奖率是1%，抽100次一定会中奖。
三、填空题
(共7题；共16分)
19.（1分）在1﹣10这几个数字卡片中，抽到奇数的可能性是_______，抽到合数的可能性是_______．
20.（7分）在横线内填上“一定”、“可能”或“不可能”．
（1）人_______ 长生不老．
（2）太阳_______ 从东边升起．
（3）“六一”合唱比赛，我们班_______ 会得第一名．
21.（2分）（2015•吉安）红、黄、蓝三种颜色的球各8个，放到一个袋子里，至少摸_______个球，才可以保证有两个颜色相同的球，若任意摸一个球，摸到黄色球的可能性是_______．
22.（1分）一个盒子里有2个白球、3个红球和5个蓝球，从盒中摸一个球，可能有_______种结果。
23.（1分）一个盒子中装有1个红球，2个白球和3个黑球，从中任意摸出一个球，摸到白球的可能性是_______。
24.（2分）将扑克牌中的Q倒扣在桌子上，任意翻开两张，有_______种可能的结果，分别是_______。
25.（2分）有3张反面相同的卡片，正面分别写着“月”、“月”、“日”。把它们反面朝上放好，任取2张。有_______种可能的结果，可以组成_______这几个字。
四、圈一圈，连一连
(共2题；共10分)
26.（5分）把同类的物品连起来。
27.（5分）把不同类的圈出来。
五、解答题
(共7题；共70分)
28.（15分）学校组织羽毛球男女混合双打比赛，三（一）班有2名女生和3名男生参赛，可以有几种不同的组队方案，请用线连一连。
29.（10分）暗箱里有5个红球和5个黄球，任意摸出2个，可能的结果有几种，请分别列出来。
30.（10分）任意转动转盘一次(如图所示)，指针停留的区域有多少种可能？分别写出可能出现的结果。
31.（10分）刘东的盒子里有1元、5角、2角、1角的硬币各1枚．小文任意摸出3枚硬币，可能摸出多少钱？
1元
5角
2角
1角
金额合计
32.（10分）请你设计一个转盘，指针可能停在橙色、黄色和蓝色区域。并且停在黄色为区域的可能性最大，停在蓝水湾区域的可能性最小。
33.（10分）用“一定”“可能”或“不可能”填一填。
（1）等底等高的三角形面积_______是平行四边形面积的一半。
（2）小数除以小数，商_______大于被除数。
（3）4÷5的商_______是循环小数。
34.（5分）小华和小力用1、2、3三张数字卡片玩游戏。每次任意取出两张卡片，若和是单数，则小华胜出;若和是双数，则小力胜出。你认为游戏规则公平吗?为什么?
参考答案
一、选择题
(共10题；共20分)
1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、判断题
(共8题；共16分)
11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、填空题
(共7题；共16分)
19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、23-1、24-1、25-1、四、圈一圈，连一连
(共2题；共10分)
26-1、27-1、五、解答题
(共7题；共70分)
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